© Cédric Dion, 2020

Fonction L p-adique d'une forme modulaire

Mémoire

Cédric Dion

Maîtrise en mathématiques - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Québec, Canada

Résumé

L'objectif de ce mémoire est de donner la construction de la fonction L p-adique associée

à une forme modulaire en suivant l'exposition de [MTT86] et d'étudier les coecients du

développement en série de puissances de cette fonction. Dans le chapitre 1, nous introduisons

les nombres p-adiques. Le corps des nombres p-adiques est déni de manière arithmétique et

est un outil important en théorie des nombres. Nous étudierons également les fonctions dont

le domaine est les p-adiques et les distributions p-adiques. Ensuite, nous verrons les notions

de base sur les formes modulaires et nous présenterons leur fonction L complexe. Dans le

chapitre 2, nous construirons une distribution p-adique µf attachée à une forme modulaire

f avec la propriété que cette dernière interpole les valeurs de la fonction L complexe de f .

Par la suite, nous dérivons l'équation fonctionnelle pour la fonction L p-adique obtenue par

la distribution µf . Finalement, dans le chapitre 3, nous démontrerons des conséquences de

l'équation fonctionnelle. Certains résultats de ce chapitre sont nouveaux et ont été publiés

dans [DS19].

ii

Table des matières

Résumé ii

Table des matières iii

Remerciements iv

Introduction 1

1 Notions préliminaires 3

1.1 Analyse p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Nombres p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Extensions de Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Fonctions et distributions p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Caractères de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Fonctions L complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Fonctions L p-adiques 25

2.1 Symboles modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Action des opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.3 Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Construction de Lpf,s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Équation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Périodes et valeurs d'interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 Le cas pSap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Conséquences de l'équation fonctionnelle 50

3.1 Coecients directeurs et sous-directeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Invariants d'Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Conclusion 59

Bibliographie 60

iii

Remerciements

Je tiens d'abord à remercier mon superviseur Antonio Lei pour son encadrement, ses précieux

conseils et sa passion pour les mathématiques. Sans lui, ce mémoire n'aurait pas pu être

complété. Je remercie également Florian Sprung d'avoir accepté de collaborer au projet qui a

mené à l'écriture de l'article [DS19]. Je remercie Cassandra De Blois pour son support continu.

Je remercie le département de mathématiques et de statistique de l'Université Laval pour avoir

fourni un environnement propice à l'écriture de ce mémoire. Finalement, je remercie les fonds

de recherche nature et technologie du Québec ainsi que le conseil de recherche en sciences

naturelles et génie du Canada pour le support nancier accordé lors de ma maîtrise.

iv

Introduction

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est un important problème ouvert en mathéma-

tiques. Cette conjecture prédit que le premier coecient non nul du développement de Taylor

de la fonction L complexe associée à une courbe elliptique peut être exprimé en fonction d'in-

variants arithmétiques de la même courbe elliptique. Les travaux d'Amice et Vélu [AV75] en

1975 ont montré qu'il est possible de construire un analogue p-adique de la fonction L complexe

d'une courbe elliptique ou, plus généralement, de la fonction L complexe d'une forme modu-

laire. Par la suite, en utilisant la fonction d'Amice-Vélu, Mazur,Tate et Teitelbaum [MTT86]

ont formulé une version p-adique de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Celle-ci relie

plutôt le premier terme non nul de la fonction L p-adique à la valuation p-adique de certains

invariants d'une courbe elliptique.

Soit H z x iy > C y A 0 le demi-plan supérieur de Poincaré. Une forme modulaire

f de poids k pour le groupe SL2Z est une fonction holomorphe f H C respectant une

condition de croissance et une propriété d'invariance par rapport à SL2Z. Pour une forme

modulaire f xée, il est possible de dénir des symboles modulaires par la formule

λfP ;a,m 2πiSa~m

ªfzP mz adz

où P est un polynôme de degré plus petit ou égal à k 2. La fonction L p-adique que nous

voulons construire est en fait une distribution (une mesure non bornée) sur le groupe des

entiers p-adiques Zp. Les ensembles ouverts et compacts de Zp étant de la forme apvZp, une

approche naïve pour construire une telle distribution serait de poser

µa pvZp λf0;a,pv 2πiSapv

ªfzdz.

Or, déni ainsi, µ n'est pas une distribution. En particulier, si l'ensemble U est la réunion

disjointe d'ensembles Vi, µU x PµVi. Nous verrons dans le chapitre 2 comment modier

la dénition de µ an d'obtenir une distribution. Nous montrons qu'à partir de µ, il est pos-

sible de dénir une fonction p-adique analytique Lpf,s en intégrant les caractères de Zp par

rapport à µ.

1

La fonction L p-adique interpole certaines valeurs spéciales des convolutions de la fonction L

complexe par des caractères de Dirichlet. Par exemple,

Lpf,1 ep Lf,1où ep est un facteur d'interpolation explicite. Cette propriété donne un lien entre la théorie

complexe et la théorie p-adique. De plus, en imposant certaines conditions sur f , la fonction

L p-adique satisfait une équation fonctionnelle de la forme

Lpf,s gsLpf,2 s.La symétrie de la fonction Lpf,s autour de l'axe s 1 donne lieu à plusieurs phénomènes

intéressants. Par exemple, en utilisant l'équation fonctionnelle, il est possible de montrer que

le premier coecient non nul dans le développement de Taylor de Lpf,s est un multiple du

deuxième coecient non nul. Plus précisésment, en écrivant

Lpf,s ams 1m am1s 1m1

où m est l'odre d'annulation de Lpf,s en s 1, on obtient

am1 1

2logp`Qe am.

Il s'agit du théorème 3.1.4 démontré par Bianchi [Bia19]. Au théorème 3.1.6, nous adaptons la

démonstration de Bianchi au cas des fonctions L p-adiques plus et moins dénies par Pollack

[Pol03]. Finalement, nous montrons que le µ-invariant et le λ-invariant de Lpf,ψ,s sont

inchangés par la substitution ψ ( ψ.

2

Chapitre 1

Notions préliminaires

1.1 Analyse p-adique

Cette section présente un bref résumé des notions d'analyse p-adique qui nous seront néces-

saires. Nous rappellerons la dénition des nombres p-adiques et nous verrons quelques proprié-

tés des fonctions p-adiques et des distributions p-adiques.

1.1.1 Nombres p-adiques

Pour motiver cette sous-section, nous rappelons la construction des nombres réels. On considère

la norme YY induite par la valeur absolue classique sur les nombres rationnels. C'est-à-dire,

pour x > Q, YxY SxS. L'espace des nombres rationnels muni de la métrique induite par YYn'étant pas complet, on peut le compléter on considérant l'ensemble des suites de Cauchy

modulo la relation d'équivalence an bn si et seulement si San bnS 0 lorsque n tend

vers l'inni. La complétion de Q par cette procédure donne l'ensemble des nombres réels R.

Les nombres p-adiques sont construits de façon similaire, mais en complétant Q par rapport

à une autre norme.

Dénition 1.1.1. Soit p un nombre premier. Pour n > Z0, on dénit la valuation p-adique

de n par la relation n pvpnm où p Ñm. On pose vp0 ª.

La valuation p-adique de n est donnée par la plus grande puissance de p divisant n. On étend

la dénition de vp aux nombres rationnels a~b > Q où a et b sont des entiers copremiers en

laissant vpa~b vpa vpb.Dénition 1.1.2. On dénit une norme sur Q par SxSp pvpx si x x 0 et SxSp 0 si x 0.

Proposition 1.1.3. S Sp est bel et bien une norme et satisfait l'inégalité ultramétrique

Sx ySp B maxSxSp,SySp

3

avec Sx ySp maxSxSp,SySp si SxSp x SySp.Démonstration. La preuve est donnée dans [Kob84, page 2]. Ì

Une norme qui satisfait l'inégalité ultramétrique s'appelle une norme non archimédienne.

Lemme 1.1.4. Soit xn b Q une suite. Alors, xn est une suite de Cauchy par rapport à

la norme p-adique si Sxn1 xnSp 0 lorsque nª.

Démonstration. Soit ε A 0. Alors il existe N tel que Sxn1 xnSp @ ε pour tout n C N . Soit

N @ n @m. Alors,

Sxm xnSp Sxm xm1 xm1 xm2 xn1 xnSpB maxSxm xm1Sp, Sxm1 xm2Sp, . . . ,Sxn1 xnSp@ ε

par l'inégalité ultramétrique. Ì

Comme c'était le cas pour la valeur absolue S S, Q muni de la métrique induite par S Sp n'estpas complet. En eet, supposons que p x 2,3 et considérons la suite xn ap

noù 1 @ a @ p 1

est xé. Alors, xn1 xn apn1 ap

n ap

napnp1 1. Or, par le petit théorème de Fermat,

apnp1 1 mod pn1. Ainsi, Sapnp1 1Sp B pn1 et la suite xn est donc une suite de

Cauchy. Supposons que xn x > Q. On remarque que xp x par la dénition de notre suite

xn. Il suit que x 1 ou 0. Puisque SxnSp 1 pour tout n, il suit que x ne peut pas être

égal à 0. De plus, comme apn a mod p et que a ~ 1 mod p, car 1 @ a @ p 1, il suit que

xn 1 ~ 0 mod p. Donc, x x 1. On conclut que x ¶ Q. Cet argument peut être adapté aux

cas où p 2 et p 3.

Nous supposerons dès maintenant que p est toujours un nombre premier impair xé. Cela aura

pour eet de simplier l'exposition puisque, lorsque p 2, l'énoncé de plusieurs théorèmes doit

être modié.

Dénition 1.1.5. On dénit le corps des nombres p-adiques Qp comme étant le complété de

Q par rapport à la norme p-adique. C'est-à-dire

Qp xn xn >Q et xn est une suite de Cauchy par rappport à S Sp~ où xn yn si et seulement si Sxn ynSp 0.

Le fait que Qp est un corps peut être montré en utilisant les propriétés générales du complété

d'un corps normé. Il existe une inclusion naturelle deQ dansQp donnée par x( x,x,x,x, . . ..On étend la norme à Qp en posant SxnSp limnª SxnSp. Cette limite existe et ne dépend

pas du choix de représentant (voir [Kob84, page 10]).

4

Dénition 1.1.6. L'anneau des entiers p-adiques est Zp x > Qp SxSp B 1 et les unités

p-adiques sont les éléments de l'ensemble Zp x > Zp SxSp 1.

Comme il n'est pas toujours évident de travailler avec cette dénition des nombres p-adiques,

la proposition suivante nous donne une manière plus concrète de visualiser ces nombres.

Proposition 1.1.7. Il existe une bijection entre Qp et l'ensemble

ª

Qim

aipi ai > 0,1, . . . ,p 1,m > Z¡ .

Sous cette bijection, les entiers p-adiques correspondent à

ª

Qi0

aipi ai > 0,1, . . . ,p 1¡ .

Démonstration. Voir [Kob84, page 11, Theorem 2] et la discussion qui s'ensuit. Ì

À partir de maintenant, nous verrons donc un élément x > Qp comme étant donné par une

somme en base p innie. Si x Pªim aip

i, alors la valuation de x est simplement donnée

par le premier indice non nul. Par exemple, pour x 4 53 2 54 56 dans Z5, on a que

v5x 3. Pour x,y > Zp, on écrira x y mod pn si xy > pnZp. Si x et y sont des entiers, cette

dénition correspond à la notion habituelle de congruence dans Z. De plus, Zp est donné par

l'ensemble des entiers p-adiques avec a0 x 0. Nous avons également l'application Zp Z~pnZde réduction modulo pn pour tout n en envoyant Pª

i0 aipi sur la somme partielle Pn1

i0 aipi.

Le but du reste de cette sous-section sera d'examiner plus en détail la structure de l'anneau

Zp. Pour y arriver, nous allons avoir besoin du lemme de Hensel. Ce résultat permet de trouver

des solutions aux équations polynomiales dans Zp en cherchant plutôt des solutions dans un

corps ni Fp.

Lemme 1.1.8 (de Hensel). Soit fx c0 c1x cnxn un polynôme dans Zpx et soit

f x c1 2c2x n 1cnxn1 sa dérivée formelle. Supposons qu'il existe a0 un entier p-

adique tel que fa0 0 mod p, mais que f a0 ~ 0 mod p. Alors, il existe un unique entier

p-adique a tel que fa 0 et a a0 mod p.

Démonstration. Il s'agit d'un argument similaire à la démonstration de l'algorithme de Newton

et est donné dans [Kob84, page 16, Theorem 3]. Ì

Un corollaire de ce lemme est que Zp contient les p 1-ième racines de l'unité. En eet, soit

fx xp1 1. Par le petit théorème de Fermat, pour a > 1,2, . . . ,p 1, on a que fa 0

mod p. Aussi, f a p1ap2 ~ 0 mod p. Par le lemme de Hensel, il existe un unique entier

5

p-adique satisfaisant xp1 1 et étant congru à a. Comme on avait p1 choix possibles pour

a, on conclut que toutes les p 1-ième racines de l'unité sont dans Zp. On note par µp1

l'ensemble des p 1-ième racines de l'unité.

On dénit le relèvement de Teichmüller Z~pZ µp1 ` Zp par l'application qui envoie

a > Z~pZ à l'unique racine p 1-ième congrue à a modulo p. On dénit aussi le caractère

de Teichmüller ω Zp µp1 ` Zp comme étant la composition de l'application de réduction

modulo p avec le relèvement de Teichmüller. C'est-à-dire, si a > Zp , on réduit a modulo p pour

obtenir un élément de Z~pZ puis on applique le relèvement. Pour toute unité p-adique a,

ωa est donc l'unique racine p 1-ième de l'unité avec la propriété que a ωa mod p.

Finalement, on dénit l'application `e Zp 1 pZp par `ae a

ωa .

Proposition 1.1.9. Les applications ω et `e sont des homomorphismes de groupes et induisent

l'isomorphisme

Zp Z~pZ 1 pZpa( a, a~ωa,

où a est la réduction de a modulo p.

Démonstration. Nous montrons d'abord que ω est un homomorphisme. Soit a,b > Zp . Alors,

ωab est l'unique élément de µp1 congru à ab modulo p. ωa et ωb sont respectivement

les racines congrues à a et b modulo p. Ainsi, ωaωb ab mod p ce qui implique que

ωaωb ωab mod p. Or, il y a une seule racine p 1-ième par classe de congruence

modulo p par le lemme de Hensel. On conclut que ωab ωaωb.Le fait que `e soit un homomorphisme suit directement du fait que ω l'est.

Supposons maintenant que a( 1,1. Cela implique que a 1 et aωa 1. La première égalité

nous dit que ωa 1 et donc a 1 par la deuxième égalité. Ainsi, l'application considérée

est injective. Pour la surjectivité, considérons l'élément a,b > Z~pZ 1 pZp. Nousarmons que ωab est une préimage pour cet élément. En eet, ωab a, car b 1 mod p

et ωabωωab

ωabωωaωb

ωabωa b. Donc, l'application est un isomorphisme. Ì

Dénition 1.1.10. Un groupe topologique G est dit topologiquement cyclique s'il existe γ > G

tel que la fermeture du sous-groupe engendré par γ est G. Un tel γ s'appelle un générateur

topologique de G.

Proposition 1.1.11. Le groupe des entiers p-adiques Zp, est topologiquement cyclique.

Démonstration. Nous montrons que 1 est un générateur topologique de Zp. D'abord, nous

avons que `1e Z. Pour montrer le résultat, il sut de montrer que Z est dense dans Zp.

Soit donc x Pªi0 aip

i > Zp. Alors, la suite d'entiers PNi0 aipiN>N

tend vers x et le résultat

suit. Ì

6

Il existe aussi une construction plus algébrique des nombres p-adiques que nous détaillons

ci-bas. Considérons le système dirigé Z~pnZ muni des applications de transition Z~pnZ Z~pn1Z données par la réduction modulo pn1. Alors, les entiers p-adiques Zp sont obtenus en

prenant la limite inverse limÐ

Z~pnZ. Sous cette construction, Zp limÐ

Z~pnZ. Finalement,

Qp est donné par le corps de fractions de Zp. Un groupe donné par une limite inverse de

groupes nis s'appelle un groupe proni.

1.1.2 Extensions de Qp

Dans les prochaines sections, nous allons nous intéresser à des solutions de certaines équations

polynomiales. Par exemple, nous allons considérer les racines du polynôme de Hecke fX X2 apX pk1 qui sera déni dans la section sur les symboles modulaires. Or, Qp n'est pas

algébriquement clos. Pour s'en convaincre, considérons le polynôme pX X2 n où n est

un entier tel que 0 @ n @ p et n n'est pas un carré modulo p. Un zéro de ce polynôme est

une racine carrée de n. Supposons qu'une telle racine existe. Nous pouvons supposer que cette

racine est dans Zp par le lemme de Gauss. Donc, n pm u2 pour un certain u > Zp et m C 0.

On remarque immédiatement que m 0, car sinon n 0 mod p ce qui contredit que 0 @ n @ p.

Donc,

n u2 a0 a1p a2p

2 . . .2> a2

0 pZp.

La réduction modulo p donne n a20 mod p ce qui contredit le fait que n n'est pas un carré

modulo p. On conlut que les racines de pX ne sont pas dans Qp. Cela nous amène vers

l'étude des extensions de Qp.

Proposition 1.1.12. Soit L~Qp une extension nie. Alors, il existe une unique norme non

archimédienne S S sur L qui étend la norme S Sp de Qp. De plus, pour α > L, celle-ci est donnée

par

SαS SNL~QpαSLQp

1

p .

Démonstration. Il s'agit de [Kob84, page 61]. Ì

Cela nous donne du même coup une valuation v sur L qui étend celle de Qp en posant

vα logp SαS. Ici, logp est le logarithme en base p à ne pas confondre avec le logarithme

p-adique de la prochaine section. Notons par n le degré de L~Qp. L'image de L sous v est

contenue dans 1nZ. Comme l'image de v est un sous-groupe additif non trivial de 1

nZ, l'image

est de la forme 1eZ pour un certain entier e qui divise n. Ce e est appelé l'indice de ramication

de L~Qp. Un élément π > L qui satisfait vπ 1e est appelé un uniformisant de L. L'anneau

des entiers de L est l'ensemble

OL x > L SxS B 1

7

et le corps résiduel de L est OL~π.Proposition 1.1.13 (Lemme de Hensel généralisé). Soit fX > OLX et supposons qu'il

existe k > OL~π tel que fk 0 mod π, mais f k x 0 mod π. Alors, il existe a > OL tel que

fa 0 et a k mod π.

Démonstration. Voir [Lan94, page 42 proposition 2]. Ì

Soit Qp une clôture algébrique de Qp. Comme Qp est l'union de toutes les extensions nies de

Qp, on a une unique norme sur Qp qui étend celle de Qp. Pour α >Qp, celle-ci est donnée par

SαS SNQpα~QpαSQpαQp

1

p .

Cependant, il est possible de montrer que Qp n'est pas complet.

Proposition 1.1.14. Le corps normé Qp n'est pas complet.

Démonstration. Soit α Pªn1 anp

n où an 1 si pSn et an ζn une racine n-ième primitive de

l'unité si p Ñ n. Alors,

SanpnS SpnS pn,car SζnSn 1 implique que SζnS 1 puisque S S est à valeurs dans Q. Donc, anpn 0 lorsque

n ª. Supposons que Qp est complet. Alors, α converge vers un élément de Qp (ce résultat

est démontré dans le lemme 1.1.15 de la section suivante). En particulier, α > L, une extension

nie de Qp. Soit π un uniformisant de L. On montre par récurrence que an > L pour tout n.

D'abord, a1 ζ1 1 > L, donc le cas de base est vérié. Supposons maintenant que an > L pour

tout n @ m. Sans perte de généralité, on suppose que p Ñ m, car sinon am 1 est clairement

dans L. On aura donc que

β pm α m1

Qn1

anpn > L.

Mais, β amPnAm anpnm. Donc, am ζm β mod pOL. Cela implique que βm 1 mod πOL.

Autrement dit, β mod π satisfait le polynôme fX Xm 1 mod π. De plus, f β mod π

mβm1 mod π x 0 mod π, car p Ñ m, donc π Ñ m. Par le lemme de Hensel généralisé, toutes

les racines de Xm 1 sont dans OL. Ainsi, ζm am > L. Par récurrence, an > L pour tout

n. C'est une contradiction, car si q est un nombre premier, le polynôme minimal de ζq est le

polynôme d'Eisenstein Xq1 Xq2 . . . X 1 et Qpζq est une extension de degré q 1.

Ainsi, pÑnQpζn est une extension de degré inni, mais L est de degré ni. On conclut que

α ¶ L et Qp n'est pas complet. Ì

8

Comme nous avons passé de Q à Qp, nous pouvons compléter Qp pour obtenir Cp, le corps des

nombres complexes p-adiques. Heureusement, il s'agit d'un corps algébriquement clos [Kob84,

page 72 theorem 13]. Si x xn >Cp, la norme de x est donnée par SxS limnª SxnS. On note

OCp x >Cp SxS B 1 l'anneau des entiers de Cp.

1.1.3 Fonctions et distributions p-adiques

Nous présentons d'abord deux lemmes qui nous serviront à étudier les fonctions d'une variable

p-adique.

Lemme 1.1.15. Soit an une suite dans Qp, ou plus généralement, dans un corps ultramé-

trique complet. Supposons que an 0. Alors, la série Pªn0 an converge.

Démonstration. Par dénition de la convergence de séries, nous devons montrer que la suite

des sommes partielles converge. Soit N AM . Par l'inégalité ultramétrique,

W NQn0

an M

Qn0

anWp

B maxSaN Sp, SaN1Sp, . . . , SaM1Sp 0,

car an 0. Ainsi, la série converge. Ì

Lemme 1.1.16. La valuation p-adique de n! est Pªk1 npk .

Démonstration. Il s'agit de compter tous les multiples de p entre 1 et n. On remarque également

que la somme est en fait une somme nie. Ì

Dénition 1.1.17. Le logarithme p-adique est déni par la série de puissances

logp1 x ª

Qn1

1n1xn

n.

Remarque 1.1.18. Attention de ne pas confondre logp avec le logarithme en base p. À partir

de maintenant, logp fera toujours référence au logarithme p-adique.

Proposition 1.1.19. logp1 x converge sur x > Zp SxSp @ 1.Démonstration. Soit x > Zp tel que SxSp @ 1. Donc, x est de la forme pa pour un certain a > Zp.

La valuation des termes de la suite est égale à

vp 1n1pann

n1 vpa vpn.Or, vpn croît comme logn ce qui nous donne que vp 1n1pan

n tend vers l'inni. Par le

lemme 1.1.15, logp1 x converge. Ì

9

Dénition 1.1.20. L'exponentielle p-adique est la série de puissances

exppx ª

Qn0

xn

n!.

Proposition 1.1.21. exppx converge sur x > Zp SxSp @ 1.

Démonstration. Soit x tel que dans l'énoncé, c'est-à-dire, x pa pour un certain a > Zp. Nous

avons

vppan~n! n1 vpa ª

Qk1

n~pk C n n1

p

1

p2 n n

p 1.

Par le lemme 1.1.15, expp converge sur l'ensemble voulu. Ì

Comme dans le cas réel, logp est l'inverse de expp et ces deux fonctions satisfont les propriétés

standards logpxy logpx logpy et exppxy exppx exppy. De plus, ces fonctionsinduisent un isomorphisme Zp, 1 pZp,. Pour a > 1 pZp, soit ax exppx logpa lafonction puissance.

L'espace métrique Qp possède une base d'ensembles ouverts de la forme a pnZp x > Qp

Sx aSp B 1~pn pour a > Qp et n > Z [Kob84, page 30]. Ces ensembles sont aussi fermés, car

leur complément est aa pnZp où a parcourt les éléments de Qp tels que a ¶ a pnZp.

Proposition 1.1.22. Zp est compact.

Démonstration. Comme nous travaillons dans un espace métrique, il sut de montrer que

toute suite de Zp possède une sous-suite convergente. Soit xn ` Zp avec

x1

ª

Qn0

a1,npn, x2

ª

Qn0

a2,npn, x3

ª

Qn0

a3,npn, . . .

Puisque ai,1 > 0,1, . . . ,p 1, il y a une valeur dans cet ensemble qui apparaîtra pour une

innité de ai,1, disons que cette valeur est a0. On choisit donc la sous-suite des éléments dont

le développement p-adique commence par a0. Par le même raisonnement, le deuxième terme

des membres de cette sous-suite ai,2 prendra une innité de fois la même valeur, disons a1. On

en extrait tous les termes qui prennent la valeur a2 au deuxième terme de leur développement

p-adique pour construire une sous-sous-suite. On construit ainsi par récurrence une sous-suite

de la suite originale qui converge vers l'entier p-adique a0 a1p . . .. Ì

On déduit que les ensembles de la forme a pnZp sont compacts, car les applications de

translation x ( a x et de multiplication x ( pnx sont continues. Finalement, toute réunion

nie 8aa pnZp est un ensemble compact.

10

Dénition 1.1.23. Une fonction f Zp Qp est dite localement constante si pour tout point

x > Zp, il existe un voisinage U de x tel que fU est un singleton. On note par LCZpl'ensemble des fonctions localement constantes sur Zp.

Les fonctions localement constantes joueront les mêmes rôles que le fonctions étagées pour

dénir l'intégration p-adique.

Dénition 1.1.24. Pour n C 0 et a > Zp, la fonction caractéristique de a pnZp est l'appli-

cation χapnZp Zp 0,1 donnée par χapnZpx 0 si x ¶ a pnZp et χapnZpx 1 si

x > a pnZp.

Proposition 1.1.25. Soit f Zp Qp une fonction localement constante. Alors, f est une

combinaison nie Qp-linéaire de fonctions caractéristiques.

Démonstration. Soit x > Zp. Puisque f est localement constante, il existe un voisinage apnZpde x tel que pour tout y > a pnZp, fy 1 c χapnZpy c pour une certaine constante

c > Qp. Considérons maintenant le recouvrement ouvert Vi ai pniZp de Zp où, pour

chaque xi > Zp, Vi est un voisinage de xi où f prend la valeur constante ci. Comme Zp est

compact, il existe un sous-recouvrement ni de ce recouvrement, disons UiNi1. Donc,

fx α1χU1x α2χU2x αNχUN xpour certaines constantes α1,α2, . . . αN . Ì

Dénition 1.1.26. Une distribution p-adique sur Zp est un homomorphisme Qp-linéaire de

l'espace LCZp vers Qp. Si f > LCZp et µ est une distribution p-adique, alors on écrit R fµpour la valeur de µ évalué en f .

De manière équivalente, on peut dénir une distribution p-adique µ comme étant une appli-

cation additive de l'ensemble des ensembles ouverts et compacts de Zp vers Qp. La propriété

d'être additive veut dire que si U est l'union disjointe de U1,U2, . . . Un, alors µU Pnk1 µUk.Étant donnée une distribution µ selon la première dénition, on obtient une application ad-

ditive en posant µU R χUµ. Réciproquement, étant donnée une application additive µ, on

obtient un homomorphisme Qp-linéaire sur LCZp en posant R χUµ µU.Proposition 1.1.27. Toute application µ de l'ensemble des compacts ouverts de X ` Zp vers

Qp qui satisfait la propriété

µa pnZp p1

Qb0

µa bpn pn1Zppour tout a pnZp `X s'étend uniquement à une distribution p-adique sur tout X.

11

Démonstration. Voir [Kob84, page 32]. Ì

Dénition 1.1.28. Une distribution p-adique µ sur X est une mesure s'il existe une constante

B >R telle que SµUSp B B pour tout ensemble ouvert et compact U `X.

L'avantage d'avoir une mesure est que l'intégrale d'une fonction continue peut être dénie à

l'aide des sommes de Riemann. Cela n'est pas toujours le cas pour les distributions p-adiques.

Soit f une fonction continue (la dénition de la continuité est par rapport à la norme p-adique)

et soit

Sn,xa,n Q0BaBpn

apnZp

S fxa,nχapnZpxa,nµ,où xa,n est choisi dans l'ensemble a pnZp.

Théorème 1.1.29. Les sommes de Riemann Sn,xa,n convergent vers une limite dans Qp qui

ne dépend pas des choix de xa,n.

Démonstration. Voir [Kob84, page 40]. Ì

Ce théorème motive la dénition suivante.

Dénition 1.1.30. Si f Zp Qp est une fonction continue et µ est une mesure, on dénit

R fµ comme la limite des sommes de Riemann Sn,xa,n .

Dénition 1.1.31. Soit U b Zp un ensemble ouvert. Une fonction f U Cp est dite

localement analytique s'il existe un recouvrement de U par des compacts ouverts Ui aipviZptel que, sur chaque Ui, f est donnée par une série de puissances convergente

fx QnC0

bnx ainà coecients dans Cp.

Par exemple, les fonctions localement constantes, la fonction logp et la fonction expp sont

localement analytiques. Nous verrons plus tard que les homomorphismes continus de Zp dans

Cp sont aussi des fonctions localement analytiques.

1.2 Formes modulaires

Dans cette section, nous résumons les résultats importants concernant les formes modulaires

en suivant le livre de Diamond-Shurman [DSS05]. Les formes modulaires sont des fonctions

du demi-plan complexe supérieur satisfaisant des propriétés d'invariances par rapport à un

sous-groupe de transformations matricielles.

12

1.2.1 Dénitions

Dénition 1.2.1. On dénit le groupe modulaire SL2Z comme étant le groupe des matrices

2 2 à coecients dans Z dont le déterminant est 1 :

SL2Z ¢¦¤<@@@@>a b

c d

=AAAA? a,b,c,d > Z, ad bc 1

£§¥ .

Dénition 1.2.2. On notera le demi-plan complexe supérieur par H z >C Imz A 0.

On dénit maintenant une action de SL2Z sur H par γz azbczd où γ

<@@@@>a b

c d

=AAAA?> SL2Z et

z > H. Il est possible de montrer que pour de tels z et γ, γz > H et l'action ainsi dénie est

une action de groupes.

Dénition 1.2.3. Soit k un nombre naturel. On dira qu'une fonction méromorphe f H C

est faiblement modulaire de poids k si

fγz cz dkfz

pour γ <@@@@>a b

c d

=AAAA?> SL2Z et z >H.

En particulier, comme la matrice<@@@@>1 1

0 1

=AAAA?est un élément de SL2Z, on a fz 1 fz

pour toute fonction f faiblement modulaire de n'importe quel poids. Ainsi, f possède un

développement de Fourier de la forme fz Pn>Z anqn où q e2πiz. Remarquons également

qu'il n'existe pas de fonction faiblement modulaire non nulle de poids impair. En eet, on a

fz 1kfz en considérant la matrice<@@@@>1 0

0 1

=AAAA?> SL2Z.

Dénition 1.2.4. On dira d'une fonction faiblement modulaire qu'elle est holomorphe à l'in-

ni si elle possède un développement de Fourier de la forme fz Pªn0 anq

n ou, de manière

équivalente, si limImzª fz existe (voir [DSS05, page 3]).

Dénition 1.2.5. Soit k un nombre naturel. Une fonction f H C est une forme modulaire

de poids k si

(1) f est holomorphe sur H,

(2) f est faiblement modulaire de poids k,

(3) f est holomorphe à l'inni.

On note MkSL2Z l'ensemble des formes modulaires de poids k par rapport à SL2Z.

13

Dénition 1.2.6. Une forme parabolique de poids k est une forme modulaire de poids k dont

le premier coecient de son développement de Fourier est nul :

fz ª

Qn1

anqn.

L'ensemble des formes paraboliques de poids k par rapport à SL2Z est noté SkSL2Z.

L'espace vectoriel SkSL2Z est un sous-espace vectoriel deMkSL2Z.Il peut être intéressant de considérer des fonctions qui sont faiblement modulaires par rapport

à un sous-groupe Γ de SL2Z. Comme Γ est inclu dans SL2Z, la condition d'être faiblement

modulaire par rapport à Γ est moins restrictive que la condition d'être faiblement modulaire

pour SL2Z. Ainsi, on aura plus de formes modulaires pour Γ. On donne maintenant la

dénition précise de cette idée.

Dénition 1.2.7. Soit N un nombre naturel. Le sous-groupe de congruence principal de niveau

N est

ΓN ¢¦¤<@@@@>a b

c d

=AAAA?> SL2Z

<@@@@>a b

c d

=AAAA?

<@@@@>1 0

0 1

=AAAA?mod N

£§¥où les congruences sont considérées entrée par entrée.

Dénition 1.2.8. Un sous-groupe Γ de SL2Z est un sous-groupe de congruence si ΓN b Γ

pour un certain N >N. Dans ce cas, on dit que Γ est un sous-groupe de niveau N .

Voici deux types de sous-groupes de congruence que nous allons rencontrer par la suite :

Γ0N ¢¦¤<@@@@>a b

c d

=AAAA?> SL2Z

<@@@@>a b

c d

=AAAA?

<@@@@>

0

=AAAA?mod N

£§¥ ,

Γ1N ¢¦¤<@@@@>a b

c d

=AAAA?> SL2Z

<@@@@>a b

c d

=AAAA?

<@@@@>1

0 1

=AAAA?mod N

£§¥ ,où désigne des entiers quelconques.

Dénition 1.2.9. Pour γ > SL2Z et n'importe quel entier k, on dénit l'opérateur de poids

k sur les fonctions f H C par

fγkz cz dkfγz, z >H.

Soit Γ un sous-groupe de congruence. Une fonction méromorphe f H C est donc faiblement

modulaire de poids k par rapport à Γ si fγk f pour tout γ > Γ.

14

Dénition 1.2.10. Soit Γ un sous-groupe de congruence et k un entier. Une fontion f H C

est une forme modulaire de poids k par rapport à Γ si

(1) f est holomorphe sur H,

(2) f est faiblement modulaire de poids k par rapport à Γ,

(3) fαk est holomorphe à l'inni pour tout α > SL2Z.Si de plus a0 0 dans le développement de Fourier de fαk pour tout α > SL2Z, alors f est

une forme parabolique par rapport à Γ.

On note l'ensemble des forme modulaires de poids k par rapport à Γ par MkΓ et l'ensemble

des formes modulaires paraboliques de poids k par rapport à Γ par SkΓ.1.2.2 Opérateurs de Hecke

Nous allons maintenant dénir des opérateurs qui agiront sur l'espace vectorielMkΓ1N.Le groupe Γ0N agit sur MkΓ1N via l'opérateur de poids k et son sous-groupe Γ1Nagit de façon triviale. On a donc une action de Γ0N~Γ1N Z~NZ sur MkΓ1N.L'isomorphisme est induit par l'application surjective Γ0N Z~NZ,

<@@@@>a b

c d

=AAAA?( d mod N

avec noyau Γ1N. Cette action nous donne une première famille d'opérateurs surMkΓ1N.Dénition 1.2.11. Soit d > Z~NZ. L'opérateur diamant

`de MkΓ1NMkΓ1Nest donné par `def fαk pour α

<@@@@>a b

c δ

=AAAA?> Γ0N avec δ d mod N .

Il est possible de montrer que la dénition de `de ne dépend pas du choix de α. Pour plus de

détails sur la dénition de l'opérateur diamant et les dénitions qui vont suivre, voir [DSS05,

section 5.2].

Soit ε un caractère de Dirichlet, c'est-à-dire, un homomorphisme de groupes ε Z~NZ C.

Dénition 1.2.12. On note parMkΓ1N,ε le ε-espace propre pour les opérateurs diamant,

MkΓ1N,ε f >MkΓ1N `def εdf ¦d > Z~NZ.Nous pouvons montrer que l'espaceMkΓ1N admet la décomposition

MkΓ1N ?εMkΓ1N,ε

lorsque ε parcourt tous les caractères de Dirichlet modulo N . Pour une forme modulaire f de

l'espaceMkΓ1N,ε, l'action de α

<@@@@>a b

c d

=AAAA?> Γ0N est donné par fαk `def εdf par

15

dénition du ε-espace propre et de la dénition de l'opérateur diamant. C'est pourquoi une

telle forme est parfois appelée forme pour Γ0N avec caractère ε en raison qu'elle satisfait

la propriété d'invariance pour Γ0N à ε près,fαz εdcz dkfz.

L'ensemble des ces formes modulaires est parfois notéMkΓ0N,ε.Dénition 1.2.13. Soit f >MkΓ1N,ε et soit p un nombre premier. Le p-ième opérateur

de Hecke Tp est déni par la formule suivante :

Tpfz ª

Qn0

anpfqn εppk1ª

Qn0

anfqnp.Théorème 1.2.14. Les opérateurs Tp préserve l'espaceMkΓ1N,ε. De plus, Tp envoie lesformes paraboliques sur des formes paraboliques.

Démonstration. Voir [DSS05, section 5.2] Ì

Proposition 1.2.15. Soit d,e > Z~NZ et p,q des nombres premiers. Alors,

1. Tp`de `deTp,

2. `de`ee `ee`de `dee,

3. TpTq TqTp.

Démonstration. [DSS05, Proposition 5.2.4] Ì

Nous allons maintenant étendre les dénitions de `de et Tp pour tout n naturel. On pose

`ne `de où d n mod N et `ne 0 si N Sn. Pour dénir Tn, on pose T1 1 et on dénit

récursivement

Tpr TpTpr1 pk1`peTpr2

pour les puissances de premiers. Finalement, si n Lpeii , on laisse Tn LTpeii . Par dénition,les nouveaux opérateurs Tn et `ne satisfont aussi la proposition 1.2.15.

Notre prochaine tâche est de décomposer l'espace des formes paraboliques SkΓ1N. Nousy parviendrons en dénissant un produit scalaire sur cet espace.

Dénition 1.2.16. On dénit la mesure hyperbolique sur H par dµz dxdyy2

, z x iy >H.

16

Soit D z > H Rez B 1~2, SzS C 1 8 ª. Le domaine D est appelé domaine fondamental

pour SL2Z. Soit αj des représentants du groupe quotient SL2Z~IΓ1N où I dé-

note la matrice identité. En d'autres mots, SL2Z jIΓ1Nαj . Posons XΓ1N j αjD. La notation XΓ1N provient du fait que j αjD peut être identié avec la

courbe modulaire XΓ1N, mais nous n'enterons pas plus dans les détails.

Dénition 1.2.17. Le produit scalaire de Petersson, `, e SkΓ1N SkΓ1N C, est

donné par la formule

`f,ge 1

VΓ1NSXΓ1N

fzgzImzkdµz,où la quantité VΓ1N est donnée par RXΓ1N dµz.Nous résumons quelques propriétés de ce produit scalaire dans la proposition suivante :

Proposition 1.2.18. L'intégrale dénissant le produit scalaire de Petersson converge et est

bien dénie. De plus, `, e est un produit scalaire hermitien.

Démonstration. Cela suit de la discussion de [DSS05, Section 5.4]. Ì

Si M SN , il n'est pas dicile de voir que SkΓ1M ` SkΓ1N. Une autre façon de voir

SkΓ1M comme inclu dans SkΓ1N est par l'application de multiplication par d où d

est un facteur de N~M . Pour un tel d, on laisse

αd

<@@@@>d 0

0 1

=AAAA?.

Il est possible de montrer que l'application αdk est injective et envoie SkΓ1M sur un

sous-ensemble de SkΓ1N.Dénition 1.2.19. Pour tout diviseur d de N , soit id l'application

id SkΓ1Nd12 SkΓ1N

donnée par f,g ( f gαdk. L'ensemble des formes non primitives de niveau N est donné

par

SkΓ1Nold QpSN

ipSkΓ1Nd12où la somme est prise sur les diviseurs premiers de N .

L'espace des formes non primitives correspond aux formes de niveau N provenant de formes

de niveaux inférieurs.

17

Dénition 1.2.20. L'espace des formes primitives de niveau N est le complément orthogonal

des formes non primitives par rapport au produit scalaire de Petersson,

SkΓ1Nnew SkΓ1NoldÙ.Dénition 1.2.21. Une forme modulaire non nulle f >MkΓ1N qui est une forme propre

pour les opérateurs de Hecke Tn et `ne pour tout n > Z est appelée une forme propre. Une

forme propre f > SkΓ1N est dite normalisée si a1f 1. Une forme primitive est une

forme propre normalisée dans SkΓ1Nnew.Théorème 1.2.22. L'espace SkΓ1Nnew possède une base orthogonale de formes primi-

tives. Toute telle forme primitive est dans un sous-espace propre SkΓ1n,ε et satisfait

Tnf anff pour tout n > Z.

Démonstration. Il s'agit de [DSS05, Theorem 5.8.2]. Ì

L'existence de formes propres pour tous les opérateurs de Hecke peut paraître surprenante,

mais le théorème précédent montre que l'espace des formes primitives possède en fait une base

de formes modulaires qui sont simultanément des formes propres pour tous les opérateurs de

Hecke.

Soit f Pªn1 anfqn une forme propre normalisée. On considère l'extension Qanf~Q

engendrée par les coecients de Fourier de f .

Théorème 1.2.23. Soit f > SkΓ1N une forme propre normalisée pour les opérateurs de

Hecke. Alors, les valeurs propres anf sont des entiers algébriques. De plus, Qanf estune extension nie de Q.

Démonstration. Voir les notes de Milne sur les formes modulaires [Mil, Proposition 5.27]. Ì

Il est même possible d'en dire un peu plus sur les coecients de Fourier des éléments de

S2Γ1N.Théorème 1.2.24. L'espace S2Γ1N admet une base de formes modulaires à coecients

entiers.

Démonstration. Voir [DSS05, Corollary 6.5.6]. Ì

Nous venons de voir que les coecients anf d'une forme propre normalisée de poids k pour

Γ1N se trouvent dans l'anneau des entiers OKf du corps de nombres Kf Qanf. Kf

est appelé le corps de nombres associé à f . L'algébricité des coecients permet de dénir la

notion de congruence entre deux formes modulaires.

18

Dénition 1.2.25. Soit f Pªn1 anfqn et g Pª

n1 angqn deux formes propres normali-

sées de SkΓ1N. Soit K le plus petit corps de nombres contenant les coecients de f et g

et soit p un idéal de OK . Alors, f est congrue à g modulo p si anf ang > p pour tout n.

Dans ce cas, on écrit f g mod p.

1.3 Caractères de Dirichlet

Nous avons déjà déni un caractère de Dirichlet comme étant un homomorphisme de groupes

multiplicatifs Z~NZ C. Dans cette sous-section, nous allons étudier plus en détail les

propriétés de ces caractères en suivant l'exposition du chapitre 4 des notes de cours d'Evertse

[Eve16].

Si χ est un caractère modulo N , c'est-à-dire χ Z~NZ C, alors χ induit un caractère

modulo M pour tout N SM . En eet, χ Z~MZ C déni par la composition de χ avec

la projection naturelle Z~MZ Z~NZ est un caractère modulo M .

Pour un caractère χ, on notera par χa le conjugué complexe de χa > C. De manière

équivalente, χa χa1.

Dénition 1.3.1. Soit χ un caractère de Dirichlet. Le N minimal tel que χ est déni modulo

N est appelé le conducteur de χ et est noté condχ. Si χ est un caractère modulo N avec

condχ N , alors χ est dit un caractère primitif modulo N .

Un caractère primitif est un caractère qui n'est pas induit par un autre caractère de modulo

inférieur.

Lemme 1.3.2. Soit χ un caractère modulo N et d un diviseur de N . Alors les énoncés suivants

sont équivalents :

1. χc 1 pour tout c > Z avec c 1 mod d et pgcdc,N 1,

2. χ est induit par un caractère modulo d.

Démonstration. La preuve peut être consultée dans [Eve16, Chapter 4, Lemma 4.15]. Ì

Dénition 1.3.3. Soit χ un caractère de Dirichlet modulo N . Les sommes de Gauss sont

dénies par τχ,m Pa mod N χae2πima~N pour m > Z. On pose τχ τχ,1.Proposition 1.3.4. Soit χ un caractère de Dirichlet modulo N avec N C 2. Soit b > Z. Alors,

1. τχ,b χbτχ,1 si b,N 1,

19

2. si pgcdb,N A 1 et χ est primitif, alors τχ,b χbτχ,1 0.

Démonstration. Nous suivons [Eve16, chapter 4, theorem 4.21].

1. On remarque d'abord que l'hypothèse b,N 1 implique que lorsque a parcourt un système

complet de résidus modulo N , ab parcourt également un système complet de résidus modulo

N . Posons y ab. Alors, χa χbχy et on calcule que

τχ,b Qa mod N

χae2πiba~N Qy mod N

χbχye2πiy~N χbτχ,1.

2. Par le lemme 1.3.2, pour tout q1 diviseur de N , il existe un c > Z tel que c 1 mod q1,

pgcdc,N 1 et χc x 1. Si ce n'était pas le cas, cela contredirait le fait que χ est primitif.

Soit d pgcdb,N, b1 b~d et q1 N~d. On choisit un c respectant les propriétés provenant

du lemme 1.3.2 par rapport au diviseur q1. Alors,

χcτχ,b Qx mod N

χcxe2πibx~N .

On remarque que y cx parcourt également un système complet de résidus moduloN . Puisque

c 1 mod q1,

e2πixb~N e2πixb1~q1 e2πicxb1~q1 e2πiyb~N .

Il suit que

χcτχ,b Qy mod N

χye2πiyb~N τχ,b.

Or, χc x 1 d'où il suit que τχ,b 0. Ì

Proposition 1.3.5. Soit χ un caractère primitif de conducteur N C 2. Alors, τχτχ N .

Démonstration. On calcule directement que

τχτχ Qa mod N

χae2πia~Nτχ Qa mod N

e2πia~Nτχ,a

Qa mod N

e2πia~N Qy mod N

χye2πiay~N Qa mod N

Qy mod N

χye2πiay1~N Qy mod N

χy Qa mod N

e2πiay1~N .

20

La deuxième égalité suit de la proposition 1.3.4. Si y 1 mod N , e2πiay1~N 1 et donc

Py mod N 1 N . Si y ~ 1 mod N ,

Qa mod N

e2πiay1~N

e2πiy1 1

e2πiay1~N 1 0.

Ainsi, τχτχ χ1N ce qui montre le résultat. Ì

Ces résultats sur les caractères de Dirichlet nous seront utiles par la suite lorsque nous étudie-

rons les propriétés d'interpolation des fonctions L p-adiques. En eet, les sommes de Gauss

apparaissent dans les formules reliant la fonction L p-adique à la fonction L complexe. Nous

tournons maintenant notre attention sur la manière d'exprimer la fonction caractéristique

χapnZp comme une somme de caractères.

Lemme 1.3.6. Soit ψ Z~pnZ C un caractère de Dirichlet. Pour tout x > Z~pnZ,ψx est une racine p 1pn1 ième de l'unité.

Démonstration. Comme SZ~pnZS p 1pn1, xp1pn1 1 pour tout x > Z~pnZ.Puisque ψ est un homomorphisme, on doit avoir ψxp1pn1 1. Ì

Notons par Xn l'ensemble des caractères modulo pn.

Lemme 1.3.7. Le cardinal de Xn est p 1pn1.

Démonstration. Le groupe Z~pnZ est cyclique. Soit donc g un générateur. Alors, ψ > Xn

est entièrement déterminé par la valeur ψg. Il y a p 1pn1 choix de racines de l'unité

possible pour l'image de g sous ψ. Chaque choix correspond à un caractère diérent. Ì

Lemme 1.3.8. Si x > Z~pnZ tel que x x 1, alors il existe ψ > Xn avec la propriété ψx x 1.

Démonstration. Comme dans la preuve du dernier lemme, soit g un générateur de Z~pnZ.Alors, x gn pour un certain 0 @ n B p 1pn1 1. Choisissons ζ une racine primitive

p1pn1-ième de l'unité et considérons le caractère ψ déterminé par ψg ζ. Alors, ψx ψgn ζn x 1, car 0 @ n B p 1pn1 1 et ζ est primitive. Ì

L'ensemble Xn forme un groupe sous l'opération ψχx ψxχx. L'inverse d'un caractère

est donné par son conjugué complexe et l'élément neutre est le caractère trivial déni par

ψtrivx 1 pour tout x.

21

Proposition 1.3.9. Soit x > Z~pnZ. Alors,

Qψ>Xn

ψx ¢¦¤p 1pn1 si x 1,

0 sinon.

Démonstration. Si x 1, Pψ>Xn ψ1 p 1pn1, car il y a p 1pn1 caractère modulo pn

par le lemme 1.3.7. Si x x 1, soit ψ0 > Xn tel que ψ0x x 1. Ce caractère existe par le lemme

1.3.8. Lorsque ψ parcourt l'ensemble des caractères modulo pn, ψ0ψ aussi. Ainsi,

ψ0x Qψ>Xn

ψx Qψ>Xn

ψ0xψx Qψ>Xn

ψ0ψx Qψ>Xn

ψx.Il suit que Pψ>Xn ψx 0, car ψ0x x 1. Ì

Soit ψ un caractère modulo pn. Après avoir xé un plongement Q 0 Cp, celui-ci induit un

homomorphisme Zp C

p de la façon suivante :

Zp Z~pnZ C

0Cp .

La première èche est l'application de réduction modulo pn et la deuxième est l'application

donnée par ψ.

Proposition 1.3.10. Pour a,p 1, la fonction caractéristique de a pnZp est donnée par

χapnZpx 1

p 1pn1 Qψ>Xn

ψa1ψx.

Démonstration. Supposons d'abord que x > a pnZp. Alors, ψx ψa pour tout ψ > Xn et

Qψ>Xn

ψa1ψa Qψ>Xn

ψ1 p 1pn1

par la proposition 1.3.9. Supposons maintenant que x ¶ a pnZp. Alors, a1x ¶ 1 pnZp et il

suit que la projection de a1x dans Z~pnZ n'est pas 1. La proposition 1.3.9 donne

Qψ>Xn

ψa1ψx Qψ>Xn

ψa1x 0.

Ì

22

1.4 Fonctions L complexes

Soit f une forme modulaire de MkΓ1N que nous écrivons selon son développement de

Fourier fz Pªn0 anq

n. Pour un caractère de Dirichlet χ, la convolution de f par χ, notée

fχ, est fχ Pªn0 χnanqn. La fonction fχ ainsi dénie est une forme modulaire de même

poids que f [Shi71, Proposition 3.64].

Dénition 1.4.1. Soit s une variable complexe et χ un caractère de Dirichlet. La fonction L

associée à la convolution de f par χ est

Lf,χ,s Lfχ,s ª

Qn0

χnanns

.

Proposition 1.4.2. La somme dénissant Lf,χ,s converge absolument pour Res A k. Sif est une forme parabolique, alors Lf,χ,s converge absolument pour Res A k~2 1.

Démonstration. Voir [DSS05, Proposition 5.9.1]. Ì

Comme pour la fonction zêta de Riemann, la fonction L de f possède un produit d'Euler dans

son domaine de convergence si f est une forme propre normalisée.

Théorème 1.4.3. Soit f >MkΓ1N,ε. La forme modulaire f est une forme propre nor-

malisée si et seulement si Lf,s admet un développement en produit d'Euler

Lf,s Mp

1 apfps εppk12s1

où le produit est pris sur tous les nombres premiers.

Démonstration. Il s'agit du théorème [DSS05, Theorem 5.9.2]. Ì

Dénition 1.4.4. La fonction L complétée associée à f est donnée par

Λf,s ºN

2πs

ΓsLf,soù N est le niveau de f et Γs est la fonction gamma.

Théorème 1.4.5. Soit f > SkΓ1N. Alors, Λf,s admet un prolongement holomorphe à

tout le plan complexe.

Démonstration. La preuve est donnée dans [Mil, Theorem 9.3]. Ì

23

Lorsque f est une forme parabolique, la fonction L de f peut aussi être dénie par la trans-

formée de Mellin de f

Lf,s 2πsΓs S

ª

0fittsdt

t.

Il est possible de montrer que cette dénition est en fait équivalente à la dénition précédente

[DSS05, proposition 5.10.1].

24

Chapitre 2

Fonctions L p-adiques

Le but de ce chapitre est de donner un aperçu de la construction de la fonction L p-adique

associée à une forme modulaire et de donner quelques propriétés importantes de cette fonction.

La fonction L p-adique Lpf,s attachée à une forme modulaire f de poids k est une fonction p-

adique analytique en s > Zp caractérisée par la propriété qu'elle interpole les valeurs Lf,χ,mlorsque χ est un caractère de Dirichlet etm est un entier critique (nous donnerons un sens précis

à cette armation plus loin dans le texte). Elle a d'abord été construite par Amice-Vélu [AV75]

et Vi²ik [Vi²76] comme solution à un problème d'interpolation p-adique. Dans ce mémoire, nous

suivrons l'exposition de Mazur, Tate et Teitelbaum [MTT86] pour dénir Lpf,s. L'objectifest de construire une distribution µf sur Z

p qui, lorsque évaluée sur une classe appropriée de

fonctions p-adiques, interpole les valeurs Lf,χ,m pour tout χ et 1 Bm B k 2.

2.1 Symboles modulaires

2.1.1 Dénition

La première étape consiste à dénir les symboles modulaires. Pour ce faire, soit GL2R le

sous-groupe des matrices avec déterminant positif de GL2R. Si A

<@@@@>a b

c d

=AAAA?> GL2R, on

pose

ρA detA1~2

cz d.

Tout comme SL2Z, GL2R agit sur la sphère de Riemann par Az azbczd et Aª a~c.

Fixons k C 2 un entier. Pour N un entier plus grand ou égal à 1 et ε un caractère de Dirichlet

sur Z~NZ, on considère l'espace de toutes les formes paraboliques de poids k pour Γ1Npour un certain N

Sk QN,ε

SkΓ0N,ε QN

SkΓ1N.

25

On note PkC C`Cz ` . . .`Czk2 l'espace des polynômes de degré plus petit ou égal à

k 2 avec coecients complexes. On dénit des actions de GL2R sur Sk et PkC de la

façon suivante :

f SAz ρAkfAz pour f > Sk,

P SAz ρA2kP Az pour P > PkC.Soit P1Q Q 8 ª le plan projectif rationnel.

Dénition 2.1.1. On dénit une application

φ Sk PkC P1QC

par la formule

φf,P,r 2πiSr

ªfzP zdz

¢¦¤

2π R ª

0 fr itP r itdt si r >Q,

0 si r ª.

L'application φ est appelée une intégrale modulaire.

Les intégrales modulaires satisfont les deux propriétés suivantes :

a) φf,P,r est C-bilinéaire en f et P pour r xé,

b) φf SA,P SA,r φf,P,Ar φf,P,Aª.La propriété b) peut être déduite en intégrant l'identité

f SAzP SAzdz fAzP AzdAzde ª à r et en utilisant le théorème de Cauchy sur le triangle de sommets ª,Aª,Ar.Pour χ un caractère de Dirichlet, notons par Zχ le sous-anneau de C généré par les valeurs

de χ. Pour f > SkΓ0N,ε xé, l'image de PkZ P1Q sous l'application φ est un Zε-module. Nous décrirons ici sa structure. Soit Aj > SL2Z un ensemble de représentants pour

les classes d'équivalence modulo Γ0N,SL2Z +

j>R

Γ0N Ajoù R est un ensemble ni d'indices. La nitude de R découle du fait que l'indice de Γ0Ndans SL2Z est ni [DSS05, Exercise 1.2.3(e)]. Soit Lf le Z-module généré par l'image de

PkZ P1Q sous l'application φ.Proposition 2.1.2. Lf est le Zε-module généré par les éléments

φf,zi,Ajª φf,zi,Aj0 0 B i B k 2, j >R. (2.1)

26

Démonstration. Pour A

<@@@@>a b

c d

=AAAA?> Γ0N, on pose εA εd. Alors, f SA εAf puisque

f est une forme modulaire pour Γ0N avec caractère ε. Par la C-bilinéarité de φ et par la

propriété b) des intégrales modulaires,

εAφf,P,r φf,P SA1,Ar φf,P SA1,Aª.Puisque le degré de P est d'au plus k 2, P SA1 cz ak2P dzb

cza est aussi un élément

de PkZ. De là, il suit que Lf est un Zε-module où l'action de εd est donnée par mul-

tiplication de εA comme ci-haut. Soit maintenant L0f b Lf le Zε-module généré par les

valeurs (2.1). Soit a,m > Z avec m C 0 et a relativement premier à m. Le but est de montrer

que φf,P,a~m > L0f par induction sur m an d'obtenir l'inclusion Lf b L0

f . Si m 0, alors

φf,P,a~m 0 > L0f par dénition. Supposons donc que m A 0. Soit m l'entier tel que am 1

mod m et 0 B m @ m. Posons a am 1~m et A

<@@@@>a a

m m

=AAAA?> SL2Z. Comme les classes

d'équivalence de Γ0N partitionnent SL2Z, il existe B > Γ0N et j >R tels que A B Aj .

Alors,

φf,P,a~m φf,P,a~m φf,P,Aª φf,P,A0 φf,P,BAjª φf,P,BAj0 εB φf,P SB,Ajª φf,P SB,Aj0 .

Donc, φf,P,a~m > L0f , car φf,P,a~m > L0

f par induction. Ì

Dénition 2.1.3. Pour a,m >Q avec m A 0, on dénit le symbole modulaire λ par

λf,P ;a,m φf,P mz a, am .

Il est immédiat que, pour f xé, λf,P ;a,m prend ses valeurs dans Lf .

Proposition 2.1.4. Nous avons les égalités

λf,P ;a,m 1 m

k21φ

f,P W

<@@@@>m a

0 1

=AAAA?,

a

m

2 m

k21φ

f W

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?,P,0

.

Démonstration. Commençons par montrer l'égalité (1). Notons par A la matrice<@@@@>m a

0 1

=AAAA?.

Alors,

P mz a ρAk2P SA detA1~2k2P SA m

k21P SA.

27

Cela implique que φf,P mz a, am m

k21φf,P SA, a

m par la linéarité de φ. Pour

montrer l'égalité (2), on note par B la matrice<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?et on utilise la propriété b) des

intégrales modulaires pour obtenir

φf SB,P,0 φf,P SA,A10 φf,P SA,A1ª φf,P SA,a~m φf,P SA,ª.

Mais φf,P SA,ª 0, ce qui montre le résultat. Ì

Remarque 2.1.5. Pour f et P xés, la valeur de λf,P ;a,m ne dépend que de a modulo m.

En eet, puisque f W<@@@@>1 1

0 1

=AAAA? f et

<@@@@>1 1

0 1

=AAAA?n <@@@@>

1 a

0 m

=AAAA?

<@@@@>1 a mn

0 m

=AAAA?, la proposition précédente

montre que λf,P ;a,m λf,P ;a mn,m pour tout n > Z.

Les symboles modulaires sont reliés aux valeurs de la fonction L de f via la transformée de

Mellin de f par la formule

λf,zn; 0,1 2πiSiª

0fzzndz in

n!

2πnLf,n 1pour 0 B n B k2. Une première tentative pour construire la distribution µf associée à f serait

de dénir

µfzn, a pnZp λf,zn;a,pnoù λf,zn;a,pn est vu comme un élément d'un Cp-espace vectoriel après avoir choisi un

plongement C 0 Cp. De cette façon, on aurait la propriété d'interpolation voulue RZp µf

in n!2πnLf,n1. Le problème est que µf n'est pas une distribution. En eet, elle ne respecte

pas la propriété d'additivité

µfzn, a pnZp p1

Qb0

µfzn, a bpn pn1Zp.Il faudra donc modier µf . Cela sera possible en prenant en compte l'action des opérateurs

de Hecke sur f .

2.1.2 Action des opérateurs de Hecke

Puisque nous considérons des actions de matrices sur des formes paraboliques, il est plus facile

de travailler avec une dénition alternative des opérateurs de Hecke.

Dénition 2.1.6 (Opérateurs de Hecke, prise 2). Soit f > SkΓ0N,ε. Pour tout nombre

premier l, le l-ième opérateur de Hecke est déni par

Tlf lk21

l1

Qu0

f W<@@@@>1 u

0 l

=AAAA? εlf W

<@@@@>l 0

0 1

=AAAA? .

28

La démonstration que les deux dénitions que nous avons données pour les opérateurs de

Hecke sont équivalentes peut être trouvée dans [DSS05, Proposition 5.2.1 et proposition 5.2.2].

Proposition 2.1.7. La propriété de transformation des symboles modulaires sous f ( Tlf est

donnée par

λTlf,P ;a,m l1

Qu0

λf,P ;a um,lm εllk2λf,P ;a,m~l.

Démonstration. Par la proposition 2.1.4, on obtient que

λTlf,P ;a,m m k21φ

TlfW

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?,P,0

.

Le reste de la démonstration s'obtient en appliquant les dénitions et la C-linéarité de φ

comme suit :

λTlf,P ;a,m m k21φ

l

k21

l1

Qu0

f W<@@@@>1 a um

0 lm

=AAAA? εlf W

<@@@@>l al

0 m

=AAAA? ,P,0

lm k21l1

Qu0

φf W

<@@@@>1 a um

0 lm

=AAAA?,P,0

lm k21εlφf W

<@@@@>l al

0 m

=AAAA?,P,0

l1

Qu0

λf,P ;a um,lm m~l k21lk2εlφf W<@@@@>l 0

0 l

=AAAA?<@@@@>1 a

0 m~l=AAAA?,P,0

l1

Qu0

λf,P ;a um,lm lk2εlλf,P ;a,m~l

où la dernière égalité est obtenue en remarquant que f W<@@@@>l 0

0 l

=AAAA? f . Ì

La proposition implique que LTlf b Lf .

On introduit un nouvel opérateur wQ, appelé opérateur d'Atkin-Lehner, qui agit sur les formes

modulaires. Ce dernier sera utilisé pour déduire l'équation fonctionnelle de Lpf,s. Rappelonsque l'entier positif N dénote le niveau de f . Choisissons une factorisation N QQ où Q et Q

sont relativement premiers. Le théorème des restes chinois permet de décomposer le caractère

ε en ε εQ εQ où εQ (resp. εQ) est un caractère modulo Q (resp. Q). Si f > SkΓ0N,ε etx,y,z,t > Z sont tels que QxtQyz 1, alors l'action de wQ sur f est wQf εQyεQxf SWQ

où WQ

<@@@@>Qx y

Nz Qt

=AAAA?. Pour plus de détails sur l'opérateur wQ, en particulier sur le fait que

wQf est une forme parabolique de niveau N et caractère ε1Q εQ , le lecteur peut consulter

[AL78, proposition 1.1]. Dans loc. cit., il est également montré que wQ ne dépend pas du choix

de x,y,z,t > Z. De plus, il est possible de montrer que LwQf Lf .

29

Proposition 2.1.8. Soit a et m relativement premiers tels que m A 0, m,Q 1 et QSm.

Soit a un entier tel que aaQ 1 mod m. Alors, l'équation fonctionnelle pour λ est

λf,P ;a,m εQmε1QaλwQf,P W

<@@@@>0 1

Q 0

=AAAA?;a,m

pour tout P > PkC.Démonstration. On pose b Qaa 1~m de telle sorte que Qaamb 1. Alors, ε1

Q b εQm et on pose WQ

<@@@@>Qa b

Qm Qa

=AAAA?. Le côté droit de l'équation à montrer est donc donné

en utilisant la dénition de wQf et la proposition 2.1.4 par

λf SWQ, P W

<@@@@>0 1

Q 0

=AAAA?;a,m

m

k21φ

f SWQ

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?,P W

<@@@@>0 1

Q 0

=AAAA?,0 .

En utilisant la propriété b) des intégrales modulaires avec r 0,A

<@@@@>0 1

Q 0

=AAAA?, f f SWQ

<@@@@>0 1

Q 0

=AAAA?et P P SA, on obtient

φf SWQ

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?A,P SA2,0

φ

f SWQ

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?, P SA,0 .

Or, WQ

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?A Q

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?et A2 Q

<@@@@>1 0

0 1

=AAAA?. Cela donne

φf SWQ

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?A,P SA2,0

φ

f W Q

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?, P W Q

<@@@@>1 0

0 1

=AAAA?,0 .

Mais

f W Q<@@@@>1 a

0 m

=AAAA? m1~2kf z a

m f W

<@@@@>1 a

0 m

=AAAA?et P W Q

<@@@@>1 0

0 1

=AAAA? P.

Finalement,

λf,P ;a,m εQmε1QaλwQf,P W

<@@@@>0 1

Q 0

=AAAA?;a,m

comme voulu. Ì

2.1.3 Convolutions

Comme nous nous intéressons à interpoler les convolutions de Lf,s par des caractères de Di-richlet χ, nous aurons besoin de trouver une expression pour la convolution de λ. Comme dans

la section 1.4, si f Pªn1 anq

n est une forme parabolique, alors on laisse fχ Pªn1 χnanqn

pour χ un caractère de Dirichlet de conducteur m.

30

Lemme 2.1.9 (Lemme de Birch). Supposons que χ est un caractère primitif modulo m. Alors,

fχz 1

τχ Qa mod m

χaf z a

m .

Démonstration. Par la proposition 1.3.4,

fχz ª

Qn1

τχ,nτχ ane

2πinz

1

τχª

Qn1

Qa mod m

χae2πina~mane2πinz

1

τχ Qa mod m

χa ª

Qn1

ane2πinza~m

1

τχ Qa mod m

χaf z a

m .

Ì

Cela nous donne une expression pour la convolution d'une intégrale modulaire

φfχ,P,r 1

τχ Qa mod m

χaφf W<@@@@>1 a~m0 1

=AAAA?,P,r

1

τχ Qa mod m

χaφf,P W<@@@@>1 a~m0 1

=AAAA?, r

a

m

si χ est un caractère primitif. Toujours sous l'hypothèse que χ est primitif, nous avons pour

les symboles modulaires

λfχ, P mz; b,n φfχ,P nmz bm, b~n

1

τχ Qa mod m

χaφf,P nmz bmW<@@@@>1 a~m0 1

=AAAA?,b~n a~m

1

τχ Qa mod m

χaλf,P ; bm an,nm.

Les valeurs spéciales de Lfψ,j pour 0 B j B k 2 sont liées aux symboles modulaires par la

formule j!mj1

2πijτψLfψ,j 1 Qa mod m

ψaλf,zj ;a,m, (2.2)

voir par exemple [AV75, page 119].

31

2.2 Construction de Lpf,s

Nous sommes maintenant prêt à donner la dénition de la distribution qui sera utilisée pour

dénir la fonction L p-adique de f . On suppose que f > SkΓ0N,ε est une forme propre

pour l'opérateur Tp avec valeur propre ap qui est un entier algébrique par le théorème 1.2.23.

On suppose de plus que le polynôme X2 apX εppk1 possède au moins une racine non

nulle α. C'est équivalent à supposer que p Ñ N et ap x 0. On remarque que si α et β sont les

deux racines de X2 apX εppk1, alors α β ap et αβ εppk1.

Dénition 2.2.1. Pour a,m > Z avec m A 0, on dénit

µf,αP ;a,m 1

αvpmλf,P a,m εppk2

αvpm1λf,P a,m~p

où λf,P a,m λf,P ;a,m dénote que f et P sont vus comme constants.

Proposition 2.2.2. Pour a,m > Z avec m A 0, µf,α satisfait la propriété de distribution

µf,αP ;a,m Qbamodmbmod pm

µf,αP ; b,pm.

Démonstration. Le côté droit de l'équation est

Qbamodmbmod pm

µf,αP ; b,pm Qbamodmbmod pm

1

αvppmλf,P b,mp εppk2

αvppm1λf,P b,m .

Puisque que λf,P b,m ne dépend que de b modulo m, on obtient que

Qbamodmbmod pm

εppk2

αvppm1λf,P b,m p εppk2

αvppm1λf,P a,m.

On additionne puis soustrait le terme εppk2

αvpm1λf,P a,m~p pour faire apparaître l'action de

l'opérateur Tp

Qbamodmbmod pm

µf,αP ; b,pm 1

αvpm1

Qbamodmbmod pm

λf,P b,mp εppk2λf,P a,m~p

εppk2λf,P a,m~p εppk1

αλf,P a,m

1

αvpm1λTpf,P ;a,m εppk2λf,P a,m~p εppk1

αλf,P a,m .

32

L'hypothèse que f est une forme propre pour Tp avec valeur propre ap et le fait que α2apα

εppk1 0 implique que

Qbamodmbmod pm

µf,αP ; b,pm 1

αvpm1ap εppk1

αλf,P a,m εppk2λf,P a,m~p

1

αvpmλf,P a,m εppk2

αvpm1λf,P a,m~p

µf,αP ;a,m.Ì

Comme pour les symboles modulaires, nous avons une formule pour les convolutions de µ.

Proposition 2.2.3. Soit ψ un caractère de Dirichlet de conducteur M relativement premier

à p. Alors, pour n copremier à M ,

µfψ,αψpP Mz; b,n ψpvpn

τψ Qa mod M

ψaµf,αP,Mb na,Mn.

Démonstration. Observons d'abord que

Qa mod M

ψaψpλf,P Mb na~p,Mn~p Qa mod M

ψa~pλf,P Mb na~p,Mn~p Qy mod M

ψyλf,P Mb ny,mn~pen posant y a~p. Comme M,p 1, p est inversible modulo M et a~p parcourt également

un système complet de résidus lorsque a parcourt un tel système. Ainsi, en utilisant la formule

pour la convolution de λ, on obtient

µfψ,αψpP Mz; b,n

ψpvpnτψ Q

a mod M

ψa 1

αvpnλf,P Mb na,Mn εppk2

αvpn1λf,P Mb na,Mn~p

ψpvpnτψ Q

a mod M

ψaµf,αP ;Mb na,Mn.Ì

Pour M un entier plus grand que 0 et copremier à p, on pose

Zp,M limÐ

v

Z~pvMZ Zp Z~MZ,Zp,M lim

Ð

v

Z~pvMZ Zp Z~MZ.

33

Zp,M est l'union des disques ouverts Da,v a pvMZp,M ` Z

p,M indicés par les entiers

naturels a relativement premiers à pM et les entiers naturels v plus grands ou égaux à 1.

On note par Q une clôture algébrique de Q dans C et on xe un plongement Q Cp. Ce

plongement provient du fait que C Cp en tant que corps puisque les deux ont le même degré

de transcendance sur Q. Notons que Cp n'est pas isomorphe à C comme espaces topologiques,

le premier étant totalement non connexe. Soit v la valuation sur Cp qui étend vp normalisée de

telle sorte que vp 1. Soit Op `Cp l'anneau des entiers deCp et soit Op x >Cp vx 0

le sous-anneau des unités. On xe une forme modulaire f > SkΓ0N,ε comme dans la sous-

section précédente et on considère le Cp-espace vectoriel de dimension nie Vf Cp@QLfQ

ainsi que le Op-réseau Ωf ` Vf généré par Lf . Nous prenons maintenant quelques lignes pour

expliquer la motivation derrière l'espace Vf . D'abord, on munit Lf de la structure d'un Q-

espace vectoriel en considérant les générateurs de Lf comme une base libre pour cet espace

que l'on note LfQ. On remarque que µf,αP ;a,m prend ses valeurs dans LfQ. Le but étant

de considérer µf,α comme une distribution (une mesure possiblement non bornée) sur Zp,M ,

on étend les dénitions de φ, λ et µ pour P > PkCp de telle sorte que µf,αP ;a,m prend

maintenant ses valeurs dans Vf . Le réseau Ωf nous donnera une structure entière pour les

valeurs de µf,α.

Notons par x( xp la projection de Zp,M sur Zp. Comme pour les fonctions localement analy-

tiques sur Zp, on dénit de manière analogue les fonctions localement analytiques sur Zp,M .

Dénition 2.2.4. Soit U b Zp,M un ensemble ouvert. Une fonction F U Cp est dite

localement analytique s'il existe un recouvrement de U par des disque Dai,vi tels que, sur

chaque disque, F est donnée par une série de puissances convergente

F x QnC0

bnx ainpà coecients dans Cp. On note par LAU l'ensemble des fonctions localement analytiques

sur U .

Puisque la distribution µf,α n'est pas nécessairement bornée, nous ne pouvons pas utiliser

l'approche des sommes de Riemann (voir la dénition 1.1.30) pour intégrer les fonctions loca-

lement analytiques contre cette distribution. Le théorème suivant nous permet tout de même

de dénir une intégrale à partir de µf,α.

Théorème 2.2.5 ([AV75]). Fixons un entier h tel que 1 B h B k1. Supposons que le polynôme

X2 apX εppk1 possède une racine α > Cp telle que vα @ h. Fixons une telle racine α.

Alors, il existe une unique intégrale U LAU Vf , U,F ( RU F qui satisfait les propriétés

suivantes (v C 1 et a > Z) :

34

1. Cette intégrale est Cp-linéaire en F et additive en U .

2. RDa,v xjp µf,αzj ;a,pvM pour 0 B j @ h.

3. Pour tout n C 0, RDa,vx anp > pnα v α1Ωf .

4. Si F Pªn0 cnx anp converge sur le disque Da,v, alors

SDa,v

F

ª

Qn0

cnSDa,v

x anp .

Lorsque α est une racine de X2apX εppk1 avec vα @ k1, on dira que α est une racine

p-admissible et on écrira RU Fdµf,α pour l'intégrale correspondante. Si la forme modulaire f de

niveau N est telle que p Ñ ap avec p Ñ N et que l'on note α et β les deux racines du polynôme

de Hecke ordonnées de telle sorte que vα B vβ, alors vα 0 et vβ k 1. On déduit

que lorsque p Ñ ap, il y a une unique racine p-admissible et on omettra d'y faire référence en

notant l'intégrale correspondante par RU Fdµf . Lorsque f est telle que pSap et p Ñ N , alors les

deux racines sont p-admissibles et il existe deux intégrales RU Fdµf,α et RU Fdµf,β . Le cas pSNest plus dicile à traiter, mais nous supposerons la plupart du temps que p Ñ N .

Dénition 2.2.6. Un caractère p-adique est un homomorphisme de groupes continu χ

Zp,M C

p pour un certain M .

Si M1SM , Zp,M1

est un quotient de Zp,M et on peut identier les caractères de Z

p,M1avec

certains caractères de Zp,M . On dira qu'un caractère p-adique χ sur Z

p,M est primitif s'il ne

se factorise pas de la façon suivante

Zp,M Z

p,M1C

p

pour M1 un certain diviseur propre de M . Pour tout caractère p-adique χ, il existe un unique

M tel que χ est primitif sur Zp,M . Ce M est un entier plus grand ou égal à 1 copremier à

p qui est appelé le p-conducteur de χ. De plus, tout caractère de Dirichlet primitif modulo

pvM peut être vu comme un caractère de p-conducteur M en le composant avec l'application

de réduction modulo pvM . Par exemple, les deux homomorphismes de la sous-section 1.1.1

x ( ωx et x ( `xe sont des caractères p-adiques de p-conducteur 1. Un autre exemple de

caractères p-adiques est les caractères de la forme χx xjpψx où j est un entier et ψ est

un caractère d'ordre ni. Les caractères de cette forme sont appelés caractères spéciaux.

Dénition 2.2.7. Soit α une racine p-admissible de f et χ un caractère p-adique de p-

conducteur M . La fonction L p-adique de f en χ est donnée par

Lpf,α,χ SZ

p,M

χdµf,α.

35

Si le p-conducteur de χ est M et que M1SM , alors on pourrait croire que RZ

p,Mχdµf,α

RZ

p,M1

χdµf,α, mais ce n'est pas le cas en général. Ainsi, la dénition n'est valide que pour les

caractères primitifs sur Zp,M .

Cela a du sens d'intégrer les caractères p-adiques, car ceux-ci sont localement analytiques.

Un caractère χ Zp,M C

p peut être uniquement factorisé comme un produit de la forme

χ χ0χ1 où χ0 Z~pMZ Cp et χ1 1 pZp C

p . Le relèvement de χ0 à Zp,M est

une fonction localement constante. Le groupe 1 pZp est topologiquement cyclique. Soit γ un

générateur topologique de 1 pZp `γe. Soit a un élément quelconque de 1 pZp. Alors, on

peut écrire a γs pour un certain s > Zp. La continuité de χ1 implique que χ1a χ1γs exps logχ1γ est localement analytique en s. Finalement, le produit χx χ0xχ1`xeest exprimé comme une série de puissances sur chaque disque a pMZp,M .

La condition 2 du théorème 2.2.5 nous dit que µf,α est uniquement déterminée par ses valeurs

évaluée en xjp, 0 B j @ k 2, sur les disques Da,v pourvu qu'elle respecte les conditions 1,3

et 4. Soit Xn HomcontZp,M ,C

ptors l'ensemble des caractères p-adiques d'ordre ni. Alors,

la condition 2 est équivalente à connaître les valeurs RZ

p,Mψxxjpµf,α pour 0 B j @ k 2 et

tout caractère de Xn. En eet, supposons que la condition 2 tient et soit ψ un caractère de

conducteur pvM . Le fait que ψ soit localement constant sur a MpvZp,M donne

SZ

p,M

ψxxjpµf,α Qamod pvMa,pM1

ψaSDa,v

xjpµf,α.

Réciproquement, supposons que la valeur de RZ

p,Mψxxjpµf,α est connue pour tout caractère

d'ordre ni et 0 B j @ k 2. Nous voulons déterminer l'intégrale de xjp sur un disque Da,v,a,pM 1. Remarquons d'abord que

SDa,v

xjpµf,α SZ

p,M

χapvMZp,M xxjpµf,α.Par la proposition 1.3.10, nous pouvons décomposer la fonction caractéristique comme une

somme de caractères. Posons Xn,v l'ensemble des caractères de conducteur pvM . Alors,

SZ

p,M

χapvMZp,M xxjpµf,α SZ

p,M

1

φMp 1pn1 Qψ>Xn,v

ψa1ψxxjpµf,α

1

φMp 1pn1 Qψ>Xn

ψa1SZ

p,M

ψxxjpµf,α.Dénition 2.2.8. Pour s > Zp, soit χsx le caractère p-adique déni par la formule

χsx `xpes expps logp`xpe.On note Lpf,α,χ,s Lpf,α,χχs1 RZ

p,Mχx`xpes1dµf,αx.

36

Remarque 2.2.9. La normalisation que nous donnons ici de la fonction L p-adique n'est pas

tout à fait la même que celle donnée dans [MTT86]. Dans loc. cit., Lpf,α,χ,s est dénie

en intégrant plutôt χx`xpes. Il s'agit d'un choix purement esthétique. Avec notre choix de

normalisation, l'axe de symétrie pour l'équation fonctionnelle de Lpf,α,χ,s sera en s 1

tout comme l'axe de symétrie pour la fonction L complexe de f est en s 1.

Proposition 2.2.10. La fonction Lpf,α,χ,s est localement analytique en s et est dénie

pour s > Zp.

Démonstration. Voir le théorème [Vi²76, page 254]. Ì

Dénition 2.2.11. Un groupe de Lie p-adique G sur Cp est une variété sur Cp qui possède

une structure de groupe telle que l'application de multiplication est une fonction localement

analytique.

L'ensemble des caractères p-adiques HomcontZp,M ,C

p admet une structure de groupe de Lie

p-adique. Nous dirons qu'un caractère est modéré s'il est trivial sur 1pZp et nous dirons qu'il

est sauvage s'il est trivial sur Z~pMZ. Comme nous l'avons déjà remarqué, chaque caractère

sur Zp,M peut être décomposé uniquement comme le produit d'un caractère modéré et d'un

caractère sauvage. Pour u >Cp avec Su 1S @ 1, on dénit un caractère sauvage particulier par

χu Zp,M Z

p 1 pZp Cp

où les deux premières èches sont les surjections naturelles et la troisième èche envoie un

choix de générateur topologique γ de 1 pZp sur u. Soit χ1 un caractère sauvage quelconque.

Nous savons que γ 1 mod p, donc Âγ limnª γpn 1. De plus,

Æχ1γ χ1 limnª

γpn 1

car χ1 est un homomorphisme continu. Donc,

limnª

χ1γ 1pn limnª

pn

Qi0

pniχ1γi1pni 0,

car les termes centraux 0 @ i @ pn tendent vers 0 et χ1γpn tend vers 1. Ainsi, Sχ1γ 1S @1 et χ1γ > u > Cp Su 1S @ 1. Il suit que tout caractère sauvage est donné par χupour un certain u. Notons que cette représentation de χ1 dépend du choix d'un générateur

topologique. Pour ψ un caractère modéré, l'application u ( ψχu identie le disque u > Cp

Su1S @ 1 avec l'ensemble des caractères sur Zp,M dont la partie modérée est égale à ψ. Donc,

HomcontZp,M ,C

p est une union nie et disjointe de disques unités ouverts de Cp en posant

T u1. De plus, l'application de multiplication des caractères χ1T χ1X 1T 1X

37

est localement analytique. Nous avons donc la paramétrisation T ( χ1T , χ1T γa 1T a.Avec cette coordonnée locale,

Lpf,α,ψ,T SZ

p,M

ψxχ1T xµf,αx SZ

p,M

ψx1 T axµf,αx

où, pour un x xé, a est tel que `xe γa. Donc, ax logp`xe

logp γ. Finalement,

Lpf,α,ψ,T SZ

p,M

ψx1 T logp`xe

logp γ µf,αx.

En écrivant 1 T logp`xe

logp γ comme une somme de coecients binomiaux, nous voyons que

Lpf,α,ψ,T ª

Qn0

TnSZ

p,M

ψx log`xelog γ

nµf,αx

est localement analytique en T . Le changement de l'ordre de sommation et d'intégration se

fait en utilisant la partie 4 du théorème 2.2.5. Le passage d'une coordonnée à l'autre se fait

en posant T γs1 1.

Les caractères p-adiques ψxxjp avec partie modérée égale à ψ0 correspondent à T ζn γj1 où

ζn est un racine pn-ième de l'unité. Ainsi la condition 2 du théorème 2.2.5 peut être reformulée

en disant que Lpf,α,ψ0,T est uniquement déterminée par ses valeurs en T ζn γj 1 pour

toute racine pn-ième de l'unité et 0 B j @ k 2.

2.3 Équation fonctionnelle

La fonction zêta de Riemann satisfait l'équation fonctionnelle

ζs 2sπs1 sinπs~2Γ1 sζ1 soù Γs est la fonction gamma. La fonction L p-adique dénie dans la section précédente

satisfait elle aussi une équation fonctionnelle reliant sa valeur en s et 2s. Le premier résultat

vers l'équation fonctionnelle de Lpf,α,χ,s est donnée dans la proposition suivante.

Proposition 2.3.1. Supposons que ψ est un caractère de Dirichlet de conducteurM copremier

à p. Alors, pour tout caractère p-adique χ avec p-conducteur Mχ copremier à M , nous avons

Lpf,α,χψ χMψMχτψLpfψ,αψp,χ.En particulier, pour j > Z et s > Zp,

Lpf,α,ψxjp,s M j`Mesψ1τψLpfψ,αψp,xjp,s.

38

Démonstration. Soit n pvM et P z un polynôme de degré plus petit ou égal à k 2. La

proposition 2.2.3 donne

SDb,v

P Mzµfψ,ψpαz µf

ψ,ψpαP Mz; b,n

ψpvτψ Q

a mod M

ψaµf,αP ;Mb na,Mnψpvτψ Q

a mod M

ψaSDMbna,v

P zµf,αz

1

τψψ 1

Mχ Qa mod M

SDMbna,v

ψapvMχP zµf,αz

1

τψψ 1

Mχ Qa mod M

SDMbna,v

ψzP zµf,αzcar ψ est constant sur le disque DMb na,v. Il suit que

τψψMχSZ

p,Mχ

P Mzµfψ,ψpαz S

Z

p,MχM

ψzP zµf,αz.Puisque ces intégrales sont entièrement déterminées par leur valeur sur les polynômes de degré

plus petit ou égal à k 2 sur les disques Db,v, l'équation tient aussi pour χ un caractère

p-adique et dans ce cas,

τψψMχχMLpfψ,ψpα,χ Lpf,α,ψχ.Ì

Remarque 2.3.2. Pour la convolution de f par le caractère ψ, la valeur propre en p de fψdevient ψp apf et le polynôme de Hecke associé est X2 ψpapfX εpψ2ppk1

(voir [Kob93, Proposition III.3.17] ). Donc, si α est une racine p-admissible pour f , ψpαsera une racine p-admissible pour fψ.

Comme dans la section 2.1, on xe un entier M copremier à p et on dénit Q comme étant

le plus grand diviseur positif de N copremier à pM . On écrit N QQ et ε εQεQ comme

avant. On suppose que Q divise pvM pour v assez grand et on voit εQ comme un caractère

sur Zp,M . On considère Q comme un élément de Z

p,M . On note ε εQε1Q et f ( f

wQf . Si f est une forme propre pour Tl (l Ñ Q) avec valeur propre al, alors f sera une

forme propre pour Tl avec valeur propre alε1Q l [AL78, Proposition 1.2]. Ainsi, si α est une

racine p-admissible de X2 apX εppk1, α ε1Q pα sera une racine p-admissible de

X2 apε1Q pX εpε2

Q ppk1.

Pour U un sous-ensemble ouvert et compact de Zp,M , on laisse U dénoter l'image de U

sous l'application x ( 1Qx . Ainsi, Da,v Da,v où a est n'importe quel entier tel que

39

aaQ 1 mod pvM . Si F x est une fonction localement analytique sur l'ouvert U , on pose

F la fonction localement analytique sur U donnée par F x Qk2~2xk2p F 1~Qx.

Remarquons que

P P W

<@@@@>0 1

Q 0

=AAAA?.

Proposition 2.3.3. Supposons que v C 1 est assez grand de telle sorte que Q divise pv1M .

Alors, pour a comme ci-haut,

µf,α,P ;a,pvM εQMε1Qaµf,α,P ;a,pvM.

Démonstration. Il s'agit de la proposition 2.1.8 écrite pour la distribution µ avec la notation

introduite dans cette section. Ì

Corollaire 2.3.4. Pour F une fonction localement analytique sur un sous-ensemble ouvert et

compact U ` Zp,M , on a

SUFdµf,α εQMεQQS

U

εQF dµf,α .

Démonstration. Le résultat suit en montrant l'égalité pour U Da,v pour v susamment

grand et pour F P > PkCp [MTT86, Corollary 1, page 24]. Ì

En prenant F χ un caractère p-adique, on obtient l'équation fonctionnelle pour la fonction

L p-adique.

Corollaire 2.3.5. Si χ et ε1Qχ sont primitifs sur Z

p,M , alors

Lpf,α,χ,s εQMεQQQk2~2χ1Q`Qe1sLpf,α, εQxk2p χ1,2 s.

Soit ψ un caractère de Dirichlet et M le p-conducteur de ψ. Posons

ηpψ,j 1j1εQMεQQQk2~2jψQ.Alors, pour χ xjpψ, l'équation fonctionnelle devient

Lpf,α,ψxjp,s ηpψ,j`Qe1sLpf,α,εQxk2jp ψ1,2 s

si εQψ1 a le même p-conducteur que ψ. L'équation fonctionnelle peut être simpliée en

imposant des hypothèses supplémentaires. Ainsi, supposons de plus que le caractère ε de f

est trivial et que f est une forme primitive de poids pair. Sous ces conditions, f est une forme

propre pour l'opérateur wQ avec valeur propre cQ 1. Supposons que j k 2~2, alors,Lpf,α,ψxk2~2

p ,2 s 1k~2cQ`Qes1ψQLpf,α,ψxk2~2p ,s.

40

Dénition 2.3.6. On dénit le signe p-adique de f et ψ par signpf,ψ 1k~2cQψQ.Si on utilise la variable T , l'équation fonctionnelle prend la forme

Lpf,α,ψ, 1

1 T 1 1k~2cQ1 T

logp`Qe

logp γ ψQLpf,α,ψ,T . (2.3)

2.4 Périodes et valeurs d'interpolation

Nous allons maintenant rendre explicite le lien entre Lpf,α,ψ,s et Lf,ψ,s.Dénition 2.4.1. Si χx xjp ψx est un caractère spécial avec condψ pvM , alors le

multiplicateur p-adique est déni par la formule

epα,χ epα,j,ψ 1

αv1

ψpεppk3j

α1

ψppj1

α .

Si p divise le conducteur de ψ, i.e. si v A 0, alors le multiplicateur est simplement 1αv .

Proposition 2.4.2. Si χ est comme dans la dénition du multiplicateur, alors

Lpf,α,χ epα,χ mj1

τψ λfψ,zj ; 0,1 epα,χ mj1

2πij j!τψ Lf,ψ,j 1.

Démonstration. Pour a relativement premier à pM et v C 1, soit

Da,v a pvMZp,M ` Zp,M .

La preuve se fait en deux étapes. Supposons d'abord que v A 0. On utilise les dénitions et la

partie 2 du théorème 2.2.5 pour calculer la valeur de Lpf,α,χ,Lpf,α,χ S

Z

p,M

ψxxjpµf,αx Qa mod pvM

ψaSDa,v

xjpµf,αx Qa mod pvM

ψaµf,αzj ;a,pvM Qa mod pvM

ψa 1

αvλfzj ;a,pvM εppk2

αv1λfzj ;a,pv1M

1

αvj!pvMj1

2πijτψLf,ψ,j 1.

41

Le terme Pa mod pvM ψa 1αvλfzj ;a,pvM est égal à 1

αvj!pvMj1

2πijτψLf,ψ,j 1 par la formule

2.2. Remarquons que

Qamod pvM

abmod pv1M

ψaλfzj ;a,pv1M λfzj ; b,pv1M Qamod pvM

abmod pv1M

ψa

car λfzj ;a,pv1M ne dépend que de la valeur de a modulo pv1M . Notons par ζpvM une

racine primitive pvM -ième de l'unité et notons par ζp une racine primitive p-ième de l'unité.

Alors,

Qamod pvM

abmod pv1M

ψa p1

Ql0

ζblpv1M

pvM

ζbpvM

p1

Ql0

ζ lpv1M

pvM

ζbpvM

p1

Ql0

ζ lp

0.

Il suit que

Qa mod pvM

ψaεppk2

αv1λfzj ;a,pv1M

Qb mod p

Qamod pvM

abmod pv1M

ψaεppk2

αv1λfzj ;a,pv1M 0.

Pour le cas v 0, les calculs sont eectués dans la démontration de la proposition de la section

14 de [MTT86]. Ì

En raison de leur rôle dans la formule d'interpolation de Lpf,α,χ, les multiplicateurs epα,χsont parfois appelés facteurs d'interpolation.

L'application ι Lf Lf , φf,P mz a, a~m ( φf,P mz a,a~m induit une involu-

tion sur l'espace vectoriel Vf Cp@LfQ. Pour les symboles modulaires, ιλf,P ;a,m

λf,P ;a,m. On peut donc décomposer Vf en -espaces propres par rapport à cette involu-

tion, disons Vf V f >V

f . Par un théorème de Shimura [GS94, Theorem 3.5.4], les espaces

V f sont de dimensions 1 et il existe donc deux nombres complexes non nuls Ω

f tels que

V f CpΩ

f . Les nombres Ω

f sont appelés périodes de f .

Proposition 2.4.3. Soit sgnχ χ1 le signe du caractère p-adique χ. Alors, Lpf,α,χest un élément de V sgnχ

f .

42

Démonstration. Supposons que χ1 1 et écrivons

Lpf,α,χ Lpf,α,χ Ω

f Lpf,α,χ Ω

f

selon sa décomposition dans l'espace V f >V

f . Nous voulons montrer que Lpf,α,χ est nul.

Soit ψ la partie modérée du caractère χ. Alors, nous pouvons paramétrer les caractères p-

adiques avec partie modérée égale à ψ par la variable T de la façon suivante : ψ ( ψχ1T .

Sur ce disque, Lpf,α,ψ,T est uniquement déterminée par ses valeurs en T ζn γj 1 où

ζn est une racine pn-ième de l'unité et 0 B j B k 2. Alors la propriété d'interpolation pour

Lpf,α,ψ, ζn γj 1 donne, en utilisant la formule 2.2,

Lpf,α,ψ, ζn γj 1 epα,ψ mj1

τψ j!

2πij Lfψ,j 1 epα,ψ Q

a mod m

ψaλf,zj ;a,m.Étudions de plus près la somme dans cette dernière égalité. Pour ce faire, posons

λf,zj ,a,m λf,zj ;a,m λf,zj ;a,m2

.

Il suit que λf,zj ;a,m > V f . Remarquons que 1 > Z~pMZ, donc le signe de χ est

déterminé par le signe de ψ. Puisque ψa ψa par hypothèse,Q

a mod m

ψaλf,zj ;a,m Qa mod m

ψaλf,zj ;a,m ψaλf,zj ;a,m2

Qa mod m

ψaλf,zj ;a,m.Il suit que Lpf,α,ψ, ζn γj 1 > V

f et donc que Lpf,α,ψ, ζn γj 1 Lpf,α,ψ, ζn γj 1Ω

f

pour ces valeurs spéciales. Or, Lpf,α,ψ,T est uniquement déterminée par ces valeurs d'où il

suit que

Lpf,α,ψ,T Lpf,α,ψ,T Ω

f > Vf .

Puisque le caractère χ est donné par le caractère ψχ1T0 pour un certain T0 > OCp , Lpf,α,χ >V f comme voulu. Si le signe du caractère ψ est plutôt 1, on peut utiliser le même argument

avec

λf,zj ,a,m λf,zj ;a,m λf,zj ;a,m2

pour montrer que Lpf,α,χ > V f . Ì

Ainsi, pour ψ un caractère modéré xé, on verra Lpf,α,ψ,s comme prenant ses valeurs dans

Cp Ωsgnψf . Il est important de remarquer que les périodes Ω

f données par le théorème de

Shimura ne sont pas uniques et que l'obtention d'une fonction L p-adique à valeurs dans Cp

dépend du choix de ces périodes.

43

Remarque 2.4.4. Soit E une courbe elliptique sur Q. Par le théorème de modularité [DSS05,

Theorem 8.8.3], il est possible d'associer à E une forme primitive fE > S2Γ0N pour un

certain N et on dénit la fonction L p-adique de E comme étant la fonction LpfE ,α,χ.Dans ce cas, les périodes peuvent être déterminées à un signe près en choisissant les périodes

de Néron [Pol03, section 5.2.1]. Si f est une forme primitive et satisfait en plus des conditions

techniques, Vatsal [Vat99] a construit des périodes canoniques pour f .

Il est possible d'être plus précis quant à l'image de Lpf,α,ψ,s. Rappelons que Kf est le corps

obtenu en ajoutant à Q les coecients de Fourier de f . Soit K la complétion de Kf en v où

v est l'unique premier de Kf au-dessus de p qui tombe dans x >Cp vx A 0.Dénition 2.4.5. Soit ψ un caractère de Dirichlet de conducteur M . On dénit

Kψ Kψ1,ψ2, . . . ,ψM 1le corps obtenu à partir de K en ajoutant les valeurs de ψ et Oψ son anneau d'entiers. Fina-

lement, on pose Λψ OψJT K.

Proposition 2.4.6. La fonction Lpf,α,ψ,s prend ses valeurs dans Kψα Ωsgnψf .

Démonstration. Voir la discussion [Pol03, page 531]. Ì

Soit k le corps résiduel deK. Lorsque vpap 0, il y a une unique racine α p-admissible pour le

polynôme X2apXεppk1 qui est nécessairement une unité p-adique. En eet, le polynôme

X2 apX > kX possède une racine simple α x 0. Par le lemme de Hensel généralisé, il existe

un relèvement α > OK de α. Ainsi, α > K et Lpf,α,ψ,s prend ses valeurs dans Oψ Ωsgnψf

par la partie 3 du théorème 2.2.5. Lorsque vpap A 0, les deux racines α et β du polynôme

X2 apX εppk1 sont p-admissibles avec valuations plus grandes ou égales à 1. Dans ce

cas-ci, on ne peut donc rien dire de plus sur les valeurs de la fonction L p-adique.

Une conséquence de la discussion précédente est que, lorsque vpap 0, la fonction Lpf,ψ,T

Ωsgnψf

est un élément de Λψ. Lorsque pSap, les coecients de Lpf,α,ψ,T

Ωsgnψf

> KψαJT K ne sont plus

entiers. On aura même en général que Lpf,α,ψ,T

Ωsgnψf

~> Λψ@Kψα.

2.5 Le cas pSap

Lorsque pSap, µf,α n'est pas une mesure et les coecients de Lpf,α,ψ,T ne sont pas entiers.Cela cause problème quand nous voulons étudier des questions de congruences entre les co-

ecients des fonctions L p-adiques. Pour pallier à ce problème, Pollack [Pol03] a déni une

44

paire de fonctions L p-adiques associée à une forme modulaire f et racine α. Cette paire de

fonctions Lp , appelées fonctions L p-adiques plus et moins, satisfait la relation

Lpf,α,ψ,T logpT Lpf,α,ψ,T logpT L

pf,α,ψ,T α.De plus, les coecients des fonctions L

pf,α,ψ,T sont entiers. Dans cette section, nous don-nons la dénition des fonctions L plus et moins et nous présentons leur équation fonctionnelle.

Par la suite, nous discutons brièvement d'une généralistion de ces fonctions due à Sprung

[Spr17].

Soit f une forme modulaire primitive de poids k, niveau N et caractère ε. On supposera

toujours que p,N 1. Soit K, Kψ, Oψ et Λψ comme dans la sous-section précédente. Soit

ΦnT Pp1t0 T

pn1t le pn-ième polynôme cyclotomique, soit ζn une racine primitive pn-ième

de l'unité et soit γ un générateur topologique de 1 pZp.

Dénition 2.5.1. Pour n'importe quel entier j, on dénit

logp,jT 1

p

ª

Mn1

Φ2nγj1 T p

,

logp,jT 1

p

ª

Mn1

Φ2n1γj1 T p

.

Proposition 2.5.2. Les séries de puissances logp,jT >QpJT K convergent sur le disque unité

ouvert x > Cp SxS @ 1. De plus, les zéros de logp,jT (resp. logp,jT ) sont précisément

γj ζ2n 1 (resp. γj ζ2n1 1) pour n A 0 et ces zéros sont tous simples.

Démonstration. Voir [Pol03, lemma 4.1]. Ì

Corollaire 2.5.3. Les séries de puissances

logpT k2

Mj0

logp,jT ,

logpT k2

Mj0

logp,jT dans QpJT K convergent sur le disque unité ouvert.

Soit µ une distribution sur Zp. La transformation d'Amice µ ( RZp1 T xµx induit un

isomorphisme d'espaces de Fréchet entre l'ensemble des distributions sur Zp à valeurs dans Qp

et l'ensemble des fonctions analytiques sur OCp à coecients dans Qp. Les fonctions logpT sont analytiques, donc elles peuvent être exprimées comme des distributions par la transfor-

mation d'Amice inverse. Dans le cas k 2, ces distributions ont été entièrement caractérisées

dans [DL17].

45

Remarque 2.5.4. Les demi-logarithmes plus et moins logpT dépendent de k, le poids de f ,et du choix d'un générateur topologique γ. L'appellation demi-logarithme provient du fait qu'il

est possible de montrer que

p2 logp,jT logp,jT logpγj1 T γj 1 T 1

.

Lorsque f est une forme modulaire de poids k 2, les séries de puissances logpT satisfontune équation fonctionnelle par rapport au changement de variable T ( 1

1T 1. Pour mon-

trer ce résultat, nous avons d'abord besoin d'un lemme sur le comportement des polynômes

cyclotomiques lorsque l'on procède au changement de variable.

Lemme 2.5.5. Les polynômes cyclotomiques satisfont l'équation fonctionnelle

Φn1~1 T Φn1 T 1 T pn1p1.

Démonstration. Par dénition,

Φn1~1 T p1

Qt0

1

1 Tp

n1t

1 T pn1p1p1

Qt0

1 T pn1t 1 T pn1p1Φn1 T .

Ì

Proposition 2.5.6. Soit

W 1 T ª

Mk1

1 T p2k1p1,

W 1 T ª

Mk1

1 T p2k2p1.

Alors, les demi-logarithmes plus et moins satisfont l'équation fonctionnelle

logp 1

1 T 1 logpT W 1 T .

Démonstration. Nous suivons la démonstration faite dans [Pol03, Lemma 4.6]. Par dénition,

logp 1

1 T 1 1

p

ª

Mk1

Φ2k1~1 T p

1

p

ª

Mk1

Φ2k1 T 1 T p2k1p1

p

logpT W 1 T .Un argument similaire s'applique pour montrer l'équation fonctionnelle pour logpT . Ì

46

Nous énonçons maintenant le théorème clé de [Pol03]. Ce théorème nous donne une factori-

sation de la fonction L p-adique de f en deux fonctions L p-adiques, appelées fonctions L

p-adiques plus et moins.

Théorème 2.5.7. Soit f une forme modulaire de poids k. Si p est impair et ap 0, alors

Lpf,α,ψ,T Ωsgnψf

Lpf,ψ,T logpT L

pf,ψ,T logpT α,où L

pf,ψ,T > Λψ@Kψ.

Démonstration. Voir [Pol03, Theorem 5.1]. Ì

Comme les fonctions Lpf,α,T et Lpf,β,T , les fonctions Lp satisfont une équation fonction-

nelle. Dans [Pol03], le résultat est énoncé pour les fonctions associées à une courbe elliptique.

Nous donnons une démonstration un peu plus générale pour les fonctions associées à une

forme modulaire de poids 2.

Théorème 2.5.8. Soit f une forme primitive de poids 2 avec caractère ε trivial. Soit Lpf,ψ,T

comme dans le théorème 2.5.7. Supposons que l'indice de ramication e de Kψ~Qp est impair.

Alors,

Lpf,ψ,T cQ1 T

logp`Qe

logp γ ψQW 1 T Lp f,ψ, 1

1 T 1 .

Démonstration. Fixons une racine p-admissible α du polynôme de Hecke X2 apX εpp X2 p. Rappelons l'équation fonctionnelle pour Lpf,α,ψ,T :

Lpf,α,ψ,T cQ1 T logp`Qe

logp γ ψQLp f,α,ψ, 1

1 T 1 . (2.4)

Par le théorème 2.5.7, le côté gauche de l'équation est

Lpf,ψ,T logpT L

pf,ψ,T logpT α.De manière analogue, le côté droit est

cQ1 T logp`Qe

logp γ ψQ Lp f,ψ, 1

1 T 1 logp 1

1 T 1

Lp f,ψ, 1

1 T 1 logp 1

1 T 1 α .

En utilisant l'équation fonctionnelle 2.5.6 pour logp et en réarrangeant l'égalité 2.4 de telle

sorte que tous les termes soient d'un côté et tous les termes de l'autre, on obtient

que

logpT Lpf,ψ,T cQ1 T

logp`Qe

logp γ ψQW 1 T Lp f,ψ, 1

1 T 1

47

doit être égal à

α logpT Lpf,ψ,T cQ1 T

logp`Qe

logp γ ψQW 1 T Lp f,ψ, 1

1 T 1 .

Soit v la valuation sur Kψ normalisée de telle sorte que vp 1. Alors, les coecients non nuls

du côté gauche de l'équation ont tous une valuation de n~e pour certains n > Z, alors que les

coecients non nuls du côté droit ont tous une valuation de 2me2e pour certains entiers m > Z

à cause du facteur α qui est dans une extension quadratique de Kψ et qui a une valuation de

1~2. Or, il est impossible qu'un coecient non nul ait une valuation avec dénominateur pair

et impair en même temps. Cela force les deux termes de l'égalité à être nuls. Donc,

logpT Lpf,ψ,T cQ1 T

logp`Qe

logp γ ψQW 1 T Lp f,ψ, 1

1 T 1 0.

Puisque logpT x 0, il suit que

Lpf,ψ,T cQ1 T

logp`Qe

logp γ ψQW 1 T Lp f,ψ, 1

1 T 1

si l'on suppose que Λψ@Kψ est un domaine intègre. Mais cela suit du fait queKψ est un corps

et que Oψ est un domaine intègre (si x,y > Oψ sont tels que xy 0, alors vxy vxvy v0 ª. Ce qui implique que vx ª ou vy ª, donc x 0 ou y 0.) et cela complète

la démonstration. Ì

Finalement, nous discutons du cas plus général où pSap (ap n'est pas nécessairement nul). Dans

cette situation, il est encore possible de factoriser les fonctions Lpf,α,ψ,T et Lpf,β,ψ,T .Théorème 2.5.9. Fixons un caractère modéré ψ. Supposons que pSap, alors il existe une pairede fonctions L®

p, L¬p telle que

Lpf,α,ψ,T

Ωsgnψf

,Lpf,β,ψ,T

Ωsgnψf

L®pf,ψ,T , L¬

pf,ψ,T Logα,β1 T

où L®pf,ψ,T ,L¬

pf,ψ,T > Λψ et Logα,β1T est une matrice 22 explicite qui converge sur

le disque unité ouvert de Cp.

Démonstration. Voir [Spr17, Theorem 2.14]. Ì

Remarque 2.5.10. Dans [Spr17], les fonctions ® ~ ¬ sont dénotées ÂL® ~ ¬p et la matrice de Log

est notée ÄLog. Nous avons décidé d'omettre les chapeaux pour alléger la notation.

Les fonctions ® ~ ¬ généralisent les fonctions de Pollack. En eet, lorsque ap 0, L®p L

p à

une unité près. Il en est de même pour L¬p.

48

Théorème 2.5.11. Les fonctions ® ~ ¬ satisfont l'équation fonctionnelle

L® ~ ¬p f,ψ,T cQ1 T

logp`Qe

logp γ ψQL® ~ ¬p f,ψ, 1

1 T 1 .

Démonstration. Voir [Spr17, Theorem 5.19]. Ì

49

Chapitre 3

Conséquences de l'équation

fonctionnelle

Ce chapitre comporte des résultats sur les coecients des fonctions L p-adiques. Nous pre-

nons quelques lignes pour motiver l'étude de ces coecients. Comme nous avons vu, la fonc-

tion Lpf,α,s (resp. Lpf,α,T ) est une fonction localement analytique par rapport à la

variable s > Zp (resp. T > OCp). Il est donc possible d'écrire cette fonction comme une

série de puissances et d'étudier les coecients qui apparaissent dans ce développement. Si

Lpf,α,s Pªn0 ans 1n et que f est une forme modulaire qui correspond à une courbe

elliptique E par le théorème de modularité, alors il est conjecturé que le premier coecient

non nul de Lpf,α,s est étroitement lié à des invariants arithmétiques de E. Pour rendre

cette conjecture un peu plus précise, nous énonçons quelques résultats de base sur les courbes

elliptiques.

Dénition 3.0.12. Une courbe elliptique sur Q est une courbe algébrique dénie par une

équation de la forme

E y2 x3 ax b

où a,b >Q et fx x3axb ne possède pas de racine multiple. On note par EQ l'ensemble

des points rationnels sur la courbe E, c'est-à-dire,

EQ x,y >Q2 y2 x3 ax b.

Si l'on ajoute un point à l'inni aux nombres rationnels, donc si l'on considère E comme

une courbe projective sur le plan projectif P1Q, alors il est possible de munir EQ de la

structure d'un groupe abélien ([Kob93, Chapter 1, section 7] pour plus de détails). Un résultat

classique démontré par Mordell est que le groupe EQ est de type ni.

50

Théorème 3.0.13 (Mordell). Le groupe abélien EQ est de type ni. En particulier,

EQ Zr?∆

où ∆ est un groupe ni.

La quantité r >N du théorème est appelé le rang de E et correspond au nombre de générateurs

d'ordre inni de EQ. En général, il est dicile de déterminer le rang d'une courbe elliptique

donnée.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) prédit un lien entre le premier coecient

non nul du développement de Taylor de la fonction L complexe de E et le rang de E.

Conjecture 3.0.14 (Conjecture faible de BSD). Soit ords1LE,s l'ordre d'annulation de la

fonction LE,s en s 1. Nous avons l'égalité ords1LE,s r.En utilisant la formule d'interpolation de LpE,α,s, il est possible d'obtenir un analogue

p-adique de cette conjecture.

Conjecture 3.0.15 (Conjecture faible de BSD p-adique). Supposons que α x 1, alors nous

avons l'égalité ords1LpE,α,s r. Si α 1, alors ords1LpE,α,s r 1.

La condition imposée sur α provient du fait que, si α x 1, alors le multiplicateur p-adique epαest non nul et l'ordre d'annulation en s 1 de LpE,α,s est le même que celui de LE,s. Siα 1, alors epα 0 et il est conjecturé dans [MTT86] que l'ordre d'annulation de LpE,α,sdevrait être un de plus que l'ordre d'annulation de LE,s. Cette conjecture (sur les ordres

d'annulation, pas BSD) a été démontrée par Greenberg-Stevens [GS94].

Remarque 3.0.16. Il existe aussi une conjecture forte de BSD. Celle-ci prédit que le premier

coecient non nul de LE,s peut être exprimé en fonction d'invariants de la courbe elliptique.

Cette version de la conjecture est l'un des problèmes du millénaire de l'Institut Clay.

3.1 Coecients directeurs et sous-directeurs

Dénition 3.1.1. Soit gX une fonction complexe ou p-adique et supposons qu'elle est don-

née par une série de la forme gX Pªnm anX

n. Alors, le premier coecient non nul amest appelé le coecient directeur de gX et le second coecient non nul am1 est appelé le

coecient sous-directeur de gX.Puisque le coecient directeur de LE,s encode plusieurs informations de nature arithmétique

par la conjecture BSD, il est possible de se demander si le coecient sous-directeur de LE,s

51

pourrait également nous apporter de nouvelles informations sur la structure de E. La réponse

est non puisqu'un résultat de Wuthrich [Wut17] montre que le coecient sous-directeur n'est

qu'un multiple du coecient directeur.

Théorème 3.1.2. Soit E une courbe elliptique sur Q. Soit LE,s ars 1r ar1s 1r1 le développement de Taylor de LE,s autour de s 1. Alors,

ar1 γ log2π 1

2logNar

où γ est la constante d'Euler et N est le conducteur de E.

Démonstration. Le résultat est obtenu en dérivant l'équation fonctionnelle pour LE,s. Nousferons la preuve en détail pour le cas de la fonction L p-adique. Pour la fonction L complexe,

le lecteur peut consulter [Wut17]. Ì

Puisque la démonstration de ce résultat n'utilise que l'équation fonctionnelle de LE,s, Wu-

thrich fait la remarque qu'un résultat similaire peut être obtenu pour n'importe quelle fonction

L satisfaisant une équation fonctionnelle similaire à celle de LE,s. Suivant cette philosophie,Bianchi a démontré qu'un résultat de même nature peut en eet être obtenu pour la fonction L

p-adique d'une forme modulaire de poids 2. Bien que le résultat soit démontré pour une forme

modulaire de poids 2 dans [Bia19], le même argument peut être appliqué sans modication

pour une forme primitive de poids 2k. Nous aurons d'abord besoin d'un lemme.

Pour le restant de cette section, f sera une forme primitive de poids 2k, caractère trivial et

niveau N où p,N 1. Soit α une racine p-admissible pour f .

Lemme 3.1.3. Soit ψ un caractère de Dirichlet tel que ψ ψ. Alors,

cQ ψQ 1ords1Lpf,α,ψ,s.Démonstration. Posons Λpf,α,ψ,s `Qes~2Lpf,α,ψ,s. Alors, Λp satisfait l'équation fonc-

tionnelle

Λpf,α,ψ,2 s 1k~2cQψQΛpf,α,ψ,s. (3.1)

Posons m ords1Lpf,α,ψ,s. En dérivant l'équation (3.1) et en évaluant en s 1, on obtient

1m 1k~2cQψQ dm

dsmΛpf,α,ψ,sU

s1 0.

Maisdm

dsmΛpf,α,ψ,sU

s1 `Qe1~2 dm

dsmLpf,α,ψ,sU

s1x 0

par la dénition de m. Il suit que 1k~2cQψQ doit être égal à 1m. Ì

52

Théorème 3.1.4 (Bianchi). Soit ψ un caractère de Dirichlet tel que ψ ψ. Posons m

ords1Lpf,α,ψ,s. Alors,Lpf,α,ψ,s ams 1m am1s 1m1

avec am1 12 logp`Qe am.

Démonstration. On suit la preuve faite dans [Bia19, Theorem 3.3]. Par le lemme précédent,

on a que Λpf,α,ψ,2 s 1mΛpf,α,ψ,s. Ainsi, lorsque i m 1 mod 2, on aura que

di

dsiΛpf,α,ψ,sU

s1 0.

En prenant i m 1 et en posant hs `Qes~2, cela donne

0 dm1

dsm1Λpf,α,ψ,sU

s1

dm1

dsm1hsLpf,α,ψ,s U

s1

m1

Ql0

m 1

l dm1l

dsm1lhs dl

dslLpf,α,ψ,s U

s1

m 1hs dm

dsmLpf,α,ψ,s hs dm1

dsm1Lpf,α,ψ,s U

s1

m 1!h1 am h1 am1.Il suit que am1

h1h1 am 1

2 logp`Qeam. Ì

Il y a un résultat similaire si l'on utilise la variable T à la place.

Théorème 3.1.5 (Bianchi). Soit f une forme modulaire comme en début de section et ψ un

caractère tel que ψ ψ. Alors,

Lpf,α,ψ,T cmTm cm1Tm1

avec

cm1 cm2 logp`Qe

logpγ m .

Démonstration. On prouve ce théorème de la même façon que l'on a montré le théorème 3.1.4.

Pour plus de détails, voir [Bia19, Theorem 4.1]. Ì

Nous adaptons cette idée au cas des fonctions de Pollack. Pour simplier, on suppose que

les coecients de f sont rationnels, c'est-à-dire, K Qp. De cette façon, Lpf,ψ,T > ΛO.

53

Remarquons que l'indice de ramication de Qp~Qp est impair et donc les hypothèses du

théorème 2.5.8 sont satisfaites. Cette situation se produit par exemple lorsque f est une forme

modulaire associée à une courbe elliptique par le théorème de modularité.

Théorème 3.1.6. Soit f telle que K Qp. Supposons que ap 0 et que ψ ψ. Alors,

Lpf,ψ,T am

Tm bmT 1m ,

Lpf,ψ,T am

Tm bmT 1m

avec

bm

am

2 logp`Qe

logp γ

p

1 pm ,

bm

am

2 logp`Qe

logp γ

1

1 pm .

Démonstration. Nous montrons le résultat pour la fonction plus. La démonstration pour Lp

est similaire. Soit m m l'ordre d'annulation de Lpf,ψ,T en T 0. On dérive m fois

l'équation fonctionnelle (2.4) et on évalue en T 0 pour obtenir

dmT

dTmLpf,ψ,T U

T0 1k~2ψQcQh01mdmT

dTmLpf,ψ,T U

T0

où nous avons posé hT 1 T logp`Qe

logp γ W 1 T . Cela nous donne

dmT

dTmLpf,ψ,T U

T01 1k~2ψQW 11m 0.

Mais W 1 1 et par hypothèse, dmTdTmL

pf,ψ,T U

T0x 0. Donc, 1k~2cQψQ 1m.

Maintenant, on dérive m 1 fois le côté gauche de l'équation fonctionnelle pour obtenir

dm1T

dTm1Lpf,ψ,T U

T0 m 1!bm

.

Dériver m1 fois le côté droit est un peu plus complexe. On pose gT 11T 1. On utilisera

la formule de Faà di Bruno qui est une généralisation de la formule de dérivation en chaîne

54

pour les dérivées d'ordres supérieures.

1mhT Lpf, gT m1 W

T0

1mm1

Qk0

m 1

kL

pf,gT khT m1kWT0

1m m 1

mL

pf,gT mhT 1 m 1

m 1L

pf,gT m1hT WT0

1m m 1Lmp f,gT g1T m h1T

Lmp f,gT m 1mg1T m1 g

2T 2!

Lm1p f,gT g1T m1hT W

T0

1m m 1m!am1mh10 m!am

m 1m1m1 m 1!bm1m1

m 1!amh10 mam

bm

m 1! amh10 m bm

.En égalant la dérivée m 1-ième du côté gauche et du côté droit, on trouve

bm

am

2hT ST0 m.

Posons ξ logp`Qe

logp γ. Mais,

hT ST0 1 T ξ ST0 QkC1

p2k1p 1MkC1

1 T p2k1p11ST0

ξ1 T ξ1ST0 W1 T ST0

ξ p

p 1.

Cela montre le résultat. Ì

Corollaire 3.1.7. Sous les mêmes hypothèses que celles du théorème 3.1.6, l'ordre d'annula-

tion de Lpf,ψ,T et l'ordre d'annulation de L

pf,ψ,T ont la même parité.

Démonstration. Soit m ordT0Lpf,ψ,T et m ordT0L

pf,ψ,T . Dans la preuve du

théorème 3.1.6, nous avons montré que 1m 1k~2cQψQ. Puisque Lpf,ψ,T satis-

fait une équation fonctionnelle similaire à celle de Lpf,ψ,T , il est possible de montrer que

1m 1k~2cQψQ. Il suit que m m mod 2. Ì

Corollaire 3.1.8. Soit p un premier tel que pSap. Soit α et β les deux racines p-admissibles

du polynôme de Hecke de f . Alors, l'ordre d'annulation de Lpf,ψ,α,T et l'ordre d'annulationde Lpf,β,ψ,T ont la même parité.

Démonstration. On reproduit le même argument que l'on a utilisé pour Lp . Ì

55

3.2 Invariants d'Iwasawa

Bianchi a également étudié les invariants d'Iwasawa associés à une courbe elliptique E. Soit

F une extension nie de Qp, O son anneau d'entiers et π un uniformisant de F . On rappelle

que l'algèbre d'Iwasawa est ΛO OJT K. Les invariants d'Iwasawa sont dénis en général pour

tout élément de l'algèbre d'Iwasawa via le théorème suivant.

Théorème 3.2.1 (préparation de Weierstrass p-adique). Soit gT > ΛO un élément non nul.

On peut écrire de manière unique

gT πµP T UT où µ est un entier non négatif, UT > Λ

O OJT K est une unité et P T Tn an1T

n1

. . . a0 est un polynôme tel que πSai pour 0 B i B n 1.

Démonstration. Voir [Was12, Theorem 7.3]. Ì

Dénition 3.2.2. Soit gT > ΛO un élément non nul. Écrivons gT πµUT P T à

l'aide du théorème de préparation de Weierstrass p-adique. Le µ-invariant de gT , µgT ,est déni comme étant l'entier µ et le λ-invariant de gT , λgT , est degP T .Le µ-invariant correspond à la plus grande puissance de π divisant tous les coecients de gT ,alors que le λ-invariant correspond au nombre de zéros de gT dans le disque T >Cp ST S @ 1.Lorsque E est une courbe elliptique sur Q avec réduction ordinaire en p, il est possible de

montrer que LpE,ψ,T > ZpψJT K. Soit π un uniformisant de Zpψ. Alors le théorème de

préparation appliqué à cette situation nous permet d'écrire LpE,ψ,T πµUT P T et dedénir les invariants d'Iwasawa de LpE,ψ,T .Théorème 3.2.3 (Bianchi). Soit E une courbe elliptique sur Q avec réduction ordinaire

semistable en p. Soit ψ un caractère de Dirichlet de conducteur pkM . Alors, le µ-invariant de

LpE,ψ,T est égal au µ-invariant de LpE,ψ,T .Démonstration. Voir [Bia19, Theorem 4.2]. Ì

Une question naturelle est de se demander si les λ-invariants sont aussi les mêmes. Pour

répondre à cette question, nous démontrons des lemmes généraux sur les séries de puissances.

Ces résultats proviennent d'un travail conjoint avec Florian Sprung [DS19].

Lemme 3.2.4. Supposons que fT et gT > ΛO sont reliés par

gT uT f 1

1 T 1

où uT > ΛO. Alors, µf µg.

56

Démonstration. L'idée pour cette démonstration et la suivante nous a été proposée par un

arbitre anonyme. La clé de l'argument est de constater que α T ( 11T 1 est une involution.

Remarquons de plus que, pour f > ΛO, πµf divise f XαT fT T 2 . . .. Donc, µf Bµf Xα. En appliquant le même argument à f Xα, on trouve que µf B µf Xα B µf Xα2et le résultat suit. Ì

Lemme 3.2.5. Supposons que fT et gT > ΛO sont reliés par

gT uT f 1

1 T 1

où uT > ΛO. Alors, λf λg.

Démonstration. Nous devons montrer que fT et gT ont le même nombre de zéros dans

U T > Cp ST S @ 1 en comptant les multiplicités. Soit ζ > U un zéro de fT . Alors, ζ1ζ

est un zéro de gT dans U . En eet,

U ζ

1 ζU Sζ S

S1 ζ S Sζ S @ 1,

car Sζ 1S maxSζ S,S1S 1 puisque Sζ S x S1S. Comme αT a une dérivée non nulle αT > ΛO

pour tout T > U , il suit que la multiplicité du zéro g ζ1ζ gαζ est la même que la

multiplicité du zéro fζ. Puisque α nous donne une bijection entre l'ensemble des zéros de

fT et l'ensemble des zéros de gT qui préserve la multiplicité, on conclut que λfT λgT . Ì

Proposition 3.2.6. Soit ψ un caractère de Dirichlet et p tel que p Ñ ap. Les invariants

d'Iwasawa de Lpf,α,ψ,T restent les mêmes sous la substitution ψ ( ψ. En d'autres mots,

µLpf,α,ψ,T µLpf,α,ψ,T λLpf,α,ψ,T λLpf,α,ψ,T .

Démonstration. Par l'équation fonctionnelle 2.3, Lpf,α,ψ,T et Lp f,α,ψ, 11T 1 ne dif-

fèrent que par un élément de la forme 1k~2cQ 1T logp`Qe

logp γ ψQ. Mais, 1k~2cQ ψQest une unité de Cp et 1T

logp`Qe

logp γ est une unité dans l'algèbre ΛO. Le résultat suit alors du

lemme 3.2.4 et du lemme 3.2.5. Ì

Remarque 3.2.7. Dans le cas de la fonction L p-adique associée à une courbe elliptique avec

bonne réduction semistable en p, on retrouve le résultat de Bianchi pour la µ-invariance.

Puisque les lemmes 3.2.4 et 3.2.5 peuvent être appliqués à n'importe quelle série de puissances

dans une algèbre d'Iwasawa, on obtient les corollaires suivants.

57

Corollaire 3.2.8. Soit p tel que pSap. Posonsµ® µL®

pf,ψ,T , µ® µL®pf,ψ,T

µ¬ µL¬pf,ψ,T , µ¬ µL¬

pf,ψ,T .On dénit λ®, λ®, λ¬ et λ¬ de façon similaire. Alors, µ® µ®, µ¬ µ¬, λ® λ® et λ¬ λ¬.

Démonstration. Puisque les fonctions L® ~ ¬p f,ψ,T ont des coecients entiers et satisfont la

même équation fonctionnelle que Lpf,α,ψ,T , on peut appliquer les lemmes de la même

façon. Ì

Corollaire 3.2.9. Soit p tel que ap 0. Supposons de plus que K Q an que Lpf,ψ,T > Λψ

dans la notation de 2.5. Posons

µ µLpf,ψ,T , µ µL

pf,ψ,T µ µL

pf,ψ,T , µ µLpf,ψ,T .

Alors, µ µ et µ µ. De même, λ λ et λ λ où les λ-invariants sont dénis de la

même façon.

Démonstration. L'argument est le même que celui du précédent corollaire. Ì

58

Conclusion

Pour une forme parabolique f > SkΓ1N, nous avons vu qu'il est possible de construire

une distribution p-adique µf avec la propriété que Lpf,ψxj RZ

p,Mψxxjdµf interpole les

valeurs Lf,ψ,j 1 de la fonction L complexe. De plus, l'équation fonctionnelle de Lpf,χnous a permis d'étudier les coecients du développement de Lpf,χ en série de puissances.

Finalement, nous avons étudié le µ-invariant ainsi que le λ-invariant de la fonction L p-adique.

Une future piste à explorer dans l'étude des fonctions L p-adiques serait les congruences entre

les valeurs spéciales des fonctions L. Soit f et g deux formes modulaires telles que f g mod p.

Alors, Vatsal [Vat99] a démontré, sous quelques conditions techniques, que les valeurs spéciales

Lf,j et Lg,j sont elles aussi congrues modulo p. Supposons que le signe dans l'équation

fonctionnelle de Lf,s est 1. Cela implique que Lf,1 0. Alors, Jochnowitz [Joc94] a prédit

qu'il devrait exister une certaine relation de congruence entre Lf,1 et Lg,1. Est-ce que lethéorème de Wuthrich reliant Lg,1 à Lg,1 nous permettrait de faire un lien entre Lg,1et Lf,1 ? Nous espérons trouver une réponse à cette question dans des travaux futurs.

59

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