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Lycée Français de DOHA TES

Année 2019 – 2020 M. Evanno

Fonction logarithme népérien

A) Logarithme népérien d’un réel strictement positif.

1. Réel 𝐥𝐧(𝒙) avec 𝒙 > 𝟎.

Définition :

Pour tout réel 𝑥 > 0, le réel ln(𝑥) est l’unique solution de l’équation : 𝑒𝑦 = 𝑥, d’inconnue 𝑦.

• Pour tout réel 𝑥 > 0 :

ln(𝑥) = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑒𝑦

• Ainsi la fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0 ; +∞[ :

ln ∶ 𝑥 ⟼ ln(𝑥)

Représentation graphique :

Propriétés :

1) Comme 𝑒0 = 1 alors ln 1 = 0 et comme 𝑒1 = 𝑒 alors ln 𝑒 = 1.

2) Pour tout réel 𝑥 > 0 : ln(𝑥) = 𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑒𝑦 ainsi 𝑒𝑙𝑛(𝑥) = 𝑥.

3) Pour tout réel 𝑦 : 𝑥 = 𝑒𝑦 ⟺ ln(𝑥) = 𝑦 ainsi ln(𝑒𝑦) = 𝑦.

4) L’équation 𝑒𝑥 = 𝑘 avec 𝑘 > 0 a pour unique solution 𝑥 = ln(𝑘).

5) Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 strictement positifs : ln(𝑥) = ln(𝑦) ⟺ 𝑥 = 𝑦 .

Exemples :

• 𝑒𝑙𝑛(2) = 2 et 𝑒𝑙𝑛(3) = 3

• ln (1

𝑒) = ln(𝑒−1) = −1

• On peut écrire 5 = ln(𝑒5) et comme 5 > 0, on peut aussi écrire 5 = eln(5)

• L’équation 𝑒𝑥 = 5 a pour unique solution 𝑥 = ln(5)

Exercice n°1 :

Résoudre les équations et l’inéquation suivantes :

1) 𝑒𝑥+1 = 2

2) 4𝑒−𝑥 − 1 = 0

3) 2 − 𝑒−𝑥+1 = 0

4) 4 ln(𝑥) + 3 = 0

5) ln(𝑥)(3 − ln(𝑥)) = 0 6) (2𝑒𝑥 − 9)(2 ln(𝑥) + 3) = 0

7) 𝑒2𝑥 − 3𝑒𝑥 ≥ 0

2



2. Relation fonctionnelle.

Théorème :

La fonction logarithme népérien transforme un produit de réels strictement positifs en somme

de logarithmes.

Autrement dit pour tous réels 𝑥 > 0 et 𝑦 > 0 on :

ln(𝑥 × 𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦)

Démonstration :

Soit 𝑥 et 𝑦 deux réels strictement positifs alors il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que :

𝑥 = 𝑒𝑎 et 𝑦 = 𝑒𝑏. On peut alors écrire que : 𝑎 = ln(𝑥) et 𝑏 = ln(𝑦).

Donc ln(𝑥 × 𝑦) = ln(𝑒𝑎 × 𝑒𝑏) = ln 𝑒𝑎+𝑏 = 𝑎 + 𝑏 = ln(𝑥) + ln(𝑦).

Propriétés :

1) Pour tout réel 𝑥 > 0 : ln (1

𝑥) = − ln(𝑥)

2) Pour tous réels 𝑥 > 0 et 𝑦 > 0 : ln (𝑥

𝑦) = ln(𝑥) − ln(𝑦)

3) Pour tout réel 𝑥 > 0 et pour tout entier relatif 𝑛 : ln(𝑥𝑛) = 𝑛 × ln(𝑥)

4) Pour tous réels 𝑥 > 0 et 𝑞 > 0 : ln(𝑞𝑥) = 𝑥 ln(𝑞) ⟺ 𝑞𝑥 = 𝑒𝑥 ln(𝑞)

Exercice n°2 :

1) Ecrire sous forme d’une somme de logarithmes :

𝐴 = ln(23 × 52)

𝐵 = ln (3 × 52

27)

2) Ecrire à l’aide d’un seul logarithme :

𝐶 = 2 ln(3) − ln(𝑒) − 3 ln(2)

𝐷 = 3 ln(10) + ln(0,08) − 5 ln(2)

𝐸 = 1 + 3 ln(2)

B) Etude de la fonction ln(x).

1. Dérivée et sens de variation.

Théorème : Admis

La fonction ln est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et sa dérivée est la fonction inverse sur

]0 ; +∞[ . Autrement dit : pour tout réel 𝑥 > 0 :

(ln(𝑥))′ =1

𝑥

3



Propriétés :

• ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ car :

∀𝑥 ∈]0 ; +∞[ (ln(𝑥))′ =1

𝑥> 0

• Si 𝑥 ∈]0 ; 1[ alors ln(𝑥) < 0 et si 𝑥 ∈]1 ; +∞[ alors ln(𝑥) > 0.

• La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ elle est donc aussi continue sur ]0 ; +∞[.

• Pour tout réel 𝑘 l’équation ln(𝑥) = 𝑘 admet, dans l’intervalle ]0 ; +∞[, une unique solution

qui est 𝑥 = 𝑒𝑘.

• Pour tous réels 𝑥 > 0 et 𝑦 > 0 : 𝑥 < y ⟺ ln(𝑥) < ln(𝑦).

2. Propriétés de la courbe Cln représentant la fonction ln.

Dans un repère du plan, l’équation de la tangente au point d’abscisse 𝑎 est : 𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).

Pour la fonction logarithme népérien on a :

∀𝑥 ∈]0 ; +∞[ (ln(𝑥))′ =1

𝑥

D’où l’équation générale de la tangente à 𝐶ln au point d’abscisse 𝑎 est :

𝑦 =1

𝑎(𝑥 − 𝑎) + ln(𝑎) =

𝑥

𝑎− 1 + ln(𝑎)

En remplaçant 𝑎, on obtient alors les tangentes aux points d’abscisses 1 et 𝑒 ci-dessous :

Propriétés :

1) La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[. 2) Pour tout réel 𝑥 ∈]0 ; +∞[ on a : ln(𝑥) < 𝑥 < 𝑒𝑥.

Exercice n°3 : Démonstrations

1) Soit 𝑓 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = ln(𝑥).

a) Déterminer la concavité de 𝑓 sur ]0 ; +∞[ en étudiant le signe de sa dérivée seconde.

b) Donner une interprétation graphique de ce résultat.

2) Soit ℎ et 𝑔 les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par : ℎ(x) = ln(𝑥) − 𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥.

a) Etudier les variations de ℎ et dresser son tableau de variations.

b) En déduire que pour tout réel 𝑥 ∈]0 ; +∞[ on a :ln(𝑥) < 𝑥.

c) Etudier les variations de 𝑔 et dresser son tableau de variations.

d) En déduire que pour tout réel 𝑥 ∈]0 ; +∞[ on a :𝑥 < 𝑒𝑥.

3) En déduire que pour tout réel 𝑥 ∈]0 ; +∞[ on a : ln(𝑥) < 𝑥 < 𝑒𝑥.

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C) Equation avec exponentielle.

1. Recherche de la base de l’exponentielle.

Propriété :

Soit 𝑘 un réel strictement positif connu et 𝑛 un entier naturel non nul.

Dans ]0 ; +∞[ l’équation 𝑥𝑘 = 𝑛 possède une unique solution 𝑥 = 𝑘1

𝑛 d’où :

𝑥𝑘 = 𝑛 ⟺ 𝑥 = 𝑘1𝑛

Le nombre 𝑘1

𝑛 est appelé racine 𝑛ème de 𝑘.

Exemples :

1) Soit (𝑢𝑛) une suite géométrique de raison 𝑞 > 0 dont on connaît deux termes 𝑢0 et 𝑢𝑛.

Alors 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛 donc 𝑞𝑛 =𝑢𝑛

𝑢0 donc 𝑞 = (

𝑢𝑛

𝑢0)

1𝑛

2) 𝐶𝑀 est le coefficient multiplicateur global sur 𝑛 années, le taux moyen d’évolution 𝜏 est :

(1 + 𝑡)𝑛 = 𝐶𝑀 ⟺ 1 + 𝑡 = 𝐶𝑀1𝑛 ⟺ 𝑡 = 𝐶𝑀

1𝑛 − 1 d′où 𝜏 = (𝐶𝑀

1𝑛 − 1) × 100

2. Recherche de l’exposant.

Propriété :

Soit 𝑘 un réel strictement positif connu.

Dans ]0 ; +∞[ l’équation 𝑒𝑥 = 𝑘 possède une unique solution 𝑥 = ln(𝑘).

Or on peut écrire 𝑞𝑥 = 𝑒𝑥×ln(𝑞) avec 𝑞 > 0 et 𝑞 ≠ 1.

Donc l’équation 𝑞𝑥 = 𝑘 s’écrit 𝑒𝑥×ln(𝑞) = 𝑘.

Ainsi, dans ℝ, l’équation :

𝑞𝑥 = 𝑘 ⟺ 𝑥 × ln(𝑞) = ln(𝑘) ⟺ 𝑥 =ln(𝑘)

ln(𝑞)

Exercice n°4 : Applications

1) La consommation électrique par habitant en Chine est passée de 993𝑘𝑊ℎ en 2000 à

2455𝑘𝑊ℎ en 2008. Déterminer le taux d’évolution moyen annuel.

2) Une production est fonction de l’investissement 𝑥 en milliers d’euros. La quantité produite

𝑓(𝑥), en tonnes, est modélisée par la fonction 𝑓 telle que :

𝑓(𝑥) = 10 × 1,03𝑥 − 14

Déterminer l’investissement nécessaire pour pouvoir produire, c'est-à-dire 𝑓(𝑥) > 0.

Exercice n°5 :

Résoudre les équations suivantes :

1) 𝑒𝑥+2 + 3 = 1

2) (𝑒𝑥 − 1)(3𝑒𝑥 − 4) = 0

3) ln(𝑥) − 3 = 0

4) ln(𝑥) = 2 ln(3)

5) (𝑥 + 2)ln (𝑥) = 0

6) (5 ln(𝑥) − 2)(3 ln(𝑥) + 4) = 0

7) ln(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 0

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Exercice n°6 :

Simplifier le plus possible, les expressions suivantes :

1) 𝑒ln3+ln4

2) ln(𝑒−4)

3) 𝑒ln3 + 𝑒ln4

4) 𝑒ln3−ln4

5) ln(𝑒3 × 𝑒4)

6) 𝑒3ln4−ln8

7) ln(𝑒3 ÷ 𝑒4)

8) exp(ln(5) − ln(2) + ln(3))

9) 2 ln((𝑒3)4)

10) 𝑒−2 ln(5)

Exercice n°7 :

Résoudre les inéquations suivantes :

1) 10 ln(𝑥) > 3

2) 3𝑒𝑥 > 1 − 𝑒𝑥

3) 4e−3𝑥+4 − 5 > 0

4) 3 ln(𝑥) + 3 ≤ 6

5) −𝑒2𝑥 + 1 ≥ 3

6) − ln(𝑥) > 5

7) (1 − 𝑥)(𝑒𝑥 − 4) > 0

8) 𝑒2𝑥 − 5𝑒𝑥 ≤ 0

9) (−2𝑒𝑥 + 3)(3 ln(𝑥) + 2) ≥ 0

Exercice n°8 :

Déterminer la fonction dérivée de chaque fonction définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ : 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) + 𝑥3

𝑔(𝑥) = (1 − 𝑥2) ln(𝑥)

ℎ(𝑥) =2 + 3 ln(𝑥)

𝑥

𝑖(𝑥) = 𝑒4 ln(𝑥)+3)

𝑘(𝑥) =1

𝑥+ 𝑥 ln(𝑥)

𝑙(𝑥) = (2 ln(𝑥) + 1)(3 ln(𝑥) + 1)

Exercice n°9 :

Une entreprise produit, chaque jour, entre 4 et 20 tonnes de sel pour une industrie.

On admet que, lorsque 𝑥 tonnes de sel sont produites, le coût moyen de la production, en

centaine d’euros par tonne de sel, est :

𝑓(𝑥) = 7 − 𝑥 + 2𝑒0,12𝑥 avec 4 ≤ 𝑥 ≤ 20

1) Calculer la fonction dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓 et étudier le signe 𝑓′(𝑥) sur [4 ; 20]. 2) Dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [4 ; 20]. 3) Déterminer, arrondi à 0,1 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒 près, la quantité de sel à produire pour que le coût moyen

de production soit minimal. Déterminer alors ce coût moyen arrondi à 0,1€ par tonne près.

4) Justifier que l’équation 𝑓(𝑥) = 7 admet une unique solution 𝛼 ∈ [4 ; 20]. 5) A l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée à 0,001 près de 𝛼.

6) Déterminer la masse de sel, au 𝑘𝑔 près, qu’il faut produire pour que le coût moyen de

production d’une tonne de sel soit de 700€.

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Exercice n°10 : Bac ES Nouvelle Calédonie 2009

Partie A : Etude d’une fonction

On considère la fonction 𝑓 définie et dérivable sur [0 ; 10] par :

∀𝑥 ∈ [1 ; 10] 𝑓(𝑥) = 5(1 − ln(𝑥))(ln(𝑥) − 2)

1) Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0. Les valeurs exactes sont demandées.

2) En déduire le signe de 𝑓(𝑥) sur [0 ; 10]. 3) On note 𝑓′ la dérivée de la fonction 𝑓.

a) Calculer 𝑓′(𝑥) et montrer que :

∀𝑥 ∈ [1 ; 10] 𝑓′(𝑥) =5(3 − 2 ln(𝑥))

𝑥

b) En déduire les variations de 𝑓. On précisera la valeur exacte du maximum de 𝑓 et la

valeur exacte de 𝑓 pour laquelle il est atteint.

c) Donner le nombre de solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 1.

Partie B : Application

Une entreprise fabrique et vend des jouets. La fonction étudiée en Partie A 𝑓 donne le résultat

(bénéfice ou perte) en milliers d’euros qu’elle réalise lorsqu’elle fabrique 𝑥 centaines de jouets,

pour 𝑥 compris entre 1 et 10.

1) Déterminer, à un jouet près, les quantités à fabriquer pour ne pas produire à perte.

Interpréter concrètement ce résultat de la question 2) de la Partie A.

2) Cette entreprise veut réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1000€.

Combien de jouets doit-elle fabriquer ? Justifier la réponse.

Exercice n°11 :

Soit 𝑓 la fonction définie et dérivable sur [0,1 ; 10] et représentée dans le repère orthonormal

ci-dessous par 𝐶𝑓. 𝐴(e−1 ; 0) est sur 𝐶𝑓 et 𝐷1 est une tangente horizontale en 𝐵 à 𝐶𝑓.

1) Déterminer graphiquement :

a) 𝑓(1) et 𝑓′(1).

b) les solutions de l’inéquation : 𝑓(𝑥) > 0.

c) les solutions de l’inéquation : 𝑓′(𝑥) > 0.

2) La fonction 𝑓 est définie sur [0,1 ; 10] par :

𝑓(𝑥) =𝑎 + 𝑏 ln 𝑥

𝑥 avec 𝑎 ∈ ℝ et 𝑏 ∈ ℝ

a) Exprimer 𝑓′(𝑥) en fonction de 𝑥, 𝑎 et 𝑏.

b) En utilisant la question 1) déterminer deux conditions sur 𝑎 et 𝑏.

c) Déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

d) Retrouver les résultats des questions 1)b) et 1)c).

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Exercice n°12 : Bac ES Pondichéry 2015

Une entreprise produit et vend des composants électroniques. Sa capacité mensuelle de

production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces.

On suppose que toute la production est commercialisée.

Partie A :

On donne ci-dessous 𝑅 et 𝐶 les représentations graphiques respectives des fonctions recette et

coût sur l’intervalle [1 ; 30] :

Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.

1) Quel est le coût de production de 21 000 pièces ?

2) Pour quelles quantités de pièces produites l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?

3) Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ?

Partie B :

Le bénéfice en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de 𝑥 milliers de pièces,

est donné sur l’intervalle [1 ; 30] par :

𝐵(𝑥) = −0,5𝑥2 + 6𝑥 − 20 + 2𝑥 ln(𝑥)

1) Montrer que la dérivée, 𝐵′, de 𝐵 sur [1 ; 30] est :

𝐵′(𝑥) = −𝑥 + 8 + 2 ln(𝑥)

2) On admet que la dérivée seconde, 𝐵′′, de 𝐵 sur [1 ; 30] est :

𝐵′′(𝑥) = −1 +2

𝑥

Justifier le tableau de variation ci-dessous de la fonction dérivée 𝐵′ sur [1 ; 30].

3) Montrer que l’équation 𝐵′(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur [1 ; 30]. 4) Donner une valeur approchée au millième de la valeur de 𝛼.

5) En déduire le signe de 𝐵′(𝑥) sur [1 ; 30] et donner le tableau de variations de la fonction

bénéfice 𝐵 sur ce même intervalle.

6) Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un

bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d’euros) ?

Exercice n°13 :

Dans chacun des cas déterminer le plus petit entier 𝑛 vérifiant l’inéquation donnée :

a) 0,8𝑛 ≤ 0,0001

b) 1 − 0,4𝑛 ≥ 0,999

c) 10 × 1,1𝑛 > 5 000

d) 50 × 2𝑛 > 106

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Exercice n°14 : Bac ES Métropole 2004

La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000€ pour l’année 1998.

Depuis l’année 1998, l’évolution de la subvention en pourcentages d’une année sur l’autre est

donnée dans le tableau suivant :

𝐴𝑛𝑛é𝑒 1999 2000 2001 2002 2003

𝐸𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 % +17% +15% +10% +9% +6%

Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10%.

1) Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée en euros.

2) Le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des subventions depuis

l’année 1999. Quelle confusion fait-il ?

3) On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130€. a) Calculer le pourcentage d’évolution de la subvention de 1998 à 2003.

b) Calculer le taux annuel moyen de l’augmentation de la subvention entre 1998 et 2003.

Exercice n°15 : Bac ES Amérique du Nord 2018

On appelle fonction « satisfaction » une fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100.

Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu’il y a « saturation ».

On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ».

On dira qu’il y a « souhait » quand la fonction « envie » est positive ou nulle et qu’il y a « rejet »

quand la fonction « envie » est strictement négative.

Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction « satisfaction » différent.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A :

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée quotidienne de travail varie entre 0 et 6

heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la

fonction « satisfaction » 𝑓 dont la courbe représentative est donnée ci-dessous (𝑥 est en heures).

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

1) Lire la durée de travail quotidien menant à « saturation ».

2) Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a « rejet ».

Partie B :

Le directeur d’une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la

durée de leur séjour. On admet que la fonction « satisfaction » 𝑔 est définie sur l’intervalle

[0 ; 30] par

𝑔(𝑥) = 12,5𝑒−0,125𝑥+1 (𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚é 𝑒𝑛 𝑗𝑜𝑢𝑟)

1) Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; 30], on a :

𝑔′(𝑥) = (12,5 − 1,5625𝑥)𝑒−0,125𝑥+1

2) Étudier le signe de 𝑔′(𝑥) sur [0 ; 30] et dresser le tableau des variations de 𝑔 sur [0 ; 30]. 3) Quelle durée de séjour correspond-elle à l’effet « saturation » ?

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Partie C :

La direction des ressources humaines d’une entreprise modélise la satisfaction d’un salarié en

fonction du salaire annuel qu’il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » ℎ, est définie

sur l’intervalle [10 ; 50] par :

ℎ(𝑥) =90

1 + 𝑒−0,25𝑥+6 (𝑥 est exprimé en millier d’euros).

La courbe 𝐶ℎ de la fonction ℎ est représentée ci-dessous :

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

1) Donner sans justification une expression de ℎ′′(𝑥).

2) Résoudre dans l’intervalle [10 ; 50] l’inéquation :

𝑒−0,25𝑥+6 − 1 > 0

3) Étudier la convexité de la fonction ℎ sur l’intervalle [10 ; 50]. 4) À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier.

5) Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction « satisfaction » atteint 80.

Arrondir au millier d’euros.

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Exercice n°16 : Antilles – Guyane 2009

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

On considère la fonction 𝑓 définie sur [0,1 ; 10] dont on donne la représentation graphique (𝐶)

dans le repère ci-dessous :

On admet que :

• le point 𝐴 de coordonnées (1 ; 1) appartient à la courbe (𝐶).

• la tangente (𝑇) en 𝐴 à la courbe (𝐶) passe par le point de coordonnées (2 ; 0).

• la courbe (𝐶) admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2.

Partie A : lectures graphiques

Donner, par lecture graphique ou en utilisant les données de l’énoncé, les valeurs de :

𝑓(1) ; 𝑓′(1) et 𝑓′(2) où 𝑓′ est la fonction dérivée de 𝑓 sur [0,1 ; 10].

Partie B : Calculs algébriques

On admet que l’expression de 𝑓 sur [0,1 ; 10] est : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 ln(𝑥) (où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont

des nombres réels).

1) Calculer 𝑓′(𝑥) en fonction de 𝑥 et de 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

2) Démontrer que les réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 vérifient le système :

{𝑎 + 𝑏 = 1

𝑎 + 𝑐 = −1𝑎 + 0,5𝑐 = 0

3) Déduire de la question précédente les valeurs de a, b et c puis l’expression de 𝑓(𝑥).

4) Déterminer les variations de 𝑓 sur [0,1 ; 10] et dresser son tableau de variations.

5) Calculer la dérivée seconde 𝑓′′ de 𝑓 sur [0,1 ; 10] et étudier son signe.

6) En déduire la convexité de 𝑓 sur [0,1 ; 10].


On considère la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par :

𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 3𝑥 ln(𝑥)

On note 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans un repère orthonormé et 𝑇 la tangente à 𝐶𝑓 au point

d’abscisse 1.

Quelle est la position relative de 𝐶𝑓 par rapport à 𝑇 ?

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Exercice n°18 : Bac ES Polynésie 2016

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant

la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non

justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes

1) On rappelle que ℝ désigne l’ensemble des nombres réels.

On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 + 1

Affirmation A : La fonction 𝑓 est croissante sur l’intervalle ]0 ; 1[.

Affirmation B : La fonction 𝑓 est convexe sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Affirmation C : Pour tout 𝑥 appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, on a : 𝑓(𝑥) ≤ 50.

2) On donne ci-dessous la courbe représentative 𝐶𝑔 d’une fonction 𝑔 définie sur ℝ.

On admet que 𝑔 est dérivable sur ℝ et on rappelle que 𝑔′ désigne la fonction dérivée de la

fonction 𝑔. On a tracé la tangente 𝑇 à la courbe 𝐶𝑔 au point 𝐴 de cette courbe, d’abscisse 1

et d’ordonnée 2. Cette tangente coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 2.

Affirmation D : 𝑔′(1) = −2.


On définit une fonction 𝑔 sur l’intervalle [0,5 ; 5] par :

𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 3𝑥 ln(𝑥)

1) Montrer que pour x appartenant à [0,5 ; 5], on a :

𝑔′(𝑥) = 2 − 3 ln(𝑥)

2) Étudier le signe de 𝑔′(𝑥) et en déduire le sens de variation de 𝑔 sur [0,5 ; 5]. 3) En déduire pour quelle valeur𝑥0, arrondie au centième, la fonction 𝑔 atteint un maximum.

4) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 4 admet deux solutions sur [0,5 ; 5] que l’on note 𝛼 et 𝛽.

En donner un encadrement d’amplitude 0,01.

5) Résoudre l’inéquation :

𝑔(𝑥) ≥ 4

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Exercice n°20 : Bac ES Polynésie 2019

Une entreprise produit chaque année entre 100 et 900 pneus pour tracteurs.

On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [1 ; 9] par :

𝑓(𝑥) = 0,5𝑥2 − 7𝑥 + 14 + 6𝑙𝑛(𝑥)

On admet que la fonction 𝑓 modélise le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu, exprimé

en centaines d’euros, pour 𝑥 centaines de pneus produits.

1) La fonction 𝑓 est dérivable sur l’intervalle [1 ; 9] et on note 𝑓′ sa fonction dérivée.

Démontrer que pour tout réel 𝑥 de l’intervalle [1 ; 9] on a :

𝑓′(𝑥) =𝑥2 − 7𝑥 + 6

𝑥

2) Justifier les variations suivantes de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [1 ; 9] :

3) Justifier que, sur l’intervalle [1 ; 9], l’équation 𝑓(𝑥) = 5 admet une unique solution 𝛼.

4) Donner un encadrement au centième près de 𝛼.

5) On considère l’algorithme ci-dessous :

À la fin de l’exécution de l’algorithme, quelle valeur numérique contient la variable 𝑋 ?

6) Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est-il

minimal ? À combien s’élève-t-il ?

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Exercice n°21 : Bac ES Pondichéry 2014

Un artisan glacier commercialise des « 𝑠𝑜𝑟𝑏𝑒𝑡𝑠 𝑏𝑖𝑜 ». Il peut en produire entre 0 et 300 litres

par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité. Le coût total de fabrication est

modélisé par la fonction 𝑓 définie pour tout nombre réel 𝑥 de l’intervalle 𝐼 =]0 ; 3] par :

𝑓(𝑥) = 10𝑥2 − 20𝑥 ln(𝑥)

La recette, en centaines d’euros, est donnée par une fonction 𝑟 définie sur 𝐼.

Partie A :

La courbe 𝐶 représentative de la fonction 𝑓 et la droite 𝐷 représentative de la fonction linéaire

𝑟 sont données ci-dessous :

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.

1) Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.

2) Donner l’expression de 𝑟(𝑥) en fonction de 𝑥.

3) Combien l’artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l’entreprise

dégage un bénéfice ?

Partie B :

On note 𝐵(𝑥) le bénéfice réalisé par l’artisan pour la vente de 𝑥 centaines de litres de sorbet

produits. D’après les données précédentes, pour tout 𝑥 de [1 ; 3], on a :

𝐵(𝑥) = −10𝑥2 + 10𝑥 + 20𝑥 ln(𝑥) où 𝐵(𝑥) est exprimé en centaines d’euros

1) On note 𝐵′ la fonction dérivée de la fonction 𝐵. Montrer que, pour tout x de [1 ; 3], on a :

𝐵′(𝑥) = −20𝑥 + 20 𝑙𝑛(𝑥) + 30

2) On donne le tableau de variation de la fonction dérivée 𝐵′ sur l’intervalle [1 ; 3].

a) Montrer que l’équation 𝐵′(𝑥) admet une unique solution 𝛼 dans l’intervalle [1 ; 3]. Donner une valeur approchée de 𝛼 à10−2.

b) En déduire le signe de 𝐵′(𝑥) sur l’intervalle [1 ; 3] puis dresser le tableau de variation

de la fonction 𝐵 sur ce même intervalle.

c) L’artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s’il peut

atteindre un bénéfice d’au moins 850 euros. Est-ce envisageable ?

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Exercices préparés à la maison

Niveau : TES

Thème : Fonction logarithme népérien

Exercice n°1 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur l’intervalle [0,1 ; 20] par :

𝑓(𝑥) =2 − 2 ln(𝑥)

𝑥

La figure ci-dessous donne une partie de la courbe représentative 𝐶𝑓 de la fonction 𝑓 dans un

repère orthonormal (O ; 𝑖 ; 𝑗 ). • Le point 𝐴(1 ; 2) appartient à 𝐶𝑓 et la courbe 𝐶𝑓 coupe l’axe des abscisses en 𝐵.

• La tangente en 𝐶 à la courbe 𝐶𝑓 est parallèle à l’axe des abscisses.

1) Déterminer la valeur exacte des coordonnées du point 𝐵.

2) On note 𝑓′ la fonction dérivée de 𝑓 sur [0,1 ; 20]. a) Démontrer que pour tout 𝑥 de l’intervalle [0,1 ; 20] on a :

𝑓′(𝑥) =2(ln(𝑥) − 2)

𝑥2

b) En déduire les variations de 𝑓 sur [0,1 ; 20]. c) Déterminer l’abscisse du point 𝐶.

d) Déterminer l’équation de la tangente en 𝐴 à la courbe 𝐶𝑓.

e) Montrer que, dans l’intervalle [1 ; 𝑒], l’équation 𝑓(𝑥) = 1 admet une unique solution 𝛼

dont on donnera une valeur approchée à 10−2.

3) On admet que la dérivée seconde de 𝑓 (notée 𝑓′′) est définie sur [0,1 ; 20] par :

𝑓′′(𝑥) =−4 ln(𝑥) + 10

𝑥3

a) Etudier la convexité de 𝑓 sur [0,1 ; 20] et en déduire les positions relatives de 𝐶𝑓 et de

ses tangentes 𝑇𝑎 au point d’abscisse 𝑎 en fonction des valeurs de 𝑎.

b) La courbe 𝐶𝑓 admet-elle un point d’inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées ?

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Exercice n°2 :

Partie A :

On considère la fonction g définie sur [0,2 ; 20] par :

𝑔(𝑥) = ln(𝑥) − 0,5

1) Etudier les variations de 𝑔 sur [0,2 ; 20]. 2) Résoudre l’équation 𝑔(𝑥) = 0 dans [0,2 ; 20]. 3) En déduire que 𝑔(𝑥) > 0 si et seulement si 𝑥 > e0,5.

Partie B :

On considère la fonction 𝑓 définie sur [0,2 ; 20] par :

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 ln(𝑥) − 2𝑥2 + 2

On appelle 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓 sur [0,2 ; 20]. On donne, ci-dessous la représentation graphique 𝐶𝑓 de la fonction 𝑓 et ainsi que de sa tangente

en 𝐵(1 ; 0) qui passe par le point 𝐴(0 ; 2).

1) Déterminer 𝑓′(1) sans calculer la dérivée de 𝑓.

2) Montrer que pour tout nombre réel 𝑥 de [0,2 ; 20], on a :

𝑓′(𝑥) = 4𝑥 × 𝑔(𝑥)

3) Etudier le signe de 𝑓′(𝑥) sur [0,2 ; 20] et en déduire le tableau de variations de la fonction

𝑓 sur [0,2 ; 20]. 4) Montrer que, dans l’intervalle [2 ; 3], l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une solution unique 𝛼.

5) Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de 𝛼.

Partie C :

On appelle 𝑓′′ la fonction dérivée seconde de la fonction 𝑓 sur [0,2 ; 20]. 1) Montrer que pour tout nombre réel 𝑥 de [0,2 ; 20], on a :

𝑓′′(𝑥) = 4 ln(𝑥) + 2

2) Etudier la convexité de 𝑓 sur [0,2 ; 20]. 3) Déterminer les coordonnées du point d’inflexion 𝐼 de 𝐶𝑓.

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Exercice n°3 :

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées,

une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la

lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent

aucun point.

1) Soit 𝑓 la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

𝑓(𝑥) = 𝑥 ln (1

𝑥)

L’image 𝑓(𝑒−2) de 𝑒−2 par 𝑓 est égale à :

a) −2𝑒−2

b) 2𝑒2

c) 0,5𝑒2

d) 2𝑒−2

2) L’inéquation 𝑢𝑛 = 1 100 − 1 000 × 0,8𝑛 ≥ 1 050 est vraie lorsque :

a) 𝑛 ≥ 13

b) 𝑛 ≥ 14

c) 𝑛 ≤ 14

d) 𝑛 ≤ 13

3) On donne ci-dessous la population africaine en millions depuis 1950 pour quelques années.

Le taux de croissance moyen annuel de la population africaine entre 1990 et 2000 arrondi

au centième est :

a) 𝜏 ≈ 1,23%

b) 𝜏 ≈ 2,53%

c) 𝜏 ≈ 1,28%

d) 𝜏 ≈ 2,83%

𝑨𝒏𝒏é𝒆 𝟏𝟗𝟗𝟎 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 639 820

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Fonction logarithme népérien A) Logarithme népérien d’un ...scf0e512586f6de82.jimcontent.com/download/version... · Dans un repère du plan, l’équation de la tangente au