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Chapitre III : EXPONENTIELLE, LOGARITHME, PUISSANCE

I. FONCTION EXPONENTIELLE

1° Fonction exponentielle de base e a - Définition

On appelle exponentielle de base e la fonction définie, continue et dérivable sur ℝ telle que : f '(x) f (x)f (0) 1

=⎧⎨ =⎩

On note f(x)=exp(x)

b - Propriétés algébriques Relation fonctionnelle : Pour tous réels a et b, on a : bae + = ea × eb Conséquences :

e b− =1

eb ea b− = ee

a

b

( )nae = n.ae (n∈ ℕ) ( )ea n1

= ean (n∈ ℕ*)

c - Etude de la fonction exponentielle La fonction exp est dérivable sur ℝ de dérivée ( )( ) ( )exp x ' exp x=

De plus, exp(x) > 0 pour tout x donc la fonction exp est continue et strictement croissante sur ℝ. Elle réalise donc une bijection de ℝ sur ] [0;+ ∞ .

( ) ( )exp a exp b a b< ⇔ < et ( ) ( )exp a = exp b a b⇔ = . L'image de 1 par la fonction exponentielle est unique et est noté e ( exp(1) = e1= e ) . Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718 appelé nombre de Néper. On adopte alors la notation exp(x) = ex .

xlim exp(x) 0→−∞

= xlim exp(x)→+∞

= +∞ .

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d - Formes indéterminées

Il y a trois formules de formes indéterminées à connaître :

+∞=+∞→ x

elimx

x 0x.elim x

x=

−∞→ 1

x1elim

x

0x=

−→

e - Fonction eu , où u est une fonction Si u est une fonction dérivable et strictement positive : ( exp u ) ′= u ′. exp u

2° Fonction exponentielle de base a

On appelle exponentielle de base a (a > 0) la fonction, notée a x , définie sur ℝ par :

a x = e x ln (a) ( ax se lit « a puissance x »). Cette définition est cohérente avec les notations « puissance » qui ont été introduites pour la fonction exponentielle de base e. De plus, la fonction exponentielle de base a, a > 0, donne un sens à des expressions telles que : 2 1,8, 5 2− , πe , 2π , ... Les règles de calcul connues dans le cas d’exposants entiers s’étendent aux exposants réels non entiers. Soient les réels a > 0 , a ′ > 0, b et b′ :

( ) 'b.b'bb aa = 'bb'b

b

aaa −= b

bb

'aa

'aa

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) bbb 'a.a'a.a = 'bb'bb aa.a += bb

a1a =−

1

0 x 1

y y = e x e

x

+ ∞

0 1

e

+

0 1 + ∞ − ∞

( ex )’ = ex

exp

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Remarque : La racine n ième d’un nombre correspond à une puissance réelle (voir paragraphe III pour la définition de la fonction puissance ).

En effet : nn1

aa =

II. FONCTION LOGARITHME

1° Fonction logarithme népérien a - Définition

On sait que la fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur ] [0;+ ∞ .

Autrement dit, pour tout ] [k 0;∈ +∞ , l'équation xe k= admet une solution unique dans ℝ. Cette solution est appelée logarithme népérien de k, et noté ln(k). Autrement dit : La fonction logarithme népérien, notée ln est la fonction qui à tout réel x>0 associe le réel ln(x) dont l'exponentielle est x. Elle est donc définie sur ] [ 0, ∞+ .

ln(1)=0 car e0=1 et ln(e)=1 car e1=e.

La fonction logarithme népérien est définie sur ] [∞+ 0, . Il ne faut pas prendre le logarithme d’un nombre sans vérifier au préalable qu’il est strictement positif.

b - Liens avec la fonction exponentielle On a l'équivalence :

⎩⎨⎧

>=

⇔⎩⎨⎧

>=

réel x 0,yln(y)x

réel x 0,yey x

Autrement dit, les courbes représentatives Cf et Cg des fonctions f : x ln(x)a et g : xx ea sont symétriques par

rapport à la droite d'équation y=x (première bissectrice). On dit que la fonction ln est la bijection réciproque définie sur ] [ 0, ∞+ de la fonction exp.

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c - Propriétés algébriques

Pour tous réels a > 0 et b > 0 et pour tout entier relatif p, on a :

ln ( b1 ) = - ln (b) ln

ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ln (a) - ln (b)

ln (ap )= p × ln (a) ln( a )=12

ln (a)

Equation fonctionnelle : Pour tous réels a et b, on a ln (a × b) = ln (a) + ln (b)

d - Etude du logarithme népérien

La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [, de fonction dérivée (ln (x) ) ′ = 1x

donc la

fonction ln est continue et strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [ .

ln(x) < 0 si x < 1 et ln (x) > 0 si x > 1

ln(a) ln(b) a b< ⇔ < et ln(a) ln(b) a b= ⇔ =

−∞=→

)xln(lim0x

+∞=+∞→

)xln(limx

e - Formes indéterminées

Il y a trois formules de formes indéterminées à connaître :

x

ln(x)lim 0x→+∞

= 0)xln(xlim0x

=→

1x)1xln(lim

0x=+

→

f - Fonction ln(u), où u est une fonction

Si u est une fonction dérivable et strictement positive alors : ( )u'u'uln =

1

0 x

y = ln x

1 e

y

x

0 1

+

1 e + ∞

( ln x ) / = x1

ln x + ∞

− ∞

0

= 1

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2° Fonction logarithme de base a

On appelle logarithme de base a (a > 0 et a≠ 1) la fonction Loga

, définie sur ] 0 ; + ∞ [ par :

a

ln(x)log(x)ln(a)

=

Comme ln (e) = 1, le logarithme népérien est donc le logarithme de base e. Les propriétés de

alog

sont les suivantes :

alog(1) 0=

alog(a) 1=

a

1log(x) 'x ln(a)

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

pour x > 0

La fonction log vue en physique ou en chimie correspond à la fonction logarithme de base 10 (ou décimal ) soit

10log .

III. FONCTION PUISSANCE

1° Définition On appelle fonction puissance a la fonction x → x a = e a ln (x) (a non nul), définie (et

continue) sur ] [∞+;0 .

ERREUR A NE PAS COMMETTRE

Il ne faut pas confondre : Fonction exponentielle de base a Fonction puissance a ax = e x ln( a) et x a = e a ln (x)

2° Propriétés algébriques

Pour tous réels x > 0 et y > 0 et pour tous réels a et b, on a :

xaxb = xa+ b

xa

xb = xa− b

x−a =1xa

( x y ) a = x a y a

xa( )b= xab

a

aa

yx

yx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

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3° Etude des fonctions puissances a - Sens de variation

La fonction puissance x → xa est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ de dérivée la fonction x → a xa-1

Si a > 0, alors f est strictement croissante et a pour limites :

+∞==+∞→→ +

a

x

a

0xxlimet 0xlim

Si a < 0, alors f est strictement décroissante et a pour limites :

0xlimet xlim a

x

a

0x=∞+=

+∞→→ +

b - Courbes représentatives pour a > 0

0 x

y

1

1

y = x

y = xaa > 1

y = xa0 < a < 1

IV. CROISSANCE COMPAREE

1° Résultat fondamental

En ce qui concerne la croissance comparée en + ∞ des fonctions logarithme, exponentielle et puissance, le théorème suivant permet de retrouver tous les cas.

Pour tout entier n ≥ 1 , limx→+∞ n

ln(x)x

= 0 et limx→+∞ n

x

xe

= + ∞ .

2° Interprétation du théorème Les fonctions exponentielles « l’emportent » sur les fonctions puissances et les fonctions puissances « l’emportent » sur les fonctions logarithmes.

« ex » l’emporte sur « x n » qui l’emporte sur « ln(x) »

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3° Applications

Voici quelques résultats utiles issus du théorème précédent :

limxx

→>

00

xα ln(x) = 0 , α > 0

lim

x→+∞x e xα − = 0 , α > 0