Fonctions holomorphes

M308 – L3 MFA

Universite Paris-Sud D. Hulin 2013–14

2 D. H. M308

Bibliographie

Il y a abondance de belles references d’analyse complexe. On peut citer entreautres les textes introductifs suivants :

Lang Complex analysis

Remmert Theory of complex functions

Freitag Busam Complex analysis

Cartan Theorie elementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs va-

riables complexes

Conway Functions of one complex variables I

Rudin Real and complex analysis

(ou sa traduction francaise Analyse reelle et complexe)

ainsi que

Needham Visual complex analysis

pour aborder l’analyse complexe elementaire par son aspect le plus geometrique.

Completons cette bibliographie succinte par quelques ouvrages (bien) plus avancespour

approfondir l’etude des fonctions d’une variable complexe :

Conway Functions of one complex variables II

Remmert Classical topics in complex functions theory

Segal Nine introductions in complex analysis

apercevoir quelques uns des prolongements de cette theorie

Reyssat Quelques aspects des surfaces de Riemann

Jarnicki Pflug Invariant distances and metrics in complex analysis

Ahlfors Lectures on quasiconformal mappings

ou encore s’aventurer dans le domaine des fonctions de plusieurs variables complexes

Range Holomorphic functions and integral representations in several complex

variables

Hormander An introduction to complex analysis in several complex variables

Table des matieres

1 Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 6

A Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

B Series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

C Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

D Fonctions holomorphes, fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . 11

2 Exponentielle complexe ; logarithmes 13

A La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

B Logarithme(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

C Determinations du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

C.1 La determination principale du logarithme . . . . . . . . . . . 18

C.2 Autres determinations du logarithme . . . . . . . . . . . . . . 19

D Racines k-iemes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

E Fonctions trigonometriques et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 20

F Vers la fonction ℘ de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Theoreme de Cauchy dans un convexe 23

A Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

B Integrale d’une fonction sur un chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

C Critere pour l’existence locale de primitives . . . . . . . . . . . . . . 27

D Critere pour l’existence globale de primitives . . . . . . . . . . . . . 28

E Theoreme de Cauchy dans un convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

F Logarithmes et racines d’une fonction holomorphe sur un convexe . . 31

G Integrer une fonction doublement periodique . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Formule de Cauchy dans un convexe 33

A Indice d’un lacet par rapport a un point . . . . . . . . . . . . . . . . 33

B Formule de Cauchy dans un convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

C Analyticite des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

D Quelques premieres consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

D.1 Anneau des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . 40

D.2 Regularite des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . 40

D.3 Suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 42

D.4 Holomorphie sous le signe integrale . . . . . . . . . . . . . . . 42

E Definir la fonction de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 D. H. M308

5 Applications de la formule de Cauchy 45

A Formule de Cauchy pour les derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

B Estimees de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

C Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

D Le theoreme de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

E Estimees de Cauchy uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

F Deriver la fonction de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Zeros d’une fonction holomorphe 52

A Petits rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

B Zeros d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

C Compter les zeros d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . 55

D Etude locale d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7 Singularites isolees d’une fonction holomorphe 61

A Classification des singularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

B Fonctions meromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

C Groupes d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.1 Groupe des automorphismes de C . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.2 Groupe des automorphismes du disque . . . . . . . . . . . . . 67

D Ordre d’une fonction elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8 Theoreme et formule de Cauchy homologiques 72

A Lacets homologues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

B Theoreme et formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

C Espaces simplement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Series de Laurent 81

A Fonctions holomorphes sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B Developpement en serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

C Theoreme des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

D Ordre d’une fonction elliptique, suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10 Produits infinis 89

A Prescrire les zeros d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . 89

B Produits infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

C Un exemple : factorisation de la fonction sinus . . . . . . . . . . . . 92

D Fonction holomorphe avec zeros prescrits . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11 La sphere de Riemann 97

A Ajouter un point a C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B La sphere de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12 Le theoreme de l’application conforme de Riemann 102

A Retour sur l’uniformisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B Familles normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

C Preuve du theoreme de l’application conforme . . . . . . . . . . . . . 106

5

Le paragraphe 8.C (espaces simplement connexes), ainsi que les chapitres 11

(sphere de Riemann) et 12 (theoreme de l’application conforme de Riemann) ne

figurent pas au programme de l’examen.

1. Fonctions holomorphes, fonctions analytiques

Ou l’on presente les protagonistes : fonctions holomorphes etfonctions analytiques. On s’apercevra bientot que ce sont deuxavatars d’un meme personnage.

A Fonctions holomorphes

Dans tout le cours, U ⊂ C designera un ouvert de C.

Definition 1.1 Soit f : U ⊂ C → C. On dit que f est C-derivable enz0 ∈ U lorsqu’il existe α ∈ C tel que

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h= α

On note alors f ′(z0) = α : c’est la derivee (au sens complexe) de f en z0.

L’accroissement h prend bien sur des valeurs complexes. De facon equivalente,on demande que

f(z0 + h) = f(z0) + αh+ o(h) . (∗)

L’application h ∈ C → αh ∈ C est C-lineaire. Notons que C est unR-espace vectoriel de dimension 2, et que a fortiori h ∈ C → αh ∈ C estR-lineaire. La condition (∗) exprime donc que l’application f : U ⊂ C ≃R2 → C ≃ R2 est R-differentiable en z0, de differentielle

Dz0f : h ∈ C ≃ R2 → αh ∈ C ≃ R2 .

Soyons plus precis. L’application

(x, y) ∈ R2 → x+ iy ∈ C

identifie R2, que l’on munira de sa structure euclidienne canonique, avec C.

6

Fonctions holomorphes 7

A travers cette identification, notre application

f : U ⊂ C → C

se litf : U ⊂ R2 → C ≃ R2 ,

ouf(x, y) = f(x+ iy) .

Notation 1.2 On notera f ′ la derivee complexe de f ,∂f

∂xet

∂f

∂yles derivees

partielles de f .

Proposition 1.3 Les conditions suivantes sont equivalentes :

1. f est C-derivable en z0

2. f est R-differentiable en z0 et ∂f∂y = i∂f∂x ; on a alors f ′(z0) =

∂f∂x(z0)

3. f est R-differentiable en z0 et sa matrice jacobienne s’ecrit

Jz0 f =

(

a −bb a

)

; on a alors f ′(z0) = a+ ib

4. f est R-differentiable en z0 et sa differentielle Dz0 f ∈ LR(R2,R2) estnulle, ou est une similitude directe

En 2, on pense f : U → C et en 3 ou 4 on pense f : U → R2.

Preuve On a vu que f est C-derivable en z0 ssi f est R-differentiable enz0 et si il existe α = a+ ib ∈ C tel que, pour h = x+ iy, on ait

Dz0 f .(x+iy) = (a+ib)(x+iy) = (a+ib)x+i(a+ib)y = (ax−by)+i(bx+ay)

Remarque 1.4 Un element de GL(R2,R2) est une similitude directe ssiil est produit d’une rotation et d’une homothetie de rapport non nul ssi ilconserve les angles et l’orientation.

Il suit que l’image par f , C-derivable en z0 avec f ′(z0) 6= 0, de deuxcourbes regulieres se coupant a angle droit en z0 seront deux courbes secoupant a angle droit en f(z0) : on dit que f est conforme.

On obtient comme consequence immediate.

Corollaire 1.5 Equations de Cauchy-Riemann

Soit f = P + iQ : U ⊂ C → C. Alors f est C-derivable en z0 si et seulementsi P et Q (parties reelle et imaginaire de f) sont R-differentiables en z0avec, en ce point :

∂P

∂x=

∂Q

∂yet

∂P

∂y= −

∂Q

∂x.

8 D. H. M308

Definition 1.6 Une fonction : U ⊂ C → C est holomorphe si elle est C-derivable en chaque point de U .

Proposition 1.7 — L’ensemble H(U) des fonctions holomorphes surU constitue une algebre : stable par addition, multiplication et mul-tiplication par un scalaire, fonction constante egale a 1

— Si f ∈ H(U) et ne s’y annule pas, 1/f ∈ H(U)— Si f : U → V et g : V → C sont holomorphes, la composee g f est

holomorphe

Preuve Immediate, avec les regles “usuelles” pour calculer les derivees.

Exemple 1.8 – Les fonctions z → z et z → Re z ne sont pas holomorphes– Une fonction polynomiale P (z) =

∑k0 anz

n est holomorphe

Par contre une fonction x + iy ∈ C → P (x, y) ∈ C pour P ∈ C[X,Y ] nesera en general pas holomorphe– La fonction z → 1/z est holomorphe sur C∗ ; les fractions rationnellesP (z)/Q(z) sont holomorphes en dehors des zeros de Q

Proposition 1.9 Soit U ⊂ C un ouvert connexe. Une fonction holomorphef ∈ H(U) est constante si et seulement si f ′ = 0.

Preuve ⇒ Immediat.

⇐ Suit du theoreme des accroissements finis applique a la fonction devariable reelle f , qui est de differentielle nulle.

On va passer a une famille d’exemples fondamentaux qui englobe lespolynomes.

B Series entieres

Soient (an)n∈N une suite de nombres complexes, et la “serie entiere”(formelle) associee

∑

n∈N anzn.

Definition 1.10 Le rayon de convergence de la serie entiere est

R := supr ≥ 0 | |an|rn est borne .

Il se peut que R = 0 ; prendre an = nn.

Rappel 1.11 — On a 1/R = lim sup |an|1/n

— pour 0 ≤ r < R, la serie∑

n∈N anzn converge normalement sur le

disque ferme D(0, r)— pour |z| > R, la serie

∑

n∈N anzn ne converge pas.

Series entieres 9

Definition 1.12 Le disque ouvert D(0, R) est appele disque de convergencede la serie entiere.

Proposition 1.13 Supposons R > 0. On definit f(z) =∑

n∈N anzn pour

|z| < R.

1. Le rayon de convergence de la serie∑

n∈N nanzn−1 est egal a R.

2. La fonction f est holomorphe sur D(0, R), et on a pour |z| < R :

f ′(z) =∑

n∈N

nanzn−1 .

Preuve L’assertion sur le rayon de convergence decoule de la propositionprecedente.

Soit z ∈ D(0, R) : on va montrer que f est C-derivable en z. Comme onne veut pas trop s’approcher du bord du disque de convergence (danger !),on choisit r tel que |z| < r < R. Pour h ∈ C tel que |z| + |h| < r, on auradonc :

D(0,R)

D(0,r)

f(z + h)− f(z)

h−

∞∑

0

nanzn−1 =

∞∑

1

an

((z + h)n − zn

h− nzn−1

)

=

∞∑

2

an vn(h) .

A n fixe, vn(h) → 0 lorsque h → 0. Il faut voir que la somme de la serietend vers 0. Pour cela, on cherche a majorer vn(h). Or l’identite

Xn − Y n = (X − Y )(Xn−1 + · · ·+ Y n−1)

montre que

vn(h) = (z + h)n−1 + (z + h)n−2z + · · ·+ zn−1 − nzn−1 .

On a donc, uniformement en h tel que |z|+ |h| < r, |anvn(h)| ≤ 2nanrn−1 :

majoration par le terme general d’une serie convergente. Le resultat suit.

Corollaire 1.14 La fonction f admet des derivees (au sens complexe) detous ordres, qui sont toutes developpables en serie entiere sur D(0, R) et quis’obtiennent en derivant la serie terme a terme. On a, pour tout n ∈ N,an = f (n)(0)/n!

Unicite du developpement en serie entiere :la serie

∑

n∈N anzn est la serie de Taylor de f en 0.

10 D. H. M308

C Fonctions analytiques

Ce sont les fonctions qui sont localement developpables en serie entiere.

Definition 1.15 Une fonction f : U ⊂ C → C est analytique lorsque, pourtout z0 ∈ U , il existe un disque D(z0, r) ⊂ U et une serie entiere

∑

anzn de

rayon de convergence R ≥ r tels qu’on ait, pour tout z ∈ D(z0, r) :

f(z) =∞∑

0

an(z − z0)n .

UBien entendu, les coefficients an de la

serie entiere qui restitue f sur le disque

D(z0, r) dependent du point z0 ; on a

an = an(z0) = f (n)(z0)/n!

Remarque 1.16 Soit f analytique sur U .

— Elle est holomorphe.— Elle admet des derivees complexes de tous ordres, qui sont encore

holomorphes. Elle est de classe C∞.— Elle est somme de sa serie de Taylor en chaque point.

Exemple 1.17 - Un polynome est analytique. Sa serie de Taylor en chaquepoint a un nombre fini de termes non nuls.- La fonction z → 1/z est analytique sur C∗.

Proposition 1.18 Analyticite des series entieres

Soient∑∞

0 anzn une serie entiere de rayon de convergence R > 0, et

f : D(0, R) → C sa somme.

Alors f est analytique. Plus precisement : si z0 ∈ D(0, R), f est sommede sa serie de Taylor en z0 sur tout le disque D(z0, R − |z0|).

Remarque 1.19 Cet enonce n’est pas une tautologie !

Fonctions holomorphes, fonctions analytiques 11

Preuve Ce sera une consequence de la sommation par paquets pour lesseries a termes positifs, ou bien absolument convergentes.Etape 1 : Le rayon de convergence de la serie de Taylor de f en z0 est au moins

R− |z0|. On a en effet

f (p)(z0) =∞∑

n=p

n · · · (n− p+ 1)anzn−p0 =

∞∑

q=0

(p+ q)!

q!ap+qz

q0

d’ou

|f (p)(z0)| ≤∞∑

q=0

(p+ q)!

q!|ap+q| |z

q0|

et donc (termes positifs ; on regroupe selon p+ q = n)

∞∑

p=0

1

p!|f (p)(z0)|r

p ≤∞∑

p,q=0

(p+ q)!

p!q!|ap+q||z

q0 |r

p =∞∑

n=0

|an| (|z0|+ r)n < ∞

des lors que r < R− |z0|.

Etape 2 : La serie de Taylor de f en z0 a pour somme f sur le disque D(z0, R−|z0|).

On a vu que, pour |h| < R− |z0|, la serie double

∞∑

p,q=0

(p + q)!

p!q!ap+qz

q0h

p

est abolument convergente. Comme dans l’etape 1, on calcule sa somme dedeux facons :

- en sommant en p a l’exterieur : on reconnaıt la serie de Taylor de f en z0,evaluee en h- en sommant selon p+ q = n : on obtient

∑∞0 an(z0 + h)n = f(z0 + h).

D Fonctions holomorphes, fonctions analytiques

Notre premier objectif sera de demontrer le resultat fondamental suivant.

Theoreme 1.20 Soit f : U ⊂ C → C. Alors

f est holomorphe ⇔ f est analytique .

⇐ Vu ci-dessus, c’est immediat.

⇒ Est tres surprenant ! En effet, demander que f soit holomorphe, c’est“simplement” demander que f soit C-derivable en chaque point. Elle estalors analytique.

12 D. H. M308

En particulier :— f est automatiquement C1

— et meme C∞

— et en plus elle est localement somme de sa serie de Taylor en chaquepoint.

Comparer aux fonctions de variable reelle :— f(x) = x2 sin(1/x)— f(x) = e−1/x2

qui sont derivables en tout point de R.

Rappelons egalement le

Theoreme 1.21 Theoreme de Borel

Soit (an) une suite arbitraire de nombres complexes. Il existe une fonc-tion f : R → R de classe C∞ pour laquelle, pour tout n ∈ N, on af (n)(0) = an.

On sait donc prescrire arbitrairement toutes les derivees d’une fonctionde classe C∞ en un point. En particulier, pour f (n)(0) = (n!)2, la serie deTaylor de f en 0 aura un rayon de convergence nul.

2. Exponentielle complexe ; logarithmes

Nous etudions la fonction exponentielle complexe. L’etude decet exemple fondamental nous prepare (entre autres) au chapitresuivant, ou l’on parlera de primitives.

A La fonction exponentielle

Proposition 2.1 – La serie entiere∑∞

0zn

n! a un rayon de convergence in-fini. Elle definit une fonction exp : C → C holomorphe, i.e. une fonctionentiere. On note aussi exp(z) = ez.– On a exp(0) = 1 et (exp)′ = exp.– Pour z, w ∈ C on a ez = ez et ew+z = ewez. En particulier, exp : C → C∗

ne s’annule pas.– L’application exponentielle reelle exp : R → R∗

+ est une bijection crois-sante.

On a |ez| = 1 si et seulement si z ∈ iR.

Definition 2.2 Une fonction entiere est une fonction holomorphe definiesur C tout entier.

Preuve Les deux premiers points sont clairs. L’identite ez = ez suit de ceque la conjugaison z ∈ C → z ∈ C est continue.Pour a, b ∈ C, on introduit g(z) = ez ea+b−z . On a g′ = 0, donc g(z) ≡g(0) = ea+b par la proposition 1.9. Pour z = a, on obtient eaeb = ea+b. Enparticulier, ez est non nul, d’inverse e−z. Ceci justifie la notation exp(z) = ez,en posant e := exp(1).On etudie d’abord la fonction exponentielle reelle sur [0,∞[ en remarquantque sa derivee y est positive, et on complete l’etude en utilisant la relatione−x = 1/ex.

Enfin ex+iy = exeiy avec |eiy|2 = eiye−iy = 1, tandis que ex = 1 si etseulement si x = 0.

Remarque 2.3 L’exponentielle complexe exp est l’unique application entieref : C → C qui verifie simultanement f(0) = 1 et f ′(z) = f(z) pour toutz ∈ C. Ceci resulte de la proposition 1.9, appliquee a z ∈ C → f(z)e−z ∈ C.

13

14 D. H. M308

On veut maintenant montrer que exp : C → C∗ est surjective. Nousallons utiliser un argument de topologie. Nous commencons par enoncer lavariante holomorphe du theoreme d’inversion locale.

Remarque 2.4 Rappelons qu’on a annonce qu’une fonction holomorphe estautomatiquement de classe C1. Nous admettons (provisoirement) ce resultatpour demontrer la proposition suivante, ainsi que son corollaire.Nous n’appliquerons cependant dans l’immediat le corollaire 2.6 qu’a la fonc-tion exponentielle qui, par construction, est analytique donc de classe C1.

Proposition 2.5 Inversion locale holomorphe

Soient f : U → C une application holomorphe et z0 ∈ U . On supposeque f ′(z0) 6= 0.

Alors f est un biholomorphisme au voisinage de z0 : il existe un voisinageV ⊂ U de z0 pour lequel f(V ) ⊂ C est ouvert, et tel que l’applicationf : V → f(V ) soit bijective d’inverse f−1 holomorphe.

Preuve Rappelons que, pour f holomorphe, on a l’equivalence

f ′(z0) = a+ ib 6= 0 ⇔ Jz0 f =

(

a −bb a

)

∈ Gl2R ,

ou f : U ⊂ R2 → R2 designe l’application de variable reelle sous-jacente,qui est de classe C1 (remarque 2.4). Il suit donc du theoreme d’inversionlocale que f est un diffeomorphisme d’un voisinage V de z0 sur son imagef(V ). L’inverse d’une similitude directe est encore une similitude directe.La proposition 1.3 assure alors que l’application reciproque f−1 : f(V ) → Vest egalement holomorphe.

Corollaire 2.6 Application ouverte, version preliminaire

Soit f : U → C une application holomorphe dont la derivee ne s’annulepas. Alors f est une application ouverte.

Nous reviendrons ulterieurement sur cet enonce (voir 6.18).

Exemple 2.7 L’application exp : C → C∗ est ouverte.

On rappelle qu’un ouvert de C∗ est un ouvert de C inclus dans C∗.

Theoreme 2.8 — L’application exponentielle exp : (C,+) → (C∗, .)est un morphisme de groupes surjectif.

— Il existe un unique reel positif, note π, pour lequel Ker (exp) = 2iπZ.— On a eiπ = −1 et eiπ/2 = i.

La fonction exponentielle 15

Remarque. L’argument que nous allons developper ci-dessous pour demontrer la surjec-

tivite de l’application exponentielle exp : C → C∗ montre, plus generalement, qu’un

sous-groupe ouvert d’un groupe topologique est toujours ferme.

Il suit par exemple que le groupe Gl+nR des matrices a determinant positif est engendre

par exp(MnR) (exp designant ici l’exponentielle matricielle) : toute matrice reelle de

determinant positif s’ecrit comme produit d’exponentielles de matrices reelles.

Preuve On a vu ci-dessus que l’application exponentielle est un morphismede groupes, et que son image est ouverte.

Surjectivite. L’image H = exp(C) ⊂ C∗ est un sous-groupe ouvert deC∗. C’est donc aussi un sous-groupe ferme de C∗. En effet on a

C∗ = H⊔ ⋃

a∈C∗ , a/∈H

aH ,

ou⊔

indique une union disjointe et ou chaque classe aH ⊂ C∗ modulo Hest ouverte comme H, puisque la multiplication z ∈ C → az ∈ C par a ∈ C∗

est un homeomorphisme de C et induit donc un homeomorphisme de C∗.On conclut par connexite de C∗.

Noyau de exp. Il nous reste a etudier le noyau de exp : (C,+) → (C∗, .).On a vu (proposition 2.1) que Ker (exp) ⊂ iR. On peut donc se contenterde chercher le noyau du morphisme de groupes h : t ∈ (R,+) → eit ∈ (S1, .).Ce morphisme est surjectif et continu. Son noyau Ker h ⊂ R est donc unsous-groupe ferme de R, qui est :– distinct de R (car h est surjectif)– non trivial (car si eit0 = i, on a e4it0 = 1).Il existe donc un unique reel a > 0 pour lequel Ker h = aZ. On definit π parla relation 2π := a.

Deux valeurs de exp. On a alors eiπ = −1, (eiπ etant different de 1, etde carre egal a 1).

Puisque de carre egal a −1, on a eiπ/2 = ±i. Il reste a voir que sa partieimaginaire est positive. Pour cela on considere de nouveau l’application h :t ∈ R → eit ∈ S1. La partie imaginaire de h(t) (autrement dit, sin t !)s’annule si et seulement si h(t) = ±1. Il s’ensuit que Imh(t) garde un signeconstant sur l’intervalle ]0, π[. Comme h′(0) = i, ce signe est positif.

Ci-dessous, on “dessine” l’application exponentielle complexe. Elle envoieles droites horizontales (partie imaginaire constante) sur les demi-droitesissues de l’origine, et les droites verticales (partie reelle constante) sur lescercles. Comme prevu (voir la remarque 1.4), elle preserve les angles droits.

16 D. H. M308

0

2iπ

4iπ

B Logarithme(s)

Dans le domaine reel, l’application exp : R → R∗+ est une bijection

croissante. Son inverse est le logarithme neperien, note log : R∗+ → R.

Dans le domaine complexe, l’application exp : C → C∗ est surjective,mais non injective. Lorsque z ∈ C∗, on peut ecrire z = ew, ou w est unlogarithme de z, defini a 2iπ pres. Quand z = ex+iy = exeiy :

— la partie reelle de z, soit x = log |z|, est bien definie— sa partie imaginaire y, definie a 2π pres, est un argument de z.

Definition 2.9 Soit U ⊂ C∗ un ouvert. Une application f : U → C est unedetermination (continue) du logarithme lorsque

— f est continue— pour tout z ∈ U , on a z = ef(z).

Remarque 2.10 L’existence d’une determination continue du logarithmesur U equivaut a l’existence d’une determination continue de l’argument surU .

Exemple 2.11 Il n’existe pas de determination continue du logarithme surC∗ tout entier.

Preuve Sinon, on disposerait d’une determination continue de l’argument

z ∈ C∗ → θ(z) ∈ R

avec, pour tout z ∈ C∗, z = |z| eiθ(z). En particulier, en se restreignant aucercle unite, on aurait pour tout t ∈ R :

eit = ei θ(eit) .

L’application continue t ∈ R → t − θ(eit) ∈ 2πZ, definie sur un ensembleconnexe et a valeurs dans un espace discret serait donc constante.

Logarithme(s) 17

On obtient une contradiction car t → θ(eit) est 2π-periodique sur R,mais t → t ne l’est pas.

Le meme raisonnement (fonction continue definie sur un connexe et avaleurs dans un espace discret) donne la :

Proposition 2.12 Soient U ⊂ C∗ un ouvert connexe de C∗ et f0 : U → Cune determination continue du logarithme sur U . Les autres determinationscontinues du logarithme sur U sont exactement les fonctions

fn := f0 + 2inπ n ∈ Z .

La proposition suivante nous permettra de construire, lorsqu’elles existent,les determinations continues du logarithme sur un ouvert de C∗.

Proposition 2.13 Soit U ⊂ C∗ un ouvert.

1. Si f : U → C est une determination continue du logarithme sur U ,f est holomorphe et on a f ′(z) = 1/z pour tout z ∈ U .

2. On suppose maintenant U connexe. Soit g : U → C une fonctionholomorphe telle que g′(z) = 1/z pour tout z ∈ U . Alors il existeune constante α ∈ C telle que z ∈ U → g(z) − α ∈ C soit unedetermination continue du logarithme.

Remarque 2.14 – L’existence d’une determination continue du logarithmesur U equivaut donc a l’existence d’une “primitive” sur l’ouvert U pourl’application z ∈ U → 1/z ∈ C .– Le fait que la fonction z ∈ C∗ → 1/z ∈ C n’admette pas de primitiveest fondamental, et contient en germe la notion d’indice et le theoreme desresidus.– Lorsque l’ouvert U n’est pas connexe, on ajuste separement la constantesur chacune de ses composantes connexes.

Preuve

1. Soit z ∈ U . Pour h ∈ C tel que z+h ∈ U , on a exp(f(z+h)) = z+h,exp(f(z)) = z et donc

exp(f(z + h)− f(z)) = 1 +h

z.

La continuite de f au point z assure que f(z+h)− f(z) → 0 lorsqueh → 0. Puisque exp(u) = 1 + u+ o(u), on obtient

exp(f(z + h)− f(z)) = 1 + (f(z + h)− f(z)) (1 + ε(h)) ,

ou ε(h) → 0 quand h → 0. On a donc

f(z + h)− f(z) =h

z(1 + ε(h))−1 :

la fonction f est derivable en z, et on a f ′(z) = 1/z.

18 D. H. M308

2. Supposons la fonction g holomorphe, avec g′(z) = 1/z. Soit h ∈ H(U)definie par h(z) = exp(g(z))/z. On verifie facilement que h′ = 0, etdonc que h est constante puisque l’ouvert U est suppose connexe(proposition 1.9). Il existe donc a ∈ C∗ tel que, pour tout z ∈ U ,on ait eg(z) = az. Soit α ∈ C tel que a = eα. La fonction z ∈ U →g(z)− α ∈ C est une determination du logarithme sur U .

Remarque. Le fait qu’une determination continue du logarithme soit holomorphe, ainsi

que le calcul de sa derivee, suivent egalement du fait que l’application exp : C → C∗ est

un diffeomorphisme local.

C Determinations du logarithme

C.1 La determination principale du logarithme

Il suit de l’etude de l’application exponentielle que la restriction

exp : w ∈ C | − π < Imw < π → C \ R−

est bijective, et est donc un biholomorphisme entre ces deux ouverts. L’ap-plication reciproque

ℓπ : C \ R− → w ∈ C | − π < Imw < π

est appelee “determination principale du logarithme”. Elle prolonge au “plancoupe” C\R− le logarithme reel log : R∗

+ → R. La “determination principalede l’argument” correspondante prend ses valeurs dans ]− π, π[.

-iπ

iπ

iπ/2

-iπ/2

0

Cette determination du logarithme est “maximale” : elle ne se prolongepas en une determination (continue) du logarithme sur un ouvert plus grandque C \ R−.

Lemme 2.15 La determination principale ℓπ du logarithme est developpableen serie entiere sur le disque ouvert D(1, 1) centre en 1 et de rayon 1. Ona, pour tout z ∈ C avec |z − 1| < 1 :

ℓπ(z) =

∞∑

0

(−1)n(z − 1)n+1

n+ 1.

Determinations du logarithme 19

Preuve On observe que D(1, 1) ⊂ C \ R−. La fonction j : z → 1/z estdeveloppable en serie entiere sur le disque ouvert D(1, 1) centre en 1 et derayon 1. Pour z ∈ C tel que |z − 1| < 1 :

j(z) =1

z=

1

1 + (z − 1)=

∞∑

0

(−1)n(z − 1)n .

Le resultat suit de ce que la fonction ℓπ est l’unique primitive de j sur C\R−

qui s’annule en z = 1.

Je vous laisse montrer de meme que ℓπ admet un developpement en serie entiere

sur tout autre disque D ⊂ C \ R−.

C.2 Autres determinations du logarithme

• D’une part il faut bien avouer que c’etait du pur favoritisme que desingulariser la droite reelle negative, ainsi que de chercher a prolonger lelogarithme neperien. Si ∆ est une demi-droite fermee issue de l’origine, et siα ∈ R est un argument pour (tous) les elements de ∆ \ 0, on obtient dememe une determination du logarithme

ℓα : C \∆ → w ∈ C | α− 2π < Imw < α

sur le nouveau plan coupe C \∆.

i(α-π/2)

iα

Δ

i(α-π)

i(α-3π/2)

i(α-2π)

• D’autre part, vous pourrez vous convaincre facilement de l’existencede determinations continues du logarithme sur les ouverts U et V de C∗

dessines ci-dessous (U est C∗ prive de la courbe noire).

20 D. H. M308

U V

0

0

D Racines k-iemes d’un nombre complexe

Soit k ∈ N∗. Un nombre complexe non nul possede exactement k racinesk-iemes w, telles que wk = z, et qui different toutes d’une racine k-ieme del’unite.

Lemme 2.16 Soit U ⊂ C∗ un domaine sur lequel il existe une determination(continue, donc holomorphe) ℓ : U → C du logarithme. L’application

r : z ∈ U → exp( 1

kℓ(z)

)

∈ C∗

fournit une determination holomorphe de la racine k-ieme sur U .

E Fonctions trigonometriques et hyperboliques

Les fonctions trigonometriques (sinus, cosinus, tangente et cotangente) ethyperboliques (sinus hyperbolique etc...) que vous avez l’habitude de maniersur R s’etendent naturellement a la variable complexe.

On definit ainsi les fonctions entieres

sin(z) =eiz − e−iz

2i, cos(z) =

eiz + e−iz

2

sinh(z) =ez − e−z

2, cosh(z) =

ez + e−z

2

de sorte que i sin(z) = sinh(iz) et cos(z) = cosh(iz) pour tout z ∈ C. Lesquotients

tan(z) =sin(z)

cos(z), cot(z) =

cos(z)

sin(z)

tanh(z) =sinh(z)

cosh(z), coth(z) =

cosh(z)

sinh(z)

sont des fonctions meromorphes sur C (voir le chapitre 7).

Fonctions trigonometriques et hyperboliques 21

Exercice 2.17 (A traiter apres le chapitre 7).

Determiner pour chaque pole de chacun de ces quotients, l’ordre du pole ainsi quele residu correspondant.

Noter enfin que toutes les relations de trigonometrie et de trigonometriehyperbolique connues sur R s’etendent a la variable complexe. Cela se verifieen revenant a la definition via la fonction exponentielle, ou bien en propa-geant ces identites via le principe du prolongement analytique (chapitre 6).

22 D. H. M308

F Vers la fonction ℘ de Weierstrass

La fonction exponentielle exp : C → C fournit un exemple de fonctionentiere (simplement) periodique, avec

exp(z + 2iπ) = exp(z)

pour tout z ∈ C. On a exp(z + 2iπn) = exp(z) pour tous z ∈ C et n ∈ Z.

Question Existe-t-il des fonctions entieres doublement periodiques (autresque les fonctions constantes bien entendu) ?

Definition 2.18 Une fonction f : C → C est doublement periodique lors-qu’il existe deux nombres complexes non nuls u, v ∈ C∗, dont le ratio ne soitpas reel, et tels que

f(z) = f(z + u) = f(z + v)

pour tout z ∈ C. La fonction f verifie alors f(z+w) = f(z) pour tous z ∈ Cet w ∈ Λ, ou Λ est le “reseau”

Λ = Zu+ Z v .

Le reseau carre Λ0 = Z+ Zi engendre par 1 et i, un autre reseau Λ = Zu+ Z v, ainsi que

des domaines fondamentaux pour chacun

La fonction f est alors connue des qu’elle est connue sur le “domainefondamental” K := xu+ yv | 0 ≤ x < 1 , 0 ≤ y < 1 du reseau Λ.

Cette question, ainsi que ses developpements, nous servirontde fil rouge tout au long du semestre.

3. Theoreme de Cauchy dans un convexe

On montre que toute fonction holomorphe admet localement desprimitives.

A Primitives

Definition 3.1 Soit f : U ⊂ C → C une fonction. On dit que la fonctionF : U ⊂ C → C est une primitive de f lorsque :

— F est holomorphe— F ′ = f .

Exemple 3.2 – Pour n ∈ Z avec n 6= −1, l’application F : z → zn+1/(n+ 1)est primitive de f : z → zn (sur C lorsque n ≥ 0, et sur C∗ lorsque n ≤ −2).

– Une determination du logarithme sur un ouvert de C∗ y est une pri-mitive de z → 1/z.

On se posera la question de l’existence, et de l’unicite, de primitives pourune fonction donnee.

Unicite. Lorsque U est connexe et F : U → C est une primitive de f , unefonction G : U → C est primitive de f si et seulement si G−F est constante(proposition 1.9).

Existence. C’est plus delicat ! On pose quelques jalons, en anticipant surla suite du cours.

– Soit F une fonction holomorphe. On a annonce que F est alors analy-tique. On en deduit que sa derivee f := F ′ est egalement analytique, doncholomorphe. Donc seule une fonction holomorphe pourra esperer avoir uneprimitive.

– Par ailleurs, puisqu’une fonction f holomorphe est analytique, elle estlocalement developpable en serie entiere : f(z) =

∑

an(z−z0)n, et elle admet

donc toujours localement des primitives F (z) = c+∑

an(z−z0)n+1/(n+1).

– Par contre, une fonction holomorphe f : U → C n’admettra en generalpas de primitive sur U tout entier. Souvenons-nous en effet de l’exemple def : z ∈ C∗ → 1/z ∈ C.

23

24 D. H. M308

B Integrale d’une fonction sur un chemin

Definition 3.3 – Un chemin est une application γ : [a, b] → C, continue etde classe C1 par morceaux.– Un lacet est un chemin γ : [a, b] → C qui est ferme, i.e. tel que γ(a) = γ(b).

Un chemin, un lacet

Exemple 3.4 – Le chemin σ[z0,z1] : t ∈ [0, 1] → z0 + t(z1 − z0) ∈ C a pourimage le segment [z0, z1] ⊂ C, parcouru de z0 vers z1.– Le lacet cn : t ∈ [0, 2π] → eint ∈ C (n ∈ Z∗) a pour image le cercle uniteparcouru |n| fois, dans le sens trigonometrique lorsque n > 0, dans le senscontraire sinon. Le lacet c0 est un lacet constant.

Definition 3.5 Soient U ⊂ C un ouvert, et f : U → C continue. Soitγ : [a, b] → U un chemin. L’integrale de f sur γ, notee

∫

γ f(z) dz (ou encore

parfois simplement∫

γ f), est

∫ b

af(γ(t)) γ′(t) dt .

Remarque 3.6 Ne pas se laisser impressionner par la notation∫

γ f(z) dz.Il s’agit d’une banale integrale de fonction de variable reelle.

Proposition 3.7 Si f admet une primitive F sur U on a∫

γf(z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a))

pour tout chemin γ : [a, b] → U . En particulier, l’integrale de f sur un lacetγ trace dans U est nulle.

Preuve Par composition, la fonction t → F (γ(t)) est continue sur [a, b] etderivable sur [a, b] prive d’un nombre fini de points, de derivee

(F (γ(t)))′ = F ′(γ(t)) γ′(t) = f(γ(t)) γ′(t) .

La fonction I : t →∫ ta f(γ(s)) γ

′(s) ds est egalement continue sur [a, b] etderivable sur [a, b] prive d’un nombre fini de points avec, lorsque c’est defini,I ′(t) = (F (γ(t)))′.

Integrale d’une fonction sur un chemin 25

Deux exemples

– Si ℓπ designe la determination principale du logarithme sur C \R− (ℓπest donc primitive de z → 1/z, avec ℓπ(1) = 0), on a pour tout w ∈ C \ R−

ℓπ(w) =

∫

σ[1,w]

dz

z,

avec σ[1,w] : t ∈ [0, 1] → 1 + t(w − 1) ∈ C∗.

01

w

– Le lacet c1 : t ∈ [0, 2π] → eit ∈ C∗ a pour image le cercle unite,parcouru dans le sens trigonometrique. On evalue facilement

∫

c1

dz

z=

∫ 2π

0

c′1(t)

c1(t)dt = 2iπ .

Ce petit calcul est fondamental. Ce sera la base de la definition de l’indice,et du theoreme des residus. Le fait que l’integrale soit non nulle reflete lanon-existence d’une primitive pour z → 1/z sur C∗.

Operations sur les chemins

Reparametrisation Soit γ : [a, b] → U un chemin. La reparametrisationde γ, associee a ϕ : [c, d] → [a, b] bijection de classe C1 telle que ϕ′ > 0, estγ ϕ : [c, d] → U . Noter que ϕ(c) = a et ϕ(d) = b. Le chemin γ ϕ a memeimage geometrique que γ, et il est parcouru dans le meme sens.

On a alors, pour toute fonction continue f : U → C,∫

γf(z) dz =

∫

γϕf(z) dz .

Nous n’aurons donc pas a nous inquieter de l’intervalle de parametrisation.

Chemin oppose Le chemin oppose a γ : [0, 1] → U est γ∨ : [0, 1] → Udefini par γ∨(t) = γ(1 − t). Ce chemin a meme image geometrique que γ,mais il est parcouru en sens inverse. Par exemple, c−n = c∨n (n ∈ Z).

On a∫

γ∨

f(z) dz = −

∫

γf(z) dz .

26 D. H. M308

Concatenation Si γ1, γ2 : [0, 1] → U sont deux chemins avec γ1(1) = γ2(0),on peut definir le concatene γ1 ∗ γ2 : [0, 2] → U de ces chemins par :

γ1 ∗ γ2(t) = γ1(t) pour 0 ≤ t ≤ 1

γ1 ∗ γ2(t) = γ2(t− 1) pour 1 ≤ t ≤ 2

Par exemple cn = c1 ∗ · · · ∗ c1 (n fois).On a alors

∫

γ1∗γ2

f(z) dz =

∫

γ1

f(z) dz +

∫

γ2

f(z) dz .

c1 -1c

Le lacet c1 et son oppose c−1 ; le concatene de deux chemins

Estimation de l’integrale sur un chemin

Lemme-Definition 3.8 La longueur d’un chemin γ : [a, b] → C est definiepar

L(γ) =

∫ b

a|γ′(t)| dt .

On a, pour toute fonction continue f : U → C, la majoration

|

∫

γf(z) dz| ≤ sup

t∈[a,b]|f(γ(t))| L(γ) .

On obtient immediatement le :

Corollaire 3.9 Soient γ un lacet de U et fn : U → C une suite de fonc-tions continues qui converge uniformement (ou uniformement sur le supportγ([a, b]) de γ) vers une fonction f . Alors

∫

γfn(z) dz →

∫

γf(z) dz .

Critere pour l’existence locale de primitives 27

C Critere pour l’existence locale de primitives

Notation 3.10 Soient α, β, γ ∈ C. Le triangle T (α, β, γ) = conv (α, β, γ)est l’enveloppe convexe de ces trois points. Son bord (oriente) est le lacet

∂T := ∂T (α, β, γ) = σ[α,β] ∗ σ[β,γ] ∗ σ[γ,α] .

Theoreme 3.11 Soit U ⊂ C un ouvert convexe. La fonction continue f :U → C admet une primitive sur U si et seulement si on a

∫

∂Tf(z) dz = 0 pour tout triangle T ⊂ U . (∗)

Remarque 3.12 – Puisque U est convexe, un triangle T est inclus dans Usi et seulement si ses sommets sont dans U .– Si f : V → C est definie sur un ouvert non convexe V , on appliquerace critere localement (typiquement sur des boules B ⊂ V ) pour obtenirl’existence de primitives pour les restrictions f|B.– On verra dans le chapitre suivant que la condition (∗) est satisfaite partoute fonction f holomorphe sur U .

Preuve ⇒ Immediat d’apres la proposition 3.7 puisque ∂T est un lacet.

⇐ Fixons w0 ∈ U . Guides par la proposition 3.7, nous allons verifier quela fonction F definie pour w ∈ U par

F (w) =

∫

σ[w0,w]

f(z) dz ,

ou σ[w0,w] : t ∈ [0, 1] → w0 + t(w − w0) ⊂ U parametre le segment [w0, w],est bien (la) primitive de f (qui s’annule en w0).

w+h

w0

w

Pour h ∈ C petit, le point w + h appartient encore a U , et la condition(∗) appliquee au triangle T (w0, w,w + h) ⊂ U assure que

1

h

(

F (w + h)− F (w))

=1

h

(

∫

σ[w0,w+h]

f(z) dz −

∫

σ[w0,w]

f(z) dz)

=1

h

∫

σ[w,w+h]

f(z) dz

=

∫ 1

0f(w + th) dt →h→0 f(w)

par continuite de f au point w.

28 D. H. M308

D Critere pour l’existence globale de primitives

Tant qu’a faire, nous completons ce qui a ete vu dans la section precedentepar un critere d’existence globale de primitive pour une fonction definie surun ouvert quelconque (non convexe). L’ouvert n’etant plus convexe, il n’y aplus de chemin privilegie (segment) pour aller d’un point a un autre.

Theoreme 3.13 Soient U ⊂ C un ouvert quelconque, et f : U → C unefonction continue. La fonction f admet une primitive sur U si et seulementsi son integrale sur tout lacet c trace dans U est nulle :

∫

cf(z) dz = 0 pour tout lacet c ⊂ U . (∗∗)

Remarque 3.14 Soit f : U → C continue. On veut savoir si f admet uneprimitive. Lorsque l’ouvert U est convexe, le theoreme 3.11 nous dispense deverifier que l’integrale

∫

c f(z) dz de f sur tout lacet c de U est nulle. Il suffitde verifier que son integrale sur le bord de tout triangle T ⊂ U est nulle.

Preuve La condition (∗∗) est necessaire (comme en 3.11). On va voir qu’elle estsuffisante. Supposons en effet l’ouvert U connexe (sinon on travaille separement surchacune de ses composantes connexes) ; l’ouvert U est alors connexe par arcs C1

(ou C1 par morceaux), voir le lemme 8.9. On choisit un point w0 ∈ U et l’on definitpour tout point w ∈ U

F (w) =

∫

γ

f(z) dz ,

ou γ est n’importe quel chemin trace dans U joignant w0 a w : la condition (∗∗)assure que la fonction F est bien definie car l’integrale ne depend pas du choix duchemin entre w0 et w.

Soit ε > 0 pour lequel D(w, ε) ⊂ U . Soit |h| < ε. Si γ est un chemin joignantw0 a w et trace dans U , le chemin concatene γ ∗ σ[w,w+h] joint w0 a w + h et esttrace dans U . On a alors

F (w + h) = F (w) +

∫

σ[w,w+h]

f(z) dz ,

ce qui montre que F est bien primitive de f .

w w+h

w00w

w

Construction de primitive : U convexe, ou pas.

Theoreme de Cauchy dans un convexe 29

E Theoreme de Cauchy dans un convexe

On va demontrer, comme annonce, qu’une fonction holomorphe admetlocalement des primitives. Nous devons donc verifier qu’elle satisfait le criteredu theoreme 3.11. C’est l’objet du lemme suivant.

Lemme technique 3.15 Lemme de Goursat

Soient U ⊂ C un ouvert, f : U → C une fonction holomorphe et T ⊂ Uun triangle. Alors

∫

∂Tf(z) dz = 0 .

U

Preuve On decoupe le triangle T en quatre triangles homothetiques derapport 1/2, soient T (1), T (2), T (3), T (4) que l’on oriente convenablementde sorte que

∫

∂Tf(z) dz =

4∑

i=1

∫

∂T (i)f(z) dz .

On retient parmi les quatre triangles T (i) celui (ou l’un de ceux) pour lequel|∫

∂T (i) f(z) dz| est maximale. On le nomme T1, de sorte que

|

∫

∂Tf(z) dz| ≤ 4 |

∫

∂T1

f(z) dz| .

Le triangle T et les quatre triangles T (1), T (2), T (3), T (4)

30 D. H. M308

On itere le procede. Obtient donc une suite Tn+1 ⊂ Tn ⊂ T de triangles,ou Tn est homothetique de T de rapport 2−n et satisfait

|

∫

∂Tf(z) dz| ≤ 4n |

∫

∂Tn

f(z) dz| .

T et la suite de triangles Tn

Les triangles Tn forment une suite decroissante de compacts non videsdonc leur intersection est non vide. Comme le diametre de Tn tend vers 0lorsque n → ∞, cette intersection est reduite a un point : il existe z0 ∈ Ttel que ∩n≥1Tn = z0.

On a suppose f holomorphe. En particulier f est C-derivable en z0. Ona donc, en notant α = f ′(z0) :

f(z)− f(z0)− α (z − z0) = o(z − z0) ,

d’ou

supz∈∂Tn

|f(z)− f(z0)− α (z − z0)| = o(diamTn) .

Le diametre diamTn et la longueur du bord de Tn satisfont respectivementdiamTn = 2−ndiamT et L(∂Tn) = 2−nL(∂T ). Soit ε > 0. Le lemme 3.8assure donc qu’il existe N ∈ N tel qu’on ait pour tout n ≥ N

|

∫

∂Tn

f(z)− f(z0)− α (z − z0) dz| ≤ ε diamTn L(∂Tn)

= ε 4−n diamT L(∂T ) .

La fonction z → f(z0) + α (z − z0) est polynomiale en z. Elle admetdonc une primitive sur C et son integrale sur chaque lacet ∂Tn est nulle. Onobtient finalement

|

∫

∂Tf(z) dz| ≤ 4n |

∫

∂Tn

f(z) dz| ≤ εdiamT L(∂T ) .

Ceci etant vrai pour tout ε > 0, la conclusion suit.

Logarithmes et racines d’une fonction holomorphe sur un convexe 31

Corollaire 3.16 Theoreme de Cauchy pour un convexe

Soient U ⊂ C un ouvert convexe et f : U → C une fonction holomorphe.Alors

1. f possede une primitive sur U

2. pour tout lacet γ de U , on a∫

γ f(z) dz = 0.

Preuve

1. L’existence d’une primitive de f sur U decoule du critere donne dansle theoreme 3.11 et du lemme de Goursat 3.15.

2. S’en deduit, grace a la proposition 3.7.

Remarque 3.17 Ne pas oublier l’hypothese de convexite. Se souvenir, en-core et toujours, de l’application z ∈ C∗ → 1/z ∈ C∗ qui n’admet pas deprimitive sur C∗ et dont l’integrale sur le lacet c1 (d’image le cercle unite)est non nulle.

F Logarithmes et racines d’une fonction holomorphesur un convexe

Proposition 3.18 Soient U ⊂ C un ouvert convexe et f : U → C∗ unefonction holomorphe qui ne s’annule pas. Alors

1. il existe g : U → C holomorphe avec f = eg ; deux telles fonctionsdifferent d’une constante additive dans 2iπZ

2. il existe, pour tout k ∈ N∗, une fonction holomorphe h : U → C∗

telle que hk = f ; deux telles fonctions different par une constantemultiplicative qui est une racine k-eme de l’unite.

Preuve

1. Soit g holomorphe sur U . La fonction e−gf est constante sur U si etseulement si g′ = f ′/f . Prendre pour g une primitive convenable de lafonction holomorphe f ′/f sur le convexe U (on ajuste la “constanted’integration” en se servant de la surjectivite de l’application expo-nentielle exp : C → C∗).

2. Si f = eg, la fonction h = exp gk convient.

L’unicite, a constante pres, est laissee au lecteur.

32 D. H. M308

G Integrer une fonction doublement periodique

Terminons ce chapitre par un petit exemple qui nous sera utile lors del’etude de la fonction ℘ de Weierstrass.

Soit f : C → C une fonction continue doublement periodique, associeeau reseau Λ = Zu+ Zv. Notons γ : [0, 1] → C le lacet defini par

— γ(t) = 4tu lorsque 0 ≤ t ≤ 1/4— γ(t) = u+ (4t− 1)v lorsque 1/4 ≤ t ≤ 1/2— γ(t) = u+ v − (4t− 2)u lorsque 1/2 ≤ t ≤ 3/4— γ(t) = 4(1− t)v lorsque 3/4 ≤ t ≤ 1.Le lacet γ decrit le bord du domaine fondamental de Λ, et l’on a

∫

γf(z) dz = 0 .

0u

v

4. Formule de Cauchy dans un convexe

Un petit effort supplementaire va nous donner la formule derepresentation integrale de Cauchy, qui permet de calculer lavaleur en un point d’une fonction holomorphe connaissant lesvaleurs qu’elle prend sur un cercle entourant ce point. On endeduira l’analyticite des fonctions holomorphes, tant attendue.

A Indice d’un lacet par rapport a un point

Definition 4.1 Soient γ ⊂ C un lacet et a ∈ C \ γ un point pris hors del’image de γ. L’indice du lacet γ par rapport au point a est

Ind (γ, a) =1

2iπ

∫

γ

dz

z − a.

Interpretation geometrique

Par translation, on se ramene a a = 0. Le lacet γ est trace dans C∗ et

Ind (γ, 0) =1

2iπ

∫

γ

dz

z.

Localement, on a des determinations du logarithme sur C∗ qui sont desprimitives de z → 1/z. Soit α ⊂ γ un petit arc contenu dans un ouvertU ⊂ C∗ sur lequel il existe une determination du logarithme ℓ. L’integrale∫

αdzz calcule l’accroissement de ℓ le long de α. Sa partie reelle est la difference

des valeurs de log|z| entre les deux extremites de α. Sa partie imaginaire nousdonne l’accroissement, entre les deux extremites de α, de la determination(continue) de l’argument associee a ℓ.

Pour calculer l’integrale I =∫

γdzz le long du lacet γ entier, on decompose

γ en petits arcs et on ajoute leurs contributions. La partie reelle de I estdonc nulle, puisque |γ(1)| = |γ(0)|.Sa partie imaginaire verifie Im I = θ(1) − θ(0), ou t ∈ [0, 1] → θ(t) estune determination continue de l’argument le long du lacet γ : t ∈ [0, 1] →γ(t) (de sorte qu’on a γ(t) = |γ(t)| eiθ(t) pour tout t ∈ [0, 1]). On a doncInd (γ, 0) = N , ou N ∈ Z est “le nombre de tours que γ fait autour del’origine”.

33

34 D. H. M308

c1 -1c c

Il faut savoir calculer l’indice “de vue” dans des cas simples ; ici

Ind (c1, 0) = 1, Ind (c−1, 0) = −1, Ind (c, 0) = 2, Ind (d, 0) = 0

Nous allons formaliser cette interpretation geometrique, et montrer la

Proposition 4.2 Soit γ : [0, 1] → C un lacet.

1. L’application a ∈ C \ γ → I(γ, a) est a valeurs entieres.

2. Elle est constante sur chaque composante connexe de C \ γ.

3. Elle est nulle sur l’unique composante connexe non bornee de C \ γ.

Preuve 1. Introduisons, pour t ∈ [0, 1],

h(t) = exp(

∫ t

0

γ′(s)

γ(s)− ads

)

.

On veut voir que h(1) = 1. On derive h et on obtient

h′(t)

h(t)=

γ′(t)

γ(t)− a

ce qui montre que le ratioγ(t)− a

h(t)est constant. Puisque γ(1) = γ(0), on a

donc bien h(1) = h(0) = 1.

Soit w0 ∈ C tel que γ(t)− a = h(t)ew0 . On vient de montrer que l’application

t → w0+∫ t

0γ′(s)

γ(s)−ads est une determination continue du logarithme de t → γ(t)−a.

2. L’application a ∈ C \ γ → Ind (γ, a) ∈ Z est continue (application dutheoreme elementaire de continuite sous le signe

∫

: en effet, lorsque an →a ∈ C \ γ, l’integrand converge uniformement sur [0, 1], de mesure finie).Cette application est a valeurs dans un espace discret, donc sa restriction atoute composante connexe de C \ γ est constante.

3. L’image du lacet γ est un compact de C, donc inclus dans un disqueD(0, R). Le complementaire cD(0, R) ⊂ C \ γ de ce disque est connexe ; ilest contenu dans l’unique composante connexe non bornee U∞ de C\γ. Unesimple majoration montre que

Ind (γ, a) → 0 lorsque |a| → ∞.

Formule de Cauchy dans un convexe 35

L’indice (entier) est donc nul “a l’infini”, et donc sur tout U∞.

On peut aussi raisonner plus geometriquement. Supposons le lacet γ inclus dans

la boule B(0, R). Pour tout a ∈ C pour lequel |a| > R, le lacet γ sera inclus dans

un demi-plan (a fortiori un plan coupe) sur lequel il existe une primitive pour

z → 1/(z − a).

a

Terminons par quelques proprietes elementaires de l’indice.

Lemme 4.3 Soient a ∈ C, γ1, γ2 des lacets dont l’image ne contient pas a.— Lacet oppose. Ind (γ∨1 , a) = −Ind (γ1, a)— Concatene. Ind (γ1 ∗ γ2, a) = Ind (γ1, a) + Ind (γ2, a)

Preuve Immediat.

B Formule de Cauchy dans un convexe

Le lemme de Goursat (3.15) nous a permis de demontrer le theoreme deCauchy : dans un convexe, toute fonction holomorphe admet une primitive,et son integrale sur un lacet est nulle.

Une petite amelioration de ce lemme va nous donner la formule derepresentation integrale de Cauchy.

Lemme encore plus technique 4.4 Soient U ⊂ C un ouvert, p un pointde U et une fonction f ∈ C0(U) ∩ H(U \ p) continue sur U et holomorpheen dehors du point p.

Alors, pour tout triangle T ⊂ U , on a∫

∂Tf(z) dz = 0 .

Remarque 4.5 – C’est presque le lemme de Goursat. On a juste relacheun chouıa l’hypothese de regularite sur f en acceptant une petite singulariteau point p, la fonction f restant cependant continue en ce point.– Notre fonction f ∈ C0(U)∩H(U \p) admet donc localement des primitives,qui sont holomorphes par definition et dont on demontrera qu’elles sont doncanalytiques. En particulier l’hypothese de ce lemme, a savoir “f continuesur U et holomorphe sauf en un point”, impliquera finalement que “f estholomorphe sur U”. Voir egalement en 4.15.

36 D. H. M308

Preuve Comme dans la preuve du lemme de Goursat, on va estimerl’integrale

∫

∂T f(z) dz en decoupant le triangle T . On se ramene d’abordpar decoupage au cas ou le point p est un sommet du triangle.

p

p

Supposons donc que p est un sommet de T . On isole alors le point p endecoupant de nouveau le triangle T en 3 triangles T1, T2 et T3, de sorte quecette fois-ci T2 et T3 ne contiennent pas le point p.

pT2

3T

T1

Le lemme de Goursat (lemme 3.15) nous dit que l’integrale de f sur lebord de chacun des deux triangles T2 et T3 est nulle. La fonction f , continue,est bornee par M au voisinage de p. Lorsqu’on choisit le decoupage de sorteque T1 soit tout petit, on a donc

|

∫

∂Tf(z) dz| = |

∫

∂T1

f(z) dz| ≤ M L(∂T1) ,

arbitrairement petit.

Nous sommes maintenant en mesure de demontrer la formule de Cauchy.

Theoreme 4.6 Formule de Cauchy dans un convexe

Soient U ⊂ C un ouvert convexe et f : U → C une fonction holomorphe.Soient γ un lacet de U et a ∈ U pris hors du support de γ. On a alors

f(a) Ind (γ, a) =1

2iπ

∫

γ

f(z)

z − adz .

Remarque 4.7 – Lorsque f ≡ 1, on retrouve la definition de l’indice.– Le support du lacet γ est son image dans U . On se permettra desormaisde noter γ ⊂ U , ou a ∈ U \ γ, pour indiquer que le lacet est trace dans U ,ou bien que γ evite le point a.

Formule de Cauchy dans un convexe 37

Preuve L’application q : U → C definie par

q(z) =f(z)− f(a)

z − asi z 6= a

q(a) = f ′(a)

est holomorphe sur U \ a et continue sur U . On peut donc lui appliquer lelemme de Goursat ameliore (lemme 4.4) pour montrer que son integrale surle bord de tout triangle T ⊂ U est nulle. Le critere du theoreme 3.11 etantsatisfait, la fonction q admet une primitive sur U et la proposition 3.7 assureque son integrale sur tout lacet γ ⊂ U est nulle. Il n’y a plus qu’a separerles contributions du numerateur pour obtenir l’identite annoncee.

0

Dans cet exemple, le lacet γ decoupe trois composantes connexes dans U .

On a indique la valeur donnee par l’integrale de Cauchy lorsqu’on prend le

point a dans chacune de ces regions.

Le cas particulier suivant merite qu’on s’y attarde.

Corollaire 4.8 Formule de Cauchy dans un disque

Soient U ⊂ C un ouvert quelconque et D(z0, r) ⊂ U un disque ferme (r > 0).Pour toute fonction holomorphe sur U et tout point z ∈ D(z0, r) a l’interieurde ce disque, on a

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reit)

(z0 + reit)− zreit dt .

UR

38 D. H. M308

Remarque 4.9 En d’autres termes, on restitue les valeurs d’une fonctionholomorphe f en chaque point d’un disque ouvert, connaissant seulementses valeurs sur le bord du disque !

Preuve C’est la formule de Cauchy que l’on applique, dans un disqueouvert D(z0, R) ⊂ U (convexe) avec r < R, au lacet

cr : t ∈ [0, 2π] → z0 + reit ∈ U .

C Analyticite des fonctions holomorphes

Une fois qu’on connait la formule de Cauchy dans un disque, l’analyticitedes fonctions holomorphes est une consequence facile de l’analyticite de laseule fonction

z → 1/z .

Theoreme 4.10 Analyticite des fonctions holomorphes.

Soit f : U → C une fonction holomorphe. Alors f est analytique.

On peut preciser cette affirmation. Soient z0 ∈ U et R = d(z0,cU) la

distance de z0 au complementaire de U . Alors f est developpable en serieentiere sur tout le disque D(z0, R) ⊂ U :

f(z) =∑∞

n=0 an (z − z0)n pour |z − z0| < R.

De plus les coefficients an verifient, pour tout 0 < r < R et tout n ∈ N, lesidentites :

an =f (n)(z0)

n!=

1

2π rn

∫ 2π

0f(z0 + reit)e−int dt . (∗)

z

z

0

1

U

Les disques maximaux, centres en z0 ou z1, sur lesquels f ∈ H(U) est developpable en serie entiere.

Analyticite des fonctions holomorphes 39

Remarque 4.11 – On controle le disque sur lequel f est developpable enserie entiere autour de chaque point z0 ∈ U . C’est le plus grand disque ouvertcentre en z0 et inclus dans U .– En particulier, le rayon de convergence de la serie de Taylor de f en z0est au moins egal a d(z0,

cU).– Soient f ∈ H(C) une fonction entiere et z0 ∈ C. La serie de Taylor de fen z0 converge vers f sur C tout entier.– Le terme de droite dans l’identite (∗) ne depend pas de r, contrairementaux apparences.

Exemple fondamental La fonction j : z ∈ C∗ → 1/z ∈ C est analytique.Son developpement en serie entiere au point 1 est valable sur tout le disqueD(1, 1). On a, pour tout |u| < 1,

1

1− u=

∞∑

n=0

un .

Preuve du theoreme Soit 0 < r < R. Le disque ferme D(z0, r) est alorsinclus dans U . La formule de Cauchy dans ce disque (corollaire 4.8) donne,pour tout point z ∈ D(z0, r) ⊂ U :

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reit)

(z0 + reit)− zreit dt

=1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reit)

1−z − z0reit

dt

=1

2π

∫ 2π

0f(z0 + reit)

(

∞∑

n=0

(z − z0)nr−ne−int

)

dt

en vertu de l’exemple precedent. La fonction f , continue, est bornee sur lecercle |z − z0| = r. La serie

∑∞n=0(z − z0)

nr−ne−int converge uniformementsur [0, 2π]. On peut donc echanger signes somme et integrale pour obtenir

f(z) =

∞∑

n=0

an(r) (z − z0)n ,

ou

an(r) =1

2πrn

∫ 2π

0f(z0 + reit)e−int dt .

L’unicite du developpement en serie entiere assure que an(r) est independant

de r ∈]0, R[ et vautf (n)(z0)

n!.

40 D. H. M308

Il est important de garder en tete les equivalences suivantes. On verraplus bas deux illustrations du critere d’holomorphie de Morera (theoreme4.17 et proposition 4.19).

Theoreme 4.12 Conditions necessaires et suffisantes d’holomorphie

Soit U ⊂ C un ouvert quelconque. Soit f : U → C continue. Les conditionssuivantes sont equivalentes :

1. Holomorphie : f est holomorphe

2. Formule de Cauchy : pour tout disque ferme D(z0, r) ⊂ U et toutpoint z ∈ D(z0, r), on a

f(z) =1

2iπ

∫

cr

f(w)

w − zdw ,

ou cr : t ∈ [0, 2π] → z0 + reit ⊂ U

3. Condition de Morera : pour tout triangle T ⊂ U , on a∫

∂T f(z) dz =0

4. Analyticite : f est analytique.

Preuve On vient de montrer 1 ⇒ 2 ⇒ 4 (corollaire 4.8 et theoreme 4.10).On savait deja que 4 ⇒ 1 (proposition 1.13).1 ⇒ 3 C’est le lemme de Goursat 3.15.3 ⇒ 1 Noter que l’holomorphie, et l’analyticite, sont des proprietes locales.Si f verifie la condition de Morera, elle admet localement des primitives(theoreme 3.11) qui sont holomorphes donc analytiques. La fonction f elle-meme est donc analytique, donc holomorphe.

D Quelques premieres consequences

D.1 Anneau des fonctions analytiques

Les proprietes de stabilite suivantes peuvent bien entendu se demontrerde facon elementaire par des manipulations sur les series entieres, ce quiconstitue un excellent exercice. Mais elle suivent egalement de l’equivalenceentre holomorphie et analyticite, et de la proposition 1.7.

Corollaire 4.13 — Si f et g sont analytiques, leur produit l’est.— Si f est analytique et ne s’annule pas, 1/f est analytique.— Une composee de fonctions analytiques est analytique.

D.2 Regularite des fonctions holomorphes

Proposition 4.14 Soit f : U → C holomorphe. Sa derivee f ′ : U → C estelle aussi holomorphe.

Quelques premieres consequences 41

En effet f , et donc f ′, sont analytiques (th. 4.12). Une fonction holomorphef admet donc des derivees (au sens complexe) de tous ordres. Le simple faitd’etre C-derivable en chaque point assure que la fonction est de classe C∞.Soulignons encore une fois le contraste avec les fonctions de variable reelle.

Nous etudierons les singularites isolees des fonctions holomorphes auchapitre 7. Citons cependant des maintenant un premier resultat frappant :une singularite isolee “moderee” d’une fonction holomorphe n’est pas uneveritable singularite.

Theoreme 4.15 Theoreme de prolongement de Riemann

Soit f : D∗(z0, R) → C une fonction holomorphe sur le disque pointeD∗(z0, R) := D(z0, R) \ z0.

On suppose que la fonction f est bornee au voisinage (pointe) de z0.Alors elle se prolonge par continuite en une fonction holomorphe sur tout ledisque D(z0, R).

Question Se demander si la fonction z ∈ C∗ → sin(1/z) ∈ C fournit, ounon, un contre-exemple au resultat ci-dessus. Ca serait facheux...

Preuve La fonction definie par g(z0) = 0 et

g(z) = (z − z0)2 f(z)

si z 6= z0 est holomorphe, comme f , sur le disque pointe D∗(z0, R). Elleadmet egalement une derivee complexe en z0, qui est nulle. La fonction getant holomorphe sur le disque D(z0, R), elle y est developpable en serieentiere. Puisque g(z0) = g′(z0) = 0, ce developpement s’ecrit

g(z) =∑

n≥2

an (z − z0)n = (z − z0)

2(

∞∑

k=0

ak+2(z − z0)k)

.

On a donc, pour 0 < |z − z0| < R,

f(z) =∞∑

k=0

ak+2(z − z0)k

et le resultat.

Remarque 4.16 Il suit de la preuve qu’on aurait pu affaiblir l’hypothese“f bornee au voisinage de z0” en “f(z) = o(1/(z − z0))”.

42 D. H. M308

D.3 Suites de fonctions holomorphes

Theoreme 4.17 Soient U ⊂ C un ouvert, et fn : U → C une suite defonctions holomorphes.

On suppose que la suite fn converge localement uniformement sur U versf : U → C. Alors la limite f est holomorphe.

Rappel La suite de fonctions fn converge localement uniformement versf sur U si, pour tout point z0 ∈ U , il existe un voisinage V ⊂ U de cepoint pour lequel les restrictions fn|V convergent uniformement vers f|V .Un argument elementaire de recouvrement montre que fn converge alorsuniformement vers f en restriction a tout compact de U .

Preuve La fonction f est continue, comme limite uniforme locale de fonc-tions continues. Il suffit donc pour montrer qu’elle est holomorphe de verifierqu’elle satisfait le critere de Morera (theoreme 4.12). Soit T ⊂ U un triangle.Pour chaque fonction holomorphe fn, on a

∫

∂Tfn(z) dz = 0 .

La suite fn converge uniformement vers f sur le bord (compact) ∂T dutriangle. Il suit alors du lemme 3.8 que

∫

∂Tf(z) dz = 0 .

Remarque 4.18 – Nous venons donc de montrer que si les fonctions fnsont C-derivables en chaque point, et si elles convergent uniformement versf , alors la limite f est elle-meme C-derivable. Ceci sans imposer de contraintea priori sur les derivees f ′

n. Nous y reviendrons dans le theoreme 5.15.– Noter le contraste avec les fonctions de variable reelle. Considerer la suitede fonctions t ∈ R → (t2+1/n)1/2 ∈ R de classe C∞, qui converge localementuniformement vers la fonction t →

√

|t| non derivable en l’origine.

D.4 Holomorphie sous le signe integrale

Proposition 4.19 Soient U ⊂ C un ouvert et g : [0, 1] × U → C unefonction. On suppose que

— g est continue— chaque fonction gt : z ∈ U → g(t, z) ∈ C (0 ≤ t ≤ 1) est holomorphe.

Alors la fonction h : U → C definie par

h(z) =

∫ 1

0g(t, z) dt =

∫ 1

0gt(z) dz

est holomorphe sur U . De plus on peut deriver sous le signe somme : on aen effet, pour tout z ∈ U ,

h′(z) =

∫ 1

0g′t(z) dt .

Quelques premieres consequences 43

Preuve De nouveau, h est continue et on va constater que h satisfaitle critere de Morera. Soit T ⊂ U un triangle dont le bord est parametrepar γ : [0, 1] → U . Il resulte du theoreme de Fubini applique a la fonctioncontinue (t, s) ∈ [0, 1] × [0, 1] → g(t, γ(s)) γ′(s) ∈ C, et de ce que chaquefonction gt est holomorphe sur U , que

∫

∂Th(z) dz =

∫

∂T

(

∫ 1

0g(t, z) dt

)

dz =

∫ 1

0

(

∫

∂Tgt(z) dz

)

dt = 0 .

Determinons maintenant la derivee de h. Soient z0 ∈ U et r > 0 tel quele disque fermee de centre z0 et de rayon r soit inclus dans U . Le theoreme4.10 assure que

h′(z0) =1

2πr

∫ 2π

0h(z0 + reis) e−is ds

=1

2πr

∫ 2π

0

(

∫ 1

0gt(z0 + reis) dt

)

e−is ds

=

∫ 1

0

( 1

2πr

∫ 2π

0gt(z0 + reis) e−is ds

)

dt

=

∫ 1

0g′t(z0) dt .

Justifions ces egalites : on est revenus a la definition de h, on a applique letheoreme de Fubini a la fonction

(s, t) ∈ [0, 2π] × [0, 1] → gt(z0 + reis)e−is ,

continue sur un compact, puis on a utilise le theoreme 4.10 pour chacunedes fonctions holomorphes gt (t ∈ [0, 1]).

44 D. H. M308

E Definir la fonction de Weierstrass

Soient Λ = Zu+ Z v un reseau et Λ∗ := Λ \ 0. Les series

q(z) =∑

w∈Λ

(z − w)−3

℘(z) = z−2 +∑

w∈Λ∗

(

(z − w)−2 − w−2)

definissent deux fonctions holomorphes sur C \ Λ.

La fonction q est une fonction doublement periodique pour le reseau Λ.Elle est impaire.

La fonction ℘ est la fonction de Weierstrass pour le reseau Λ. Elle estpaire. Nous verrons au chapitre suivant qu’elle est Λ-periodique : sous cetteforme ce n’est pas totalement evident, en raison du “terme correcteur” w−2.

On montre en effet que la somme∑

w∈Λ∗ |w|−α est convergente si etseulement si α > 2 (utiliser par exemple le fait que la norme euclidienne etla norme ‖ ‖1 sont equivalentes sur R2).

La serie∑

w∈Λ |(z −w)−2| ne convergeant pas, on est amenes a sommerplutot

∑

w∈Λ∗(z − w)−2 −w−2. On constate alors que la serie de fonctions

∑

w∈Λ , |w|≥2R

(

(z − w)−2 − w−2)

converge normalement sur le disque |z| ≤ R.

5. Applications de la formule de Cauchy

Ce chapitre est essentiellement consacre aux estimees de Cauchy(encore lui !) Elles fournissent, localement, une borne explicitepour chaque derivee d’une fonction holomorphe – a partir d’uneborne pour la fonction elle-meme.

A Formule de Cauchy pour les derivees

De la formule de Cauchy demontree au theoreme 4.6 suit egalementune formule de representation integrale pour chaque derivee d’une fonctionholomorphe, generalisant l’expression (*) obtenue au theoreme 4.10.

Corollaire 5.1 Formule de Cauchy pour les derivees

Soient U ⊂ C un ouvert convexe et f : U → C une fonction holomorphe.Soient γ un lacet de U et z ∈ U pris hors du support de γ. On a alors, pourtout n ∈ N,

1

n!f (n)(z) Ind (γ, z) =

1

2iπ

∫

γ

f(w)

(w − z)n+1dw .

En particulier, on restitue toutes les derivees de f a l’interieur d’undisque D(z0, r) ⊂ U , connaissant seulement les valeurs de f sur le cercle|z − z0| = r.

Preuve Supposons le lacet γ parametre par l’intervalle [0, 1]. Soit n ≥ 1.La formule de Cauchy pour la fonction holomorphe f (n) donne

f (n)(z) Ind (γ, z) =1

2iπ

∫ 1

0

f (n)(γ(t))

γ(t)− zγ′(t) dt .

Le resultat suit par integrations par parties, en utilisant le fait que γ est unlacet et donc que les termes de bord disparaissent.

Exercice 5.2 Preuve alternative de 5.1

Partir de la formule de Cauchy pour f (theoreme 4.6), et deriver sous le signeintegrale (proposition 4.19).

45

46 D. H. M308

B Estimees de Cauchy

Proposition 5.3 Formule de la moyenne Soient f : U → C une fonctionholomorphe et D(z0, r) ⊂ U un disque ferme inclus dans U . On a

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0f(z0 + reit) dt .

Preuve Ce n’est que la formule de Cauchy pour f dans un disque, exprimeeau centre du disque.

Remarque 5.4 La valeur de f au centre du disque est donc egale a lamoyenne de f sur le bord. En d’autres termes, une fonction holomorphesatisfait la “propriete de la moyenne”.

Cette propriete de la moyenne n’est pas caracteristique des fonctionsholomorphes. Elle est satisfaite par toutes les fonctions harmoniques h :U ⊂ C ≃ R2 → C, c’est-a-dire telles que

∆h :=∂2h

∂x2+

∂2h

∂y2= 0

(et seulement par elles).

La partie reelle, et la partie imaginaire, d’une fonction holomorphe sontharmoniques : cela suit des equations de Cauchy-Riemann. Reciproquement,on peut montrer qu’une fonction harmonique reelle est toujours localement(sur tout ouvert convexe) la partie reelle d’une fonction holomorphe.

Notons M(r) := sup|z−z0|=r |f(z)|. Il suit de la proposition 5.3 qu’on ala majoration |f(z0)| ≤ M(r). On va fournir des majorations similaires pourles derivees de f en z0.

Theoreme 5.5 Estimees de Cauchy

Soient f : U → C holomorphe, D(z0, r) ⊂ U un disque ferme inclus dans Uet

M(r) := sup|z−z0|=r

|f(z)|

le sup du module de f sur le cercle de rayon r centre en z0.

1. Pour n ∈ N, on a∣

∣

∣

f (n)(z0)

n!

∣

∣

∣≤

M(r)

rn.

2. Mieux :

∑

n∈N

∣

∣

∣

f (n)(z0)

n!

∣

∣

∣

2r2n =

1

2π

∫ 2π

0|f(z0 + reit)|2 dt .

Le principe du maximum 47

Preuve

1. Ce premier point suit de l’expression du developpement en serie def sur D(z0, r) obtenu via la formule de Cauchy (theoreme 4.10).

2. Il est clair que cette seconde assertion (qui n’est autre que la formulede Parseval dans L2

2π pour la fonction fr : t → f(z0 + reit)) impliquela premiere. Demontrons la. La serie

f(z0 + reit) =

∞∑

0

f (n)(z0)

n!rneint

convergeant normalement pour t ∈ [0, 2π], on peut ecrire

|f(z0 + reit)|2 =∞∑

m,n=0

f (n)(z0)

n!

f (m)(z0)

m!rn+mei(n−m)t ,

d’ou le resultat car on peut integrer terme a terme, les termes pourlesquels n 6= m ayant une contribution nulle.

C Le principe du maximum

L’enonce suivant est de premiere importance. Nous y reviendrons aucorollaire 6.22 avec un enonce plus complet, mais nous en proposons desmaintenant une preuve issue des estimees de Cauchy.

Corollaire 5.6 Principe du maximum (version 1)

Soit f : U → C une fonction holomorphe. On suppose que le disque fermede centre z0 et de rayon r est inclus dans U . Alors

|f(z0)| ≤ maxt∈[0,2π]

|f(z0 + reit)|

avec egalite si et seulement si f est constante sur le disque D(z0, r).

Preuve Supposons que |f(z0 + reit)| ≤ |f(z0)| pour tout t ∈ [0, 2π]. Lesestimees de Cauchy 5.5(2) assurent que

∑

n∈N

∣

∣

∣

f (n)(z0)

n!

∣

∣

∣

2r2n =

1

2π

∫ 2π

0|f(z0 + reit)|2 dt ≤ |f(z0)|

2 .

Il suit que toutes les derivees f (n)(z0) sont nulles (n ≥ 1) et donc que f ,analytique, est constante sur le disque D(z0, r).

Exercice 5.7 Donner une preuve alternative du principe du maximum en utili-sant la formule de la moyenne (proposition 5.3).

48 D. H. M308

D Le theoreme de Liouville

Une premiere application des estimees de Cauchy concerne les applica-tions entieres bornees. Rappelons la

Definition 5.8 Une fonction entiere est une fonction holomorphe f : C →C definie sur C tout entier.

Theoreme 5.9 Theoreme de Liouville

Une fonction entiere bornee est constante.

Preuve Soit f : C → C holomorphe. Supposons |f(z)| ≤ M pour toutz ∈ C. Les estimees de Cauchy sur le disque D(0, r) donnent, pour toutn ∈ N∗,

∣

∣

∣

f (n)(0)

n!

∣

∣

∣≤

M

rn.

En faisant tendre r vers +∞, on obtient que toutes les derivees f (n)(0) de fen l’origine sont nulles (n ∈ N∗). La fonction holomorphe f etant analytique(theoreme 4.10), f est somme sur tout le plan complexe d’une serie entieredont le seul terme non nul est constant.

La meme preuve donne plus generalement la

Proposition 5.10 Soit f une fonction entiere “a croissance polynomiale” :on suppose qu’il existe k ∈ N, c et R > 0 tels que

|z| ≥ R ⇒ |f(z)| ≤ c |z|k .

Alors f est une fonction polynomiale de degre au plus k.

Du theoreme de Liouville suit une premiere demonstration du theoremede d’Alembert-Gauss.

Corollaire 5.11 d’Alembert-Gauss

Soit P ∈ C[z] un polynome. Si P ne s’annule pas sur C, il est constant.

Preuve Si P (z) = anzn + · · ·+ a0 est de degre n ≥ 1 (an 6= 0), on a

P (z) = zn (an +an−1

z+ · · · +

a0zn

)

et donc |P (z)| → ∞ lorsque |z| → ∞. Supposons que P ne s’annule pas. Lafonction z → 1/P (z) est alors une fonction entiere qui tend vers 0 a l’infini,et qui est donc bornee. Le theoreme de Liouville assure maintenant que fest constante.

Estimees de Cauchy uniformes 49

E Estimees de Cauchy uniformes

On peut donner de meme des estimees de Cauchy uniformes, pourvuqu’on se restreigne a une partie compacte de U . Commencons par un petitrappel de topologie.

Lemme 5.12 Soient U ⊂ C un ouvert et K ⊂ U un compact.

1. On a d(K, cU) > 0.

2. Pour 0 < r < d(K, cU), on introduit le r-voisinage Kr de K, soit

Kr := ∪z∈KD(z, r) = w ∈ C | d(w,K) ≤ r .

La partie Kr est un voisinage compact de K inclus dans U .

U

K

Kr

Preuve Soit A ⊂ C une partie de C. L’application z ∈ C → d(z,A) ∈ R+

est continue (car 1-lipschitzienne). Lorsque A ⊂ C est fermee et z /∈ A, on ad(z,A) 6= 0.

Corollaire 5.13 Estimees de Cauchy uniformes

Soient U ⊂ C un ouvert, K ⊂ U un compact et 0 < r < d(K, cU). Pourtoute fonction holomorphe f : U → C et tout entier n ∈ N, on a l’estimation

supz∈K

|f (n)| ≤n!

rnsupz∈Kr

|f | .

Preuve Consequence immediate des estimees de Cauchy.

Remarque 5.14 On insiste de nouveau sur le contraste avec le cas reel.

Considerer la suite de fonctions x ∈ R →1

ksin(kx) ∈ R.

Les estimees de Cauchy uniformes vont nous permettre de preciser letheoreme 4.17 sur les suites de fonctions holomorphes.

50 D. H. M308

Theoreme 5.15 Suites de fonctions holomorphes (bis)

Soient U ⊂ C un ouvert et (fn) une suite de fonctions holomorphes sur U .On suppose que la suite (fn) converge localement uniformement vers unefonction f : U → C. Alors

1. la limite f est holomorphe

2. pour chaque entier p ∈ N, la suite des derivees (f(p)n ) converge loca-

lement uniformement vers la derivee f (p).

Preuve

1. A ete vu dans au chapitre precedent.

2. Si K ⊂ U est compact et r > 0 est tel que le r-voisinage Kr de K soitinclus dans U , il suit des estimees de Cauchy uniformes appliquees af − fn que l’on a pour tout n ∈ N

supz∈K

|f (p)(z)− f (p)n (z)| ≤

p!

rpsupz∈Kr

|f(z)− fn(z)| .

Remarque 5.16 – La convergence uniforme de la suite (fn) assure la conver-

gence de la suite des (f(p)n ) des derivees de tous ordres.

– Meme si la suite de fonctions (fn) converge uniformement vers f surtout U , on n’aura en general qu’une convergence uniforme locale pour lasuite des derivees. En effet, plus K se rapproche du bord de U , plus ondevra prendre r petit.

Deriver la fonction de Weierstrass 51

F Deriver la fonction de Weierstrass

Il suit du theoreme de Liouville qu’une fonction entiere doublementperiodique est constante. Si nous cherchons des fonctions doublementperiodiques, elles devront donc avoir des singularites (un peu plus tard,on parlera plus precisement de poles et de fonctions meromorphes).

A cet effet nous avons introduit au chapitre precedent la fonction deWeierstrass

℘(z) = z−2 +∑

w∈Λ∗

(

(z − w)−2 − w−2)

.

Elle a pour derivee

℘′(z) = −2∑

w∈Λ

(z − w)−3 .

On en deduit que la fonction de Weierstrass ℘ est Λ-periodique.

Il faut simplement verifier qu’on a le droit de deriver la serie terme aterme. C’est bien sur le cas pour une somme finie. La conclusion suit alorsdu theoreme 5.15, puisque la serie

∑

w∈Λ , |w|≥2R

(

(z − w)−2 − w−2)

converge normalement sur le disque |z| ≤ R.

Soit w ∈ Λ∗. Puisque la fonction

z ∈ C \ Λ → ℘(z + w)− ℘(z) ∈ C

est holomorphe sur un ouvert connexe et que sa derivee est nulle (puisque℘′ est periodique), elle est donc constante egale a cw ∈ C.Rappelons que Λ = Zu+ Z v. Nous allons montrer que cu = cv = 0, ce quiassurera la Λ-periodicite de ℘. Traitons le cas de cu. La fonction ℘ est paire.Puisque u/2 /∈ Λ, la fonction ℘ est definie en ce point. Par parite

℘(−u

2) = ℘(

u

2) = ℘(

−u

2+ u) = ℘(

−u

2) + cu

ce qui assure que la constante cu est nulle.

6. Zeros d’une fonction holomorphe

Dans ce chapitre nous explorons la structure locale d’unefonction holomorphe. Par translation, c’est-a-dire en considerantz → f(z) − f(z0), on est ramenes a etudier la fonction f auvoisinage d’un point ou elle s’annule.

A Petits rappels de topologie

— Un espace metrique est discret si et seulement si tous ses points sontisoles, c’est-a-dire si et seulement si les singletons sont ouverts.

— Exemple : A = 1/n | n ∈ N∗ est discret. Par contre son adherenceA = A ∪ 0 ne l’est pas.

— Le theoreme de Bolzano-Weierstrass assure qu’un ensemble compactet discret est fini.

— Soit A une partie d’un espace metrique. Un point x ∈ E est un pointd’accumulation de A lorsque x ∈ A \ x. Ce point peut, ou non,appartenir a A.

— Si A ⊂ E n’a pas de point d’accumulation, A est discrete. Si A ⊂ Eest fermee et discrete, elle n’a pas de point d’accumulation dans E.

B Zeros d’une fonction holomorphe

Les zeros d’une fonction holomorphe sont de deux sortes.

Theoreme 6.1 Soient U un ouvert connexe et f : U → C une fonctionholomorphe qui s’annule en z0. Alors :

1. Soit f (n)(z0) = 0 pour tout n ∈ N. La fonction f est alors nulle surU .

2. Sinon, il existe un unique entier k > 0 tel que

f(z) = (z − z0)k g(z) ,

ou g : U → C est une fonction holomorphe qui ne s’annule pas en z0.L’entier k est l’ordre du zero de f en z0.

52

Zeros d’une fonction holomorphe 53

Preuve 1. On introduit Y := z ∈ U | f (n)(z) = 0 pour tout n ∈ N. Lapartie Y ⊂ U est fermee comme intersection de fermes, puisque chaquederivee f (n) de f est continue. Si maintenant z0 ∈ Y , la serie de Taylor de fen z0 est nulle et l’analyticite de f assure que f est identiquement nulle auvoisinage de z0. Ainsi Y ⊂ U est ouvert. Lorsque Y est non vide, on conclutque Y = U par connexite de U .

2. Si toutes les derivees de f en z0 ne sont pas nulles, on introduit

k := infn ≥ 0 | f (n)(z0) 6= 0 > 0 .

Puisque f est analytique on a, lorsque |z − z0| est assez petit,

f(z) =∞∑

n=k

f (n)(z0)

n!(z − z0)

n = (z − z0)k(

∞∑

n=0

f (n+k)(z0)

(n+ k)!(z − z0)

n)

.

La fonction holomorphe g definie sur U \ z0 par f(z) = (z − z0)k g(z) se

prolonge donc en une fonction holomorphe sur U , avec

g(z0) =f (k)(z0)

k!6= 0 .

Pour l’unicite, on observe que si f(z) = (z − z0)k1g1(z) = (z − z0)

k2g2(z)ou g1 et g2 sont deux fonctions continues en z0 qui ne s’y annulent pas, lafonction z → (z − z0)

k1−k2 se prolonge par continuite en z0 avec une limitenon nulle en ce point ; ceci assure que k1 = k2.

On retiendra en outre la serie de consequences fondamentales suivante.

Corollaire 6.2 Principe des zeros isoles

Soient U un ouvert connexe, f : U → C une fonction holomorphe nonidentiquement nulle. L’ensemble Z(f) = z ∈ U | f(z) = 0 des zeros de fest discret : tout zero de f est isole.

Preuve Soit z0 ∈ Z(f). La proposition precedente assure que z0 est unzero d’ordre fini k de f . On a donc

f(z) = (z − z0)k g(z) ,

ou g(z0) 6= 0. Par continuite, il existe un voisinage de z0 sur lequel g nes’annule pas.

Remarque 6.3 Il suit que chaque ensemble Zw0(f) = z ∈ U | f(z) = w0est egalement discret (w0 ∈ C).

54 D. H. M308

Corollaire 6.4 Soient U un ouvert connexe, et f : U → C une fonctionholomorphe non identiquement nulle.

1. L’ensemble des zeros de f , soit

Z(f) = z ∈ U | f(z) = 0 ,

est ferme dans U et discret, donc sans point d’accumulation dans U .

2. Si K ⊂ U est un compact, l’ensemble Z(f) ∩K est fini.

3. L’ensemble Z(f) est fini ou denombrable.

Preuve 1 et 2. Puisque f : U → C est continue, l’ensemble Z(f) est unferme de U . Les assertions suivent alors du principe des zeros isoles, et desrappels de topologie.

3. S’en deduit en ecrivant l’ouvert U comme reunion denombrable descompacts

Kn = z ∈ C | d(z, cU) ≥ 1/n , |z| ≤ n ⊂ U .

Remarque 6.5 Par contre, les zeros d’une fonction holomorphe peuvents’accumuler sur le bord de son domaine de definition. Voir le chapitre 10.

Le principe des zeros isoles est souvent employe sous la forme suivante.

Corollaire 6.6 Soient f1 et f2 deux fonctions holomorphes sur l’ouvertconnexe U . Si f1 et f2 coıncident sur une partie A ⊂ U ayant un pointd’accumulation dans U , elles sont egales.

En d’autres termes, notre fonction holomorphe est determinee par sesvaleurs sur un ensemble A ⊂ U ayant un point d’accumulation dans U . Enparticulier :

Corollaire 6.7 Principe du prolongement analytique

Soient V ⊂ C un ouvert, et f : V → C une fonction holomorphe. Soit Uun ouvert connexe contenant V . Alors f possede au plus un prolongementholomorphe f : U → C.

Mediter l’exemple fourni par deux determinations du logarithme sur desplans coupes, et prolongeant la fonction log : R∗

+ → R.

Terminons par un dernier corollaire a connotation algebrique.

Compter les zeros d’une fonction holomorphe 55

Corollaire 6.8 Un ouvert U ⊂ C est connexe si et seulement si l’anneauH(U) des fonctions holomorphes sur U est integre.

Preuve Si l’ouvert n’est pas connexe, on choisit une partition U = U1⊔U2

de U en deux ouverts non vides. Les fonctions indicatrices de U1 et U2 sontlocalement constantes donc holomorphes sur U , non identiquement nulles,mais de produit nul.

Supposons maintenant l’ouvert U connexe. Si f, g ∈ H(U) sont deuxfonctions holomorphes non identiquement nulles, l’ensemble des zeros duproduit fg est reunion de l’ensemble des zeros de f et de celui de g, et estdonc denombrable.

C Compter les zeros d’une fonction holomorphe

Soient f : U → C une fonction holomorphe et D := D(z0, R) ⊂ U undisque ferme. La formule de Cauchy 4.8 nous apprend que les valeurs de fsur D sont determinees par ses valeurs sur le bord ∂D = |z − z0| = R.Dans cet esprit, nous allons demontrer une formule elegante qui permet dedeterminer le nombre de zeros de f dans D, comptes avec multiplicite.

Notation 6.9 Soient f : U → C holomorphe, et a ∈ U . On introduit

oa(f) = inf n ≥ 0 | f (n)(a) 6= 0 .

Lorsque f(a) 6= 0, on a oa(f) = 0.

Lorsque f(a) = 0, oa(f) est l’ordre du zero de f au point a.Si toutes les derivees de f en a sont nulles, on convient que oa(f) = +∞.

Proposition 6.10 Principe de l’argument

Soient f : U → C holomorphe, et D(z0, r) ⊂ U un disque ferme inclusdans U . On suppose que f ne s’annule pas sur le cercle |z− z0| = r. Notonscr : t ∈ [0, 2π] → z0 + reit ∈ U . Alors

1

2iπ

∫

cr

f ′(z)

f(z)dz =

∑

a∈D(z0,r)

oa(f) .

Remarque 6.11 – D’apres le corollaire 6.4, la fonction f a un nombre finide zeros dans le compact D(z0, r). L’expression

∑

a∈D(z0,r)oa(f) est donc

en fait une somme finie, dont la valeur

Z(f) :=∑

a∈D(z0,r)

oa(f)

56 D. H. M308

est le nombre de zeros de f dans le disque (ouvert ou ferme) comptes avecmultiplicite.– Notons que

1

2iπ

∫

cr

f ′(z)

f(z)dz = Ind (f cr, 0)

compte le nombre de tours que le lacet fcr fait autour de l’origine, ou encorede combien varie l’argument de f(z) (la partie imaginaire de “log f(z)”)lorsqu’on parcourt le lacet cr (voir la discussion en 4.1). C’est de la quevient le nom de cet enonce.

Preuve Puisque le disque ferme D(z0, r) est compact, la fonction f y admetun nombre fini de zeros a1, · · · , ap de multiplicites (ou ordres) respectifsk1, · · · , kp. On peut donc ecrire

f(z) =

p∏

j=1

(z − aj)kj g(z)

ou la fonction g est holomorphe sur U et n’a plus de zeros dans D(z0, r). Onconstate que

f ′(z)

f(z)=

p∑

j=1

kjz − aj

+g′(z)

g(z).

La fonction g′/g est holomorphe sur un voisinage (convexe) du disque fermeD(z0, r). Le theoreme de Cauchy 3.16 assure donc que sa contribution al’integrale sur le lacet cr est nulle.

La conclusion suit de ce que l’indice Ind (cr, aj) du lacet cr par rapporta chacun des points aj ∈ D vaut 1.

On va maintenant chercher a comparer le nombre de zeros de deux fonctionsholomorphes proches.

Lemme 6.12 Le maıtre, son chien et le lampadaire

Soient a ∈ C et deux lacets γ1, γ2 : [0, 1] → C \ a evitant le point a. Onsuppose que, pour tout t ∈ [0, 1], on a

|γ1(t)− γ2(t)| < |γ1(t)− a| . (∗)

Alors

Ind (γ1, a) = Ind (γ2, a) .

Compter les zeros d’une fonction holomorphe 57

Preuve On introduit le lacet

h : t ∈ [0, 1] →γ2(t)− a

γ1(t)− a∈ C .

Puisqueh′

h=

γ′2γ2 − a

−γ′1

γ1 − a,

on a l’egalite des indices Ind (h, 0) = Ind (γ2, a) − Ind (γ1, a). La condition(*) assure que, pour tout t ∈ [0, 1], on a |h(t) − 1| < 1 : autrement dit lelacet h est trace dans le disque ouvert D(1, 1), et donc Ind (h, 0) = 0.

Corollaire 6.13 Theoreme de Rouche

Soient f1, f2 deux fonctions holomorphes sur l’ouvert U . Soit D(z0, r) ⊂ Uun disque ferme. On suppose que

|f1 − f2| < |f1| sur le cercle Cr = z , |z − z0| = r. (∗∗)

Alors f1 et f2 ont meme nombre de zeros, comptes avec multiplicite, dansle disque D(z0, r).

Remarque La condition (**) assure que ni f1 ni f2 ne s’annulent sur Cr.

Preuve Par le principe de l’argument, il s’agit de voir que

∫

cr

f ′1(z)

f1(z)dz =

∫

cr

f ′2(z)

f2(z)dz ,

avec toujours cr(t) = z0 + reit pour t ∈ [0, 2π]. On introduit les lacetsγ1 = f1 cr et γ2 = f2 cr. On a, pour j = 1 ou 2 :

∫

cr

f ′j(z)

fj(z)dz =

∫

γj

dz

zdz = Ind (γj , 0) .

Le resultat suit du lemme precedent.

58 D. H. M308

D Etude locale d’une fonction holomorphe

Soit f : U → C holomorphe. On veut decrire la structure geometrique def au voisinage d’un point z0 ∈ U . Rappelons qu’on avait deduit du theoremereel d’inversion locale le resultat suivant.

Rappel 6.14 (Corollaire 2.6)

Si f ′(z0) 6= 0, alors f est un biholomorphisme local d’un voisinage de z0sur un voisinage de f(z0). En particulier, f est ouverte au voisinage de z0.

Nous allons maintenant nous interesser au cas ou la derivee f ′(z0) estnulle. On a deja dit que si toutes les derivees de f en z0 s’annulent, alorsf est constante au voisinage de z0. Etudions donc le cas ou z0 est un zerod’ordre fini k de z → f(z)− f(z0). Le modele a avoir en tete est la fonctionpk : z → zk en z0 = 0.

Exemple 6.15 Soient k ≥ 1 et r > 0. L’application pk : D(0, r) → D(0, rk)est surjective. Tout point de D(0, rk) \0 a exactement k antecedents dansD(0, r) \ 0.

Dans le cas general, tout se passe comme dans ce cas modele.

Theoreme 6.16 Structure locale d’une fonction holomorphe

Soient f : U → C holomorphe et z0 ∈ U . Soit k ≥ 2. On suppose quef ′(z0) = · · · = f (k−1)(z0) = 0, et f (k)(z0) 6= 0. Alors il existe un voisinage Vde z0 et un voisinage W de f(z0) avec f(V ) = W , et tels que chaque pointde W \ f(z0) ait exactement k antecedents dans V \ z0.

Preuve Pour simplifier l’ecriture, on se ramene par translation au cas ouz0 = f(z0) = 0. On choisit r > 0 assez petit pour que le disque ferme D(0, r)soit inclus dans U et que f (dont les zeros proches de l’origine sont isoles) nes’annule pas sur le cercle Cr = |z| = r. On note ε = inf|f(z)| , z ∈ Cr,qui est non nul.

Pour w ∈ C avec |w| < ε, la fonction fw : z → f(z) − w ne s’annulepas sur le cercle Cr. Le principe de l’argument assure que le nombre de fois,comptees avec multiplicite, que f prend la valeur w dans le disque D(0, r)est

Nr(w) =1

2iπ

∫

cr

f ′(z)

f(z)− wdz .

La fonction w ∈ D(0, ε) → Nr(w) ∈ N est continue, a valeurs entieres. On adonc, pour tout w ∈ D(0, ε), Nr(w) = Nr(0) = k.

Si l’on suppose en outre que r est choisi assez petit pour que la restrictionde f ′ au disque D(0, r) ne s’annule qu’en l’origine, on obtient le resultat avecW = D(0, ε) et V = f−1(W ) ∩D(0, r) (ouvert puisque f est continue).

Etude locale d’une fonction holomorphe 59

On peut montrer plus precisement le resultat suivant, dont le theoreme 6.16est un corollaire.

Theoreme 6.17 Structure locale d’une fonction holomorphe (bis)

Soit f holomorphe admettant un zero d’ordre k en 0. Il existe alors unefonction holomorphe g definie pres de 0, avec g(0) = 0 et g′(0) 6= 0, et telleque f = pk g = gk.

La fonction pk est donc, a biholomorphisme pres, l’unique modele localpour une fonction holomorphe dont les derivees en z0 s’annulent jusqu’al’ordre k, c’est-a-dire telle que f (k)(z0) 6= 0 et f ′(z0) = · · · = f (k−1)(z0) = 0.

Preuve On a en effet, pour |z| petit,

f(z) =∑

n≥k

anzn

avec ak 6= 0, ou encore

f(z) = ak zk (1 + f1(z))

ou la fonction f1 est holomorphe au voisinage de 0 et verifie f1(0) = 0. Pour|z| petit, on a |f1(z)| < 1 et la fonction z → 1+f1(z) admet donc une racinek-ieme h, par exemple

h(z) = exp(1

kℓπ(1 + f1(z))

)

ℓπ designant la determination principale du logarithme. Soit α ∈ C∗ tel queαk = ak. On a

f(z) = (αz h(z))k = (g(z))k = pk g(z) .

La fonction z → g(z) := αz h(z) est holomorphe pres de 0, et elle a pourderivee g′(0) = α 6= 0 : c’est donc un biholomorphisme local au voisinage del’origine.

Enoncons une consequence immediate et spectaculaire de ces resultats.

Corollaire 6.18 Application ouverte, version holomorphe

Soit U ⊂ C un ouvert connexe. Une application holomorphe f : U → C nonconstante est ouverte.

Preuve Consequence immediate du theoreme 6.17, ou bien de la preuvedu theoreme 6.16. Il nous faut en effet montrer que, pour tout z0 ∈ U ,l’image f(U) est un voisinage de f(z0). Or, avec les notations de la preuve dutheoreme 6.16, nous avons vu que pour r > 0 assez petit, l’image f(D(z0, r))contient le disque D(f(z0), ε) ou ε = inf|f(z)| , z − z0 ∈ Cr.

60 D. H. M308

Remarque 6.19 Noter l’absence de restriction sur la derivee de f , qui a ledroit de s’annuler.

De meme, le theoreme d’inversion globale admet une version holomorphe.

Corollaire 6.20 Inversion globale, version holomorphe

Soit f : U → C holomorphe et injective. Alors f est un biholomorphismesur son image.

Preuve L’injectivite de f assure que f ′ ne s’annule pas (theoreme 6.16) !La fonction f : U → f(U) est donc un biholomorphisme local (6.14), doncglobal de nouveau par injectivite de f .

Remarque 6.21 Noter, dans ces enonces, la difference siderante avec le casdes fonctions de variable reelle. Considerer par exemple les fonctions x → x2

et x → x3.

Le corollaire 6.18 nous permet de redonner une nouvelle preuve du prin-cipe du maximum vu en 5.6, dont nous rappelons l’enonce.

Corollaire 6.22 Principe du maximum

Soient U ⊂ C un ouvert connexe, z0 ∈ U et f : U → C holomorphe. Si

1. |f | admet un maximum local en z0

2. ou bien |f | admet un minimum local non nul en z0

3. ou bien Re f , ou Im f , a un maximum ou un minimum local en z0,

alors la fonction f est constante.

Preuve Consequence immediate de ce qu’une fonction holomorphe nonconstante est ouverte.

Dans le cas d’un ouvert borne, on peut preciser ce resultat.

Corollaire 6.23 Principe du maximum sur un ouvert borne

Soient U ⊂ C un ouvert borne, et connexe. Soit f ∈ C0(U) ∩ H(U), holo-morphe sur U et continue jusqu’au bord. On a alors supU |f | ≤ sup∂U |f |,avec egalite si et seulement si f est constante.

Preuve La fonction continue |f | atteint son maximum sur le compact U .Si ce maximum est atteint en un point de U , le corollaire precedent assureque f est constante.

7. Singularites isolees d’une fonction holomorphe

On va maintenant s’interesser au comportement, au voisinagede a, d’une fonction holomorphe definie sur le disque pointeD∗(a,R) := D(a,R) \ a.

A Classification des singularites

Commencons par etudier trois exemples typiques.

• La fonction z →sin z

z, definie et holomorphe sur C∗, se prolonge en

une fonction holomorphe sur C. Cela resulte en effet du developpement

sin z =∑

n≥1

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!= z

∑

n≥1

(−1)nz2n

(2n+ 1)!.

On parle dans ce cas de singularite effacable (ou de singularite apparente).

• Pour la fonction f : z ∈ C∗ → 1/z ∈ C, on observe que |f(z)| → ∞lorsque |z| → 0. On dit que f possede un pole en l’origine.

• Considerons enfin la fonction g : z ∈ C∗ → e1/z ∈ C. L’imagepar l’application z → 1/z du disque pointe D∗(0, r) est le complementaireC \D(0, 1/r) du disque de rayon 1/r. Il suit de l’etude de l’application ex-ponentielle que, pour tout r > 0, l’image g(D∗(0, r)) est dense dans C (enl’occurrence, l’image est ici C∗). On parle alors de singularite essentielle.

On va demontrer que ce sont les trois seules configurations qui peuventapparaıtre.

61

62 D. H. M308

Theoreme 7.1 Soit f : D∗(a,R) → C une fonction holomorphe sur undisque pointe. Trois cas mutuellement exclusifs se presentent.

1. Singularite effacable. La fonction f se prolonge en une fonction ho-lomorphe definie sur tout le disque D(a,R).

2. Pole. Il existe un entier k ∈ N∗ et des complexes β1, · · · , βk avecβk 6= 0 tels que l’application holomorphe

z ∈ D∗(a,R) → f(z)−k

∑

j=1

βj(z − a)j

∈ C

presente en a une singularite effacable.

3. Point singulier essentiel. Pour tout 0 < r < R, l’image f(D∗(a, r))est dense dans C.

Definition 7.2 Dans le cas d’un pole :— L’entier k est unique. C’est l’ordre du pole. On le note oa(f) ∈ N∗.

— Les complexes β1, · · · , βk sont uniques, et on dit que∑k

j=1

βj(z − a)j

est la partie principale de f en a. On a

f(z) =

k∑

j=1

βj(z − a)j

+ h(z) =

k∑

j=1

βj(z − a)j

+

∞∑

n=0

αn (z − a)n ,

la fonction h etant holomorphe sur le disque D(a,R).— Le complexe β1 ∈ C jouera un role particulier. C’est le residu de f

en a. On notera Res (f, a) := β1. Il peut etre nul.

Remarque 7.3 – La fonction f admet en a un pole d’ordre k ≥ 1– si et seulement si la fonction 1/f admet en a une singularite effacable etun zero d’ordre k en a– si et seulement si il existe une fonction holomorphe g : D(a,R) → C pourlaquelle g(a) 6= 0 et telle que

f(z) =g(z)

(z − a)k.

On a alors |f(z)| → +∞ quand z → a.

Preuve du theoreme Supposons que nous ne soyons pas dans le derniercas (3). Il existe 0 < r < R tel que l’image f(D∗(a, r)) ⊂ C ne soit pas densedans C, et evite donc un disque D(w, ǫ).

Classification des singularites 63

La fonction

g : z ∈ D∗(a, r) →1

f(z)− w∈ C∗

est holomorphe sur D∗(a, r), et bornee au voisinage de a. Le theoreme deprolongement de Riemann 4.15 assure que g se prolonge en une fonctionholomorphe (que l’on notera encore g), definie sur tout D(a, r).

Si g(a) 6= 0 la fonction f est bornee au voisinage de a. Le theoremede prolongement de Riemann assure cette fois ci que f presente en a unesingularite effacable.

Si a est un zero d’ordre k ≥ 1 pour g, on ecrit

g(z) = (z − a)k g1(z) ,

ou g1 est holomorphe sur D(a, r) et ne s’annule pas en a, donc ne s’an-nule pas sur le disque D(a, r). Introduisons la fonction h1(z) := 1/g1(z) =∑∞

n=0 bn(z−a)n, holomorphe sur D(a, r). On a alors, pour tout z ∈ D(a, r),

f(z) = w +1

g(z)= w + (z − a)−k

∞∑

n=0

bn(z − a)n .

Le resultat suit avec βj = bk−j (j = 1 · · · k), et donc βk = b0 = h1(a) 6= 0.

Pour l’unicite, on remarque qu’une fonction de la forme z →∑k

j=1

βj(z − a)j

n’est bornee au voisinage de a que lorsque tous les βj sont nuls.

Mentionnons a titre culturel le resultat suivant, qui precise le comporte-ment d’une fonction holomorphe au voisinage d’une singularite essentielle.

Theoreme 7.4 Grand theoreme de Picard

Soit f une fonction holomorphe sur le disque pointe D∗(a,R) possedanten a une singularite essentielle. Deux cas se presentent :

1. soit, pour tout 0 < r < R, l’image f(D∗(a, r)) est C tout entier

2. soit il existe w ∈ C tel que, pour tout 0 < r < R assez petit, l’imagef(D∗(a, r)) soit C \ w.

Les fonctions z → sin(1/z) et z → exp(1/z) illustrent, au voisinage del’origine, l’un et l’autre cas.

On peut reformuler ce resultat comme suit. Soit f holomorphe possedantune singularite isolee au point a. Si il existe un voisinage pointe de a dontl’image par f omet deux points de C, alors la singularite est un pole ou bienune singularite effacable.

64 D. H. M308

B Fonctions meromorphes

Definition 7.5 Une fonction est dite fonction meromorphe sur U lorsqu’ilexiste une partie P ⊂ U telle que :

1. P ⊂ U est une partie fermee de U , et discrete

2. la fonction f est definie et holomorphe sur U \ P

3. la fonction f admet un pole en chaque point de P .

Remarque 7.6 – On autorise P = ∅. Une fonction holomorphe sur U estdonc egalement meromorphe.– L’ensemble P est fini ou denombrable. Il n’a pas de point d’accumulationdans U .

Exemple 7.7 – Les fractions rationnelles R(z)/Q(z), ou R,Q ∈ C[z] sontdes fonctions polynomiales, sont meromorphes sur C.– Plus generalement, tout quotient g1(z)/g2(z), ou g1 et g2 sont holomorphessur U et g2 n’est pas identiquement nulle (sur aucune composante connexede U) est meromorphe sur U .

Proposition 7.8 L’ensemble M(U) des fonctions meromorphes sur U eststable par addition, multiplication par un scalaire, multiplication interne, etderivation.

Lorsque l’ouvert U est connexe, l’inverse d’une fonction meromorphenon identiquement nulle est encore meromorphe ; M(U) est un corps.

Remarque 7.9 – On peut demontrer, mais nous n’en sommes pas encore la,qu’une fonction meromorphe sur U est toujours quotient de deux fonctionsholomorphes sur cet ouvert (voir le corollaire 10.17 lorsque U = C).– En particulier, lorsque U est connexe, M(U) est le corps des fractions del’anneau H(U) des fonctions holomorphes sur U (qui est integre, voir 6.8).

Le principe de l’argument 6.10, qui nous a permis de compter les zerosd’une fonction holomorphe, admet une variante meromorphe.

Theoreme 7.10 Principe de l’argument (version meromorphe)

Soient f : U → C meromorphe, et D(z0, r) ⊂ U un disque ferme inclusdans U . On suppose que f n’a ni zeros ni poles sur le cercle |z − z0| = r.Notons cr : t ∈ [0, 2π] → z0 + reit ∈ U . Alors

1

2iπ

∫

cr

f ′(z)

f(z)dz = Z(f)− P(f) ,

ou Z(f) et P(f) designent respectivement le nombre de zeros et le nombrede poles de f , comptes avec multiplicite, dans le disque D(z0, r).

Fonctions meromorphes 65

Preuve La fonction f admet dans le disque ferme D(z0, r) un nombrefini de zeros a1, · · · , ap de multiplicites k1, · · · , kp, et nombre fini de polesb1, · · · , bq de multiplicites n1, · · · , nq. On a

Z(f) =

p∑

j=1

kj et P(f) =

q∑

i=1

ni .

Comme dans la preuve de la proposition 6.10, on introduit la fonction

g(z) = f(z)

p∏

j=1

(z − aj)−kj

q∏

i=1

(z − bi)ni .

Les singularites de la fonction meromorphe g dans D(z0, r) sont effacables,et g ne s’annule pas sur ce disque. On constate que

g′(z)

g(z)=

f ′(z)

f(z)−

p∑

j=1

kjz − aj

+

q∑

i=1

ni

z − bi.

La conclusion suit theoreme de Cauchy 3.16 applique a la fonction g′/g,holomorphe sur un voisinage du disque ferme D(z0, r).

Terminons ce paragraphe par l’etude des series de fonctions meromorphes.

Definition 7.11 Soient U un ouvert de C et hn une suite de fonctionsmeromorphes sur U . On dit que la serie de fonctions

∑

n∈N hn convergeuniformement sur les compacts de U si, pour tout compact K ⊂ U , il existeun entier nk ∈ N tel que

— pour tout n ≥ nk, la fonction hn ne presente pas de pole sur K— la serie

∑

n≥nkhn est uniformement convergente sur K.

Proposition 7.12 Series de fonctions meromorphes

Soit hn une suite de fonctions meromorphes sur U . On suppose que la serie∑

n∈N hn converge uniformement sur les compacts de U . La somme h =∑

n∈N hn est une fonction meromorphe sur U et l’on peut deriver terme aterme, i.e. h′ =

∑

n∈N h′n.L’ensemble P (h) des poles de h est inclus dans la reunion ∪n∈NP (hn)

des ensembles des poles des hn.

Preuve La propriete a demontrer est locale. On peut donc se restreindrea un disque ouvert D := D(z0, r) d’adherence K := D(z0, r) ⊂ U dans U .Nous conservons les notations de la definition precedente. En restriction aD, on decompose la somme h =

∑

n<nKhn +

∑

n≥nkhn.

Le premier terme est une somme finie de fonctions meromorphes, quel’on peut deriver terme a terme. Le second est, en restriction a D, une serieuniformement convergente de fonctions holomorphes. Le resultat suit doncdu theoreme 5.15 sur les suites de fonctions holomorphes.

66 D. H. M308

C Groupes d’automorphismes

Definition 7.13 Un automorphisme d’un ouvert U ⊂ C est une applicationf : U → U bijective et biholomorphe.

L’ensemble AutU des automorphismes de U forme un groupe pour lacomposition.

C.1 Groupe des automorphismes de C

Nous allons maintenant determiner le groupe des automorphismesde C. Ce resultat, interessant par lui-meme, nous permettraegalement d’illustrer la classification des singularites isolees.

La proposition suivante va suivre facilement de l’etude des singularitesisolees d’une fontion holomorphe.

Proposition 7.14 Soit f : D∗(a,R) → C une fonction holomorphe et in-jective, definie sur un disque pointe. Alors

— soit f possede en a une singularite effacable ; dans ce cas f ′(a) 6= 0— soit f presente un pole simple au point a.

Preuve Puisque l’application f est injective, elle n’est pas constante, doncelle est ouverte (corollaire 6.18). On observe alors que f n’a pas de singu-larite essentielle en a. Sinon, l’image de la couronne 0 < |z − a| < R/2serait dense et rencontrerait l’ouvert non vide f(R/2 < |z − a| < R) :contradiction avec l’injectivite de f .

Supposons donc que f admette en a une singularite effacable. Puisque fest injective, il resulte de la structure locale d’une application holomorphe(theoreme 6.16) que f ′(a) 6= 0.

Supposons enfin que f admette en a un pole d’ordre k. L’applicationz ∈ D∗(a, r) → 1/f(z) ∈ C (definie et holomorphe pour 0 < r ≤ R assezpetit) est injective comme f et admet en a une singularite effacable. Il resultede la discussion precedente que a est un zero simple de 1/f , et donc que fpresente en a un pole d’ordre 1.

On va en deduire le

Theoreme 7.15 Le groupe AutC des automorphismes de C est l’ensembledes applications

z ∈ C → αz + β ,

avec α ∈ C∗ et β ∈ C.

Autrement dit, les automorphismes de C sont les applications affines (surle corps C) et bijectives de la droite complexe dans elle-meme.

Groupes d’automorphismes 67

Preuve Les applications z ∈ C → αz+β ∈ C sont des automorphismes deC pour α ∈ C∗.

Soit maintenant f ∈ AutC. On va examiner le comportement de f al’infini. Comme ce n’est pas bien commode de travailler a l’infini, on vautiliser le changement de variable z ∈ C∗ → 1/z ∈ C∗ pour se ramener enzero (voir egalement le chapitre 11).

On etudie donc le comportement en l’origine de la fonction g : w ∈ C∗ →f(1/w) ∈ C. Puisque g est injective, comme f , la proposition precedentenous dit que g presente en l’origine une singularite effacable, ou bien unpole d’ordre 1. Dans le premier cas, g est bornee au voisinage de 0, donc fest bornee au voisinage de l’infini et il suit du theoreme de Liouville 5.9 quef est constante, ce qui est exclu.

Ainsi g a un pole en l’origine, qui est simple puisque g est injective. Lafonction w → w g(w) est donc bornee au voisinage de l’origine. En revenant

a la fonction f , cela nous dit que z →f(z)

zest bornee au voisinage de

l’infini, ou encore que f est a croissance sous-lineaire. La proposition 5.10affirme alors que f est une fonction polynomiale de degre au plus 1.

C.2 Groupe des automorphismes du disque

Puisque nous sommes si bien partis avec les automorphismes, nous allonsmaintenant determiner ceux du disque unite

D = z ∈ C , |z| < 1 .

Leur description decoulera du resultat fondamental suivant.

Theoreme 7.16 Lemme de Schwarz

Soit f : D → D holomorphe telle que f(0) = 0. Alors

1. |f ′(0)| ≤ 1 et, pour tout z ∈ D, on a |f(z)| ≤ |z| ;

2. l’egalite |f ′(0)| = 1 a lieu

— si et seulement si il existe z0 ∈ D non nul avec |f(z0)| = |z0|— si et seulement si il existe λ ∈ C avec |λ| = 1 tel que f(z) = λz— si et si seulement si f est un automorphisme du disque.

Remarque 7.17 – A ce stade, nous avons donc deja determine les auto-morphismes du disque qui fixent l’origine : ce sont les rotations jλ : z → λzou |λ| = 1.– On munit D de la distance euclidienne. Soit f : D → D une applicationholomorphe qui fixe l’origine. De deux choses l’une : soit f est une rotation,soit f rapproche tout le monde (strictement) de l’origine.

68 D. H. M308

– Cela dit, la distance euclidienne n’est pas la bonne distance a considererdans ce contexte. On peut verifier que l’expression

dP (z1, z2) = tanh−1 |z1 − z2|

|1− z1z2|

definit une distance sur D, qui est invariante sous l’action du groupe AutD.On l’appelle la “distance de Poincare” (ou encore “distance hyperbolique”)sur D. Une isometrie de (D, dP ) est un automorphisme du disque, ou unanti-automorphisme (c’est-a-dire compose d’un automorphisme de D et del’application z ∈ D → z ∈ D).

Le lemme de Schwarz-Pick (qui est une version AutD invariante dulemme de Schwarz) affirme qu’une application holomorphe f : D → D n’aug-mente pas les distances hyperboliques : pour tout couple z1, z2 de pointsdu disque, on a l’inegalite dP (f(z1), f(z2)) ≤ dP (z1, z2) ; de plus, si il y aegalite pour un couple de points z1 6= z2 du disque, l’application f est alorsune isometrie de D. C’est un enonce fondamental de geometrie en courburenegative.

Le lemme de Schwarz sera consequence du principe du maximum.

Preuve 1. Puisque f s’annule en l’origine, la fonction g : D → C definiepar g(z) = f(z)/z lorsque z 6= 0 et g(0) = f ′(0) est continue sur le disque etholomorphe hors de l’origine, donc holomorphe sur le disque (prolongementde Riemann 4.15).

Soit 0 < r < 1. Puisque f est a valeurs dans D, i.e. |f(z)| < 1, le principedu maximum 6.23 applique a la fonction g sur le disque D(0, r) ⊂ D montreque

|z| ≤ r ⇒ |f(z)

z| = |g(z)| ≤ sup

|z|=r|g(z)| ≤ 1/r .

En faisant tendre r vers 1, on obtient que |f(z)| ≤ |z| pour tout z ∈ D etque |f ′(0)| ≤ 1.

2. Si f est une homothetie de rapport λ avec |λ| = 1, les autres proprietessont verifiees.

Si |f ′(0)| = 1, ou bien si il existe z0 ∈ D non nul avec |f(z0)| = |z0|,cela signifie que la fonction |g| atteint son maximum (qui vaut alors 1) enun point du disque. La fonction holomorphe g est donc constante, egale a λavec |λ| = 1.

Soit maintenant f ∈ AutD (avec toujours f(0) = 0). D’apres ce quiprecede, on a |f ′(0)| ≤ 1. La meme conclusion vaut pour l’applicationreciproque f−1. On a donc

|(f−1)′(0)| = |1/f ′(0)| ≤ 1 ,

et finalement |f ′(0)| = 1.

Groupes d’automorphismes 69

Lemme 7.18 Soit a ∈ D. L’application

ha : z ∈ D →a− z

1− az∈ D

est un automorphisme du disque tel que ha(a) = 0 et ha(0) = a.

Preuve Si a = 0, ha = −Id. Sinon, l’application homographique

ha : C \ 1/a → C \ 1/a

est un biholomorphisme entre ces deux ouverts. On observe que ha est uneinvolution, i.e. h2a = Id (si l’on est familier avec la geometrie projective,on peut pour cela se contenter de noter que h2a : P1C → P1C est unehomographie qui fixe les trois points 0, a et ∞). Elle envoie le cercle unitesur lui-meme ; en effet on a pour tout t ∈ R

|ha(eit)| =

|a− eit|

|1− aeit|=

|a− eit|

|e−it − a|= 1 .

Le principe du maximum (corollaire 6.23) montre donc que ha(D) ⊂ D.Puisque ha est une involution, on obtient bien finalement ha(D) = D.

Nous savons maintenant decrire tous les automorphismes du disque.

Corollaire 7.19 Le groupe AutD est l’ensemble des applications

ha,λ : z ∈ D → λa− z

1− az∈ D ,

avec a ∈ D et |λ| = 1. Le groupe AutD agit transitivement sur le disque.

Remarque 7.20 – Dire que le groupe AutD agit transitivement sur ledisque, c’est dire que d’un point de vue holomorphe tous les points du disquese valent.– Les elements de AutD sont des exemples d’applications homographiques(ou homographies).

Preuve Il resulte du lemme precedent que chaque application ha,λ = jλha,pour |λ| de module 1, est bien un automorphisme du disque.

Soit maintenant f ∈ AutD. Il existe un unique point a ∈ D pour lequelf(a) = 0. Introduisons alors

g = f ha .

Par composition, g est maintenant un automorphisme du disque qui fixel’origine. Le lemme de Schwarz nous assure de l’existence de λ ∈ C demodule 1 pour lequel g = jλ. On a donc f = jλ ha comme annonce.

70 D. H. M308

D Ordre d’une fonction elliptique

La fonction de Weierstrass ℘ et sa derivee ℘′ fournissent deux exemplesde fonctions elliptiques : elles sont meromorphes sur C et doublementperiodiques relativement a un reseau Λ. On peut exprimer la periodicitede ces fonctions en disant qu’elles sont en fait definies (et meromorphes) surl’espace quotient C/Λ (qu’on appelle une courbe elliptique, mais c’est uneautre histoire...)

Soit maintenant f une fonction Λ-elliptique non constante. L’ensembleP (f) de ses poles, comme l’ensemble Z(f) de ses zeros, est discret et biensur stable par translation par le reseau Λ = Zu⊕ Zv.

La fonction f admet donc dans chaque domaine fondamental

Kε := xu+ yv | ε ≤ x < 1 + ε , ε ≤ y < 1 + ε

le meme nombre fini Z(f) de zeros et P(f) de poles (que l’on comptera,comme toujours, avec multiplicite). C’est le nombre de zeros, ou de poles,de la fonction vue sur le quotient C/Λ. On definira l’ordre de la fonctionelliptique f comme cette valeur commune

ordre(f) := Z(f) = P(f) .

Observer qu’il suit que, dans un domaine fondamental, la fonction f prendautant de fois (avec multiplicite bien sur) n’importe quelle valeur c ∈ C !En effet les fonctions z → f(z) et z → f(z) − c ont les memes poles avecmemes multiplicites, donc ont meme ordre.

L’ensemble des poles et des zeros de f etant discret, on peut choisirε ≥ 0 de sorte que le bord ∂Kε du domaine fondamental Kε necontienne ni zero ni pole de f . Le principe de l’argument (ecrit icipour le domaine Kε plutot que pour un disque) nous donne

Z(f)− P(f) =1

2iπ

∫

∂Kε

f ′(z)

f(z)dz = 0

par periodicite de f (revoir la fin du chapitre 3 si besoin).

Ordre d’une fonction elliptique 71

Il est maintenant facile de localiser les zeros de la fonction

℘′(z) = −2∑

w∈Λ

(z − w)−3 ,

derivee de la fonction de Weierstrass associee au reseau Λ = Zu + Z v. Lafonction ℘′ admet trois zeros simples sur le domaine fondamental

K := xu+ yv | 0 ≤ x < 1 , 0 ≤ y < 1 .

Ce sont les trois pointsu

2,v

2et

u+ v

2.

La fonction ℘′ admet dans K un unique pole d’ordre 3 (l’origine) : cettefonction elliptique est donc d’ordre 3. Elle doit donc posseder trois zeros(lorsqu’on les compte avec multiplicite) dans le domaine fondamental K.

Par definition, ℘′ est une fonction impaire. On a donc

℘′(u

2) = −℘′(

−u

2) = −℘′(

−u

2+ u) = −℘′(

u

2)

par periodicite, donc ℘′(u

2) = 0. Le meme raisonnement applique a v et u+v

montre que les trois points indiques sont bien zeros de ℘′. Ce sont donc lesseuls zeros de ℘′ dans K, et ils sont simples.

Les trois zeros et le pole de ℘′ dans K ; les zeros et les poles ℘′ dans C

Le meme raisonnement montre que ℘(z1) = ℘(z2) si et seulement siz1 = ±z2 mod Λ.

8. Theoreme et formule de Cauchy homologiques

A Lacets homologues

Nous avons demontre plus tot (corollaire 3.16 et theoreme 4.6) les resultatssuivants, valables pour un ouvert convexe U .

Rappel 8.1 Soient U ⊂ C un ouvert convexe et f : U → C une fonctionholomorphe. Soient γ ⊂ U un lacet. Alors

(1) Theoreme de Cauchy∫

γ f(z) dz = 0

(2) Formule de Cauchy pour tout a ∈ U n’appartenant pas au supportde γ on a

f(a) Ind (γ, a) =1

2iπ

∫

γ

f(z)

z − adz .

L’exemple de la fonction z ∈ C∗ → 1/z ∈ C, et du lacet c1 parametrantle cercle unite, nous a convaincu que ce resultat ne pouvait se generalisersans precautions a un ouvert non convexe. Il est naturel de se poser les deuxquestions suivantes :

— Donne un ouvert connexe U ⊂ C, quelle condition imposer au lacetγ ⊂ U pour que (1) et (2) soient vrais pour toute fonction holomorphesur U .

— Caracteriser les ouverts connexes U ⊂ C pour lesquels (1) et (2) sontsatisfaits pour tout lacet γ ⊂ U , et toute fonction holomorphe.

Commencons par la premiere question. Soit a un point n’appartenantpas a U . La fonction fa : z ∈ U → 1/(z − a) ∈ C est alors holomorphe surU . Demander a ce que le theoreme de Cauchy soit satisfait sur le lacet γpour fa equivaut a demander que l’indice Ind (γ, a) soit nul.

Definition 8.2 Soit U ⊂ C un ouvert connexe.

– Un lacet γ ⊂ U est homologue a 0 lorsque

pour tout point a /∈ U , on a Ind (γ, a) = 0.

– Deux lacets γ1 et γ2 traces dans U sont homologues lorsque

pour tout point a /∈ U , on a Ind (γ1, a) = Ind (γ2, a).

72

Theoreme et formule de Cauchy 73

Remarque 8.3 – Homologue a 0 veut en fait dire “homologue a un lacetconstant”.– La notion de lacets homologues est relative a l’ouvert dans lequel on tra-vaille.– Dans un ouvert convexe, tout lacet est homologue a 0.

Dans un anneau :

deux lacets homologues, mais pas homologues a 0 ; deux lacets homologues a 0.

B Theoreme et formule de Cauchy

Theoreme 8.4 Soient U ⊂ C un ouvert et f : U → C une fonction holo-morphe. Soient γ ⊂ U un lacet homologue a 0. Alors :

(1) Theoreme de Cauchy∫

γ f(z) dz = 0

(2) Formule de Cauchy pour tout a ∈ U n’appartenant pas au supportde γ on a

f(a) Ind (γ, a) =1

2iπ

∫

γ

f(z)

z − adz .

Preuve • (1) suit de (2) applique a la fonction holomorphe g : U → Cdefinie par g(z) = (z − a) f(z), pour a choisi dans U \ γ.

• Montrons (2). Comme dans la preuve du cas convexe (theoreme 4.6), ils’agit de montrer que

∫

γ

f(z)− f(a)

z − adz = 0 .

La preuve va consister en trois etapes. Soient U ⊂ C un ouvert, f : U → Cune fonction holomorphe et γ ⊂ U un lacet.

74 D. H. M308

Lemme 8.5 L’application q : U × U → C definie par

q(z, a) =f(z)− f(a)

z − asi z 6= a et q(a, a) = f ′(a)

est continue sur U × U . Pour chaque z ∈ U , l’application

qz : a ∈ U → q(z, a) ∈ C

est holomorphe.

Preuve Par construction, q est continue hors de la diagonale. La continuitede q au point (a, a) suit de la continuite de la derivee f ′ au point a. En effet,soient z1, z2 ∈ U proches de a de sorte que le segment [z1, z2] soit inclus dansU . On a

f(z2)− f(z1) = (z2 − z1)

∫ 1

0f ′(z1 + t(z2 − z1)) dt .

Soit z ∈ U . La fonction qz est definie et continue sur U , holomorphesur U \ z, donc holomorphe sur U par le theoreme de prolongement deRiemann 4.15.

Lemme 8.6 La fonction

h : a ∈ U →

∫

γq(z, a) dz

est holomorphe sur U .

Preuve Consequence du lemme precedent, et de l’holomorphie sous le signeintegrale (proposition 4.19).

Il s’agit maintenant pour obtenir la formule de Cauchy de montrer, ensupposant le lacet γ ⊂ U homologue a 0, que la fonction h est nulle sur U .

Lemme 8.7 On suppose ici que le lacet γ ⊂ U est homologue a 0 et onintroduit

Ωγ := a ∈ C \ γ , Ind (γ, a) = 0 .

— L’ensemble Ωγ ⊂ C est un voisinage ouvert de l’infini, et C = U∪Ωγ.— La fonction

k : a ∈ Ωγ →

∫

γ

f(z)

z − adz

est holomorphe sur Ωγ. On a k(a) → 0 lorsque |a| → ∞.— Les fonctions k et h coıncident sur leur domaine commun de definition

U ∩ Ωγ.

Theoreme et formule de Cauchy 75

Preuve

— On a vu que Ωγ est un voisinage ouvert de l’infini (proposition 4.2).Dire que γ ⊂ U est homologue a 0, c’est dire que le complementairede U est inclus dans Ωγ .

— Le fait que k soit holomorphe decoule de nouveau de l’holomorphiesous le signe integrale.

— Lorsque a ∈ Ωγ ∩ U , on a par definition de l’indice :

1

2iπ

∫

γ

f(a)

z − adz = f(a) Ind (γ, a) = 0 .

Il suit que h(a) = k(a).

Preuve du theoreme Le lemme precedent assure que les fonctions h etk sont restrictions d’une meme fonction entiere qui tend vers 0 a l’infini. Letheoreme de Liouville 5.9 assure que cette fonction est identiquement nulle,ce qu’on voulait.

On va en deduire le corollaire suivant.

Corollaire 8.8 Soient U ⊂ C un ouvert connexe, γ1 et γ2 deux lacets ho-mologues de U et f : U → C une fonction holomorphe. Alors :

(1) Theoreme de Cauchy∫

γ1f(z) dz =

∫

γ2f(z) dz

(2) Formule de Cauchy pour tout a ∈ U n’appartenant pas a lareunion des supports des lacets γ1 et γ2, on a

f(a)(

Ind (γ1, a)−Ind (γ2, a))

=1

2iπ

∫

γ1

f(z)

z − adz−

1

2iπ

∫

γ2

f(z)

z − adz .

Commencons par un petit rappel de topologie.

Lemme 8.9 Soient U ⊂ C un ouvert connexe.

– L’ouvert U est connexe par arcs continus et C1 par morceaux.– Soit a ∈ U . L’ouvert U \a est encore connexe (et donc connexe par arcscontinus et C1 par morceaux).

Preuve On definit une relation d’equivalence R sur l’ouvert U en decidantque pRq ssi il existe un chemin continu et C1 par morceaux, trace dans U ,et joignant p a q. Les classes de cette relation sont ouvertes (car tout pointd’une boule B(p, ε) ⊂ U est joint a p par un segment trace dans cette boule –autrement dit l’ouvert U est localement connexe par arcs C1 par morceaux).Les classes sont donc egalement fermees, ce qui prouve le premier point.

76 D. H. M308

Soient maintenant p, q ∈ U \ a et choisissons ε < inf(d(p, a), d(q, a)).Soit γ : [0, 1] → U un chemin (continu, ou continu et C1 par morceaux)joignant p a q. Si γ est trace dans U \a on est satisfaits. Sinon on introduit

t0 = inft ∈ [0, 1] , |γ(t)− a| = ε et t1 = supt ∈ [0, 1] , |γ(t)− a| = ε .

On definit un chemin γ : [0, 1] → U \ a de p a q en posant γ(t) = γ(t)pour 0 ≤ t ≤ t0 ou t1 ≤ t ≤ 1, et en decidant que γ([t0, t1]) decrit l’un desarcs du cercle |z − a| = ε joignant γ(t0) et γ(t1).

p

q

On prend la rocade pour eviter le centre

Preuve du corollaireSupposons γ1 et γ2 parametres par l’intervalle [0, 1] et notons x1 = γ1(0) etx2 = γ2(0). Le lemme precedent assure qu’il existe un chemin c d’extremitesx1 et x2, et trace dans U \ a. Formons le lacet γ := γ1 ∗ c ∗ γ∨2 ∗ c∨. Onobserve que, puisque γ1 et γ2 sont homologues, le lacet γ est homologue a0. Ces deux resultats suivent donc du theoreme et de la formule de Cauchy8.4, les contributions de c et de c∨ aux integrales se compensant.

c

cv

U

a

Espaces simplement connexes 77

C Espaces simplement connexes

Ce paragraphe (homotopie, espaces simplement connexes et application conforme

de Riemann) n’est pas au programme de l’examen.

Dans cette section “culturelle”, nous nous interesserons a la secondequestion : quels sont les ouverts connexes U ⊂ C dans lesquels la formule etle theoreme de Cauchy sont verifies, et ce, pour tout lacet γ ⊂ U et toutefonction holomorphe f ∈ H(U).

Il ressort des discussions precedentes que ce sont les ouverts dans lesquelstout lacet est homologue a zero.

Proposition-Definition 8.10 Soit U ⊂ C un ouvert connexe. On dit quel’ouvert U est homologiquement trivial lorsqu’il satisfait l’une des conditionsequivalentes suivantes :

1. tout lacet de U est homologue a 0

2. toute fonction f : U → C holomorphe possede une primitive sur U .

3. pour tout point a /∈ U , la fonction fa : z ∈ U → 1/(z − a) ∈ C admetune primitive sur U

Lorsque ces proprietes sont satisfaites, toute fonction holomorphe sur Une s’y annulant pas possede un logarithme et des racines k-iemes (k ≥ 1)holomorphes.

Preuve L’implication 1 ⇒ 2 resulte du theoreme de Cauchy 8.4, et dutheoreme 3.13 (critere pour l’existence d’une primitive).

2 ⇒ 3 est immediat.Supposons 3 vrai. Pour a /∈ U , la fonction fa admet une primitive sur

U , et son integrale sur tout lacet γ ⊂ U est donc nulle. On a donc bienInd (γ, a) = 0.

L’assertion sur le logarithme et les racines k-iemes se montre commedans la proposition 3.18.

Un theoreme fondamental du a Riemann affirme que ces conditions, quiportent sur l’ensemble H(U) des fonctions holomorphes sur U (conditions 2et 3) ou bien sur la facon dont U est plonge dans C (condition 1), refletenten fait une propriete topologique intrinseque de l’ouvert U . Pour l’enoncer,nous devons introduire la notion d’homotopie.

Contrairement a ce dont nous avions convenu jusqu’ici, un “lacet” signifiera main-

tenant (et seulement dans cette section) “lacet continu” (et non continu et C1 par

morceaux).

78 D. H. M308

Definition 8.11 Soit U ⊂ C un ouvert. Un lacet continu γ : [0, 1] → U esthomotope a 0 lorsqu’il existe une application continue H : [0, 1]× [0, 1] → Utelle que

— pour tout s ∈ [0, 1], l’application Hs : t ∈ [0, 1] → H(s, t) ∈ U est unlacet continu de U

— le lacet H0 est un lacet constant— pour t ∈ [0, 1], on a H(1, t) = γ(t), i.e. H1 = γ.

On dit que H est une homotopie entre le lacet γ et le lacet constant H0.

La famille de lacets Hs fournit donc une deformation continue du lacetinitial γ vers un lacet constant.

En plein, les lacets t → Hs(t). En pointilles, les chemins s → H(s, t).

Exemple 8.12 • L’application H : (r, t) ∈ [0, 1]×[0, 1] → re2iπt ∈ C realiseune homotopie entre le lacet constant egal a 0 et le lacet c1 : t ∈ [0, 1] → e2iπt.• Dans C, ou dans un ouvert convexe U ⊂ C, tout lacet est homotope a 0.

Proposition 8.13 Soient U ⊂ C un ouvert et γ un lacet trace dans U . Siγ est homotope a 0, il est homologue a 0.

Preuve Nous ne detaillerons pas la preuve. Presentons en les grandes lignes.Soient a ∈ C \U et H une homotopie entre γ = H1 et un lacet constant H0.Nous voulons montrer que l’indice Ind (γ, a) est nul.

Le “raisonnement geometrique” mene apres la definition de l’indice (4.1)permet de montrer que l’indice I(s) := Ind (Hs, a) est localement constant :utiliser l’uniforme continuite de H pour recouvrir le carre [0, 1] × [0, 1] parn2 petits carres [j/n, (j + 1)/n] × [k/n, (k + 1)/n] dont les images par Hsont contenues dans des domaines (par exemple des boules) dans lesquels lafonction fa : z → 1/(z − a) a une primitive.

L’intervalle [0, 1] etant connexe l’indice I(s), qui est localement constant,est constant. Comme H0 est un lacet trivial, on a I(0) = 0 et donc I(1) = 0comme annonce.

Espaces simplement connexes 79

Exemple 8.14 Par contre il faut remarquer qu’un lacet homologue a 0 n’estpas toujours homotope a 0. Donnons, sans demonstration, un exemple delacet homologue a 0 dont on pourra se convaincre experimentalement qu’iln’est pas homotope a 0. L’ouvert U est ici le plan complexe prive de deuxpoints, ou de deux disques. La demonstration requiert cependant un peu detechnique (theoreme de van Kampen).

Definition 8.15 Un ouvert connexe U ⊂ C est simplement connexe lorsquetout lacet γ ⊂ U est homotope a 0.

On verifie sans peine que la simple connexite est une propriete topologique,c’est-a-dire invariante par homeomorphisme. Nous sommes maintenant enmesure d’enoncer le theoreme de l’application conforme de Riemann. Rappe-lons qu’une application holomorphe dont la derivee ne s’annule pas preserveles angles orientes : elle est conforme.

Theoreme 8.16 Theoreme de l’application conforme de Riemann

Soit U ⊂ C un ouvert connexe. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

1. l’ouvert U est simplement connexe (tout lacet de U est homotope a0)

2. l’ouvert U est homologiquement trivial (autrement dit, tout lacet deU est homologue a 0)

3. toute fonction holomorphe f : U → C∗ ne s’annulant pas admet uneracine carree holomorphe

4. ou bien U = C ; ou bien il existe un biholomorphisme h : U → Dentre U et le disque unite.

Il y a donc, a biholomorphismes pres, un unique modele pour tous lesouverts U $ C qui sont simplement connexes : le disque. On dit que ces

80 D. H. M308

ouverts sont uniformises par le disque, le biholomorphisme h : U → D etantune uniformisation de U .

Elements de preuve On a vu* 1 ⇒ 2 (proposition 8.13 )* 2 ⇒ 3 (proposition 8.10)* 4 ⇒ 1 (la simple connexite est une propriete topologique).

* Le fait que 3 ⇒ 4 est le coeur de l’affaire. La demonstration, meme si ellereste accessible avec nos moyens, est un peu delicate. Nous admettrons doncce point pour l’instant. Il fera l’objet du chapitre 12. Nous y evoqueronsegalement quelques exemples.

9. Series de Laurent

A Fonctions holomorphes sur un anneau

Pour 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞, on note

A = A(R1, R2) = z ∈ C | R1 < |z| < R2

l’anneau de rayon interieur R1 et de rayon exterieur R2. Par exemple :

— A(0, R) = D∗(0, R) (disque pointe de rayon R)— A(0,∞) = C∗.

Notre but est de decrire toutes les fonctions holomorphes sur l’anneau A.Commencons par donner un exemple de construction d’une telle fonction.

Definition 9.1 Une serie de Laurent sur l’anneau A(R1, R2) est une seriede fonctions

∑

n∈Z

anzn

ou— la serie entiere

∑

n∈N anzn converge sur le disque D(0, R2)

— la serie entiere∑

n≥1 a−nzn converge sur le disque D(0, 1/R1).

En particulier, la serie de fonctions∑

n∈Z anzn converge normalement sur

tout anneau ferme A(r1, r2) ⊂ A(R1, R2).

Lemme 9.2 Soit∑

n∈Z anzn une serie de Laurent sur l’anneau A(R1, R2),

et f : A(R1, R2) → C sa somme.

1. La fonction f est holomorphe.

2. Pour tout entier n ∈ Z et tout rayon r ∈]R1, R2[, on a

an =1

2π rn

∫ 2π

0f(reit)e−int dt . (∗)

Preuve La serie converge uniformement sur tout compact de A(R1, R2).L’holomorphie de f suit donc du theoreme 4.17, et on obtient l’expressiondes an en intervertissant somme et integrale.

81

82 D. H. M308

On va voir que toutes les fonctions holomorphes sur l’anneau s’obtiennentde cette facon. Comment faire ? Le developpement en serie entiere d’unefonction holomorphe sur le disque avait resulte de la formule de Cauchy dansun disque, et de l’analyticite de la fonction z → 1/z (voir 4.10). Nous allonsproceder ici de la meme facon, et commencerons donc par demontrer uneformule de representation integrale valable pour les fonctions holomorphessur un anneau.

B Developpement en serie de Laurent

Notation 9.3 Soit r > 0. On notera cr le lacet t ∈ [0, 2π] → reit ∈ C. Sonimage est le cercle de rayon r, parcouru une fois dans le sens trigonometrique.

Proposition 9.4 Formule de Cauchy dans un anneau

Soit f : A → C une fonction holomorphe sur l’anneau A := A(R1, R2).On se donne R1 < r1 < r2 < R2, de sorte qu’on ait l’inclusion A(r1, r2) ⊂A(R1, R2). Pour tout z ∈ A(r1, r2), on a

f(z) =1

2iπ

∫

cr2

f(w)

w − zdw −

1

2iπ

∫

cr1

f(w)

w − zdw .

R2

Preuve Les lacets cr1 et cr2 sont homologues dans l’anneau A ; en effet

pour |a| ≤ R1 : Ind (cr1 , a) = Ind (cr2 , a) = 1

pour R2 ≤ |a| : Ind (cr1 , a) = Ind (cr2 , a) = 0.

La proposition est donc une application immediate du corollaire 8.8 puisque,lorsque z ∈ A(r1, r2), on a Ind (cr1 , z) = 0 et Ind (cr2 , z) = 1.

De la formule de Cauchy dans un anneau va resulter le

Developpement en serie de Laurent 83

Theoreme 9.5 Developpement en serie de Laurent

Soit f : A → C une fonction holomorphe sur l’anneau A := A(R1, R2). Lafonction f admet un unique developpement

f(z) =∑

n∈Z

anzn

en serie de Laurent sur A : la serie∑

n∈Z anzn converge normalement vers

f sur les compacts de A. Les coefficients an verifient, pour tout r ∈]R1, R2[,l’identite

an =1

2π rn

∫ 2π

0f(reit)e−int dt . (∗)

Remarque 9.6 – La formule de Cauchy homologique assure que le termede droite dans (*) ne depend pas de r. On peut en effet ecrire

an =1

2iπ

∫

cr

f(z)

zn+1dz . (∗)

Preuve Supposons que f admette un developpement en serie de Laurent.Les identites (∗), et donc l’unicite du developpement de f en serie de Laurentsur A, suivent du lemme 9.2.

Passons a l’existence. Soient R1 < r1 < r2 < R2, de sorte que A(r1, r2) ⊂A(R1, R2). On va commencer par montrer que f admet un developpementen serie de Laurent dans l’anneau ouvert A(r1, r2). La formule de Cauchydans cet anneau (corollaire 9.4) donne, pour tout point z ∈ A(r1, r2) ⊂ A :

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

f(r2 eit)

r2 eit − zr2 e

itdt−1

2π

∫ 2π

0

f(r1 eit)

r1 eit − zr1 e

itdt .

Puisque r1 < |z| < r2, on reecrit cette expression sous la forme :

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

f(r2 eit)

1− zr2 eit

dt+1

2πz

∫ 2π

0

f(r1 eit)

1− r1 eit

z

r1 eitdt .

Le resultat suit alors de l’identite 11−u =

∑∞n=0 u

n, valable pour |u| < 1,la convergence normale de cette serie permettant d’intervertir sommes etintegrales. On obtient en effet d’une part

1

2π

∫ 2π

0

f(r2 eit)

1− zr2 eit

dt =∑

n∈N

( 1

2π rn2

∫ 2π

0f(r2 e

it) e−int dt)

zn =∑

n∈N

anzn ,

84 D. H. M308

et d’autre part

1

2πz

∫ 2π

0

f(r1 eit)

1− r1 eit

z

r1 eitdt =

∑

n∈N

rn+11

2πz

(

∫ 2π

0f(r2 e

it) ei(n+1)t dt)

z−n

=∞∑

n=1

( 1

2π r−n1

∫ 2π

0f(r1 e

it) eint dt)

z−n

=∑

n≥1

a−nz−n .

Nous avons donc montre l’existence de coefficients an = an(r1, r2) telsf(z) =

∑

n∈Z an(r1, r2)zn pour tout z ∈ A(r1, r2). L’unicite du developpement

en serie de Laurent assure que ces coefficients ne dependent pas de r1 et r2,et donc que l’identite

f(z) =∑

n∈Z

anzn

est valable sur tout l’anneau A(R1, R2).

Corollaire 9.7 Decomposition de Laurent

Soit f : A → C une fonction holomorphe sur l’anneau A := A(R1, R2). Ilexiste un unique couple de fonctions (g, h) tel que

1. g est holomorphe sur le disque D(0, R2)

2. h est holomorphe sur l’anneau A(R1,∞) (complementaire du disqueferme D(0, R1)), et tend vers 0 a l’infini

3. f = g + h.

La fonction g est la partie reguliere de f , et h est sa partie principale.

Preuve L’existence est consequence du developpement en serie de Laurentde f , soit

f(z) =∑

n∈N

anzn ,

en prenant g(z) =∑

n≥0 anzn et h(z) =

∑

n<0 anzn =

∑

n≥1 a−nz−n.

Pour l’unicite, supposons que f admette deux telles decompositions

f = g + h = g1 + h1 .

Les fonctions g − g1 (definie sur D(0, R2)) et h1 − h (definie sur A(R1,∞))coıncident sur l’anneau A, et sont donc restrictions a A d’une meme fonctionentiere qui tend vers 0 a l’infini. On conclut par le theoreme de Liouville.

Nous terminons ce paragraphe en revenant sur le cas d’une fonctionholomorphe presentant une singularite isolee.

Theoreme des residus 85

Remarque 9.8 Soit f : D∗(0, R) → C holomorphe. Soit f = g + h sadecomposition de Laurent.

La partie reguliere g est holomorphe sur le disque D(0, R).La partie principale h est une fonction holomorphe definie sur tout C∗.

La fonction z → h(1/z) se prolonge une fonction entiere nulle en 0.

Proposition 9.9 Soient f : D∗(0, R) → C une fonction holomorphe definiesur un disque pointe, et f(z) =

∑

n∈Z anzn son developpement en serie de

Laurent. La fonction presente en l’origine

1. une singularite effacable si et seulement si an = 0 pour tout n < 0

2. un pole si et seulement si l’ensemble n < 0 | an 6= 0 est fini ; l’ordredu pole est alors o0f = − infn < 0 | an 6= 0

3. une singularite essentielle si et seulement si n < 0 | an 6= 0 estinfini.

Preuve Les equivalences (1) et (2) decoulent de l’unicite du developpementen serie de Laurent. On a une singularite essentielle en l’origine lorsque cepoint n’est ni une singularite effacable, ni un pole.

Bien entendu, tout ce qui vient d’etre fait (par commodite de notation)pour un anneau centre en l’origine se transpose sans difficulte a tout anneauAz0(R1, R2) := z ∈ C | R1 < |z − z0| < R2.

C Theoreme des residus

Definition 9.10 Soient f : D∗(z0, R) → C une fonction holomorphe definiesur un disque pointe, et

f(z) =∑

n∈Z

an(z − z0)n

son developpement en serie de Laurent. Le residu de f en z0 est

Res (f, z0) := a−1 .

Remarque 9.11 Le residu a−1 est l’obstruction a ce que la fonction fadmette une primitive sur D∗(z0, R). Ecrivons en effet

f(z) =∑

n∈Zn 6=−1

an(z − z0)n +

a−1

z − z0=: f0 + f1 .

La fonction f0 admet pour primitive F0, definie pour z ∈ D∗(z0, R) par

F0(z) =∑

n∈Zn 6=−1

ann+ 1

(z − z0)n+1 .

Par contre f1(z) =a−1

z−z0n’admet de primitive sur D∗(z0, R) que si a−1 = 0.

86 D. H. M308

Il faudra savoir calculer des residus. A cet effet :

Proposition 9.12 — Si f a un pole simple en z0, on a Res (f, z0) =limz→z0(z − z0) f(z)

— Si f = g/h, ou g et h sont holomorphes sur le disque D(z0, R), ettelles que g(z0) 6= 0, h(z0) = 0 et h′(z0) 6= 0, la fonction f a un polesimple en z0, et Res (f, z0) = g(z0)/h

′(z0)— En particulier, si f a un zero simple en z0, Res (1/f, z0) = 1/f ′(z0)— Si f a un pole d’ordre au plus k en z0, et g(z) := (z−z0)

k f(z), alorsRes (f, z0) = g(k−1)(z0)/(k − 1)!

Preuve Immediat.

Pour une singularite essentielle en z0, le calcul du residu n’est pas aussisimple que pour les exemples precedents. Mais, dans tous les cas, la formuleintegrale suivante qui re-exprime le fait que Res (f, z0) est l’obstruction a ceque f admette une primitive sur le disque pointe reste valable.

Lemme 9.13 Soient f holomorphe sur D∗(z0, R) et 0 < r < R. On a

Res (f, z0) =1

2iπ

∫

cr

f(z) dz ,

ou cr : t ∈ [0, 2π] → z0 + reit ∈ C.

Preuve Vu au lemme 9.2 : la serie de Laurent de f converge normalementsur le support du lacet cr. On peut donc integrer terme a terme.

Le theoreme des residus va globaliser ce resultat.

Theoreme 9.14 Theoreme des residus

Soient U ⊂ C un ouvert et γ ⊂ U un lacet homologue a 0 dans U . Soientz1, · · · , zp des points distincts de U \ γ, et f : U \ z1, · · · , zp → C unefonction holomorphe, presentant des singularites isolees en z1, · · · , zp. Alors

1

2iπ

∫

γf(z) dz =

p∑

j=1

Res (f, zj) Ind (γ, zj) .

A gauche le theoreme des residus s’applique (que donne-t-il ?) ; pas a droite

Theoreme des residus 87

Preuve Soit f = gj + hj la decomposition de Laurent de f en zj, pourj ∈ 1, · · · , p. La partie principale hj est definie et holomorphe sur toutC \ zj (remarque 9.8) et y admet un developpement

hj(z) =∑

n≥1

a−n,j (z − zj)−n

normalement convergent sur le complementaire dans C de tout disque centreen zj , et donc sur le support de γ.

Introduisons la fonction definie par F := f−∑p

j=1 hj sur U\z1, · · · , zp.Cette fonction F possede en chaque zj une singularite effacable. Elle seprolonge donc en une fonction holomorphe sur U , que l’on note encore F .Puisque le lacet γ ⊂ U est homologue a 0, le theoreme de Cauchy 8.4 nousdit que

∫

γ F (z) dz = 0.Nous avons donc

∫

γf(z) dz =

p∑

j=1

∫

γhj(z) =

p∑

j=1

a−1,j

∫

γ

dz

z − zj,

d’ou le resultat annonce puisque Res (f, zj) = a−1,j .

En procedant comme dans le corollaire 8.8, on deduit du theoreme desresidus l’enonce suivant.

Corollaire 9.15 Soient U ⊂ C un ouvert connexe, γ1 et γ2 deux lacetshomologues de U . Soient z1, · · · , zp des points distincts de U pris hors dessupports de γ1 et de γ2. Soit f : U \ z1, · · · , zp → C une fonction holo-morphe presentant des singularites isolees en z1, · · · , zp. Alors

1

2iπ

(

∫

γ1

f(z) dz −

∫

γ2

f(z) dz)

=

p∑

j=1

Res (f, zj)(

Ind (γ1, zj)− Ind (γ2, zj))

.

Remarque 9.16 Le theoreme des residus nous permet de retrouver le prin-cipe de l’argument 7.10.

En effet, si f est une fonction meromorphe non identiquement nulle surl’ouvert connexe U , les poles du quotient f ′/f sont exactement les poles etles zeros de f , avec :

— si z0 est un zero d’ordre k de f , Res (f ′/f, z0) = k— si z0 est un pole d’ordre k de f , Res (f ′/f, z0) = −k.

88 D. H. M308

D Ordre d’une fonction elliptique, suite

Le theoreme des residus va nous permettre de montrer que l’ordre d’unefonction elliptique (non constante) est au moins 2.

On procede comme dans le chapitre 7, et on choisit un domaine fon-damental Kε pour le reseau Λ de sorte que le bord ∂Kε de ce domainefondamental ne contienne pas de pole de f .

Compte tenu de la periodicite de f , le theoreme des residus s’ecrit

p∑

j=1

Res (f, zj) =1

2iπ

∫

∂Kε

f(z) dz = 0 ,

ou z1, · · · , zp sont les poles de f dans Kε. Lorsque la fonction f admet unpole simple en z0, son residu en ce point est non nul. Ceci prouve que f aau moins deux poles dans Kε, comptes avec multiplicite.

10. Produits infinis

A Prescrire les zeros d’une fonction holomorphe

Rappelons que si U ⊂ C est un ouvert connexe, et f : U → C est unefonction holomorphe non identiquement nulle, l’ensemble Z(f) ⊂ U de seszeros est une partie fermee et discrete de U (de facon equivalente, Z(f)n’a pas de point d’accumulation dans U). En particulier, Z(f) est fini oudenombrable.

Il est facile de prescrire un nombre fini de zeros A = α1, · · · , αk ⊂ U , demultiplicites respectives mn ∈ N∗ : considerer le polynome

∏kn=1(z−αn)

mn .Le theoreme suivant affirme plus generalement que l’on peut prescrire l’en-semble des zeros d’une fonction holomorphe sur U , avec leurs multiplicites,du moment que cet ensemble ne s’accumule pas dans U .

Theoreme 10.1 Fonction holomorphe avec zeros prescrits

Soient U ⊂ C un ouvert, (αn)n∈N une suite de points distincts de U , etune suite (mn) d’entiers strictement positifs. On suppose que l’ensembleA = αn |n ∈ N n’a pas de point d’accumulation dans U . Il existe alorsune fonction holomorphe f : U → C telle que

— l’ensemble des zeros de f est A— chaque αn est un zero de f de multiplicite mn.

Exemple 10.2 – Il existe une fonction holomorphe f sur le disque unitedont l’ensemble des zeros soit Z(f) = 1− 1/n | n ∈ N∗.

– La seule fonction holomorphe sur le disque qui s’annule en chaque pointαn = 1/n (pour n ≥ 2) est la fonction nulle.

Les zeros d’une fonction holomorphe peuvent s’accumuler sur le bord de l’ouvert

89

90 D. H. M308

L’idee de la preuve est bien sur de prendre des produits comme dansle cas ou A est un ensemble fini. Mais cette fois-ci il faudra considerer desproduits infinis en s’assurant d’une part de la convergence du produit, etd’autre part que le produit ne s’annule que lorsqu’un des facteurs s’annule.Nous nous contenterons de demontrer le theoreme lorsque U = C. Le casgeneral reprend les memes idees, mais la preuve est plus technique.

B Produits infinis

Nous commencons par les produits infinis de nombres complexes, avantde passer aux produits infinis de fonctions.

Definition 10.3 Soit (zn)n∈N une suite de nombres complexes. On dit quele produit infini

∏∞0 zn converge lorsque les produits finis Pk :=

∏k0 zn ont

une limite lorsque k → ∞, et on definit

∞∏

0

zn = limk→∞

k∏

0

zn .

Remarque 10.4 – Supposons que le produit infini∏∞

0 zn existe et soit nonnul. Alors chaque facteur zn est non nul, et on a zn = Pn/Pn−1 →n→∞ 1.

– Par contre il se peut que chaque facteur soit non nul, mais que leproduit soit nul. Prendre zn = 1/2 pour tout n.

Nous noterons desormais zn = 1 + un.

Proposition 10.5 Supposons que∑

n∈N |un| < ∞ (convergence absolue).Alors le produit infini

∏∞0 (1 + un) converge, et n’est nul que si l’un des

facteurs est nul.

Remarque 10.6 La reciproque est fausse. Prendre une suite εn tendant(lentement) vers 0, et definir z2n = (1 + εn) et z2n+1 = (1 + εn)

−1.

Preuve L’hypothese assure que un → 0, et donc que 1 + un → 1 lorsquen → ∞.

Designons par ℓ : C\R− → C la determination principale du logarithme.Puisque ℓ(1) = 0 et ℓ′(1) = 1, on a |ℓ(1 + u)| ≤ 2|u| pour tout complexe ude module suffisamment petit.

On peut donc supposer, quitte a oublier les premiers termes du produit,que ℓ(1 + un) est bien defini pour tout n ∈ N∗ et verifie |ℓ(1 + un)| ≤ 2|un|.La serie

∑∞n=0 ℓ(1 + un) converge donc vers un nombre complexe b ∈ C. La

relation exp(ℓ(u) + ℓ(v)) = exp(ℓ(u)) exp(ℓ(v)) = uv, et la continuite dela fonction exponentielle, assurent alors que le produit infini converge verseb 6= 0. D’ou le resultat.

Passons aux produits infinis de fonctions. La fonction exp est uniformementcontinue sur tout demi-plan Re z ≤ M. On a donc le

Produits infinis 91

Lemme 10.7 Soit fn : E → C une suite de fonctions definies sur un en-semble E. On suppose que fn → f uniformement sur E et qu’il existe M ∈ Rtel que, pour tout p ∈ E, on ait Re f(p) ≤ M . Alors la suite de fonctionsefn converge uniformement vers ef sur E.

Preuve Suit de |efn − ef | = |ef | |efn−f − 1| ≤ eM |efn−f − 1| et de lacontinuite de la fonction exponentielle.

Theoreme 10.8 Soient U ⊂ C un ouvert, et une suite un : U → C de fonc-tions holomorphes (n ∈ N). On suppose que la serie de fonctions

∑∞n=0 un(z)

converge normalement sur tout compact de U . Alors

1. la suite des produits Pk(z) :=∏k

n=0(1+un(z)) converge uniformementsur tout compact de U ; on note P (z) =

∏∞n=0(1 + un(z)) sa limite

2. le produit infini z → P (z) =∏∞

n=0(1 + un(z)) est holomorphe sur U

3. si P (z0) = 0, l’un des facteurs 1 + un(z0) est nul

4. un zero z0 du produit P annule un nombre fini de facteurs, et lesmultiplicites (ou ordres) s’additionnent

oz0(P ) =∞∑

n=0

oz0(1 + un) .

Remarque 10.9 En particulier lorsque U est connexe et aucun des facteurs1 + un n’est identiquement nul, le produit P n’est pas identiquement nul.

Preuve Soit K ⊂ U un compact. L’hypothese assure qu’il existe un entiernK tel que pour tous n ≥ nK et tout z ∈ K, le logarithme ℓ(1 + un(z)) soitbien defini et verifie |ℓ(1+un(z))| ≤ 2 |un(z)|. Le lemme 10.7 et la preuve dela proposition 10.5 assurent la convergence uniforme du produit infini sur lecompact K.

La fonction P est donc holomorphe comme limite uniforme locale defonctions holomorphes (theoreme 4.17). Les assertions sur les zeros et lesmultiplicites suivent de la proposition 10.5.

On souhaitera egalement savoir deriver un produit infini. Noter que, dans lecas d’un produit de fonctions, il est plus judicieux de considerer la deriveelogarithmique, qui sera une fonction meromorphe.

Proposition 10.10 On reprend les notations et les hypotheses du theoreme10.8. On note fn(z) = 1 + un(z), de sorte que P (z) =

∏∞n=0 fn(z). Soit

Z(P ) ⊂ U l’ensemble des zeros de P . Alors la serie de fonctions f ′n/fn

converge uniformement, sur tout compact de l’ouvert U0 := U \ Z(P ), versla derivee logarithmique

P ′

P=

∞∑

n=0

f ′n

fn.

92 D. H. M308

Preuve On observe que, pour chaque entier k, la derivee logarithmique duproduit fini Pk =

∏kn=0 fn est bien definie sur U0 et vaut

P ′k

Pk=

k∑

n=0

f ′n

fn.

Soit K ⊂ U0 ⊂ U un compact. Il suit des theoremes 10.8 et 5.15 que lessuites de fonctions holomorphes (Pk) et (P ′

k) convergent uniformement surK, respectivement vers P et P ′.

Puisque ni P , ni aucun des produits finis Pk, ne s’annule sur le compactK, il existe donc deux constantes 0 < m0 < m1 telles que, pour tout entier ket tout z ∈ K, on ait m0 ≤ |Pk(z)| ≤ m1,m0 ≤ |P (z)| ≤ m1 et |P

′k(z)| ≤ m1.

La suite de fonctions P ′k/Pk converge donc uniformement sur K vers le

quotient P ′/P .

C Un exemple : factorisation de la fonction sinus

La fonction definie pour tout z ∈ C par f0(z) = sinπz = (eiπz−e−iπz)/2est une fonction entiere dont les zeros, tous simples, sont les points de Z.Nous pouvons egalement considerer le produit infini

P (z) = πz

∞∏

n=1

(1−z2

n2) ,

dont la convergence suit immediatement du theoreme 10.8, la serie∑

1/n2

etant convergente. Les deux fonctions f0 et P ont donc memes zeros avecmemes multiplicites. Nous allons en fait voir qu’il s’agit d’une seule et memefonction !

Theoreme 10.11 Pour tout z ∈ C on a l’egalite

sinπz = πz

∞∏

n=1

(1−z2

n2) .

Preuve Il suit de la proposition 10.10 que la fonction P a pour deriveelogarithmique

P ′(z)

P (z)=

1

z+

∞∑

n=1

2z

z2 − n2.

La derivee logarithmique de f0 se calcule directement, et on obtient

f ′0(z)

f0(z)= π cot πz .

Le lemme ci-dessous assure que les fonctions P et f0 ont meme deriveelogarithmique, et donc que le quotient h : z → P (z)

sinπz (qui est une fonctionmeromorphe dont les singularites sont effacables) est une fonction constante.Le resultat suit de ce que limz→0

sin zz = 1, et donc h(0) = 1.

Un exemple : factorisation de la fonction sinus 93

Lemme 10.12 On a, pour tout z ∈ C, l’identite

π cot πz =1

z+

∞∑

n=1

2z

z2 − n2. (∗)

Preuve On observe que, puisque la serie de terme general 1/n2 converge,la serie de fonctions meromorphes 1

z +∑∞

n=12z

z2−n2 converge uniformementsur les compacts de C (voir la definition 7.11).

Les fonctions meromorphes apparaissant de part et d’autre de (*) ontmeme ensemble de poles (l’ensemble Z des entiers relatifs), qui sont tousd’ordre 1 et de residu egal a 1. La difference

h : z → π cot πz −1

z−

∞∑

n=1

2z

z2 − n2

n’a donc que des singularites effacables, et se prolonge en une fonctionentiere. Nous voulons montrer que cette fonction est nulle. On observe dejaque, puisque π cot πz = 1

z + O(z) lorsque z → 0, la fonction h s’annule en0. Nous allons montrer qu’elle est constante en etudiant sa derivee.

La convergence uniforme locale de la serie de fonctions meromorphesassure qu’on peut deriver terme a terme (proposition 7.12). Il vient donc

h′(z) = −π2

sin2 πz+

1

z2+ 2

∑∞n=1

z2 + n2

(z2 − n2)2

= −π2

sin2 πz+ 2

∑

n∈Z1

(z − n)2

(regrouper les contributions de n et −n a la seconde ligne pour identifier lesdeux expressions). Sous cette derniere forme, il est immediat que la deriveeh′ est 1-periodique.

Nous allons ensuite invoquer le theoreme de Liouville pour montrer que h′

est constante et, mieux, que h′ = 0. Par periodicite, il nous suffira d’etudierh′ sur la bande B = 0 ≤ Re z ≤ 1, que l’on decompose en

B0 = B ∩ −1 ≤ Im z ≤ 1 et B∞ = B ∩ 1 ≤ |Im z| .

• La fonction h′, continue, est donc bornee sur le compact B0.• Pour z = x+ iy, on estime

| sinπz| ≥1

2(eπ|y| − e−π|y|) et |

∑

n∈Z1

(z − n)2| ≤

∑

n∈Z1

(x− n)2 + y2.

La fonction h′ est donc egalement bornee sur B∞, et donc sur C. Le theoremede Liouville assure qu’elle est constante. Puisque limy→+∞ h′(iy) = 0 (avecy reel), on a bien h′ identiquement nulle.

94 D. H. M308

D Fonction holomorphe avec zeros prescrits

On veut maintenant demontrer le theoreme 10.1 lorsque U = C. Soitdonc (an)n∈N une suite de nombres complexes non nuls telle que |an| → ∞lorsque n → ∞. On ne suppose pas les complexes an deux a deux dis-tincts (c’est ce qui apportera la multiplicite) mais ils apparaissent chacunun nombre fini de fois dans la suite. On se preoccupera ulterieurement deseventuels zeros en l’origine.

On cherche des fonctions entieres gn ne s’annulant pas sur C, de sorteque le produit infini

P (z) =

∞∏

n=0

(1−z

an) gn(z)

soit convergeant, et que sa limite P s’annule en chaque point z0 ∈ C a l’ordre

oz0(P ) = # n ∈ N | an = z0 ∈ N .

Le choix des facteurs 1− z/an dans ce produit, plutot que z−an, ne changepas la face du monde mais permet d’insister sur le fait que le terme generaldu produit doive tendre vers 1.

Definition 10.13 On introduit les facteurs elementaires de Weierstrass

E0(z) = 1− z

En(z) = (1− z) exp(z +z2

2+ · · ·+

zn

n) (n ∈ N∗).

L’interet de cette suite de fonctions est que En(1) = 0 pour tout entiern ∈ N, tandis que En tend uniformement vers 1 sur tout disque fermeD(0, r) ⊂ D(0, 1) inclus dans le disque unite (r < 1) lorsque n → ∞. Cettederniere propriete est consequence de ce que la determination principale dulogarithme ℓ verifie, pour tout |z| < 1,

−ℓ(1− z) =∞∑

k=1

zk

k.

On a plus precisement l’estimation suivante :

Lemme 10.14 Pour tous |z| ≤ 1 et n ∈ N, on a

|En(z)− 1| ≤ |zn+1| .

Fonction holomorphe avec zeros prescrits 95

Preuve L’assertion est immediate pour n = 0. Supposons donc n ∈ N∗.Puisque En(0) = 1, le developpement de Taylor de la fonction entiere En enl’origine s’ecrit

En(z) = 1 +∞∑

k=1

bk zk d’ou E′

n(z) =∞∑

k=1

k bk zk−1 .

Par ailleurs, il suit de la definition de En que

E′n(z) = −zn exp(z +

z2

2+ · · ·+

zn

n) .

On en deduit d’une part que b1 = · · · = bn = 0 et, d’autre part, que bk ≤ 0pour k ≥ n+1. Puisque En(1) = 0 = 1+

∑∞k=1 bk il suit que

∑∞k=1 |bk| = 1.

On a donc, pour tout |z| ≤ 1 :

|En(z)− 1| ≤∞∑

k=n+1

|bk| |zk| ≤ |zn+1|

∞∑

k=n+1

|bk| ≤ |zn+1| .

On va utiliser ces facteurs elementaires de Weierstrass pour montrer leresultat suivant.

Corollaire 10.15 Fonction entiere avec zeros prescrits

Soit (an)n∈N une suite de nombres complexes non nuls telle que |an| → ∞lorsque n → ∞. On definit, pour z ∈ C,

f(z) =

∞∏

n=0

En(z

an) .

La fonction f : C → C est une fonction entiere telle que— l’ensemble des zeros de f est A = an | n ∈ N— si z0 ∈ A apparaıt m fois dans la suite (an), alors z0 est un zero

d’ordre m de f .

Remarque 10.16 Bien entendu, si l’on veut en outre prescrire un zerod’ordre m en l’origine, il suffit de rajouter un facteur zm a ce produit.

Preuve Chaque facteur z → En(z/an) a un unique zero simple au pointan. Le resultat annonce suivra donc du theoreme 10.8 si l’on montre que laserie

∑∞n=0

(

En(z/an)− 1)

converge normalement sur tout compact de C.Fixons r > 0. Puisque la suite an tend vers ∞, il existe un rang nr a

partir duquel |an| ≥ 2r. Le lemme 10.14 assure que l’on a, pour |z| ≤ r etn ≥ nr,

∣

∣

∣En(

z

an)− 1

∣

∣

∣≤

∣

∣

∣

z

an

∣

∣

∣

n+1≤

1

2n+1,

terme general d’une serie convergente.

96 D. H. M308

Corollaire 10.17 Corps des fractions meromorphes

Toute fonction meromorphe sur C est quotient de deux fonctions entieres.En d’autres termes, le corps M(C) des fonctions meromorphes sur C est lecorps des fractions de l’anneau integre H(C) des fonctions entieres.

Preuve Soit h une fonction meromorphe sur C. Le corollaire precedentpermet de construire une fonction entiere f qui admette en chaque polede h un zero de meme multiplicite. Le produit fh n’a que des singulariteseffacables, et se prolonge donc en une fonction entiere g. Par construction,h = g/f .

On peut maintenant se demander dans quelle mesure une fonction entiereest determinee par l’ensemble de ses zeros.

Theoreme 10.18 Theoreme de factorisation de Weierstrass

Soit f : C → C une fonction entiere non identiquement nulle. Soit (an)n∈Nla liste de ses zeros non nuls, repetes avec multiplicite. On suppose que fpossede en l’origine un zero d’ordre m ∈ N.

Il existe une fonction entiere g : C → C telle qu’on ait, pour tout z ∈ C,

f(z) = eg(z) zm∞∏

n=0

En(z

an) .

Preuve Le quotient z → f(z)/(

zm∏∞

n=0 En(z

an))

est holomorphe sur C

prive de l’origine et de l’ensemble A = an | n ∈ N et admet en chacun deces points une singularite effacable. Elle se prolonge donc en une fonctionentiere qui ne s’annule pas. On conclut avec la proposition 3.18.

11. La sphere de Riemann

On a vu qu’une singularite isolee z0 d’une fonction holomorphe corres-pond a un pole lorsque |f(z)| → ∞ lorsque z → z0.

Dans ce chapitre, nous allons adjoindre au plan C un unique point “al’infini” que nous noterons ∞ et munirons l’espace C ∪ ∞ ainsi obtenud’une topologie naturelle qui en fera un espace compact.

Mieux, nous munirons C∪∞ d’une “structure complexe”, de sorte quesi f est une fonction meromorphe sur U et si P ⊂ U est l’ensemble de sespoles, la fonction holomorphe f : U \ P → C se prolonge par continuite enune fonction “holomorphe” f : U → C∪∞ pour laquelle f(p) = ∞ lorsquep est un pole de f . Les poles de la fonction meromorphe f deviendront doncdes points “comme les autres” pour la fonction holomorphe f .

A Ajouter un point a C

Definition 11.1 On note S = C ∪ ∞ l’espace obtenu en adjoignant a Cun unique point note ∞. On munit S de la topologie pour laquelle une partieΩ ⊂ S est ouverte si et seulement si

— Ω ⊂ C est un ouvert de C— ou bien Ω contient le point ∞, et S \ Ω est un compact de C.

On verifie facilement que l’on a ainsi defini une topologie sur S (l’en-semble vide et S sont des ouverts, une union quelconque ou une intersectionfinie d’ouverts sont ouverts). Par construction, cette topologie induit sur Csa topologie usuelle. Une base de voisinages de ∞ est constituee des ouverts

Ωn = z ∈ C , |z| > n ∪ ∞ ⊂ S :

il faut donc penser geometriquement que l’on a rajoute un point a C, etque ce point se trouve dans le complementaire de tous les disques D(0, n),c’est-a-dire “a l’infini”. Notons que cette topologie est separee : deux pointsdistincts de S admettent des voisinages disjoints.

Proposition 11.2 L’espace topologique S est homeomorphe a la sphere eu-clidienne S2 ⊂ R3. En particulier, S est un espace metrisable compact. L’in-jection naturelle i : C → S est un homeomorphisme sur son image S \ ∞.

97

98 D. H. M308

Avant de demontrer cette proposition, convainquons nous intuitivementdu resultat. Le plan est homeomorphe a un disque, donc a une soucoupe,ou a un bol, et finalement a un ballon sans sa valve. Rajoutons la valve,c’est-a-dire le point a l’infini : on obtient la sphere.

Preuve Soient S2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 la sphere unite deR3 euclidien, et N = (0, 0, 1) le pole nord. On introduit le plan equatorialP = (x, y, 0) ⊂ R3, que l’on identifie naturellement a C par l’application

(x, y, 0) ∈ P≃

−→ x+ iy ∈ C.La projection stereographique

p : S2 \ N → P ≃ C

associe a m ∈ S2 \ N le point d’intersection de la droite Nm et du planP : pour m = (x, y, z) ∈ S2 \ N, on a donc

p(x, y, z) = (x

1− z,

y

1− z, 0) ≃

x+ iy

1− z.

L’application p realise un homeomorphisme entre S2 \ N et C, d’inverse

p−1(a+ ib) =( 2a

a2 + b2 + 1,

2b

a2 + b2 + 1,a2 + b2 − 1

a2 + b2 + 1

)

.

On verifie facilement que p se prolonge par continuite, en posant p(N) = ∞,en un homeomorphisme p : S2 → S = C ∪ ∞.

N

m

p(m)P

La projection stereographique

La sphere de Riemann 99

B La sphere de Riemann

Nous allons maintenant munir S d’une “structure complexe”.Autrement dit, on va decider ce qu’est une fonction holomorphef : Ω → S definie sur un ouvert Ω ⊂ S et a valeurs dans S.

On identifie desormais C et son image i(C) = S \ ∞.

Lemme 11.3 L’application j : z ∈ C∗ → 1/z ∈ C∗ est un biholomorphismede C∗.

Elle se prolonge en un homeomorphisme de S, encore note j : S → S,en posant j(0) = ∞ et j(∞) = 0.

Preuve Immediat.

A travers cet homeomorphisme, on pourra lire ce qui se passe pres de l’infiniau voisinage de l’origine.

On veut maintenant definir ce qu’est une application holomorphe definiesur un ouvert de S, et a valeurs dans S. Cette definition sera dictee par lesproprietes naturelles suivantes que l’on souhaite voir satisfaites :

— la “structure complexe” de S induit sur C ⊂ S sa “structure complexehabituelle”

— l’application j : z ∈ S → 1/z ∈ S est holomorphe, et est donc unbiholomorphisme de S

— une composee de fonctions holomorphes est encore holomorphe— l’holomorphie est une propriete locale.

Definition 11.4 Soit Ω ⊂ S un ouvert. Une application f : Ω → S seraholomorphe lorsque

1. pour z0 ∈ Ω tel que z0 6= ∞ et f(z0) 6= ∞ : dans un voisinage de z0,l’application f est a valeurs complexes et holomorphe (au sens usuel)

2. si ∞ ∈ Ω et f(∞) 6= ∞ : l’application f j : z → f(1/z) est, auvoisinage de l’origine, a valeurs complexes et holomorphe

3. pour z0 ∈ Ω tel que f(z0) = ∞ : l’application j f : z → 1/f(z),qui s’annule en z0, est holomorphe au sens ci-dessus (1. ou 2.) auvoisinage de z0.

Definition 11.5 La sphere S, munie de la structure complexe ainsi definie,est appele sphere de Riemann.

Remarque 11.6 Il suit de cette definition que les proprietes locales desfonctions holomorphes f : U ⊂ C → C sont egalement satisfaites par lesfonctions holomorphes f : Ω ⊂ S → S : zeros isoles 6.4, application ouverte6.18, structure locale 6.16 (se ramener dans C via j pour donner un sens ala derivee en ∞, ou en un point d’image ∞).

100 D. H. M308

Comme annonce dans l’introduction, une fonction meromorphe sur unouvert de C n’est autre qu’une fonction holomorphe a valeurs dans S.Precisement :

Lemme 11.7 Soit U ⊂ C un ouvert.– Une fonction meromorphe f sur U se prolonge par continuite en unefonction holomorphe f : U → S, en posant f(p) = ∞ pour tout pole p de f .

– Supposons U connexe. Si g : U → S est holomorphe et n’est pas constanteegale a ∞ ∈ S, l’ensemble P = p ∈ U | g(p) = ∞ ⊂ U est ferme etdiscret dans U . La fonction g provient, par la construction ci-dessus, d’unefonction meromorphe f sur U dont P est l’ensemble des poles.

Preuve Suit de la definition 11.4, et de la classification des singularitesisolees 7.1.

Soit maintenant une fonction holomorphe f : U ⊂ C → C definie surun voisinage pointe U de l’infini, par exemple sur U = z ∈ C , |z| > R.Quand se prolonge-t-elle en une fonction holomorphe f : U∪∞ ⊂ S → S ?

Proposition 11.8 Une fonction holomorphe f : A(R,∞) → C se prolongeen une fonction holomorphe f : A(R,∞)∪ ∞ ⊂ S → S si et seulement sison developpement en serie de Laurent est “fini a droite”, i.e. si il existe unentier k0 ∈ Z pour lequel

f(z) =∑

n∈Z , n≤k0

anzn .

Preuve En effet, f se prolonge au point ∞ en une fonction holomorphea valeurs dans S si et seulement si la fonction g : w → f(1/w) admetun pole ou bien une singularite effacable en l’origine, si et seulement si ledeveloppement de Laurent de g sur A(0, 1/R) est fini a gauche.

Passons aux fonctions entieres, ou bien meromorphes sur C.

Exemple 11.9 – Soit P : C → C un polynome non constant. Alors P seprolonge en une fonction holomorphe P : S → S en posant P (∞) = ∞.

– Soient a, b, c, d des complexes tels que ad−bc 6= 0. Supposons de plus c 6= 0.La fonction homographique correspondante f : z ∈ C \ −d/c → az+b

cz+d ∈ Cse prolonge en une fonction holomorphe f : S → S en posant f(−d/c) = ∞et f(∞) = a/c.

– Soient P et Q deux polynomes non nuls, de degres respectifs n et m, etde coefficients dominants an et bm. Le quotient f = P/Q se prolonge enf : S → S holomorphe en posant f(∞) = 0 si m > n, f(∞) = ∞ si n > met f(∞) = an/bn si m = n.

La sphere de Riemann 101

Reciproquement :

Proposition 11.10 1. Soit f : C → C une fonction entiere. Si f se pro-longe en une fonction holomorphe f : S → S, alors f est un polynome.

2. Les fonctions holomorphes f : S → S sont les fractions rationnelles, oula fonction constante egale a +∞.

Preuve 1. Soitf(z) =

∑

n∈Z

anzn

le developpement en serie de Laurent de f sur l’anneau A(0,∞). Puisque fest holomorphe en l’origine, on a an = 0 pour n < 0. Et on a vu dans laproposition 11.8 que le developpement de Laurent est fini a droite.2. Soit f : S → S une application holomorphe. On suppose que f 6≡ ∞.L’ensemble z ∈ S | f(z) = ∞ est alors une partie discrete du compact S,c’est donc un ensemble fini. On peut alors trouver un polynome Q tel quela restriction a C de l’application holomorphe z ∈ S → Q(z) f(z) ∈ S soitune application entiere Qf : C → C. Le point precedent permet de conclureque Qf est un polynome P .

Pour conclure, nous determinons le groupe des automorphismes de S.

Theoreme 11.11 Automorphismes de la sphere de Riemann

Les automorphismes de la sphere de Riemann S sont les homographies f :z ∈ S → az+b

cz+d ∈ S (avec ad− bc 6= 0).

Preuve On verifie aisement que les homographies sont des automorphismesde S. L’ensemble des homographies forme un groupe, dont on observe qu’ilagit transitivement sur S.

Soit maintenant h : S → S un automorphisme. Quitte a composer hpar une homographie, on peut supposer que h(∞) = ∞. La restriction deh a C est donc un automorphisme de C, c’est-a-dire une application affinez ∈ C → az + b ∈ C, avec a ∈ C∗ et b ∈ C (theoreme 7.15).

12. Le theoreme de l’application conforme

de Riemann

A Retour sur l’uniformisation

Dans ce dernier chapitre, nous demontrons le resultat suivant, annonceau chapitre 8 (pour le contexte, revoir le theoreme 8.16.)

Theoreme 12.1 de l’application conforme

Soit U ⊂ C un ouvert simplement connexe distinct de C. Alors il existeun biholomorphisme h : U → D, c’est-a-dire une bijection biholomorpheentre U et D. On dit que l’ouvert U est uniformise par le disque.

Remarque 12.2 – Rappelons que, d’apres le theoreme de Liouville, unefonction entiere f : C → D a valeurs dans le disque est constante. Il n’existedonc pas de biholomorphisme entre le plan et le disque.

– Un biholomorphisme est a fortiori un homeomorphisme sur son image.Un ouvert de C est donc simplement connexe si et seulement si il esthomeomorphe au disque (ou au plan C, qui lui est homeomorphe).

– Si U et V sont deux ouverts simplement connexes de C, tous deuxdistincts de C, il existe donc un biholomorphisme h : U → V .

Exemple 12.3 Notons H = z ∈ C | Im z > 0 le demi-plan superieur.L’application

ϕ : z ∈ H →z − i

z + i∈ D

realise un biholomorphisme entre H et le disque unite D.

Preuve L’application ϕ est obtenue comme restriction de l’homographie

ϕ : z ∈ C ∪ ∞ →z − i

z + i∈ C ∪ ∞

qui est un homeomorphisme de la sphere de Riemann (voir le chapitre 11).On verifie sans peine que l’image ϕ(R ∪ ∞) de la droite reelle completeepar le point a l’infini est le cercle unite S1 = z ∈ C , |z| = 1.

102

Retour sur l’uniformisation 103

Le complementaire de R ∪ ∞ dans C ∪ ∞ a deux composantesconnexes, qui sont le demi-plan superieur H ainsi que le demi-plan inferieurH− = z ∈ C | Im z < 0.

Le complementaire de S1 dans C ∪ ∞ a deux composantes connexes,qui sont le disque D, et Ω = z ∈ C , |z| > 1 ∪ ∞. Puisque ϕ(i) = 0 ∈ D,on a bien ϕ(H) = D comme annonce.

Pour “dessiner” l’application ϕ : H → D, il est bon de remarquer auprealable que, comme toute homographie, ϕ : C ∪ ∞ → C ∪ ∞ envoieun cercle, ou la reunion d’une droite et du point a l’infini, sur un cercle oubien sur la reunion d’une droite et du point a l’infini. De plus ϕ, holomorphe,est conforme donc envoie deux courbes (ici, cercles ou droites) se coupanta angle droit sur deux autres courbes se coupant a angle droit. Puisqueϕ(0) = −1, ϕ(i) = 0, ϕ(−i) = ∞ et ϕ(∞) = 1, on obtient la configurationsuivante.

0

∞

1-1

Uniformisation du demi-plan

Exemple 12.4 Soit B = z ∈ C | 0 < Im z < π. L’application

z ∈ B → ez ∈ H

realise un biholomorphisme entre la bande B et le demi-plan H. On en deduitpar composition une uniformisation

z ∈ Ba → ϕ(exp(π

az)) ∈ D

de la bande Ba = z ∈ C | 0 < Im z < a (a > 0).

104 D. H. M308

Exemple 12.5 – Soient a, a′, b et b′ des reels positifs. Lorsque a/b = a′/b′,l’homothetie z ∈ C → a′z/a ∈ C fournit un biholomorphisme entre lesrectangles R(0, a, a + ib, ib) et R(0, a′, a′ + ib′, ib′).

– Par contre, il n’est pas aussi evident de construire une uniformisationentre le carre C =]0, 1[×]0, 1[ et le rectangle R =]0, 2[×]0, 1[ , voire memede se convaincre “a la main” qu’elle existe.

Exemple 12.6 Soit U ( C l’ouvert egal au carre ]0, 1[×]0, 1[ prive de lareunion des segments ∪n≥21/n×]0, 1/2[, esquisse (tant bien que mal) ci-apres. Il n’est pas difficile de voir que U est simplement connexe. Il est doncbiholomorphe au disque. Autrement dit il existe une bijection entre U et ledisque qui conserve les angles orientes. L’existence d’une telle bijection nesaute pas aux yeux ; son comportement “au bord de U” sera complique.

Le carre prive d’un peigne qui s’accumule

B Familles normales

La preuve du theoreme d’uniformisation que nous allons donner dans leparagraphe suivant est une jolie illustration de techniques “d’analyse fonc-tionnelle”, ou l’on fait de la “geometrie” sur des espaces de fonctions.

Soit U ( C un ouvert simplement connexe. On veut montrer qu’il existeun biholomorphisme h : U → D. Rappelons qu’une application holomorphef : U → D injective est d’emblee un biholomorphisme sur son image (corol-laire 6.20). Introduisons la famille de fonctions

F = f : U → D | f est holomorphe et injective .

Il suffit donc, pour prouver notre theoreme, de trouver une application h ∈ Fqui soit egalement surjective, c’est-a-dire telle que h(U) = D.

La belle idee de la demonstration consiste a ramener la recherche de cetteapplication h ∈ F qui soit surjective a un probleme de recherche d’extre-mum de fonctionnelle sur F . On concluera par un argument de compacite(corollaire 12.8). Cet argument de compacite repose sur le theoreme suivant.

Familles normales 105

Theoreme 12.7 Theoreme d’Ascoli

Soient K un espace metrique compact et fn : K → Rp une suite d’applica-tions continues. On suppose que

— la suite fn est a valeurs dans la boule unite B(0, 1) ⊂ Rp

— il existe une constante k telle que chaque fn soit k-lipschitzienne.

On peut alors extraire de la suite (fn) une sous-suite qui converge uni-formement sur K.

Corollaire 12.8 Soient U un ouvert de C et fn : U → C une suite d’appli-cations holomorphes. On suppose que les fonctions fn sont toutes a valeursdans le disque D.

1. Familles normales Il existe une suite extraite de (fn) qui convergeuniformement sur les compacts de U vers une fonction f : U → C.

2. La fonction f est holomorphe sur U .

3. Si f n’est pas constante, elle est a valeurs dans le disque D.

Preuve 2. Une limite uniforme locale de fonctions holomorphes est encoreholomorphe (theoreme 4.17).

3. Les fn etant a valeurs dans le disque ouvert, la limite f est a valeursdans le disque ferme |z| ≤ 1. Si f , qui est holomorphe, n’est pas constanteelle est ouverte (corollaire 6.18) ; elle prend donc finalement ses valeurs dansle disque ouvert.

1. Le lecteur, s’il n’est pas familier avec le theoreme d’Ascoli, peut admettre ce

resultat et passer au paragraphe suivant. Demontrons le neanmoins.

L’ouvert U est reunion de la suite de compacts

Kp = D(0, p) ∩ x ∈ C | d(x, cU) ≥ 3/p ⊂ U .

Noter que Kp ⊂ Kp+1. En particulier, tout compact de U est inclus dansl’un des Kp.

Soit p ≥ 1. On va montrer que la restriction de la suite (fn) au compactKp verifie les hypotheses du theoreme d’Ascoli. On pourra donc extraire de(fn) une sous-suite dont la restriction a Kp soit uniformement convergente.Le procede diagonal permettra alors d’extraire de (fn) une sous-suite quiconverge uniformement sur chacun desKp, et donc uniformement sur chaquecompact de U .

Fixons donc p ≥ 1. Nous voulons montrer qu’il existe une constante kp telleque les restrictions des fn a Kp soient toutes kp-lipschitziennes. Ce resultatva suivre de la formule de Cauchy, les fonctions fn etant a valeurs dans ledisque (donc uniformement bornees).

106 D. H. M308

Soient y, z ∈ Kp. On distingue selon que les points y et z sont proches, oubien eloignes l’un de l’autre.

– Si |y − z| ≥ 1/p (le cas facile !), on aura pour tout n ∈ N :

|fn(y)− fn(z)| ≤ 2 ≤ 2p |y − z| .

– Si |y− z| < 1/p, on observe a fortiori que y ∈ D(z, 2/p). On applique alorsla formule de Cauchy pour fn en y et z, dans le disque ferme D(z, 2/p) ⊂ U .Il vient, en designant par c le lacet t ∈ [0, 2π] → c(t) = z + (2/p) eit ∈ U :

fn(y)− fn(z) =1

2iπ

∫

c

fn(w)

w − y−

fn(w)

w − zdw

=1

2iπ

∫

c

y − z

(w − y)(w − z)fn(w) dw

et donc, puisque |fn| est bornee par 1 :

|fn(y)− fn(z)| ≤ p |y − z| .

Les restrictions des fn a Kp sont donc toutes lipschitziennes de constantekp = 2p.

C Preuve du theoreme de l’application conforme

Nous decoupons la preuve en une serie de lemmes que nous enonconsd’emblee pour avoir une vue d’ensemble de la demonstration. On rappelleque U ( C designe un ouvert simplement connexe distinct de C. De la simpleconnexite de U , nous ne retiendrons “que” la propriete suivante (qui lui serafinalement equivalente) :

Rappel 12.9 (Theoreme 8.16.)

Soit u : U → C∗ holomorphe. Il existe une fonction holomorphe v : U → C∗

telle que v2 = u.

Choissons desormais un point z0 ∈ U . Le groupe AutD des automorphismesdu disque agissant transitivement sur D, on peut se contenter de chercherune uniformisation U → D qui envoie z0 sur l’origine.

Lemme 12.10 L’ensemble

F0 = f : U → D | f est holomorphe et injective, et f(z0) = 0 .

est non vide.

On cherche maintenant h ∈ F0 qui soit surjective, autrement dit dontl’image h(U) soit maximale. Cela incite a maximiser |f ′(z0)|, de sorte que fsoit la “plus expansive possible” en ce point.

Preuve du theoreme de l’application conforme 107

Lemme 12.11 Soit f ∈ F0. Si f : U → D n’est pas surjective, il existef1 ∈ F0 telle que |f ′

1(z0)| > |f ′(z0)|.

Lemme 12.12 Notons

M = sup|f ′(z0)| , f ∈ F0 .

Il existe une fonction h ∈ F0 telle que |h′(z0)| = M .

Remarque 12.13 Il s’ensuit que M est fini, ce qu’on peut aussi voir di-rectement (puisque D est borne) avec la formule de Cauchy pour la derivee,exprimee en z0 dans un disque D(z0, r) ⊂ U .

Une fois ces lemmes demontres, nous serons tires d’affaire. En effet :

Preuve du theoreme de l’application conforme

Le lemme 12.11 montre que l’application h : U → D du lemme 12.12 estsurjective. C’est une uniformisation de l’ouvert U .

Nous passons maintenant a la demonstration des lemmes 12.10, 12.11 et12.12. Rappelons que, pour tout α ∈ D, l’application

hα : z ∈ D →α− z

1− αz∈ D

est un automorphisme du disque tel que hα(α) = 0, et d’inverse h−1α = hα.

Preuve du lemme 12.10 On va commencer par construire w : U → Dholomorphe et injective. L’ouvert U etant distinct de C, on peut choisira ∈ C \ U . Puisque U est simplement connexe, le rappel 12.9 assure quela fonction u : z ∈ U → z − a ∈ C∗ admet une racine carree holomorphev : U → C∗. Puisque v2(z) = u(z) = z − a pour tout z ∈ U , il suit quev(y) 6= ±v(z) pour tous y, z ∈ U distincts.

L’application v holomorphe non constante est ouverte. Son image contientun disque D(b, r) ⊂ C∗ ; elle evite donc le disque D(−b, r) et meme le disqueferme D(−b, r). La fonction definie pour z ∈ U par

w(z) =r

v(z) + b

est holomorphe sur U , injective comme v, et a valeurs dans le disque D.

108 D. H. M308

O O

D(-b,r)

L’ouvert U ; ici z0 est l’origine. L’image v(U) (“racine carree”) qui evite un disque.

On se preocupe maintenant de la condition f(z0) = 0. Il suffit pour celade composer w avec un automorphisme du disque bien choisi pour obtenirune application f = hw(z0) w ∈ F0.

Preuve du lemme 12.11 Soit f ∈ F0. On suppose que f : U → D n’estpas surjective. Il existe donc α ∈ D qui ne soit pas dans l’image f(U). Encomposant par l’automorphisme hα, on obtient une fonction hα f : U → Dqui ne s’annule pas et admet donc une racine carree holomorphe g, qui estinjective (puisque f l’est) et toujours a valeurs dans D. Posons enfin

f1 = hg(z0) g ,

de sorte que f1(z0) = 0.

Par construction, f1 ∈ F0. Il nous reste a estimer sa derivee au point z0.En notant q l’application z ∈ D → z2 ∈ D on a hα f = q g, donc

f = hα q hg(z0) f1 .

Introduisons F := hα q hg(z0) : D → D, de sorte que f = F f1. Puisquef(z0) = f1(z0) = 0, on a F (0) = 0. Comme F n’est pas injective, le lemmede Schwarz 7.16 assure que |F ′(0)| < 1. Le resultat suit par derivation defonctions composees puisque

f ′(z0) = F ′(0) f ′1(z0) .

Preuve du lemme 12.12 Soit (fn)n∈N une suite de fonctions de F0 pourlesquelles |f ′

n(z0)| → M . Ces fonctions etant a valeurs dans le disque, ellesforment une famille normale (corollaire 12.8). Quitte a passer a une suiteextraite, on peut donc supposer que la suite fn : U → D converge uni-formement sur les compacts de U vers une fonction holomorphe h ∈ H(U),qui prend a priori ses valeurs dans D.

Preuve du theoreme de l’application conforme 109

Nous allons voir que cette application h est bien une uniformisation de U .

– Les estimees de Cauchy pour les derivees (theoreme 5.15) assurent que

h′(z0) = limn→∞

fn′(z0) .

Puisque les fn sont injectives, leurs derivees ne s’annulent pas (theoreme6.16) donc |h′(z0)| = M 6= 0, et h n’est pas constante : elle est donc avaleurs dans le disque ouvert (de nouveau le corollaire 12.8).

– Supposons avoir montre que h est injective (ce sera une consequenceimmediate du theoreme de Hurwitz ci-dessous). La surjectivite de h est alorsconsequence du lemme 12.11, et de ce que |h′(z0)| = M .

Il ne nous reste donc pour conclure qu’a demontrer le resultat suivant.

Theoreme 12.14 Theoreme de Hurwitz

Soient U un ouvert connexe de C, et fn : U → C une suite de fonctionsholomorphes qui converge, uniformement sur les compacts de U , vers unefonction holomorphe h : U → C. On suppose que chacune des fonctions fnest injective. Alors

— soit h est constante— soit h est egalement injective.

Preuve Supposons h non constante. On veut montrer qu’elle est injective.On va proceder par l’absurde.

Soient z1 et z2 deux points distincts de U tels que h(z1) = h(z2) = c.La fonction h n’etant pas constante, les points ou elle prend la valeur csont isoles. On peut donc choisir deux disques fermes disjoints D(z1, r) ⊂ Uet D(z2, r) ⊂ U de sorte que w → h(w) − c ne s’annule pas sur les cerclesCi = w , |w−zi| = r (i = 1, 2). Puisque la suite fn converge uniformementvers h sur les compacts de U (et donc sur la reunion C1 ∪ C2), le theoremede Rouche (corollaire 6.13) montre que, pour n assez grand, les fonctionsw → h(w) − c et w → fn(w)− c ont le meme nombre de zeros dans chacundes disques D(z1, r) et D(z2, r), ce qui contredit l’injectivite de fn.

D(z ,r)

D(z ,r)

2

1

Index

Z(f), 53, 54

D, 67H(U), 8

M(U), 64

P(f), 64

Z(f), 56

oa(f), 62

Ind (γ, a), 33

Res (f, a), 62

S, 97oa(f), 55

analytique (fonction), 10

anneau integre, 55

Ascoli (theoreme d’), 105

automorphisme, 66

automorphismes de C, 66automorphismes de S, 101automorphismes du disque, 69, 107

Borel (theoreme de), 12

Cauchy (estimees de), 46, 49

Cauchy (formule de), 35, 37, 40,45, 73, 75, 82

Cauchy (theoreme de), 31, 73, 75

Cauchy-Riemann (equations de), 7,46

chemin, 24

chemin oppose, 25

conforme (application), 7, 79

corps des fractions, 64, 96

discret, 52

disque pointe, 61

entiere (fonction), 13

familles normales, 105fonction elliptique, 70

Goursat (lemme de), 29, 35

harmonique (fonction), 46holomorphe (fonction), 8

homographie, 69homologiquement trivial, 77

homologues (lacets), 72homotopie, 78Hurwitz (theoreme d’injectivite de),

109

indice, 33inversion locale, 14

lacet, 24, 36

Laurent (decomposition de), 84Laurent (serie de), 81, 83

Liouville (theoreme de), 48logarithme, 16

longueur d’un chemin, 26

meromorphe (fonction), 64Morera (critere de), 40

moyenne (formule de la), 46moyenne (propriete de la), 46

ordre d’un pole, 62ordre d’un zero, 52, 55

ordre d’une fonction elliptique, 70,88

ouverte (application), 14, 59

110

Preuve du theoreme de l’application conforme 111

pole, 62, 85partie principale, 62, 84, 85partie reguliere, 84, 85Picard (grand theoreme de), 63point d’accumulation, 52point isole, 52primitive, 23principe de l’argument, 55, 64, 87principe du maximum, 47, 60projection stereographique, 98prolongement analytique, 54

residu, 62, 85residus (theoreme des), 86Riemann (prolongement de), 41, 63Riemann (theoreme de l’applica-

tion conforme), 79, 102Rouche (theoreme de), 57, 109

series de fonctions meromorphes,65

Schwarz (lemme de), 67, 108Schwarz-Pick (lemme de), 68simplement connexe, 79singularite apparente, 61singularite effacable, 62, 85singularite essentielle, 62, 85sphere de Riemann, 99suites de fonctions holomorphes, 50support (d’un chemin), 36

triangle, 27

uniformisation, 80, 102

Weierstrass (facteurs elementairesde), 94

Weierstrass (factorisation de), 96

zeros isoles (principe des), 53