Fonctions numériques.pdf

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Fonctions numriquesGnralits sur les fonctions numriques

Exercice 1 [ 01779 ] [correction]Soit f : R R telle que f f est croissante tandis que f f f est strictementdcroissante.Montrer que f est strictement dcroissante.

Exercice 2 [ 01780 ] [correction]Etudier la parit de la fonction f dfinie par f(x) = ln

(x2 + 1 + x

).

Exercice 3 [ 01781 ] [correction]On rappelle que pour tout x R, on a |sin x| 6 |x|.Montrer que la fonction x 7 sin x est 1 lipschitzienne.

Exercice 4 [ 01782 ] [correction]Soit f : R R une fonction k lipschitzienne (avec k [0, 1[) telle que f(0) = 0.Soient a R et (un) la suite relle dtermine par u0 = a et n N, un+1 = f(un).Montrer que un 0.

Exercice 5 [ 01783 ] [correction]Soit f : [0, 1] [0, 1] une fonction croissante. Montrer que f admet un point fixe.

Limites dune fonction numrique

Exercice 6 [ 01784 ] [correction]Dterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :a) lim

x0

1+x1x

x b) limx+xxln x+x c) limx0+x

x

d) limx1+

ln x. ln(ln x).e) limx0

(1 + x)1/x f) limx1

1xarccos x .

Exercice 7 [ 01785 ] [correction]Dterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :a) lim

x0x. sin

( 1x

)b) lim

x+x cos exx2+1 c) limx+ e

xsin x

d) limx+

x+arctan xx e) limx0xE

( 1x

)f) limx+xE

( 1x

).

Exercice 8 [ 01786 ] [correction]Dterminer les limites suivantes : lim

x0+E(1/x), lim

x0xE(1/x) et lim

x0x2E(1/x).

Exercice 9 [ 01787 ] [correction]Soient a < b R et f : ]a, b[ R une fonction croissante.Montrer que lapplication x 7 lim

x+f est croissante.

Exercice 10 [ 01788 ] [correction]Soit f : R R une fonction T priodique (avec T > 0) telle que lim

+ f existe dansR.Montrer que f est constante.

Exercice 11 [ 01789 ] [correction]a) Soit g : R R une fonction priodique convergeant en +. Montrer que g estconstante.b) Soient f, g : R R telles que f converge en +, g priodique et f + gcroissante.Montrer que g est constante.

Continuit des fonctions numriques

Exercice 12 [ 01793 ] [correction]Etudier la continuit sur R de lapplication f : x 7 E(x) +x E(x).Exercice 13 [ 01794 ] [correction]Etudier la continuit de x 7 E(x) + (x E(x))2.


Exercice 14 [ 01795 ] [correction]

Soit f : R R dfinie par f(x) ={

1 si x Q0 sinon

.

Montrer que f est totalement discontinue.

Exercice 15 [ 01796 ] [correction]Soit f : R+? R une fonction telle que x 7 f(x) est croissante et x 7 f(x)x estdcroissante.Montrer que f est continue.

Exercice 16 [ 01797 ] [correction]Soient f : I R et g : I R deux fonctions continues.Montrer que sup(f, g) est une fonction continue sur I.

Exercice 17 [ 00240 ] [correction]Etudier la continuit de la fonction

f : x 7 supnN

xn

n!

dfinie sur R+.

Continuit et quation fonctionnelle

Exercice 18 [ 01790 ] [correction]Soit f : R R continue en 0 telle que

x R, f(2x) = f(x)

Montrer que f est une fonction constante.

Exercice 19 [ 01791 ] [correction]Soit f : R R une fonction continue en 0 et en 1 telle que

x R, f(x) = f(x2)

Montrer que f est constante.

Exercice 20 [ 00244 ] [correction]Soit f : R R continue telle que x R,

f

(x+ 1

2

)= f(x)

Montrer que f est constante.

Exercice 21 [ 01792 ] [correction]Soit f : R R une fonction continue et prenant la valeur 1 en 0.On suppose que

x R, f(2x) = f(x) cosxDterminer f .

Exercice 22 [ 01798 ] [correction]Soit f : R R continue telle que

x, y R, f(x+ y) = f(x) + f(y)a) Calculer f(0) et montrer que pour tout x R, f(x) = f(x).b) Justifier que pour tout n Z et tout x R, f(nx) = nf(x).c) Etablir que pour tout r Q, f(r) = ar avec a = f(1).d) Conclure que pour tout x R, f(x) = ax.

Exercice 23 [ 00243 ] [correction]Soit f : R R telle que pour tout x, y R,

f(x+ y) = f(x) + f(y)

On suppose que f est continue en un point x0 R, dterminer f .

Exercice 24 [ 01799 ] [correction]On cherche les fonctions f : R R continues telles que

x, y R, f(x+ y

2

)= 12 (f(x) + f(y))

a) On suppose f solution et f(0) = f(1) = 0.Montrer que f est priodique et que

x R, 2f(x) = f(2x)En dduire que f est nulle.b) Dterminer toutes les fonctions f solutions.


Thorme des valeurs intermdiaires

Exercice 25 [ 01803 ] [correction]Soit f : R R continue telle que lim f = 1 et lim+ f = 1. Montrer que f sannule.

Exercice 26 [ 01800 ] [correction]Soit f : [0, 1] [0, 1] continue. Montrer que f admet un point fixe.

Exercice 27 [ 01806 ] [correction]Soit f : R R continue et dcroissante.Montrer que f admet un unique point fixe.

Exercice 28 [ 01807 ] [correction]Soit f : [0,+[ R continue, positive et telle que

limx+

f(x)x

= ` < 1

Montrer quil existe [0,+[ tel que f() = .

Exercice 29 [ 01801 ] [correction]Montrer que les seules applications continues de R vers Z sont les fonctionsconstantes.

Exercice 30 [ 01804 ] [correction]Soient f : I R et g : I R deux fonctions continues telles que

x I, |f(x)| = |g(x)| 6= 0Montrer que f = g ou f = g.

Exercice 31 [ 01809 ] [correction]Soit f : [0,+[ R continue. On suppose que |f |

+ +. Montrer quef

+ + ou f + .

Exercice 32 [ 01802 ] [correction]Soient f : [a, b] R continue et p, q R+.Montrer quil existe c [a, b] tel que

p.f(a) + q.f(b) = (p+ q).f(c)

Exercice 33 [ 01805 ] [correction]Soit f : [0, 1] R continue telle que f(0) = f(1).Montrer que pour tout n N?, il existe [0, 1 1/n] tel que

f(+ 1/n) = f()

Exercice 34 [ 01808 ] [correction]Notre objectif dans cet exercice est dtablir la proposition :Toute fonction f : I R continue et injective est strictement monotone.Pour cela on raisonne par labsurde et on suppose :

(x1, y1) I2, x1 < y1 et f(x1) > f(y1) et (x2, y2) I2, x2 < y2 et f(x2) 6 f(y2)Montrer que la fonction : [0, 1] R dfinie par

(t) = f((1 t)x1 + tx2) f((1 t)y1 + ty2)sannule. Conclure.

Continuit sur segment

Exercice 35 [ 01813 ] [correction]Montrer quune fonction continue et priodique dfinie sur R est borne.

Exercice 36 [ 01812 ] [correction]Soient f : R R borne et g : R R continue.Montrer que g f et f g sont bornes.

Exercice 37 [ 01810 ] [correction]Soient f, g : [a, b] R continues telles que

x [a, b] , f(x) < g(x)Montrer quil existe > 0 tel que

x [a, b] , f(x) 6 g(x)


Exercice 38 [ 01811 ] [correction]Soit f : R R continue telle que

lim+ f = lim f = +

Montrer que f admet un minimum absolu.

Exercice 39 [ 01814 ] [correction]Soient f, g : [0, 1] R continue.On pose

(t) = supx[0,1]

(f(x) + tg(x))

Montrer que est bien dfinie sur R et quelle y est lipschitzienne.

Exercice 40 [ 01815 ] [correction]Soit f : R R continue. On suppose que chaque y R admet au plus deuxantcdents par f .Montrer quil existe un y R possdant exactement un antcdent.

Bijection continue

Exercice 41 [ 01816 ] [correction]Soit f : R R dfinie par

f(x) = x1 + |x|a) Montrer que f ralise une bijection de R vers ]1, 1[.b) Dterminer, pour y ]1, 1[ une expression de f1(y) analogue celle de f(x).

Exercice 42 [ 01817 ] [correction]Soient a < b R et f : ]a, b[ R une fonction strictement croissante.Montrer que f est continue si, et seulement si, f(]a, b[) =

]limaf, lim

bf

[.

Exercice 43 X PC [ 03105 ] [correction]Soit un rel compris au sens large entre 0 et 1/e.a) Dmontrer lexistence dune fonction f C1(R,R) vrifiant

x R, f (x) = f(x+ 1)b) Si = 1/e, dterminer deux fonctions linairement indpendantes vrifiant larelation prcdente.

Uniforme continuit

Exercice 44 [ 01818 ] [correction]Montrer que x 7 x est uniformment continue sur R+.

Exercice 45 [ 01819 ] [correction]Montrer que x 7 ln x nest pas uniformment continue sur R+?.

Exercice 46 [ 01820 ] [correction]Montrer que x 7 x ln x est uniformment continue sur ]0, 1].

Exercice 47 Mines-Ponts MP [ 02821 ] [correction]Soit f : R+ R uniformment continue. Montrer quil existe des rels positifs aet b tels que |f(x)| 6 ax+ b pour tout x > 0.

Exercice 48 X MP [ 03034 ] [correction]Soit f : [0, 1[ R uniformment continue. Montrer que f est borne.

Exercice 49 X MP [ 03035 ] [correction]Soit f : R+ R continue et tendant vers 0 linfini.Montrer que f est uniformment continue.

Exercice 50 [ 03153 ] [correction]Soit f : R+? R une fonction uniformment continue vrifiant

x > 0, f(nx) n 0

Montrer que f converge vers 0 en +.

Comparaison de fonctions numriques

Exercice 51 [ 01821 ] [correction]Dterminer un quivalent simple aux expressions suivantes quand x +a)x3+2

3x2+3b)x2 + 1 +

x2 1

c)x2 + 1x2 1


Exercice 52 [ 00306 ] [correction]Dterminer un quivalent simple aux expressions suivantes quand x +a) ln(x+1)ln x 1b)

ln(x+ 1)ln(x 1)c) x ln(x+ 1) (x+ 1) ln x

Exercice 53 [ 01823 ] [correction]Dterminer un quivalent simple aux expressions suivantes quand x 0a)

1 + x2 1 x2b) tan x sin xc) ex + x 1

Exercice 54 [ 00313 ] [correction]Dterminer un quivalent simple aux expressions suivantes quand x 0a) ln(1 + sin x)b) ln(ln(1 + x))c) (ln(1 + x))2 (ln(1 x))2

Exercice 55 [ 00305 ] [correction]Dterminer un quivalent de ln(cosx) quand x (pi/2)

Exercice 56 [ 01822 ] [correction]Dterminer les limites suivantes :a) lim

x+xex+x2xln x b) limx+

x ln xxx+cos x c) limx+

xexx2ex+ex


x+xln x

ln x b) limx+(xln x) ln x

x c) limx+

argshxln x


x0+x+sin xx ln x b) limx0+

ln x+x2ln(x+x2)c) limx1

ln xx21

Exercice 59 [ 01824 ] [correction]Soit f : R R une fonction dcroissante telle que

f(x) + f(x+ 1) +

1x

a) Etudier la limite de f en +.b) Donner un quivalent de f en +.

Etude de branches infinies de fonctions

Exercice 60 [ 01825 ] [correction]Etudier les branches infinies de

f(x) = (x+ 1) ln(x+ 1)ln x

Exercice 61 [ 01826 ] [correction]Etudier les branches infinies de

f(x) = x2 + 2x

|x 1|+ x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Corrections 6

Corrections

Exercice 1 : [nonc]Soient x < y R. f(x) 6 f(y) f f f(x) 6 f f f(y) y 6 xcar f f et croissante et f f f strictement dcroissante.Par contrapose x < y f(y) < f(x) et donc f est strictement dcroissante.

Exercice 2 : [nonc]x R,x2 + 1 >

x2 = |x| > x donc f est dfinie sur R, intervalle symtrique

par rapport 0.f(x) = ln (x2 + 1 x) = ln( x2+1x2

x2+1+x

)= ln (x2 + 1 + x) = f(x) donc f

est impaire.

Exercice 3 : [nonc]|sin x sin y| = 2 sin xy2 cos x+y2 6 2 sin xy2 6 2 |xy|2 = |x y| donc sin est 1lipschitzienne.

Exercice 4 : [nonc]Montrons par rcurrence sur n N : |un| 6 kn |a|.Pour n = 0 : okSupposons la proprit tablie au rang n > 0.|un+1| = |f(un) f(0)| 6 k |un 0| = k |un| 6

HRkn+1 |a|.

Rcurrence tablie.Puisque k [0, 1[, kn 0 et donc un 0.

Exercice 5 : [nonc]{x [0, 1] /f(x) > x} est non vide (0 y appartient) et est major (par 1).On peut donc poser = sup {x [0, 1] /f(x) > x}.x > , on a f(x) < x donc f() 6 f(x) < x. Do f() 6 . ( majorant)x < , il existe t ]x, ] tel que f(t) > t donc f() > f(t) > t > x. Dof() > . ( plus petit majorant).Finalement f() = . On peut aussi procder par dichotomie.

Exercice 6 : [nonc]a) Quand x 0 :

1+x1x

x =1+x(1x)

x(1+x+1x) =2

1+x+1x 1.

b) Quand x + : xx

ln x+x =11/xln xx +1

1.c) Quand x 0+ : xx = ex ln x = eX avec X = x ln x 0 donc xx 1.d) Quand x 1+ : ln x. ln(ln x) = X lnX avec X = ln x 0 doncln x. ln(ln x) 0e) Quand x 0 : (1 + x)1/x = e 1x ln(1+x) = eX avec X = ln(1+x)x 1 donc(1 + x)1/x e.f) Quand x 1 : 1xarccos x = 1cos yy = 2 sin

2 yy = 2 sin y

sin yy avec y = arccosx 0

donc sin y 0 et sin yy 1 puis 1xarccos x 0.

Exercice 7 : [nonc]a) Quand x 0 : x sin 1x 6 |x| 0.b) Quand x + :

x cos exx2+1 6 xx2+1 0.c) Quand x + : exsin x. ln x > ex1 +.d) Quand x + : x+arctan xx 1 6 arctan xx 6 pi2x 0.e) Quand x 0 : 1/x 1 6 E(1/x) 6 1/x donc |E(1/x) 1/x| 6 1 puis|xE(1/x) 1| 6 |x| 0.f) Quand x + : 1/x 0 donc E(1/x) = 0 puis xE(1/x) = 0 0.

Exercice 8 : [nonc]Quand x 0+, E(1/x) > 1x 1 +.Quand x 0+, 1/x 1 6 E(1/x) 6 1/x donne 1 x 6 xE(1/x) 6 1 puisxE(1/x) 1.Quand x 0, 1/x 1 6 E(1/x) 6 1/x donne 1 6 xE(1/x 6 1 x puisxE(1/x) 1.Quand x 0+, x2E(1/x) 6 x2x 0 via 0 6 E ( 1x) 6 1x et quand x 0,x2E(1/x) 6 x2 (1 1x) 0 via 1x 1 6 E ( 1x) 6 0.Exercice 9 : [nonc]Lapplication x 7 lim

x+f est bien dfinie car f est croissante ce qui assure

lexistence de limx+

f .Soient x, y ]a, b[ tels que x < y.Pour t ]x, y[, on a f(t) 6 f(y). Quand t x+, on obtient lim

x+f 6 f(y) or

f(y) 6 limy+

f donc limx+

f 6 limy+

f .


Exercice 10 : [nonc]Posons ` = lim

+ f .Pour tout x R et tout n Z, on a f(x) = f(x+ nT ).Quand n +, x+ nT + et donc f(x+ nT ) `.Or f(x+ nT ) = f(x) f(x) donc par unicit de la limite ` = f(x).Finalement f est constante.

Exercice 11 : [nonc]Notons T une priode strictement positive de g.a) Notons ` la limite de g en +.x R, g(x) = g(x+ nT )

n+ ` donc par unicit de la limite : g(x) = `. Ainsig est constante.b) Notons ` la limite de f en +.Puisque f + g est croissante f + g

+ ` R {+}.

Si ` = + alors g x+ +. La dmarche du a., montre limpossibilit de ceci.

Si ` R alors la dmarche du a., permet de conclure.

Exercice 12 : [nonc]Par opration f est continue sur chaque Ik = ]k, k + 1[ avec k Z.Il reste tudier la continuit en a Z.Quand x a+ : f(x) = E(x) +x E(x) a = f(a) car E(x) a.Quand x a : f(x) = E(x) +x E(x) a 1 + 1 = a = f(a) carE(x) a 1.Par continuit droite et gauche, f est continue en a.Finalement f est continue sur R.

Exercice 13 : [nonc]Soit a R.Si a / Z alors, au voisinage de a, f(x) = E(a) + (x E(a))2 donc f est continueen a.Si a Z alors :Quand x a+, f(x) a = f(a).Quand x a, f(x) a 1 + (a (a 1))2 = a = f(a).Donc f est continue en a. Finalement f est continue sur R.

Exercice 14 : [nonc]Soit a R.Il existe une suite (un) de nombre rationnels et une suite (vn) de nombresirrationnels telles que un, vn a.On a f(un) = 1 1 et f(vn) = 0 0 donc f na pas de limite en a et est doncdiscontinue en a.

Exercice 15 : [nonc]Soit a R+?.Puisque f est croissante lim

xaf(x) et lim

xa+f(x) existent, sont finies et

limxa

f(x) 6 f(a) 6 limxa+

f(x).

Puisque x 7 f(x)x est dcroissante limxa

f(x)x et limxa+

f(x)x existent, sont finies et

limxa+

f(x)x 6

f(a)a 6 lim

xaf(x)x .

Par oprations sur les limites limxa+

f(x)x =

1a limxa+ f(x) et limxa

f(x)x =

1a limxa

f(x)donc 1a limxa+ f(x) 6

1af(a) 6

1a limxa

f(x) puis limxa+

f(x) 6 f(a) 6 limxa

f(x) cara > 0.Par suite lim

xa+f(x) = f(a) = lim

xaf(x) et donc f est continue.

Exercice 16 : [nonc]sup(f, g)(x) = max(f(x), g(x)) = 12 |f(x) g(x)|+ 12 (f(x) + g(x)) est continuepar oprations.

Exercice 17 : [nonc]La suite (un) avec un = x

n

n! converge vers 0 donc supnN

xn

n! existe dans R.

un+1un

= xn+ 1

Pour n > E(x) on a n+ 1 > x donc un+1 6 un.Pour n < E(x) on a n+ 1 6 x donc un+1 > un.Par suite

f(x) = supnN

xn

n! =xE(x)

E(x)!

f est clairement continue en tout a R+\N et continue droite en tout a N.Reste tudier la continuit gauche en a N?.


Quand x a :

f(x) = xE(x)

E(x)! =xa1

(a 1)! aa1

(a 1)! =aa

a! = f(a)

Finalement f est continue.

Exercice 18 : [nonc]On a

f(x

2

)= f

(2x2

)= f(x)

Par rcurrence, on montre

n N,x R, f(x) = f( x

2n)

Quand n +, x/2n 0 et donc par continuit de f en 0

f( x

2n) f(0)

Orf( x

2n)

= f(x) f(x)donc par unicit de la limite f(x) = f(0).Finalement f est constante gale f(0).

Exercice 19 : [nonc]

x R, f(x) = f((x)2) = f(x2) = f(x)donc f est paire.Pour tout x > 0, x1/2n

n 1 donc f(x1/2n)

n f(1) par continuit de f en1.Or

f(x1/2n

) = f(x1/2n1

) = = f(x)donc f(x) = f(1) pour tout x > 0 puis pour tout x R? par parit.De plus f(0) = lim

x0+f(x) = f(1) donc

x R, f(x) = f(1)

Exercice 20 : [nonc]Soient x R et (un) dfinie par u0 = x et pour tout n N,

un+1 =un + 1

2

Si x > 1 alors on montre par rcurrence que (un) est dcroissante et suprieure 1.Si x 6 1 alors on montre par rcurrence que (un) est croissante et infrieure 1.Dans les deux cas la suite (un) converge vers 1.Or pour tout n N, f(x) = f(un) donc la limite f(x) = f(1).

Exercice 21 : [nonc]Soit f solution.

f(x) = f(x

2

)cos(x

2

)= f

(x4

)cos(x

4

)cos(x

2

)= . . . = f

( x2n)

cos( x

2n). . . cos

(x2

)Or

sin( x

2n)

cos( x

2n). . . cos

(x2

)= 12n sin x

doncsin( x

2n)f(x) = sin x2n f

( x2n)

Pour x 6= 0, quand n +, on a sin ( x2n ) 6= 0 puisf(x) = sin x

2n sin(x2n)f ( x2n) sin xx f(0)

Ainsix R, f(x) = sin x

x

(avec prolongement par continuit par 1 en 0).Vrification : ok.

Exercice 22 : [nonc]a) Pour x = y = 0, la relation donne f(0) = 2f(0) donc f(0) = 0.Pour y = x, la relation donne f(0) = f(x) + f(x) donc f(x) = f(x).b) Par rcurrence, on montre pour n N : f(nx) = nf(x).Pour n Z, on crit n = p avec p N.On a alors f(nx) = f(px) = pf(x) = nf(x).c) Soit r Q. On peut crire r = p/q avec p Z et q N?.


f(r) = pf(1/q) = pq qf(1/q) =pq f(1) = ar.

d) Pour tout x R il existe une suite (un) telle que un x et un Q.Par continuit f(un) f(x) or puisque un Q f(un) = aun ax donc parunicit de la limite f(x) = ax.

Exercice 23 : [nonc]Classiquement, la relation fonctionnelle f(x+ y) = f(x) + f(y) permet dtablir

r Q, f(r) = rf(1)(on commence par observer le rsultat pour les entiers relatifs avant de ltendreaux nombres rationnels)Soient x R et (xn) QN tel que xn x. On a xn + x0 x x0 donc parcontinuit f(xn + x0 x) f(x0) or f(xn + x0 x) = f(xn) + f(x0) f(x) doncf(x) = lim

n+ f(xn) = xf(1). Finalement f est linaire.

Exercice 24 : [nonc]a) f(2 x) + f(x) = 0 et f(x) + f(x) = 0 donc f(x) = f(x+ 2) donc f estpriodique.f(x/2) = f(x)/2 donc f(2x) = 2f(x).Puisque f est continue et priodique, f est borne. Or la relation f(2x) = 2f(x)implique que f nest pas borne ds quelle prend une valeur non nulle. Par suitef est nulle.b) Pour a = f(1) f(0) et b = f(0), on observe que g(x) = f(x) (ax+ b) estsolution du problme pos et sannule en 0 et 1 donc f est nulle.

Exercice 25 : [nonc]Puisque lim f = 1, f prend des valeurs ngatives, puisque lim+ f = 1, f prend desvaleurs positives.En appliquant le thorme des valeurs intermdiaires entre celles-ci, f sannule.

Exercice 26 : [nonc]Soit : [0, 1] R dfinie par (x) = f(x) x. Un point fixe de f est une valeurdannulation de . est continue, (0) = f(0) > 0 et (1) = f(1) 1 6 0 donc, par le thorme desvaleurs intermdiaires, sannule.

Exercice 27 : [nonc]Unicit : Soit g : x 7 f(x) x. g est strictement dcroissante donc injective et nepeut donc sannuler quau plus une fois.Existence : Par labsurde, puisque g est continue, si elle ne sannule pas elle eststrictement positive ou ngative.Si x R, g(x) > 0 alors f(x) > x

x+ + ce qui est absurde puisquelim+ f = infR f .Si x R, g(x) < 0 alors f(x) < x

x ce qui est absurde puisquelim f = supR

f .

Exercice 28 : [nonc]Si f(0) = 0 alors = 0 convient.Sinon, considrons

g : x 7 f(x)x

La fonction g est dfinie et continue sur R+?.Puisque f(0) > 0, par oprations sur les limites lim

x0g(x) = +.

De plus limx+ g(x) = `.

Puisque g est continue et quelle prend des valeurs infrieures et suprieures 1,on peut affirmer par le thorme des valeurs intermdiaires quil existe R+?tel que g() = 1 do f() = .

Exercice 29 : [nonc]Soit f : R Z continue.Par labsurde : Si f nest pas constante alors il existe a < b tel que f(a) 6= f(b).Soit y un nombre non entier compris entre f(a) et f(b).Par le thorme des valeurs intermdiaires, il existe x R tel que y = f(x) etdonc f nest pas valeurs entire. Absurde.

Exercice 30 : [nonc]Posons : I R dfinie par

(x) = f(x)/g(x)

est continue etx R, |(x)| = 1


Montrons que est constante gale 1 ou 1 ce qui permet de conclure.Par labsurde, si nest pas constante gale 1 ni 1 alors il existe a, b I telque (a) = 1 > 0 et (b) = 1 6 0. Par le thorme des valeurs intermdiraires, sannule. Absurde.

Exercice 31 : [nonc]Pour a assez grand, |f(x)| > 1 sur [a,+[ donc f ne sannule pas sur [a,+[.Etant continue, f est alors de signe constant sur [a,+[ et la relation f = |f |permet alors de conclure.

Exercice 32 : [nonc]Si p = q = 0, nimporte quel c fait laffaire.Sinon posons

y = pf(a) + qf(b)p+ q

Si f(a) 6 f(b) alors

f(a) = pf(a) + qf(a)p+ q 6 y 6

pf(b) + qf(b)p+ q = f(b)

Si f(b) 6 f(a) alors, comme ci-dessus f(b) 6 y 6 f(a).Dans les deux cas, y est une valeur intermdiaire f(a) et f(b) donc par lethorme des valeurs intermdiaires, il existe c [a, b] tel que y = f(c).

Exercice 33 : [nonc]Posons : [0, 1 1/n] R dfinie par

(x) = f(x+ 1/n) f(x)La fonction est continue.Si est de signe strictement constant alors

f(1) f(0) =n1k=0

f((k + 1)/n) f(k/n) =n1k=0

(k/n)

ne peut tre nul.Puisque prend une valeur positive et une valeur ngative, par le thorme desvaleurs intermdiaires, sannule.

Exercice 34 : [nonc]La fonction est continue, (0) = f(x1) f(y1) > 0 et (1) = f(x2) f(y2) 6 0donc par le thorme des valeurs intermdiaires, sannule en un certain t.Posons x0 = (1 t)x1 + tx2 et y0 = (1 t)y1 + ty2.(t) = 0 donne f(x0) = f(y0) or x0 < y0 donc f nest pas injective. Absurde.

Exercice 35 : [nonc]Soit T > 0 une priode de f .Sur [0, T ], f est borne par un certain M car f est continue sur un segment.Pour tout x R, x nT [0, T ] pour n = E(x/T ) donc|f(x)| = |f(x nT )| 6M .Ainsi f est borne par M sur R.

Exercice 36 : [nonc]Soit M R tel que

x R, |f(x)| 6MPour tout x R,|f(g(x))| 6Mdonc f g est borne.Puisque la fonction g est continue sur le segment [M,M ], elle y est borne parun certain M .Pour tout x R, |g(f(x))| 6M car f(x) [M,M ] ainsi g f est borne.

Exercice 37 : [nonc]Posons : [a, b] R dfinie par

(x) = g(x) f(x) est continue sur le segment [a, b] donc y admet un minimum en un certainc [a, b].Posons = (c) = g(c) f(c) > 0. Pour tout x [a, b], (x) > doncf(x) 6 g(x) .

Exercice 38 : [nonc]Posons M = f(0) + 1.Puisque lim

+ f = lim f = +, il existe A,B R tels que

x 6 A, f(x) >M et x > B, f(x) >MOn a A 6 0 6 B car f(0) < M .


Sur [A,B], f admet un minimum en un point a [A,B] car continue sur unsegment.On a f(a) 6 f(0) car 0 [A,B] donc f(a) 6M .Pour tout x [A,B], on a f(x) > f(a) et pour tout x ], A] [B,+[,f(x) >M > f(a).Ainsi f admet un minimum absolu en a.

Exercice 39 : [nonc]Lapplication x 7 f(x) + tg(x) est dfinie et continue sur le segment [0, 1] elle yest donc borne et atteint ses bornes. Par suite (t) est bien dfinie et plusprcisment, il existe xt [0, 1] tel que (t) = f(xt) + tg(xt).Puisque g est continue sur [0, 1] elle y est borne par un certain M :On a

(t) () = f(xt) + tg(xt) (f(x ) + g(x ))or

f(xt) + g(xt) 6 f(x ) + g(x )

donc(t) () 6 tg(xt) g(xt) = (t )g(xt) 6M |t |

De mme() (t) 6M |t |

et finalement est M lipschitzienne.

Exercice 40 : [nonc]Soit y une valeur prise par f . Si celle-ci na quun antcdent, cest fini.Sinon, soit a < b les deux seuls antcdents de y.f est continue sur [a, b] donc y admet un minimum en c et un maximum en d, lunau moins ntant pas en une extrmit de [a, b]. Supposons que cela soit c.Si f(c) possde un autre antcdent c que c.Si c [a, b] alors f est constante entre c et c et il y a contradiction.Si c / [a, b] alors une valeur strictement intermdiaire y et f(c) possde aumoins 3 antcdents. Impossible.

Exercice 41 : [nonc]a) Sur [0,+[,

f(x) = x1 + x = 11

1 + x

est continue et strictement croissante, f(0) = 0 et lim+ f = 1.

Ainsi f ralise une bijection de [0,+[ vers [0, 1[.Sur ], 0[,

f(x) = x1 x = 1 +1

1 xest continue et strictement croissante, lim

0f = 0 et lim f = 1.

Ainsi f ralise une bijection de ], 0[ vers ]1, 0[.Finalement, f ralise une bijection de R vers ]1, 1[.b) Pour y [0, 1[, son antcdent x = f1(y) appartient [0,+[.

y = f(x) y = x1 + x x =y

1 yPour y ]1, 0[, son antcdent x = f1(y) appartient ], 0[.

y = f(x) y = x1 x x =y

1 + y

Finalement,y ]1, 1[ , f1(y) = y1 |y|

Exercice 42 : [nonc]Notons que lim

af et lim

bf existent car f est croissante.

() Supposons f continue.Puisque f est continue et strictement croissante, f ralise une bijection de ]a, b[

sur]limaf, lim

bf

[do le rsultat.

() Supposons f(]a, b[) =]limaf, lim

bf

[.

Soit x0 ]a, b[. On a limaf < f(x0) < lim

bf .

Pour tout > 0, soit y+ ]f(x0), f(x0) + ] ]limaf, lim

bf

[. Il existe x+ ]a, b[

tel que f(x+) = y+.

Soit y [f(x0) , f(x0)[ ]limaf, lim

bf

[. Il existe x ]a, b[ tel que

f(x) = y.Puisque f est croissante, x < x0 < x+. Posons = min(x+ x0, x0 x) > 0.Pour tout x ]a, b[, si |x x0| 6 alors x 6 x 6 x+ donc y 6 f(x) 6 y+ do|f(x) f(x0)| 6 .Ainsi f est continue en x0 puis f continue sur ]a, b[.


Exercice 43 : [nonc]a) Cherchons f de la forme

f(x) = ex

Aprs calculs, si = e alors f est solution.En tudiant les variations de la fonction 7 e , on peut affirmer que pourtout [0, 1/e], il existe R+ tel que e = et donc il existe une fonctionf vrifiant la relation prcdente.b) Pour = 1/e, les fonctions x 7 ex et x 7 x ex sont solutions.Notons que pour ]0, 1/e[ il existe aussi deux solutions linairementindpendantes car lquation e = admet deux solutions, une infrieure 1 etlautre suprieure 1

Exercice 44 : [nonc]Pour y > x > 0, (y x)2 = y + x 2xy 6 y x donc y x 6 y x.Par suite, x, y > 0, y x 6|y x|.Pour tout > 0, considrons = 2 > 0.Pour tout x, y > 0, si |y x| 6 alors y x 6|y x| 6 = .Exercice 45 : [nonc]Par labsurde supposons que x 7 ln x soit uniformment continue sur R+?.Pour = 1, il existe > 0 tel que x, y > 0, |y x| 6 |ln y ln x| 6 .Pour y = x+ , |ln y ln x| = ln (x+x ) x0+ +. Absurde.Exercice 46 : [nonc]

f : [0, 1] R dfinie par f(x) ={x ln x si x 6= 00 sinon

est continue sur le segment

[0, 1], donc uniformment continue sur [0, 1] et donc a fortiori sur ]0, 1].

Exercice 47 : [nonc]Pour = 1 > 0 luniforme continuit assure lexistence dun > 0 tel quex, y R, |x y| 6 |f(x) f(y)| 6 1. Posons n = E (x/). On a|f() f(0)| 6 1, |f(2) f()| 6 1,. . . , |f(n) f((n 1))| 6 1 et|f(x) f(n)| 6 1 donc en sommant |f(x) f(0)| 6 n+ 1 puis|f(x)| 6 E (x/) + 1 + |f(0)| 6 ax+ b avec a = 1/ et b = 1 + |f(0)|.

Exercice 48 : [nonc]Pour = 1, il existe > 0 tel que x, y [0, 1[ , |y x| 6 |f(y) f(x)| 6 1.Par suite, pour tout x [1 , 1[, on a |f(x) f(1 )| 6 1 puis|f(x)| 6 1 + |f(1 )|.De plus, la fonction f est continue donc borne sur le segment [0, 1 ] par uncertain M .On a alors f borne sur [0, 1[ par max {M, 1 + |f(1 )|}.

Exercice 49 : [nonc]Soit > 0.Puisque f tend vers 0 en +, il existe A R+ tel que pour tout x [A,+[,|f(x)| 6 /2.Puisque la fonction f est continue, elle est continue sur le segment [0, A+ 1] etdonc uniformment continue sur ce segment en vertu du thorme de Heine.Par suite il existe > 0 tel que(x, y) [0, A+ 1]2 , |y x| 6 |f(y) f(x)| 6 .Posons = min {, 1} > 0.Soient x, y R+ tels que |x y| 6 .Quitte changer, supposons que x est le plus petit de x et y.Si x [0, A] alors x, y [0, A+ 1] et |y x| 6 donc |f(y) f(x)| 6 .Si x [A,+[ alors x, y [A,+[ donc |f(y) f(x)| 6 |f(y)|+ |f(x)| 6 .

Exercice 50 : [nonc]Soit > 0. Puisque f est uniformment continue, il existe > 0 vrifiant

x, y > 0, |y x| 6 |f(y) f(x)| 6

Considrons alors la suite (f(n)). Puisque celle-ci converge vers 0, il existeN N vrifiant

n > N, |f(n)| 6 Posons A = N. Pour x > A, il existe n > N vrifiant

|n x| 6

et donc|f(x)| 6 |f(x) f(n)|+ |f(n)| 6 2

On peut alors conclure que f converge vers 0 en +.


Exercice 51 : [nonc]a) Quand x +,

x3 + 23x2 + 3

x3/2

x2/3= x5/6

b) Quand x +,x2 + 1 +

x2 1 = x+ o(x) + x+ o(x) = 2x+ o(x) 2x

c) Quand x +,x2 + 1

x2 1 = (x

2 + 1) (x2 1)x2 + 1 +

x2 1 =

2x+ o(x) + x+ o(x)

1x


ln(x+ 1)ln x 1 =

ln(1 + 1/x)ln x

1x ln x

b) Quand x +,

ln(x+ 1)

ln(x 1) =

ln(x+1x1

)

ln(x+ 1) +

ln(x 1)

Orln(x+ 1x 1

)= ln

(1 + 2

x 1) 2x 1

2x

et ln(x+ 1) +

ln(x 1) = 2

ln x+ o

(ln x) 2

ln x

donc ln(x+ 1)

ln(x 1) 1

x

ln xh) Quand x +,

x ln(x+ 1) (x+ 1) ln x = x ln(

1 + 1x

) ln x = 1 + o(1) ln x ln x

Exercice 53 : [nonc]a) Quand x 0,

1 + x2

1 x2 = 2x2

1 + x2 +

1 x2

2x22 = x

2

b) Quand x 0,

tan x sin x = tan x(1 cosx) = 2 tan x sin2 x2 x3

2

c) Quand x 0,ex 1 x

doncex + x 1 = x+ x+ o(x) = 2x+ o(x) 2x

Exercice 54 : [nonc]a) Quand x 0,

ln(1 + sin x) sin xcar sin x 0, or

sin x xdonc

ln(1 + sin x) xb) Quand x 0,

ln(1 + x) x 0 6= 1donc

ln(ln(1 + x)) ln(x)c) Quand x 0,

ln(1 + x)2 ln(1 x)2 = (ln(1 + x) + ln(1 x)) (ln(1 + x) ln(1 x))or

ln(1 + x) + ln(1 x) = ln(1 x2) x2

etln(1 + x) ln(1 x) = x+ o(x) (x+ o(x)) = 2x+ o(x)

donc(ln(1 + x))2 (ln(1 x))2 2x3


Exercice 55 : [nonc]Quand x pi2, posons x = pi2 h avec h 0+

cosx = cos(pi

2 h)

= sin h

Orsin h h 0 6= 1

doncln sin h ln h

puisln cosx ln

(pi2 x

)


xex + x2x ln x

x2

x= x +

b) Quand x +,x ln x xx+ cosx

x ln xx

= ln x +

c) Quand x +, xex x2ex + ex

xex/2 0


xln x

ln x = e(ln x)2ln ln x = e(ln x)

2+o(ln x)2 +

b) Quand x +,( x

ln x

) ln xx = e ln xx ln x ln xx ln ln x = e

(ln x)2x +o

((ln x)2

x

) 1

c) Quand x +,

argshxln x =

ln(x+x2 + 1)

ln x =ln(2x+ o(x))

ln x ln 2 + ln x

ln x 1 1

Exercice 58 : [nonc]a) Quand x 0+,

x+ sin xx ln x =

x+ x+ o(x)x ln x

2ln x 0

b) Quand x 0+,ln x+ x2 = ln x+ o(ln x)

et puisquex+ x2 x 0 6= 1

on aln(x+ x2) ln x

doncln x+ x2

ln(x+ x2) ln xln x = 1 1

c) Quand x 1, on peut crire x = 1 + h avec h 0,ln xx21 =

ln(1+h)2h+h2 h2h = 12 12

Exercice 59 : [nonc]a) f est dcroissante donc possde une limite ` en +.Quand x +, f(x) ` et f(x+ 1) ` donc

f(x) + f(x+ 1) 2`

orf(x) + f(x+ 1) 1

x 0

donc ` = 0.b) Quand x +, on a

f(x+ 1) + f(x) 6 2f(x) 6 f(x) + f(x 1)

donc2f(x) 1

x

puisf(x) 12x


Exercice 60 : [nonc]f est dfinie et continue sur ]0, 1[ ]1,+[.Quand x +,

f(x)x x ln xx ln x = 1, f(x) x =

ln(x+ 1) + x ln(1 + 1/x)ln x

ln xln x = 1

etf(x) (x+ 1) = (x+ 1) ln(1 + 1/x)ln x

1ln x 0

+

La droite dquation y = x+ 1 est asymptote en + et la courbe y = f(x) est audessus.Quand x 1+, f(x) +, la droite dquation x = 1 est asymptote.Quand x 1, f(x) , la droite dquation x = 1 est asymptote.Quand x 0, f(x) 0, on prolonge par continuit en posant f(0) = 0.

Exercice 61 : [nonc]f est dfinie et continue sur R.Quand x +,

f(x) = x2 + 2x

2x 1On a

f(x)x 12 , f(x)

12x =

5x4x 2

54 et f(x)

(12x+

54

)= 58x 4 0

+

La droite dquation y = 12x+54 est asymptote en + courbe au dessus.

Quand x ,f(x) = x2 + 2x

Il y a une branche parabolique verticale.

plot([f(x),x/2+5/4],x=-3..5);

Figure 1 La fonction x 7 x2+2x|x1|+x

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