FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I

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Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

A.1 Limites de fonctions trigonométriques

Théorème des deux gendarmes

Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi :

• soit l'intervalle ]b ; c[ contenant a; • soit h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ ]b ; c[ \ {a}.

Si limx→a

g(x) = limx→a

h(x) = L , alors limx→a

f (x) = L

On acceptera ce théorème sans preuve

Exercice A6.1 :

Soit f une fonction telle que pour tout x on ait x2 + x − 3 ≤ f (x) ≤ 2x2 − 3x +1 .

a) Déterminer limx→2

f (x)

b) Qu’en est-il si x2 + x − 3 ≤ f (x) ≤ 2x2 − 3x + 3

Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un exemple :

Exemple : À l’aide du théorème des deux gendarmes, montrer que limx→ 0

x⋅ sin1x

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0.

x

y

y = f (x)

y = g(x)

y = h(x)

a

L

II ANNEXE CHAPITRE 6

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Exercice A6.2 :

Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer limx→ 0

x 2 ⋅ sin1x 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

Indications : -1 ≤ sin(angle) ≤ 1, puis constater que x 2⋅ sin1x 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ est comprise entre deux paraboles.

Exercice A6.3 :

On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

• En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du secteur circulaire OIM, montrer que :

sin(x) ≤ x ≤ tan(x) si 0 < x < π/2

• En déduire que : cos(x) ≤ sin(x)x

≤ 1

• Puis montrer que limx→0+

sin(x)x

• Comment adapter cette preuve pour le calcul de limx→0−

sin(x)x ?

Exercice A6.3 bis :

Que devient le raisonnement précédent si l’angle x est en degré et alors que vaut limx→0°

sin(x)x

?

Exercice A6.4 :

Sachant que limx→0

sin(x)x

=1, en déduire les limites suivantes :

a) limx→0

sin(2x)x

b) limx→0

sin(3x)

sin(2x) c) lim

x→0 tan(x)x

d) limx→a

2sin

x − a2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

x − a

Exercice A6.5 :

Calculer, si elles existent, les limites suivantes :

a) limx→0

cos(x)x

b) limx→0

1− cos2(x)x⋅ tan(x)

c) limx→0

1− cos(x)

sin(x)( )2

Exercice A6.6 :

En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que

a) limx→0

1− cos(x)

x= 0 b) lim

x→0 1− cos(x)

x2 =1

2

Exercice A6.7 :

Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer :

a) limx→+∞

sin(x)x

b) limx→+∞

e−x ⋅ sin(x) c) limx→+∞

2x + cos(x)x +1

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III

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A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques

Les règles de dérivation des fonctions trigo :

8ème règle : Si f (x) = sin(x) ⇒ …………………..

9ème règle : Si f (x) = cos(x) ⇒ …………………..

10ème règle : Si f (x) = tan(x) ⇒ ………………….. ou …………………..

Exercice A6.8: Voici la preuve de la 8ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter

• ′ f (a) = limx→a

f (x) − ...................− .........

= limx→a

.........− ...................− .........

Truc : on utilise la formule de soustraction d’angle (Formulaire page 31)

′ f (a) = limx→a

2 ⋅ cos

..........

..........

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ sin

..........

..........

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x − a = lim

x→a cos

..........

..........

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 ⋅ sin....................

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

x − a

= limx→a

cos....................

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin....................

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

..........

..........

= limx→a

cos....................

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ lim

x→a sin

..........

..........

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

..........

..........

= cos2a

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅1= cos(a)

En changeant la variable de a en x, on obtient bien : ′ f (x) = ...............

Reprendre cette preuve en utilisant la définition équivalente de dérivée vue dans l'annexe du chapitre 4:

′f (x) = limΔx→0

f (x + Δx)− f (x)

Δx

Exercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.

IV ANNEXE CHAPITRE 6

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A.3 Les fonctions trigonométriques réciproques

Introduction (à compléter)

Nous avons vu dans le chapitre 1 que pour définir la fonction réciproque

…… d’une fonction f, il faut que celle-ci soit ……………, c’est-à-dire:

• que si a ≠ b dans l’ensemble de ………… de f, alors f (a)...... f (b) .

• tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints.

On peut alors résumer ceci par :

y = f (x) ⇔ x = ………

On a les propriétés suivantes :

(1) l’ensemble de définition de rf = …………………………………

(2) l’ensemble image de rf = …………………………………

(3) f rf (x)( ) = ...... pour tout x ∈ ……

(4) rf f (x)( ) = ...... pour tout x ∈ ……

(5) les graphes de rf et f sont …………… l’un de l’autre par rapport à

la droite d’équation …………

• La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin-1), est définie par : […… ; ……] → […… : ……] x arcsin(x)

⇒

De même, on peut définir :

• La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos-1), est définie par : [ -1 ; 1 ] → […… : ……] x arccos(x)

⇒

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES V

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Introduction (à compléter)

• La fonction arctangente, notée arctan (ou tan-1), est définie par : IR → ]…… : ……[ x arctan(x)

Exemple : Déterminer : sin sin−11

2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ , cos−1 cos

5π4( )( ) et sin−1 sin

2π3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Exercice A6.10 : Déterminer sans calculatrice :

a) cos cos−11

2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b) sin−1 sin

4π3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

c) cos−1 cos−5π6

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ d) tan−1 tan

7π4

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

VI ANNEXE CHAPITRE 6

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A.4 Les dérivées des fonctions réciproques Exercice A6.11 : On considère la fonction f : IR + → IR + définie par f (x) = x2 + 3

et le point P(1 ; f (1)).

a) Déterminer rf .

b) Tracer simultanément le graphe de f, celui de rf ainsi que le point P.

c) Calculer la dérivée de f et celle de rf .

d) Calculer ′ f (1) et rf( )′ f (1)( ) , puis représenter ces valeurs sur le

graphique.

e) Que constatez-vous ?

f) Cette constatation reste-t-elle vrai pour la fonction f définie par:

f (x) = x + 2x − 4

pour x ∈[−2, 5 ; 2, 5] et le point P(2 ; f (2))

Dont on propose ci-dessous une représentation graphique :

g) En déduire r f( )′(0).

x−2 −1 1 2

y

−2

−1

1

2

f

r f

P

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES VII

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Théorème : Dérivée d’une fonction réciproque

Si f est dérivable sur un intervalle I et si ′ f ne s’annule pas sur I alors :

• f possède une fonction inverse rf dérivable en tout point (f (x) ; x) où x ∈ I.

• rf( )′(x) =1

′ f r f (x)( )

Justification :

VIII ANNEXE CHAPITRE 6

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Exemple : Soit la fonction f définie sur IR+ par f (x) = x2 .

Déterminer la dérivée de sa réciproque rf a) À l’aide de la formule ci-dessus. b) À l’aide du calcul « traditionnel », comparer.

Exercice A6.12 : Effectuer la même démarche pour les fonctions f définies par :

a) f (x) =x 3

4 et rf (x) = 4x

3

b) f (x) = mx (m ≠ 0) et rf (x) = ..........

Les règles de dérivation des fonctions trigo inverses:

15ème règle : Si f (x) = sin−1(x) ⇒ ′ f (x) =1

1− x2

16ème règle : Si f (x) = cos−1(x) ⇒ ′ f (x) =−1

1− x2

17ème règle : Si f (x) = tan−1(x) ⇒ ′ f (x) =1

1+ x2

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES IX

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Exercice A6.13: Voici la preuve de la 15ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter :

Posons f (x) = sin(x) et ainsi rf (x) = ...........

r f( )′(x) = 1

..................=

1cos(..................)

= 1

1− sin2 (............)=

1....................

Précisons qu'il s'agit de considérer f : […… ; ……] → [… : …]

Exercice A6.14: Démontrer la 16ème règle ci-dessus: Exercice A6.15: Dériver les fonctions f suivantes:

a) f (x) = sin−1 2x +1( ) b) f (x) = cos−11x⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

avec x > 0

c) f (x) =1

sin−1 x( )

Exercice A6.16: a) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation

y = tan(x) au point P(π/4 ; 1).

b) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation y = tan−1(x) au point P’(1 ; π/4).

Exercice A6.17: Soit la fonction bijective f définie par f (x) = x 5 + 2x 3 + x −1

a) Déterminer f (1) et ′ f (1) .

b) Déterminer rf (3) et rf( )′(3).

X ANNEXE CHAPITRE 6

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