FONCTIONS - sismondi.ch · Picchione Serge 2018-2019 FONCTIONS 1ère année 3.1 Généralités sur les fonctions 1 3.1.1 Ensembles numériques et intervalles 1 3.1.2 Définition d'une

Picchione Serge 2018-2019

FONCTIONS 1ère année

3.1 Généralités sur les fonctions 1

3.1.1 Ensembles numériques et intervalles 1

3.1.2 Définition d'une fonction f 3

3.1.3 Ce qu’il faut absolument savoir 11 3.2 Fonctions particulières 12

3.2.1 Fonctions polynomiales de degré 0 12



3.2.4 Fonction inverse 39

3.2.5 Fonction racine carrée 44

3.2.6 Fonction valeur absolue 47

3.2.7 Ce qu’il faut absolument savoir 48 3.3 Solutions des exercices 49

Picchione Serge 2018-2019

AVANT-PROPOS Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en première année ; le sujet central est le concept de fonction. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante : http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 1 Fonctions / Généralités sur les fonctions / 1 N-A

3.1 Généralités sur les fonctions

3.1.1 Ensembles numériques et intervalles Définitions

0;1;2;3;4;...... = ensemble des entiers naturels.

.......; 5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;...... = ensemble des entiers relatifs.

atel que a,b avec b 0

b

= ensemble des nombres rationnels.

= ensemble des nombres réels. * \ 0

x tel que x et x 0 x tel que x et x 0

Exemples 32 12 ; 0,3 ; ; 2 ; 3

1 3

Inclusions

Représentation graphique de

Définition Un intervalle de est une partie de qui n'a pas de « trou ».

Exemples [0;1] , ]2; 5] , [1; +∞[ sont des intervalles. On distingue 8 types d'intervalles. Dans la représentation graphique, l'intervalle est représenté par la partie hachurée de la droite réelle. Le sens d'un crochet indique si a ou b appartient

à l'intervalle, ou non. Soit a, b Î et a < b.

Intervalle : nom et notation

Représentation graphique

Description : ensemble des nombres x tels que :

Intervalle fermé (borné) [a;b]

a x b

Intervalle ouvert (borné) ]a;b[

a < x < b

Intervalle semi-ouvert à droite (borné) [a;b[

a x < b

Intervalle semi-ouvert à gauche (borné) ]a;b]

a < x b

Intervalle non borné (demi-droite) ]a;+[

x > a

Intervalle non borné (demi-droite) [a;+[

x a

Intervalle non borné (demi-droite) ];a[

x < a

Intervalle non borné (demi-droite) ];a]

x a

[ ] a b

[ ] a b

[ a b [

] a b ]

] a

[ a

[ a

] a

1 2 0 -1


Remarque

On peut décrire les ensembles suivant à l'aide d'intervalles ou de réunions d’intervalles :

ensemble des nombres réels ; * \ 0 ;0 0 ;

x tel que x et x 0 ;0 x tel que x et x 0 0;

* x tel que x et x 0 ;0 * x tel que x et x 0 0;

\ a ; a a ; (tous les nombres réels sauf le nombre a)

Exercice 1

Recopier puis compléter les lignes du tableau suivant :

Intervalle : nom et notation


Description : ensemble des nombres x tels que

1) x 3;4

2) 2

x ; 1.53

3) x -3

4) x ;4

5) x 3;

6)

7) x 2 ;2

8)

9) -3 < x < 3

10) x 4;

11) x 3;4 5;6

12) 0 x < 1

13) x ;4 4 ;

Exercice 2 Justifier vos réponses

a) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle [0;1] ?

b) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle ]0;1[ ?

c) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle [-1;1] ?

d) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle ]-1;1[ ?

] -4

] 0

[ 1

[ 0


3.1.2 Définition d'une fonction f Définition

Une fonction f est définie par :

1) Un ensemble A appelé ensemble de départ.

2) Un ensemble B appelé ensemble d'arrivée.

3) Une règle de correspondance, qui à chaque élément de l'ensemble de départ x A fait correspondre zéro (aucun) ou un élément de l'ensemble d'arrivée y B.

Remarques

a) On désigne souvent une fonction par les lettres f, g ou h.

b) Nous étudierons surtout les fonctions réelles, c'est-à-dire les fonctions dont l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée sont des sous-ensembles des nombres réels . Exemples

f

f2

:

x x 5 x 6 = (x)

f est une fonction de dans . C'est une fonction réelle.

L'image de -4 est 2f 4 4 5 4 6 2

L'ensemble des préimages de 2 est 1f 2 = 4; 1 , car f 4 2 et f 1 2

Ce sont les solutions de l'équation : 2f(x)= x 5x 6 2

Le domaine de définition de f est fD

L'ordonnée à l'origine de f est f 0 6

Les zéros de f est l'ensemble 1f 0 3; 2 car f 2 0 et f 3 0

Ce sont les solutions de l'équation : 2f(x)= x 5x 6 0

Le graphique de f sur l'intervalle [7;5] est :

Tableau des valeurs :

x préimages

f(x) images

-5 6

-4 2

-3 0

-2 0

-1 2

0 6

1 12

f A B

x2

x1

x3

x4

y1

y2

y3

y4


g

g

:

x x = (x)

g est une fonction de dans . C'est une fonction réelle.

L'image de 4 est g 4 4 2

L'image de -4 n’existe pas dans . En effet : g 4 4

L'ensemble des préimages de 3 est 1g 3 = 9 , car g 9 3

Ce sont les solutions de l'équation : g( x ) 3

Le domaine de définition de g est gD

Définitions

Si un nombre x A est en correspondance avec un nombre y B, alors :

- y est appelé image de x par f et on note y = f(x) (x possède au plus une image)

- x est appelé préimage de y par f et on note f -1(y)={x,…} (y peut posséder zéro, une ou plusieurs préimages)

préimage image

f : A B

x f (x)=y

On parle d'une fonction f de A dans B.

Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction f est l'ensemble

des nombres appartenant à qui ont une image par f. Cet ensemble est noté Df .

L'ordonnée à l'origine d'une fonction réelle f est l'image de 0. Elle se note : f (0)

Les zéros d'une fonction réelle f est l'ensemble des préimages de 0. Elle se note : f -1(0)

Autrement dit, c'est l'ensemble des nombres x ayant 0 (= y) comme image.

Le graphique de f est la représentation géométrique des couples de coordonnées x; f x

où fx D .

Remarque

La notion de fonction est fondamentale en mathématiques. La compréhension de cette notion et des concepts qui s’y rattachent permet de décrire les relations entre grandeurs et prend de ce fait une place centrale lors de l’étude de la physique, de l’économie, de la médecine, etc.

Un peu d’histoire La notion de fonction est très récente dans l’histoire des mathématiques. Le Discours de la méthode de Descartes (1596-1650), paru en 1637, est l’un des premiers ouvrages à développer l’idée des coordonnées d’un point du plan, et établit ainsi pour la première fois le lien entre géométrie et algèbre. La notion d’équation de courbe apparaît plus ou moins au même moment : Fermat (1601-1665) interprète une équation à deux inconnues x et y comme l’expression algébrique d’une courbe du plan. Il exprime ainsi l’idée novatrice qu’une courbe est le « résultat » d’une équation. La notation f n’apparaît qu’au 18ème siècle, introduite par Lagrange (1736-1813). René Descartes (1596-1650)


Exercice 3

Soit f et g deux fonctions de A dans B. Recopier puis compléter avec des flèches :

a) 3

f : A B

x x y

b) g : A B

x x y

Exercice 4

Voici quatre fonctions 2 12 x

f(x)= x + 5 g( x ) x -1 h( x ) 2,5x i( x )2

et voici quatre tableaux de valeurs, chacun associé à l'une d'entre elles :

x x x x

-3 7,5 -3 -3 -3

-2 -2 3 -2 -2

-1 -1 -1 2,5 -1

0 0 5 0 0

1 1 1 1 0

2 5 2 2 2

3 3 3 3 a) Recopier puis compléter les tableaux de valeurs (trouver les images !).

b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement ces fonctions sur l'intervalle 10;10 dans le même repère orthonormé.

Rappel : Un repère orthonormé est constitué de deux axes, gradués avec la même unité, perpendiculaires et ayant la même origine O. Remarques: Lorsque l'on représente le graphique d'une fonction :

on utilise une feuille A4 quadrillée. on choisit une graduation et une échelle adaptée à la représentation de la fonction.

on indique le nom de la fonction, son expression et plusieurs couples x; f x .

c) Déterminer graphiquement les zéros et l'ordonnée à l'origine de chaque fonction.

f A B

2

-2

3

5

125

8

-8

27

g A B

4

-2

2

16

4

2

5


Exercice 5

Le tableau suivant présente deux façons d'écrire ou d'exprimer des fonctions.

Recopiez puis complétez-le.

Fonction donnée par :

un lien verbal Fonction donnée par :

une expression algébrique

(1) « doubler puis ajouter 5 »

(2) z f ( z ) 2 z - 5

(3) « élever au carré » , puis « ajouter un »

(4) 2y f ( y ) y +1

(5) « prendre le triple », puis « ajouter 10 »,

puis « multiplier par 3 »

(6) 3 x 4

x f ( x )7

Exercice 6

Compléter les phrases suivantes avec les mots suivants :

un zéro, coordonnée, l’ordonnée à l’origine, abscisse, ordonnée, l’image, une préimage. a) 3 est la première ............................ du point A. b) 4 est la deuxième .......................... du point A. c) 2 est l’................................du point B. d) 4 est l’............................ du point B. e) 5 est ............................... de -4 par f. f) 4 est ............................ de 5 par f. g) 2 est .....................................de f. h) 7 est .................................... de f.

A

B

0 -4 3 5 -7

2

4

-2

-4 f

x

y


Exercice 7

a) Sur un repère orthonormé, placer les ensembles de points suivants :

1) L'ensemble A de tous les points dont l'ordonnée vaut -5.

2) L'ensemble B de tous les points dont l'abscisse vaut 3.

3) L'ensemble C de tous les points dont les deux coordonnées sont égales.

4) L'ensemble D de tous les points dont les deux coordonnées sont égales au signe près

(c’est-à-dire : si l'une est positive, l'autre est négative, mais avec la même valeur).

5) L'ensemble E de tous les points dont la première coordonnée est le double de la deuxième.

6) L'ensemble F de tous les points dont la deuxième coordonnée vaut 3 de plus que la première.

7) L'ensemble G de tous les points dont la deuxième coordonnée vaut le cube de la première. b) Traduire les énoncés ci-dessus par une expression algébrique. (exemple : " L'ensemble de tous les points dont la première coordonnée est le triple de la deuxième " s'écrira x = 3y) c) Lesquelles de ces expressions définissent une fonction ? Justifier.

Exercice 8

Justifiez vos réponses !

1) Les "écritures" suivantes : f ( x ) 2x 1 et f ( u ) 2u 1 désignent-elles les mêmes fonctions ?

2) Soit g( x ) x ; x . g est-elle une fonction ?

3) Soit 1 si x 0

h( x )1 si x 0

. h est-elle une fonction ?

4) Une ellipse E est-elle le graphique d’une fonction ?

5) Les écritures suivantes désignent-elles des fonctions ?

x 1 ; x 1 0 ; j( x ) x 1

6) Soit 1

k( x )x

. k est-elle une fonction ?

7) m est-elle une fonction ? Exercice 9

Soit 2f x x 5x 4 et g x 3x 1 deux fonctions réelles.

Calculer et simplifier :

1) f ( a ) 2) f ( x ) 3) f ( x ) 4) f ( x )

5) f ( x 3 ) 6) f x 3 7) 3 f x 8) f 3x

9) 4 f x 3 5 10) f() 11) f x g x 12) f g x

13) g f x 14) f f x 15) g g x 16) g g g x

m A B

x2

x1

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y

x

E


Exercice 10

Soient f et g deux fonctions définies par leurs graphiques.

Lire sur le graphique de f et de g, les images et les ensembles des préimages suivants :

a) f(1) = f(3) = f(4) = g(2) = g(10) =

b) f -1(1) = f -1(2) = f -1(5) = g -1(0) = g -1(8) = Exercice 11

Considérons la fonction f définie par l'expression : f ( x ) 5x 2

1) Calculer l'image de 1 par f.

2) Y a-t-il une préimage de 2 par f ?

3) Quelle est la valeur de f en 1 ?

4) Y a-t-il des préimages de 2 par f ?

5) Calculer f(3) et f -1(3).

6) Calculer f -1(-2).

7) Lequel de ces graphiques, correspond à la fonction f ? Justifier.

a)

b)


Exercice 12

Le tableau ci-dessous représente la température T (en degré Celcius) sur la plage de Farniente, mesurée toutes les heures t de 8 h du matin à 18 h l’après-midi.

a) Représenter graphiquement la fonction f qui à chaque heure t fait correspondre la température T c'est-à-dire T = f(t).

Indication : adapter le repère et l’échelle aux valeurs.

b) Donner les valeurs f 11 et f 12 .

Donner une estimation de f 11.5 .

c) À quelle heure la température est-elle maximale ? Quelle est la température maximale ?

d) Donner toutes les valeurs de t telle que f t 15 .

Exercice 13

Voici le graphique d’une fonction f décrivant les températures en Celsius de 0 h du matin à 24 h dans la ville du père Noël :

a) A quels moments la température a-t-elle été nulle ?

b) Donner les périodes (intervalles) où la température a été positive, négative.

c) Donner les périodes (intervalles) où la température a été croissante, décroissante.

d) A quelle heure la température est-elle maximale ? Quelle est la température maximale ?

e) A quelle heure la température est-elle minimale ? Quelle est la température minimale ?

temps t (en heures) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Température T (en degré Celsius) 5 0 3 12 18 20 15 13 15 17 14


Exercice 14

a) Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes ?

1

f ( x )x 2

3

g( x )x 3

2

3h( x )

x 3

2

3j( x )

x 4

2

x 1k( x )

x 1

b) Que peut-on remarquer ?

c) Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes ?

f ( x ) x g( x ) x h( x ) x 2j( x ) x 1 2k( x ) x 4

d) Que peut-on remarquer ?

e) est-il le domaine de définition de la fonction k( x ) 3x 2 ? Justifier. Exercice 15

Soient f et g deux fonctions définies par les expressions : f (x)= 3x 3 et 2g( x ) x 3x

a) Déterminer le domaine de définition de ces fonctions.

b) Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine de ces fonctions.

c) Lequel de ces graphiques, correspond à la fonction f ? et à la fonction g ? Justifier votre réponse.

d) Lequel de ces graphiques, ne décrit pas une fonction ? Justifier votre réponse.

1)

2)

3)

4)

Vrai ou faux ? Justifier par des calculs.

e) A 10; 33 est un point du graphique de f.

f) B 5; 20 est un point du graphique de g.


3.1.3 Ce qu’il faut absolument savoir 1 Connaître les ensembles numériques et la notation avec les intervalles ok

2 Connaître la définition rigoureuse d’une fonction f ok

3 Connaître la définition rigoureuse d’une image et d’une préimage de f ok

4 Connaître la définition rigoureuse du domaine de définition de f ok

5 Connaître la définition rigoureuse de l’ordonnée à l’origine et des zéros de f ok

6 Connaître la définition rigoureuse du graphique de f ok

7 Lire une image et une préimage à partir du graphique d’une fonction ok

8 Dessiner le graphique d’une fonction d’après un tableau de valeurs ok

9 Trouver le domaine de définition d’une fonction ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 12 Fonctions / Fonctions particulières / 1 N-A

3.2 Fonctions particulières

3.2.1 Fonctions polynomiales de degré 0 Définition

Une fonction polynomiale de degré 0 est une fonction du type :

f :

x a f ( x )

où a est une constante réelle quelconque ( a )

Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 0 : 0f ( x ) a a 1 a x

Une telle fonction est dite aussi fonction constante. L'image ne dépend pas de la préimage. Exemples

La fonction f définie par f x 2 est une fonction de degré 0. ( a 2 )

La fonction g définie par g x 3 est une fonction de degré 0. ( a 3 )

Étude d'une fonction constante 1) Le domaine de définition d’une fonction constante est . 2) Le graphique d'une fonction constante est une droite horizontale. 3) Une fonction constante ne possède pas de zéros sauf si a = 0 (il y en a alors une infinité !) 4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction constante est a . En effet : f(0) = a.




f :

x ax b f ( x )

où a 0 et b sont deux constantes réelles quelconques ( a,b )

Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 1.

Exemple La fonction f définie par f x 2x 1 est une fonction de degré 1. ( a 2 ;b 1)

Étude d'une fonction de degré 1

1) Le domaine de définition d’une fonction de degré 1 est . 2) Le graphique d'une fonction de degré 1 est une droite oblique (ni horizontale, ni verticale).

3) Le zéro d'une fonction de degré 1 existe, il est unique et vaut b

a .

En effet : 1b bf ( x ) ax b 0 x donc f (0 )

a a

4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction de degré 1 est b . En effet : f 0 a 0 b b .

5) On parle également de fonction affine si b ≠ 0 et de fonction linéaire si b = 0.

6) La pente d'une droite est par définition le rapport : notationdifférenceverticale y

différencehorizontale x

entre deux points quelconques de la droite.

Ce rapport est invariant c'est-à-dire il ne dépend pas des points pris sur la droite. Si une droite est le graphique d'une fonction de degré 1 f x ax b alors la pente de la droite

est le nombre a. En effet : 2 1 2 12 1

2 1 2 1 2 1

ax b ax b a x xy f ( x ) f ( x )pente a

x x x x x x x

x1 x2

f(x1)

f(x2)

x

y

f

0 x

y


7) pente = a > 0 la fonction de degré 1 est croissante sur . pente = a < 0 la fonction de degré 1 est décroissante sur . En effet :

2 1

2 1

y f ( x ) f ( x )a 0

x x x

2 1

2 1

y f ( x ) f ( x )a 0

x x x

Le tableau suivant résume les diverses situations pour les fonctions de degré 1 :

b > 0 b = 0 b < 0

a > 0

a < 0

Étude de la fonction de degré 1 f x 2 x 1

1) fD .

2) Le graphique de la fonction f est une droite ni horizontale, ni verticale.

3) L'unique zéro de f est :

11 1f ( x ) 2x 1 0 x donc f (0 )

2 2

.

4) L'ordonnée à l'origine est : f 0 1 .

5) La fonction est affine car b 1 0

6) Avec x1 = 0 et x2 = 3 on a la pente : 2 3 1 2 0 1y f ( 3 ) f (0 ) 6 2

ax 3 0 3 3 1

7) La fonction f est croissante sur car a 2>0

0 0

0

0 0

0

x1 x2

f(x1)

f(x2)

f(x2) - f(x1)>0

f

0 x

y

x2 - x1>0

x2 x1

f(x2)

f(x1)

f(x2 ) - f(x1) < 0

f

0 x

y

x2 - x1>0


Exercice 16

a) Recopier et compléter le tableau suivant pour les 6 fonctions polynomiales suivantes :

Expression algébrique de la fonction

Df Zéro Ordonnée à l’origine

Degré de f et affine/linéaire

Pente de la droite

Variations (croissance ou décroissance)

1f ( x ) x 4

4

2g x x 2

5

h x x 1

i x 6

2j x x 3

7

2k x x

5

b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement ces fonctions sur l'intervalle 10;10 dans le même repère orthonormé.

c) Calculer : f(4) = g(20) = i(2) = f -1(2) = k -1(5) = j -1(10) = Exercice 17

a) Déterminer graphiquement la pente, l'ordonnée à l'origine et donner l'expression algébrique des droites suivantes.

b) Calculer : k(5) = g(20) = i(5) = f -1(4) = g -1 (16) = j -1 (0) =


Exercice 18

On considère la fonction de degré 1 définie par 3 1

f ( x ) x4 2

.

a) Calculer la coordonnée manquante pour que les points suivants appartiennent au graphique de f.

1E ;.... F 15 ;.... G ....; 3 H .....; 20

4

b) Déterminer, par un calcul, si les points ci-dessous appartiennent au graphique de f.

1 7 9 4 1 25

A 0 ; B ; C ; D ;10004 3 4 3 2 29

Exercice 19

On sait que, pour obtenir 1 Euro, il faut 1,60 FS.

1) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, f est la fonction : x Euro f ( x ) FS

Euros 0 1 2 8 x

Francs suisses 8 24 f(x) =..........

2) Calculer f ( 14 ) , f ( 2,5 ) et f ( 6,2 ) .

3) Représenter graphiquement le nombre de francs suisses en fonction du nombre d’Euros.

Remarque : Adapter l'échelle aux valeurs calculées.

4) Le nombre de Francs est-il proportionnel au nombre d’Euros ? Justifier

Rappel : Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si yk k

x

5) La fonction f est-elle linéaire ou affine ? Justifier

6) Quel est le lien entre proportionnalité et linéarité ?

7) Compléter la phrase : Si x double alors f(x)..........................

Exercice 20

Voici la représentation graphique de la fonction f : prix p en francs d’une course de taxi en fonction du nombre de kilomètres x parcourus (taxi très bon marché !). 1) D'après le graphique, déterminer le prix d’une course de 1 km, 2 km, 3 km, 5 km, 10 km.

2) Le prix est-il proportionnel à la distance ?

3) Déterminer f(0) que représente cette valeur ?

4) Quelle est la distance qui correspond à un prix de 6,50 F ?

5) Quelle est la pente de la droite f ?

6) Combien coûte 1 km de trajet supplémentaire ? Quel rapport y a-t-il avec la pente de f ?

7) Déterminer par calcul le prix d’une course de 60 km, puis d’une course de 95 km.

8) Compléter : pour x km, il faut payer p francs , avec p = f(x) = .............................


Exercice 21 On constate que la température au niveau de la mer est en moyenne de 15,6 °C et elle baisse d’environ 10 °C lorsque l’on monte de 1500 m. 1) Exprimer la température de l’air T (en °C) en fonction de l’altitude h (en m au-dessus du niveau de la mer) par une expression du type : T g( h ) ah b pour 0 h 6000.

2) Calculer la température de l’air à l’altitude de 4500 m.

3) Calculer l’altitude à laquelle il fait –17,8 °C.

4) La fonction T=g(h) de degré 1 est-elle affine ou linéaire ? Justifier.

5) La température T de l'air est-elle proportionnelle à l'altitude h ?

6) Que signifie physiquement la pente de cette droite ?

7) De combien diminue la température T pour une augmentation d’altitude h de 1000 m ?

8) La fonction g est-elle croissante ou décroissante sur 0 h 6000 ? Justifier.

9) En vous aidant des informations obtenues précédemment, tracer le graphique de g pour 0 h 6'000.

Remarque : Adapter l'échelle aux valeurs calculées. Exercice 22

a) Représenter dans un même repère :

- la droite 1d qui passe par les points A 0 3 et B 3 1 ,

- la droite 2d qui passe par le point C 0 6 et dont la pente est 5

3 .

b) Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l'expression algébrique de 1d et de 2d .

c) Calculer l’aire du triangle ABC. Exercice 23 (Introduction aux problèmes d’interpolation)

Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré un passant par les points A et B en résolvant un système de deux équations à deux inconnues. a) A(3;1) B(1;4) b) A(0;7) B(7;0)

c) A(4;1) B(2;1) d) A(1000;200) B(2000;500)

Indications : poser f ( x ) ax b

3 1

f(1)=4

f

0 x

y

f(3)=1 A

B


Exercice 24

Déterminer l’expression algébrique des droites 1d , 2d et 3d , en résolvant un système

de 2 équations à 2 inconnues, sachant que :

1d et 2d passent par le point 10 10 , 1d et 3d passent par le point 30 150 ,

2d et 3d passent par le point 30 40 .

Exercice 25

Le Sunshine Skyway, qui enjambe de ses 529 m la baie de Tampa, en Floride, est un bel exemple de pont haubané. Le tablier est supporté par des câbles porteurs en éventail issu du sommet de deux pylônes.

Déterminer :

a) l'expression algébrique de la fonction de degré 1 f ( x ) ax b qui représente respectivement le câble porteur supérieur et inférieur ; ce sont des droites.

b) la longueur de ces deux câbles porteurs. Les informations disponibles sont les suivantes :

1) Le câble porteur supérieur a un ancrage situé à 40 m au-dessus du tablier et a 80 m du pylône.

2) Le câble porteur inférieur a un ancrage situé à 10 m au-dessus du tablier et 8 m du pylône. Exercice 26

1) Représenter sur un repère orthonormé la droite 1

3d x x

4 .

2) Donner la pente de d1.

3) Dessiner deux droites d2 et d3 parallèles à d1 et donner leurs expressions algébriques.

4) Quelles sont leurs pentes ?

5) Dessiner deux droites d4 et d5 perpendiculaires à d1 et donner leurs expressions algébriques.

6) Quelles sont leurs pentes ?

7) Établir une règle de calcul permettant de calculer la pente d'une droite : - parallèle à une droite donnée. - perpendiculaire à une droite donnée.

Rappels : Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point en commun. Deux droites sont confondues si elles ont tous leurs points en commun. Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.

y

Tablier

Câble porteur supérieur

Câble porteur inférieur

Pylône

x 0


Exercice 27

a) Déterminer par le calcul les expressions algébriques de ces 7 droites.

1) Une droite d1 passant par les points (2;1) et (2;3).

2) Une droite d2 parallèle à d1 et passant par le point (0;3).

3) Une droite d3 perpendiculaire à d2 de même ordonnée à l’origine que d1.

4) Une droite d4 constante de même ordonnée à l’origine que d2.

5) Une droite d5 linéaire parallèle à d3.

6) Une droite d6 de même pente que d4 passant par le point (0;6).

7) Une droite d7 perpendiculaire à d1 dont le zéro vaut -1.

b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement les 7 droites sur l'intervalle [10;10] dans le même repère orthonormé. Exercice 28

a) Placer les points A 1 6 et B 8 3 dans le même repère orthonormé.

b) Dessiner le rectangle ABCD , sachant que le point C est sur l’axe des abscisses.

c) Donner l'expression algébrique des droites dAB, dBC, dCD et dDA.

d) Que constate-t-on au niveau des pentes de ces droites ? Exercice 29 (Problèmes d’intersections de courbes)

Soient les 3 fonctions : f ( x ) 2x 3 1

g( x ) x 23

1

h( x ) 3x2

a) Représenter graphiquement ces 3 fonctions dans le même repère orthonormé.

b) Trouver par le calcul les coordonnées des points d’intersections de ces trois droites.

Indication : Résoudre une équation du premier degré.

c) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier par un calcul votre réponse. Exercice 30

a) Calculer l'aire du triangle délimité par : l'axe horizontal, l'axe vertical et la droite définie par f x 4x 500 .

b) Calculer l'aire du triangle délimité par : l'axe horizontal et les droites définies par f x x 1000 , g x 4x 500 .

Indication : faire un croquis pour chaque situation.

x

f(x)=g(x)

f

g


Exercice 31

Dans un magasin, une cartouche d’encre pour imprimante coûte 15 euros. Sur un site Internet, cette même cartouche coûte 10 euros, avec des frais de livraison fixes de 40 euros quel que soit le nombre de cartouches achetées.

a) Reproduire et compléter le tableau suivant :

Nombre de cartouches achetées 2 5 11 14

Prix à payer en magasin (eu euros)

Prix à payer par Internet (en euros)

b) Le nombre de cartouches achetées est noté x.

1) On note PA le prix à payer pour l’achat de x cartouches en magasin.

Exprimer PA en fonction de x.

2) On note PB le prix à payer, en comptant la livraison, pour l’achat de x cartouches par Internet.

Exprimer PB en fonction de x.

c) Représenter dans le même repère les deux fonctions définies au point b) pour x 0;15 .

d) Si on achète 10 cartouches d’encre, vaut-il mieux les acheter en magasin ou sur Internet ? Justifier par des calculs.

e) 1) Déterminer, à l’aide d’une inéquation, à partir de quel nombre de cartouches le prix sur Internet devient inférieur ou égal au prix en magasin.

2) Justifier graphiquement le résultat précédent.


Exercice 32

Un club multisports propose à ses utilisateurs de choisir entre les trois formules :

Formule A : 1 500 F par séance.

Formule B : forfait de 28 000 F par an auquel s’ajoute une participation de 800 F par séance.

Formule C : forfait de 98 000 F par an quel que soit le nombre de séances. a) Tania décide de suivre une séance par mois pendant toute l’année. Willy suivra une séance par semaine pendant toute l’année. Raitua suivra deux séances par semaine pendant toute l’année 1) Recopier et compléter le tableau suivant. On rappelle qu’une année comporte 52 semaines.

Tania Willy Raitua

Nombre de séances pour l’année

Prix à payer avec la formule A

Prix à payer avec la formule B

Prix à payer avec la formule C

2) Quelle est la formule la plus avantageuse pour chacun ? b) On appelle x le nombre de séances suivies par une personne.

Soit PA le prix à payer pour x séances avec la formule A.

Soit PB le prix à payer pour x séances avec la formule B.

Soit PC le prix à payer pour x séances avec la formule C.

Exprimer PA , PB et PC en fonction de x.

c) Représenter dans le même repère les trois fonctions définies au point b) pour x 0;110

d) Wanda a choisi la formule A et elle a payé 90 000 F. Combien a-t-elle suivi de séances ? Justifier votre réponse avec un calcul.

e) 1) Déterminer, à l’aide d’une inéquation, à partir de quel nombre de séances le prix à payer avec la formule B est plus avantageuse qu’avec la formule A .

2) Déterminer, à l’aide d’une inéquation, à partir de quel nombre de séances le prix à payer avec la formule C est plus avantageuse qu’avec la formule B .




2

f :

x ax bx c f ( x )

où a 0, b et c sont trois constantes réelles quelconques a,b ,c

Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 2.

Exemple

La fonction définie par 2f ( x ) x 2x 3 est une fonction de degré 2. ( a 1 ;b 2 ;c 3 ) Étude d'une fonction de degré 2 1) Le domaine de définition d’une fonction de degré 2 est . 2) Le graphique d'une fonction de degré 2 est une parabole symétrique. 3) Pour déterminer les zéros, il faut résoudre l’équation : 2f ( x ) ax bx c 0

Une fonction de degré 2 peut, selon le signe de 2b 4ac , avoir respectivement :

Deux zéros : 1 2

b bx et x lorsque 0

2a 2a

Le graphique de f coupe l’axe horizontal en deux points : 1 2x ;0 et x ;0

et 1 2f ( x ) a x x x x

Un zéros : 0

bx lorsque 0

2a

Le graphique de f coupe l’axe horizontal en un point : 0x ;0

et 0 0f ( x ) a x x x x

Aucun zéro : lorsque 0

Le graphique de f ne coupe pas l’axe horizontal et 2f ( x ) ax bx c . 4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction de degré 2 est c. En effet : 2f 0 a 0 b 0 c c

Le graphique de f coupe l’axe vertical en un point : 0;c

5) Théorème

Toute fonction polynomiale de degré 2 admet un axe de symétrie.

Cet axe est la droite verticale d'équation b

x2a


Démonstration S’il existe une symétrie par rapport à une droite verticale, cela veut dire qu’il existe un nombre tel que, quel que soit *h , h et h donnent la même image ; c.à.d. f h f h

.

Les images de h et h sont : 2f ( h ) a( h ) b( h ) c

2f ( h ) a( h ) b( h ) c

Si les deux images sont égales, on doit avoir :

2 2 2 2

f h f h

a( 2 h h ) b bh c a( 2 h h ) b bh c

2 ah bh 2 ah bh

4 ah 2bh

b

2a

La valeur de existe et est unique. 6)

Si a 0 la fonction de degré 2 est d’abord décroissante et ensuite croissante,

l’axe de symétrie séparant les deux parties.

Le graphique est une parabole symétrique convexe.

Si a 0 la fonction de degré 2 est d’abord croissante et ensuite décroissante,

l’axe de symétrie séparant les deux parties.

Le graphique est une parabole symétrique concave.

7) Le point du graphique de f qui sépare la partie croissante de la partie décroissante, s'appelle le sommet S de la parabole.

Le sommet de la parabole a donc comme coordonnées : b b

S ; f2a 2a

.

f

S

f

S

h +h

f(h)= f(+h) f

0 x

y


8) Si a 0 alors f admet un maximum en b

x2a

sur et b

f2a

est la valeur maximale de f.

Si a 0 alors f admet un minimum en b

x2a

sur et b

f2a

est la valeur minimale de f.

Le tableau suivant résume les diverses situations pour les fonctions de degré 2 :

> 0 = 0 < 0

a > 0

a < 0

S

S

S

S

S S


Étude de la fonction de degré 2 2f ( x ) x 2x 3 ( a 1 ; b 2 ; c 3 ) 1) Df

2) Le graphique de f est une parabole (symétrique).

3) Zéro(s) de f : 2f ( x ) 0 x 2x 3 0

2 2b 4ac 2 4 ( 1) 3 16 0 2 solutions .

11 2

b 2 16 b 2 16x 3 et x 1 donc f ( 0 ) 1;3

2a 2 ( 1) 2a 2 ( 1)

Le graphique de f coupe l’axe horizontal en deux points : 1;0 et 3;0

et f ( x ) 1 x 1 x 3

4) Ordonnée à l’origine de f : f (0 ) c 3

Le graphique de f coupe l’axe vertical en un point : 0;3

5) La parabole possède un axe de symétrie en : b 2

x= 12a 2 (-1)

6) a = 1<0 ; la parabole est concave.

7) Le sommet de la parabole a pour coordonnées : b bS ; f S 1; f ( 1) S 1;4

2a 2a

8) f admet un maximum en x 1 sur et 4 est la valeur maximale de f. 9) On utilise les résultats obtenus aux points 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7) et 8) pour tracer le graphique de f.

Calculs supplémentaires :

f ( 2 ) f ( 4 ) 5


Exercice 33

a) Classer les fonctions déterminées par les expressions ci-dessous, dans les catégories suivantes en indiquant la forme générale du graphique (droite, parabole, etc.).

2

- Fonctions de degré 0 ; f ( x ) a

- Fonctions de degré 1 ; f ( x ) ax+b

- Fonctions de degré 2 ; f ( x ) ax +bx+c

- Autres

21f ( x ) x x

2f ( x ) 2 3f ( x ) 0,0012x

4

100f ( x )

x 5f ( x ) 0 2 1

6f ( x ) 2 10 4 10 9

27f ( z ) 5z 6z 5 8f ( x ) 3 x 5 x 1 3

9f ( z ) 8z

210 0 0

1f ( t ) gt v t x

2 11f ( x ) 5x 9 12f ( t ) t

b) 2x 2x 3 , 2x 2x 3 0 et 2f ( x ) x 2x 3 sont-ils les mêmes « objets » mathématiques ? Justifier.

Que représente la lettre x dans chaque cas ? Exercice 34

Considérons les fonctions de degré 2 définies par :

2 2 21 1 9f ( x ) x x 3 g( x ) x 8x 12 h( x ) x 3x

4 2 2

Déterminer pour chacune de ces fonctions : a) Le(s) zéro(s).

b) L’ordonnée à l’origine.

c) L’axe de symétrie de la parabole.

d) Les coordonnées du sommet S de la parabole.

e) Le signe du coefficient a (parabole concave ou convexe).

f) Le graphique de la fonction, l'axe de symétrie et le sommet S. Les 3 fonctions seront dessinées dans le même repère orthonormé.

Indications : On utilise les résultats obtenus aux points a), b), c), d) et e) pour tracer les graphiques. On prend un feuille A4 et on choisit l’échelle selon les zéros et le sommet.

g) Calculer g( 8 ) et 1g ( 3 ) . Exercice 35

Considérons les fonctions de degré 2 définies par :

221 3 27f ( x ) x x 4 g( x ) x 2 x 4 h( x ) x 1

2 4 4

Mêmes questions qu'à l'exercice précédent.


Exercice 36

1) En se référant aux quatre graphiques ci-dessous, déterminer le coefficient a pour chacune de ces paraboles qui sont de la forme 2f ( x ) x a .

a) b)

c) d)

2) En se référant aux quatre graphiques ci-dessous, déterminer le coefficient a et c pour chacune de ces paraboles qui sont de la forme 2f ( x ) x a c .

a) b)

c) d)


Exercice 37 1) Considérons les fonctions de degré 2 définies par :

1f ( x ) x 2 x 4

2 1

g( x ) x 4 x 24

5h( x ) x 3 x 3

9 1

j( x ) x 4 x 42

Parmi les graphiques ci-dessous, trouver ceux qui correspondent à la représentation graphique de f, g, h et j. (Donner à chaque fois deux arguments justifiant la réponse)

a) b)

c) d)

2) Considérons les fonctions de degré 2 définies par :

f ( x ) 2 x 4 x 5 1g( x ) x 2 x 2

4

3h( x ) 3 x x 1

2

1j( x ) x 4 x 7

7

Sans calculs inutiles, déterminer le(s) zéro(s) et l’ordonnée à l’origine de chaque fonction. 3) Déterminer l’expression algébrique des fonctions représentées ci-dessous :

a) b)


Exercice 38 (Introduction aux problèmes d’interpolation)

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points A(4;3), B(2;2) et C(2;6) en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

Indication : 2f ( x ) ax bx c b) Vérifier les résultats obtenus en a) en calculant f(4), f(2) et f(2). Exercice 39

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points A(4;1), B(2;2) et C(2;2) en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 1 passant par les points A(4;1) et C(2;2) en résolvant un système de 2 équations à 2 inconnues.

c) La droite h dont l’expression algébrique est h( x ) 2x 1 est-elle perpendiculaire à la droite g ? Justifier avec un calcul. Exercice 40

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points S(2 ;1) et A(4;5) dont S est le sommet, en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues. b) Vérifier les résultats obtenus en a) en calculant f(2), f(4) et f(0).

Exercice 41

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points S(2;5) et A(0;1) dont S est le sommet, en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 1 passant par les points S(2;5) et A(0;1) en résolvant un système de 2 équations à 2 inconnues.

c) La droite h dont l’expression algébrique est 1

h( x ) x 12

est-elle perpendiculaire à la droite g ?

Justifier avec un calcul.

axe de symétrie


Exercice 42

a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 qui coupe l’axe des y en –15 et une seule fois l’axe des x et dont l’axe de symétrie est la droite x = 1. Justifier par des calculs.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 2 qui passe par le point A(2;3), qui coupe une seule fois l’axe des x et qui est symétrique par rapport à l’axe des y . Justifier par des calculs.

c) Déterminer l’expression algébrique de la fonction h de degré 2 qui coupe l'axe des x en 1 et en 5 et ayant comme ordonnée à l'origine la valeur 1000. Justifier par des calculs.

Exercice 43

Combien y a-t-il de paraboles coupant l'axe horizontal en 1 et en 5 et ayant : (Justifier vos réponses)

a) comme axe de symétrie la droite x = 3 ? b) comme axe de symétrie la droite x = 2 ?

c) comme sommet S le point S(3;3) ? d) comme sommet S le point S(3;0) ?

Exercice 44

Après 25 années de projet et 9 ans de construction, le pont suspendu de Seto-Ô hashi, reliant les villes japonaises de Kojima et Sakaide, a été ouvert au trafic en 1988. Déterminer : a) l’expression algébrique de la fonction de degré 2 2f ( x ) ax bx c qui représente approximativement le câble porteur. b) Calculer la longueur de la suspente se trouvant à 20 m d’un pylône.

Les informations disponibles sont les suivantes :

1) Le câble porteur fixé entre les deux sommets des pylônes a la forme d'une parabole.

2) Le « sommet » de la parabole est à 10 m au-dessus du tablier.

3) La hauteur des pylônes par rapport au tablier est de 90 m et leur écart de 400 m.

Câble porteur Pylône

Tablier Suspentes

y

x 0


Exercice 45 (Problèmes d’intersections de courbes)

Considérons les trois fonctions :

2 21 1 5f ( x ) x x 1 ; g( x ) x x 1 ; h( x ) 2x 6

4 8 4

a) Déterminer, à l’aide des graphiques ci-dessus, les points d’intersections entre ces fonctions.

b) Déterminer algébriquement les points d’intersections entre ces fonctions. (réponse en valeur exacte)

Indication : Résoudre une équation de degré 2 à 1 inconnue.

c) Déterminer algébriquement l’ensemble des x tel que : i) f x 2 ii) f x g x

Exercice 46

Considérons les trois fonctions : 2 2f ( x ) x 8x 19 ; g( x ) x 8x 13 ; h( x ) x 3

a) Déterminer algébriquement les points d’intersections entre les fonctions. (réponse en valeur exacte)

b) Tracer le graphique des fonctions f, g et h dans le même repère orthonormé et déterminer graphiquement les points d’intersections entre ces fonctions.

c) Déterminer algébriquement l’ensemble des x tel que : i) g x 1 ii) g x h x


Exercice 47

Considérons les fonctions f et g définies par 2f x x 2x 3 et 1g x x 4

2

a) Déterminer de manière algébrique :

1) le(s) zéro(s) et l’ordonnée à l’origine de f et g.

2) l'image de 25 par f.

3) 1f 5 noté également r f 5 .

4) l’axe de symétrie de la parabole f.

5) les coordonnées du sommet S de la parabole f.

6) la représentation graphique des deux fonctions f et g sur un même repère et pour x 8;8 .

(1 feuille A4 et on choisira l’échelle selon les zéros, les ordonnées et le sommet).

7) la ou les intersection(s) entre f et g.

8) l’ensemble des x tel que f x g x .

b) Pour quelle(s) valeur(s) de c , le graphique de la fonction 2h( x ) x 2x c coupe-t-elle une fois l’axe des x ? Exercice 48 *

Considérons les fonctions f et g suivantes définies par :

2f ( x ) x 4x 4 et g( x ) 2x k k

a) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont qu’un seul point commun ?

b) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f ont deux points communs ?

c) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont aucun point commun ? Exercice 49 *

Considérons les fonctions f et g suivantes déterminées par :

2f ( x ) x 4x 4 et g( x ) k x 2 k

a) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont qu’un seul point commun ?

b) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f ont deux points communs ?

c) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont aucun point commun ?


Introduction aux problèmes d’optimisations Enoncé et résolution : partie I (cas particulier)

Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de 2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n’utilise pas de clôture le long de la rivière. a) Pour chaque champ représenté ci-dessus, calculer le périmètre de la clôture et l’aire du champ. Que constate-t-on ? Quel est, parmi ces trois formes de champs, celui qui permet aux moutons de brouter le plus d’herbe ? Réponse a)

Périmètre de la clôture Aire du champ Champ A 2420 m 24'000 m2

Champ B 2420 m 726'000 m2 Champ C 2420 m 420'000 m2

On constate que l’aire du champ varie en fonction de sa forme et pas le périmètre de la clôture qui est constante.

Conclusion : C’est le champ B qui permet aux moutons de brouter le plus d’herbe.

b) Le dessin ci-dessus propose trois configurations différentes. Combien y a-t-il d’autres configurations possibles ?

Réponse b) Il y a une infinité de configurations possible.

c) Parmi toutes les configurations possibles, la forme du champ B donne-t-elle l’aire maximale ? Réponse c) Difficile à dire : il faudrait tester toutes les autres possibilités !

Idée : traiter le cas général à l’aide de la notion de fonction.

10 m

2400 m

550 m

1320 m

1000 m

420 m

Rivière

Champ A Champ B Champ C


Enoncé et résolution : partie II (cas général)

Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de 2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n’utilise pas de clôture le long de la rivière. Les dimensions x et y de l’enclos sont exprimées en mètres.

a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ? Réponse a) x 0;1210

b) Trouver une relation entre x et y, puis exprimer y en fonction de x. Réponse b) Périmètre de la clôture en fonction de x et y : P 2x y 2420 y 2420 2x .

c) Déterminer l’aire A de l’enclos en fonction de la longueur x c'est-à-dire A f x .

Réponse c) 2A= x y A x 2420 2x 2x 2420 x (fonction du 2ème degré)

a 2 ; b 2420 ; c 0

Parabole concave car a 2 0

existence d'une valeur maximale pour A. d) Pour quelle valeur de x l’aire A de l’enclos est-elle maximale ?

Réponse d) b

x = 605 m (première coordonnée du sommet)2a

e) Quelles sont alors les dimensions de l'enclos et son aire maximale ? Réponse e) y 2420 2 605=1210 m

2 2 emaxA = f(605) = 2 605 2420 605 732' 050 m (2 coordonnée du sommet)

Amax

0

S

A

1210

x

f

y

x


Synthèse de la démarche utilisée

La résolution d’un exercice d’optimisation doit comporter les points suivants :

1) Illustration du problème (si problème géométrique).

2) Déclarations des variables et des constantes (avec les unités).

3) Obtention des relations entre les variables et constantes

(obtention d’une fonction f à une variable).

4) Recherche de la valeur maximale ou minimale de f à l’aide de la « formule du sommet

de la parabole »..

5) Réponses aux questions posées (phrase en français).

Exercice 50

Un fermier dispose de 160 mètres de clôture pour entourer un champ de forme rectangulaire. Une grange de 13 m de long forme partiellement la clôture le long d’un de ses côtés.

a) Quelles seront les dimensions du plus grand champ que l’on pourra entourer ?

b) Donner son aire maximale. Exercice 51

On dispose de 288 m de clôture grillagée pour construire 6 enclos rectangulaires de même aire pour un zoo selon le plan ci-contre.

a) Quelles dimensions donner à ces 6 enclos de manière à maximiser leur surface au sol ?

b) Donner l’aire maximale des 6 enclos. Exercice 52

On veut construire une gouttière avec une longue feuille de métal de 12 cm de large en pliant les deux longs côtés et en les relevant perpendiculairement à la feuille. La longueur de la feuille est de 10 m. a) Quelle hauteur doit-on donner aux côtés relevés pour que la gouttière ait une contenance (volume)

maximale ? b) Quelle est la contenance (volume) maximale en litres ?

1000 cm


Exercice 53

Dans un rectangle ABCD, dans lequel AB = 8 et AD = 4 , on construit un quadrilatère MNPQ

tel que AM = BN = CP = DQ = x . a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ?

b) Quel nom prend le quadrilatère MNPQ ?

c) Déterminer l’aire A de MNPQ en fonction de x c’est-à-dire A = f(x).

d) Pour quelle valeur de x l’aire A est-elle minimale ? Quelle est cette valeur minimale ?

e) Pour quelle valeur de x l’aire A est-elle maximale ? Quelle est cette valeur maximale ? Exercice 54

Une société de vente de livres par correspondance a actuellement 10'000 abonnés qui paient 50 francs par mois. Une étude a démontré que toute variation de 1 franc du prix de l'abonnement mensuel ferait varier le nombre d'abonnés d'une centaine. Attention, une augmentation du prix fait diminuer le nombre d'abonnés et une diminution du prix le fait augmenter.

a) Comment faut-il modifier le prix de l'abonnement mensuel pour obtenir le maximum de revenu ?

b) Quel est le revenu maximum ?

Indication : Déterminer le revenu R en fonction de la variation du prix de l'abonnement de n francs c.à.d. R= f(n).

n R

0 10'000 50 = 500’000

1

2

..... .....

k

M

N

P

Q

A B

C D

x


Exercice 55 On considère la figure ci-dessous qui vérifie les conditions suivantes :

Le triangle ABC est rectangle en A tel que : AB 3m ; AC 2m

On a la relation : BD CE 10 m .

On note x et y les longueurs respectives des segments [BD] et [CE].

a) Déterminer les valeurs de x et de y afin que l’aire de la partie hachurée soit maximale.

b) Que vaut l’aire maximale de la partie hachurée ? Exercice 56

Le propriétaire d’un verger de pommiers estime que si chaque hectare est planté de 48 arbres, chaque arbre produira 600 pommes chaque année. Chaque fois qu’il y a un arbre de plus par hectare, la production de chaque arbre en est diminuée de 6 unités.

a) Combien faut-il planter d’arbre par hectare pour obtenir la plus grande récolte ?

b) Quel est le nombre maximum de pommes récoltées par hectare et par an ? Exercice 57 * On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AB 9 cm et AC 4 cm .

On considère un point D appartenant au segment AB

et on note x la longueur du segment BD .

On construit à partir du point D un rectangle DEFA tel que le point E appartient au segment BC

et le point F appartient au segment AC . a) Calculer l'aire A(x) de la surface hachurée en fonction de x.

b) Quelles sont les valeurs possibles de x ?

c) Pour quelle valeur de x l'aire A de la surface ombrée est-elle minimale ? Justifier par des calculs.

d) Quelle est alors cette aire minimale ? Justifier par des calculs.

e) Pour quelle valeur de x l'aire A de la surface ombrée est-elle maximale ? Justifier par des calculs.

f) Quelle est alors cette aire maximale ? Justifier par des calculs.


Exercice 58 * Considérons une fonction polynomiale f de degré 2.

Démontrer que le sommet S de la parabole a pour coordonnées b Δ

S ;2a 4a

avec 2b 4ac .

Exercice 59 *

Considérons les fonctions f et g définies par : 2f x x 2x 3 et 1g x x 4

2

Déterminer de manière algébrique, la distance verticale d maximale entre la parabole f et la droite g pour x 2;3,5 .

Indication : considérer la fonction g f .


3.2.4 Fonction inverse Définition

La fonction inverse est la fonction définie par : *f :

1

x f ( x )x


Remarques a) 11x

x ; cette expression n'est pas un monôme donc pas un polynôme.

b) Le graphique de la fonction inverse est appelée : hyperbole.

c) La fonction inverse est décroissante sur * . Activité 1

Considérons la fonction 1

f ( x )x

, appelée fonction inverse.

1) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x proche de 0 ?

x 0,1 0,01 0,001 ... 0 ... 0,001 0,01 0,1

f(x)

Lorsque x se rapproche de ......... par la gauche , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de .......... Lorsque x se rapproche de ......... par la droite , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ..........

Autrement dit : 1 1

Si x ....... alors ....... et si x ...... alors ......x x

.

La fonction inverse possède alors une asymptote verticale en x = 0.

2) L’image de 0 n’existe pas ; il n'y a pas d'ordonnée à l'origine. 1

f ( 0 ) ..........0

3) Le domaine de définition de la fonction inverse est fD ......... .


4) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x très grandes positivement ?

x 1 10 100 1000 ... +

f(x)

Lorsque x se rapproche de ........ , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........ Comment se comporte la fonction f pour des valeurs x de très grandes négativement ?

x 1 10 100 1000 ...

f(x)

Lorsque x se rapproche de ........ , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........

Autrement dit : 1 1

Si x ....... alors ......... et si x ....... alors ......x x

.

La fonction inverse possède alors une asymptote horizontale en y = 0.

5) Comme l’équation 1f x 0 0

x n’a pas de solution, f n’a pas de …………….

Activité 2

Considérons la fonction définie par : 2 x 1

g( x )x 1

.

1) Comment se comporte la fonction g pour des valeurs de x proche de 1 ?

x 0,9 0,99 0,999 ... 1 ... 1,001 1,01 1,1

g(x)

Lorsque x se rapproche de........ par la gauche, g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........ Lorsque x se rapproche de........ par la droite, g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........ Autrement dit : Si x ....... alors g x ....... et si x ...... alors g x ...... .

La fonction inverse possède alors une asymptote verticale en x = 1. 2) L’image de 1 n’existe pas car g( 1 ) ................ 3) Le domaine de définition gD .............. .

4) L’ordonnée à l’origine de g est : g 0 .............. .


5) Comment se comporte la fonction g pour des valeurs de x très grandes positivement ?

x 10 100 1000 ... +

g(x)

Lorsque x se rapproche de ........ , g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........

Autrement dit : Si x ....... alors g x .........

Comment se comporte la fonction g pour des valeurs x de très grandes négativement ?

x 10 100 1000 ...

g(x)

Lorsque x se rapproche de ........ , g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........

Autrement dit : Si x ....... alors g x .........

La fonction g possède alors une asymptote horizontale en y = 2.

6) g x 0 ...........................................................

Le zéro de g est : 7) Représentons le graphique g sur l'intervalle [10;10].


En résumé

Si la fonction f est définie par l’expression algébrique ax bf x

cx d

avec c 0 et ad bc 0

alors 1) pour calculer le domaine de définition de f il faut résoudre l’équation cx d 0 . (« dénominateur = 0 ») 2) pour calculer le zéro de f il faut résoudre l’équation ax b 0 . (« numérateur = 0 ») 3) f possède une asymptote verticale et une asymptote horizontale.

Exercice 60

Considérons les 2 fonctions : 1 4x 15

f ( x ) et g( x )2x 4 x 4

Pour chaque fonction déterminer / calculer : 1) le domaine de définition. 2) le zéro.

3) l'ordonnée à l'origine.

4) l'asymptote verticale et horizontale en utilisant un tableau des valeurs.

5) le graphique de la fonction avec ses asymptotes verticale et horizontale.

(1 demi page A4 quadrillée et repère orthonormé)

Exercice 61

Déterminer le domaine de définition, les zéros et l'ordonnée à l'origine des fonctions suivantes :

2

2x 2f ( x )

x 7

2

2x 4g( x )

x 5x 6

2

15xh( x )

x 9

2

2

x x 4j( x )

x 9

2

2

x 9k( x )

x x 4

2

3

x 2x 1l( x )

x 8

Exercice 62

Considérons les 5 fonctions suivantes :

3 1 4 1f ( x ) g( x ) 3x h( x ) 3 j( x ) k( x )

x x 7 x x 3

a) Parmi les fonctions ci-dessus déterminer celles dont le produit de la préimage avec l'image donne comme résultat une constante réelle.

Rappel : Deux grandeurs x et y sont inversement proportionnelles si x y k k b) Compléter la phrase : Si x et f(x) sont deux grandeurs inversement proportionnelles alors quand x double alors f(x)..........................


Exercice 63 *

La loi de Mariotte (abbé et physicien français, 1620-1684), s'exprime ainsi : pour une masse donnée de gaz et à température constante, le produit PV de la pression de ce gaz par son volume est constant. Les gaz suivent approximativement cette loi : elle n'est exacte que pour les gaz parfaits, c'est à dire dont les interactions moléculaires sont nulles. Une étude expérimentale, au moyen d'un gaz enfermé dans un cylindre dont le volume est variable grâce à un piston, a permis, par le biais d'un manomètre, d'établir la pression en fonction du volume:

V 17,5 18,5 20 21,5 23,5 26 27 28,5 31,5 P 112,8 103,1 102,6 89,9 84,1 78,9 73,2 67 66,2

a) Si la loi de Mariotte s'applique, quelle est la nature de la fonction qui, au volume, associe la pression ? b) Représenter le nuage des points (V;P) en prenant l'origine à (15;60). c) Calculer la moyenne des produits PV expérimentaux. Donner l'équation de la courbe V P(V). Représenter cette courbe dans le même repère que le nuage. Conclusion ?


3.2.5 Fonction racine carrée Définition

Si a est un nombre réel positif ou nul , alors on définit:

la racine carrée de a que l’on note a , comme le nombre réel positif dont le carré est égal à a, autrement dit :

2a b a b (a et b des nombres réels positifs)

Exemples

24 2 4 2 La racine carrée de 4 vaut 2.

29 3 9 3 La racine carrée de 9 vaut 3.

2

0 0

3 b 3 b La racine carrée de 3 n'est pas définie dans les réels.

Définition

La fonction racine carrée est la fonction définie par : f :

x x f ( x )


Remarques

a) 1

2x x ; cette expression n'est pas un monôme.

b) Si on admet que 224 2 4 2 et que 4 2 4 2

alors f ( x ) x n’est plus une fonction.

c) Considérons l’équation : 2 2x 4 x 4 0 x 2 x 2 0 x 2 S 2;2


Exercice 64

On considère la fonction racine carré : f ( x ) x

a) Calculer les images suivantes : f(2) ; f(0) ; f(4).

b) Pourquoi ne peut-on pas calculer la racine d’un nombre négatif ?

c) Donner le domaine de définition de la fonction f .

d) Calculer l’ordonnée à l’origine et le zéro de f .

e) Le même phénomène se produit-il avec la fonction 3g( x ) x ?

f) Donner le domaine de définition de la fonction g .

Exercice 65

Soit les fonctions : f ( x ) x g( x ) x h( x ) x i ( x ) x

a) Tracer les quatre graphiques des fonctions ci-dessus, dans le même repère. (Tableaux de valeurs exigés)

b) Donner le domaine de définition, le(s) zéro(s) ainsi que l'ordonnée à l'origine des fonctions.

Exercice 66

Soit la fonction f ( x ) 3x 3

a) Calculer les images : f (0) et f(4) .

b) Déterminer son domaine de définition. Indication : résoudre l’inéquation 3x 3 0 .

c) Calculer le(s) zéro(s) ainsi que l'ordonnée à l'origine.

d) Tracer le graphique de f.

Exercice 67

Soit la fonction 2f ( x ) x 4

a) Calculer les images : f (4) et f(4) .

b) Déterminer son domaine de définition. Indication : résoudre l’inéquation 2x 4 0 .


d) Tracer le graphique de f.

Exercice 68

Soit la fonction 2f ( x ) 9 x

a) Calculer les images : f (4) ; f (3) ; f(0) ; f(3) ; f(4) .

b) Déterminer son domaine de définition. Indication : résoudre l’inéquation 29 x 0 .


d) Tracer le graphique de f. Quelle est la forme géométrique obtenue avec le graphique de f ?


x

y

(0;0)

P(x;y)

r

f+

f-

Exercice 69

a) Déterminer le domaine de définition, les zéros et l'ordonnée à l'origine des fonctions

suivantes :

f ( x ) x 3 g( x ) x 7 1

h( x )3x 1

2

xj( x )

25 x

3

2

2x 1k( x )

49 x

b) Compléter les phrases suivantes :

Si la fonction f est définie par l’expression algébrique f x g x avec g une fonction

alors 1) pour déterminer le domaine de définition de f il faut résoudre l’inéquation ................... . 2) pour calculer le(s) zéro(s) de f il faut résoudre l’équation : ..........................

Exercice 70 *

Rappel : Un cercle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné.

Considérons un cercle de rayon r centré en (0;0).

a) Trouver la relation entre les coordonnées x et y d'un point P appartenant au cercle et le rayon r du cercle.

b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f+ et f- décrivant respectivement le demi-cercle supérieur et inférieur.

c) Quelle est le domaine de définition de f+ et de f- ?

d) Tracer le graphique de f+ et de f- sur un même repère avec r = 5. Exercice 71 *

Le triangle ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre 15.

a) Si x est la longueur du côté AC, exprimer la longueur du côté BC en fonction de x.

b) Exprimer l’aire A du triangle ABC en fonction de x, et donner le domaine de définition de cette fonction.

c) Pour quelle valeur de x l’aire A du triangle ABC est-elle maximale ?

d) Quelle est alors son aire maximale ?


3.2.6 Fonction valeur absolue Définition

La fonction valeur absolue est la fonction définie par :

f :

x si x 0x f x x

x si x 0

Exercice 72

Considérons la fonction valeur absolue définie par : x si x 0

f x xx si x 0

a) Que valent 7 ; 7 ; 0 ; 17 29 ?

b) Que représente géométriquement le calcul a b avec a,b ?

c) Tracer le graphique de la fonction « valeur absolue » sur l'intervalle 5;5 et dans un repère

orthonormé. (1 page A4 quadrillée et tableau des valeurs).

d) Soit f x x et 2g x x deux fonctions. Est-ce que f x g x x ?

e) Soit la fonction h x x 3 .

i) Compléter l'écriture suivante : ......... si ..........

h x x 3......... si ..........

ii) Déterminer le domaine de définition, le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de h .

iii) Tracer le graphique de la fonction h sur l'intervalle 10;10 et dans un repère

orthonormé. (1 demi page A4 quadrillée et tableau des valeurs). f) Même question qu'au point e) mais pour la fonction k x x 4 .


3.2.7 Ce qu’il faut absolument savoir 10 Tracer le graphique d’une fonction de degré 0 (droite horizontale) ok

11 Tracer le graphique d’une fonction de degré 1 (droite oblique) ok

12 Déterminer graphiquement la pente et l'ordonnée à l'origine d’une droite ok

13 Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine d’une fonction de degré 1 ok

14 Déterminer l'expression algébrique d’une droite passant par deux points donnés ok

15 Reconnaître et dessiner deux droites parallèles ok

16 Reconnaître et dessiner deux droites perpendiculaires ok

17 Calculer le point d’intersection entre deux droites ok

18 Tracer le graphique d’une fonction de degré 2 (parabole) ok

19 Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine d’une fonction de degré 2 ok

20 Calculer l'axe de symétrie d’une parabole ok

21 Pouvoir résoudre des problèmes simples d'optimisation ok

22 Déterminer l'expression algébrique d’une parabole passant par trois points donnés ok

23 Calculer le(s) points d’intersection(s) de deux paraboles ok

24 Reconnaître et tracer le graphique de la fonction inverse ok

25 Reconnaître et tracer le graphique de la fonction racine carrée ok

26 Reconnaître et tracer le graphique de la fonction valeur absolue ok

________________________________________________________________________________ P.S. 2018-2019 49 Fonctions / Solutions des exercices / 1 N-A

3.3 Solutions des exercices Ex 1

Intervalle :

nom et notation Représentation

graphique Description : ensemble des nombres x tels que

1) x 3;4

-3 < x < 4

2) 2x ; 1.5

3

3

2< x 1.5

3) x 3;

x -3

4) x ;4

x 4

5) x 3;

x > -3

6) x ; 4

x -4

7) x 2 ;2

-2 x 2

8) x 0;

x > 0

9) x 3 ;3

-3 < x < 3

10) x 4;

x > -4

11) x 3;4 5;6

3 < x < 4 ou 5 x 6

12) x 0 ;1

0 x < 1

13) x ;4 4 ;

x < 4 ou x > 4

] -4

] 0

[ 1

[ 0

[ -3

] 4

] 1,5

] 2/3

0

] -3

0

] -3

[ 4

0

] 2

[ -2

0

] -3

[ 3

] -4

] 3

[ 4

[ 5

] 6

] -4 [


Ex 2

Intervalles Nombres relatifs Nombres rationnels Nombres réels

a) 0;1 fermé, borné. Il y en a deux : 0 et 1. Il y en a une infinité. Il y en a une infinité.

b) 0;1 ouvert, borné. Il n’y en a aucun. Il y en a une infinité. Il y en a une infinité.

c) 1;1 fermé, borné. Il y en a trois : 1 , 0 et 1. Il y en a une infinité. Il y en a une infinité.

d) 1;1 ouvert, borné. Il y en a un : 0 Il y en a une infinité. Il y en a une infinité.

Ex 3 Ex 4

a)

x i(x) x f(x) x h(x) x g(x)

-3 7,5 -3 2 -3 7,5 -3 8

-2 7 -2 3 -2 5 -2 3

-1 6,5 -1 4 -1 2,5 -1 0

0 6 0 5 0 0 0 -1

1 5,5 1 6 1 -2,5 1 0

2 5 2 7 2 -5 2 3

3 4,5 3 8 3 -7,5 3 8 c) Zéros : 1 1 1 1f (0) = 5 ; g (0) = 1;1 ; h (0) = 0 ; i (0) = 12

Ordonnée à l'origine : f(0)= 5 ; g(0 ) 1 ; h(0 ) 0 ; i(0 ) 6

Ex 5

Fonction donnée par :

un lien verbal Fonction donnée par :

une expression algébrique

(1) « doubler puis ajouter 5 » x f ( x ) 2x 5

(2) « soustraire 5 » puis « multiplier par 2 » z f ( z ) 2 z - 5

(3) « élever au carré » , puis « ajouter un » 2x f ( x ) x +1

(4) «ajouter un » puis « prendre le carré » 2y f ( y ) y +1

(5) « prendre le triple », puis « ajouter 10 »,

puis « multiplier par 3 » x f ( x ) 3 3x 10

(6) « soustraire 4 », puis « multiplier par 3 », puis « diviser par 7 » 3 x 4

x f ( x )7

f A B

2

-2

3

5

125

8 -8

27

g A B

4

-2

2

16

4 2

5


Ex 6

a) 3 est la première coordonnée du point A.

b) 4 est la deuxième coordonnée du point A.

c) 2 est l’ordonnée du point B.

d) 4 est l’abscisse du point B.

e) 5 est une préimage de -4 par f.

f) 4 est l’image de 5 par f.

g) 2 est l’ordonnée à l’origine de f.

h) 7 est un zéro de f. Ex 9

1) 2f a a 5a 4 2) 2f x x 5x 4

3) 2f x x 5x 4 4) 2f x x 5x 4

5) 2f x 3 x x 2 6) 2f x 3 x 5x 7

7) 23 f x 3x 15x 12 8) 2f 3x 9x 15x 4

9) 2 4 f x 3 5 4x 4x 3 10) f() = 2 5+4

11) 2f x g( x ) = x 2x 5 12) 2f g x = 9x 9x

13) 2g f x 3x 15x 13 14) 4 3 2f f x x 10x 28x 15x

15) g g x 9x 4 16) g g g x 27 x 13

Ex 10

a) f(1) = 2 f(3) = 2 f(4) = 5 g(2) = 1 g(10) = 7 (on extrapole)

b) 1f 1 1f 2 1;3 1f 5 0;4 1g 0 3 1g 8 11 (on extrapole)

Ex 11

1) f(1) = 3 2) 1 4f ( 2 )

5

3) f(1) = 3

4) 1f ( 2 ) 0 5) f(3) = 13 1f ( 3 ) 1 6) 1f ( 2 ) 0

7) Les points du graphique b) correspondent bien aux couples de la fonction f. Cela n’est pas vrai pour le graphique a). Ex 13

a) t 0 h ; t 12 h ; t 24 h

b) T est positive sur l'intervalle de temps : 12;24

T est négative sur l'intervalle de temps : 0;12

c) T est croissante sur l'intervalle de temps : 5;19

T est décroissante sur l'intervalle de temps : 0;5 19;24

d) La température est maximale à 19 h et la température maximale est de 10 C.

e) La température est minimale à 5 h et la température minimale est de -10 C.

A

B

0 -4 3 5 -7

2

4

-2

-4 f

x

y


Ex 14

a) fD \ 2 gD \ 3 hD jD \ 2;2 kD \ 1;1

b) Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul.

c) fD gD hD jD kD \ 2 ; 2

d) Un nombre sous une racine carrée ne peut pas être négatif.

e) n’est pas le domaine de définition de la fonction k. Ex 15

a) f gD D

b) 1f ( 0 ) 1 et f 0 3 = 0 ; 31g ( 0 ) et g 0 0

c) f x 3x 3 correspond au graphique 3). 2g x x 3x correspond au graphique 2).

d) Le graphique 1) car à une préimage x correspond plusieurs images y.

e) Vrai, A 10 ; 33 est un point du graphique de f.

f) Faux, B 5; 20 n’est pas un point du graphique de g.

Ex 16

a)

Expression algébrique de la fonction

Df Zéro Ordonnée à l’origine

Degré de f et affine/linéaire

Pente de la droite

Variations (croissance ou décroissance)

1f ( x ) x 4

4 16 f(0) = 4

degré 1 affine b 0

1

4 f est décroissante

sur car a < 0

2g x x 2

5 5 g(0) = 2

degré 1 affine b 0

2

5 g est croissante

sur car a > 0

h x x 1 1 h(0) = 1 degré 1

affine b 0 1

1 h est croissante

sur car a > 0

i x 6 i(0) = 6 degré 0 0

01 /

2j x x 3

7

21

2 j(0) = 3

degré 1 affine b 0

2

7 j est décroissante

sur car a < 0

2k x x

5 0 k(0) = 0

degré =1 linéaire b= 0

2

5 k est décroissante

sur car a < 0

c) f(4) =5 g(20) =10 i(2) = 6 f -1(2) ={8} k -1 (5) = {12.5} j -1 (10) = {24.5}


Ex 17

a)

Nom de la fonction Pente Ordonnée à l’origine Expression algébrique

f 1

5 3

1f ( x )= x + 3

5

g 3

5 1

3g( x )= x + 1

5

h 1

1

0 h( x )= x

i 0

01 2 i( x )= 2

j 4

5 4

4j( x ) x 4

5

k 4

5

2

4k( x ) x + 2

5

b) k(5) = 2 g(20) =13 i(5) =2 f -1(4) ={5} g -1(16) = {25} j -1(0) ={5}

Ex 18

a) 1 5

E ;4 16

43

F 15;4

14

G ;-33

H 26;20

b) A n'est pas sur la droite (graphique de f). B est sur la droite (graphique de f).

C est sur la droite (graphique de f). D n’est pas sur la droite (graphique de f). Ex 19

On sait que, pour obtenir 1 Euro, il faut 1,60 FS.

1) f est la fonction : x Euro f ( x ) FS

Euros 0 1 2 5 8 15 x Francs suisses 0 1,60 3,20 8 12,8 24 f(x) = 1,6 x

2) f (14 ) 1,60 14 22,4 FS ; f ( 2,5 ) 1,60 2,5 4 FS ; f ( 6,2 ) 1,60 6,2 9,92 FS .

Ex 20

1) f(1) = 2,5 F f(2) = 3 F f(3) =3,5 F f(5) = 4,5 F f(10) = 7 F

2) Si je fais un trajet deux fois plus long, par exemple si je passe de 4 km à 8 km, le prix lui, ne double pas puisque il passe de 4 F à 6 F. Le prix n'est pas proportionnel à la distance.

3) f(0) = 2 F représente les frais de prise en charge du taxi !!

4) 1f 6,50 9 km

5) pente de la droite : p 1

x 2

6) Un km de trajet supplémentaire coûte 0,5 F. On a le même rapport (valeur) : 1 0,5

2 1

7) Le prix d’une course de 60 km est de 32 F. Le prix d’une course de 95 km est de 49.5 F.

8) Pour x km, il faut payer p Francs , avec 1

p f ( x ) x 22


Ex 21

1) 1T g( h ) h 15,6 pour h 0,6000

150

2) g( 4500 ) 14,4 C

3) h 5010 m

4) La fonction g est affine car b 15,6 0

5) La température T de l'air n'est pas proportionnelle à l'altitude h.

6) T 1 différence de température

penteh 150 différence de hauteur

7) La température diminue de 6.6 C pour une augmentationd ' altitude de1000 m.

8) T 1g est décroissante sur 0;6000 car la pente 0

h 150

Ex 22

b) Expression algébrique de d1: 1

4d ( x ) x 3

3 pente de d1 =

4

3 et ordonnée à l'origine de d1 = -3

Expression algébrique de d2: 2

5d ( x ) x 6

3 pente de d2 =

5

3 et ordonnée à l'origine de d2 = 6

c) Aire du triangle ABC = 13,5 Ex 23

a) 3 11f ( x ) x

2 2 b) f ( x ) x 7 c) f ( x ) 1 d)

3f(x)= x 100

10

Ex 24

1

7d ( x ) x 45

2 2

3d ( x ) x 5

2 3

11d ( x ) x 95

6

Ex 25

a) Câble porteur inférieur f : 5f ( x ) x 10 x 0;8

4

Câble porteur supérieur g : 1g( x ) x 40 x 0;80

2

b) Longueur du câble porteur inférieur 12,8m . Longueur du câble porteur supérieur 89,4m

Ex 27

a) 1

1d ( x ) x 2

2 2

1d ( x ) x 3

2 3

2d ( x ) x 2

1 4d ( x ) 3

5

2d ( x ) x

1 6d ( x ) 6 7

2d ( x ) x 2

1

Ex 28

c) AB

1 17d x x

3 3 BCd x 3x 21 CD

1 7d x x

3 3 DAd x 3x 9

Ex 29

b) Points d’intersections : A(3;3), B(0,7;-1,6), C(-0,45;1,85).

c) Le triangle ABC est rectangle en C. Ex 30

a) 2Aire ombrée 31' 250 u b) 2Aire ombrée 506' 250 u


PB

PA

PC

Ex 31 a)

b) et c) Le nombre de cartouches achetées est noté x.

AP x 15x

BP x 10x 40

d) AP 10 15 10 150

BP 10 10 10 40 140

A BP 10 P 10 donc sur Internet.

e) 1)

A BP x P x

15x 10x 40

5x 40

x 8

2) Les deux droites ont pour point d’intersection le point de coordonnées 8;120 .

On remarque que la droite BP représentant l’achat sur Internet se trouve sous la droite AP quand x est plus grand

ou égal à 8. Ex 32 a) 1) 2) Pour Tania se sera la formule A, pour Willy la formule B et pour Raitua la formule C. b) et c) AP x 1500x

BP x 800x 28000

CP x 98' 000

d) Wanda a suivi 60 séances.

e) 1) A BP x P x x 40

2) B CP x P x x 87,5

Nombre de cartouches achetées 2 5 11 14 Prix à payer en magasin (eu euros)

30 75 165 210

Prix à payer par Internet (en euros)

60 90 150 180

Tania Willy Raitua

Nombre de séances pour l’année 12 52 104

Prix à payer avec la formule A 18’000 78’000 156’000

Prix à payer avec la formule B 37’600 69’600 111’200

Prix à payer avec la formule C 98’000 98’000 98’000


Ex 33

a)

Fonctions de degré 0

de la forme:

f ( x ) a

Graphique : droite horizontale


de la forme:

f ( x ) ax+b

Graphique : droite oblique

2


de la forme:

f ( x ) ax bx c

Graphique : parabole symétrique

Autres

5f ( x ) 0

2 16f ( x ) 2 10 4 10 9

3f ( x ) 0,0012x

11f ( x ) 5x 9

12f ( t ) t

21f ( x ) x

27f ( z ) 5z 6z 5

8f ( x ) 3 x 5 x 1

210 0 0

1f ( t ) gt v t x

2

x2f ( x ) 2

4

100f ( x )

x

39f ( z ) 8z

b)

Ce ne sont pas les mêmes « objets » mathématiques.

2x 2x 3 est un polynôme de degré 2 ; x à le statut de variable.

2x 2x 3 0 est une équation polynomiale de degré 2 ; x à le statut d’inconnue.

2f ( x ) x 2x 3 est une fonction polynomiale de degré 2 ; x à le statut de préimage (variable).

Ex 34

Zéro(s) Axe de

symétrie Sommet S

Parabole concave/ convexe

Ordonnée à l’origine

21f ( x ) x x 3

4 1f ( 0 ) x 2 S(-2;2)

La parabole est convexe

f(0) = 3

2g( x ) x 8x + 12 1g ( 0 ) 2;6 x 4 S(4;-4) La parabole est convexe

g(0) = 12

21 9h( x ) x 3x

2 2 1h ( 0 ) 3 x 3 S(-3;0)

La parabole est concave

9h(0 )

2

Ex 35

Zéro(s) Axe de

symétrie Sommet S

Parabole concave/ convexe

Ordonnée à l’origine

21f ( x ) x x 4

2 1f ( 0 ) 2;4 x 1

9S 1;

2

La parabole est convexe f 0 4

2g( x ) x 2x 8 1g ( 0 ) 2;4 x 1 S(1;9) La parabole est concave g 0 8

23 3h( x ) x x 6

4 2 1h ( 0 ) 2;4 x 1

27S 1;

4

La parabole est convexe

h(0 ) 6


Ex 36

1) a) 1

3a = b) 3a = c) 2a = d) 1a =

2) a) 1

et 33

a = c = b) 3 et 1a = c = c) 1

et 22

a = - c = d) 1 et 1a = c =

Ex 37

1)

a) 1j( x ) x 4 x 4

2 ; 1j 0 4 ; j 0 8

b) 1f ( x ) x 2 x 4

2 ; 1f 0 2;4 ; f 0 4

c) 1g( x ) x 4 x 2

4 ; 1g 0 4;2 ; g 0 2

d) 5h( x ) x 3 x 3

9 ; 1h 0 3 ; h 0 5

2)

f ( x ) 2 x 4 x 5 ; 1f 0 5; 4 ; f 0 40

1g( x ) x 2 x 2

4 ; 1g 0 2 ; g 0 1

3h( x ) 3 x x 1

2

; 1 3h 0 1;

2

; 9

h 02

1j( x ) x 4 x 7

7 ; 1j 0 4;7 ; j 0 4

3) 1f ( x ) x 1 x 5

5 1

g( x ) x 3 x 39

Ex 38

a) 21L'expression algébrique de la fonction de degré 2 passant par les points A,B et C est : f ( x ) x x 3

4

Ex 39

a) 21L'expression algébrique de la fonction de degré 2 passant par les points A,B et C est : f ( x ) x x 1

4

b)1

L'expression algébrique de la fonction de degré 1 passant par les points A et C est : g( x ) x 12

c) g et h sont perpendiculaires. Ex 40

2L'expression algébrique dela fonction de degré 2 passant par les points Aet S est : f ( x ) x 4x 5

Ex 41

a) 2L'expression algébrique dela fonction de degré 2 passant par les points A et S est : f ( x ) x 4x 1

b) L'expression algébrique dela fonctiondedegré 1 passant par les points A et S est : g( x ) 2x 1

c) g et h ne sont pas perpendiculaires. Ex 42

a) 2f ( x ) 15x 30x 15 b) 23f ( x ) x

4 c) 2f ( x ) 200x 1200x 1000


Ex 43

a) Il y en a une infinité. b) Il y en a aucune. c) Il y en a une seule. d) Il y en a aucune. Ex 44

a) L’expression algébrique de la fonction de degré 2 qui représente le câble porteur est : 21 4f ( x ) x x 90

500 5 .

b) Longueur de la suspente se trouvant à 20 m : 74,8 m

Ex 45

a) Graphiquement : 1 2 4 3f g I ( 0; 1) ; I ( 6;2 ) f h I ( 2; 2 ) g h I ( 4;2 )

b) Algébriquement : 1 2 4 5 3 6f g I ( 0; 1) ; I ( 6;2 ) f h I ( 2; 2 ) ; I ( 10;14 ) g h I ( 4;2 ) ; I ( 10; 26 )

c) i) S ; 2 6; ii) S 0;6

Ex 46

a) Algébriquement : 1 2 3f g I ( 4;3 ) f h g h I ( 5;2 ) ; I ( 2; 1)

c) i) S 2;6 ii) S ; 2 5;

Ex 47

a) 1) 1f ( 0 ) 1;3 ; 1g ( 0 ) 8 f(0) = -3 ; g(0) = 4

2) f(25) 572

3) 1f ( 5 )

4) Axe de symétrie : x = 1 5) Sommet : S(1;-4 )

7) 1 2Intersections: I ( 2;5 ) I ( 3.5 ;2.25 )

8) S ; 2 3,5;

b) c = 1

Ex 48 *

a) f g : un seul point d'intersection 0 k= 5

b) f g : deux points d'intersections 0 k ]-5 ; [

c) f g : pas d'intersections 0 k ]- ;-5[

Ex 49 *

1 2k 24 4 0,89 et k 24 4 8,89

a) 1 2f g : un seul point d'intersection 0 k=k ou k=k

b) 2 1f g : deux points d'intersections 0 k ]- ;k [ ]k ; [

c) 2 1f g : pas d'intersections 0 k ]k ;k [

Ex 50

Pour maximiser l'aire du champ les dimensions doivent être de 43,25 m pour la longueur et de 43,25 m pour la largeur.

On constate que x = y = 43,25 m, donc le champ est de forme carrée.

L’aire maximale du champ que l’on peut obtenir est de 2maxA 1870,5625 m .


Ex 51

Pour maximiser l'aire des 6 enclos les dimensions doivent être de 48 m pour la longueur et de 36 m pour la largeur.

L’aire maximale des 6 enclos est de 2maxA 1728 m .

Ex 52

a) On doit relever les côtés de 3 cm pour avoir unecontenance(volume)maximum.

b) 3 3La contenance(volume) maximum est de18'000 cm 18 dm 18 litres.

Ex 53

a) x [0;4 ] .

b) Le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme pour tout x [0;4 ] .

c) 2A = f(x)= 2x -12x + 32 (fonction du 2ème degré) Sommet : S (3;14 )

d) L’aire de MNPQ est minimale si x = 3 m; et la valeur minimale de l’aire est A = 14 m2.

e) L’aire de MNPQ est maximale si x = 0 m (évident); et la valeur maximale de l’aire est A = 32 m2. Ex 54

Le revenu R en fonction de la variation du prix de l'abonnement de n francs :

2R = f(n) = 100n 5' 000n 500' 000 (fonction du 2ème degré)

a) Pour obtenir un revenu maximal, il faut augmenter le prix de l’abonnement de 25 Francs.

b) Le revenu maximum est de 562'500 Francs. Ex 55

21 9A f x x x 15

2 2 (fonction du 2ème degré)

a) Si 9

x 4,5 m2

et 9 11

y 10 5,5 m2 2

alors l’aire de la partie hachurée est maximale.

b) L’aire maximale de la partie hachurée vaut 220125,125 m

8 .

Ex 56

Le nombre P de pommes produit par hectare et par an est fonction du nombre x de nouveaux arbres par hectare et, la fonction est : 2P( x ) -6 x 312x 28' 800 (fonction du 2ème degré)

a) Pour obtenir la meilleur récolte il faut donc planter 48+26 = 74 arbres par hectare.

b) maxP = P(26) = 32'856 pommes par hectare et par an.

Ex 57 *

a) Théorème de Thalès : y 4 4

y xx 9 9 donc 24 4

A x 9 x x x 4x9 9

(fonction de degré 2)

b) x 0;9

c) A 0 A 9 0 donc x 0 ou x 9 .

d) 2minA A 0 A 9 0 cm

e) Parabole concave car 4

a 0 9

existence d'une valeur maximale pour f.

b

x 4.5 cm2a

2max

9A = A = 9 cm (deuxième coordonnée du sommet)

2

Ex 59 * maxPour x 0.75 on a d 7.5625


Correction Activité 01

Considérons la fonction 1

f ( x )x

, appelée fonction inverse.

1) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x proche de 0 ?

x 0,1 0,01 0,001 ... 0 ... 0,001 0,01 0,1

f(x) 10 100 1000 1000 100 10

Lorsque x se rapproche de 0 par la gauche , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de - . Lorsque x se rapproche de 0 par la droite , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de + .

Autrement dit : 1 1

Si x 0 alors et si x 0 alorsx x

.


2) L’image de 0 n’existe pas ; il n'y a pas d'ordonnée à l'origine. 1

f (0 )0

3) Le domaine de définition de la fonction inverse est *fD .

4) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x très grandes positivement ?

x 1 10 100 1000 ... +

f(x) 1 0,1 0,01 0,001 0

Lorsque x se rapproche de + , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de 0 . Comment se comporte la fonction f pour des valeurs x de très grandes négativement ?

x 1 10 100 1000 ...

f(x) 1 0,1 0,01 0,001 0

Lorsque x se rapproche de - , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de 0 .

Autrement dit : 1 1

Si x alors 0 et si x alors 0x x

.

La fonction inverse possède alors une asymptote horizontale en y = 0.

5) Comme l’équation 1f x 0 0

x n’a pas de solution, f n’a pas de zéros.

Correction Activité 02

Considérons la fonction définie par : 2x 1

g( x )x 1

.

1) Comment se comporte la fonction g pour des valeurs de x proche de 1 ?

x 0.9 0.99 0.999 ... 1 ... 1,001 1,01 1,1

g(x) 28 298 2998 3002 302 32

Lorsque x se rapproche de 1 par la gauche , g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de - .

Lorsque x se rapproche de 1 par la droite , g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de + .

Autrement dit : Si x 1 alors g x et si x 1 alors g x .



2) L’image de 1 n’existe pas car 3

g(1)0

3) Le domaine de définition gD \ 1 .

4) L’ordonnée à l’origine de g est : g(0 ) 1 .

5) Comment se comporte la fonction g pour des valeurs de x très grandes positivement ?

x 10 100 1000 ... +

g(x) 2,333 2,03 2,003 2

Lorsque x se rapproche de + , g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de 2.

Autrement dit : Si x alors g x 2

x 10 100 1000 ...

g(x) 1,727 1,970 1,997 2

Lorsque x se rapproche de - , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de 2.

Autrement dit : Si x alors g x 2

La fonction g possède alors une asymptote horizontale en y = 2.

6) 2x 1 1

g( x ) 0 2x 1 0 xx 1 2

Le zéro de g est : 1 1

g 02

Ex 60

Fonctions Asymptote verticale

Asymptote horizontale

Domaine de définition

Zéros Ordonnée à

l’origine

1f ( x )

2x 4

x 2 y = 0 \ 2 1

f 04

4x 15g( x )

x 4

x = 4 y = 4 \ 4

15

4 15

g 04

Graphique de 1

f ( x )2x 4

Graphique de 4x 15

g( x )x 4


Ex 61

Fonction Domaine de définition Zéros Ordonnée à l'origine

2

2x 2f ( x )

x 7

1

2

7

2

2x 4g( x )

x 5x 6

\ 3; 2 2

2

3

2

15xh( x )

x 9

\ 3;3 0 0

2

2

x x 4j( x )

x 9

2;0;2 0

2

2

x 9k( x )

x x 4

\ 2;0;2

2

3

x 2x 1l( x )

x 8

\ 2;2 1

1

8

Ex 63 *

a) Cte 1

P V cte P P CteV V

La pression est égale à une constante multipliée

par l’inverse du volume.

Le graphique sera donc une hyperbole.

b) et c) 2000 1

P V 2000 P P 2000V V

Ex 64

a) f( 2) 2 car si 2

0 0

2 y 2 y

ce qui n’est pas possible dans les réels.

f 0 0 0 f 4 4 2

b) Si x 0 alors 2

0 0

x y x y

impossible

c) Ordonnée à l’origine de f : f 0 0 0

Zéro de f : f 0 x 0 0x x donc 1f 0 0

d) fD = 0 ;

e) Le phénomène ne se produit pas car 3g( x ) x existe même si x 0 car 33 x y x y .

f) gD

Ex 65

a) f ( x ) x g ( x ) x

h( x ) x i ( x ) x

b)


f ( x ) x 0 0

g( x ) x 0 0

h( x ) x 0 0

i( x ) x 0 0


Ex 66

a) f (0 ) 3 f ( 4 ) 9 3

b) f3x 3 0 3x 3 x 1 D 1;

c) 1Zéro( s ) : f 0 1

Ordonnée à l' origine: f (0 ) 3

d) Graphique de f ( x ) 3x 3 Df 1;

Ex 67

a) f ( 4 ) 20 f ( 4 ) 20

b) 2fD = car x + 4 0 pour tout x .

c) Zéro(s) : 1f ( 0 )

Ordonnée à l’origine : f (0 ) 2

d) Graphique de 2f ( x ) x 4 Df =

Ex 68

a) f ( 4 ) 7 f ( 3 ) 0 f (0 ) 3

f ( 3 ) 0 f ( 4 ) 7

b) Tableaudes signes

29 x 0 3 x 3 x 0 3 x 3

fD 3;3

c) 1Zéro( s ) : f 0 3;3

2Ordonnée à l' origine : f (0 ) 9 0 9 3

d) Graphique de 2f ( x ) 9 x (demi-cercle de rayon r = 3 de centre (0;0))

Ex 69

a)

b) Compléter les phrases suivantes :

Si la fonction f est définie par l’expression algébrique f x g x avec g une fonction

alors 1) pour déterminer le domaine de définition de f il faut résoudre l’inéquation g x 0 .

2) pour calculer le(s) zéro(s) de f il faut résoudre l’équation : g x 0


f ( x ) x 3 3; 3

g( x ) x 7 7 ; -7 7

1h( x )

3x 1

1;

3

1

2

xj( x )

25 x

5;5 0 0

3

2

2x 1k( x )

49 x

7;7 3

1

2

1

7


Ex 70 * d) 2f ( x ) 25 x Df 5;5

2f ( x ) 25 x Df 5;5

Ex71 * d) 2 215 10,5 10,5

Amax f 10,5 56 ,242

Ex 72 a) 7 7 ; 7 7 ; 0 0 ; 17 29 12 12

b) a b avec a,b , représente géométriquement la distance entre les nombre a et b sur l'axe réel.

c) Graphique de la fonction f « valeur absolue » sur l'intervalle 5;5 :

Df

d) Vrai 2x x x

e) Soit la fonction h x x 3 .

i) x 3 si x 3 0 x 3 si x 3

h x x 3x 3 si x 3 0 x 3 si x 3

ii) hD ; h 0 3 3 ; 1h 0 3 car h 3 3 3 0 0

iii) Graphique de la fonction h sur l'intervalle 10;10 :

f) Soit la fonction k x x 4 .

i) x 4 si x 4 0 x 4 si x 4

k x x 4x 4 si x 4 0 x 4 si x 4

ii) kD ; k 0 4 4 ; 1k 0 4 car k 4 4 4 0 0

iii) Graphique de la fonction k sur l'intervalle 10;10 :

k

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Documents

FONCTIONS - sismondi.ch · Picchione Serge 2018-2019 FONCTIONS 1ère année 3.1 Généralités sur les fonctions 1 3.1.1 Ensembles numériques et intervalles 1 3.1.2 Définition d'une