FONCTIONS - sismondi.ch · Picchione Serge 2018-2019 2.7 Les fonctions trigonométriques 66 2.7.1 Les angles et leurs mesures 66 2.7.2 Définition de sin( ), cos( ) et tan( ) 71

Picchione Serge 2018-2019

FONCTIONS 2ème année

2.1 Rappels sur les fonctions 1 2.2 Fonctions polynomiales 6 2.3 Fonctions homographiques 15 2.4 Opérations sur les fonctions 25 2.5 Fonctions bijectives et fonctions réciproques 30 2.6 Fonctions exponentielles et logarithmes 40

2.6.1 Rappels sur les puissances et racines à exposants dans * 40

2.6.2 Extension de la notion de puissance 41

2.6.3 Fonctions exponentielles 44

2.6.4 Fonctions logarithmes 47

2.6.5 Formule de changement de base 55

2.6.6 Équations exponentielles et logarithmiques 56

2.6.7 Applications / Modélisation 59


2.7 Les fonctions trigonométriques 66

2.7.1 Les angles et leurs mesures 66

2.7.2 Définition de sin(), cos() et tan() 71

2.7.3 Relations trigonométriques 73

2.7.4 Définition des fonctions trigonométriques 79

2.7.5 Fonctions sinusoïdales 81

2.7.6 Fonctions trigonométriques réciproques 88

2.7.7 Équations trigonométriques 91

2.7.8 Exercices supplémentaires * 94 2.8 Ce qu’il faut absolument savoir 101 2.9 Solutions des exercices 102


AVANT-PROPOS Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en deuxième année ; le sujet central est le concept de fonction. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !


________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 1 Fonctions / Rappels / 2 N-A

2.1 Rappels sur les fonctions Définition

Une fonction f est définie par :

1) Un ensemble A appelé ensemble de départ.

2) Un ensemble B appelé ensemble d'arrivée.

3) Une règle de correspondance, qui à chaque élément de l'ensemble de départ x A fait correspondre zéro (aucun) ou un élément de l'ensemble d'arrivée y B.

Remarques

a) On désigne souvent une fonction par les lettres f, g ou h.

b) Nous étudierons surtout les fonctions réelles, c'est-à-dire les fonctions dont l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée sont des sous-ensembles des nombres réels .

Exemple

2

f :

x x 5x 6= f (x)

f est une fonction de dans . C'est une fonction réelle.

L'image de -4 est 2f 4 4 5 4 6 2

L'ensemble des préimages de 2 est 1f 2 = 4; 1 , car f 4 2 et f 1 2

Ce sont les solutions de l'équation : 2f(x)= x 5x 6 2

Le domaine de définition de f est fD

L'ordonnée à l'origine de f est f 0 6

Les zéros de f est l'ensemble 1f 0 3; 2 car f 2 0 et f 3 0

Ce sont les solutions de l'équation : 2f(x)= x 5x 6 0

Le graphique de f sur l'intervalle [7;5] est :

x f(x)

-5 6

-4 2

-3 0

-2 0

-1 2

0 6

1 12

f A B

x2

x1

x3

x4

y1

y2

y3

y4

Tableau des valeurs :


Définitions

Si un nombre x A est en correspondance avec un nombre y B, alors :

- y est appelé image de x par f et on note y = f(x) (x possède au plus une image)

- x est appelé préimage de y par f et on note f -1(y)={x,…} (y peut posséder zéro, une ou plusieurs préimages)

préimage image

f : A B

x f x =y

On parle d'une fonction f de A dans B.

Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction f est l'ensemble

des nombres appartenant à qui ont une image par f. Cet ensemble est noté Df .

L'ordonnée à l'origine d'une fonction réelle f est l'image de 0. Elle se note : f (0)

Les zéros d'une fonction réelle f est l'ensemble des préimages de 0. Elle se note : f -1(0)

Autrement dit, c'est l'ensemble des nombres x ayant 0 (= y) comme image.

Le graphique de f est la représentation géométrique des couples de coordonnées x; f x

où fx D .

Remarque

La notion de fonction est fondamentale en mathématiques. La compréhension de cette notion et des concepts qui s’y rattachent permet de décrire les relations entre grandeurs et prend de ce fait une place centrale lors de l’étude de la physique, de l’économie, de la médecine, etc.

Un peu d’histoire

La notion de fonction est très récente dans l’histoire des mathématiques. Le Discours de la méthode de Descartes (1596-1650), paru en 1637, est l’un des premiers ouvrages à développer l’idée des coordonnées d’un point du plan, et établit ainsi pour la première fois le lien entre géométrie et algèbre. La notion d’équation de courbe apparaît plus ou moins au même moment : Fermat (1601-1665) interprète une équation à deux inconnues x et y comme l’expression algébrique d’une courbe du plan. Il exprime ainsi l’idée novatrice qu’une courbe est le « résultat » d’une équation. La notation f n’apparaît qu’au 18ème siècle, introduite par Lagrange (1736-1813).

René Descartes

(1596-1650) Pierre de Fermat

(1601-1665) Joseph-Louis Lagrange

(1736-1813)


Exercice 1

D'après la représentation graphique de f, déterminez

a) l’image de : 7 ; 4 ; 2 ; 0 ; 2 ; 4 et 5,5 par la fonction f.

b) les préimages de : 2 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 et 4,5 par la fonction f .

c) Le(s) zéro(s) de f et son ordonnée à l'origine. Exercice 2

Calculez l'image de 2, 0 et 8 pour les fonctions suivantes.

a) f x 3x 24 b) 2f x x 4 c) f x x 3 d) 23x

f xx 1

Exercice 3

Calculez la ou les préimage(s) éventuelle(s) de 1, 0 et 2 pour les fonctions suivantes.

a) f x 8x 7 b) 2f x 2x c) 3f x x d) f x 2

Exercice 4

Voici quatre fonctions

2 12 xf x x 5 g x x 1 h x 2,5x j x

2

et quatre tableaux de valeurs, chacun associé à l'une d'entre elles :

x x x x 3 7,5 3 3 3 2 2 3 2 2 1 1 1 2,5 1 0 0 5 0 0 1 1 1 1 0 2 5 2 2 2 3 3 3 3

Recopier puis compléter les tableaux de valeurs (trouver les images !).


Exercice 5

Déterminer le domaine de définition, les zéros et l'ordonnée à l'origine des fonctions suivantes. a) f x 3x 2 b) 2f x x 9 c) 3 2f x x 2x x d) f x x

e) f x x 5 f) 5f x

x 3

g) 2

xf x

1x

h) 2

x 2f x

4x

i) 2f x x j) 2f x x k) 2

x 4f x

25x

l) x 2f x

2 x

Exercice 6

On définit la fonction suivante : 2g x x 3x 4

a) Quel est le domaine de définition de la fonction g ?

b) Quelle est l'ordonnée à l'origine de la fonction g ?

c) Quelle est l'image de 2 par g ?

d) Calculer g 5 .

e) Calculer le(s) zéro(s) de la fonction g.

f) Déterminer les préimages de 4 par g.

g) Tracer le graphique de g sur l'intervalle 6;6

(1 demi page A4 quadrillée et un tableau des valeurs). Exercice 7

Justifier vos réponses !

1) Les "écritures" suivantes : f x 2x 1 et f u 2u 1 désignent-elles les mêmes fonctions ?

2) Soit g x x . g est-elle une fonction ?

3) Soit 1 si x 0

h x1 si x 0

. h est-elle une fonction ?

4) Une ellipse est-elle le graphique d’une fonction ?

5) Les écritures suivantes désignent-elles des fonctions ? x 1 ; x 1 0 ; j x x 1

6) Soit 1k x

x . k est-elle une fonction ?

7) m est-elle une fonction ?

y

x

m A B

x2

x1

x3

x4

y1

y2

y3

y4


Exercice 8

Considérons la fonction « valeur absolue » définie par : x si x 0

f x xx si x 0

a) Que valent 7 ; 7 ; 0 ; 17 29 ?

b) Que représente géométriquement le calcul a b avec a,b ?

c) Tracer le graphique de la fonction « valeur absolue » sur l'intervalle 5;5 et dans un repère

orthonormé. (1 page A4 quadrillée et tableau des valeurs).

d) Soit f x x et 2g x x deux fonctions. Est-ce que f x g x x ?

e) Soit la fonction h x x 3 .

i) Compléter l'écriture suivante : ......... si ..........

h x x 3......... si ..........

ii) Déterminer le domaine de définition, le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de h .

iii) Tracer le graphique de la fonction h sur l'intervalle 10;10 et dans un repère

orthonormé. (1 demi page A4 quadrillée et tableau des valeurs). f) Même question qu'au point e) mais pour la fonction k x x 4 .

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 6 Fonctions polynomiales / 2 N-A

2.2 Fonctions polynomiales Définition

On appelle fonction polynomiale une fonction de la forme :

n n-1 2n n 1 2 1 0

f :

x f x a x a x ...... a x a x a

n n-1 2n n 1 2 1 0a x a x ...... a x a x a est un polynôme en x.

n n 1 n 2 1 0a ,a , a ,......,a ,a sont des nombres réels appelés les coefficients du polynôme.

n est le degré du polynôme et on note deg f n .

Exemple

3 2f x x 6 x 11x 6

Les coefficients du polynôme sont : 3 2 1 0a 1 ; a 6 ; a 11 ; a 6

Le degré du polynôme est : deg f 3

Cas particuliers

Nom Expression algébrique Représentation graphique de f

Fonction polynomiale de degré 0

0f x a Droite horizontale passant par 0a .


1 0f x a x a Droite oblique (non verticale). de 1pente a


22 1 0f x a x a x a

Parabole avec un axe de symétrie. en 1 2x a / 2a

Etc. Représentation graphique

Toutes les fonctions polynomiales sont des fonctions continues sur leur domaine de définition c'est-à-dire que leur graphique peut être tracé sans lever le crayon. (définition intuitive de la continuité)

Exemple

Graphique d’une fonction polynomiale de degré 3 (cubique) : 3 2f x x 6 x 11x 6

Remarque

Le domaine de définition d'une fonction polynomiale est toujours .


Activité

Soit 3 2f x x 9x 15x 25 une fonction polynomiale de degré 3 définie sur .

a) Factoriser le polynôme f x et calculer le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de f x .

b) Faire un tableau de signes de la fonction f : Remarques :

i) Si la fonction est positive sur un intervalle I c'est à dire f x 0 x I , on note +.

ii) Si la fonction est négative sur un intervalle I c'est à dire f x 0 x I , on note .

iii) Si la fonction est nulle pour certaines valeurs de x c'est à dire f x 0 , on note 0.

c) Évaluer la fonction f pour quelques valeurs significatives (tableau des valeurs). d) Tracer le graphique de la fonction f.

x

f x

x f x


Recherche de l’expression algébrique d’une fonction polynomiale à partir de son graphique Donnée : deg g 3 .

Graphiquement on constate que g admet trois zéros : 5, 3 et 1 .

En utilisant le critère de divisibilité, g x admet x 5, x 3 et x 1 comme facteurs :

g x a x 1 x 3 x 5

Il n’existe pas d’autres facteurs de degré 1 ou 2, sinon le polynôme serait de degré 4 ou plus.

Graphiquement on observe que g 0 5 (ordonnée à l’origine).

Donc 1g 0 a 0 1 0 3 0 5 5 a 15 5 a

3

Conclusion : 1g x x 1 x 3 x 5

3

Remarques

a) « Une fonction polynomiale de degré n > 0 a au plus n zéros réels différents. »

Ce résultat est la conséquence du théorème fondamental de l’algèbre (voir ch. algèbre).

b)

Facteur de f(x) Forme générale du graphique de f au voisinage de c

1x c

m

x c , avec

m impair et m 1

m

x c , avec

m pair et m 0

c c

c

c

c

c


Exercice 9

Pour chacune des fonctions polynomiales ci-dessous :

3f x x 3x 2 3 2g x x 6 x 11x 6

1h x x 3 x 1 x 2

2 4 2j x x 10x 9

1) Calculer les intersections avec les axes (zéros et ordonnée à l'origine).

2) Faire un tableau de signes.

3) Évaluer la fonction pour quelques valeurs significatives (tableau des valeurs).

4) Tracer le graphique de la fonction dans un repère différent. Exercice 10

Déterminer l'expression algébrique des fonctions polynomiales représentées ci-dessous en vous aidant des zéros, de l'ordonnée à l'origine et éventuellement d’autres points appartenant au graphique de la fonction. Il n’est pas nécessaire de développer l’expression.

f1 1deg f 3

f2 2deg f 3

f3 3deg f 3

f4 4deg f 3


f5 5deg f 3

f6 6deg f 3

f7 7deg f 3

f8 8deg f 4

f9 9deg f 4

f10 10deg f 4

f11 11deg f 4

f12 12deg f 4


f13 13deg f 4

f14 14deg f 5

f15 15deg f 5

f16 16deg f 5

Exercice 11

Soit les fonctions suivantes : 2 2x x 9 x 4f x

9

2 2x 9 x 4

g x9

4 3 2x x 15x 9x 54

h x9

2 2x x 6 x x 1

j x9

Pour chacune d’entre elles, dire à quelle représentation graphique elle correspond en justifiant la réponse avec au moins deux arguments.

a) b)

c) d)


Exercice 12

a) Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphique ? Justifier avec 3 arguments.

221f x x x 1 x 2 2f x 3x x 1 x 2

33f x x x 1 x 2 4f x x x 1 x 2

b) Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphique ? Justifier avec 3 arguments.

231g x 2x x 1 x 2 2

2g x x x 1 x 2

2

3g x 5x x 1 x 2 2

4g x 2x x 1 2 x

Exercice 13

a) Donner, si possible, un exemple de fonction polynomiale f de degré 3 qui possède :

1) aucun zéros. 2) 1 zéro de multiplicité 1.

3) 1 zéro de multiplicité 2. 4) 1 zéro de multiplicité 3.

5) 2 zéros, le premier de multiplicité 1 et le second de multiplicité 2.

6) 3 zéros, chacun de multiplicité 1. b) Donner, si possible, un exemple de fonction polynomiale g de degré 4 qui possède :



5) 2 zéros, le premier de multiplicité 1 et le second de multiplicité 3.

6) 2 zéros, chacun de multiplicité 2. 7) 2 zéros, chacun de multiplicité 1.

8) 3 zéros de multiplicité 1. 9) 4 zéros, chacun de multiplicité 1. c) Donner, si possible, un exemple de fonction polynomiale h de degré 5 qui possède :




Indication : Utiliser si nécessaire, le théorème fondamental de l'algèbre.


Exercice 14

La courbe ci-dessous représente le graphique d’une des fonctions suivantes :

21

1f x x 3 x 2 x x 1

10

22

1f x x 3 x 2 x 2x 1

10

23

1f x x 3 x 2 2x 2x 1

10

4 34

1f x x 3 x 2x 1

10

4 35

1f x x 3 x 2x

10

Indiquer quelle est la fonction représentée par la courbe en donnant pour la fonction retenue au moins trois raisons qui justifient votre choix. Pour chacune des autres fonctions, donner au moins une raison pour laquelle elle ne peut pas être représentée ici. Exercice 15

Dans un morceau de carton carré de 12 cm de côté, on découpe dans chaque coin des carrés de x cm de côté. En relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle avec la feuille ainsi découpée. (voir figure).

1) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ?

2) Exprimer le volume V de la boîte en fonction de x.

3) Déterminer les zéros de V(x), calculer quelques images puis tracer le graphique de V(x).

4) Montrer de manière algébrique et géométrique, qu'il y a deux façons de construire une telle

boîte d'un volume de 100 cm3.

5) Pour quelle(s) valeur(s) de x le volume V est-il maximal ? Justifier.

6) Quel est ce volume maximal et quelles sont alors les dimensions de la boîte ? Justifier.


Exercice 16

On veut construire un hangar cubique surmonté d’un toit en forme de prisme triangulaire (cf. figure ci-dessous). Il faut encore déterminer la longueur x du côté du cube.

1) Si la hauteur totale de la construction est de 6 m, montrer que le volume 3 21V x x 6 x

2 .

2) Quelles sont les valeurs de x donnant un sens au problème ?

3) Déterminer le volume si l’on veut une aire de base de 12,96 m2.

4) Déterminer x pour que le volume soit de 80 m3.

Exercice 17

La fonction esquissée ci-dessous est 2f x 4 – x et on considère le triangle hachuré.

Remarque : P est un point du graphique de f.

1) Calculer l'aire A du triangle pour x 1, x 1 et x 2 . 2) Exprimer l’aire A du triangle en fonction de x. 3) Quelle valeur faut-il donner à x pour que l'aire du triangle soit maximale ? 4) Quelle est cette aire maximale et quelles sont alors les dimensions du triangle ? Exercice 18

Un météorologue a déterminé que la température T (en °C) pour une certaine période de 24 heures

en hiver est donnée par la formule 1T t t t 12 t 24

64 pour 0 t 24 , où t est le temps

en heures et t = 0 correspond à minuit. 1) A quelle(s) heure(s) a-t-on T 0, T 0 et T 0 ?

2) Calculer quelques images puis esquisser le graphe de T f t en vous aidant aussi de 1).

3) Dans quel intervalle de temps est-on certain que la température soit supérieure à 5° ?

X

y

x

f

0

P

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 15 Fonctions homographiques / 2 N-A

2.3 Fonctions homographiques

Définition

Une fonction f est une fonction rationnelle si A( x )f x

B( x ) où A(x) et B(x) sont des polynômes.

Exemples

a) 2

x 1f x

x 2

Df = b)

2x 5x 6g x

x 3

Dg = \ 3

Nous allons étudier un cas particulier des fonctions rationnelles : les fonctions homographiques.

Remarque Une fonction polynomiale est une fonction rationnelle car A( x ) A( x )f x A( x )

1 B( x ) .

Définition

Une fonction f est une fonction homographique si ax bf x

cx d

avec c 0 et ad bc 0

Exemples a) 2x 3f x

4x 2

avec a 2 ;b 3 ; c 4 ; d 2 1

Df = \2

b) 0x 1 1g x

1x 0 x

avec a 0 ;b 1 ; c 1 ; d 0 Dg = \ 0

f et g vérifient c 0 et ad bc 0 Remarques

a) Une fonction homographique est une fonction rationnelle. Si une fonction est homographique alors deg(A) ≤ 1 et deg(B) = 1

b) Si c 0 alors ax b a bf x x

d d d

qui est une fonction affine.

c) Si ad bc 0 alors f x cte pour x d / c (fonction constante)

Explication : Si ad bc 0 , alors b d

a c et

a x b / aax b a

f xcx d c x d / c c

Pourquoi étudier les fonctions homographiques ?

Les fonctions homographiques ont quelques propriétés intéressantes et permettent d'introduire la notion d'asymptote. De plus, certaines relations entre grandeurs physiques sont décrites par une fonction homographique.

Règle de Young : Si a est la dose pour un adulte (en milligrammes) et si t est l’âge de l’enfant

(en années), alors la dose y pour l’enfant est donnée par : a t

yt 12

Grossissement linéaire : Le grossissement linéaire M est le rapport entre la taille de l’image

virtuelle et la taille de l’objet. En physique, on montre que fM p

f p

.

(f est la distance focale)

fct. rationnelles

fct. homographiques


Activité Étude d'une fonction homographique : 2x 2f x

x 1

a.1) Domaine de définition fD …………. car ……………………………………

a.2) Zéro de f : f x 0 …………………………………………..……. 1f 0 ...........

a.3) Ordonnée à l’origine de f : f 0 ……………………………

a.4) Tableau des signes de f :

b.1) Effectuons la division euclidienne entre A x 2x 2 et B x x 1 :

2x 2 x 1

........ ...........

..........

donc Q( x ) R( x )A( x )

B( x )

2x 2 x 1 ......... ......... avec deg R deg B

et

A x B x Q x R x R x ..............

f x Q x ............B x B x B x ..............

b.2) Étudions les asymptotes de la fonction f en utilisant l’écriture

R xf x Q x

B x :

Asymptote verticale (A.V.) :

Si x 1 alors f ( x ) ................................... ....................... Si x 1 alors f ( x ) ................................... ....................... f possède une A.V. d’équation x = .......... ( nombre exclu du domaine de définition )

Asymptote horizontale (A.H.) :

Si x alors f ( x ) ................................... .......................

Si x alors f ( x ) ................................... .......................

f possède une A.H. d’équation y = ........... ( quotient de la division euclidienne )

x

f(x)


c) Représentation graphique de f avec ses asymptotes :

Le graphique de la fonction f "s'approche" de la droite verticale définie par x = …........

Le graphique de la fonction f "s'approche" de la droite horizontale définie par y = ............ Le centre de symétrie de f (symétrie centrale) est le point I ........;.........

Remarque : Le graphique de la fonction inverse porte le nom d’hyperbole.

x f(x)


Définition

On dit qu'une droite verticale d'équation x = a est une asymptote verticale (A.V.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

Si x a alors f x Si x a alors f x

Si x a alors f x Si x a alors f x

Illustration

Exemple 1f x

x possède une asymptote verticale (A.V.) d’équation x 0 car :

1si x 0 alors f x

x et 1

si x 0 alors f x x

Remarque Le graphique d'une fonction homographique ne coupe jamais l'asymptote verticale. Définition

On dit qu'une droite horizontale d'équation y = b est une asymptote horizontale (A.H.) de la fonction f si l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

Si x alors f x b Si x alors f x b

Illustration

Exemple 1f x

x possède une asymptote horizontale (A.H.) d’équation y 0 car :

1si x alors f x 0

x et 1

si x alors f x 0 x

Remarque Le graphique d'une fonction homographique ne coupe jamais l'asymptote horizontale.

x=a

f

x=a

f

x=a

f

x=a

f

y=b

f

y=b

f


Proposition

Soit ax bf x

cx d

avec c 0 et ad bc 0 une fonction homographique.

1) f possède une asymptote verticale en d

xc

( nombre exclu du domaine de définition )

2) f possède une une asymptote horizontale en a

yc

( quotient de la division euclidienne )

Exemple

2x 2 4f x 2

x 1 x 1

A.V. d’équation x = 1 A.H. d’équation y = 2

Démonstration

Soit ax bf x

cx d

avec c 0 et ad bc 0 .

Le domaine de définition est : d

\c

Effectuons la divison euclidienne de A x ax b par B x cx d :

ax b cx d

ad aax

c c

adb

c

donc A( x )

B( x ) Q( x ) R( x )

a ad ax b cx d b

c c

avec deg R deg B

et

A x B x Q x R x R x

f x Q xB x B x B x

2 2

*

ad bcad b adba a a a kc c c c k

d d dc cx d c c cx x xc c c

A voir que f possède une asymptote verticale en d

xc

:

d a k a k a

Si x alors f ( x )dc c c 0 cxc

A voir que f possède une asymptote horizontale en a

yc

:

a k a k a a

Si x alors f ( x ) 0d dc c c cxc c


Définition

Une symétrie centrale de centre O est une transformation du plan qui fait correspondre à tout point A un point B tel que le milieu du segment [AB] est O.

Illustrations Proposition

Soit ax bf x

cx d

avec c 0 et ad bc 0 une fonction homographique.

Le point d’intersection I des deux asymptotes (verticale et horizontale) est le centre de symétrie du graphique de f.

Exemple 2x 2 4f x 2

x 1 x 1

A.V. d’équation x = 1 A.H. d’équation y = 2

Le point I(1;2) est le centre de symétrie du graphique de f.

O

A

B

A

B

x O x

y

y


Démonstration *

ax bf x

cx d

A.V. d’équation d

xc

A.H. d’équation a

yc

Pour que I I

d aI x ; y I ;

c c

soit le centre de symétrie il faut

établir que : B I A Iy y y y x 0

Exprimons les coordonnées

de A en fonction de x et des

coordonnées de I :

d d

A x ; f xc c

Et donc A I

d ay y = f x

c c

Exprimons les coordonnées de B en fonction de x et des coordonnées de I :

d d

B x ; f xc c

Et donc B I

d a y y f x

c c

Utilisons la définition de f pour exprimer B I A Iy y et y y en fonction de x puis comparons

les 2 valeurs :

A I 2

da x b

d a a bc adcy y f xdc c c c xc x dc

B I 2

da x b

d a a bc adcy y f xdc c c c xc x dc

Conclusion : B I A Iy y y y x 0


Étude d’une fonction rationnelle Rappel

Une fonction f est une fonction rationnelle si A( x )f x

B( x ) où A(x) et B(x) sont des polynômes.

Les fonctions rationnelles peuvent avoir plusieurs asymptotes verticales (A.V.) , horizontales (A.H.) ou obliques (A.O.). Pour une étude plus détaillée de ces fonctions, nous utiliserons la notion de dérivée en 3ème année du Collège. Exemple de 2 fonctions rationnelles

2

2

2x 9f x

x 9

3

2

xg x

x 1

f possède deux asymptotes verticales (A.V.) et une asymptote horizontale (A.H.)

g possède une asymptote verticale (A.V.) et une asymptote oblique. (A.O.)

Exercice 19

Soient les fonctions :

3x 4 1 2x 1 3x 6 8x 6f x g x h x j x k x

x 2 3 x x x 2 2

a) f, g, h, j et k sont-elles des fonctions homographiques ? Justifier votre réponse.

b) Pour chaque fonction homographique, déterminer :

1) le domaine de définition. 5) l’écriture

R xf x Q x

B x (division euclidienne)

2) le zéro. 6) l'asymptote verticale et horizontale

3) l'ordonnée à l'origine. (avec les détails de calculs)

4) le tableau des signes. 7) le centre de symétrie.

8) le graphique de la fonction avec ses asymptotes verticale et horizontale. (1 demi page A4 quadrillée et repère orthonormé)


Exercice 20 a) Déterminer l'expression algébrique de la fonction homographique f dont le graphique est représenté ci-contre : b) Déterminer l'expression algébrique de la fonction homographique g dont le graphique est représenté ci-contre : c) Déterminer l'expression algébrique d'une fonction homographique h dont le graphique passe par le point P 1;3 , admet une asymptote horizontale d’équation y 2 et une asymptote

verticale d’équation x 3 . d) Déterminer une fonction homographique j dont le graphique coupe l’axe des x en x 3 , l’axe des y en y 6 et admet la droite y 2 comme asymptote horizontale. e) Déterminer une fonction homographique k dont le graphique ne coupe pas l’axe des x, pas l’axe des y et dont le graphique passe par le point P 2;2 .


Image virtuelle

Exercice 21 * Dosage d’un médicament

La règle de Young est une formule qui est utilisée pour modifier le dosage d’un médicament pour adultes en un dosage pour enfants. Si a est la dose pour un adulte (en milligrammes) et si t est l’âge de l’enfant (en années), alors la

dose y pour enfants est donnée par : a ty t

t 12

a) Quel sera le dosage d'un médicament à administrer à un enfant de 8 ans si la dose prévue pour un adulte est de 100 mg ? et pour 200 mg ?

b) Quel sera le dosage d'un médicament à administrer à un enfant de 6 ans et à enfant de 12 ans si la dose prévue pour un adulte est de 100 mg ?

c) Si a est fixé, y(t) est-t-elle une fonction homographique ? Justifier.

d) Représenter graphiquement y(t) pour t [ 0;15 ] et a = 100 mg et a = 200 mg dans le même repère.

e) Si t alors a ty t ...........

t 12

?

Exercice 22 * Grossissement linéaire.

La figure montre une simple loupe constituée d’une lentille mince convexe. L’objet qu’on veut voir doit être placé à une distance p de la lentille plus petite que la distance focale f. Dans ce cas, le grossissement linéaire M est le rapport entre la taille de l’image virtuelle

et la taille de l’objet. En physique, on montre que fM p

f p

.

Rappel :

La distance focale f est une valeur constante et sa valeur est liée à la géométrie de la lentille. a) Si f = 6 cm, à quelle distance de la lentille l’objet doit-il être placé pour que son image soit trois fois plus grande ?

b) M p est-elle une fonction homographique ? Justifier.

c) Tracer le graphique de M p pour p 0;6 f 6

d) Si p 0 alors fM p ..................

f p

? ( avec 0 < p < f ).

e) Si p f alors fM p ..................

f p

? ( avec 0 < p < f ).

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 25 Fonctions / Opérations / 2 N-A

2.4 Opérations sur les fonctions Introduction

Considérons l'ensemble des nombres entiers ......; 2 ; 1;0 ;1;2;3;.......

On sait depuis des centaines d'années additionner, multiplier, soustraire et diviser

des nombres entiers. Ce sont les 4 opérations élémentaires sur les entiers.

Exemple 42 3 5 ; 6 2 4 ; 2 4 8 ; 2

2

Motivation

Peut-on étendre la notion d'opération sur les fonctions ?

Autrement dit peut-on additionner, multiplier, soustraire ou diviser des fonctions ?

Et bien oui, il est possible de définir la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions comme ci-dessous : Définitions Soient f et g deux fonctions.

Somme de deux fonctions : f g x f x g x

On additionne l'image de x par f avec l'image de x par g.

Différence de deux fonctions : f g x f x g x

On soustrait l'image de x par g avec l'image de x par f.

Produit de deux fonctions : f g x f x g x

On multiplie l'image de x par f avec l'image de x par g.

Quotient de deux fonctions :

f xfx

g g x

On divise l'image de x par f avec l'image de x par g.

Exemples Soient 3f x x et g x x deux fonctions.

On a les nouvelles fonctions suivantes :

3f g x f x g x x x 3f g x f x g x x x

3f g x f x g x x x

3f xf xx

g g x x

Notations 2 f x f f x f x f x 2 f x f x f x

22f x f f x f x f x f x f x f x

Remarque

La somme, la différence, le produit et le quotient de deux fonctions ainsi définies donne de "nouvelles" fonctions.


Composition de fonctions Exemple

Considérons deux fonctions réelles f et g, définies par 2f x x et g x x 2 .

Construisons la fonction composée de f et de g (prises dans cet ordre).

Explication

Un nombre quelconque x est envoyé par f sur le nombre 2f x x , puis le nombre y (c.-à-d. 2x ) est envoyé par g

sur le nombre g y y 2 (c.-à-d. 2x 2 ) .

Finalement, le nombre x est envoyé sur 2x 2 .

On peut définir alors une nouvelle fonction qui est construite à l'aide des fonctions f et g prise dans cet ordre. On note : 2 2g f x g f x g x x 2 (composition de f et g)

Si g agit avant f, on a le schéma ci-contre : Et la fonction construite est :

2f g x f g x f x 2 x 2

(composition de g et f) Remarque Attention, en général f g g f Autre exemple

Soient les fonctions f x 4x 3 et g x x

g f x g f x g 4x 3 4x 3 f g x f g x f x 4 x 3

Définition Soient f et g deux fonctions.

La composition de deux fonctions est définie par : g f x g f x .

On calcule l'image de x par f, c’est-à-dire f x , ensuite on calcule l'image de f x par g,

c’est-à-dire g f x .

Remarques

a) « g f » se lit « g rond f » et définit une nouvelle fonction « construite » à partir de f et de g.

b) L'ordre dans lequel les fonctions sont considérées est très important. Par convention nous parlerons pour g f de la composition de f et de g , dans cet ordre pour dire que f est la première fonction agissant et que g est la seconde.

x2

f

x

g

x+2

g

x

f

4x+3

f

x

g

g

x

f


Exercice 23

Considérons les deux fonctions f et g définies par f x 2x 1 et 2g x x 1 .

Calculer et simplifier :

f g 2 f g 1 f / g 0

f g 2 g f 2 f g 2

f g x f g x f g x

f / g x f g x g f x

Exercice 24

Considérons les trois fonctions définies par f x 2x 3 , 2g x x et 1h x

x .

a) Déterminer les fonctions suivantes ainsi que leur domaine de définition :

f g x g f x f h x

h f x f f x g g x

h h x h g h x h f h x

b) Calculer les images :

f g 3 g f 3 f h 3

h f 3 f f 3 g g 3

c) Comparer f g et g f . Que constate-t-on ? Exercice 25

Considérons les six fonctions : 0f x x 1f x 1 x 2

1f x

x

3

1f x

1 x

4

x 1f x

x

5

xf x

x 1

1) Compléter le tableau suivant en composant les fonctions entre-elles .

2) Que constate-t-on ?

f0 f1 f2 f3 f4 f5

f0 f2

f1

f2 f1

f3 f3

f4 f5

f5


Exercice 26 *

a) Considérons la fonction g définie par 1g x 1

x .


2g g x g x 8g x

3g g g x g x 10g x

4g g g g x g x 13g x

5g x 54g x

b) Considérons la fonction m définie par 3m x x .


2m m x m x 8m x

3m m m x m x 10m x

4m m m m x m x 13m x

5m x 54m x

Exercice 27 (décomposition de fonction) On appelle fonction élémentaire une fonction ne faisant intervenir qu’une seule « opération ».

Exemples * * n *

1 2 3f x x a a f x b x b f x x n

x *4 5 6

1f x x f x f x c c

x

sont élémentaires.

A l'aide des fonctions élémentaires vues précédemment et de la composition de fonctions, on peut construire beaucoup d'autres fonctions réelles.

Par exemple, la fonction g définie par 6

1g x

x 5

peut être vue comme la composition

des fonctions définies par : 1f x x 5 , 63f x x et 5

1f x

x .

En effet, on a: 6

5 3 1 5 3 1 5 3 5 6

1f f f x f f f x f f x 5 f x 5 g x

x 5

Illustration :

3 516f ff

6

1x x 5 x 5

x 5

On peut donc imaginer que, grâce à la composition de fonctions, la plupart des fonctions réelles puissent se construire à l’aide d’un petit nombre de fonctions élémentaires.

g


Enoncé

a) Décomposer les 8 fonctions g en choisissant au préalable 4 fonctions élémentaires de type f :

1g x 2x 1 22g x 2x 3 2

1g x

x 1

2

4g x 2x 1

5

2g x

x

6 2

1g x

2x 1

4

7g x 2x 2 28g x 2x 4x 2

b) Décomposer les 8 fonctions h en choisissant au préalable 5 fonctions élémentaires de type f :

5

1h x x 1 2 5

1h x

x 1

5

3h x x 1 5

4h x x 1

5

1h x

3x

5

6

1h x

3x 3

7

1h x

x 25

8h x 3x 3

c) Décomposer les 8 fonctions k en choisissant au préalable 5 fonctions élémentaires de type f :

4 x1k x 3 x

2k x 4 3 x 13k x 3 4 x

1k x

3 1

4 x 15k x 3 2 x

6k x 3 2x7k x 3 2x 2 x 1

8k x 3

Exercice 28

Décomposer les fonctions suivantes en fonctions élémentaires que vous aurez préalablement définies :

1) f x 3x 2 2) 2f x x 2 3) 2f x x 4x 4 4) 1f x

x 2

5) 2f x x 2x 3 6) 1f x 1

x 7) x 3

f xx 5

8) 3x 4

f xx 3

9) 2x 1f x

x

10) 1 1

f xx 1 2

11) 2f x x 4x 12) x 1

f xx 1

13) 2f x x 6 x 11 14) 2f x 2x 12x 22 15) 2f x 2x 16 x 33

Indications : a) Utiliser si nécessaire, la complétion du carré pour les fonctions du 2e degré.

Exemple : 22 2f x x 2x 5 x 2x 1 6 x 1 6

b) Utiliser si nécessaire, la division euclidienne pour les fonctions homographiques..

Exemple : 4x 1 5 1f x 2 2 5

2x 2 2x 2 2x 2

Exercice 29

Soient 3 fonctions f ,g et h définies par f x 2x 3 , 1g x

x 3

et 2

h x x 1 .

Exprimer les fonctions suivantes comme composition des fonctions f ,g ou h.

1) 1k x

2x 2) 2l x 4x 8x 4 3) 2

1m x

x 2x 2

4) n x 4x 9 5) 4 3 2o x x 4x 4x

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2.5 Fonctions bijectives et fonctions réciproques Définition

Considérons une fonction f : A B qui satisfait à la condition suivante :

pour tout x A il existe exactement un y B tel que y f x .

Cette fonction f : A B est une fonction bijective (ou bijection) si et seulement si

pour tout y B il existe exactement un x A tel que y f x .

Exemples

a) Soit f x 2x 3 une fonction avec fD .

Graphiquement, on constate que chaque élément y B possède exactement une préimage x A par f. Finalement : f est bijective de A vers B . b) Soit 2f x x une fonction avec fD .

Graphiquement, on constate que chaque élément y B ne possède pas exactement une préimage x A par f.

i) On peut trouver un élément 3y B n'ayant

aucune préimage x A par f .

ii) On peut trouver un élément 1,2 y B ayant

deux préimages 1 2 x , x A par f .

Finalement : f n’est pas bijective de A vers B . Remarque

On peut rendre bijective une fonction f non bijective en restreignant l’ensemble de départ A et/ou d’arrivée B. Par exemple, 2f x x , est une bijection de A vers B , de A= vers B=

ou encore de A 0;2 vers B 0;4 .

bijections

fonctions


Définition Soit f : A B une fonction bijective.

1f : B A est telle que 1f y x f x y x A et y B 1f est appelée la fonction réciproque de la fonction f .

On note 1f ou parfois r f la fonction réciproque de f.

Recherche d’une fonction réciproque

Méthode 1

Si la fonction est « élémentaire » (ne fait intervenir qu’une « opération »), on peut deviner la réciproque.

Exemples a) 2f x x de alors 1f y y de 1

f

f2 4

b) f x x 2 de alors 1f y y 2 de 1

f

f6 8

c) xf x

3 de alors 1f y 3y de

1

f

f12 4

d) 1f x

x de * * alors 1 1

f yy

de * * 1

f

f

13

3

Méthode 2

On part de la relation 1 y f x x f y . Pour trouver algébriquement la fonction

réciproque d’une fonction donnée, on isole une variable par rapport à l’autre.

Exemples a) Soit f définie par f x 10x 2 et bijective de A vers B .

On isole x : y 2 1 1

y 10x 2 x x y10 10 5

et donc 1 1 1

f y y10 5

est bijective de B vers A . En particulier : 1

f

f1 8

b) Soit g définie par 2g x x 2x 4 et bijective de A 1; vers B 5; .

On isole x en utilisant la complétion du carré :

2 22 2y x 2x 4 y x 2x 1 5 y x 1 5 y 5 x 1

y 5 x 1 x y 5 1

Et donc 1g y y 5 1 est bijective de B 5; vers A 1; .

En particulier : 1

g

g0 4

f A B

f -1

x y


c) Soit h définie par 4x 1h x

2x 2

et bijective de A \ 1 vers B \ 2 .

On a donc l’expression de y en fonction de x : 4x 1

y2x 2

On isole x : 4x 1y 2x 2 y 4x 1 2xy 2 y 4x 1 2xy 4x 2 y 1

2x 2

2 y 1x 2 y 4 2 y 1 x

2 y 4

Et donc 1 2 y 1h y

2 y 4

et elle est bijective de B \ 2 vers A \ 1 .

En particulier : 1

h

h

10

2

Remarque *

Soit 22g x x 2x 4 x 1 5

Si 21 2 3f x x 1 f x x f x x 5 alors 3 2 1g x f f f x

De plus : 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 1 2 3 1 2g y f f f y f f f y f f y 5

11f y 5 y 5 1

Illustration 31 2

1 1 11 2 3

ff f

f f fA B C D

Définition

La fonction identité est une fonction qui ne modifie pas les fonctions avec lesquelles on la compose. Elle est définie par i : telle que i x x .

Exemple Soit f définie par f x 3x alors :

f i x f i x f x 3x et i f x i f x i 3x 3x f x .

Remarques

a) Que représente la fonction 1f ? Intuitivement 1f « défait » ce que f avait « fait » et réciproquement. b) 1 1 1f f x f f x f y x i x pour tout élément x A , donc 1f f i

1 1f f y f f y f x y i y pour tout élément y B , donc 1f f i

Autrement dit :

La composition d’une fonction avec sa réciproque donne la fonction identité i .

g

g -1

f A B

f -1

x y


Exemple 1 1 3f x 2x 3 f y y

2 2

1 1 1 1 3f f x f f x f 2x 3 2x 3 x i x

2 2

1 1 1 3 1 3f f y f f y f y 2 y 3 y i y

2 2 2 2

c) f admet une fonction réciproque de B vers A f est une fonction bijective de A vers B.

d) La fonction réciproque d'une bijection est aussi bijective.

Représentation graphique de f et de sa réciproque f -1

1

y f x 2x 3 bijective de A= vers B=

1 3x f y y bijective de B= vers A=

2 2

Remarques

a) Par convention , l’ensemble de départ A de la fonction f et de ça réciproque 1f est situé sur l’axe

horizontal (axe des x) et l’ensemble d’arrivée B,

sur l’axe vertical (axe des y) .

On note alors : 1 1 3y f x x

2 2

b) Si on trace le graphique d’une fonction bijective et celui de sa réciproque dans un même repère orthonormé, on remarque que ces deux graphiques présentent une symétrie d’axe.

De manière générale :

Dans un repère orthonormé, les graphiques d’une fonction f et de sa réciproque 1f

présentent une symétrie par rapport à la droite i (graphique de la fonction identité i x x ).


y

x

8)

1

-1

y

x

9)

-1

Exercice 30

Voici 12 relations représentées sous forme graphique avec comme donnée, l’ensemble de départ A

et l’ensemble d’arrivée B.

f :

1 si x 0x f ( x )

1 si x 0

f :

x si x 0x f ( x )

x 1 si x 0

Remplissez par Vrai ou Faux le tableau ci-dessous. Donnez quelques justifications.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fonction de A vers B

bijection de A vers B

y

x

3)

y

x

+1

-1

4) y

x

5) y

x

6)

y

x

11)

y

x

1)

1

-1

y

x

2)

4

y

x

7)

1 -1

1

-1

y

x

10)

2

y

x

12)

3


Exercice 31

En utilisant le graphique des fonctions tracées ci-dessous, déterminez si les fonctions f et g sont bijectives de A vers B. Justifier votre réponse. f x 2x 3 de A vers B.

(fonction polynomiale de degré 1)

1) A 0;5 B

2) A 0;5 B 3;7

2g x x 4 3 de A vers B.


1) A B

2) A ; B ;0

3) A ;4 B ; 3

4) A ;4 B ; 2

5) A 4; B ; 3


Exercice 32

a) Considérons une fonction f définie par f x x 4 .

Déterminer les ensembles A et/ou B afin que f soit une bijection de A vers B :

1) A 0;1 B ...............

2) A B ...............

3) A ............... B 2;7

4) A 100 ;1000 B ...............

5) A ............... B 3;

b) Considérons une fonction f définie par 2f x x 6 x 11 .

Déterminer les ensembles A et/ou B afin que f soit une bijection de A vers B :

1) A 3; B ...............

2) A ............... B 2;

3) A 0;3 B ...............

4) A ............... B 2;6

5) A 0;6 B ...............

Exercice 33

Soit la fonction réelle f x 3x 2 (fonction polynomiale de degré 1) bijective de A vers B .

a) Calculer la fonction 1f , la réciproque de f.

b) Calculer 1 1 1 1f 0 , f 2 , f 1 , f 5 , f 3 , f 7 , f 4 et f 4 .


Exercice 34

Considérons les fonctions, définies par :

1) f x 2x 3 2) f x 2x 1 3) 2f x x 4x

4) 2f x x 6 x 11 5) 2f x x 2x 2 6) 2f x 2x 16 x 33

7*) f x 5x 8*) f x x 3 9*) f x 2x 2

Pour chacune de ces fonctions :

a) Déterminer le domaine de définition de f.

b) Déterminer (de manière graphique) les plus grands sous-ensembles A et B de tels que la fonction f soit une bijection.

c) Calculer la réciproque 1f de la fonction f .

d) Vérifier à l’aide de la composition de fonction que la fonction 1f calculée au point c) , est bien la réciproque de f .

e) Tracer à chaque fois dans le même repère orthonormé la fonction f et sa réciproque 1f . Exercice 35

Soient trois fonctions f x 2x – 3 , g x 3x 5 et i x x bijectives de A vers B .

1) Calculer : 1f 1g f g 1f g

1 1f g 1 1g f

2) Calculer : 1f f 1f f 1g g 1g g

3) Calculer : f i i f g i i g

4) Que remarque-t-on ? Exercice 36

Soient les 3 fonctions homographiques : 3x 4 x 3 x 1g x h x j x

x 3 2x 5 x 1

1) Déterminer leurs domaines de définition.

2) Calculer leurs zéros et leurs ordonnées à l’origine.

3) Déterminer l’équation de leurs asymptotes verticales et horizontales (sans détails de calculs).

4) Trouver les ensembles maximaux de départ A et d’arrivée B afin que ces fonctions soient bijectives.

5) Déterminer les réciproques de ces 3 fonctions.

6) Vérifier à l’aide de la composition de fonction que la fonction 1f calculée au point 5) , est bien la réciproque de f .

7) Tracer chaque fonction avec sa réciproque sur un même repère orthonormé avec les A.V. et les A.H.

8*) Estimer graphiquement les points d’intersections entre les fonctions et leurs réciproques.

9*) Vérifier algébriquement les résultats trouvés en 7).


Exercice 37

Considérons les six fonctions : 0f x x 1f x 1 x 2

1f x

x

3

1f x

1 x

4

x 1f x

x

5

xf x

x 1

1) Déterminer la réciproque de chacune de ces fonctions en isolant de manière « directe » la variable x de la relation y f x .

2) Que remarque-t-on ?

Exercice 38

En Physique il existe plusieurs échelles de températures :

Celcius C (pays francophones)

Fahrenheit F (pays anglophones)

Kelvin K (monde scientifique)

Voici deux relations entre ces échelles de températures qui sont des fonctions :

9

F f C C 32 F en fonction de C5

K h C C 273 K en fonction de C

a) Calculer :

C j K C en fonction de K

F m K F en fonction de K

C g F C en fonction de F

K n F K en fonction de F

b) Déterminer les réciproques des 6 fonctions ainsi que les ensembles maximaux de départ A et d’arrivée B afin que ces fonctions soient bijectives de A vers B. Remarque : 0 K 273 C

F K

C

f

g

j

h

m

n


Exercice 39 *

1) Le feu a pris dans un champ sec et se propage sur une surface circulaire.

Si le rayon de ce cercle croît à la vitesse de 6 [m/min], déterminer la fonction f qui donne l’aire A de la surface totale en feu (en mètres carré) en fonction du temps t (en minutes), sachant que r = 0 lorsque t = 0 .

2) Calculer 1t f ( A)

3) Si t = 15 [s] que vaut r et que vaut A ?

Si t = 10 [min] que vaut r et que vaut A ?

Si A = 10000 [m2] que vaut t ? Exercice 40 *

On veut construire un réservoir en acier pour le gaz propane sous la forme

d’un cylindre circulaire droit d’une longueur de 10 m terminé par un hémisphère

à chaque extrémité. Le rayon r est encore à déterminer.

1) Déterminer : a) L’aire 2A m en fonction du rayon r m .

b) Le rayon r m en fonction de l’aire 2A m .

2) On veut construire un réservoir de rayon r 2 m , que vaut l’aire 2A en m ?

On veut construire un réservoir d’aire 2A 200 m , que vaut le rayon r en m ?

Exercice 41 *

a) Démontrer que la réciproque d'une fonction homographique est une fonction homographique.

b) Déterminer toutes les fonctions homographiques qui sont leurs propres réciproques.

r

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 40 Fonctions Exp. et Log. / 2 N-A

2.6 Fonctions exponentielles et logarithmes

2.6.1 Rappels sur les puissances et racines à exposants dans * Définition

Soit a (la base) et *n (l’exposant) alors on défini la n-ième puissance de a par :

n

n fois

a a a a ...... a

Exemples

3

46

6 fois4 fois

3 fois

7 7 7 7 3432 2 2 2 2 2 2 64 3 3 3 3 3 =81

2 2 2 2 8

Propriétés des puissances

Soient a, b et *n, m alors on a :

1)

2)

3)

4)

5)

43 3 4 12

3 4 3 4 7

44 3 1

3

4 4 4

4 4

4

Exemples 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 3 2 3

2 2

3 3

mn n×m

n m n+m

mm-n

n

n n n

n n

n

a = a

a a = a

a= a

a

a b = a b

a a=

b b

1)

2)

3)

4)

5)

Remarques

a) Attention : n n na b a b b) 2 3a , a , se disent "a au carré" , "a au cube"

c) n aa n Définition

Soient a,b et *n alors on défini la n-ième racine de a par :

nn a b a b

Exemples 2 3 43 49 3 9 3 8 2 8 2 625 5 625 5

Remarque On a : nnn na a et a a a 0

Par exemple : 333 34 4 et 4 4

La racine n-ième est donc la fonction réciproque de la puissance n-ième.


Propriétés des racines

Soient a,b et *n, m alors on a :

6)

7)

8)

3

33

223 3

Exemples 4 9 4 9

64 64

8 8

8 8

n n n

n

nn

mmn n

a b = a b

a a= b 0

b b

a = a

6)

7)

8)

Remarque Attention n n na b a b

2.6.2 Extension de la notion de puissance Le but de ce paragraphe est d’étendre la notion de puissance pour un exposant dans tout en conservant les huit propriétés définies précédemment. i) Extension de * à

Comment définir na avec n ?

a a a a a2 1 0 1 2 3

/ a / a / a / a / a

a a a a a

/ a / a / a / a / a

a a

2 1/ a / a

.........a a a a a a ..........

1 1 a........ a a a a a a..........

a a a a1 1

..........a a

a a a2 3

/ a / a / a1 a a a ..........

On peut donc définir pour * *a et n : nn

n fois

1 1a

a a a ...... a

et 0a 1

Ces égalités respectent les propriétés des puissances définies précédemment.

Attention : si a 0 alors 00 n’a pas de sens.

Exemples 3 0 3 4 73

1 12 0.125 2 1 2 2 2

2 8

ii) Extension de à

On essaie de définir 1

na avec * *a et n . On écrit : n1 1 nn

nn na a a a a

On peut donc définir pour * *a et n : 1

nna a

Cette égalité respecte les propriétés des puissances et des racines définies précédemment.

Exemples 11 1 1

1552 2 24 4 2 ; 4 4 ; 2 2 2


On essaie de définir m

na avec * *a ,n et m . On écrit : m 1 1

m m mnn n na a a a

On peut donc définir pour * *a , n et m : m

mnna a

Cette égalité respecte les propriétés des puissances et des racines définies précédemment.

Exemples

223 3 11,5 3 22 552 2 2

1

2

1 1 12 2 2 ; 4 4 ; 2 8 ; 4

244

Remarques

a) Pour simplifier des expressions comportant des racines et des puissances, il faut écrire les racines avec des exposants fractionnaires et appliquer les propriétés des puissances.

Exemples : 262 26 2 2 2 43 3a a a a a

1 1 1 51

563 3 3 2 62a a a a a a a

b) mmn na a car

m1 m 1 11 mm mm mn nn n n nna a a a a a a

Exercice 42

Calculer sans machine.

1) 3 25 5 2) 0 27 7 3) 1 3

2 2

3 3

4) 3 6

2 2

3 3

5) 5 41 2

6) 4 110 10 7) 7 53 3 8) 322 9) 11111 10)

4 52 3

3 3

11) 13

10

2

2 12) 2

2,5 2,5 13) 5 54 4 14) 076

Exercice 43


Exemple : 900 9 100 9 100 3 10 30

1) 900

49 2) 1 33 10 10 10 3)

625

121 4) 3

27

8

5) 1

1 6)

144

121 7)

400

900 8) 2

256

9) 2256 10) 10

2 11) 6

3

12)

6

2

3

Exercice 44


1) 1

225 2) 1

327 3) 1

416 4) 1

3125 5) 1

29 6) 1

364

7) 1

225

8) 1

416

9) 1

2( 4 ) 10) 1

24 11) 2

327 12) 2

3125


Exercice 45

Écrire les expressions suivantes à l'aide d'exposants rationnels et donner la valeur décimale.

(4 chiffres significatifs) Exemple : 4

45 53 3 2.408

1) 25 3 2) 611 5 3) 83 7 4) 328 3

5) 4 33 6) 3 62 7) 164 2 8) 1243 3

Exercice 46

Écrire les expressions suivantes à l’aide de racines et simplifier au maximum.

Exemple :

2

32 2 2

33

1 1 1 127

3 92727

1) 1

225 2) 5

29 3) 5

2100 4) 1

101024 5) 1

51

6) 1

3125 7) 0 ,250,0625 8) 0 ,232 9)

4

84

10) 3

69

11) 5

38

12) 100

20025

13) 1

327

14) 8

30 Exercice 47

a) Simplifier au maximum les expressions suivantes et écrire le résultat à l'aide d'exposants

rationnels. *a Exemple : 1 1 1 71

5 5 2 5 102a a a a a a

1) 623 a 2)

3

24a 3) 35

23

a

a 4)

23

6

a

a 5)

325

a

a

6)

624

224

a

2 a 7)

523

323

a

a 8) 3 2a a a 9) 3 4a a a 10) 43 a

11) 3

a 12) 3

4

1 1a

a a 13) 4 3 a 14)

123 6

12 4

a a

a

15)

12 34

1

3

a a

a a

16)

23

33

8a

27a

17) 323

4 2

8 a

a a

18)

3

245 a

b) Simplifier au maximum les expressions suivantes et écrire le résultat à l'aide

de racines. *a Exemple : 1 1 1 71

7105 2 5 102a a a a a

1)

23 42a

2) 3

2 2a a 3)

26 4

5

a

a

4) 1

29a


Suite exercice 47

5) 1

2 2 32 5 3a a a

6)

12 2

34a a

7)

11 3

6 3 2a a

8)

11 1 42 2a a

Exercice 48

Résoudre les équations suivantes par rapport à a. (réponses en valeurs exactes)

Exemple :

22 3 2 23 3 3

3 233 2 3 32 2a 5 a 5 a 5 a 5 a 5

1) 3

4a 8 2) 7

23 a 9

3)4

5

a 3

a 4

4) 54 a 7 5) 4 3 a 2 6) 6 3a a 3

2.6.3 Fonctions exponentielles Définition

Soit f une fonction définie par xf x a avec *a \ 1 fixé et x, y les variables.

On dit que f est une fonction exponentielle de base a.

Remarques a) On note également cette fonction xaexp x a .

b) x aa x

Exemples xf x 3 x

1f x

2

Graphiques de quelques fonctions exponentielles :

x f(x)

3 32 1 / 8

2 22 1 / 4

1 12 1 / 2

0 02 1

1 12 2

2 22 4

3 32 8

Tableau des valeurs de f :

x

x

x

x

f x 2

1g x

2

h x 3

1j x

3


Propriétés des fonctions exponentielles La fonction exponentielle de base a, xf x a *a \ 1 :

1) à pour domaine de définition . Dom f

2) f n’admet pas de zéros, car xa 0 n’admet pas de solutions ; 1f 0 .

Donc pas d’intersection entre le graphique de f et l’axe des x. 3) L’ordonnée à l’origine est : 0f 0 a 1 .

Le point d’intersection entre le graphique de f et l’axe des y est : 0 ;1 .

4) 1graphede f car a a 1;a

5) f est positive sur . Autrement dit : xf x a 0 x .

6) Si 0 a 1 alors f est strictement décroissante sur c.-à-d. 1 2x x

1 2x x a a .

De plus si xx alors a 0 (asymptote horizontale en y 0 ) et si xx alors a

Si a 1 alors f est strictement croissante sur c.-à-d. 1 2x x1 2x x a a

De plus si xx alors a et si xx alors a 0 (asymptote horizontale en y 0 ) 7) f est bijective *de A vers B ; il sera donc possible de trouver une fonction réciproque.

De plus : 1 2x x1 2a a x x par bijectivité.

8) Les graphiques de la fonction xf x a et de la fonction x

1g x

a

présentent

une symétrie par rapport à l’axe des y.

Exemple : x

x 1f x 2 et g x

2

Explication : x x

xx x

1 1 1a x

a a a

Définition

La fonction exponentielle xf x e (avec e 2,71828 nombre d’Euler et x, y les variables)

s'appelle la fonction exponentielle naturelle.

Remarques

a) e est un nombre irrationnel.

b) On note également cette fonction xexp( x ) e .


Exercice 49

Considérons les quatre fonctions exponentielles définies sur :

xf x 3 x

1g x

3

xh x 4 x

1j x

4

1) Compléter le tableau des valeurs suivants pour la fonction f :

x f x

..... -3

..... -2

-1

0

..... 1

..... 2

3 Faire de même pour les fonctions g, h et j. 2) Tracer le graphique des fonctions exponentielles f, g, h et j dans le même repère orthonormé.

3) Calculer le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de chaque fonction.

4) Déterminer les fonctions qui sont croissantes et celles qui sont décroissantes sur .

5) Déterminer les fonctions qui présentent une symétrie par rapport à l’axe y . Exercice 50

Déterminer l’expression algébrique des fonctions g, h et j sachant que f est la fonction exponentielle de base 2 : xf x 2 .


2.6.4 Fonctions logarithmes Nous venons de voir que pour tout nombre *a \ 1 la fonction xf x a est bijective

de *A vers B . Elle possède donc une fonction réciproque.

Définition

Soit a un nombre réel positif différent de 1 ; *a \ 1 .

La fonction réciproque de expa s'appelle le logarithme en base a et se note loga

Elle est définie par *alog : :

ay log y x tel que xa = y xalog y x a = y

« Le logarithme en base a de y est la puissance x à laquelle il faut élever a pour obtenir y. »

Exemples

1) 24log 16 2 4 16 2) 3

3log 27 3 3 27

3) 62log 64 6 2 64 4)

3

1

3

1log 27 3 27

3

5) 5log ( 25 ) x5 25 6) 6log ( 36 ) x6 36

7) x2log 1000 x quelle touche sur la calculatrice ? 2 1000

Remarques

a) On met un nombre « a » en indice du log pour se souvenir de la base.

b) alog yxalog a x et a y

c) Attention, ne pas confondre : xaa y x log ( y ) (avec un log on obtient un exposant )

a ax y x y ( avec une racine on obtient une base )

d) Deux fonctions logarithmes sont très utilisées (voir touche de la calculatrice) :

le logarithme en base 10 : 10log ( x ) log( x ) (sans indice) (Touche : LOG)

le logarithme en base e, aussi appelé logarithme naturel : elog ( x ) ln( x ) . (Touche : LN)

Le nombre d’Euler e 2,7182818284590452354.......... (e est un nombre irrationnel) Exemples

1) 2log 100 2 10 100 2) 21 1log 2 10

100 100

3) 1ln e 1 e e 4) 0ln 1 0 e 1

5) 0.301log 2 0.301 (Touche : LOG) 10 2

6) xlog 9 x ( Error ) 10 9 7) 0.693ln 2 0.693 (Touche : LN) e 2

f(x) = ax

a >1

f(x) = ax

0 < a < 1


Propriétés des logarithmes

Les propriétés de loga proviennent des propriétés de expa c.-à-d. des propriétés des puissances.

Rappel : Définition de loga xalog y x a y

Propriétés de expa Propriétés de loga

1) Pour tout nombre réel x, xa 0 1) alog y n'est défini que pour y 0

2) 0a 1 2) alog 1 0

3) 1a a 3) alog a 1

4) 1 2 1 2x x x xa a a 4) a 1 2 a 1 a 2log ( y y ) log y log y

5) px p xa a 5) pa alog y p log y

6) xx

1a

a 6) a a

1log log y

y

7) 1

1 2

2

xx x

x

aa

a 7) 1

a a 1 a 22

ylog log y log y

y

Exemples

2 2 2log 2 4 log 2 log 4 (propriété 4) 202 2log 4 20 log 4 (propriété 5)

2 2

1log log 8

8

(propriété 6) 2 2 2

32log log 32 log 4

4

(propriété 7)

Attention : 2 2 2log 2 4 log 2 log 4 et

22

2

log 3232log

4 log 4

Démonstration

1), 2) et 3) évident : par définition de loga. Indications : (*) propriétés de expa (**) définition de loga

4) 1 2 1 2

1 21 2

(*) (**) (**)x x x x

1 2 1 2 a 1 2 a 1 a 2 a 1 2y y

x x

a a a y y x x log y y log y log y log y y

5) (*) (**) (**)p p p p

a a a

xy

x p xa a y x p log ( y ) p log ( y ) l og ( y )

6)

(*) (**) (**)x

a a ax

xy

1 1 1 1a x log log ( y ) log

a y y y

7)

1

1 2

2

1

1 22

y

(*) (**) (**)1 1 1

a a a a1 2 1 22 2 2x xy

xx x

xy y yaa x x log log y log y log

a y y y


Graphiques de quelques fonctions logarithmes et exponentielles :

x

x2 1/ 2

1f x log x g x log x h x 2 j x i x x

2

Activité Compléter les tableaux de valeurs sans utiliser la machine à calculer.

x 2f x log x

0

1/16

..... 1/8

..... 1/4

1/2

1

..... 2

..... 4

8

16

x 1/ 2g x log x

0

1/16

..... 1/8

..... 1/4

1/2

1

..... 2

..... 4

8

16


Propriétés des fonctions logarithmes La fonction logarithme de base a, af x log x *a \ 1 :

1) à pour domaine de définition *

. *Dom f

2) f admet exactement un zéro, car 0

alog 1 0 a 1 ; 1f 0 1 .

Le point d’intersection entre le graphique de f et l’axe des x est : 1;0 .

3) f n’admet pas d’ordonnée à l’origine, car y

alog 0 y a 0 n’admet pas de solutions ;

f 0 . Donc pas d’intersection entre le graphique de f et l’axe des y.

4) 1

agraphede f car log a 1. a;1

5) de f :Signe (tableau des signes)

Si 0 a 1 :

x 1 f(x) + 0

Si a 1 :

x 1 f(x) 0 +

6) Si 0 a 1 alors la fonction logarithme est strictement décroissante sur *

.

c.-à-d. 1 2 a 1 a 2x x log x log x .

De plus si ax alors log x et ax 0 alors log x (A.V. en x 0 )

Si a 1 alors la fonction logarithme est strictement croissante sur * .

c.-à-d. 1 2 a 1 a 2x x log x log x .

De plus si ax alors log x et si ax 0 alors log x (A.V. en x 0 )

7) f est bijective *de A= vers B . De plus a 1 a 2 1 2log x log x x x par bijectivité.

8) Les graphiques de la fonction af x log x et de la fonction xg x a présentent

une symétrie par rapport à la fonction identité i x x car elles sont réciproques l’une de

l’autre.

Exemple : x2f x log x et g x 2 .

9) Les graphiques de la fonction af x log x et de la fonction 1

a

g x log x présentent

une symétrie par rapport à l’axe des x.

Exemple : 2 1

2

f x log x et g x log x

Explication : y

y1 a aya

1 1log x y x x a x log x y log x y

a a


Exercice 51 Rappel : xalog y x a y

Déterminer la valeur de x sans calculatrice :

1) x log 1' 000 2) x log 100' 000 3) 1

x log10' 000

4) x log 10 5) 3x log 10 6) 3x log 100

7) 2x log 32 8) 3x log 81 9) 5x log 625

10) 2

1x log

64

11) 2x log 8 12) x log 100 10

13) 5 7x log 100 1' 000 14) 4 ,5x ln e 15) ln x 0

16) ln x 1 17) ln x 2 18) xlog 25 2

19) xlog 256 4 20) 1

2

x log 32 21) ln xe 0,5

22) 6log x 2 23) log 7x 10 24) x

1log 2

16

25) x log 1 26) x ln e 27) xlog 243 5

Exercice 52

En utilisant les propriétés des logarithmes et en sachant que log 2 0.301 et log 3 0.477

déterminer, sans calculatrice, les logarithmes en base 10 suivants.

Exemple : 2 3 2 3log 4000 log 4 1000 log 2 10 log 2 log 10

2 log 2 3 log 10 2 0,301 3 3,602

1) log 2000 2) log 3000 3) log 6 4) log 8 9

5)9

log8

6)1

log16

7) log 5 8) log 0,00128

9) log 3,2 10) log 25'600 11) log 72 12) 3log 3 10

Exercice 53

Simplifier au maximum les expressions suivantes sans utiliser la calculatrice :

1) 3

a 4 5

a alog

a a

2) aln e

alog a 3) 3a alog a log a

4) 43a4 log a

5) 4a alog a log a 6) 3 3ln e


Exercice 54

Exprimer à l'aide d'un seul logarithme.

Exemple : 5 7 5 75 log x 7 log z log x log z log x z

1) 2log x 3log z 2) 1 1log x log z

2 3

3) b b blog x 2log y log z 4) b b b b

1 1log 2 log log x log a

2 2

5) c c c

1 1 1 1log log y log

2 x 2 z

Exercice 55

Calculer x en fonction de log a , log b et log c .

Exemple : 2

2ax log log a log c 2 log a log c

c

1) 2

4

abx log

c

2)

3ax log

c

3)

ax log

b

4) 2

3

a bx log

c

5) x log ab 6)

2abx log

c

Exercice 56

Considérons les fonctions réelles suivantes :

x

x3 3 1

3

1f x 3 g x h x log x j x log x k x log x

3

1) Pour chacune de ses fonctions, établir un tableau des valeurs sans utiliser de calculatrice.

2) Tracer le graphique de ces fonctions dans le même repère orthonormé. sur une page A4 et pour x 4;10 .

Indication : Utiliser la symétrie d'axe existant entre le graphique d'une fonction et sa réciproque. 3) Déterminer le domaine de définition de chaque fonction.

4) Calculer le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de chaque fonction.

5) Déterminer, parmi les fonctions logarithmes, celles qui sont croissantes et celles qui sont décroissantes sur *

?

6) Quel graphique possède une symétrie avec un autre graphique et par rapport à quel axe de symétrie ?


Exercice 57

Déterminer, à partir des graphiques ci-dessous, l'expression algébrique des fonctions expa et loga :

Indication : Chercher d’abord les symétries d'axes.

1) 2)

3) 4)

5) 6)


Exercice 58

a) Compléter le tableau des valeurs suivants :

x xf x 6 log f x xg x 10' 000 6 log g x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

b) Tracer le graphique des fonctions suivantes sur l'intervalle 0;12 dans le même repère

orthonormé : x xf x 6 ; g x 10' 000 6

Astuce : Pour que ces fonctions deviennent possibles à représenter sur cet intervalle, on adopte une échelle logarithmique, c'est-à-dire que l'on représente en réalité :

z log f x ; z log g x

c) Que vaut f x si log f x 3 ?

Que vaut g x si log g x 5 ?

d) Expliquer pourquoi le graphique de z log f x et z l og g x sont des droites ?


2.6.5 Formule de changement de base La calculatrice permet d’obtenir facilement des valeurs approchées des logarithmes en base 10 (touche LOG ) et des logarithmes naturels (touche LN ). Comment calculer des logarithmes dans d’autre bases ? Exemple

Comment calculer le log en base 3 de 3,75 avec une calculatrice ne possédant que les touches LOG ( base 10 ) et LN ( base e ) ? 3log 3,75 ?

Idée : On va changer de base. Théorème (changement de base)

Soit *a, b \ 1 alors on a :

ba

b

log xlog x

log a *x

Remarque En particulier on a :

a

log x ln xlog x

log a ln a

Exemples

a)

1,203103

10

log 3,75log 3,75 1,203 3 3,75

log 3

b)

1,6102

10

log 3log 3 1.6 2 3

log 2

c)

1561,05

ln 2000log 2000 156 1,05 2000

ln 1.05

Démonstration

za

wb

z w z wb b b b

ba b b a

b

Soit log x z x a

et log x w x b

On a donc a b log a log b z log a w log b

log xlog x log a log x 1 log x

log a

Exercice 59 (changement de base)

a) Calculer à l'aide de la calculatrice :

1) 5log 37 2) 2log 1,35 3) 9log

4) 0 ,27log 100 5) 1,05log 2000 6) 20log e

b) Résoudre l'équation exponentielle : x2 5 .


2.6.6 Équations exponentielles et logarithmiques Définition

Une équation exponentielle est une équation où l’inconnue apparaît à l’exposant d’une base *a \ 1 .

Voici plusieurs types d’équations exponentielles que nous traiterons dans ce cours :

1er type de la forme f x g xa a *avec a \ 1 (inconnue : x)

Exemple

bijectivité2x x 3 x 5 2 x x 3 2 x 58 2 32 2 2 2 2 2 2 2 x 3 2x 5 x 2

S 2

Idée générale pour la résolution de l'équation du 1er type

f x g xa a f x g x par bijectivité des fonctions exponentielles

2e type de la forme f x g xa b *avec a,b \ 1 (inconnue : x)

Exemples

a) 4 x 4 x 4 x3 3 37,5 2 3 3,75 3 log 3,75 log 3 4x log 3,75

3

log 3,751 1x log 3,75 0,3

4 4 log 3 S 0,3

b) xx

x x x x2 2x

8 88 3 4 3 3 2 3 log 2 log 3

4 4

2

log 3x log 3 1,58

log 2 S 1,58

c) x 2 x 1 x 2 x 1

8 8 88 4 log 8 log 4 x 2x 1 log 4

log 4x 2x 1 x 2x 1 0,6 x 1,3 x 0,6

log( 8 )

0,6

0,3 x 0,6 x 20,3

S 2

Idée générale pour la résolution de l'équation du 2e type Composer chaque membre de l'équation avec la fonction alog


3e type de la forme 2 x xA a B a C 0 *avec a \ 1 (inconnue : x)

Exemple

xy 322 x x x x 23 4 3 3 0 3 4 3 3 0 y 4 y 3 0

2y 4 y 3 0 y 1 y 3 0 y 1 et y 3

xy 3

x x3 1 et 3 3 x 0 et x 1

S 0;1

Idée générale pour la résolution de l'équation du 3e type Substitution avec xy a pour ramener l'équation exponentielle à une équation de degré 2. Définitions

Une équation logarithmique est une équation où l’inconnue se trouve comme argument de fonctions logarithmes.

Le domaine de définition d'une équation logarithmique est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'équation est définie.

Pour résoudre une équation logarithmique, on procède comme suit : 1) On cherche le domaine de définition.

2) On résout l’équation à l’aide des propriétés connues jusqu’à obtenir une équation de la forme a alog j x log k x .

On utilise la bijectivité des fonctions logarithmes :

a alog j x log k x j x k x

3) On vérifie que les solutions appartiennent au domaine de définition. Voici un type d’équations logarithmiques que nous traiterons dans ce cours :

a a aA log f x B log g x C log h x *avec a \ 1 (inconnue : x)

Exemple : 2 log x 3 2 log 9 Dom 3;

2

2

bijectivité2

log x 3 log 100 log 9

log x 3 100 log 9

100 x 3 9 ( Equation degré 2 )

33 27 33x Dom et x Dom S

10 10 10


Exercice 60

Résoudre les équations exponentielles par rapport à x :

1er type 1) 3x-1 x-23 = 9 3 2) 4x-2 x-35 = 125 5 3) x 2x 19 2 =

216

4) x2x 3

13

9 5) 3x 2x

116 2 0

2

6) x 1 2 x 327 9 0

7) x 4

100 x 12

2

8)

23x x 4 x 19 3 9) 24 x 2 x 7 x 135 25

2e type 1) x40,96

5 2)

x1

200 202

3) x1R R 0,96

4

4) 0,0249 xA 35 e 5) x00

NN e

2 6)

2x 43 5

7) x x2 3 8) 4 x 2 4 x 22 2 5 9) x x10 0,8 5 1,2

10) x

x 1k 2 m

3

11) 4 x 2 2 x3 2 12) 4 x 2 2 x5 3 5

13) x 4

100 x 12

3

14)

23x x4 3 15) 2x x 15 2

16) 4 x 2 2 x2 3 5

3e type 1) 2 x x4 2 3 2 1 0 2) 2 x x3 4 3 3 0 3) 2 x x3 5 3 4 0

4) x x4 6 2 8 0 5) 2 x xe 5e 6 6) x x 2 64 3 2 2 0 Exercice 61

Résoudre les équations logarithmiques par rapport à x :

1) 2 2log x 2 log 2x – 1 2) 5 5log x 2 log 2x 8

3) 3 3log x 2 1 log 2x 1 4) 2 22 log x 10 log 3x 4 3

5) log 3x 4 log 10x 4 2 log 5x 2 6) log x 2 log 3x log 2x 1

7) x

10 log = 24

8) log x 2 3

9*) log x 1 log 2 x log 2 log 7 log 4 x

10*) 22 log 2x 1 log 3x 2x log 4x 3 log x

11*) 2log x 4x 3 log 3 2x 12*) 22log x 2x 6 log x 1

13*) 2ln x 4 ln x 1 ln 6


2.6.7 Applications / Modélisation De nombreux phénomènes physiques, chimiques, biologiques, sociaux et économiques ont une croissance ou décroissance exponentielle. Activité 1 Propagation d'une épidémie / croissance exponentielle

Dans une grande ville, le 15 janvier 2005, 10 personnes ont la grippe (N0 = 10). Il faut en moyenne un jour pour qu'une personne ayant la grippe la transmette à 3 autres personnes.

Notons Nt , le nombre de personnes contaminées après t jours.

Après 1 jour, 40 personnes sont malades car 11 0 0 0N N N 3 N 4 10 4 40

Après 2 jours : 2N ....................................................................................................

Après 3 jours : .............................................................................................................. .... Après 9 jours : .............................................................................................................. .... Après t jours : Nt = ................................................................................(base a = ......) Après combien de jours y a-t-il 500’000 personnes malades ?

Il faut résoudre une équation exponentielle : ................................................................

....................................................................................................................................... Activité 2 Population d’oiseaux / décroissance exponentielle

Un biologiste observe que le nombre d’oiseaux sur une île diminue d’un tiers chaque mois. Au premier mois de l’observation (1er septembre 2003) il y a 20'000 oiseaux. 0N 20' 000

Notons Nt , le nombre d’oiseaux présents sur l’île après t mois.

Après 1 mois, il y aura environ 13’333 oiseaux car :

1 0 0 0

1 1 2N N N N 1 20' 000 13' 333

3 3 3

Après 2 mois :

2N .............................................................................................................................

Après 3 mois :

.......................................................................................................................................

Après t mois :

tN .......................................................................................................(base a = ......)

Après combien de mois la population d'oiseaux aura-t-elle diminué de trois quart par rapport au 1er septembre 2003 ?

Il faut résoudre une équation exponentielle : ................................................................

........................................................................................................................................


Exercice 62

Dans une grande ville, le 15 janvier 2005, 10 personnes ont la grippe (N0 = 10). Il faut en moyenne un jour pour qu'une personne ayant la grippe la transmette à trois autres personnes.

Un modèle mathématique permettant de calculer le nombre N de personnes grippées t jours après le 15 janvier 2005 est donné par la fonction : tN 10 4 (voir activité 1 page précédente)

1) Combien y a-t-il de personnes grippées dans la ville 10 jours après le 15 janvier 2005 ?

2) Après combien de jours dénombre-t-on un million de personnes grippées dans la ville ?

3) Compléter le tableau des valeurs de la fonction N f t .

(N = nombre de personnes grippées et t = temps en jours)

t 0 1 2 3 4 5 6 7

N f t 10

log f t

4) Tracer le graphique de log f t pour t 0;7 . (1 page A4 quadrillée).

Exercice 63


Un modèle mathématique permettant de calculer le nombre N d’oiseaux présent sur l’île t mois

après le 1er septembre 2003 est donné par la fonction : t

2N 20000

3

(voir activité 2 page précédente) 1) Combien y aura-t-il d’oiseaux au 1er décembre 2003 ?

2) Combien d’oiseaux aura-t-on 1’année suivant le début de l’observation ?

3) Quel aurait été le nombre d’oiseaux 3 mois avant le début de l’observation ?

4) A quelle date l’île comptera 1000 oiseaux ?

5) Compléter le tableau des valeurs de la fonction N f t .

(N = nombre d’oiseaux sur l’île et t = temps en mois)

t 3 2 -1 0 1 2 3 4

N f t 20’000

log f t

6) Tracer le graphique de log f t pour t 3;4 . (1 page A4 quadrillée)


Exercice 64

Si on considère une ville qui possède P0 habitants et que le taux de croissance de la population de cette ville est de i (en %) par an, on obtient après t années une population P selon la relation

suivante : t

0P P 1 i

1) Supposons qu’une ville a un nombre d’habitants P0 = 12'000 en 1970 et un taux de croissance annuel de i = 5%.

a) Quel sera le nombre d’habitants en 1990 ?

b) Quel était le nombre d’habitants en 1967 ?

c) Combien d’années faut-t-il pour que le nombre d’habitants double par rapport à 1970 ? 2) Supposons que la ville ait un nombre d’habitants P0 = 200'000 en 1980 et dix ans plus tard de 450'000 habitants.

Calculer son taux de croissance (en %) par an ? 3) Deux villes A et B ont, au 1er janvier 1995, des populations respectives de 100'000 habitants et 80'000 habitants. La population de A augmente de 1 % par an, tandis que celle de B augmente de 5 % par an. On note A t la population de la ville A, t années après 1995 et B t la population de la ville B,

t années après 1995.

Déterminer par un calcul l'année à partir de laquelle le nombre d'habitants de B dépassera le nombre d'habitants de A.

4) Expliquer la relation : t

0P P 1 i

1 0 0

2

Indication :

Après 1 année : P P P i .............

Après 2 ans : P ..............................

Exercice 65

Le nombre de bactéries d'une culture suit la loi suivante : t0B t B a

B0 est le nombre initial de bactéries ; t est le temps, en jours.

1) Déterminez B0 et a sachant que la culture comprend 200'000 bactéries après 3 jours, et 1,6 millions après 4,5 jours.

2) Quel sera le nombre de bactéries après 5 jours ?

3) Après combien de temps la colonie comptera-t-elle 5 millions de bactéries ?

4) Combien de jours faut-il pour que le nombre de bactéries triple ?

Ces calculs dépendent-t-ils du nombre initial de bactéries 0B au temps t= 0 ?


Exercice 66

Si on place un capital initial C0 à un taux de i (en%) durant un temps t en années, on obtient un capital C

selon la relation suivante : t

0C C 1 i (Loi des intérêts composés)

Note : En Suisse, une année bancaire comporte 360 jours, c'est-à-dire 12 mois de 30 jours. 1) Si l'on retire un capital de 12583,45 $ en ayant placé son argent durant 3 ans et 5 mois à un taux de i = 2,5 %, quel capital initial avait-on placé ?

2) Calculer le temps qu'il faudrait à un capital de 1000 Fr. placé à 2,75 % pour obtenir un capital d’un million de francs ?

3) On place 8350 £ anglaises à 3,5 % pendant 5 ans, 3 mois et 20 jours. Calculer les intérêts que rapporteront ce placement.

4) Une personne emprunte 12'500 francs et rembourse un montant de 14'967,15 francs 15 mois plus tard. A quel taux a-t-elle emprunté cette somme ?

5) Expliquer la relation : t

0C C 1 i

1 0 0

2

Indication :

Après 1 année : C C C i .............

Après 2 ans : C ..............................

Exercice 67

En faisant rouler une boule de neige sur une pente enneigée, son volume augmente de 10 % par mètre. Son volume initial est de 0,5 m3. 0V 0,5

1) De combien aura augmenté son volume après 8 mètres ?

2) Après combien de mètres la boule a-t-elle un volume de 10 m3 ? Exercice 68

La croissance des arbres en hauteur est fréquemment décrite par une équation logistique.

Supposons que la hauteur h (en mètres) d’un arbre à

l’âge t (en années) soit 0,2 t

36h

1 200 e

.

1) Quelle est la hauteur d’un arbre de 10 ans ?

2) A quel âge la hauteur est-elle de 15 m ?

3) Tracer le graphique de h f t pour t 0;60 . (1 page A4 quadrillée)


Exercice 69 Tout corps radioactif se désintègre au cours du temps. Le nombre d'atomes radioactifs N(t) au temps t (en années) est donné par : t

0N t N e

où N0 est le nombre d'atomes radioactifs au temps t = 0 et un coefficient dépendant de la matière. En particulier, le gaz carbonique de l'air contient en faible quantité du carbone 14, isotope radioactif du carbone. Tout être vivant participe au cycle du carbone. Tant qu'il est vivant, la proportion d'atomes de C14 par rapport à la masse de carbone qu'il contient est constante, soit 115ꞏ10 atomes de C14 par 12 g de carbone. Quand il meurt, les atomes de C14 commencent à se désintégrer suivant la loi énoncée ci-dessus, avec 41,2ꞏ10 . Pour estimer l'âge d'un objet d'origine animale ou végétale, il suffit donc d'évaluer le nombre d'atomes de C14 contenus dans 12 g de carbone prélevé sur cet objet. 1) On découvre un reste végétal contenant 105ꞏ10 atomes de C14 pour 12 g de carbone. Quel est son âge ?

2) On appelle période ou demi-vie d'un élément radioactif le temps nécessaire à la désintégration de la moitié du nombre initial d'atomes radioactifs. Déterminez la demi-vie du carbone 14. Exercice 70 Sur l'échelle de Richter, la magnitude R d'un tremblement

de terre d'intensité I est donnée par la relation : 0

IR log

I

où 0I est une intensité minimale donnée.

Magnitude Effets Fréquence annuelle < 2 microséisme, non perceptible, enregistré sur les instruments locaux 600 000 2 à 2,9 séisme potentiellement perceptible 300 000 3 à 3,9 séisme ressenti par peu de gens 50 000 4 à 4,9 séisme ressenti par la majorité des gens 6 200 5 à 5,9 séisme modéré, quelques dommages causés par les secousses 800 6 à 6,9 séisme important, dommages en zone habitée 100 à 300 7 à 7,9 séisme majeur, dommages importants en zone habitée 15 à 20 > 8 séisme très rare, destruction totale en zone habitée 1 à 4

1) Si l'intensité I d'un tremblement de terre est de 100 fois l'intensité minimale donnée, déterminer sa magnitude.

2) Exprimer I en fonction de R et de 0I .

3) Les plus grandes magnitudes de séismes enregistrées se sont situées entre 8 et 9 sur l’échelle de Richter. Calculer les intensités correspondantes en fonction de 0I .

4) Expliquer pourquoi une augmentation d'une unité sur l'échelle de Richter correspond à la multiplication par 10 de l'amplitude mesurée sur un sismographe.

0 t


Exercice 71

Les chimistes utilisent un nombre noté pH pour décrire quantitativement la nature acide ou basique des solutions. Par définition, pH – log H , où H est la concentration d’ions

d’hydrogène en moles par litre. Autrement dit : pH est fonction de H .

1) Tracer le graphique de cette fonction pour H 0;2 .

2) Donner approximativement le pH de chaque substance.

i) 3vinaigre : H 6,3 10

ii) 5carottes : H 1,0 10

iii) 9eau de mer : H 5,0 10

3) Exprimer H en fonction de pH.

4) Donner approximativement la concentration d’ions d’hydrogène H de chaque substance.

i) pommes : pH 3,0 ii) bière : pH 4,2 iii) lait : pH 6,6

5) Une solution est dite basique si 7H 10 ou acide si 7H 10 .

Déterminer les inéquations correspondantes faisant intervenir le pH.

6) Beaucoup de solutions ont un pH entre 1 et 14. Déterminer l’intervalle correspondant en H .

Exercice 72 *

Les dépenses du gouvernement fédéral (en milliards de francs) pour quelques années choisies sont données dans le tableau suivant.

Année 1910 1930 1950 1970 1980 1990 1995

Dépenses 0,7 4,2 25,6 155 381,2 937,6 1470,5 1) Soit x = 0 correspondant à l’année 1910. Déterminer une fonction k x

0A x A e ,

où A 0 et k sont des constantes, qui modélisent approximativement les données.

2) Déterminer les dépenses pour l’année 2001.

3) Exprimer x en fonction de A, c’est-à-dire la fonction réciproque de A x .

4) Déterminer en quelle année le gouvernement a dépensé pour la première fois 1000 milliards de francs.


Exercice 73 *

Si un corps est placé dans un milieu ambiant dont la température est constante, la température T (en Celcius) du corps au temps t (en minute) est donnée par la loi de refroidissement de Newton :

k ta 0 aT T T T e

Ta est la température du milieu ambiant,

To est la température du corps au temps t = 0,

k est une constante positive dont la valeur dépend de la vitesse de refroidissement du corps.

e est le nombre d'Euler e = 2,71828….. 1) Dans une pièce dont la température est de 20, se trouve une bouilloire remplie d'eau dont la température initiale est de 100. Après 15 minutes, la température de l'eau n'est plus que de 80.

a) Quelle est la valeur de la constante k ?

b) Quelle sera la température de l'eau après 20 minutes ?

c) Au bout de combien de temps la température de l'eau ne sera-t-elle plus que de 40 ? 2) (Loi de Newton, revue et corrigée par "LES EXPERTS")

Au moment où l'on découvre le cadavre d'un homme assassiné (à 20h15), sa température est encore de 34,8. Une heure plus tard, elle est descendue à 33,9.

Sachant que la température de la pièce dans laquelle on a trouvé le corps est de 21,3, déterminer à quelle heure le crime a été commis.

Exercice 74 *

L'O.M.S. transmet les renseignements suivants :

- en 1987 l'Algérie avait 23'039'000 habitants avec un taux d'accroissement de 3,12 % .

- en 1988 la Suisse avait 6'230'000 habitants avec un taux d'accroissement de 0,8 %.

En admettant que ces taux soient stables :

1) Quelle est, en 1991, la population respective de ces deux pays ?

2) Quel est, en 1991, le rapport entre le nombre d'habitants de l'Algérie et de la Suisse ?

3) Pour chacun de ces deux pays, en combien d'années la population double-t-elle ?

4) En quelle année l'Algérie sera-t-elle 10 fois plus peuplée que la Suisse ? Quelle sera alors la population de chacun des deux pays ?

5) Quel devrait être le taux d'accroissement en Suisse pour que la population atteigne 7'000'000 d'habitants en l'an 2000 ?

0 t

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 66 Fonctions trigonométriques / 2 N-A

2.7 Les fonctions trigonométriques

2.7.1 Les angles et leurs mesures

Définitions

1) Un angle est une figure formée par deux demi-droites issues d'un même point appelé sommet de l'angle. Le point O est le sommet de l’angle. [OA) et [OB) sont les côtés de l’angle.

Les angles sont désignés par les lettres grecques ,etc. On peut aussi désigner les angles au moyen de 3 points ;

on place dans ce cas le "point-sommet" au milieu et on note AOB . 2) On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un système d'axe orthonormé. On représente un angle dans le cercle trigonométrique en plaçant le sommet au centre du cercle et un de ses cotés sur l’axe Ox positif. Nous voulons maintenant mesurer un angle dans cette situation : 3) Un degré est la mesure d'un angle dont le sommet est sur le centre d'un cercle et dont les côtés interceptent un arc de cercle égal à 1/360 de la circonférence. Notation : 1 degré = 1. Remarques : Afin de ne pas alourdir la notation, on note de la même façon un angle et sa mesure. Autrement dit : on parlera « d’angle de 45» ou « = 45» par exemple.

L'instrument le plus utilisé pour mesurer un angle en degré est le rapporteur (demi-cercle subdivisé en 180 parties égales). 4) La mesure en radians d'un angle dont le sommet est sur le centre d'un cercle trigonométrique est la longueur de l’arc de cercle intercepté par l'angle.

Remarques : Le périmètre du cercle trigonométrique = 2 car P = 2r et r = 1 La mesure d'un angle en radian est généralement exprimée en multiple de . 5) On dit que deux angles sont égaux s’ils ont la même mesure en radians (ou en degrés).

A

B

O

0

1

-1

-1 1

135

225 315

y

x


Activité 1 Donner la mesure en degré et en radian des angles suivants.

Formule de conversion degrés / radians

Si x est la mesure en radian de l’angle et en degrés, on a : o

o

x

2 360

Autrement dit, x est proportionnel à et réciproquement. Exemples

x 45 45 1Si 45 alors x 2 x 2 x

2 360 360 8 4

1 14Si x alors 360 454 2 360 8 360 8

0

1

-1

-1 1

y

x


Conventions

Jusqu'à présent, nous avons naturellement étudié les angles dont la mesure était comprise entre 0° et 360° (ou 0 et 2 radians). Nous allons maintenant étendre cette notion et considérer des « angles » dont la mesure est dans . a) Selon qu'on parcourt le cercle dans un sens ou dans un autre, on peut considérer la mesure de l'angle avec un signe ; on parle alors d'angle orienté.

La convention que nous choisirons est celle qui considère la mesure de :

- nulle si l’angle correspond à la partie positive de l’axe Ox.

- positive si on va dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On appelle ce sens le sens trigonométrique ou sens anti-horaire.

- négative si on va dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire).

b) A partir d'un angle 0 ;360 donné, par exemple 60 ,

on se rend compte que les « angles » :

60 360 , 60 2 360 , 60 3 360 , .......

mais aussi 60 360 , 60 2 360 , 60 3 360 , .......

sont équivalents. Ces angles sont situés au même endroit sur le cercle trigonométrique.

L'ensemble de tous ces angles est noté en degré : 60 60 k 360 k .

On dit que 60 k 360 k est une classe d'équivalence et 60 est son représentant.

En radian cela donne : x 0 ;2 , par exemple x3

:

3

est équivalent à : 2 , 2 2 , 3 2 , .......

3 3 3

mais aussi à : 2 , 2 2 , 3 2 , .......3 3 3

Ces angles sont situés au même endroit sur le cercle trigonométrique.

L'ensemble de tous ces angles est noté en radians : k 2 k3 3

On dit que k 2 k3

est une classe d'équivalence et 3

est son représentant.

= 60

1 O 1

1

1

+

= 0

= 60

1 O 1

1

1

+

x = 0


1

1

1

0 1

Définition

En degrés : Deux angles et sont équivalents si et seulement si k 360 k

En radians : Deux angles et sont équivalents si et seulement si k 2 k

Remarque

Si et sont équivalents alors ils sont représentés au même endroit sur le cercle trigonométrique. Exemples

a) Pour trouver la classe d'équivalence d'un angle on utilise la division euclidienne :

1000 360 1000 2 360 280

720 2

280 1000 280 280 k 360 k

280 est le reste de la division euclidienne de 1000 par 360 . b) Pour savoir si deux angles donnés sont équivalents on résout l’équation suivante et on vérifie que la solution est un nombre relatif : Considérons 1230 et 210 et résolvons l’équation : k 360

210 1230

210 1230 k 360 k 4360

. Ils sont donc équivalents.

Considérons 100 et 1000 et résolvons l’équation : k 360

1000 100

1000 100 k 360 k 2,5360

. Ils ne sont donc pas équivalents.

Exercice 75

a) Dessiner un cercle trigonométrique

b) Représenter sur le cercle trigonométrique les angles suivants :

1) 2880 2) 405 3) 810 4) 210 5) 180

6) 855 7) 2100 8) 6 9) 6

10)

3

11) 8

3

12)

13

4

13)

31

6

14)

2

3

15)

15

2

16) 9

4

17)

6

Indication :

Trouver si nécessaire la classe d'équivalence de l’angle en utilisant la division euclidienne.


Exercice 76

Représenter sur un cercle trigonométrique les angles suivants :

1) 2

k k3

2) 2

k k3

3) 3

k k4

4) k k6 4

5) k k6 2

6) 2

k k6 3

7) 5

3

8) 0 9)

Exercice 77

Vrai ou faux ? Justifier votre réponse en résolvant une équation. 1) 1000° est équivalent à 560°. 2) 180° est équivalent à 1620°.

3) est équivalent à 7

3

. 4) et 180° sont équivalents.

5) 40 est équivalent à 4. 6) Si k 720 k alors et sont équivalents.

7) 1300° est équivalent à 5

2

. 8) 180° est équivalent à 180°.


2.7.2 Définition de sin(), cos() et tan() Chaque angle au centre dont l’une des demi-droites est confondue avec la partie positive de l’axe Ox, donne dans un cercle trigonométrique :

Un nombre , qui est la mesure de l'angle en degrés ou en radians.

Un point P, qui est le point d’intersection entre le cercle trigonométrique et l’angle .

Un point T, qui est le point d’intersection entre la droite tangente au cercle passant par le point (1;0) et l’angle . Définitions

1) Le cosinus de l'angle (noté cos()) est la première coordonnée du point P.

2) Le sinus de l'angle (noté sin()) est la deuxième coordonnée du point P.

3) Le tangente de l'angle (noté tan()) est la deuxième coordonnée du point T.

Remarques

a) On peut donc noter ainsi les points P et T : P cos ;sin , T 1;tan

b) cos(), sin() et tan() sont des nombres réels. Cette notation indique que ces quantités dépendent de la mesure de . c) Cas particuliers pour tan() :

0

1

-1

-1 1

tan()

sin()

cos()

T

P

y

x

tan() T

P

tan() T

P


Exercice 78

a) Compléter le tableau suivant en vous aidant en autre, du dessin ci-dessous et de la calculatrice :

2

4

0

4

2

3

4

5

4

3

2

7

4

2

9

4

5

2

cos( )

sin( )

tan( )

b) Représenter sur le dessin ci-dessous :

1) cos6

et cos6

2) sin4

et sin4

3) tan4

et tan4

4) 2

cos 23

5) sin 3 2

6) 3

tan4

et 3

tan4

7) tan2

8) cos3

Exercice 79

Déterminer dans quel quadrant se trouve un angle dont :

1) le sinus est positif et le cosinus est négatif.

2) le sinus est négatif et le cosinus est positif.

3) le sinus est négatif et le cosinus est négatif.

4) la tangente est positive et le sinus est négatif.

5) la tangente est négative et le sinus est négatif.

6) la tangente est négative et le cosinus est positif.

7) la tangente est positive et le cosinus est négatif.

8) la tangente est positive et le cosinus est positif.

-1 1

-1

1

0

Q 2 Q 1

Q 3 Q 4

x

y

0

1

-1

-1 1

y

x


2.7.3 Relations trigonométriques

Pour tout , et k :

1) 1 sin 1 2) 1 cos 1 3) tan

4)

sintan

cos

5) 2 2cos sin 1 6) sin k 2 sin

7) cos k 2 cos 8) tan k tan 9) cos cos

10) sin sin 11) cos sin2

12) sin cos2

13) cos cos 14) sin sin

Remarques

1) Il existe beaucoup d'autres relations trigonométriques dont certaines vont être étudiées dans ce cours. Toutes ces relations (et bien plus) figurent dans la table C.R.M.

2) 2 2 22 2 2Notations : sin sin ; cos cos ; tan tan

Démonstration de quelques relations Relation 4) Théorème de Thalès :

On a deux triangles semblables donc

cos sin tan sin

1 tan 1 cos

Relation 10) P et P' sont symétriques par rapport à l'axe Ox, d'où : sin sin

tan()

sin()

cos()

1

0 1

1

P

T

1

0 1

1

P

P '

-

-1

x


Exercice 80

Démontrer que pour tout et k : (dessin et brève explication exigée pour chaque cas)

1) 1 sin 1 2) 1 cos 1 3) tan

4)

sintan

cos

5) 2 2cos sin 1 6) sin k 2 sin

7) cos k 2 cos 8) tan k tan 9) cos cos

10) sin sin 11) cos sin2

12) sin cos2

13) cos cos 14) sin sin

Exercice 81 Vérifier les identités trigonométriques suivantes :

1) 2

2

11 tan

cos

2) 2

cos sin 2cos sin

3) 1

tan sin coscos

4) 2 25 sin 5 cos 5

5) 2 21 sin ( ) 1 tan ( ) 1 6) 1

sin tan coscos

7) 2 2sin 8 cos 12 1 8)

22

2

1 tan1 2 sin

1 tan

Indication : Utiliser les propriétés trigonométriques vues en cours.


Rapports trigonométriques Quel lien y a-t-il entre les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle étudié en 1ère année et la définition de sin , cos et tan dans le cercle trigonométrique ?

Rappel (vu en 1ère année)

À partir du triangle ABC rectangle en C, on définit les relations suivantes :

a b asin cos tan

c c b

Explications

On place le triangle rectangle sur le cercle trigonométrique.

On a trois triangles semblables et rectangles.

On utilise le théorème de Thalès :

cos cos1 b

c b 1 c

sin sin1 a

c a 1 c

tan tan1 a

b a 1 b

Conclusion

La définition de sin , cos et tan donnée au cours de 1ère année dans le triangle rectangle

et au cours de 2ème année dans le cercle trigonométrique est équivalente. Cependant les rapports trigonométriques sont définit que pour un angle compris entre 0 et 90 alors que dans le cercle trigonométrique peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

b

c a

A

B

C

0

1

1

b

c

a

A

B

C

cos()

tan() sin()

1


Valeurs exactes Ci-contre nous avons les valeurs exactes

de cos(), sin() et tan() pour cinq angles

compris entre 0 et 90 (0 et / 2 ). Voici comment obtenir ces valeurs exactes : Pour = 30 :

• Triangle équilatéral, donc 1sin 30

2

(demi-base du triangle équilatéral)

• Pythagore : 2

2 21cos 30 1

2

2 3 3 3cos 30 cos 30

4 4 2

•

1sin 30 1 1 3 32tan 30cos 30 33 3 3 3

2

Pour = 60 :

• Triangle équilatéral, donc 1cos 60

2

(demi-base du triangle équilatéral)

• Pythagore : 2

2 21sin 60 1

2

2 3 3 3sin 60 sin 60

4 4 2

•

3sin 60 2tan 60 3

1cos 602

Pour = 45 : • tan 45 1 (carré de côté 1)

• Carré de diagonale 1 et x sin 45 cos 45

Pythagore : 2 2 2x x 1

2 2 1 1 1 22x 1 x x

2 2 22

cos() sin() tan()

0 0 1 0 0

/6 30 3

2

1

2 3

3

/4 45 2

2

2

2 1

/3 60 1

2 3

2 3

/2 90 0 1

tan(30°) sin(30°)

cos(30°)

60°

60°

60° P

T

0 1

1

30

1

tan(45°)

sin(45°)

cos(45°)

45° 45°

1

0 1

1

P

T

0 1

1

60°

30

60°

60°

P

1

cos(60°)

sin(60°)


Résumé

3 1,73

30,87

2

20,71

2

30,58

3

0

1

-1

-1 1

0 = 0

x

y


Exercice 82

Nous connaissons les valeurs exactes du sinus et du cosinus de quelques angles :

En utilisant le cercle trigonométrique se situant à la page précédente et le tableau ci-dessus, déterminer les valeurs exactes suivantes sans calculatrice : Exemple : cos 71 cos 35 2 cos 1

1) 5

sin6

2) 2

cos3

3) 3

cos4

4) sin 71

5) 15

sin6

6) 22

cos3

7) 7

cos4

8) sin 111

9) 5

sin6

10) 5

cos3

11) 9

cos4

12) 111

sin2

13) 13

sin6

14) 7

cos3

15) 121

cos4

16) 5

sin2

Exercice 83

a) Quels sont les angles en radians compris entre 0 et 2 dont :

1) 2sin

2 4) tan 1 7) cos 2

2) 1sin

2 5) tan 3 8) 1

cos2

3) sin 0 6) tan 3 9) 3cos

2

b) Mêmes questions qu’au point a) mais pour des angles en radians sur .

cos() sin()

0 0 1 0

/6 30 3

2

1

2

/4 45 2

2

2

2

/3 60 1

2 3

2

/2 90 0 1


2.7.4 Définition des fonctions trigonométriques Définition

Les fonctions trigonométriques associent à chaque mesure d'angle x en radian, l'unique valeur sin(x), cos(x) et tan(x).

Autrement dit: sin : x sin x y cos : x cos x y tan : x tan x y

Activité 2

1) En vous aidant du cercle trigonométrique, tracer le graphique de la fonction trigonométrique f x sin x dans le repère ci-dessous pour x 2 ;2 :

fD Zéros de f ( sur ) :

Puisque sin x 2 sin x x , on dit que la fonction sinus est 2 périodique.

2) En vous aidant du cercle trigonométrique, tracer le graphique de la fonction trigonométrique g x cos x dans le repère ci-dessous pour x 2 ;2 :

gD Zéros de g ( sur ) :

Puisque cos x 2 cos x x , on dit que la fonction cosinus est 2 périodique.


3) En vous aidant du cercle trigonométrique, tracer le graphique de la fonction trigonométrique

h x tan x dans le repère ci-dessous pour 3 3

x ;2 2

:

hD Zéros de h ( sur ) :

Puisque tan x tan x x , on dit que la fonction tangente est périodique.


2.7.5 Fonctions sinusoïdales (fonctions d'ondes)

x xf A sin x g A cos x

*A>0 , >0 A, les paramètres des fonctions sinusoïdales.

Exemples 1 1f x 2 sin 3 x A 2 ; 3 et g x 10 cos x A 10 ;

2 2

Influence du paramètre A f x A sin x 1

1

2

3

f x sin x A 1

f x 2 sin x A 2

1 1f x sin x A

2 2

Remarques

1) On obtient le graphique de f x A sin x à partir du graphique de f x sin x en

multipliant les valeurs de sin x par A. Si x est tel que : sin x 0 A sin x 0 .

2) La plus grande image, en valeur absolue, d’une fonction sinusoïdale est appelée l'amplitude A de la fonction sinusoïdale.

Exemple : La fonction 2f x 2 sin x n’admet pas d’image supérieure à 2 ou inférieure à 2 ;

son amplitude A est donc de 2.

Influence du paramètre g x 2 sin x A 2

1

2

3

g x 2 sin x 1

g x 2 sin 2 x 2

1 1g x 2 sin x

2 2

Remarques

1) La période T d’une fonction sinusoïdale est égale à 2

.

Exemple : La période de la fonction 2g x 2 sin 2 x est 2

T2

.

2) Une fonction g est T périodique s'il existe un nombre réel positif tel que : g x T g x g x D . Le plus petit nombre réel positif T s'appelle la période de g.

Exemple : 2g est périodique car 2 2 gg x g x x D


Exemple Étude de la fonction sinusoïdale h x 2 sin 2 x A 2 ; 2

1) L'amplitude de la fonction h est : A= 2 .

2) La période de la fonction h est : 2

T

. (Le même « motif » se répète tous les ).

h est périodique car h x h x hx D .

3) L'ordonnée à l'origine de la fonction h est : h 0 2 sin 2 0 0

4) Schéma d’une période :

5) Zéros de h : Graphiquement x 0 k k2

(multiples de

2

avec un reste de 0)

Il y a une infinité de zéros. La distance entre deux zéros consécutifs est égale à la moitié de la période T.

6) Minimums de h : Graphiquement 3

x k k4

(multiples de avec un reste de 3

4

)

La valeur minimum est : y 2

Il y a une infinité de valeurs de x qui admettent un minimum. La distance entre deux minimums consécutifs est égale à la période T.

7) Maximums de h : Graphiquement x k k4

(multiples de avec un reste de4

)

La valeur maximum est : y 2 .

Il y a une infinité de valeurs de x qui admettent un maximum. La distance entre deux maximums consécutifs est égale à la période T.


Exercice 84

Soient les fonctions f, g et h définies par :

1f x cos x , g x 3 cos x et h x cos x

3

1) Déterminer l’amplitude A et la période T de chaque fonction.

2) Tracer le graphique de ces fonctions sur un même repère pour x 2 ;2 .

3) Indiquer clairement sur les graphiques de ces fonctions la période et l’amplitude. Exercice 85

Soient les fonctions f, g et h définies par :

1f x 2 cos x , g x 2 cos 2 x et h x 2 cos x

2

1) Déterminer l’amplitude A et la période T de chaque fonction.

2) Tracer le graphique de ces fonctions sur un même repère pour x 2 ;2 .

3) Indiquer clairement sur les graphiques de ces fonctions la période et l’amplitude. Exercice 86

a) Soient les fonctions f, g et h définies par :

1 1f x sin x , g x 2 cos x et h x 4 sin x

2 4 2

1) Étudier les fonctions sinusoïdales f, g et h :

i) amplitude. ii) période.

iii) ordonnée à l'origine. iv) schéma d’une période.

v) tous les zéros.

vi) toutes les valeurs de x pour lesquelles f admet un minimum et la valeur minimum.

vii) toutes les valeurs de x pour lesquelles f admet un maximum et la valeur maximum. 2) Tracer précisément le graphique de:

i) f pour x 8 ;8 . 2) g pour x 5;5 . 3) h pour x 4;4 .

3) Indiquer clairement sur les graphiques de ces fonctions la période et l’amplitude.

b) Soient f x A sin x et g x A cos x A 0 et 0 .

Démontrer que f et g sont T périodiques avec 2

T

.

Indication : Résoudre les équations f x f x T et g x g x T

avec T comme inconnue.


Exercice 87 Étude des fonctions sinusoïdales Chacun des graphiques suivants représente une fonction du type :

f x Asin x g x Acos x (fonctions sinusoïdales)

Déterminer graphiquement pour chacune de ces fonctions : (réponses en valeur exacte)

1) l'expression algébrique. 2) tous les zéros.

3) toutes les valeurs de x qui admettent un minimum et la valeur minimum.

4) toutes les valeurs de x qui admettent un maximum et la valeur maximum. a)

b)

c)


d)

e)

f)


Exercice 88 Médecine : Travail du cœur. L’action de pompage du cœur se compose d’une phase systolique, durant laquelle le sang du ventricule gauche est expulsé dans l’aorte, et d’une phase diastolique, durant laquelle le muscle cardiaque se détend.

Pour un individu donné, la phase systolique dure 1/4 seconde et a un débit maximal de 8 litres par minute.

Déterminer, en observant le graphique ci-dessous, l’expression algébrique de la fonction f décrivant la relation entre le débit sanguin D et le temps t sur l’intervalle 0;1 sachant que la phase

diastolique est modélisée par une fonction sinusoïdale.

Exercice 89 Médecine : Analyse du mécanisme de la respiration.

Le processus rythmique de la respiration consiste en une alternance de périodes d’inspiration et d’expiration. Un cycle complet a normalement une durée de 5 secondes. 1) Si F t décrit le flux d’air pendant un temps t (en litres par seconde)

et si le flux maximum est de 0,6 litre par seconde, trouver une fonction de la forme : F t a sin b t qui modélise cette

information. 2) Représenter graphiquement la fonction pour t 0 ;12,5 .


Exercice 90 Définition d'un mouvement harmonique simple. Les fonctions sinusoïdales sont utilisées dans l’étude de mouvements oscillatoires ou vibratoires, par exemple le mouvement d’une particule dans une corde de guitare en vibration ou dans un ressort qui a été comprimé ou étiré avant d’être relâché, générant ainsi un mouvement oscillatoire de va-et-vient. Ces exemples décrivent un type fondamental de déplacement de particule appelé mouvement harmonique.

Définition

Un point se déplaçant sur un axe de coordonnées est en mouvement harmonique simple si sa distance d par rapport à l’origine à un temps t est donnée par :

d a sin w t ou d a cos w t où a et sont constants, avec a et > 0.

Dans la définition précédente, l’amplitude du mouvement est le déplacement maximal a de ce point par rapport à l’origine.

La période 2

T

est le temps nécessaire pour une oscillation

complète. L’inverse de la période, 1

fT 2

, est le nombre

d’oscillations par unité de temps et se nomme la fréquence. Nous pouvons interpréter physiquement un mouvement harmonique simple en observant un ressort auquel est fixée une masse qui oscille verticalement le long d’un axe de coordonnées, comme représenté dans la figure ci-contre. Le nombre d représente la coordonnée d’un point fixe Q de la masse, et nous supposons que l’amplitude a du mouvement est constante. Dans ce cas, aucune force de frottement ne freine le mouvement. Si une force de frottement est présente, alors l’amplitude diminue avec le temps et le mouvement est dit amorti. Enoncés

Un point Q en mouvement harmonique simple a une période de 3 s et une amplitude de 5 cm.

1) Exprimer le mouvement de Q à l’aide d’une fonction de la forme d t a cos w t .

2) Déterminer pour la fonction d t :

a) tous les zéros. b) toutes les valeurs de t pour lesquelles d admet un minimum et la valeur d minimum. c) toutes les valeurs de t pour lesquelles d admet un maximum et la valeur d maximum.

3) Représenter graphiquement la fonction d t pour t 0;10

Un point P en mouvement harmonique simple a une fréquence de 1/2 oscillation par minute et une amplitude de 1,2 m.

4) Exprimer le mouvement de P à l’aide d’une fonction de la forme d t a sin w t .

5) Déterminer pour la fonction d t :

a) tous les zéros. b) toutes les valeurs de t pour lesquelles d admet un minimum et la valeur d minimum. c) toutes les valeurs de t pour lesquelles d admet un maximum et la valeur d maximum.

6) Représenter graphiquement la fonction d t pour t 0;10


2.7.6 Fonctions trigonométriques réciproques On aimerait répondre aux trois questions suivantes :

1) Étant donné un nombre y entre 1 et 1, comment trouver une valeur x telle que sin(x) = y ?

2) Étant donné un nombre y entre 1 et 1, comment trouver une valeur x telle que cos(x) = y ?

3) Étant donné un nombre réel y, comment trouver une valeur x telle que tan(x) = y ? Voici une représentation graphique de la fonction sinus :

sin : 1;1

Déterminons un intervalle de l'axe des abscisses de telle sorte que chaque nombre de l'intervalle 1;1 possède exactement une et une seule préimage.

Définition

La fonction arc sinus est définie comme suit :

arcsin : 1;1 2 ; 2

y x tel que sin(x) = y ; x 2 ; 2

Donc : arcsin y x y sin x , pour x ;2 2

Les calculatrices affichent en général « sin 1 » au lieu de « arcsin ». Activité 3

a) Déterminer, en utilisant la fonction arc sinus et votre calculatrice, une valeur 0;2

tel que 1sin

2 .

b) Y a-t-il d’autre(s) valeur(s) 0;2 qui satisfont 1sin

2 ?

c) Que constate-t-on par rapport à l’utilisation de votre calculatrice ?


Voici une représentation graphique de la fonction cosinus :

cos : 1;1

Déterminons un intervalle de l'axe des abscisses de telle sorte que chaque nombre de l'intervalle 1;1 possède exactement une et une seule préimage.

Définition

La fonction arc cosinus est définie comme suit :

arccos : 1;1 0 ;

y x tel que cos(x) = y ; x 0 ;

Donc : arccos y x y cos x , pour x 0 ;

Les calculatrices affichent en général « cos 1 » au lieu de « arccos ». Activité 4

a) Déterminer, en utilisant la fonction arc cosinus et

votre calculatrice, une valeur 0;2 tel que 1cos

2 .

b) Y a-t-il d’autre(s) valeur(s) 0;2 qui satisfont 1cos

2 ?



Voici une représentation graphique de la fonction tangente :

tan : \ 2 k | k

Déterminons un intervalle de l'axe des abscisses de telle sorte que chaque nombre réel possède exactement une et une seule préimage. Définition

La fonction arc tangente est définie comme suit :

arctan : 2 ; 2

y x tel que tan(x) = y ; x 2 ; 2

Donc : arctan y x y tan x , pour x ;2 2

Beaucoup de calculatrices affichent « tan 1 » au lieu de « arctan ». Activité 5

a) Déterminer, en utilisant la fonction arc tangente et votre calculatrice, une valeur 0;2

tel que tan 1 .

b) Y a-t-il d’autre(s) valeur(s) 0;2 qui satisfont tan 1 ?



2.7.7 Équations trigonométriques

Définition

Une équation trigonométrique est une équation où l'inconnue se trouve comme argument de fonctions trigonométriques.

Exemples 3sin 2x ; cos 2x cos x ; tan 2x 1

2

Exercice 91

Résoudre les équations trigonométriques suivantes et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique : (réponses en radians)

1) 1cos x

2 2) 1

sin x2

3) tan x 1 4) sin x 0,2

5) tan x 0 6) 2cos x

2 7) cos x 0,3 8) 3

sin x2

9) cos x 1 10) 1sin x

2 11) tan x 2 12) cos x 3

Indication : Utiliser le cercle trigonométrique ainsi que votre calculatrice avec les touches « sin 1 » , « cos 1 » et « tan 1 » . Résolution d’équations trigonométriques de type

1) cos ax b cos cx d 2) sin ax b sin cx d 3) tan ax b tan cx d

Exemples

1) Résolvons l’équation : cos 2x cos 2x

Autrement dit : on cherche les nombres x réels qui satisfont l’égalité.

Substitution : y 2x et z 2x

y z k2cos y cos z k

y z k2

Sub 2x 2x k2k

2x 2x k2

0x k2

k4x k2

x k k4 2

S k k4 2

Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique :


2) Résolvons l’équation : sin ax b sin cx d

Substitution : y ax b et z cx d

y z k2

sin y sin z ky z k2

ax b cx d k2k

ax b cx d k2

…… 3) Résolvons l’équation : tan ax b tan cx d

Substitution : y ax b et z cx d

tan y tan z y z k2 k

ax b cx d k2 k

…… Exercice 92

Résoudre les équations trigonométriques suivantes et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique : (réponses en radians)

1) cos 3x cos x4

2) sin 2x sin x4

3) tan 3x tan x4

4) sin 3x sin x4

5) tan 2x tan x4

6) 2sin 2x sin

3

7) sin 3x sin x2

8) tan 3x tan 2x 9) cos x cos 2x

10) cos 3x sin4


Exercice 93 1) Soit la fonction f définie par : f x 2 cos 3 x

Déterminer algébriquement pour f : a) tous les zéros. (résoudre une équation)

b) toutes les valeurs de x pour lesquelles f admet un minimum et la valeur minimum. (résoudre une équation)

c) toutes les valeurs de x pour lesquelles f admet un maximum et la valeur maximum. (résoudre une équation)

2) Soit la fonction g définie par : 1g x 3 sin x

4

Déterminer algébriquement pour g : a) tous les zéros. (résoudre une équation)

b) toutes les valeurs de x pour lesquelles g admet un minimum et la valeur minimum. (résoudre une équation)

c) toutes les valeurs de x pour lesquelles g admet un maximum et la valeur maximum. (résoudre une équation)


2.7.8 Exercices supplémentaires * Proposition *

Soit f x A sin x et g x A cos x avec *A, et

1) A est l’amplitude de f et g .

2) Les fonctions f et g sont 2

T

périodiques, c’est-à-dire :

f x f x T et g x g x T fx D

Illustration De plus

3) La translation horizontale entre le graphique de 1f x A sin x

et 2f x A sin x est appelé déphasage et vaut

.

Illustration 1f x A sin x et 2f x A sin x

Démonstration * En exercice

f1

A

A

x

y f2

f

A

A

x

y


= 4

f

A=2

x

y

0 1 2 3 4

Exercice 94 *

a) Etudier les fonctions sinusoïdales f x 3 sin 2 x et g x 3 sin 2 x2

.

L’étude comprend les points suivants : i) Déterminer le domaine de définition de f et de g .

ii) Déterminer l’amplitude de f et de g .

iii) Déterminer la période de f et de g .

iv) Déterminer le déphasage entre f et g.

v) Calculer l’ordonnée à l'origine de f et de g .

vi) Déterminer les zéros de f et de g sur . (résoudre une équation)

vii) Déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles f (respectivement g) admet un minimum et la valeur minimum. (résoudre une équation)

viii) Déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles f (respectivement g) admet un maximum et la valeur maximum. (résoudre une équation)

b) Tracer le graphique de f et de g sur le même repère et sur l’intervalle T ;T .

c) Indiquer sur le repère précédant l’amplitude, la période des fonctions f et g ainsi que le déphasage entre les fonctions f et g.

d) Déterminer la 1ère coordonnée des points d’intersections entre le graphique de f et g sur l’intervalle T ;T .(résoudre une équation)

Exercice 95 *

Même énoncé que l’exercice précédant mais avec :

1f x 4 cos x

2

et 1g x 4 cos x

2

Exercice 96 *

Soit f une fonction sinusoïdale qui est T 4 périodique c’est-à-dire que f x f x 4

x . L’amplitude de la fonction f est A 2 . Déterminer :

a) f 17 b) f 200 c) f 555 d) f 6 e) f 102 f) f 553

Indication : Utiliser la division euclidienne.


Exercice 97 * a) Démontrer que la période des fonctions f x A sin x et g x A cos x

vaut 2

T

.

Indication : Résoudre l’équation f x f x T et g x g x T

b) Démontrer que la translation horizontale (appelé déphasage) entre le graphique de

1f x A sin x et 2f x A sin x vaut

.

Indication : Déterminer les zéros de f et de g et comparer. c) Démonter que si une fonction est T périodique c’est-à-dire que f x f x T x

alors f x f x k T x k

Exercice 98 *

Un raz de marée d’une hauteur totale de 15 m et dont la période temporelle des vagues est de 30 minutes s’approche d’une digue qui est à 3,75 m au-dessus du niveau de la mer (voir figure). 1) Exprimer le mouvement des vagues à l’aide d’une fonction de la forme y a cos w t

2) Déterminer pendant combien de minutes environ le sommet de la vague se trouve au-dessus du sommet de la digue en une période de 30 minutes.


P

P'

O

x

y

1

1

u

z

v

w

Exercice 99 *

Démontrer que pour tout , :

1) sin sin cos cos sin

2) cos cos cos sin sin

3)

tan tantan

1 tan tan

Indications

Observer le dessin et repérer les triangles semblables.

Utiliser le théorème de Thalès. Remarques

sin sin sin ; cos cos cos ; tan tan tan


Exercice 100 * Considérons les relations trigonométriques suivante, vraies pour tout , : 1) sin sin cos cos sin


3) sin sin cos cos sin


5) sin sinsin cos

2

6) cos coscos cos

2

7) sin sin 2 sin cos2 2

8) cos cos 2 cos cos2 2

9) sin 2 2 sin cos

10) 2 2cos 2 cos sin

11) 3 2sin 3 sin 3 sin cos

12) 3 2cos 3 cos 3 sin cos

13) 1 cos

sin2 2

14) 1 cos

cos2 2

Démontrer algébriquement : a) 3) et 4) à l’aide de 1) et 2) .

b) 5) à l’aide de 1) et 3) .

c) 6) à l’aide de 2) et 4) .

d) 7) à l’aide de 5) et du changement de variable suivant : u et v .

e) 8) à l’aide de 6) et du changement de variable suivant : u et v .

f) 9) et 10) à l’aide de 1) et 2) .

g) 11) à l’aide de 1) , 9) et 10).

h) 12) à l’aide de 2) , 9) et 10).

i) 13) et 14) à l’aide de 10) et du changement de variable suivant : u

2 .


P

P'

O

y’

y

x’ x

Exercice 101 *

Introduction

Les logiciels de retouche d’images vous permettent de transformer une image par exemple, en effectuant une rotation. Dans l’exemple explicité ci-dessous, tous les pixels (points) de l’image ont subi une rotation de 90 (valeur d’angle) par rapport à un centre donné, ici O. Enoncé

Le point P (pixel P) dont les coordonnées sont x et y à subi un rotation d’angle par rapport à au centre O(0;0) ; on obtient donc le point P’ (pixel P’) dont les « nouvelles » coordonnées sont x’ et y’. 1) Exprimer x’ en fonction de x, y et et y’ en fonction de x, y et .

2) Si x 3, y 5 et 90 que valent x’ et y’ ?

3) Si x 3, y 5 et 180 que valent x’ et y’ ?

4) Combiens d’opérations élémentaires (+ ; ; ; ) le processeur d’un ordinateur doit-il effectuer si vous décidez de faire subir une rotation de degré à une image de 10 mégapixels (10 millions de pixels) ?

O

y

x

P

Transformation : Rotation de 90 par rapport au centre O.

O

y

x P’ x


Exercice 102 *

Calculer sans machine la valeur exacte de :

1) sin 75 2) sin 15 3) cos 75 4) cos 15

5) cos 165 6) sin 165 7) tan 75 8) tan 15

Indication : Utiliser les relations trigonométriques suivantes.

a) sin sin cos cos sin b) cos cos cos sin sin

c) sin sin cos cos sin d) cos cos cos sin sin

e)

tan tantan

1 tan tan

Exercice 103 *

Résoudre les équations trigonométriques suivantes : (réponses en radians) 1) sin cos 2) tan x sin x 3) 2cos 2x cos x

4) 2sin 2x sin x 5) tan x cos x 6) 22 8 cos ( ) 0

Indication : Utiliser certaines relations trigonométriques vues en cours.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2018-2019 101 Fonctions /2 N-A

2.8 Ce qu’il faut absolument savoir 1 Connaître la définition d’une fonction ok

2 Déterminer le domaine de définition d’une fonction ok

3 Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine d’une fonction ok

4 Lire une image et une préimage à partir du graphique d’une fonction ok

5 Tracer le graphique d’une fonction d’après un tableau de valeurs ok

6 Reconnaître et tracer le graphique d’une fonction polynomiale ok

7 Obtenir le tableau des signes d'une fonction polynomiale ok

8 Calculer les zéros et l’ordonnée à l’origine d'une fonction polynomiale ok

9 Maîtriser les opérations sur les fonctions ok

10 Composer et décomposer plusieurs fonctions ok

11 Reconnaître une fonction bijective ok

12 Calculer la réciproque d’une fonction bijective ok

13 Connaître parfaitement les propriétés des puissances ok

14 Connaître parfaitement les propriétés des racines ok

15 Reconnaître et tracer le graphique d’une fonction exponentielle ok

16 Connaître la définition du logarithme en base a ok

17 Connaître parfaitement les propriétés des logarithmes ok

18 Connaître la valeur approchée du nombre e et comment la retrouver sur sa calculatrice ❏ ok

19 Reconnaître et tracer le graphique d’une fonction logarithmique ok

20 Savoir changer la base d’un logarithme ok

21 Pouvoir résoudre une équation simple avec des logarithmes et des exponentielles ok

22 Connaître la définition d’un angle et du cercle trigonométrique ok

23 Connaître la définition d’un degré et d’un radian ainsi que la formule de conversion ok

24 Connaître les principales relations trigonométriques ❏ ok

25 Reconnaître et tracer les fonctions trigonométriques : y = sin(x), y = cos(x) et y = tan(x) ❏ ok

26 Reconnaître et dessiner les fonctions sinusoïdales : y = Asin(x) et y = Acos(x) ❏ ok

27 Pouvoir résoudre une équation trigonométrique simple ❏ ok

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2.9 Solutions des exercices

Ex 1

a) f 7 4 ; f 4 0 ; f 2 1 ; f 0 3 ; f 2 2 ; f 4 2 ; f 5,5 1

b) 1 1 1f 2 5,5 ;4 ; f 0 4;3;7 ; f 2 2,5 ; 1 ;2

1 1 1f 3 0;1,5 ; f 4 1 ; f 4,5

c) Zéros de f : 1f 0 4;3;7 ; Ordonnée à l'origine de f : f 0 3 .

Ex 2

a) f 2 30 ; f 0 24 ; f 8 0 b) f 2 0 ; f 0 4 ; f 8 60

c) f 2 5 ; f 0 3 ; f 8 5 d) f 2 1,2 ; f 0 0 ; 24f 8

65

Ex 3

a) 1f 1 1 1 7f 0

8

1 5

f 28

b) 1 f 1 1f 0 0 1 f 2 1;1

c) 1f 1 1 1f 0 0 1f 2 8

d) 1f 1 1f 0 1f 2 Ex 4

x j(x) x f(x) x h(x) x g(x) 3 7,5 3 2 3 7,5 3 8 2 7 2 3 2 5 2 3 1 6,5 1 4 1 2,5 1 0 0 6 0 5 0 0 0 1 1 5,5 1 6 1 2,5 1 0 2 5 2 7 2 5 2 3 3 4,5 3 8 3 7,5 3 8

Ex 5

a) fD f 0 2 1 2f 0

3

b) fD f 0 9 1f 0 3;3

c) fD f 0 0 1f 0 0;1

d) fD f 0 0 1f 0 0

e) fD 5; f 0 5 1 f 0 5

f) fD \ 3 5f 0

3 1f 0

g) fD \ 1;1 f 0 0 1f 0 0

h) fD \ 2;2 1f 0

2 1f 0

i) fD f 0 0 1f 0 0

j) fD f 0 0 1f 0 0

k) fD 4;5 5; f 0 1f 0 4

l) fD 2;2 f 0 1 1f 0 2


Ex 6

a) gD b) g 0 4 c) g 2 6

d) g 5 36 e) 1g 0 4;1 f) 1g 4 3 ; 0

Ex 7

1) Oui 2) Non 3) Oui 4) Non 5) Non 6) Oui 7) Non Ex 8

La fonction « valeur absolue » est définie par : x si x 0

f x xx si x 0

a) 7 7 ; 7 7 ; 0 0 ; 17 29 12 12

b) a b avec a,b , représente géométriquement

la distance entre les nombre a et b sur l'axe réel. c) Graphique de la fonction f « valeur absolue » sur l'intervalle 5;5 :

d) Vrai 2x x x

e) Soit la fonction h x x 3 .

i) x 3 si x 3 0 x 3 si x 3

h x x 3x 3 si x 3 0 x 3 si x 3

ii) hD ; h 0 3 3 ; 1h 0 3 car h 3 3 3 0 0

f) Soit la fonction k x x 4 .

i) x 4 si x 4 0 x 4 si x 4

k x x 4x 4 si x 4 0 x 4 si x 4

ii) kD ; k 0 4 4 ; 1k 0 4 car k 4 4 4 0 0

Ex 9

3f x x 3x 2 Intersections axe des x (zéros) : 1f 0 2;1

Intersections axe des y (ordonnée à l'origine) : f 0 2

3 2g x x 6 x 11x 6 Intersections axe des x (zéros) : 1g 0 1;2;3

Intersections axe des y (ordonnée à l'origine) : g 0 6

1h x x 3 x 1 x 2

2 Intersections axe des x (zéros) : 1h 0 3;1;2

Intersections axe des y (ordonnée à l'origine) : h 0 3

4 2j x x 10x 9 Intersections axe des x (zéros) : 1j 0 3; 1;1;3

Intersections axe des y (ordonnée à l'origine) : j 0 9


Ex 10

1f x x 3 x 1 x 2 2

1f x x 3 x 1 x 2

2

2

3

5f x x 3 x 2

6 3

4f x 3 x 1

35f x x 2

6

5f x x x 4

8

27

5f x x x 4

8

8

5f x x 3 x 1 x 1 x 2

3

9

20f x x x 2 x 2 x 4

9

3

10

5f x x 2 x 2

16

3

11

5f x x x 4

16 2 2

12

5f x x 4 x 4

128

3

13

5f x x 4 x 8

8

14f x x x 3 x 1 x 1 x 3

15

5f x x 2 x 1 x 1 x 2 x 3

12 2 2

16

10f x x x 1 x 3

9

Ex 11

f est représentée en d). g est représentée en b).

h est représentée en a). j est représentée en c). Ex 12

a) 2f x 3x x 1 x 2

b) 2

3g x 5x x 1 x 2 2

4g x 2x x 1 2 x

Ex 13 a.1) Impossible a.2) Par exemple : 2

0

f x 3 x 1 x 2

a.3) Impossible a.4) Par exemple : 3f x 2 x 2

a.5) Par exemple : 2f x x 1 x 1 a.6) Par exemple : f x x 1 x 1 x 2

b.1) Par exemple : 2 2

0 0

g x x 1 x 2

b.2) Par exemple : 4g x 2 x 2

b.3) Impossible b.4) Par exemple : 2 2

0

g x x 1 x 2

b.5) Par exemple : 3g x x 2 x 2 b.6) Par exemple : 2 2

g x x 1 x 1

b.7) Par exemple : 2

0

g x x 1 x 1 x 2

b.8) Impossible b.9) Par exemple : g x x 5 x 1 x 1 x 2

c1) Impossible. c2) Par exemple : 5h x 2 x 3

c3) Impossible car 4h x a x b x c c4) Par exemple : 3 2 2

0

h x x 1 x 2

c5) Impossible c6) Par exemple : 2 2 2 2

0 0

h x x 1 x 2 x 3


Ex 14 C’est la fonction 4 3 35

1 1f ( x ) x 3 x 2x x x 3 x 2

10 10

Ex 15

1) x 0;6 2) 3 2V x 12 2x 12 2x x 4x 48x 144x (fonction polynomiale de degré 3)

3) zéros : x = 6 et x = 0 4) V(1) = 100 cm3 et V(3,2) 100 cm3.

5) Graphiquement, le volume est maximal pour x 2 cm.

6) Le volume maximal est V(2) 128 cm3 et les dimensions de la boîte sont : largeur = profondeur = 8 cm et hauteur = 2 cm Ex 16

1) Volume 3 21V x volume du cube volume du prisme x x 6 x

2 où h 6 x .

2) 0 x 6 3) 362,208 m 4) x = 4 est l’unique valeur réelle qui vérifie l’équation.

Ex 17

a) 3

x 1 A2

; 9

x 1 A2

; x 2 A 0

b) 2

3 2x 2 4 x 1

A x x x 2x 42 2


c) L'aire du triangle est maximale pour x 0,7.

d) L'aire maximale du triangle est A(0.7) 4.8 et les dimensions du triangle sont :

base = x 2 + 0.7 = 2.7 ; hauteur = f(0.7) 3.51 Ex 18

1) T = 0 à 0h et 12h , T 0 entre 0h et 12h , T 0 entre 12h et 24h

3) Graphiquement, environ entre 14h30 et 22h30.

Ex 19 a) f , g et h Réponse : oui j et k Réponse : non

b) Etude de la fonction homographique : 3 4

2

xf x

x

1) fD \ 2 2) 1 4f 0

3

3) 4

0 22

f

4) Tableau des signes : 8) Graphique de 3 4

2

xf x

x

:

5) Division euclidienne : 3 4 103

2 2

xf x

x x

6) f possède une A.V. d’équation 2x

f possède une A.H. d’équation 3y

7) Centre de symétrie : 2;3I

x 4

3 2

3 4x 0 + + + x 2 0 +

f(x) + 0 +


Etude de la fonction homographique : 1

3g x

x

1) gD \ 3 2) 1g 0 3) 1g 0 0,3

3

4) Tableau des signes : 8) Graphique de 1

3g x

x

:

5) Division euclidienne : 10

3g x

x

6) g possède une A.V. d’équation 3x

g possède une A.H. d’équation 0y


Etude de la fonction homographique : 2 1xh x

x

1) *hD

2) 1 1h 0

2

3) h 0

4) Tableau des signes : 8) Graphique de 2 1xh x

x

:

5) Division euclidienne : 2 1 12

xh x

x x

6) h possède une A.V. d’équation 0x

h possède une A.H. d’équation 2y


Ex 20

a) 4 2xf x 2

x 2 x 2

b) 3 x

g x 1x 3 x 3

c) 2 2x 8

h x 2x 3 x 3

d) 8 2x 6j x 2

x 1 x 1

e) 4

k xx

x 3

1 + + +

3x 0 +

g(x) +

x 0 1

2

2 1x 0 + x 0 + + +

h(x) + 0 +


Ex 21 *

a) 100 8 200 8

y 40 mg y 80 mg8 12 8 12

b) 100 6 100 12

y 33,3 mg y 50 mg6 12 12 12

c) Oui, si a est fixé y(t) est une fonction homographique.

e) Si t alors y( t ) a

Ex 22 *

a) p 4 cm . b) M p est une fonction homographique.

d) Si p 0 alors M p 1 . e) Si p 6 f alors M p .

Ex 23

f g 2 8 f g 1 2 f / g 0 1 f g 2 9

g f 2 10 f g 2 5 2f g x x 2x 2f g x x 2x 2

3 2f g x 2x x 2x 1 2

f 2x 1x

g x 1

2f g x 2x 1 2g f x 4x 4x 2

Ex 24

a) 2f gf g x 2x 3 D 2

g fg f x 2x 3 D

*f h

2f h x 3 D

x h f

1 3h f x D \

2x 3 2

f ff f x 4x 9 D 4g gg g x x D

h hh h x x D 2h g hh g h x x D

h f h

x 2h f h x D \

2 3x 3

b) f g 3 15 g f 3 9 7f h 3

3

1h f 3

3 f f 3 3 g g 3 81

c) Cet exemple montre que f g g f .

Ex 25

a) b) Que constate-t-on ? Il y a une "opération interne" sur l'ensemble 0 1 2 3 4 5f ; f ; f ; f ; f ; f

f0 f1 f2 f3 f4 f5

f0 f0 f1 f2 f3 f4 f5

f1 f1 f0 f4 f5 f2 f3

f2 f2 f3 f0 f1 f5 f4

f3 f3 f2 f5 f4 f0 f1

f4 f4 f5 f1 f0 f3 f2

f5 f5 f4 f3 f2 f1 f0


Ex 26 *

a) 2

1g x

1 x

3g x x 4

1g x 1

x 5

1g x

1 x

8

1g x

1 x

10

1g x 1

x 13

1g x 1

x 54g x x

b) 92m x x 27

3m x x 814m x x 243

5m x x

65618m x x 59049

10m x x 1' 594' 32313m x x 543

54m x x

Ex 27

a) Avec les 4 fonctions élémentaires : 21f x x 2f x 2x 3f x x 1 4

1f x

x

1 3 2 3 2g x f f x f f x 2 2 1g x f f x 3 4 3 1g x f f f x

4 3 2 1g x f f f x 5 2 4g x f f x 6 4 1 3 2g x f f f f x

7 1 1 2 3g x f f f f x 8 2 1 3g x f f f x

b) Avec les 5 fonctions élémentaires : 51f x x 2f x 3x 3f x x 1 4

1f x

x 5f x x

1 1 3 1 3h x f f x f f x 2 4 1 3h x f f f x 3 5 1 3h x f f f x

4 1 5 3h x f f f x 5 5 4 2h x f f f x 6 5 1 4 2 3h x f f f f f x

7 4 5h x f f x 8 1 1 2 3h x f f f f x

c) Avec les 5 fonctions élémentaires : 21f x x 2f x 4x 3f x x 1 4

1f x

x x

5f x 3

1 5 2 5 2k x f f x f f x 2 2 5k x f f x 3 5 3k x f f x

4 4 3 5k x f f f x 5 5 3 2k x f f f x 6 1 5k x f f x

7 5 1k x f f x 8 5 1 3k x f f f x

Ex 28

1) g x x 2 ; h x 3x et f g h

2) 2g x x 2 ; h x x et f g h

3) 2g x x 2 ; h x x et f h g

4) 1g x ; h x x 2 et f g h

x

5) 2g x x 2 ; h x x ; j x x 1 et f g h j

6) 1g x x 1 ; h x et f g h

x

7) 1

g( x ) x 5 ; h( x ) ; j( x ) 2x ; k( x ) x 1 et f k j h gx

8) 1

g( x ) x 3 ; h( x ) ; j( x ) 5x et f g j h gx

9) 1g x x 2 ; h x et f g h

x

10) 1 1g x x ; h x 1 x ; j x ; k x x 1 et f g h j k

2 x


12) 1g x x 1 ; h x ; j x 2x ; k x x 1 et f k j h g

x


14) 2g x 2x ; h x x 2 ; j x x ; k x x 3 et f g h j k

15) 2g x x 1 ; h x 2x ; j x x ; k x x 4 et f g h j k


Ex 29

1) k g f 2) l h f 3) m g h 4) n f f 5) o h h

Ex 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fonction vrai vrai vrai vrai faux vrai faux vrai vrai faux vrai vrai bijection de A vers B

faux faux vrai faux faux vrai faux faux vrai faux vrai faux

Ex 31

f x 2x 3 de A dans B

1) A 0;5 B f n'est pas bijective 2) A 0;5 B 3;7 f est bijective

2g x x 4 3 de A dans B

1) A B g n'est pas bijective 2) A ; B ;0 g n'est pas bijective

3) A ;4 B ; 3 g est bijective 4) A ;4 B ; 2 g n'est pas bijective

5) A 4; B ; 3 g est bijective

Ex 32

a) 1) A 0;1 B 3;4 2) A B

3) A 3;2 B 2;7 4) A 100 ;1000 B 996; 96

5) A ;1 B 3;

b) 1) A 3; B 2; 2) A ;3 ou 3; B 2;

3) A 0 ;3 B 2 ;11 4) A 1;3 B 2 ;6

5) A 0 ;6 B impossible

Ex 33

a) 1 x 2f x

3

b) 1 1 1 1 2f 0 2 ; f 1 5 ; f 3 7 ; f 4 14 ; f 2 0 ; f 5 1 ; f 7 3 ; f 4

3

Ex 34

1) a) fD b) f : c) 1 1 3f x x

2 2

2) a) fD b) f : c) 1 1 1f x x

2 2

3) a) fD b) f : 2; 4; ou f : ; 2 4;

c) 1 1f x x 4 2 ou f x x 4 2

4) a) fD b) f : 3; 2; ou f : ;3 2;

c) 1 1f x x 2 3 ou f x x 2 3

5) a) fD b) f : 1; ;3 ou f : ; 1 ;3

c) 1 1f x x 3 1 ou f x x 3 1


6) a) fD b) f : 4; ; 1 ou f : ;4 ; 1

c) 1 1x 1 x 1f x 4 ou f x 4

2 2

7*) a) fD b) f : c) 1 21f x x

5

8*) a) fD b) f : 3; c) 21f x x 3

9*) a) fD 1; b) f : 1; c) 1 21f x x 2

2

Ex 35

1) 1 x 3f x

2

1 x 5g x

3

f g x 6 x 7

1 x 7f g x

6

1 1 x 4f g x

6

1 1 x 7g f x

6

2) 1 1f f y f f y f x y i y 1 1 1f f x f f x f y x i x

Idem pour g

3) f i x f i x f x i f x i f x f x

Idem pour g

4) De 1) on constate que : 1 1 1f g g f

De 2) on constate que : 1 1f f f f i

De 3) on constate que : f i i f f

Ex 36

3x 4g x

x 3

1) Dom g \ 3 2) 1 4 4Zéros : g 0 Ordonnée à l ' origine : g 0

3 3

3) A.V . x 3 A.H . y 3 4) g : \ 3 \ 3

5) 1 3x 4g x

x 3

8*) P 2;2 et Q 2; 2 9*) P 2;2 et Q 2; 2

x 3h x

2x 5

1) 5Dom h \

2

2) 1 3Zéros : h 0 3 Ordonnée à l' origine : h 0

5

3) 5

A.V . x2

1

A.H y2

4) 5 1

h : \ \2 2

5) 1 5x 3h x

2x 1

8*) P 3,5;3,5 et Q 0,5; 0,5 9*) P 3,44;3,44 et Q 0,44; 0,44

x 1j x

x 1

1) Dom j \ 1 2) 1Zéros : j 0 1 Ordonnée à l ' origine : j 0 1

3) A.V . x 1 A.H. y 1 4) j : \ 1 \ 1

5) 1 x 1j x

x 1

8*) a 1P a; a \ 1

a 1

9*) a 1

P a; a \ 1a 1


Ex 37

1) 0f x x 10f x x 1f x 1 x 1

1f x 1 x

2

1f x

x 1

2

1f x

x 3

1f x

1 x

1

3

x 1f x

x

4

x 1f x

x

1

4

1f x

1 x

5

xf x

x 1

1

5

xf x

x 1

Ex 38

a) C j K K 273 ; 9 2297F m K K

5 5 ; 5

C g F F 329

; 5 2297K n F F

9 9

b) F f C C g F ; K h C C j K ; F m K K n F

Ex 39 *

1) 2A f t 6t 2) 1 A

t f A36

3) 2 2r 6 0,25 1,5 m A 1,5 7,07 m 2 2r 6 10 60 m A 60 11310 m

10' 000

A 10' 000 t 9,4 min36

Ex 40* 1) 2A r 4 r 20 r ; A

5 25r A

2

2) 2A 2 56 m ; r 200 2,21 m

Ex 42

1) 1

5 2) 49 3)

4

9 4)

27

8 5) 16 6) 1000 7) 9

8) 64 9) 1 10) 16

81 11) 8 12) 2,5 13) 1 14) 1

Ex 43

1) 30

7 2) 10 3)

25

11 4)

3

2 5) 1 pas défini dans 6)

12

11

7) 2

3 8) 256 9) 256 10) 32 11)

1

27 12)

27

8

Ex 44

1) 5 2) 3 3) 2 4) 5 5) 3 6) – 4

7) 1

5 8)

1

2 9) 4 10) – 2 11) 9 12)

1

25

Ex 45

1) 2

53 1.552 2) 6

115 2.406 3) 8

37 179.306 4) 3

43 2.280

5) 3

83 1.510 6) 12 2 7) 22 4 8) 13 3 Ex 46

1) 5 2) 243 3) 100'000 4) 2 5) 1 6) 5 7) 0,5

8) 2 9) 1

2 10)

1

3 11)

1

32 12)

1

5 13)

1

3 14) 0


Ex 47

a) 1) 4a 2) 3a 3) 1

15a

4) 1

2a 5) 1

5a

6) 2a

4

7) 4

3a 8) 3a 9) 13

12a 10) 2

3a 11) 3

4a 12) 5

12a

13) 1

24a 14) 1 15) 2

3a 16) 44a

9 17) 42a 18)

3

5a

b) 1) 4 3a 2) 7

1

a 3)

1

a 4) 3 a 5)

1

a 6) 4 5a

7) a 8) 1

Ex 48 1) 3 48 2) 7 2

1

3 3)

4

3 4) 5 49 5) 4096 6) 9

Ex 50 xf x 2 x

1g x

2

xh x 2 x

1j x

2

Ex 51

1) 3 2) 5 3) -4 4) 1/2 5) 1/3 6) 2/3 7) 5

8) 4 9) 4 10) -6 11) 3/2 12) 2,5 13) 29/35 14) 4,5

15) 1 16) e 17) e2 18) 5 19) 4 20) -5 21) 0,5

22) 36 23) 7 24) 4 25) 26) 1/2 27) 3

Ex 52

1) ≈ 3,301 2) ≈ 3,477 3) ≈ 0,778 4) ≈ 1,857 5) ≈ 0,051 6) ≈ 1,204

7) ≈ 0,699 8) ≈ 2,893 9) ≈ 0,505 10) ≈ 4,408 11) ≈ 1,857 12) ≈ 3,477 Ex 53

1) 23/60 2) a 3) 5/6 4) 8/3 5) 1/4 6) 1/3 Ex 54

1) 2

3

xlog

z

2) 3log x z 3) b 2

x.zlog

y

4) b

2 xlog

a

5) c

y zlog

x

Ex 55

1) log a 2 log b 4 log c 2) 3 1log a log c

2 2 3) 1

log a log b2

4) 2 log a log b 3 log c 5) 1 1log a log b

2 2 6) 1

log a 2 log b log c2

Ex 57

1) Symd' axe i x xx4f x 4 g x log x 2) Sym d ' axe x

5 5 1/ 5f x log x g x log x log x

3) x

Symd ' axe y x1f x g x 6

6

4) x

Symd' axei x x1

3

1g x f x log x

3

5) Symd' axe i x xx3f x 3 g x log x 6) Sym d ' axe x

2 2 1/ 2f x log x g x log x log x


Ex 58 c) 3f x 10 1' 000 5g x 10 100' 000

Ex 59

a) 1) 5log 37 2.24 2) 2log 1.35 0.43 3) 9log 0.53

4) 0.27log 100 3.51 5) 1.05log 2000 156 6) 20log e 0.33

b) x 2.32

Ex 60

1er type

1) 3

S2

2) 8

S3

3)3

S2

4) S 2 5) S 1

6) S 3 7) 4

S99

8) S 1 9) S 2;7

2e type

1) S 5.47 2) S 3,32 3) S 33.95 4) 1 A

S ln0.0249 35

5) ln 2

S

6) S 7) S 0 8) S 0,31

9) S 1,71 10) 6

mS log

k

11) S 0,73 12) S 3,24

13) S 0,064 14) S 3,79 ; 0 15) S 0,57 ; 1,75 16) S 2,46

3e type

1) S 2 2) S 0;1 3) 3S 0;log 4 4) S 1;2

5) S ln 2 ;ln 3 6) S

Ex 61

1) S 3 2) S 3) S 5 4) S 12 5) S 6 6) S 2,54 7)

S 6 ,34

8) S 2,001 9*) 1

S2

10*) 5

S ;16

11*) S 0 12*) S 13*) S 2,73

Activité 1 Propagation d'une épidémie / croissance exponentielle

Dans une grande ville, le 15 janvier 2005, 10 personnes ont la grippe (N0 = 10). Il faut en moyenne un jour pour qu'une personne ayant la grippe la transmette à trois autres personnes.

Notons Nt , le nombre de personnes contaminées après t jours.

Après 1 jour, 40 personnes sont malades car 11 0 0 0N = N N 3 = N 4 = 10 4 = 40

Après 2 jours : 1 22 1 1 1N N N 3 N 4 10 4 160 malades

Après 3 jours : 33 2 2 2N N N 3 N 4 10 4 640 malades

Après 9 jours : 99N 10 4 2’621' 440 malades

Après t jours : tt N 10 4 malades ( base a 4 )

Après combien de jours y a-t-il 500’000 personnes malades ?

Il faut résoudre une équation exponentielle :

t4

log 50' 00010 4 500' 000 t log 50' 000 7,8 8 jours

log 4


Activité 2 Population d’oiseaux / décroissance exponentielle


Notons Nt , le nombre d’oiseaux présents sur l’île après t mois.

Après 1 mois, il y aura environ 13’333 oiseaux car :

1 0 0 0

1 1 2N N N N 1 20' 000 13' 333

3 3 3

Après 2 mois : 2 2

2 1 1 1 0

1 1 1 2N N N N 1 N 1 20' 000 8' 889 oiseaux

3 3 3 3

Après 3 mois : 3 3

3 2 2 2 0

1 1 1 2N N N N 1 N 1 20' 000 5926 oiseaux

3 3 3 3

........

Après t mois : t t

t 0

1 2N N 1 20' 000 oiseaux base a 2 / 3

3 3

Après combien de mois la population d'oiseaux aura-t-elle diminué de trois quart par rapport au 1er septembre 2003 ?

Il faut résoudre une équation exponentielle :

t

2 / 3

log 1 / 42 120' 000 5' 000 t log 3,41 3 mois et demi

3 4 log 2 / 3

Ex 62 1) 10’485’760 personnes contaminées par la grippe. 2) t 8,30 jours

Ex 63 1) N 5926 oiseaux 2) N 154 oiseaux

3) N 67' 500 oiseaux 4) L’île comptera environ 1000 oiseaux en avril 2004.

Ex 64 1 a) 20P 31839.6 hab. 1 b) 3P 10366.1 hab. 1 c) t 14.2 ans

2) i 8,4 % 3) t 5.73 ans

Ex 65

1) t0a 4 B 3' 125 B t 3' 125 4 .

2) Après 5 jours, le nombre de bactéries sera de : B(5) = 3'200'000

3) Après environ 5 jours 7 heures et 43 minutes la colonie comptera 5 millions de bactéries.

4) t 0,79 jours

Ex 66

1) $0C 11 565.6 2) Il faut environ 255 ans ! 3) Intérêts : 1672 £ 4) i 15.5%

Ex 67

x xx 0

3

Après x mètres : V V 1,1 0,5 1,1 base a 1,1

(V = volume de la boule en [m ] et x = distance parcourue en [m])

1) 30,57 [ m ] 2) 31,43 [ m ]

Ex 68 1) h 1,28 m 2) t 25 ans

Ex 69 1) t 19' 188 ans 2) t 5776 ans


Ex 70

1) R 2 2) R0I I 10 3)

8 9

8 90 0

I I

I 10 I I 10

4)

R

R 1 RR 1 0 0 R

I

I I 10 I 10 10 10 I

Ex 71

2) i) pH 2,2 ii) pH 5 iii) pH 8,3

3) pHH 10

4) i) 3H 10 0,001 ii) 4 ,2 5H 10 6 ,3 10

iii) 6 ,6 7H 10 2,5 10

5) basique : 7H 10 pH 7 acide : 7H 10 pH 7

6) 14 11 pH 14 10 H 10

Ex 72 *

1) 0 ,09 xk 0,09 et A x 0,7 e 2) 2523,3 milliards de francs. 3) 1 A

x ln0,09 0,7

4) Il faut attendre l’an 1910 + 80,7 1991 pour que le gouvernement dépense plus que 1000 milliards de francs. Ex 73 *

1 a) k 0.0192 1 b) T 74.5 1 c) t 72.2min 2) 17h47 min

Ex 74 *

1) Algérie 1991 : 4A 26 051 650 habitants Suisse 1991 : 3S 6 380 719 habitants

2) La suisse a environ 1/4 des habitants de l’Algérie (en 1991).

3) Algérie : t 22.56 ans Suisse : t 87 ans .

4) C’est donc aux alentours des années 2030, si les taux d’accroissements restent constants, que l’Algérie sera 10 fois plus peuplée que la Suisse.

5) i 0.98% Correction activité 1

0

1

-1

-1 1

y

x


Ex 75

1) 2880 0 8 360 2880 0 2) 405 45 1 360 405 45

3) 810 90 2 360 810 90 4) 210 150 1 360 210 150

5) 180 180 1 360 180 180 6) 855 225 3 360 855 225

7) 2100 300 5 360 2100 300 8) 6 0 3 2 6 0 0

9) 6

10)

3

11) 8 2 8 2

1 2 1203 3 3 3

12) 13 3 13 3

2 2 1354 4 4 4

13) 31 7 31 7

2 2 2106 6 6 6

14) 2 4 2 4

1 2 2403 3 3 3

15) 15 3 15 3

3 2 2702 2 2 2

16) 9 7 9 7

2 2 3154 4 4 4

17) 11 11

1 2 3306 6 6 6

Ex 77 1) FAUX 2) VRAI 3) FAUX 4) VRAI 5) VRAI 6) VRAI 7) FAUX 8) VRAI

Ex 79 1) Q 2 2) Q 4 3) Q 3 4) Q 3

5) Q 4 6) Q 4 7) Q 3 8) Q 1

Ex 82 1) 1

2 2)

1

2 3)

2

2 4) 0 5) 1 6)

1

2

7) 2

2 8) 0 9)

1

2 10)

1

2 11)

2

2 12) 1

13) 1

2 14)

1

2 15)

2

2 16) 1

Ex 83

a) 1) 1 2

3et

4 4

2) 1 2

5et

6 6

3) 1 20 et

4) 1 2

5et

4 4

5) 1 2

4et

3 3

6) 1 2

2 5et

3 3

7) impossible 8) 1 2

2 4et

3 3

9) 1 2

11et

6 6

b) 1) 1 2

3k2 et k2 k

4 4

2) 1 2

5k2 et k2 k

6 6

3) k k 4) k k4

5) k k3

6) 2

k k3

7) impossible 8) 1 2

2 4k2 et k2 k

3 3

9) 1 2

11k2 et k2 k

6 6


Correction activité 2 1) Graphique de f x sin x pour x 2 ;2 :

fD Zéros de f ( sur ) : x 0 k k

Puisque sin x 2 sin x x , on dit que la fonction sinus est 2 périodique.

2) Graphique de g x cos x pour x 2 ;2 :

fD Zéros de g ( sur ) : x k k2

Puisque cos x 2 cos x x , on dit que la fonction cosinus est 2 périodique.

3) Graphique h x tan x pour 3 3

x ;2 2

:

hD \ k k2

Zéros de h ( sur ) : x 0 k k

Puisque tan x tan x x , on dit que la fonction tangente est périodique.


Ex 84

f x cos x A 1 1 T 2

g x 3 cos x A 3 1 T 2

1 1h x cos x A 1 T 2

3 3

Ex 85

f x 2 cos x A 2 1 T 2

g x 2 cos 2x A 2 2 T

1 1h x 2 cos x A 2 T 4

2 2

Ex 86

1 1f x sin x

2 4

i) Amplitude : 1

A2

ii) Période : 1 2

; T 84

iii) Ordonnée à l'origine : f ( 0 ) 0

v) Zéros : x k4 k

vi) Minimum : x 6 k8 k La valeur minimum est : y 1 / 2

vii) Maximum : x 2 k8 k La valeur maximum est : y 1 / 2

g x 2 cos x2

i) Amplitude : A 2 ii) Période : 2

; T 42

iii) Ordonnée à l'origine : y 2

v) Zéros : x 1 2k k

vi) Minimum : x 2 4k k La valeur minimum est : y 2

vii) Maximum : x 4k k La valeur maximum est : y 2 .

h x 4 sin x

i) Amplitude : A 4 ii) Période : 2

; T 2

iii) Ordonnée à l'origine : y 0

v) Zéros : x k k

vi) Minimum :3

x 2k k2

La valeur minimum est : y 4

vii) Maximum :1

x 2k k2

La valeur maximum est : y 4 .


Ex 87

a) 1)1

f (x) = 7 sin x2

2) Zéros : x k2 k

3) Minimum : x 3 k4 k y 7 4) Maximum : x k4 k y 7

b) 1) 3f (x) = cos 2 x

2 2) Zéros : x k k

4 2

3) Minimum : x k k2

y 3 / 2 4) Maximum : x k k y 3 / 2 .

c) 1) f (x) = 2 sin x2

2) Zéros : x k 2 k

3) Minimum : x 3 k 4 k y 2 4) Maximum : x 1 k 4 k y 2 .

d) 1) f (x) = 10 cos x4

2) Zéros : x 2 k 4 k

3) Minimum : x 4 k 8 k y 10 4) Maximum : x k 8 k y 10 .

e) 1) 1f (x) = sin 4 x

2 2) Zéros :

1x k k

4

3) Minimum :3 1

x k k8 2

y 1 / 2 4) Maximum :1 1

x k k8 2

y 1 / 2 .

f) 1) 3 4

f (x) = sin x4 3

2) Zéros : 3

x k k4

3) Minimum :9 3

x k k8 2

y 3 / 4 4) Maximum :3 3

x k k8 2

y 3 / 4 .

Ex 88 L’expression algébrique de la fonction f décrivant l’action de pompage du coeur sur l’intervalle 0;1

( phase systolique / diastolique ) est :

8 sin 4 t si t 0 ;0,25

0 si t 0,25 ;0,5D f t =

8 sin 4 t si t 0,5 ;0,75

0 si t 0,75 ;1

Ex 89 Amplitude : a 0,6 litres / secondes

2 2

La période vaut : T= =5 [s] bb 5

2L' exp ression a lg ébrique est : y F t 0,6 sin t

5

Ex 97

1) 2d t 5 cos t

3

3)

2) a) Zéros : 3 3

t k k4 2

b) Minimum :3

t 3 k k2

d 5

c) Maximum : t 3 k k d 5 .

4) d t 1,2 sin t 6)

5) a) Zéros : t k k

b) Minimum :3

t 2k k2

d 1,2

c) Maximum :1

t 2k k2

d 1,2 .


Correction activité 3

a) 1 1sin arcsin 0,524

2 2

b) Oui car sin sin donc ' 3,142 0,524 2,618

c) Une calculatrice scientifique « conventionnelle », ne donne qu’une réponse et dans l’intervalle 2 ; 2 .


a) 1 1cos arccos 1,047

2 2

b) Oui car cos cos donc ' 1,047 6,283 1,047 5,236

c) Une calculatrice scientifique « conventionnelle », ne donne qu’une réponse et dans l’intervalle 0 ; .


a) tan 1 arctan 1 0,785

b) Oui car tan tan donc ' 3,927

c) Une calculatrice scientifique « conventionnelle », ne donne qu’une réponse et dans l’intervalle 2 ; 2 .

Ex 91

1) 2

S k2 k3

2) 5

S k2 ; k2 k6 6

3) S k k4

4) S 0,2 k2 ; 2,93 k2 k

5) S k k 6) 3

S k2 k4

7) S 1,88 k2 k 8) 2

S k2 ; k2 k3 3

9) S k2 k 10) 3

S +k2 ; k2 k4 4

11) S 1,11 k k 12) S

Ex 92

1) S k ; k k8 16 2

2) 5 2

S k2 ; k k4 12 3

3) S k k8 2

4) 3

S k ; k k8 16 2

5) S k k4

6) S k ; k k3 6

7) S k ; k k4 8 2

8) S k k

9) 2

S k k3

10) 2

S k k12 3

Ex 93

1) a) Zéros :1 1

x k k6 3

b) Min :1 2

x k k3 3

; y 2 c) Max :2

x k k3

; y 2 .

2) a) Zéros : x k4 k b) Min : x 6 k8 k ; y 3 c) Max : x 2 k8 k ; y 3 .


Ex 94 *

f x 3 sin 2 x et g x 3 sin 2 x2

a) i) Domaine de définition : f gD D ii) Amplitude : f gA 3 A 3

iii) Période : f g

2 22 T T

2 2

iv) Déphasage : 22 4

v) Ordonnée à l'origine : f 0 0 g 0 3

vi) Zéros de f : x k k2

Zéros de g : x k k

4 2

vii) Minimum de f : 3

x k k4

La valeur minimum est : 3

f 34

Minimum de g : x k k2

La valeur minimum est : g 32

vii) Maximum de f : x k k4

La valeur maximum est : f 34

Maximum de g : x k k La valeur maximum est : g 0 3

b) et c) Graphique de f x 3 sin 2 x et g x 3 sin 2 x2

sur ; .

d) f x g x 3 sin 2 x 3 sin 2 x x k k2 8 2

7

k 2 x8

3k 1 x

8

k 0 x

8

5k 1 x

8

g

A=3


Ex 95 *

1f x 4 cos x

2

et 1g x 4 cos x

2

a) i) Domaine de définition : f gD D ii) Amplitude : f gA 4 A 4

iii) Période : f g

1T 4 T 4

2 iv) Déphasage : 2

12

v) Ordonnée à l'origine : f 0 4 g 0 4

vi) Zéros de f : x k2 k Zéros de g : x k2 k

vii) Minimum de f : x 2 k4 k La valeur minimum est : f 2 4

Minimum de g : x k4 k La valeur minimum est : g 0 4

vii) Maximum de f : x k4 k La valeur maximum est : f 0 4

Maximum de g : x 2 k4 k La valeur maximum est : g 2 4

b) et c) Graphique de 1f x 4 cos x

2

et 1g x 4 cos x

2

sur 4 ;4 .

d) 1 1f x g x 4 cos x 4 cos x x k2 k

2 2

k 1 x 3 k 0 x k 1 x k 2 x 3

f g

A=4


= 4

f

A=2

x

y

0 1 2 3 4

Ex 96 * a) f 17 f 1 2 b) f 200 f 0 0 c) f 555 f 3 2

d) f 6 f 2 0 e) f 101 f 3 2 f) f 553 f 3 2

Ex 98 *

1) y t 7,5 cos t15

2) 10 minutes

Ex 101 *

1)

x' x cos y sin

y' y cos x sin

2)

x' 5

y' 3

3) x' 3

y' 5

4) 60 millions d’opérations élémentaires

Ex 102 *

1) 6 2

4

2)

6 2

4

3)

6 2

4

4)

6 2

4

5) 6 2

4

6)

6 2

4

7)

3 3

3 3

8) 3 3

3 3

Ex 103 *

1) S k k4

2) S k k 3) S k k

4) S k ; arctan 2 k k 5) 5 1 5 1

S arcsin k2 ; arcsin k2 k2 2

6) S k ; k k3 3


Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

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FONCTIONS - sismondi.ch · Picchione Serge 2018-2019 2.7 Les fonctions trigonométriques 66 2.7.1 Les angles et leurs mesures 66 2.7.2 Définition de sin( ), cos( ) et tan( ) 71