Fondamentaux d'algèbre et de trigonométrie

I Fonctions trigonométriques

1) cercle trigonométriqueDéfinitionOn considère un repère orthonormé (O ; I, J).Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré en O. Tout point M de ce cercle est repéré par un nombre réel x correspondant à la longueur de l'arc IM , affectée d'un signe (le « + » correspondant au sens trigonométrique, c'est-à-dire celui opposé au sens des aiguilles d'une montre).cos(x) et sin(x) sont alors les coordonnées du point M dans le repère (O ; I, J).

PropriétéPour tout réel x, on a : cos2 xsin2 x=1 .

DémonstrationIl suffit d'appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle d'hypoténuse OM.

DéfinitionSoit la droite D, la parallèle à la droite (OJ) passant par I. Lorsque M n'appartient pas à (OJ), D et (OM) ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en un point K.On appelle alors tan(x) la longueur algébrique (IK).

1

Propriété

Pour tout réel x n'appartenant pas à 2ℤ , on a : tan x = sinx

cosx .

DémonstrationIl suffit d'appliquer le théorème de Thalès dans le triangle OIK.

2) valeurs remarquables

x 0 6

4

3

2

sin(x) 0 12

22

32

1

cos(x) 1 32

22

12 0

tan(x) 013

1 3 non défini

3) fonctions sinus, cosinus et tangentePropriétéLes fonctions sinus et cosinus sont définies sur ℝ . Elles sont 2 - périodiques. La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. On a donc, pour tout réel x :

sin x2=sinx ; cos x2=cos x ; cos −x=cos x ; sin −x =−sin x .On a de plus : sin − x=sin x ; cos −x =−cos x ; sin x=−sin x ;

cos x=−cos x ; cos x2 =−sinx ; sinx2 =cos x ;

cos2 −x=sin x ; sin2 −x=cos x .

DémonstrationCe sont des conséquences immédiates de la définition du cosinus et du sinus d'un réel représenté sur le cercle trigonométrique.

Représentations graphiques

2

Propriété

La fonction tangente est définie sur ℝ−{2k∣k∈ℤ} par tan x = sin xcos x . Elle est

- périodique et impaire. On a donc, pour tout réel x n'appartenant pas à 2ℤ :

tan x=tan x ; tan −x =−tan x . On a de plus : tan −x =−tan x .

DémonstrationIl suffit d'utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus.

Représentation graphique

4) formules de trigonométrieFormules d'addition (admises)a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies.

cos ab =cos acos b−sinasin bsin ab=sin a cos bsin bcos a

tan ab = tana tan b1−tan a tan b

cos a−b =cos acos bsinasin bsina−b=sin acosb −sin bcosa

tan a−b= tan a− tanb1tan a tan b

Exercice

Calculer une valeur exacte de cos 12 ;sin 12 et tan 12 .

On a : 12=

3−

4 . Donc, on peut écrire :

cos 12 =cos3 −4 =cos3 cos4 sin3 sin 4 =12×2

23

22

2=26

4 ;

sin 12=32×2

2−2

2×1

2=6−2

4 ;

tan 12= 3−113×1

=3−12

2= 3−231

2=2−3 .

3

Formules de duplication (admises)a et b sont deux réels. Les formules suivantes sont valables lorsqu'elles sont bien définies.

cos 2a =cos2a−sin 2a =2 cos2a −1=1−2sin 2a ; sin2a=2sin a cos a ;

tan 2a = 2 tan a 1−tan 2a

.

De ce qui précède, on déduit : cos2a =1cos 2a2 et sin2a=1−cos2a

2 .

Exercice

Calculer une valeur exacte de cos8 et sin8 .

On a : 4=2×

8 . Donc, on peut écrire :

cos28 =1cos4

2=

122

2=22

4donc cos8 = 22

4=22

2car cos8 0

sin28 =1−cos4

2=

1− 22

2=2−2

4donc sin8 = 2−2

4=2−2

2car sin8 0 .

5) fonctions trigonométriques réciproquesDéfinition – Propriété (admise)

La fonction arcsin : [−1 ;1][−2 ; 2 ] est l'application réciproque de la fonction

sin :[−2 ;2 ][−1 ;1] .

Elles est continue et strictement croissante sur [-1 ; 1]. C'est une fonction impaire.Pour tout x∈[−1 ;1] , arcsin (sin (x)) = x.

Pour tout y∈[−2 ; 2 ] , sin(arcsin(y) = y.

Représentation graphique

4

Exemple

x -1 −32

−22

−12 0 1

222

32

1

arcsin(x) −2

−3

−4

−6 0

64

3

2

Définition – Propriété (admise)La fonction arccos :[−1 ;1][0 ;] est l'application réciproque de la fonction

cos : [0 ;][−1 ;1] .Elle est continue et strictement décroissante sur [-1 ; 1]. Elle n'est ni paire, ni impaire.Pour tout x∈[−1 ;1] , arccos (cos(x)) = x.Pour tout y∈[0 ;] , cos(arccos (y)) = y.

Représentation graphique

Exemple

x -1 −32

−22

−12 0 1

222

32

1

arccos(x) 56

34

23

2

3

4

6 0

PropriétéPour tout x∈[−1 ;1] , on a : sin arccosx =cos arcsin x=1−x 2 .

Démonstrationsin arccosx =1−cos2arccosx =1−x2 .cos arcsin x =1−sin2 arcsin x =1− x2 .

5

Définition – Propriété (admise)

La fonction arctan :ℝ]−2 ;2 [ est l'application réciproque de la fonction

tan :]−2 ; 2 [ℝ .

Elle est continue et strictement croissante sur ℝ . C'est une fonction impaire.Pour tout x∈ℝ , arctan (tan(x)) = x.

Pour tout y∈]−2 ; 2 [ , tan (arctan(y)) = y.

Représentation graphique

Exemple

x −3 -1 − 13

013

1 3

arctan(x) −3

−4

−6 0

64

3

II Nombres complexes

1) notion de nombre complexeThéorème (admis)Il existe un ensemble noté ℂ , appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :● ℂ contient l'ensemble des nombres réels ;● l'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres

complexes et les règles de calcul restent les mêmes ;● il existe un nombre complexe noté i tel i2=−1 (on note également j 2=−1 ) ;● tout complexe z s'écrit de manière unique z=aib ou z=a jb , avec a et b

réels.

6

DéfinitionL'écriture , z=aib avec a et b réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z .a est appelée la partie réelle de z, notée ℜ z et b est appelée la partie imaginaire de z, notée ℑ z .

Exemplez=3i est un imaginaire pur.

PropriétéDeux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.DémonstrationC'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique d'un nombre complexe.

RemarqueEn particulier z=aib=0 équivaut à a=b=0 .Dans le plan muni d'un repère orthonormal O;u ,v , à tout point M correspond un couple de coordonnées réelles (a ; b). Réciproquement, à tout couple de réels correspond un unique point du plan. Ainsi, on peut établir une correspondance entre les points du plan et les nombres complexes ; c'est l'objet de la définition suivante.

Définition

Le nombre complexe aib est l'affixe du point M a ;b ou du vecteur OM ab .

Le point M a ;b est l'image du complexe aib et le vecteur OM ab est le vecteur

image du complexe aib .

7

DéfinitionPour tout nombre complexe z de forme algébrique, aib le conjugué de z est le nombre complexe a−ib . Le conjugué de z est noté . z On lit « z barre ».

Exemples23 i=2−3 i ; −4−2 i=−42i ; −2=−2 ; 3 i=−3i .

Propriété (admise)Dans le plan complexe, le point M' d'affixe z est l'image du point M d'affixe z par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Propriétéz est un nombre complexe.● z est réel équivaut à z=z .● z est imaginaire pur équivaut à z=−z .

Démonstration● z=z⇔aib=a−ib⇔2i b=0⇔b=0 .● z=−z⇔a−ib=−a−ib⇔2a=0⇔a=0

Propriétéz = a+ ib est un nombre complexe.● zz=2ℜ z .● z−z=2i ℑ z .● z z=a2b2 .

Démonstration● zz=aiba−ib=2a=2ℜ z .● z−z=aib−aib=2 ib=2 iℑ z .● z z=aib a−ib =a2−i2b2=a2b2 .

8

2) module et argument d'un nombre complexeDéfinitionz=aib est un nombre complexe . On appelle module de z, le nombre réel positif a2b2 . On note ∣z∣=a2b2 .

Remarques● Dans le plan complexe, si M a pour affixe z, alors OM=∣z∣ . C'est une

conséquence du théorème de Pythagore.● Si x est un nombre réel, alors le module de x est égal à la valeur absolue de x.● ∣z∣=0 équivaut à z = 0.● z z=a2b2=∣z∣2 .

DéfinitionDans le plan complexe, z est un nombre complexe non nul de point image M. On appelle argument de z et on note arg(z) toute mesure en radians de l'angle orienté u ,OM .

Représentation graphique

Exemples

arg 1=0 ; arg i =2

; arg −3= ; arg −i =−2

; arg 1i =4

.

Remarques● Un réel strictement positif a un argument égal à 0 et un réel strictement négatif à un

argument égal à . On a donc la propriété suivante :z∈ℝ⇔ z=0 ou arg z =0 .

● Un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement positive a un argument

égal à 2

et un imaginaire pur avec une partie imaginaire strictement négative a

un argument égal à −2

. On a donc la propriété suivante :

z∈iℝ⇔ z=0 ou arg z =2

.

9

RappelDans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (a ; b) ou par ses coordonnées polaires r , , où r = OM et =u ,OM .On a alors a=r cos et b=r sin .

Définitionz est un nombre complexe non nul. L'écriture z=r cosi sin , avec r=∣z∣ et =arg z , est appelée forme trigonométrique de z .

PropriétéDeux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument (défini à 2 près).

DémonstrationC'est une conséquence de l'unicité de l'écriture algébrique et des définitions du module et d'un argument d'un nombre complexe.

Propriétés du modulePour tous nombres complexes z et z ', on a :● ∣zz '∣≤∣z∣∣z '∣ (inégalité triangulaire) ;● ∣zz '∣=∣z∣×∣z '∣ ;● Pour tout entier naturel n, ∣z n∣=∣z∣n ;

● Si de plus, z est non nul, on a : ∣z 'z ∣=∣z '∣∣z∣ .

Démonstration

● M et M' sont deux points d'affixes respectives z et z'. On considère le point S du plan défini par OS=OMOM ' . Alors OS a pour affixe z + z'. Par conséquent, on a : OS=∣zz '∣ ; OM=∣z∣ et MS=OM '=∣z '∣ . On applique l'inégalité triangulaire au triangle OMS : OS≤OMMS , c'est-à-dire : ∣zz '∣≤∣z∣∣z '∣ .

● ∣zz '∣= zz '× zz '= z×z× z '×z '=∣z∣×∣z '∣ .● On effectue une démonstration par récurrence.

Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par : ∣z n∣=∣z∣n .P(0) et P(1) sont évidentes.P(2) est vraie d'après le résultat sur le module du produit de deux nombres

10

complexes.Soit n≥2 , on suppose P(n) et on démontre P(n + 1).∣z n1∣=∣zn×z∣=∣z n∣×∣z∣ (car P(2) est vraie).

Or P(n) est vraie donc ∣z n∣=∣z∣n .D'où ∣z n1∣=∣zn∣×∣z∣=∣z∣n×∣z∣=∣z∣n1 , ce qui est P(n + 1).On a prouvé P(0), P(1), P(2) et pour tout n≥2 , P n⇒ P n1 .Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : ∣z n∣=∣z∣n .

● ∣z 'z ∣=∣z '×1z∣=∣z '∣×∣1z∣=∣z '∣× 1

z×

1z=∣z '∣× 1

z z=∣z '∣× 1

∣z∣=∣z '∣∣z∣ .

Propriétés des argumentsPour tous nombres complexes non nuls z et z', on a :● arg zz ' =arg z arg z ' [2] ;● Pour tout entier naturel n, arg zn=n×arg z [2] ;

● arg z 'z =arg z ' −arg z [2] .

Démonstration● z=r cosisin et z '=r ' cos 'isin ' .

zz '=rr ' cos cos '−sinsin 'i sin cos 'sin ' coszz '=rr ' cos ' isin '

D'où arg zz ' =arg z arg z ' [2] .● On effectue une démonstration par récurrence.

Soit P(n) la propriété définie pour tout entier naturel n par :arg zn=n×arg z [2] .

P(0) et P(1) sont évidentes.P(2) est vraie d'après le résultat sur l'argument du produit de deux nombres complexes.Soit n≥2 , on suppose P(n) et on démontre P(n + 1).arg zn1=arg zn×z =arg znarg z [2] (car P(2) est vraie).

Or P(n) est vraie donc arg zn=n×arg z [2] . Par conséquent, on a :arg zn1=arg znarg z [2]arg zn1=n×arg z arg z [2]arg zn1=n1×arg z [ 2]

Ce qui est P(n + 1).On a prouvé P(0), P(1), P(2) et pour tout n≥2 , P n⇒ P n1 .Du principe de récurrence, on déduit que pour tout entier naturel n, on a P(n), donc : arg zn=n×arg z [2] .

● arg z 'z =arg z '×1z =arg z ' arg 1

z [2]

Or arg z arg 1z =arg z×1

z =arg 1=0 [2] donc

arg 1z =−arg z [2]

11

D'où arg z 'z =arg z ' arg 1z =arg z ' −arg z [2] .

PropriétéDans le plan complexe muni d'un repère orthonormal O ;u ,v , on considère les points A et B d'affixes respectives z A et z B . Alors :● AB=∥AB∥=∣z B− zA∣● Si de plus A et B sont distincts, on a : u ,AB =arg z B−z A .

DémonstrationzB− zA est l'affixe du vecteur OB−OA , c'est-à-dire le vecteur AB , d'où les deux

résultats.

ConséquenceSoient A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives z A , z B , zC et zD .

Alors AB ,CD=arg zD−zCzB−z A =arg zD−zC −arg z B− z A . En effet, on a :

AB ,CD=AB ,uu ,CD=u ,CD−u ,AB =arg zD−zC −arg zB−zA=arg zD− zCzB−zA .

3) écriture exponentielleNotationOn note : cosi sin=e i .

Exemples

e i0=ei2=1 ; e i=e−i=−1 ; ei

2=i ; e−i

2=−i ; ei

3=12i 3

2.

Propriétés et ' sont deux réels, n est un entier naturel.● ∣ei∣=1 et arg e i= [2] .

● e ie i '=e i ' ; ei '

ei=e i '− ; e i=e−i .

● e in=e i n (formule de Moivre).

● cos = eie−i

2et sin = e

i−e−i

2i (formules d'Euler).

DémonstrationCes résultats découlent immédiatement du fait que e i est un complexe de module 1 et d'argument et des propriétés du module et des arguments.

12

RemarqueLa formule de Moivre s'écrit également cosi sinn=cos ni sin n .

Exemples1. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer cos3 x et sin 3 x en fonction de

cos x et sin x .cos3 xi sin 3 x=cos xisin x3

=cos x 33cos x 2×isin x3 cos x×i sin x 2i sin x 3

=cos3 x3i cos2 xsin x−3 cos xsin2 x−i sin3 xD'où cos3 x=ℜcos3 xi sin 3 x =cos3 x−3cos xsin 2 x et

sin 3 x=ℑcos3 xi sin 3 x =3cos2 xsin x−sin3 x .2. En utilisant les formules d'Euler, linéariser l'expression cos 3 x sin x .

cos 3 x sin x= e3 i xe−3i x

2 e i x−e−i x2 i = e4 i x−e2 i xe−2 i x−e−4 i x

4 i =12sin 4 x−sin 2 x

Définitionz est un nombre complexe non nul. L'écriture z=r e i avec r=∣z∣ et =arg z est appelée forme exponentielle de z .

Exemples1. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes : 3e

−i 2 ; 2e

3 i 4 ; 6e

2 i 3 .

3e−i

2=3cos−2 i sin−2 =30−i=−3 i

2e3 i

4=2cos34 isin 34 =2−2

2 i22 =−1i ;

6e2 i

3=6cos 23 i sin 2

3 =6−12i

32 =−333 i .

2. Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : 5i ; 44i ; 3−i 5 .

5i=5ei

2 ;

∣44 i∣=4242=32=4 2 ; cos= 44 2

=22 ; sin= 4

42=2

2 d'où =4

;

ainsi 44i=42ei

4 ;

∣3−i∣=32−12= 4=2 ; cos=3

2; sin=−1

2 d'où =6

; ainsi

3−i=2e−i

6 ; de la formule de Moivre, on déduit que

3−i 5=25 e−i 5

6 =32e−i 5

6 .

13

4) équations du second degré

a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels

PropriétéSoit a un réel.● Si a0 alors l'équation z2=a a exactement deux solutions réelles : a et

−a .● Si a=0 alors l'équation z2=a a exactement une solution réelle : 0.● Si a0 alors l'équation z2=a a exactement deux solutions imaginaires pures :

i −a et −i −a .

Démonstration● Si a0 alors l'équation z2=a est équivalente à z−a za=0 , d'où les

deux solutions réelles : a et −a .● Si a=0 alors l'équation z2=a devient z2=0 et par conséquent z = 0.● Si a0 alors l'équation z2=a est équivalente à z2−a=0 .

z2−a=0⇔ z2−i2×−a =0⇔ z−i −a zi −a=0 .D'où les deux solutions imaginaires pures : i −a et −i −a .

ExempleOn considère l'équation z2=−2 dans ℂ .Alors cette équation a deux solutions : i 2 et −i 2 .Vérification : i 22=−1×2=−2 . De même pour l'autre solution.

Préliminaire

Pour tout complexe z, a z2bzc=a z 2 baz ca =a z b

2a2

−

4a2 avec

=b2−4ac .Si 0 ou si =0 , on retrouve les solutions réelles (cf. résolution dans ℝ ).

Si 0 alors 4a2=

i −2

4 a2 = i −2a 2

d'où :

a z b2 a

2

−

4 a2 =a z b2a

2

− i −2a 2=a z−−b−i −2a z−−b i −2a .

PropriétéL'équation a z2b zc=0 (où a, b, c sont réels et a≠0 ) de discriminant =b2−4ac admet :

● si 0 , deux solutions réelles : z1=−b−

2a et z2=

−b2a

;

● si =0 , une solution réelle : z0=−b2a ;

14

● si 0 , deux solutions complexes conjuguées : z1=−b−i −

2aet

z2=−bi −

2a.

ExempleRésoudre dans ℂ l'équation z2z1=0 .On calcule le discriminant =b2−4ac .=12−4×1×1=1−4=−3 .Comme 0 alors l'équation admet deux solutions :

z1=−1−i 3

2et z2=

−1i 32

.

b) racines carrées d'un nombre complexe non nulSoient Z=XiY et z=xiy deux nombres complexes non nuls tels que Z=z2 .Z=z2⇔ XiY=xiy 2⇔{x

2− y2=X2 xy=Y .

On peut ajouter à ce dernier système d'équations, celle obtenue en considérant les modules : x2 y2=∣z∣2=∣Z∣= X 2Y 2 .

D'où : Z=z2⇔{ x2=12 XX 2Y 2

y2=12−XX 2Y 22 xy=Y

.

La troisième équation est utilisée pour les signes de x et y. Les deux racines carrées ainsi obtenues sont opposées l'une de l'autre.

ExempleCalculer les racines carrées complexes de 2 – i.

xiy2=2−i⇔{ x2− y2=2

2 xy=−1x2 y2=5

⇔{x2=1

252

y2=125−2

2 xy=−1

.

Donc les racines carrées complexes de 2 – i sont : 1252 −i 1

25−2 et

− 1252i 1

25−2 .

c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes

Propriété

Pour tout complexe z, a z2bzc=a z 2baz ca =a z b

2a2

−

4a2 avec

=b2−4ac .

15

● Si ≠0 , alors on peut considérer une racine carrée complexe de . Dans

ce cas, l'équation admet deux solutions distinctes : z1=−b−

2a et z2=

−b2a .

● Si =0 , l'équation admet une solution double : z=− b2a .

ExempleRésoudre dans ℂ l'équation : 1−i z 2−5−i z10=0 .=5−i 2−4×1−i ×10=25−10 i−1−4040i=−1630 i .

xiy 2=−1630 i⇔{x2− y2=−162 xy=30x2 y2=34

⇔{x 2=1

2−1634

y2=123416

2 xy=30

⇔{ x2=9y2=25

2 xy=30.

On considère donc =35i comme racine carrée complexe de -16 + 30 i.

On a alors : z1=5−i−3−5 i

21−i et z2=5−i35i

21−i .

Ainsi, on a : z1=1−3 i1−i

=1−3i 1i

2=2−i et z2=

42 i1−i

=42i 1i

2=13 i .

III Polynômes

1) fonctions polynômesDéfinitionUne fonction f définie sur ℝ ou ℂ est appelée fonction polynôme s'il existe un entier naturel n et a0 , a1 ,... , an appartenant à ℝ ou ℂ avec an≠0 tels que :f x =an x

n...a1 xa0 .L'entier n est appelé degré de la fonction polynôme f. Par convention, si f est le polynôme nul, son degré est −∞ .a0 , a1 ,... , an sont appelés les coefficients de la fonction polynôme f.

RemarquePar abus de langage, on parle de polynôme au lieu de fonction polynôme.

Exemplef x =4 x5−3x22 x7 définit un polynôme de degré 5 dont les coefficients sont :a5=4,a4=0,a3=0,a2=−3,a1=2,a0=7 .

PropriétéDeux polynômes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coefficients.

Démonstrationf x =an x

n...a1 x1a0 et g x=bn x

n...b1 xb0 .f =g si et seulement si, pour tout x, an x

n ...a1 x1a0=bn x

n...b1 xb0 ,c'est-à-dire, pour tout réel x, an−bnx

n...a1−b1 x1a0−b0=0 .

16

Or le polynôme nul a tous ses coefficients égaux à 0 donc pour tout i compris entre 0 et n, on a : a i=bi .

2) division euclidienne de polynômesPropriété (admise) - DéfinitionOn considère deux polynômes A et B, tels que B≠0 . Alors il existe un unique couple de polynômes (Q, R) tel que A=BQR avec deg(R) < deg(B).Lorsque le reste R est nul, on dit que B divise A.

ExempleÉcrire la division euclidienne de 2 X 3X1 par X−1 .

2 X 3X1=2 X 22 X3 X−14 .Dans ce cas, Q=2 X 22 X3 et R=4 .

3) racines de polynômesDéfinitionOn considère un polynôme P. On note un élément de ℝ ou ℂ .On dit que est une racine (ou un zéro) de P si P =0 .

Propriété est une racine de P si et seulement si x− divise P.

Démonstration• Si x− divise P, alors P=x−Q , où Q est un polynôme. Donc P =0 .• Si est une racine de P, alors en écrivant la division euclidienne de P par x− ,

on obtient : P=x−QR , avec deg(R) < 1, c'est-à-dire que R est une constante. En remplaçant x par , on a : P =R=0 . D'où R = 0 et x− divise P.

ExempleRechercher dans ℝ , les racines du polynôme x3 x−2 .On recherche d'abord une racine évidente : 1 ici. On factorise par x – 1.x3 x−2= x−1 x2x2 .

On recherche ensuite les racines du polynôme x² + x + 2.=12−4×1×2=−7 . Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle.

On en déduit que x3 x−2 a une seule racine réelle : 1.

DéfinitionOn considère un polynôme P et k un entier naturel non nul. On note un élément de ℝ ou ℂ .

On dit que est une racine de P d'ordre k si x−k divise P et x−k1 ne divise pas P.

Exemple

17

Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 du polynômeP x =x5− x4−x3− x24 x−2 , puis factoriser ce polynôme.P 1=1−1−1−14−2=0 . Donc 1 est bien une racine de P.

On effectue la division euclidienne de P par les puissances successives de x - 1.P x =x−1x4− x2−2 x2 . 1 est racine de x4−x22 x2 .P x =x−12x3x2−2 . 1 est racine de x3 x2−2 .P x =x−13 x22 x2 . 1 n'est pas racine de x22 x2 .

On recherche ensuite les racines du polynôme x² + 2x + 2.=22−4×1×2=−4 . Comme 0 alors il n'y a pas de racine réelle.

On en déduit la factorisation de P : P x =x−13 x22 x2 .

Théorème de D'Alembert-Gauss (admis)Tout polynôme non constant de ℂ possède au moins une racine complexe.

RemarqueAinsi, les polynômes réels de degré 2 à discriminant négatif possède des racines complexes. Ceci a été vu précédemment dans la partie sur les nombres complexes.

IV Fractions rationnelles

1) fonctions rationnellesDéfinition

Pour A et B deux fonctions polynomiales avec B≠0 , AB est appelé fonction

rationnelle (on dit aussi fraction rationnelle).

Exemplex2−3 x5x23

est une fraction rationnelle.

2) partie entièrePropriété - DéfinitionOn considère A et B deux fonctions polynomiales avec B≠0 .

Alors, il existe un unique couple de fonctions polynomiales (E, R) tel que AB=E R

B ,

avec deg(R) < deg(B).

E est appelé partie entière de la fraction rationnelle AB .

RB est appelé partie fractionnaire de la fraction rationnelle A

B .

DémonstrationOn effectue la division euclidienne de A par B : A=BQR .

18

Alors AB= BQR

B=Q R

B . Il suffit ensuite de noter E le polynôme Q.

Exemple

Déterminer la partie entière et la partie fractionnaire de la fraction rationnelle x3x3x2−2

.

x3 x3=x2−2x3 x3 . Donc la partie entière est : x ; la partie fractionnaire est :3 x3x2−2

.

3) zéros et pôles d'une fraction rationnelleDéfinition

La fraction rationnelle AB est dite irréductible lorsque les polynômes A et B n'ont pas de

diviseurs communs autre que les constantes.

Exemple

Trouver la forme irréductible de la fraction rationnelle x2−3 x2x2x−2

.

On cherche à factoriser le numérateur et le dénominateur.x2−3 x2= x−1 x−2 et x2 x−2=x−1x2 .

Donc x2−3 x2x2x−2

= x−2x2

.

Définition

On considère une fraction rationnelle AB sous sa forme irréductible.

1. Les racines du polynôme A sont appelées zéros de la fraction rationnelle AB .

Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme A.

2. Les racines du polynôme B sont appelées pôles de la fraction rationnelle AB .

Leur ordre de multiplicité est le même que celui dans le polynôme B.

Remarque

Comme la fraction rationnelle AB est irréductible alors A et B n'ont pas de racine

commune. Il ne peut donc y avoir de confusion entre zéro et pôle d'une fraction rationnelle.

Exemple

Déterminer les zéros et les pôles de la fraction rationnellex3x2−1

.

x3x2−1

a un zéro, à savoir 3, et deux pôles, à savoir 1 et -1.

19

4) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples

Exemple 1

Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnellex

x2−1.

Tout d'abord, on recherche les pôles dex

x2−1. Il s'agit de 1 et -1.

On a alors :x

x2−1= ax−1

bx1 .

En multipliant chaque membre par x – 1, on obtient : xx1

=ab x−1x1

.

En faisant tendre x vers 1, on obtient alors : 12=a .

On reprend l'égalité de départ et on multiplie chaque membre par x + 1. On obtient :xx−1

=a x1x−1

b .

En faisant tendre x vers – 1, on obtient : −1−2=b , c'est-à-dire : 1

2=b .

D'où, xx2−1

=

12x−1

12x1

.

Exemple 2

Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle2 x1x21

.

Tout d'abord, on recherche les pôles de2 x1x21

. Il s'agit de i et -i.

On a alors :2 x1x21

= ax−i

bxi .

En multipliant chaque membre par x – i et en évaluant les expressions obtenues pour x = i, on

obtient : a=2 i12 i

=1− i2 .

En multipliant chaque membre par x + i et en évaluant les expressions obtenues pour x = -i, on

obtient : b=−2 i1−2 i

=1 i2 .

Ainsi, 2 x1x21

=1− i

2x−i

1 i2

xi.

RemarqueDans le cas d'une fraction rationnelle à coefficients réels avec deux pôles complexes conjugués, les deux coefficients correspondants sont aussi deux complexes conjugués.

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Exemple 3

Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle2 x−3

x2−2 x1.

Tout d'abord, on recherche les pôles de2 x−3

x2−2 x1. Il s'agit d'un pôle double : 1.

On a alors :2 x−3

x2−2 x1= ax−1

bx−12

.

En multipliant chaque membre par (x-1)² et en évaluant les expressions obtenues pour x = 1, on obtient : -1 = b.

On en déduit que :ax−1

= 2 x−3x−12

1x−12

= 2 x−2x−12

= 2x−1 . D'où a = 2.

Ainsi,2 x−3

x2−2 x1= 2x−1

− 1x−12 .

Exemple 4

Décomposer en élément simple dans ℂ la fraction rationnelle x41x32 x2x

.

Tout d'abord, cette fraction rationnelle a une partie entière qu'il faut déterminer.x41

x32 x2x=x−23 x22 x1

x32 x2x.

Ensuite, on détermine les pôles de 3 x22 x1x32 x2 x

. Il s'agit de 0 (pôle simple) et -1 (pôle double).

Alors, on a : 3 x22 x1x32 x2x

= ax bx1

cx12

.

Les méthodes précédentes donnent : a = 1 et c = -2.

On en déduit que : bx1

=3 x22 x1x x12

−1x

2x12

.

D'où bx1

=3 x22 x1−x2−2 x−12 x

x x12=

2 x22 xx x12

=2x1 . Par conséquent, b = 2.

Ainsi, x41x32 x2x

=x−2 1x 2x1

− 2 x12

.

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Table des matièresI Fonctions trigonométriques................................................................................................................1

1) cercle trigonométrique.................................................................................................................12) valeurs remarquables...................................................................................................................23) fonctions sinus, cosinus et tangente.............................................................................................24) formules de trigonométrie...........................................................................................................35) fonctions trigonométriques réciproques......................................................................................4

II Nombres complexes..........................................................................................................................61) notion de nombre complexe........................................................................................................62) module et argument d'un nombre complexe................................................................................93) écriture exponentielle................................................................................................................124) équations du second degré.........................................................................................................14

a) cas d'une équation du second degré à coefficients réels.......................................................14b) racines carrées d'un nombre complexe non nul....................................................................15c) cas d'une équation du second degré à coefficients complexes..............................................15

III Polynômes.....................................................................................................................................161) fonctions polynômes..................................................................................................................162) division euclidienne de polynômes...........................................................................................173) racines de polynômes................................................................................................................17

IV Fractions rationnelles....................................................................................................................181) fonctions rationnelles.................................................................................................................182) partie entière..............................................................................................................................183) zéros et pôles d'une fraction rationnelle....................................................................................194) exemples de décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples............................20

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