Premiers exercices d'Algèbre

Premiers exercices d’Algèbre

Anne-Marie Simon

première version: 17 août 2005version corrigée et complétée le 12 octobre 2010

ii

Table des matières

1 Quelques structures ensemblistes 11.0 Ensembles, relations, fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Préordre, ordre, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Premières structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Autour des nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Groupes 392.1 Groupes, sous-groupes, isomorphismes . . . . . . . . . . . . . 392.2 Classes latérales et homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . 482.3 Homomorphismes et groupes quotients . . . . . . . . . . . . . 562.4 Compléments sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Anneaux 693.1 Quelques anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Homomorphismes, idéaux et anneaux quotients . . . . . . . . 803.3 Factorisation dans un domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4 Fractions, caractéristique et corps finis . . . . . . . . . . . . . 95

iii

iv TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Quelques structuresensemblistes

1.0. Ensembles, relations, fonctions

0. Vocabulaire et notations. (a) Un ensemble est une collection d’ob-jets appelés éléments, ce qui ne veut pas dire que toute collection d’objetsest un ensemble. On écrit a ∈ E pour indiquer que l’élément a appartient àl’ensemble E, ce qui s’exprime aussi en disant que l’ensemble E comprendl’élément a. On écrit a /∈ E pour indiquer que a n’appartient pas à E.

Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments.Autrement dit les ensembles A et B sont égaux si et seulement si, pour toutélément x, x appartient à A si et seulement si x appartient à B, ce quis’écrit : (A = B) ⇔ (∀x, x ∈ A⇔ x ∈ B).

L’ensemble vide qui ne comprend aucun élément est désigné par ∅.Un ensemble E est donc non vide s’il existe un élément a appartenant à E,ce qui s’écrit : ∃ a ∈ E.

Un singleton est un ensemble ne comprenant qu’un seul élément.Donc un ensemble A est singleton s’il existe un et un seul élément a appar-tenant à A, ce qui s’écrit : ∃ ! a, a ∈ A. Le singleton de l’élément a s’écrit{a}.

Les nombres naturels 0, 1, 2, 3, · · · sont les éléments d’un ensemble notéN.Les nombres naturels positifs 1, 2, 3, · · · sont les éléments d’un ensemble notéN0.Les nombres entiers · · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · sont les éléments d’un ensemblenoté Z.Les nombres rationnels sont les éléments d’un ensemble noté Q.Les nombres réels sont les éléments d’un ensemble noté R.Les nombres réels non nuls sont les éléments d’un ensemble noté R0.Les nombres réels positifs ou nuls sont les éléments d’un ensemble noté R+.Les nombres réels positifs sont les éléments d’un ensemble noté R+

0 .Les nombres complexes sont les éléments d’un ensemble noté C.Et ainsi de suite.

On peut parfois décrire un ensemble en énumérant ses éléments. Onpeut aussi décrire un ensemble en indiquant une propriété caractérisant seséléments, par exemple l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est décritpar R+ = {r ∈ R | r > 0}. Voici deux façons différentes de décrire un autre

1

2 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES

ensemble : {0, 1, 2} = {n ∈ N | 0 6 n < 3}.

(b) Un ensemble A′ est un sous-ensemble ou une partie de l’ensembleA si tout élément appartenant à A′ appartient à A. Formellement, cecis’écrit : a ∈ A′ ⇒ a ∈ A et se lit : « a appartient à A′ implique que aappartient à A ». On dit alors que A′ est contenu dans A ou inclu à A eton écrit indifféremment A′ ⊂ A ou A′ ⊆ A, on dit aussi que A contient A′

et on écrit encore A ⊃ A′ ou A ⊇ A′.Si A′ ⊂ A et si A′ 6= A, on dit que l’inclusion A′ ⊂ A est stricte, on dit

aussi que A′ est une partie propre de A et on écrit parfois A′ ( A.On écrit encore A′ * A pour indiquer que A′ n’est pas contenu dans A.

(c) Les sous-ensembles d’un ensemble E sont les éléments d’un nouvelensemble P(E) appelé ensemble des parties de E : P(E) = {E′ | E′ ⊂ E}.

Nous avons : ∅ ∈ P(E), E ∈ P(E), donc P(E) n’est jamais vide.Par ailleurs nous avons : a ∈ E si et seulement si {a} ⊂ E si et seulement

si {a} ∈ P(E). En particulier nous avons encore : {∅} ⊂ P(E).

(d) Attention, il convient de faire la différence entre appartenanceet inclusion : Z ⊂ R mais Z /∈ R ; i ∈ C ∈ P(C), mais i * C, C * P(C)et i /∈ P(C), bien que nous ayons : {i} ⊆ C et que { {z} | z ∈ C} soit unecopie de C contenue dans P(C).

Nous avons aussi 2 ∈ R+ ∈ {R+,R−}, mais 2 /∈ {R+,R−}.

(e) Opérations ensemblistes.

L’intersection de deux ensembles A et B est définie par

A ∩B = {x | x ∈ A et x ∈ B}.

La réunion de deux ensembles est définie par

A ∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

ici, le « ou » n’est pas exclusif : A ∩B ⊂ A ∪B.

La différence de deux ensembles A et B est définie par

A \B = {x | x ∈ A et x /∈ B}.

Quand A′ est un sous-ensemble de l’ensemble A, on dit aussi que A \A′ estle complément de A′ dans A.

La différence symétrique de deux ensembles A et B est l’ensemble

A4B = (A \B) ∪ (B \A).

(f) Propriétés des opérations ensemblistes. Les identités suivantessont utiles et faciles à vérifier : pour tous ensembles A,B, C,

(i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C),

(ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),

(iii) C ∩ (B \A) = (C ∩B) \A,

1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 3

(iv) C \ (A ∩B) = (C \A) ∪ (C \B),(v) C \ (A ∪B) = (C \A) ∩ (C \B),(vi) A \ (A \B) = A ∩B.

Ces identités peuvent se vérifier sur un diagramme de Venn, c.à-d.un dessin représentant les trois ensembles A,B,C par trois disques distinctsayant une intersection commune, étant entendu qu’un élément de l’ensembleA est représenté par un point du disque A et ainsi de suite. Ce dessin par-tage la feuille de papier en 23 = 8 plages, ce qui correspond au fait qu’ily a 23 possibilités pour un élément d’appartenir ou non à chacun des troisensembles A, B,C.

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#Ã

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#Ã

(g) Opérations ensemblistes et connecteurs logiques.Les identités en (f) peuvent aussi se vérifier à l’aide d’une table de

vérité, étant admis qu’une proposition est soit vraie, soit fausse, se voitassigner la valeur 1 si elle est vraie, la valeur 0 si elle est fausse.

Rappelons d’abord la définition du « et » logique noté « ∧ », celle du« ou » logique noté « ∨ » et celle de la « négation » logique notée « ¬ » endonnant les tables de vérité des propositions « p∧ q », « p∨ q » et « ¬p », pet q étant elles-mêmes des propositions.

p 1 1 0 0q 1 0 1 0

p ∧ q 1 0 0 0

p 1 1 0 0q 1 0 1 0

p ∨ q 1 1 1 0

p 1 0¬p 0 1

Voici la table de vérité de l’implication logique notée « p⇒ q ».

p 1 1 0 0q 1 0 1 0

p⇒ q 1 0 1 1

Observons que cette table est la même que celle de la proposition « ¬p∨q »,les propositions « p⇒ q » et « ¬p ∨ q » sont équivalentes.

Voici encore la table de vérité de l’équivalence logique notée « p⇔ q ».

p 1 1 0 0q 1 0 1 0

p⇔ q 1 0 0 1

Notons que les propositions « p ⇔ q » et « (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) » ont mêmetable de vérité.

Voici maintenant la table de la proposition « x ∈ (C \ D) », qui est lamême que celle de « ¬(x ∈ C ⇒ x ∈ D » et celle de « x ∈ C et x /∈ D ».

x ∈ C 1 1 0 0x ∈ D 1 0 1 0

x ∈ (C \D) 0 1 0 0


Remplaçant les propositions x ∈ C et x ∈ D par p et q on voit aussi queles propositions « ¬(p ⇒ q) » et « p ∧ ¬q » ont même table de vérité, sontéquivalentes.

Voici maintenant la table de vérité de la proposition « x ∈ C \ (A∪B) ».

x ∈ A 1 1 1 1 0 0 0 0x ∈ B 1 1 0 0 1 1 0 0x ∈ C 1 0 1 0 1 0 1 0

x ∈ C \ (A ∪B) 0 0 0 0 0 0 1 0

En remarquant que cette table est aussi la table de la proposition« x ∈ (C \A) ∩ (C \B) », on vérifie l’identité en (f)(v).

(h) Soit a un élément de l’ensemble A et soit b un élément de l’ensembleB. Nous formons avec ces éléments un nouvel élément (a, b) nommé couple,et nous disons que deux couples (a, b) et (a′, b′) sont égaux si a = a′ et b = b′.

Le produit cartésien ou produit des ensembles A et B est l’ensembleA×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

(i) Exerçons le vocabulaire et les notations.

Sachant que a ∈ A et b ∈ A, indiquer les relations d’appartenance etd’inclusion entrea, (a, b), {a, b}, {a}, A, A×A, P(A), ∅ .

Un ensemble nous informe qu’il est dépourvu de partie propre. Qui est-il ?

Montrer que les propositions «¬(p∨q) » et «¬p ∧ ¬q » sont équivalentes,c.-à-d. ont même table de vérité.

Montrer aussi que les propositions « ¬(p ∧ q) » et « ¬p ∨ ¬q » sontéquivalentes.

1. Définitions. Une relation d’un ensemble A vers un ensemble Best un sous-ensemble du produit cartésien A×B.

La relation réciproque d’une relation R de A vers B est la relation deB vers A définie par R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}.

Une relation dans un ensemble A est une relation de A vers A.

La relation identique d’un ensemble A est la relation 1A = {(a, a) |a ∈ A}.

2. Notations. Soit R une relation de A vers B. Pour indiquer qu’uncouple (a, b) appartient à R (où a ∈ A, b ∈ B), on écrira indifféremment(a, b) ∈ R ou a R b ou on dessinera une flèche partant d’un point représentantl’élément a et aboutissant en un point représentant l’élément b.

L’ensemble des flèches correspondant aux couples d’une relation seraparfois appelé le graphe de la relation.

Voici le graphe d’une relation d’un ensemble de quatre éléments vers unautre ensemble de quatre éléments.


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Voici le graphe d’une relation identique sur un ensemble de trois éléments

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3. Vocabulaire. (a) Une fonction ou application f d’un ensembleA dans un ensemble B assigne à chaque élément a de A un et un seulélément de B appelé souvent image de a par f ou valeur de f en a, souventnoté f(a) ou parfois af .

Si f est une fonction de A dans B, l’ensemble A est appelé le domainede f : A = Dom(f), l’ensemble B est appelé le but de f : B = But(f).

On indique que f est une fonction de A dans B par f : A → B ouA

f→ B.Pour déterminer une fonction, il faut indiquer quelle est l’image de tous leséléments de son domaine. Voici quelques façons de faire pour une fonctionf de R dans R× R :

f : R→ R× R : t 7→ (t2, t3),f : R→ R× R : f(t) = (t2, t3),ou encoreR f→ R× Rt 7→ (t2, t3)

(avec le sous-entendu t ∈ R et R est l’ensemble des nombres réels).

Il convient ici d’être attentif à la terminologie. Certains mathé-maticiens utilisent le terme « fonction » dans un sens légèrement différent,disant qu’une « fonction » de A dans B assigne à certains éléments a deA un et un seul élément f(a) de B. Ils disent alors que le domaine de la« fonction » f est l’ensemble des éléments a de A tels que f(a) existe, cedomaine pouvant être strictement inclu à A. Nous ne suivons pas ici cetusage.

(b) L’image de la fonction f : A→ B est le sous-ensemble de B définipar

Im(f) = {f(a) | a ∈ A},donc Im(f) ⊆ B.

Une fonction dont l’image est un singleton est souvent appelée fonctionconstante.

(c) Plus généralement, l’image directe d’une partie A′ de A par lafonction f : A→ B est la partie de B définie par

f∗(A′) = {f(a) | a ∈ A′}. Avec ces notations, Im(f) = f∗(A).


L’image inverse d’une partie B′ de B par la fonction f : A→ B estla partie de A définie par

f∗(B′) = {x ∈ A | f(x) ∈ B′}.

D’un coté nous avons : ∀A′ ⊂ A, A′ ⊂ f∗(f∗(A′)), cette inclusion peutêtre stricte.

De l’autre coté nous avons : ∀B′ ⊂ B, f∗(f∗(B′) ⊂ B′, cette inclusionest stricte dès que B′ 6⊂ Im(f).

Attention. Par abus de notations, la partie f∗(A′) de B est souventnotée f(A′) bien que A′ /∈ A = Dom(f). Et la partie f∗(B′) de A est souventnotée f−1(B′) bien que f−1 ne soit pas nécessairement une fonction.

(d) Le graphe d’une fonction f : A → B est le sous-ensemble deA×B défini par

Γf = {(a, f(a)) | a ∈ A}.

On identifie souvent une fonction f : A→ B avec son graphe vu commesous-ensemble de A × B. Ceci nous permet de dire qu’une fonction f de Adans B est une relation de A vers B satisfaisant la condition :

∀a ∈ A ∃!b ∈ B tel que (a, b) ∈ f.

Ce point de vue étant adopté, nous dirons aussi que le graphe d’une fonctionf : A→ B est le graphe de la relation correspondante Γf de A vers B.

Voici le graphe d’une fonction

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Son domaine est l’ensemble de gauche et chaque élément de son domainelance exactement une flèche.

Cependant, dans le cas où A et B sont deux sous-ensembles de l’ensembledes nombres réels R, le graphe Γf d’une fonction f : A→ B, étant un sous-ensemble de R × R, peut se dessiner dans le plan réel coordonné ; on diraaussi que ce dessin est le graphe de la fonction f .

Voici esquissé le graphe de la fonction R→ R : x 7→ x23

(e) Pour terminer ce vocabulaire, remarquons que la relation identiquedans un ensemble A est une fonction de A dans A encore appelée fonctionidentique de A et aussi notée 1A.


Ex 4. Les relations suivantes sont-elles des fonctions ? Illustrez la réponsepar un dessin, c.-à-d. par un graphe.

(a) {(t2, t) | t ∈ R} ⊆ R× R

(b) {(a, 0), (b, 1)} ⊆ {a, b, c} × {0, 1, 2}

(c) {(n, n + 1) | n ∈ N} ⊆ N× N

(d) {(n + 1, n) | n ∈ N} ⊆ N× N

5. Définitions. Soit f une fonction de l’ensemble A dans l’ensemble B.

Cette fonction f est injective si, ∀a1, a2 ∈ A, f(a1) = f(a2)⇒ a1 = a2.Voici le graphe d’une fonction injective.

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Cette fonction f est surjective si, ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tel que f(a) = b.Voici le graphe d’une fonction surjective.

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Cette fonction f est bĳective si elle est injective et surjective. Voici legraphe d’une fonction bĳective.

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Remarquons que si f est une fonction bĳective de A dans B, la relationréciproque f−1 est une fonction bĳective de B dans A, appelée fonctionréciproque de la fonction f . On indique parfois que f est une fonctionbĳective ou une bĳection par f : A ∼→ B.


Une transformation d’un ensemble A est une fonction de A dans A.Voici le graphe d’une transformation d’un ensemble de trois éléments.

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Une permutation d’un ensemble A est une transformation bĳective deA.

Voici le graphe d’une permutation.'

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6

Voici le graphe de l’unique permutation de l’ensemble vide, qui, soit diten passant, est aussi l’unique transformation de l’ensemble vide.

Â

Á

¿

À

L’injection canonique d’une partie A′ de l’ensemble A dans A est lafonction i de A′ dans A définie par : ∀a′ ∈ A′, i(a′) = a′.Cette fonction est injective, rarement surjective. On indique parfois que lafonction i est une injection canonique par i : A′ ↪→ A.

La projection canonique du produit cartésien A×B sur son premierfacteur A est la fonction p1 : A×B → A : (a, b) 7→ a.Cette fonction est surjective dès que B 6= ∅, rarement injective. Dans le casoù B 6= ∅, on indique parfois que la fonction p1 est une projection canoniquepar p1 : A×B ³ B.La projection canonique p2 de A×B sur son second facteur B se définit defaçon analogue.

A

A×B

p1

55

p2

))B

Ex 6. Parmi les fonctions obtenues à l’ex 4, quelles sont celles qui sontinjectives, surjectives, bĳectives ?

7. Principe de l’alternative. Soit A et B deux ensembles finis ayantmêmes nombre d’éléments et soit f : A→ B une fonction. Alors

f est injective ssi f est bĳective ssi f est surjective.


8. Notations. Soit A,B deux ensembles.L’ensemble des fonctions de A dans B sera noté par BA ou par

Ens(A,B) selon le contexte ou le goût du moment.L’ensemble des permutations de A sera noté SA.

9. Taille d’un ensemble. (a) Le cardinal d’un ensemble A est un objetmathématique mesurant la taille de A. Nous ne nous attacherons pas ici à sadéfinition précise. Notons simplement que, dans la cas où A est un ensemblefini de n éléments, on écrit #A = n.

Nous écrirons donc : 0 = #∅, #{0} = 1 = #{∅}, #{0, 1} = 2 =#{∅, {∅}}.

On dit que deux ensembles A et B ont même cardinal ou sont équipo-tents, et on écrit #A = #B ou A#B, s’il existe une bĳection de A dansB.

S’il existe une injection de A dans B, on écrit #A 6 #B.S’il existe une injection de A dans B et si aucune de ces injections n’est

bĳective, on écrit #A < #B.

(b) Pour clarifier les idées, mentionnons le théorème de Cantor-Bernstein : s’il existe une injection de l’ensemble A dans l’ensemble B etune injection de l’ensemble B dans l’ensemble A, alors il existe une bĳectionde A dans B. Autrement dit :

#A 6 #B et #B 6 #A ⇒ #A = #B.

De plus, étant donné deux ensembles A et B, il est possible moyennantcertains choix de construire une injection de A dans B ou une injection deB dans A :

#A 6 #B ou #B 6 #A

(c) Un ensemble infini E est dénombrable si on peut « énumérer »ses éléments, c.à.d. s’il existe une fonction bĳective N ∼→ E, où N désignel’ensemble des nombres naturels.

L’ensemble des nombres entiers Z, l’ensemble des nombres rationnels Qet les ensembles N, N×N, 2Z, sont dénombrables. L’ensemble R des nombresréels n’est pas dénombrable.

(d) Un argument diagonal dû à Cantor montre que, pour tout ensembleE,

#E < #P(E).

(Esquissons l’argument. Il suffit de monter que toute fonction f : E → P(E)est non surjective. Soit donc f une telle fonction et soit P = {x ∈ E | x /∈f(x)}. Supposons que cette partie P de E appartient à Im(f), nous avonsalors un élément a ∈ E tel que P = f(a). Cet élément a appartient-il àP = f(a) ? En tentant de répondre à cette question nous arrivons à lacontradiction : a ∈ f(a)⇔ a /∈ f(a). Donc P /∈ Im(f).)

(e) On peut aussi montrer : #R = #P(N).

(f) Terminons en douceur ces considérations sur la taille des ensemblespar une définition de l’infini due à Dedekind :« un ensemble infini est unensemble équipotent à une de ses parties propres ».


Ex 10. (a) Soient A,B deux ensembles finis tels que #A = a et #B = b,où a, b ∈ N.

Alors #(A×B) = ab, #(BA) = ba, #(SA) = a!.

Ceci nous incite à « définir » en toute généralité et avec un grain de selle produit et l’exponentielle de deux cardinaux par

#A ·#B = #(A×B) et #B#A = #(BA)

même lorsqu’un de nos ensembles A et B est infini.Mais nous n’avions pas défini de façon précise le cardinal d’un ensemble

A, l’objet #A ! Ceci ne nous empêche cependant pas de définir l’expression« #A · #B = #C » par « il existe une bĳection A × B ∼→ C » et aussil’expression « #B#A = #C » par « il existe une bĳection BA ∼→ C » !

(b) Si #A = a et #B = b, où a, b ∈ N,que vaut #{f : A→ B | f est une injection de A dans B} ?

(c) Soit A un ensemble quelconque. Établir une bĳection A{0,1} → A×A.L’existence de cette bĳection nous incline à écrire 2 = {0, 1}, A×A = A2.

(d) Quels sont les ensembles F ayant la propriété suivante : pour toutensemble X, #FX = 1 ?

Quel est l’ensemble I tel que, pour tout ensemble X, on a #XI = 1 ?

(e) Soit A, B, X trois ensembles.Établir une bĳection naturelle : Ens(X,A×B) ∼→ Ens(X, A)×Ens(X,B).

En déduire : (A×B)X#(AX ×BX).

(f)Soit A,B,X trois ensembles.Établir une bĳection : Ens(A×X, B) ∼→ Ens(A,Ens(X,B)).

En déduire : #BA×X = #(BX)A.

11. Définition. La fonction caractéristique d’une partie X d’un en-semble E est la fonction

carX : E → {0, 1} : e 7→{

1 si e ∈ X0 si e /∈ X

Voici une représentation schématisée de la fonction caractéristique de lapartie X de E. '

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#ÃX0 1

Ex 12. Visualiser la fonction caractéristique des parties Z,Q de R.Observer que toute partie X d’un ensemble E est entièrement déterminéepar sa fonction caractéristique.


Ex 13. Soit E un ensemble. La fonction

car : P(E)→ {0, 1}E : X 7→ carX

est bĳective : #(P(E)) = #(2E).

Si #E = n ∈ N, alors #(P(E)) = 2n

Ex 14. (a) Expliciter les ensembles P({a, b, c}), P({0}), P(∅), en indi-quant à chaque fois leur nombre d’éléments.

(b) Un ensemble de 5 éléments annonce qu’il est en bĳection avec l’en-semble des parties d’un autre ensemble. Dit-il vrai ?

(c) Un autre ensemble E nous informe que l’ensemble de ses partiescomprend 128 éléments. Combien y-a-t-il d’éléments dans E ?

Ex 15. Combien y-a-t-il de relations de A vers B si #A = a ∈ N, #B =b ∈ N ?

16. Définition. Soit f et g deux fonctions telles que le but B de f coïncideavec le domaine B de g :

Af→ B

g→ C.

La composée de ces deux fonctions, notée g ◦ f , est la fonction de Adans C définie par :∀a ∈ A, (g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Ag◦f−→ C

a 7→ g(fa))

En termes de graphe, une flèche de la fonction f suivie d’une flèche de lafonction g donne une flèche de la fonction g ◦ f .

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La composition des fonctions est associative, si f, g, h sont trois fonctionstelles que g ◦ f et h ◦ (g ◦ f) sont définies, alors h ◦ g et (h ◦ g) ◦ f sont aussidéfinies et (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).

Elle est loin d’être commutative.

Chœur. Toute fonction identique est injective, surjective et bĳective.La composée de deux fonctions injectives est une fonction injective.La composée de deux fonctions surjectives est une fonction surjective.La composée de deux fonctions bĳectives est une fonction bĳective.


Ex 17. Voici deux fonctions :f : R→ R2 : t 7→ (t2, t3),g : R2 → R : (x, y) 7→ x · y.

Décrivez g ◦ f et f ◦ g.

Ex 18. Voici trois permutations p, q, r de l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4} définiespar :

p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 0, p(3) = 3, p(4) = 4,q(0) = 0, q(1) = 1, q(2) = 3, q(3) = 2, q(4) = 4,r(0) = 1, r(1) = 0, r(2) = 3, r(3) = 2, r(4) = 4,Dessiner en vert le graphe de la permutation p et en bleu le graphe de

la permutation q. Pour dessiner en rouge le graphe de la permutation p ◦ q,suivons les flèches : une flèche bleue suivie d’une flèche verte nous donne uneflèche rouge.

Dessiner aussi le graphe des permutations q ◦ p, p ◦ r.

19. Entre dessins et notations. La permutation h dont voici le graphe

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sera notée h = (3, 4, 5) ◦ (1, 2) ou h =(

0 1 2 3 4 50 2 1 4 5 3

)

Mais elle pourra aussi être notée h = (2, 1) ◦ (5, 3, 4).De combien de façons pouvons-nous noter cette permutation h ?

La permutation p de l’ex 18 sera notée p =(

0 1 2 3 41 2 0 3 4

)ou

p = (0, 1, 2).

La permutation r de l’ex 18 sera notée r =(

0 1 2 3 41 0 3 2 4

)ou

r = (0, 1) ◦ (2, 3).

Ex 20. Voici deux fonctionss : N→ N : n 7→ n + 1,p : N→ N : p(n) = n− 1 si n > 0, p(0) = 0.

Dessiner en couleur les graphes des fonctions s, p, s ◦ p, p ◦ s. Ces fonctionssont-elles injectives, surjectives, bĳectives ?

Ex 21. Soit D, D′ deux droites du plan réel Π et soit 0 un point de D.Nous désignerons par sD la symétrie par rapport à la droite D, par rθ larotation autour de 0 d’angle θ, dans le sens trigonométrique. Remarquonsque sD, sD′ , rθ ∈ SΠ.

Décrire les composées sD ◦ sD, sD ◦ sD′ , sD′ ◦ sD, rθ ◦ rθ′ , sD ◦ rθ.


Ex 22. Soit Af→ B et B

g→ C deux fonctions. Démontrer :

g ◦ f injective ⇒ f injective,

g ◦ f surjective ⇒ g surjective,

g ◦ f bĳective ⇒ (f injective et g surjective).

Ex 23. Soit f : A→ B une fonction.

(a) Cette fonction est injective si et seulement si, pour tout ensemble Xet pour tout h1, h2 ∈ Ens(X, A),

f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2.

(b) Cette fonction est surjective si et seulement si, pour tout ensembleY et pour tout g1, g2 ∈ Ens(B, Y ),

g1 ◦ f = g2 ◦ f ⇒ g1 = g2.

(c) Cette fonction f est bĳective si et seulement s’ il existe une fonctiong : B → A telle que

g ◦ f = 1A et f ◦ g = 1B

.Dans ce cas la relation f−1est bĳective et nous avons g = f−1.

Ex 24. Soit f : A→ B une fonction.

Cette fonction est injective si et seulement s’il existe une fonction g :B → A telle que g ◦ f = 1A.

Cette fonction est surjective si et seulement s’il existe une fonction h :B → A telle que f ◦ h = 1B.

Notons que la preuve de cette dernière assertion nécessite de faire cer-tains choix, plus précisément utilise l’axiome du choix que voici et dont lesalgébristes n’aiment guère se passer.

Axiome du choix : étant donné un ensemble d’ensembles non vides, ilest possible de choisir simultanément un élément dans chacun d’entre eux.

25. Restriction de fonction Soit f : A → B une fonction et soit i :A′ ↪→ A l’injection canonique d’une partie A′ de A dans A.

La restriction de la fonction f à la partie A′ de Dom(f) est la fonctionf ◦ i : A′ → B, elle est souvent désignée par f|A′ .

Af // B

A′

i>>~~~~~~~ f|A′

<<


Dans certains cas, nous pouvons faire aussi une restriction sur le but dela fonction. Soit encore j : B′ ↪→ B l’injection canonique d’une partie B′ deB dans B. Si f∗(A′) = {f(a′) | a′ ∈ A′} ⊂ B′, la restriction de f à A′ et B′

est la fonction f|A′,B′ : A′ → B′ : a′ 7→ f(a′).Ces fonctions s’inscrivent dans le diagramme commutatif

A′ i−−−−→ A

f|A′,B′y

yf

B′ j−−−−→ B

Ex 26. Les fonctions « image directe » et « image inverse ».Soit f : A→ B une fonction.Rappelons que l’image directe par f d’une partie A′ de A a été définie

par f∗(A′) = {f(a′) | a′ ∈ A}, que l’image inverse par f d’une partie B′ deB a été définie par f∗(B′) = {a ∈ A | f(a) ∈ B′}

Avec ces notions d’image directe et d’image inverse, la fonction

Af→ B

donne naissance à deux nouvelles fonctions

P(A)f∗−→ P(B)

A′ 7→ f∗(A′)

etP(A)

f∗←− P(B)f∗(B′) ←[ B′

Ces fonctions respectent l’inclusion : ∀A1, A2 ⊂ A, ∀B1, B2 ⊂ B

A1 ⊂ A2 ⇒ f∗(A1) ⊂ f∗(A2)f∗(B1) ⊂ f∗(B2) ⇐ B1 ⊂ B2

Nous avons aussi :

A1 ⊂ f∗(B1) ssi f∗(A1) ⊂ B1

A1 ⊂ f∗(f∗(A1)) et B1 ⊃ f∗(f∗(B1))

Signalons que les deux dernières inclusions peuvent être strictes.

Nous avons encore :

f∗(B1 ∪B2) = f∗(B1) ∪ f∗(B2) et f∗(A1 ∪A2) = f∗(A1) ∪ f∗(A2)

f∗(B1 ∩B2) = f∗(B1) ∩ f∗(B2) et f∗(A1 ∩A2) ⊂ f∗(A1) ∩ f∗(A2)

f∗(B1 \B2) = f∗(B1) \ f∗(B2) et f∗(A1 \A2) ⊃ f∗(A1) \ f∗(A2)

Ici encore, les inclusions peuvent être strictes.

1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE 15

1.1. Préordre, ordre, équivalence

1. Définitions . Une relation R dans un ensemble A estréflexive si, ∀a ∈ A, aRa,transitive si, ∀x, y, z ∈ A, (xRy et yRz)⇒ xRz,antisymétrique si, ∀x, y ∈ A, (xRy et yRx)⇒ x = y,symétrique si, ∀x, y ∈ A, xRy ⇒ yRx.

Ex 2. Voici le graphe d’une relation dans un ensemble de trois éléments.

s

s

s

h

7 oq

iCette relation n’est pas réflexive, elle n’est ni symétrique ni antisymétriqueet elle n’est pas transitive. Pourquoi ?Que faut-il lui ajouter pour qu’elle devienne transitive ?

3. Définitions. Un préordre sur l’ensemble A est une relation dans Aréflexive et transitive, parfois notée ≺.

Un ordre sur A est un préordre antisymétrique.Un ordre total ≺ sur A est un ordre tel que, ∀x, y ∈ A, x ≺ y ou y ≺ x.Une équivalence sur A est une relation dans A (souvent notée ∼) ré-

flexive, symétrique et transitive.

Un ensemble ordonné (préordonné) est un ensemble muni d’un ordre(préordre).

Certains auteurs utilisent aussi le terme « ordre strict », un ordre strictsur l’ensemble A est une relation R dans A transitive et antisymétrique telleque, ∀a ∈ A, (a, a) /∈ R. Attention, un ordre strict n’est pas un ordre.

Ex 4. La relation identique 1E sur un ensemble E est à la fois symétriqueet antisymétrique, est à la fois un ordre et une équivalence.

5. Définitions. Dans un ensemble préordonné (E,≺), un élément e de Eest un minimum de la partie P de E si e ∈ P et si, ∀x ∈ P , e ≺ x.

Un élément e de E est un maximum de la partie P de E si e ∈ P et si,∀x ∈ P , x ≺ e.

On démontre aisément qu’une partie P d’un ordonné E,≺ possède auplus un minimum et au plus un maximum. S’ils existent, ils seront désignésrespectivement par min(P ) et max(P ).

Ex 6. On définit la relation «divise », notée |, dans l’ensemble des naturelsN par :∀a, b ∈ N, a|b si ∃m ∈ N tel que b = ma.

De façon analogue, on définit la relation | dans l’ensemble Z des entiers par :∀a, b ∈ Z, a|b si ∃m ∈ Z tel que b = ma.

Dessiner une partie du graphe de la relation divise dans N, dans Z.Remarquer : ∀z ∈ Z, 1|z et z|0, 0|0.


La relation | dans N est-elle antisymétrique, la relation | dans Z est-elleantisymétrique ?

Ex 7. Voici quelques ensembles munis chacun d’une relation :(N, 6) (N, <) (Z, 6) (N, |) (Z, |) (P(E),⊂) (E, 1E).Ces relations sont-elles réflexives, symétriques, transitives, antisymétriques ?

Sont-elles des préordres, des ordres, des ordres totaux, des équivalences ? Lesensembles préordonnés figurant dans cette liste possèdent-ils un ou plusieursminima, un ou plusieurs maxima ?

8. Généralités. (a) Une partition d’un ensemble E est un ensemble departies non vides de E, appelées pièces de la partition, tel que chaque élémentde E appartienne à une et une seule de ces parties.

De façon plus formelle, une partition d’un ensemble E est un ensembleP ⊂ P(E) tel que

(i) ∀X ∈ P, X 6= ∅,(ii)

⋃P = E,(iii) ∀X, Y ∈ P (X 6= Y ⇒ X ∩ Y = ∅).

Voici le dessin d’ une partition d’un ensemble en trois pièces.'

&

$

%rr

rr r

r

Toute partition de l’ensemble E définit une relation d’équivalence surE : deux éléments de E sont dits équivalents s’ils appartiennent à la mêmepièce de la partition.

(b) Réciproquement, toute relation d’ équivalence ∼ sur l’ensemble Edéfinit une partition de E.

Pour voir ceci, définissons la classe d’équivalence d’un élément e deE comme étant la partie Ce de E définie par

Ce = {x ∈ E | x ∼ e}, Ce ⊆ E.

Selon le contexte, cette classe d’équivalence pourra aussi être notée par e,[e]∼ ou simplement par [e].

Ces classes d’équivalence forment une partition de E car on a :∀e ∈ E, e ∈ Ce, les classes d’équivalence sont donc non vides et leur

réunion est E, (E =⋃

e∈E

Ce),

et aussi : ((Ce ∩ Ce′) 6= ∅) ⇒ (Ce = Ce′)), deux classes distinctes sontdisjointes.

(c) Nous voyons les classes de l’équivalence ∼ sur E comme les élémentsd’un nouvel ensemble appelé ensemble quotient de E par l’équivalence ∼,noté (E/ ∼). Autrement écrit :

(E/ ∼) = {Ce | e ∈ E}

.


La projection canonique de l’ensemble E sur son quotient (E/ ∼)est la fonction

p : E → (E/ ∼) : e 7→ Ce .

Cette projection canonique est toujours surjective. A nouveau, on indiqueparfois que p est une projection canonique par p : E ³ (E/ ∼).

Voici esquissé en pointillé le graphe d’une projection canonique'

&

$

%rr

rr r r

'

&

$

%

ss

s? ? ?

(d) Remarque : puisque formellement une partition d’un ensemble Eest une partie P de P(E) satisfaisant les conditions énoncées plus haut,une partition de l’ensemble E est aussi le quotient de cet ensemble parl’équivalence associée à cette partition.

Ex 9. (a) Nous dirons que deux nombres entiers z et z′ sont équivalentsmodulo 4 et nous écrirons z ≡4 z′ si z − z′ est un multiple de 4.

Vérifier que cette relation ≡4 est effectivement une relation d’équivalencesur Z.Ses classes d’équivalence sont au nombre de 4, les voici :4Z = {4z | z ∈ Z},(1 + 4Z) = {1 + 4z | z ∈ Z},(2 + 4Z) = {2 + 4z | z ∈ Z},(3 + 4Z) = {3 + 4z | z ∈ Z}.

(b) Dans l’ensemble R2, on définit une relation d’équivalence par : ∀x, y, x′, y′ ∈R, (x, y) ∼ (x′, y′) si xy = x′y′.(Vérifier rapidemment que ∼ est une relationd’équivalence dans R).

Identifiant R2 à l’ensemble des points du plan réel muni d’un système decoordonnées, décrire et dessiner la classe d’équivalence du point (1,2), d’unpoint quelconque (a, b).

Visualiser la partition de R2 associée à cette équivalence. Déterminerde la façon la plus agréable possible une partie S du plan réel comprenantexactement un point de chaque classe d’équivalence. Une telle partie S seraappelée système de représentants de la relation d’équivalence∼ dans R etun élément s de S sera appelé le représentant choisi de sa classe d’équivalenceCs..

Si S est un système de représentants de la relation d’équivalence, remar-quer que la fonction

S → (R2/ ∼) : s 7→ Cs

(où s ∈ S ⊆ R2) est bĳective.Etablir une bĳection R→ (R2/ ∼).

(Ultérieurement, ces exemples fourniront aussi des exemples de groupesquotients.)


Ex 10. Dans l’ensemble C des nombres complexes, on définit une relationd’équivalence par : ∀z, z′ ∈ C, z ∼ z′ si |z| = |z′|.

Représentant un nombre complexe par un point du plan de Gauss, dessi-ner la classe d’équivalence du nombre complexe 1+ i, d’un nombre complexequelconque. Visualiser la partition de C associé à cette équivalence.

Déterminer de la façon la plus agréable possible un système de représen-tants pour cette relation d’équivalence.

Etablir une bĳection R+ → C/ ∼, où R+ = {x ∈ R | x > 0}.

(Cet exemple aussi, convenablement épuré, fournira un exemple de groupequotient.)

Ex 11. Equivalence associée à une fonction.Toute fonction f : E → E′ définit une partition de son domaine et une

relation d’équivalence sur son domaine E par :

∀e1, e2 ∈ E, e1 ∼f e2 si f(e1) = f(e2).

Voici dessinée la partition du domaine d’une fonction.

'

&

$

%

'

&

$

%s

s

s

s

ss

-

z

-

Désignons par Ce la classe d’équivalence de l’élément e de E. (Remar-quons que Ce = f∗f∗({e}) avec les notations introduites en(1.0,3).)

Écrivons maintenant f(Ce) = f(e). Ceci a un sens car(Ce = Ce′ ⇔ e ∼f e′ ⇔ f(e) = f(e′). Nous obtenons ainsi une

fonction

f : E/ ∼f E → Im(f) : Ce 7→ f(e)

qui est bĳective par construction.On dit souvent que f est la bĳection induite par f .

Soit p : E ³ (E/ ∼f ) : e 7→ Ce la projection canonique de E sur(E/ ∼f ).Soit encore i : Im(f) ↪→ E′ : y 7→ y l’injection canonique de Im(f) dans E′.Nous avons : f = i ◦ f ◦ p, ce qui s’exprime en disant que le diagrammesuivant est commutatif.

Ef−−−−→ E′

yp

xi

E/ ∼ff−−−−→ Im(f)


Ex 12. On donne la fonction

f : Z12 = {0, 1, . . . , 11} → Z12 : x 7→ (x2 modulo 12),

où (x2 modulo 12) désigne le reste de la division de x2 par 12, et on désignepar ∼f l’équivalence associée à cette fonction.

Dessiner le graphe de cette fonction de la façon la plus claire possibleen représentant son domaine Z12 et son but Z12 par deux disques disjointscomprenant les 12 éléments 0, 1, . . . , 11.

Vérifier que Im(f) = {0, 1, 4, 9} ⊆ Z12. Dessiner sur Dom(f) les classes del’équivalence∼f . Vérifier que (Z12/ ∼f ) = {{0, 6}, {1, 5, 7, 11}, {2, 4, 8, 10}, {3, 9}},que #(Z12/ ∼f ) = 4 = #Im(f).

Ex 13. Dessiner les classes de l’équivalence ∼f associée à la fonction

f : Z15 = {0, 1, . . . , 14} → Z15 : x 7→ (3x modulo 15).

Expliciter l’ensemble quotient correspondant en indiquant son nombre d’élé-ments.

Ex 14. Décrire et dessiner dans le plan réel coordonné les classes d’équi-valence associées aux fonctions

f : R2 → R : (x, y) 7→ y − x2,g : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + y2.

Décrire et dessiner aussi l’image de ces fonctions dans la droite réelle coor-donnée.

Ex 15. Les relations d’équivalence décrites aux ex 9, 10 peuvent être vuescomme associées à certaines fonctions, lesquelles ?

Ex 16. On donne la fonction f : R → C : x 7→ e2πix (rappelons quee2πix = cos(2πx) + i sin(2πx)).

Déterminer Im(f).Montrer que f(a) = f(b) si et seulement si (a− b) ∈ Z.Visualiser la classe de l’équivalence ∼f d’un élément a de R et choisir un

système de représentants des classes d’équivalence.Etablir une bĳection entre (R/ ∼f ) et {z ∈ C | |z| = 1}, entre (R/ ∼f ) et[0, 1[.

Nous pouvons penser à cette fonction comme à un enroulement de ladroite réelle sur un cercle.

Ultérieurement, nous verrons cette fonction, convenablement épurée, commeun homomorphisme de groupes.

Ex 17. Soit C0 l’ensemble des complexes non nuls et soit

f : C0 → C0 : z 7→ z/|z|.Dans le plan complexe, dessiner Im(f), dessiner aussi l’image d’un élémentquelconque z de C0.Dessiner la classe de l’équivalence∼f d’un élément quelconque de C0. Etablirune bĳection entre (C0/ ∼f ) et {z ∈ C | |z| = 1}.

(Cette fonction sera aussi un exemple d’homomorphisme de groupes.)


Ex 18. Cartographie et météo. Le bulletin météo nous montre unecarte géographique avec les isobares, ce sont les classes d’équivalence asso-ciées à la fonction qui assigne à chaque point de la carte la pression relevéeà l’endroit correspondant à ce point à un moment déterminé.

Sur une carte indiquant le relief d’une contrée, les courbes de niveau sontles classes d’équivalence associées à la fonction qui assigne à chaque pointde la carte l’ altitude de l’endroit représenté par ce point.

Ex 19. A peu de chose près. (a) Nous dirons qu’un ensemble A′ estpresque contenu dans l’ensemble A et nous écrirons A′ ≺ A si la différenceA′ \A est un ensemble fini.

¹¸

º·

&%

'$

Vérifier que nous obtenons ainsi un préordre ≺ sur tout ensemble E d’en-sembles, en particulier sur l’ensemble P(E) des parties de l’ensemble E.

(Indication : utiliser la relation (A1 \A3) ⊂ ((A1 \A2)∪ (A2 \A3)) aprèsl’avoir vérifiée.)

(b) Nous dirons ensuite que deux ensembles A et B sont presque égauxet nous écrirons A ≈ B si les deux ensembles (A \B) et (B \A) sont finis.

&%

'$

&%

'$

Vérifier que nous obtenons ainsi une équivalence ≈ sur tout ensemble Ed’ensembles.

(Ultérieurement, les classes de cette équivalence seront vues comme classeslatérales.)

(c) Nous dirons enfin que deux fonctions f, g d’un ensemble E dansun ensemble F sont égales presque partout et nous écrirons f ≈ g sil’ensemble {x ∈ E | f(x) 6= g(x)} est fini.

Vérifier que ≈ est une équivalence sur l’ensemble FE des fonctions de Edans F .

Ex 20. (i) Soit (E,≺) un ensemble muni d’un préordre.On définit une relation ∼ dans E par :

∀a, b ∈ E, a ∼ b si a ≺ b et b ≺ a.Cette relation ∼ dans E est une équivalence appelée équivalence associéeau préordre ∼.

Notons que l’ensemble quotient E/ ∼ est naturellement muni d’unerelation d’ordre par : Ce ≺ C ′

e si e ≺ e′.

(ii) Quelle est l’équivalence associée au préordre Z, | ?


Ex 21. Soit (E,≺) un ensemble muni d’un préordre et soit P ⊂ E.

Un infimum pour la partie P de E est un élément a ∈ E satisfaisantles deux conditions suivantes :

(i) ∀p ∈ P, a ≺ p,(ii) ∀x ∈ E on a : (∀p ∈ P, x ≺ p)⇒ (x ≺ a).

Un supremum pour la partie P de E est un élément b ∈ E satisfaisantles deux conditions suivantes :

(i) ∀p ∈ P, p ≺ b,(ii) ∀x ∈ E on a : (∀p ∈ P, p ≺ x)⇒ b ≺ x.

En particulier, si u, v ∈ E, un infimum pour la partie {u, v} de E, s’ilexiste, est un élément c de E tel que

c ≺ u, c ≺ v et ∀x ∈ E (x ≺ u et x ≺ v)⇒ (x ≺ c)

u v

c

``@@@@@@@@

>>~~~~~~~

x

SS KK

OO

Remarques. Si la partie P de E admet un infimum et si cet infimumappartient à P , alors cet infimum est un minimum de P .

Si cette partie P admet un supremum et si ce supremum appartient àP , alors ce supremum est un maximum de P .

Si la partie P de E possède un minimum, alors ce minimum est aussi uninfimum de P .

Si cette partie P possède un maximum, alors ce maximum est aussi unsupremum de P .

Une partie P d’un ensemble ordonné admet au plus un infimum et au plusun supremum, s’ils existent, ils seront désignés respectivement par inf(P ) etsup(P ).

Ex 22. (i) Soit a, b ∈ N.Dans l’ensemble ordonné (N, |), remarquons que inf{a, b} est le plus

grand commun diviseur des nombres naturels a et b, il sera désigné parpgcd(a, b).

Remarquons aussi que sup{a, b} est le plus petit commun multipledes nombres a et b, il sera désigné par ppcm(a, b).

Dans l’ensemble préordonné (Z, |) toute partie {a, b} ⊂ Z admet au plusdeux infima, si d est l’un d’eux l’autre est (−d) et nous définirons le plusgrand commun diviseur de a et b par pgcd(a, b) = |d|.

(ii)Soit A,B ⊂ E. Dans l’ordonné (P(E),⊂) on ainf{A,B} = A ∩B et sup{A,B} = A ∪B.


(iii) Dans l’ordonné (R, 6), la partie P = {q ∈ Q | 0 6 q et q2 > 2} n’apas de minimum mais a un infimum qui est

√2.

(Rappelons que√

2 /∈ Q.)

23. Un ensemble n’est jamais seul, il communique avec les autres ensemblespar l’intermédiaire des fonctions.

Un ensemble préordonné n’est jamais seul, il communique avec les autresensembles préordonnés par l’intermédiaire des fonctions croissantes et dé-croissantes.

Définitions. Soient (E,≺) et (F,≺) deux ensembles préordonnés.

Ces deux ensembles préordonnés sont isomorphes s’il existe une fonc-tion bĳective b : E → F telle que

∀x, y ∈ E (x ≺ y)⇔ (f(x) ≺ f(y).On dit alors que b est un isomorphisme d’ordonnés et on écrit :

b : (E,≺) ∼→ (F,≺).

Une fonction f de E dans F est une fonction croissante, si,∀x, y ∈ E, (x ≺ y)⇒ (f(x) ≺ f(y).

Nous indiquerons parfois que f est une fonction croissante par :f : (E,≺)→ (F,≺).

Une fonction g de E dans F est décroissante si,∀x, y ∈ E, (x ≺ y)⇒ (f(y) ≺ f(x).

Chœur. La fonction identique d’un ensemble préordonné est un isomor-phisme d’ordonnés.

La composée de deux isomorphismes d’ordonnés est un isomorphismed’ordonnés.

La fonction réciproque d’un isomorphisme d’ordonnés est un isomor-phisme d’ordonnés.

Tout isomorphisme d’ordonnés est une fonction croissante.La composée de deux fonctions croissantes est une fonction croissante.

Ex 24 La composée de deux fonctions décroissantes est une fonction crois-sante.

Ex 25. Les fonctions suivantes sont-elles croissantes, décroissantes, sont-elles des isomorphismes d’ordonnés ?

(a) 1N : (N, |)→ (N,6),

(b) 1N0 : (N0, |)→ (N0, 6),

(c) c1 : (R, 6)→ (R, 6) : x 7→ 1,

(d) (·)2 : (R, 6)→ (R,6) : x 7→ x2,

(e) (A ∩ ·) : (P(E),⊂)→ (P(E),⊂) : X 7→ A ∩X, où A ⊂ E.

1.2. PREMIÈRES STRUCTURES ALGÉBRIQUES 23

1.2. Premières structures algébriques

Les magmas1. Définitions. Une loi de composition sur un ensemble E, encore ap-pelée loi interne ou simplement loi, est une fonction

∗ : E × E → E.

L’image du couple (x, y) ∈ E × E par cette fonction est désignée par x ∗ yet est appelée le composé de x et y, dans l’ordre donné, mais peut aussi êtreappelée le produit ou même la somme de x et y, selon le contexte et surtoutle symbole utilisé pour désigner la loi (une loi désignée par le symbole + estsouvent appelée loi additive, tandis qu’une loi désignée par le symbole · estsouvent appelée loi multiplicative).

Cette loi ∗ est associative si, ∀x, y, z ∈ E, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).Cette loi ∗ est commutative si, ∀x, y ∈ E, x ∗ y = y ∗ x.

Notons que les lois désignées par le symbole + sont le plus souvent com-mutatives.

Un magma (M, ∗) est un ensemble M muni d’une loi ∗.Un magma associatif est un magma dont la loi est associative.Un magma commutatif est un magma dont la loi est commutative.

2. Définitions. Une partie P du magma (M, ∗) est dite stable si,

∀x, y ∈ P, x ∗ y ∈ P.

Un sous-magma du magma (M, ∗) est une partie stable P de M .

Exemple. L’image d’un homomorphisme de magmas est un sous-magmade son but : si f : (M, ∗)→ (M ′, ·) est un homomorphisme de magmas, alorsIm(f) := {f(x) | x ∈M} est un sous-magma de But(f) := M ′. Et si de plusl’homomorphisme f est injectif, alors (M, ∗) ' (Im(f), ·).

3. Définitions. Un neutre gauche d’un magma (M, ∗) est un élémenteg ∈M tel que, ∀x ∈ E, eg ∗ x = x.

Un neutre droit d’un magma (M, ∗) est un élément ed ∈ M tel que,∀x ∈M , x ∗ ed = x.

Un neutre d’un magma (M, ∗) est un élément e ∈ M qui est à la foisneutre gauche et neutre droit : ∀x ∈ E, e ∗ x = x = x ∗ e.

Remarque. Si un magma (M, ∗) admet un neutre gauche eg et un neutredroit ed, alors eg = ed est le seule neutre gauche, le seul neutre droit et leseul neutre de ce magma.

(Pour la preuve, observer que, si e′g est un quelconque neutre gauche deM et e′d un quelconque neutre droit, alors e′d = e′ge′d = e′g.)

4. Définitions. Un élément idempotent d’un magma (M, ∗) est un élé-ment c ∈M tel que c ∗ c = c.

Un élément absorbant d’un magma (M, ∗) est un élément a ∈ M telque, ∀x ∈M, a ∗ x = a = x ∗ a.


5. Définition. Étant donné deux magmas (M, ∗) et (N, ∗′), on munit l’en-semble produit M × N d’une loi « · » définie « composantes par compo-santes » :

∀x, x′ ∈M,∀y, y′ ∈ N, (x, y) · (x′, y′) = (x ∗ x′, y ∗′ y′).

Le magma ainsi obtenu est appelé produit direct des deux magmas(M, ∗) et (N, ∗′) (ou plus simplement produit de ces deux magmas), on ledésigne le plus souvent par (M, ∗)× (N, ∗′).

6. Exemples (a) La notion de moyenne fournit une loi interne sur l’en-semble R des nombres réels :

R× R→ R : (a, b) 7→ a + b

2

Cette loi est commutative, n’est pas associative et R ne possède pas d’élé-ment neutre pour cette loi.

(b) Soit E un ensemble. La projection canonique p1 : E × E ³ E :(a, b) 7→ a peut être vue comme une loi interne sur l’ensemble E, appelée« loi premier facteur ». Cette loi est associative, tout élément y ∈ E estun idempotent et même un neutre droit du magma (E, p1), mais le magma(E, p1) ne possède ni neutre gauche ni neutre dès que E comprend plus d’unélément.

(c) Voici encore une loi : Z× Z→ Z : (x, y) 7→ x · |y|.Cette loi est-elle associative, commutative ? L’ensemble Z possède-t-il un

neutre pour cette loi ?

7. Une loi sur un ensemble fini E peut se décrire par sa table, c.-à-d. untableau de la forme

∗ a1 · · · ai · · · aj · · · an

a1 a1 ∗ a1 · · · a1 ∗ ai · · · a1 ∗ aj · · · a1 ∗ an...ai ai ∗ a1 · · · ai ∗ ai · · · ai ∗ aj · · · ai ∗ an...aj aj ∗ a1 · · · aj ∗ ai · · · aj ∗ aj · · · aj ∗ an...

an an ∗ a1 · · · an ∗ ai · · · an ∗ aj · · · an ∗ an

où a1 · · · , an sont les n éléments distincts de E, où on inscrit le composéai ∗ aj à l’intersection de la iième ligne et de la jième colonne. Dans le cas oùE possède un élément neutre pour la loi ∗, on place de préférence ce neutreen première position, a1 sera ce neutre.

8. Notations globales Toute loi interne ∗ sur un ensemble E s’étend àl’ensemble des parties de E de la façon suivante : si A,B ⊂ E, on écrit

A ∗B = {a ∗ b | a ∈ A et b ∈ B}

Le magma (E, ∗) a donné naissance au magma (P(E), ∗).


Si a ∈ E et B ⊂ E, on écrit aussi, avec un léger abus de notation,

a ∗B = {a ∗ b | b ∈ B}.

Si la loi ∗ est associative ou commutative sur E, son extension à P(E) estencore associative ou commutative.

Si le magma (E, ∗) comprend un élément neutre e, alors {e} est un neutredu magma (P (E), ∗).

Notons encore que, pour tout X ∈ P(E) on a ∅ ∗X = ∅ = X ∗∅, ∅ estun absorbant du magma (P (E), ∗).

Les monoïdes9. Définitions. Un monoïde est un magma associatif (M, ∗) comprenantun élément neutre.

Un monoïde n’est donc jamais vide.Un monoïde commutatif est un monoïde dont la loi est commutative.

On dit que deux monoïdes sont isomorphes s’ils sont isomorphes en tantque magmas.

Notons que, si b : M →M ′ est un isomorphisme de monoïdes, si e est leneutre de M et e′ le neutre de M ′, alors f(e) = e′.

Un homomorphisme de monoïdes, du monoïde (M, ∗) dans le mo-noïde (M ′, ·), est un homomorphisme de magmas tel que f(e) = e′, où edésigne le neutre de M et e′ celui de M ′.

Refrain. La fonction identique d’un monoïde est un isomorphisme demonoïde.

La composée de deux isomorphismes de monoïdes est un isomorphismede monoïdes.

La composée de deux homomorphismes de monoïdes est un homomor-phisme de monoïdes.

10. Définition. Un sous-monoïde du monoïde (M, ∗) est un sous-magmade M comprenant le neutre de M .

11. Exemples. (a) N0 est un sous-magma du monoïde (N, +), mais n’estpas un sous-monoïde de (N, +).

(b) Le produit direct de deux monoïdes est un monoïde dont le neutreest le couple formé des neutres de chacun des facteurs.

(c) R × {0} est un sous-magma du monoïde (R2, ·), mais n’est pas unsous-monoïde de (R2, ·), bien que le magma (R × {0}, ·) soit lui-même unmonoïde (le neutre de (R × {0}, ·) est l’élément (1, 0), tandis que le neutrede (R2, ·) est l’élément (1, 1)).

Par contre R× {1} est un sous-monoïde du monoïde (R2, ·).

(d) Avec nos définitions nous avons que l’image d’un homomorphisme demonoïdes est un sous-monoïde de son but.


(e) Avec nos définitions nous avons aussi que, si M ′ est un sous-monoïdedu monoïde (M, ·), l’inclusion canonique de M ′ dans M est un homomor-phisme de monoïde.

(f) L’ensemble des transformations d’un ensemble A, muni de la composi-tion des fonctions, forme un monoïde (AA,◦), ce monoïde est non commutatifdès que A comprend au moins 2 éléments.

L’ensemble SA des permutations de l’ensemble A est un sous-monoïde dumonoïde (AA, ◦) (c’est même un « sous-groupe », voir la notion de groupeplus loin),

12. À tout élément a d’un monoïde (M, ∗) on associe la transformation del’ensemble M

la : M →M : x 7→ a ∗ x

encore appelée composition à gauche par a. Ainsi la ∈ MM , l’ensembledes transformations de M . Mais nous savons que cet ensemble MM , munide la composition des fonctions, forme un monoïde (MM , ◦). Notons que,∀a, b ∈ M , nous avons la ◦ lb = la∗b car ∀x ∈ M , (la ◦ lb)(x) = la(lb(x)) =la(b ∗ x) = a ∗ (b ∗ x) = (a ∗ b) ∗ x = la∗b(x). De plus, si e est le neutre de M ,alors le est la transformation identique de M . Nous obtenons.

Théorème de représentation de Cayley pour les monoïdes. Toutmonoïde est isomorphe à un sous-monoïde du monoïde des transformationsd’un ensemble.

Plus précisément, pour tout monoïde (M, ·), la fonction

l : (M, ·)→ (MM , ◦) : a 7→ la

est un homomorphisme injectif de monoïdes, induisant un isomorphisme(M, ·) ' (Im(l)◦).

13. Définitions. Un élément a du monoïde (M, ·) est ditsimplifiable à gauche si, ∀x, y ∈M , a · x = a · y ⇒ x = y,simplifiable à droite si, ∀x, y ∈M , x · a = y · a⇒ x = y,simplifiable s’il est simplifiable à gauche et à droite.

Remarquons que l’élément a du monoïde M est simplifiable à gauche siet seulement si la transformation la de M est injective.

14. Définitions. Soit (M, ∗) un monoïde de neutre e, et soit a ∈M .a est dit inversible à gauche si ∃x ∈ A tel que x ∗ a = e. On dit alors

d’un tel élément x qu’il est un inverse gauche de a.a est dit inversible à droite si ∃y ∈ A tel que a ∗ y = e. On dit alors

d’un tel élément y qu’il est un inverse droit de a.a est dit inversible s’il est à la fois inversible à gauche et à droite.

Remarques. (i) Si a est inversible, si x et y sont deux éléments de M telsque x ∗ a = e = a ∗ y, en utilisant l’associativité on obtient x = x ∗ a ∗ y = y.Ainsi tout élément inversible a d’un monoïde admet un seul inverse gauchequi est aussi son seul inverse droit et est appelé inverse de a.


L’inverse de l’ élément a du monoïde (M, ∗), quand il existe, est souventnoté a−1 ; mais dans le cas d’un monoïde (M, +) noté de façon additive cetinverse est naturellement désigné par −a et souvent appelé « opposé » de a.

(ii) Le neutre e d’un monoïde (M, ∗) est inversible et e−1 = e.Si les éléments a et b du monoïde (M, ∗) sont inversibles, alors a ∗ b est

aussi inversible et (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.Si l’élément a du monoïde (M, ∗) est inversible, alors son inverse a−1 est

aussi inversible et (a−1)−1 = a.En notation additive cette dernière remarque s’énonce : si l’élément a

du monoïde (M, +) admet un opposé, alors son opposé −a admet aussi unopposé et −(−a) = a.

15. Proposition. Dans tout monoïde on a :inversible à gauche⇒ simplifiable à gauche,inversible à droite ⇒ simplifiable à droite ,inversible ⇒ simplifiable,

16. Proposition. Pour tout élément a d’un monoïde (M, ∗) de neutre eles conditions suivantes sont équivalentes :

(i) a est inversible,(ii) a est inversible à droite et simplifiable à gauche,(iii) a est inversible à gauche et simplifiable à droite.

preuve. (ii) ⇒ (i). Soit b un inverse droit de a : a ∗ b = e. En composantà droite avec a on obtient a ∗ b ∗ a = e ∗ a = a ∗ e, en simplifiant à gauchepar a on en déduit b ∗ a = e.

(iii) ⇒ (i) se prouve de façon semblable et (i) ⇒ (ii) et (iii) est uneconséquence directe de ce qui précède.

17. Remarques. En combinant ce qui précède avec un peu de réflexion,on voit aussi que, pour tout élément a d’un monoïde (M, ∗) on a :

(i) a inversible à gauche ⇒ la injective,(ii) a inversible à droite ⇔ la surjective,(iii) a inversible ⇔ la bĳective.

18. Attention. Quand on dit d’un élément qu’il est neutre, simplifiableou inversible, il convient de faire attention à l’environnement. Par exemplel’élément 2 ∈ Z n’est pas inversible dans le monoïde (Z, ·) mais il l’est dansle monoïde (Q, ·).

Ex. 19 Dans le monoïde (EE , ◦) des transformations d’un ensemble E, leséléments inversibles à gauche sont exactement les transformations injectivesde E, les éléments inversibles à droite sont exactement les transformationssurjectives de E et les éléments inversibles sont exactement les transforma-tions bĳectives de E.

De plus, dans le monoïde (EE , ◦), toute transformation injective nonsurjective de E admet une infinité d’inverses gauches et toute transformationsurjective non injective de E admet au moins deux inverses droits.

(Ceci complète l’exercice 24 de la section 1.0 .)


Les groupes

20. Définitions. Un groupe (G,∗) est un monoïde dont tout élément estinversible.

Un groupe commutatif est un groupe dont la loi est commutative.

21. Remarque. Comme tous les éléments d’un groupe sont inversibles,ils sont aussi simplifiables et par conséquent le neutre d’un groupe est sonseul idempotent (si a est un idempotent du groupe (G, ∗) de neutre e, ona ∗ a = a = a ∗ e, d’où a=e).

22. Exemples. (a) L’ensemble des permutations d’un ensemble A, munide la composition des fonctions, forme un groupe (SA,◦), non commutatifdès que A comprend au moins 3 éléments.

(b) Le produit direct de deux groupes est un groupe.

(c) (Z,+), (R0,·) et (R+0 ,·) sont des groupes commutatifs.

(d) L’ensemble des inversibles d’un monoïde (M, ∗) forme un groupe pourla loi ∗, (voir les remarques en 14).

23. Remarques. Disposant d’une loi associative ∗ sur un ensemble fini ,on repère aisément si cette loi est ou non une loi de groupe en examinant satable. On repère d’abord l’existence de l’élément neutre. On vérifie ensuiteque chaque élément possède un inverse en vérifiant que l’élément neutrefigure au moins une fois dans chaque ligne et chaque colonne du tableau.

Remarquons aussi que dans la table d’un groupe fini, chaque ligne etchaque colonne correspond à une permutation de l’ensemble des élémentsdu groupe.

24. Exemples. Tout ensemble singleton est naturellement muni d’unestructure de groupe naturellement appelé groupe neutre.

Voici la table du plus petit groupe non neutre, nommé groupe des entiersmodulo 2 et souvent noté (Z2,+2).

+2 0 10 0 11 1 0

Voici la table d’un groupe nommé groupe des entiers modulo 4 et souventnoté (Z4,+4).

+4 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2


25. Définitions. Deux groupes sont dits isomorphes s’ils sont isomorphesen tant que magmas (ou en tant que monoïdes, ce qui revient au même).

Un homomorphisme de groupes est un homomorphisme de monoïdesdont le domaine et le but sont des groupes.

Refrain. La fonction identique d’un groupe (G, ∗) est un isomorphismede groupe.

La composée de deux isomorphismes de groupes est un isomorphisme degroupes.

La fonction réciproque d’un isomorphisme de groupes est un isomor-phisme de groupes.

La composée de deux homomorphismes de groupes est un homomor-phisme de groupes.

On indique parfois qu’une fonction f est un isomorphisme de groupespar :

f : (G,∗) ∼→ (H,·).On indique souvent que les groupes (G,∗) et (H,·) sont isomorphes par :

(G,∗) ' (H,·).

26. Remarques. Soit (G, ∗) un groupe de neutre e et (H, ·) un groupe deneutre 1.

Pour qu’une fonction f : (G, ∗) → (H, ·) soit un homomorphisme degroupes, il suffit qu’elle soit un homomorphisme de magmas, c.-à-d. que∀x, y ∈ G, on aie f(x ∗ y) = f(x) · f(y). Dans ce cas, pour tout x ∈ G on aaussi : f(x−1) = f(x)−1.

(En effet, si f est un homomorphisme de magmas, de e = e ∗ e on déduitf(e) = f(e∗e) = f(e) ·f(e), ce qui montre que f(e) est un idempotent de H.Comme le seul idempotent d’un groupe est son neutre, on a donc f(e) = 1.Ensuite, de x∗x−1 = e = x−1 ∗x on déduit f(x) ·f(x−1) = 1 = f(x−1) ·f(x)et on obtient la dernière assertion par l’unicité de l’inverse.)

27. Exemples. (a) Le produit direct de deux groupes (G, ∗) et (G′, ∗′) estun groupe et les projections canoniques du produit G × G′ sur chacunde ses deux facteurs

p1 : (G, ∗)× (G′, ∗′)→ G : (g, h) 7→ g

p2 : (G, ∗)× (G′, ∗′)→ G′ : (g, h) 7→ h

sont des homomorphismes de groupes.Désignant par e le neutre du groupe G et par e′ celui de G′, nous avons

également des injections canoniques

i1 : (G, ∗)→ (G, ∗)× (G′, ∗′) : g 7→ (g, e′)

i2 : (G′, ∗′)→ (G, ∗)× (G′, ∗′) : h 7→ (e, h).

Ces injections canoniques sont aussi des homomorphismes de groupes.

(b) (2Z,+) est un groupe et (2Z,+) ' (Z,+).

(c) La fonction (R,+)→ (R+0 ,·) : x 7→ 2x est un isomorphisme de groupes

car elle est bĳective et car, ∀x, y ∈ R, nous avons 2(x+y) = 2x · 2y.


(d) La fonction (R0,·) → (R0,·) : x 7→ x · x est un homomorphisme degroupes car, ∀x, y ∈ R0, nous avons (x · y) · (x · y) = (x · x) · (y · y), lamultiplication des nombres réels étant commutative.

Cet homomorphisme n’est ni injectif ni surjectif.

28. Définition. Un sous-groupe d’un groupe (G,∗) est un sous-monoïdede (G,∗) comprenant l’inverse de chacun de ses éléments.

Autrement dit, une partie P d’un groupe (G,∗) est un sous-groupe de(G,∗) si les conditions suivantes sont satisfaites :

(i) ∀x, y ∈ P , x ∗ y ∈ P ,(ii) P comprend le neutre de (G,∗),(iii) P comprend l’inverse de chacun de ses éléments.

Ex. 29. Soit P une partie du groupe (G,∗). Les conditions suivantes sontéquivalentes :

(i) P est un sous-groupe de G,(ii) P est un sous-magma de G et le magma (P, ∗) est lui-même un

groupe,(iii) P est un sous-magma non vide de G comprenant l’inverse de ses

éléments,(iv) P est non vide et, ∀x, y ∈ P on a x ∗ y−1 ∈ P .

30. Exemples. (a) Si f : (G, ∗) → (H, ·) est un homomorphisme degroupes les remarques en 26 montrent que Im(f) est un sous-groupe deH.

De plus, si f est injectif, alors (G, ∗) ' (Im(f), ·).

(b) Z et 2Z sont deux sous-groupes du groupe (R,+).

(c) L’ensemble Q0 des rationnels non nuls et {1,−1} sont deux sous-groupes du groupe (R0,·).

(d) Pour tout groupe (G,∗) de neutre e, les parties {e} et G de G sontdes sous-groupes du groupe (G,∗) appelés sous-groupes triviaux.

(e) Nous dirons qu’un sous-groupe H du groupe (G,∗) est un sous-groupe propre de G si H ( G.

31. Au vu des remarques en 17, nous savons que, pour tout élément gd’un groupe (G, ∗), la transformation lg : G → G : x 7→ g ∗ x est bĳective,autrement dit lg ∈ SG. Avec les remarques en 12 nous obtenons alors.

Théorème de représentation de Cayley pour les groupes. Toutgroupe est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations d’unensemble.

Plus précisément, pour tout groupe (G, ∗), la fonction

l : (G, ∗)→ (GG, ◦) : g 7→ lg

est un homomorphisme injectif de groupes, induisant un isomorphisme (G, ∗) '(Im(l)◦).


Ex 32. (a) Dessiner le graphe des permutations l(0,1) et l(0,1,2) de S3.

(b) Représenter les groupes (Z4, +) et (Z22, +) comme groupes de per-

mutations, à la manière de Cayley.

(c) Soit S = {z ∈ C0 | |z| = 1}, S est un sous-groupe du groupemultiplicatif des complexes non nuls (C0, ·).

Visualiser dans le plan complexe la permutation lz du groupe (C0, ·)lorsque z ∈ S et lorsque z ∈ R0.

En déduire que le groupe (S, ·) est isomorphe au groupe des rotations duplan réel autour d’un point fixe.

Ex 33. Démontrer : toute partie finie non vide stable d’un groupe est unsous-groupe.

(Rappelons qu’une partie P d’un magma ou d’un groupe (G, ·) est ditestable si ∀x, y ∈ P, x · y ∈ P , ce qui s’écrit encore P · P ⊂ P en notationglobale.)

Les anneaux

34. Définitions. Un anneau (A,+,·) est un ensemble A muni de deux loisde composition + et · nommées respectivement addition et multiplication etsatisfaisant les conditions suivantes :

(i) (A,+) est un groupe commutatif (dont le neutre est le plus souventnoté 0),

(ii) la multiplication est associative,(iii) la multiplication distribue l’addition des deux cotés ; ∀x, y, z ∈ A

(x + y) · z = x · z + y · z et x · (y + z) = x · y + x · z.

Un anneau unital est un anneau possédant un neutre pour la multi-plication, le plus souvent noté 1. Autrement dit un anneau unital est unanneau (A, +, ·) tel que (A, ·) soit non seulement un magma associatif maisencore un monoïde.

Signalons cependant que dans la plupart des ouvrages récents le terme« anneau » est réservé à ce que nous appelons ici anneau unital.

Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est com-mutative.

35. Remarques. (i) Le neutre additif d’un anneau est un absorbantpour la multiplication, ce qui signifie ceci : si (A, + ,·) est un anneau deneutre additif 0, pour tout a ∈ A nous avons : a · 0 = 0 = 0 · a.

En effet, de 0+0 = 0 on déduit 0 ·a = 0 ·a+0 ·a, d’où 0 ·a = 0 car 0 estle seul idempotent du groupe (A,+). La seconde égalité s’obtient de façonsymétrique.

(ii) La règle des signes est valable en tout groupe commutatif (A,+)et en tout anneau (A, + ,·) :

∀a, b ∈ A, −(a + b) = (−a) + (−b), −(−a) = a.


(iii) Soit maintenant un anneau unital (A,+ ,·) de neutre multiplicatif 1.Nous avons encore :

∀a ∈ A, (−1) · a = (−a) = a · (−1).En effet, nous avons 0 = 0·a = (1+(−1))·a = 1·a+(−1)·a = a+(−1)·a,

ceci nous donne la première égalité et nous obtenons la seconde de façonsymétrique.

En particulier nous avons : (−1) · (−1) = (−(−1)) = 1.

(iv) Signalons un usage d’écriture courant en tout groupe commutatif(A,+) et tout anneau (A, + ,·) : a− b = a + (−b).

En voici un second courant en tout anneau : ab = a · b.

(v) Le singleton {0} est naturellement muni d’une structure d’anneau etcet anneau est appelé l’anneau nul.

L’anneau nul est un anneau unital, 0 y est la fois le neutre additif dugroupe ({0}, +) et le neutre multiplicatif du monoïde ({0}, .).

Mais dans un anneau unital non nul on a toujours 0 6= 1, un anneauunital non nul comprend au moins deux éléments.

(vi) Un élément a d’un anneau unital (A, +, ·) est dit simplifiable, sim-plifiable à gauche ou à droite, inversible, inversible à gauche ou à droite s’ila cette propriété dans le monoïde (A, ·).

L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau unital (A, +, ·) forme ungroupe pour la multiplication, appelé groupe des inversibles de l’anneauA et souvent noté A× ou de façon plus précise (A×, ·).

36. Définitions. On dit que deux anneaux (A, +, ·) et (B, +, ·) sont iso-morphes et on écrit (A, +, ·) ' (B, +, ·) s’il existe une bĳection b : A→ Btelle que, ∀x, y ∈ A

b(x + y) = b(x) + b(y) et b(x · y) = b(x) · b(y),

autrement si la bĳection b est un isomorphisme de groupes additifs et demagmas multiplicatifs. Rappelons que, dans le cas où A et B sont unitaux,de neutre multiplicatif 1, ces conditions impliquent aussi que b(1) = 1. Danstous les cas une telle bĳection est appelée un isomorphisme d’anneaux.

Un homomorphisme d’anneaux, de l’anneau (A, +, ·) dans l’anneau(B, +, ·), est une fonction f : A→ B qui est à la fois un homomorphisme degroupe additifs et de magmas multiplicatifs.

Notons cependant que, si les anneaux A et B sont unitaux, nos condi-tions sur l’homomorphisme d’anneaux f : A → B n’impliquent pas quel’image par f du neutre multiplicatif de A soit le neutre multiplicatif de B.Continuons donc nos définitions.

Un homomorphisme d’anneaux unitaux, de l’anneau unital (A,+, ·)dans l’anneau unital (B, +, ·), est une fonction f : A → B qui est à la foisun homomorphisme de groupe additifs et de monoïdes multiplicatifs.

Évidemment, dans les ouvrages où le terme anneaux est réservé aux seulsanneaux unitaux, le terme « homomorphisme d’anneaux » est aussi réservéaux seuls homomorphismes d’anneaux unitaux.


Refrain. La fonction identique d’un anneau est un isomorphisme d’an-neaux.

La composée de deux isomorphismes d’anneaux est un isomorphismed’anneaux.

La composée de deux homomorphismes d’anneaux est un homomor-phisme d’anneaux.

La composée de deux homomorphismes d’anneaux unitaux est un homo-morphisme d’anneaux unitaux.

37. Exemples. (a) (Z, +, ·) est un anneau commutatif unital.

(b) L’addition et la multiplication des matrices munissent l’ensembledes matrices 2 × 2 à coefficients réels d’une structure d’anneau unital noncommutatif.

Cet anneau comprend des éléments non nuls dont le produit est nul, par

exemple(

1 01 0

)(0 01 0

)=

(0 00 0

).

Le groupe des inversibles de cet anneau, appelé groupe linéaire générald’ordre 2 à coefficients réels et noté GL2(R), est constitué des matrices dedéterminant non nul.

(c) (2Z, +, ·) est un anneau non unital.

Ex 38. Identités utiles. (i) Pour tout nombre naturel n > 2, tout élé-ment a d’un anneau unital A satisfait l’identité

(an − 1) = (a− 1) · (n−1∑

i=0

ai).

(ii) Dans l’anneau des entiers (Z, +, ·) on a : ∀n ∈ N0,∑n

i=1 i = n(n+1)2 .

Les corps

39. Définitions. Un corps (K, + ,·) est un anneau unital non nul danslequel tout élément non nul est inversible pour la multiplication.

Remarques. Dans un corps, le produit de deux éléments non nuls esttoujours non nul.

En effet, si x et y sont deux éléments non nuls du corps K, nous avons :0 6= y = 1y = (x−1x)y = x−1(xy) et nous en déduisons que xy 6= 0 car 0 estun absorbant pour la multiplication.

Remarquons encore qu’un anneau (K, + ,·) est un corps si et seulementsi ((K\{0}),·) est un groupe.

Un corps commutatif, encore appelé « champ » en Belgique et « field »en anglais, est un corps dont la multiplication est commutative.

40. Exemples. (Q, + ,·), (R, + ,·) et (C, + ,·) sont des corps commutatifs.Cette liste est loin d’être exhaustive.L’anneau des entiers (Z, + ,·) n’est pas un corps.


41. Le corps de 2 éléments (Z2, +2 ,·2). L’ensemble des éléments de cecorps est l’ensemble {0, 1}. Voici sa loi d’addition et sa loi de multiplication :

+2 0 10 0 11 1 0

·2 0 10 0 01 0 1

42. Le corps des quaternions. Un quaternion est une expression de laforme a + bi + cj + dk, où a, b, c, d ∈ R.Dans le cas où un des nombres réels a,b,c,d, est nul, le terme correspondantsera omis de l’expression ci-dessus, on écrira par exemple : 1+1i+0j +0k =1 + i, tout nombre réel ou complexe est un quaternion.

La somme de deux quaternions se définit en utilisant les règles habituellesde l’arithmétique : ∀a, b, c, d, a′, b′, c′, d′ ∈ R,

(a+bi+cj+dk)+(a′+b′i+c′j+d′k) = (a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j+(d+d′)k.

Le produit de deux quaternions se définit en distribuant, en permutant lestermes et en utilisant les règles suivantes :

i2 = j2 = k2 = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik,

ce qui donne :

(a + bi + cj + dk) · (a′ + b′i + c′j + d′k) = (aa′ − bb′ − cc′ − dd′)+(ab′ + ba′ + cd′ − dc′)i+(ac′ + ca′ + db′ − bd′)j+(ad′ + da′ + bc′ − cb′)k.

Ces opérations munissent l’ensemble H des quaternions d’une structured’anneau unital non commutatif (la vérification de l’associativité de la mul-tiplication et de la règle de distributivité est assez fastidieuse).

Nous avons aussi l’identité :

(a + bi + cj + dk) · (a− bi− cj − dk) = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R+,

qui nous permet de calculer l’inverse de tout quaternion non nul :

(a + bi + cj + dk)−1 = (a2 + b2 + c2 + d2)−1 · (a− bi− cj − dk)

Les quaternions forment un corps non commutatif noté (H, + ,·).

1.3. AUTOUR DES NOMBRES ENTIERS 35

1.3. Autour des nombres entiers

0. (a) Indiquons d’abord une propriété fondamentale de l’ensemble N desnombres naturels, ordonné par la relation 6 :

Toute partie non vide de l’ordonné (N, 6) admet un minimum.

(b) Autour de la division des nombres entiers.Nous pouvons diviser un nombre entier par un nombre entier non nul,

nous obtenons un quotient et un reste. Plus précisément nous avons : pourtous a, b ∈ Z, b 6= 0,

∃!q ∈ Z,∃!r ∈ Z tels que a = bq + r et 0 6 r < |b|.L’élément r obtenu ci-dessus est appelé le reste (par défaut) de la divisionde a par b.

Rappelons aussi la relation « divise » dans Z. Soit x, y ∈ Z, on dit quex divise y (dans Z) et on écrit x | y s’il existe m ∈ Z tel que y = mx.

Quand nous avons une égalité a = bq + r dans Z, observons que lesdiviseurs communs de a et b sont aussi les diviseurs communs de b et r, etque le plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b est aussi le plus grandcommun diviseur de b et r.

Cette observation permet de calculer le pgcd des nombres entiers a et bpar division successives. On divise a par b pour obtenir un quotient et unreste r. Si r = 0 alors pgcd(a, b) = b. Si r 6= 0 on remplace le couple (a, b)par le couple (b, r) et on recommence, on obtient :

a = bq + r b = rq1 + r1 r = r1q2 + r2 · · · ri−1 = riqi+1 + ri+1 · · ·avec |b| > r > r1 > r2 > · · · > ri > · · · > 0.Ce procédé de division s’arrête après un nombre fini de pas, un de nos

restes est nul et alors le dernier reste non nul est le pgcd de a et b. De plus,nous pouvons utiliser les égalités ci-dessus pour écrire ce dernier reste nonnul en fonction de a et b, nous obtenons

Relation de Bezout dans Z :

∀a, b ∈ Z, ∃s, t ∈ Z tels que pgcd(a, b) = sa + tb

.(Rappelons que le pgcd de deux nombres naturels avait déjà été introduit

en (1.1, ex 22).)

1. Les sous-groupes du groupe (Z,+).

Proposition. Les sous-groupes du groupe (Z, +) sont les nZ, où n ∈ N.Plus précisément, si n est le plus petit naturel positif appartenant au

sous-groupe non nul H de Z, alors H = nZ.(Preuve. Pour tout élément non nul x de H on peut écrire x = nq + r,

où q, r,∈ Z et où 0 6 r < n. Mais alors r = x−nq ∈ H et r = 0 par le choixde n. Ceci montre que H ⊂ nZ. Comme n ∈ H on a aussi nZ ⊂ H. D’oùH = nZ.)

Puisque nZ est le plus petit sous-groupe du groupe (Z, +) comprenantl’entier n, nous dirons que n est un générateur du sous-groupe nZ de (Z,+).


Soient maintenant a, b ∈ Z et soit aZ+ bZ = {az + bz′ | z, z′ ∈ Z}.On remarque que la partie aZ + bZ est un sous-groupe de Z et est le

plus petit sous-groupe du groupe (Z,+) comprenant les entiers a et b ,c’est pourquoi nous dirons que aZ+ bZ est le sous-groupe du groupe (Z, +)engendré par la partie {a, b} de Z.

Comme aZ+bZ est un sous-groupe du groupe (Z,+), il existe un nombrenaturel c tel que aZ+ bZ = cZ et nous pouvons écrire

a = cm b = cn et c = as + bt

pour certains m,n, s, t ∈ Z. On remarque alors que c = pgcd(a, b) et onobtient une autre preuve de la relation de Bezout.

Ex 2. Les parties suivantes de Z sont-elles des sous-groupes du groupe(Z, +) ? Si oui, en déterminer un générateur :

5Z+ 3Z, 10Z+ 15Z, 6Z+ 10Z+ 15Z, 8Z ∩ 12Z,(2Z ∩ 3Z) + 5Z, 2Z ∩ (3Z+ 5Z), 3Z+ N.

Ex 3. Déterminer quelques couples d’entiers (s, t) tels que 1 = 2s + 3t.

Ex 4. Par la méthode des divisions successives calculer pgcd(342, 78).Déterminer 2 nombres entiers s, t tels que : pgcd(342, 78) = s·342+t·78.

Ex 5. Déterminer le plus petit sous-groupe H du groupe additif des ra-tionnels (Q, +) contenant {1

2 , 13 , 1

5}. Déterminer un nombre rationnel q telque H = qZ = {qz | z ∈ Z}.

Ex 6. L’anneau des entiers modulo n.

Le reste de la division d’un nombre entier a ∈ Z par le nombre natureln > 2 sera parfois noté an et l’ensemble des restes de la division des entierspar n sera désigné par Zn. Ainsi

an ∈ Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1} = {r ∈ N | 0 6 r < n}.

Avec cette notation nous avons : ∀a, b ∈ Z, ∀n ∈ N0,

an = bn ⇔ n | (a− b) ⇔ (a− b) ∈ nZ.

De plus, la fonction

Z→ {0, 1, 2, · · · , n− 1} : z 7→ zn

se comporte relativement bien vis-à-vis de l’addition et de la multiplicationdes entiers, nous avons :

(a + b)n = (an + bn)n, et (a · b)n = (an · bn)n.

Ceci nous incite à définir dans Zn une addition et une multiplication« modulo n », à définir, ∀a, b ∈ Zn

a +n b = (a + b)n et a ·n b = (a · b)n

autrement dit a+n b et a ·n b sont respectivement le reste de la divisionpar n de la somme a + b et du produit a · b des entiers a et b.

1.3. AUTOUR DES NOMBRES ENTIERS 37

On vérifie alors assez aisément que (Zn,+n) est un groupe commutatif,que (Zn, ·n) est un monoïde et que (Zn, +n, ·n) est un anneau commutatifunital, appelé anneau des entiers modulo n.

Et tout a été agencé pour que la fonction surjective

(Z, +, ·)→ (Zn, +n, ·n) : z 7→ zn

devienne un homomorphisme de groupes additifs et d’anneaux unitaux.

Dans la pratique l’addition et la multiplication modulo n dans Zn sontsouvent simplement désignée par + et · lorsque ceci ne prête pas à confusion.

Ex 7. (a) Dresser la table du groupe (Z5,+5).(b) Dans le groupe (Z12,+), quel est l’opposé de 5, de 6, de 9 ? Calculer :

3− 5 .(c) Dans le groupe (Z24,+24) quels sont les éléments du plus petit sous-

groupe contenant la partie {3}, la partie {6, 8}.(d) Dans le groupe (Z8,+8), déterminer le plus petit sous-groupe com-

prenant l’élément 3.(e) Déterminer tous les sous-groupes du groupe (Z12,+12).À quels groupes déjà connus ces sous-groupes sont-ils isomorphes ?(f) Quelles sont les solutions de l’équation 3x = 0 dans l’anneau (Z15,+, ·),

dans l’anneau (Z11, +, ·) ?

Ex 8. Rappelons qu’un nombre naturel p est premier si p > 2 et si lesseuls nombres naturels divisant p sont les nombres 1 et p. Rappelons aussi lapropriété suivante : si un nombre premier divise le produit de deux nombresentiers, il divise au moins un de ces deux nombres.

Sachant ceci, démontrer.

Si le nombre naturel p est premier, alors, ∀a, x ∈ Zp, a 6= 0, on a :

(i) x 6= 0 ⇒ a ·p x 6= 0,

(ii) la fonction « (Zp\{0}) → (Zp\{0}), x 7→ a ·p x » est injective, doncbĳective car (Zp\{0}) est un ensemble fini ; en particulier ∃x ∈ Zp tel quea ·p x = 1

En conclure que ((Zp\{0}), ·p) est un groupe et que (Zp, +p ,·p) est uncorps commutatif fini de p éléments.

Observer finalement que, pour un nombre naturel n > 2 on a

L’anneau (Zn,+, ·) est un corps si et seulement si n est un nombrepremier.

Ex 9. Dans le groupe multiplicatif (Z7\{0}, ·), quels sont les éléments duplus petit sous-groupe comprenant l’élément 2, du plus petit sous-groupecomprenant l’élément 3.

Remarquer que le groupe (Z7\{0}, ·) est isomorphe au groupe (Z6, +).

Information. Voici un résultat que nous ne démontrerons pas ici.


Pour tout nombre premier p, le groupe (Zp\{0}, ·) est isomorphe augroupe (Zp−1,+).

Ex 10. Dresser la table du groupe des inversibles de l’anneau (Z8, +, ·).

Ex 11. Vérifier que les équations x2 = 2 et x2 = 3 n’ont pas de solutionsdans le corps commutatif (Z5, + ,·).

En déduire que les équations

2 = x2 + 5y2, 3 = x2 − 5y2 et − 2 = x2 + 5y2

n’ont pas de solutions dans Z.

12. On peut montrer par induction que tout nombre naturel s’écrit defaçon unique, à l’ordre près, comme produit de nombres premiers.

Un argument dû à Euclide montre alors qu’il existe une infinité denombres premiers.

(Voici l’argument. Supposons par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombrefini de nombres premiers p1, p2, . . . , pn et regardons le nombre

p1p2 · · · pn + 1.

Ce nombre ne peut pas s’écrire comme produit de nombres premiers. Cettecontradiction termine la preuve.)

Chapitre 2

Groupes

2.1. Groupes, sous-groupes, isomorphismes

Ex 1. On définit une loi de composition sur l’ensemble des nombres réelsR par :∀x, y ∈ R, x ∗ y = x + y + xy.

Vérifier que ((R\{−1}), ∗) est un groupe commutatif.Vérifier que la fonction f : ((R\{−1}), ∗) → (R0, ·) : x 7→ x + 1 est unisomorphisme de groupes (autrement dit que f est bĳective et que ∀x, y ∈(R\{−1}), f(x ∗ y) = f(x) · f(y)).

Ex 2. Fonctions à valeurs dans un magma, dans un groupe.Nous sommes habitués à additionner et à multiplier des fonctions de R

dans R. Ceci peut aussi se faire dans un cadre plus abstrait.

Soit E un ensemble et (M, ∗) un magma.On étend la loi ∗ de M à l’ensemble ME des fonctions de E dans M de

la façon suivante, « point par point » :∀f1, f2 ∈ME , ∀x ∈ E, (f1 ∗ f2)(x) = f1(x) ∗ f2(x).

(a) Si (G, ∗) est un groupe, vérifier que (GE , ∗) est un groupe.

(b) Dans le cas où E est un ensemble fini de n éléments, on a des bĳectionE ∼→ {0, 1, · · · , n− 1} et GE ∼→ G×G× . . .×G︸︷︷︸

n fois

.

L’existence de ces bĳections nous incline alors à écrire (GE , ∗) = (Gn, ∗).Le groupe ou magma (Gn,∗) est souvent nommé produit direct de n copiesde G. En général, le groupe ou magma (GE ,∗) est nommé produit direct de#E copies de G.

(c) Nous dirons qu’une fonction f de l’ensemble E dans le groupe (G,∗)de neutre e est presque neutre si {x ∈ E | f(x) 6= e} est fini et nousdésignerons par G(E) l’ensemble des fonctions presque neutres de E dans G.

Si (G, ∗) est un groupe, vérifier que G(E) est un sous-groupe du groupe(GE ,∗).

Dans le cas où (M,+) est un groupe commutatif, le groupe (M (E),+) estsouvent appelé somme directe de #E copies de M .

39

40 CHAPITRE 2. GROUPES

Ex 3. Montrer que H = {(x, y) ∈ R20 | xy = 1} est un sous-groupe du

groupe (R20, ·)

Ex 4. Rappelons que la différence symétrique de deux parties A,B del’ensemble E est la partie

A4B = (A \B) ∪ (B \A).

��

��

��

��

Soit A,B, C ∈ P(E).a) Dessiner sur un diagramme de Venn les parties A4(B4C), (A4B)4C

et vérifier que la loi 4 sur P(E) est associative et commutative.b) Vérifier que (P(E),4) est un groupe.c) Si A 6= ∅, quel est le plus petit sous-groupe de (P(E),4) comprenant

A ?d) Résoudre l’équation A4X = B dans (P(E),4).e) Quelles relations y-a-t-il entre la fonction caractéristique de A4B et

celles de A et B ?(∀x ∈ E, carA4B(x) = carA(x) +2 carB(x), où +2 désigne l’addition

modulo 2.)f) Vérifier que la fonction car : (P(E),4)→ (ZE

2 ,+) est un isomorphismede groupes.

g) Désignons par Pf (E) l’ensemble des parties finies de E. Vérifier quePf (E) est un sous-groupe de (P(E),4), que (Pf (E),4) ' (Z(E)

2 ,+).

Ex 5. Fixons un point du plan réel, nommons-le origine et notons-le 0.Nous désignons par Π0 le plan réel avec son point 0 élu et le nommons planréel pointé.

La règle du parallélograme munit le pan réel pointé Π0 d’une additionnotée + et d’une structure de groupe commutatif.

v0

sa

sb sa+b

Le parallélogramme peut dégénérer. Voici une construction de a + c dans lecas où les points a et c sont alignés sur l’origine.

v0

sa

s s

sc

sa+c

Voici quelques parties de Π0.

v0

Ssa

sb

T

¹¸

º·C

2.1. GROUPES, SOUS-GROUPES, ISOMORPHISMES 41

Dessiner les parties {a}+ S, {a}+ T, S + T , a + C.Pour chacune des parties {a}, {a, b}, S, T C (C étant ici un cercle),

dessiner le plus petit sous-groupe du groupe (Π0, +) contenant cette partie.

6. Proposition. Toute intersection de sous-groupes d’un groupe (G, ∗) estun sous-groupe de (G, ∗).

L’ensemble, ordonné par inclusion, des sous-groupes du groupe (G, ∗)contenant sa partie P possède donc un minimum, à savoir l’intersection dessous-groupes de (G, ∗) contenant P .

Nous dirons que cette intersection, qui est le plus petit sous-groupe dugroupe (G, ∗) contenant sa partie P , est le sous-groupe engendré par lapartie P de (G, ∗) et nous le désignerons par gr(P).

Dans le cas où P = {g1, · · · , gn} est une partie finie de G, nous écrironsparfois, avec un léger abus de notations, gr(P ) = gr(g1, · · · , gn).

Observons qu’en général on a

gr(P ) = {g1 ∗ g2 ∗ · · · ∗ gn | n ∈ N0 gi ∈ P ∪ P−1 ∪ {e}}

où e désigne le neutre de G et où P−1 = {p−1 | p ∈ P}.

Ex 7. (a) Voici représentées les racines 6ièmes de l’unité dans le plan com-plexe, autrement dit les nombres complexes z tels que z6 = 1 :

&%

'$s1

ss

s

s s

i

Forment-elles un sous-groupe du groupe multiplicatif des complexes nonnuls ?

(b)Dans le groupe multiplicatif des complexes non nuls (C0, ·), détermi-ner

gr(i), gr(12 + i

√3

2 ), gr(−12 + i

√3

2 ), gr(cos 2π8 + i sin 2π

8 ).Dessiner ces groupes dans le plan complexe. À quels groupes connus sont-ilsisomorphes ?Dessiner aussi gr({1

2 + i√

32 } ∪ R0).

Ex 8. On désigne par (SE ,◦) le groupe des permutations d’un ensembleE, par (Sn,◦) le groupe des permutations de l’ensemble {0, 1, . . . , n− 1}.

Rappelons que la permutation p dont voici le graphe

'

&

$

%&%

'$s 3

s4

s5

k

3

?s1

s2

?6

sj0

se note p = (1, 2) ◦ (3, 4, 5), ou encore p =(

0 1 2 3 4 50 2 1 4 5 3

).


a) #Sn = n !

b) Visualiser les 6 éléments de S3.Dans le groupe (S3, ◦), quel est le sous-groupe engendré par (0,1), par (0,1,2),par {(0, 1), (1, 2)} ?

c) Désignons par a,b,c,d les quatre éléments de l’ensemble {0, 1, 2, 3}, prisdans n’importe quel ordre.Le groupe (S4, ◦) comprend :

(i) la permutation identique,(ii) des permutations du type (a, b) appelées transpositions,(iii) des permutations du type (a, b) ◦ (c, d) appelées bitranspositions,(iv) des permutations du type (a, b, c) appelées tricycles,(v) des permutations du type (a, b, c, d) appelées quadricycles ou 4-

cycles.Visualiser le graphe d’une permutation de chaque type.Dans (S4,◦), combien y-a-t-il de permutations de chacun de ces types ?Vérifier que la somme des nombres obtenus est 24.

d) Recenser de la même manière les éléments de (S5, ◦).

e) Une permutation du type (0, 1, . . . , n− 1) est appelée un n-cycle.Combien y-a-t-il de n-cycles dans (Sn, ◦) ?Combien y-a-t-il de k-cycles dans Sn, si 2 6 k < n ?

Ex 9. Le groupe des symétries d’un pentagone régulier est isomorphe à unsous-groupe du groupe des permutations de l’ensemble de ses cinq sommets.

Il comprend 10 éléments, quels sont-ils ?Vérifier que ce groupe est engendré par une rotation r d’un cinquième

de tour et une symétrie orthogonale sD par rapport à une droite D joignantun sommet du pentagone au milieu du côté opposé.

Ce groupe est appelé le groupe dihédral d’ordre 10.

Plus généralement, le groupe des symétries d’un polygone régulier de ncotés comprend 2n éléments et est appelé groupe dihédral d’ordre 2n.

Ex 10. Dans (S4, ◦), l’identité et les 3 bitranspositions forment un sous-groupe d’ordre 4 nommé Vierergruppe de Klein, souvent noté V4.En dresser la table et vérifier qu’il est isomorphe à (Z2

2,+).

Remarquer que le groupe de 4 éléments (V4,◦) se reconnait aisément àsa table : chacun de ses trois éléments non neutres, composé avec lui-même,est le neutre et le composé de deux éléments non neutres distincts est letroisième élément non neutre.

Ex 11. (a) Dans le groupe additif du plan réel pointé (Π0,+), toute droitepassant par l’origine est un sous-groupe de (Π0,+). La réunion de deuxdroites distinctes passant par l’origine est-elle aussi un sous-groupe de (Π0,+) ?

(b) Démontrer : la réunion de deux sous-groupes d’un groupe (G,·) estun sous-groupe de (G,·) si et seulement si l’un des deux est inclu à l’autre.


(Suggestion. Soit H et K deux sous-groupes du groupe G. Si x ∈ (H \K)et y ∈ (K \H), regarder se trouve l’élément x ∗ y.)

Ex 12. (a) Soit (G, ∗) et (H, ◦) deux groupes. Rappelons que l’ensembleproduit G ×H a été muni d’une loi « composantes par composantes »définie par :

∀g, g′ ∈ G, ∀h, h′ ∈ H, (g, h) · (g′, h′) = (g ∗ g′, h ◦ h′)

Nous avons observé en section 1.2 du chapitre précédent que le magma ainsiobtenu est un groupe, appelé produit direct des groupes G et H et souventnoté par (G, ∗)× (H, ◦).

Désignons par e le neutre du groupe (G, ∗) et par e′ celui de H. Observonsaussi que {e}×H et G×{e′} sont deux sous-groupes du groupe (G, ∗)×(H, ◦)et que {e} × (H,◦) ' (H, ◦), (G, ∗)× {e′} ' (G, ∗).

(b) Soient maintenant H et K deux sous-groupes du groupe (G, ∗) deneutre e et regardons la fonction

H ×K → G : (h, k) 7→ h ∗ k.

Démontrer :f est surjective ⇔ H ∗K = G,

f est injective ⇔ H ∩K = {e},

f est un homomorphisme de groupes (H, ∗) × (K, ∗) → (G, ∗) ⇔∀x ∈ H ∀y ∈ K on a x ∗ y = y ∗ x.

Quand ces trois conditions sont satisfaites, c.-à-d. quand f est un iso-morphisme de groupes, on dit encore que (G, ∗) est le produit direct de sesdeux sous-groupes H et K.

Ex 13. (a) Établir un isomorphisme entre (R0, ·) et (Z2, +)× (R+0 , ·).

(b) Soit S = {z ∈ C | |z| = 1}. Observer que S est un sous-groupedu groupe (C0, ·). Le groupe (S, ·) sera appelé groupe multiplicatif descomplexes de module 1, ou encore groupe du cercle.

Observer que le groupe (C0, ·) est le produit direct de ses deux sous-groupes S et R+

0 .

14. Notations. Soit (G, ∗, e) un groupe avec sa loi de composition ∗ etson neutre e. Soit g ∈ G, n ∈ N0. On définit :

gn = g ∗ . . . ∗ g︸︷︷︸n fois

, g0 = e, g−n = (g−1)n.

Observer que (g−1)n = (gn)−1 et que les règles des exposants sont va-lables :

∀z, z′ ∈ Z, g(z+z′) = gz ∗ gz′ , (gz)z′ = gz·z′ .


Ex 15. Multiplication scalaire par les entiers sur un groupe com-mutatif .

Soit (M, +, 0) un groupe commutatif avec sa loi + et son neutre 0. Soitw ∈M , n ∈ N0.

On écrit alors

nw = w + . . . + w︸︷︷︸n fois

, 0w = 0, (−n)w = n(−w).

Avec ces notations, nous avons encore :

∀w, w′ ∈M,∀z, z′ ∈ Z, (z + z′)w = (zw + z′w) et (zz′)w = z(z′w).

Observons que nous avons aussi :

z(w + w′) = (zw + zw′) et 1w = w.

C’est pourquoi on dit que la fonction Z × M → M : (z, w) 7→ zw estune multiplication scalaire sur M par les entiers, parce que ses propriétésnous font penser aux espaces vectoriels, bien que notre groupe commutatifquelconque n’aie pas une structure d’espace vectoriel, l’anneau Z des entiersn’est pas un corps.

16. Définitions. Un groupe (G,·) est cyclique s’il peut être engendré parun de ses éléments.

Un tel élément sera alors appelé générateur du groupe cyclique (G, ·).

L’ordre d’un élément g d’un groupe quelconque (G,·) est le plus petitnaturel positif n tel que gn soit le neutre de G si un tel naturel existe, sinon,g est dit d’ordre ∞.

Tout groupe cyclique est isomorphe au groupe (Z,+) ou à un des groupes(Zn,+n), où n ∈ N0.Plus précisément, si g est un élément d’un groupe quelconque (G, ·), ondémontre :

gr(g) ' (Zn, +n) si et seulement si g est d’ordre n,gr(g) ' (Z, +) si et seulement si g est d’ordre ∞.

On démontre aussi que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cy-clique.

(Ceci a été montré en section 1.3 dans le cas du groupe (Z, +) et seprouve de façon semblable dans le cas du groupe (Zn, +n)).

Ex 17. Démontrer ou redémontrer : si g est un élément d’ordre n ∈ N0

d’un groupe (G, ·) et si gr = 1 pour un certain entier r, alors n|r.

Ex 18. Le cardinal d’un groupe fini est souvent appelé l’ordre de cegroupe.

Est-il vrai qu’un groupe d’ordre n, n ∈ N0, est cyclique si et seulements’il possède un élément d’ordre n ?

Est-il vrai qu’un groupe dénombrable est cyclique si et seulement s’ilpossède un élément d’ordre infini ?


Ex 19. Calculer l’ordre des éléments suivants :(−1) ∈ (R0, ·),(12 + i

√3

2 ) ∈ (C0, ·),(0, 1, 2, 3, 4) ∈ (S5, ◦),(0, 1, 2, 3) ◦ (4, 5, 6, 7, 8, 9) ∈ (S100, ◦),(0, 1, 2) ◦ (2, 3, 4) ∈ (S20, ◦).

Ex 20. (a) Déterminer l’ordre de chacun des éléments du groupe (Z12,+).

(b) Déterminer tous les éléments d’ordre 20 du groupe (Z20, +).

(c) Quels sont les éléments d’ordre n du groupe (Zn,+) ?

(d) Calculer l’ordre de l’élément a du groupe (Zn,+) en fonction de a etde n et montrer que cet ordre divise n (n > 2).

(Indication. L’ordre de a dans (Zn,+) est min{k ∈ N0 | ka ∈ nZ}.Soit c=pgcd(a, n) et écrivons : a = a′c, n = n′c.Nous avons : ka ∈ nZ ⇔ ∃z ∈ Z, ka = nz

⇔ ∃z ∈ Z, ka′ = n′z⇔ n′|ka′ ⇔ n′ divise k

car pgcd(a′, n′) = 1, (cf. (1.3, ex 8)).Donc l’ordre de a dans (Zn,+) est n′ = n/pgcd(a, n).

(e) Conclusion : l’élément a du groupe (Zn, +) est d’ordre n si et seule-ment si a et n sont premiers entre eux.)

(f) Dans le groupe (Zn,+) on a, ∀a ∈ Zn, gr(a) = gr(pgcd(a, n)).

Ex 21. (a) Déterminer l’ordre des éléments (1,1), (1,2), (3,4) dans lesgroupes (Z5,+)× (Z8, +), (Z6, +)× (Z14,+).

En déduire : (Z5,+)× (Z8, +) ' (Z40,+)

(b) Démontrer : dans le groupe (Zm, +)×(Zn, +), l’ordre de tout élémentdivise le plus petit commun multiple (ppcm) de m et n, l’ordre de (1, 1) estexactement le plus petit commun multiple de m et n.

En déduire : (Zm, +)× (Zn, +) ' (Zmn, +) si et seulement si m et n sontpremiers entre eux, c.à-d. si pgcd(m,n) = 1.

Ex 22. L’indicateur d’Euler d’un nombre naturel positif n est définipar

ϕ(n) = #{a ∈ N | 0 6 a < n et pgcd(a, n) = 1}.

(a) Avec un peu de réflexion, on remarque que, pour tout nombre premierp et pour tout nombre naturel positif n on a :

ϕ(p) = (p− 1) ϕ(pn) = (pn − pn−1) = (p− 1)pn−1.

L’indicateur d’Euler ϕ(n) est aussi le nombre d’éléments d’ordre n dugroupe (Zn,+) (voir ex 19). Avec l’exercice précédent, on obtient :

pgcd(m,n) = 1 ⇒ ϕ(mn) = ϕ(m) · ϕ(n)


ce qui s’exprime en disant que l’indicateur d’Euler est faiblement multipli-catif.

(b) Calculer l’indicateur d’Euler des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 10, 14, 55, 64,10000, etc.

(c) Déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles ϕ(n) = 5, 6, 8, 20.(Solution partielle : les valeurs demandées se trouvent parmi les nombres

2, 5, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 33, 44, 50, 55, 66.)

(d) Remarquer : si le nombre naturel n est impair, alors ϕ(n) = ϕ(2n),si le nombre naturel n est pair, alors ϕ(2n) = 2ϕ(n).

Ex 23. L’ordre 2.(a) Démontrer : tout groupe dont tout élément non neutre est d’ordre 2

est commutatif.

(b) Démontrer : soit (M,+) un groupe fini dont tout élément non neutreest d’ordre 2, alors (M,+) ' (Zn

2 ,+) pour un certain nombre naturel n.

Indication pour (b).Démontrer d’abord que, si H est un sous-groupe de M et si x ∈ (M \H),

alors (H ∪ (x + H)) est aussi un sous-groupe de M , et que (H ∪ (x + H))est isomorphe à (Z2,+)× (H,+).

En déduire ensuite que (M,+) ' (Zn2 ,+), où n est le plus grand naturel

tel que M possède un sous-groupe isomorphe à (Zn2 ,+).

(c) Information : en général, tout groupe (M,+) dont tout élément nonneutre est d’ordre 2 est isomorphe à un groupe (Z(B)

2 ,+), pour un certainensemble B (pour la notation, voir (ex 2, (c))).

(Esquisse de preuve destinée aux familiers de l’algèbre linéaire. Soit(M,+) un groupe dont tout élément non neutre est d’ordre 2. Nous sa-vons déjà que (M,+) est commutatif et, ∀w ∈ M , nous avons 2w = 0. Lamultiplication scalaire par les entiers sur M induit alors une multiplicationscalaire sur M par les éléments du corps commutatif (Z2, + ,·) et M estainsi muni d’une structure d’espace vectoriel sur le corps Z2. On conclut enutilisant le fait que tout espace vectoriel possède une base : si B est une basede l’espace vectoriel M sur Z2, alors (M,+) ' (M (B), + ·).)

Ex 24. Fixons un naturel n. Le groupe (Zn, +), le groupe des rotationsde k

n tours (où k ∈ N) du plan réel autour d’un point fixe et le groupedes racines nièmes complexes de l’unité µCn = ({z ∈ C | zn = 1}, ·) sontisomorphes.

Ex 25. Fantaisie. Un ensemble de 20 éléments désire se doter d’une struc-ture de groupe non cyclique. Pouvez-vous l’aider ? Si oui, comment, sinon,pourquoi ?

Ex 26. Jeu. ♦ ♣ ♥ ♠ Un joueur coupe un jeu de 52 cartes enmettant les 24 premières cartes du paquet au dos de ce paquet. Combien defois doit-il couper son jeu de cette manière pour que les cartes se retrouventdans leur position initiale ?


Ex 27. Couleurs. Un étrange liquide change de couleur toutes les 10heures. Aujourd’hui, il a changé de couleur à midi. Dans combien de joursau minimum changera-t-il de couleur à nouveau à midi ?

Ex 28. Soit f : R→ R une fonction. Nous dirons qu’un nombre réel t estune période de la fonction f si, ∀x ∈ R, f(x + t) = f(x). Nous dirons aussiqu’une fonction f : R → R est périodique si elle possède une période nonnulle.

Vérifier que l’ensemble des périodes d’une fonction f : R → R est unsous-groupe du groupe (R,+), appelé groupe des périodes de f .

Déterminer le groupe des périodes de la fonction R→ R : x 7→ sin(x).Déterminer le groupe des périodes de la fonction f : R→ R définie par :

f(x) = 1 si x ∈ Q, f(x) = 0 si x /∈ Q.

Information. Si f : R→ R est une fonction périodique non constante etcontinue en un point, elle possède une plus petite période positive t et songroupe de périodes est tZ, ce nombre t est alors appelé « la période » def .

(Voir (2.4, ex 10) pour des informations supplémentaires.)


2.2. Classes latérales et homomorphismes

1. Définition. Soit H un sous-groupe du groupe (G,∗). Les classes la-térales gauches de H dans G sont les parties g ∗H = {g ∗ h | h ∈ H} deG.

Nous dirons aussi que g ∗H est la classe latérale gauche de g selon H.

Propriétés. Nous avons : ∀x, y, z ∈ G.(o) z ∗H = H ⇔ z ∈ H,(i) x ∈ x ∗H,(ii) y ∈ x∗H ⇔ (x−1∗y) ∈ H ⇔ (y−1∗x) ∈ H ssi x ∈ y∗H,(iii) x ∈ y ∗H ⇔ y ∗H = x ∗H,(iv) #H = #(x ∗H).

Les propriétés (i) et (iii) indiquent que les classes latérales gauches de Hdans G forment une partition de G. La propriété (ii) montre que la relationd’équivalence sur G associée à cette partition est la relation ∼H définie par :

x ∼H y si x−1 ∗ y ∈ H.

De plus, ces classes latérales gauches ont toutes même « nombre » d’élé-ments, c.à-d. même cardinal.

Définition. L’indice du sous-groupe H du groupe (G, ∗) est défini par :[G : H] = #{g ∗H | g ∈ G}.

Choix de représentants des classes latérales. Dans chacune des classeslatérales gauches de H dans G choisissons un élément dont nous dirons qu’ilreprésente sa classe et soit S l’ensemble des représentants choisis. Nous avonsdonc une bĳection d’ensembles

S ∼→ {g ∗H | g ∈ G} : s 7→ s ∗H.

Tout élément g ∈ G s’écrit alors de façon unique g = s∗h pour un certains ∈ S et un certain h ∈ H (l’élément s intervenant dans cette écriture est lereprésentant choisi de la classe g ∗H ou, ce qui revient au même, l’uniques ∈ S tel que g ∈ s ∗ H). Notre choix nous fournit encore des bĳectionsd’ensembles

{g ∗H | g ∈ G} ×H ∼→ S ×H ∼→ G.

En toute généralité nous obtenons

#G = [G : H] · (#H),

bien que cette relation ne soit vraiment utile que lorsque G est fini.

Dans le cas où G est fini nous retenons.

Théorème de Lagrange. Si G est un groupe fini, l’ordre de tout sous-groupe de G divise l’ordre de G, et l’ordre de tout élément de G divise aussil’ordre de G.

2.2. CLASSES LATÉRALES ET HOMOMORPHISMES 49

Définition. Les classes latérales droites de H dans G sont les partiesH ∗ g de G.

Les propriétés des classes latérales droites sont symétriques de celles desclasses latérales gauches. nous avons entre autres : ∀x, y ∈ G

y ∈ H ∗ x ⇔ y ∗ x−1 ∈ H ⇔ H ∗ x = H ∗ y.À nouveau, ces classes latérales droites forment une partition de G et

ont toutes même cardinal.

De plus, la fonction G → G : g 7→ g−1 induit une bĳection entre l’en-semble des classes latérales gauches de H et l’ensemble des classes latéralesdroites de H.

Définition. Un sous-groupe normal du groupe (G, ∗) est un sous-groupe N de G tel que, ∀g ∈ G, g ∗N = N ∗ g.

On indique souvent que N est un sous-groupe normal du groupe (G, ∗)par N C G.

Proposition. Soit N un sous-groupe du groupe (G, ∗). Les conditionssuivantes sont équivalentes :

(i) N est normal dans G

(ii) ∀g ∈ G on a g ∗N ∗ g−1 = N .(iii) ∀g ∈ G on a g ∗N ∗ g−1 ⊂ N .

Ex 2. Tout groupe d’ordre p, où p est un nombre premier, est cyclique,isomorphe à (Zp,+).

Ex 3. (a) Tout sous-groupe d’un groupe commutatif (G, ∗) est normaldans G.

(b) Si le groupe (G, ∗) est produit direct de ses deux sous-groupes S etT , alors S et T sont des sous-groupes normaux de G.

Ex 4. Sur un diagramme de Venn représenter la partition du groupe (S3, ◦)en classes latérales gauches et droites selon les sous-groupes gr{(0, 1)} etgr{(0, 1, 2)}, en effectuant un nombre minimum de calculs.

(Un calcul suffit pour la partition en classes latérales gauches selongr{(0, 1)}, la partition selon gr{(0, 1, 2)} ne nécessite aucun calcul.)

Ces sous-groupes sont-ils normaux ?

Ex 5. Tout sous-groupe d’indice 2 du groupe (G, ∗) est normal dans G.

Ex 6. Le petit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier.

(i) Dans le groupe (Zp\{0}),·) on a : ∀a ∈ (Zp\{0}) , ap−1 = 1.

Dans le corps fini (Zp, + ,·), on a aussi : ∀a ∈ Zp, ap = a.

(ii) Remontons dans l’anneau des entiers via l’homomorphisme(Z, +, ·)→ (Zp, +, ·) : z 7→ zp

obtenu en (1.3, 6). Il vient :


∀a ∈ Z, (ap − a) est divisible par p.

Si de plus pgcd(a, p) = 1, alors (ap−1 − 1) est aussi divisible par p.

Ex 7. Tout groupe d’ordre 4 est commutatif, isomorphe soit à (Z4,+), soitau vierergruppe de Klein (V4,◦).

(Indication. Si le groupe d’ordre 4 (G,∗) possède un élément d’ordre 4,il est isomorphe à (Z4,+). Sinon, ses trois élements non neutres sont d’ordre2 et le produit de deux éléments non neutres distincts de G, dans n’importequel ordre, ne peut être que le troisième élément non neutre de G.)

Ex. 8 Tout groupe d’ordre 6 est isomorphe soit à (Z6,+), soit à (S3,◦).(Indication. Si le groupe (G,∗) de neutre e et d’ordre 6 possède un élé-

ment c d’ordre 3, et si t ∈ (G \ gr{c}), alors G = {1, c, c2, t, t ∗ c, t ∗ c2} etsoit c ∗ t = t ∗ c, soit c ∗ t = c2 ∗ t. Ces deux possibilités fournissent chacunela table d’un groupe, isomorphe à (Z6,+) dans le premier cas, à (S3,◦) dansle deuxième.

Si G ne possède pas d’élements d’ordre 3, alors ses éléments non neutressont tous d’ordre 2 et le sous-groupe engendré par 2 éléments non neutresdistincts est isomorphe à V4, ce qui est impossible car 4 ne divise pas 6.)

Ex 9. (a) Dans le plan réel coordonné, dessiner les classes latérales dusous-groupe R× {0} du goupe (R2,+).

(b) Faites la partition du groupe (Z,+) en classes latérales selon sonsous-groupe 6Z, du groupe (Z12,+) en classes latérales selon son sous-groupegr(3). Combien sont-elles ?

(c) Représenter dans le plan réel coordonné les classes latérales du sous-groupe R+

0 × R+0 du groupe (R2

0,·). Combien sont-elles ?

Ex 10. Les classes latérales du sous-groupe H = {(x, y) ∈ R0 × R0 | xy =1} du groupe (R2

0, ·) sont les classes d’équivalence de la relation d’équivalence∼ définie sur R2

0 par : (x, y) ∼ (x′, y′) si xy = x′y′, introduite en (1.1, ex 9).

Ex 11. Interlude. Un ensemble de 21 éléments désire se doter d’unestructure de groupe en ayant un élément d’ordre 6. Pouvez-vous l’aider ? Sioui, comment, sinon, pourquoi ?

Un autre ensemble de 59 éléments désire se doter d’une structure degroupe non cyclique. Pouvez-vous l’aider ?

Un troisième ensemble de 20 éléments désire se doter d’une structure degroupe non cyclique. Pouvez-vous aussi l’aider ?

Ex 12. A peu de chose près. On a défini en (1.1, ex 19) une relationd’équivalence sur l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble E par :∀A,B ∈ E, A ≈ B si A4B est fini.Montrer que les classes de cette équivalence sont les classes latérales du

sous-groupe normal Pf (E) de (P(E),4), (cf.(3.1, ex 4)).


13. Rappelons qu’un homomorphisme du groupe (G, ∗) dans le groupe(H, ·), noté f : (G, ∗)→ (H, ·), est une fonction f de G dans H telle que

∀x, y ∈ G f(x ∗ y) = f(x) · f(y)

et qu’une telle fonction a les propriétés suivantes :(i) l’image par f du neutre de G est le neutre de H,(ii) ∀g ∈ G, f(g−1) = f(g)−1,(iii) Im(f) est un sous-groupe du groupe (H, ·).

Exemple. La fonction qui applique tout élément du groupe (G,∗) sur leneutre du groupe (H,·) est un homomorphisme de groupes, souvent appeléhomomorphisme neutre. L’ensemble des homomorphismes du groupe(G,∗) dans le groupe (H,·) n’est jamais vide.

14. Définition. Le noyau d’un homomorphisme de groupes f : (G, ∗)→(H, ·) est la partie

Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = e}de G, où e désigne le neutre du groupe H.

Proposition. Soit f : (G, ∗)→ (H, ·) un homomorphisme de groupes..Alors Ker(f) est un sous-groupe normal de G.Les classes latérales de Ker(f) dans G, gauches ou droites, sont les

classes de l’équivalence ∼f dans G associée à la fonction f : ∀g ∈ Gnous avons :

g ∗Ker(f) = {x ∈ G | f(g) = f(x)} = Ker(f) ∗ g.

De plus, l’homomorphisme de groupes f est injectif si et seulement Ker(f) ={e}, où e désigne est le neutre de G.

(Esquisse de preuve partielle. On ax ∈ g ∗Ker(f) ⇔ g−1 ∗ x ∈ Ker(f) ⇔ f(x) = f(g),x ∈ Ker(f) ∗ g ⇔ x ∗ g−1 ∈ Ker(f) ⇔ f(x) = f(g).Notons que la dernière assertion est aussi une conséquence de la seconde.)

Application : pour vérifier qu’une partie P d’un groupe (G, ∗) est unsous-groupe normal de G, il suffit d’exhiber un homomorphisme f de (G, ∗)dans un groupe convenablement choisi, tel que Ker(f) = P .

Ex 15. Les fonctions suivantes sont-elles des homomorphismes de groupes ?Si oui, décrire et dessiner leur noyau, leur image. Sont-elles des isomor-phismes ? Si oui, expliciter l’isomorphisme réciproque.

a) (R, +)→ (R, +) : x 7→ x2

b) (R,+)→ (R+0 , ·) : x 7→ ex

c) (R2,+)→ (R0, ·) : (x, y) 7→ ex+y

d) (R,+)→ (C0, ·) : x 7→ e2πix

e) (Z, +)→ (Z,+) : z 7→ z + 1f) (R0, ·)→ (R0, ·) : x 7→ x3

g) (C0, ·)→ (C0, ·) : z 7→ z3

h) (Z2, +)→ (R,+) : (a, b) 7→ a + bπ


(Signalons un résultat du XIX ième siècle que nous ne démontrerons pasici : le nombre π est transcendant, ce qui signifie que non seulement il n’estpas rationnel, mais encore que, pour tous nombres réels a0, a1, · · · , an nontous nuls,

∑ni=0 aiπ

i 6= 0 .)

Ex 16. Pour montrer un élément a d’un ensemble E, nous pouvons uti-liser la fonction

pa : {0} → E : 0 7→ a.Pour montrer un élément g d’un groupe (G,∗), nous pouvons utiliser la

fonctionmg : (Z,+)→ (G,∗) : z 7→ gz.

Observer que cette fonction mg est un homomorphisme de groupes, denoyau nZ si g est d’ordre fini n, de noyau nul si g est d’ordre ∞, et dontl’image est le sous-groupe gr(g) de G.

Ex 17. Voici quelques homomorphismes de groupes. Pour chacun d’eux,décrire et éventuellement dessiner leur noyau et la partition de leur domaineen classes latérales selon le noyau.

a : (R2, +)→ (R, +) : (x, y) 7→ x + 2y

b : (C0, ·)→ (C0, ·) : z 7→ z2

c : (C0, ·)→ (C0, ·) : z 7→ z/|z| (voir (1.1, ex 17))d : (C0, ·)→ (C0, ·) : z 7→ |z| (voir aussi (1.1, ex 10))e : (Z, +)→ (C0, ·) : z 7→ (1

2 + i√

32 )z

f : (GL2(R),·)→ (R0, ·) : A→ det(A)g : (R0, ·)→ (R0, ·) : x 7→ x

|x|h : (Z,+)→ (Z4, +)× (Z6, +) : z 7→ (z4, z6), où zn désigne le reste de la

division de z par n.

Ex 18. Jeu. Voici 8 éléments distincts a, b, c, d, x, y, z, w et trois fonctions :f : {a, b, c, d} → {x, y, z} : f(a) = x, f(b) = x, f(c) = y, f(d) = z,g : {a, b, c, d} → {x, y, z} : g(a) = x, g(b) = x, g(c) = y, g(d) = y,h : {a, b, c, d} → {x, y, z, w} : h(a) = x, h(b) = x, h(c) = y, h(d) = y.

Dessiner le graphe de ces fonctions. Est-il possible de munir le domaineet le but de ces fonctions d’une structure de groupe de façon à ce qu’ellesdeviennent des homomorphismes de groupes ?

Ex 19. Intermède. (a) Combien avons-nous d’homomorphismes du groupe(Z3,+) dans le groupe (S4,◦)) ?

(b) Combien avons-nous d’homomorphismes du groupe (Z6,+) dans legroupe (S4,◦)) ?

(c) Soit (G,∗) un groupe de 21 éléments et (H,·) un groupe de 10 élé-ments. Combien pouvons-nous avoir d’homomorphismes de G dans H ?

(Indication : observer que, si f : G → H est un homomorphisme degroupes finis, alors #Im(f) | #H et aussi #Im(f) = [G : Ker(f)] | #G.)


Ex 20. Attention. Soit H = {I, (01) ◦ (23)}.H est un sous-groupe normal de (V4,◦), V4 est un sous-groupe normal de

(S4,◦), mais H n’est pas un sous-groupe normal de (S4,◦).

Ex 21. Soit A et B deux sous-groupes du groupe (G, ∗).Démontrer : A∗B est un sous-groupe de G si et seulement si A∗B = B∗A.

Soit encore N un sous-groupe normal de G.Démontrer : A ∗N = A ⇔ A ⊃ N.

Ex 22. Image directe et images inverses de sous-groupes.

Soit f : (G,∗)→ (H,·) un homomorphisme de groupes.Rappelons que l’image directe d’un sous-groupe G′ de G est définie par

f∗(G′) = {f(x) | x ∈ G} et que l’image inverse d’un sous-groupe H ′ de Hest définie par f∗(H ′) = {y ∈ G | f(y) ∈ H ′}.

Démontrer.

(a) L’image directe par f de tout sous-groupe de G est un sous-groupede H.

L’image inverse par f de tout sous-groupe de H est un sous-groupe deG.

(b) Pour tout sous-groupe G′ de G, nous avons f∗(f∗(G′)) = G′∗Ker(f).Pour tout sous-groupe H ′ de H nous avons f∗(f∗(H ′)) = H ′ ∩ Im(f).

(c) Les fonctions image directe f∗ et image inverse f∗ introduites en(1.0, ex 26) se restreignent en des bĳections réciproques entre l’ensembledes sous-groupes de G contenant Ker(f) et l’ensemble des sous-groupes deIm(f).

(d) L’image inverse par f d’un sous-groupe normal de H est un sous-groupe normal de G.

Si f est surjectif, l’image directe par f d’un sous-groupe normal de Gest aussi un sous-groupe normal de H.

Ex 23. Démontrer le refrain : toute intersection de sous-groupes normauxd’un groupe G est un sous-groupe normal de G.

24.Vocabulaire. Un endomorphisme du groupe (G,∗) est un homomor-phisme de (G,∗) dans (G,∗).

Un automorphisme du groupe (G,∗) est un isomorphisme de (G,∗)dans (G,∗) (c.à-d. un endomorphisme bĳectif de (G,∗)).

Ex 25. Autour du nombre 2. Soit (G, ∗) un groupe.La fonction G → G, g 7→ g2 est un endomorphisme du groupe (G, ∗) si

et seulement si le groupe (G, ∗) est commutatif.

Autour du nombre -1. La bĳection G→ G : g 7→ g−1 est un automor-phisme du groupe (G, ∗) si et seulement si le groupe (G, ∗) est commutatif.


Ex 26. La fonction f : S3 → S3 définie par :f(1S3) = f((0, 1, 2)) = f((0, 2, 1)) = 1S3 etf((0, 1)) = f((0, 2)) = f((1, 2)) = (0, 1)

est-elle un endomorphisme du groupe (S3,◦) ?

Ex 27. Désignons parAut(G, ∗) l’ensemble des automorphismes du groupe(G, ∗).

Alors (Aut(G, ∗), ◦) est un groupe, appelé groupe des automorphismesdu groupe (G, ∗).

(a) Vérifier : (Aut(Z,+), ◦) ' (Z2, +).

(b) A quel groupe connu est isomorphe (Aut(Z8,+),◦) ?

Ex 28. Soit (M,+) un groupe commutatif et soit z ∈ Z. La fonction

z· : M →M : w 7→ zw

est un endomorphisme du groupe M . (Voir aussi (2.1,ex 15).)

Soit w1, · · · , wn ∈M . La fonction

(Zn,+)→ (M,+) : (z1, · · · , zn) 7→n∑

i=1

ziwi

est un homomorphisme de groupes dont l’image est (Zw1 + · · · + Zwn) =gr(w1, . . . , wn).

Ex 29. Toute permutation du vierergruppe de Klein (V4, ◦) fixant le neutrede V4 est un automorphisme de V4. On en déduit : (Aut(V4, ◦), ◦) ' (S3, ◦).

Ex 29. Soient (X, ∗) et (G, ·) deux groupes.L’ensemble des homomorphismes du groupe (X, ∗) dans le groupe (G, ·)

sera désigné par Hom(X,G) ou, de façon plus précise mais plus lourde, parHom((X, ∗), (G, ·)).

En général Hom(X,G) n’est pas un sous-groupe du groupe (GX , ·) intro-duit en (2.1, 2), il n’en est même pas une partie stable : si f, g ∈ Hom(X, G),la fonction (f · g : X → G : x 7→ f(x) · g(x)) n’est pas nécessairement unhomomorphisme de groupes. Mais la situation est meilleure quand le groupeG est commutatif.

Démontrer ; si le groupe (M, +) est commutatif, alors Hom(X, M) estun sous-groupe du groupe (MX , ·) introduit en (2.1, 2).

Ex 30. On désigne par End(G,∗) ou End(G) l’ensemble des endomor-phismes du groupe (G,∗). Comme la composée de deux endomorphismes deG est un endomorphisme de G, cet ensemble a une structure naturelle demonoïde ( End(G,∗), ◦).

Dans le cas d’un groupe commutatif on peut en dire plus.

Si (M, +) est un groupe commutatif, alors End(M) est un sous-groupedu groupe commutatif (MM , +) et (End(M), +, ◦) est un anneau unital,appelé anneau des endomorphismes du groupe M .


Observer : (End(Z, +), + ,◦) ' (Z, + ,·),(End(Z12, +), + ,◦) ' (Z12, + ,·).

Ex 31. Soit (G, ∗) et (H, ·) deux groupes dont nous prenons le produitdirect.

La projection canonique p1 de G × H sur son premier facteur G,définie par : ∀g ∈ G, ∀h ∈ H, p1(g, h) = g, est un homomorphisme surjectifp1 : (G, ∗) × (H, ·) ³ (G, ∗), de noyau G × {e′}, où e′ désigne le neutre deH. On définit de la même façon la projection canonique p2 de G × H surson second facteur H.

Le produit direct des deux groupes (G, ∗) et (H, ·) à la propriété uni-verselle suivante : pour tout groupe (X,◦), pour tout f1 ∈ Hom(X, G) ettout f2 ∈ Hom(X,H), il existe un et un seul homomorphisme f de (X,◦)dans (G,∗)× (H,·) tel que p1 ◦ f = f1 et p2 ◦ f = f2.

G

X

f1

22

f2 ,,

f // G×Hp2

##GGGG

GGGG

G

p1

;;wwwwwwwww

H

(Indication : ∀x ∈ X, nous devons avoir f(x) = (f1(x), f2(x)), il suffitdès lors de vérifier que cette formule définit un homomorphisme du groupe(X,◦) dans le groupe (G,∗) × (H,·). L’homomorphisme f ainsi défini estparfois noté par (f1, f2) pour des raisons assez évidentes)

Ex 32. Soit f1 : (G1, ∗) → (M, +) et f2 : (G2, ∗) → (M, +) deux homo-morphismes de groupes.

Si le groupe (M, +) est commutatif, alors la fonction

f : (G1, ∗)× (G2, ∗)→ (M, +) : (g1, g2) 7→ f1(g1) + f2(g2)

est un homomorphisme de groupes.


2.3. Homomorphismes et groupes quotients

1. Construction de groupes quotients. Soit N un sous-groupe normald’un groupe (G,∗). Nous désignons par G/N l’ensembles des classes latéralesde N dans G, gauches ou droite, peu importe puisque N est normal :G/N ={g ∗N | g ∈ G}. Nous munissons ensuite l’ensemble G/N d’une loi ∗ définiepar :

∀x, y ∈ G, (x ∗N)∗(y ∗N) = (x ∗ y) ∗N.

Attention, il convient de vérifier d’abord que notre formule définit bienune loi de composition sur G/N , il nous faut vérifier que, si x ∗N = x′ ∗Net y ∗N = y′ ∗N , alors (x ∗ y) ∗N = (x′ ∗ y′) ∗N .

Voyons ceci. De x ∗N = x′ ∗N et y ∗N = y′ ∗N on déduit x ∈ x′ ∗N ety ∈ y′ ∗N , nous avons donc des éléments n1, n2 ∈ N tels que x = x′ ∗ n1 ety = y′ ∗ n2. Mais alors x ∗ y = x′ ∗ n1 ∗ y′ ∗ n2 = x′ ∗ y′ ∗ (y′−1 ∗ n1 ∗ y′) ∗ n2.Or (y′−1 ∗ n1 ∗ y′) ∈ N et (y′−1 ∗ n1 ∗ y′) ∗ n2 ∈ N car N est un sous-groupenormal. Il vient x ∗ y ∈ x′ ∗ y′ ∗N , ce qui équivaut à x ∗ y ∗N = x′ ∗ y′ ∗N .

Ceci étant fait, on montre aisément que (G/N, ∗) est un groupe, de neutreN , appelé groupe quotient de G par N .

La projection canonique de G sur son quotient G/N est la fonction

p : (G, ∗)→ (G/N, ∗) : x 7→ x ∗N.

Cette projection canonique est un homomorphisme de groupes, surjectif, etKer(p) = N .

Remarque. On peut aussi montrer que la loi ∗ est bien définie en remar-quant qu’elle n’est rien d’autre que la restriction à G/N de la loi ∗ étendueà l’ensemble des parties de G. En effet, ∀x, y ∈ G nous avons dans le magma(P(G), ∗) :

(x∗N)∗(y∗N) = x∗(N ∗y)∗N = x∗(y∗N)∗N = (x∗y)∗(N ∗N) = (x∗y)∗N

la second égalité résultant de la normalité de N , la dernière de l’égalitéN ∗N = N valable pour tout sous-groupe et les autres de l’associativité.

Notation simplifiée. On écrira parfois x ∗N = x, quand ceci ne prêtepas à confusion.

2. Premières tactiques. Pour identifier un groupe quotient G/N , unepremière tactique consiste à choisir un système de représentants S desclasses latérales de N dans G, c.à-d. une partie S de G comprenant exacte-ment un élément de chaque classe latérale de N dans G. Ce choix étant faitl’élément s ∈ S sera alors appelé le représentant choisi de la classe latérales ∗ N et les éléments du quotient G/N s’écriront de façon unique sous laforme s ∗N , où s ∈ S, autrement dit nous aurons une bĳection d’ensemble

S ∼→ G/N : s 7→ s ∗N

Nous pouvons maintenant décrire la loi de composition ∗ de la façonsuivante. Soit s, t ∈ S, et soit u ∈ S le représentant choisi de la classe latérale(s∗t)∗N , nous avons alors : s ∗ t = u, autrement écrit : (s∗N)∗(t∗N) =u ∗N .

2.3. HOMOMORPHISMES ET GROUPES QUOTIENTS 57

Cette tactique consiste donc à nommer les classes latérales d’après unde leurs éléments.

Notons que la situation idéale est celle où notre système de représentantsS forme lui-même un sous-groupe de G. Dans ce cas, notre bĳection devientun isomorphisme de groupes

(S, ∗) ∼→ (G/N, ∗) : s 7→ s ∗N

Une autre tactique, parfois plus efficace, consiste à renommer les classeslatérales de façon éventuellement plus adéquate.

3. Exemple. Considérons le sous-groupe normal nZ du groupe (Z,+),(n ∈ N, n > 2).

Ses classes latérales sont les classes de l’équivalence ≡n définie par :z ≡n z′ si z − z′ ∈ nZ . La partie S = {0, 1, . . . , n− 1} de Z est un systèmede représentants des classes latérales de nZ dans Z. Cette partie S n’est pasun sous-groupe de (Z,+), mais, ∀a, b ∈ S, nous voyons que le reste a +n bde la division de a + b par n est le représentant choisi de la classe latérale(a + b) + Z.

Nous observons donc : (Z/nZ, +) ' (Zn,+n).

4. Exemple. Soit H = {(x, y) ∈ R20 | xy = 1}. Nous

observons que H est un sous-groupe normal du groupe (R20, ·) et que les

classes latérales de H dans R20 sont les hyperboles Hk d’équation xy = k, où

k ∈ R0 (cf. (2.2, ex 9)).La partie S = {(1, y) | y ∈ R0} est un système de représentants des

classes latérales de H dans R20, c’est aussi un sous-groupe du groupe (R2

0, ·)et (R2

0/H, ·) ' (S, ·) ' (R0, ·).

Ex 5. (S3/gr((0, 1, 2)),◦) ' (Z2, +).

Ex 6. (a) Soit S = {z ∈ C | |z| = 1}, S est un sous-groupe normal dugroupe (C0, ·) , appelé groupe multiplicatif des complexes de module1.

Visualiser la partition du groupe (C0, ·) en classes latérales selon S etdéterminer de la façon la plus agréable possible un système de représentantsde ces classes latérales.

Montrer : (C0/S, ·) ' (R+0 , ·).

(Voir aussi (2.2, ex 25(d).)

(b) Identifier aussi le groupe quotient (C0/R+0 ,·).

(Voir aussi (2.2, ex 25(c).)

Ex 7. Soit H = {(x, y) ∈ R20 | x2 = y2}.

Montrer que H est un sous-groupe normal du groupe (R20, ·) et identifier le

quotient correspondant.

Ex 8. A quel groupe connu est isomorphe le quotient de (R20, ·) par son

sous-groupe R+0 × R+

0 ?


Ex 9. Une affinité de la droite réelle est une permutation de R de formefa,b : R→ R, x 7→ ax + b, où a ∈ R0 et b ∈ R.

(a) Montrer que les affinités de la droite réelle forment un sous-groupedu groupe (SR,◦) des permutations de la droite réelle, que ce sous-groupeest isomorphe au groupe (R0 × R, ∗), où la loi ∗ est définie par :

∀(a, b), (a′, b′) ∈ R0 × R, (a, b) ∗ (a′, b′) = (aa′, ab′ + b).

(b) Soit H = {(a, 0) | a ∈ R0} et T = {(1, b) | b ∈ R}, H et T sontdeux sous-groupes du groupe (R0 × R, ∗). Décrire et dessiner, dans le planréel coordonné, les classes latérales gauches et droites, selon H et T , d’unélément quelconque (a, b) de R0 × R.

(c) Ces sous-groupes sont-ils normaux ? Si oui, choisir de façon judicieuseun système de représentants des classes latérales et identifier le groupe quo-tient correspondant.

Ex 10. Sachant que V4 est un sous-groupe normal de (S4, ◦), faites la par-tition de S4 en classes latérales selon V4. Á quel groupe connu est isomorphele quotient (S4/V4, ◦) ?

Ex 11. Calculer l’ordre des éléments suivants :(a) (1 + i

√3) · R0 dans (C0/R0, ·),

(b) (1 + i√

3) · R+0 dans (C0/R+

0 , ·),(c) (8, 10) + (5Z× 12Z) dans (Z2/(5Z× 12Z), +),(d) (2, 2)+H, (3, 3)+H, (20, 20)+H, (1, 5)+H dans (Z2/H, +),

où H = {(6z, 6z) | z ∈ Z},(e) (0, 1, 2, 3) ◦ V4 dans (S4/V4, ◦), sachant que V4 est un sous-groupe

normal de (S4),(f) 5

3 + Z dans (R/Z, +),(g) 2

13 ·Q0 dans (R0/Q0, ·).

Ex 12. Soit N un sous-groupe normal du groupe (G, ·), et soit g ∈ G.L’ordre de g ·N dans le groupe quotient (G/N, ·) est le plus petit naturel

positif k tel que gk ∈ N si un tel naturel existe, sinon g ·N est d’ordre ∞.

Ex 13. (Q/Z,+) est un groupe infini dont tous les éléments sont d’ordrefini.

Ex 14. Soit (Q8,·) = ({1,−1, i,−i, j,−j, k,−k}, ·) le groupe quaternionien(qui est un sous-groupe du groupe multiplicatif des quaternions non nuls :ij = k = (−j)i, jk = i = (−k)j, ki = j = (−i)k, i2 = j2 = k2 = −1).Soit H = {1,−1}. Montrer que H est un sous-groupe normal de (Q8, ·), etcalculer le quotient (Q8/H, ·).

15. Soit f : (G,∗)→ (H, ·) un homomorphisme de groupes.Rappelons que les classes latérales x ∗Ker(f), où x ∈ G, sont les classes

de l’équivalence associée à la fonction f (cf.(2.2, ex 24)). La fonction f induitdonc une bĳection

f : (G/Ker(f), ∗)→ (Im(f), ·) : x ∗Ker(f) 7→ f(x).

De plus, nous observons que cette bĳection f est un isomorphisme de groupes.


Ceci nous donne

Le premier théorème d’isomorphisme. Tout homomorphisme degroupes f : (G∗)→ (H, ·) se factorise en f = i ◦ f ◦ p,

(G,∗) f−−−−→ (H,·)p

yxi

(G/Ker(f),∗) f−−−−→ (Im(f),·)où p est la projection canonique de G sur son quotient G/Ker(f), où i estl’inclusion canonique de Im(f) dans H et où la fonction f définie parf(x ∗Ker(f)) = f(x) est un isomorphisme de groupes.

Application, Pour identifier un groupe quotient (G/N,∗), (où N estun sous-groupe normal du groupe (G, ∗)), il suffit de trouver un homomor-phisme f de (G, ∗) dans un groupe convenablement choisi tel que Ker(f) =N . Nous aurons alors (G/N, ∗) ' (Im(f), ·).

Ex 16. On désigne par GL2(R) l’ensemble des matrices 2×2 à coefficientsréels dont le déterminant est non nul. La multiplication matricielle munitGL2(R) d’une structure de groupe.

On désigne encore par SL2(R) l’ensemble des matrices 2×2 à coefficientsréels de déterminant 1.

On observe que le déterminant fournit un homomorphisme de groupes,

det : (GL2(R),·)→ (R0, ·) : A 7→ det A

et que Ker(det) = SL2(R). On en déduit que SL2(R) est un sous-groupenormal de GL2(R).

On observe encore que l’homomorphisme det est surjectif. On en déduit

(GL2(R)/SL2(R), ·) ' (R0, ·).

Ex 17. Désignons à nouveau par (S,·) le groupe multiplicatif des com-plexes de module 1. Appliquer le premier théorème d’isomorphisme à l’ho-momorphisme (R,+) → (S,·) : x 7→ e2πix introduit en (2.2, ex 17(d)). Endéduire :

(R/Z, +) ' (S,·).

Ex 18. Soit µCn = {z ∈ C | zn = 1}, n ∈ N0, µCn est un sous-groupe normaldu groupe multiplicatif (S, ·) des complexes de modules 1 , appelé groupedes racines nièmes de l’unité.

(a) Quelles sont les classes latérales de µC2 dans (S, ·) ?Déterminer un système de représentants de ces classes latérales.Ceci vous permet-il de reconnaître le groupe quotient S/µC2 ?

(b) Utiliser l’homomorphisme (S,·) → (S,·) : z 7→ zn pour conclure(S/µCn ,·) ' (S,·).

Ex 19. Identifier le quotient (R20/{(x, y) ∈ R2

0 | y = x2}, ·).


Ex 20. Identifier les quotients (Z2/(2Z× 5Z), +),(Z2/{(2z, 3z) | z ∈ Z}, +).

Ex 21. Soit B2 ={(

a 0b c

)| a, c ∈ R0, b ∈ R

}et U2 =

{(1 0b 1

)| b ∈ R

}.

Vérifier que U2 et B2 sont deux sous-groupes du groupe GL2(R) introduiten (2.3,ex 16), que U2 ⊂ B2.

Utiliser le premier théorème d’isomorphisme pour montrer que U2 est unsous-groupe normal de B2 et pour identifier le groupe quotient (B2/U2, ·).

Ex 22. On donne le sous-groupe H = {(4z, 6z) | z ∈ Z} du groupe (Z2, +).Identifier le groupe quotient Z2/H, +.(Utiliser éventuellement l’homomorphisme

f : (Z2, +)→ (Z, +)× (Z2, +) : (a, b) 7→ (3a− 2b, b2)

où b2 désigne le reste de la division de b par 2.)

23. Notation allégée. Dorénavant, si N est un sous-groupe normal dugroupe (G,∗), nous désignerons encore par « ∗ » la loi du groupe quotientG/N .

24. Second théorème d’isomorphisme Soit (G,∗) un groupe, A unsous-groupe de G et B un sous-groupe normal de G.

Alors A ∗B est un sous-groupe de G et B est normal dans A ∗B,A ∩B est un sous-groupe normal de A et

(A/(A ∩B),∗) ' ((A ∗B)/B,∗)

.(Pour la preuve, il suffit d’appliquer le premier théorème d’isomorphisme

à l’homomorphisme p ◦ i, où i : (A,∗) ↪→ (G,∗) est l’injection canonique etp : (G,∗) ³ (G/B,∗) la projection canonique, et d’observer :

Ker(p ◦ i) = A ∩B Im(p ◦ i) = (A ∗B)/B.)

Ex 25 Identifier le groupe (2Z/(2Z ∩ 3Z),+).

Ex 26. Soit N un sous-groupe normal du groupe (G,∗).Alors il existe une bĳection entre l’ensemble des sous-groupes du groupe

quotient G/N et l’ensemble des sous-groupes de G contenant N .Dans cette bĳection, les sous-groupes normaux se correspondent.

(Il suffit d’appliquer (2.2, ex 22) à la projection canonique (G,∗) →(G/N,∗).)

Ex 27. (a) Quels sont les sous-groupes du groupe (R20,·) contenant son

sous-groupe (R+0 × R+

0 ) ?

(b) Combien y-a-t’il de sous-groupes de (S4, ◦) contenant V4 ?Pour chacun d’eux, indiquer son nombre d’éléments.


28. Propriété universelle des groupes quotients.

Soit N un sous-groupe normal du groupe (G, ∗) et soit

p : (G,∗)→ (G/N,∗)

la projection canonique de G sur son quotient G/N .

Alors, pour tout homomorphisme de groupes f : (G,∗) → (H,·) tel queN ⊂ Ker(f), il existe un unique homomorphisme f : (G/N,∗) → (H,·) telque f ◦ p = f .

(G,∗)

p%%KKKKKKKKKK

f // (H,·)

(G/N,∗)ef

::

Cet homomorphisme est défini par : ∀g ∈ G, f(g ∗N) = f(g).On exprime aussi ceci en disant que f se factorise à travers p ou (G/N∗),que f est l’homomorphisme induit par f .

(En effet, si un tel homomorphisme existe, nous devons avoir f(g ∗N) =f(g). Il faut donc vérifier que cette formule définit bien une fonction deG/N dans H, que dans notre situation (g ∗ N = g′ ∗ N) ⇒ (f(g) = f(g′).Voyons ceci : (g ∗ N = g′ ∗ N) ⇔ g′−1 ∗ g ∈ N ⇒ f(g) = f ′g′)car N ⊂ Ker(f). Ceci étant fait, il est alors aisé de vérifier que f est unhomomorphisme de groupes.)

De plus, nous avons : Ker(f) = Ker(f)/N , Im(f) = Im(f).

29. Corollaire. Troisième théorème d’isomorphisme.Si H et K sont deux sous-groupes normaux du groupe (G,∗) tels que

H ⊂ K, alors K/H est un sous-groupe normal de (G/H, ∗) et

((G/H)/(K/H),∗) ' (G/K,∗).

(Pour la preuve, utiliser la propriété universelle des groupes quotients,appliquée à l’homomorphisme projection canonique pK : G → G/K et ausous groupe normal H ⊂ K = Ker(pK).)

Ex 30. Identifier les groupes suivants :((4Z+ 6Z)/6Z, +),((4Z/(4Z ∩ 6Z), +),((Z/12Z)/(3Z/12Z), +).


2.4. Compléments sur les groupes.

Exercices récapitulatifs

Ex 1. Soit A,B1, B2 trois sous-groupes du groupe (G, ∗). Si A ⊂ (B1∪B2),alors A ⊂ B1 ou A ⊂ B2.

Ex 2. Soit f1, f2 deux homomorphismes du groupe (G, ∗) dans le groupe(H, ·) et soit K = {x ∈ G | f1(x) = f2(x)}.

La partie K de G est-elle un sous-groupe, un sous-groupe normal dugroupe (G, ∗) ?

(Suggestion : comparer l’endomorphisme de (S3, ◦) introduit en (2.2, ex26) avec l’automorphisme identique de S3).

Ex 3. Soit (G, ∗), (H, ·) deux groupes et soit f : G→ H une fonction.Alors f est un homomorphisme de groupes si et seulement si Γf =

{x, f(x) | x ∈ G} est un sous-groupe du produit direct (G, ∗)× (H, ·).

Ex 4. On définit une loi ∗ sur Z× R par :

∀z, z′ ∈ Z,∀r, r′ ∈ R, (z, r) ∗ (z′, r′) = (z + z′, r + (−1)zr′).

Montrer que (Z×R, ∗) est un groupe, que {0}×R est un sous-groupe normalde (Z× R, ∗) et identifier le quotient correspondant.

Ex 5. On définit une loi ∗ sur l’ensemble Z2 × Z par :

∀i, i′ ∈ Z2 = {0, 1}, ∀z, z′ ∈ Z, (i, z) ∗ (i′, z′) = (i +2 i′, z + (−1)iz′).

Le magma (Z2 × Z, ∗) est-il un groupe ?

Ex 6. Soit A,B deux sous-groupes normaux du groupe (G, ∗).(a) Montrer que A ∗B est un sous-groupe normal de G.(b) Si (A ∩ B) = {e}, où e est le neutre du groupe G, alors, ∀a ∈ A,

∀b ∈ B, a ∗ b = b ∗ a.(Suggestion : voir où se situe l’élément a ∗ b ∗ a−1 ∗ b−1).

(c) Si (A ∩B = {e} et si A ∗B = G, alors la fonction (A, ∗)× (B, ∗)→(G, ∗) : (a, b) 7→ a ∗ b est un isomorphisme de groupes.

Dans ce cas, rappelons qu’on dit que le groupe G est produit direct deses deux sous-groupes A et B.

Ex 7. Soit (M, +) un groupe commutatif et soit T l’ensemble des élémentsde M d’ordre fini.

Montrer que T est un sous-groupe normal du groupe (M, +), et que lequotient (M/T,+) ne possède pas d’élément non neutre d’ordre fini.

Ex 8. Etablir un isomorphisme entre (Z(N), +) et (Q+0 , ·).

(Indication : utiliser une énumération de l’ensemble des nombres premierset le fait que tout nombre naturel est produit de nombre premiers, de façonunique à l’ordre près.)

2.4. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES. 63

Ex 9. (a) Soit z un nombre entier. Vérifier que la fonction (2z·) : Z7 →Z7 : w 7→ 2zw est un automorphisme du groupe (Z7,+7).

(b) Vérifier que la fonction γ : (Z,+) → (Aut(Z7), ◦) : z 7→ (2z·) est unhomomorphisme de groupe. Quel est son noyau ?

(c) On définit une loi ∗ sur l’ensemble Z3 × Z7 par :

∀z, z′ ∈ Z3, ∀w, w′ ∈ Z7,

(z, w) ∗ (z′, w′) = (z +3 z′, w +7 2zw′).

Montrer que (Z3 × Z7, ∗) est un groupe non commutatif d’ordre 21.

Ex 10. Les sous-groupes du groupe additif des nombres réels.Rappelons d’abord que dans R toute partie P bornée inférieurement admetun infimum, disons a, et que cet infimum est caractérisé par les propriétéssuivantes :

(i) a ∈ R et ∀p ∈ P , a 6 p,(ii) ∀x ∈ R, (a < x)⇒ (∃p ∈ P, a 6 p < x).

Rappelons encore qu’une partie D de R est dense dans R si, ∀x ∈ R,∀ε ∈ R+

0 , ∃d ∈ D tel que x− ε < d < x + ε.

Soit maintenant H un sous-groupe non neutre du groupe (R,+) et soita = inf{h ∈ H | 0 < h}. Deux cas sont possibles.

Premier cas : a > 0. Dans ce cas, H = aZ et (H, +) ' (Z, +).(Indication. Si a 6∈ H, alors ∃h1, h2 ∈ H tels que a < h1 < h2 < 2a. Mais

alors, h2 − h1 ∈ H et 0 < h2 − h1 < a, en contradiction avec la définitionde a. Donc a ∈ H. Ensuite, pour tout élément positif h ∈ H, nous avons unnombre naturel n tel que na 6 h < (n + 1)a, en fait, n = bhac, le plancherde h

a .Pour ce nombre n, nous avons encore 0 6 h− na < a. Comme h− na ∈ H,on en déduit h = na par la définition de a.)

Deuxième cas : a = 0. Dans ce cas, H est dense dans R.(Indication. Pour tout ε ∈ R+

0 , nous obtenons par la définition de l’infi-mum un élément h ∈ H tel que 0 < h < ε. Pour tout x ∈ R, nous avons unnombre naturel n tel que nh 6 x < (n + 1)h. Mais alors, nous avons aussi :x− ε < nh < x + ε.)

Conclusion. Tout sous-groupe du groupe additif des nombres réels estsoit cyclique, isomorphe à (Z,+), soit dense dans R.

Application. Soit f : R → R une fonction périodique non constantecontinue en un point r ∈ R. Alors le groupe des périodes de f est cyclique,de la forme tZ, pour un certain t ∈ R+

0 .(Suggestion : procéder par l’absurde).

Ex 11. (a) Le sous-groupe gr(1, π) du groupe (R,+) est dense dans R.(Indication : utiliser l’exercice précédent et montrer que ce sous-groupe

n’est pas cyclique en utilisant le fait que π n’est pas rationnel.)(b) Le sous-groupe gr(1, π, π2, . . . , πn−1) du groupe (R, +) est isomorphe

à (Zn,+) et est dense dans R.(Indication : utiliser le fait que π est transcendant sur Q, c.-à-d. que π

n’est pas racine d’un polynôme en une variable à coefficients rationnels.)


Ex 12. (a) Soit g un élément du groupe (G, ∗).Le centralisateur de g dans G est défini par

CG(g) = {x ∈ G | x ∗ g = g ∗ x}.

Montrer que ce centralisateur est un sous-groupe de G.

(b) Le centre du groupe (G, ∗) est défini par

Z(G) = {h ∈ G | ∀g ∈ G, h ∗ g = g ∗ h}.

Montrer que Z(G) est un sous-groupe normal de G.

(c) Dans le groupe quaternionien (Q8, ·) introduit en (2.3, ex 12), déter-miner le centralisateur de i. Déterminer aussi le centre de Q8.

Automorphismes internes et conjugaison

Ex 13. Automorphismes internes et conjugaison.A tout élément g du groupe (G, ∗) on associe la fonction

Int(g) : G→ G : x 7→ g ∗ x ∗ g−1.

(a) Montrer que Int(g) est un automorphisme du groupe (G, ∗) appeléautomorphisme interne associé à g.

(b) Montrer que la fonction

Int : (G, ∗)→ (Aut(G), ◦) : g 7→ Int(g)

est un homomorphisme de groupes.L’image de cet homomorphisme sera désigné par Int(G) et sera appelée

groupe des automorphismes internes de G.

(c) Montrer que Ker(Int) = Z(G), que (G/Z(G), ∗) ' (Int(G), ◦).

(d) Montrer que Int(G) est un sous-groupe normal du groupe (Aut(G), ◦).

(e) On dit que deux éléments x, y du groupe (G, ∗) sont conjugués eton écrit x ∼ y si ∃g ∈ G g ∗ x ∗ g−1 = y.

Montrer que la relation « être conjugués dans G » est une relation d’équi-valence.

Ex 14. (a) Dessiner le graphe des automorphismes internes du groupequaternionien (Q8, ·) introduit en (2.3, ex 12). Dessiner aussi la partition dece groupe en classes de conjugaison.

(b) Dans le groupe (S3, ◦), dessiner le graphe de l’automorphisme interneassocié à la permutation (0, 1), celui de l’automorphisme interne associé àla permutation (0,1,2). Dessiner la partition de (S3, ◦) en classes de conju-gaison.


Ex 15. Soit p, q deux permutations de l’ensemble E.Si p(a) = b, q(a) = a′, q(b) = b′, alors (q ◦ p ◦ q−1)(a′) = b′.

a

q

²²

p((b

q

²²a′

q◦p◦q−1

66 b′

On observe que l’image par la permutation q du graphe de la permutationp est le graphe de la permutation q ◦ p ◦ q−1.En particulier, si E = {0, 1, . . . , n− 1} et si

p =(

0 1 n− 1b0 b1 bn−1

)alors q ◦ p ◦ q−1 =

(q(0) q(1) q(n− 1)q(b0) q(b1) q(bn−1)

).

On en déduit : dans le groupe (SE , ◦), tout conjugué d’une transposition estune transposition, tout conjugué d’un tricycle est une tricycle, tout conjuguéd’une bitransposition est une bitransposition, et ainsi de suite.

Ex 16. Dans (S100, ◦), calculer#{q ∈ S100 | q ◦ (0, 1, 2) ◦ q−1 = (3, 4, 5)},#{q ∈ S100 | q ◦ (0, 1, 2) ◦ q−1 = (0, 1, 2)},#{q ∈ S100 | q ◦ (0, 1, 2) ◦ (3, 4) ◦ q−1 = (2, 3, 4) ◦ (5, 6)},#{q ∈ S100 | q ◦ (0, 1, 2, 3) ◦ q−1 = (0, 1, 2, 3)},#{q ∈ S100 | q ◦ (0, 1) ◦ (2, 3) ◦ q−1 = (0, 1) ◦ (2, 3)},#{q ∈ S100 | q ◦ (0, 1) ◦ q−1 = (0, 1, 2)}.

Ex 17. (a) Dans le groupe (Sn, ◦), deux transpositions sont toujours conju-guées, deux tricycles sont toujours conjugués, et ainsi de suite.

(b) Quelles sont les classes de conjugaison du groupe (S4, ◦), combiensont-elles ?

Ex 18. Le centre du groupe (Sn, ◦) est neutre dès que n > 3.

Permutations et parité

Ex 19. Nous dirons avec un léger abus de langage que deux permutationsp, q d’un ensemble E sont disjointes si les deux ensembles {x ∈ E | p(x) 6=x} et {x ∈ E | q(x) 6= x} sont disjoints.

(a) Observer que deux permutations disjointes commutent(b) Observer que toute permutation d’un ensemble fini est composée

commutative de cycles. (Rappelons qu’un cycle est une permutation du type(0, 1, . . . , n− 1).)

Ex 20. Tout cycle est composé de transpositions, de façon non unique :(0, 1, 2, . . . , n− 1) = (0, n− 1) ◦ . . . ◦ (0, 2) ◦ (0, 1)(0, 1, 2, . . . , n− 1) = (0, 1) ◦ (1, 2) ◦ . . . ◦ (n− 2, n− 1)


21. Parité. Signalons le théorème suivant.Toute permutation d’un ensemble fini peut s’écrire comme produit de

transpositions, de façon non unique.Si une permutation peut s’écrire comme produit d’un nombre pair de

transpositions, alors toute autre écriture de cette permutation comme produitde transpositions comporte un nombre pair de transpositions.

Dans ce cas, on dit que la permutation est paire.Si une permutation peut s’écrire comme produit d’un nombre impair de

transpositions, alors toute autre écriture de cette permutation comme produitde transpositions comporte un nombre impair de transpositions.

Dans ce cas, on dit que la permutation est impaire.Toute permutation d’un ensemble fini est soit paire, soit impaire.

Ex 22. Écrire de deux façons différentes les permutations suivantes commeproduit de transpositions. Quel est leur ordre, leur parité ?

(0, 1, 2, 3), (4, 8, 9) ◦ (1, 2, 3), (0, 1, 2) ◦ (3, 4), (0, 1, 2) ◦ (2, 3).

Ex 23. Écrire si possible une permutationpaire d’ordre pair,paire d’ordre impair,impaire d’ordre pair,impaire d’ordre impair.

Ex 24. Une permutation est paire si et seulement si le nombre de ses cyclesde longueur paire est pair.

Toute permutation impaire est d’ordre pair.

Ex 25. Montrer que (Sn, ◦) est engendré par {(0, 1), (0, 1, . . . , n− 1)}.

Ex 26. Les permutations paires du groupe (Sn, ◦) forment un sous-groupenormal d’indice 2 de Sn, noté (An, ◦) et appelé groupe alterné sur néléments.

De plus, (Sn/An, ◦) ' (Z2, +2).

Ex 27. Si un sous-groupe H de (Sn, ◦) comprend une permutation impaire,il comprend autant de permutations paires que de permutations impaires.

Ex 28. Dans (A4, ◦), les tricycles se répartissent en deux classes de conju-gaison.

Dans (A5, ◦), les tricycles sont tous conjugués.

29 Définition. Un groupe simple est un groupe dont les seuls sous-groupes normaux sont les sous-groupes triviaux.

Signalons sans démonstration que les groupes alternés (An, ◦) sont simplespour n 6= 4.


Produit semi-direct

Ex 30. Soit (G, ·) un groupe de neutre 1 et supposons que ce groupe aieun sous-groupe normal N , un autre sous-groupe T tels que

G = N · T et N ∩ T = {1}.Alors tout élément g ∈ G s’écrit de façon unique g = n · t, où n ∈ N et

t ∈ T .De plus, ∀n, n′ ∈ N,∀t, t′ ∈ T , le produit (n · t) · (n′ · t′) peut s’écrire sous

la forme n” · t”, n” ∈ N et t” ∈ T de la façon suivante, nous avons :

(n · t) · (n′ · t′) = (n · (t · n′ · t−1)) · (t · t′).

On observe que la loi du groupe G est connue dès qu’on connaît la loi dessous-groupes N et T et la restriction à N des automorphismes internesassociés aux éléments de T .

On observe aussi que la fonction (T, ·) → (G/N, ·) : t 7→ N · t est unisomorphisme de groupes.

Dans cette situation, on dit que le groupe G est produit semi-direct deses deux sous-groupes N et T .

Ex 31. Donner quelques exemples de la situation décrite ci-dessus.

Ex 32. Soit (N, ·) et (T, ·) deux groupes et soit

ϕ : T → (Aut(N), ◦)

un homomorphisme de groupes.

On munit l’ensemble N×T d’une loi ∗ définie par : ∀n, n′ ∈ N,∀t, t′ ∈ T ,

(n, t) ∗ (n′, t′) = (n · (ϕ(t)n′), t · t′).

Montrer que la loi ∗ munit l’ensemble N × T d’une structure de groupe. Cegroupe (N × T, ∗) sera appelé « produit semi-direct de N et T via ϕ ».

Observer encore que N1 = N × {1} et T1 = {1} × T sont des sous-groupes du groupe (N × T, ∗) satisfaisant les conditions de l’ex 30 et queInt((1, t))((n, 1)) = ϕ(n), (où t ∈ T, n ∈ N), noter aussi que N ' N1 et queT ' T1.

Si l’homomorphisme ϕ est l’homomorphisme neutre, notre produit semi-direct n’est rien d’autre que le produit direct usuel.

Si l’homomorphisme ϕ n’est pas l’homomorphisme neutre, notre produitsemi-direct n’est pas commutatif et nous dirons qu’il n’est pas trivial.

33. Exemple. Le groupe construit à l’ex 9 est un groupe d’ordre 21,produit semi-direct des groupe (Z7, +) et (Z3, +).

Ex 34. (a) Soit A, B deux sous-groupes du groupe G, ∗) de neutre e.Si A ∩B = {e} alors #A ·#B 6 #G.Si l’un des deux sous-groupes A et B est normal dans G, alors on a aussi

#A ·#B | #G.

(b) Tout groupe commutatif d’ordre pq, où p et q sont deux nombrespremiers distincts, est cyclique, isomorphe à (Zpq, +).


34. Information. Soit p et q deux nombres premiers distincts, p < q.Si p - q−1, tout groupe d’ordre pq est commutatif, isomorphe à (Zpq, +).Si p | q − 1, tout groupe d’ordre pq est soit commutatif, soit un produit

semi-direct non trivial de (Zq,+) par (Zp, +), cette dernière possibilité étantunique à isomorphisme près.

Chapitre 3

Anneaux

3.1. Quelques anneaux

0. Nous avions introduit les anneaux dans la section 1.2, en présentantquelques premiers exemples, dont l’anneau des matrices 2×2 à entrées dansZ. Depuis nous en avons rencontré d’autres. Rappelons l’anneau (Zn, +, ·)des entiers modulo n (1.3 ex 6), l’anneau des endomorphismes d’un groupecommutatif (2.2 ex 30), rappelons aussi que ces anneaux comprenaient par-fois des éléments non nuls dont le produit est nul.

1. Définitions. Soit (A,+, ·) un anneau et désignons son neutre additifpar 0.

Un élément a de A est un diviseur de zéro à gauche s’il existe unélément non nul b de A tel que a · b = 0.

Un élément a de A est un diviseur de zéro à droite s’il existe unélément non nul c de A tel que c · a = 0.

Un élément a de A est un diviseur de zéro s’il est diviseur de zéro àgauche ou à droite.

Remarque. ∀a ∈ A, a · 0 = 0 · a = 0, 0 est un diviseur de zéro de A dèsque A est non nul, nous dirons que 0 est un diviseur de zéro trivial.

Mais un anneau peut posséder d’autres diviseurs de zéro. Par exemple,dans l’anneau (Z6,+, ·) des entiers modulo 6 introduit en (1.3 ex 6), nousavons 2 · 3 = 0.

Avec un léger abus de langage, nous dirons d’un anneau qu’il est sansdiviseur de zéro s’il n’a pas de diviseurs de zéro non triviaux, c.à-d. si 0 estson seul diviseur de zéro.

2. Rappelons qu’un élément d’un anneau unital (A,+, ·) est dit simpli-fiable, simplifiable à gauche ou à droite, inversible, inversible à gauche ou àdroite, s’il a cette propriété dans le monoïde (A, ·).

Complétons les relations entre ces notions et celle de diviseurs de zéro.

Proposition.Dans un anneau unital on a :inversible à gauche⇒ simplifiable à gauche⇔ non diviseur de zéro à gauche,inversible à droite ⇒ simplifiable à droite ⇔ non diviseur de zéro à droite,inversible ⇒ simplifiable ⇔ non diviseur de zéro ,

69

70 CHAPITRE 3. ANNEAUX

3. Définition. Un anneau intègre ou domaine d’intégrité ou domaineest un anneau commutatif unital non nul dans lequel le produit de deuxéléments non nuls est non nul, autrement dit un anneau commutatif unitalnon nul sans diviseurs de zéro non triviaux.

Un anneau commutatif unital non nul est donc intègre si et seulement sises éléments non nuls sont simplifiables.

Il résulte des définitions que tout corps commutatif est un domaine.Mais l’anneau des entiers (Z, +, ·) est un domaine qui n’est pas un corps.

Ex 4. Les structures suivantes sont-elles des anneaux, des anneaux uni-taux, des anneaux commutatifs, des anneaux intègres, des corps, des corpscommutatifs ?

(N, +, ·), (Z, +, ·), (Q, +, ·), (C, +, ·), (Z5,+, ·), (Z6, +, ·),

(PE,4,∩),

(H, +, ·), où H désigne l’ensemble des quaternions,

(M2(Z), +, ·), oùM2(Z) désigne l’ensemble des matrices carrées 2× 2 àcoefficients entiers, muni de l’addition et de la multiplication matricielle.

Ex 5. (i) Quelles sont les solutions, dans l’anneau (Z12, +, ·), des équations3x = 0, 3x = 1, 5x = 0, 5x = 1, 7x = 1, x2 = 0, x2 = 1, x2 = x ?

(ii) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles des anneaux (Z12, +, ·),(Z7, +, ·), (Zn, +, ·) où n > 2 ?

(iii) Dans (Zn,+, ·), n > 2, tout élément est soit inversible, soit diviseurde zéro.

Ex 6. Tout anneau intègre fini est un corps commutatif.

Dans un anneau unital fini, tout élément non inversible est diviseur dezéro.

7. Rappelons encore que l’ensemble des éléments inversibles d’un anneauunital forme un groupe pour la multiplication, souvent noté A× et appelégroupe des inversibles de A.

Quant à l’ensemble des éléments simplifiables d’un anneau unital nonnul, il forme un monoïde pour la multiplication.

Ex 8. Quel est le groupe des inversibles des anneaux (Z, +, ·), (Z6, +, ·),(Z8, +, ·), (M2(Z),+, ·), (M2(R),+, ·) ?

9. Soit (A,+, ·) et (B, +, ·) deux anneaux. On munit l’ensemble produitA×B d’une addition et d’une multiplication « composantes par compo-santes » définie par : ∀a, a′ ∈ A, ∀b, b′ ∈ B,

(a, b) + (a′, b′) = (a + a′, b + b′))

3.1. QUELQUES ANNEAUX 71

(a, b) · (a′, b′) = (a · a′, b · b′))Vérifier que (A × B, +, ·) est un anneau. Cet anneau se nomme produitdirect des anneaux A et B et est souvent noté par (A, +, ·)× (B, +, ·).

10. Fonctions à valeurs dans un anneau. Soit (A, +, ·) un anneau etE un ensemble.

L’ensemble AE des fonctions de E dans A est naturellement muni d’unestructure d’anneau (AE , +, ·) de la façon suivante : ∀f, g ∈ AE , f + g et f · gsont définis par :∀e ∈ A, (f + g)(e) = f(e) + g(e), (f · g)(e) = f(e) · g(e).En particulier, pour tout naturel positif n, (An, +, ·) est un anneau.

Ex 11. (a) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles de (R2, +, ·) ?

(b) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles de (RR, +, ·) ?

12. Rappelons que deux anneaux (A, +, ·), (B, +, ·) sont isomorphes s’ilexiste une bĳection f : A→ B telle que, ∀x, y ∈ A,

f(x + y) = f(x) + f(y) et f(x · y) = f(x) · f(y).

Une telle bĳection est alors appelée isomorphisme d’anneaux.On indique que deux anneaux sont isomorphes par (A,+, ·) ' (B, +, ·).

Dans le cas où A et B sont des anneaux unitaux, notons que l’image duneutre multiplicatif de A par un isomorphisme d’anneaux f : A→ B est leneutre multiplicatif de B.

Exemple. La fonction (C,+, ·)→ (C,+, ·) : a+ bi 7→ a− bi est un isomor-phisme d’anneaux, appelé automorphisme de conjugaison de C.

Ex 13. La fonction car : (P(E),4,∩) → (ZE2 , +, ·) est un isomorphisme

d’anneaux.

14. Soit (M, +) un groupe commutatif. L’ensemble des endomorphismesde (M, +), muni de l’addition et de la composition des fonctions, forme unanneau unital appelé anneau des endomorphismes du groupe (M, +) etnoté (End(M, +), +, ◦) ou (End(M), +, ◦).

Le groupe des inversibles de cet anneau est le groupe (Aut(M), ◦) desautomorphismes de M .

15. Définitions. Un sous-anneau d’un anneau (A, +, ·) est une partie A′

de A telle que l’addition et la multiplication de A, restreintes à A′, munissentA′ d’une structure d’anneau. Autrement dit, la partie A′ de A est un sous-anneau de A si A′ est un sous-groupe du groupe additif (A,+) et si A′ ·A′ ⊂A′.

Un sous-anneau unital d’un anneau unital A est un sous-anneau de Acomprenant le neutre multiplicatif de A.

Un sous-corps d’un anneau unital A est un sous-anneau unital de Aqui, avec sa structure d’anneaux héritée de celle de A, est un corps.


Refrain. Toute intersection de sous-anneaux d’un anneau A est un sous-anneau de A.

Toute intersection de sous-anneaux unitaux d’un anneau unital A est unsous-anneau unital de A.

Toute intersection de sous-corps d’un corps K est un sous-corps de K.

16. Exemples. (a) Avec ces définitions, 2Z est un sous-anneau de l’anneaudes entiers (Z, +, .), mais 2Z n’est pas un sous-anneau unital de (Z,+, .).

(b) R× {0} est un sous-anneau de l’anneau unital (R2,+, ·), mais n’estpas un sous-anneau unital de (R2,+, ·), bien que, en tant qu’anneau, (R ×{0}, +, .) soit lui même unital.

(c) Z est un sous-anneau unital du corps des rationnels (Q, +, .).

Ex 17. Les parties suivantes de Q sont-elles des sous-anneaux unitaux, dessous-corps du corps des rationnels (Q,+, ·) ?(a) {a

b | a ∈ Z, b ∈ Z\2Z},(b) {a

b | a ∈ Z, b ∈ Z\6Z},(c) {a

b | a, b ∈ Z, b 6∈ (2Z ∪ 3Z)},(d) { a

2n | a ∈ Z, n ∈ N}.

Ex 18. Un anneau (B, + ,·) dont tout élément b satifait b2 = b est appeléanneau de Boole.Un anneau de Boole unital est appelé algèbre de Boole.

L’anneau (P(E),4,∩) est un premier exemple d’algèbre de Boole et toutsous-anneau de (P(E),4,∩) est un anneau de Boole.

Montrer que les anneaux de Boole ont les propriétés suivantes.

(a) Tout anneau de Boole est commutatif et tout élément b d’un anneaude Boole satisfait b + b = 0.

(Suggestion. Pour deux éléments x, y d’un anneau de Boole B, dévelop-per (x + y)2 et (x + x)2 de deux façons différentes.)

(b) On définit une relation ≺ dans un anneau de Boole B par : a ≺ b sia = ab.Vérifier que ≺ est une relation d’ordre sur B.

A quoi correspond cette relation dans un anneau (P(E),4,∩) ?La réponse à cette question nous incite à dire que b contient a si a ≺ b.

(c) Soit encore B un anneau de Boole. Dans l’ordonné (B,≺), nousavons : inf{x, y} = xy et sup{x, y} = x + y + xy.

Ceci nous incite à définir deux lois sur B par : x _ y = xy et x ^ y =x + y + xy.A quoi correspondent ces lois dans l’anneau (P(E),4,∩) ?

(d) Nous dirons qu’un élément a d’un anneau de Boole B est un élémentminimal non nul si a 6= 0 et si ∀x ∈ E, (x ≺ a) ⇒ (x = 0 ou x = a),autrement dit si a 6= 0 et si 0 et a sont les seuls éléments de B contenus


dans a.Quels sont les éléments minimaux non nuls de (P(E),4,∩) ?

(e) Soit B un anneau de Boole fini.(i) Tout élément non nul b de B contient un élément minimal non nul.(ii) Soit a1, a2, · · · , an les n éléments minimaux non nuls distincts de B.

Si i 6= j, alors aiaj = 0.Soit encore e = a1 + · · ·+ an. Alors aie = ai.De plus, ∀b ∈ B nous avons b = eb et b est la somme des éléments

minimaux qu’il contient.(Indications. Si b 6= eb, alors 0 6= b + eb et b + eb contient un élément

minimal non nul, disons ai. Mais alors ai = ai(b + eb) = aib + aib = 0, encontradiction avec le fait que ai 6= 0. Donc b = eb.Dès lors nous avons aussi b = eb = a1b + · · ·+ anb. )

Conclusion. Soit E l’ensemble des éléments minimaux non nuls de l’an-neau de Boole fini B : E = {a1, · · · , an}.

Alors la fonction (B, +, ·)→ (P(E),4,∩) : b 7→ {ai ∈ E | ai ≺ b} est unisomorphisme d’anneaux.

(f) Soit B une algèbre de Boole de neutre multiplicatif 1 et, ∀b ∈ B,posons b′ = 1 + b. Alors :

(i) inf{b, b′} = 0 et sup{b, b′} = 1.C’est pourquoi cet élément b′ sera appelé le complément de b.

(ii) ∀x, y ∈ B, xy = 1⇒ x = y = 1.

(g) En général, le Théorème de représentation de Stone nous ditque tout anneau de Boole est isomorphe à un sous-anneau de l’anneau(P(E),4,∩) des parties d’un certain ensemble E.

19. Notations. Soit A un sous-anneau unital de l’anneau commutatifunital B et soit b ∈ B.

On désigne par A[b] le plus petit sous-anneau de B contenant A et com-prenant b.

On observe : A[b] ={∑n

i=0 aibi | ai ∈ A,n ∈ N}

.

Soit encore b1, . . . , bn ∈ B. On désigne par A[b1, . . . , bn] le plus petitsous-anneau de B contenant A et comprenant les éléments b1, . . . , bn.

Ex 20. Utilisons les notations précédentes dans le corps des complexes.

(a) Montrer que Q[√

2] = {a + b√

2 | a, b ∈ Q}, que la fonction Q[√

2]→Q[√

2] : a + b√

2 7→ a − b√

2 est un isomorphisme d’anneaux et que Q[√

2]est un sous-corps de (R, +, ·).

(Rappelons que√

2 /∈ Q.)

(b) Montrer que Z[i√

5] = {a + ib√

5 | a, b ∈ Z}, que Z[i√

5] n’est pas unsous-corps de (C, +, ·).

21. Anneaux de polynômes à coefficients dans un anneau commu-tatif unital non nul (A,+, .).


(a) On désigne par A[X] l’ensemble des polynômes en une indéterminéeX à coefficients dans A :

A[X] =

{n∑

i=0

aiXi | ai ∈ A, n ∈ N

}.

Soit n 6 n′, on dit que les deux polynômes∑n

i=0 aiXi et

∑n′i=0 a′iX

i sontégaux si et seulement si ai = a′i ∀i, 0 6 i 6 n, et a′i = 0 pour i > n.

On identifie A à une partie de A[X] en posant aX0 = a pour tout a ∈ Aet on dit des éléments de A qu’ils sont des polynômes constants.

On prolonge ensuite l’addition et la multiplication de A à A[X] en dé-finissant la somme et le produit de deux polynômes de A[X] de la façonusuelle, en utilisant les règles d’associativité, de commutativité, de distri-butivité et la règle des exposants : Xn ·Xm = Xn+m. On obtient ainsi unanneau commutatif unital (A[X], +, ·) dont A est un sous-anneau. Quandnous voyons A comme sous-anneau de A[X], les éléments de A sont souventappelés polynômes constants.

On abrège aussi l’écriture des polynômes en posant 1Xi = Xi et 0Xi = 0.Notons que A[X] est toujours un ensemble infini car Xi 6= Xj dès que

i 6= j.

(b) Le degré d’un polynôme non nul P =t∑

i=0

aiXi, noté deg(P ), est le

plus grand naturel n tel que an 6= 0. Par convention, le degré du polynômenul est −∞.

Un polynôme constant est donc un polynôme nul ou de degré nul.

(c) Propriétés : (i) ∀P,Q ∈ A[X], nous avons

deg(P + Q) 6 max{deg(P ), deg(Q)}.Mais, si deg(P ) 6= deg(Q), alors deg(P + Q) = max{deg(P ), deg(Q)},

Nous avons aussi

deg(P ·Q) 6 deg(P ) + deg(Q).

Mais, si l’anneau A est intègre, plus généralement si le coefficient du termede degré le plus élevé de P ou de Q n’est pas un diviseur de zéro, alors

deg(P ·Q) = deg(P ) + deg(Q).

(ii) En particulier, X n’est jamais inversible dans A[X], A[X] n’est jamaisun corps.

(iii) Si l’anneau A est intègre, alors l’anneau A[X] est également intègreet les inversibles de A[X] sont exactement les inversibles de A.

(d) La valeur du polynôme P =n∑

i=0

piXi ∈ A[X] en l’élément a de A est

l’élément P (a) =n∑

i=0

piai ∈ A.


Nous avons : ∀P, Q ∈ A[X], ∀a ∈ A,

(P + Q)(a) = P (a) + Q(a), (P ·Q)(a) = P (a) ·Q(a).

Ainsi tout élément a ∈ A nous fournit la fonction d’évaluation en a

ea : A[X]→ A : P 7→ P (a)

et cette évaluation ea est un homomorphisme d’anneaux unitaux.

D’autre part tout polynôme P ∈ A[X] nous fournit une transformationde A :

fP : A→ A : a 7→ P (a)

appelée fonction polynomiale associée au polynôme P ∈ A[X].

Notons encore que la fonction

f : (A[X], +, ·)→ (AA, +, ·) : P 7→ fP

est aussi un homomorphisme d’anneaux unitaux.

(e) Une racine ou zéro du polynôme P ∈ A[X] est un élément a de A telque P (a) = 0.

Ex 22. Soit A un anneau commutatif unital. Deux polynômes distinctsde A[X] peuvent fournir la même fonction polynomiale. Ce phénomène seproduit chaque fois que l’anneau A est fini.

En voici un exemple. Rappelons le petit théorème de Fermat : si p estun nombre premier, nous avons :

∀a ∈ (Zp, +, ·) ap = a.

Les polynômes X et Xp de Zp[X], de degré 1 et p respectivement, sontdistincts et fournissent la même fonction polynomiale de Zp dans Zp, à savoirla fonction identique.

Ex 23. Q[π] ' Q[X], plus précisément, la fonction d’évaluation en π

eπ : Q[X]→ Q[π] : P 7→ P (π)

est un isomorphisme d’anneaux.(Rappelons que π est transcendant sur Q, ce qui signifie que π n’est pas

racine d’un polynôme à coefficients rationnels.)

Ex 24. Dans Z12[X], nous avons :(3X) · 4(X) = 0 (6X + 11)2 = 1(X + 1)(X + 11) = X2 + 11 = (X + 5)(X + 7).

Dans Zp[X], où p est un nombre premier, nous avons : (X+1)p = Xp+1.


25. Division dans A[X], lorsque l’anneau A est commutatif unital.(i) Le processus de division des polynômes nous apprend ceci.

Soit N, D ∈ A[X], où D est un polynôme non nul dont le coefficient duterme de degré le plus élevé est inversible, alors il existe un seul Q ∈ A[X]et un seul R ∈ A[X] tels que

N = DQ + R et deg(R) < deg(D).

On dit alors que le polynôme R est le reste de la division du polynômeN par D.

Si R = 0, on dit que D divise N , que N est un multiple de D, et on écritD|N .

(ii) ∀P ∈ A[X], ∀a ∈ A nous pouvons donc écrire P = (X − a)Q + r,où Q ∈ K[X] et r ∈ K. On en déduit :

P (a) = 0 ⇔ ∃Q ∈ A[X] tel que P = (X − a)Q ⇔ (X − a)|P.

26. Divisibilité dans A[X], lorsque A est intègre. Si l’anneau A estintègre, alors

(i) tout polynôme de degré n de A[X] a au plus n racines dans A,(ii) et si de plus A est infini, deux polynômes distincts de A[X] fournissent

des fonctions polynomiales distinctes.

27. Divisibilité dans K[X], lorsque K est un corps commutatif.Soit (K, +, ·) un corps commutatif.

Nous dirons encore qu’un polynôme A ∈ K[X] divise un polynôme B ∈K[X] et nous écrirons A | B s’il existe C ∈ K[X] tel que B = AC. Notonsqu’ici les polynômes A et B peuvent être nuls, et que tout polynôme T ∈K[X] divise le polynôme nul.

La méthode des divisions successives nous permet de calculer un plusgrand commun diviseur (pgcd) de deux polynômes P, Q ∈ K[X], c.-à-d.un polynôme C ∈ K[X] tel que C divise P et Q et tel que tout polynômeZ divisant P et Q divise C.

P Q

C

__????????

??ÄÄÄÄÄÄÄ

Z

SS KK

OO

De plus, nous obtenons pour ce polynôme C deux polynômes S, T ∈K[X] tels que C = SP + TQ.

Notons que, si C est un pgcd de P et Q, alors, pour tout élément nonnul a de K, aC est aussi un pgcd de P et Q, et que, si C ′ est un autre pgcdde P et Q, alors on a C = uC ′ pour un certain élément non nul u de K. Cecinous incite à privilégier, parmi les pgcd de P et Q, celui dont le coefficientdu terme de degré le plus élevé est 1 et à le désigner par pgcd (P, Q).

Nous pouvons maintenant écrire la relation de Bezout dans K[X] :

∀P,Q ∈ K[X], ∃S, T ∈ K[X] tels que pgcd(P, Q) = SP + TQ


.(Observer l’analogie avec (1.3, 0).)

En outre, le calcul du pgcd par la méthode des divisions successives nousmontre que, si K est un sous-corps d’un corps commutatif (L,+, ·), alors unpgcd de P et Q dans K[X] est aussi un pgcd de P et Q dans L[X].

Nous dirons que deux polynômes de K[X] sont premiers entre eux sileur pgcd est 1.

Ex 28. Dans R[X], calculerpgcd (X3 − 1, X2 − 1)pgcd (X7 + X2 + 1, X6 + X + 1)pgcd (X6 − 3X5 + 1, X5 − 3X4 + X + 3).

29. Définition. Un corps algébriquement clos K est un corps commu-tatif tel que tout polynôme non constant de K[X] a au moins une racinedans K.

Il résulte de la définition que, si le corps commutatif K est algébrique-ment clos, alors tout polynôme non constant P de K[X] s’écrit de façonunique, à l’ordre près, sous la forme

P = c(X − a1) · . . . · (X − an),

où c, a1, . . . , an ∈ K, c 6= 0, où n = deg(P ).

On peut démontrer que le corps des nombres complexes est algébrique-ment clos.

Ex 30. Deux polynômes de C[X] ou de R[X] sont premiers entre eux si etseulement si ils n’ont pas de racines communes dans C.

Dans R[X], pgcd (X11 − 1, X7 − 1) = (X − 1).

Ex 31. Tout corps algébriquement clos est infini.(Indication : si F est un corps commutatif fini , regarder le polynôme

P = 1 + (X − a1) · · · · · (X − an), où a1, . . . , an sont les n éléments distinctsde F , et observer qu’il n’a pas de racines dans F .)

Ex 32. Si F est un corps commutatif fini de n éléments, deux polynômesdistincts de F [X] de degré strictement inférieur à n fournissent des fonctionspolynomiales distinctes. Comme le nombre des polynômes à coefficients dansF de degré strictement inférieur à n est égal a nn et que nn est aussi lenombre des fonctions de F dans F , nous en déduisons.

Si F est un un corps commutatif fini, toute fonction de F dans F estpolynomiale.

33. Plusieurs indéterminées. Soit A un anneau commutatif unital nonnul. On désigne par A[X1, . . . , Xn] l’anneau des polynômes à coefficientsdans A en les indéterminées X1, . . . , Xn.

Notons que A[X, Y ] = A[X][Y ], que A[X1, . . . , Xn] = A[X1, . . . , Xn−1][Xn],∀n > 2.


34. Corps des fractions rationnelles. Soit K un corps commutatif. Ondésigne par K(X) l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans K :

K(X) = {PQ|P, Q ∈ K[X], Q 6= 0}.

On définit l’égalité, la somme et le produit de deux fractions rationnelles dela façon usuelle, on obtient un corps commutatif (K(X), +, ·) dont K[X] estun sous-anneau unital.

Ex 35. Une fonction de R dans R est dite de classe C∞ si elle est continueet si toutes ses dérivées d’ordre n (n ∈ N0) existent et sont continues. L’ad-dition des fonctions munit l’ensemble C∞(R) = C des fonctions de R dans Rde classe C∞ d’une structure de groupe commutatif.

Les notions de dérivées et intégrales nous fournissent des fonctionsd : C → C : f 7→ f ′,

ia : C → C : f 7→∫ x

af(t)dt, où a ∈ R.

Le calcul différentiel et intégral nous dit que la fonction d et les fonctionsia sont des endormorphismes du groupe (C,+). Il nous dit aussi :

∀a ∈ R, ∀f ∈ C, (d ◦ ia)(f) = f, donc d ◦ ia = 1C .

L’ensemble des endomorphismes du groupe (C, +), muni de l’addition et dela composition des fonctions, forme un anneau unital (End(C, +), +, ◦) noncommutatif.

L’élément d de cet anneau est inversible à droite et admet une infinitéd’inverses droits, il n’est pas inversible.

Cet élément d est aussi diviseur de zéro à gauche dans l’anneau (End(C,+),+, ◦).En effet, pour tout a ∈ R, désignons par ca la fonction de C dans C qui ap-plique toute fonction f ∈ C sur la fonction constante de valeur f(a), nousavons ca ∈ End(C,+) et d ◦ ca = 0.

Ex 36. L’ensemble des endomorphismes du groupe (R[X], +), muni del’addition et de la composition des fonctions, forme un anneau unital (End(R[X]), +, ◦).

Associons à tout polynôme P ∈ R[X] les fonctions

dP : R[X]→ R[X] : (n∑

i=0

aiXi) 7→ (a0P +

n∑

i=1

aiXi−1)

et les fonctions

tP : R[X]→ R[X] : (n∑

i=0

aiXi) 7→ a0P.

Soit encores : R[X]→ R[X] : Q 7→ XQ.

Nous avons : tP , dP , s ∈ (EndR[X], +, ◦), dP ◦ s = 1R[X] et tP ◦ s = 0.L’élément s de l’ anneau R[X] est inversible à gauche et admet une infinitéd’inverses gauches, il est donc simplifiable à gauche, ce qui signifie (s ◦ h =s ◦ h′)⇒ h = h′. Mais il est aussi diviseur de zéro à droite.


Ex 37. Soit a un élément d’un anneau unital A non nécessairement com-mutatif.Si ∃b ∈ A, ab = 1 et si ∀x, y ∈ A, (ax = ay)⇒ (x = y), alors a est inversibleet a−1 = b.

(Á comparer avec la proposition 16 en section 1.3.)

Ex 38. Ecrivons les éléments de Z2 en colonnes : Z2 ={(

ab

)| a, b ∈ Z

}.

Tout endomorphisme f du groupe (Z2, +) est connu dès que l’on connait

l’image de(

10

)et de

(01

), De plus, ces images peuvent être choisies

arbitrairement dans Z2.

Si f est endomorphisme du groupe (Z2, +) avec f

(10

)=

(ab

), f

(01

)=

(cd

),

alors f

(xy

)=

(a cb d

)(xy

).

Nous dirons que la matrice F =(

a cb d

)est la matrice de f .

Si f et g sont deux endomorphismes de (Z2,+) de matrices F et Grespectivement, alors la matrice de f ◦ g est la matrice F ·G.

Ainsi (End(Z2, +), +, ◦) ' (M2(Z), +, ·).De plus, un endomorphisme de (Z2,+) est inversible si et seulement si samatrice est de déterminant ±1.

Ex 39. On définit une loi sur R2 par :

∀a, b, a′, b′ ∈ R, (a, b) ∗ (a′, b′) = (aa′, ab′ + a′b).

Montrer que (R2,+, ∗) est un anneau commutatif unital, de neutre additif(0,0), de neutre multiplicatif (1,0).

Dans cet anneau, on a (0, 1) ∗ (0, 1) = (0, 0). L’anneau (R2, +, ∗) n’estpas intègre.

Ex 40. On définit une loi sur R2 par :

∀a, b, a′, b′ ∈ R, (a, b) ∗ (a′, b′) = (aa′ + bb′, ab′ + a′b).

Montrer que (R2, +, ∗) est un anneau commutatif unital, de neutre ad-ditif (0,0), de neutre multiplicatif (1,0).

Dans cet anneau, calculer (1, 1) ∗ (1,−1).L’anneau (R2, +, ∗) est-il intègre ?


3.2. Homomorphismes, idéaux et anneaux quotients

1. Définitions. Soit A un anneau.Une partie I de A est un idéal gauche de A si I est un sous-groupe du

groupe additif (A,+) et si, ∀x ∈ I, ∀a ∈ A, on a ax ∈ I, autrement écrit siA · I ⊂ I.

Une partie I de A est un idéal droit de A si I est un sous-groupe dugroupe additif (A,+) et si, ∀x ∈ I, ∀a ∈ A, on a xa ∈ I, autrement écrit siI ·A ⊂ I.

Une partie I de A est un idéal de A si I est à la fois un idéal gauche etun idéal droit.

La partie A de A est un idéal de A appelé idéal impropre.Un idéal propre est un idéal de A distinct de A.La partie {0} de A est un idéal de A appelé idéal nul ou idéal trivial.

Refrain. Toute intersection d’idéaux est un idéal.

L’idéal engendré par une partie P de l’anneau A est le plus petit idéalde A contenant P , il sera désigné par idl(P ) ou plus simplement par (P ).

Ex 2. Dans l’anneau de matrices (M2(R),+, ·), les matrices dont la pre-mière colonne est nulle forment un idéal gauche, les matrices dont la premièreligne est nulle forment un idéal droit.

Ex 3. L’idéal engendré par une partie finie {a1, . . . , an} d’un anneau com-mutatif unital A est la partie idl(a1, . . . , an) = a1 ·A + . . . + an ·A.

4. Remarque. Un idéal d’un anneau unital non nul A est impropre si etseulement si il comprend un élément inversible de A.

Le seul idéal propre d’un corps est l’idéal nul.Signalons aussi que l’anneau de matrices (Mn(R), +, ·) n’a qu’un seul

idéal propre, à savoir l’idéal nul, mais que l’anneau (Mn(R), +, ·) n’est pasun corps dès que n > 1.

5. Définitions. Un idéal d’un anneau commutatif unital A est principals’il peut être engendré par un seul élément, autrement dit s’il est de la formea ·A, où a ∈ A.

Un anneau principal est un anneau commutatif unital dont tous lesidéaux sont principaux.

Un domaine principal est un anneau principal intègre.

Exemples. (i) L’anneau des entiers (Z, +, ·) est un domaine principaldont les idéaux sont les nZ, où n ∈ N.

Rappelons de plus que, ∀a, b ∈ Z, idl(a, b) = aZ + bZ = cZ, où c =pgcd(a, b).

(ii) Si K est un corps commutatif, l’anneau de polynômes K[X] est aussiun domaine principal car tout idéal non nul I de K[X] peut être engendrépar un de ses polynômes non nuls de degré minimum.

Et de plus, ∀P, Q ∈ K[X], idl(P, Q) = P ·K[X] + Q ·K[X] = C ·K[X],où C = pgcd(P, Q).

3.2. HOMOMORPHISMES, IDÉAUX ET ANNEAUX QUOTIENTS 81

(iii) Les anneaux de polynômes Z[X] et R[X, Y ] ne sont pas principaux.

Ex 6. Les parties suivantes sont-elles des idéaux, des idéaux principaux ?Si oui, en déterminer un générateur.

Dans (R2, +, ·) :{0} × R{(r, r) | r ∈ R}

Dans (Z2,+, ·) :2Z× 3Z

Dans (R[X], +, ·) :{P ∈ R[X] | deg P 6 3}{P ∈ R[X] | deg P > 3}{P ∈ R[X] | P (1) = 0}{P ∈ R[X] | P (1) = 1}{P ∈ R[X] | P (1) = P (2) = 0}{P ∈ R[X] | P (1) = P (2)}{P ∈ R[X] | P (i) = 0}{P ∈ R[X] | P (1 + i

√3) = 0}

{P ∈ R[X] | P (1)P (2) = 0}idl(X6 − 1, X4 − 1)(X2 −X)R[X] ∩ (X2 − 2X + 1)R[X](X2 −X)R[X] + (X2 − 2X + 1)R[X]

Dans Q[X] :{P ∈ Q[X] | P (

√2) = 0}.

Dans (P(Z), ∆,∩) :{P ∈ P(Z) | P ⊂ N}.

Ex 7. Soit A,B deux parties de l’ensemble E.On a : A ∪B = A∆B∆(A ∩B).Si l’ensemble E est fini, tous les idéaux de l’anneau (P(E), ∆,∩) sont

principaux, de la forme A ∩ P(E) := {X|X ⊂ A} où A ⊂ E.Si l’ensemble E est infini, l’ensemble Pf (E) des parties finies de E est

un idéal non principal de (P(E), ∆,∩).

8. Définitions. Rappelons qu’n homomorphisme d’anneaux est unefonction f d’un anneau (A,+, ·) dans un anneau (B, +, ·) telle que, ∀x, y ∈ A,

f(x + y) = f(x) + f(y) et f(x · y) = f(x) · f(y).

Le noyau d’un homomorphisme d’anneaux est le noyau de l’homomor-phisme de groupes additif sous-jacent.

Un homomorphisme d’anneaux unitaux est un homomorphismed’un anneau unital A dans un anneau unital B tel que l’image par f duneutre multiplicatif de A soit le neutre multiplicatif de B.


Proposition. Soit f : (A, +, ·) → (B, +, ·) un homomorphisme d’an-neaux.

Alors Ker(f) = {x ∈ A | f(x) = 0} est un idéal de A,Im(f) est un sous-anneau de B, et même un sous-anneau unital de B

si f est un homomorphisme d’anneaux unitaux..

Chœur. La composée de deux homomorphismes d’anneaux est un ho-momorphisme d’anneaux.

La composée de deux homomorphismes d’anneaux unitaux est un homo-morphisme d’anneaux unitaux.

Tout isimomorphisme d’anneaux (unitaux) est un homomorphisme d’an-neaux (unitaux)

La fonction identique d’un anneau est un isomorphisme d’anneaux.

Ex 9. La fonction f : (R,+, ·) → (R2,+, ·) : x 7→ (0, x) est un homomor-phisme d’anneaux, mais par un homomorphisme d’anneaux unitaux.

Ex 10. Tout homomorphisme d’un corps dans un anneau est soit nul, soitinjectif.

Ex 11. Soit A un sous-anneau unital de l’anneau commutatif unital B etsoit b ∈ B. La fonction d’évaluation

eb : A[X]→ B : P 7→ P (b)

est un homomorphisme d’anneaux unitaux.

On a : Im(eb) = A[b] et Ker(eb) = {P ∈ A[X] | P (b) = 0}.

Si b ∈ A, alors Ker(eb) = (X − b)A[X] = idl(X − b).

Ex 12. Les fonctions suivantes sont-elles des homomorphismes d’anneaux ?Si oui, quel est leur noyau ? Sont-elles surjectives ?

p1 : (R2, +, ·)→ (R, +, ·) : (x, y) 7→ x

ea : (R[X], +, ·)→ (R, +, ·) : P 7→ P (a), où a ∈ Rei : (R[X], +, ·)→ (C, +, ·) : P 7→ P (i)

e(1+i) : (R[X], +, ·)→ (C, +, ·) : P → P (1 + i)

e(√

2) : (Q[X],+, ·)→ (R,+, ·) : P → P (√

2)

m2 : (Z, +, ·)→ (Z, +, ·) : z 7→ 2z

carré : (Z, +, ·)→ (Z, +, ·) : z 7→ z2

Ex 13. Soit p un nombre premier. La fonction fr : (Zp[X],+, ·)→ (Zp[X], +, ·) :P 7→ P p est un homomorphisme d’anneaux unitaux, appelé endomor-phisme de Frobenius de l’anneau (Zp[X], +, ·), il est injectif mais nonsurjectif.

Ex 14. Voici quelques homomorphismes d’anneaux. Quel est leur noyau,leur image ?

(Z, +, ·)→ (Zn, +, ·) : z 7→ zn (où zn désigne comme d’habitude le restede la division de z par n).

(PE,∆,∩)→ (PE,∆,∩) : X → A ∩X, où A ∈ PE.


Ex 15. Soit A et B deux ensembles et soit f : A→ B une fonction.Rappelons que l’image par f d’une partie A′ de A est la partie f∗(A′) =

{f(x) | x ∈ A′} de B, souvent notée f(A′).Rappelons aussi que l’image inverse par f d’une partie B′ de B est la

partie f∗(B′) = {x ∈ A | f(x) ∈ B′} de A, souvent notée f−1(B′).Rappelons finalement que la fonction f nous donne deux fonctions

f∗ : P(A) → P(B) : A′ 7→ f∗(A′)f∗ : P(B) → P(A) : B′ 7→ f∗(B′).

Vérifier que f∗ ◦ f∗ = 1P(A) ssi f est injective, que f∗ ◦ f∗ = 1P(B) ssi fest surjective.

Vérifier que f∗ : (P(B), ∆,∩) → (P(A), ∆,∩) est un homomorphismed’anneaux unitaux. Quel est son noyau ?

La fonction f∗ : (P(A), ∆,∩)→ (P(B), ∆,∩) est-elle aussi un homomor-phisme d’anneaux ?

(Suggestion : regarder aussi l’exercice (1.0, 26.)

Ex 16. Image directes et images inverses d’idéaux(a) Montrer par un exemple que l’image d’un idéal par un homomor-

phisme f d’anneaux n’est pas nécessairement un idéal de But(f).(b) Mais démontrer que l’image d’un idéal par un homomorphisme sur-

jectif f d’anneaux est un idéal de But(f).(c) Montrer que l’image inverse d’un idéal par un homomorphisme f

d’anneaux est toujours un idéal de Dom(f).

Ex 17. Soit (A, +, ·) et (B, +, ·) deux anneaux.La projection canonique p1 de A × B sur son premier facteur A,

définie par : ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, p1(a, b) = a, est un homomorphisme surjectifd’anneaux p1 : (A, +, ·)× (B, +, ·) ³ (A, +, ·). On définit de la même façonla projection canonique p2 de A×B sur son second facteur B.

Le produit direct des deux anneaux (A, +, ·) et (B, +, ·) à la propriétéuniverselle suivante : pour tout anneau (X,+, ·) et pour tous homomor-phismes d’anneaux f1 : X → A, f2 : X → B, il existe un et un seulhomomorphisme d’anneau f de (X,+, ·) dans (A,+, ·) × (B,+, ·) tel quep1 ◦ f = f1 et p2 ◦ f = f2.

A

X

f1

22

f2 ,,

f // A×Bp2

##GGGG

GGGG

G

p1

;;wwwwwwwww

B

18. Quotient d’un anneau par un idéal. Soit I un idéal de l’anneau(A, +, ·). On définit sur l’ensemble A/I des classes latérales de I dans A uneloi par

∀a, b ∈ I, (a + I )·(b + I) = (a · b) + I.

Il convient de vérifier que cette loi est bien définie dans A/I, c.-à-d. que,si (a + I) = (a′ + I) et (b + I) = (b′ + I) alors (a · b) + I = (a′ · b′) + I.


Voyons ceci : (a+ I = a′+ I et b+ I = b′+ I)⇔ (a−a′ ∈ I et b− b′ ∈ I)⇒(ab− a′b′ = (a− a′)b + a′(b− b′) ∈ I)⇔ (ab + I = a′b′ + I).

Ceci étant fait, on observe assez rapidement que (A/I, +, ·) est un anneaude neutre additif I, unital si A est unital et dans ce cas de neutre multiplicatif1 + I, où 1 désigne le neutre multiplicatif de A.

On observe aussi que la projection canonique p : A→ A/I : a 7→ (a + I)est un homomorphisme d’anneaux, de noyau I, un homomorphisme d’an-neaux unitaux si A est unital.

Notation. Il est parfois commode de désigner la classe latérale a + Id’un élément a ∈ A selon l’idéal I par a.

Avec ces notations nous avons :A/I = {a | a ∈ A}, a1 = a2 ⇔ a1 − a2 ∈ I, a = 0⇔ a ∈ I,a1 ∓ a2 = a1 + a2, a1·a2 = a1 · a2.

19. Exemple. Dans l’anneau quotient A = R[X]/(X2 − X)R[X], dési-gnons par P l’image d’un polynôme P ∈ R[X] par la projection canoniqueR[X]→ A : P = P + (X2 −X)R[X].

Dans R[X], on a : X, X − 1 6∈ (X2 −X)R[X].

Dans A, on a : X 6= 0 6= (X − 1), mais X ·(X − 1) = (X2 −X) = 0.L’anneau quotient A est non intègre.

Ex 20. L’anneau quotient R[X]/(X2− 2X + 1)R[X] possède-t-il des divi-seurs de zéro non triviaux, des éléments non nuls de carré nul ?

Ex 21. R × {0} est un système de représentants des classes latérales del’idéal {0} × R dans (R2, +, ·). On en déduit que (R2/({0} × R),∓, ·) '(R,+, ·).

22. Premier théorème d’isomorphisme pour les anneaux. Soit

f : (A, +, ·)→ (B, +, ·)

un homomorphisme d’anneaux.

Rappelons que f induit une bĳection

f : (A/Ker(f),∓, ·)→ (Im(f), +, ·) : a + Ker(f) 7→ f(a)

et observons que f est un isomorphisme d’anneaux.Nous obtenons la factorisation f = i ◦ f ◦ p

(A, + ,·) f−−−−→ (B, + ,·)p

yxi

(A/Ker(f),∓ ,·) f−−−−→ (Im(f), + ,·)où i, f , p sont des homomorphismes d’anneaux, où p est la projection cano-nique, où i est l’injection canonique et où f est un isomorphisme d’anneaux.

Nous avons donc : (Dom(f)/Ker(f),∓, ·) ' (Im(f), +, .).


Ex 23. (a) Utiliser l’homomorphisme d’évaluationei : R[X]→ C, P 7→ P (i) pour montrer :

(R[X]/(X2 + 1)R[X],∓, ·) ' (C, +, ·).

(b) Utiliser l’homomorphisme d’évaluation e√2 : Q[X]→ R, P 7→ P (√

2)pour montrer :

(Q[X]/(X2 − 2)Q[X],∓, ·) ' (Q[√

2], +, ·).(c) Utiliser un homomorphisme d’évaluation bien choisi pour montrer que

(R[X]/(X2 + 2X + 2)R[X],∓, ·) ' (C, +, ·).

24. Quotients d’anneaux de polynômes à coefficients dans uncorps commutatif.

Soit K un corps commutatif et P ∈ K[X] un polynôme de degré n > 1.Toute classe latérale T + P ·K[X] de l’idéal P ·K[X] comprend un et

un seul polynôme de degré strictement inférieur à n, à savoir le reste de ladivision de T par P .

Les polynômes de degré strictement inférieur à n forment donc un sys-tème de représentants des classes latérales de P ·K[X] dans K[X].

Ainsi, si x désigne la classe latérale X + P · K[X], c.-à-d. l’image deX par la projection canonique p : K[X] → K[X]/PK[X], tout élément duquotient

A = K[X]/P ·K[X]

peut s’écrire de façon unique sous la forme

a0 + a1x + · · ·+ an−1xn−1,

où a0, . . . , an−1 ∈ K. Ici (a0 +a1x+ · · ·+an−1xn−1) désigne la classe latérale

du polynôme (a0 + a1X + . . . + an−1Xn−1).

En particulier, le corps K s’identifie à un sous-corps de l’anneau quotientK[X]/P ·K[X] = A. De plus, comme la classe latérale de P est aussi la classelatérale de 0, x est une racine de P dans A : P (x) = 0.

L’addition dans A se décrit de la façon usuelle, la multiplication se décriten utilisant les règles d’associativité, distributivité, commutativité et la règleP (x) = 0.

Notons aussi que K[X]/PK[X] est naturellement muni d’une structured’espace vectoriel sur K, de base (1, x, x2, · · · , xn−1), de dimension n =deg(P ) sur K.

25. Exemple. Tout élément de l’anneau quotient A = Q[X]/(X3+X)Q[X]s’écrit de façon unique sous la forme a + bx + cx2, où a, b, c ∈ Q, oùx = X + (X3 + X)Q[X].

On a : (a+ bx+ cx2)+ (a′+ b′x+ c′x2) = (a+ a′)+ (b+ b′)x+(c+ c)′x2,on a aussi x3 + x = 0, x3 = −x, x4 = −x2.

Donc (a+bx+cx2)·(a′+b′x+c′x2) = aa′+(ab′+a′b)x+(ac′+a′c+bb′)x2+(bc′ + b′c)x3 + cc′x4 = aa′ + (ab′ + a′b− bc′− b′c)x + (ac′ + a′c + bb′− cc′)x2.

Dans Q[X], on a : X3 + X = X(X2 + 1).Dans A, on a : x 6= 0, x2 + 1 6= 0, x(x2 + 1) = 0.L’anneau commutatif unital A n’est pas intègre.


Ex 26. (a) Décrire l’addition et la multiplication dans l’anneau quotientA = Q[X]/(X3 − 2X)Q[X], en posant x = X + (X3 − 2X)Q[X].

L’anneau A possède-t-il des diviseurs de zéro non triviaux ? Si oui, enmontrer quelques-uns.

Les éléments x, x + 1, x2 − 2, x2 + 2 sont-ils inversibles ? Si oui, calculerleur inverse.

(b) L’anneau introduit en (3.1, ex 39) est isomorphe à R[X]/X2R[X].

(c) L’anneau introduit en (3.1, ex 40) est isomorphe à R[X]/(X2 −1)R[X].

Ex 27. Soit p un nombre premier, combien y-a-t-il d’éléments dans l’an-neau Zp[X]/(Xm + 1)Zp[X] ?

Ex 28. Décrire le quotient F4 = Z2[X]/(X2+X+1)Z2[X], dresser la tablede multiplication et observer que F4 est un corps fini de 4 éléments.

Ex 29. Soit K un corps commutatif et P ∈ K[X] un polynôme de degrén > 1.

(i) Si le polynôme P peut s’écrire comme produit de deux polynômes nonconstants, c.-à-d. si P = P1 · P2, où P1 et P2 ∈ K[X]\K, alors P1 et P2 /∈P ·K[X] et l’anneau quotient K[X]/P ·K[X] n’est pas intègre.

(ii) Si au contraire le polynôme P ne peut pas s’écrire comme produitde deux polynômes non constants, c.-à-d. si (P = P1 · P2, où P1 et P2 ∈K[X]) ⇒ (P1 ∈ K ou P2 ∈ K), alors K[X]/P ·K[X] est un corps commu-tatif.

(Un polynôme de degré positif P ne pouvant pas s’écrire comme produitde deux polynômes non constants sera dit « irréductible »

(Indication pour (ii). Avec notre hypothèse sur P , nous avons :

∀T ∈ K[X]\P ·K[X], pgcd(T, P ) = 1.

La relation de Bezout pour K[X] nous donne alors des polynômes A,B ∈K[X] tels que 1 = AT + BP , voir la section 3.1.

Pour tout Q ∈ K[X] désignons maintenant par Q la classe latérale Q +P ·K[X]. Dans l’anneau quotient K[X]/P ·K[X] nous obtenons 1 = A · T ).

Ex 30. (a) Les quotients suivants sont-ils intègres ? Sinon, montrer quelquesdiviseurs de zéro non triviaux. Sont-ils des corps ? (Utiliser le cas échéantl’exercice précédant)Z[X]/3X · Z[X]Q[X]/(X4 −X2 + X) ·Q[X]Z2[X]/(X3 + X + 1) · Z2[X]

(b) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles de l’anneauQ[X]/(X3 − 1)Q[X] ?


Ex 31. Décrire le quotient Z5[X]/(X2 + 3)Z5[X] = F25, en posant x =X + (X2 + 3)Z5[X].

Observer que le polynôme X2 + 3 n’a pas de racines dans Z5 et ne peutdonc s’écrire comme produit de 2 polynômes de degré 1. Avec les exercices24, 29 on voit que F25 est un corps de 25 éléments.

Calculer l’inverse de x, de x + 1 dans F25.

32. Propriété universelle des anneaux quotients.Soit I un idéal de l’anneau (A, +, ·) et soit p : (A,+, ·) → (A/I,+, ·) la

projection canonique.

Alors, pour tout homomorphisme d’anneaux f : A→ B tel queI ⊂ Ker(f), il existe un unique homomorphisme d’anneaux f : A/I → B telque f ◦ p = f .

A

p!!CC

CCCC

CCf // B

A/I

ef

>>

Cet homomorphisme est défini par : ∀a ∈ A, f(a + I) = f(A).On exprime aussi ceci en disant que f se factorise à travers p ou A/I, quef est l’homomorphisme induit par f .

(En effet, nous savons déjà que la formule f(a + I) = f(a) définit unhomomorphisme f de groupes additifs. Il reste donc à vérifier que f respecteaussi la multiplication, mais ce dernier point découle immédiatement de nosdéfinitions.)

De plus, nous avons : Ker(f) = Ker(f)/I, Im(f) = Im(f).

33. Exemple. L’évaluation en i fournit un homomorphisme d’anneaux

ei : Q[X]→ C : P 7→ P (i).

Nous avons : (X3 + X)Q[X] ⊆ Ker(ei) = (X2 + 1)Q[X].L’homomorphisme ei se factorise donc à travers l’anneau quotient A =

Q[X]/(X3 + X)Q[X]

Q[X]

p""FFFFFFFFei // C

A

eei

@@

Avec les notations de l’exemple 25, ei est décrit par :

ei(a + bx + cx2) = a− c + bi

On en déduit que la fonction A→ C décrite par la formule ci-dessus est unhomomorphisme d’anneaux, de noyau (x2 + 1)A.

Ex 34. Soit A = Q[X]/(X3 − 2X2)Q[X] et désignons par x la classelatérale X + (X3 − 2X2)Q[X]. On sait alors que tout élément de A s’écritde façon unique sous la forme a + bx + cx2, où a, b, c ∈ Q.

La fonctionA→ C : a + bx + cx2 7→ a + 2b + 4c

est-elle un homomorphisme d’anneau ? Si oui, quel est son noyau ?


Ex 35. SoitH le corps des quaternions. Vérifier que la fonction f : (H, +, ·)→(M2(C),+, ·)

a + bi + cj + dk 7→(

a + bi c + di−c + di a− bi

)est un homomorphisme injectif

d’anneaux unitaux.

Ex 36. Nous dirons qu’un idéal d’un anneau est maximal s’il est propre(c.-à-d distinct de A) et s’il n’est pas contenu strictement dans un idéalpropre.

Démontrer : Soit I un idéal de l’anneau commutatif unital A.Alors I est un idéal maximal de A si et seulement si l’anneau quotient

A/I est un corps commutatif.

En remarquant que les idéaux maximaux de l’anneau des entiers (Z,+, ·)sont les pZ, où p est un nombre premier, on retrouve un résultat déjà connu :le nombre naturel p est premier si et seulement si (Zp, +, ·) est un corpscommutatif.

Ex 37. Les parties suivantes de l’anneau R[X, Y ] des polynômes en deuxvariables X,Y à coefficients réels sont-elles des idéaux ? Si oui, en déterminerune partie génératrice minimale.{P ∈ R[X, Y ] | P (2, 3) = 0}{P ∈ R[X, Y ] | ∀t ∈ R, P (t, t) = 0}{P ∈ R[X, Y ] | ∀t ∈ R, (P (t, t2) = 0}

Ex 38. R[X, Y ]/Y · R[X,Y ] ' R[X]R[X, Y ]/(Y −X2) · R[X, Y ] ' R[X]

Ex 39. Soit X, Y, t des indéterminées. La fonction

f : R[X, Y ]→ R[t] : P 7→ P (t3, t2)

est un homomorphisme d’anneaux, de noyau (Y 3 −X2)R[X, Y ].On en déduit :R[X, Y ]/(Y 3 −X2)R[X,Y ] ' R[t2, t3].

Notons que l’ensemble des zéros d’un polynôme en deux variables à co-efficients réels se dessine par une courbe dans le plan réel coordonné.

Dans le plan réel coordonné, voici dessiné l’ensemble des zéros du poly-nôme Y 3 −X2.

Ex 40. Vérifier que B ={(

a 0c b

)| a, b, c ∈ R

}est un sous-anneau de

l’anneau de matrices M2(R), que I ={(

0 0c 0

)| c ∈ R

}est un idéal de

B. A quel anneau connu est isomorphe le quotient B/I ?

Ex 41. Tout quotient d’un anneau principal est principal.


42. Remarque. L’anneau nul est un anneau commutatif unital non in-tègre.

Ex 43. Pour tout anneau unital (A, +, ·), il existe un et un seul homomor-phisme d’anneaux unitaux (Z, +, ·) → (A, +, ·). Cet homomorphisme estdéfini par : ∀z ∈ Z, z 7→ z · 1.

Ex 44. Soit A, B deux anneaux, soit I un idéal de A et J un idéal de B.Montrer que I × J est un idéal de l’anneau produit A×B.

Réciproquement, montrer que tout idéal K de l’anneau produit A × Best de la forme K = I × J , où I est un idéal de A et J un idéal de B.


3.3. Factorisation dans un domaine

1. Définitions. Soit (A,+, ·) un domaine d’intégrité et soit a, b ∈ A.La relation divise dans A est définie par : a|b si ∃m ∈ A tel que b = ma.Nous dirons que les éléments a et b de A sont associés dans A et nous

écrirons a ∼ b si a|b et b|a.Nous dirons que l’élément a est irréductible dans A si a est non inver-

sible et si a = bc, b, c ∈ A implique que b ou c est inversible dans A.

Un plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b dans A, s’il existe, estun élément c de A tel que :

(i) c|a et c|b : a b

c

__>>>>>>>>

@@¡¡¡¡¡¡¡¡

(ii) ∀x ∈ A, (x|a et x|b)⇒ (x|c) : a b

c

__????????

??¡¡¡¡¡¡¡¡

x

RR KK

OO

Si c est un pgcd de a et b dans A nous écrirons c ∼ pgcd(a, b), ceci estjustifié par les remarques suivantes :

(i) deux pgcd de a et b dans A sont toujours associés dans A.(ii) si c est un pgcd de a et b dans A, tout élément d associé à c est aussi

un pgcd de a et b dans A.

Remarquons aussi que la relation divise dans A est un préordre sur A,que la relation « être associés dans A » est une équivalence sur A.

(Remarquons aussi qu’un pgcd de a et b dans A est un infimum de {a, b}dans le préordonné (A, |).)

Ex 2. Soit a, b deux éléments d’un anneau intègre A. Alors(i) a|b si et seulement si bA ⊂ aA,(ii) a et b sont associés dans A si et seulement si aA = bA si et seulement

si il existe un élément inversible u de A tel que a = bu.

Ex 3. Les éléments irréductibles de l’anneau des entiers sont les ±p, où pest un nombre premier.

Les éléments irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.Les éléments irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les

polynômes de degré 2 sans racines réelles.

Ex 4. Soit K un corps commutatif. Tout polynôme de K[X] de degré 2ou 3 sans racines dans K est irréductible dans K[X].

Ex 5. Déterminer les racines complexes du polynôme X4 + 1 et écrireX4 +1 comme produit de deux polynômes non constants à coefficients réels.Le polynôme X4 + 1 de R[X] n’est pas irréductible dans R[X] et n’a pas deracines réelles.

3.3. FACTORISATION DANS UN DOMAINE 91

6. Définition. Un élément p d’un domaine d’intégrité A est dit premiersi p est non nul non inversible et si, ∀a, b ∈ A,

p|ab ⇒ (p|a ou p|b).

Ex 7. Tout élément premier d’un domaine d’intégrité A est irréductibledans A.

Ex 8. Voici un exemple d’élément irréductible non premier. Dans le sous-anneau A = R[t3, t2] de l’anneau R[t] des polynômes à coefficients réels enune indéterminée t, les éléments t2, t3 de A sont irréductibles dans A. Nousavons : t2 · t2 · t2 = t3 · t3. Dans A, t2 divise t3 · t3 mais t2 ne divise pas t3,t2 n’est pas premier dans A.

Notons que l’anneau A est associé à la courbe du plan réel coordonné

d’équations paramétriques{

x = t3

y = t2, d’équation cartésienne y3 = x2 ou

y = (x13 )2.

Le phénomène observé ci-dessus reflète en quelque sorte le fait que lepoint de coordonnées (0,0) est un point assez singulier de cette courbe,comme on le constate en dessinant la courbe.

(Remarque : cet exemple a aussi été examiné en (3.2,ex 39).)

Dans cet anneau A, examinons maintenant les diviseurs communs à t5

et t6. Nous avons :∀x ∈ A, (x|t5 et x|t6)⇔ (x ∼ 1 ou x ∼ t2 ou x ∼ t3).

Les éléments t5, t6 n’ont pas de pgcd dans A.

Ex 9. Soit K un corps commutatif.Démontrer : tout polynôme irréductible P de K[X] est premier dans

K[X].(Indication. Supposons que le polynôme irréductible P divise N1 ·N2, où

N1, N2 ∈ K[X], et que P ne divise pas N1.Alors pgcd(P, N1) = 1 et nous pouvons écrire 1 = AP + BN1, où A,B ∈K[X], voir (3.1,29).Nous avons alors : N2 = AN2P + BN1N2.Comme N1N2 est un multiple de P , on déduit de cette dernière égalité queN2 est aussi un multiple de P ).

10. Soit A un domaine principal. Pour tout a, b ∈ A, l’idéal (a·A+b·A)est principal, engendré par un élément c ∈ A : (a ·A + b ·A) = (c ·A).

On a : a, b ∈ (c ·A), c|a et c|b.De plus, c ∈ (a ·A + b ·A), ∃s, t ∈ A tels que c = as + bt, ce qui implique

que tout élément x de A divisant a et b divise c.Donc c est un pgcd de a et b.

(Rappelons que deux pgcd de a et b dans A sont toujours associés dans A,la notation pgcd (a, b) désignera ici un quelconque pgcd de a et b.)


Et nous obtenons non seulement l’existence des pgcd mais aussi la rela-tion de Bezout pour les domaines principaux :

∀a, b ∈ A,∃s, t ∈ A tels que pgcd(a, b) = as + bt.

(Observer l’analogie avec (1.3,0) et (3.1, 27).)

Finalement, comme à l’exercice 9, on obtient.

Dans un domaine principal, tout élément irréductible est premier.

12. Définition. Un domaine factoriel est un domaine A dans lequeltout élément non nul non inversible s’écrit de façon essentiellement uniquecomme produit d’un nombre fini d’éléments irréductibles de A.Ceci signifie que tout élément a de A peut s’écrire a = p1 · · · pn, où p1, · · · , pn

sont des éléments irréductibles de A et que si l’élément a de A s’écrit a =p1 · · · pn = q1 · · · qm, où les pi, qj sont des éléments irréductibles de A, alorsn = m et il existe une permutation σ de l’ensemble {1, . . . , n} telle que, ∀i,1 6 i 6 n, pi et qσ(i) sont associés.

Propriété. Deux éléments quelconques d’un domaine factoriel admettenttoujours un pgcd.

Exemples. L’anneau des entiers est un domaine factoriel.Si K est un corps commutatif, on déduit rapidemment des propriétés de

K[X] vues précédemment que K[X] est un domaine factoriel.Plus généralement, on peut démontrer qu’un domaine principal est tou-

jours un domaine factoriel, et que, si A est un domaine factoriel, A[X] l’estaussi.

Les anneaux Z[X] et R[X, Y ] sont des domaines factoriels non princi-paux.

Tout corps commutatif est, de façon évidente, un domaine factoriel.

Ex 13. Dans un domaine factoriel, tout élément irréductible est premier.

Ex 14. Le sous-anneau R[t2, t3] de l’anneau R[t], où t est une indéterminée,est un domaine non factoriel.

(Suggestion : voir aussi l’ex 8.)

Ex 15. Ecrire les polynômes suivants comme produit de polynômes irré-ductibles dans C[X], R[X], Q[X], en indiquant chaque fois le nombre defacteurs intervenant dans cette écriture.

X2 + 1X3 − 1X6 − 1X4 − 1X2 − 2

Ex 16. Donner la factorisation de X8 − 1 en produit d’irréductible dansR[X] et Q[X].

3.3. FACTORISATION DANS UN DOMAINE 93

Ex 17. Donner la factorisation de 3X2 − 15X en produit d’irréductiblesdans Q[X] et Z[X], en indiquant chaque fois le nombre de facteurs interve-nant dans cette décomposition.

Ex 18. Soit p un nombre premier. Dans Zp[X], on a Xp − 1 = (X − 1)p.Dans Z2[X], les polynômes X2 + 1, X2 + X + 1, X3 + X + 1 sont-ils

irréductibles ? Sinon, écrire leur factorisation comme produit d’irréductiblede Z2[X].

Dans Z5[X], les polynômes X2 + 1, X2 + X + 2 sont-ils irréductibles ?

Ex 19. Dans Z7[X], déterminer un polynôme irréductible de degré 2, dedegré 3.

Ex 20. Soit A un domaine d’intégrité et soit 0 6= a ∈ A.Si a n’est pas irréductible dans A, alors l’anneau quotient A/aA n’est

pas intègre.Si a est irréductible et si de plus A est un domaine principal, alors

l’anneau quotient A/aA est un corps commutatif.

(Suggestion : procéder comme en (3.2, exercice 29).En particulier, on retrouve à nouveau un résultat établi en (1.3, ex 8) etretrouvé en (3.2, ex 36) : Z/pZ est un corps si et seulement si p est unnombre premier.)

Ex 21. Soit A un domaine factoriel et soit 0 6= a ∈ A. Alors l’anneauquotient A/aA est intègre si et seulement si a est irréductible dans A.

22. Corps finis. Soit p un nombre premier et soit P ∈ Zp[X] un polynômeirréductible de degré n. Alors l’anneau quotient Zp[X]/PZp[X] est un corpscommutatif fini de pn éléments.

Signalons sans démonstration que tout corps fini est commutatif, quedeux corps finis ayant même nombre d’éléments sont toujours isomorphes.

De plus, nous verrons que le nombre d’éléments d’un corps fini est né-cessairement de la forme pn, où p est un nombre premier (voir 3.4, ex 7).Réciproquement, on peut démontrer que, pour tout nombre premier p etpour tout naturel positif n, il existe un (et un seul à isomorphisme près)corps fini de pn éléments.

Ex 23. Construire des corps de 8, 9, 27, 125 éléments.Rappelons qu’un corps de 4 éléments a été construit en (3.2, ex 28) et

qu’un corps de 25 éléments a été construit en (3.2, ex 31).

Ex 24. Dans le sous-anneau Z[√

5] = {a + b√

5 | a, b ∈ Z} de (R, +, ·),nous avons :

5 n’est pas inversible et n’est pas irréductible dans Z[√

5],2 +√

5 est inversible dans Z[√

5].

Nous avons aussi :2 est irréductible dans Z[

√5] (voir une indication ci-dessous),

mais (1 +√

5)(1−√5) = −4 = 2 · (−2), 2 n’est pas premier dans Z[√

5].


Le domaine Z[√

5] n’est ni factoriel ni principal.

L’élément 12 + 1

2

√5 de Q[

√5] est une racine du polynôme X2 −X − 1 ∈

Z[X], (cet élément est souvent appelé le nombre d’or pour d’autre raisons).

Voici quelques indications pour montrer que 2 est irréductible.(i) Observons d’abord que la fonction Z[

√5]→ Z[

√5] : a+b

√5 7→ a−b

√5

est un automorphisme de l’anneau Z[√

5].(ii) Si

2 = (a + b√

5)(a′ + b′√

5),

où a, b, a′, b′ ∈ Z, alors on obtient avec (i)

2 = (a− b√

5)(a′ − b′√

5),

et, en multipliant ces deux équations membres à membres, on obtient dansl’anneau des entiers la relation

4 = (a2 − 5b2)(a′2 − 5b′2).

Si a2 − 5b2 = ±1, alors a + b√

5 est inversible dans Z[√

5].Si a2 − 5b2 = ±4, alors a′ + b′

√5 est inversible dans Z[

√5].

Par ailleurs, les équations a2 − 5b2 = 2, a2 − 5b2 = −2 n’ont pas desolutions entières car, modulo 5, les éléments 2 et 3 du corps Z5 ne sont pasdes carrés.)

Ex 25. Pour tout corps commutatif K, le domaine factoriel K[X] possèdeune infinité d’éléments irréductibles.

(Indication : utiliser une variante de l’argument d’Euclide décrit en (1.3,12).)

Ex 26. Le sous-anneau A = {ab | a ∈ Z, b ∈ Z\2Z} de Q est un domaine

factoriel dans lequel les éléments irréductibles sont tous associés à 2.De plus, A est un domaine principal dont les idéaux non triviaux sont

les 2nA, où n ∈ N0.

3.4. FRACTIONS, CARACTÉRISTIQUE ET CORPS FINIS 95

3.4. Fractions, caractéristique et corps finis

1. Généralités. Soit A un anneau intègre. Une fraction de A est un sym-bole a

b , où a, b ∈ A, b 6= 0. On définit l’égalité, la somme et le produit dedeux fractions de la façon usuelle, on identifie a à a

1 , on obtient un corpscommutatif K = {a

b | a, b ∈ A, b 6= 0} appelé corps des fractions de A,dont A est un sous-anneau unital.

Le corps des fractions K de A possède la propriété universelle sui-vante : tout homomorphisme injectif f de (A, +, ·) dans un corps commutatif(L,+, ·) se prolonge de façon unique en un homomorphisme f (nécessaire-ment injectif) de (K, +, ·) dans (L,+, ·). Ceci est représenté dans le dia-gramme suivant, où i désigne l’injection canonique de A dans K.

A

i ÃÃAAA

AAAA

Af // L

Kf

??

C’est pourquoi nous pouvons dire que le corps des fractions de A est leplus petit corps commutatif contenant A.

Exemples. Le corps des fractions de (Z,+, ·) est (Q,+, ·).Si K est un corps commutatif, le corps des fractions de K[X] est le corps

K(X) des fractions rationnelles introduit en (3.1, ex. 36).

2. Définition. La caractéristique d’un anneau unital A est l’ordre del’élément 1 dans le groupe additif (A,+) si cet ordre est fini, sinon, la ca-ractéristique de A est nulle.

Ex 3. Quelle est la caractéristique des anneaux suivants :

(Z,+, ·), (R, +, ·), (Z7,+, ·), (Z12, +, ·),

(Z[X]/3XZ[X], +, ·), , (Z[X]/3Z[X], +, ·), (Z4[X], +, ·).

Ex 4. Soit A un anneau unital de caractéristique n. Alors, ∀a ∈ A, na = 0.

Ex 5. Rappelons (3.2, ex 43) que, pour tout anneau unital A, il existe unet un seul homomorphisme d’anneaux unitaux f : (Z, +, ·)→ (A,+, ·) définipar f(z) = z · 1.

Si Ker(f) = nZ, alors n est la caractéristique de A.

Tout anneau unital de caractéristique n > 0 possède un sous-anneauisomorphe à (Zn, +, ·).

Tout anneau unital de caractéristique nulle possède un sous-anneau iso-morphe à (Z,+, ·).

Ex 6. La caractéristique d’un anneau intègre, d’un corps, est soit nulle,soit un nombre premier p.

Tout corps de caractéristique positive p contient un sous-corps isomorpheà (Zp, +, ·).


Tout corps de caractéristique nulle contient un sous-anneau isomorpheà l’anneau des entiers (Z, +, ·) et un sous-corps isomorphe au corps desrationnels (Q, +, ·).

Ex 7. (a) Tout corps fini F de caractéristique p (où p est un nombrepremier) peut être vu comme un espace vectoriel sur son sous-corps Zp. Cevectoriel est de dimension finie, si sa dimension est n, alors #F = pn.

(b) Plus généralement, soit F1 un sous-corps du corps fini F2. Si #F1 = q,alors #F2 = qr pour un certain nombre naturel r.

(c) Un corps de 16 éléments peut-il contenir un sous-corps de 8 éléments ?

Ex 8. Montrer que le quotient A = Z5[X]/(X2 + 3)Z5[X] est un corpscommutatif de 25 éléments.

Posons à nouveau x = X+(X2+3)Z5[X], x ∈ A. Quelles sont les racines,dans A, des polynômes Y 2 + 3, Y 2 + 2, (1 + x)Y − 1 de A[Y ] ?

Si θ est une racine de Y 2 +2 dans A, l’homomorphisme d’évaluation eθ :Z5[Y ]→ A, P 7→ P (θ) induit un isomorphisme Z5[Y ]/(Y 2 + 2)Z5[Y ] ∼→ A.

9. Information. Signalons sans démonstration le résultat suivant.Pour tout nombre premier p et tout naturel positif n, il existe un corps

commutatif de pn éléments, et deux tels corps sont toujours isomorphes.

10. Conclusion. Pour construire le corps commutatif fini de pn éléments,il suffit de faire le quotient de Zp[X] par l’idéal engendré par un polynômeirréductible de degré n de Zp[X].

Ex 11. Soit p un nombre premier et n un nombre naturel positif, soitq = pn et soit Fq le corps commutatif fini de q éléments.

Alors, ∀a ∈ Fq, aq − a = 0. Les q éléments de Fq sont les q racinesdistinctes du polynôme Xq −X ∈ Fq[X], et Xq −X =

∏

ai∈Fq

(X − ai).

Ex 12. Si A est un anneau commutatif unital dont la caractéristique estun nombre premier p, alors la fonction

fr : A→ A : x 7→ xp

est un endormorphisme de A, appelé endomorphisme de Frobenius.Dans le cas où A = Zp, cet endomorphisme est l’automorphisme iden-

tique.Dans le cas où A = Zp[X], cet endormorphisme est injectif non surjectif.(voir aussi l’ex 13 en (3.2).)

Ex 13. Construire un corps de 16, de 49 éléments.

Documents

Premiers exercices d'Algèbre