Forces électromagnétiques Les points du cours à connaîtrealain.lerille.free.fr/2016/Poly17.pdf · physique année scolaire 2016/2017 le poids est négligeable. La densité volumique

physique année scolaire 2016/2017

Forces électromagnétiques

Les points du cours à connaîtremardi 24 janvier 2017

I- Force et énergie électromagnétiques

1. Force de Lorentz appliquée sur une charge

Force de Lorentz : (dé�nition)

Energie potentielle électrostatique : (dé�nition)

2. Propriétés du champ électromagnétique

Changement de référentiel pour le champ électromagnétique : (dé�nition)

3. Force et énergie électromagnétiques volumiques

Densité volumique de force (dé�nition)

Densité volumique de puissance : (dé�nition)

Densité volumique d'énergie électromagnétique (dé�nition)

II- Conducteurs ohmiques en régime permanent

1. Loi d'Ohm

Loi d'Ohm locale (dé�nition)

2. E�et Joule

3. E�et Hall

spé PC page n◦ 1 Janson de Sailly


Techniques à maîtriserjeudi 26 janvier 2017

I- Les capacités exigibles

1. Mouvements de particules chargées

Évaluer les ordres de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à ceux des forcesgravitationnelles.Savoir qu'un champ électrique peut modi�er l'énergie cinétique d'une particule alors qu'un champ ma-gnétique peut courber la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule.Mettre en équation le mouvement dans un champ électrostatique homogène ou un champ magnétosta-tique homogène. E�ectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d'une particule chargée accéléréepar une di�érence de potentiel.

ce qu'il faut savoir faire capacités

2. Forces volumiques

Déduire du modèle (force −m~vτ ) un ordre de grandeur de τ et en déduire un critère de validité du modèleen régime variable. Déduire du modèle un ordre de grandeur de v et en déduire un critère pour savoirs'il convient de prendre en compte un éventuel champ magnétique.Interpréter qualitativement l'e�et Hall dans une géométrie rectangulaire.Exprimer la puissance volumique dissipée par e�et Joule dans un conducteur ohmique.

ce qu'il faut savoir faire capacités

II- Méthodes


Pour les mouvement dans un champ ~E, tout se passe comme dans le cas de la chute libre.Pour les mouvement dans un champ ~B, il faut utiliser le théorème de l'énergie cinétique et le repère deFrénet.Pour les mouvement dans un champ ~E et un champ ~B, il faut se placer dans le référentiel où le champ~E est nul.

A) Mouvements de particules chargées méthode


On prend comme système un électron. Il subit :

• l'action de l'agitation thermique et des défauts du réseau �xe (les ions) sous la forme d'une forcephénoménologique de la forme −m~vτ où τ est le temps caractéristique de relaxation des électrons ;

• l'action du champ électromagnétique sous la forme de la force de Lorentz : −e ~E − e~v ∧ ~B.

B) Interaction dans un conducteur ohmique méthode



• le poids est négligeable.

La densité volumique de courant peut s'écrire ~j = ne (−e)~ve.

III- Exercices


1.1) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme et homogène

On considère une particule chargée (de charge q, de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine durepère (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x.~ux + v0y.~uy.

1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ électrique homogène et permanent ~E = E0.~uy ;

Il s'agit de l'équation d'une parabole : y = q.E0

2.m.v20xx2 +

v0yv0x

x.

1.2) Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme et homogène


1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ magnétique homogène et permanent ~B = B0.~ux ;

Le mouvement total est un mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique.

1.3) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique et un champ magnéto-statique uniformes et homogènes et orthogonaux


1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à : un champ électromagnétique homogène et permanent~E = E0.~uy et ~B = B0.~ux.

Mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, conjugué à une vitesse de dérive).

1.4) Cyclotron de Lawrence

Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L'appareil avait un rayonR = 14cm et communiquait à des protons (de charge e = 1, 6.10−19C et de masse m = 1, 67.10−27kg) uneénergie cinétique Ec = 1, 2MeV . La di�érence de potentiel était ∆V = 4000V au moment du passage dufaisceau entre les dees.

1) Quelles étaient :1.a) la vitesse maximum des protons ?1.b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ?1.c) la fréquence du champ accélérateur ?1.d) le nombre de tours décrits par les protons ?1.e) le champ magnétique ?

1) On détermine :1.a) la vitesse maximum : vmax = 1, 52.107m.s−1

1.b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser : U = 1, 2MV1.c) la fréquence du champ accélérateur : f = 17, 3MHz1.d) le nombre de tours décrits par les protons : n = 150tours1.e) le champ magnétique : B = 1, 13T .



1.5) Expérience de J.J.Thomson (1897)

1) Un faisceau d'électrons homocinétiques de vitesse ~v = v0.~uz est détecté sur un écran (plan xOy) en O.Il transite dans une zone Z qui a une taille a le long de l'axe Oz, petite devant la distance D entre l'écran et Z.

1.a) Déterminer le temps ∆t pendant lequel le faisceau transite dans Z.2) On dévie ce faisceau d'électrons à l'aide d'un champ électrique ~E = −E0.~uy règnant dans Z, uniforme

et indépendant du temps, et on mesure la déviation y du spot sur l'écran.2.a) Déterminer la projection de la vitesse ∆vy suivant ~uy des électrons au sortir de Z, en fonction de

y, D et v0.2.b) De même, déterminer ∆vy en fonction de e

m , E0 et ∆t.

3) En�n, on établit en plus dans Z un champ magnétique ~B = B0.~ux, uniforme et indépendant du temps.On règle la valeur de B0 de manière à ce que le spot soit ramené en O.

3.a) Exprimer alors l'expression de B0 en fonction de E0 et v0.3.b) En déduire l'expression de la charge massique e

m de l'électron en fonction des grandeurs intervenantdans l'expérience : y, a, D, B0 et E0.

1) Transit dans Z1.a) ∆t = a

v0.

2) Champ électrique ~E = −E0.~uy :2.a) ∆vy = y.v0

D .2.b) ∆vy = e

mE0.∆t.

3) Champ magnétique ~B = B0.~ux et champ électrique ~E = −E0.~uy :3.a) B0 = E0

v0.

3.b) En remplaçant, on trouve :e

m=

y.E0

D.a.B20

1.6) Spectrographe de Bainbridge

Dans le spectrographe de Bainbridge, les ions de masse m et de charge q sortant d'un ioniseur sont préala-blement accélérés sous une tension de valeur absolue U = 10kV qui leur impose une vitesse ~v = v0.~uz.

1) Déterminer la vitesse v0 du cercle décrit par un ion.Ils pénètrent ensuite en O dans une zone (z > 0) où règne un champ magnétique ~B = B0.~uy uniforme et

indépendant du temps (B0 = 0, 10T )2) Déterminer le rayon R du cercle décrit par un ion.3) Deux isotopes viennent impressionner une plaque photographique dans le plan xOy.

3.a) Déterminer la distance x séparant les traces laissées par sur la plaque.3.b) Application numérique pour les isotopes 39K+ et 41K+.

1) v0 =√

2.q.Um .

2) R = m.v0q.B0

.3) Deux isotopes :

3.a) x = 2√

2.Uq.B2

0

(√m2 −

√m1

).

3.b) Application numérique : x = 4, 6cm.

1.7) Mesure expérimentale de em

Des électrons (de masse m et de charge −e) préalablement accélérés par une di�érence de potentiel u =2, 5kV , décrivent dans une ampoule où règne un vide poussé une trajectoire circulaire de rayon R = 3, 3cm.Le champ magnétique créé par les bobines de Helmoltz, est quasi uniforme et sa valeur numérique égale àB = 5, 1mT .

1) Exprimer la vitesse v0 des électrons en fonction de m, e et u.2) Relier le rayon R de la trajectoire des électrons à v0, m, e et B.3) En déduire le rapport e

m en fonction de u, R et B.4) Comparer à la valeur théorique : e = 1, 6.10−19C et m = 9, 1.10−31kg.



1) v0 =√

2.e.um .

2) R = m.v0e.B .

3) Expérimentalement : em = 2.u

R2.B2 = 1, 77.1011C.kg−1.4) Théoriquement : e

m = 1, 76.1011C.kg−1.

1.8) Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons

Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par unefente supposée très �ne dans la région y > 0 où règne un champ électrique uniforme ~E = E.~ey. Ce faisceau,dans le plan (xOy) fait un angle α ∈

]0; π2

[avec ~ex.

1) Déterminer l'équation paramétrique du mouvement :1.a) x(t) ;1.b) y(t).

2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0.Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈

[α0 − ∆α

2 ;α0 + ∆α2

]).

3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S.

1) Equation paramétrique du mouvement :1.a) x(t) = v0. cos(α).t ;1.b) y(t) = v0. sin(α).t− e.E.t2

2.m .

2) xs =m.v20e.E sin

(α2

).

3) α0 = π4 .

1.9) Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons

Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par unefente supposée très �ne dans la région y > 0 où règne un champ magnétique uniforme ~B = −B.~ez. Ce faisceau,dans le plan (xOy) fait un angle α ∈ ]0;π[ avec ~ex.

1) Déterminer les caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement :1.a) son rayon R ;1.b) la position de son centre C.

2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0.Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈

[α0 − ∆α

2 ;α0 + ∆α2

]).

3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S.

1) Caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement :1.a) R = m.v0

e.B ;1.b) xC = R. sin(α) = m.v0

e.B sin(α) et yC = −R. cos(α) = −m.v0e.B cos(α).2) xs = 2.m.v0

e.B sin(α).3) α0 = π

2 .


2.10) Justi�cation microscopique de la loi d'Ohm

On s'intéresse à un électron de vitesse ~v plongé dans un champ électrique ~E0 et subissant de la part des ionsdu réseau métallique une force équivalente à une force de frottement �uide ~fi→e = −λ.~v.

1) Déterminer la vitesse ~v.La densité des électrons est ne.

2) Montrer que la densité volumique de courant suit la loi d'Ohm locale. On exprimera la conductivité γ.

γ = n.e2

λ .



2.11) Justi�cation microscopique de l'e�et Hall

Soit une plaquette conductrice (de conductivité γ, de densité d'électrons n), parallélipipédique, de côté asuivant x, b suivant z et de longueur L selon z. On y fait circuler un courant I, grâce au champ électrique~E0 = E0.~ux.

1) Déterminer la vitesse moyenne des électrons en fonction de I et des caractéristiques de la plaquette.On applique un champ magnétique ~B = B.~uz.

2) Montrer qu'en régime stationnaire, existe un champ de Hall ~EH qu'on déterminera en fonction de I etB et des caractéristiques de la plaquette.

3) En déduire alors la tension de Hall UH d'un bord à l'autre de la plaquette.

UH = I.Bn.e.b .

2.12) E�et Hall dans une plaquette semiconductrice d'arséniure d'indium

Une sonde de Hall, à arséniure d'indium (InAs), d'épaisseur b = 1, 0mm suivant (Oz) et a suivant (Oy) estparcourue par un courant I = 15mA suivant (Ox). On suppose que la conduction est assurée par des électronslibres de charge −e = −1, 6.1019C, de densité ne.

1) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de I, a, b, ne et e.Plongée dans un champ magnétique B = 66mT suivant (Oz), la plaquette présente une tension de Hall

UH = 1, 0mV suivant (Oy).2) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de UH , a, et B.3) En déduire le nombre de porteurs de charge ne par unité de volume dans le matériau. Application

numérique.

ne = 6, 2.1021m−3.

2.13) E�et Hall dans une plaquette conductrice de cuivre

Une plaquette de cuivre d'épaisseur b = 0, 5mm suivant (Oz) et a = 1, 5cm suivant (Oy) est parcouru, selon(Ox), par un courant I = 60A.

On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres de charge−e = −1, 6.1019C, de densité ne eton donne la conductivité : γ = 58.106S.m−1 et la constante de Hall du cuivre : AH = 1

ne.e= −5, 3.10−11m3.C−1.

1) Exprimer le champ électrique Ex assurant la conduction.La plaquette de cuivre est maintenant soumise à l'action d'un champ magnétique ~B = B.~ez avec B = 2, 5T .2) Calculer le champ de Hall Ey.3) Quel est l'angle θ (qu'on exprimera en degré, minute et secondes) que fait le champ électrique total ~Etot

avec la direction (Ox) ?

Ex = 0, 14V.m−1, Ey = 1, 1mV.m−1, θ = 26′.



Travaux dirigésvendredi 27 janvier 2017

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

La vitesse des électrons

Le déplacement des électrons dans les �ls électriques permet la conduction ducourant

Enoncé

1) Evaluer l'ordre de grandeur de la vitesse moyenne des électrons dans un �l électrique.



Devoir non surveillévendredi 27 janvier 2017

Le document est à lire, l'exercice est à rendre.

La spectroscopie de masse

Disponible à l'adresse "www.icsn.cnrs-gif.fr/IMG/pdf/chapitre2.pdf".

Comment fonctionne un spectrographe de masse ?

L'information primordiale apportée par la spectrométrie de masse, à savoir la valeur de m/z des particuleschargées, découle de l'analyse d'un phénomène unique : la déviation de ces ions par des champs électromagné-tiques. C'est d'ailleurs par la mise en évidence de l'e�et de champs électriques et magnétiques sur la trajectoired'un faisceau de particules émises par des dé arges électriques dans un tube à faible pression que Wien pudémontrer, en 1898, leur nature ionique.

Avant d'aborder la description des analyseurs de masse dans la suite, une mise au point doit être faite ausujet d'un facteur instrumental important : la résolution.Qu'est-ce que la résolution ?La résolution est la capacité d'un instrument de mesure à distin-

guer entre eux deux signaux voisins. Plus la résolution est élevée, plusla di�érence entre deux signaux distincts est faible sur le paramètremesuré. En spectrométrie, la résolution correspond également à la �-nesse des pics. A chacune de ces dé�nitions correspond un mode decalcul particulier. En considérant le pouvoir séparatif, on peut dé�nirla résolution en spectrométrie de masse comme le rapport m/∆m oùm est la masse d'un ion considéré et ∆m la di�érence minimale entrele pic considéré et son voisin le plus proche dont il peut être distingué.Selon cette dé�nition, un instrument qui est en mesure de distinguerdes ions de masses 100 et 100,1 possède une résolution de 100/(100,1 ?100) = 1000.Analyseur à temps de vol (Time-of-Flight, TOF)

Dans son principe, l'analyseur à temps de vol est le plus simplede tous. C'est Dempster (1918) qui, le premier, introduisit l'usage defaisceaux monoénergétiques en appliquant une di�érence de potentiel(V0) à la sortie de la source d'ions. Cette tension confère une énergiecinétique au faisceau ionique ( 1

2mv2) homogénéisée à la valeur z V0 :

1

2mv2 = z V0 (1)

Cette simple égalité "contient" le rapport m/z que l'on peut déduire directement de la vitesse v, donc dutemps t (temps de vol) que met un ion à franchir une distance �xe d.

m

z= 2V0

t2

d2(2)

Ainsi, après l'accélération due à V0, les ions "volent" d'autant plus vite qu'ils sont plus légers. Les analyseurs àtemps de vol mesurent donc le temps que mettent les ions à franchir une distance �xe. Le temps �nal correspondà l'arrivée sur le détecteur, le temps initial t0 étant déterminé de manière di�érente selon les appareils et lemode d'ionisation mis en ÷uvre. La qualité du résultat dépend de celle de la mesure de temps très courts (del'ordre de la microseconde) ce qui explique que cette instrumentation s'est développée parallèlement aux progrèsde l'électronique et de l'informatique.

Théoriquement, l'analyse par temps de vol ne pose pas de limite à la masse des ions. Par ailleurs, du faitqu'aucun balayage de masse n'est e�ectué, elle présente l'intérêt de détecter tous les ions produits d'où mie



très grande sensibilité des expériences. En ce qui concerne la résolution, celle-ci est dé�nie par la distributiondu temps de vol d'une population d'ions de même masse. Di�érents facteurs sont susceptibles d'altérer cetterésolution, notamment la distribution des énergies cinétiques initiales des ions au sortir de la source et ladispersion angulaire du faisceau ionique. La mise au point de l'extraction retardée, qui consiste à homogénéiserles énergies cinétiques des ions dans la source avant leur injection dans l'analyseur, a grandement amélioréles performances instrumentales. 11 en est de même de l'interposition de miroirs électrostatiques sur le trajetionique. Ces miroirs, appelés aussi "ré�ectrons" compensent les di�érences de vitesse pour une valeur de ni/zdonnée en imposant des trajets à parcourir d'autant plus longs que les ions sont plus rapides. Ils permettentaussi de s'a�ranchir des espèces neutres formées par dissociation métastable qui, en l'absence de ré�ectron,contribuent au signal des espèces ioniques dont elles sont issues et le dégradent. Désormais, les résolutionsobtenues sur les instruments à temps de vol modernes peuvent atteindre environ 20000 en routine dans unegamme de masse compatible avec l'utilisation du ré�ectron (m/z < 10 000).Analyseur magnétique

La propriété des aimants à dévier les trajectoires ioniques d'abord mise à pro�t par Thomson (1913) puispar Aston (1919) à des �ns d'analyse de matériaux gazeux, ce qui permit à Thomson, après la découverte del'électron qui lui valut le prix Nobel, de prouver que certains éléments stables pouvaient exister sous di�érentesformes isotopiques.

Aston construisit ensuite ce qu'il dé�nit lui-même comme un "spectrographe de masse" (cf. ci-dessous). Surcet appareil étaient disposés, sur le trajet d'un faisceau issu du tube de décharge, deux fentes �nes (S1, S2) puisun champ électrique homogène (P1, P2) et en�n, après un diaphragme (D), un champ magnétique sur le planfocal duquel était placée une plaque photographique (plan G-B). L'obtention de raies distinctes pour des corpsde masses di�érentes se déduisait simplement de l'équation de déviation de particules chargées dans un champmagnétique.

Pour une particule de masse m et de charge q, possédant par surcroît une certaine énergie cinétique (Ec =1/2mv2), la force centripète due au champ magnétique B et la force centrifuge qui l'équilibre font adopter à laparticule incidente une trajectoire circulaire uniforme de rayon r : d'où :

q v B =mv2

r(3) et r =

mv

q B(4)

L'architecture choisie par Aston (direction inverse des champs électriques et magnétiques) permettant de réduirela dispersion initiale de la vitesse v des ions issus de la source, y pouvait être considérée comme à peu prèsconstante et donc le rayon de la trajectoire comme directement proportionnel à m/q.

L'imposition par Dempster d'une tension d'accélération V0 en sortie de source (voir plus haut) se �t sur uninstrument qui imposait à la fois le rayon de la trajectoire des ions (r �xe sur un demi-cercle de trajectoire) etla valeur du champ magnétique. Des équations (1) et (3) on peut en e�et déduire facilement l'égalité suivante :

m

q=B2 r2

2V0(5)

Par conséquent, en faisant varier le seul potentiel d'accélération V0, Dempster était en mesure de détecter



sélectivement des espèces de di�érentes valeurs de rapport m/q. Cette expérience lui permit, entre autres, decaractériser les isotopes des ions lithium, potassium, magnésium, calcium et cadmium.

L'intérêt, évident si l'on considère ce qui pré-cède, de disposer d'un faisceau monoénergétiqueprovient de la capacité à mesurer des valeurs dem/q non plus par la position d'une raie sur uneplaque photosensible, avec tous les défauts de ré-solution que cela peut poser (dispersions en vi-tesse et en énergie cinétique), mais de calculer, àpartir d'une valeur de potentiel variable, les va-leurs de m/q qui correspondent à la réception d'unsignal. D'une certaine façon, on peut considérerque Dempster a introduit l'idée de réaliser desspectres en balayant des tensions. Qu'il s'agissede balayages de V0 ou de B, la résolution du si-gnal dépendra du fait que les autres paramètres del'équation (5) seront réellement constants (c'est àdire avec le minimum de dispersion). C'est la rai-son pour laquelle on peut faire appel à l'e�et deschamps électrostatiques sur la trajectoire des par-ticules chargées. Si un ion incident de vitesse v, demasse m, et de charge q, subit l'e�et d'un champélectrostatique E, il adoptera une trajectoire circu-laire uniforme telle que la force centrifuge équilibrela force centripète :

mv2

r′= qE (6) d'où : E =

2Ecq r′

(7)

En conséquence, l'ajout d'un champ électro-statique sur le trajet ionique joue le rôle de �ltred'énergie cinétique à la condition que r′ demeureconstant (on impose r′ par construction du tubede vol). Par ailleurs, si le faisceau ionique est préa-lablement accéléré par une di�érence de potentielV0, ce qui est généralement le cas, le paramètre q n'intervient plus dans l'équation. En intégrant l'équation (1)dans l'égalité (5), on obtient en e�et :

E =2V0

r′(8)

L'asservissement de E à V0 permet donc de �ltrer des ions de même énergie cinétique et ce, indépendamment deleur charge. Dans certains cas, un champ E a été utilisé pour réaliser des �ltres de vitesse (et non plus d'énergiecinétique). Si l'on parvient, en e�et, à faire en sorte qu'un champ magnétique s'exerce dans un sens opposé auchamp électrostatique, il faudra que leurs forces s'équilibrent pour qu'un faisceau incident ne subisse aucunedéviation. C'est le principe du "�ltre de Wien" :

q v B = q E (9) soit v =E

B(10)

Dans ce cas, l'imposition d'un rapport E/B particulier permet de dé�nir la vitesse v des espèces ioniques issuesde la source. C'est ce que Bainbridge mis en ÷uvre en 1933 pour obtenir une échelle linéaire des masses enfonction du rayon des trajectoires ioniques, amélioration importante du travail initial d'Aston.

Enoncé

Démontrer toutes les équations numérotées du document.


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