Françoise Krasucki Institut de Mathématiques et de ......Les plaques : dalles, murs, tabliers de ponts, éléments de carrosserie…. Ce sont des coques dont la surface moyenne est

Françoise Krasucki

Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier

Département d’enseignement Mécanique de l’UFR de Sciences de l’UMII

Résistance des Matériaux:

Ensemble de théories simplifiées appliquées à des Milieux Continus, basées

sur la géométrie des solides que l ‘on considère.

Objectifs

Résoudre les problèmes - type de l’ingénieur : Une pièce doit supporter une

sollicitation donnée ou remplir une fonction donnée. Comment concevoir cette

pièce (forme, dimension, matériau, …) pour qu’elle puisse le faire dans les

meilleurs conditions de sécurité et d’économie ?

Part

ie 1

: I

ntro

duc

tion

Difficultés :

Dans la plupart des cas il est nécessaire de faire un calcul numérique (code de

calculs)

En MMC :

On considère une pièce donnée (géométrie, matériau) soumise à une

sollicitation donnée.

On détermine la répartition des contraintes et des déformations.

1. Mécanique Milieux Continus ou RDM ?

Coût pour les petits bureaux d’études.

C’est souvent trop demander : on ne connaît que globalement les efforts appliqués

On doit avoir la répartition de tous les efforts appliquées sur les bords de la structure

Part

ie 1

: I

ntro

duc

tion

1. Mécanique Milieux Continus ou RDM ?

Avantages de la MMC:

Approche plus rigoureuse.

Calculs de structures quelque soit la géométrie.

Résultats précis sur la répartition des efforts intérieurs

Prise en compte de lois de comportement modélisant des phénomènes complexes

(plasticité, endommagement, rupture,grandes déformations…)

Part

ie 1

: I

ntro

duc

tion

Les coques : Réservoirs sphériques, cylindriques, tours de réfrigération,

coupoles…

Ce sont des structures pour lesquelles une dimension est petite par rapport aux

deux autres (l’épaisseur).

2. Quelles sont les structures concernées?

Les plaques : dalles, murs, tabliers de ponts, éléments de carrosserie….

Ce sont des coques dont la surface moyenne est plane.

Les poutres droites ou courbes :

Ce sont des structures dont deux dimensions sont petites par rapport à la

troisième.

Part

ie 1

: I

ntro

duc

tion

Partie 2: Statique

1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutresPa

rtie 2

: Sta

tiqu

e

Définitions : La fibre moyenne est le

lieu des centres de gravité des

sections.

La section droite est la

section perpendiculaire à la ligne

moyenne.

Comment tenir compte de l’aspect élancé de ce type de structures?

Le solide 3 D est assimilé à un milieu 1D : on concentre chaque section droite en un

point. On perd des informations mais on obtient des équations plus simples. Les

quantités que l’on recherche deviennent des fonctions d’une variable.

Part

ie 2

: Sta

tiqu

e

1x

G

La poutre est d’un point de vue géométrique une courbe

d’équation : . où s est l’abscisse curviligne.( )OG x s

1x

est le vecteur unitaire tangent défini par :

1

dOG

dx

s

1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutres

Part

ie 2

: Sta

tiqu

e

Hypothèses fondamentales de la

RDM :

Hypothèse des Petites

Perturbations.

Hypothèse de Saint Venant

Hypothèse de Navier Bernoulli

HPP : La poutre s’écarte peu de la configuration de référence. On assimile la

configuration de référence et la configuration déformée.

Saint Venant : Tous les efforts sont schématisés par leur torseur résultant.

On ne connaît pas la répartition des efforts en chaque point de la section mais

seulement leur moyenne et la moyenne des moments en un point.


Part

ie 2

: Sta

tiqu

e

Navier Bernoulli : Les sections restent planes et normales à la

fibre moyenne.

Cette hypothèse ne porte pas sur les efforts et sera étudiée dans

la partie 3.

Avant déformation

Après déformation

D’autres modèles sont utilisés, ne respectant pas cette

hypothèse


2. Schématisation des efforts dans une poutrePa

rtie 2

: Sta

tiqu

e

Poutre à section en I.

On note O le centre de la section.

On note h sa largeur et sa hauteur.

F

F

Est équivalent

pour la RDM

F

2

F

2

F

3( )efforts sur la section

F

M O Fhe

T

2. Schématisation des efforts extérieurs dans une poutrePa

rtie 2

: Sta

tiqu

e

1

0

1

0

( )

( ) ( ) ( )

s

s

s

s

f s ds

M O OG s f s ds

eff. exterieursT

Densité linéique d’efforts

Efforts ponctuels

F

s1

s0

f

G*

1x s*

*( )

F

M O OG F

eff. exterieursT

2. Schématisation des efforts extérieurs dans une poutrePa

rtie 2

: Sta

tiqu

e

Liaisons usuelles :

point de contact

F

M

l iaisonT Encastrement :

Point de contact0

F

M

l iaisonT Rotule sphérique :

3 inconnues de liaison


Dans le cas des poutres chargées dans leur plan on a :

3 point de contact

F

M x



point de contact

F

O

l iaisonT Articulé = Rotule : 2 inconnues de liaison

1

point de contact

. 0F x

O

l iaisonT Appui simple : 1 inconnue de liaison

3. Torseur des efforts intérieurs (torseur de cohésion)Pa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Partie P+ : s >s0

On oriente la poutre

Partie P- : s <s0

Section S0 :s=s0

Par convention on définira les

efforts intérieurs comme les efforts

exercés par la partie P+ sur la

partie P-

Schématisation poutre (hypothèse de

Saint Venant)

0

.

0( )eff int

R s

M s

T

Représentation des efforts par un

torseur :

3. Torseur des efforts intérieurs (torseur de cohésion)Pa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Equilibre de la poutre P:. . .

0+ -eff ext P eff ext P eff ext PT T T

Partie P+ : s >s0

Partie P- : s <s0

Section S0 : s=s0

Equilibre de la partie P+:.

0+ +eff ext P P PT T

Equilibre de la partie P-:.

0- -eff ext P P PT T

En sommant (2) et ( 3) et compte tenu de (1) on a :

0 -+-+ P P P PP P P PT T T T

4. EquilibrePa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Section S0 : s=s0

Section S1 : s=s1

On s’intéresse à l ‘équilibre de la partie de poutre comprise entre S0 et S1, en

supposant qu’il n’y a pas de charges ponctuelles et sous l’effet d’une charge

répartie f

s1

s0

f

Bilan des efforts :

Les actions de la partie {s>s1} en s1

Les actions de la partie {s<s0} en s0

La densité linéique f

4. EquilibrePa

rtie 2

: S

tatiqu

e

s1

s0

f

Bilan des efforts :



La densité linéique f

P. F. S. Théorème de la résultante :

1

0

1 0 0

s

s

f s ds R s R s

1

0

0 10, ,

s

s

d R sf s ds s s

ds

D’où : 0d R s

f sds

4. EquilibrePa

rtie 2

: S

tatiqu

e

P. F. S. Théorème du moment en un point O

quelconque :

1

0

1 1 1 0 0 0( ) ( ) 0

s

s

f s G s Ods M s R s G O M s R s G O

1

0

0 1( ) ( ) 0, ,

s

s

d df s G s O M s R s G s O ds s s

ds ds

D’où :1 0

d M sx R s

ds

G1

Or :

1

( )( ) ( )

( )( )

d R sd dG s OR s G s O G s O R s

ds ds ds

G sf O ss R x

G0

s1

s0

f

G0

1x

4. EquilibrePa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Bilan des efforts :



La densité linéique

La force ponctuelle F

P. F. S. Théorème de la résultante :

1

0

1 0( ) 0

s

s

f s ds R s R s F

** * 0

sR s R s F R F

D’où :

*

=0

0 *

pour s de part et d'autre de s

en ss

d R sf s

ds

R F

En faisant tendre les abscisses curvilignes vers s* , on a:

F

s1

s0

f

G0

1x s*

4. EquilibrePa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Définitions:

1NxR T

1torsio flexin onM xM M

G2x3x

1x

1 2 3,; ,x xG x

Base locale

Effort normal

Effort tranchant

Moment de torsion

Moment fléchissant

Torsion

Flexion

4. EquilibrePa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Récapitulatif :

*

=0

0 *

pour s de part et d'autre de s

en ss

d R sf s

ds

R F

1 0d M s

x R sds

Lorsque l’on va dériver le vecteur il faudra dériver le vecteur

tangent sauf dans la cas de la poutre droite où ce vecteur est constant! (idem

pour les moments)

1R Nx T

4. EquilibrePa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Conditions aux extrémités de la poutre:

1

1

*

*

F

M

R s s

M s s

s1

f

*F

*M

s0

F

**M

En s=s1, l’extérieur est situé pour les s>s1

En s=s0, l’extérieur est situé pour les s<s00

0 **

R s s

M

F

Ms s

4. Equilibre: poutres droites chargées dans leur planPa

rtie 2

: S

tatiqu

e

Exemple de la traction :

+ g =0

N(x=L)=F

dN

dx =0

( ) 0

0

( ) 0

f

f

dT

dx

T L

dMT

dx

M L

0

( ) 0t

tdM x

dx

M L

1 Fx

1 gx

2x

Choix des axes: 1 2 3 1 2 2, , ; //x x x x x x T

On suppose que la poutre reste dans le plan 1 2( , )x x

On note x la variable sur l’axe de la poutre


rtie 2

: S

tatiqu

e

+ g=0( ) ( )

N(x=L)=F

dN

N x g x L Fdx

=0 ( ) 0

( ) 0

0 0( ) 0

( ) 0

f

f

dT

T xdx

T L

dM

M xdx

M L

00,0

( ) 0t

t

t

dM x

M x x Ldx

M L

1 Fx

1 gx

2x

Part

ie 2

: S

tatiqu

e

Autre exemple en traction :

=0 ( )=dN

N x ρgx+Constantedx

g1 gx

2x

On ne connaît pas la valeur de N sur une des extrémités, on ne peut donc pas

déterminer la solution. On a besoin de relations supplémentaires, données par la loi

de comportement.

4. Equilibre: poutres droites chargées dans leur plan


rtie 2

: S

tatiqu

e

Exemple de la flexion :

=0

N(x=L)=0

dN

dx

- g =0

( )

0

( ) 0

f

f

dT

dx

T L F

dMT

dx

M L0

( ) 0t

tdM x

dx

M L

Choix des axes: 1 2 3 1 2 2, , ; //x x x x x x T

On suppose que la poutre reste dans le plan 1 2( , )x x

On note x la variable sur l’axe de la poutre

2x

2 Fx

2 gx


rtie 2

: S

tatiqu

e

=0( ) 0

N(x=L)=0

dN

N xdx

2

2

- =0 =0

0 0

( ) ( )

( ) 0( ) 0

f

f f

f

f

f

dMdTg T

dx dx

dM d MT g

dx dx

dMT L F L F

dxM L

M L

00,0

( ) 0t

t

t

dM x

M x x Ldx

M L

2)

( ) ( ); ( ) )2

f

(x LM x g F x L T x g(x L F

2x

2 Fx

2 gx

Partie 3: Déformations

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

Hypothèses fondamentales de la

RDM :

Hypothèse des Petites

Perturbations.

Hypothèse de Saint Venant

Hypothèse de Navier Bernoulli

HPP : La poutre s’écarte peu de la configuration de référence. On assimile la

configuration de référence et la configuration déformée.

Saint Venant : Tous les efforts sont schématisés par leur torseur résultant.

On ne connaît pas la répartition des efforts en chaque point de la section mais

seulement leur moyenne et la moyenne des moments en un point.


Navier Bernoulli : Les sections restent planes et normales à la fibre moyenne.

Navier Bernoulli : Les sections restent planes et normales à la

fibre moyenne.

Avant déformation

Après déformation

D’autres modèles sont utilisés, ne respectant pas cette

hypothèse

1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutresPa

rtie 3

: Défo

rmation

s

2. Schématisation du déplacement dans une poutre

1x

est le vecteur unitaire tangent.

1x

G

Chaque point G (d’abscisse curviligne s ) de la ligne moyenne représente une

section droite.

Hypothèse simplificatrice sur la non déformation des sections (Navier Bernoulli)

Le déplacement est caractérisé par un torseur :

( )

( )

s

u s

cinémT

Translation de la section

Rotation de la section droite

GP

( ) ( ) ( )u P u G s GP

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

( ) ( ) ( )u P u G s GP

La déplacement en tout point d’une section est donné

par :

3. Schématisation des déformations dans une poutre

1x

est le vecteur unitaire tangent.

1x

G

La déformation est caractérisée par un torseur :

GP

1

( )

( )

ds

ds

dus x

ds

déformationT

Allongement

Distorsion

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


1 1

1 1

( (( )

( )

) )

() )(

T

T

s

xs

s x

s

s

s

11( ) ( ) ( )Tu s u ss x u

: Décomposition de la translation, de la rotation et de la déformation :

1x

G u1

Tu

( )u G

11

11 1

( ) ; ( )

( ) ; ( ) ( )

TT

TT T

d ds s

ds ds

du dus s x

ds ds

1x

G

T

1u

1 1( ) ( ) ( )Ts s x s Pa

rtie 3

: Défo

rmation

s


Par définition, on a1( )

ds

dx

Interprétation physique dans le cas des poutres droites: cas de 1

La section a tourné d’un angle d autour de l’axe de la poutre

C’est la rotation suivant l’axe, par unité de longueur. Cela caractérise la

TORSION

d

ds

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

Torsion


représente la variation par unité de longueur des angles de rotation de

la section droite autour d’un axe perpendiculaire à l’axe de la poutre 2 ( )

ds

dx

Interprétation physique dans le cas des poutres droites: cas de 2 et 3

Dans le cas de la flexion autour d’un axe perpendiculaire à la poutre, la section

a tourné d’un angle d autour de cet axe.

2 et 3

caractérisent la FLEXION

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


Le premier terme représente l’angle dont tourne le vecteur

tangent. Le second terme représente l’angle dont a tourné

la section.

212

2( )

dux x

dx

Interprétation physique dans le cas des poutres droites : cas de 2 et 3

1 caractérise la TRACTION

représente l’allongement par unité de longueur.1

1( )du

xdx

NAVIER BERNOULLI : = 3 =0

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


212

2( )

dux x

dx

Conséquence de l’hypothèse de Navier Bernoulli dans les poutres droites

NAVIER BERNOULLI : = 3 =0

2 21 3

2

3 31 2

3

0

0

du dux

dx dx

du dux

dx dx

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

4. Loi de comportement élastique

Hypothèses :

matériau homogène, isotrope (E, ),élastique linéaire

Variation continue et lente (ou nulle) des sections droites S

Poutre élancée (le rapport de la longueur et du diamètre est d’au moins 8)

1 2 3; , ,G x x x

Choix des axes et du repère: ; axes

principaux géométriques de la section.

2 3,x x

Objectif : écrire le lien entre les efforts dans la poutre et les déformations, en

essayant de retrouver le plus possible des résultats analogues à ceux que

l’on a dans des cas simples de la théorie 3D.

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


Cette solution correspond à la solution exacte du problème 3D.

1( )sES

N

Traction Simple :

2 3 1 2 3 0

Module d’Young

Effort normal

Aire de la sectionAllongement longitudinal

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


2

2

2

( )flex

I

Ms

E

Flexion simple :

1 2 3 1 03

3

3

( )flexM

sEI

Moment de flexion

Module d’Young

Moment d’inertie/axe x2

Cette solution correspond à la solution exacte du problème 3D.

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


1

1( ) tors

I

Ms

Torsion

1 2 3 2 3 0

Moment de torsion

Module de glissement

Moment d’inertie

Cette solution ne correspond pas à la solution exacte du problème 3D.

Elle ne prend pas en compte le gauchissement des sections. Pour cela

il faudrait prendre en compte 2 et que la théorie de Navier Bernoulli

considère comme nuls.

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


NB. On ne sait pas relier l’effort tranchant à une déformation dans la théorie

de Navier Bernoulli. On a remplacé ce lien par la condition :

1( )sES

N 2

2

2

( )flex

I

Ms

E

3

3

3

( )flex

I

Ms

E1

1( ) tors

I

Ms

2 3 0

Récapitulatif dans le cas des poutres droites :

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

Traction :

1

1 =0 dN x

dx

duN ES

d

f

x

x

1 0; 0fle

fle fle

d M x dT xx T x

dx dx

dM x EI

d

f x

x

4. Equations des poutres droites élastiques (récapitulatif)

Flexion :

11

0tors

tors

dM x

dx

dM x I

dx

Torsion :

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

Traction :

1

1 =0 dN

dx

duN ES

d

f

x

x

4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli

2

11

2

1

=0 d u

ESdx

duN ES

dx

f x

Conditions aux limites

A chaque extrémité, elles portent :

Soit sur u1

Soit sur N (et donc sur la dérivée de u1)

Principe général : Ou l’on sait ce que l’on veut faire, ou l’on sait ce que l’on veut obtenir !

C’est N C’est u1

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

Exemple en traction :


2

1

2

1

1

0

(0

( )

0)

( )

d uES

dx

u

du LN L ES

dxF

g

1 Fx

1 gx

2x

1 ( )2

( ) ( )

F

E

xu L x x

ES

N x

g

g

S

Fx L

2

11 =

2

du xES gx A ESu g Ax B

dx

1(0) 0 0Bu

1( )= ( )du

N L F ES Ldx

gL A F A F gL

Part

ie 3

: Défo

rmation

s



1 ( )2

( ) ( )

Fx

u L x xES

N F

g

gx x L

Quelle est la valeur de la réaction due à l’encastrement?

0(0)N Lg F F

Remarque : elle ne dépend que du chargement et de la longueur de la poutre

1 Fx

1 gx

2x

Part

ie 3

: Défo

rmation

s



2

1

2

1

1

=0

(0)

( 0)

0

d uES

dx

u

u L

g

1 ( )2

( ) ( )2

u x L xES

LN x

g

g x

2

11 =

2

du xES gx A ESu g Ax B

dx

1(0) 0 0Bu

12

( ) 0g

u LL

A

1 gx

2x

0(0) ( )2 2

L

L LN N L F Fg g

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

Flexion:

2

3

2

2

3

2

23 3 3 2

0

NB

d M x

dx

d d uM EI EI

dx dx

f


4

23 4

2

23 2

2

3

=0 d u

EIdx

d uM EI

dx

f x

Conditions aux limites

A chaque extrémité, elles portent :

Soit sur u2, Soit sur T2

ET

Soit sur 3, Soit sur M3

Principe général : Ou l’on sait ce que l’on veut faire, ou l’on sait ce que l’on veut obtenir!

C’est M3 ou T2 C’est u2 ou w3

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


Exemple en flexion :2x

2 Fx

2 gxChoix des axes: 1 2 3 1 2 2, , ; //x x x x x x F

4

323

2

3 2

24

2

=0

(0) (

( ) 0;

0

)

0

(

; 0

)du

dMd uE

M L T L

I Td

udx

d

F

x xg

4 3 2

3 2 =24

gEI u x Ax Bx Cx D

22 (0) (0) 0 0D C

duu

dx

2 3

32 23 2 32 3( ) 0 ; ( )

dMd u d uM L T L F EI

dx dx dx2( )

;26 2

gL F LA B g FL

Part

ie 3

: Défo

rmation

s


Exemple en flexion : 2x

2 Fx

2 gx

2 24 3

3 2

22

3

2

( ) = ( )

24 6 2 2

( ) ( )2 2

( )

g gL F L xEI u x x FL g

g LM x gL F x FL g

T gx gL F

Au point d’encastrement :

2

3 0

2 0

(0) ( )2

(0) ( )

LM FL g M

T F gL F

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

2. Conditions cinématiques usuelles dans une poutre

Liaisons usuelles :

point de contact

0

0vT Encastrement :

Point de contact

( ) 0u s

vT Rotule sphérique :

Dans le cas des poutres chargées dans leur plan on a :

point de contact

0

0

u


point de contact

0u

l iaisonT Articulé = Rotule :

2 3

point de contact

0u ul iaisonT Appui simple :

Part

ie 3

: Défo

rmation

s

Exemple de résultats expérimentaux

http://www.si.ens-cachan.fr/ressource/r14/r14_poutre.htm

Partie 4: Méthodes Energétiques

1. DéfinitionsPa

rtie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

Objectifs (non exhaustif) :

Avoir des formulations qui permettront d’avoir facilement des

renseignements en certains points de la poutre sans les calculer en tous

points.

Connaître l’effet en certains points d’une variation du chargement.

Cadre général : le Principe des Travaux Virtuels

On va s’intéresser aux énergies mises en jeu lors de la déformation de la poutre

sous l’effet des sollicitations imposées.

1. Définitions

( ) (( . )).P v s sF s M s

( ). ( )f

Poutre

Ρ f s v s ds

Densité linéique de forces :

Forces et Moments ponctuels en s* :

Au total : ( ) ( ). ( ) (. )) (( .)Poutre

L v f s v s ds v sF Ms s s

Travail des efforts extérieurs L(v) : on applique la définition issue

de la Mécanique du Solide Rigide pour un déplacement de type

Navier Bernoulli, défini par:( )

( )

s

v s

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

1. Définitions

Energie élastique :

2 2 2 2

1 1 1 2 2 3 3

1( )

2Poutre

W v ES I EI EI ds

Exprimée en fonction des déformations (poutres droites) :

Exprimée en fonction des efforts intérieurs (poutres droites) :

2 222

32

1 2 3

1*

2

tors

Poutre

M MMNW ds

ES I EI EI

1 1

1.

2flextors T

Poutre

W N M M ds

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

1. Définitions

Energie potentielle : on la définit pour n’importe quel champ de type Navier

Bernoulli, respectant les conditions aux limites cinématiques (portant sur les

déplacements et les rotations)

( ) ( ) ( ). ( ) (0). .Poutre

v W v f s v s ds Fv ML

( ) ( ) ( )v W v L v

Energie élastique Travail des efforts extérieurs

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

MF

fExemple :

1. Définitions

Energie complémentaire : on la définit pour n’importe quel torseur T, vérifiant

l’équilibre et respectant les conditions aux limites statiques (portant sur les

efforts)

*( ) *( )WT T

* * *( ) ( ) ( )W LT T T

Energie élastique Travail des efforts de liaison

HYPOTHESE : On ne travaillera dans ce qui suit qu’avec des liaisons

parfaites, pour lesquelles le travail des efforts de liaison est nul

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

Les théorèmes qui sont présentés dans cette partie sont tous basés sur :

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

2. Théorèmes de minimisation d’énergie

Les théorèmes qui sont présentés dans cette partie sont tous basés sur les

résultats suivants:

( ) *( )u efforts intT

Pour la solution, et pour la solution seulement, l’énergie potentielle est égale

à l’opposé de l’énergie complémentaire.

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

Le déplacement de type Navier Bernoulli, solution du problème de poutre

considéré minimise l’énergie potentielle, quelque soit v, champ de Navier

Bernoulli respectant les conditions cinématiques imposées.

( ) ( )vu

Le torseur solution du problème de poutre considéré minimise l’énergie

complémentaire, quelque soit le champ de torseur respectant l’équilibre et les

conditions statiques imposées.

*( ) *( )efforts int TT

2. Théorèmes de minimisation

2.1 Théorème de Menabrea

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

Si le système est hyperstatique de degré p, on peut exprimer les efforts

intérieurs en fonction de p inconnues. Ces inconnues hyperstatiques prennent

alors la valeur qui minimise l’énergie complémentaire (= énergie élastique car

les liaisons sont parfaites).

2 gx

2x

Exemple :

2

3 3

20 ; 0

( ) 0

d M x dMT

dx dx

M L

g

2

3

2

( ) ( )2

( )

B

B

gM x L R x L

T g x L R

1 inconnue hyperstatique RB=T2(L)

2. Théorèmes de minimisation

2.1 Théorème de Menabrea

Part

ie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

2 gx

2x

Exemple :

2

3

2

( ) ( )2

( )

B

B

gM x L R x L

T g x L R

1 inconnue hyperstatique RB=T2(L)

2223

3 3

1 1* ( ) ( )

2 2 2B

Poutre Poutre

M gW dx x L R x L dx

EI EI

4 3

3

* 1 30

2 8 3 8

BB

B

RW g gLL L R

R EI

A B

2. Théorèmes de minimisationPa

rtie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

2 gx

2x

Exemple :

3

8B

gLR

2

3

2

( ) ( )2

( )

B

B

gM x L R x L

T g x L R

et

Conclusions :

On peut déterminer les efforts sans calculer le déplacement.

On peut calculer directement certains efforts.

On aurait pu prendre de la même façon la réaction ou le moment au point

d’encastrement A.


rtie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

Intérêt :

On peut déterminer l’influence en un point donné d’une charge mobile

SANS avoir à tout recalculer.

2.1 Théorème de réciprocité (Maxwell-Betti)

On étudie deux chargements différents sur une même structure. Le travail du

chargement 1 dans le déplacement solution du problème 2 est égale au travail

du chargement 2 dans le déplacement solution du problème 1. La

démonstration de ce théorème s’appuie sur le Principe des Travaux Virtuels.


rtie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

Exemple :

2x

ABC

2F xChargement 1

2x

ABC

2Qx

D

Chargement 2

Travail du chargement 1 dans le déplacement solution du pb 2 :(2) ( )FP u B

Travail du chargement 2 dans le déplacement solution du pb 1 :(1). ( )P uQ D

Si on connaît la solution du pb 1 on en déduit alors le déplacement

en B du pb 2(1)

(2) . ( )( )

u Du B

F

Q


rtie4: M

éth

odes

éne

rgétiqu

es

Intérêt :

On peut déterminer très simplement les déplacements les plus

intéressants.

2.1 Théorème de Castigliano

Si une structure est soumise à une force (respectivement un couple) concentré

alors la dérivée de l’énergie de déformation par rapport à cette force (resp. ce

couple) donne le déplacement (resp. la rotation) de son point d’application

dans sa direction.

Q

A

B

C

D

M

2

* *( ); ( )

W WB u D

M Q

Documents

Françoise Krasucki Institut de Mathématiques et de ......Les plaques : dalles, murs, tabliers de ponts, éléments de carrosserie…. Ce sont des coques dont la surface moyenne est