C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 521–525, 2001Analyse fonctionnelle/Functional Analysis

Gap-labelling for three-dimensional aperiodic solidsJean BELLISSARD a, Johannes KELLENDONK b,c, André LEGRAND b

a Institut universitaire de France et université Paul-Sabatier, institut de recherche sur les systèmes atomiqueset moléculaires complexes, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex, France

b Laboratoire de mathématiques Émile-Picard, université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne,31062 Toulouse cedex, France

c School of Mathematics, Cardiff University, Cardiff CF2 4YH, UKE-mail: jeanbel@irsamc.ups-tlse.fr; kellendonkj@cf.ac.uk; legrand@picard.ups-tlse.fr

(Reçu le 29 janvier 2001, accepté le 12 février 2001)

Abstract. Let X be totally disconnected compact Hausdorff space with an actionα of Z3 by

commuting homeomorphisms and with an invariant probability measureµ. We show thatτ∗K0(C(X) αZ

3) = µ(C(X,Z)) whereτ is the trace induced on the crossed productC(X) αZ

3. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales ElsevierSAS

Le théorème de l’étiquetage des gaps pour les solides apériodiques dedimension 3

Résumé. SoitX un espace topologique compact séparé, totalement discontinu, muni d’une actionαdeZ

3 par trois homéomorphismes commutant mutuellement, pour lesquelsµ est une mesurede probabilité invariante. Il est alors démontré queτ∗K0(C(X) αZ

3) = µ (C(X,Z)),expression dans laquelleτ est la trace sur le produit croiséC(X) αZ

3 induite parµ. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Version française abrégée

Il a été proposé de décrire un solide apériodique, situé dansRn, à partir de l’ensembleS des positions

d’équilibre de ses atomes [2]. La fermeture, dans une topologie convenable, de la familleS + a;a ∈Rndes translatés deS, est un espace topologique compact séparéΩ. Dans de nombreux cas, le systèmedynamiqueΩRn peut se construire comme la suspension d’une actionα deZn sur un espace topologiquecompact séparéX , qui est de plus totalement discontinu. Les théorèmes classiques [3] impliquent que lesgroupes deK-théorie de ces deux systèmes coïncident. Il a été de plus montré dans [2] que les conditionsphysiques définissent naturellement surX une mesure de probabilité invarianteµ, le plus souventergodique, donc induisant canoniquement une traceτ sur laC∗-algèbre du produit croiséC(X) αZn.Le théorèmed’étiquetage des bandes interdites(the gap labelling theorem), fournit une numérotation deslacunes spectrales d’un élément auto-adjoint quelconque deC(X) αZn en terme de l’image parτ de

Note présentée par Alain CONNES.

S0764-4442(01)01892-4/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 521

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l’élément deK-théorie représenté par le projecteur spectral sur la partie du spectre située à gauche dela lacune. L’ensemble des nombres ainsi obtenus est le morceau du sous-groupeτ∗(K0(C(X) αZn))deR contenu dans l’intervalle[0,1]. L’identification de ce sous-groupe a été réalisé dans de nombreux caspourn= 1,2 [1,11]. Il a été conjecturé que siX est totalement discontinu (i.e. siX est homéomorphe àl’ensemble de Cantor), alors :

CONJECTURE. – Soit X un espace topologique compact séparé, totalement discontinu, muni d’uneaction α de Z

n par n homéomorphismes commutant mutuellement, pour lesquelsµ est une mesure deprobabilité invariante. Alors, siτ est la trace sur laC∗-algèbre du produit croiséC(X) αZn induitepar µ,

τ∗(K0

(C(X) αZ

n))

= µ(C(X,Z)

).

Si X provient de l’enveloppe d’un ensemble de positions atomiques,µ(C(X,Z)) peut s’interprétercomme l’ensemble des probabilités d’apparition des configurations atomiques locales.

Pourn= 1 cette conjecture est une conséquence immédiate de la suite exacte de Pimsner et Voiculescu[1,9], tandis que pourn= 2 elle a pu être démontrée en utilisant deux fois cette suite exacte [11]. Le présentarticle la démontre pourn= 3, qui représente la situation physique réaliste. La méthode utilisée fournit uneautre démonstration du casn= 2 et devrait pouvoir s’étendre au cas généraln 2.

La première étape de la construction consiste à ramener laC∗-algèbre du produit croisé à celle dumapping torusMαA, si A = C(X), à savoir laC∗-algèbre des fonctionsf : x ∈ Rn → A | f(x+ a) =αa(f(x)), a ∈ Zn. Dans ce cas,

K∗(A αZ

n)∼=K∗−n(MαA),

isomorphisme qui peut être obtenu à partir de l’isomorphisme de Thom–Connes.En second lieu on utilise [4]. La classe transverse du feuilletage défini par l’action deRn sur l’espace

sous-jacent àMα détermine canoniquement unen-traceτα surMαA telle que :

⟨[τα],Kn(MαA)

⟩=⟨[τ ],K0

(A αZ

n)⟩,

ou τ est la trace induite surA αZn (cf. théorème 1).En troisième lieu, nous définissons une suite spectrale, due à Pimsner, à partir de la décomposition de

MαA en0 = In ⊂ In−1 ⊂ · · · ⊂ I0 ⊂A, dans laquelleIl est l’ideal des fonctions deMαA⊂C([0,1]n⊗A)s’annulant sur les faces de dimensionl du cube[0,1]n. Cette filtration définit une co-filtration en posant

Fl = MαA/Il conduisant à une suite exacte0 → Qli→ Fl

π→ Fl−1 → 0, si Ql = (SlA)(nl ). Ici, SlA =

C0((0,1)l)⊗A. L’application du foncteurK conduit alors à une paire exacte donc à une suite spectrale.Forrest et Hunton [6] ont montré que cette suite converge en page deux et fournit un isomorphisme degroupes entreKs(MαA) et la somme directe, surj, des groupes d’homologieH2j+s(Zn,C(X,Z)), dontils démontrent qu’ils sont libres.

Comme pour l’injection canoniqueIn−1 = SnAj→MαA, on a :

⟨[τα], j∗Kn

(SnA

)⟩=⟨[τ ],K0(A)

⟩= µ

(C(X,Z)

),

la conjecture sera vraie si nous montrons que remplacerSnA parMαA dans cette égalité, ne change pas lerésultat. C’est l’objet du résultat original de cet article (cf. théorème 2) que de montrer en effet que, dansla suite spectrale précédente, il est possible de relever tout élément de l’image pari∗ de la cohomologiedu complexe(K(Ql), d1) en un élément deK(MαA) situé dans le noyau de[τα], pourvu quel = 0,1.En conséquence, pourn 3 on peut remplacerSnA parMαA, sans changer le résultat ce qui prouve laconjecture.

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Gap-labelling for three dimensional aperiodic solids

1. Introduction

Among the basic input data for the description of an aperiodic solid is the point setS of its atomicpositions. The algebra of observables is derived from this set. AlthoughS need not be periodic, it allowsquite often for an action ofZn by n (the dimension of the solid) independent translations. In this case,which includes, e.g., quasicrystals, theC∗-algebra of observables is strongly Morita equivalent to a crossedproductC(X) αZn. HereX is a reduced version of the canonical transversal of the hull ofS [2] (alsocalled discrete hull ofS in [8]) and consists of point sets which look locally likeS, and the actionα of Zn

is induced by the above translations (we do not distinguish notationally between the action onX and thatinduced onC(X)). An additional input from physics is an invariant probability measureµ onX . The gap-labelling theorem in itsK-theoretic formulation [2] connects the non-commutative topology ofS with thevalues the integrated density of states may take on the gaps in the spectrum of the Hamiltonian. It states thatthese values belong toτ∗K0(C(X) αZ

n)∩ [0,1] whereτ :C(X) αZn→C is the trace induced byµ.

This is why we are interested in computingτ∗K0(C(X) αZn). For more background on this subject werefer the reader to [1,2,8] and references therein.

The topology ofX depends on the repetivity properties ofS. If S is periodic,X is simply a finite discreteset. In many aperiodic cases, including quasicrystals,X is homeomorphic to the Cantor set. These casesfall under the vicinity of the following conjecture [2]:

CONJECTURE. – LetX be a totally disconnected compact Hausdorff space with an action ofZn by ncommuting homeomorphisms and an invariant probability measureµ. Writeτ for the trace induced on thecrossed productC(X) αZn. Then:

τ∗K0

(C(X) αZ

n)

= µ(C(X,Z)

).

In the case whereX is the discrete hull of a point set,µ(C(X,Z)) can be interpreted as the subgroup ofR generated by the relative frequencies of finite point configurations in the set.

For n = 1 the conjecture follows from the Pimsner–Voiculescu sequence [1,9,10]. Iteration of thePimsner–Voiculescu sequence has, however, only been successful forn = 2 [11]. We provide a proof forn= 3, thus covering the case of interest for real materials.

2. The spectral sequence and the associated n-trace

Given aC∗-dynamical system(A,α,Zn), theK-groups of the crossed productA αZn are isomorphicto those of the mapping torusMα := f : Rn→A | f(x+ a) = αa(f(x)) | a ∈ Z,

K∗(A αZ

n)∼=K∗−n(Mα). (1)

An essential ingredient of this isomorphism is the Thom–Connes isomorphism [3,4]. A cofiltration ofMα

gives rise to a spectral sequence whoseE2-term is isomorphic toH∗(Zn,K∗(A)), the cohomology of thegroupZn with coefficients inK∗(A). Forrest and Hunton [6] have established that, forZn actions on theCantor setX , the spectral sequence collapses at theE2-term and

Ki

(MαC(X)

)∼= ⊕j

H2j+i(Zn,C(X,Z)

). (2)

The machinery of spectral sequences proves to be quite useful in computing theK-groups – a refinedanalysis even allows one to compute them explicitely for canonical projection method tilings [7] – but itfails to give information about the order onK0 and the ranges of tracial states.

The first difficulty is that the Thom–Connes isomorphism does not preserve order. Nevertheless theimage of a tracial state can be expressed using higher traces (cyclic cohomology). Let∂ti be the derivation

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J. Bellissard et al.

associated with the coordinateti of the Rn-action onMα, and∂ =∑n

1 ∂ti. The following result is inConnes original work [4], (seealso Theorem 13 of [9])

THEOREM 1. –Let (A,α,Zn) be aC∗-dynamical system andτ an invariant trace onA. Thenτ extendsto a traceτ onA αZn and to a densely definedn-traceτα :MαA→C,

τα(a0, · · · , an) =

∫τ(a0∂a1 · · ·∂an)dt1 · · · dtn, (3)

satisfying⟨[τα],Kn(MαA)

⟩=⟨[τ ],K0

(A αZ

n)⟩. (4)

Here we have denoted as usual the cyclic cohomology classes by[ · ] and Connes pairing [5] betweencyclic cohomology andK-theory by〈·, ·〉. It is important to note that, if one restrictsτα to the intersection

of its domain with then-fold suspensionSnAj→MαA then it corresponds to the cup product ofτ with

thenth power of the canonical1-cocycle onC(S1) and satisfies:

⟨[τα], j∗Kn

(SnA

)⟩=⟨[τ ],K0(A)

⟩= τ∗K0(A). (5)

With Theorem 1 and (5) at hand, the conjecture comes down to understanding the difference between〈[τα],Kn(MαC(X))〉 and 〈[τα], j∗Kn(SnC(X))〉. The rotation algebra is an example where these twogroups are not equal. To analyse this we take a closer look at the spectral sequence underlying (2). ViewMαA as a subalgebra ofC([0,1]n,A), the algebra of continuous functions from the cube[0,1]n toA. LetIlbe the ideal of functionsf : [0,1]n→A which vanish on alll-dimensional faces of the cube. The quotientsFl :=MαA/Il yield a cofiltrationMαA= Fn

π→ Fn−1π→ · · ·F0

∼=A and exact sequences:

0→Qlı→ Fl

π→ Fl−1→ 0, (6)

whereQl := (SlA)(nl ) (direct sum of

(nl

)copies) andı : Ql→ Fl is defined as follows: we number the

l-dimensional faces of the cube which contain(0, . . . ,0) and assign to(f1, . . . , f (nl)

) the class of a function

F ∈MαA which coincides on therth l-dimensional face withfr (a little care is needed to keep track ofthe identification of variables of the cube).

Applying the functorK to (6) gives rise to the exact pair:

K(Q)

∂ ı∗

K(F )π∗←− K(F )

underlying the spectral sequence. HereF =⊕

l Fl, Q =⊕

lQl andK(A) =⊕

iKi(A). The lth degreecohomology groupHd1(K(Ql)) of the differential complex(K(Q), d1 = ∂ i∗) is isomorphic toH l(Zn,K(SlA)). The vanishing of the higher differentials, i.e., the collapsing of the spectral sequenceat theE2-term, is equivalent to the fact that each element inı∗Hd1(K(Ql)) = ı∗(kerd1 ∩ K(Ql)) canbe lifted to an element inK(MαA). Forrest and Hunton have shown this indirectly for Cantor dynamicalsystems by establishing thatH l(Zn,K(C(X))) is torsion free. But for determining the difference between〈[τα],Kn(MαC(X))〉 and〈[τα], j∗Kn(SnC(X))〉 we need explicit lifts of the groupsı∗Hd1(K(Ql)) forl < n and we will now construct them forl= 0,1.

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Gap-labelling for three dimensional aperiodic solids

3. Explicit lifts

The conjecture would follow if we could find lifts for the elements ofı∗Hd1(K(Ql)), l < n, which lie inthe kernel of〈[τα], ·〉.

THEOREM 2. –LetX be a totally disconnected compact space with an action ofZn by n commuting

homeomorphisms. For each element inı∗Hd1(Ki(Ql)), l = 0,1, exists a lift inKi(Mα) which lies in thekernel of〈[τα], ·〉.

Proof. –Considerl = 0. Hd1(Ki(Q0)) = Ki(C(X))α, which is trivial for oddi. For eveni the mapC(X,Z)→ K0(C(X)) : 1U → [1U ] (1U the indicator function on a clopen setU ) extends to a groupisomorphism. This implies that any projection whoseK0-class isα-invariant is equivalent to a projectionwhich itself isα-invariant. Given anα-invariant projectionp, P (t1, . . . , tn) := p is a projection in (thestabilization of)MαC(X) which satisfiesπn∗ ([P ]) = ı∗([p]). SinceP is constant its class lies in the kernelof 〈[τα], ·〉.

Now considerl= 1.Hd1(Ki(Q1)) is trivial for eveni. Using the isomorphismC(X,Z)→K1(SC(X)) :1U → [e2πit1U ] one finds that the elements ofkerd1 ∩ K1(Q1) are given by vectors([e2πit1f1 ], . . . ,[e2πitnfn ]), fk ∈ C(X,Z), which satisfyδjfk = δkfj for all j, k, whereδk = α(ek) − id. It is straight-forwardly checked that:

U(t1, . . . , tn) := exp2πi

( ∑∅=J⊂1,...,n

fJ∏j∈J

tj

)

with fi1,...,ik = δi1 · · ·δik−1fik , is a unitary inMαC(X). The class of this unitary is a lift ofi∗([e2πit1f1 ],

. . . , [e2πitnfn ]). SinceU−1 ∂U∂ti

commute for differenti the class ofU(t1, . . . , tn) lies in the kernel of〈[τα], ·〉.

This theorem implies the conjecture forn 3 sinceHd1(K1(Q2)) is trivial.

References

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