GBT201 : Phénomènes d'échanges 2gbt201-pp.espaceweb.usherbrooke.ca/chap22.pdf · 2016-07-11 · GCH205-GBT201 P. Proulx, prof. 28 Exemple 22.3-2 Le terme de droite de l'expression

GBT201 : Phénomènes d'échanges 2Coefficients d'échanges de masse 1 et 2 phases

Transport Phenomena: – Chapitre 22

• Section 22.1

• Section 22.2

• Section 22.3

• Section 22.4• Exercices

– 22A1, 22A2, 22A3– 22B1, 22B4, 22B5, 22B6

GCH205-GBT201 P. Proulx, prof. 5

La loi de Fick écrite pour une surface en y=0 (voir page 537 equation D de la table 17-8.2)

Si on raisonne comme pour le transfert de chaleur, on peut écrire cette expression comme une 'loi de l'évaporation de Newton'

N est un flux en moles /m2-s alors que W est un débit en moles/s. On a évidemment que N = W/A donc

N A0−xA0 N A0N B0=−c DAb

∂ xA

∂ y y=0

W A0−x A0W A0W B0=k xA A xA

N A0−xA0 N A0N B0=k xA xA

Section 22.1: définitions


Comme on a défini le coefficient d'échange local h, on définit aussi le coefficient d'échange de masse local (laissons tomber l'indice A)

Maintenant, il faut introduire le concept de transfert thermique en présence de transfert de masse.

Le deuxième terme est important en présence de flux d'espèces ayant une grande différence de capacités thermiques.

N A0−xA0 N A0N B0=k x , loc x A

e0−(N A0~C pA ,0+N B0

~C pB ,0)(T 0−T ref )=hlocΔT


On retrouve en général les coefficients de transfert de masse définis par rapport à des conditions de référence (faibles concentrations et faibles flux)

et le coefficient de transfert est modifié en fonction des conditions de flux et concentrations non-négligeables.

On constate bien que si xA0

tend vers 0, ou si NB0

= -NA0

:

N A0=k x , loc0 xA

k x, loc0 =

k x , loc

1−xA0 1N B0

N A0

k x, loc0 =k x , loc


En transfert de masse, on peut définir les concentrations de multiples façons:

N A0=k x , loc0

Δ x A

nA0=k ρ ,loc0

ΔρA=ρk ρ ,loc0

ΔωA

N A0=k p ,loc0

Δ pA=p k p ,loc0

Δ xA

N A0=k c ,loc0

Δ c A=c k c ,loc0

Δ x A

Le coefficient k0 est le coefficient apparent de transfert de masse, qui inclut le terme de convection et est valide pour des flux de masse qui ne sont pas très élevés. Pour les cas de flux très élevés, on doit utiliser les corrections données à la section 22.8. On retrouve ces conditions pour des vitesses élevées.


En transfert de masse, on peut définir les concentrations de multiples façons:

Il faut se rappeler que l'indice 0 dans veut dire que ce coefficient est valide pour de faibles flux et concentrations

k x ,loc0 →

molesm2 s

k ρ , loc0

→ms

k p ,loc0

→molesm2 s Pa

k c ,loc0

→ms

k x , loc0


Dans des systèmes usuels de transfert de masse (colonnes garnies, bioréacteurs, milieux poreux, etc...), la surface entre les deux milieux échangeant de la matière est inconnue. Il est alors usuel de combiner la surface et le coefficient d'échange en un seul coefficient (k

xa). On mesure alors expérimentalement non

pas le coefficient d'échange mais le produit du coefficient multiplié par l'aire interfaciale.

Dans les sections suivantes, nous verrons beaucoup d'applications de ce coefficient combiné.

W A0=(k x , loc0 a)Δ xA S dz


Le coefficient adimensionnel formé avec le coefficient d'échange est le nombre de Sherwood. Puisqu'il existe une variété de définitions du coefficient, le nombre de Sherwood prendra plusieurs formes aussi:

Sh=k x l0

c DAB

=kl0

DAB


Section 22.2: expressions analytiques des coefficients de tdm

Absorption d'un gaz dans un film liquide ruisselant:

Dissolution d'une surface solide dans un film liquide ruisselant:

Shm=1.128 Re Sc12=

k c , m0 L

DAB

W A0=k c , m0 AC A

Shm=1.0173 L Re Sc

13=

k c ,m0 LDAB

W A0=k c ,m0 AC A


Absorption d'un gaz d'une bulle de gaz se déplacant lentement dans un liquide:

Shm=0.6515Re Sc12=

k c ,m0 D

DAB

N A0 ,m=k c , m0

C A

Shm=0.991Re Sc13=

k c , m0 D

DAB

N A0=k c ,m0

C A

Dissolution d'une bille solide se déplacant lentement dans un liquide:


Shm=0.620 Re12 Sc

13=

k c ,m0 D

DAB

N A0=k c ,m0

C A

Dissolution d'un disque solide tournant dans un liquide:


Section 22.3, Corrélations expérimentales pour le coefficient de transfert de masse


Section 22.3, Corrélations expérimentales pour le coefficient de transfert de masse

La première, une analogue de la classique corrélation de Ranz et Marshall pour le transfert de chaleur avec une sphère solide:

Num=20.6 Re12 Pr

13=

hm D

k

Shm=20.6 Re12 Sc

13=

k c , m D

DAB


En transfert de masse, on utilise énormément les analogies avec le transfert de chaleur, ainsi tout le travail fait sur les géométries et conditions diverses étudiées au chapitre 14 sera directement transposable en utilisant les analogies de Chilton-Colburn.

Ainsi sur une surface plane:

Les coefficients de Chilton-Colburn sont définis:

jH ,loc= jD ,loc=12

f loc=0.332 Re x

−12

jH ,loc=Nuloc

Re Pr13

jD , loc=Shloc

Re Sc13


22A1

a)

Re=V D

=4W D

La viscosité de l'air à 25 °C est de : 1.84 x 10 -5 kg/m sDonc Re=89 820 On peut utiliser la loi des gaz parfaits et trouver la densité de l'air à 2 atm et 25 °C. Donc on trouve le nombre de Schmidt : Sc=0.6.Donc on peut calculer le nombre de Sherwood:

Et kc = 0.0202 m/s

Notez bien la similitude de l'équation utilisée pour trouver Sherwood avec l'équation 14.3-16 pour trouver Nu

Sh=0.023Re0.83Sc0.444=0.023 [898200.83×0.60.44 ]=237


22A1

b) On utilise alors les analogies de Chilton-Colburn jH = j

D

Au chapitre 14, on définit ce coefficient à la section 14.5

jH=2.19 Re-2/3 +0.78Re-0.381=j

D

Le nombre de Reynolds doit aussi être calculé pour un lit de particules,

Donc Re=10,778 et on calcule jH=0.0272.

On peut alors calculer le coefficient à partir des analogies du tableau 22.1-1

Re=6G0

a



j D=k x

c v0

Sc23=

k c

v0

Sc23

Et pour calculer kc, il suffit maintenant de calculer la

vitesse superficielle de l'air. La vitesse superficielle dans une colonne garnie est définie comme la vitesse du fluide dans la colonne sans garnissage. Donc on trouvera facilement:

Et kc = 0.176 m/s

v0=

Wρ

πD2

4

=4.6m / s


Exemple 22.3-1

Dans l'énoncé, on dit qu'une goutte de 500 microns de diamètre tombe à 2.15 m/sec.Le nombre de Reynolds est donc de 63. Vérifions si cette vitesse est la vitesse terminale de chute libre de la gouttelette. Le coefficient de trainée sur le graphe 6.3-1 ou par l'équation 6.3-16 donne f=1.34. Si la goutte est en chute libre, alors le bilan de forces sur la goutte est nul et on en déduit 6.1-7.

Utilisez cette vitesse pour vérifier si la vitesse de l'énoncé est raisonnable. Lisez attentivement la suite de cet exemple

f=43

gD

v∞2

donc v∞= 4 g D

3 f


Exemple 22.3-2


Exemple 22.3-2

Le bilan de chaleur est posé sur l'élément de volume cylindrique montré en mortaise sur la figure 22.3-2:

Deux contributions enthalpiques existent dans le système étudié ici, la chaleur sensible et la chaleur latente. Puisque la chaleur latente associée à l'évaporation de l'eau est tellement grande, on négligera ici la contribution de la chaleur sensible pour ne garder que la chaleur de vaporisation. Ainsi le bilan devient:

hm DLT∞−T 0=W A0 H A0− H A1

hm D LT∞−T 0=W A0 H vap


Exemple 22.3-2

N A0−xA0 N A0N B0=k x , loc x A

Lecture de l'humidité relative à partir de thermomètres sec et humide.On démarre avec la définition de base qui vient du bilan de masse sur une surface.

On multiplie par la surface:

Cette surface est identifiée sur la figure 22.3-2

W A0−x A0W A0W B0=k x , loc A xA

W A0−x A0W A0W B0=k x , loc D L xA

W A0 1−x A0=k x, loc D L x A


Exemple 22.3-2

Combinant les deux bilans pour éliminer le débit:

hm(πD L)(T∞−T 0)

Δ~H vap

=W A 0 et W A 0=k x , loc(πD L)Δ xA

1−xA 0

hm(T∞−T 0)

Δ~H vap

=k x , locΔ x A

1−xA 0

Δ xA

(T∞−T 0)(1−xA 0)=

hm

k xmΔ~H vap


Exemple 22.3-2

En écrivant les termes de droite en fonction des nombres sans dimension Nusselt et Sherwood:

Le dernier terme à droite peut être exprimé en fonction de Prandtl et de Schmidt simplement en faisant:

Δ xA

(T∞−T 0)(1−xA 0)=

hm(Dk)

k xm(D

c DAB

)Δ~H vap

(kD)(

DcDAB

)=NuSh

1Δ~H vap

kcDAB

Δ xA

(T∞−T 0)(1−xA 0)=

NuSh

1Δ~H vap

kcD AB

( c~C p

ρ C̄ p)(μμ )

Δ xA

(T∞−T 0)(1−xA 0)=

NuSh

ScPr

~C p

Δ~H vap


Exemple 22.3-2

Le terme de droite de l'expression obtenue comporte deux parties essentielles. Le rapport Nusselt/Sherwood constitue la première qui demande encore un peu de travail, alors que les termes Sc/Pr et le rapport de Cp et de la chaleur de vaporisation sont des termes qui peuvent facilement être obtenus à partir des propriétés.

Le rapport Nu/Sh est obtenu à partir de l'analogie entre les deux transferts (chaleur et masse), car on sait qu'on a presque toujours la forme:

Δ xA

(T∞−T 0)(1−xA 0)=

NuSh

ScPr

~C p

Δ~H vap

Nu=f RePrn et Sh=f ReScn doncNuSh

=Prn

Scn


Exemple 22.3-2

Par exemple, pour un cylindre, si on reprend 14.4-7

Ce type de relation est presque indépendant de la géométrie. Il est important de noter que la fonction de Reynolds est la même pour Nusselt et Sherwood, de même pour la fonction des viscosité. L'expression développée à la page précédente devient:

Δ xA

(T∞−T 0)1−xA 0

=Prn

Scn

ScPr

~C p

Δ~H vap

doncΔ xA

(T∞−T 0)1−xA 0

=Sc1−n

Pr1−n

~C p

Δ~H vap

Num=(0.4 Re12+0.06 Re

23 )Pr0.4 (

μ∞μ0 )

14

on a bien Num= f 1(Re) f 2(μ)Pr n n=0.4

par analogie Shm= f 1(Re) f 2(μ)Scn n=0.4


Exemple 22.3-2

Il ne reste qu'à mettre les valeurs numériques. Les données suivantes sont obtenues de tables thermodynamiques et du livre de Transport Phenonema. Regardez attentivement l'exemple 22.3-1, dans ce cas la température sèche est de 140°F et la température humide de 70°F. On trouve alors que la fraction molaire d'eau dans l'air ambiant est de 0.0033 alors que la saturation est de 0.0247 . Ceci donne donc une humidité relative de 13.3 %.


22A2 on suggère d'utiliser n=0.44 dans l'expression obtenue à l'exmple 22.3-2

On utilise une température de film moyenne de 105 °F. On a pour l'exemple 22.3-2 la chaleur de vaporisation à 70 °F et la capacité calorifique à 105 °F. On devrait corriger la chaleur de vaporisation pour l'amener à 80 °F. Simplifions et supposons qu'elle est a la bonne température. Pour avoir x

sat, il faut aller

voir sur le graphe gentiment donné à la page 723 (ou référer à une table de vapeur), on trouve à 80 °F (26.5° C) environ 25 mm de Hg. La fraction molaire x

A0 est donc 0.031. Les nombres

de Sc et de Pr sont identiques à ceux de l'exemple 22.3-2 aussi.

Δ xA

(T∞−T 0)(1−xA 0)=

Sc0.56

Pr0.56

~C p

Δ~H vap


22A2

C'est assez près de la réponse donnée par l'auteur, les approximations et arrondis faits sont probablement à la source de la petite différence...

Δ xA

(50)(1−0.0313)=

x A 0−x A ,∞

(50)(1−0.0313)=

0.580.56

0.740.56

6.9818900

donc Δ x A=0.0132 ou xA ,∞=0.0313−0.0132=0.0181


Exercices ajoutés aux sections 22.1 à 22.3

2- Quel temps faudra-t-il à une goutte d'eau de 500 microns qui tombe dans de l'air à 20 °C et 20% d'humidité relative pour perdre 10% de son volume initial en négligeant l'effet du changement de son rayon sur le taux d'évaporation?

(densité air 1.24, viscosité air 0.000018, Sc=0.62, xsat

=0.0263,

DAB

=0.000026)

1- Quelle taille de bulles d'oxygène pur faut-il pour que leur temps de séjour dans une colonne d'eau de 1 m de hauteur soit de plus de 10 s?

GCH205-GBT201, P. Proulx, prof 34

Bulle de gaz (A et B)

Liquide C dans lequel A est soluble

Interface gaz-liquide. On développe sur cette interface dans les prochains transparents

Section 22.4: Définition des coefficients 2 phases


Liquide (solution de A dans un solvant non-volatile C)

Gaz Mélange de A et B

XAb

XA0

YA0

YAb

Interface gaz-liquide

Cette différence entre les 2 concentrations à l'interface est une conséquence de l'équilibre de phases


Gaz: Mélange de A et B

YA0

YAb

NA0=k yloc0 yAb−yA0

Le flux molaire passant à l'interface du côté du gaz est donné par la relation suivante qui définit aussi le coefficient d'échange du côté gaz


Liquide (solution de A dans un solvant non-volatile C)

XAb

XA0

NA0=k xloc0 xA0−xAb

Le flux molaire passant à l'interface du côté du liquide est donné par la relation suivante qui définit aussi le coefficient d'échange du côté liquide. Les deux flux sont évidemment égaux par conservation


NA0=k xloc0 xA0−xAb

La grande difficulté de ces deux expressions est que les concentrations à l'interface demeure très difficile à mesurer.

Un point nous aidera ici: en général les taux de transfert aux interfaces sont assez faibles pour que l'équilibre existe entre le côté liquide et le côté gaz de cette interface.

NA0=k yloc0 yAb−yA0

On tentera alors de remplacer ces valeurs par quelque chose de plus facile à trouver


xA

yA

xAe

xAb

xA0

yAb

yA0

yAe

N A0=kxloc0 (xA0−xAb)

N A0=kyloc0 (yAb−y A0)

Les coefficients définis “correctement” (kxloc

et

kyloc

) sont montrés ici sur la courbe d'équilibre:

ils sont définis dans une phase.

LIQUIDE

GAZmx

my


xA

yA

xAe

xAb

yAb

yAe

NA0=Kxloc0 xAe−xAb

NA0=K yloc0 yAb−yAe

Les coefficients définis globalement sont montrés ici: ils sont définis de façon pratique en utilisant l'hypothèse d'équilibre à l'interface. En fait, ils utilisent les deux concentrations “bulk” mais en les ramenant à la même phase par la courbe d'équilibre


xA

yA

xAe

xAb

yAb

yAe

NA0=Kxloc0 xAe−xAb

NA0=K yloc0 yAb−yAe

La convention d'utiliser Kyloc

vient du fait qu'on

base le coefficient sur la valeur connue et mesurable de y

Ab, la valeur y

Ae quant à elle est

déterminée à partir de xAb

.


NA0=Kxloc0

xAe−xAb

NA0=K yloc0

y Ab−y Ae

Puisque les flux sont égaux, les quatres définitions sont reliées

NA0=kxloc0

xA0−xAb

NA0=k yloc0

y Ab−y A0

K yloc0

y Ab−y Ae=k yloc0

y Ab−y A0

Kxloc0

xAe−xAb=kxloc0

xA0−xAbLiquide

Gaz


xA

yA

xAe

xAb

xA0

yAb

yA0

yAe

Courbe d'équilibre liquide-gaz

Pente mx

Pente my

mx=yAb−yA0

xAe−xA0

my=yA0−yAe

xA0−xAb


xA

yA

xAe

xAb

xA0

yAb

yA0

yAe

Dans bien des cas, si on travaille dans une section restreinte du diagramme d'équilibre, les pentes m

x et m

y sont pratiquement égales.

my≈mx≈m≈yAb−yAe

xAe−xAb


On veut éliminer les valeurs des concentrations et obtenir une relation impliquant seulement les coefficients et les pentes m

x et m

y.

On pose les relations définissant les flux

22.4-5

22.4-2

À partir de 22.4-5, on isole le ratio entre les coefficients 1-phase et 2-phases.

À partir de 22.4-2 on isole (XA0

-XAb

) et on remplace (2)

dans la relation (1) en utilisant la définition de mx (3) on

démontrera cette relation (22.4-9) qui ne dépend pas de la concentration mais seulement des paramètres thermodynamiques de la solution et des coefficients d'échanges. C'est ainsi une équation qui peut etre utilisée dans la conception de l'appareil de transfert sans connaissance à priori des concentrations réellement utilisées.

k xloc0

K xloc0 =

x Ae−x Ab

x A0−x Ab

K xloc0

x Ae−x Ab =k xloc0

x A0−x Ab

k yloc0

y Ab−y A0 =k xloc0

x A0−x Ab

x A0−x Ab =k yloc

0

k xloc0 y Ab−y A0

(1)

(2)

m x=y Ab−y A0

x Ae−x A0(3)

Démonstration de la relation 22.4-9


kxloc0

Kxloc0 =

xAe−xAb

xA0−xAb

xA0−xAb=kyloc0

kxloc0 yAb−yA0

kxloc0

Kxloc0 =

xAe−xAbyAb−yA0

kxloc0

kyloc0

kxloc0

Kxloc0 =

xAe−xAbyAb−yA0

kxloc0

kyloc0 xAe−xA0xAe−xA0

kxloc0

Kxloc0 =

xAe−xAb

mx

kxloc0

kyloc0

1xAe−xA0

mx=yAb−yA0

xAe−xA0



kxloc0

Kxloc0 =

xAe−xAbmx

kxloc0

kyloc0

1xAe−xA0

kxloc0

Kxloc0 =

xAe xA0−xA0 −xAbmx

kxloc0

kyloc0

1xAe−xA0

kxloc0

Kxloc0 =

xAe−xA0xA0−xAb

mx

kxloc0

k yloc0

1xAe−xA0

kxloc0

Kxloc0 =

1mx

kxloc0

kyloc0

xA0−xAbmx

k xloc0

k yloc0

1xAe−xA0

kxloc0

Kxloc0 =

1mx

kxloc0

k yloc0 1


kxloc0

kyloc0 =

yAb−yA0

xA0−xAb

De 22.4-2

mx=yAb−yA0

xAe−xA0

Et sachant:


Utilité et signification de la relation 22.4-9

kxloc0

Kxloc0 =

1m x

kxloc0

k yloc0 1

Kxloc0 =

11kxloc0

1m x

1k yloc0

Lorsque le facteurest largement inférieur à 1, le coefficient 1 phase est égal au coefficient 2 phases. Donc queCe qui implique par conséquent que la concentration dans le gaz est uniforme et la résistance au transfert se situe dans le liquide

1mx

kxloc0

k yloc0

xA0−xAb≈xAe−xAb ou xA0≈xAe


Exemple 22.4-1kxloc0 ≈kxloc=cl√4 DAB

πtet kyloc

0 ≈kyloc=cg√4 DAC

πt

Azote

Eau contenant de l'oxygène

Données:

Solubilité de l'oxygène dans l'eau à 760 mm Hg de pression partielle d'O

2: CO2=0.00138

Pression partielle d'eau dans l'oxygène à 760 mm Hg: 17.535

Pression d'opération: 777.5 mm Hg


Exemple 22.4-1kxloc0 ≈kxloc=cl√4 DAB

πtet kyloc

0 ≈kyloc=cg√4 DAC

πt

Afin d'estimer l'importance relative des deux coefficients, on utilise le coefficient de la relation 22.4-9

Le coefficient à droite de l'égalité nous indique l'importance relative de ces deux valeurs, donc il faut évaluer:

puisqu'on connait les relations données ci-haut:

d'une façon générale, c=ρ/Mc

l= 1000 / 18 (concentration molaire de l'eau) = 55.5

cg=p /RT = 0.0425 kg-mole/m3

k xloc0

Kxloc0 =

1m x

k xloc0

k yloc0 1

1mx

kxloc0

kyloc0 =

1m

cl√4 DAB

πt

cg√4 DAC

π t

1m x

k xloc0

k yloc0


Exemple 22.4-11mx

kxloc0

kyloc0 ≈

1m

cl√4 DAB

πt

cg√4 DAC

πt

Pour déterminer m maintenant:

m=y O 2

xO 2

=

pO 2

p T

c O 2

c l

=

760777,50,0013855,5

=39312

Donc 1/m = 2.54e-5:

Il s'agit maintenant de mettre les valeurs et on trouve

ce qui nous indique que Kx~ k

x, donc que la

résistance au transfert est seulement dans le liquide.

1m

k xloc0

k yloc0 =3.32 e−4

c l

m=k H

cl est la concentration etk H la constante de Henry

souvent enlitre atmosphere par mole


Utilisation des coefficients 2 phases moyennés sur une surface

NA0=Kxloc0

xAe−xAb Valide localement

NA0m=1S∫S

Kxloc0 xAe−xAbdS Somme sur toute la surface

N A0 m=1S ∫S

11

k xloc0

1m x

1k yloc

0

x Ae−x Ab dS En remplaçant par la relation 22.4-9

NA0m=K xm0 xAe−xAb

En supposant les fractions molaires constantes et en définissant le coefficient moyen

K xm0=1S∫S

11

k xloc0

1mx

1k yloc

0

dS

K xapprox0

≈1

1k xm

0 1m x

1k ym

0

En calculant le coefficient moyen à partir des coefficients 1-phase moyens (ce n'est alors qu'une approximation).


Problèmes suggérés:

22B5 Corrigé: utilisez 6.1-7 et 6.3-16 pour trouver la vitesse, utilisez ensuite 22.3-21 pour trouver le coefficient d'échange à 1 phase. Le nombre de Schmidt est trouvé facilement, donc on peut trouver le coefficient k

c. Le flux sera donc trouvé facilement en appliquant

une des définitions données à la section 22.1

22B6Réfléchissez bien

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