GELE2511 Chapitre 2 : Transformée de Laplace€¦ · GELE2511 Chapitre 2 : Transform ee de Laplace Gabriel Cormier, Ph.D., ing. Universit e de Moncton Hiver 2013 Gabriel Cormier

GELE2511 Chapitre 2 :Transformee de Laplace

Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

Universite de Moncton

Hiver 2013

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 2 Hiver 2013 1 / 40

Introduction

Contenu

Contenu

Definition de la transformee de Laplace

Transformees fonctionnelles

Transformees operationnelles

Transformee inverse

Application a la convolution


Introduction

Introduction

Pourquoi utiliser la transformee de Laplace ?

Permet de simplifier les calculs de la convolution.

Est tres utilise dans l’analyse de circuits.

Tres utile pour le design de filtres analogiques.


Introduction

Definition

La transformee de Laplace d’une fonction f(t) est :

Transformee de Laplace

F (s) = L{f(t)} =∫ ∞0

f(t)e−st dt

Le resultat sera fonction de s, et non pas de t. L’operateur s est l’inversedu temps, et donc represente une frequence.


Introduction


La transformee de Laplace permet de transformer le probleme dudomaine du temps au domaine de frequence.

Lorsqu’on obtient la reponse voulue dans le domaine de frequence, ontransforme le probleme a nouveau dans le domaine du temps, a l’aidede la transformee inverse de Laplace.


Introduction


Domainedu temps

Analysedu systeme

Domainedu temps

Domainede

frequence


Transformee inversede Laplace


Introduction


L’avantage principal d’analyser des systemes de cette facon est queles calculs sont plus simples dans le domaine de Laplace.

Dans le domaine de Laplace, les integrales et derivees se combinent al’aide de simples operations algebriques ; pas besoin d’equationsdifferentielles.


Conditions


Certaines observations :

L’integrale de la transformee de Laplace est impropre (bornesuperieure est ∞).

Il faut donc verifier si l’integrale converge.

Dans le cas d’analyse de circuits, on utilise toujours des fonctions quiconvergent.


Conditions


La borne inferieure de l’integrale est 0. F (s) ne tient compte que ducomportement de f(t) pour t > 0. On appelle ceci la transformee deLaplace unilaterale.

S’il y a une discontinuite a l’origine, on utilise la valeur a 0−.

La transformee unilaterale ignore les valeurs de f(t) pour t < 0. Cequi se passe avant ca est tenu compte a l’aide des conditions initiales


Conditions


Il y a deux types de transformee :

Transformee fonctionnelle : c’est la transformee d’une fonctionspecifique, comme sin(ωt), t, e−at, etc.

Transformee operationnelle : c’est une propriete mathematique dela transformee de Laplace, comme le calcul de la derivee de f(t).



Transformee fonctionnelle : δ(t)

On utilise les proprietes de l’impulsion pour trouver la transformee deLaplace de δ(t) :

L{δ(t)} =∫ ∞0

δ(t)e−st dt = e−st∣∣∣t=0

= 1



Transformee fonctionnelle : u(t)

La transformee de l’echelon est :

L{u(t)} =∫ ∞0

(1)e−st dt =e−st

−s

∣∣∣∣∣∞

0

=1

s




Exponentiel decroissant e−at :

L{e−at} =∫ ∞0

e−ate−st dt =

∫ ∞0

e−(s+a)t dt =1

s+ a

Sinusoıde sin(ωt) :

L{sin(ωt)} =∫ ∞0

sin(ωt)e−st dt =

∫ ∞0

(ejωt − e−jωt

2j

)e−st dt

=

∫ ∞0

e−(s−jωt) − e−(s+jωt)

2jdt =

ω

s2 + ω2


Transformee operationnelles

Transformees operationnelles

Les transformees operationnelles indiquent comment des operationseffectuees sur f(t) ou F (s) vont affecter l’autre domaine.

Ces transformees permettent de simplifier le calcul des transformeesde Laplace.



Multiplication par une constante

Si la transformee de Laplace de f(t) est F (s), alors,

L{Kf(t)} = KF (s)

On multiplie F (s) par la meme constante.



Addition (soustraction)

Si on a

L{f1(t)} = F1(s)

L{f2(t)} = F2(s)

L{f3(t)} = F3(s)

alorsL{f1(t) + f2(t)− f3(t)} = F1(s) + F2(s)− F3(s)



Derivee

Pour une derivee :

L

{df(t)

dt

}= sF (s)− f(0−)

De facon generale,

L

{dnf(t)

dtn

}= snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2df(0

−)

dt· · · d

n−1f(0−)

dtn−1



Integrale

Pour une integrale :

L

{∫ t

0f(t) dt

}=F (s)

s



Translation

Dans le temps :

L{f(t− a)u(t− a)} = e−asF (s), t > 0

En frequence :L{e−atf(t)} = F (s+ a)



Echelonnage

Si le temps est compresse ou etire :

L{f(at)} = 1

aF(sa

), a > 0



Convolution

La convolution est simplifiee :

L{h(t) ∗ x(t)} = H(s)X(s)

C’est un des avantages principal de la transformee de Laplace


Transformees inverses


Apres avoir analyse un probleme dans le domaine de Laplace, il fauteffectuer la transformee inverse pour obtenir la solution dans ledomaine du temps.

L’expression obtenue est souvent une fonction rationnelle de s. C’estle cas pour la plupart des systemes physiques.

La transformee inverse est notee :

f(t) = L−1 {F (s)}




De facon generale, il faut trouver la transformee inverse d’une fonction quia la forme suivante :

F (s) =N(s)

D(s)=

ansn + an−1s

n−1 + · · ·+ a1s+ a0bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

ou

a et b sont des constantes reelles,

m et n sont des entiers positifs. Generalement, m > n.

F (s) est souvent appelee la fonction de transfert

la technique utilisee pour resoudre ce probleme est appeleel’expansion en fractions partielles.



Fonction de transfert

On peut ecrire l’expression de F (s) sous une autre forme :

F (s) = k(s+ z1)(s+ z2) · · · (s+ zn)

(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pm)

ou

zi est appele un zero de F (s) : ce sont les racines du numerateur.

pi est appele un pole de F (s) : ce sont les racines du denominateur.



Fractions partielles

La methode :

Il faut factoriser le denominateur en une somme de termes, puistrouver la transformee inverse de chaque terme.

La methode est un peu differente selon le type de racines audenominateur : reelles et distinctes, reelles et repetees, ou complexes.



Racines reelles et distinctes

Exemple : F (s) =2

(s+ 1)(s+ 2)

On peut separer en 2 termes : F (s) =2

(s+ 1)(s+ 2)=

K1

s+ 1+

K2

s+ 2

Pour isoler K1, on multiplie chaque cote par s+ 1 :

2

s+ 2= K1 +

(s+ 1)K2

s+ 2

Si on prend s = −1,

K1 =2

s+ 2

∣∣∣∣∣s=−1

= 2



Racines reelles et distinctes

Pour K2, on fait le meme processus :

K2 =2

s+ 1

∣∣∣∣∣s=−2

= −2

Et on obtient :

F (s) =2

s+ 1+−2s+ 2

La transformee inverse est obtenue selon les tables :

f(t) =(2e−t − 2e−2t

)u(t)



Racines reelles et repetees

Exemple : F (s) =2

(s+ 1)(s+ 2)2

On peut separer en 3 termes :

F (s) =2

(s+ 1)(s+ 2)2=

K1

s+ 1+

K2

(s+ 2)2+

K3

s+ 2

Il y a 2 methodes pour resoudre ce probleme.

Methode 1K1 est obtenu de la meme facon qu’au probleme precedent. K1 = 2.On obtient K2 en multipliant par (s+ 2)2 de chaque cote :

K2 =2

s+ 1

∣∣∣∣∣s=−2

= −2




K3 est obtenu en derivant l’expression de K2.

K3 =d[2(s+ 1)−1]

ds=

−2(s+ 1)2

∣∣∣∣∣s=−2

= −2

ce qui donne :

F (s) =2

s+ 1+

−2(s+ 2)2

+−2s+ 2

et doncf(t) =

(2e−t − 2te−2t − 2e−2t

)u(t)




Methode 2

F (s) =2

(s+ 1)(s+ 2)2=

K1

s+ 1+

K2

(s+ 2)2+

K3

s+ 2

On multiplie chaque cote par le denominateur.

2 = K1(s+ 2)2 +K2(s+ 1) +K3(s+ 1)(s+ 2)

= s2(K1 +K3) + s(4K1 +K2 + 3K3) + (4K1 +K2 + 2K3)

et on a 3 equations et 3 inconnues :

K1 +K3 = 04K1 +K2 + 3K3 = 04K1 +K2 + 2K3 = 2

K1 = 2K2 = −2K3 = −2



Racines complexes

Pour les racines complexes, on peut utiliser les 2 methodes presentees pourle cas precedent.

Utiliser les racines complexes, de la meme facon que les racines reelles.

Resoudre un systemes d’equations



Racines complexes

Exemple : F (s) =3

s(s2 + 2s+ 5)

On separe les termes :

F (s) =3

s(s2 + 2s+ 5)=K1

s+

K2s+K3

s2 + 2s+ 5

On multiplie chaque cote par le denominateur.

3 = K1(s2 + 2s+ 5) + (K2s+K3)s

= s2(K1 +K2) + s(2K1 +K3) + (5K1)

et on a 3 equations et 3 inconnues :

K1 +K2 = 02K1 +K3 = 0

5K1 = 3

K1 = 0.6K2 = −0.6K3 = −1.2



Racines complexes

La fonction est :

F (s) =0.6

s− 0.6

s+ 2

s2 + 2s+ 5

ce qui donne :

f(t) = 0.6− 0.6e−t(cos(2t) + 0.5 sin(2t))

= 0.6− 0.671e−t cos(2t− 26.57◦)


Theoreme de la valeur initiale et finale

Theoreme de la valeur initiale et valeur finale

Les theoremes de la valeur initiale et de la valeur finale sont utilesparce qu’ils permettent de calculer F (s) a partir de f(t) a 0 ou ∞.

On peut donc calculer les valeurs initiales et finales de f(t) avant defaire la transformee inverse d’une fonction, pour s’assurer que toutfait du sens.



Theoreme de la valeur initiale et valeur finale

Theoreme de la valeur initiale

limt→0+

f(t) = lims→∞

sF (s)

Restriction : f(t) ne doit pas contenir d’impulsions.

Theoreme de la valeur finale

limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s)

Restriction : la partie reelle des poles de F (s) doit etre negative.



Exemple

Calculer la valeur finale de f(t), si F (s) =3

s(s2 + 2s+ 5)

On applique le theoreme (les poles de F (s) ont des parties reellesnegatives).

f(∞) = lims→0

sF (s) = lims→0

3

s2 + 2s+ 5= 0.6

On peut confirmer ce resultat avec la valeur calculee de f(t).


Convolution

Convolution

Rappel : la convolution dans le domaine du temps est unemultiplication dans le domaine de Laplace.

Convolution(domaine du temps)

Multiplication(domaine de Laplace)


Convolution

Exemple

Faire la convolution des 2 fonctions suivantes :

0 2 4

0

1

2

3

u(t− 1)

Temps (s)

x(t)

0 2 4

0

1

2

3

3e−2tu(t)

Temps (s)

h(t)

On fait la transformee de Laplace de chaque fonction.

X(s) = L{u(t− 1)} = e−s

s

H(s) = L{3e−2t} = 3

s+ 2


Convolution

Exemple (2)

On multiplie les transformees ensemble :

Y (s) = H(s)X(s) =3e−s

s(s+ 2)

A l’aide des fractions partielles, on fait la transformee inverse.

f(t) = L−1{Y (s)} = (1.5− 1.5e2−2t)u(t− 1)


Conclusion

Conclusion

Les points cles de ce chapitre sont :

Calcul des transformees de Laplace.

Utilisation des transformees fonctionnelles.

Application au calcul de la convolution.


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