GELE5223 Chapitre 1 : Propagation d'ondes - UMoncton...Puissance moyenne sur la ligne : P avg= 1 2 jV+ 0 j 2 Z 0 1 j j2 La puissance moyenne est constante et ind ependante de z. Si

GELE5223 Chapitre 1 :Propagation d’ondes

Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

Université de Moncton

Automne 2010

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 1 / 66

Introduction

Contenu

Contenu

Révision des concepts de base : ligne de transmission

Coefficient de réflexion

Abaque de Smith

Désadaptation à la source


Lignes de transmission

Ligne de transmission

Structure pour guider des ondes électromagnétiques

Exemples :

Câble coaxialFil de cuivreLigne microruban

Une onde ÉM préfère se propager sur des centaines de km plutôt quetraverser quelques mm d’isolant.


Lignes de transmission Câble coaxial

Câble coaxial

Le type le plus commun.

conducteur

diélectrique


Lignes de transmission Deux fils

Deux fils

De moins en moins utilisé.

conducteurs


Lignes de transmission Plaques parallèles

Plaques parallèles

Peu utilisé, mais utile dans certains cas.

conducteurs


Lignes de transmission Microruban

Microruban

Le type le plus commun pour les circuits intégrés.


Lignes de transmission Coplanaire

Coplanaire

Le deuxième type le plus commun pour les circuits intégrés.


Lignes de transmission Modélisation

Modélisation d’une ligne de transmission

+

−v(z, t)

i(z, t)

∆z z

On analyse une petite section

∆z de la ligne.

On utilise deséléments idéauxpour modéliser laligne.

− −

+

R∆z L∆z+

G∆z C∆zv(z, t) v(z + ∆z, t)

∆z



Modélisation

Dans le modèle précédent,

R = résistance en série [Ω/m]. Représente les pertes du conducteur.

L = inductance en série [H/m].

G = conductance parallèle [S/m]. Représente les pertes dudiélectrique.

C = capacitance parallèle [F/m].

Dans une ligne sans pertes, R = G = 0.



Modélisation

On relie la tension et le courant à z et z + ∆z, et dans la limite où∆z → 0, on obtient :

dV (z)

dz= −(R+ jωL)I(z)

dI(z)

dz= −(G+ jωC)V (z)



Modélisation

On solutionne :

d2V (z)dz2

− γ2V (z) = 0

d2I(z)dz2

− γ2I(z) = 0

V (z) = V+0 e−γz + V −0 e

γz

I(z) = I+0 e−γz + I−0 e

γz

oùγ = α+ jβ =

√(R+ jωL)(G+ jωC)



Impédance caractéristique

Lien entre la tension et le courant :

Z0 =V +0I+0

=R+ jωL

γ=

√R+ jωL

G+ jωC

L’impédance caractéristique Z0 représente le rapport entre la tension et lecourant sur la ligne.



Longueur d’onde

Représente la distance parcourue par une sinusöıde pendant 1 période.

λ =2π

β

La longueur d’onde est réduite dans un diélectrique.

λg =λ0√�r

oùλ0 =

c

f



Vitesse de phase

Représente la vitesse à laquelle se déplace un point de phaseconstante.

vp =ω

β= λgf

La vitesse de phase est réduite dans un diélectrique.

vp =c√�r



Ligne sans pertes

R = G = 0

Les équation se simplifient :

Z0 =

√L

C(Z0 est réel)

γ = jβ = jω√LC

On obtient aussi :

β = ω√LC λ =

2π

ω√LC

vp =1√LC



Paramètres des lignes de transmission

Ligne coaxiale 2 fils Plaques parallèles Unité

Lµ

2πln

(b

a

)µ

πcosh−1

(D

2a

)µd

wH/m

C2π�′

ln(b/a)

π�′

cosh−1(D/2a)

�′w

dF/m

RRs

2π

(1

a+

1

b

)Rs

πa

2Rs

wΩ/m

G2πω�′′

ln(b/a)

πω�′′

cosh−1(D/2a)

ω�′′w

dS/m



Paramètres des lignes de transmission

La constante diélectrique d’un milieu peut être complexe :

� = �′ − j�′′ = �′(1− j tan δ)

où

tan δ est le facteur de pertes diélectriques,�′ = �r�0�′′ = �′ tan δ



Résistance de surface

Rs est la résistance du conducteur en supposant que tout le courantcircule à une profondeur égale à la profondeur de pénétration δs.

Rs =1

σδs=

√ωµ

2σ



Effet de peau

Plus la fréquence augmente, plus le courant circule près de la surfaced’un conducteur.

La densité de courant diminue en se rapprochant du centre duconducteur.

La profondeur à laquelle la densité atteint 37% (1/e) de sa valeur à lasurface est :

δs =1

α=

1√πfµσ



Transport de puissance

Ligne sans pertes :

puissance transportée par les champs électriques et magnétiquesaucune puissance transportée dans les conducteurs.

Ligne avec pertes :

une partie de la puissance entre dans le conducteurdissipation sous forme de chaleur.


Théorie des lignes de transmission


Comment intégrer une ligne de transmission dans un circuit ?

Quel est l’impact sur les composantes ?

L’effet principal est la réflexion d’onde.



Ligne sans pertes terminée par une charge

On applique une onde V +0 e−jβz à la ligne, à z < 0.

V +0 e−jβz

−

+

VL

IL

ZL

z

0l

Z0, β

V (z), I(z)



Ligne sans pertes terminée par une charge

Le rapport tension-courant sur la ligne est égal à Z0.

À la charge, si ZL 6= Z0, il faut que le rapport tension-courant soitégal à ZL. Que se passe-t’il ?

Une partie de l’onde est réfléchie sur la ligne pour que le rapporttension-courant à la charge soit ZL.



Tension sur la ligne

L’onde réfléchie est : V −0 ejβz

L’onde totale sur la ligne :

V (z) = V +0 e−jβz + V −0 e

jβz

V +0 se propage vers la charge (onde incidente),V −0 se propage vers la source (onde réfléchie)


Théorie des lignes de transmission Coefficient de réflexion


Le coefficient de réflexion est le rapport entre l’onde réfléchie et l’ondeincidente :

Γ =V −0V +0

=ZL − Z0ZL + Z0

et donc : −1 ≤ Γ ≤ 1.Coefficient de réflexion

Γ =ZL − Z0ZL + Z0




La tension sur la ligne est :

V (z) = V +0

(e−jβz + Γejβz

)

Tension max sur la ligne : Vmax = |V +0 |(1 + |Γ|)Tension min sur la ligne : Vmin = |V +0 |(1− |Γ|)



Rapport d’onde stationnaire

C’est le rapport entre Vmax et Vmin.

SWR =VmaxVmin

=1 + |Γ|1− |Γ|

1 ≤ SWR ≤ ∞SWR = Standing Wave Ratio



Puissance

Puissance moyenne sur la ligne :

Pavg =1

2

|V +0 |2

Z0

(1− |Γ|2

)La puissance moyenne est constante et indépendante de z.

Si ZL 6= Z0, la puissance de la source ne se rend pas toute à lacharge. Ce sont les pertes par réflexion :

RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| [dB]

RL = Return Loss



Pertes de désadaptation

Représente combien de gain de plus on aurait si la charge était adaptée(ZL = Z0) :

ML = −10 log(1− |Γ|2

)[dB]

ML = Mismatch Loss


Théorie des lignes de transmission Exemple

Exemple

Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.

|Γ| = SWR− 1SWR+ 1

= 0.2

RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dBML = 1− |Γ|2 = −10 log

(1− |Γ|2

)= 0.96 = 0.18 dB

Selon les chiffres, 4% de la puissance est réfléchie et 96% est absorbée parla charge. Si la charge était adaptée, on aurait 0.18dB de puissance deplus à la charge.



Exemple


|Γ| = SWR− 1SWR+ 1

= 0.2

RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB

ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2

)= 0.96 = 0.18 dB




Exemple


|Γ| = SWR− 1SWR+ 1

= 0.2

RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dBML = 1− |Γ|2 = −10 log

(1− |Γ|2

)= 0.96 = 0.18 dB



Théorie des lignes de transmission Impédance d’une ligne

Impédance d’une ligne de transmission

L’impédance vue à l’entrée de la ligne de transmission :

Impédance de la ligne

Zin = Z(−l) = Z0ZL + jZ0 tan(βl)

Z0 + jZL tan(βl)

ZLZ0, β

Zinl



Impédance d’une ligne de transmission

Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)

Z0 + jZL tan(βl)

Équation très importante : la ligne transforme l’impédance de lacharge.

Plusieurs cas spéciaux :

Charge : circuit ouvert, court-circuitLongueur : λ/4, λ/2, infinie



Exemple

Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche unecharge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?

βl =

(2π

λ

)(0.3λ) = 0.6π

ZLZ0, β

Zin0.3λ

Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)

Z0 + jZL tan(βl)

= 5075 + j50 tan(0.6π)

50 + j75 tan(0.6π)

= 35.2 + j8.6 Ω

L’impédance de la ligne est réelle, l’impédance de la charge est réelle, maisl’impédance d’entrée est complexe.



Exemple : Implications

Selon l’exemple précédent, on peut faire l’équivalence suivante :

Vg

Zs

75Ω Z0 = 50Ω

source

Vg

Zs

source

Zin 35.2+j8.6Ω

Du point de vue de la source, rien n’a changé. L’équivalence est seulementvalide à la fréquence calculée.



Exemple : à faible fréquence

On reprend l’exemple, mais à faible fréquence : f = 1kHz, et l = 5cm(longueur commune sur planchette).

Vg

Zs

75Ω Z0 = 50Ω

source

5cm

λ =c

f=

3× 108

1× 103= 3× 105

βl =2π

λl = 2π

5× 10−2

3× 105= 1.05× 10−6

Zin = 5075 + j50 tan(1.05× 10−6)50 + j75 tan(1.05× 10−6)

= 75− j0.0006 ΩLa longueur de la ligne n’a pas d’importance : Zin = ZL.


Théorie des lignes de transmission Cas spéciaux

ZL = 0

Avec un court-circuit (ZL = 0),

Γ = −1SWR = ∞L’équation de la ligne est :

Zin = jZ0 tan(βl)

Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impédance est inductiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impédance est capacitive



ZL = 0

Variation de l’impédance pour une ligne court-circuitée

− 54λ −λ −34λ −

λ2 −

λ4

0−5

0

5

z

XinZ0



ZL =∞

Avec un circuit ouvert(ZL =∞),Γ = 1SWR = ∞L’équation de la ligne est :

Zin = −jZ0 cot(βl)

Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impédance est capacitiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impédance est inductive



ZL =∞

Variation de l’impédance pour une ligne avec circuit ouvert

− 54λ −λ −34λ −

λ2 −

λ4

0−5

0

5

z

XinZ0



l = λ/2

Si la ligne est de longueur λ/2,

L’équation de la ligne est :

Zin = ZL

Il n’y a pas de transformation d’impédance



l = λ/4

Si la ligne est de longueur λ/4 + nλ/2,

L’équation de la ligne est :

Zin =Z20ZL

C’est un transformation de quart de longueur d’onde (quarter-wavetransformer).C’est un cas très important.



Transformateur λ/4

Zin =Z20ZL

Si ZL = 0,

Zin =∞Si ZL =∞,

Zin = 0

L’impédance de la ligne n’est pas importante.



Ligne branchée à une autre ligne

Z1Z0Ligne infinie (outerminée par Z1)

z0

Γ T

Réflexion :

Γ =Z1 − Z0Z1 + Z0

Transmission :

T = 1 + Γ =2Z1

Z1 + Z0

Pertes d’insertion :

IL = −20 log |T |


Abaque de Smith

Abaque de Smith

Outil graphique très utile

Permet de visualiser le comportement des lignes de transmission etdes circuits micro-ondes.

Développé en 1939 par P. Smith

C’est un graphe polaire de Γ


Abaque de Smith

Abaque de Smith


Abaque de Smith

Abaque de Smith

Développement de l’abaque de Smith : On commence avec l’équation de

Γ :

Γ =ZL − Z0ZL + Z0

On normalise zL = ZL/Z0 :

Γ =zL − 1zL + 1


Abaque de Smith

Abaque de Smith

On isole pour zL :

zL =1 + |Γ|ejθ

1− |Γ|ejθ

puis on sépare en parties réelles et imaginaires (Γ = Γr + jΓi).

zL = rL + jxL =(1 + Γr) + jΓi(1 + Γr)− jΓi


Abaque de Smith

Abaque de Smith

On sépare les composantes réelles et imaginaire en deux équations :(Γr −

rL1 + rL

)2+ Γ2i =

(1

1 + rL

)2(Γr − 1)2 +

(Γi −

1

xL

)2=

(1

xL

)2Ce sont deux équations de cercles. Rappel :

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2


Abaque de Smith

Abaque de Smith : cercles de résistance

-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ

2i = 1

→ Centre : (0,0), rayon = 1

Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2i = (0.75)2→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75

Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2i = (0.5)2→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5



Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0

r = 0.33 r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ

2i = 1






Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33

r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ

2i = 1






Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33 r = 1

r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ

2i = 1






Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ

2i = 1






Abaque de Smith

Abaque de Smith : cercles de réactance

-1

1

1

-1

0

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2→ Centre : (1,3), rayon = 3

Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2→ Centre : (1,1), rayon = 1

Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33


Abaque de Smith

Abaque de Smith : cercles combinés

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

On combine les cercles de résistanceet d’admittance.

Les cercles de résistance et deréactance sont orthogonaux.


Abaque de Smith Ligne de transmission

Effet d’une ligne de transmission

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

Équation d’une ligne en fonction deΓ :

Zin = Z01 + Γe−j2βl

1− Γe−j2βl

qu’on normalise :

ZinZ0

=1 + |Γ|ej(θ−2βl)

1− |Γ|ej(θ−2βl)

La différence est le facteur e−j2βl.



Effet d’une ligne de transmission

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

Le facteur e−j2βl représente unerotation de 2βl dans le sens horaireautour du centre de l’abaque.



Exemple

Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impédance d’entrée ?

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

On normalise :

zL =ZLZ0

=75

50= 1.5 + j0

La rotation est :

θ =0.3

0.25· 180̊ = 216̊

Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω


Abaque de Smith Admittances

Cercles d’admittance

-1

1

1

-1

0

g = 3 g = 0.33g = 1

j3

−j3

j1

−j1

j0.33

−j0.33

g =∞

g = 0

Pour des admittance y = g + jb, onpeut aussi tracer des cercles.




Qu’arrive-t-il si la source n’est pas adaptée à la ligne (Z0 6= Zg) ?

Zg

Vg−+

−

+

Vin

−

+

VL

IL

ZL

z

0l

Z0

Zin

ΓLΓ

Il y a réflexion à l’entrée de la ligne.




Zg

Vg−+

−

+

Vin

−

+

VL

IL

ZL

z

0l

Z0

Zin

ΓLΓVin =

ZinZin + Zg

Vg

La puissance à la charge est :

P =1

2Re{VinI∗in} =

1

2|Vin|2Re

{1

Zin

}=

1

2|Vg|2

∣∣∣∣ ZinZin + Zg∣∣∣∣2Re{ 1Zin

}




On substitue Zin = Rin + jXin et Zg = RG + jXg,

P =1

2|Vg|2

Rin(Rin +Rg)2 + (Xin +Xg)2

On analyse deux cas. Cependant, Zg est fixe.1 Charge adaptée (ZL = Z0)2 Source adaptée (Zin = Zg)



Cas 1 : charge adaptée

ZL = Z0 ⇒ ΓL = 0Zin = Z0,

P =1

2|Vg|2

Z0(Z0 +Rg)2 +X2g

Pour P max, il faut que Zg soit faible.



Cas 2 : source adaptée

Zin = Zg ⇒ Γ = 0

P =1

2|Vg|2

Rg4(R2g +X

2g )

Même si Γ = 0, il peut quand même y avoir des ondes stationnairessur la ligne.

La puissance à la charge n’est pas nécessairement plus grande que lecas 1.



Cas 2 : source adaptée

Pour maximiser la puissance :

∂P

∂Rin= 0 et

∂P

∂Xin= 0

Ce qui donne, pour un transfert maximum de puissance,

Zin = Z∗g

La puissance est alors :

P =1

2|Vg|2

1

4Rg

Γ et ΓL ne sont pas nécessairement 0.


Ligne avec pertes

Ligne avec pertes

Dans le cas d’une ligne avec des faibles pertes, α 6= 0, et doncl’équation de la ligne est :

Zin = Z0ZL + Z0 tanh(γl)

Z0 + ZL tanh(γl)

oùγ = α+ jβ


Ligne avec pertes

Ligne avec pertes

Le coefficient de réflexion est :

Γ(l) = ΓLe−2γl

La puissance à l’entrée de la ligne (z = −l) est :

Pin =|V +0 |2Z0

(1− |Γ(l)|2

)e2αl

La puissance fournie à la charge est :

Pin =|V +0 |2Z0

(1− |ΓL|2

)


Conclusion

Conclusion

Ce chapitre forme la base du cours. Il est essentiel de bien comprendretous les éléments, en particulier :

Ligne de transmission : coefficient de réflexion, puissance.

Abaque de Smith : utilisation.

Cas spéciaux de ligne de transmission.


Problèmes suggérés

Problèmes suggérés

Dans le manuel de Pozar :

2.2, 2.6 à 2.15, 2.17 à 2.25, 2.30

Et aussi les exemples du PDF.


IntroductionLignes de transmissionCâble coaxialDeux filsPlaques parallèlesMicrorubanCoplanaireModélisation

Théorie des lignes de transmissionCoefficient de réflexionExempleImpédance d'une ligneCas spéciaux

Abaque de SmithLigne de transmissionAdmittances

Désadaptation à la sourceLigne avec pertesConclusionProblèmes suggérés

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GELE5223 Chapitre 1 : Propagation d'ondes - UMoncton...Puissance moyenne sur la ligne : P avg= 1 2 jV+ 0 j 2 Z 0 1 j j2 La puissance moyenne est constante et ind ependante de z. Si