Généralisation du théorème de weierstrass et application

Generalisation du theoreme de Weierstrass et application

Generalisation du theoreme de Weierstrass etapplication

DJEDDI Kamel*, Department of Mathematics

Universite de Oum El Bouaghi

*E-mail : [email protected]

B.P. 873 Tebessa 12002

Mai 2013

Resume. Dans ce travail, on cherche alors une approximation du operateur de Hilbert-

Schmidt, c’est-a-dire developpement de operateur de Hilbert-Schmidt a operateur po-

lynomial a partir de certaines entrees et des sorties correspondantes et represente un

application.

Mots cles. Operateur, Theoreme de Weierstrass, Developpement, Approximation. 1.In-

troduction. D’un point de vue physique un systeme peut grossierement etre considere

comme un mecanisme faisant correspondre a une action (on dira une entree) une reaction

( une sortie ). D’un point de vue mathematique, un systeme peut etre represente par

un operateur, celui-ci faisant correspondre a une fonction ( la fonction entree), une autre

fonction ( la fonction sortie).La connaissance d’un systeme revient a celle des lois qui

regissent son comportement. L’etude du comportement a partir des lois elementaires est

theoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible si le systeme est

complexe, si les phenome nes presents ne sont pas, ou sont mal connus etc...

On cherche alors une approximation du comportement du systeme (Generalisation du

theoreme de Weierstrass), c’est-a-dire une approximation de l’operateur qui le represente,

a partir de certaines entrees et des sorties correspondantes.

2.Theoreme classique de Weierstrass

Theoreme.1. Toute fonction continue sur un intervalle ferme et borne I de R , a valeurs

reelles, peut etre approchee uniformement sur I a ε pres, pour tout ε > 0, par une fonction

polynomiale.

En d’autres termes :

Theoreme.2. Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense

par rapport a C (I, R) dans E = B∞ (I, R)

Operateur de Hilbert-Schmidt

Definition.1. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un op erateur A de H1 dans

H2 est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la representation :

page : 1 DJEDDI Kamel


Af =∞∑

n=1

λn 〈f, en〉hn

ou (en) et (hn) sont des ensembles orthonormes dans H1 et H2 respectivement. f ∈ H1

λn > 0 et tel que la serie∑∞

1 λ2n converge.

Operateurs polynomes

Definition.2. Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P (x)

de X dans Y definie pour tous les x est un operateur polynome de degre m si :

P (x1 + αx2) =m∑

n=0

Pn(x1, x2)αn ∀x1, x2 ∈ X, α complexe

Pn(x1, x2) etant independants de α.

Operateur integral Hilbert-Schmidt

Definition.3. Soit T un intervalle reel, k ∈ L2 (T n+1)

un operateur integral Hilbert-Schmidt, A : L2 (T n) → L2 (T ) , s’ecrit :

(Ax) (t) =

∫T n

k (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ T n

Operateurs polynomes Hilbert-Schmidt

Definition.4. Un operateur polynome Hilbert-Schmidt de degre N est une combinaison

lineaire d’operateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’ecrira :

(Hx) (t) =N∑

n=0

∫T n

kn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn

2.Generalisation du theoreme de Weierstrass

Theoreme de Weierstrass dans espace de Hilbert Theoreme.2. Soit H un espace

de Hilbert separable, K une partie compacte de H et C (K, H) l’espace vectoriel norme

des applications continues de K dans H.

Alors la famille des operateurs polynomes definies et continus dans le compact K est

dense dans C (K, H) .

Theoreme de Weierstrass dans espace de Hilbert

En d’autres termes :

Theoreme.3. Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un

operateur polynome P(ε)N tel que∥∥∥A− P

(ε)N

∥∥∥ = supx∈K

∥∥∥Ax− P(ε)N x

∥∥∥ < ε

P(ε)N = L0 + L1x + ... + LNxN



L0 = application constante Ln = application n−lineaire Hn → H, Lnxn = Ln (x, ..., x) .

Theoreme de Weierstrass dans les espaces L2.

Soit T un intervalle reel, t ∈ T, X un compact de L2 (T ) et C[X, L2 (T )] l’espace vectoriel

norme des applications continues de X dans L2 (T ) (muni de la norme des sup).

Notons =n l’ensemble des polynomes Hilbert-Schmidt de degre ≤ n, definis sur X :

H ∈ =n ⇔ (Hx) (t) =n∑

j=0

∫T j

kj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj.

ou x ∈ X. En supposant les kj symetriques par rapport s1, ..., sj .Par definition des

operateurs Hilbert-Schmidt =n ⊂ C[X, L2 (T )].

Theoreme de Weierstrass dans les espaces L2

Theoreme.4. Soit k ⊂ C[X, L2 (T )] relativement compact (k compact) Alors ∀ε > 0,

∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynome Hilbert-Schmidt : H ∈ =n satisfaisant

la relation

‖F −H‖C[X,L2(T )] = supx∈X

‖Fx−Hx‖L2(T ) < ε

Proposition. Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2 (T ) → R. Alors

il existe une suite d’elements de = , c’est-a-dire des fonctionnelles Hilbert-Schmidt, qui

converge uniformement vers F.

Preuve

- = est manifestement une algebre.

- = separe les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel que∫T

k1(s)x1(s)ds 6=∫

T

k1(s)x2(s)ds

- toute fonctionnelle appartenant a = est evidement continue. D’apres le theoreme de

Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entier N(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle

F continue sur X on dit

|F (x)− k(x)| =

∣∣∣∣∣F (x)−n∑

j=0

∫T j

kj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj

∣∣∣∣∣ < ε, ∀x ∈ X.

Aussi, la classe = des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait dense dans c [X, R] .

Le passage a un operateur dans L2(T ) utilisera le fait qui k(x) est pre compact et peut

etre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules de diametre k. Ou simulera aussi un

operateur A a une famille de fonctionnelles At definies par

At(x) = (Ax)(t), x ∈ L2(T ), t ∈ T.

3.Application.



On va decrire la determination d’un systeme non lineaire en l’approximant par un operateur

Hilbert-Schmidt d’ordre 2.

Calcul formel d’identification.

Le systeme est approxime par un polynome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} etant une

base de L2 (T ), la sortie du systeme y(t) correspondant a l’entree x (z) est donnee par :

y(t) =

∫T

k1 (t− z) x (z) dz +

∫∫T 2

k2(t− z1, t− z2)x(z1)x(z2)dz1dz2

avec

k1 (t) =N∑

i=1

αiΦi(t)

k2 (t1, t2) =N∑

i,j=1

βijΦi (t1) Φj (t2)

avec les donnees

entrees mesurees : vecteur x (tk) , k = 1, ..., p

sorties mesurees : vecteur y′(tk), k = 1, ..., p

Probleme. Trouver les N coefficients αi et les N2 coefficients βij.

Calculs :

y(tk) = y1(tk) + y2(tk)

avec

y1(tk) =

∫T

k1 (tk − z) x (z) dz

y2(tk) =

∫∫T 2

k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2

Expression de y1(tk) :

y1(tk) =N∑

i=1

∫T

Φi (tk − z) x (z) dz

On applique la methode des trapezes pour calculer∫T

Φi (tk − z) x (z) dz pour cela, on

divise l’intervalle [0, T ] en D sous intervalles d’amplitude TD

= h cette integrale devient :

y1(tk) =N∑

i=1

hαi

[D∑

l=1

Φi (tk − zl) x (zl)

]



avec zl ∈ [(l − 1) h, lh]

Expression de y2(tk) :

y2(tk) =N∑

i,j=1

βij

(

∫T

Φi (tk − z1) x (z1) dz1)(

∫T

Φj (tk − z2) x (z2) dz2)

En appliquant la methode des trapezes on obtient :∫

T

Φi (tk − z1) x (z1) dz1 = hD∑

l=1


∫T

Φj (tk − z2) x (z2) dz2 = hD∑

l=1

Φj (tk − zl) x (zl)

donc

y2(tk) =N∑

i,j=1

h2βij

{(

D∑l=1

Φi (tk − zl) x (z1)).(D∑

l=1

Φj (tk − zl) x (zl))

}

Expression de y(tk) :

y(tk) = y1(tk) + y2(tk)

alors

y(tk) = h

{N∑

i=1

αi

(D∑

l=1


)}

+2h2

{N∑

i6=j=1

βij

[(

D∑l=1

Φi (tk − zl) x (zl)).(D∑

l=1

Φj (tk − zl) x (zl))

]}

+h2

N∑

i=1

βii

[D∑

l=1


]2

En appliquant la methode de Moindres carres : y et y′ etant respectivement les sorties

calculee et mesuree :

Sp = (y (tp)− y′ (tp))

S =P∑

p=1

(y (tp)− y′ (tp))2

=P∑

p=1

(Sp)2



On a un systeme de(N + N + N2−N

2

)equations. On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1 (tn2 − zn3) x (zn2)

∂Sp

∂αi

= h

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]∂Sp

∂βii

= h2

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]2

∂Sp

∂βij

= 2h2

[D∑

l=1

F (i, p, l)

].

[D∑

l=1

F (j, p, l)

]

Sp = h

{N∑

i=1

αi

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]}+ h2

N∑

i=1

βii

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]2

+2h2

N∑1

i6=j

βij

[(D∑

l=1

F (i, p, l)

).

(D∑

l=1

F (i, p, l)

)]− y′ (tp)

Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N2

αi = V (i) avec i = 1, ..., N

βii = V (N + i) avec i = 1, ..., N

βij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i− 1)

(N − i

2

)+ j − i

On pose G (i, j) =∑D

l=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl)

donc :

Sp = hN∑

i=1

αiG (i, p) + h2

N∑i=1

βii (G (i, p))2

+2h2

N−1∑i=1j>i

βijG (i, p) G (j, p)− y′ (tp)

1

2

∂S

∂αi

=P∑

p=1

Sp∂Sp

∂αi

= 0

1

2

∂S

∂βii

=P∑

p=1

Sp∂Sp

∂βii

= 0

1

2

∂S

∂βij

=P∑

p=1

Sp∂Sp

∂βij

= 0



avec

∂Sp

∂αi

= hG (i, p)

∂Sp

∂βii

= h2 [G (i, p)]2

∂Sp

∂βij

= 2h2G (i, p) G (j, p)

Pour completer les algorithmes, on determine les coefficients de la matrice des moindres

carres, on droit distinguer, pour l’application informatique, les differents cas :

Par exemple

cas 1 : r ≤ N s ≤ N

B (r, s) =P∑

p=1

{hG (r, p) hG (s, p)}

H (r) =P∑

p=1

{hG (r, p) y′ (tp)}

cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s−N = i

B (r, s) =P∑

p=1

{hG (r, p) h2 [G (s, p)]2

}

4.Conclusion.

Dans ce travail relatif a la recherche du modele, etudie les proprietes des operateurs

polynomes et speciallement ceux du type Hilbert Schmidt. Elle etude leur utilisation

pour approximer des operateurs non lineaire. On montrera tout operateur non lineaire

defini et continu sur un compact X de L2(T ) (T intervalle reel) peut etre represente

par un polynome Hilbert Schmidt est (donc par des integrales a noyaux) ; autrement dit

l’ensemble des polynomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2(T )]. Si au lieu de L2(T ),

l’operateur est defini sur un Hilbert separable, on verra qu’il peut etre represente par un

operateur polynome.


Bibliographie

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