Generation Aleatoire

8/18/2019 Generation Aleatoire

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La génération de nombres aléatoires

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Cadre d’utilisation

(6) Validation du modèle de simulation

(3) Collecte des données(2) Construire un modèle

(4) Choix d’un outil de simulation

Modèle validé ?

Non

(1) Formulation du problème

Non

(7) Génération d’un plan d’expériences

(8) Expérimentations et analyse des résultats

(9) Exploitation des résultats & prise de décision

Oui

(5) Programmation du modèle

Générer des observations

aléatoires à partir d’unedistribution de probabilité

(5) Programmation du modèle


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Un nombre aléatoire

Un nombre aléatoire est uneobservation aléatoire qui suit une loi dedistribution uniforme (tous les nombrespossibles sont équiprobables). Un nombre aléatoire entier (discret)

Distribution uniforme discrète. Un nombre aléatoires uniforme (continu)

Distribution uniforme continue

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Générateur de nombres aléatoires

Un générateur de nombres aléatoiresest une méthode permettant deproduire une séquence de nombresindépendants qui suivent unedistribution de probabilité spécifique. Algorithme ALEA() sous Excel etc.


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Propriétés d’un bon générateur Les propriétés d’un bon générateur : – distribution de probabilité spécifique, aucune

corrélation – reproductible – rapide – possibilité de produire plusieurs nombres aléatoires en

série (séquences)Nombres pseudo-aléatoires (aléatoire apparent : prédictible

et reproductible)

Exemple de générateurs de nombres aléatoires :Générateur congruentiel linéaire mixte

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Générateur congruentiel linéaire mixte

Génère une séquence de nombres aléatoires entiersentre 0 et m-1

Avec :a

= multiplicateurc = l’incrémentx 0 = la valeur de départ (seed)0 < m , a < m , c < m , x 0 < m

Obtenir m nombres aléatoire uniforme entre 0 et 1 :

)modulo)(( 1 mcax x nn +≡ −

petitestmsi 2

1

grandestmsi

m

x

z

m

x z

n

n

nn

+

=

=

n : 0,1,…m-1

n : 0,1,…m-1


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Exemple d’application

Générer une séquence de nombresaléatoires entre 0 et 7, en considérant a= 5, c = 7 et x0 = 4.

Déduire une séquence de nombresaléatoires uniforme

Générer une séquence de nombresaléatoires entre 0 et 7, en considérant a= 4, c = 7 et x0 = 3.

8

Solution pour a = 5, c = 7 etx0 = 4

C y c l e

= 8

Un bon générateur de nombres aléatoires

0,562541 + 4/8121n = 7

0,187512 + 1/8172n = 6

0,312525 + 2/8427n = 5

0,937570 + 7/870n = 4

0,062504 + 0/8325n = 3

0,687554 + 5/8376n = 2

0,812562 + 6/8223n = 1

0,437533 + 3/8274n = 0

Xn+1

xn+1

(5xn

+ 7)/85xn

+ 7xn

n


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9

Solution pour a = 4, c = 7 et

x0 = 3

n xn 4xn + 7 (4xn + 7)/8 xn+1n = 0 3 19 2 + 3/8 3

Impossible de générer une séquence de nombres aléatoires

Bien choisir a et c de façon à avoir un cycle de longueur m

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Génération d’une observation aléatoireà partir d’une distribution de probabilité


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Une distribution simple et discrète Générer des nombres aléatoires

entiers (ou encore continues) enutilisant le congruentiel linéaire parexemple (ou alea() sous Excel)

Associer les variables générées aux

sorties observées selon leur probabilitéd’occurrence.

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00,6253

00,7009

00,5699

00,9651

10,1030

10,3162

10,2999

00,7677

00,9245

00,7626

10,1009

00,7402

Résultat (0: Pile ; 1: Face)Nombre aléatoire entre 0 et 1 (N)

Exemple sous Excel : Le jet d’un jeton

=ALEA() =SI(N


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Méthode de la transformation

inversePour des lois de probabilité plus compliquées :F(x) = P(X≤x)

0

1

Observation aléatoire

r=0.3478

Générer un nombrealéatoire uniforme r entre0 et 1

Résoudre F(x) = r etdéduire x Géométriquement En utilisant les tablesde probabilité Analytiquement

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Loi exponentielle

Loi exponentielle de moyenne

α

α

α

α

−

−=

−=−

−=

=−=

−

−

)1ln(

)1ln(

1

1)(

r x

r x

r e

r e xF

x

x

α

1


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Loi Erlang (gamma) La somme de k variables exponentielles

indépendantes, chacune de moyenneest une loi Erlang de paramètre k et demoyenne Étant donnée k nombres uniformes entre 0

et 1 : r1, r2, r3,…rk Une observation aléatoire à partir d’une loi

d’Erlang est donnée par :

α

1

α k 1

∑= −

−=

k

i

i

k

r x

1

)1ln(

α

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Loi Normale Théorème de la limite centrale : une somme de n nombres

aléatoires uniformes (loi uniforme entre 0 et 1) de moyenne½ et d’écart type a approximativement unedistribution normale de moyenne n/2 et d’écart type

Étant donnée n nombres uniformes entre 0 et 1: r1, r2,r3,…rn

: Loi normale (0,1).

En particulier cette approximation est valide pour n=12

Z* = µ + σ Z : loi normale (µ,σ )

12n

121

12

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n

nr

z

n

i

i∑=

−

=


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Loi ki2

Une observation x qui suit une loi dedistribution de ki2 avec n degrés delibertés est la somme carré de nnombres aléatoires yi (i=1..n) quisuivent une loi normales de moyenne 0

et d’écart type 1

∑ == n

i i y x

1

2

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Ne pas oublier…EXCEL

GÉNÉRER UN NOMBRE ALÉATOIREUNIFORME ENTRE 0 ET 1 ET UTILISEREXCEL POUR FAIRE L’INVERSE EN

UTILISANT SES FONCTIONS PRÉDÉFINISLOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE()LOI.NORMALE.INVERSE()KHIDEUX.INVERSE()FISHER.INVERSE()…


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Méthode de l’Acceptation-Rejet

Dans certains cas, il est impossibled’appliquer la méthode de latransformation inverse

Méthode de l’Acceptation-Rejet

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Une distribution triangulaire dedensité f(x) /

≤≤

≤≤

=

sinon 0

2x1si1)-(x-1

1x0si x

f(x)


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1. Générer un nombre aléatoire uniforme(réel) r1 entre 0 et 1. Prendre x=2r1(ainsi x ∈ [0,2])

2. Accepter x avec la probabilité définiecomme suit « x est l’observation

aléatoire désirée ». Sinon Rejeter x

≤≤

≤≤=

2x1si1)-(x-1

1x0si xProbabilité

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3. Générer r2 un nombre aléatoireuniforme entre 0 et 1. r2 représentel’événement aléatoire d’acceptation oude rejet Accepter x si r2 ≤ f(x) Rejeter x si r2 > f(x)Si x est rejeté, revenir à l’étape 1.


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