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Physique

MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE DORAL

-EXERCICE 17.5-

ENONCE : Glissement dune rgle sur larte dune table

xe!

ze!

ye!G

O

x

A

B

Une rgle AB, de centre d'inertie G, a une masse m et une longueur 2L.Elle est place sur une table horizontale.

Initialement: , avec: 0xOG ae a l="""! !

Le coefficient de frottement rgle-table est constant et vaut f.

On donne le moment dinertie de la rgle par rapport laxe Gy : 2

3mLJ =

A t=0, on lche la rgle sans vitesse initiale ; aprs avoir justifi le fait quil ne peut y avoir de

glissement 0t += , dterminer langle 0 partir duquel apparat le glissement. Commenter lexpression obtenue.

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CORRIGE : Glissement dune rgle sur larte dune table

1) Analyse du problme :

Soit I le point grav sur la rgle et concidant avec O pour t 0 ; on a :

(0 ) (0 ) 0O table I rglev v

= =

!! ! ; or : (0 ) 0O tablev

+ =

!! pour quil y ait glissement en 0+ , il faudrait

que : (0 ) 0I rglev+

!!

, ce qui est contraire au fait que la vitesse est une grandeur continue (toute

grandeur intervenant dans une forme dnergie doit tre continue, car faire varier lnergie de faon discontinue ncessiterait une puissance infinie ; cette dernire remarque est temprer par la notion de quasi-continuit en fonction de lchelle dobservation).

Le dbut du mouvement se fait donc sans glissement la rgle amorce un mouvement de rotation pure autour de laxe fixe Oy.

Le problme est un degr de libert, mais la question nest pas ici de dterminer lquation du

mouvement dans cette phase : il sagit dexprimer les composantes et T N! !

de la raction de la table sur la rgle en fonction de langle , puis de se placer la limite du glissement (en 0 = ), o lon aura : T f N=

! !.

Logiquement (pour pouvoir projeter simplement les forces ci-dessus), nous choisirons une base

cylindrique lie la rgle : sur cette base, lacclration fait intervenir les drives et i ii

; nous les dterminerons en fonction de grce au TMC (barycentrique) ou au TEC, que nous

prfrerons : en effet, il est plus facile de driver i pour obtenir

ii que linverse.

Enfin, le mouvement se faisant sans glissement, la seule force qui travaille est le poids, qui drive dune nergie potentielle nous utiliserons la conservation de lnergie mcanique.

2) Rsolution du problme :

Nous raisonnerons sur la figure ci-contre; le senspositif des rotations est le sens horaire (cohrentavec le sens + de l'axe Oy de l'nonc).En l'absence de vitesse initiale, le sens de la raction tangentielle est sans ambigut: en casde glissement, ce dernier se ferait dans le sens duvecteur radial, la raction tangentielle est donc dusens contraire.

GO

x

A

B

T! N

!

mg! re!

e!

Thorme de la rsultante cintique projet sur la base polaire :

2sur : ( ) cosre ma T mg = +i!

( 0,T % est le MODULE de T!

)

sur : cose ma N mg = +ii!

(1)

Conservation de lnergie cintique :

Energie cintique : appliquons le thorme de Knig la rgle ; il vient : 2 2

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 3 2 3C G

mL LE mv J m a m a = + = + = +i i i i

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Energie potentielle : lorigine sera prise pour une position horizontale de la rgle :

sinPE mga = (lorsque & , sin ' PE ' : logique, puisque G descend )

On a alors: 0C PE E cste+ = = 2

2 21 ( )( ) sin 02 3

Lm a mga + =i

2

22

2( ) sin

3

agLa

=+

i

Par drivation temporelle, on obtient : 22

cos

3

agLa

=+

ii

En remplaant et i ii

dans le systme (1), on arrive : 2 2 2

2 2 2 2

9 sin et: mgcos 3 3

L a LT mg NL a L a

+= =+ +

(on remarque que pour [ [0, / 2 , 0N % le contact en O ne cesse jamais). En se plaant la limite du glissement, et en faisant le rapport de

et de T N , il vient enfin : T fN= 0 2

2

tan91

faL

=+

(2)

Rq1 : si 0f (absence de frottements), 0 0 (pas de force pour empcher le glissement) si f , la rgle est pratiquement colle larte de la table 0 / 2

Rq2 : si /a L& , le bras de levier du moment du poids (li a) augmente (davantage que le moment dinertie, li L), et lacclration angulaire va augmenter (TMC), diminuant langle dapparition du glissement, conformment (2).