Génération de mouvements des manipulateurs mobiles

Génération de mouvementsdes manipulateurs mobiles

Etat de l’art et perspectives

Bernard Bayle* — Jean-Yves Fourquet** — Marc Renaud*

* Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes, CNRS7, Avenue du Colonel RocheF-31077 Toulouse cedex 4

{bbayle,renaud}@laas.fr

** Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes47 Avenue d’AzereixBP 1629, F-65016 Tarbes cedex

[email protected]

RÉSUMÉ. De nos jours, les robots sortent du domaine industriel et sont destinés à des missionsen milieu naturel qui sont de plus en plus complexes et requièrent en particulier de combinerlocomotion et manipulation. Les systèmes qui possèdent ces deux facultés reçoivent maintenantle vocable de manipulateur mobile et présentent une grande diversité de structure. Dans unpremier temps, un tour du monde des structures et des missions relatives à ces manipulateursmobiles est présenté. Il est suivi d’une revue des travaux consacrés à la génération de tra-jectoires et de mouvements pour les manipulateurs mobiles composés d’un bras manipulateurclassique et d’une plate-forme mobile à roues.

ABSTRACT. Nowadays, robots are not only used as industrial systems but also in natural envi-ronments which results in more complex tasks. So, combining locomotion and manipulation isan instance of the new requirements. The systems named mobile manipulators have these twocapabilities and may have many different structures. First, we will introduce some mobile ma-nipulators through a travel around the world of robotics laboratories. Then, we will propose asynthesis on path and trajectory generation for mobile manipulators made from a manipulatormounted on a wheeled mobile robot.

MOTS-CLÉS : robotique, manipulateur mobile, locomotion et manipulation, génération de trajec-toires, génération de mouvements.

KEYWORDS: robotics, mobile manipulator, locomotion and manipulation, path planning, motionplanning.

APII-JESA. Volume 35 – n�

6/2001, pages 809 à 845

810 APII-JESA. Volume 35 – n�

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1. Introduction

Dans l’esprit du grand public, le robot correspond à un certain imaginaire. S’iln’est pas nécessairement humanoïde, il est néanmoins doté de réelles aptitudes de dé-placement et d’action dans son environnement. Le but principal des roboticiens est deconcevoir un robot � � intelligent � � , sachant accomplir une mission complexe de manièreautonome. Les premiers robots à avoir été conçus furent les bras manipulateurs, dontl’utilisation dans l’industrie s’est peu à peu banalisée. Toute manipulation est limitéepar leurs dimensions et par leur nombre de degrés de mobilité. Ainsi, ils se trouventconfinés à des espaces structurés, avec le plus souvent de faibles capacités de travail.C’est la raison pour laquelle sont apparues les plates-formes mobiles, caractérisées parleur aptitude à évoluer dans des environnements de grande taille, en regard de leursdimensions. En vue d’applications industrielles, ces plates-formes mobiles ont du êtredotées d’outils divers (nettoyeurs de métro, exploration ou surveillance grâce à descaméras, etc.).

Pour les missions en milieu hostile, spatiales, ou qui requièrent tout simplementdes capacités combinées de locomotion et de manipulation, ces plates-formes ont dûêtre dotées d’un bras manipulateur pour devenir des manipulateurs mobiles. Il fautnoter que l’étude effective des systèmes mécaniques que constituent les manipulateursmobiles est relativement récente [JOS 86] [LI 86] [DUB 88]. Comme le souligne T.Arai [ARA 96], la conjonction des fonctions locomotion et manipulation démultiplieles possibilités de ces fonctions séparées. L’association d’un bras et d’une plate-formebénéficie de la complémentarité des deux systèmes mécaniques qu’ils constituent. Auniveau de l’espace de travail tout d’abord, un bras associé à une plate-forme augmenteles possibilités de franchissement d’obstacles (ouverture et franchissement de portes,déplacement des obstacles) ; la plate-forme permet au bras d’étendre son espace detravail, jusqu’alors restreint. Au niveau de la nature des tâches pouvant être effectuées,un bras permet de diversifier les travaux possibles, généralement limités au simpletransport pour une plate-forme. Le manipulateur mobile, en procurant des degrés demobilité supplémentaires, augmente les possibilités de manipulation du bras.

Le passage d’un bras à base fixe à un manipulateur mobile pouvant explorer unespace de travail bien plus grand offre ainsi de nouvelles perspectives. On peut envi-sager des applications où le bras est amené par sa plate-forme sur le site de travail,ou, plus intéressant encore, des tâches nécessitant la coordination des deux systèmesqu’ils constituent. L’association plate-forme/bras ouvre enfin de nouveaux horizons enmatière de perception. Le système mécanique constitué permet en effet une meilleureexploration de l’espace de travail, et donc sa reconnaissance à l’aide de capteurs no-tamment visuels. Par exemple, des caméras peuvent être orientées aisément si ellessont montées sur le bras.

Un état de l’art, aussi précis soit-il, ne peut avoir la prétention d’être exhaustif. Leparti pris de cette synthèse est de fournir :

– un rapide tour d’horizon afin d’appréhender la diversité des travaux concernantdes robots combinant locomotion et manipulation ;

Manipulateurs mobiles : état de l’art 811

– une présentation plus détaillée concernant la génération des mouvements pourles manipulateurs mobiles à roues évoluant dans un milieu d’intérieur.

Cette présentation permet d’englober toute une partie des études menées par lacommunauté robotique. Elle laisse de côté les études spécifiquement mécaniques (mo-délisation dynamique, équilibre de l’ensemble, etc.). Un document technique pluscomplet [BAY 00b] propose des pointeurs sur ces différents thèmes, ainsi qu’une bi-bliographie élargie.

1.1. Un tour du monde des manipulateurs mobiles

Pour illustrer la grande diversité des systèmes expérimentaux que l’on rencontre àce jour, nous proposons un petit tour du monde en quelques projets. Au vu de la di-versité des thématiques [REN 99], nous avons préféré donner cet aperçu en naviguantsur les différents continents.

En Asie, on peut noter deux types d’approches très différentes selon qu’elles sontmenées au sein des universités ou des entreprises. Les laboratoires de recherche desuniversités prennent souvent en charge tant la conception et la réalisation du robot quel’étude de sa commande. Ainsi, nombre de projets universitaires sont caractérisés parle caractère artisanal de la réalisation des prototypes.

Figure 1. Manipulateurs mobiles LCAR I, YAMABICO TEN et DANBO

Un dénominateur commun des projets LCAR I [LEE 97] [PAR 97] (KOREA ATO-MIC ENERGY RESEARCH INSTITUTE, Taejon, Corée du Sud), YAMABICO TEN

[NAG 97] et DANBO (tous deux de l’université de Tsukuba, Japon) est de présenterdes manipulateurs mobiles dont le bras est à l’avant de la plate-forme (cf. figure 1). Lebras ainsi placé présente une large partie de son espace de travail orienté vers le sol.

Le projet robot humanoïde Honda est lui aux antipodes des méthodes de travailprécédentes. Initié en 1986, il en est aujourd’hui, avec le robot ASIMO, récent succes-seur du robot P3 (cf. figure 2), à la quatrième génération. L’idée est de construire unnouveau type de robot qui puisse cohabiter avec des humains dans leur environnement,plutôt que construire des bâtiments à dessein. Ce type de robot est destiné à accomplirdes tâches délicates telles que déplacer des objets ou monter et descendre des esca-


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liers. Les concepts se fondent, pour la plupart, sur une étude anthropomorphique. A cejour, une série de démonstrations très intéressantes font des robots Honda des robots àla pointe des recherches sur les humanoïdes, manipulateurs mobiles par excellence...

Figure 2. Robots P3 et ASIMO

Les plates-formes expérimentales rencontrées en Europe sont de facture beaucoupplus académique.

Ainsi, le LAAS–CNRS (Toulouse, France) dispose du manipulateur mobile H � BIS

(cf. figure 3) constitué d’une plate-forme non holonome de type HILARE à deux rouesmotrices indépendantes portant un bras ROBOSOFT de type 6R. Ce robot est notam-ment utilisé dans l’étude de la coordination plate-forme/bras [FOU 98a].

Figure 3. Manipulateur mobile H � BIS

Le LIRMM (Montpellier, France) s’est également impliqué depuis quelques annéesdans la thématique du manipulateur mobile [PER 98a]. Ce laboratoire est équipé d’unmanipulateur mobile, appelé MAMOB (cf. figure 4), constitué d’une plate-forme detype voiture ANDRUET et d’un bras PUMA 500 de type 6R. Parallèlement, le LIRMM aparticipé à un projet original avec le CEMAGREF concernant l’étude du manipulateur


mobile PATCHWORK (cf. figure 4) pour automatiser des opérations agricoles de semis[THO 95].

Figure 4. Manipulateurs mobiles MAMOB et PATCHWORK

Les études sur la commande référencée vision s’appuient également souvent surun manipulateur mobile, qui peut porter la caméra sur son organe terminal (OT). AinsiANIS (cf. figure 5), développé à l’INRIA (Sophia-Antipolis, France), sert de base ex-périmentale aux travaux du projet ICARE [TSA 97].

Figure 5. Manipulateur mobile ANIS - c�

INRIA/Photo A. Eidelman - Projet ICARE

Selon une approche plus industrielle, l’IPR (Karlsruhe, Allemagne) a développéKAMRO (cf. figure 6). Il s’agit d’un manipulateur mobile destiné à des tâches auto-nomes en environnement industriel. Il est constitué d’une plate-forme omnidirection-nelle permettant des mouvements dans des espaces confinés et de deux bras PUMA

200 de type 6R. KAMRO est équipé de capteurs d’efforts six axes pour la manipula-tion, d’un système de vision pour la reconnaissance d’objets et de capteurs à ultrasonspour la navigation [NAS 94] [LUE 95].

Parmi les manipulateurs mobiles, on compte également nombre de robots sous-marins de type ROV (Remote Operated Vehicle). Ces engins, généralement construits


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Figure 6. Manipulateur mobile KAMRO

à l’unité, possèdent des fonctions d’acquisition de données et de commande tempsréel. VICTOR 6000 (cf. figure 7) est un robot téléopéré de l’IFREMER (Toulon, France)pour l’exploitation des grands fonds. C’est un engin à câble, piloté à partir d’un naviresupport. Il est destiné à des missions locales comportant de l’imagerie, de la mise enœuvre d’instrumentation, des prélèvements d’eau de sédiments ou de roches. Il opèresur des superficies d’une dizaine de kilomètres carrés.

Figure 7. Robot sous-marin téléopéré VICTOR 6000


Aux Etats-Unis, la diversité des systèmes rencontrés est la plus grande. Dopés parles financements de l’industrie spatiale, les laboratoires de recherche parient sur desprojets originaux et souvent ambitieux.

Dans le cadre d’opérations de maintenance sur le projet de station orbitale FREE-DOM, le JET PROPULSION LABORATORY (Pasadena, Etats-Unis) s’est intéressé àl’inspection des surfaces exposées aux micrométéorites notamment. Cette inspection,difficilement réalisable par les astronautes, a été envisagée par le biais d’un systèmetéléopéré.

Figure 8. Manipulateur mobile RSI et simulateur

Ainsi, les travaux de H. Seraji, dont [SER 98] fournit un bon aperçu, comptentparmi les premières contributions à l’étude des manipulateurs mobiles. Dans le projetREMOTE SURFACE INSPECTION (RSI) (cf. figure 8), le bras ROBOTICS RESEARCH

K1207 de type 7R est monté sur une plate-forme pouvant effectuer des translations.Parmi les composantes de ce projet [LIM 97], on trouve la manipulation et l’inspec-tion à l’aide d’un poignet instrumenté équipé de deux caméras CCD couleur et d’illu-minateurs, ainsi que nombreux autres capteurs : température, composition chimique,proximité, efforts.

A l’université de Stanford (Stanford, Etats-Unis), le projet STANFORD ASSISTANT

MOBILE MANIPULATOR (SAMM) vise à développer des robots semi-autonomes assis-tant des humains dans des tâches de manipulation. Conçu en ce sens, SAMM repré-sente selon le terme de l’équipe de recherche � � une paire de mains supplémentaire � � etpeut déplacer des charges de dimensions importantes sous la supervision d’un humain[KHA 97]. Par ailleurs, plusieurs manipulateurs mobiles peuvent contribuer à une telletâche. Les plates-formes expérimentales ROMEO et JULIET (cf. figure 9) développéeset construites à Stanford, en collaboration avec NOMADIC TECHNOLOGIES et l’OAK

RIDGE NATIONAL LABORATORY sont toutes deux constituées d’un bras PUMA 560de type 6R monté sur une plate-forme omnidirectionnelle NOMADIC.

Doté de huit roues, embarquant un système d’acquisition de données automatique,le véhicule tout-terrain de surveillance (cf. figure 9) de l’OAK RIDGE NATIONAL LA-


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BORATORY (Oak Ridge, Etats-Unis) est téléopéré. Il est destiné à surveiller les dépôtsde déchets radioactifs aux Etats-Unis.

Figure 9. Manipulateurs mobiles ROMEO et JULIET, véhicule tout-terrain de sur-veillance

Pour finir ce petit tour du monde, nous évoquerons deux projets tout aussi surpre-nants l’un que l’autre de l’université de Carnegie Mellon (Pittsburg, Etats-Unis). Lepremier s’inspire de cette interrogation sur notre futur domestique : est-il possible deconstruire des robots qui s’accaparent nos bureaux, capables de percevoir l’état de ran-gement et si besoin est, de ranger eux-mêmes? Ainsi est né le projet [MAS 99] d’unmanipulateur mobile de bureau (cf. figure 10) se déplaçant à l’aide de quatre roues etmanipulant des objets courants sur un bureau. Le prototype est assez semblable à unevoiture miniaturisée. Il peut se déplacer à l’aide de ses roues avant, et, en actionnantles roues arrières, entraîner une feuille de papier.

Figure 10. Manipulateur mobile de bureau

Dans une dimension toute différente, le projet SKY WORKER (cf. figure 11), initiépar la NASA, consiste à créer une équipe de manipulateurs mobiles capables de se dé-placer sur des panneaux solaires et d’y réaliser des tâches d’assemblage, d’inspectionet de maintenance dépassant les capacités des astronautes. De conception futuriste,ces robots, manœuvrant en apesanteur, ont conduit à un premier prototype.


Figure 11. Projet SKY WORKER

1.2. Organisation de l’étude

Pour exposer les différents travaux effectués dans le domaine de la génération detrajectoires et de mouvements pour des manipulateurs mobiles, nous avons choisi demettre en évidence les deux problématiques principales.

Le premier problème consiste à rechercher un chemin 1 menant le manipulateurmobile d’une configuration initiale donnée à une configuration finale désirée. Pourcela, nous considérerons dans un premier temps les différentes approches liées à laplanification : planification au sens le plus classique (cf. paragraphe 3.1.1.1) et di-verses variantes (cf. paragraphe 3.1.1.2, paragraphe 3.1.1.3 et paragraphe 3.1.2). Aces méthodes, pour la plupart non réactives, nous opposerons ensuite des approchesréactives s’appuyant sur des primitives de déplacement et de manipulation interagis-sant entre elles et avec l’environnement. Nous verrons le principe des approches réac-tives les plus classiques dans le paragraphe 3.2. Enfin, nous présenterons les travauxrelatifs au second problème, qui consiste à rechercher l’évolution de la configurationdu manipulateur mobile lorsque la trajectoire de l’OT est imposée. Ce problème, pluscontraint, nécessite une réelle coordination.

2. Définitions et notations utilisées

Nous étudions un manipulateur mobile constitué d’une plate-forme mobile à deuxroues motrices indépendantes évoluant sur une surface plane et portant un bras mani-pulateur rigide à � liaisons (cf. figure 12). Les indices � � repèrent les grandeurs liéesà la plate-forme et les indices �� celles liées au bras.

Nous notons�� un repère fixe,

�� le repèremobile lié à la plate-forme et

�� !�� "�� #�!�� le repère lié à la base du bras.

$. Le terme chemin est synonyme de trajectoire.


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�

�

��

��

��

� � �

��

�

� �

� ��

��

��

��

��

� �

��

Figure 12. Manipulateur mobile de type H � BIS avec � ��

Notons que les repères mobiles��

et� �

sont parallèles. La position de la base dubras, par rapport à la plate-forme, est définie par deux paramètres, � et � [GAR 00].Enfin, notons

�� le repère mobile lié à l’OT du bras et tournantautour du point

��. Le point

�� , centre de l’OT, est fixe dans le repère� �

.

2.1. Configuration, situation, modèles et commande

2.1.1. Configuration du manipulateur mobile

Si l’on fait abstraction des roues, la configuration de la plate-forme est définie parles trois coordonnées généralisées � , � et ! , où � et � sont l’abscisse et l’ordonnéedu point

�dans

�et ! l’angle formé par les vecteurs

�� et�� . Nous la notons 2 :" � �$# % �&� % � �

% �('*),+ �-# � � !.),+ .

La configuration du bras est définie par les � coordonnées généralisées% �/� , % � � , � � � , % � � qui correspondent aux grandeurs caractéristiques (angles de rotationpour les liaisons rotoïdes, translations pour les liaisons prismatiques) des différentesarticulations. Nous la notons : " � �$# % �/� % � � � � � % � � ),+ .

La configuration du manipulateur mobile est donc définie par la donnée des0 �2143 � coordonnées généralisées précédentes. Nous la notons : " �$# % � % � � � � %&5 ) +soit " �-# � � ! % �6� % � � � � � % � � )7+ et donc " �8# " +� " + � )7+ . Ces coordonnées sont ennombre minimum ; elles permettent de connaître la position, dans le repère

�, de tout

9. Les vecteurs, ou matrices colonnes, sont indiqués en gras.


point du manipulateur mobile. L’espace généralisé ou espace des configurations, noté�, est de dimension 0 .

2.1.2. Situation de l’organe terminal du manipulateur mobile

Pour un solide, le terme situation signifie position et orientation.

La situation de la plate-forme, dans le repère�

, est définie par les trois coor-données opérationnelles � , � , ! qui s’identifient à ses trois coordonnées généralisées.Nous la notons : � � � # � �*�� ('()7+ � # � � !.),+ .

La situation de l’OT du bras, dans le repère� �

, est définie par les six coordonnéesopérationnelles � �6� , � � � , � � ' , � , � , � qui représentent respectivement les coordonnéescartésiennes du point

�� , dans le repère��

, et les angles d’Euler classiques durepère

��par rapport au repère

��. Nous la notons : � � �$# � �/�� '�� () + .

La situation de l’OT du manipulateur mobile, dans le repère�

, est définie par lessix coordonnées opérationnelles � � , � � , � ' , , � , � qui représentent respectivementles coordonnées cartésiennes du point

� �� , dans le repère�

, et les angles d’Eulerclassiques du repère

� �par rapport au repère

�(on remarquera que � ! 3 � ).

Nous la notons : � �-# � �� *'��(),+ � # � �� *'� ��),+ . L’espace opérationnelou espace des situations, noté � , est de dimension six. Cependant, afin de traiter lecas le plus général, nous supposerons que la dimension de cet espace est � .

2.1.3. Modèles directs du manipulateur mobile

2.1.3.1. Modèle géométrique direct (MGD) du manipulateur mobile

Il s’agit de la fonction � qui permet d’exprimer la situation � de l’OT en fonctionde la configuration " du manipulateur mobile : � � � � " � , avec � �-# � � � � � � � �� ),+ .

2.1.3.2. Modèle cinématique direct (MCD) du manipulateur mobile

Il s’agit de la relation �� " � �" où la matrice�

est la matrice jacobienne de lafonction � :

� �� " �� !"�# �"�$�� "�# �"%$'&� � � � � � � � �"�#)("�$ � � � �

"�#*("�$ &+-,. �

2.1.4. Commande

On notera / � (resp. / � ) le vecteur des commandes appliquées à laplate-forme (resp. au bras) ; alors / � # / +� /�+ � )7+ est le vecteur des commandes ap-pliquées au manipulateur mobile. On parlera de commande en position, en vitesse, enaccélération ou en force selon la nature de / .


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2.1.5. Conventions

Des notations sont adoptées pour l’ensemble de notre étude :

– l’opérateur différentiel"��" � s’applique en ligne. Le gradient d’une fonction sca-

laire�

s’écrit : � � �� "�� + �� % � � �� % �� %&5 +��

– la matrice identité d’ordre 0 est notée 5 ;

– de manière générale, les consignes des asservissements, ou les grandeurs deréférence seront signalées par un astérisque ; par exemple �� est la situation souhaitéede l’OT ;

– une trajectoire généralisée (voir ci-après) � peut être incomplètement spécifiéepar la donnée de � tâches configurations intermédiaires " � � " � � � � � "

�tâches ;

– la matrice : ��

0 1 �

exprimée dans�

et correspondant à la matrice de rotation � , d’ordre 3, combinée àla matrice de translation � , de dimension 3 x 1, est la matrice de passage homogène ;elle est d’ordre 4 [DOM 88].

D’autres notations utiles tout comme les autres modèles nécessaires seront intro-duits au fur et à mesure dans les différents paragraphes.

2.2. Trajectoire et mouvement

Précisons ici quelques points fondamentaux de vocabulaire. Un mouvement estune application définie en fonction du temps � , reliant un point initial à l’instant � � àun point final à l’instant � # . Un mouvement généralisé relie une configuration initiale" � � " � � � � à une configuration finale " # � " � � # � , alors qu’un mouvement opération-nel relie une situation initiale � � � � � � � � à une situation finale � # � � � � # � .

Une trajectoire est le support d’un mouvement. La trajectoire généralisée est :� " � � �� # � � � � # )�� et la trajectoire opérationnelle :� � � � �� # � � � � # )�� . Ces deux

trajectoires peuvent être représentées par des courbes paramétrées en fonction d’unparamètre � quelconque normalisé ( � � # ! �#" ) ). Il peut s’agir par exemple de l’abscissecurviligne normalisée de la courbe. L’évolution du paramètre � en fonction du temps� est, par définition, le mouvement sur la trajectoire.

Mettons en garde le lecteur contre les faux-amis que l’on trouve en anglais : dansla langue de Shakespeare, path est utilisé pour désigner chemin ou trajectoire et tra-jectory ou motion signifie le plus communément mouvement !


3. Problèmes point à point

Cette catégorie de problèmes est classique en robotique. En matière de robots mo-biles, on la retrouve parfois sous l’appellation de navigation. S’agissant de manipu-lateurs mobiles, le problème consiste à trouver une stratégie de déplacement d’uneconfiguration initiale vers une configuration finale. On distingue ici deux techniques :

– les méthodes à base de planification, qui consistent à prédéterminer une solu-tion au problème point à point, étant donné la structure de l’espace de travail et lescontraintes agissant sur le système ;

– les méthodes réactives, qui permettent de générer les commandes du systèmesur la base de données perceptuelles.

Bien évidemment il existe des variantes à ces deux catégories, dont nous auront l’oc-casion de parler.

Les manipulateurs mobiles posent nombre de difficultés pour aborder les pro-blèmes point à point. Etant des systèmes d’ordre généralement élevé, ils posent leproblème de la vitesse des algorithmes envisagés. Comment faire évoluer un manipu-lateur mobile? De manière découplée, en utilisant les connaissances sur les différentssous-systèmes, ou de manière coordonnée, quitte à revoir les principes de résolution?Nous allons voir dans les paragraphes qui viennent les principales méthodes présentesdans la littérature, tant en planification que concernant les méthodes réactives. Uneanalyse suivra qui tentera de faire la synthèse des avantages des différents points devue.

3.1. Planification

Nous désignerons par planification la résolution du problème suivant : trouverl’évolution amenant le système d’un point initial à un point final.

Il peut s’agir d’évolution dans l’espace généralisé ; dans ce cas, les points initialet final sont des configurations. On est alors dans le cas du problème de planificationle plus classique, désigné dans [FOU 99] sous l’appellation tâche généralisée point àpoint (TGPAP). Il peut s’agir de planification de trajectoire, ce qui est le cas des deuxpremiers sous-paragraphes du paragraphe 3.1.1, ou bien de planification de mouve-ment, comme au paragraphe 3.1.2.

Sinon, le problème de planification peut consister à rechercher l’évolution dansl’espace opérationnel ; dans ce cas, les points initial et final sont des situations. On estalors dans le cas du problème de planification désigné dans [FOU 99] sous l’appel-lation de tâche opérationnelle point à point (TOPAP). Cependant, on peut remarquerqu’en général, la configuration initiale est connue et qu’en conséquence, le second casse ramène au premier si l’on calcule une configuration finale correspondant à la situa-tion finale désirée, en inversant le MGD. Ce sera le cas du troisième sous-paragraphedu paragraphe 3.1.1.1.


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3.1.1. Planification de trajectoire

3.1.1.1. Planification seule

Le problème le plus classique consiste donc à trouver une trajectoire généraliséepour le manipulateur mobile, c’est-à-dire :

" � # ! ��" )�� " � � � �telle que " � ! � � % �

et " � " � � % #. Dans l’énoncé proposé, les contraintes sur le

système mécanique n’apparaissent pas ; elles doivent évidemment être intégrées dansla résolution.

La recherche d’une trajectoire se faisant dans l’espace des configurations, on doitprendre en compte toutes les contraintes d’ordre géométrique, telles que les bornesdes différentes coordonnées généralisées (par exemple, débattement maximum pourchaque articulation), ou les obstacles dans l’espace de travail, qui modifient l’en-semble des configurations accessibles. Par ailleurs, le traitement du problème est dif-férent selon la nature de la plate-forme. S’il s’agit d’une plate-forme à roues, le rou-lement sans glissement des roues sur le sol la contraint à suivre certaines trajectoires.Lorsque la contrainte ne peut être intégrée (c’est le cas des plates-formes à roues àaxes fixes), le système mécanique est non holonome. Cette propriété est à la base denombreuses études en robotique [LAU 96]. On peut néanmoins être étonné du peu detravaux publiés à ce jour traitant du problème spécifique de la planification de trajec-toires pour un manipulateur mobile dont la plate-forme est non holonome.

Dans [FOU 98b], les auteurs abordent ce problème, mais ne considèrent ni les obs-tacles, ni les limites articulaires. L’espace des configurations est supposé entièrementlibre. La génération de la trajectoire est décomposée en deux parties. La planificationpour le bras ne pose pas de problème, car les " �� pour � � "#� � � � � � peuvent êtrechoisis indépendamment les uns des autres, par exemple comme des fonctions affinesde � : " �� " � �� 3 � " #�� " � �� . En revanche, toutes les trajectoires ne sont pasadmissibles pour la plate-forme ; leur génération doit alors être obtenue à l’aide deplanificateurs dédiés aux plates-formes mobiles non holonomes : planificateurs utili-sant la platitude, les systèmes chaînés [SEK 96].

Parmi les techniques de planification de trajectoire en présence d’obstacles, on peutnoter la méthode dite d’approximation de chemin holonome [LAU 96]. Elle consisteà appliquer un planificateur local non holonome, doté d’une propriété dite propriététopologique, sur une première trajectoire holonome, i. e. ne tenant pas compte descontraintes cinématiques. De tels planificateurs locaux peuvent être déterminés dansle cas d’un manipulateur mobile, mais ces techniques ne sont pas appliquées en rai-son de leur complexité algorithmique élevée. On a plutôt recours à des techniquesprobabilistes [KAV 96] qui garantissent un résultat plus rapide (en moyenne évidem-ment). Pour autant, la planification nécessite des trajectoires analytiques. Dans le casde l’application � � �� développée au LAAS-CNRS [NIS 99], la planification pour lerobot H � BIS a été étudiée. Pour cela, les auteurs construisent un graphe en connectant,


quand c’est possible, des configurations tirées de façon aléatoire à l’aide de trajec-toires linéaires pour le bras (comme expliqué précédemment) et de chemins de Reedset Shepp pour la plate-forme [SOU 93]. Mais à cause du tir aléatoire des configura-tions et des trajectoires de natures différentes pour le bras et la plate-forme, on n’ob-tient pas nécessairement des évolutions très satisfaisantes. Pour remédier à cela, il fautalors procéder à une optimisation de la trajectoire (lissage, bande élastique).

3.1.1.2. Planification et réaction : bande élastique

Le concept de bande élastique (elastic band) a été proposé par S. Quinlan [QUI 94]pour les plates-formes mobiles. O. Brock a étendu ce concept aux manipulateurs mo-biles (elastic strips) [BRO 98]. Le principe est de raisonner sur la trajectoire d’un ma-nipulateur mobile comme s’il s’agissait d’une bande élastique. Le but se veut double :optimiser une première trajectoire fournie par un planificateur ou bien déformer unetrajectoire donnée pour prendre en compte d’éventuels obstacles en temps réel. Encela, l’idée est à la frontière entre planification et commande réactive.

Le manipulateur mobile est représenté par son épine dorsale, qui est un segmentorienté selon sa direction principale. On modélise son volume accessible, sans colli-sion, par des bulles dans l’espace opérationnel, dont la taille est plus ou moins grandeselon que l’on s’approche des obstacles. Soit � un point dans l’espace opérationnelet � � � � �� /�� , la distance minimale entre ce point et l’obstacle le plusproche. On définit � � � � , la bulle dans l’espace opérationnel par :� � � � � � � � � � � � � � � ��

On obtient une approximation de l’espace libre autour d’un corps rigide � du ma-nipulateur mobile dans une configuration " en calculant l’ensemble des bulles cen-trées sur son épine dorsale. Cet ensemble de bulles est appelée coque de protectionet notée

�� . La coque�� du manipulateur mobile � est la réunion des coques de

chacun des corps le constituant :�� . Une bande élastique est une

séquence de coques : � � �"! �#�� #�� #��%$ tâches & , entre � tâches configurations" � � " � � � � � "�

tâches sur une trajectoire � du robot. Une trajectoire � est faisable si levolume ' � réellement pris par le manipulateur mobile le long de la trajectoire restedans la bande, soit ' � )( '+*, � � �.- ��- � tâches

�#�$0/ .L’application de forces internes sur la bande permet de la déformer pour contraindre

la trajectoire initiale. Cela peut être souhaitable dans le cas où le planificateur initialest basé sur des tirs aléatoires de configurations (dispersions dans les résultats obte-nus). Par ailleurs, l’application à la bande de forces extérieures de répulsion dérivantd’un potentiel dû aux obstacles rencontrés en cours d’exécution permet elle aussi dedéformer la bande [BRO 98].

Il est important de souligner que les déplacements élémentaires d’une coque àl’autre sont des droites dans l’espace des configurations. Par conséquent, la méthodeexposée ne s’applique qu’à des systèmes holonomes. Son adaptation à des systèmesnon holonomes est à l’heure actuelle un sujet ouvert (on peut néanmoins citer M.Khatib [KHA 96] qui a fait une adaptation pour la plate-forme HILARE).


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3.1.1.3. Planification de trajectoire, précédée d’une optimisation de la configurationfinale

Dans le cas moins classique où la situation finale est imposée, le problème deplanification peut être précédé d’une phase d’optimisation de la configuration finale :on recherche, sous contraintes, la configuration finale à atteindre, avant de résoudrele problème exposé dans le paragraphe précédent. En effet, les manipulateurs mobilesconsidérés sont tels qu’une même situation de l’OT peut être obtenue à partir d’uneinfinité de configurations : ils sont redondants au sens usuel du terme. Fréquemment,le problème de planification est généralisé : il s’agit d’enchaîner plusieurs tâches dontles situations finales et les efforts finaux sont imposés.

Ce problème peut être formalisé, en suivant la présentation de W. Carriker[CAR 90] [CAR 91], comme un problème de minimisation. Les tâches à accomplirsont définies par une série de situations de l’OT (notées �� ) et d’efforts (notés �� ) qu’ildoit appliquer sur l’environnement. La � -ème tâche est donc définie par les conditionsinitiales : �� , �� et les conditions finales �� et �� . Plus précisément, pour unetâche � , la trajectoire de l’OT est définie par la matrice de transformation homogène�� , exprimée dans

�, amenant le système de �� en �� et les efforts par le vecteur

�� -# �� + �� +)7+ , exprimé dans�

également, au point de configuration " � . Lesvecteurs

� � �8# � �� ) + et � �8# � � � � � � ) + représentent respectivement les

forces et les moments appliqués par l’OT sur l’environnement.

Le problème est alors le suivant : soient � � � � � et � les fonctions de coût associéesrespectivement à la trajectoire du bras, de la plate-forme et du manipulateur mobile :

�� 3 � � �� [1]

sous : ��

�� [2]

� � � � + � " � � � � � " �� tâches

�(cf. équation [6]) [3]

"�� " � � "�� [4]� � � � � � � � � � �(� � [5]

où :

–

�� est la matrice de passage homogène 3 de " �� à " � ;

–� � le vecteur des efforts appliqués par chaque actionneur.

�. Soit � � le repère lié à l’OT, si !#"�$&%')(�' � (resp. !*"'�(�' � ) est la matrice de passage de � à �+�

dans la configuration initiale (resp. finale), alors ! "-, !*"'�(�' �. !*"�$&%')(�' ��/ $&% . Ainsi ! "10 est lamatrice correspondant au passage désiré de la situation 2 "�$&% à 2 " .


Une illustration concernant une plate-forme holonome et un bras de type double-pendule plan est donnée sur la figure 13 : les situations et efforts étant donnés pourchaque tâche, c’est la trajectoire de la plate-forme qui est recherchée.

basetrajectoire de la

zone d’accessibilitépour la base

manipulateur mobile

3ème tâche

��

2ème tâche

� �%� ��

1ère tâche

� �%

Figure 13. Problème d’optimisation de trajectoire

Diverses solutions ont été proposées, essentiellement pour des robots possédantdes plates-formes holonomes.

Méthodes numériques S’agissant d’un problème d’optimisation pour un sys-tème non linéaire d’ordre élevé, les solutions proposées sont fréquemment basées surdes algorithmes d’optimisation numérique.

W. Carriker et al. [CAR 89] proposent une adaptation d’un algorithme de pro-grammation non linéaire. Puis ils résolvent [CAR 91] le problème avec la techniquedu recuit simulé. Il s’agit d’un algorithme fondé sur une analogie avec le recuit en mé-tallurgie, qui sert à amener les métaux dans un état cristallin de moindre énergie. Unetempérature est associée au système et le coût � de l’état initial calculé. Le système


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est alors refroidi, i. e. on le fait évoluer vers son but. A chaque nouvelle températureun coût est associé. S’il est inférieur au précédent, il est accepté. S’il est supérieur,il existe néanmoins une probabilité de l’accepter. Cette probabilité � � � �� dépendde la variation du coût � � engendrée par le changement de température et de la tem-pérature courante

� � . Avec ce choix, plus � � est petit et

� � élevée (minimum local� � raisonnable � � ), plus on a de chances d’accepter le réchauffement. L’inconvénient decette méthode réside dans sa validité, qui, malheureusement, n’est qu’empirique.

Sur ce même problème, M. Zhao, N. Ansari et E. Hou [ZHA 94] d’une part etM. Chen et A. Zalzala [CHE 97] d’autre part font appel aux algorithmes génétiques.La publication [ZHA 94] détaille la construction de l’algorithme. Le système étantredondant d’ordre � 0 � � , coordonnées généralisées sont choisies et codéesdans une chaîne binaire qui constitue le gène. L’algorithme génétique procède alorspar analogie avec les processus naturels de reproduction. Une population initiale estcréée par le tir aléatoire de N chaînes de coordonnées admissibles, i. e. respectantla contrainte [4]. Une fonction d’évaluation est créée pour caractériser les qualités dechaque chaîne. Ici, la fonction d’évaluation est :

�� 3 � � � �� " �� ! �avec �� ! � � � � � � � � � � � � � � �" � � � � �

où � � � � est un coût maximal établi pour la fonction � (cf. équation [1]). Cette évalua-tion permet de sélectionner les gènes qui seront retenus pour constituer la populationsuivante. A la suite de cette reproduction ont lieu des processus de mutation, avec uneprobabilité � � , et de croisement, avec une probabilité � � .

Les algorithmes génétiques et le recuit simulé sont des techniques empiriques.Ainsi, les choix de la taille de la population, des valeurs de � � et � � nécessitentune certaine expérience ; quant au choix de

�, il est déterminant. Par exemple, dans

[ZHA 94], les auteurs soulignent que la fonction�

doit être transformée en� ��/� � �� pour donner des résultats satisfaisants.

Parmi les méthodes d’optimisation utilisées, on rencontre également des tech-niques plus traditionnelles, basées sur la résolution numérique des conditions d’op-timalité. F. Pin et J.-C. Culioli [PIN 90] [PIN 92] résolvent le problème dit de TOPAPévoqué au paragraphe 3.1, en recherchant " # correspondant à � # et � # souhaités eten minimisant un ou plusieurs critères. Dans le but d’optimiser l’enchaînement detâches (aux points dits de commutation), le critère évalué peut concerner plusieurs deces tâches, comme cela a été vu précédemment. Par ailleurs, comme les auteurs ma-nifestent le souci de minimiser plusieurs critères simultanément, on s’intéresse à unefonction de coût : � �� x � � 3 � � � � 3��


qui est une somme pondérée de coûts :

– ��x

�� x � x � �� avec x un point du robot et x

�un point du � -ème obstacle,

pour l’évitement des obstacles ;

– � � � � � �� , pour éviter les singularités 4 ;

– � � � � � # � +�� + � ),+ � � , où� � et

� � désignent les efforts appliqués au bras et àla plate-forme respectivement et � un coefficient de pondération. � � est introduit pourminimiser l’énergie dépensée.

On peut ici noter la multiplication des paramètres (�� , ,

�, � ), sans nul doute

source de difficultés. A partir de l’écriture de ce critère, on peut obtenir une condition,d’optimalité en dérivant le lagrangien � " �� 3�� + � � � � # � et en écrivant lacondition nécessaire d’optimalité au premier ordre :

� � " � ! �� ! �Ce système d’équations est alors résolu numériquement à partir de l’algorithme

de Newton, combiné à une méthode de tunneling [LEV 84] afin d’éviter les minimalocaux.

Approche géométrique H. Seraji [SER 95] aborde par une approche purementgéométrique la détermination de la position de la plate-forme, la position de l’OT

étant connue. L’auteur s’intéresse à un bras à six liaisons rotoïdes ayant une structureépaule/coude/poignet. Une fois résolu le problème du positionnement de la plate-forme(accostage), les coordonnées généralisées du bras peuvent être déterminées de ma-nière unique. A l’orientation près de la base, on peut donc obtenir " # .

Si l’on ne tient pas compte du poignet et de l’OT, l’accessibilité du bras, c’est-à-dire la longueur dont le bras peut se déplier est telle que (cf. figure 14) :

� � �� 3 ��

� �� % � ' �

où �� et � désignent les entraxes épaule/coude et coude/poignet.

Ainsi, cette longueur est bornée : � � � � � � � � . Les expressions de � � �et � � � peuvent être établies en fonction de

% � ' � � � et% � ' � � � et diffèrent selon les

valeurs numériques de ces paramètres. Le poignet du robot peut donc accéder à deszones comprises entre deux sphères pour une position donnée de la plate-forme. Néan-moins, ces sphères peuvent être tronquées par les limites sur les deux premières articu-lations du bras. La situation de l’OT est donc contrainte. Notons que, réciproquement,en partant d’une situation de l’OT correspondant à une tâche donnée, on peut obtenirl’ensemble des positions accessibles pour la plate-forme.

�. � �� . �"!��$#! / est la mesure de manipulabilité d’un bras de jacobienne �%! [NAK 91].


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� ��

� ��

poignet

épaule

coude

'

Figure 14. Schéma épaule/coude/poignet du bras

3.1.2. Planification de mouvements

Contrairement au paragraphe précédent, on recherche ici les consignes temporellesà appliquer au système pour aller d’une configuration initiale à une configuration fi-nale. Le problème consiste donc à trouver :

" � # � � � � # )�� " � � � �avec " � � � � � " � et " � � # � � " # .

3.1.2.1. Minimisation sous contraintes

C. Perrier, P. Dauchez et F. Pierrot [PER 98b] définissent la tâche point à point parles situations initiale et finale de l’OT. La plate-forme est de type voiture et le bras asix liaisons rotoïdes. Le mouvement est obtenu par un algorithme numérique itératif.L’incrément de temps � � prévu pour discrétiser le mouvement est fixé. Soit

�*�� *

(resp.

�*�� * � ) la matrice de passage homogène du repère

�au repère

� �(resp. du

repère�

au repère��

). Soit

� �*� * � �

�*� * � � � � � (resp.

� #*�� * � ��*�� * � � � # � ), la

matrice définissant la situation initiale (resp. finale) de l’OT. Notons que � # est uneinconnue du problème qui, au final, après � # itérations, vaut � # � � # � � . Soit �� lavitesse moyenne de la plate-forme et l’erreur de position admissible. L’algorithmeest indiqué ci-après (cf. tableau 1).

La minimisation du critère permet de calculer, grâce à un modèle linéarisé, la cour-bure � et la vitesse de la plate-forme pour les � # itérations effectuées, ainsi que lescoordonnées généralisées du bras à l’instant courant. Cette minimisation est effectuéesous contraintes, car � � �� , et " � sont bornés. Les quaternions duaux sont éga-lement proposés par les auteurs comme une alternative aux matrices homogènes pourdécrire les déplacements.


� �� /�� *� * � � � �� #*�� * � � � �

� �*� * �� # � � !

Si � � � � *��* � � �� alors� # � � � # 3�� +�� # � � � # � � � �� *�� * � � � ��

��* � � � � ��* � � ��

�* ��* � � � # � � � #*� * � � �� *�� * � � � �

� #*� * � � � ��*� * � � � # �

Tableau 1. Algorithme d’optimisation de mouvement sous contraintes

3.1.2.2. Commande optimale

J. Desai et al. [DES 96] s’intéressent à la commande optimale d’un système dedeux manipulateurs mobiles à base non holonome. Le problème, présenté de manièrecanonique, est le suivant : soit un système décrit par l’équation d’état �� / � � � ,où � est l’état du système,

��

� � � � � � / � � � � � � � �"! � � � � / � � � � ! � � � "#� � � � � �$#% � � � � / � � �� !'&)(+*% � � % � 3 ��

� ! � � � " � � � � � ��,Ce problème peut être écrit sous la forme du problème variationnel suivant :

�� .- � � � ��

� �0/ � � �1- � �- � � �2�3 � � � / � � 3 � + � �� / � � � � 354 +6 3 � +879 �- � � � + /+ � + 4 + � +� + � + �

Les conditions aux limites sont données par :� � � � � � � � � � � � # � � � # � / � � � � � ! �� ! �:4 � � � � � ! � � � � � � � ! � � � � � � ! �Concernant la résolution numérique, l’intervalle de temps

# � �#� � # ) est discrétisé en �sous-intervalles égaux et le problème consiste en la résolution d’un système à 0 � � 3�" �inconnues. La résolution du problème, à l’aide de l’algorithme de Raphson-Newton,passe par un effort de calcul important.REMARQUE. — En guise de repère, le tableau 2 recense les problèmes évoqués auparagraphe 3.1 et les solutions recherchées.


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PlanificationApproches de Planification

trajectoires dePlanification Bande mouvements

seule élastique

Entrée " � , " # " � � � � , � �� " � , " #Sortie " � � � , � �� " � � � , � ��

( " � � � , � �� )

" � � � , � ��

Tableau 2. Méthodes présentées dans le paragraphe 3.1

3.2. Approches réactives

Nous avons pris le parti de présenter sous cette appellation deux types de mé-thodes. Elles concernent un problème point à point directement dans l’espace de latâche sans se référer explicitement à la configuration du système. De plus, elles onten commun le fait que le mouvement réalisé n’est pas réellement planifié mais résulted’une stratégie locale, à partir d’informations courantes (position absolue ou relativedu robot, efforts réels ou virtuels, situation relative d’un motif dans une image), quitend à la réalisation d’un but ; ceci se traduisant à chaque instant par une direction pri-vilégiée de convergence. On notera que ces méthodes, selon que l’état de la tâche estconnu a priori ou acquis en temps réel, peuvent être à la fois des méthodes de plani-fication, mais aussi que leur caractère local leur permet de réaliser un asservissementsur l’état de la tâche.

3.2.1. Potentiels et commande dans l’espace opérationnel

Nous allons évoquer ici l’approche de O. Khatib [KHA 87], dite formulation dansl’espace opérationnel (operationnal space formulation). Cette écriture du problèmeconsiste à projeter les équations dynamiques du système dans l’espace opérationnel.

Ainsi, le modèle dynamique du manipulateur mobile, qui s’écrit :

� � " ��" 3� � " � �" � 3 6 � " � ��dans l’espace généralisé devient :

� � " � �� 3 � � " � �" � 3� � " � � � �dans l’espace opérationnel, avec :

–� � " � � �)� � " � � � � � " � � + � " � � � � matrice carrée d’énergie cinétique du sys-

tème ;

– � � " � �" � � �� + � " � � " � �" � 3 � � " � �� " � �" matrice colonne due aux forcescentrifuge et de Coriolis ;

– � " � � �� + � " � 6 � " � matrice colonne due à la force de pesanteur ;


– � matrice colonne des efforts opérationnels.�� " � � � � � � " � � + � " � � � " � est appelée inverse généralisée dynamiquementconsistante de

�.

Le système est piloté par des forces virtuelles dérivant d’un potentiel : une forceattractive tire l’OT vers son but ; des forces répulsives dues aux obstacles repoussentle point du manipulateur mobile le plus proche des obstacles. Pour produire les mou-vements dans l’espace des configurations se pose alors le problème de la redondance.La relation

� � � + � " � � , valide pour les bras non redondants, doit être étendue aucas des bras redondants. On montre qu’alors [KHA 95] :

� � � + � " � � 3 � 5 � � + � " � � + � � " � � � � � [6]

où� �

est un vecteur d’efforts quelconque. D’où la décomposition classique entreefforts participant au mouvement externe de l’OT :

� + � " � � , et efforts induisant un

mouvement interne, i. e. une reconfiguration du système :� 5 � � + � " � � + � � " � � �� .

La formulation de O. Khatib a fait l’objet d’un nombre très important de travaux.Son intérêt a été souligné, s’agissant notamment d’évitement d’obstacles en tempsréel, mais ses faiblesses ont également été mises en évidence. La présence de minimalocaux lorsque l’on superpose des forces répulsives et attractives est un point délicat.C’est d’ailleurs la raison pour laquelle nous ne l’avons pas mis dans le paragraphe desméthodes de planification. Alors que cette méthode peut très bien servir à résoudre unproblème de planification de mouvement, elle apparaît surtout réellement intéressantepour sa réactivité.

Les résultats utilisés pour la génération de mouvements des manipulateurs mobilessont strictement identiques à ceux des bras fixes. On considère donc les degrés de mo-bilité apportés par la plate-forme comme des articulations supplémentaires. Ceci n’estpossible que pour les plates-formes holonomes, car pour les systèmes non holonomes,la relation [6] n’est plus applicable aussi simplement.

3.2.2. Commande dans l’espace des capteurs de vision

Le système manipulateur mobile est équipé d’une caméra. L’asservissement vi-suel consiste à faire converger, dans le plan image de la caméra, des indices visuels� extraits d’une image courante vers les indices visuels de référence � � . Dans ce do-maine, le projet ICARE de l’INRIA fait certainement figure de pionnier [TSA 98]. Lapremière contribution associant manipulation mobile et asservissement visuel est dueà R. Pissard-Gibolet [PIS 93].

La plupart des auteurs [PIS 93] [CAD 99] envisagent le problème comme une ré-gulation exponentielle des indices visuels. Si

�� * � représente la vitesse de la camérapar rapport à

�, exprimée dans le repère

� � lié à la caméra, alors :

�� * � �� * � / �


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où�� * � représente la matrice jacobienne réduite [FOU 96] exprimée dans le repère� � et / le vecteur des commandes du manipulateur mobile. On appelle abusivement

jacobienne de l’image la matrice� , définie par :

�� , �� * � �� , �� * � / �Soit e

� � � � � la fonction de tâche [SAM 91] que l’on souhaite réguler àzéro selon une convergence exponentielle : �e 3 � e

� !, avec

� � � � . Posons�� , �� , �� * � . Les auteurs choisissent :

/ � � � � �� , �e 3 � 5 � � � �� , �� , � 6 � � � �� où�� , désigne la pseudo-inverse (ou inverse de Penrose-Moore) de

�� , . Ce choixpermet de linéariser la relation entrée-sortie (entrée � , sortie " ). La première partiede cette expression représente l’asservissement visuel et la seconde un mouvementinterne réalisé à l’aide d’une tâche secondaire 6 � (un gradient en l’occurence). Lechoix d’une tâche secondaire adéquate reste délicat à effectuer.REMARQUE. — En guise de repère, le tableau 3 recense les problèmes évoqués auparagraphe 3.2 et les solutions recherchées.

Commande CommandeApproches dans l’espace dans l’espace

de travail capteur

Entrée " � , " # � �Sortie

�� , � �� " � � � , � � � � �

��

Tableau 3. Méthodes présentées dans le paragraphe 3.2

3.3. Comparaison et analyse des différentes approches

K. Nagatani [NAG 96] présente une approche particulière combinant planificationde trajectoires et commandes réactives. Implémentée à l’aide d’une stratégie à base decomportements [BRO 86], les primitives de mouvement et de manipulation sont en faitdes modules spécifiques, permettant de résoudre des problèmes précis – suivre_mur,ouvrir_porte, etc. Le problème de la succession de ces différents comportements est engénéral du ressort d’un planificateur de plus haut niveau [ARK 94]. Ainsi, dans l’ap-proche de K. Nagatani, les aspects planifiés et réactifs cohabitent. Le souci affirmédes problèmes de mesure est révélateur des problèmes expérimentaux rencontrés pourexécuter des trajectoires planifiées sur des distances importantes. Par ailleurs, des re-calages sont effectués par des modules de type asservissement visuel (sur une poignée,pour ouvrir une porte), donc typiquement réactifs. Il ne s’agit là que d’un faible com-promis et la réactivité du système, en particulier en cas d’échec, est peu évidente : on


replanifie entièrement une nouvelle trajectoire [NAG 97]. Néanmoins, la nature forte-ment expérimentale de ces travaux amène deux conclusions critiques :

– réussir une expérimentation dans un environnement encombré (ici un labora-toire), franchir des obstacles complexes (des portes par exemple) sans planification detrajectoire est délicat ;

– à l’inverse, réussir une manipulation, un positionnement sans informations pro-venant en temps réel des capteurs extéréoceptifs et influençant le mouvement est im-possible.

Dès lors, pourquoi séparer génération de la trajectoire et exécution, dans un schémarigide?

La coexistence des aspects planifiés et réactifs dans les schémas proposés par K.Nagatani est une bonne base de réflexion. Il est rare de voir ces deux problèmes co-habiter dans la littérature. Des techniques laissant place à la planification et à la réac-tivité voient cependant le jour : par exemple, le concept de bande élastique [BRO 97]présenté au paragraphe 3.1.1.2. Selon une autre approche, on s’intéresse à l’enchaîne-ment de primitives de commande dites référencées multicapteurs [CAD 99], ceci afinde résoudre les problèmes de passage d’une méthode de commande locale à une autre.Néanmoins, à l’heure actuelle, le choix des techniques à mettre en œuvre pour réaliserdes tâches pratiques de manière générique reste un problème ouvert.

4. Problèmes à trajectoire opérationnelle imposée

L’apparition de bras manipulateurs sur les plates-formes mobiles marque la préoc-cupation d’enrichir la gamme des tâches réalisables par des robots mobiles. A ce titre,certains problèmes se posent sous l’angle manipulation. En particulier le problèmedu mouvement des manipulateurs mobiles évoluant à trajectoire opérationnelle impo-sée, c’est-à-dire dont la tâche opérationnelle est définie par une trajectoire de l’organeterminal. Outre la redondance qui caractérise généralement ces systèmes, il est néces-saire de voir si les techniques connues en manipulation peuvent être utilisées et dansquelle mesure elles s’appliquent.

4.1. Commande cinématique

Que le système soit holonome ou non holonome, les vitesses généralisées et opé-rationnelles sont reliées par un modèle cinématique de la forme :

�� " � �" �où les matrices colonnes �� et carrée

� � " � sont définies ci-après. La matrice� � " � est une matrice jacobienne dans le cas holonome seulement ; les vitesses géné-ralisées �" � étant, par définition, respectivement indépendantes dans le cas holonomeet liées dans le cas non holonome.


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L’approche cinématique consiste à inverser cette relation, i. e. à écrire �" en fonc-tion de �� . On obtient ainsi l’expression des �" en fonction des variations de la consigneopérationnelle. Cette commande peut être implémentée pour fonctionner en ligne se-lon le schéma discret :

" � � � � � � " � � � � � � 3 �" � � � � � � � � �où � � est la période d’échantillonage et � � � � � � (cf. figure 15).

–++

+ �� Manipulateur mobile

��

�

cinématique

Retardpur

Retardpur

Inversion de la

� � �Système de commande

du bras manipulateur

Note : pour tout vecteur v, v �� v ��

� �

� � � ��

Figure 15. Structure de commande cinématique

Dans tous les cas, on se ramène à la résolution d’un système linéaire. Lorsquecelui-ci possède une infinité de solutions, le système est redondant et il existe essen-tiellement deux solutions : ajouter des lignes à la matrice considérée pour la rendreinversible (c’est la méthode des tâches additionnelles) ou calculer une solution mini-misant un critère (ce sont les techniques d’inversion généralisée). Ces deux approchesse retrouvent dans la littérature et sont l’objet d’un intérêt tout particulier de notre part.

4.1.1. Cas holonome

Il existe différentes techniques de commande cinématique des bras [NAK 91][SCI 96] qui peuvent être étendues aux manipulateurs mobiles. H. Seraji [SER 93]reprend les résultats de son étude des bras dite improved configuration control. Lasolution proposée utilise la technique des moindres carrés pondérés (damped leastsquare), particulièrement dédiée à la résolution du problème des singularités.

Soit �� " � �" le modèle cinématique direct d’un manipulateur mobile holo-nome. Définissons maintenant un ensemble de tâches additionnelles décrit par la re-lation matricielle �� " � �" . Alors :� �� " �


On notera�� # � + � +� ),+ la matrice jacobienne augmentée des tâches addition-

nelles et� � # � + � +� ),+ la matrice colonne situation augmentée. Deux possibilités se

présentent :

– soit la jacobienne augmentée est rendue carrée et de rang plein (égal à 0 )par les tâches additionnelles ; on peut alors obtenir les consignes �" en l’inversant :�" � � � � � " � �� ;

– soit elle est toujours de rang inférieur à 0 et l’on obtient une solution en mini-misant un critère.

H. Seraji propose la minimisation de :

� � �" +� � � �" � 3 �" + � � � �" � 3 �� + � � �� 3 �� + � � � � �� avec �� " et �� " . Les

� � sont les matrices de pondération associéesaux différentes erreurs.

La solution de ce problème est :

�� On obtient ainsi l’expression des �" en fonction des variations de la consigne opéra-

tionnelle. On peut également utiliser la commande :

�" � � � � � " � � �� 3�� avec

�diagonale, définie positive [SER 98], visant à stabiliser le vecteur

�autour de

� � .P. Ögren, M. Egerstedt et X. Hu, de l’Institut royal de technologie de Stockholm,

en Suède, proposent également un schéma de coordination-découplage d’un mani-pulateur mobile. Celui-ci est constitué d’une plate-forme mobile omnidirectionnellede type NOMADIC XR4000 et d’un bras PUMA 560. Dans [EGE 00], chaque sous-système est asservi sur la trajectoire d’un point de référence. La poursuite des deuxpoints de références est coordonnée de façon à ce que la situation donnée de l’OT soitaccessible, compte tenu du placement de la plate-forme mobile. Dans [ÖGR 00], lemouvement de la base n’est pas une entrée du problème. En revanche, la redondancedu système est utilisée pour éviter des obstacles de manière réactive. Ces deux articlesprésentent des résultats sous forme de simulations.

4.1.2. Cas non holonome

Intéressons-nous maintenant aux contraintes non holonomes. De telles contraintestraduisent le roulement sans glissement de la plate-forme sur le sol et donc des valeursinterdites pour la matrice colonne des vitesses généralisées. Ces contraintes peuventêtre écrites sous la forme matricielle � � " � �" � !

. Dans le cas d’un robot mobile detype HILARE, il n’y a qu’une contrainte non holonome, qui s’écrit :

� � " � �" � �� ! � �� ! � ! �


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En tenant compte de la non-holonomie, l’écriture de la cinématique du manipulateurmobile devient : �! ! ��

+. ��! � ��

+. �" �soit si l’on note maintenant

� � " � �$# � + � " � � + � " � � +� � " � )7+ la matrice augmentée et� �$# ! � + � +� ),+ : �� " � �" �

Comme précédemment, le système peut être inversé de deux manières. Si lestâches additionnelles font que la matrice augmentée est de rang plein, on peut l’in-verser [SER 98] [FOU 98a]. Par ailleurs, on peut toujours résoudre le problème parune minimisation de critère :

� � �" +� � � �" � 3 �" + � � � �" � 3 �� + � � �� 3 �� + � � � �� B. Bayle, J.-Y. Fourquet et M. Renaud [BAY 00a] [BAY 00c] adoptent l’écriture :

�� " � �� [7]

où�� " � est la jacobienne réduite [FOU 96] du système, tenant compte des contraintes

non holonomes et �� # /+� � /�+ � )7+ � avec / � � #�� ),+ , où et � sont les vitesses

linéaire et angulaire de la plate-forme et / � � �" � .Les auteurs résolvent ensuite [7] en minimisant � � �� ( � � � � � représente la norme

euclidienne) pour �� donné. La solution s’écrit :

�� " � �� 3 � 5 � � � �� " � �� " � � �� et permet de reconfigurer le système à l’aide du vecteur assigné �� .

C.-C. Wang et V. Kumar [WAN 93] proposent également un schéma à base deminimisation de critère dans une modélisation différente (principe des vis).

U. Nassal [NAS 96] adopte une stratégie différente. Plutôt que de recourir auxmouvements internes, il propose un schéma dans lequel la plate-forme et le bras sonttotalement découplés. Pour cela, il s’intéresse à un bras à six liaisons rotoïdes, doncnon redondant. Le découplage est réalisé de la façon suivante :

�� " � �

�� " ��

Les configurations " � et les situations � de l’OT et � � de la plate-forme dans�

sontdes matrices colonnes 6 x 1 ; les matrices

�� et

�� sont des matrices de dimension 6 x 6


et on peut montrer que

�� " �" � � et

�� " �" �� ; ce ne sont pas des matrices de passage

au sens classique (cf. paragraphe 2.1.5). Connaissant �� et � �� , on peut calculer :

�" � � � � � � � �� " � � ��

Le premier terme concerne le mouvement de l’OT, le second celui de la plate-forme.La plate-forme du projet KAMRO [NAS 94] étant holonome, le mouvement est calculéà l’aide d’une descente de gradient. �� est une fonction de " � , �" � et d’éventuels obs-tacles. Le schéma de découplage est donc celui présenté sur la figure 16.

2 0 . � /

2��

� 0!

� !Calcul du gradient

du coût

Coût

DécouplageInversion de lacinématique

Controler" (CMC)

Bras

Plate-forme

Système de commande

Système de commande

du bras manipulateur

de la plate-forme2 0� "Coordinated Motion

Figure 16. Découplage plate-forme/bras selon la méthode de U. Nassal

Admissibilité des consignes

L’un ou l’autre des schémas cinématiques proposés permet d’établir les vitessesgénéralisées nécessaires pour piloter le système. S’agissant de consignes en vitesse,il n’est pas évident que celles-ci soient admissibles par le système, dont l’accéléra-tion est nécessairement bornée. Les vitesses applicables sont donc bornées et le casde consignes trop élevées (près des singularités par exemple) peut se présenter. Lesconsignes doivent donc être engendrées en tenant compte de ces éléments. Cela im-plique de gérer les singularités et de commander le mouvement sur la trajectoire � � � �[REN 99].


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4.2. Commande dynamique

Dans la résolution du problème, on peut vouloir prendre en compte le comporte-ment dynamique du système. Pour cela, W. Miksch et D. Schroeder [MIK 92] adoptentégalement le principe de la minimisation d’un critère. Ils utilisent la modélisation dy-namique du système :

� � � � " � / 3 � � " � �" � ��" � / �

où � � " � �" � représente la partie non linéaire de la dynamique. Cette dynamique estdécouplée et compensée.

Pour résoudre la redondance du système, les auteurs recherchent les tâches addi-tionnelles (cf. section 4) permettant de rendre le système carré et optimisant certainesfonctions. Celles-ci ont trait à des indices statiques (éloignement des limites articu-laires) mais également cinétiques (énergie cinétique, mesure de manipulabilité de T.Yoshikawa [YOS 90]) et dynamiques (efforts fournis). L’optimisation est soit statique,i. e. à chaque instant, soit dynamique, tout au long du mouvement (critère intégral éva-lué de � � à � # ). Ceci permet, dans les deux cas, de résoudre le problème de la redon-dance, et donc de déterminer l’ensemble des variables de configuration manquantes.

Plus précisément, les auteurs se proposent d’optimiser la fonction :

� � �� +� � � # � � � �� # � 35� ��

� �� " � 3 �� " � 3 � � � �" � � 3 ��

avec :

– �� # � � � � � � # � et� � la matrice de pondération associée ;

– � � � � " � � � � � � � � � � � �(� �+� � � � � � � � � où � � est une mesure de manipulabilité ;

– � � � " � � � � � " � � � � � � " � � + � � � � " � � � � � � " � � , où� " � � � � � � � � � �� / $

�

et� � est une matrice de pondération dépendant des limites articulaires ;

– � � � �� +� � � �� , l’énergie cinétique associée aux tâches additionnelles et� �

une matrice de masses définie positive ;

– � � �� +� � � � � , où� � est également une matrice de pondération définie

positive.

Pour les diverses solutions proposées pour résoudre ce schéma, le lecteur se repor-tera à [MIK 92].

D’autres auteurs ont posé le problème sous un angle dynamique, par exempleY. Yamamoto et X. Yun, qui abordent et résolvent un nombre important de problèmes,de la modélisation à la commande au contact, l’évitement d’obstacles, regroupés pourl’essentiel dans [YAM 94a]. Le schéma de coordination adopté par ces auteurs est lesuivant : le bras est maintenu dans la configuration pour laquelle sa manipulabilité estla plus grande. Ceci correspond à une configuration éloignée de ses singularités. Pour


le bras ainsi contraint, la position de l’OT dans le repère mobile� �

est fixe. Le pro-blème de suivi de la trajectoire de l’OT est alors celui du suivi de la trajectoire de labase du bras, donc un problème de commande de la plate-forme non holonome. Laplate-forme est modélisée par sa dynamique, mise sous forme d’état ; ensuite les au-teurs proposent un retour d’état non linéaire permettant de piloter le système, à condi-tion que le point commandé sur la plate-forme ne se situe pas sur l’axe des roues.

Ce parti pris peut étonner : le problème ainsi posé n’est alors plus un problème decoordination, mais un problème de pilotage de la plate-forme 5. Pour plus de détails,le lecteur pourra se référer à l’une des nombreuses publications de Y. Yamamoto etX. Yun, par exemple [YAM 94b] et [YAM 99].

Stabilité, effet des perturbations mécaniques

L’effet des perturbations mécaniques ou des erreurs de modèle peut engendrerun certain nombre de problèmes : manque de robustesse des commandes, oscillationsdues aux amortisseurs des plates-formes, voire basculement du manipulateur mobileà cause du poids du bras manipulateur. Ce thème étant sensiblement en marge de lagénération de mouvement, nous nous contenterons de renvoyer le lecteur vers les ré-férences suivantes : [CHO 97], [HOO 91], [HUA 00], [REY 97] et [TAH 96].

5. Conclusion

La littérature traitant de manipulateurs mobiles est à ce jour nombreuse et variée.De nombreux laboratoires de robotique travaillant sur les plates-formes mobiles oules bras manipulateurs se dotent de tels systèmes. Si, du point de vue des perspec-tives d’utilisation, ces systèmes découplent les possibilités, ils offrent également denouveaux enjeux scientifiques en raison de leur redondance et de la difficulté de mo-déliser les différentes tâches ou missions qui peuvent leur être assignées. En effet,enchaîner des tâches de navigation et de manipulation, décomposer en sous-tâches,décider de la coordination du bras et de la plate-forme, sont autant de problèmes àrésoudre.

L’état de l’art présente la plupart du temps des approches fonctionnelles. Lemanque de précision dans la définition des problèmes abordés rend souvent périlleuxun tel travail de synthèse. Concernant la problématique du mouvement décrite danscette synthèse, nous distinguons essentiellement :

– les problèmes point à point ;

– le problèmes à trajectoire opérationnelle imposée.

Dans le cas du problème point à point, on note l’évolution vers des techniquesplus réactives (cf. paragraphe 3.2.2) que la planification pure (cf. paragraphe 3.1.1.1).

�. B. Bayle et al. [BAY 01] utilisent la manipulabilité globale du système pour engendrer, à par-

tir de modèles cinématiques, des mouvements coordonnés prenant en compte la manipulabilitédu manipulateur mobile tout entier et non plus celle du bras manipulateur seul.


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Cette dernière seule permet d’obtenir à coup sûr un résultat si celui-ci existe, maisnécessite des calculs coûteux pour des systèmes dont le degré de mobilité est souventélevé, et ce malgré des techniques probabilistes performantes. S’inscrivant dans uncompromis réaliste efficacité/temps de calcul, les approches référencées multicapteurs(notamment capteurs visuels), qui nécessitent une moindre structuration de l’espacede travail, sont en plein essor.

Enfin, il semble indispensable de préciser que le mouvement simultané d’uneplate-forme et d’un (ou plusieurs) bras pose le problème de la validité des outilsconnus pour les bras, dans des domaines comme la commande dynamique, la com-mande hybride position/force par exemple. La liste des sujets à revisiter laisse ainsiprésager d’un bel avenir pour les manipulateurs mobiles.

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– ISRAM : International Symposium on Robotics and Manufacturing ;

– ISRR : International Symposium on Robotics Research;

– JNRR : Journées Nationales de la Recherche en Robotique ;

– MDP : International Conference on Mechanical Design and Production.

Bernard Bayle est agrégé de génie électrique et ancien élève de l’Ecole normale supérieure deCachan. Il prépare actuellement un doctorat de robotique au sein du groupe robotique et intel-ligence artificielle du LAAS–CNRS. Ses recherches portent sur la modélisation et la commandecoordonnée des manipulateurs mobiles.

Jean-Yves Fourquet a obtenu son doctorat, dans le domaine de la commande optimale pourles manipulateurs, à l’université Paul Sabatier de Toulouse en 1990. Après un séjour postdoc-toral à l’université fédérale de Rio de Janeiro, Brésil, il est devenu maître de conférences àl’université Paul Sabatier en 1993. Depuis 1999, il est maître de conférences à l’Ecole natio-


nale d’ingénieurs de Tarbes. Ses centres d’intérêt dans les domaines de l’automatique et de larobotique sont les manipulateurs mobiles, la commande optimale et les systèmes hybrides.

Marc Renaud est professeur a l’Institut national des sciences appliquées de Toulouse au dépar-tement de génie mécanique. Ses activités de recherche ont porté successivement sur la modéli-sation géométrique, cinématique et dynamique – et la commande – des robots manipulateurs,puis des robots mobiles et enfin des manipulateurs mobiles. Il s’est intéressé plus particulière-ment à la commande en temps minimum de ces systèmes, que les trajectoires désirées soientlibres ou imposées.

Documents

Génération de mouvements des manipulateurs mobiles