GOUTTES ET MÉANDRES SUR UN PLAN INCLINÉ Nolwenn Le Grand-Piteira Thèse de doctorat de luniversité LABORATOIRE DE PHYSIQUE ET MÉCANIQUE DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES

GOUTTES ET MÉANDRES SUR UN

PLAN INCLINÉ

GOUTTES ET MÉANDRES SUR UN

PLAN INCLINÉ

Nolwenn Le Grand-Piteira

Thèse de doctorat de l’université

LABORATOIRE DE PHYSIQUE ET MÉCANIQUE

DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES

Ruissellement avec effets de mouillage :

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Ruissellement et mouillage

Introduction

Ruissellement de liquides sur solides formes complexes mal comprises

Combinaison d’hydrodynamique avec mouillage problème délicat

Liquide (L) sur solide (S), en présence de gaz (G) = « mouillage »

goutte

Mouillage total Mouillage partiel

film

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Mouillage partiel: cas statique - Rappels

cosθs =

γSG −γSL

γ

rFh =γ cosθr,s−cosθa,s( )

rux

Angle de contact statique θs donné par loi d’Young

Force d’accrochage sur substrat (par unité longueur)

Introduction

En réalité, θr,s < θs < θa,s

(cf. méandres)

Hystérésis de mouillage: H= θa,s -θr,s

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Mouillage dynamique - Rappels

Stokes+ approximation de lubrification (θ petit)

hxx( )

x=±3

Ca

h2

Introduction

viscositéGradient pression

Ca=

ηUγ

=visqueuxcapillaire

U

Divergences

Raccordements

• θ=θs en h=a~nm, échelle microscopique

• macroscopique à l’échelle b~mm

Pas de théorie avec hystérésis

θs=θa,s ou θr,s θ3 −θs

3 =±9lnba

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ca

Cox-Voïnovθ=hx

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Plan

Structure et stabilité de la singularité ?

Pourquoi le filet méandre-t-il ?Morphologie ?

Introduction

I Singularité de gouttes sur un plan incliné

> pb actuel de formation de pointes > aspect mouillage en plus

Podgorski (2001) Cohen & Nagel (2002)Courrech du Pont & Eggers (2006)

II Méandres

1. Mouillage partiel (avec hystérésis) 2. Mouillage total (sans hystérésis)

Lorenceau et al. (2003)

Singularité à l’arrière de

gouttes glissant sur un plan

incliné

PREMIÈRE PARTIE

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Montage expérimental Huile silicone sur FC 725 θa,s~50° et θr,s~45°

Viscosités: η=10,0cP 104 cP 1040 cP

V=6µL

Ca varié avec

Ca

Ovale Coin Cusp Perlage

Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

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Transition ovale/coin: état de l’art


Inclinaison évite transition de mouillage

vitesse à LC

maintenue à Uc alors que U>Uc

Rio et al. (2005)

θr3 −θr,s

3 =−9ln(b/ a)Ca

Idée de Podgorski: analogie avec plaques tirées hors d’un bain

Photographie: G. Delon

Podgorski (2000), (2001);Blake & Ruschak (1979)

sinϕ =

θr,s3

9ln(b/ a)1Ca

θr=0

θr=0?

Mesures θr et θa

test de Cox-Voïnov

valeurs de θr,s et 9ln(b/a)

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Transition ovale/coin (II)


θr=θc≠0 à la transition en coin

η=1040cP

θc~20°- 25°

θ3 −θs

3 =±9ln(b/ a)Ca

Cox-Voïnov s’ajuste bien et avec mêmes préfacteurs en avancée et reculée (130, 100, 80)

Mesures macroscopiques des angles:

η=10,0cP

sinϕ =

θr,s3 −θc

3

9ln(b/ a)1Ca

η=104cP

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Structure de l’interface en régime de coin


Modèles du coin: selle ou cône? Ben Amar et al. (2003); Limat & Stone (2004)

Selle suppose θc=0 et cône θc≠0

Solutions autosimilaires de l’équation de Stokes + lubrification

r∇ h3

r∇(Δh)⎡⎣ ⎤⎦=3Cahx

h(x,y)=xH(y/ x)

tan3Ω=

3516

Catan2 ϕ

Ω testé par mesures de θr et Ω continus

structure autosimilaire

η=10,0cP

11/37Régularisation de la pointe: un « coin rond » (I)


η=10,0cP η=104cP η=1040cP

Courbure à la pointe du coin à une échelle de plus en plus petite

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Coin rond (II)

Pb: U>Ucrit à la pointe, pourtant pas de transition de mouillage

hxx +hyy( )

x y=0=−3

Ca

h2

hyy ; −

hxR

interface parabolique

Courbure retarde transition de mouillage

(Avec J. Snoeijer)

80% de θr,s

θr,s


13/37Prospections au-delà du coin: cusp et perlage


Angles d’ouverture aux transition: =45° pour cusps et =30° pour perlage

Collaborations avec J.Eggers, J. Snoeijer et H.A. Stone: seuil de perlage

Seuil de perlageSeuil coin/cusp

C=

635+182

~25°

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Perspectives: largeur du filet en perlage

Ca

Collaborations avec J.Eggers, J. Snoeijer et H.A. Stone: seuil de perlage


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Conclusion sur les gouttes


4 régimes: ovale, coin, cusp, perlant

Travaux en cours sur le cusp et le perlage

Coin:

θc≠0 à transition ovale/coin (~20°) -> cône

Forme autosilmilaire

Régularisation de singularité (courbure de LC)

Transition de mouillage retardée en inclinant ligne de contact ()

ou en se courbant fortement

θa et θr bien décrits par Cox-Voïnov tronquée à θr= θc

Instabilité de méandrage d’un filet

liquide

SECONDE PARTIE

1. Méandres sur une plaque, avec hystérésis2. Méandres sans hystérésis, en mouillage total dans une cellule de

Hele-Shaw

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Intérêts variés pour les méandres

Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

Géophysique Ingénierie

Drenckhan et al. (2004); Anand & Bejan (1986)

érosion et dépôtsédiments

rivières

Rivière Maiandros

méandres àsurface libresans érosion

méandres de surfactantsdans cellule

de Hele-Shaw

Physique des mousses

Mime ondulations bords Plateau

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Motivations pour les méandres sans érosion


Origine de l’instabilité ?

Seuil des méandres ?

Morphologie ?

Culkin (1982); Nakagawa & Scott (1984); Schmuki & Laso (1990)

Bruinsma (1990)

Davis (1980)

Études expérimentales qualitatives

Peu d’études théoriques

• Instabilité variqueuse d’un filet droit

-> Pas de modélisation satisfaisante des méandres

• Très peu de choses sur le seuil

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Montage expérimental


Paramètres de contrôle : Q et

Eau distillée sur Mylar (PET)

-> hystérésis: 35° (θr,s=35° et θa,s=70°)

Plaque longue pour voir effets distance à l’injection

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Régimes d’écoulement: débit croissant


Q ( fixé)

(=32° Q=2,65mL/s)

Droit Méandres stationnaires Instable RestabilisationQc1 Qc2Gouttes

Stationnaires

Forme f(Q, )

Stables

(=32° Q=1,19mL/s)

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Seuil de méandrage


Bilan forces selon la normale

Condition de méandrage: Fi ≥Fγ +Fh

• Inertie d’entraînement Fi Déstabilisante

• Tension de ligne Fγ Stabilisante

• Accrochage sur substrat Fh Réactive

Variations de Qc avec

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Forces en jeu au seuil

Fi ∝

1rc

Fh( )

max=γ cosθr,s −cosθa,s( ) =cte

Fγ ∝

1rc

Apparition de méandres: rc petit ~mm


Au seuil Fh << (Fi, Fγ) Fi =Fγ

Qc1 ∝

γρ

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4/ 5νg

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

3/ 5

sin−3/ 5

Conservation débit

+ demi-Poiseuille

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Morphologie des méandres: stationnarité

Fi =Fh

Hystérésis retient méandres forme stationnaire

Qd méandres développés, limite inverse: Rc grand (~qq cm)


Fi ∝

1Rc

Fh( )

max=γ cosθr,s −cosθa,s( ) =cte

Fγ ∝

1Rc

Fγ << (Fi, Fh)

Demi-Poiseuille + conservation du débit

Rc ∝Q3/ 2 sin

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Rayon de courbure moyen <Rc>


Rc ∝Q3/ 2 sin = loi proposée par modèle où Fi=Fh

25/37Longueur d’onde moyenne <>


< > ∝Q3/ 2 sin

=4Rc

Méandres comme suite de demi-cercles

Même loi d’échelle pour Rc et ?

26/37Amplitude moyenne <A> - Loi d’échelle universelle

< A > ∝Q3/ 2 sin

< Rc >,< >,< A >( ) ∝Q3/ 2 sin


Loi d’échelle universelle

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Forme globale des méandres

Arcs de cercles + pentes

Si ϕ petit: < >=4 < Rc > +2 < A > −2 < Rc >( )

demi-cercles correction


Loi universelle -> grandeurs liées entre elles

=17°

=17°±2°Expérimentalement:

Préfacteurs des lois d’échelle de A, et Rc

donnent aussi

Pourquoi 17° ?

Qu’est-ce qui détermine longueur parcours obliques ?

28/37Préfacteur de <Rc>: retour sur le rayon de courbure

<Rc >=65

ργ cosθr,s −cosθa,s( )

gsin3ν

f(θmoy)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/ 2

.Q3/ 2 sin

Retrouvé expérimentalement

sans paramètre ajustable


Modélisation donne préfacteur de <Rc>:

Fi=Fh

Portion de cylindre, angle de contact θmoy=(θa,s+θr,s)/2

Demi-Poiseuille dans tranches du cylindre

> gravité g.sin.sinϕ

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Vitesse moyenne dans les filets


Vitesse constante le long filet

Vitesse tangentielle mesurée par avancée de colorant

Méandre produit pas nouveaux méandres

sur lui-même -> structure stable

Forte chute de vitesse au seuil

Modèle de demi-Poiseuille en tranches dans cylindre bien vérifié avec

θ=θa,s pour le filet droit

θ=θmoy=(θa,s+θr,s)/2 pour méandres et gravité en g.sin.sinϕ

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Hystérésis en débit: décroissance de Q


Forces d’accrochage Fh réactives

-> empêchent méandre de redevenir droit

-> équilibrent Fγ même si Fi → 0

Régime droit disparaît

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Bilan


Forme stationnaire: compétition inertie/accrochage

Hystérésis en débit dû à l’accrochage (force réactive)

Forme conservée à la décroissance en débit

Pas de régime droit

< Rc >,< >,< A >( ) ∝Q3/ 2 sin

¿ Méandres possibles sans hystérésis ?

Qc ∝ sin−3/ 5 compétition inertie/tension de ligne Seuil

3 forces en jeu:

inertie (Fi), tension de ligne (Fγ), accrochage (Fh) (hystérésis)

SECONDE PARTIE (II)

1. Méandres sur une plaque, avec hystérésis

2. Méandres sans hystérésis, en mouillage

total dans une cellule de Hele-Shaw

Instabilité de méandrage d’un filet

liquide

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Montage sans hystérésis de mouillage

Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw

Méandres de surfactants dans cellule de H-S déjà observésAnand & Bejan (1986); Drenckhan et al. (2004)

Mouillage total pour supprimer hystérésis

étalement en film plus possible sur un plan

cellule de Hele-Shaw

Huile silicone pour s’affranchir de variations de γ

• Cellule verticale

• η=2cP

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Méandres d’huiles silicones η=2cP


Surfactants non-nécessaires pour obtention de méandres

Pas d’hystérésis de mouillage (accrochage)

pas d’hystérésis en débit

Qseuil=6,5mL/min

Q=10mL/min

méandres mouvants vitesse de phase

Expériences à plus haut débit seuil supérieur de méandrage?

saturation de vphase?

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Seuil de méandrage


Écoulement de Poiseuille

(vérifié par mesures de la largeur du filet)

Seuil théorique à 7,5mL/min

(contre 6,5 expérimentalement)

Équilibre inertie/capillarité

• Prendre vphase en compte:

• si vfluide=vphase alors Fi=0

-> un jet tombant ne méandre pas

• introduit correction ~7% sur vfluide

ρS

(vfluide−vphase)2

R=2γ

dR

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Bilan - Perspectives

eausur Mylar

eau/glycérol η=7cPsur Mylar

Étude en viscosité 2cP < η < 10cP dans le cas avec et sans hystérésis

Hystérésis nécessaire pour stationnarité des méandres et détermine

leur forme

Méandres gouvernés par simple équilibre de forces

-> inertie, capillarité et éventuellement hystérésis

Conclusion

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Perspectives

Jet en chute libre méandre pas: doit être confiné dans parcours courbe

-> tuyau joue rôle d’accrochage sur substrat

Gouttes et méandres

Conclusion

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Photographie: E. de Langre

Eau sur RainX

MERCI DE VOTRE ATTENTION

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Seuil gouttes


Ca; Bo−Boc

Dussan V. (1985) Études sur seuil de mise en mouvement et vitesse au-delà du seuil

Au-delà seuil

Bilan des forces:

> Poids équilibré par frottements visqueux

> Décalage provenant de l’hystérésis

Ca=

ηUγ

=visqueuxcapillaire

Vitesse réduite

Bo=V2/ 3 ρgsin

γ=

gravitécapillaire

V

Seuil

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Perlage


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Sans pompe

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Gravité

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Poiseuille entre deux plaques


Comme pour méandres avec hystérésis: viscosité repousse seuil Augmente largeur des filets

44/37Amplitude, longueur d’onde, et vitesse de phase


Vitesse de phase beaucoup plus importante que pour les surfactants

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