Grandeurs et Grandeurs et MesuresMesuresCycle des Cycle des

approfondissemeapprofondissementsnts

Animation pédagogiqueAnimation pédagogique

Mercredi, 15 décembre 2010Mercredi, 15 décembre 2010

Pierre-Marie FONTAINE – I.E.N. Pierre-Marie FONTAINE – I.E.N. Béthune 1Béthune 1

SommaireSommaire

1 – Importance de ce domaine 1 – Importance de ce domaine mathématiquemathématique

2 – Qu'est-ce qu'une grandeur ?2 – Qu'est-ce qu'une grandeur ?

3 – Les grandeurs : quoi ? A quel 3 – Les grandeurs : quoi ? A quel niveau ?niveau ?

4 – Quelle démarche pour enseigner les 4 – Quelle démarche pour enseigner les grandeurs ?grandeurs ?

5 - Conclusion5 - Conclusion

1 – Importance de ce 1 – Importance de ce domaine mathématiquedomaine mathématique

Un carrefourUn carrefour

A l’intersection des mathématiques A l’intersection des mathématiques et de leur utilisation dans la vie et de leur utilisation dans la vie courantecourante

A l’intersection de la géométrie et A l’intersection de la géométrie et des travaux numériquesdes travaux numériques

Des enjeux...Des enjeux...

Révélateur des liens que les élèves Révélateur des liens que les élèves envisagent entre les mathématiques et envisagent entre les mathématiques et leur environnementleur environnementLes résultats aux évaluations Les résultats aux évaluations nationales montrent un taux de nationales montrent un taux de réussite peu important (réussite peu important (Le champ Le champ GRANDEURS ET MESURE en 2009 : GRANDEURS ET MESURE en 2009 : 60,960,9% des écoles de la % des écoles de la circonscription ont un taux de circonscription ont un taux de réussite moyen : 36,8% ; en 2010 : réussite moyen : 36,8% ; en 2010 : 43 % ont un taux de réussite de 43 % ont un taux de réussite de 38,2%)38,2%)

Mise en situationMise en situation

Perception….Perception….Mesure + Mesure + calculcalculRaisonnementRaisonnement

Les procédures de résolution

1 – Qu'est-ce qu'une 1 – Qu'est-ce qu'une grandeur ?grandeur ?

Une grandeur est un attribut d’un Une grandeur est un attribut d’un objet, d’une personne, d’un objet, d’une personne, d’un phénomène, qui est susceptible phénomène, qui est susceptible d’augmentation ou de diminution.d’augmentation ou de diminution.

Qu’est-ce qu’une grandeur ?

Sommaire

Parmi les grandeurs, on peut distinguer

les grandeurs repérables

les grandeurs non repérablesEx : la gentillesse

Les grandeurs non mesurablesEx : la dureté d’un matériau

Les grandeurs mesurablesEx : la longueur

Sommaire

On distingue également

les grandeurs de baseExemples : longueur, masse, durée, angle

les grandeurs dérivéesExemples : aire, volume, vitesse

Remarques :

- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on peut définir l’aire de cette surface.

- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur n’est pas toujours facile.Exemple : comment définir la masse d’un objet ?

A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

Sommaire

objet Aobjet B « B est plus lourd que A »

objet A objet C objet A objet D

Les objets A, C et D ont même masse.

- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital)

A l’école, il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation de balances permettant des comparaisons directes entre objets)

Sommaire

C'est à l'aide de manipulations permettant de faire des comparaisons qu'on peut approcher la notion de grandeur

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.

Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?

Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.

- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se faire sans recours à ce tableau)

Trop Trop souvent les souvent les situations situations proposées proposées

se limitent à se limitent à des activités des activités

sur les sur les nombres, nombres,

car un car un passage passage

trop rapide trop rapide vers la vers la

mesure.mesure.

A la portée des Maths CM1 A la portée des Maths CM1 – Ed Hachette 2006– Ed Hachette 2006

Les grandeurs rencontrées à l'école primaire

On y ajoute également la monnaieOn y ajoute également la monnaie

3 – Quoi ?A quel niveau ?3 – Quoi ?A quel niveau ?

Au cycle 1 :Au cycle 1 : Utiliser des repères dans la journée, la semaine, l’annéeUtiliser des repères dans la journée, la semaine, l’année

En manipulant des objets variés, les enfants repèrent En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d’abord des propriétés simples (petit/grand ; d’abord des propriétés simples (petit/grand ; long/court).long/court).

Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la taille, la critères, à comparer et à classer selon la taille, la masse, la contenance.masse, la contenance.

Sommaire

Cycle 2

Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix

- Repérer des événements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures.

- Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse.

- Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs.

- Connaître et utiliser l’euro.

- Résoudre des problèmes de vie courante.

- Utiliser un calendrier pour comparer des durées.

- Connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime d’euro.

- Mesurer des segments, des distances.

- Résoudre des problèmes de longueur et de masse

Sommaire

Cycle 3

Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit.

Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.

Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.

Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier.

Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés.

La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités

La monnaie à reprendre dans les résolutions de problèmes.

- Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient :. Longueur : le mètre, le kilomètre, le centimètre, le millimètre ;. Masse : le kilogramme, le gramme ;. Capacité : le litre, le centilitre ;. Monnaie : l’euro et le centime ;. Temps : l’heure, la minute, la seconde, le mois, l’année.

- Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, des masses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombre entier ou un encadrement par deux nombres entiers.

- Vérifier qu’un angle est droit en utilisant l’équerre ou un gabarit.

- Calculer le périmètre d’un polygone.

- Lire l’heure sur une montre à aiguilles ou une horloge.

Problèmes- Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus.

- Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées, ainsi que les unités du système métrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations.- Reporter des longueurs à l’aide du compas.- Formules du périmètre du carré et du rectangle.

Aires- Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif à l’aide d’une surface de référence ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé.- Classer et ranger des surfaces selon leur aire.

Angles- Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit.- Estimer et vérifier en utilisant l’équerre, qu’un angle est droit, aigu ou obtus.

Problèmes- Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.

- Calculer une durée à partir de la donnée de l’instant initial et de l’instant final.- Formule de la longueur d’un cercle.- Formule du volume du pavé droit (initiation à l’utilisation d’unités métriques de volume).

Aires- Calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle en utilisant la formule appropriée.- Connaître et utiliser les unités d’aire usuelles (cm², m² et km²).

Angles- Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.

Problèmes- Résoudre des problèmes dont la

résolution implique des conversions.

- Résoudre des problèmes dont la

résolution implique simultanément des unités différentes de mesure.

Sommaire

Extraits du « socle commun de connaissances et de compétences »

Palier 1 CE1

-- Utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure

-- Être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs

- Résoudre des problèmes de longueur et de masse

Palier 2 CM2

- Utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions

- Connaître et utiliser les formules du périmètre et de l’aire d’un carré,d’un rectangle et d’un triangle

- Utiliser les unités de mesures usuelles

- Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions

Des difficultés provenant des Des difficultés provenant des liens avec le vocabulaire courant liens avec le vocabulaire courant

ou des idées préalables des ou des idées préalables des élèvesélèves

Quelques écueils à éviter lors des Quelques écueils à éviter lors des observations et des observations et des

manipulationsmanipulations

Quelques exemples :Quelques exemples :- les longueurs- les longueurs

- les masses- les masses- la durée- la durée

- le volume, la contenance- le volume, la contenance

4 - Quelle démarche pour 4 - Quelle démarche pour enseigner les enseigner les grandeurs ?grandeurs ?

Première étapePremière étape : : comparaisons (directes et comparaisons (directes et indirectes) et classement d’objets permettant de indirectes) et classement d’objets permettant de «faire apparaître » la nouvelle grandeur que l’on «faire apparaître » la nouvelle grandeur que l’on veut étudier.veut étudier.Principalement au cycle 1, complétée au cycle 2Principalement au cycle 1, complétée au cycle 2Au cycle 3 : angles, airesAu cycle 3 : angles, aires

Deuxième étapeDeuxième étape :  : mesurages en utilisant mesurages en utilisant différents « objets » choisis arbitrairement, différents « objets » choisis arbitrairement, appelés « étalons » (première approche de la appelés « étalons » (première approche de la mesure, la grandeur de l’étalon est l’unité choisie mesure, la grandeur de l’étalon est l’unité choisie pour effectuer le mesurage).pour effectuer le mesurage).A partir du cycle 2A partir du cycle 2

A partir du cycle 3 : aires (à partir du CM1)A partir du cycle 3 : aires (à partir du CM1)

Troisième étapeTroisième étape :  : introduction d’une unité introduction d’une unité « légale » (connaître l’étalon choisit dans notre « légale » (connaître l’étalon choisit dans notre pays comme « unité » commune à tous).pays comme « unité » commune à tous).A partir du cycle 2 : longueur, masse, A partir du cycle 2 : longueur, masse, contenance, temps, monnaiecontenance, temps, monnaieA partir du cycle 3 : conversion, périmètre, aire, A partir du cycle 3 : conversion, périmètre, aire, capacité – aires (à partir du CM2)capacité – aires (à partir du CM2)

Quatrième étapeQuatrième étape :  : utilisation de tout un système utilisation de tout un système d’unités (une seule unité ne suffit pas pour rendre d’unités (une seule unité ne suffit pas pour rendre compte d’une grandeur, il faut donc bâtir un compte d’une grandeur, il faut donc bâtir un système « décimal » d’unités ou un système système « décimal » d’unités ou un système particulier, comme la durée).particulier, comme la durée).A partir du cycle 3A partir du cycle 3

Cinquième étapeCinquième étape : : établissement de formulesétablissement de formules (exemple : formule donnant l’aire d’un rectangle, (exemple : formule donnant l’aire d’un rectangle, l’aire d’un triangle)l’aire d’un triangle)

A partir du cycle 3A partir du cycle 3

Quelques Quelques compléments....compléments....

MESURAGEMESURAGE

- Les élèves doivent être placés dans des - Les élèves doivent être placés dans des situations desituations de

mesurage avec sensibilisation sur le caractère mesurage avec sensibilisation sur le caractère approximatifapproximatif

de certains résultats.de certains résultats.

- - Ils doivent apprendre à estimer la mesure avant Ils doivent apprendre à estimer la mesure avant de mesurerde mesurer

( à l'aide de repères connus)( à l'aide de repères connus)

- - Apprentissage à utiliser différents instruments Apprentissage à utiliser différents instruments de mesure, àde mesure, à

comprendre leur fonctionnementcomprendre leur fonctionnement

- - Mais ne pas non plus donner l'idée qu'une Mais ne pas non plus donner l'idée qu'une mesure s'obtientmesure s'obtient

uniquement par un mesurage effectif uniquement par un mesurage effectif (prise (prise possiblepossible

d'informations sur le document par exemple).d'informations sur le document par exemple).

Les unités usuellesLes unités usuelles- - Elles doivent être introduites comme nécessité d'avoir Elles doivent être introduites comme nécessité d'avoir desdes

référence communes à tousréférence communes à tous

- - Aucune virtuosité sur les conversions d'unités même Aucune virtuosité sur les conversions d'unités même si leursi leur

place est réaffirmée dans les nouveaux programmesplace est réaffirmée dans les nouveaux programmes

- - Le tableau de conversion ne doit être proposé en Le tableau de conversion ne doit être proposé en premier (ou comme indispensable) mais qu'après un premier (ou comme indispensable) mais qu'après un certain nombre d'exercices permettant aux enfants de certain nombre d'exercices permettant aux enfants de comprendre la régularité du système métrique.comprendre la régularité du système métrique.

- - Par contre, familiarisation avec la signification des Par contre, familiarisation avec la signification des préfixespréfixes

kilo (1 000)kilo (1 000), hecto (100), déca (10), déci , hecto (100), déca (10), déci

(1/10),(1/10), centi (1/100), centi (1/100), milli (1/1 000)milli (1/1 000) (en (en rapport avec le système décimal) dans le cas des rapport avec le système décimal) dans le cas des longueurs, des masses et des contenances.longueurs, des masses et des contenances.

Sur les écrituresSur les écritures● ● 1m= 100cm 1m= 100cm 1h= 60min1h= 60min

23 cm= 2,3 dm23 cm= 2,3 dm

● ● 3cm + 15 mm = 45 mm = 4,5 cm3cm + 15 mm = 45 mm = 4,5 cm

4 4 × × 37cm = 1,48m 4m 37cm = 1,48m 4m × × 7m =28 7m =28 m²m²

Plusieurs unités peuvent coexister : ce sont des Plusieurs unités peuvent coexister : ce sont des calculs sur lescalculs sur les

grandeurs. ( écritures dites « complexes »)grandeurs. ( écritures dites « complexes »)

● ● Ensuite, après le travail sur les décimaux, on Ensuite, après le travail sur les décimaux, on écriraécrira

1m 7 cm= 1,07 m1m 7 cm= 1,07 m

ou même ou même 2h15min= 2,25 h2h15min= 2,25 h (travail poursuivi au (travail poursuivi au collège)collège)

¼ d'heure : 15 min ou ¼ de 60 minutes : 25 min ¼ d'heure : 15 min ou ¼ de 60 minutes : 25 min ou 0,25hou 0,25h

Des formulesDes formules

● ● Formule du périmètre d'un carré et d'un Formule du périmètre d'un carré et d'un rectangle ( CM1)rectangle ( CM1)

● ● Formule de la longueur d'un cercleFormule de la longueur d'un cercle

● ● Formule du volume du pavé droit ( unités Formule du volume du pavé droit ( unités métriques dumétriques du

volume)volume)

● ● Formule de l'aire d'un carré, d'un rectangle, Formule de l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle.d'un triangle.

Résoudre des problèmes...Résoudre des problèmes...● ● Comparaison et classement des objets selon la Comparaison et classement des objets selon la mesure d'unemesure d'une

grandeur ( pertinence de la mesure quand grandeur ( pertinence de la mesure quand beaucoup d'objetsbeaucoup d'objets

ou objets non déplaçables)ou objets non déplaçables)

● ● Construction d'objets de grandeur donnée ( en Construction d'objets de grandeur donnée ( en lien avec lalien avec la

géométrie) ou d'objets identiques à un objet géométrie) ou d'objets identiques à un objet donné ( en ayantdonné ( en ayant

recours à la mesure)recours à la mesure)

● ● Puis convertir d'une unité à l'autre Puis convertir d'une unité à l'autre ( en ( en privilégiant lesprivilégiant les

relations qui relient les principales unités relations qui relient les principales unités usuelles, sansusuelles, sans

recourir trop vite aux tableaux de conversion, recourir trop vite aux tableaux de conversion, vides de sens etvides de sens et

sources d'erreurs)sources d'erreurs)

● ● sans oublier les problèmes pour chercher....sans oublier les problèmes pour chercher....

5 - Conclusion5 - ConclusionLes grandeurs mesurables ne sont pas aussi évidentes à Les grandeurs mesurables ne sont pas aussi évidentes à percevoir au travers des objets qui les portent qu’un adulte percevoir au travers des objets qui les portent qu’un adulte voire un enseignant peut le penser.voire un enseignant peut le penser.Le protocole expérimental de comparaison des objets Le protocole expérimental de comparaison des objets relativement à une grandeur donnée est ce qui permet le relativement à une grandeur donnée est ce qui permet le mieux aux élèves de concevoir la grandeur mise en jeu, il ne mieux aux élèves de concevoir la grandeur mise en jeu, il ne faut donc pas le négliger.faut donc pas le négliger.La mesure d’une grandeur ne doit pas être présentée de façon La mesure d’une grandeur ne doit pas être présentée de façon trop précoce sous peine de masquer la grandeur qu’elle est trop précoce sous peine de masquer la grandeur qu’elle est censée représenter.censée représenter.

L’apprentissage s’étalant toujours dans la L’apprentissage s’étalant toujours dans la continuité du cycle 1 au cycle 3continuité du cycle 1 au cycle 3 et sur et sur les les trois années du cycle 3trois années du cycle 3, il faut offrir plusieurs , il faut offrir plusieurs occasions aux élèves de revenir sur les notions occasions aux élèves de revenir sur les notions abordées.abordées.