Grassmann Uzaylarının Geometrisihomepages.math.uic.edu/~coskun/erciyes1.pdf · 2010. 8. 16. · eden uzay olarak da du¨¸sunebiliriz.¨ Daha genel olarak, Q dejenere olmayan bir

Grassmann Uzaylarının Geometrisi

İzzet Coşkun

University of Illinois at Chicago

5 Ağustos, 2010

İzzet Coşkun Grassmann Uzaylarının Geometrisi


İzzet Coşkun


5 Ağustos, 2010



İzzet Coşkun


5 Ağustos, 2010



İzzet Coşkun


5 Ağustos, 2010


V ’nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım.Grassmann uzayı G (k, n), V ’nin k-boyutlu alt vektör uzaylarınıparametre eden uzaydır.

Örneğin, G (2, 4) 4-boyutlu bir vektörler uzayının 2-boyutlu altuzaylarını parametre eder. İzdüşümsel geometride,G (2, 4)’ü 3-boyutlu izdüşümsel düzlemdeki doğruları parametreeden uzay olarak da düşünebiliriz.

Q V -üzerinde dejenere olmayan bir bilineer form olsun.Kompleks sayılar üzerinde Q’yu

x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.

Eğer V ’nin bir alt uzayı U için Q|U = 0 ise, U’ya V ’ninQ-izotropik alt uzayı denir.

Ortogonal Grassmann uzayı OG (k, n), V ’nin Q-izotropik k-boyutlualt uzaylarını parametre eden uzaydır.

İzzet Coşkun Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

V n-boyutlu bir vektörler uzayı olsun.Grassmann uzayı G (k, n), V ’nin k-boyutlu alt vektör uzaylarınıparametre eden uzaydır.Daha genel olarak, Q dejenere olmayan bir bilineer form olsun.Kompleks sayılar üzerinde Q’yu

x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.Ortogonal Grassmann uzayı OG (k, n) V ’nin Q-izotropik k-boyutlualt vektör uzaylarını parametre eden uzaydır.





x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.




V n-boyutlu bir vektörler uzayı olsun.Grassmann uzayı G (k, n), V ’nin k-boyutlu alt vektör uzaylarınıparametre eden uzaydır.Daha genel olarak, Q dejenere olmayan bir bilineer form olsun.Kompleks sayılar üzerinde Q’yu

x21 + x22 + · · · + x2n



V n-boyutlu bir vektörler uzayı olsun.Grassmann uzayı G (k, n), V ’nin k-boyutlu alt vektör uzaylarınıparametre eden uzaydır.


Daha genel olarak, Q dejenere olmayan bir bilineer form olsun.Kompleks sayılar üzerinde Q’yu

x21 + x22 + · · · + x2n






x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.






Q’nun, V -üzerinde dejenere olmayan bir bilineer form olduğunuvarsayalım.Kompleks sayılar üzerinde Q’yu

x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.







x21 + x22 + · · · + x2n






x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.







x21 + x22 + · · · + x2n






x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.







x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.







x21 + x22 + · · · + x2n






x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.Ortogonal Grassmann uzayı OG (k, n), V ’nin Q-izotropik k-boyutlualt vektör uzaylarını parametre eden uzaydır.





x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.







x21 + x22 + · · · + x2n

olarak alabiliriz.




Grassmann uzayları, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsillerteorisinde çok önemli bir rol oynar.Schubert sınıfları G (k, n)’nin kohomolojisinin ayrıcalıklı bir tabanınıoluşturur.0 < a1 < · · · < ak ≤ n bir dizi pozitif tam sayı olsun.

0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V

bir bayrak olsun.σa1,...,ak Schubert sınıfı

{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}

Schubert uzayının kohomoloji sınıfıdır.


Grassmann uzayları cebirsel geometri, kombinatorik ve temsillerteorisinde çok önemli bir rol oynar.Schubert sınıfları G (k, n)’nin kohomolojisinin ayrıcalıklı bir tabanınıoluşturur.0 < a1 < · · · < ak ≤ n bir dizi pozitif tam sayı olsun.

0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}




0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}



Grassmann uzayları cebirsel geometri, kombinatorik ve temsillerteorisinde çok önemli bir rol oynar.Schubert sınıfları G (k, n)’nin kohomolojisinin ayrıcalıklı bir tabanınıoluşturur.0 < a1 < · · · < ak ≤ n bir dizi positive tam sayı olsun.

0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}




0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}




0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}




0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}




0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}




0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}




0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = V


{U ∈ G (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i}



İki Schubert sınıfının çarpımı Schubert sınıflarının toplamı olarakyazılabilir.

σa · σb =∑

kca,bσc

kca,b katsayıları doğal sayılardır ve bunlara Littlewood-Richardsonkatsayıları denir.



σa · σb =∑

kca,bσc




σa · σb =∑

kca,bσc




σa · σb =∑

kca,bσc




σa · σb =∑

kca,bσc




σa · σb =∑

kca,bσc

kca,b katsayıları doğal sayılardır ve bunlara Littlewood-Richardsonkatsayıları denir.Bu katsayılar temsiller teorisinde de önemli bir rol oynar. V1 ve V2GL(n)’in indirgenemez iki temsili olsun. Bu temsillerin tensörçarpımlarındaki indirgenemez temsillerin katsayıları daLittlewood-Richardson katsayıları tarafından verilir.


Schubert sınıfları OG (k, n)’nin kohomolojisinin de ayrıcalıklı birtabanını oluşturur.0 < a1 < a2 < · · · < as ≤ n/2 ve n − 1/2 ≥ bs+1 > · · · > bk ≥ 0iki tam sayı dizisi olsun. Tüm i , j indeksleri için ai $= bj + 1olduğunu varsayalım.

Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk

bir Q-izotropic bayrak olsun.

Schubert sınıfı σbs+1,...,bka1,...,as

{U ∈ OG (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i , dim(U ∩ F⊥bj ≥ j}




Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk






Schubert sınıfları OG (k, n)’nin kohomolojisinin de ayrıcalıklı birtabanını oluşturur.

0 < a1 < a2 < · · · < as ≤ n/2

ve(n − 1)/2 ≥ bs+1 > · · · > bk ≥ 0

iki tam sayı dizisi olsun. Tüm i , j indeksleri için ai $= bj + 1olduğunu varsayalım.

Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk







Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk







0 < a1 < a2 < · · · < as ≤ n/2

ve(n − 1)/2 ≥ bs+1 > · · · > bk ≥ 0


Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk







0 < a1 < a2 < · · · < as ≤ n/2

ve(n − 1)/2 ≥ bs+1 > · · · > bk ≥ 0


Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk







Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk







0 < a1 < a2 < · · · < as ≤ n/2

ve(n − 1)/2 ≥ bs+1 > · · · > bk ≥ 0


Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk







0 < a1 < a2 < · · · < as ≤ n/2

ve(n − 1)/2 ≥ bs+1 > · · · > bk ≥ 0


Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk







0 < a1 < a2 < · · · < as ≤ n/2

ve(n − 1)/2 ≥ bs+1 > · · · > bk ≥ 0


Fa1 ⊂ Fa2 ⊂ · · · ⊂ Fas ⊂ F⊥bs+1 ⊂ · · · ⊂ F⊥bk



{U ∈ OG (k, n) | dim(U ∩ Fai ) ≥ i , dim(U ∩ F⊥bj ) ≥ j}



Bugün, cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisininkesiştiği bir başka problemden bahsetmek istiyorum.Doğal olarak

i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)

Kohomolojideki i∗ fonksiyonunu hesaplmaya geometrik dallanmaproblemi diyebiliriz.Daha somut olarak,

i∗(σλ) =∑

ca,bλ σba

geometrik dallanma problemi ca,bλ katsayılarını hesaplamayaeşdeğerdir.


Bugün cebirsel geometri, kombinatorik ve temsiller teorisininkesiştiği bir başka problemden bahsetmek istiyorum.Doğal olarak

i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)

Kohomolojideki i∗ fonksiyonunu hesaplmaya geometrik dallanmaproblemi diyebiliriz.



i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)


i∗(σλ) =∑

ca,bλ σba




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)

Kohomolojideki i∗ fonksiyonunu hesaplmaya Geometrik dallanmaproblemi diyebiliriz.



i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)


i∗(σλ) =∑

ca,bλ σba




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)


i∗(σλ) =∑

ca,bλ σba




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)


i∗(σλ) =∑

ca,bλ σba




i : OG (k, n) ↪→ G (k, n)

i∗ : H∗(G (k, n), Z)→ H∗(OG (k, n), Z)


i∗(σλ) =∑

ca,bλ σba



Bu problemin temsiller teorisindeki karşılığını şöyle açıklayabiliriz.G bir grup olsun. H G ’nin bir alt grubu olsun. V G ’ninindirgenemez bir temsili olsun. V ’nin H’a kısıtlaması H’ninindirgenmez temsillerine ayrıştırılabilir:

V |H = ⊕ciVi .

ci katsayılarını hesaplamaya temsiller teorisinde dallanma problemidenir.G = SL(n) ve H = SO(n) olarak alındığında, Berenstein veSajmar’ın teoremi geometrik dallanma problemi ile temsillerteorisindeki dallanma probleminin arasındaki yakın ilgiyi açıklar.


Bu problemin temsiller teorisindeki karşılığını şöyle açıklayabiliriz.G ’nin bir grup olduğunu varsayalım. H’nin G ’nin bir alt grubuolduğunu varsayalım. V G ’nin indirgenemez bir temsilini ifadeetsin. V ’nin H’ye kısıtlaması, H’nin indirgenemez bileşenlerineayrıştırılabilir:

V |H = ⊕ciVi .




V |H = ⊕ciVi .




V |H = ⊕ciVi .




V |H = ⊕ciVi .




V |H = ⊕ciVi .




V |H = ⊕ciVi .




V |H = ⊕ciVi .




V |H = ⊕ciVi .



4 Temel Kural

d ≥ r + 3, yoksa Q indigenebilir.Eğer Qr1d1 ⊂ Q

r2d2

, d1 + r1 ≤ d2 + r2.Qrd üzerinde bulunan en büyük boyutlu lineer düzlemin boyutuen fazla

r + $d − r2

&

olabilir. j boyutlu lineer bir düzlem, Q’nun singüler uzamı enaz

j − $d − r2

&

boyutlu bir düzlemde keser.

Eğer j boyutlu bir düzlem Q’nun singüler uzamını m boyutlubir düzlemde kesiyorsa, Gauss fonksiyonunun imajının boyutuen fazla j −m − 1 dir.


4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural

d ≥ r + 3, yoksa Q indirgenebilir.Eğer Qr1d1 ⊂ Q

r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&





r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&





r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&

olabilir. j boyutlu lineer bir düzlem, Q’nun singüler uzamını enaz

j − $d − r2

&





r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&




4 Temel Kural


r2d2


r + $d − r2

&


j − $d − r2

&


Eğer j boyutlu bir düzlem Q’nun singüler uzamını m boyutlubir düzlemde kesiyorsa, Gauss fonksiyonunun görüntüsününboyutu en fazla j −m − 1 dir.


Ln1 ⊂ Ln2 ⊂ · · · ⊂ Lns ⊂ Qrk−sdk−s

⊂ · · · ⊂ Qr1d1bir dizi izotropik lineer uzay ve bilineer form olsun.4 temel kural doğrultusunda şunları varsayalım:

1 dk−s ≥ rk−s + 32 di+1 + ri+1 ≤ di + ri ≤ n3 xi ≥ k − i + 1− di−ri24 nj %= ri + 1


Kısıtlama uzayları

V (L•,Q•) := {U ∈ OG (k, n) | dim(U ∩ Lnj ) = j ,

dim(U ∩ Qridi ) ≥ k − i + 1, dim(U ∩ Qri ,singdi

) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}

Örnekler:

Eğer her i için di + ri = n ise, OG (k, n)’deki Schubertuzaylarını elde ederiz.

Eğer s = 0 ve her i için ri = 0 ise, G (k, n)’nin Schubertuzaylarının OG (k, n)’ye kısıtlamasını elde ederiz.





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}





) ≥ xi}

Örnekler:







) ≥ xi}

Örnekler:




Ana teorem, bir kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfını, daha basitkısıtlama uzaylarının kohomoloji sınıflarının toplamı olarak ifadeeder.Böylece her kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfı Schubertsınıflarının toplamı olarak ifade edilmiş olur.

V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]

V (L2 ⊂ Q04 ) ⊂ OG (2, 5)

[V (L2 ⊂ Q04 )] = [V (L1 ⊂ Q14 )]

V (L2 ⊂ Q06 ) ⊂ OG (2, 7)


Ana teorem, bir kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfını daha basitkısıtlama uzaylarının kohomoloji sınıflarının toplamı olarak ifadeeder.Böylece her kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfı Schubertsınıflarının toplamı olarak ifade edilmiş olur.


Ana teorem, bir kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfını, daha basitkısıtlama uzaylarının kohomoloji sınıflarının toplamı olarak ifadeeder.Böylece her kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfı Schubertsınıflarının toplamı olarak ifade edilmiş olur.

V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]

V (L2 ⊂ Q04 ) ⊂ OG (2, 5)

[V (L2 ⊂ Q04 )] = [V (L1 ⊂ Q14 )]

V (L2 ⊂ Q06 ) ⊂ OG (2, 7)


Ana teorem, bir kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfını daha basitkısıtlama uzaylarının kohomoloji sınıflarının toplamı olarak ifadeeder.Böylece her kısıtlama uzayının kohomoloji sınıfı Schubertsınıflarının toplamı olarak ifade edilmiş olur.Şimdi

V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)



V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)



V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]



V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]

V (L2 ⊂ Q04 ) ⊂ OG (2, 5)



V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]

V (L2 ⊂ Q04 ) ⊂ OG (2, 5)



V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]

V (L2 ⊂ Q04 ) ⊂ OG (2, 5)

[V (L2 ⊂ Q04 )] = [V (L1 ⊂ Q14 )]



V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]

V (L2 ⊂ Q04 ) ⊂ OG (2, 5)

[V (L2 ⊂ Q04 )] = [V (L1 ⊂ Q14 )]

V (L2 ⊂ Q06 ) ⊂ OG (2, 7)



V (Q03 ) ⊂ OG (1, 4)

[V (Q03 )] = [V (L2)] + [V (L′2)]

V (L2 ⊂ Q04 ) ⊂ OG (2, 5)

[V (L2 ⊂ Q04 )] = [V (L1 ⊂ Q14 )]

V (L2 ⊂ Q06 ) ⊂ OG (2, 7)


[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]


[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler

Desale ve Ramanan’ın bir teoremi cinsi g hipereliptik eğrilerüzerindeki tekil determinantlı rank-2 vektör demetleriniparametre eden moduli uzaylarını OG (g − 1, 2g + 2)’nin biralt kümesi olarak ifade eder. Ana teorem bu uzaylarınkohomoloji sınıfını hesaplamamızı mümkün kılar.


[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler

Desale ve Ramanan’ın bir teoremi, cinsi g hipereliptik eğrilerüzerindeki tekil determinantlı rank-2 vektör demetleriniparametre eden moduli uzaylarını OG (g − 1, 2g + 2)’nin biralt kümesi olarak ifade eder. Ana teorem bu uzaylarınkohomoloji sınıfını hesaplamamızı sağlar.

Eğer n bir tek sayı ise, ana teorem aynı zamanda ortogonalGrassmann uzaylarındaki Schubert sınıflarını kısıtlama uzaylarıcinsinden yazmamızı sağlar. Böylece OG (k, n)’ninkohomolojisini hesaplamamız mümkündür.

Bu neticeler ortogonal bayrak uzaylarına genellenebilir.


[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler



[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler



Bu neticeler ortogonal bayrak uzarlarına genellenebilir.


[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler





[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler



[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler



Bu neticeler ortogonal bayrak uzarlarına genellenebilir.


[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler





[V (L2 ⊂ Q06 )] = [V (L1 ⊂ Q16 )] + [V (L2 ⊂ Q25 )]

Ek Neticeler





Theorem (Pandharipande)

H ve ∆1, . . . ,∆!d/2" bölenleriM0,0(Pr , d)’nin Neron-Severiuzayının bir tabanını oluşturur.

Theorem (-, Harris, Starr)

Eğer r ≥ d ise,M0,0(Pr , d)’nin efektif konisi Ddeg ve∆1, . . . ,∆!d/2" bölenleri tarafından üretilir.

Theorem (-, Harris, Starr)

D’ninM0,0(Pr , d)’de

D = aT + bH + v(D1)

şeklinde yazılmış bir bölen olduğunu varsayalım. D yalnız ve yalnıza, b ≥ 0 ve D1 NEF ise NEFtir.

İlginiz için teşekkürler


Documents

Grassmann Uzaylarının Geometrisihomepages.math.uic.edu/~coskun/erciyes1.pdf · 2010. 8. 16. · eden uzay olarak da du¨¸sunebiliriz.¨ Daha genel olarak, Q dejenere olmayan bir