Habilitation à Diriger des Recherches - Aspects

Habilitation à Diriger des Recherches - Aspects probabilistes en physique et en biologie numériqueHabilitation à Diriger des Recherches Aspects probabilistes en physique et en biologie numérique
Mathias Rousset
Programme
Ch. 1 Simulation de systèmes mécaniques thermostatés (dynamique moléculaire) : le problème des échelles de temps.
Ch. 2 Interprétation probabiliste d’états fondamentaux fermioniques de l’équation de Schrödinger : le problème du signe.
Ch. 3 Simulation de dynamiques stochastiques de bactéries : le problème de la variance.
Ch. 4 Systèmes de particules avec collisions de paires : le problème de la vitesse de convergence à l’équilibre.
Rouge = résultats originaux.
Programme
Programme
Programme
problème des échelles de temps
Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27 novembre 2014 3 / 49
(Ch. 1) Système mécanique classique
Le modèle Soit un système mécanique classique à N corps (ex : une molécule faite de N atomes de masse 1). H : R6N → R l’ hamiltonien du système est séparable de la forme usuelle :
H(p, q) := 1 2 |p|2
énergie cinétique
On peut alternativement considérer le Lagrangien L(q, v) = 1
2 |v | 2 − V (q), la dynamique est obtenue en minisant
l’action ∫ T
(Ch. 1) Echelles de temps Variables lentes/rapides On suppose connues : (i) Des variables lentes du système : ξslow : R3N → Rnslow .
Exemple : la longueur de la molécule. (ii) Des variables rapides du système : ξfast : R3N → Rnfast .
Exemple les distances inter-atomiques, et les angles formés par 3 atomes successifs. Pb : Contrainte de stabilité sur le pas de temps des schémas numériques.
Torsion
Dihedral
(Ch. 1) Dynamique thermostatée : équation de Langevin Equation Différentielle Stochastique de Langevin Simulation : on ajoute à la dynamique de Newton/Hamilton un thermostat stochastique de température T :
dQt = Ptdt ∈ R3N
(ii) σ tenseur t.q. : ∀q, σ(q)σT (q) = 2γ(q)
β > 0 , β−1 = kbT .
(Ch. 1) Propriétés des dynamiques de Langevin
Caractéristiques de l’équation de Langevin t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N est ergodique (γ(q) > 0) pour la probabilité stationnaire de Gibbs (∀ cond. init.) :
lim t→+∞
1 t
On s’intéresse aux moyennes calculées avec cette mesure.
t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N vérifie la propriété de réversibilité stochastique (équilibre) en régime stationnaire si on retourne les moments p 7→ −p.
(Ch. 1) Propriétés des dynamiques de Langevin
Caractéristiques de l’équation de Langevin t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N est ergodique (γ(q) > 0) pour la probabilité stationnaire de Gibbs (∀ cond. init.) :
lim t→+∞
1 t
On s’intéresse aux moyennes calculées avec cette mesure.
t 7→ (Qt ,Pt) ∈ R6N vérifie la propriété de réversibilité stochastique (équilibre) en régime stationnaire si on retourne les moments p 7→ −p.
(Ch. 1) Réversibilité et simulation Réversibilité stochastique = invariance par renversement du temps
(free.mp4)
Loi((Qt ,Pt)0≤t≤T ) = 1
Simulation avec variables lentes et rapides On veut accélérer le lent et ralentir le rapide sans changer la proba. d’équilibre 1
Z e−βV (q)dq ...
free.mp4
(free.mp4)
Loi((Qt ,Pt)0≤t≤T ) = 1
Simulation avec variables lentes et rapides On veut accélérer le lent et ralentir le rapide sans changer la proba. d’équilibre 1
Z e−βV (q)dq ...
free.mp4
(Ch. 1) Origine de la réversibilité stochastique
Points clefs ⇒ réversibilité stochastique (i) Le ”thermostat” seul dPt = −γPt + σdWt :
(Ornstein-Uhlenbeck) reversible pour e−β|p| 2/2dp et invariant par
p 7→ −p. (ii) La dynamique déterministe (Newton/Hamilton) seule :
I est réversible en temps si on retourne les moments p 7→ −p. I est symplectique : elle conserve les aires de surfaces d’espace
des phases, a fortiori elle conserve le volume dpdq :
I conserve l’énergie H(q, p).
(Ch. 1) Méthode 1 : Evolution de la variable lente contrainte
Nouvelle dynamique Afin d’accélérer l’évolution des variables lentes on va forcer leur évolution de la manière suivante :
dQt = Ptdt dPt = −∇V (Qt)− γ(Qt)Ptdt + σ(Qt)dWt +∇ξslow(Qt)dΛt
ξslow(Qt) = z(t) (C ) contrainte avec t 7→ z(t) donné
où t 7→ Λt est un multiplicateur de Lagrange stochastique associé à (C ) (calculable explicitement, l’équation ci-dessus est une EDS usuelle).
(Ch. 1) Méthode 1 : Dynamique contrainte Dynamique contrainte constante z(t) = cte La dynamique de Langevin est alors ergodique et réversible pour la proba. de Gibbs contrainte :
µz := 1 Zz
e−βH(q,p)σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp),
où σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp) désigne la mesure (de Liouville, canonique) de l’espace des phases défini par la contrainte (espace co-tangent).
Hypothèse cas dépendant du temps z(t) 6= cte Soit t ∈ [0,T ] avec T > 0 temps final. Hypothèses simplificatrices : (i) z(0) = z(T ) = 0 (départ et arrivée ”doux”). (ii) γ(q)∇qξslow = 0∀q (pas de frottement dans la direction lente).
(Ch. 1) Méthode 1 : Dynamique contrainte Dynamique contrainte constante z(t) = cte La dynamique de Langevin est alors ergodique et réversible pour la proba. de Gibbs contrainte :
µz := 1 Zz
e−βH(q,p)σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp),
où σT∗{q|ξslow(q)=z}(dqdp) désigne la mesure (de Liouville, canonique) de l’espace des phases défini par la contrainte (espace co-tangent).
Hypothèse cas dépendant du temps z(t) 6= cte Soit t ∈ [0,T ] avec T > 0 temps final. Hypothèses simplificatrices : (i) z(0) = z(T ) = 0 (départ et arrivée ”doux”). (ii) γ(q)∇qξslow = 0∀q (pas de frottement dans la direction lente).
(Ch. 1) Méthode 1 : Equation de réversibilité de Jarzynski-Crooks Réversibilité pondérée On a montré rigoureusement la réversibilité pondérée avec évolution contrainte z(t) 6= cte (T > 0 temps final donné). C’est une formule explicite pour le rapport de probabilités (dérivée de Radon) :
Loi(Q0,P0)∼µz(0) ((QT−t ,−PT−t)0≤t≤T )
Loi(QT ,PT )∼µz(T ) ((Qb
(q, p) = Zz(T )
b t ) est Langevin (même dynamique) mais avec
contraintes renversées en temps zb(t) = z(T − t)
(ii) W0→T def =
0 z(t)dΛt est le travail (=énergie) injecté au
système à cause de t 7→ z(t). Calculable explicitement !. Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27 novembre 2014 12 / 49
(Ch. 1) Méthode 1 : Application
Calcul d’ ”énergies libres”
Zz(0) , qui permet de calculer la distribution
d’équilibre de la variable lente (énergie libre) :
p(z)dz := Loi(ξslow(Q)), Loi(Q) = 1 Z
e−βV (q)dq.
p(z(T ))
correction géométrique
(Ch. 1) Méthode 1 : Application
Calcul d’ ”énergies libres”
Zz(0) , qui permet de calculer la distribution
d’équilibre de la variable lente (énergie libre) :
p(z)dz := Loi(ξslow(Q)), Loi(Q) = 1 Z
e−βV (q)dq.
p(z(T ))
correction géométrique
(Ch. 1) Méthode 1 : Principe de preuve et développement de schémas numériques
Idées de preuve : contraintes évolutives z(t) 6= cte (i) Partie ”thermostat” toujours réversible + sym. p 7→ −p (ii) Partie hamiltonienne est encore réversible en temps si p 7→ −p
et z(t) 7→ z(T − t). (iii) Partie hamiltonienne est encore symplectique.
Seule différence avec cas libre : énergie non-conservée d’où W0→T .
Nouveaux schémas numériques + analyse numérique Splitting entre (i) partie thermostat , (ii) partie Hamiltonienne avec Lagrangien discret avec contrainte (RATTLE) ⇒ réversibilité pondérée exacte au niveau discret. Analyse du régime ”overdamped”.
(Ch. 1) Méthode 1 : Principe de preuve et développement de schémas numériques
Idées de preuve : contraintes évolutives z(t) 6= cte (i) Partie ”thermostat” toujours réversible + sym. p 7→ −p (ii) Partie hamiltonienne est encore réversible en temps si p 7→ −p
et z(t) 7→ z(T − t). (iii) Partie hamiltonienne est encore symplectique.
Seule différence avec cas libre : énergie non-conservée d’où W0→T .
Nouveaux schémas numériques + analyse numérique Splitting entre (i) partie thermostat , (ii) partie Hamiltonienne avec Lagrangien discret avec contrainte (RATTLE) ⇒ réversibilité pondérée exacte au niveau discret. Analyse du régime ”overdamped”.
(Ch. 1) Méthode 2 : pénalisation implicite des variables rapides
Idée : ralentir les variables rapides (i) On va artificiellement rajouter la quantité de masse ν2 > 0 aux
variables rapides ξfast : R3N → Rnfast . (ii) On veut garder un Hamiltonien séparable (qui donne des
schémas symplectiques explicites). (iii) Idée originale : On augmente la dimension de l’espace d’état
avec les variables (z , vz) ∈ Rnfast×nfast et ajoute autant de contraintes.
(Ch. 1) Méthode 2 : Lagrangien
Lagrangien de la méthode On peut résumer la méthode en donnant le Lagrangien de la dynamique déterministe :{
LIMP(v , vz , q, z) = 1 2 |v |
2 + ν2
2 |vz |2 − V (q)− Vfix,ν(q),
ξ(q, z) := ξfast(q)− z = 0, (C )
(i) (z , vz) ∈ Rnfast×nfast : nouvelles variables de masse ν2 > 0. (ii) Vfix,ν(q) := 1
2β ln (det(Id3N + ν2∇qξfast ⊗∇qξfast)) une correction géométrique calculable.
(iii) La contrainte (C ) qui impose ξfast(q) = z .
(Ch. 1) Méthode 2 : Simulation
Simple (tps= coût calcul) Pénalisé (tps= coût calcul)
free2.mp4
(Ch. 1) Méthode 2 : pénalisation implicite des variables rapides Résultats originaux (i) Si on rajoute un thermostat (Langevin), la distribution
d’équilibre des positions est exacte : ∝ e−βV (q)dq.
(ii) La limite ν → 0 (pénalisation nulle) est la dynamique exacte. (iii) La limite ν → +∞ est la dynamique contrainte sur {ξfast(q) = zt=0}.
(iv) Si V (q) ≡ U(q, (ξfast(q)− z0)/ε), z0 inconnu, la limite ε→ 0 ν = O(1/ε) est la dynamique contrainte effective attendue sur {ξfast(q) = z0}.
(v) Les schémas numériques Lagrangiens avec contraintes vérifient (i)-(ii)-(iii)-(iv), inconditionnellement sur le pas de temps t (”préserve l’asymptotique”).
d’équilibre des positions est exacte : ∝ e−βV (q)dq. (ii) La limite ν → 0 (pénalisation nulle) est la dynamique exacte. (iii) La limite ν → +∞ est la dynamique contrainte sur {ξfast(q) = zt=0}.
d’équilibre des positions est exacte : ∝ e−βV (q)dq. (ii) La limite ν → 0 (pénalisation nulle) est la dynamique exacte. (iii) La limite ν → +∞ est la dynamique contrainte sur {ξfast(q) = zt=0}.
Chapitre 2 Etats fondamentaux fermioniques et problème du signe
(Ch. 2) Etats fondamentaux ”fermioniques” Problème (i) On considère un opérateur de Schrödinger (autoadjoint) dans
l’espace de Hilbert L2(Rd , dx) :
H = −
2 + V ,
où V : Rd → R est invariant par l’action d’un groupe fini de symétries S.
(ii) Objectif : Calcul par une méthode probabiliste de l’état fondamental (propre) antisymétrique d’énergie minimale (vap) :
E ∗ = inf ψ∈L2
skew, ψL2=1
(Ch. 2) Antisymétrie
skew sont contraintes à être antisymétriques :{ ψ ∈ L2
skew ⇔ ψ g = ε(g)ψ ∀g ∈ S ε(g) := ±1 = signature de g
(ii) Cas physique de N particules quantiques de type Fermion : Rd = R3N et le groupe de symétrie S := {permut. des N particules}.
(iii) A cause de l’antisymétrie, l’état fondamental ψ∗ ne possède pas de signe ⇒ difficultés pour l’interprétation probabiliste.
(Ch. 2) Etats fondamentaux fermioniques
Exemple dans R2 pour symétrie parité S = {id, x 7→ −x} ψ∗ = état fondamental antisymétrique.
(Ch. 2) Minimum sur des problèmes de Dirichlet
Double minimisation utilisant des conditions de Dirichlet
E ∗ := inf
∫ Rd ψH (ψ)
Il faut imposer la contrainte d’antisymétrie : N \ Rd = N+ tN− S-stable, connexe à une symétrie près (N+ = g(N+) si g paire, N− = g(N+) si g impaire).
(Ch. 2) Minimum sur des problèmes de Dirichlet
Double minimisation utilisant des conditions de Dirichlet
E ∗ := inf
∫ Rd ψH (ψ)
Il faut imposer la contrainte d’antisymétrie : N \ Rd = N+ tN− S-stable, connexe à une symétrie près (N+ = g(N+) si g paire, N− = g(N+) si g impaire).
(Ch. 2) Approximation des ”noeuds” (calN) fixés
Dessin En général, le minimiseur ψ∗Dir(N ) n’est pas un état propre dans Rd :
∇−x ψ∗Dir(N ) 6= ∇+ x ψ ∗ Dir(N ) x ∈ N , H(ψ∗Dir(N )) /∈ L2 et E ∗Dir(N ) > E ∗
(Ch. 2) Interprétation probabiliste
Interprétation probabilistes d’états fondamentaux (i) Soit ψ∗Dir(N ) ∈ L1 ∩ L2, d’énergie (val. propre) E ∗Dir(N ) est un
état fondamental de Schrödinger avec condition de Dirichlet. On a la formule de Feynman-Kac ”quasi-stationnaire”, ∀ :∫
Rd (x)ψ∗Dir(N )(x)dx∫ Rd ψ
∗ Dir(N )(x)dx
= lim t→+∞
E ( (Wt)e−
) E ( e−
R t 0 V (Ws)ds |τ ≥ t
) t 7→ Wt est un mouvement bownien standard, et τ := inf(t ≥ 0|Wt ∈ N ) (temps d’atteinte du bord).
(ii) Methode à la base des méthodes de Chimie Quantique Monte-Carlo (échantillonage MC de ψ∗Dir(N )).
(Ch. 2) Variation des conditions de Dirichlet Calcul probabiliste de la variation des conditions de Dirichlet Pour un problème d’état fondamental avec conditions de Dirichlet sur Nθ, le calcul variationnel donne (rθ ”dérivée de forme”) :
∂θE ∗Dir(Nθ) ∝ − ∫ Nθ
(Ch. 2) Résultat : Interprétation probabiliste Résultat (i) Pas de formule probabiliste directe pour ∇θE ∗θ . (ii) Mais on a la formule (SW := signe(W ) ∈ {+1,−1}) :
EW0∼ψ∗Dir(N ) (x)dx
) ∝ ∫ N
(Ch. 2) Résultat : Interprétation probabiliste
Résultat (suite) (i) En particulier la ”pression” sur N et la distribution de Wτ
arrété sur N , signée, et pondérée ont le même signe. (ii) Caractérisation : ψ∗Dir(N ) est un état propre de Schrödinger ssi
la distribution pondérée de Wτ de type + est invariante par S. (iii) Nouvelle méthode (imparfaite) de calcul Monte-Carlo de
∂θE ∗Dir(Nθ).
Chapitre 3 Simulation de dynamiques de bactéries et le problème de la
réduction de variance
Modèle
(i) Xt ∈ Rd : position ; (ii) εVt ∈ εSd−1 : vitesse (normalisée) ; (iii) S : Rd → Rn : concentrations de chimio-attractants ; (iv) Yt ∈ Rn
variable interne qui ”mémorise” les concentrations.
(Ch. 3) Modèle d’une dynamique de bactérie Dynamique Processus markovien à sauts : (i) Vitesse : dXt
dt = εVt . (ii) Variable interne solution d’une Equation Différentielle
Ordinaire linéaire (τε = τT ε ∈ Rn×n > 0) :
dYt
dt = −τ−1
ε (Yt − S(Xt)).
(iii) t 7→ Vt constant par morceaux, (Tn)n≥0 temps de saut :{∫ Tn+1 Tn
λ(S(Xt)− Yt) dt = θn+1, (θn)n≥1 i.i.d. loi expo. VTn+1 ∼ Unif(Sd−1)
”Yt est une mémoire des concentrations passées, qui comparée à S(Xt), provoquent le changement de direction au hasard”.
(Ch. 3) Echelles de temps et approx. diffusion Trois échelles de temps (i) Lent : vitesse des bactéries d’ordre O(ε). (ii) Rapide : fréquence des changements de vitesses d’ordre O(1),
λ(z) = 1− b · z + O(|z |k).
(iii) Intermédiaire (ou rapide) : variables internes d’ordre τε = O(ε1−δ) avec δ > 1/k .
Approximation diffusion La position sur des temps diffusif (t = ε2t), t 7→ Xt/ε2 converge en loi vers l’EDS
dXt = ∇s(Xt)d t + ( 2d−1)1/2 dWt ,
avec concentration ”type” s(x) = b · limε→0 τε
τε+Idn S(x). ( Méthode
”directe” de développement asympotique en ε des temps de saut).
(Ch. 3) Echelles de temps et approx. diffusion Trois échelles de temps (i) Lent : vitesse des bactéries d’ordre O(ε). (ii) Rapide : fréquence des changements de vitesses d’ordre O(1),
λ(z) = 1− b · z + O(|z |k).
(iii) Intermédiaire (ou rapide) : variables internes d’ordre τε = O(ε1−δ) avec δ > 1/k .
Approximation diffusion La position sur des temps diffusif (t = ε2t), t 7→ Xt/ε2 converge en loi vers l’EDS
dXt = ∇s(Xt)d t + ( 2d−1)1/2 dWt ,
avec concentration ”type” s(x) = b · limε→0 τε
τε+Idn S(x). ( Méthode
”directe” de développement asympotique en ε des temps de saut). Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27 novembre 2014 32 / 49
(Ch. 3) Dynamique simplifiée ”sensible au gradient”
Description de la dynamique (i) Idée : on souhaite réduire la variance statistique des simulations
directes (”Monte-Carlo”) des bactéries en utilisant un modèle de plus faible dimension.
(ii) On a considéré une dynamique sans variable interne (notée t 7→ (X c
t ,V c t )) vérifiant aussi dX c
t dt = εV c
T c n
c t ) dt = θn+1, (θn)n≥1 i.i.d. loi expo.
V c T c
n+1 ∼ Unif(Sd−1)
(iii) La fréquence des sauts λc,ε(x , v) := 1− ε∇s(x) · v + o(ε) est ”sensible au gradient” et est choisie afin que les deux modèles aient la même limite de diffusion.
(Ch. 3) Couplage avec la dynamique simplifiée ”sensible au gradient” Description du couplage Couplage probabiliste naturel des deux modèles (utilisation des mêmes ”nombres aléatoires”) : (i) mêmes ”horloges” exponentielles (θn)n≥1, et mêmes nouvelles vitesses VTn = V c
T c n .
(Ch. 3) Reduction de variance avec variable de contrôle Comportement asymptotique du couplage (i) On montre alors que le couplage est ”asymptotique” au sens
où la distance Lp tend vers 0 avec ε sur des temps diffusifs.
E (Xt/ε2 − X c
p)1/p = O(ε + εδ + εkδ−1).
(ii) Idée de preuve : développement asymptotique des temps de sauts, formule de Duhamel pour l’EDO, inégalité maximale de martingales.
(iii) Si on simule N bactéries, le bruit sur la différence entre les deux modèles sur les temps diffusifs est alors d’ordre
1√ N
E (Xt/ε2 − X c
p)1/p = O(ε + εδ + εkδ−1).
1√ N
E (Xt/ε2 − X c
p)1/p = O(ε + εδ + εkδ−1).
1√ N
(Ch. 3) Réduction de variance
(i) On peut alors utiliser une variable de contrôle pour calculer ( N = moyenne sur N bactéries).
t,var.reduc. := ⟨ (Xt/ε2 ,Vt/ε2)
∫ Rd×Sd−1
(x , v)ft/ε2(x , v)dxdv var. de contrôle : − var. aléa. couplée + calcul déterm.
où ft est une solution de l’équation cinétique satisfaite par Loi(X c
t ,V c t ) :
∂tft + εv · ∇x ft =
(Ch. 3) Méthode numérique Réinitialisation On réinitialise le couplage à intervalles de temps réguliers :
0 t0 2t0 3t0 Diffusive time
M ea
su re
Particles with internal variables Particles with gradient sensing Deterministic grid−based simulation: gradient sensing Variance reduced simulation
(Ch. 3) Résultats numériques Simulation : double puit de concentration (i) Sans réduction de variance (· · · = dyn. sens. ”grad”.) :
0
0.1
0.2
(ii) Avec réduction de variance (· · · = dyn. sens. ”grad”.) :
0
0.1
0.2
0.3
0 5 10 15 20 x
0 5 10 15 20 xMathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27 novembre 2014 38 / 49
Chapitre 4 Systèmes de particules avec collisions et le problème de la
vitesse de convergence à l’équilibre
(Ch.4) Le système de Kac de N particules
Description (i) Processus markovien formé de N vitesses
t 7→ Vt = (Vt,(1), . . . ,Vt,(N)) ∈ ( Rd)N .
Indépendance par rapport aux positions, masses 1. (ii) d + 1 lois de conservations{
VtN = 0 p.s. moment⟨ |Vt |2
⟩ N
Dynamique (i) Processus de collisions de paires. Avec fréquence constante
(hypothèse Maxwellienne) d’ordre O(N), il se produit une collision aléatoire de 2 particules (paire) :
I Conservant énergie et moment des 2 particules. I Respectant l’invariance Galiléenne.
(ii) La loi d’une collision est alors de la forme : I On choisit deux particules (I 6= J) ∈ [1,N]2 au hasard. I On choisit un angle (dit de ”scattering”) aléatoire indépendant
Θ ∈ [0, π] selon une loi donnée. I Une collision conservative de loi uniforme et d’angle de
”scattering” Θ ∈ [0, π] se produit.
(Ch.4) Collisions comme marche aléatoire Description d’une collision conservative La direction des vitesses relatives de la paire notée
Vt,(I ) − Vt,(J)Vt,(I ) − Vt,(J)
∈ Sd−1
fait un pas aléatoire isotrope sur Sd−1 d’angle Θ ∈ [0, π] (le reste est constant par lois de conservation). Example avec Θ = π/8 = cte :
(Ch.4) Temps long
Propriétés simples (i) Probabilité invariante : Unif(SNd−d) (cf. lois de cons.). (ii) Réversibilité stochastique (⇒ l’opérateur d’évolution de la loi du
syst. est autoadjoint dans L2(Unif(SNd−d)).
Difficultés de l’analyse en temps long (i) Carlen, Carvalho, Geronimo, Loss (’03,’08) ont calculé
explicitement le trou spectral (de l’opérateur d’évolution dans L2) : ce dernier est > 0 uniformément en N . Problème : la norme L2 difficile à manipuler quand N → +∞.
(ii) Villani (’04), sur un cas “caricaturé”, a montré que la constante de log-Sobolev ( pire rapport entropie / dissipation d’entropie) n’est PAS uniforme en N.
(Ch.4) Temps long
(Ch.4) Temps long
(Ch.4) Analyse du temps long par couplage Couplage Markovien explicite (i) On construit un processus markovien
t 7→ (Ut ,Vt) ∈ RdN × RdN tel que : I Les lois marginales de t 7→ Ut et t 7→ Vt sont données par le
système de Kac. I Loi(U0) = proba. inv. = Unif(SNd−d ) 6= Loi(V0).
(ii) Si d est une distance sur l’espace d’état E := RdN , on introduit la distance de Wasserstein quadratique :
dW2(π1, π2) def = inf
X ,Y |Law(X )=π1,Law(Y )=π2 E(d2(X ,Y ))1/2.
(iii) On prend alors pour (Ut=0,Vt=0) le couplage optimal de Wasserstein, puis on majore
d dt |t=0dW2(Law(Vt), proba.inv.) ≤ d
dt |t=0E(d2(Ut ,Vt))1/2.
dt |t=0E(d2(Ut ,Vt))1/2.
dt |t=0E(d2(Ut ,Vt))1/2.
(Ch.4) Construction du couplage Couplage ”simultané et parallèle” du système de Kac (i) Collisions simultanées : les collisions de t 7→ Ut et de t 7→ Vt
arrivent au même instant sur la même paire de particules.
(ii) Pour chaque collision, on utilise le couplage parallèle sur la sphère des directions des vitesses relatives. Dessin pour
une direction, et une direction couplée.
(Ch.4) Construction du couplage Couplage ”simultané et parallèle” du système de Kac (i) Collisions simultanées : les collisions de t 7→ Ut et de t 7→ Vt
arrivent au même instant sur la même paire de particules. (ii) Pour chaque collision, on utilise le couplage parallèle sur la
sphère des directions des vitesses relatives. Dessin pour une direction, et une direction couplée.
(Ch.4) Propriétés du couplage Contraction du couplage (i) Si d ≥ 3, la sphère est de courbure > 0 donc distance
euclidienne = ⟨ |Ut − Vt |2
⟩ N décroît avec t p.s..
(ii) On peut alors calculer la vitesse de création de couplage (∼ dissipation)
d dt
×E
⟨ |Ut − Ut,∗| |Vt − Vt,∗| − (Ut − Ut,∗) · (Vt − Vt,∗) alignement des vitesses relatives couplées Ut−Ut,∗ vs. Vt−Vt,∗
⟩ N
paires de particules. Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27 novembre 2014 46 / 49
Une inégalité reliant couplage et création de couplage
Inégalité entre distance euclidienne et alignement des paires On a montré (calcul direct) que si (u, v) ∈ (Rd × Rd)N vérifiant les lois de conservation uN = vN = 0,
⟨ |v |2 ⟩
N = ⟨ |u|2 ⟩
N = 1 ; plus
u · vN ≥ 0. On a l’inégalité (avec cas d’égalités non triviaux) :⟨ |u − v |2
⟩ N ≤ 2
×
⟨ |u − u∗|2 |v − v∗|2 − ((u − u∗) · (v − v∗))2
∼alignement des vitesses relatives couplées (avec des carrés ! !)
⟩ N
Exemple de résultat final Convergence polynomiale en Wasserstein En utilisant l’ inégalité de Hölder, on a montré pour q > 1 and δ < +∞ la convergence en temps long polynomiale ∼ tδ uniforme en N
d dt
dsymN ,W2(Loi(Vt),Unif)1+1/δ,
(i) cδ,q est numérique, independante de N, explicitable. (ii) Les moments sont bornés uniformément en N, t (prouvé pour
l’ordre 4) ⇒ cv. en temps long polyn.. (iii) Similaire à la convergence en entropie : compromis entre
bornes sur les moments et ordre de la convergence polyn.. Mathias Rousset (CERMICS-INRIA) Habilitation à Diriger des Recherches 27 novembre 2014 48 / 49
Merci !
Remerciements (i) Chap. 1 : Travail commun avec : P. Plechac, G. Stoltz, T.
Lelièvre. (ii) Chap. 3 : Travail commun avec : G. Samaey. (iii) Laboratoire P. Painlevé et INRIA Lille (SIMPAF). (iv) CERMICS et INRIA Rocquencourt (ex-MicMac). (v) Jury et rapporteurs du mémoire.

Documents

Habilitation à Diriger des Recherches - Aspects