Universit de Savoie

Habilitation diriger des recherchesen Electronique, Electrotechnique et Automatique

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Contrle flou : de linterpolation numrique au codage de lexpertise

Sylvie Galichet

Travaux prsents le 21 Dcembre 2001 devant la Commission dExamen : J.M. Dion D. Dubois B. Dubuisson L. Foulloy S. Gentil R. Longchamp A. Titli Rapporteur Rapporteur Prsident

Rapporteur

LAMII, Universit de Savoie, BP806, 74016 Annecy Cedex

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Je tiens tout dabord remercier Bernard Dubuisson, Professeur lUniversit de Technologie de Compigne, de mavoir fait lhonneur de prsider le jury. Jespre avoir t la hauteur des attentes que peut avoir un directeur de thse envers une tudiante qui il a donn got la recherche. Je tiens aussi remercier Jean-Michel Dion, Directeur de Recherche CNRS au Laboratoire dAutomatique de Grenoble, davoir accept dtre rapporteur de ce travail. Ses remarques et critiques constructives sont pour moi dune grande utilit et jespre en tirer parti avec profit. Tous mes remerciements vont galement Didier Dubois, Directeur de Recherche CNRS lIRIT, et Andr Titli, Professeur lINSA de Toulouse, qui tous deux ont accept la lourde tche de rapporter sur ce manuscrit. Outre le soin quils ont apport lanalyse de ce document, ils mont toujours encourage approfondir des travaux en commande floue, notamment via des discussions au sein des groupes de travail CSN et FALCON. Je souhaite que nos changes conservent le caractre bnfique quils ont eu et que mon anne toulousaine lIRIT soit loccasion dancrer une coopration fructueuse et durable. Un grand merci galement Sylviane Gentil, Professeur lENSIEG, davoir accept dexaminer ce travail. Ayant particip des projets communs, jai eu maintes occasions dapprcier la cordialit avec laquelle elle partage ses opininons mais aussi ses comptences. Que Roland Longchamp, Professeur lEPFL de Lausanne, soit galement remerci pour sa participation au jury. Ses remarques et interrogations soulvent de nombreux sujets de rflexion qui restent encore approfondir. Enfin, je tiens tout particulirement remercier Laurent Foulloy, Professeur lUniversit de Savoie, pour mavoir incite rejoindre son quipe de recherche. Par son enthousiasme, sa comptence mais aussi la confiance quil ma accorde, il ma donn lenvie dapprendre et de progresser. Durant ces dix dernires annes, il a toujours su mencourager, se montrer disponible et chaleureux et supporter mes sautes dhumeur. En rsum, je lui suis extrmement reconnaissante davoir t le directeur de recherche que je souhaite tout le monde. Merci galement toutes les personnes qui de prs ou de loin ont contribu la russite de ce travail, avec une mention particulire pour les pionniers de Commande experte, Eric et Gilles. Je noublie pas les tudiants qui par leurs travaux ont contribu lavancement de cette recherchen, notamment les doctorants : Yassar, Michel et Reda, mais aussi les DEA et stagiaires. Finalement, je ne saurais terminer cette page sans que soient remercis tous les collgues du Laboratoire ou plus gnralement de lEcole, pour leur soutien moral, administratif ou technique. Il mest ici impossible de citer tout le monde, alors mentionnons simplement les anti-tabacs : Emmanuel et Philippe, le secrtariat LAMII : Joelle, et tous les autres ....

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Table des matires

Partie A : SynthseI II IIItel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009

Curriculum Vitae ................................................................................. 3 Activits denseignement .................................................................... 4 Activits de recherche ......................................................................... 5 Activits dintrt collectif .................................................................. 9

IV Activits dencadrement ...................................................................... 8 V VI Publications ....................................................................................... 11

Partie B : Travaux de rechercheIntroduction gnrale .......................................................................19 Chapitre I : Interpolation numrique ............................................21I II Introduction ....................................................................................... 21 Contrleurs flous numriques ........................................................... 22II.1 II.2 Contrleurs flous de Mamdani .................................................................. 23 Contrleurs flous de Sugeno ..................................................................... 23 Proprit aux valeurs modales .................................................................. 24 Principe des quivalences modales .......................................................... 25

III

Equivalences modales ....................................................................... 24III.1 III.2

IV Application du principe des quivalences modales la synthse dun contrleur flou de type PI.......................................................... 26IV.1 IV.2 Partitionnement des univers de discours ................................................... 26 Synthse dun contrleur flou de type Mamdani ...................................... 27 IV.2.1 Construction de la base de rgles ................................................. 27

IV.3 IV.4 IV.5

IV.2.2 Rglage du contrleur synthtis.................................................. 28 IV.2.3 Introduction de gains de normalisation ........................................ 29 Synthse dun contrleur flou de type Sugeno ......................................... 31 Effet de linterpolation entre les points modaux dans un contrleur de Mamdani ................................................................................................... 31 Obtention dun quivalent linaire exact .................................................. 35

V

Extension la synthse de contrleurs flous linaires par retour dtat .................................................................................................. 37VI.1 VI.2 Rgulation de niveau en raffinerie ............................................................ 39 Transformation linarisante ...................................................................... 41

VI Application la synthse de contrleurs flous non linaires ............ 39

VII Apprentissage dune base de rgles partir dexemples ................... 44VII.1 Prambule .................................................................................................. 44 VII.2 Technique dapprentissage ........................................................................ 45 VII.3 Application : prdiction de la tension artrielle ........................................ 47 tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009

VIII Proprits structurelles des systmes de Sugeno conclusion constante ............................................................................................ 48VIII.1 Dcomposition en sous-systmes lmentaires ........................................ 48 VIII.2 Proprits dun sous-systme lmentaire ................................................ 49 VIII.3 Inversion dun systme flou ...................................................................... 51

IX Synthse dune loi de commande par inversion de modle flou : approche par linarisation entre/sortie.............................................. 52IX.1 IX.2 IX.3 Principe ..................................................................................................... 53 Robustification de la structure de commande ....................................... 53 Identification du modle flou .................................................................... 56

X

Conclusion ......................................................................................... 57

Chapitre II : Codage de lexpertise ................................................59I II Introduction ....................................................................................... 59 Manipulation dinformations symboliques ....................................... 61II.1 II.2 II.3 Description et signification ....................................................................... 61 Typologie des systmes flous ................................................................... 62 Implantation SF4 ....................................................................................... 64

III

Traitement dentres imprcises ........................................................ 66IV.1 IV.2 IV.3 TSK SF4 avec rgles pondres ....................................................... 70 Extension du mcanisme de calcul TSK aux rgles conclusions linguistiques floues ................................................................................... 73 Approximation linguistique ou rduction dune base de rgles ................ 75 Expertise et contrleurs symboliques ....................................................... 79 V.1.1 Rgles gnrales ........................................................................... 82

IV Lien avec lapproche numrique TSK ............................................... 70

V

Expertise en commande floue ........................................................... 78V.1

V.2

V.3 VI.1 VI.2

V.1.2 Gestion de la commutation ........................................................... 82 V.1.3 Rgles anticipatives ...................................................................... 83 V.1.4 Ajustement du contrleur flou ...................................................... 83 Expertise et contrleurs numriques ......................................................... 85 V.2.1 Rgulation de niveau dans un procd de fabrication semi-continue de barres de laiton ................................................. 85 V.2.2 Rgulation de niveau en raffinerie ............................................... 87 Aspect mthodologique ............................................................................. 88 Introduction ............................................................................................... 90 Expertise et capteurs flous ........................................................................ 91 VI.2.1 Agrgation par interpolation ........................................................ 91 VI.2.2 Agrgation par jeu de rgles ........................................................ 95 VI.2.2.1 Capteur flou de dbouchage ........................................... 95 VI.2.2.2 Capteur flou doscillations ............................................. 96 Expertise et hirarchisation ....................................................................... 97 VI.3.1 Supervision de lois de commande ................................................. 97 VI.3.2 Hirarchisation dune connaissance experte ............................... 99

VI Distribution de lexpertise dans la structure de commande .............. 90

VI.3 tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009

VII Conclusion ....................................................................................... 102

Conclusion gnrale .......................................................................105 Rfrences .......................................................................................107

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Partie A : Synthse

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I

Curriculum VitaeNom : Prnoms : Date et lieu de naissance : Nationalit : Situation de famille : Adresse personnelle : Tlphone : GALICHET Sylvie, Claire, Annie 18-1-1963 Villers-Semeuse (08) Franaise Clibataire 7, rue du val vert 74600 Seynod 04 50 51 21 28

I.1

StatutFonction : Etablissement : Date dinstallation : Date de titularisation : Situation actuelle : Matre de confrences, 61ime section ESIA (Ecole Suprieure dIngnieurs dAnnecy) - Universit de Savoie BP806 74016 Annecy Cedex 1-10-91 1-10-93 Dlgation CNRS - IRIT Toulouse Titulaire de la prime dencadrement doctoral depuis 95

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I.2

Principaux diplmesJuil. 86 Diplme dingnieur en informatique de lUTC (Universit de Technologie de Compigne) Sept. 86 DEA, spcialit Contrle des systmes, UTC, obtenu avec mention Dc. 89 Thse de Doctorat, spcialit Contrle des systmes, UTC, mention trs honorable

I.3

Expriences professionnelles88 / 90 Stagiaire doctorant, Service Etudes Avances, Thomson Vido Equipement, Cergy-Pontoise 90 / 91 Ingnieur de recherche CNRS, affect au GdR Traitement du Signal et Images, en poste lENSERB, Bordeaux 91 / 01 Matre de confrences lUniversit de Savoie, ESIA Annecy

I.4

Activits de recherche86 / 90 Laboratoire Heudiasyc (HEUristique et DIAgnostic des SYstmes Complexes), URA CNRS 817, UTC, Compigne. DEA et thse sous la direction de B. DUBUISSON, professeur lUTC. Thmes : Reconnaissance des formes statistique, robotique industrielle, traitement dimages couleur. 90 / 91 GdR Traitement du Signal et Images, laboratoire LARFRA (LAboratoire de Reconnaissance des Formes et Robotique Agricole), ENSERB, Bordeaux. Thme : Dveloppement logiciel en analyse et traitement dimages. 91 / 01 Laboratoire LAMII (Laboratoire dAutomatique et de Micro-Informatique Industrielle), ESIA. Thmes : Modlisation et contrle flou.

I.5

Activits denseignement88 / 90 Vacations lUTC (Compigne). Responsabilit de cours, TD, et TP de programmation structure en 1re anne de formation dingnieurs. 90 / 91 Vacations lENSERB (Bordeaux). Cration dun cours de codage et compression de limage en 3ime anne de formation dingnieurs. 91 / 01 Service statutaire lESIA (Annecy). Responsabilit de cours, TD et TP en cole dingnieurs, MST, DESS et DEA.

I.6

Principales responsabilits collectivesMembre du CA de lUniversit de Savoie (mandat 92-96). Membre du CA de lESIA depuis 94. Membre de la CSE 61ime section de lUniversit de Savoie depuis 95. Responsable de lopration Commande Experte au LAMII (mandats 92-94 et 94-96).

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II

Activits denseignement

II.1 Panorama A ma nomination luniversit de Savoie en Octobre 91, jintgre lUFR FAST (Facult Anncienne des Sciences et Techniques) qui regroupe deux Matrises de Sciences et Techniques (PAIM : Productique Applique aux Industries Mcaniques et MIA : Micro-Informatique et Automatique). En Septembre 93, la FAST est transforme en Ecole Suprieure dIngnieurs dAnnecy (ESIA). Issues des formations existantes, deux filires dingnieurs sont ainsi cres. Paralllement, une nouvelle Matrise de Sciences et Techniques (PAI : Physique Applique et Instrumentation) voit le jour. Cette dernire a aujourdhui rejoint lESIA qui actuellement, compte donc trois filires dingnieurs. Dans ce contexte, jai t amene minvestir dans les diffrentes filires au gr de leur cration, de leur volution et du recrutement des enseignants. Jai ainsi cr ou assur la responsabilit de nombreux modules dont la diversit est illustre par la liste des intituls de cours correspondants : tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Systmes dexploitation Analyse numrique Langage C Techniques dinterfaage Programmation graphique sous Labview Communication inter-applications Unix Algorithmie Programmation machine et assembleur Logique floue Instrumentation virtuelle

Chacun de ces modules reprsente environ 12h de cours, 12h de TD et 16h de TP. Hormis le cours assurer, leur responsabilit implique lanimation pdagogique, lorganisation et la mise en place des TD et TP ainsi que lencadrement dau moins un groupe dtudiants. Par ailleurs, jai particip des enseignements de Prolog, dalgbre linaire, dautomatique continue ou encore de Java. II.2 Gnie informatique Ces dernires annes, les formations dispenses lESIA stant stabilises, jai recentr mes activits autour du gnie informatique. Jai notamment introduit une nouvelle formation base sur lenvironnement de dveloppement graphique Labview. Compose de trois modules, celleci a t compltement cre louverture de la filire PAI. Aujourdhui, elle est galement dispense en filire A2I (Automatique et Informatique Industrielle). Un premier module dinitiation la programmation sous Labview est enseign en deuxime anne. Si celui-ci est commun aux deux filires concernes, lenseignement de troisime anne prend un caractre spcifique travers deux modules. Selon la spcialit des tudiants sont ainsi traits la programmation distance des instruments ou le dveloppement dapplications informatiques communicantes. Restent souligner que ces deux derniers modules sont essentiellement bass sur des enseignements pratiques et que leur mise en place a ncessit de concevoir de nouvelles plateformes de manipulation. Le choix dun matriel attractif aux yeux des tudiants (mini-robots, Webcam, ...) a permis de motiver les lves mais aussi daborder de faon concrte des applications multidisciplinaires. De faon plus globale et par le biais de suivis de stages en entreprise, jai pu valuer et tenter damliorer ladquation entre la formation de nos tudiants et les besoins industriels en terme de gnie informatique.

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II.3 Lien avec la recherche Outre les enseignements voqus ci-dessus qui concernent exclusivement le second cycle, je suis intervenue en DEA Automatique Industrielle, cohabilit entre luniversit Claude Bernard de Lyon 1, lINSA de Lyon et luniversit de Savoie. Cest ainsi que jai enseign un cours de commande floue, planifi tous les deux ans en alternance avec un module de capteurs flous. La rpartition du public tudiant sur plusieurs sites gographiques ma amene concevoir une version visio-confrence de cet enseignement. Pour conclure sur mes activits denseignement, ajoutons que jai propos et encadr de nombreux projets dtudiants au laboratoire (24h en 2ime anne, 120h en 3ime).

III Activits de rechercheDs mon arrive Annecy, jai rejoint le LAMII (Laboratoire dAutomatique et de Micro-Informatique Industrielle) et intgr lopration Commande Experte pour dvelopper des travaux en commande floue. Malgr des restructurations internes au laboratoire, ce thme est rest le fil conducteur de mes activits de recherche tout au long de ces dix dernires annes. tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Aprs une brve priode de reconversion thmatique puisque mes travaux de recherche initiaux taient dans le domaine du traitement des images, jai dvelopp deux axes principaux. Le premier concerne la synthse de contrleurs flous et repose sur le principe des quivalences modales. Quant au second, il dcoule de la typologie des contrleurs flous et exploite une implantation symbolique des systmes flous. III.1 Principe des quivalences modales Dans les annes 90, la communaut internationale sattache analyser les performances associes aux contrleurs flous. Dans ce contexte, le projet CSN (Commande Symbolique et Neuromimtique) du ple AI du GR Automatique initie une tude comparative de divers contrleurs flous sur un benchmark issu de la commande adaptative. La participation active de lquipe du LAMII ce groupe de travail nous a amens rdiger un article de synthse sur le sujet [R3] mais aussi rflchir sur les mcanismes de rglage dun contrleur flou. Dans loptique dune future exploitation de rsultats connus en commande linaire, nous nous sommes alors pos la question suivante : Comment synthtiser de manire automatique un contrleur flou quivalent un contrleur linaire ?. Le principe des quivalences modales, dvelopp au sein de lquipe, permet de solutionner ce problme. Ainsi, tant donn un contrleur connu de type P (proportionnel), PI (proportionnel intgral) ou PID (proportionnel intgral driv), il devient possible dautomatiquement gnrer la base de rgles et les rglages dun contrleur flou quivalent. Si la construction du systme flou permet de garantir lquivalence pour des entres modales, seul un choix appropri des oprateurs dinfrence permet dobtenir une interpolation linaire entre les points modaux. Les premiers travaux publis dans [R2] sont lorigine de nombreuses extensions visant appliquer le principe des quivalences modales pour la synthse de contrleurs plus labors. Toujours dans un cadre linaire, est ainsi aborde la construction de contrleurs flous par retour dtat [O4]. La tentative savre fructueuse pour des procds mono-entre, mono-sortie. Par contre, le traitement des procds multivariables reste dlicat lorsquune implantation de type Mamdani est envisage pour le contrleur flou. Un systme flou spcifique doit, en effet, tre associ chaque sortie dans la mesure o aucun rglage des fonctions dappartenance associes aux entres ne permet de traiter simultanment les diffrentes sorties. Cette difficult disparat lorsque des contrleurs de type Sugeno sont exploits, ces derniers nimpo-

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sant aucune contrainte sur la spcification des consquences des rgles. Ds 93, nous avons abord laspect non linaire en particulier travers une application industrielle de rgulation de niveau dans une capacit tampon en raffinerie [C8]. Cette tude, mene en collaboration avec ELF, exploite le principe des quivalences modales pour initialiser un contrleur flou partir dun contrleur non linaire existant. Suite ces travaux, nous nous sommes intresss la synthse dun systme flou implantant une transformation linarisante connue dans le cadre dune commande par linarisation entre-sortie. Tous ces travaux ont pour but de copier un contrleur existant mais napportent aucun lment de rponse au vritable problme de synthse des contrleurs flous. Dans ce contexte, la dmarche de lautomatique conventionnelle requiert la connaissance dun modle du procd piloter. Dans un cadre flou, apparat alors la problmatique de la modlisation floue. Celle-ci a t apprhende dans la thse de Y. Nakoula visant identifier un modle flou partir de points dapprentissage. La mthode propose consiste slectionner un sous-ensemble de points dapprentissage qui devront tre reproduits de manire exacte par le modle flou. Pour ce faire, et toujours par application du principe des quivalences modales, la construction du modle est ralise de faon associer un point modal chaque point concern [O3]. tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Lensemble des travaux prcdents a t exploit dans la thse de R. Boukezzoula pour rpondre au problme de suivi de trajectoire pour une classe de systmes non linaires. Deux architectures de commande ont t proposes, la premire base sur une approche par linarisation entre-sortie, la seconde implantant une structure de commande modle interne [R6]. Dans les deux cas, le contrleur est obtenu par inversion du modle flou du procd. Une composante de commande additive est intgre dans la structure globale de faon la rendre robuste vis--vis des incertitudes. Cette dernire est synthtise par mode de glissement ou par optimisation Hinfini. III.2 Implantation symbolique dun systme flou Pour concevoir et implanter un contrleur, il est intressant de pouvoir exploiter lensemble des connaisances disponibles sur le procd : modle mathmatique, donnes dapprentissage mais aussi expertise. Si les travaux issus du principe des quivalences modales permettent dintgrer aisment des informations numriques, la prise en compte de la connaissance experte reste dlicate. Dans ce contexte, lquipe sintresse aux mcanismes de conversion numrique/symbolique et symbolique/numrique intervenant dans les systmes flous. Cest ainsi que la typologie des contrleurs flous [O1], dveloppe au laboratoire, distingue quatre familles de systmes selon la nature des informations vhicules en interne. Celle-ci permet de classifier facilement les contrleurs existants mais aussi dimplanter un mme contrleur de diffrentes manires. Ces travaux ont notamment permis dexhiber la possibilit dune implantation purement symbolique des systmes flous. Dans ce cas, ces derniers, dnots SF4, exploitent des rgles linguistiques, ventuellement pondres. A ce titre, ils sont tout particulirement adapts la reprsentation des connaissances dexpert. Ils possdent galement lavantage de dissocier clairement les phases de fuzzification, dinfrence et de dfuzzification, chacune de ces fonctionnalits pouvant donc tre ralise par un composant spcifique. Un capteur flou est ainsi facilement intgrable dans une structure de commande floue [R1]. Dans le cadre de la thse de M. Dussud, contrat CIFRE avec la SERT (Socit dEtudes et de Ralisations Techniques), ce type de systmes flous a t utilis pour la rgulation de niveau dacier en lingotire dans une machine de coule continue [R4]. Lapproche propose est base sur une structure deux niveaux, un niveau bas permettant dintgrer des correcteurs de nature quelconque et un niveau haut correspondant une couche de supervision. Cette dernire a pour

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objectif de dterminer les contrleurs utiliser en fonction du contexte identifi. La situation courante est qualifie linguistiquement par le biais de capteurs flous de perturbations (dtection doscillations et de dbouchages de busette). Si les systmes SF4 facilitent la manipulation dinformations linguistiques, ils sont galement exploitables dans un contexte numrique. En effet, tout systme flou de Sugeno conclusions constantes peut tre implant de faon exacte sous la forme dun SF4. Les travaux issus du principe des quivalences modales sont alors directement transposables dans un monde linguistique. Ainsi, la technique dapprentissage voque prcdemment a pu tre mise en oeuvre dans un cadre symbolique, notamment des fins de simplification ou de rduction dune base de rgles. Cest galement la stratgie utilise pour la prdiction des variations de la pression artrielle partir de la frquence cardiaque et de lacclration corporelle [R5] (collaboration avec le LAG, le CHU de Grenoble et lentreprise ELA Recherche spcialise dans lappareillage mdical, projet Emergence de la rgion Rhne-Alpes). Lapproche symbolique de linfrence a galement t valide dans le cadre du raisonnement approch [O5]. Il a notamment t montr que dans le cas dune reprsentation conjonctive des rgles, linfrence peut tre mene tant au niveau numrique quau niveau symbolique. Dans le cas de rgles implicatives, le problme a t restreint aux rgles certitude utilisant limplication de Dienes, hypothse sous laquelle il est possible de se ramener au cas conjonctif par une mise sous forme normale disjonctive. III.3 Projets en cours et perspectives La majorit des travaux dvelopps dans lquipe depuis une dizaine dannes se situent dans une stratgie de commande bas niveau. Si cette stratgie a permis dtablir un pont entre automatique conventionnelle et commande floue, ils semblent aujourdhui aboutis dans la mesure o les systmes flous utiliss peuvent sexprimer analytiquement et ainsi tre introduits dans une structure de commande classique. On peut alors qualifier lapproche floue de prdictive, robuste, optimale, ..., selon la nature de la structure de commande exploite. Cette volution de la commande floue au cours de la dcennie passe nest pas spcifique au LAMII, ni mme la communaut franaise, puisque la majorit des publications du domaine sinscrit dans cette dmarche. On peut toutefois noter que cette tendance soppose aux motivations dorigine de la commande floue, savoir exploitation dune expertise et prise en compte des imprcisions. Outre ce constat, il apparat quune relle avance en terme dautomatisation des systmes industriels ne peut tre obtenue quau prix dune globalisation de lapproche. Autrement dit, il est souhaitable de repenser la problmatique en terme doptimisation du fonctionnement global dune application et non plus simplement en terme doptimisation de chacun de ses constituants. Dans cette optique, on est alors amen envisager une meilleure exploitation des connaissances de nature symbolique de faon aborder une problmatique de commande beaucoup plus gnrale, cest--dire de haut niveau, regroupant les aspects lis la fusion dinformations, le diagnostic, la dcision et la supervision. Des travaux prliminaires ont dj t entrepris dans ce sens, notamment dans la thse de M. Dussud. Il convient maintenant de les gnraliser et de les intgrer dans une mthodologie globale. Une telle dmarche ncessite doublier dans un premier temps laspect commande pour se focaliser sur la thorie des systmes flous (smantique des rgles, raisonnement par contraintes, reprsentation des incertitudes, ...). Cest dans ce contexte que jai demand et obtenu une dlgation auprs du CNRS afin de rejoindre lquipe de D. Dubois et H. Prade lIRIT pour lanne universitaire 2001-2002. Ce sjour devrait me permettre dapprofondir mes connaisances et de faire merger de nouvelles problmatiques en terme dautomatisation des systmes.

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IV Activits dencadrementIV.1 Thses [Nakoula97] Nakoula Y., Apprentissage des modles linguistiques flous, par jeu de rgles pondres, Thse de doctorat, Spcialit Electronique - Electrotechnique Automatique, Universit de Savoie, 21 Juillet 97. Jury : S. Gentil (P), H. Bersini (R), J. Ragot (R), H. Prade, S. Galichet, L.Foulloy. [Dussud99] Dussud M., Rgulation de niveau en lingotire de coule continue : approche classique et approche floue, Thse de doctorat, Spcialit Electronique Electrotechnique - Automatique, Universit de Savoie, 5 Novembre 99. Jury : P.M. Frank (P), A. Chruy (R), T.M. Guerra (R), L.Foulloy, S. Galichet, P. Simonnin. [Boukezzoula00] Boukezzoula R., Commande floue dune classe de systmes non linaires : application au problme de suivi de trajectoire, Thse de doctorat, Spcialit Electronique - Electrotechnique - Automatique, Universit de Savoie, 31 Mars 2000. Jury : P. Borne (P), A. Ollero (R), C. Mlin (R), A. Titli, L.Foulloy, S. Galichet. IV.2 DEA [AlSaleh94] Al Saleh H., Analyse de la smantique attribue aux systmes flous, Rapport DEA Automatique Industrielle, LAMII/CESALP, Universit de Savoie, Annecy, France, Juillet 94. Darbas D., Commande floue applique la rgulation de niveau dacier, Rapport DEA Automatique Industrielle, LAMII/CESALP, Universit de Savoie, Annecy, France, Juillet 94. Pernot L., Utilisation de techniques floues pour la commande de procds non linaires, Rapport DEA Automatique Industrielle, LAMII/CESALP, Universit de Savoie, Annecy, France, Juillet 95.

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[Darbas94]

[Pernot95]

[Boukezzoula96] Boukezzoula R., Intgration de nouvelles fonctionnalits dans le langage PLICAS, Rapport de DEA Automatique Industrielle, LAMII/CESALP, Universit de Savoie, Annecy, France, Juillet 96. [Passaquay96] Passaquay D., Modlisation et commande de procds base de logique floue, Rapport de DEA Automatique et Informatique Industrielle, INSA Toulouse, stage effectu au LAMII/CESALP, Universit de Savoie, Annecy, France, Juillet 96. Prete D., Contrleurs flous auto-adaptatifs - Analyse de diffrentes stratgies, Rapport de DEA Automatique Industrielle, Universit de Savoie, Annecy, France, Juillet 97. Farys E., Synthse de contrleurs flous, Rapport de DEA Automatique Industrielle, Universit de Savoie, Annecy, France, Juillet 99.

[Prete97]

[Farys99]

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VV.1

Activits dintrt collectifResponsabilits administratives Membre du CA de lUniversit de Savoie (mandat 92-96). Membre du CA de lESIA depuis 94. Membre de la CSE 61ime section de lUniversit de Savoie depuis 95. Elue responsable de lopration "Commande Experte", mandats 92-94 et 94-96. - gestion financire des contrats et subventions - laboration et dveloppement des divers axes de recherche - membre de droit du Conseil de laboratoire Elue reprsentant au Conseil de laboratoire au sein de lquipe Techniques Avances de Commande, mandats renouvels de 97 00. Responsable du tronc commun 2ime anne lESIA, 97-99. - gestion des emplois du temps - organisation de lenseignement - accueil des tudiants

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Responsable de la discipline informatique gnrale lESIA, 93-95. V.2 Collaborations avec le secteur socio-conomique Entreprise Renault Recherche Rgion Rhne-Alpes SERT Nature Contrat de recherche Programme de recherche Emergence Contrat de recherche li une thse CIFRE Action commerciale Objet Diagnostic pour laide la conduite Holter tension intelligent Contrle flou pour la rgulation de niveau dacier Conseils et expertises technologiques en logique floue Algorithmes flous pour le contrle Priode 99-00 98-99 95-98

ELF Solaize

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ESPRIT III

Working Group FALCON 6017

92-95

V.3

Comits de programme et dorganisation de confrences Comits dorganisation 3rd IFAC Symposium on Intelligent Components and Instruments for Control Applications (SICICA97), Annecy. 7th Int. Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in knowledge-based systems (IPMU2002), Annecy. Comits de programme Rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA99, LFA2000, LFA2001).

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V.4

Participations rgulires la relecture darticles de revues Fuzzy Sets and Systems Int. Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems Journal of Intelligent and Fuzzy Systems IEEE Trans. on Fuzzy Systems IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics IEEE Trans. on Control Systems Technology JESA

V.5

Encadrement doctoral et participation des jurys de thse Bnficiaire dune prime dencadrement doctoral depuis 95. Hormis les thses que jai co-encadres, jai particip en tant quexaminateur au jury des thses suivantes : Alsaleh H., Utilisation classique et extensions des fonctionnalits des processeurs flous, Universit de Savoie, Nov. 98.

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T. Chenaina, Etude des paramtres de contrleurs flous, Universit Paris 6, Dc. 99. V.6 Relations internationales Intervenant lcole dt en automatique de lUniversit Polytechnique de Bucarest, Roumanie, Mai 2001. Sminaires lUniversit de Timisoara et lUniversit dArad, Roumanie, Mai 2001. Accueil de doctorant, matre-assistant et/ou dveloppement de travaux communs. Anna-Maria Miklos (Universit Polytechnique de Bucarest, Roumanie) Valentina Balas (Universit dArad, Roumanie) Alexandre Evsukoff (Universit Santa-Ursula, Rio de Janeiro, Brsil) V.7 Participation des groupes de travail nationaux et rgionaux Projet CSN (Commande Symbolique et Neuromimtique) du GR Automatique. Prsentation de travaux. Animation du groupe en collaboration avec L. Foulloy. Club CRIN, participation au groupe de travail "Logique floue dans les transports". Collaboration LAG-LAMII linitiative de lINPG et de lUniversit de Savoie dans le cadre du Bonus Qualit Recherche, 96-99. Logique floue pour le diagnostic. Tlmanipulation de procds via Internet. V.8 Animation scientifique Sminaire Alcatel Alsthom Recherche, "Equivalence floue de contrleurs classiques", Marcoussis, Juillet 93. Intervenant au stage "Logique floue", Cours CNRS Formation, Gif sur Yvette, 93 et 94. Sminaire Firmenich, Logique floue et applications, Genve, Mars 2001.

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VI PublicationsVI.1 Articles de revue [R1] [R2] [R3] [R4] Foulloy L., Galichet S., Fuzzy Sensor for Fuzzy Control, Int. Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, Vol. 2, N 1, 1994, pp. 55-66. Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Controllers: Synthesis and Equivalences, IEEE Trans. on Fuzzy Systems, Vol. 3, N 2, May 1995, pp. 140-148. Foulloy L., Galichet S., Evaluation des performances de contrleurs flous partir dun benchmark, RAIRO-APII-JESA, Vol. 30, N 5, 1996, pp. 585-605. Dussud M., Galichet S., Foulloy L., Application of Fuzzy Logic Control for Continuous Casting Mold Level Control, IEEE Trans. on Control Systems Technology, Vol. 6, N 2 (Special Issue on Control in the Metal Processing Industries), March 98, pp. 246-256. Charbonnier S., Galichet S., Mauris G., Sich J.P., Statistical and Fuzzy Models of Ambulatory Systolic Blood Pressure for Hypertension Diagnosis, IEEE Trans. on Instrumentation and Measurement, Vol. 49, N 5, October 2000, pp. 998-1003. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Nonlinear Adaptive Internal Model Control (FNAIMC), paratre dans European Journal of Control, Vol. 7, N 5, 2001. Evsukoff A., Branco A.C.S., Galichet S. , Structure identification and parameter optimization for non-linear fuzzy modeling, Fuzzy Sets and Systems, accept avec rvision mineure.

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VI.2 Ouvrages collectifs [O1] Foulloy L., Galichet S., Typology of Fuzzy Controllers, in Theoretical Aspects of Fuzzy Control (H.T. Nguyen, M. Sugeno, R. Tong, and R. Yager Eds), John Wiley & Sons, 1995, pp. 65-90. Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Control with Non-Precise Inputs, in Fuzzy Logic and Soft Computing (B. Bouchon-Meunier, R. Yager and L. Zadeh Eds), World Scientific, 1995, pp 146-157, (republication de [C9] la demande de lditeur). Nakoula Y., Galichet S., Foulloy L., Identification of Linguistic Fuzzy Models Based on Learning, in Fuzzy Model Identification - Selected Approaches, (H. Hellendoorn, D. Driankov Eds), Springer Verlag, 1997, pp. 281-319. Foulloy L., Galichet S., Fuzzy and Linear Controllers, in FUZZY SYSTEMS Modeling and Control (H.T. Nguyen, M. Sugeno Eds), The Handbooks of Fuzzy Sets Series, Kluwer Academic Publishers, 1998, pp. 197-225. Dubois D., Foulloy L., Galichet S., Prade H., Performing approximate reasoning with words?, in Computing with Words in Information/Intelligent Systems 1 - Foundations, (L.A. Zadeh, J. Kacprzyk Eds), Physica-Verlag, 1999, pp. 24-49.

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VI.3 Thse [T1] Galichet S., Etude dun systme dincrustation dimages vido-couleur, Universit de Technologie de Compigne, Dc. 89.

VI.4 Brevet [B1] Grimaldi J.L., Galichet S., Procd et dispositif dincrustation dimages vido-couleur auto-adaptatif, brevet dpos au nom de Thomson Vido Equipement, No denregistrement national 89 13085, No de publication 2 652 972, Oct. 89.

VI.5 Communications dans des congrs internationaux avec actes et comit de lecture [C1] Galichet S., Dubuisson B., Grimaldi J. L., Procd dincrustation dimages vidocouleur auto-adaptatif, Proc of the 1st Int. Conf. dedicated to professional image chains (IMAGECOM 90), Bordeaux, France, Nov. 90, pp. 398-402. Foulloy L., Galichet S., Fuzzy sensors and controllers, Proc. of the 8th Int. Conf. on Applications of Artificial Intelligence in Engineering (AIENG 93), Toulouse, France, Juillet 1993, pp. 7-20. Foulloy L., Galichet S., Fuzzy Controllers Representation, Proc. of the 1st European Congress on Fuzzy Intelligent Technologies (EUFIT 93), Aachen, Germany, Septembre. 93, pp. 142-148. Galichet S., Foulloy L., How to derive symbolic information from measurement, Proc. of the Int. Conf. on Fault Diagnosis (TOOLDIAG 93), Toulouse, France, April 1993, pp. 938-943. Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Equivalence of Classical Controllers, Proc. of the 1st European Congress on Fuzzy Intelligent Technologies (EUFIT 93), Aachen, Germany, Septembre 1993, pp. 1567-1573. Foulloy L., Galichet S., Josserand J.F., Fuzzy Components for Fuzzy Control, Proc. of the 2nd IFAC Symp. on Intelligent Components and Instruments for Control Applications (SICICA 94), Budapest, Hungary, June 1994, pp. 122-126. Benoit E., Foulloy L., Galichet S., Mauris G., Fuzzy Sensor for the Perception of Colour, Proc. of the IEEE Conf. on Fuzzy Systems (FUZZ-IIEE 94), Orlando, USA, June 1994, pp. 2008-2013. Galichet S., Foulloy L., Chebre M., Beauchene J., Fuzzy Logic Control of a Floating Level in a Refinery Tank, Proc. of the 3rd IEEE Conf. on Fuzzy Systems (FUZZIEEE 94), Orlando, USA, June 1994, pp. 1538-1542. Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Control with Non Precise Inputs, Proc. of the 5th Int. Conf. on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge Based Systems (IPMU 94), Paris, France, July 1994, pp. 84-89. Foulloy L., Galichet S., Benoit E., Fuzzy Control with Fuzzy State Sensors, Proc. of the 2nd European Congress on Fuzzy Intelligent Technologies (EUFIT 94), Aachen, Germany, Sept. 94, pp. 1156-1160. Galichet S., Foulloy L., State Feedback Fuzzy Controllers, Proc. of the 2nd Euro-

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pean Congress on Fuzzy Intelligent Technologies (EUFIT 94), Aachen, Germany, Sept. 94, pp. 1161-1167. [C12] Foulloy L., Galichet S., Representations of Mamdanis Controllers, Proc. of the 6th Int. Fuzzy System Association World Congress (IFSA 95), Sao Paulo, Brasil, July 95, pp. 581-584. Nakoula Y., Galichet S., Foulloy L., Learning of a Fuzzy Symbolic Rulebase, Proc. of the 3rd European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT 95), Aachen, Germany, August 1995, pp. 594-598. Josserand J.F., Galichet S., Benoit E., Foulloy L., Fuzzy cells network for fuzzy control with a fuzzy state sensor, Proc. of the 3rd European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT 95), Aachen, Germany, August 1995, pp. 910914. Carron T., Lambert P., Galichet S., A colour region-growing segmentation with fuzzy aggregation, Proc. of the 3rd European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT 95), Aachen, Germany, August 1995, pp. 1366-1372. Dussud M, Simonin P., Galichet S., Foulloy L., Fuzzy logic control of continuous casting installations, Proc. of the 13th IFAC World Congress, San Francisco, USA, July 96, Vol. M, pp 469-474. Josserand J.F., Galichet S., Foulloy L., Implementation of fuzzy controllers with fuzzy components, Proc. of the 13th IFAC World Congress, San Francisco, USA, July 96, Vol. A, pp 415-420. Dussud M., Galichet S., Foulloy L., Design and implementation of a fuzzy-logic controller for brass casting control, Proc. of the 4th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT96), Aachen, Germany, Sept. 96, pp. 12301236. Nakoula Y., Galichet S., Foulloy L., Simultaneous Learning of Rules and Linguistic Terms, Proc. of the 5th IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems (FUZZIEEE 96), New Orleans, USA, Sept. 96, pp. 1743-1749. Dubois D., Foulloy L., Galichet S., Prade H., Two different views of approximate reasoning, Proc. of the 7th Int. Fuzzy Systems Association World Congress (IFSA97), Prague, Czech Republic, June 97, Vol. 1, pp. 238-242. Galichet S., Passaquay D., Foulloy L., Rulebase structure identification or reduction in the framework of fuzzy learning, Proc. of the 7th Int. Fuzzy Systems Association World Congress (IFSA97), Prague, Czech Republic, June 97, Vol. 1, pp. 363-368. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Input-Output Linearization of Nonlinear Systems, Proc. of the 5th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT97), Aachen, Germany, Sept. 97, Vol. 2, pp. 1316-1320. Foulloy L., Galichet S., Combastel C., Gentil S., Fuzzy Processing for Electrical Machines, Proc. of the IEEE Int. Symposium on Diagnostics for Electrical Machines, Power Electronics and Drives (SDEMPED97), Carry-le-Rouet, France, Sept. 97, pp. 94-101.

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Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Learning Control of Nonlinear Systems Using Input-Output Linearization, Proc. of the 1998 IEEE Int. Conf. on Systems, Man, and Cybernetics (SMC98), San Diego, California, USA, Oct. 98, pp. 2095-2100. Galichet S., Foulloy L., Size Reduction in Fuzzy Rulebases, Proc. of the 1998 IEEE Int. Conf. on Systems, Man, and Cybernetics (SMC98), San Diego, California, USA, Oct. 98, pp. 2107-2112. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Control of Nonlinear Systems Using Two Standard Techniques, (FUZZ-IEEE99), Seoul, Korea, August 99, Vol. II, pp. 875-880. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Nonlinear Adaptive Internal Model Control (FNAIMC) - Part I: Fuzzy Model Identification, (ECC99), Karlsruhe, Germany, Sept. 99, CDROM n F874. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Nonlinear Adaptive Internal Model Control (FNAIMC) - Part II: Fuzzy Model Inversion, (ECC99), Karlsruhe, Germany, Sept. 99, CDROM n F875. Charbonnier S., Galichet S., Mauris G., Sich J.P., Statistical and Fuzzy Models of Ambulatory Systolic Blood Pressure for Hypertension Diagnosis, Proc. of the 16th IEEE Int. Instrumentation and Measurement Technology Conf. (IMTC99), Venice, Italy, Mai 99, pp. 103-108. Foulloy L., Galichet S., Another Formulation of the Semantics of Fuzzy Rules, Proc. of the IAR-ICD99 Workshop on Intelligent Techniques for Information Processing and Applications, Nancy, France, Dec. 99, pp. 21-24. Dussud M., Galichet S., Foulloy L., "Fuzzy supervision for continuous casting mold level control, Proc. of the 2nd Conf. IFAC/IFIP/IEEE on Management and Control of Production and Logistics (MCPL2000), Grenoble, July 2000, CDROM P361. Galichet S., Charbonnier S., Mauris G., Sich J.P., A Fuzzy Linguistic Model for Ambulatory Systolic Blood Pressure Variation Prediction, Proc. of the IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems (FUZZIEEE 2000), San Antonio (TX), USA, May 2000, pp. 522-527. Miklos A.M., Galichet S., Foulloy L., Popescu D., Fuzzy supervision for temperature control in a steam-electric power plant, Proc. of the 2000 IAR-ICD workshop on Intellegent Control and Diagnosis, Nancy, Nov. 2000, pp. 7-12. Boukezzoula R, Galichet S., Foulloy L., Exact inversion of Takagi-Sugeno fuzzy models, Proc. of the 9th IFSA World Congress (IFSA2001), Vancouver, Canada, July 2001, pp. 2108-2113. Boukezzoula R, Galichet S., Foulloy L., Robust fuzzy control for a class of continuous nonlinear systems using input-output linearization : Real-time implementation for a robot wrist, Proc. of the 2001 IEEE Int. Conf. on Control Applications (CCA2001), Mexico, Mexique, Sept. 2001, pp. 311-316. Foulloy L., Galichet S., Boukezzoula R, Model-based or heuristic-based fuzzy logic

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controllers? Foundations and examples, IFAC Workshop on Advanced Fuzzy-Neural Control 2001, Valence, Espagne, Oct. 2001, pp. 197-210. [C37] Boukezzoula R, Galichet S., Foulloy L., Fuzzy adaptive control for nonlinear systems : Real-time implementation for a robot wrist, 40th IEEE Conf. on Decision & Control (CDC2001), Orlando, USA, Dec. 2001, pp. 4364-4370. Boukezzoula R, Galichet S., Foulloy L., Fuzzy robust control for discrete-time nonlinear systems using input-output linearization and and H optimization, 10th IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems (FUZZ-IEEE2001), Melbourne, Australie, Dec 2001, P244. Evsukoff A., Branco A.C.S., Galichet S. , Incremental fuzzy modelling, 10th IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems (FUZZ-IEEE2001), Melbourne, Australie, Dec 2001, P424.

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VI.6 Communications dans des congrs nationaux avec actes et comit de lecture [N1] tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Foulloy L., Galichet S., Reprsentation des contrleurs flous, Actes des 2imes Journes Nationales sur les Applications des Ensembles Flous, Nmes, France, Nov. 1992, pp. 129-136. Galichet S., Dussud M., Foulloy L., Contrleurs flous : quivalences et tudes comparatives, Actes des 2imes Journees Nationales sur les Applications des Ensembles Flous, Nimes, France, Nov. 1992, pp. 229-236. Carron Th., Lambert P., Galichet S., Segmentation en rgions d'images couleur par agrgation floue, Actes des 4imes Journes Nationales sur les Applications des Ensembles Flous, Lille, France, Dc. 94, pp. 203-212. Nakoula Y., Galichet S., Foulloy L., Modlisation symbolique floue par jeu de rgles pondres, Actes des rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA'95), Paris, France, Nov. 1995, pp. 57-64. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Commande modle interne flou, Actes des rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA'97), Lyon, France, Dc. 97, pp. 11-16. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Apprentissage de lois de commande floues pour des systmes non linaires (synthse directe et indirecte), Actes des rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA'98), Rennes, France, Nov. 98, pp. 19-27. Miklos A.M., Galichet S., Foulloy L., Popescu D., Supervision floue dune chane de rgulation de temprature dans une centrale thermolectrique, Actes des rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA2000), La Rochelle, France, Oct. 2000, pp. 157-164. Galichet S., Trouv E., Communication entre applications sous Labview, Actes du 3ime Colloque sur lEnseignement des Technologies et des Sciences de lInformation et des Systmes (CETSIS2001), Clermont-Ferrand, France, Oct. 2001, pp. 161-164. Boukezzoula R., Galichet S., Foulloy L., Quelques proprits des systmes flous de

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Takagi-Sugeno conclusions constantes, Actes des rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA2001), Mons, Belgique, Nov. 2001, pp. 241248. VI.7 Divers (rapports internes - confrences sans comit de lecture) [D1] [D2] [D3] [D4] Galichet S., Gounon P., Bibliothque SIMPA, Signal et IMage PAckage, Ass. Gnrale du GdR Traitement du Signal et Images, Batz sur Mer, Avril 91. Galichet S., Guide dutilisation de SIMPA - Bibliothque image, GdR Traitement du Signal et Images, Sept. 91, 104 pages. Galichet S., SIMPA : Signal et IMage PAckages, Actes des journes UNIX de Grenoble, Grenoble, Nov. 91. Foulloy L., Galichet S. , Contrleurs flous: reprsentation, quivalences et tudes comparatives, Rapport interne LAMII 92-04, Univ. de Savoie, Annecy, France, Juillet 1992, 14 pages. (Ce rapport a servi de base pour [N1] et [N2]). Galichet S., Foulloy L., Fuzzy Control with Non-Precise Inputs, Rapport interne LAMII 93-04, Univ. de Savoie, Annecy, Juillet 1993, 7 pages. (Ce rapport a servi de base pour [C9]). Galichet S., Foulloy L., Fuzzy controllers: Synthesis and Equivalences, Rapport interne LAMII 93-08, Univ. de Savoie, Annecy, France, Novembre 1993, 22 pages. (Ce rapport a servi de base pour [R2]). Galichet S., Foulloy L., Evaluation du logiciel TILGEN, Rapport interne LAMII 9401, Univ. de Savoie, Annecy, France, Fvrier 94, 11 pages. Galichet S., Mauris G., Module de prdiction des temps de passage des rapports pour laide la conduite, Rapport de fin de contrat, Renault DR, Mars 2000. Galichet S., Expression analytique unique de la sortie dun contrleur flou de Mamdani, Rapport interne LAMII 01-02, Universit de Savoie, Octobre 2001.

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Partie B : Travaux de recherche

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Introduction gnrale

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First, computing with words is a necessity when the available information is too imprecise to justify the use of numbers, and second, when there is a tolerance for imprecision which can be exploited to achieve tractability, robustness, low solution cost, and better report with reality. Exploitation of the tolerance for imprecision is an issue of central importance in computing with words. Cette citation extraite de [Zadeh96] situe le contexte gnral dans lequel sinscrivent nos travaux. Appliquer la commande des procds lide de calculer avec les mots, telle est la dmarche que nous avons suivie. Bien videmment, le succs de lentreprise est li une comprhension fine des contrleurs flous, et plus particulirement de la dualit numrique/linguistique sur laquelle ils reposent. Cest dailleurs cette dernire qui nous a conduits structurer le prsent document en deux chapitres. Ainsi, le premier sinscrit clairement dans une problmatique numrique puisque les systmes flous sont utiliss comme outil de reprsentation dune fonction entres/sortie numrique. Lobjectif poursuivi est alors de fournir une mthode de construction du systme flou permettant dassurer une approximation satisfaisante du transfert entres/sortie dsir. La stratgie propose repose sur une technique dinterpolation, mise en oeuvre via le principe des quivalences modales. Celui-ci, dvelopp au sein de lquipe pour traiter des problmes linaires de faible dimension, est ici gnralis des fonctions quelconques, dont la connaissance peut mme ntre que partielle. De fil en aiguille, le premier chapitre propose ainsi un itinraire conduisant des PID flous la commande adaptative robuste des systmes non linaires par linarisation entres/sortie floue. Si la dmarche sous-jacente lcriture de ce premier chapitre nous a conduits lintituler Interpolation numrique, il est possible de lui trouver une autre cl de lecture. Ainsi, aurait-on pu le dnommer De Mamdani Sugeno puiquil reflte le cheminement qua connu la discipline au cours des dix dernires annes. Petit petit, lapproche prconise par Mamdani ds les annes 70 a pratiquement disparu au profit dune recherche et dune garantie de performances numriques. Dans ce contexte, le formalisme analytique autoris par le mcanisme de calcul des systmes de Sugeno parat mieux adapt puisquil permet une exploitation pratiquement immdiate des outils de la commande conventionnelle. Laspect linguistique est abord dans le deuxime chapitre intitul Codage de lexpertise. Lide directrice est maintenant dajouter aux systmes flous, dvelopps selon une approche numrique, une dimension linguistique leur confrant lisibilit, transparence et pouvoir explicatif. Lensemble des travaux prsents dans ce contexte repose sur une implantation entire-

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ment symbolique des systmes flous. Cette approche originale, mise en vidence par la typologie des contrleurs flous que nous avons tablie, nous permet dassurer une implantation exacte des systmes de Sugeno conclusions constantes. Cette proprit nest cependant valable que sous certaines hypothses qui justifient a posteriori les contraintes que nous nous sommes imposes sur la synthse des systmes flous dans le premier chapitre. La cohrence ainsi tablie entre les approches numrique et linguistique nous autorise envisager divers schmas dintgration des connaissances expertes disponibles sur le procd piloter. Il devient notamment possible dintgrer une expertise dans un contrleur numrique existant. Le choix dune architecture globale dimplantation de la loi de commande finale se pose alors plus en termes de contraintes technologiques, stratgiques et conomiques quen termes scientifiques. Ce second chapitre se pose en pendant du premier et sa seconde cl de lecture pourrait tre De la thorie aux applications. En effet, les travaux conceptuels dvelopps, mais aussi leur exploitation dans le cadre dapplications industrielles, nous amnent finalement tablir une dmarche mthodologique au codage de lexpertise dans un contexte numrique. Avant dentrer dans le vif du sujet, il ne nous reste plus ici qu prciser quelques conventions que nous avons fixes et qui pourront sans doute clairer la lecture des pages venir. tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Les paragraphes, crits en italique et situs en retrait, prsentent les ides directrices ou interrogations qui guident notre discours. Les rfrences bibliographiques, donnes au fil du texte, sont rpertories en fin de document. Celles qui correspondent des travaux dvelopps au sein de lquipe (articles de revue, congrs et thses encadres) sont diffrencies par le fait quelles apparaissent en caractres gras au moment de leur citation.

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Chapitre I : Interpolation numrique

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Introduction

Dans un cadre applicatif, llaboration dun contrleur flou est encore bien souvent apprhende de faon empirique avec une dmarche dessais/erreurs. Une telle pratique est sans doute lie labsence dune mthodologie simple de synthse dun contrleur flou. Cette constatation ne date bien videmment pas daujourdhui. Ds les annes 90, elle a dailleurs conduit de nombreux chercheurs tenter dtablir un pont entre thorie du contrle et contrle flou. La problmatique est alors classiquement pose en les termes suivants : Etant donn un contrleur flou entirement dfini (base de rgles, partitions floues associes aux variables numriques, oprateurs dinfrence, mthode de dfuzzification), quelle est la forme analytique de la loi de commande associe ? Rponse a t donne cette question pour diffrents types de contrleurs flous. En particulier, les contrleurs flous de type P, PI, PD et PID, bass sur lexploitation dun signal derreur entre la sortie du procd et la consigne, ont t abondamment tudis. Les premiers travaux sur le sujet ([Siler89], [Ying90]) concernent lanalyse de bases de rgles deux entres de taille restreinte (4 ou 9 rgles). Ils mettent en vidence le fait que si aucune prcaution particulire nest prise lors de limplantation du contrleur flou, la commande engendre prsente des non-linarits qui se superposent un comportement linaire global. Reste alors tudier limpact des non-linarits gnres et la faon dont celles-ci peuvent tre exploites pour satisfaire diffrents objectifs de rgulation (stabilit, robustesse, ...). Si cette perspective est envisage dans [Ying90], les premiers lments de rponse avancs pour une base de 4 rgles restent sans suite. Ils savrent en fait difficilement gnralisables un nombre de rgles plus lev. Bien que non nonce explicitement, la raison peut tre trouve dans des travaux ultrieurs ([Ying93], [El Hajjaji94], [El Hajjaji95]) qui donnent la forme analytique de la loi de commande obtenue avec une base de rgles de taille quelconque. En fait, les non-linarits gnres sont similaires sur toutes les mailles floues et se reproduisent donc lidentique dans les diffrentes zones de lespace de phase. Leur exploitation devient alors dlicate dans la mesure o aucun traitement local ne peut tre effectu. Les non-linarits voques prcdemment sont en ralit dues aux oprateurs dinfrence et la mthode de dfuzzification choisis. Ntant pas ajustables, elles peuvent apparatre comme indsirables. Elles risquent notamment de modifier dautres non-linarits cres volontairement par le biais des rgles ou des fonctions dappartenance. Apparat alors la volont de trouver un mcanisme de calcul qui garantisse la linarit de linterpolation sur une maille floue. Dans ce contexte, le choix du produit et de la somme borne comme oprateurs dinfrence

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permet de satisfaire la contrainte de linarit lorsque la dfuzzification est effectue par la mthode du centre de gravit ou par la mthode des hauteurs ([Mizumoto93], [Galichet95], [Moon95]). En rsum, toutes les tudes cites prcdemment ont contribu dterminer une forme de contrleurs flous quivalents des contrleurs linaires. Elles ont toutes en commun le fait que la base de rgles analyse est suppose additive. Cette hypothse est justifie a posteriori puisque la loi de commande correspondante est effectivement linaire lorsque les oprateurs flous sont correctement choisis. Elle est galement conforte par le fait que la loi de commande limite, obtenue lorsque le nombre de symboles utiliss tend vers linfini, savre linaire indpendamment des oprateurs dinfrence utiliss ([Buckley89], [Bouslama92]). Bien que valide dans un contexte linaire, lhypothse de rgles additives, ou plus gnralement de toute forme fige de rgles, nen demeure pas moins un handicap majeur la gnralisation de la dmarche. La stratgie que nous avons initie puis dveloppe saffranchit de toute contrainte de forme sur les rgles. Elle repose sur un nouveau principe, appel principe des quivalences modales, introduit dans ([Galichet92], [Galichet93], [Galichet95]) puis exploit pour diffrents types de problmes ([Galichet94a], [Galichet94b], [Boukezzoula97], [Foulloy98]). Le principe des quivalences modales, fil conducteur de ce chapitre, a t dvelopp lorigine dans lobjectif de synthtiser une loi de commande linaire avec un contrleur flou. En ce sens, il rejoint lensemble des travaux publis la mme poque et aboutit bien videmment la mme conclusion. Il diffre cependant de lensemble des tudes voques ci-dessus par le fait que la dmarche envisage est constructive et non plus restreinte lanalyse dun contrleur flou existant. En dautres termes, contrairement aux approches analytiques qui reposent toutes sur des rgles additives, le principe des quivalences modales ne ncessite aucune hypothse quant la forme des rgles. En contrepartie, la loi de commande que lon cherche obtenir est suppose connue. Ainsi, la problmatique initiale est inverse et se pose en les termes suivants: Etant donne une loi de commande cible, quel est le contrleur flou qui permet de lapprocher ? Si lorigine la stratgie de construction du contrleur flou a t dveloppe pour une loi linaire, elle nest pas pour autant ddie ce type de cible. Elle permet en effet daborder la gnration de lois de commande quelconques, mais aussi lapprentissage dune base de rgles partir dexemples. De manire gnrale, le principe des quivalences modales peut te vu comme un outil de construction dun systme flou, lobjectif tant de raliser un transfert entres/sortie numrique connu (forme analytique) ou partiellement connu (exemples). A travers ce chapitre, sont prsentes diffrentes utilisations possibles du principe des quivalences modales. Les rfrences bibliographiques relatives aux domaines abords sont insres dans les paragraphes correspondants.

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II

Contrleurs flous numriques

La synthse de lois de commande est envisage pour deux types particuliers de contrleurs flous, savoir les contrleurs de Mamdani et ceux de Sugeno. Bien quils soient quivalents sous certaines conditions, ils sont dans un premier temps clairement dissocis et traits indpendamment les uns des autres. Ce choix est avant tout li au fait que ces deux types de systmes sont gnralement exploits dans des contextes diffrents. En effet, les systmes de Sugeno sont souvent associs une recherche de performance numrique alors que ceux de Mamdani sont orients vers une possible prise en compte de connaissances expertes. Dans les deux cas, la re-

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cherche dquivalence avec une loi cible peut donc tre vue comme une phase dinitialisation du systme flou qui devra ensuite tre affin. Dans ce qui suit, la prsentation des deux types de systmes flous est rduite celle des mcanismes de calcul associs. En effet, lobjectif vis dans un premier temps tant simplement la ralisation dun transfert entres/sortie numrique connu, nul besoin est dtudier en dtails le fonctionnement interne des contrleurs flous considrs. Enfin, pour allger les notations, la prsentation est restreinte des systmes deux entres, x et y, et une sortie z. II.1 Contrleurs flous de Mamdani

Un systme flou de Mamdani est bas sur une collection de rgles du type : R(i,j,k) : Si x est Ai et y est Bj alors z est Ck , (1) o Ai, iI1, Bj, jI2, et Ck, kI3, reprsentent des termes linguistiques auxquels est attribue une signification floue ([Zadeh71]) que lon suppose normalise(1). Le jeu de rgles est donn par la connaissance de lensemble I des triplets (i,j,k), il sera dit complet si : k I 3 / ( i, j, k ) I (2) ( i, j ) I 1 I 2 Pour des entres numriques prcises, x0 et y0, un sous-ensemble flou de sortie, not F, est gnr selon la relation : F(z) = max(i,j,k)I min(Ai(x0), Bj(y0), Ck(z)). (3)

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Lopration max(i,j,k)I correspond lapplication de loprateur max sur lensemble des rgles dfinies. La valeur numrique de sortie dlivre par le systme flou est obtenue par dfuzzification, classiquement implante par la mthode du centre de gravit : z F(z) dz z = MAM ( x 0, y 0 ) = ------------------------------- . F(z) dz (4)

Lquation (3) repose sur lutilisation des oprateurs flous min/max prconiss par Mamdani. Elle peut tre gnralise en introduisant des oprateurs quelconques de type t-norme/t-conorme (voir par exemple [Dubois87], [Bouchon93]) et devient alors : F(z) = (i,j,k)I T2(T1(Ai(x0), Bj(y0)), Ck(z)), (5) o T1 et T2 reprsentent des t-normes et une t-conorme. Il est noter que lquation (5) correspond une implantation conjonctive du Si ... alors ... et que le cas des graphes implicatifs, formul dans [Foulloy95a] ou [Foulloy96], nest donc pas abord dans ce document. II.2 Contrleurs flous de Sugeno

Les contrleurs de Sugeno sont, comme ceux de Mamdani, construits partir dune base de rgles Si ... alors .... Si les prmisses sont toujours exprimes linguistiquement et donc similaires celles utilises dans (1), les conclusions sont par contre de nature numrique. Elles peuvent prendre diffrentes formes : quations linaires ou polynmiales, statiques ou dynamiques. Ltude est ici restreinte des conclusions constantes, les rgles tant donc formules de la manire suivante : (6) R(i,j,k) : Si x est Ai et y est Bj alors z = ck,(1)

Un sous-ensemble flou F, dfini sur X, est normalis si et seulement si x m X / F(x m) = 1 . Dans ce cas, xm est appel valeur modale de F. - 23 -

o ck reprsente une valeur relle quelconque. Pour les valeurs dentre prcises x0 et y0, la sortie z est value selon le mcanisme de calcul suivant : z = SUG ( x 0, y 0 ) = --------------------------------------- w i, j( i, j, k ) I ( i, j, k ) I

w i, j c k avec w i, j = A (x0) B (y0) . i j (7)

III Equivalences modalesLa synthse du systme flou est envisage selon une approche interpolative. Lobjectif fix est alors similaire celui de toute mthode dinterpolation, savoir : Etant donne une forme de systme (linaire, polynomial, ..., flou, ...), comment fixer les paramtres de celui-ci pour quil passe exactement en un certain nombre de points fixs ? Le contrleur flou est ainsi construit selon le mcanisme illustr la Fig. 1. Par galisation de la sortie dsire (sortie du contrleur cible) avec celle du contrleur flou, sont dduites des contraintes permettant de rtroagir sur le systme flou gnrer. Contrleur cible Vecteur dentre Contrleur flou Fig. 1 : Stratgie de construction du contrleur flou. La mise en oeuvre de cette mthodologie ncessite nanmoins de pouvoir exprimer paramtriquement la sortie du systme flou pour les vecteurs dentre considrs. La principale difficult est alors lie la nature mme du systme construire, non exprimable sous une forme analytique simple, tout au moins en ce qui concerne les systmes de Mamdani. Une faon de contourner le problme consiste se restreindre dans le choix des vecteurs dentre et ne considrer que des entres modales, do lappelation quivalences modales. Ce choix repose en fait sur la constatation que pour des entres modales, la sortie infre par le contrleur flou est gnralement valuable de faon simple. En dautres termes, les oprations de t-conorme ou de sommation intervenant dans les quations (5) ou (7) se rduisent souvent la prise en compte dun seul terme facilement identifi, permettant ainsi de mettre en vidence une proprit des contrleurs flous aux valeurs modales. III.1 Proprit aux valeurs modales On suppose que les significations floues dfinies sur X et Y sont normalises et forment des partitions strictes(1). Soient VX et VY lensemble des valeurs modales associes ces partitions.(1)

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=

Un ensemble de termes {Ai}i=1, ..., n assure un partitionnement strict de X si et seulement si : x Xi=1

A (x)i

n

= 1.

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Suivant le type de contrleurs flous considr, la proprit [a] ou [b] peut tre tablie. [a] Si les significations floues dfinies sur U sont symtriques et unimodales, tout contrleur de Mamdani dont le jeu de rgles est complet est tel que : ( vx, vy ) VX VY , vu VU tel que vu = MAM ( vx, vy ) , o VU est lensemble des valeurs modales associes U. [b] Tout contrleur de Sugeno dont le jeu de rgles est complet est tel que : ( vx, vy ) VX VY , cu CU tel que cu = SUG ( vx, vy ) , o CU est lensemble des constantes utilises dans les conclusions de rgles. En effet, soit xm une valeur modale du symbole Am, et yn une valeur modale du symbole Bn, on a alors Am(xm) = Bn(yn) = 1. Si lon suppose des partitions strictes des univers de discours associs aux entres, on a de plus Ai(xm) = Bj(yn) = 0 pour tout i diffrent de m et j diffrent de n. La t-conorme ou la sommation sur toutes les rgles (quations (5) et (7)) se ramne alors la seule valeur non nulle, fournie par la rgle de prmisse Si x est Am et y est Bn. tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Dans le cas dun contrleur de Sugeno, le rsultat final est immdiat : z = SUG(xm, yn) = cl avec (m, n, l) triplet indexant la seule rgle active. Pour un contrleur de Mamdani, lquation (3) devient tout simplement : F(z) = Cl(z) avec (m, n, l) triplet indexant la seule rgle active. (8) (9)

Si lon considre que les symboles de sortie ont des significations floues, symtriques et unimodales, la mthode du centre de gravit conduit finalement : z = MAM(xm, yn) = zl (10) avec zl valeur modale du symbole Cl et (m, n, l) triplet indexant la seule rgle active. La Fig. 2 rsume la proprit des contrleurs flous aux valeurs modales pour les deux types de rgles considrs. Quoique restrictives, les conditions de validit de [a] et [b] sont trs largement vrifies dans les applications dcrites dans la littrature. xi yj xi yj . . . Si x est Ai et y est Bj alors z est Ck . . . . . . Si x est Ai et y est Bj alors z = ck . . .

Mamdani

zk

Sugeno

ck

Fig. 2 : Comportement dun contrleur flou pour des entres modales. III.2 Principe des quivalences modales

Soit le contrleur cible dfini par la fonction h: X Y U . Le principe des quivalences modales consiste trouver un contrleur de Mamdani ou de Sugeno tel que : ( vx, vy ) VX VY , MAM(vx,vy) = h(vx,vy) ou SUG(vx,vy) = h(vx,vy).

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IV Application du principe des quivalences modales la synthse dun contrleur flou de type PILobjectif de ce paragraphe est dillustrer le principe des quivalences modales sur le cas particulier dun contrleur cible de type Proportionnel Intgral (PI). Lquation en z du contrleur cible est donc de la forme : u(z) z C(z) = -------- = K P + K I ---------- , (11) z 1 (z) o KP et KI reprsentent les gains, supposs connus, du contrleur PI pour lequel un quivalent flou est recherch. Si lon note respectivement et u les variations de lerreur et de la commande u, lquation (11) se traduit dans le domaine temporel par : (12) u = KP + KI . Dun point de vue bote noire, le contrleur PI peut donc tre assimil un bloc qui lon fournit deux entres ( et ) et qui produit une sortie (u). Il parat tout fait naturel de conserver les mmes entres et sortie pour le contrleur flou quivalent. IV.1 tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Partitionnement des univers de discours

Les entres et sortie du contrleur flou que lon cherche synthtiser tant dfinies, il sagit maintenant de dterminer les symboles qui seront utiliss pour lcriture de la base de rgles. Leur exploitation ultrieure dans un monde numrique ncessite galement de leur attribuer une signification floue. Cette tape correspond au partitionnement flou des diffrents univers numriques, chaque symbole tant reprsent par un sous-ensemble flou dfini sur lunivers de discours adquat. Le contrleur cible tant linaire, il convient dviter au maximum dintroduire des non-linarits dans le contrleur flou. Dans cette optique, un partitionnement triangulaire rgulier est effectu sur chacun des univers de discours. La Fig. 3 illustre ce choix pour la variable derreur. La notation Ei reprsente le ime symbole attach lerreur. En notant a lcartement entre deux fonctions dappartenance conscutives, la valeur modale du symbole Ei, note i, sexprime selon la relation : i = i a + 0 . (13) Un choix similaire pour les autres variables conduit la la dfinition des symboles dEj et dUk dont les valeurs modales respectives vrifient : j = j b + 0 (14) uk = k c + u0 (15) avec b et c carts respectifs entre deux fonctions dappartenance conscutives relatives la variation derreur et la variation de commande. Par la suite, sans perte de gnralit mais pour une simplification des calculs, la distribution des fonctions dappartenance sera suppose symtrique par rapport zro, cest--dire 0 = 0 = u0 = 0. Il est noter que la dfinition des symboles dUk ne sera exploite que dans le cas des contrleurs flous de Mamdani. 1 .... -i 0 .... i-1 i i+1 a Ei()

Fig. 3 : Partitionnement flou de lunivers de discours associ lerreur.

- 26 -

IV.2 IV.2.1

Synthse dun contrleur flou de type Mamdani Construction de la base de rgles

Du choix des entres et sortie du contrleur flou et du partitionnement des univers de discours dcoule lexpression gnrique des rgles qui, dans le cas dun contrleur de type Mamdani, est donne par : (16) Si est Ei et est dEj alors u est dUf(i,j). Aucune hypothse ntant faite sur le nombre de symboles, et donc de rgles, les indices i et j sont considrs comme appartenant Z. A chaque rgle, indice par le couple (i,j), est associ un symbole de sortie. Celui-ci, suppos inconnu, est numrot laide dune fonction f valeur entire, quil convient de dterminer. Cette paramtrisation permet de transformer le problme de la synthse de la base de rgles en un problme didentification de la fonction f. Finalement, la paramtrisation mise en oeuvre, tant sur le partitionnement des univers de discours que sur lexpression de la base de rgles, a permis de rduire le problme de synthse du contrleur flou lidentification de f, a, b et c. Lapplication du principe des quivalences modales, illustre par la Fig. 4, conduit la contrainte suivante : uf(i,j) = KP j + KI i, (17) soit, daprs (13), (14) et (15) : f(i,j) . c = KP . j . b + KI . i . a, (18) ou encore : f(i,j) = j KP (b / c) + i KI (a / c). (19) Rappelons que dans la rgle floue (16), f(i,j) reprsente lindice du symbole de sortie et ce titre, doit donc prendre une valeur entire quel que soit le couple dentiers (i,j). Pour satisfaire cette contrainte supplmentaire, il faut faire en sorte que les grandeurs KP (b / c) et KI (a / c) soient galement entires. De plus, pour que tous les symboles de sortie puissent effectivement apparatre dans une conclusion de rgle, il est ncessaire de choisir : KP (b / c) = et KI (a / c) = , (20) et tant des entiers vrifiant PGCD(,) = 1.(21)

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(i, j)

Contrleur PI

u = KP j + KI i =

Contrleur flou de type u = uf(i,j) Mamdani uf(i,j) = KP j + KI i Fig. 4 : Application du principe des quivalences modales la synthse dun PI. En rsum, la synthse du contrleur flou requiert dans un premier temps de fixer des entiers et tels que PGCD(,) = 1. Ce choix tant fait, les rgles sont ensuite automatiquement gnres daprs (19) selon le schma additif suivant : f(i,j) = i + j, (22) donnant ainsi lieu des rgles de la forme : Si est Ei et est dEj alors u est dU i + j. (23) - 27 -

Enfin, la distribution des fonctions dappartenance est ralise de faon vrifier les relations : c K ------ = ----I a et KP c ------ = ------ . b (24)

Le principe des quivalences modales permet de retrouver ici des rsultats connus (rgles additives, gains quivalents). Mais sa force rside avant tout dans le fait quil aboutit une mthode constructive de la base de rgles et un rglage automatique du contrleur flou associ. En cela, il sinscrit donc dans une dmarche oriente synthse et se diffrencie ainsi des travaux existants, orients analyse. IV.2.2 Rglage du contrleur synthtis

La construction de la base de rgles par application du principe des quivalences modales a permis dtablir des relations entre les paramtres du systme flou et ceux du PI cible (cf quations (24)). Limplantation pratique du contrleur flou ncessite maintenant de donner une valeur effective chacun de ses paramtres (a, b, c, , ). Si aucune contrainte nest impose sur la distribution des fonctions dappartenance, en dautres termes si le nombre final de rgles nest pas limit, un choix simple consiste fixer = = 1. On obtient alors la base de rgles antidiagonale rsume dans le Tableau 1. tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 En associant un nom chacun des symboles utiliss, il apparat clairement que la base de rgles ainsi gnre nest autre que celle propose par Mac Vicar-Whelan [MacVicar76] et tudie ultrieurement par diffrents auteurs ([Buckley89], [Siler89], [Ying90], [El Hajjaji95], [Mann99]). Le rglage des paramtres a, b et c est ensuite effectu partir des quations (24). On peut par ailleurs remarquer quun degr de libert est laiss au concepteur puisque les trois paramtres ne sont soumis qu deux contraintes. Dun point de vue pratique, il est souvent ncessaire de contraindre la synthse du contrleur flou par un nombre maximum de symboles autoriss pour dcrire chacune des variables dentre. Les univers de discours associs tant des intervalles, les valeurs de a et b sont alors figes ou tout au moins ne peuvent tre ajustes librement. Dans ce cas, la synthse du contrleur flou quivalent au PI cible ncessite de jouer sur les coefficients et de faon ce que lgalit (24) puisse tre satisfaite. Erreur .... .... dE3 dE2 dE1 dE0 dE-1 dE-2 dE-3 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... E-3 .... dU0 dU-1 dU-2 dU-3 dU-4 dU-5 dU-6 .... E-2 .... dU1 dU0 dU-1 dU-2 dU-3 dU-4 dU-5 .... E-1 .... dU2 dU1 dU0 dU-1 dU-2 dU-3 dU-4 .... E0 .... dU3 dU2 dU1 dU0 dU-1 dU-2 dU-3 .... E1 .... dU4 dU3 dU2 dU1 dU0 dU-1 dU-2 .... E2 .... dU5 dU4 dU3 dU2 dU1 dU0 dU-1 .... E3 .... dU6 dU5 dU4 dU3 dU2 dU1 dU0 .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

Variation de l'erreur

Tableau 1 : Base de rgles dun PI flou.

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Revenons rapidement sur la dfinition des entiers et . A posteriori, les quations (24) permettent dtablir la relation suivante : a = K P . -------- ----b KI (25)

Le rapport / tablit donc un coefficient de proportionnalit entre le rapport des gains du PI cible et a/b. Le PI cible tant suppos connu, la donne de et fixe a priori le rapport a/ b. A loppos, la donne dun rapport a/b permet de dterminer les entiers et de faon satisfaire la relation (25). IV.2.3 Introduction de gains de normalisation

Une alternative lajustement du systme flou consiste dporter le problme en introduisant des gains de normalisation sur les variables manipules (cf Fig. 5) ([Ying90], [Ying93], [Ying94], [Li95], [Li97], [Yeh99]). Lobjectif devient alors dajuster les gains quivalents du systme global et non plus directement ceux du systme flou. Systme global tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 GE GdE n n Systme flou un 1 GdU u

Fig. 5 : Normalisation des variables. Soient n, n et un les variables normalises dfinies par : n = GE., n = GdE., un = GdU.u, (26) o GE, GdE et GdU reprsentent les gains de normalisation. Aux points modaux, le contrleur flou engendre la commande : c c u n = ------ n + ------ n , (27) a b et le systme global produit donc la sortie : c GE c GdE u = ------ ----------- + ------ ----------- . (28) a GdU b GdU En galisant lquation (28) avec lquation du PI cible, on obtient les relations suivantes, directement exploitables pour le rglage des gains de normalisation : c GE c GdE K I = ------ ----------et K P = ------ ----------- . (29) a GdU b GdU Lintroduction des gains de normalisation a permis dajouter trois degrs de libert au systme global. On peut alors compltement figer le systme flou, cest--dire choisir des valeurs quelconques pour , , a, b et c, tout en assurant une quivalence entre le systme global et le PI cible. Notons que deux gains de normalisation suffisent garantir lexistence dun rglage. Au premier abord, lintroduction dun troisime gain peut alors paratre inutile. Il nen est rien puisquen fait, ce dernier peut tre exploit pour augmenter le domaine de validit du PI flou synthtis. A titre dillustration, supposons que ==a=b=c=1 et que le PI cible soit dfini par KP=1 et KI=2. Supposons galement quaucun gain de normalisation ne soit utilis sur la sortie du systme flou (GdU=1). La synthse du systme quivalent ncessite alors de rgler les gains GE et GdE selon lquation (29), soit GE=2 et GdE=1. Le domaine de validit D du systme

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engendr dpend du nombre de rgles du systme flou. Ainsi pour un systme 3x3 rgles, la variable doit appartenir [-a/GE, a/GE] et [-b/GdE, b/GdE], soit D=[-1/2, 1/2] x [1, 1]. Lextension de ce domaine peut tre faite, soit par augmentation du nombre de rgles, soit par introduction du gain GdU. Dans ce dernier cas, les gains GE et GdE peuvent en effet tre multiplis par GdU sans pour autant changer les gains quivalents du systme global. Ainsi, toujours pour un systme 3x3 rgles, les rglages GE=1/5, GdE=1/10 et GdU=1/10 permettent dtendre D [-5, 5] x [-10, 10]. En rsum, lquation (29) donne une formulation complte des gains quivalents dun contrleur flou de type PI. De par son aspect gnrique, elle englobe les rsultats obtenus par diffrents auteurs sur des cas particuliers, ainsi quillustr par le Tableau 2. La premire colonne indique la rfrence bibliographique concerne. La seconde traduit, dans notre formalisme, les hypothses de travail des auteurs. Rappelons que tous supposent des rgles additives sans quaucune stratgie de construction des rgles ne soit propose dans les tudes considres. Enfin, la troisime colonne fournit la loi de commande quivalente, dtermine par les auteurs, mais pouvant tre galement directement engendre partir de (29). Suivant les oprateurs dinfrence utiliss, cette dernire reprsente une expression analytique exacte ou un comportement limite. tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 Rfrence [Siler89] [Buckley89] [Ying90] [Bouslama92] [Ying93] [Ying94] [Moon95] [El Hajjaji95] [Li97] [Li99] Hypothses == -1, GE=GdE=GdU= 1, a=b=1, c=0.5 == -1, GE=GdE=GdU= 1, a=b=1/N, c=1/2N == -1 a=b=2L, c=L == -1, GE=GdE=GdU= 1, b=ka, c=v0a, == -1, a=b=L/J, c=H/(2J) == -1, GE=GdE=GdU= 1, c=M/m, a=c/KI, b=c/KP == -1, GE=GdE=GdU= 1, a=L/I, b=K/J, c=H/(I+J) == 1, a=b Loi de commande quivalente u = -(+)/2 u -(+)/2 quand N

u = - (GE + GdE ) / ( 2 GdU) u -v0(+/k) quand a 0

u -H (GE + GdE ) / (2L GdU) quand J u = -KI - KP u -(/2L)-(/2) quand et J c GE + GdE u ------ ------------------------------------------- - a GdU quand nombre de rgles c GE c GdE u = u NL + ------ ----------- + ------ ----------- a GdU b GdU avec uNL composante non linaire

[Mann99]

== 1, a=2/(N1-1), b=2/(N2-1), c=2/(N1-N2-2)

Tableau 2 : Positionnement dans notre formalisme de travaux issus de la littrature.

- 30 -

IV.3

Synthse dun contrleur flou de type Sugeno

La mthodologie de synthse dveloppe prcdemment est maintenant applique au cas des contrleurs flous de type Sugeno pour lesquels lexpression gnrique des rgles devient : Si est Ei et est dEj alors u = g(i,j). (30) La fonction g est ici utilise pour paramtrer les conclusions numriques des rgles et prend donc ses valeurs dans R. Un partitionnement triangulaire rgulier (cf. Fig. 3) est nouveau impos sur les univers de discours relatifs et . La synthse du contrleur flou se rsume donc dterminer g, a et b. Le principe des quivalences modales conduit une contrainte unique, relative g : g(i,j) = KP j + KI i = KP . j . b + KI . i . a. (31) Le choix de a et b nest en fait sujet aucune restriction. Entire libert est donc laisse lutilisateur pour exploiter ces paramtres, notamment pour fixer le nombre de symboles dsir sur les univers de discours considrs. Il apparat ainsi que la synthse dun contrleur de Sugeno est plus simple mettre en oeuvre que celle dun contrleur de Mamdani. Cette constatation mane tout simplement du fait quaucune contrainte nest impose sur la rpartition des conclusions de rgles. En dautres termes, la contrainte dquirpartition (18) utilise dans le cadre des systmes de Mamdani est ici absente. La possibilit de la relaxer pour les contrleurs de Mamdani est voque dans le deuxime chapitre de ce manuscrit (cf paragraphe IV.1). IV.4 Effet de linterpolation entre les points modaux dans un contrleur de Mamdani

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La mthode de construction explicite dans le paragraphe prcdent permet dassurer lgalit de sortie du PI cible et du contrleur flou gnr, uniquement pour des entres modales. Entre les points modaux, le contrleur flou produit une interpolation naturelle quil convient maintenant danalyser. Il est possible de dterminer analytiquement lexpression de la sortie fournie par le contrleur flou pour un vecteur dentre quelconque (, ) appartenant la maille floue rectangulaire dfinie par les entres modales i, i+1 et j et j+1 ([El Hajjaji95], [Galichet01]). Cette approche savre toutefois fastidieuse dans le cas des contrleurs de Mamdani, o lutilisation des oprateurs min/max ncessite de considrer huit cas selon la position du vecteur dentre (, ) dans la maille concerne. Il est ici choisi daborder le problme de manire pratique partir de simulations permettant de mettre en vidence leffet de linterpolation entre points modaux et ce, en fonction des rglages du systme flou. Le contrleur flou est ainsi utilis en boucle ferme de manire rguler un systme pour lequel un PI cible est dtermin au pralable. Les sorties obtenues avec le PI cible et le contrleur flou quivalent sont alors compares de faon isoler leffet des nonlinarits introduites par linterpolation floue. Le souhait de se focaliser sur ce dernier point nous a conduits au choix dlibr dun procd extrmement simple, savoir un premier ordre, caractris par une constante de temps Proc=5s et un gain statique de 2. La fonction de transfert correspondante est alors donne par : 2 H Proc(s) = -------------- . (32) 1 + 5s Le PI cible est fix de manire obtenir en boucle ferme un premier ordre de gain unitaire et de constante de temps BF=0.25s. La fonction de transfert du PI cible est donc la suivante : 2 H PI(s) = 10 + -- . (33) s Limplantation des rgulateurs PI cible et PI flou tant ralise en discret sur le procd chan-

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tillonn avec la priode Tech=0.1s, les gains du PI cible (cf quation (12)) sont finalement : KP = 10 et KI = 0.2. La simulation est effectue partir du schma Simulink illustr la Fig. 6., le systme flou tant intgr via une S-fonction. La consigne est forme de deux chelons unitaires, lun linstant initial (chelon positif), lautre lintant t = 6s (chelon ngatif). Les univers de discours associs lerreur et sa variation sont donc fixs [-1, 1].

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Fig. 6 : Schma de simulation sous Simulink. Dans un premier temps, un contrleur flou de Mamdani est mis en oeuvre. Son rglage est dabord effectu de manire minimale (==1, aucun gain de normalisation). Dans ce cas, selon lquation (25), le rapport des gains du PI cible induit un rapport de 50 entre a et b. Ainsi, si lon choisit a = 0.5 (5 symboles pour dcrire lerreur), b doit tre fix 0.01. Si PI et contrleur flou prsentent des performances similaires en rgulation (cf Fig. 7(a)), il nen demeure pas moins que ce dernier exploite une base de 5 x 201 rgles laquelle aucune lisibilit ne peut tre accorde. La Fig. 7(b) illustre lerreur entre les deux surfaces de contrle (diffrence entre les u produits par le contrleur de Mamdani et le PI) et met en vidence un comportement priodique selon correspondant aux 4 intervalles dlimits par les 5 valeurs modales dfinies sur . Bien que non perceptible sur la surface derreur globale, un effet similaire est prsent selon . Ce dernier devient visible lorsque la reprsentation de la surface derreur est restreinte une seule maille floue (cf Fig. 7(c)). Rglages : a = 0.5, b = 0.01, c = 0.1, = = 1, GE = GdE =GdU =11

0.8

PI Mamdani

0.6

y0.4 0.2

Consigne

0 0 2 4 6 8 10 12

t(s)

(a) Sortie du systme rgul

(b) Surface derreur

(c) Zoom sur une maille floue

Fig. 7 : Contrleur de Mamdani (5 x 201 rgles).

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La seconde tape dans la dtermination dun rglage intressant du contrleur de Mamdani consiste tenter une diminution du nombre de rgles ncessaires et donc une augmentation de b. Diffrents cas sont prsents la Fig. 8. La diffrence de rponse des systmes boucls est mise en vidence en fin de monte du premier chelon. Lutilisation de 9 symboles pour permet dobtenir une rponse relativement satisfaisante, bien que diffrente de celle produite par un bouclage avec le PI cible. La monte est plus rapide mais au dtriment du temps ncessaire lannulation de lerreur statique. Ce phnomne est encore amplifi par une rduction 5 du nombre de symboles concernant . Rglages = = 1, GE = GdE =GdU =1 5 x 201 rgles a = 0.5, b = 0.01, c = 0.1 3 x 9 rgles a = 12.5, b = 0.25, c = 2.5 tel-00413006, version 1 - 2 Sep 2009 3 x 5 rgles a = 25, b = 0.5, c =51

3 x 9 rgles

0.975

3 x 5 rgles0.95

5 x 201 rgles PI

y0.925 0.9 0.5

1

1.5

2

t(s)

Fig. 8 : Performances en suivi selon le nombre de rgles. Dun point de vue global, il semble que la limitation du nombre de rgles a entran une augmentation du gain proportionnel et une diminution du gain intgral du contrleur flou. Toutefois, lexamen des surfaces derreur (cf Fig. 9), il apparat que cette constatation nest plus valide localement. Un comportement priodique dominant est maintenant engendr selon . A nouveau, il ne peut tre que subi et interdit tout rglage local. Il est noter que les rglages de a font en sorte que lerreur nvolue que dans une infime partie des mailles floues dfinies de part et dautre de = 0. Leffet priodique selon a ainsi disparu sur lunivers de discours considr.

Fig. 9 : Erreur de contrle selon le nombre de rgles. Reste enfin souligner que mme