Historia de La Logica003

7/29/2019 Historia de La Logica003

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XXVINOTIONS ESSENTIELLES RELATIVESA LA THORIE DES RELATIONS

/ ~ ~ - - - -

1. Le concept de frelationDe meme que, selon l'hypothese admise, a. tout f(x)

(ou x reprsente des termes individuels) corresllond unattribut P te l que xeP (llar exemllle, llour [fx] signifiant x russit, on a xeP: x est veinard), de meme, a toutI(x, y), en vertu d'une hYI>othese analogue, correspondun attribut se rapportant aux deux sujets et qui faitque s'tablit xRy (1). Nous l'appellerons un relatif.AJors que l'attribut se rapportant a. un sujet uniqueconnote une certaine proprit, ou un certain ensemblede proprits de l'individu tudi, le relatif connote unecertaine relation, un certain rapport entre le premier etle second des individua tudis. Supposons, pa r exemple,que notre f(x, y) soit x +y = O. Dans ce cas, une relationd'opposition (relation of being opposite) existe entrex et y, appele ainsi parce que :i; = y quant a. la grandeuret en difiere quant au signe, puisque x = - y. N ouspouvons done dire que x est en opposition a. y (plus brievement, x est le ngatif de y), en l'crivant sous la formexOpy, ce qui est le substitut de la fonction proposition-

(1) el. A. TARSKI. lntroduction to Logic and to tho Mothodologyo/ DAducti1JO 8ci6'nC08, Oxford-New York, 1941, p. 89., traductionfran


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256 LA THORIE DES RELATIONSlations, Res. En principe, on l'crit diffremment,a savoir t. Mais pour simplifier la notation, nous ngligerons le point qui surmonte le signe, tant ici queci-dessous dans des cas semb1ables. Dire que se produitl'inclu8ion R e s, cela signilie que nx,y(xRy < xSy); pa rexemple, si x est infrieur a y, a10r8 x e8t diffrent de y.I l es t bon de remarquer tout de suite que cela difierede l'inclusion des classes e n t r ~ les premiers membres desrelations R et S. Considrons \l'exemp1e suivant: R: es tgrand pere de ... S: ' es t pere ~ .. TI est cla.ir que nes'tablit pas dans ce cas l'inclusion R e S, cal' i l n'estpas vrai que si x est le grand-pere de y, x soit le perede y. Pa r contre, se produit l'inclusion des classes entrela cla,sse des grands-peres et la classe des peres, puisquetout grand-pere eat pere (plus prcisment, tout grandpere de quelqu'un est pere de quelqu un maia videmment pas de la meme personne). Ensuite, paI' analogieavec la somme des classes M +N, nous avons galementla somme des relations, qui es t noMe R U S et dont ladfinition est: nx,y[x(R U S)y = (sRy +xSy)J; le produitdes relations, analogue au produit des claases MN, dfinicomme suit flx,y[x(R t l S)y = (xRy xSy)J; enfinl'analoguede la ngation de la classe, M', la ngaMonde la relation(negation or complement 01 areldtiQn E' , autrement" di tla re1ation se produisant entre x et y toujours et seulement si (xRy)'. Nous noterons en outre le symbole V,signe de la relation universelle et 1\, signe de la relationvide, autrement 'dit nulle. Le premier de ces symbolesdsigne une relation qui se produit entre tous les lments (deux a. deux) de l'ensemble d'objets considrs,done, si l'ensemble de tous les individus es t examin, le.symbole V dsigne la relation qui s'tablit entre chaqueindividu et tout autre. Ce peut tre, pa r exemple, l'nonciation: est le frere de ... ou n'est pas le frere de ... }Par contre, une relation est vid si elle ne s'tablit entreaucun x et y de l'ensemble des objets considrs" et

j'I

I

J

LA THOEIE DES RELATIONS 257done, si nous considrons l'ensemble des individus, si ellene se produit entre aucun individu et aucun autre individuoC'est ainsi que, prenant pour E: {(est le frere et n'est pasfrere de ..., nous obtenons l'nonciation d'une relationvide, puisqu'videmment'f pour aucun x, y i l n'est vraique x est le frere et n'est pas le frere de y.

3. Oprateurs particuliers au calcul des relationsDans le domaine des relations, nous avons toutefois

~ e r t a i n e s re1ations spcifiques qui n'ont pas d'analoguesdans le calcul des classes. Entre autres, pa r exemple, larelation entre la converse d'une relation donne et cetterelation. R sera lu R converse, autrement di t conversede la relation R. R est dfini comme suit: elle se produitentre x et y alors et seulement si E s'tablit entre y et x.Pa r exemple la relation d'infriorit es t la converse dela relation de supriorit, puisque x est infrieur a. y tou-jours et seulement si y es t suprieur a x. ,Est galementspcifique au calcul des relations la notion de produitrelatif des relations (relative product or composition),diffrent du produit ordinaire des relations, dont i l a tquestion ci-dessus. Ex definitione, le produit relatif desrelations R etE entre x et y s'tablit toujours et seulement s'il existe un z tel qu'on ai t xR z et zSy. Le symboledu produit relatif est la barre oblique. Nous avons donenX,lI[xE/Sy = ' z(xRzzSy)].Dans les questions de la viecourante, ce lien entre relations est des 11lus banals.Si, pa r exemple, R signifie: est le mari de ... , S: est lafilie de ... alors R/S signifie: est le gendre de ... puisquex es t le gendre de y tonjours et seulement s'il existe unepersonne - appelons-Ia z - dont x est le mari et quiest fili de y.


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258 LA THORIE DES RELATIONS4. Quelques relations choisies: d'galit; d'ordre,fonctionnelles

Nous examinerons a prsent certains genres de relations particnlierement importantes pour maintes applications .A ce t gard, les relations d'galit se distinguenten premier len. Chaque relation de ce genre est caractrise pa r le fait qu'elle est a la fois rflexive, symtriqueet transitive. Mais qu'est-ce a dire qn'une relation donneest rflexive, dans une certaine classe d'individns considrs? Cela signifie qn'elle se produit entre chaquelment de cette classe et l u i - m ~ m e , antrement dit qn'ansein de cette classe, nx(xRx). Pour la classe universellecomprenant tous les individus, des exemples en seront larelation d'identit, la relation de ressemblance... Unerelation irrflexive est celle ou l'on a, au contraire,[]x(xRx)', pa r exemple une relation de diffrence, unerelation de supriorit .. Une relation est symtrique (iciaussi au sein d'nne classe donne, condition restrictiveque nous ngligerons d'indiquer pa r suite, commetant pose dans tous les cas) tonjours/ et seulement sinx,y(xRy < yRy), pa r exemple la ~ o n t e m p o r a n i t , laparent ... Es t antisymtrique, ou asymtrique une relation pour laquelle, an contraire, nx,y[xRy < (yRx)'],pa r exemple la supriorit, l'infriorit, le fait d'etre plusag ... TI existe des relations qui ne sont ni symtriques, niasymtriqnes, mais qui satisfont a la condition:[[]x.y(xRy < yRxW. On les appelle des relations nonsymtriques. Soit comme exemple la relation d'affection:i l est des cas ou x aime y et ou y aime x, mais i l est aussides cas ou x aime y, mais ou y n'aime pas x. Un rapportest transitif toujours et seulement si n x.lI.z(xRy yRz


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260 LA THORIE DES RELATIONSpersonnes d'ge diffrent, dont un certain nombre on tle mme ge, pour certajnes dates de naissance du moins.L'ensemble pouITa tre ordonn par exemple selon legraphique suivant:

si l'on numrote les groupes de mme ge, en vertu dela relation d'anciennet, qui est asymtrique et transitive,et si, en mme temps, on place au sein de chaque grouped'age tous ceux qui ont cet age, tenant par H\:-mmecompte de la relation d'galit.Enfin, parmi les types de relations partieulierementimportants, i l eonvient de distinguer le type de re1ationsdites relations fonctionnelles ou fonctions. m est fonctionde y est synonyme de: achaque valeur de y correspondselon cette relation une et une valeur ~ m seulement;en d'autre termes: x est dtermin par y et l ~ t e relationde f a ~ o n univoque. Pa r exemple, si m= y2, m+y = 5,si x est le pere de y, etc. Done m n'est pas fonction dey si, par exemp1e m< y, puisque pour un y dfini i l existeplus d'un x qui puisse satisfaire a eette condition; la relation x est fils de y n'est pas non plus une fonction tpuisqu'un y donn peut avoir plus d'un fils x. Evidemment, m peut dpendre de cette fa90n de deux variableson davantage.I1 faut insister sur la double signification duterme


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xxvnAXIOMATIQUE ET APPLICATIONSDE LA THORIE DES RELATIONS

1. Seos du dveloppement de la thorie des relations\N ous rappelons que les prem3res ides d'une sciencegnrale des relations - si l'on nglige les remarquessporadiques qui se rencontrent a ce sujet dans l'Organond'Aristote - on t t lances par De Morgan. PourtantPeirce peut tre considr comm.e le crateur de la thoriemoderne des relations; i1 a en effet forg une multitudede concepts spcifiques a ce domaine et tabli tellementde thoremes que pen de choses rellement importantesn t t ajoutes par la suite. Cette branche de la logiquea t expose sous une forme plus systmatique pa r Schra

der, tandis que Russell et Whitehead en faisaient lapartie centrale de leurs clebres Principia Mathematica,leur seu! apport important consistant dans la fag,on dontils l'ont rattache aux autres branches de la logique formelle. C'est Tarski qui a entrepris d'axiomatiser la thoriedes relations; il1'a fait de deux fag,ons (1). Noua donnonsci-dessous le systeme d'axiomes appartenant a l'une de-ces mthodes.

(J) Cf. A. TARSKI, On th e Calculus of Relations, The JournaZ 01Symbolio Logic, 1941, nO 3 (vol. 6).

i

j1.11i

LA THORlE DES RELATION82. L'axiomatique

1 (R = S/\R = T)-+S = 'JI11 R = S-+ (R +T = S -+ T /\ R .T = S T)

111 R+S = S +RI\R 'S = SRIV (R +8)T = (RT) +(S' T)I\(R S) +11 =

~ n : i

= (R+T)(S+T)V R+O = R/ \R ' l = RVI R +R = l / \R E = OVII . - .1=0

VIII R=-R--X R; 8 = S; RX R; (8; T) = (R; S); T

XI R;I ' =RXII R; 1 = 1VI; R = 1XIII (R; 8).11 = O-+(S; T)R = OXIV O' = l 'XV R; S =R; S

Nona avons eonserv la, notation dc l'original: --+ estle signe d'implication, / \ le signe de la conjonetion,V celni de l'alternative , r-.... le signe de la ngation attache:1 la pl'oposition; ce sont la les opratenrs du calenl propositionnel. Pa r eontre, = cst le signe de l'quivalenceentre relations, + la somme logique des l'elations, . leproduit logiqne des relations, -- la ngation appliquea. une relation, - le signe de la converse, ; le signe duproduit l'e1atif, ) le signe d'une sornrne relative [ autrement dit, xR)Sy signifie lamemechose que fTAxRz/\zSy}];ce sont tous Ut des oprateurs cratenrs de propositionsa partir d'a,rguments 'hu df'S re]ations. S'y ajontent les


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264 LA. THORIE DES RELATIONSconstantes dsignant des relations: 1, signe de la relationuniverselle, O, signe de la relation vide, 1' , signe de larelation d'identit entre individus, O', signe de la relationde diffrence entre individus, et enfin les variables R, S, T,l>eprsentant les relations, auxquelles on peut substituerles symboles des diverses l>elations.

Toute eette axiomatique est formule sans reeours auxvariables individuelles et elle est done e n t ( ~ r e m e n t inclusedans la partie de la thot;ie des relations dana laquellen'interviennent pas les varhl,'bles individuelles; elle n'axiomatise que la partie a p p e l ~ , pa r Tarski le ealcul desrelations (de meme, il appelle calcul des classes seulementla pal'tie de la thorie des classes ou apparaissent lesvariables [prdicatives, attributives] relatives aux classes,mais non les variables individuelles). Voulant embrasserl'ensemble des formules de la thorie des relations, et pa rconsquent galement les formules comportant des variables individuelles, ce t auteur cre un autre systeme d'axiomes, pa r rapport auquel le systeme expos ci-dessusdevient un ensemble de theses drives, de thoremes dusysteme. Il nous suffira toutefois, en nous en tenant auxoprations finies et aux ensemble s finis d'indiv idus, denoua occulJer de ce premier calcul des relations, d'autantlllus que l'on peut traiter chacune de se;., formules - envertu de la dfinition des oprateurs propresa a thor ie desrelat ions - comme une abrviation de la formule corre8-pondante eomportant des vriables individuelles. C'estainsi que, pour l'axiome VI, qui est en fait la conjonctiollde la loi du tiers exclu applique au caleul des relationset de la loi de contradiction applique a ce meme calcnl,nous avons l'quivalent suivant. comportant des variablesindividuelles: xR+Ry = mlYl\xRRy = xOy, tandis quepour l'axiome XI , l',quivalent. sera la these xR;l /y = xRy, etc.Remarquons que les oprateurs speifiques a a thoriedes relations n'appa.raissent que dans les axiomes VIII

1:tI

LA THORIE DEB RELATION8 265a xv et que les axiomes 1 a VII nc sont que la rptition,avec quelques petites modifieations, de l'axiomatique del'algebre de Boole construite par Huntington. Ne nonslaissons pas induire en erreur par lenr nombre apparemlnentrduit. En effet, sous un seul numro, nous avons iei dansplusieurs cas deux theses indpendantes relies pa r uneconjonetion; te l est le eas pour les n 11, 111, IV, V et VI.La place des variables jouant le role de classes daus l'interprtation de l'algebre de Boole est. lJl'ise iei pa r les variablesjouant le role de relations. Et voici que le caleul des relations apparait M,re lui aussi une eertaine interpl'ta.tion,rnais en meme temps un certa:in cas IJarticulier de ceHealgebre. Rien d'tonna.nt acela, si nous prenons conseielleedu fait que l'on peut considrer les relat.ions cornme deselasses d'un eertain genre, a savoir eomme des classes decouples ordonns.

3. La relation en tant que cJasse de couples ordonnsConsidrons pa r exemple la relat.ion d.e subordinat.ioll.On peut l'tudier comme l'ensemble de tOUR les conplesd'indi,1dus dont chacun se eompose d'uD suprieur etd'uD subordonn, et eonsidrer l'none: Jean est le S11-prieur de Pierre, cornme l'aff irmation que le eouple ordonn

,Tea.n-Pierre est l'un des lments de cet ensemble. Enquoi differe pourtant le conple ordonn Jean-Pierre ducouple simple Jean, Pierre, de l'ensemble de ces dellx individus demeurant le meme ensemble que le couple simplePierre, J ean, indpendamUlent de l'ordre de ses membres' ...Dans un couple ordonn, l'ordl'e des membres n'est lJaBindllfrent, l'un des lnembres est le premier, l'autl'e estle second, et ce n'est pas la une diffrence dans l'ordred'nonciation de leurs noms, ni une diffrence dans l'ordreou ils sont penss, maJs bien une diffrence objective. Ondoit aWiener et a. KUTa,towski d'avoir invent la. dfinition


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266 LA THORIE nES RELATIONSdes couples ordonns (2). Selon c ette conception, tmcouple ordonn d'individus 'est un ensemble dont leslments ne sont pas ces individus eux-memes, maiscertaines de leurs classes, a savoir: la elasse eomportanteomme unique lment l'un de ces individus (3), ainsique la classe comportant, eomme ses deux lments uniques, en tant que couple simple, ces deux individua.Mnsi done, le couple Ol'donn des individus}): J ean-Pierre,est un couple simple de elasses, dont l'une est la classecompo1'tant eomme u n i q u e ~ lment J ean, justement, etla seconde la classe eomportailt---oomme 1ments uniquesle eouple simple Jean et Pierre (ou Pierre et Jean, cal'cela revient au meme pour ce qui est de l'extension). Laconverse du rapport de supriorit est le rapport de suborq.ination: si Jean est le suprieur de Pierre, alo1's Pierreest le subordonn de J ean. Cette relation est galementune elasse de couples o1'donns, dont chaeun a ponrpremier membre un individu subordonn et colllme seeondmembre son suprieur; ainsi done, dans notre exemple,


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268 LA THORIE DE S RELATIONSla loi de contl'adction pom' les l'elations. TI faut pourtantl'econnaitre que, dans la vie courante, nous nous dspensonsla plupart du temps d'appliquer les dpendances gnralesde la thorie des relations, tant donn que ce sont lades formes habituellenlent ressenties comme compliques.Les enquetes faites incitent a )enSer que les gens estimentgnralement que lneme un raisopnement relativementsimple, comme celui qui snit, l e u t ~ r o u i l l e les ides)}:(Jean est l'examinateur d'un individu qlll est le fils del'instituteur de Pierre, done Jean est l'examinateur dufils d'un individu qui est l'instituteur de Pierre. 01' c'estpoul'tant la une application fort simple de l'axiome X.

5. Classes numriquement gales et nombres cardinauxLes coneepts de la thorie des relations ont de nombreuses et importantes applications dans les spculationsthoriques. C'est ainsi, pal' exemple, qu'a l'aide du conceptde l'elation fonetionnelle, on tablit la dfinition de l'galitnlunrique des ensembles, dfinition qui reprsente Punedes dmarches essentielles lorsqu'on veut ramenel' lesconcepts des mathmatiques aux eoncepts de la logique (4).

En effet, deux ensembles sont nmnriquement gaux s'ilexiste une relation telle qu'elle s'tablisse entre chacun deslments de l'un de ces ensembles et un seulement deslments du second ensemble, et rciproquement. On di talor8 que ces deux ensembles ont le meme nombre cardinal,autrement di t une quantit numrique CQmmune. En effet,un nombre cardinal est prcisment une classe d'ensemblesnumriquement gaux. C'est ainsi par exemple que l'ensemble des places assises occupes dans un tramway estnumriquement gal a. l'ensemble des voyageurs qui lesoccupent, puisque la relation etre assis sur s'tablit

(4) Cf. A. 'l 'ARSKI, Int'rod1Wtion to Logic and thc MethQdology 01Deductivo Sc'iencc6, p. 79 et suiv. Trad. fran9. p. 69.

\I

LA. THEORIE DES RELATIONS 269entre chaque voyagem' eL une place et une place seulement,que la relation contraire (converse) (etre occupe)}s'tablit entre chaque place et un voyageur et un seulemento L'ensemble des cots d'Ull triangle donn est numriquement gal a l'ensemble de ses angles intrieurs, puisqu'ilexiste une relation d'opposition en vertu de laquelle cescots et ces ang1es se cOlTespondent prcisment ainsi, defa90n biunivoque. Bien mieux, l'ensemble des nombresnaturels et l'ensemble des nombres naturels pairs sont,numriquement gaux en raison de la relation qui faitque les uns sont deux fois plus petits que les autres, bienque l'ensemble des nombres naturels pairs constitue unepartie propre de l'ensemble des nombres naturels. Cetteproprit est caractristique pour les ensembles infinis;leurs parties propres sont numriquement gales a latotalit.Toutes les classes (ou tous les en selnble s ce qui es tsynonyrne du point de vue de l'extension, dana le langageque nous utilisons ici) numriquement gales possedentune quantit dfinie d'lments. Demandons-nous done ceque signifie, par exemple, le fait que la classe des astronomes Nicolas Copernic et que toutes les classes d'inclividusnumriquement gales a. cette premiere ne possedent chacune qu'un lment et un seul. La rponse est la suivante:cela signifie que re (x est l'astronome Nicolas Copernic)et que nx,lI (si x est l'astronome Nieolas Copernic et y estl'astronome Nicolas Copernic, Mors x est identique a. y).De fa90n gnrale: dire que la elasse des N est singuliere,autrement dit qu'il n'existe qu'un N et un seul, c'est lameme chose que de dire: :c (x est N) nX,lI (x es1 Ny estN < x ident. a y).Demandons-nous aprsent ce que signifie le fait qu'uneclasse donne de .Y est dyadique, autrement di t qu'ellecomporte deux lmeuts et deux seulement (comme parexemple la clasae des poles terrestres). Nous dsona quecela signifie que X i I I (x est N et y est N et x n'est pas


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270 LA THORIE DES RELATIONSidentique a y) et que fl;;; (si z est N, alors z est identiquea x ou identique a y). On peut ramener de meme a desconcepts pluelnent logiques les concepts d'arithmtiquegnrale exprims a l'aide des signes 3, 4, etc. Or, commeles thooremes de la gomtrie s'averent correspondre auxthoremes de l'arithmtique, on peut done, par l'intermdiaire de l'arithmtique, nlOntrer que les theses desluathmatiques peuvent se ramener ades theses purementlogiques.

xxvmLA NATURE DES CLASSES

l. Les antinomies lies au concept de cJasseeten particulier l'antinomie des classes irrflexives

Des cOllsidratms qui prcedent, on voit nettemclltque le terme cIasse est tres important en logique; i1mrite d'autant plus que nous nous y arretions qu'ildonne des sujets d'inquitude. En effet, Oll connait desantinomies bien ennuyeuses lies a son emploi, autrementdi t des raisonnements apparemment corrects - tout aumoins pour certains parfaits connaisseurs du sujet - quiprennent pour point de dpart des theses vraies, du moinsapparernment, et qui conduisent pourtant ades contradictions. Vient en premier, en raison du rle important qu'ellea ou dans la formation de la 10gique model'ue, l'antinomieque nous nons pe rmett rons d'appeIer des classes il'rflexives.Elle est commlmment appele l'antinomie de BertrandRussell, puisque c'est lui qui l' a formule alol's qu'ilsoumettait a une critique systmatique les hypothesesqui taient a a base de l'ouvrage de Frege intitul Gr1.tnd-gesetze de?' A1'ithmetik (1903) (1). En voici la tenem'.Ayons prsents a l'esprit des exemples de classes dontchacune est son propre lment, tenes par exemple que la

(1) ef. .A.. :MOSTowSKI, Logika n ~ a t e ' f n a t y c z n ( J , [Logique mathma-tique], p. 208 et suiv.; T. CZEZOWSKI, Logika [Logique], p. 18; H. GRE-NIEWSKI, Elementy logiki !m-malnej [Elments de logique formelle],Varsovie, 1955.


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272 LA NATURE DE S OLASSESclasse des classes, la classe des ensembles non vides. (Eneffet, la c1asse des classes est elle-meme Pune des classes,la classe des ensemble s non vides est elle-meme l'un desensembles non vides.) Nous avons done devant les yeuxune classe des elasses dont chacune est son propre lment.Et l'epl'sentons-nous a prsent desclasses telles que laclasse des personnes, la classe des maisons, etc. Ce sontla des exemples de classes dont aucune n'est son proprelment. Nom; avons done pris conseience aprsent d'uneclasse des elasses dont aucune n'est son propre lment.Et maintenant, demandons-nous si la elasse des classesdont aucune n'est son propre lment est l'une des classesde ce premier genre, ou Pune des classes de ce seeond genre.Plus prcisment, est-elle Pune des classes dont ehacuneest son propre lment, ou bien Pune des classes dontaucune n'est son propre l m e n t ~ Dans les deux cas, non8obtenons une contradiction. En effet, si la classe desclasses dont aucune n'est son propre lment (ou, plusbrievement, (rrflexivel}) est Pune des c l ~ s s e s dont eh acuneest son propre lment (plus brievement, rflexivel), sielle est done son propre 1ment, alors, plsque ses lmentssont uniqnement des elasses dont aucune n'est son pl'opl'elment, elle est done elle-meme Pune de ees c1asses, etn'est done pas son propre lment. Et , reiproquement, sila e1asse des classes dont aucune n'est son p1'op1'e lmentest l'une des classes dont aucnne n'est son p1'opre lment,a1ors, puisque ses lments ne sont que des classes dontaucune n'est son propre lment, elle nepeut par consquentetre aucune de ces elasses et elle est done Pune des classesqui sont 1eu1' propre 1ment. Ces deux suppositions conduisent a, une contradiction, et pourtant Pune des deuxdevrait et1'e vraie en vertu de la loi du tiera exc1u qui ditque pout tout 8, et tout P, ou 8 est un terme individuel,S es t P, ou bien S n'est pas P. (8 est ici la c1asse des classesdont aucune n'est son propre lment, P, celle qui est sonpropre lment.)

LA NATURE DE S OLAS8ES2. La tentative de Lesniewski de rsoudrel'antinomie des c1asses irrftexiveset l'acception mrologique des c1asses

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L e 8 1 1 i e w _ ~ ~ s'ei:!t demand ~ : . ! ! _ ~ ! ~ ~ ~ a i ~ ~ , ~ __ ~ ! ~ ! l . ~ ~ ~ . q ~ ~ _ne sont pas leura prolJres lments. I l comprenait en effetpariaciasse'desJ'r-l{110bjet"form de tona les MenHt,ant~ ~ f ~ ~ g ! U e ~ t , ~ ~ ~ o ? ~ t i ~ u f s ~ - M a i s t o i ~ t - ~ ~ - b J t ~ t lecette-soi:teest galement, d'autre part, une classe de tels objets donti l est, lui, Punique exemplaire. TI est done son pl'oprelment. Pa r exemple la eonstellation appele la Chande7 'Ourse est la classe de eel'taines toiles. :Bien qu'elle-memene soit J)as toile, elle est pourtant son ]Jrop:r;e lmen1.En effet, du moment qu'elle est galemellt la Ch1i:!He desGrandes Ourses, elle est par consquent son propre 1ement,puisqu'eIle est la Grande Ourse: pour un certain J11 elleest la classe des .l l et elle est J.1I1. Et du moment qu'il enest ainsi, l'appellatioll descriptive: da elasse n'tant, lJa:',son propl'e lment,), est contradietoirc et vide, anssi riend'tonnant si tant la supposition qu'elle est son pl'opl'elment, que la supposition qu'elle n'est pas son pl'oprelment aboutissent a une eont1'adictioll. En o u t ~ ' e , selo11Lesniewski, la dmollstration de l'antinomie contient unednlarche fautive, a savoir a l'endroit o, du fait que la,classe considre est un lement de la classe des cIasses

.dont eh acune est son propl'e lment, on coilclut qu'elleest son propre llnent. On raisonne en effet ic selon leschma: si x est un lment de la c1asse des M, alors x est M.(Et la mellle chose se rpete a 'endroit ou, du fait que laclasse considl'e est un lment de la c1asse des classesdont aucune n'est son propl'c lment, on conc1ut que laclasse considre n'est pas son propre lment.) Effectivement, chaque triangle eomposant le carr ci-eontre, par

(2) ef. S. L E ~ N U;W.'5KI, O podsta,wach matematyki [Des bases desmathmatiques]; P l ' . ~ r q l l l d F'ilozoficzny, 1927. 30e anne. fasc. U -U Ip. 182 et suiv.


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274 LA NATURE DE S OLAS8.BISexemp1e, en est lm 1ment, bien que ce carr soit la classede ses carrs constitutis et qu'aucun tl'iangle ne soit uncarr.

Lesniewski comprend la cIasse de fa90n mrologique.Avec une telle acception de la classe, il ne peut exister dec1asse vide, l)uisqu'il ne peut exister d'objet composs'il ~ e x i s t e pas de fragments constitutifs, i l ne peut y avoirde foret s'il n'y a pas d'arbres. La c1asse des M ne possdantqu'un 1ment .1l{ est, _ ~ l ~ ~ . ~ : ~ t t e conception, ident ique a cet1ment. Enfin, la c1asse A peut, selon cette meme conception, etre identiquea a classe B, bien que la classe A soitla c1asse des .irI, et la c1asse B la classe des N, et que M et Nne soient pas quiva1ents, ne soient pas les. appellationsdes memes objets.

3. Acception de la classe en tant que propritToutefois les mathmaticiens n'ont pas accept cettesolution. En effet, on comprend aprsent de fa90n gnrale,chez les mathmaticiens, la c1asse comme une proprit (3),

s'cartant ainsi considrablement du langage courant. Avecune telle acception, on pent introduire sans difficu1t leconcept de classe d'individus vide, ce qui aura un sens.Ce sera toute proprit que l'on peut noncel' avec sensa prop08 d'individus, mais qu'aucun individu ne possede,par exemple la contl'adiction. De fa90n analogue, la classe

(3) Cf. A. ~ i O S T O W S K I , op. r;it., p. 83 et 209.

LA NA.TURE DE S OLASSES 27fivide des classes d'individus sera toute proprit noll9ab1eavec sens des classes d'individus, mais qu'aucune de cesclasses d'individus ne possede, etc. Et en outre, i l est clairqu'avec cette acception de la classe, une classe ayant unlment et un lment seulement n'est nullement identiquea cet l m e n t ~ Supposons en effet qu'il n'existe au mondequ'un seul individu ayant un profil qui 1ui soit particulier:il ne sera toutefois pas ponr cette raison identique cetrait-la de son aspect, a cette proprit spcifique, acetteclasse ne comportant qu'un lment seulement. Enfin,pour ce qui est des conditions de l'iclenti t des classes,cette acception est en harmonie avec la t,hese selon Iaquelle elles sont identiques toujours et seulement si ellespORsedent les memes lment,s.

4. Thorie des types Iogiques en tant que moyende rsoudre l'antinomie des classes irrflexives

Les logiciens s'efforcent de rsoudre l'antinomie desclasses inflexives eonformment a 'acception par les proprits, et non pas a 'aeception mrologique de la classe .I}une des solutions proposes et aceeptes par maintslogiciens est celle donne par Hussell, qui se rfere a ceque l'on appelle la thorie des types logiques (4). Seloncette thorie, on distingue, entre autres, les individus, lesclasses (proprits d'individus, les c1asses (proprits) desclasses (proprits) d'individus (autrement dit, ce qu'ona ppelle les familles de classes), les classes des c1asses deselasses d'individns (autrement dit, ce qu'on appelle lesagrga.ts de familles), etc., etc., et on les diffrellcie de In,fagon suiva,nte: on tient pour des non-sellS les pl'tenduesappellations descriptives telles que, par exemple: la classedes individus e1; des elasses d'individusl}, la classe des

(4) Cf. ibid., p. 213 et suiv., snrtollt p. 218.


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276 LA NATURE DESOLASSEBfamilles et des agrgats, etc. N'ont de sens de ce pointde vue, que les noms des classes dont les lments sont dememe niveau dana la hirarchie c i ~ d e s s u s dcrite, appartiennellt au meme type logique; et chaque elasse ne possedecomme lnlents que eeux appartenant au type logiquequi lui es t immdiatement infrieur. Pa r consquent, leslments de teIle ou telle elasse d'individus ne peuventetre que des individus, et nulle classe; les lments d'unefamille de elasses ne peuvent etre que des elasses (desproprits) d'individus, et non des indiv idus ou des familles,ou des agrgats, ete. Et alors, dire: la classe des elassesdont aucune n'est son propre lment est elle-meme sonpropre lment}), ou bien dire: la classe des e1asses dontaucune n'est son propre lment n'est pas elle-memeson propre lment}}, apparait, de ce point de vue, etreun non-sens qu'il eonvient de rejeter. Oe sont la de pseudopropositions qui ne sont ni vraies, ni fausses, ee sont lades expressions mal composes, greves de fautes smantiques. En effet, la premiere de ces expressions a la, structureK eK}), la seeonde (KsR)'; or K appartient au memetype logique que K et par consquent l'expression K 8 Kelle-meme est un non-sens, ainsi que toutes les expressionsobtenues en ajoutant. un oprateur a. cet.te expression.

5. L'acception onomatoi'dale du terme classeDu moment que la classe est une pl'oprit, ou, defagoll 111118 prcise, que la classe des ]JI signifie la memechose que la proprit spcifique des M (par exemple, laclasse des nombres pairs, c'est la proprit spcifique desnombres pairs, ou plus brievement, leur parit), i l convientde se dema,nder quel genre d'objets sont ces classes, cesproprits. La classe, compl'ise en tant que proprit,"

n'est nnllement un objet eompos de ses lments (desobjeta qui possedent cette proprit) en tant que ses frag-

LA NATURE DES GLASSES 277ments constitutifs, alors que c'tait le eas pour la classecomprise de fa90n mr01ogique: I .acIasse-des- tolles' dela Voie Lacte, comprise selon la proprit, n'est nullementcet objet compos rappelant une tache blanche rpanduesur le firmament et que nous appelons la Voie Lacte.Mais les c1asses, C O ~ E ! J : ~ ~ ~ _ ~ _ ~ . ~ ~ I l t . q ! - ! ~ . r Q p r i . ! ! ~ , sontelles alors q u e ~ q u ~ _ c ~ ? ~ ~ c ~ . E ? - a ~ ! ! ~ ~ o U E ~ ~ , ~ ~ ~ ~ : ~ 1 ! e , s . _ q ~ ~ _des crations de l'espl'it existent-elles en dehors de ceuxc,__ ___ , _ ~ , ~ __ _ _' "' _ ._ . ._ . _ .. ,., _ ~ ~ . ~ ~ ~ < . _ .._,.," _ .."_c . _. , ~ . " . _ ~ _ " ' __qui les connaissenM Ces questions, et d'autl'es semblab1es,se p r e s s e n I ' - a l l x l ~ v r e s chaque fois qu'il est question desl)roprits. N ous partageons l'opinion de Russell quiestime que chaque foia que l'on dit: 1'individu x est unlment de la classe des M, on emploie tOllt simplementune expression 3,brge qlvalente a cette autl'e: l'individu x est un lJrI (5). En adoptant ce point de Yue, la, question: (quel genre d'objets sont les classes (les proprits)hn'aurait d'ailleurs aucun sens, puisqu'il n'existerait aucunobjet appel (


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278 LA BATURE DES CLASSESrien d'autre que: tout ce qui est substantif (videmmentl)armi les expl'essions) est galement terme. De fa90ngnra1e, dire: la c1asse des M est incluse dana la classedes N,), signifierait la meme chose que: our tout x, si x estun M, a10r8 x est un N l } . De ce point de vue, les termes

( ~ c l a s s e i ) , propriti) sont des onomato'ides, autrement ditdes pseudo-appellations. Cette fa90n d'envisager les chosesest en accord avec l'attitude raliste d'un esprit s'intressant aux sciences de la nature; i l faut cependant reconnaitre que si l'on s'y cOnIorme de fa90n cohrente, on seheurte a des difficults pour ce qui est des familias (classedes classes) et des agrgats, et, de fa90n gnrale, pour cequi touche au domaine de la t,horie des ensembles et del'arithmtique. L'interprtation onomatoidale de la notion

~ e classe en tant que proprit reprsente aPheure actuelleun programme intressant, sans etre encore un: rsultatacquis.6. Le terme classe daos les sciences sociales

Nous ne d e v ~ _ n s __ a ~ . _ ~ ~ J : . ! ~ ~ ! 1 I ! : 0 D ; _ . E h ~ ~ L ~ ~ ~ J ~ a n s _ ~ ~ ~sciences ~ ~ ~ ~ ~ ~ _ ~ l ~ _ " t e r l n ~ _ ~ ~ ~ ~ . ~ unJ",out ~ " ! ! . ~ r e ~ e n s q u _ ~ _dans les sciences mathmatiques qui 8'en servent en lec o m p r ~ ~ ~ ~ ~ i i ~ ~ 1 i e ~ ~ p r o p r l t r r ; a - " ' b o r g o 1 s i ~ l eproltariat, autant de classes sociales; et ce serait un fauxsens que de considrer la bourgeoisie ou le proltariatcomme une proprit de tela ou tels individus. lei, dans lessciences s o c i a l ~ c'est l'aceeption mrologiqUedu termec1asse qui convient. Le proltariat est un groupe d'hommes,un objet compos, dont les divers proltaires sont les


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xxxLES PROBLEMES DE L'AXIOMATIQUEDES SYSTEMES DDUCTIFS

1. Les aspects praxiomatique, axiomatiqueet fonnel du systeme dductifComme exemple de science dductive, prenons lagomtrie. Avant d'etre organise en un tout dans lesElments d'Euclide (environ 300 avant J. C.), ses vrits

taient dcouvertes une a une et ses theses nouvellesfondes a partir ou bien de theses ressenties commevidentes, ou bien de theses dmontres prcdemment,et ce, pa r rfrence a des vrits ressenties comme videntes. Avec le tem.ps, toutefois, le besoin d'une certaineorganisation des hypotheses et d'nne homognisation desdmonstrations appanlt. Qui sait si, a cot de considrations d'ordre didactique, un eel'tain rle n' a pa.s tjou ici par le dsil' de venir a bout d'une cel'taine dsorientation provoque pa r des rsultats paradoxallx, parexemple par la dcouverte, stupfiante en son temps, de ,l'incommensurabilit du ct et de la diagonale du carr.C'est ainsi que le systeme ddllctif de la gomtricd'Euclide a vu le jonr; ce fut sans nnl doute le fruit dePeffort de systmatisation entrepris par de nombreux penseurs, dont Euclide fu t le dernier en date. La gomtrieeuclidienne es t dja un systeme axiomatis, puisque sontdistingues les these's fondamentales acceptes sans dmonstration (incontestablement en vertu de leur vi-

,'1

LEH SYSTEJIIIER DDUG.TIF'R 291dence) sur lesquelles reposent tous les autres thoremes.Pourtant, il est impossible de considrer la gomtried'Euclide comme un systeme dductif formel, formalis,puisque ne figure pas dans son expos la dfinition desdmarches successives de la dmonstration, ni le recoursde telles dmarches. Il est vrai qu'il eat possible de lesdcrire a partir de l'tude des dmonstrations; or unetelle tnde montre que ces dmonstrations sont effectuesselon des modes de comportement qui se rpetent; cependant, ces mthodes de dmonstration ne sont pasencore ici organises en un systeme conscient et explicite.Ce n'est qn'a notre poque, ou l'on tudie particulieI'ement les fondements mathmatiques, que Pona commenc aexiger pareille 'chose de la gomtrie, conillledu reste de toutes les autres sciences ddnctives, tandisque l'intensit et l'obstination des efforts dploys enla matiere s'expliquent sans doute galement par le besoinde surmonter le dsarroi provoqu par l'apparition desantinomies.

2. P r i n c i p a u . ~ crateurs de systemes dductifsfonnaliss modernesIl faut citer essentiellement t,rois noms, si l'on veut

dsigner les principaux reprsentants de cette tendance.Ce sont: G. Frege (1848-1925), G. Peano (1858-1932)ot D. Hilbert (1862-1943). Gottlob Frege a t le premiel' a comprendre que des directives, autrement dit desprescriptions rglant les dmarches de la dmonstration,taient indispensables:


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292 LES SYSTEMES DDUOTIFSdu calenl propositionnel (1). Giuseppe Peano dit ait unepllblication intitule Formulaire de M athmatiques (Turin,

1 8 9 4 - - 1 ~ 0 8 ) , 011 paraissaient easentiellement ses proprestravaux. TI a considrablement contribu a a prsentationde l'ensemble de l'acquis des mathmatiques sous uneforme extrieure homogime et systmatise, a l'aide d'unlangage artificiel. C'est galement lui qui a axiomatisl'arithmtique des nombres naturels. David Hilber t a lancl'ide que la technique de la construction du systemeformel doit etre indpendante de l'aspect de significationde ses signes constitutifs, et cela, a propos d'un programme qui se proposait de dcouvrir une mthodesusceptible de garantir la non-contradiction de l'ensembledes mathmatiques; c'est lui qui a construit le systemeformel de la geomtrie. (1899). Cette ide d'un systemeformel s'tait du reste impose prcdemment encore auxsavants s'occupant de gomtrie. Moritz Pasch, auteurd'un ouvrage intitul V orlesungen ber neuere Geometrie(1882), suppose que la dualit des thoremes de la gomtrie projective ordinaire a trois dimensions a suggr aux mathmaticiens l'ide que la vrit des thesesdes mathmatiques ne dpend pas du sens des notionspremieres, ma,is seulement de leurs relations fondamentales nonces dans les dfinitions et les }Jostulats; que,pa r suite, ces theses en peuvent etre logiquement tires,comme en t,ant les consquences formelles. (Cette dualitconsiste en ce qu'a un thoreme donn correspond unthoreme analogue oil, a a place des points, interviennentdes plans et, a a place des plana, des points; par exemple,a la these que trois plans n'ayant pas de droite communedterminent un point, correspond la these que trois pointsnon en ligne droite dterminent un plan.) (2).

(1) Cf. H. GRENIEWSKI, Elementy logiki )orma1Jnej [Elments delogique formelle]. p. 458. I, a citation de Frege figure dana l'ouvragecit de 1. JOERGENSEN, .A. Treatise 01 Formal Logic. tome 1, p. 149.(2) Pour ce qui es t de Hilbert, consulter A. MOSTOWSKI, Logikamatematyczna [Logique mathmatique], p. 266. Pour ce qui est de

LE8 SYSTEMES DDUOTIFS 293Grace aux ides et aux travaux de ces prcursel1rs,

et a leurs continuateurs, chez la plupart des logicienscontempor.ains on a vu se desainer un idal: crer unsysteme dductif formel, plus prcisment, un systemehypothtico-dductif formel. Outre le postulat de l'axiornatisartion et la volont de soumettre le droulement desdmonstrations a des directives dtermines, un te l modele comporte le postulat du recoms, dans les dmonstrations, a des transformations purement externes, ralisables sans s'attacher au sens des signes. De telles constructions sont prises non seulement a cause duo caractereexterne, intersubjectivement perceptible de leurs conditions de correction, mals galement parce que la possession de systemes permettant diverses interprtationsdes signes et des expressions construites a partir d'euxest apprcie, et par consquent aussi l'utilisation multiple,pour diverses applications; des systemes dductifs, entant qu'instruments permettant de dominer diverses matieres. Enfin, pour qu'un sysMme formel rponde a toutesles exigences, i1 faut qu'il ait un caractere hypothtique.Lorsqu'on construit un tel systeme, on ne dmontre passes axiomes, on ne fait que les poser; la seuIe chose, parcontre, qu'on dmontre, c'est le fait que les thoremesdcoulent des axiomes. Pour une interprt.ation donne,les axiomes peuvent etre des thesea reconnues, dmontres; ce n'est pourtant pas essentiel ponr ]e systemeformel en tant que tel.On a construit et ro n continue a, construire, dans lesscienees dductives, des systemes formaliss plus oumoms conformes a un modele de ce genre. Cela, a sontour, a permis a une nouvelle spcjalit scientifiqued'apparaitre et de s'panouir: c'est ce qu'on appelle lathorie des systemes. Son objet, ce sont prcisment lesPasch, consulter L. COUTURAT, Les principes des mathmatiques, VI:La gomtrie, Revue de Mtaphysique et de Morale, Paria, septembre1904, p. 826 a 828. Cf. galement 1. JOERGENSEN. op. cit., p. 140.


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294 LES SYSTEMES DDUCTIFSsystemes' formaliss. La thorie des systemes aspire eliememe a devenir un systeme formalis et on est ali djatres loin dana ce sens. En pratiquant la thO;I'ie des aystemes,nons nous mouvons dans le domaine de la mtalogique, puisque nous oprons entre autres avec les appellations des produits lingnistiques employs dans les propositions appartenant au domaine de la logique. C'estainsi, par exemple, que la formule p+p' est une fonctionpropositionnelle du domaine du caleul propositionnel,tandis que l'expression: la formule de la loi du tiers excludans le domaine du calcul propositionneh, en est l'appellation descript,ive, de caractere mtalogique, relevant desrecherches de la thorie des systemes.Apres ces remarques prliminaires, nous traiteronsa prsent d'un choix de problemes de la thorie dessystemes.

3. Postulats de la non-contradiction,de I'indpendance, de la saturation. et de la rsolubilit du systeme dductif31) Tout dtabord la question de la non-contradiction (3).

Un systeme est noncontradictoire toujours et seulements'il est impossible de tirer de ses axiomes, au moyen deses directives, un couple de propositions dont Pune seraitla ngation de l'autre. Noua exigeons la non-contradictiondans les science:-:, tout systeme contradictoire devant eneffet eontenir des lments faux et tant pa r consquentdpourvu de toute valeur de eonnaissanee.n est eurieux qu'il suffise, pour dmontrer qu'unsysteme est noncontradietoire, de montrer qu'il existeau moins une proposition fausse non9ab1e a l'aide des

(3) Nous avons largement puis, lors de la rdaction de ce chapitre,


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296 LE S SYSTEMES DDUOTIFScontradiction de l'ensemble de ses thoremes, i l fautdmontrer que les transformations effectues selon lesdirectives du systeme ne peuvent conduire a des contradictions, si l'on pre nd les axiomes pour point de dpart.Pour avoir un exemple de la fagon dont on prouve lanon-contradiction de l'axiomatique d'un systeme par voieinterprtative, construisons un systeme miniature:Axiome 1: flx (XeS < xRx);Axiome 2: nX,y,z[xeS yeS zsS < (xRzyRz < xRy)].Il est facile de dmontrer que cette axiomatique estnoncontradictoire, en interprtant par exemple S commel'ensemble des nombres entiers, et R comme la relationconsistant en ce que la diffl'ence entre les lments decet ensemble est un nombre entier. En effet, avec cetteinterprtation, Paxiome 1 se transforme en une p r o ~position vraie qui nonce que la diffrence obtenue ensoustrayant tout nombre entier de l u i ~ m e m e est un nombreentier (du moment que zro est un nombre entier), tandisque l'axiome 2 se transforme en une proposition vraieaffirmant que si chacune des diffrences obtenues ensoustrayant a chacun des deux nombres entiers le t r o i ~sieme nombre entier est un nombre entier, alors la diffrence entre l'un de ces deux nombres et, le second estga1ement un nombre entier (5).

Il est clair qu'en dmontrant la non-contradiction parvoie d'interprtation, noua frusons dpendre la valeur dela preuve de la vrit des theses auxquelles nousluenons l'axiomatique tudie. Aussi vaut-il la peine derechercher d'autres preuves, dites abso1ues, de la noncontradiction. TI n'est possib1e d'obtenir une telle preuveque dans certains caso C'est ansi, pa r exemple, que lamthode matricielle permet de dmontrer la non-contradiction de la totalit du calcul propositionnel. TI dcoule

(5) Cf. A. TAR8KI, op. cit., p. 121. Trad. fra.u9. p. 106 et suiv.

LES SYSTEMES nnUCTIF8 297en effet de la nat,ure meme de cette luthode que si unethese donne est vraie, c'esta-dire qu'elle se vrifie pourtoutes les substitutions de y ou de ]]', alors la ngationde cette these doit ne pas remplir la condition de se vrifie!' pour tontes les substitutionf!.Pour en terminer avec nos considrations relativesa la non-contradiction, mettons en garde contre la, tentation d'identilier la notion de systeme noncontradietoireavec la notion de systeme compormt, au nombre de sestheses, la these n (p .pi)" autrement dit le prncipe decontradiction (et qui devrait s'appeler prncipe de n o n ~contradiction). En effet, si un systenlc de ca1cul propositionnel tait contradictoire, i1 la comporterait ga1e-ment (ansi que sa ngation), tant donn que dans unsysteme contradictoire on peut dmontrer n'importequelle these appartenant au domaine qu'il tudie. D'autrepart, on pourrait constrnire un systemc' de ca1enl p r o ~positionnel comportant la, these p 'p', tout en choisissantles directives de telle Borte qu'a partir de l'axiomatiquede ce Bysteme il soit impossible de tirer aucun couple dethoremes contradictoires entre eux (6). Cette indpendance est paradoxale; mais elle est relle!b) Le postula t de l'indpendance mutuelle des axiomesd'un systeme dductif donn est incontestablement moinsimportant que celui de sa non-contradiction, anBsi parfoisn'est-il pas respect, pour faciliter la technique des dmonstrations. Un axiome donn est indpendant desautres si, a rade des directives de ce systeme, i l ne peuttre tir ni des axiomes restants, ni des theses de la logique. Cette .indpendance d'un axiome donn peut galement etre dmontre par voie interprtative, a savoir enchoisissant une acception des termes primitifs du systelnequi donne pour tous les autres axiomes des vrits, tandisque celui-ci devient faux.

(6) Cf. A. 1VIoSTOWSKI, op. cit., p. 273.


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298 LE S SYSTEMES DDUOTIFSChoisissons a titre d'exemple l'axiomatique suivante:

1 flxeLN'(x, O)11 Oe L111 nxeLlyeLl\T(x, y)IV f]x,y,ZeL[N(x, y) N(a;, z)-+(y = z)]y fl ,y,zeL[N (y, ro)' N (z, ro) -+ (y = z)]VI Il;cL OeX) nxeL[(xeX) 'N(x, y)-+(yeX)]-+

~ n x E d x e X ) }NOU 8 pouvons la lire comme suit, si noua considrons quec'est la l'axiomatique de l'arithmtique des nombresnaturels: 1, Zro n'est le suivant d'aucun nombre natu-rel. 11, Zro est lID nombre naturel. 111, Tout nombrenaturel a un suivant qui est un nombre naturel. IV, Lessuivants de nombres gaux sont gaux. V, Si les suivants denombres nature1s donns sont gaux, 30101'8 ces nombres sonteux aussi gaux. VI, Si X est un ensemble qui comportele zro et qui a la proprit de comporter, avec chaquenombre na,turel, le suivant de ce nombre, alors X com-porte tous les nombres naturels (principe d'induction).Traitons a prsent l'axiomatique considre cornmecelle d'un systeme formel et donnons a. ses termes lameme interprtation que dans l'arithmtique des nombresnature1s, a cette aeule diffrence pres que L ne sera pasl'appellation de la classe des nombres natlU'els compor-tantt le zro, ma,is celle de l'ensemb1e des nombres na-ture1s tliffrents de zro. Alors, les conditions de tousles axiomes serollt remplies, a, l'exception de celles dusecond et ainsi sera dmontre l'indpendance de cesecond axiome par rapports aux axiomes restants. Delneme, pour montl'er que le Pl'emier axiome est indpen-dant des autres, i l suffit rl'adopter une interprtationdes symboles analogue a nelle qui fait de notre systemele systeme de l'arithmtique des nombres naturels, a. cettediffrence pres, toutefois, que L sera un ensemble com-l)ortant en tant qu'lments uniquement le zro et , le

LES BYSTEMES DDUCTIPB 299Ull, et N, une l'elatioll qui se pl'oduit entre x et y a101'8et seulement si x = O et y = 1, ou bien ro = 1 et y = O.Avec cette interprtation, tous les a.xiomes sont vrifis,a l' exception du premie!' (7).

e) Ces temps derniers, l'ati:cntion de ceux qui tudientles systemes dductifs a t tout particulierement attirepar la question des conditions de la saturation d'Ullsysteme compol'tant une axiomatique donne. Le pro-b1eme consiste a savoir si tel ou te1 choix cl'axiomesgarantit que l'on puisse en tire!', a l'aide de directivesdonnes, au lnoins l'lme des deux propositions W et W'arbitrai rement choisies et possedant une structure adlllls-sible en termes du systeme. On peut montrer avec unerelative facilit qu'un systeme donn n'est pas satur,au moyen d'intel'pI'tations montrant successivementqu'une proposition TVet sa ngation W' ne peuvent etretires de son axiomatiql1c et des theses. de la logique.Les preuves de la saturation sont obtenues par exemp1een montrant que toute pl'oposition qui peut etre tired'une axiomatique donne e8t quivalente a l'un desmembres d'une alternative donne, dont chacun es t qui-valent soit a a proposition lY, soit a la proposition W '.On a dmontr, ce faisant, qu'il existe des systemes sa-turs et des systemes non saturs et, en particulier, quequelle que soit l'axiomatique choisie pom' l'arithmtiquedes nombres natru'els comportant addition, soustraction,multiplication et division, le systeme dductif fOrlnalisfond sur cette axiomatique demeurera toujours nonsatur. Kurt Godel est parvenu a ce rsultat (8), ce quia provoqu un choe pour les esprits. Il a dcouvert" eneffet, qu'aueun systeme dduetif de l'arithmtique nel)eut embl'asser toutes les proprits de l'univel's des

( ) Cf. A. :MOSTOWSKI, op. cit,. p. 243 et 28l.(8) Cf. K. GDEL. ber formal unentscheidbare 8tii.tze derPriI\cipia Mathematica. un d verwandter Systeme, l, Monatshejte !'1'~ l l a U t e m a t i k wnd Pkysik: tome 38 (1931).


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300 [ES SYSTEMES DDUOTIFSnombres et que les rnathmatiques ne peuvent pas l'e-vt' la forme d'lID systeme formel permettant d'enrsoudre toua les problemes. Bien plus, tout systeme dductif formalis de l'arithmtique des nombres. naturelsest lI D systenle non rso1uble, bien qu'il puisse existel'des systemes rsolubles; 01' un systeme est di t rsolublelorsque, pou!' toute p!'oposition possdant un sens, onlJeut, a raide d'une mthode constante, dmontrel' soitque cette proposition .est dductible des axiomes dusystemes et des theses de la 10gique, soit qu'elle n'enest pas dductible. POlU> ce qui est de la logique ellemClue, on a dmontr la saturation (dans une aeeeptionquelque peu modifie) et la rsolubilit (par la mthodematrieielle) du ca1cul propositionne1, ainsi que la nonrsolubilit du calcul fonctionne1, mme dans son acception la plus troite (ca1cu1 des fonctions propositionnellesa variables individuelles, avec variables x, t, etc., etquantificateurs).

XXXILES DFINITIONSDANS LES SYSTEMES DDUCTIFS

1. Les directivesL'axiomatique d'un systenle dductif ne suffit pasa dterminer l'ensemble de ses thoremes. La questiollde savoir quels sont les thoremes que l'on peut obtenira partir d'un systeme d'axiome,s dpend des transformations que, dans ce systeme, on 11 le droit de faire sub'

aux axiomes afn d'en tirer des thoremes. Des reglessont done neessaires, qui dfinisaent la faQon de procder. Les regles en vigueur dana un systeme dductifdonn de ca1eul propositionnel, par exemple, sont familleres au leeteur. Ce sont les directives de sub stitutionde dtachement et de remplacement. La dl'ective de substitution permet, dans une fonction propositionnelle donne, de substituer a la variable propositionnelle libreconsidre une these arbitraire du caleul propositionnelou une fonction propositionnelle arbitl'aire donne (dansun cas parliculier, une variable propositionnelle arbitrairedonne), a la seule condition de faire cette lneme substitution partout ou, dans la fonction propositionnelleconsidre, apparat la variable en question. La directivedu dtaehement permet d'introduire dans le systeme leconsquent d'une implication (ou d'nne quiva1ence), sifignrent dja dans ce systeme: 1) l'implication (on l'qui-


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302 LE S s:rS:l'ElliES ,DDUCTIFSvalellee) cOllsidl'e, a l'tat cOlnplet, 2) son antcdent.Il est clair que la direetivedu dtaehemen t ainsi eOlllprisene peut s'appliquer qu'a. des formules d'implication oud'quivalence. Si, pa r contI'e, nous tablissons des fol'nudes de ealeul propositionnel a l'aide, par exemple, del'oprateur de la disjollction (plq, pas a la foia p et q)qui, on le sait, pent tre l'unique opl'ateur pl'imitif dece calenl, Hons pouvons appliquer alol's 'une directive dedtachement analogue, eorres}Jondant a eetopI'ateur.Elle nous permet,tra d'intl'oduire dans le systeme q/q(au1Jrement di t l'quivalent de la ngation de q),si nonsavons dja dans le systeme tant p/q que p. Enfin,la d i l ' e c t i v ~ de remplacement permet dans chaqueformule de remplacer le definiells pa r 1e definiendumet l'ciproquement, sans qu'il 80it en outre ncessairede procder a un remplacement analogue auxautresendroits on ce defjniens (soit ce definiendnm) se l'pete dans la meme formule. On voit immdiatementque l'tendue des applications possibles de la directivede remplacement dpend du nombre des dfinitionsadmises.

2. Les dfinitions en tant que propositionsextrieures au systemeOn peut noter deux mthodes d'introduction des dfinitions QU eoms de la construction d'un systeme dductif, a savoir: ou bien on les traite eomme des theses

du systeme, admises tout comme les axiomes en tantque theses prinutives, et ne diffl'ant de ceux-ci que pa'leur structm'e et leur place dans le systeme,' si bien quela possibilit qu'elles soient fausses est exclue; ou bienon les introduit en tant que theses eonrpltant la directivede remp1aceInent, au Dleme titre que les directives exprilnab1es en mtalangage.

LE S SYliTE.LtIES DDUOTIFS :303( ~ u e l q u e s mott:! ellcore, a. ce pl'OpOS, sur le langage desdil'ectives. Il comporte nccssairement les appellations destheses du systeme ou de Ielu's parties constit,utives, i lest done un mta,langage par rapport au langage .Iu sys

te.me eonsid1' lui-meme. Cela permet de COllllJrendrepourquoi, il y el une cinquantaine cl'annes de cela, onappelait souvent les directives, pon1' les diffrencie1' desaxiomes, des principes parls). En effet, pour les expriTIlel', I'ensemble des symboles al'tificiels, dont se composentexclusivement les formules de tout syst\me dductif formalis, ne suffit paso Afin d'noncel' ces directives, oralement ou par' crit, i l fallait l'ecouril' au langage danslequel on parle des signes de la meme fa


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304 LESSYSTEMES DDUOTI.FScompltant la directive de remplacement s'accroitrait decette dfinition. 01' i l faut comprenw'e que complter ladirectiva de remplacement au moyen d'une dfinitionsignifie que seule l'numration des dfinitions fait decette directive une prescription suffisanu:hent prcise pourque l'on puisse, en s'y tenant , effectuer des dmarchesdmonstratives.Peut-on, demandons-nous a prsent, dfinir brievement la directive de remplacement comme tant uneregle permettant de remplacer une partie donne d'lmeproposition ou d'une fonction propositionnelle par son

s y n o n y m e ~ Une telle dfinition prsupposerait qu'entrele definiens et le definiendum existe un rapport de synonymie. TI ne faut pas oublier que la synonymie implique, la condition que les membres du rapport de synonymiepossedent une signification, 01' les significations n'apparaissent que dans la phase d'interprtation du systeme.Les dpendances structurales entre les 1ments d'unsysteme formalis en tant que tel doivent etre dfiniessans rfrence aux significations. Afin de rendre oomptedu rapport entre le definiendum et le definiens dana untel s y s t e ~ e , i l snffit d'introduire la notion d'abrg graphique. Le definiendum est l'abrg graphique du definiens.Ainsi done, sur le terrain d'un systeme pnrement formel,la directive de remplacement peut etre dfinie commeune regle permettant de remplacer un fragment d'unethese propositionnelle ou d'une fonction propositionnellepar l'abrg graphique de ce fragment, on rciproquemento Lorsqu'on interprete le systeme formel comme unsysteme de thoremes, le rapport reliant l'un a l'autrel'abrg graphique et le fragment abrg se transformeen un rapport de synonymie (1).

(1) Of. A. CHURCH, Definitiom [artiele du Diotionna',-y 01 Philosophy de Runes, New York, 1942].

LES SY.STEMES lJDUOTIFS .3053. Les dfinitions en tant que composantes du systemeTI existe cependant des systemes dductifa dans 1es-quela les dfinitions interviennent en tant que theses du

systeme, nonces dans le langage de ce systeme, et nonen mtalangage. Si ce sont des quivalences, rien alorsne s'oppose a ce que la directive de remplacement s'yl'fere, en tant que regle permettant dG remplacer l'llllpar l'autre ce qui est quivalent pal' dfinition. Supposonspar exempJe que nous ayoua dja dana un systeme decalcul propositionne11es signes de la ngation, de l'implication et de l'quiva1ence et que nous introduisions ladfinitioll des signes de l'alternative et de la conjonetionen tant que theses, en tant, que thoremes du systeme,a galit avec les axiomes primitifs et n'en diffrant quepar leur structure et 1eur situation dans le systeme, cequi les protege contre la fausset. Dcrivons par exempleeomme suit cette structure et cette situation: l'ensemblede la dfinition doit se prsentel' sous la forme d'unequivalence, toutes les variables se rptant dans les deuxmembres; le signe dfini n'apparait qu'une seuIe fois et,en outre, en tant qu'unique signe constan t dans le membrede l ' q u ~ v a l e n c e dans lequel i1 figure; enfin, c signe n'aJjamais figur dan s aucune des theses antrieures dusysteme. On p01ll'rait a10rs avoir dana ce systeme lesdfinitions suivantes: de l'alternative (1) + q) = (p ' < q) etde la conjonction (p . q) = (p < q')'.

La formulation prcise des conditions de correctiond'une dfinitio'n par quivalence, comprise en tant quethese d'un systeme formalis, reprsente 1m problemedifficile; divers constructeurs de systemes s'efforcentde le rsoudre chacun pour les besoin.s de son systeme (2).(2) Pa r exemple S. LESNIEW8KI dans son tude O delinicjack

'W tak zwanej wm'U ded'ukcji [Des dfinitions dans la thorie dit.e de ladduction] (en allemand), Sprawozdania z posiedze1 TowarzystwaNau,kowego War8zaw8kiego, lIle Section. t. XXIV (1931), fasc. 7-8 ,1932.


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306 LE S SYSTEMES DDUC1'IFSLa dfiuition en gnral, et par consquent galement la dfinition en tant qu'lment du systeme, doitetre construite de telle sorte que l'on puisse liminer ledefiniens a l'ade du definiendum et rciproquement, (3),

conformment a la directive de remplacement. Il existenanmoinslme acce.ption plus sonple de la dfinition, assezlargement rpandue. C'est sans doute Joseph Gergonnequi, le prenner, a remal'qu que l'on peut dterminel' le sensd'un signe non pas au moyen d'une telle dfinition parquivalence, mais pa r l'adoption d'hypotheses, d'axiomesdans lesquels ce signe figure (4): en effet, le sens dece signe pon1' lequel, justelllent, ces axiomes seraientremplis, est dtermin par ce systeme d'axiomes prcisment. Bien plus, le systeme d'axiomes considr dtermine de eette f a ~ o n le sens de tous les termes prirnitifsdll systeme qu'il comprendo O'est ee que l'on appelle ladfinition par les postu1ats ... Si 1m systeme admet mamtesinterprtations, le sens des termes n'est pas dterminde fa90n univoque, mais de f a ~ o n alternative; cependant,si le systeme n'admet qu'une interprtation, alors le sensde ses termes primitifs est dtermin de fa90n univoque,de meme que dans une dfinition correcte au moyen del'quivalence. L'axiomatique du calcul propositionnel deLu.kasiewicz: OOpqOOqrOpr, OpONpq, OONppp constitueun exemple de dfinition, a l'aide .des postulats, destermes O et N (signes d'implication et de ngation).

4. Les dfinitions par abstractionQu'une dfinition 1iminatoil'e donne soit introduiteen tant que these du systeme ou en tant thoremeexprim en mtalangage, parfois cela importe peu dans-la(3) ef. A. MOSTOW8KI, Logika 1natematyczna [Logique mathmatique], p. 188.(4) Dans l'arliele: Essai sur la thorie des dfinitions, Anna.l-es~ Math1noUg-ues Pures etAppliq'ltcs, 1918-19, citparW. DUBISLAV,ber die Dejinilo'/l, 2e d., BerIin, 192, p. 51.

LES SY8TEMES DDUCTIFS 307pratique de la construct ion des dmonstratiollS. Restons-endollc Ht. Occupons-nous pa r contre, a prsent, de certainstyPes strncturels de la dfinition, intressants a d'autrespoints de Yue. 01', 101'8 de la construction des systemesdductifs, les dfinitions dites par abstraction sont apparnesassez efficaces (5). De semblables dfinitions sont toujourspossibles si nous avons affaire a. une relation a deuxmembres, symtrique, transitive et rflexive. On peuttoujours, dana ce cas, isoler des classes d'objets dontchacune se distingue en ceei, qu'entre l'un quelconque deses lments et n'importe quel autre, et entre eux sel1le-ment, une relation de ce genTe se pToduit, prcisment.N ous pouvons toujours dterminer alora la, propritcornmune qui est ])ropre aux objets tant en relation decette sorte avec un objet donn. L'galit llnmrique enest un exemple. N ous pouvons done dfinir le nombrecardinal 1) eomme tant la proprit commune proprea tous les ensembles numriquement gaux a. l'ensembledes doigts d'une main donne. La coloration identiqne estun autre exemp1e de cet.te menw relation. N ous pouvonspar consquent dfinir, par eXeluple, la verdure eommctant la proprit COilllnune en propre , tous les objet,saya.nt la meme couleur que le gazon. Etc., Me. (fl).

5. Les dfinitions inductivesOn dfinit frquemment e fa90n inductive, entremltres les symboles des opratiolls mathmatiques, parexemple de l'addition, de la multiplicatioll. Voici Ul lexemple d'ulle semblable dfinition du symbole (le l'adclitiondes nombres naturels. Elle se eompose de deux quivalenccs: 1) ( ~ + O = a; 2) a+s:'u = S(a+x), ou f(, et,;1) sontdes variables parc01uant l'ensemble des nOmbI'CK naturels,(5) eL W. DUBISLAV . b e r die Definition clurch Abstraktion.A rohiv fi .System.atische PhilosorJ}.ie 1.//nd Soziol,oge. t. 32, fase. 1 -2 .(6) Cf. ci-dessus. ehapitrt> XXVI, 4.


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308 LES SYSTEMES DDUOTIFSet SilJI) la meme chose que le suivant de XI), autrementdi t le nombre qui suit immdiatemment le nombre ro dansla srie de tous les nombres naturela rangs en ordrecroissant. Cet ensemble de conditions permet de calculerla Bomme pour tout Q. et tout x. Posona que a est gala 7 et x a 3, par exemple. On a done: 7+ le suivantde 3 = le suivant de (7 +3) = le suivant de (7 + le suivantde 2) = le suivant du suivant de (7 +2 ) = le suivant dusuivant de (7 + le suivant de 1) = le suivant du suivantdu suivant de (7 +1 ) = le suivant du suivant du suivantde (7 + e suivant de O) = le suivant du suivant du suivantdu suivant de (7 +O) = le suivant du suivant du suivantdu suivant de 7 = le suivant du' suivant du suivantde 8 = le suivant du suivant de 9 = le suivant de 10 = 11.Aut,re exemple. Dfinition inductive du signe de multiplication: 1) a x O = O; 2) a xSx = (a x x) +a. En d'autrestermes, dans la premiere partie d'une telle dfinition ondit ce que vaut f de zro, et dans la seconde, on poseque f du suivant de x differe d'une valeur 9 donne de f de x(dans l'exemple prcdent, f tait a + .. , et g, tout simple-ment le suivant; dans le prsent exemple, par contre, f estax .. , et g, est ... +a) (7). La dfinition inductive n'in-dique la voie permettant d'liminer le symbole dfini quedans le cas ou joue l'quivalence 1. Dans l'quivalence 2, cesigne figure dans les deux membres. Trouver une formulegnrale d'limination, quivalente aune dfinition induc-tive donne, prsente des difficults (8). Pa r contra i l estpossible, en utilisant une dfinition inductive, d'liminerle signe dfini du premier membre de l'quiva1ence 2, pou!'chacun des X, au moyen de dmarches rductives succes-sives, tout corrune dans l'exemple prcdent (9).

(7) A.. CHURCH, article cit; K. AJDUKIEWICZ., Logiczne pOd8taWynauczan.W [Les bases logiques de l'enseignemenfi] [tir a. pa.rt del'EncykWpedia Wychowania], Varsovie, 1934, p. 35.(8) Cf. A. MOSTOWSKI, QP. cit., p. 188.(9) Cf. K. A.JDUKIEWICZ, Propedeutyka filozofii [La propdeutiquede la philo8ophie], 3e d., Wroclaw-Va.rsovie, 1948, p. 78.

LEB SYSTEMES DDUOTIFS 3096. Probleme du caractere crateur des dfinitions

Rcemment encore, on discutait avec acharnement surla question de savoir si les dfinitions ont nn caracterecrateur. La querelle portait sur les dfinitions ordinaires,liminatrices. TI s'agissait de savoir s'il n'existe pas descas ou, pour dmont rer dans un systeme donn un thoremene comportant pas le definiendum d'une dfinition donne,i l faut introduire cette dfinition au conra de la dmonstration. Da,us ce cas, les dfinitions auraient l i l l caracterecrateur, puiaque certa,ines d'entre elles seraient indispen-sables a certaines dmonstrations. Aujourd'hui, pourtant,le platean de la balance a tendance apencher dana le senseontraire, et l'on refuse aux dfinitions liminatrices cerole crateur. Ce sont des abrgs on des s y n o n y m e ~ , donten principe on peut toujonrs se passer (10).

(10) Cf. A. MOSTOWSKI, ()p. cit., p. 257 et suiv. Pour ce qui es tdes dfinitions en gnral, consulter W. DUBISLAV, Die Definition,3e d., Leipzig, 1931.

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