C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, SCrie I, p. 123-126, 1997

Probkmes mathematiques de la mkanique/Mathemafical Problems in Mechanics

Homog&Gisation d’un probEme de diffusion en milieu composite avec barrihe h l’interface

kc CANON et Jean-Noel PERNIN

8. c. : Laboratoire de Calcul Scientifique, UMR CNRS 6623

UniversitC de Francbe-Corn& 16 route de Gray, 25030 Besancon CEDEX;

J.-N. P. : Laboratoire de MBcanique Appliqke,

UniversitiS de Franche-Corn& 16, route de Gray, 25030 BesanGon CEDEX.

R6sum6. On s’intkresse B l’homogCn&sation de l’kquation de la diffusion dans un milieu pkriodique composC de deux matkriaux s6parCs par une surface transmettant un flux proportionnel au saut du champ. Cinq types de comportement apparaissent selon les ordres de grandeur cornpa& du facteur de proportionnalitk et de la pkiode. On utilise la convergence a deuxlchelles, notamment son extension rkente aux hypersurfaces periodiques par Neuss-Radu.

Homogenization of difision with interj’acial barrier

Abstract. We consider the homogenization of the &@&on equation in a composite made up of two materials separated by a sur$ace which transmits a flux proportional to the jump of the jield. According to the order of magnitude of the factor of proportionality with respect to the period, jive types of behaviour appear. We use two-scale convergence, especially its recent extension to hypersulfaces by Neuss-Radu.

1. Introduction

Auriault et Ene (voir [2]) ont CtudiC la modklisation du transfert de chaleur dans un milieu composite pkriodique B l’aide de la m&ode des dkveloppements asymptotiques. Le milieu considCrC est composC de deux matkriaux connexes sbpar& par une surface transmettant un flux proportionnel au saut du champ. En supposant le facteur de proportionnalitk de l’ordre de E’, 06 T est un entier relatif, ils ont mis en evidence cinq modkles limites diffkrents. Pernin (voir [7]) retrouve et justifie, par la m&ode de 1’Cnergie de Tartar (voir [3]), les trois derniers modkles de [2]. Dans cette Note, on se propose de calculer g l’aide de la mkthode de convergence ?I deuxkhelles (voir [I], [6] et [5]), tous les comportements macroscopiques possibles selon l’ordre de grandeur a(&) du facteur de proportionnalik! par rapport ti la pCriode E. On trouve trois zones de comportement dtlimit6es par deux comportements seuils obtenus pour li+i a(&)/.~ = 1 et JI_mou(E)& = 1, correspondant aux cinq modkles de [2]. On

utilise la convergence & deuxdchelles pour des sous-vari&& pkiodiques de dimension n - 1 (voir [5]).

Note prksentbe par kvariste SANCHEZ-PALENCIA.

0764~4442/97/03250123 0 Acadhie des SciencesElsevier, Paris 123

t. Canon et J.-N. Pernin

On donne aussi un theorbme de convergence a deuxdchelles pour des fonctions H1 par morceaux, qui est utilise ici pour deriver le modele correspondant a !$c U(E)& = 1. Ce theoreme est un peu plus

precis que les resultats classiques de Allaire (voir [l]), en ceci qu’il permet de manipuler le second terme du developpement asymptotique ul, et non seulement V,ul. La methode de demonstration (voir [4]) est Cgalement differente. Comme dans [7], on se contente, pour simplifier l’expod, du cas stationnaire. L’adaptation a l’equation de la chaleur est immediate.

2. Description du problkme

Le composite est represent6 par le domaine 51 de R”, n > 3. Soient Y = ] - l/2, l/2[n et Yr et Ys deux sous-domaines non vides de Y tels que Y = L1 u y2, Yr O Ys = 0. Pour CL = 1,2, on note R’, l’ensemble des repetitions eY-periodiques de EY, dans R”, puis 0; = R n R;. La front&e de R est dR, I = Yr O Y2 et l?” = $ n at. Quitte a se restreindre a une sow-suite, mes(I” n dR) = 0. On suppose que I et dR sont regulieres, et que 9; et St; sont connexes. On note z E R, y E Y. Les operateurs de derivee sont par rapport a z si aucune indication n’est portee, par rapport a y si indices par y. Pour Q: = 1,2, on note P,” (resp. Pa) le prolongement par 0 de i2: h Cl (resp. de Y, a Y). Soit V” = {uE E L2(R);vf0, E Hl(R;), a = 1,2, wE = 0 sur an}. Pour tout 6 E v”, on note wz = ‘u;oc et sur r’, [TF], = US - VP. On definit de m&me w, et [w] sur {w E L2(Y);wlya E Hi(Y,),a! = l,;,}. On note nz la normale a I’” exdrieure a n;. Enfin, (., .) designe le produit scalaire de R”. Le probleme CtudiC est :

-div (A”,Vu”,) = fi dans flz, (AkVu”,;n”,) = (-l)“+‘u(&)h”[~‘], sur I’“, u’, = 0 sur dR,

pour a! = 1,2, u(e) > 0. Par commodite, on notera souvent gE = Pigf + P,“gz, g = Plgl + P2g2, pour g = A, u; f. La formulation faible est alors :

A;Vu:, VW;) dx + U(E) Le h”[u’]JwE], d#(x) = l fEtfdx, \JTJ” E v”.

On suppose que IAEIcLx (n))n 2 + 1 h&IL- (rz) 5 C, que A” et f” E L2 (fl), convergent a deux-echelles

vers des limites A E (L”(R x Y))“’ et f, que e1/2he converge a deux-Cchelles dans L2 (fl x I’) vers h E L”(R x I), que (A”w,w) 2 c]w12, VW E R”, presque partout dans R, que h” 2 c, que !&n(,1/2h” ILZ(F) = lh(L2(oXr), et que liilg~~Lz(nz) = jga]L2(RxY,), pour g = A!f, et a = 1,2. Ici et dans la suite, c et C designent des constantes gtneriques strictement positives et independantes de E. L’existence d’une unique solution U& E V” a (1) pour tout E assez petit est immediate, et on a :

3. IkZments de convergence a deux-Gchelles

On rappelle d’abord la definition et les proprietes de [5] utilisees dans cette Note : une suite (w’)

de L2 (I’“) converge h deux-khelles dans L2(R x I’) vers w si lim s

s

c-0 l-E ~~‘~w~(x)(p(x, X/E) ds’(x) =

w(zr, y)(p(z, y) dxds(y), Vcp E TD(R; C,-(I)). De toute suite bomee de L2(I’“), on peut extraire ClXr

une sous-suite qui converge au sens ci-dessus. On a aussi le rtsultat analogue au theoreme 1.8 de [l], permettant de passer a la limite dans les produits : soit (w”) une suite de L2(l?“) convergeant a

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Homoghkisation avec barrihre A I’interface

deux-Cchelles vers w. Si li+i I’u~I~z(~~) = 1~1~2 cn Xr), alors, pour toute suite (w’) (de limite 20)

convergeant dans L2 (0 x I’), J

(pwEwE ds’(z) converge vers s

cpvw dz ds(y), Vcp E D(n).

Remarque. - Cette converge& a CtC dCvelopp&e dans [5] poG’:es sous-variCtCs r’ dont chaque composante connexe est isolCe sur une p&iode. Cependant, cette Note, contrairement B [5], considkre uniquement des convergences L2 et les r&ultats ci-dessus s’appliquent.

On s’intkresse 2 p&sent B la convergence des gradients dans V”. Soit C” un recouvrement de R par des cellules EY-pkriodiquement dkduites de EY : C” = Uy;“, oti i = (il,...,in) E Z” est tel

iEIE

que i, croit dans le sens zP croissant pour p E { 1, . . . , n}. Toute fonction de VE est identifite 2 une fonction sur C” via le prolongement par 0. Ensuite, soit (w’) la suite associCe B la solution uE de (1) dCfinie par w’ = E-~(u~ - m’(~~)) - (.z”,mz(~~)), 06 les fonctions z’, me(uE), mi(uE) = (~:d,(UE))p=l,...,n, sur chaque cellule Yt, i E F, centrke en xCf, sont Cgales B : zf = ~-l (z - xf +~/2),

m;(u’) = IYtI-l .I

uE dx, m;,&f) = ~-~(rn;(~) (u’) - mz(~“)). Ici, p(i) dksigne l’opkateur qui Y,C

change i, en i, + 1, avec la convention w$(~,(u~) = 0 si Ypii, fl C’ = 0. Soit (c) la suite dCfinie par <g = EVW~ dans Yt n 02”,, Vi E I’, Q = 1; 2. Introduisons la definition : une suite (.u’) de L*(R”,) converge 2 deux-Cchelles dans L2 (0 x Yo) vers u E L2(R x YJ si (P~u”) converge a deuxdchelles vers P,v au sens de [l].

TH~OR~ME 3.1. - Soit (u”) une suite de V’ ve’rijant les estimations a priori du lemme 2.1 avec u(E) = c, alors il existe u E &(a), u1 E L*(R x Y) avec U: E L2(R;H#1(Y,)), u: = 1,2, et une sous-suite tels que

(i) (w’) converge vers u1 & deux-kchelles duns L2 (0 x Y), ([z) converge vers V,uA & deux-e’chelles duns (L2(R x Y,))“, a = 1,2,

(ii) (u”) converge vers u 6 deux-khelles duns L2(R x Y), (VU”,) converge vers Vu + Vyuk ti deux-khelles duns (L2(R x Yol))“, LY = 1!2, E-~/*[zP], converge vers [IL’] & deux-kchelles dans L2(R x I?).

COROLLAIRE 3.1. - Soit (u’) une suite de V’ satisfaisant les hypothbses du the’or;me 3.1. (i) I1 existe U, E Hi(n), U: E L2(fI;I$(Yol)), a = 1, 2, et v E L2(R X I?) tels que

((@J, wJ,=1,2J convergent 6 deux-khelles vers ((u,,Vu, + Vyui)),=1,2 duns (((L2(fI x

KJ)cu=1,2)1+n> (a(~) ““[u’]~) converge vers ‘u d deux-khelles duns L2 (R x I?). (ii) De plus, si !i20 E -‘a(~) = +oo, onpeut prendre ~1 = 2~2 = U, si iiF ~-‘a(&) = 1, ‘u = [u], si

liio u(E)& = 1, z1 = [21l], si ai_m, Q(E)E = +oo, u1 = PIG: + PZU~ E L2(s1;Hi(Y)).

Le point (i) est classique. Les deux derniers points de (ii) sont une application directe du thkokme 3.1. Les autres s’obtiennent par quelques intkgrations par parties convenables.

4. Modkles

Les modkles homog&n&isCs obtenus par passage B la limite dans (1) avec des choix appropriks de fonctions test, et en utilisant le corollaire 3.1 (voir [4]), sont donn&s par les deux th&or&mes suivants :

TH-~OR~ME 4.1. - (i) ui est don& 6 une fonction de L2 (a) pugs, pour (Y = 1,2, par ui = oa Vu,, oti oa E (L2(R; Ifi(Y, est solution faible de

-div,(A,(V,a, + Id)) = 0 duns Y,,

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i. Canon et J.-N. Pernin

avec pour conditions limites sur r,

(9 (AOI(VYffLY + Id),n,) = 0 si liiOa(&)& = 0,

(ii) (Aa(Vyocr + Id),n,) = (-l)“+‘h[o] si !iToa(&)& = 1,

(iii) [u] = 0, si liiOu(e)E = +c0.

n, dksignant la normale & r exte’rieure iz Y, et Id la matrice identite’ n x n.

THBOR~XME 4.2. - (i) Si !FO E -‘U(E) estjnie, Za suite ((~7, ~5)) de V’ des solutions de (1) converge

h deux-e’chelles dans L’(sZ x YI) x L2(R x Y2) vet-s (~1, ~2) E (IIt(fl soEution faible de

( -div (AzVu,) + (-l)“hH[u] = fH a d ansR,a:=1,2, u,=O surdR!a=1,2,

t(Id + V,o,)A,(Id + V+J,) dy, f,” = .I

fcdy, yet

I .I hH = hds( y) r

si ii&n0 E -la(~) = 1, hH = 0 si liiOe-lu(&) = 0.

(ii) Si liiO E-‘U(E) = +oo, alors ‘~11 = 2~2 = U, oh u est solutionfaible de

I -div(AHVu) = fH dans R, u = 0 sur 6’0,

AH = 2 / a=1 K

t(Id + V,c+L(Id + VyoLy) dy, +p / h[o]t[+%/), r

p = 1 si !i_::u(e)e = 1, p = 0 sinon, fH = s

fdy . Y

On retrouve les cinq modkles de [3]. Le premier correspond B liiO ~-‘a(&) = 0. Le milieu se

comporte comme une superposition en chaque point de deux matkiaux isolCs l’un de l’autre. Le second modble correspond B iiT0 E -‘U(E) = 1. Les probkmes locaux sont d6couplCs. Le milieu se

comporte comme une superposition de deux matkriaux, mais cette fois, couplCs en chaque point par hH. Les trois derniers modgles correspondent A liiO E -‘U(E) = +oo. Le milieu se comporte comme

un matkiau homogkne. Les trois modbles se diffkencient par le probkme local, selon que celui-ci est dCcoupl6, coup16 sur I’ ou que, m&me g l’khelle locale, la diffusion est homogtine.

Note remise le 20 dkcembre 1997, acceptke le 13 janvier 1997.

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