Aula 8

Leinbre que i

Um sub espaial de Viti E um subconjuntoSev tal que i Eves

ii v we S utwesiii ve S JER Ives

Se S SzcV Sao subespagos outaS tSz v.tk yt5a vzESifeuwsobespago de V

Exemploi So um ink SE Cwa we

Sats Hi iure Wai we

5 152 E o Menor subespago de V que couteau S e Sz

Det Sega 5 Sats um subespago de V Seja ve SUma decomposigate de v E dada por

V YtVz Oude YES VzESz

CoidadI Em geral a decomposigai NAT E arnica

Example 1123 Lxigit011231 8 7 03 S way.aeR3lxytZ oa Note que 5,152 1123

Para verisso precisamos mostar que qualquer vetorVelab c c1123 pode Ser esarito como v YtVz Oude

V Est VzC Sz

V ly z ES Xityitz _o x y z s

S v _C y 7,8 17 7

2 1 214,2122 ESz Xz yet 22 0 Xz Yz Zz Vz yzZz YaZz

Logo para escrever ytvz precisamos encontrar yaZ yz zzEtais que

cab c L YaZi y it t gzZz yziZz l Tatya Z Zz Tatya Zz

f'spt Zz C

Zotzz c y.tyz LZ.tk y tyz c a

yz got ate2 2g tatc b yi b.az yz atbtc

Zest Z C Zz Zz E arbitrairio verifique

00 seja.su adecomposigEo de v e dada por ZEO

Caib c azbe cs atbc.sc EYE atb

o

C S E Sz2 A decomposigato de um vetor VERB com v YtVz YES VzESNato E Juice Sa Szi i

se lChi it I I 14 If Ezio 1Por exemplo v 41,1 I l

42 42,0 t 42,312,171I h I

3 Note que Sansz Choi n o verifique

Prod Seja 5 5,1 52 A decomposigato de um vetorVES Como VI V the corn YES CSz e Enrica

s S nSz 03

Dee Supouha que S nSE do e seja vests

Suponha que Verity e v W tWz com fives VzWzE

V D Ca w vz wz

da w wz vz v YES Nsa 4 4

Wz VzC Sah Sz Vz Wz

Supouha que a decomposigao V Ytvz E Ghica

para Todo ve Satsz

Suponha que VE VesanszVto Otv to nSzz oA in a in LunicidadeSz s S D8

Jefe Dizeuros que una Soma de Subespagos Gt SzE una so ta Se sans doNessie Caso escreveuros S para enfatizarque a Soma e dinetaOu seja Denotamos o subespago Satsz por5 Sz quando sans o

Exemplo i Lembre que a trans posta de una

Matriz mxn coma Matriz nxm ride as

linhas sat trocadas pelas Colinas i.e

se Ae f e CMmmexemploAm Amen

at GI Jen mIA'tA L f

Uma matriz nxn I si a se A ATUma Matriz nxn I o i se A AT

Exemphoiy Io g e Simertrica

E of e anti simertrica

S AEMm.nl A At c Mun E subespaso

A AEUm.nl A At Callum E subespago

Exercicio ii Mostre que Ti Umar Mum e

A t TATlinear e que Ihr CT S NLT b

Note quei Umar St if pois se AEllman

A ATAT iz CA Att

S AIi Sh A of Qualguer matriz quadrate pode

Se escrita de maneira Inica Como

go µ n S I i Uma Soma de una matriz simetricae una anti simeitrien

Exeenplo f 423 Tu c V om plano passando pela originF E 1123 vetor normal a Tu

It FE

Dado UE 1123 podemos escoever u w demarreira chicaOude VEIT e WE Erik

v E a projegatortogoneal de u em I

w E a projegatortogonal de u em Luta

Explicitamentei L E o produtoescolar do 1123

we want fna v w Lu n

z htt4 Till 45 112

0135 Para verificar essas foirmulas basta verificar does coisasiVEIT WE Cri Vtw u

Kasi we if multiple de Meu

VEIT basta calcular Cv n e wer que di O

Lu su I n su n 7 LuTrim am

115

Lu T.IT Lu 7 0

Vtw ut n up451 112

Example Seja ICR it Gy z c1123 I xtytz oFali tri n 112 3

Dado U Exigit podemos es Wever

cx.yitl fx yz Z g xt2g Z g xy.gl t

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