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33
Chapitre 4
Electrocinétique des courants continus
I. Le courant électrique et ses caractéristiques
1 Notion de courant électrique
On appelle courant électrique tout déplacement de
charges électriques.
Par convention le sens d'un courant est le sens selon
lequel se déplacent les charges positives, c'est-à-dire le
sens des potentiels décroissants.
On peut classer les courants de la façon suivante :
courant de conduction, courant de convection, courant
de particules dans le vide.
2 Régime permanent, courant continu
Soit A et B deux conducteurs
reliés par un fil métallique.
Lorsque la différence de
potentiel VA-VB est
permanente (ne change pas avec le temps), ceci entraîne
un écoulement permanent des charges à travers le fil de
liaison ; cet écoulement permanent est appelé "courant
continu" ; on dit que l'on a un régime permanent.
34
3 Intensité et densité de courant
Lignes de courant : ce sont les trajectoires de charges
libres.
Tube de courant : c'est l'ensemble des lignes de courants
passant à l'intérieur d'une courbe fermée.
Intensité : soit dQ la quantité d'électricité qui, pendant
un temps dt, traverse une surface S dans un sens donné.
On appelle intensité de courant à travers S la grandeur
dt
dQI .
I représente la charge qui traverse S par unité de temps.
Dans le cas du régime permanent on a Q = I t.
35
Dans le système M.K.S.A, l'intensité I s'exprime en
ampère (A). (A = Cs-1).
Densité de courant : soit un conducteur dans lequel se
déplace un ensemble de porteurs de charge ayant une
vitesse moyenne v . Soit dS un élément de surface du
conducteur, d'orientation quelconque. Le nombre
moyen de charges qui traverse dS par unité de temps
est: dt
dqdi avec dq = dV.
= nq ; n : nombre de porteurs de charges/unité de
volume ; q: charge d'un porteur.
dt.dS.vdS.dt.vdV
d'où dS.jdS.vdi
,
d’où vj est la densité de courant (s’exprime en
A/m²).
Le courant qui traverse une section (S) du conducteur
est donc : )S( dS.jdiI
L'intensité à travers une surface S est le flux du vecteur
densité de courant à travers S.
36
Remarque : l'intensité du courant est la même à travers
toute la section d'un conducteur filiforme ne comportant
pas de dérivation.
II Loi d'Ohm microscopique (ou locale) :
Le champ électrostatique E responsable du mouvement
des charges est lié à la densité de courant j par la loi
d'Ohm locale (ou microscopique): Ej loi d’Ohm
locale
est la conductivité du milieu. Son inverse est la
résistivité. s'exprime en -1.m-1.
dépend du conducteur et de la température.
III Loi de Joule
Pour déplacer une charge q dans un champ E avec une
vitesse moyenne v , dans l'intervalle de temps dt, il
faut fournir l'énergie: dtv.Eqdl.FdW
La puissance vEqdt
dWP (pour une charge),
avec dt.Em
qvd
dt
vdmEqF
37
Pendant un intervalle de temps , m
Eqv
.
Soit n le nombre de charges mobiles par unité de
volume, le nombre total de charges mobiles dans un
élément d'un conducteur de longueur l et de section S
est nlS,
La puissance Eq.Em
qtnlsP (pour plusieurs charges)
Nls : nombre de charges
²
²V
m
t²qnlSP
l
²Vl
SP
avec
m
t²nq (conductivité)
38
R
²V²V
l
SP
1
car
S
lR
(ρ : la résistivité)
Donc ²RIVIR
²VP loi de Joule.
P s'exprime en Watt (1Watt1Joule/seconde),
où encore tR
²Vt²RIVItW en Joules
C'est l'énergie dépensée dans une résistance R sous
forme de chaleur (énergie calorifique).
R est une résistante morte car la seule forme d'énergie
qui apparaît, à son niveau, est calorifique.
IV Générateurs – récepteurs
1 Générateur
Un générateur est un appareil qui transforme une
énergie quelconque en énergie électrique.
Le générateur impose une certaine différence de
potentiel aux bornes d'un circuit. On appelle cette d.d.p.
la force électromotrice (fem) du générateur.
39
VA-VB= +E le sens de I
VA-VB = -E le sens de I
2 Récepteur polarisable
Un récepteur électrique est un dispositif qui consomme
de l'énergie sous deux formes : l'une par effet de Joule,
l'autre sous forme mécanique, chimique, optique…
Un récepteur peut être un moteur électrique ou une cuve
à électrolyte (par exemple). Pour que le récepteur puisse
fonctionner, le circuit doit imposer à ses bornes une
ddp. On appelle cette ddp force contre-électromotrice
(fcem) du récepteur.
Ce type de récepteur est dit "polarisable", car la borne +
est toujours la borne d'entrée du courant (la polarisation
change de sens si le courant s'inverse).
40
VA-VB= +e VA-VB = -e
3 Résistance interne d'un générateur ou d'un récepteur
Si un générateur (ou un récepteur) possède une résistance interne, on traitera le problème en incorporant ladite résistance en série avec l'appareil.
Exemple :
VA – VB = E – rI
VA – VB = e + rI
4 Loi d'Ohm généralisée – Loi de Pouillet
Soit AB un élément d'un conducteur. A représente
l'extrémité par laquelle entre le courant et B l'extrémité
par laquelle sort le courant on a :
41
VA-VB = RI
VA-VB = rI – E
VA-VB = rI + e
On peut regrouper ces trois relations en une relation
algébrique unique :
- désignons par E aussi bien la fem d'un générateur que
la fcem d'un récepteur ; E est algébrique, E>0 pour un
générateur et E<0 pour un récepteur,
- R désigne la résistance totale de l'élément AB du
conducteur.
On a alors dans tous les cas : VA – VB = RI – E.
Dans le cas de plusieurs appareils en série, on peut
écrire :
i ii iBA ERIVV (loi d'Ohm généralisée)
R la somme de toutes les résistances entre A et B.
E la somme des fem (positives) et des fcem
(négatives)
42
Dans le cas d'un circuit fermé (le point A du conducteur
AB est lié au point B),
on a 0VV BA et i i ii ERI (loi de Pouillet)
43
V Etudes des réseaux de conducteurs
1. Définitions
Réseau :
On appelle réseau un circuit électrique ou ensemble de
circuits, c'est à dire un ensemble d'appareils reliés entre
eux par des conducteurs filiformes.
Résistance équivalente :
Soit deux nœuds A et B d'un réseau; on appelle
résistance équivalente du réseau entre A et B la
résistance unique R qui, placée entre A et B, laisse
passer la même intensité I pour la même ddp VA – VB =
RI .
Résistances en série :
VA-VB = R1I+R2I = (R1+R2)I
d’où R = R1 + R2
44
Résistances en parallèle :
21
21
21 RR
RRR
R
1
R
1
R
1
Exemple de réseau :
Nœud : On appelle nœud le point de jonction d'au
moins trois conducteurs (Exemple : A, B, C, D, E, F
sont des nœuds; par contre G n'est pas un nœud).
Branche : On appelle branche toute portion de circuit,
ne comportant aucun nœud, qui relie deux nœuds (les
branches du circuit de l'exemple sont : AD, AC, CD,
EF,…; EG n'est pas une branche car G n'est pas un
nœud).
45
Maille : On appelle maille toute boucle fermée de
branches (dans le cas de l'exemple : ACDA, ABCA,
ABCDA, BEFDCB, EGFE…).
2. Lois de Kirchhoff
Ces lois ont pour but de permettre l'étude complète d'un
circuit c'est à dire de déterminer les ddp aux bornes des
différents appareils, et les courants qui les traversent.
a) Loi des nœuds
La somme des intensité des courants qui convergent
vers un nœud est égal à la somme des intensités des
courants qui en partent.
Le nombre d'équations = nombre de nœuds.
Exemple:
0IIII
ou
IIII
4321
4321
46
b) Loi des mailles
La somme des ddp aux bornes des différents appareils
rencontrés, lorsqu'on parcourt une maille dans un sens
choisi, est nulle.
Considérons une maille ABCDA d'un réseau
quelconque. La loi permet d'écrire:
0)VV()VV()VV()VV( ADDCCBBA
Dans le cas d'une maille contenant des générateurs, des
récepteurs et des résistances, on peut écrire
i ii ii EIR avec les conventions de signes suivantes
:
On adopte, d'une façon arbitraire, un sens de
parcours sur la maille.
Les intensités sont prises avec le signe + pour les
courants qui circulent dans le sens de parcours et
avec – dans le cas contraire.
Les fém et fcém sont affectées du signe du pôle
rencontré le premier dans le sens du parcours.
47
3. Théorème de Thévenin
Soit un réseau constitué de générateurs et de résistances
et soit BAth VVE , la d.d.p entre deux points A et B
du réseau. Introduisons entre A et B une résistance r. le
théorème de Thévenin permet de calculer l'intensité I
qui circule à travers cette résistance r.
Théorème :
Lorsqu'on branche une résistance supplémentaire r
entre deux points A et B d'un réseau, l'intensité I du
courant passant par r est égale à celle débité dans r par
un générateur de fém. Eth, égal à la ddp existant
primitivement entre A et B, et de résistance interne
theq RR égale à celle du réseau primitif entre A et B.
48
éq
th
Rr
EI
avec )VV(E BAth en absente de I (circuit ouvert)
Réq = résistance équivalente du circuit (sans r)
Exemple : Trouver I2 dans le cas du circuit ci-contre.
Solution :
I2 = - I', comme 2eq
th2
2éq
th
RR
EI
RR
E'I
,
d’après Th. de Thévenin
)VV(E BAth en circuit ouvert entre A et B,
31
1232th
RR
)EE(REE
Pour calculer Rth, on court-circuite les générateurs
, donc
49
A.N: R1 = R2 = 10; R3 = 5; E1 = 40V; E2 = 10V
V20Eth , 3
10R th , d'où A
2
3I2
3. Transformation triangle étoile (théorème de Kennely)
On peut remplacer le triangle ABC, constitué des
résistances R1, R2, R3, par l’étoile ABC constituée des
résistances r1, r2, r3.
On montre que :
321
311
RRR
RRr
321
212
RRR
RRr
321
323
RRR
RRr
50
4. Méthode des courants de Maxwell (courants de maille)
Cette méthode consiste à faire un changement de
variables, ce qui permet parfois de simplifier la
résolution des équations de Kirchhoff. Pour cela on fait
les étapes suivantes :
On suppose que les mailles constituent des circuits
indépendants parcourus par des circuits fictifs
qu’on appelle courants de mailles.
On écrit que les courants réels Ik (courants de
branches) sont les sommes algébriques des courants
fictifs ik (courants de mailles).
On écrit les équations aux mailles en utilisant les
courants fictifs ik.
Exemple : Calcul de I2 cette méthode dans le cas de
l’exemple suivant :
51
Les courants de Maxwell i1 et i2 sont liés aux courants
réels I1, I2 et I3 par les relations :
i1 = I3 (branche ACB)
i2 = - I1 (branche ADB)
i1 – i2 = I2 (branche AB)
Equations des mailles :
122122
222123
1
I
21
I
122
2
I
212
I
13
Ei)RR(iR
EiRi)RR(
EiR)i(iR)ABD.m(
E)i(iRiR)ACB.m(
12
23
A.N. R1 = 10; R2 = 10; R3 = 5, E1 = 40V;
E2 = 10V
i1 = -1A et i2 = 2
5 A
A1iI
A2
3iiI
A2
5iI
13
212
21
52
Dans la branche ACB le courant est de 1A dans le sens
BCA, dans la branche ADB, courant de A2
5 dans le
sens ADB, dans la branche BA courant de A2
3.
5. Théorème de superposition
Les équations de Kirchhoff sont linéaires en I et V, elles
vont donc obéir au principe de superpositions.
Considérons deux réseaux de même géométrie, dont les
branches occupant les mêmes positions possèdent les
mêmes résistances. Ces deux réseaux ne différent que
par les valeurs des fém placées dans leurs branches.
Réseau 1
mailles des Loi0²E²IR
nœuds des Loi
ii
iii
I1sortI1ent (1)
53
Réseau 2
0²E²IR
ii
iii
I2sortI2ent (2)
(3) = (1) + (2)
0Ri
Ei
E2iE1
i
Ii
I2iI1ii
I
I2sortI1sort
I
I2entrI1entr
sortentr
Les équations (3) sont celles d’un réseau qui a la même
géométrie que les deux précédents, avec les mêmes
résistances, et où la fém dans chaque branche est la
somme des fém de cette branche dans les deux réseaux
précédents.
Exemple 1 : Calcul de I en utilisant cette méthode.
I = I1 + I2,
avec I1 = E1/(R1+R2+R3) et I2 = E2/(R1+R2+R3).
Donc I = (E1+E2)/(R1+R2+R3).
54
Exemple 2 :
I = I1 - I2,
avec I1 = E1/(R1+R2+R3) et I2 = E2/(R1+R2+R3).
Donc I = (E1- E2)/(R1+R2+R3).
55
6. Théorème de Millmann Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de
tension parfait en série avec une résistance, la tension aux bornes des branches est égale à
la somme des forces électromotrices respectivement divisées par la résistance de la
branche, le tout divisé par la somme des inverses des résistances.
Exemples :
Ex. 1
Ex 2