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I. Les forces usuelles Une force modélise une action exercée sur un système. Elle se représente par un vecteur. Les forces ci-dessous seront utilisées en Terminale S

1. La force d’attraction gravitationnelle

2. Le poids

3. Forces exercées par les fluides

CHAPITRE N°2 PARTIE B TS

MOUVEMENTS DANS UN CHAMP UNIFORME

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4. Forces de contact entre solides

5. La force électrique

Une particule de charge q placée dans un champ électrique

→→→→E subit la force électrique :

→→→→F = q.

→→→→E

RAPPEL : le champ électrostatique crée entre deux armatures métalliques planes P et N séparées d’une distance d, entre lesquelles une tension UPN est

appliquée a pour valeur : E = UPN

d

6. Forces exercée par un fil inextensible

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II. Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur uniforme

1. Lancer du projectile

Un projectile est lancé à un instant choisi comme origine des dates (t=0s) avec une vitesse

→v0 faisant un angle a par rapport à

l’horizontale (angle de tir). L’étude du mouvement du projectile est réduite à celle de son centre d’inertie G. L’étude est réalisée avec les approximations suivantes : - Le champ de pesanteur

→g est

considéré comme uniforme - L’action de l’air (poussée d’Archimède et

frottements) sur le projectile est négligée par rapport à l’effet de son poids.

On parle alors de « chute libre » du projectile

Le projectile est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère cartésien (Oxyz) Le plan (Oxy) est appelé plan de tir : il contient les vecteurs

→v0 et

→g

O est la position initiale du centre de gravité G du projectile Dans ce système d’axe, les coordonnée du vecteur vitesse à t=0s sont :

→v0

vx(t=0)= v0cosαvy(t=0)= v0sinαvz(t=0)= 0

2. Bilan des forces et application de la deuxième loi de newton Le projectile ne subit que son poids

→P = m.

→g , force verticale et dirigée vers le bas, de

valeur constante puisque la masse du solide est constante et g est uniforme. L’application de la deuxième loi de Newton donne :

∑ →

Fext = m×→aG

→P = m×

→aG

m→g = m×

→aG

→→→→g =

→→→→aG

• Remarque : Un projectile soumis uniquement à son poids est en chute libre. L’accélération du centre d’inertie d’un solide en chute libre est égale au vecteur champ de pesanteur (

→a =

→g )

L’accélération, est donc le mouvement du projectile, ne dépendent pas de sa masse : deux projectiles de masses différentes en chute libre ont le même mouvement.

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3. Vecteur accélération →→→→

aG(t) Par projection sur les axes du repère on obtient les coordonnées du vecteur accélération :

→aG

ax=0 ay=-g az=0

• Remarque : Le mouvement vertical est uniformément accéléré car l’accélération verticale est constante.

4. Vecteur vitesse instantané →→→→

vG(t)

Sachant que →a =

d→v

dt, pour obtenir les coordonnée du vecteur vitesse il suffit d’intégrer

les trois coordonnées précédentes par rapport au temps. Par intégration on obtient donc le vecteur

→vG de coordonnées :

→vG

vx=A

vy=-gt+Cvz=B

Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales :

→V0

vx(t=0)= v0cosαvy(t=0)= v0sinαvz(t=0)= 0

d’où

A= v0cosαB= v0sinαC= 0

et →→→→vG

vx= v0cosαααα vy= -gt+ v0sinαααα vz= 0

• Remarque : Le mouvement horizontal est uniforme car la vitesse horizontale est constante.

5. Vecteur position

→→→→

OM(t)

Sachant que →v =

d→OGdt

, pour obtenir les coordonnée du vecteur position il suffit

d’intégrer les trois coordonnées précédentes par rapport au temps. Par intégration on obtient le vecteur

→OG de coordonnées :

→OG

x(t)= V0cosα×t+D

y(t)= -12gt²+v0sinα×t + E

z(t)= F

Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales

→OG0

x(t=0)= 0y(t=0)= 0z(t=0)= 0

d’où D= 0E= 0F= 0

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Les équations horaires du mouvement du centre d’inertie G d’un projectile dans le champ de pesanteur sont donc :

→→→→OG

x(t)= v0cosαααα×t

y(t)= - 12gt²+v0sinαααα×t

z(t)= 0

6. Equation cartésienne de la trajectoire

En exprimant y = f(x) on obtient l’équation de la trajectoire du centre d’inertie d’un projectile, il suffit donc de remplacer le paramètre « t » par son expression en fonction de y.

D’après l’équation horaire sur Ox, on peut écrire : t = x

v0cosα

On reporte alors cette expression dans l’équation horaire selon Oy :

Y(x)=- 12g ×

x

v0cosα2 +v0sinα×

x v0cosα

L’équation du centre d’inertie d’un projectile est :

y(x)=

-g

2v0²cosαααα²x²+ ( )tanαααα x

La trajectoire du centre d’inertie d’un projectile lancé avec une vitesse quelconque est donc une portion de parabole

7. Caractéristique de la trajectoire

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• La flèche On parle de flèche pour la hauteur maximale que peut atteindre le projectile Lorsque le projectile atteint le sommet de sa trajectoire, la vitesse selon l’axe

Oy est nulle, on a donc : vy(ts) = 0 .

vy=-gts+ v0sinα = 0 ⇔ ts= V0sinα

g

En introduisant cette expression de ts dans y(t), il vient :

y(ts)= - 12gts²+v0sinα×ts

y(ts)= - 12g

V0sinα

g

2+v0sinα×

V0sinαg

y(ts)= - 12 (V0sinα)²

g+

(V0sinα)²

g

y(ts)= + 12

(V0sinα)²

g

y(ts) = V0²sinαααα²

2g

• La portée On parle généralement de portée pour la distance horizontale maximale que peut atteindre le projectile Quand elle tombe au sol on a : y(xp)=0

y(yp) =

-g

2v0²cosα²xp²+ ( )tanα xP = 0

y(xp) = xp

-g

2v0²cosα² xp + tanα = 0

y(xp) = xp

-g

2v0²cosα² xp + tanα = 0

�

xp =0 (la balle n’a pas été lancée)-g

2v0²cosα² xp + tanα = 0

�

xp = 0

xp = tanα×2V0²cosα²

g

�

xp = 0

xp = sinαααα×2×V0²×cosαααα×cosα

cosα×g

����

xp = 0

xp = V0²sin2αααα

g

avec 2sinαααα cosαααα = sin2αααα

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III. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme

1. Mise en situation On considère comme système d’étude, une particule ponctuelle de charge q et de masse constante m, qui pénètre à l’instant t = 0s avec une vitesse

→v0 dans un champ

électrostatique uniforme E perpendiculaire aux armatures d’un condensateur plan L’étude s’effectue dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen muni d’un repère cartésien (Oxyz) O est la position initiale de la particule lorsqu’elle rentre dans le champ électrostatique Dans ce système d’axe, les coordonnée du vecteur vitesse à t=0s sont :

→v0

vx(t=0)= v0cosαvy(t=0)= v0sinαvz(t=0)= 0

2. Bilan des forces et application de la deuxième loi de newton La particule subit deux forces : - la force électrique

→F = q.

→E

- son poids →P = m.

→g

Cependant le poids de l’électron est négligeable devant la force électrique qu’il subit, en effet : L’application de la deuxième loi de Newton donne :

∑ →

Fext = m×→aG

→F = m×

→aG

q.→E = m×

→aG

→→→→aG=

qm

→→→→E

• Remarque : Si q>0 alors

→a est de même sens que

→E

Si q<0 alors →a est de sens contraire à

→E

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3. Vecteur accélération →→→→

aG(t) Par projection sur les axes du repère on obtient les coordonnées du vecteur accélération :

→→→→aG

ax=0

ay=- qm

.E

az=0

• Remarque : Le mouvement vertical est uniformément accéléré car l’accélération verticale est constante.

4. Vecteur vitesse instantané →→→→

vG(t)

Sachant que →a =

d→v

dt, pour obtenir les coordonnée du vecteur vitesse il suffit d’intégrer

les trois coordonnées précédentes par rapport au temps. Par intégration on obtient donc le vecteur

→vG de coordonnées :

→vG

vx=A

vy=- q.Em

.t+C

vz=B

Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales :

→V0

vx(t=0)= v0cosαvy(t=0)= v0sinαvz(t=0)= 0

d’où

A= v0cosαB= v0sinαC= 0

et →→→→vG

vx= v0cosαααα

vy= - q.Em

.t+ v0sinαααα

vz= 0

• Remarque : Le mouvement horizontal est uniforme car la vitesse horizontale est constante.

5. Vecteur position

→→→→

OM(t)

Sachant que →v =

d→OGdt

, pour obtenir les coordonnée du vecteur position il suffit

d’intégrer les trois coordonnées précédentes par rapport au temps. Par intégration on obtient le vecteur

→OG de coordonnées :

→OG

x(t)= V0cosα×t+D

y(t)= -12 q.Em

.t²+v0sinα×t + E

z(t)= F

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Les valeurs des constantes sont déterminées par les conditions initiales :

→OG0

x(t=0)= 0y(t=0)= 0z(t=0)= 0

d’où D= 0E= 0F= 0

Les équations horaires du mouvement du centre d’inertie G de la particule dans le champ électrostatique sont donc :

→→→→OG

x(t)= v0cosαααα×t

y(t)= - q.E2m

.t²+v0sinαααα×t

z(t)= 0

6. Equation cartésienne de la trajectoire

En exprimant y = f(x) on obtient l’équation de la trajectoire du centre d’inertie de la particule, il suffit donc de remplacer le paramètre « t » par son expression en fonction de y.

D’après l’équation horaire sur Ox, on peut écrire : t = x

v0cosα

On reporte alors cette expression dans l’équation horaire selon Oy :

Y(x)=- q.E2m

×

x

v0cosα2 +v0sinα×

x v0cosα

L’équation de la trajectoire du centre d’inertie de la particule est :

y(x)=

-q.E

2.m.v0²cosαααα²x²+ ( )tanαααα x

La trajectoire du centre d’inertie d’un projectile lancé avec une vitesse quelconque est donc une portion de parabole

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7. Le canon à électron : activité

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• Calcul de la flèche 2ème méthode :

Lorsque la balle est au plus haut on a aussi dzdy

= 0

y(xs)=

-g

2V0²cosα².xs(t)²+ ( )tanα .x(t)

dydx

= -g

2V0²cosα² × 2xs+ tanα = 0

dydx

= -g

V0²cosα² xs+ tanα = 0

xs = tanα V0²cosα²

g

xs = sinαcosα ×

V0²cosα²

g

xs = V0²sinαcosα

g

xs = V0²sin2α

2g

On remplace dans l’équation suivante :

y(xs)=

-g

2V0²cosα² xs²+ ( )tanα xs

y(xs)= -g

2V0²cosα² ×

V0²sin2α

2g 2+ tanα× V0²sin2α

2g

y(xs)= -g

2V0²cosα² ×

V0²sinαcosα

g 2+ tanα× V0²sin2α

2g

y(xs)= -g

2V0²cosα² ×

V04sinα²cosα²

g² + tanα× V0²sin2α

2g

y(xs)= - V0

2sinα²

2g +

sinαcosα × V0²sinαcosα

g

y(xs)= - V0

2sinα²

2g + V0²sinα²

g

y(xs)= V0

2sinαααα²

2g