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4.3 Le mouvement d’un projectile
Comme nous l’avons vu précédemment, certaines personnes supposaient que le mouvement d’un projectile avait la forme suivante.
On pensait que la force interne de l’objet s’épuisait peu à peu. Même Newton au début pensait de cette façon.
2
4.3 Le mouvement d’un projectile
On sait aujourd’hui qu’en absence de la résistance de l’air, que le projectile est uniquement soumis à la force gravitationnelle vers le bas.
La trajectoire du projectile est donc de la forme parabolique suivante
x
y
Observons les caractéristiques importantes de ce mouvement avec l’animation sur le site de Benson
F
v
3
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
- Un mouvement horizontal à vitesse constante
Fg
vx
x
vx
vx
vx
vx
4
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
- Un mouvement vertical dû à la force gravitationnelle vers le bas
Fg
x
vy
vy =0vy
vy
vy
5
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
C’est Galilée qui, après quelques années, comprit un des premiers, l’importance de voir le mouvement du projectile comme résultant deux mouvements perpendiculaires indépendants
- Un mouvement horizontal à vitesse constante
- Un mouvement vertical dû à la force gravitationnelle vers le bas
Fg
vx
x
6
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
L’étude de mouvement se fera donc avec
- les équations du m.r.u selon l’axe des x.
- les équations du m.r.u.a selon l’axe des y
Fg
7
4.3 Le mouvement d’un projectile
yLes équations de la cinématique dont nous aurons besoin pour répondre aux questions et pour résoudre les problèmes du mouvement d’un projectile sont les suivantes:
Position selon l’axe des x avec xo =o tvtx oxf )(
Position selon l’axe des y2
2
1)( tatvyty goyof
D’abord, les deux équations paramétriques x(t) et y(t)Paramètre : temps ( t )
tavtv goyfy )(
)(222ofg yyavv
oyfy
Ensuite les équations
pour les vitesses
Vox =cte
8
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Quels types de questions allez-vous rencontrer?
Déterminer la hauteur maximale?
ymax
9
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
Déterminer la portée R?
La vitesse de retour au sol ?
L’angle de lancement pour avoir la position en x maximale?
Le temps pour revenir au sol ?
R x
10
4.3 Le mouvement d’un projectile
y
La position maximale en x ?
L’angle de lancement pour avoir la position en x maximale?
Le temps pour revenir au sol ?
Déterminer le déplacement maximal?
xmax
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4.3 Le mouvement d’un projectile
Lisez attentivement les exemples 4.1 à 4.5
Exemple: Lors d’une partie de base-ball, vous frappez la balle à 25 m/s à une hauteur de 1,0 m selon une angle de 35o au dessus de l’horizontale.
a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle?
J’illustre la situation :
y
x
12
4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
x
ymax
Problème : Je cherche le y (max) ? Autrement dit « y » lorsque vy = 0
Je connais Xo =0 yo = 1,0 m vo = 25 m/s = 35o
vo
Solution possible : )(222ogo yyavv
yfy
La position y est maximale lorsque la vitesse en y est nulle.
J’utilise
13
4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
x
ymax
Solution possible : )(222ogo yyavv
yfy
)(2)sin(0 2
ogoo yyav
2)sin()(2 ooog vyya
0yvf
vyo
J’utilise
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4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
x
ymax
Solution possible :2)sin()(2 ooog vyya
g
ooo a
vyy
2
)sin( 2
81,92
)35sin25( 2
oyy
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4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
x
ymax
Solution possible :
81,92
)35sin25( 2
oyy
48,10 oyy m 48,11y
Résultat probable :
J’obtiens pour la hauteur maximale atteinte par la balle une valeur de 11,5 m
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4.3 Le mouvement d’un projectile
B) Quelle est la vitesse de la balle lorsqu’elle atteint la hauteur maximale? Quelle est alors son accélération?
J’Illustre la situation :
y
x
Problème : Je cherche v et ag à la hauteur maximale
Je connais Xo =0 yo = 1,0 m vo = 25 m/s o = 35o
17
4.3 Le mouvement d’un projectile
Solution possible: L’accélération ne change pas ag = 9,81 m/s2
J’utilise pour la vitesse, nous avons vy = 0 et vx = vo coso
48,2035cos25cos 00 vvxRésultat probable : m/s 5,20 iv
J’obtiens à la hauteur maximale une vitesse
Et l’accélération est donnée par2m/s 81,9 ja
Situation :y
x
B)
18
4.3 Le mouvement d’un projectile
C) Déterminer la position en xf de la balle lorsque y=yo
Problème: Je cherche xf
Je connais Xo =0 y= yo = 1,0 m vo = 25 m/s o = 35o
Situation :y
xxf
19
4.3 Le mouvement d’un projectile
Trouvons d’abord le temps pour que of yy
Solution possible tvx xof
t=0
g
o
g
yo
a
v
a
vt 0sin22
et
J’utilise
2
2
1tatvyy gyoo
ttavyy gyoo )2
1(0
J’utilise
Deux possibilités 0 t 0 )2
1( tav gyo
20
4.3 Le mouvement d’un projectile
La position finale xf est donnée par
tvx of 0cos
Situation :y
xxf
Avec
g
o
a
vt 0sin2
g
oof a
vvx
sin2cos 0
0
t = 2 fois le temps de montée
21
4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
xxf
g
oof a
vvx
sin2cos 0
0g
f a
vx 00
20 sincos2
87,5981,9
35sin35cos252 2
fx
Résultat probable : J’obtiens une position finale de 59,9 m
22
4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
xXmax
Attention, pour trouver « x max » la position où la balle touche le sol, il faut utiliser :
c)
tvx of 0cos
Et 2
2
1tatvyy goyof
On trouve le temps pour lequel y = 0,
On obtient:
t1= - 0,0681 s et
t2 =2,99 s finalement
xmax = 62,6 mPortée horizontale
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4.3 Le mouvement d’un projectile
y
xR
ga
vR 00
2
0 sincos2
ga
vR 0
2
0 2sin
00 sincos22sin o
Benson écrit , lorsque yf = yo , la portée R de la façon suivante :
c)
Attention : Il faut toujours partir des équations de base.
Au lieu de
puisque
Dans la situation suivante, partant du sol : botté
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4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
xRmax
ga
vR 0
2
0 2sin
c)
Lors d’un botté, pour quel angle la portée R est-elle maximale?
Par conséquent R est maximum lorsque o = 45o
R est maximum lorsque sin 2
Autrement dit lorsque 2900
45o
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4.3 Le mouvement d’un projectile
D) À quelle vitesse devez-vous frapper la balle pour réaliser un circuit par-dessus la clôture de 12 m de hauteur du champ gauche située à une distance de 100 m du marbre?
J’illustre la situation :
y
x
Problème : Je cherche vo pour faire un circuit
Je connais Xo =0 x= 100 m yo = 1,0 m y = 12 m o = 35o
26
4.3 Le mouvement d’un projectile
Situation :y
x
Problème : Je cherche vo pour faire un circuit
vo
Je connais Xo =0 x= 100 m yo = 1,0 m y = 12 m o = 35o
100 m
Solution possible :
J’utilise
2
2
1tatvyy gyoo
tvx xo
27
4.3 Le mouvement d’un projectile
2)(2
1
xog
xoyoo v
xa
v
xvyy
Solution possible :
J’utilise
2
2
1tatvyy gyoo
tvx xo
xov
xt
Deux équations deux inconnues
2
2
1tatvyy gyoo
28
4.3 Le mouvement d’un projectile
2)cos
(2
1
cossin
oog
ooooo v
xa
v
xvyy
Solution possible :
J’utilise
ooxo vv cosooyo vv sin
2)(2
1
xog
xoyoo v
xa
v
xvyy
29
4.3 Le mouvement d’un projectile
2)cos
(2
1
cossin
oog
ooooo v
xa
v
xvyy
2
2
)cos(2
1tan)(
oogoov
xaxyxy
On obtient l’équation de la trajectoire y(x)
x
y
yo
vo
yf
30
4.3 Le mouvement d’un projectile
2
2
)cos(2
1tan)(
oogoov
xaxyxy
On obtient l’équation de la trajectoire y(x)
22
2
)35(cos)(
)100(81,9
2
135tan100112
o
o
v
2
4
)(
10312,770112
ov
x
y
yo
vo
yf
31
4.3 Le mouvement d’un projectile
2
4
)(
10312,770112
ov
2
4
)(
10312,759
ov
42 10312,7)(59 ov
m/s 2,3559
10312,7 4
ov
Résultat probable : Pour réussir un circuit, j’obtiens une vitesse initiale de 35,2 m/s
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4.3 Le mouvement d’un projectile
Exemple Hyperphysics
Résumé Équations paramétriques
Équations de la vitesse
Équation de la trajectoire
Mechanics, velocity and acceleration, trajectories, general trajectory