I Les nombres Complexes 5 - Fabien PUCCIfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2018/11/2013_Cours_Analyse_co… · I LES NOMBRES COMPLEXES Module et Argument 1 R i iR O b x M(z) y −−→

SOMMAIRE

I Les nombres Complexes 5

I Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.2 Module et Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2 Ouverts et Fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.3 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III Les fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.2 Les grands théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV.1 Ensembles connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV.2 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21IV.3 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22IV.4 Ouverts étoilés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

V Suites et Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28V.1 Convergence d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28V.2 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29V.3 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

VI Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33VII Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35VIII Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35IX Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35X Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II Fonctions holomorphes 47

I Fonctions complexes d’une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.1 Isomorphisme entre R2 et C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.2 Un premier exemple : f(z) = z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Fonctions holomorphes, C-différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.2 Dérivée complexe et composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III R-différentiabilité et Cdifférentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.1 R-linéarité et C-linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.2 Applications C-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.4 Comportement local d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . 62

1

.0 SOMMAIRE SOMMAIRE

III.5 Opérateurs dérivées partielles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63IV Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

IV.1 Un exemple : Charybde et Scylla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV.2 Un peu d’électromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

V Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VI.1 Topologie et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72VI.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73VI.3 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IIIFonctions analytiques 83

I Séries Entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84I.1 Disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84I.2 Détermination pratique du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . 87I.3 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88I.4 Holomorphie de la somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . 91

II Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93II.1 Un exemple pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93II.2 Holomorphie des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95II.3 Exemples de fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III Conséquences de l’analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102III.1 Principes des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102III.2 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105III.3 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.1 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.2 Équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.3 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

I Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112I.1 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

IV L’Exponentielle 121

I L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121I.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121I.2 L’exponentielle réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

II Cosinus et Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127II.1 Trigonométrie réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127II.2 Trigonométrie Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129II.3 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129II.4 Quelques commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133II.5 Le nombreπ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

III Retour sur les fonctions circulaires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136III.1 Relations autour du cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 137III.2 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

IV Fonctions tangentes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138IV.1 Tangente et Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138IV.2 Tangente et Argument tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 140

V Vers le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142V.1 Détermination de l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143V.2 Le logarithme réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145V.3 Détermination principale du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149V.4 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2 - L3 - Analyse Complexe Fabien PUCCI

SOMMAIRE SOMMAIRE

V La théorie de Cauchy 159I Chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

I.1 Classe de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160I.2 Opérations sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162I.3 Exemples de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

II Intégration le long de chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163II.1 Intégrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164II.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170II.3 Le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

III Indice d’un lacet par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181III.1 Indice et composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181III.2 Formule intégrale de Cauchy avec indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

IV Théorème de Cauchy homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185IV.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186IV.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189IV.3 Simple connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe . . . . . . . . . 196

VI Propriétés des fonctions holomorphes 199I Les Conséquences du théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

I.1 Analyticité des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199I.2 L’équivalence analytique-holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

II Comportement local et prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204II.1 Prolongement holomorphe et factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204II.2 Conséquences de la régularité des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . 206II.3 Comportement au voisinage d’une singularité . . . . . . . . . . . . . . . . 207II.4 Le théorème de l’application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

III Conséquences de la formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209III.1 Estimées de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209III.2 Suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210III.3 Le théorème de Liouville est ses applications . . . . . . . . . . . . . . . . 211III.4 La formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212III.5 Unicité de la solution dans un problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . 213

VIISingularités des fonctions holomorphes - Théorème des résidus 215I Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

I.1 Comportement au voisinage d’une singularité . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Fabien PUCCI L3 - Analyse Complexe - 3

.0 SOMMAIRE SOMMAIRE


CHAPITRE I

LES NOMBRES COMPLEXES

SommaireI Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

III Les fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

V Suites et Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

VI Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

VII Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

VIII Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

IX Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

X Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

L’ensemble N = 1, 2, 3, . . . des entiers naturels est fermé sous l’addition m+ n et lamultiplication mn mais pour pouvoir résoudre pour x toute équation du type

x+m = n, m, n ∈ N,

il faut passer aux entiers relatifs Z = 0,±1,±2, . . ..Et pour être capable de résoudre toute équation de la forme

px+ q = 0, p, q ∈ Z,

il faut aller chercher les nombres rationnels Q =

p

q/ p, q ∈ Z, q 6= 0

. Ce dernier en-

semble est fermé sous les quatre opérations de l’arithmétique mais on ne peut y résoudrepour x toute équation du type

x2 = a, a ∈ Q.

Le corps, R, des nombres réels permet de résoudre certaines de ces équations maispas toutes. Cet ensemble, muni de la valeur absolue | |, est un espace métrique qui est,de plus, complet au sens où toute suite (un)n∈N qui satisfait la condition de Cauchy

limm,n→+∞

|xm − xn| = 0 y est convergente mais on ne peut par exemple y obtenir une

solution de l’équationx2 + 1 = 0.

Il faut pour cela construire le corps des nombres complexes C.

5

I.2 I. Propriétés algébriques I LES NOMBRES COMPLEXES

I Propriétés algébriques

I.1 Structure

On appelle ensemble des nombres complexes noté C, l’ensemble des couplesz = (x, y) de R2 muni des lois :

• z + z′ = (x+ x′, y + y′),

• zz′ = (xx′ − yy′, xy′ + x′y),

pour tous z = (x, y) et z′ = (x′, y′) de C.

Définition I I.1.1.

⋄ Muni de ces deux lois, C est un corps commutatif : 0 = (0, 0) est l’élément neutrepour l’addition, 1 = (1, 0) est l’élément neutre pour la multiplication et l’inversemultiplicatif de (x, y) 6= (0, 0) est

(

x

x2 + y2,

−yx2 + y2

)

.

⋄ En identifiant (x, 0) ∈ R2 avec x ∈ R et en posant i = (0, 1),

C = z / z = x+ iy avec x, y ∈ R et i2 = −1.

On calcule donc avec les nombres complexes comme avec les nombres réels en rem-plaçant partout i2 par −1.

⋄ De plus, l’application injective j : R 7−→ C

x (x, 0)plonge R dans C et permet de

voir C comme un R-ev de dimension 2 dont une base est (1, i).

⋄ Le nombre réel x est la partie réelle de z, le nombre réel y sa partie imaginaire,

x = Re z, y = Imz.

⋄ Interprétation géométrique : On peut représenter C comme le plan (xOy) munid’une base orthonormée où 1 est le premier vecteur de base et i le second.A chaque nombre complexe z = (x, y) on peut associer le point M de coordonnées(x, y). On dit alors que z est l’affixe du point M .

I.2 Module et Argument⋄ Le nombre complexe

z = x− iy

est le conjugué de z. Pour tous nombres complexes z1 et z2,

z1 + z2 = z1 + z2 et z1z2 = z1z2.


I LES NOMBRES COMPLEXES Module et Argument

1 R

i

iR

Ob

x

M(z)y

−−→OM

Figure I.1.1 – Le plan complexe

⋄ On a les formules évidentes mais bien utiles :

Re z =z + z

2et Imz =

z − z

2i.

Donc, en particulier :

– Un nombre complexe z est réel si et seulement si z = z.

– Un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.

⋄ Interprétation géométrique : Le point d’affixe z est le symétrique du pointd’affixe z par rapport à l’axe réel.

O

bM(z)

b

|z|

− arg z

M(z)

Figure I.2.2 – Conjugué d’un nombre complexe

⋄ Le nombre positif|z| =

√

x2 + y2

est le module de z. Pour tous nombres complexes z1 et z2,

|z1z2| = |z1||z2|,∣∣∣∣

z1

z2

∣∣∣∣ =

|z1||z2| , z2 6= 0 (I.2.1)

et |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|,avec égalité si et seulement si z2 est un multiple réel de z1.


II.0 Module et Argument I LES NOMBRES COMPLEXES

⋄ De (I.2.1), on déduit que l’ensemble des nombres complexes de module 1 est unsous-groupe multiplicatif de C. On note

U = z ∈ C / |z| = 1.

⋄ Interprétation géométrique : Si M est le point d’affixe z, |z| = ‖−−→OM‖.

⋄ On remarque que

zz = |z|2 et1z

=z

|z|2 .

⋄ Les nombres complexes admettent une forme polaire. Si z 6= 0, on peut écrire

z = r(cos θ + i sin θ)

= reiθ (Ce n’est ici qu’une simple définition pratique).

où le nombre r = |z| est le module de z et l’angle

θ = arg z =

arcsiny

|z| si x > 0,

π − arcsiny

|z| si x 6 0, y > 0,

−π − arcsiny

|z| si x 6 0, y 6 0

1 (I.2.2)

est son argument (principal). Par définition on a

−π 6 arg z < π

et l’ensemble arg z + 2πZ est l’ensemble des arguments du nombre complexe z.

En d’autres termes la fonction θ 7−→ eiθ n’est pas une bijection de R sur le cercleunité : on ne peut donc en définir un inverse continu sur tout ce dit cercle.

La fonction argument définie ici n’est continue que sur C privé de la demi-droiteR−

2. Nous reviendrons sur ce problème très important de la définition de l’argumentlorsque nous essaierons 3 de définir la fonction logarithme complexe.

L’argument est l’angle formé par la demi-droite réelle R+ et la demi-droite reliantl’origine au point M(z). Le nombre 0 n’a pas d’argument et pour tous z1, z2 ∈ C∗,on a

arg z1z2 ≡ arg z1 + arg z2 (2π).

Cette représentation des nombres complexes permet une interprétation géométriquedu produit. à l’aide des identités trigonométriques réelles connues. Ainsi, la multipli-cation de deux nombres complexes multiplie les modules et additionne les arguments.

⋄ Pour tout n ∈ Z et t ∈ R, on démontre par récurrence la relation de Moivre :

(cos t+ i sin t)n = cosnt+ i sin nt.

1. La fonction sinus est continue et strictement croissante sur]

−π

2,π

2

[

. Elle admet donc une fonction

réciproque strictement croissante

arcsin : ] − 1, 1[7−→]

−π

2,

π

2

[

.

Ces fonctions seront définies rigoureusement en III.2 page 1372. Un tel domaine est aussi appelé une coupure de C.3. et nous réussirons !


I LES NOMBRES COMPLEXES II. Propriétés topologiques

O

M(z1)|z1|

θ1

M(z2)

|z2|

θ2

M(z1z2)

|z1z2|

θ1 + θ2

Figure I.2.3 – Interprétation géométrique du produit de deux nombrescomplexes

II Propriétés topologiquesMuni de la norme z 7−→ |z|, C est un C-espace vectoriel normé. En particulier, quels

que soient z1, z2 et z3,|z3 − z1| 6 |z3 − z2| + |z2 − z1|.

O

z1

z2

z3

|z2 − z1|

|z3 − z1|

|z3 − z2|

Figure II.0.4 – Inégalité triangulaire : |z3 − z1| 6 |z3 − z2| + |z2 − z1|

Cette norme permet de définir une distance sur le corps C :

d(z, z′) = |z − z′|, (II.0.3)

qui n’est autre que la distance euclidienne ‖ ‖ dans le plan R2.


II.1 Suites I LES NOMBRES COMPLEXES

II.1 Suites⋄ Une suite (zn)n∈N de nombres complexes converge vers 0 si lim

n→+∞|zn| = 0 c’est-à-dire

∀ ε ∈ R∗+, ∃n0(ε) > 0 / n > n0 =⇒ |zn| 6 ε.

On note limn→+∞

zn = 0.

⋄ Une suite (zn)n∈N de nombres complexes converge vers un nombre complexe z si(z − zn)n∈N converge vers 0 c’est-à-dire si

limn→+∞

|zn − z| = 0.

On note limn→+∞

zn = z.

⋄ En vertu des inégalités sup | Re z|, | Imz| 6 |z| 6 | Re z| + | Imz|, on a

limn→+∞

zn = z si et seulement si(

limn→+∞

Re(zn) = Re z et limn→+∞

Im(zn) = Imz)

.

O

bcz

|z|

bcRez

bcImzsup (| Re z|, | Imz| )

| Re z| + | Imz|

Figure II.1.5 – Encadrement de |z|

En conséquence, les règles de calcul sur les réels concernant la limite d’une somme,d’une différence, d’un produit ou d’un quotient restent valables.

⋄ Le plan achevé C s’obtient à partir du plan complexe C par adjonction d’un point« à l’infini », noté ∞, et défini par :

C = C ∪ ∞.

zn −−−−→n→+∞

∞ ⇐⇒ |zn| −−−−→n→+∞

+∞.

Ainsi,

zn −−−−→n→+∞

∞ si et seulement si1zn

−−−−→n→+∞

0.

zn −−−−→n→+∞

∞ et wn −−−−→n→+∞

a implique zn + wn −−−−→n→+∞

∞.

zn −−−−→n→+∞

∞ et wn −−−−→n→+∞

a 6= 0 implique znwn −−−−→n→+∞

∞.


I LES NOMBRES COMPLEXES Ouverts et Fermés

⋄ Toute suite de points de C contient donc une suite extraite convergeant vers unpoint de C. 4

⋄ De plus, muni de la distance 5 définie en (II.0.3),(

C, | |)

est un espace métriquecomplet, c’est-à-dire que le critère de Cauchy est valide :

(zn)n∈N converge (dans C) si et seulement si limm,n→+∞

|zm − zn| = 0.

II.2 Ouverts et Fermés

Un ensemble F ⊂ C est fermé si la limite de toute suite convergente (zn)n∈N depoints de F est dans F .

Définition I II.2.1 (Fermé).

Exemples:

• Un disque fermé D(a, r) = z ∈ C / |z − a| 6 r est fermé.

• Un demi-plan fermé z ∈ C / az + az > 0 est fermé.

b

ab

ab

a

r b

O

a

a

az+ az

= 0

az + az > 0

Figure II.2.6 – Disque et Demi-plan du plan complexe

• Toute intersection et toute réunion finie d’ensembles fermés sont des ensemblesfermés.

D’une manière générale,

Soit A une partie de C. Les points de E qui sont limites d’une suite de points deA sont dits adhérents à A et leur ensemble, noté A, est appelé l’adhérence de A.

Définition I II.2.2 (Adhérence d’une partie).

On verra en (I II.2.7), une caractérisation plus précise de l’adhérence d’une partie.

Exemple:L’adhérence d’un disque ouvert de centre a et de rayon r est le disque fermé.Ci-dessous, une conséquence importante de la complétude de C :

4. Par construction C est compact.5. notée encore | |


II.2 Ouverts et Fermés I LES NOMBRES COMPLEXES

Si (Fn)ninN est une suite décroissante pour l’inclusion de fermés non vides de C

telle que limn→+∞

diam(Fn) = 0 alors il existe un z0 ∈ C tel que

⋂

n∈N

Fn = z0.

Théorème I II.2.3.

Preuve: Notons Γ =⋂

n∈N

Fn. Par la décroissance de la suite des diamètres, Γ est soit vide, soit

réduite à un point. Montrons qu’elle est non vide.Les Fn étant non vides, choisissons pour tout n ∈ N, un point zn ∈ Fn.

Comme limn→+∞

diam(Fn) = 0, la suite (zn)n∈N est de Cauchy dans C complet donc converge.

Comme les Fp sont fermés pour tout p ∈ N et que zn ∈ Fp dès que n > p, la limite z0 de(zn)n∈N appartient à Fp pour tout p, donc à Γ. Ainsi Γ 6= ∅.

Ce théorème sera la clé de voûte de la démonstration du théorème V II.3.13 de Cauchy-Goursat page 174.

Un ensemble U ⊂ C est ouvert si son complémentaire U c = C \ U est fermé.

Définition I II.2.4 (Ouvert).

Exemples:

• Un disque ouvert D(a, r) = z ∈ C / |z − a| < r est ouvert.

• Un demi-plan ouvert z ∈ C / az + az < 0 est ouvert.

• Toute réunion et toute intersection finie d’ensembles ouverts sont des ensemblesouverts.

Soit U ⊂ C. Alors U est ouvert si et seulement si pour tout z0 ∈ U , il existe unr > 0 tel que D(z0, r) ⊂ U . 6

Proposition I II.2.5.

Preuve: La condition est nécessaire. Si elle n’était pas satisfaite c’est-à-dire

∀ n ∈ N∗, ∃zn ∈ Uc / zn ∈ D(

z0,1n

)

.

On pourrait trouver une suite (zn)n∈N d’éléments de Uc convergeant vers z0. Or, U ouvertsuppose Uc fermé c’est-à-dire z0 ∈ Uc ce qui est absurde.

La condition est suffisante. Soit (zn)n∈N une suite de points de Uc qui converge vers un pointz. Si z ∈ U alors il existe un petit disque centré en z inclus dans U ne contenant que des pointsde U et la suite ne peut donc converger vers z. Ce-dernier est donc dans Uc qui est donc fermé.Autrement dit, U est ouvert.

6. On dit plus couramment que U est un ouvert si et seulement si il est voisin de tous ses points.


I LES NOMBRES COMPLEXES Ouverts et Fermés

Soit z0 un point de C.Une partie de C est appelée un voisinage (ouvert) de z0 si et seulement si il contientun ouvert contenant z0. 7

On note souvent V(z0) l’ensemble des voisinages de z0.Une partie de C est appelé un voisinage de l’infini si et seulement si son complé-mentaire est borné.

Définition I II.2.6 (Voisinages).

Exemples:

• Un ouvert est voisinage de chacun de ses points d’après I II.2.5. 8

• Une droite ou un segment n’est voisinage d’aucun de ses points dans C. 9

• A = z ∈ C / |z| > 1 est un voisinage de l’infini car son complémentaire dans C

est le disque fermé D(0, 1), qui est borné.

• Une droite (∆) n’est pas un voisinage de l’infini car son complémentaire dans C

n’est pas borné.

A 6∈ V(∞)

A 6∈ V(∞)

A 6∈ V(∞) A ∈ V(∞)

Figure II.2.7 – Voisinages de l’infini

La notion de point adhérent sera un outil très utile par la suite ; aussi en voici diversescaractérisations.

Soit A ⊂ C. Pour tout z ∈ C, on a les propriétés équivalentes suivantes :

(i) Il existe une suite (zn)n∈N de points de A telle que z = limn→+∞

zn.

(ii) Tout fermé F contenant A contient z.

(iii) Pour tout ouvert U contenant z, on a U ∩ A 6= ∅.

Proposition I II.2.7 (Caractérisation de l’adhérence d’une partie).

7. La définition est analogue pour les voisinages fermés.8. Ici, la définition se mord un peu la queue.9. Alors qu’ils le sont dans R. Il est difficile de tracé un disque (de rayon non nul) sur une droite sans

déborder !


II.3 Compacité I LES NOMBRES COMPLEXES

L’assertion (i) exprime que z ∈ A tandis que l’assertion (ii) exprime que l’adhérenced’une partie A est le plus petit fermé contenant A.Preuve:

(i) ⇒ (ii) : Comme F est fermé, z ∈ F .

(ii) ⇒ (iii) : Soit U un ouvert contenant z. Si U ∩ A = ∅, le fermé F = C \ U contient A mais z 6∈ Fce qui contredit (ii).

(iii) ⇒ (i) : Pour tout entier n ∈ N, le disque ouvert D(

z,1

n + 1

)

contient z donc elle intersecte A et

on construit ainsi une suite (zn)n∈N d’éléments de A tels que ∀n ∈ N, zn ∈ D(

z,1

n + 1

)

∩A

c’est-à-dire convergente vers z.

Soient A ⊂ C et a ∈ C. On dit que a est un point d’accumulation de A si etseulement si tout voisinage de a rencontre A \ a.Un point de A qui n’est pas un point d’accumulation est dit isolé dans A.

Définition I II.2.8 (Point d’accumulation).

II.3 CompacitéUn ensemble E ⊂ C est dit borné s’il existe r > 0 tel que E ⊂ D(0, r).

Un ensemble E de C est dit compact si et seulement si il est à la fois fermé etborné.

Définition I II.3.9 (Compact).

Soit E ⊂ C. Alors E est compact si et seulement si de toute suite (zn)n∈N de pointsde E on peut extraire une sous-suite

(

zϕ(n)

)

n∈Nqui converge dans E.

Théorème I II.3.10 (Bolzano-Weierstrass).

Preuve: La condition est nécessaire. Pour éviter des longueurs inutiles ici, on se ramène au casréel où le théorème (I II.3.10) a déjà été démontré les années précédentes. Comme E est borné,toute suite (zn)n∈N de E l’est aussi donc aussi les suites réelles définies par ses parties réelles etimaginaires. On peut donc extraire une sous-suite convergente de chacune d’elle et former unesous-suite

(zϕ(n)

)

n∈Nconvergente vers un élément nécessairement dans E fermé.

Réciproquement, si (zn)n∈N est suite d’éléments de E convergente vers un élément z alorstoute sous-suite de (zn)n∈N converge vers z et z ∈ E qui est donc fermé. De plus, si E n’étaitpas borné on pourrait construire une suite (zn)n∈N d’éléments de E vérifiant, par exemple,|zn+1| > |zn|+1 qui contredirait l’hypothèse comme quoi on peut extraire une sous-suite conver-gente de (zn)n∈N qui serait nécessairement bornée.


I LES NOMBRES COMPLEXES Compacité

Soit E ⊂ C. Alors E est compact si et seulement si tout recouvrement de E pardes ensembles ouverts

(

Oi

)

i∈Icontient un sous-recouvrement fini. 10

Théorème I II.3.11 (Heine-Borel-Lebesgue).

Preuve: La condition est nécessaire. Considérons d’abord le cas du carré E = [−r, r] × [−r, r]de côté 2r . S’il existe une famille d’ensembles ouverts

(Oi

)

i∈Irecouvrant E mais dont aucune

sous-famille finie ne recouvre E, l’un des quatre carrés de côté r, [−r, 0] × [−r, 0], [−r, 0] × [0, r],[0, r]× [−r, 0] et [0, r]× [0, r] ne peut pas être recouvert par une sous-famille finie. Par récurrence,on construit ainsi une suite décroissante

(Kn)

n∈Nde carrés emboîtés de côté

r

2nqui ne peuvent

pas être recouverts par une sous-famille finie de(Oi

)

i∈I.

Pour tout n ∈ N, Kn 6= ∅ donc ∀ n ∈ N, ∃zn ∈ Kn. Comme limn→+∞

r

2n= 0, la suite (zn)n∈N

est de Cauchy dans C complet donc converge vers un élément z ∈ E et appartenant à tous lesKn (fermés). Il existe donc un ouvert Oiz c’est-à-dire un (petit) recouvrement fini contenant zet tous les carrés Kn pour n assez grand, en contradiction avec leur définition.

K K1

K2

K3

E

bc z0

bc z1

bc z2

bc z3

bc z

Figure II.3.8 – Propriété de Borel-Lebesgue

Dans le cas général, E est compact donc borné donc contenu dans un carré de la forme[−r, r] × [−r, r] avec r > 0 dont

(Oi)

i∈I∪ Ec est un recouvrement ouvert. On peut donc en

extraire un sous-recouvrement fini qui recouvre évidemment E.

La condition est suffisante. E ⊂⋃

n∈N

D(0, n), recouvrement de E par des ouverts dont on

peut extraire un recouvrement fini. E est alors contenu dans la boule ouverte de rayon maximal,donc borné.E est fermé car si une suite (zn)n∈N de points de E convergeait vers z 6∈ E, les complémentaires

des ensembles(

D(

z,1n

))

n∈N

constitueraient un recouvrement de E par des ouverts dont on

ne pourrait extraire aucun sous-recouvrement fini.

10. Cette propriété est en fait la définition générale d’un compact en topologie : un espace est compactsi et seulement s’il est séparé et a cette propriété.


III.2 III. Les fonctions complexes I LES NOMBRES COMPLEXES

III Les fonctions complexesLes propriétés des fonctions continues de C vers C sont analogues à celles des fonctions

continues de R vers R. La plupart d’entre elles admettent d’ailleurs une extension simpleà des fonctions de la variable complexe.

III.1 Fonctions continues

Soient E ⊂ C un ensemble, z0 ∈ E et f : E 7−→ C une fonction.Les énoncés suivants sont alors équivalents :

(i) Pour toute suite (zn)n∈N de points de E convergeant vers z0, la suite(

f(zn))

n∈Nconverge vers f(z0).

(ii) ∀ ε > 0, ∃η(ε, z0) > 0 tel que

|z − z0| < η =⇒ |f(z) − f(z0)| 6 ε.

(iii) L’image réciproque de tout ouvert C par f est un ouvert de C.

Lorsqu’ils sont satisfaits, la fonction f est dite continue en z0. Elle est continue surE si elle est continue en tout point de E.

Si le nombre η(ε, z0) peut être choisi indépendamment de z0, on dit que f estuniformément continue sur E.

Définition I III.1.1.

Une fonction complexe est donc continue si et seulement si sa partie réelle et sa par-tie imaginaire le sont toutes les deux. Ainsi, sommes, différences, produits, quotients etcompositions de fonctions continues (lorsqu’elles sont définies) sont continues. De même,toute limite uniforme de fonctions continues est continue.

III.2 Les grands théorèmes

Une fonction continue sur un ensemble compact y est uniformément continue.

Théorème I III.2.2 (Heine).

Preuve: Soient E ⊂ C un ensemble compact et f : E 7−→ C une fonction continue.Soit ε > 0. Pour tout z ∈ E, il existe un réel positif ηz > 0 tel que

∀ z′ ∈ E, |z − z′| < ηz =⇒ |f(z) − f(z′)| 6 ε

2.

On peut donc recouvrir E par la famille d’ouverts(

D(

z,ηz

2

))

z∈E. Comme E est compact,

il existe une partie finie J de E telle que E ⊂⋃

z∈J

D(

z,ηz

2

)

. Comme J est fini, on peut poser

η = minz∈J

ηz strictement positif.

Soient alors z et z′ deux éléments de E tels que |z − z′| <η

2. Il existe z0 ∈ J tel que


I LES NOMBRES COMPLEXES Les grands théorèmes

z′ ∈ D(

z0,ηz0

2

)

d’où |z − z0| 6 |z − z′| + |z′ − z0| 6 ηz puis |f(z) − f(z0)| 6 ε

2.

On obtient alors|f(z) − f(z′)| 6 |f(z) − f(z0)| + |f(z0) − f(z′)| 6 ε.

f est donc uniformément continue sur E.

L’image d’un ensemble compact par une fonction continue est un ensemble com-pact.

Théorème I III.2.3.

Preuve: Soient K un ensemble compact de E et(Ui)

i∈Iun recouvrement d’ouverts de f(K).

Comme f est continue,(f−1(Ui)

)

i∈Iest un recouvrement de K par des ouverts dont on peut

extraire un recouvrement fini(f−1(Ui)

)

i∈JJ fini

par compacité de K.(Ui

)

i∈JJ fini

est alors un recouvrement fini de f(K) qui est donc compact (dans f(E)).

Sur un ensemble compact, le module, la partie réelle et la partie imaginaire d’unefonction continue atteignent une valeur minimum et une valeur maximum. 11

Corollaire I III.2.4 (Théorème des valeurs intermédiaires).

Preuve: Soit f : E 7−→ R l’une des applications citées dans le corollaire avec E un compact deC.D’après I III.2.3, f(E) est compact donc borné et fermé. Comme f(E) est borné il existe α etβ dans E tels que α = inf f(E) et β = sup f(E). Comme E est fermé α, β ∈ E.

Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine.On dit que C est algébriquement clos.

Théorème I III.2.5 (D’Alembert-Gauss).

Preuve: 12 Soit P ∈ C[X] de degré p ∈ N∗ c’est-à-dire P = apXp + . . . + a1X + a0 avec ap 6= 0.considérons A = |P (z)| / z ∈ C. A est une partie non vide et minorée (par 0) de R donc elleadmet une borne inférieure α = inf A. Le but de cette démonstration 13 est de montrer que cetteborne est atteinte puis que α = 0, ce qui suffira.

• ∀ z ∈ C, on peut écrire apzp = P (z) −p−1∑

k=0

akzk. Si |z| > 1 alors

|apzp| 6 |P (z)| +p−1∑

k=0

|ak||zk| 6 |P (z)| + pM |z|p−1 où M = max06k6p−1

|ak|.

11. On dit plus couramment qu’une fonction continue (à valeurs réelles) sur un compact atteint sesbornes.

12. Le théorème de Liouville VI III.3.3 page 211 permettra plus tard une démonstration bien plusefficace mais patience !

13. Il en existe bien d’autres !


IV.1 Les grands théorèmes I LES NOMBRES COMPLEXES

Par suite, |P (z)| > |ap||z|p − pM |z|p−1 −−−−−→|z|→+∞

+∞. L’ensemble des z ∈ C tels que

|P (z)| 6 α + 1 est borné.

• Par définition de la borne inférieure, on peut considérer une suite (zn)n∈N à valeurs com-plexes telle que P (zn) −−−−−→

n→+∞α. Cette suite est bornée donc, d’après le théorème de

Bolzano-Weierstrass (I II.3.10), on peut en extraire une suite convergente(

zϕ(n)

)

n∈N. No-

tons ω sa limite.Par continuité de P , on a P (ω) = α.

• Il ne reste plus qu’à montrer α = 0. Supposons le contraire et, par exemple, α > 0. De

plus, quitte à considérer le polynômeP (X + ω)

α, on peut supposer :

ω = 0 et α = minz∈C

|P (z)| = 1 = a0.

et écrire :

P = 1 + aqXq +p∑

k=q+1

akXk, où q est le premier indice tel que aq 6= 0.

Soit aq = ρeiθ sous sa forme polaire et considérons z = rei θ+πq , r > 0. On a :

P (z) = 1 − ρrq +p∑

k=q+1

akrkei θ+π

q

|P (z)| 6 |1 − ρrq| +p∑

k=q+1

|ak]rk.

Pour r suffisamment petit, on obtient :

|P (z)| 6 1 −

ρrq +p∑

k=q+1

|ak]rk

︸︷︷︸

∼r→0

ρrq>0

.

On peut donc trouver des z ∈ C tels que |P (z)| < 1 = minz∈C

|P (z)| ce qui contredit la

définition de α.

Quels que soient les nombres complexes a0, a1, . . . , an 6= 0, une équation polyno-miale de degré n,

a0 + a1z + . . .+ anzn = 0,

admet exactement n racines complexes.

Corollaire I III.2.6.


I LES NOMBRES COMPLEXES IV. Connexité

IV Connexité

IV.1 Ensembles connexes

On dit qu’un ensemble E ⊂ C est connexe s’il vérifie l’une des propositions équi-valentes suivantes :

(i) Il n’existe pas de partition de E en deux ouverts disjoints non vides.

(ii) Il n’existe pas de partition de E en deux fermés disjoints non vides.

(iii) Les seules parties ouvertes et fermées de E sont ∅ et E.

(iv) Toute application continue de E dans 0, 1 est constante.

Définition I IV.1.1.

Intuitivement un espace topologique est dit connexe s’il est « d’un seul morceau ».

Exemples:

• C est connexe.

• Un disque ouvert ou fermé, un demi-plan sont des sous-ensemble connexes de C.

• Un segment [z1, z2] =

z ∈ C / z = (1 − λ)z1 + λz2, 0 6 λ 6 1

est connexe.

• Les connexes de R sont les intervalles.

Preuve:

(i) ⇒ (ii) : Si F , F ′ était une partition de E en deux fermés, alors E \ F et E \ F ′ formeraient unepartition de E en deux ouverts, ce qui contredirait (i).

(ii) ⇒ (iii) : S’il existait une partie A on vide, différente de E ouverte et fermée alors A et E \ Aformeraient une partition de E en deux fermés.

(iii) ⇒ (iv) : Soit f : E 7−→ 0, 1 une application continue. Supposons par exemple qu’il existe z ∈ Etel que f(z) = 0. Alors f−1(0) est un ouvert, fermé et non vide. Donc f−1(0) = E, d’après(iii) et f est constante.

(iv) ⇒ (i) : Si E n’est pas connexe. Il existe alors des ouverts U et V non vides et disjoints tels queE = U ∪ V. Alors l’application f : E 7−→ 0, 1 définie par

∀ z ∈ E, f(z) =

1 si z ∈ U0 si z ∈ V

est non constante car U et V sont non vides et pourtant,

f−1(0, 1) = E (ouvert) f−1(1) = U (ouvert)f−1(∅) = ∅ (ouvert) f−1(0) = V (ouvert),

c’est-à-dire que l’image réciproque de tout ouvert de 0, 1 est un ouvert de E, donc f estcontinue, ce qui contredit (iv)


IV.1 Ensembles connexes I LES NOMBRES COMPLEXES

Voici une rapide propriété des connexes qui servira pour la suite, notamment en VIII.1.2 page 181 :

Toute application continue localement constante sur un connexe E est constantesur E.

Corollaire I IV.1.2.

Exemple:Une fonction continue sur un espace connexe à valeurs dans Z discret est, àfortiori, localement constante donc constante partout d’après I IV.1.2.Preuve: Soit z0 ∈ E. On pose Ω = z ∈ E / f(z) = z0 = f−1z0.Comme f est continue et que z0 est un ouvert, Ω est ouvert.De plus, Ωc =

⋃

z∈E\z0

f−1z est ouvert comme réunion d’ouverts, donc Ω fermé.

Ω est donc ouvert et fermé dans un connexe. D’après (iii), Ω = E.

Soit A une partie connexe de C. Alors toute partie B telle que A ⊂ B ⊂ A, estconnexe.En particulier A est connexe.

Proposition I IV.1.3.

Preuve: Si B n’est pas connexe, on peut trouver deux ouverts U et V de C tels que

B ⊂ U ∪ V, B ∩ U 6= ∅, B ∩ V 6= ∅ et B ∩ U ∩ V = ∅.

U V

ABA

Figure IV.1.9 – L’adhérence d’une partie connexe est connexe

D’après I II.2.7.(iii), on a donc aussi A ∩ U 6= ∅, A ∩ U ∩ V 6= ∅ et A ∩ U ∩ V = ∅ avecA ⊂ B ⊂ U ∪ V. Donc A n’est pas connexe.

Ce résultat est faux pour l’intérieur d’une partie. L’intérieur d’une partie non videA étant définit comme la réunion de tous les ouverts contenus dans A ou de manièreéquivalente comme le plus grand ouvert contenu dans A.

L’image d’un espace connexe par une fonction continue est connexe.



I LES NOMBRES COMPLEXES Composantes connexes

A A

Figure IV.1.10 – L’intérieur d’une partie n’est pas connexe

Preuve: Soient E un ensemble connexe et f : E 7−→ C une application continue.Il suffit alors de considérer g : f(E) 7−→ 0, 1 une quelconque application continue. Alors, g f

est continue de E connexe dans 0, 1 donc constante d’après I IV.1.1. (iv), c’est-à-dire que g

est constante sur f(E) qui est donc connexe.

IV.2 Composantes connexes

Soit (Ci)i∈I une famille de parties connexes de C telle que

∃i0 ∈ I, ∀ i ∈ I, Ci0∩ Ci 6= ∅.

Alors C =⋃

i∈I

Ci est connexe.

Lemme I IV.2.5.

Preuve: Soient ci0∈ Ci0

et f : C 7−→ 0, 1.

C1

C2

C3

Ci0

Figure IV.2.11 – Réunion de connexes

Pour tout i ∈ I, la restriction f|Cide f à Ci connexe, est continue donc constante nécessai-

rement égale à f(ci0). D’où, f est constante sur C qui est connexe.

Le lemme I IV.2.5 permet de définir une notion très importante pour la suite :

Pour tout z ∈ E ⊂ C, on appelle composante connexe de z, la réunion des partiesconnexes de E contenant z. On la note C(z).

Définition I IV.2.6 (Composante connexe).


IV.3 Connexité par arcs I LES NOMBRES COMPLEXES

A

B

Figure IV.2.12 – A et B connexes, A ∪ B non connexe. A et B sontles deux composantes connexes de A ∪ B

De la définition découlent immédiatement quelques propriétés évidentes mais qu’il estimportant de garder à l’esprit :

• D’après I IV.1.3, les composantes connexes sont fermées.

• Les composantes connexes d’un ensemble E forment une partition de E sur lequelon peut définir une relation d’équivalence R définie par :

zRz′ ⇐⇒ z′ ∈ C(z).

• Pour tout z ∈ E, C(z) est la réunion de tous les connexes contenant z donc unecomposante connexe est connexe d’après I IV.2.5.

• Un sous-ensemble de C est connexe si et seulement si il ne contient qu’une seulecomposante connexe.

Les composantes connexes d’un ouvert de C sont des ouverts.


Preuve: Soient U un ouvert de C et z ∈ U . comme U est ouvert, d’après I II.2.5, il contientun disque centré en z de rayon non nul. Ce disque est connexe donc inclus dans la composanteconnexe contenant z qui est ipso facto ouverte.

IV.3 Connexité par arcs

Un ensemble E ⊂ C est connexe par arcs si deux quelconques de ses points, z0

et z1 peuvent être joints par une courbe continue entièrement contenue dans Ec’est-à-dire qu’il existe une fonction continue γ : [0, 1] 7−→ E telle que γ(0) = z0 etγ(1) = z1.


La notion de connexité par arcs correspond à l’idée intuitive de connexité : un espaceest connexe, c’est à dire « d’un seul morceau » si on peut joindre deux quelconques de sespoints par une ligne continue. 14

Exemple:

14. Notre intuition fonctionne en imaginant des parties de R ou de C et plus généralement pour desouverts de Rn où l’on peut démontrer que les notions de connexité et de connexité par arcs coïncident


I LES NOMBRES COMPLEXES Connexité par arcs

b a

γ

bz0

bc z1

E E

b z0

bcz1

γ

Figure IV.3.13 – Ensembles connexes par arcs

• Un convexe est connexe par arcs. 15

• Un disque ouvert ou fermé est connexe par arcs (car convexe).

• Une couronne Cr,R(a) =

z ∈ C/r < |a−z0| < R

, même coupée, comme représentéeen IV.3.13 est connexe par arcs.

Soit A une partie de C.

(i) Si A est connexe par arcs alors A est connexe.

(ii) Si A est connexe et ouvert alors A est connexe par arcs.

Théorème I IV.3.9.

Preuve:

(i) Soit z0 ∈ A. Pour tout z ∈ A il existe une application continue γz : [0, 1] 7−→ A telleque γz(0) = z0 et γz(1) = z. Comme [0, 1] est connexe et γ continue, d’après I IV.1.4,l’ensemble Az = γ

([0, 1]

)est aussi connexe et contient z0 et z.

En écrivant A =⋃

z∈E

Az, réunion de connexes d’intersection non vide, A est connexe

d’après I IV.2.5.

(ii) « Réciproquement », supposons A ouvert et connexe, z0 ∈ A et posons

Γz0=z ∈ A / il existe un arc γz de A joignant z0 à z

.

Γz0est non vide car il contient z0. Il suffit alors de montrer que Γz0

est ouvert et fermédans A.

• Soit donc z ∈ Γz0et D(z, r) un disque ouvert de A centré en z. Un disque étant

convexe, il contient tous les segments issus de z. Tout point x ∈ D peut donc êtrejoint à z0 par l’arc γz ∪ [z, x] c’est-à-dire D ⊂ Γz0

qui est ouvert.

• Soit maintenant z ∈ Γz0. Comme A est ouvert, il existe encore un disque ouvert

centré en z de rayon non nul. Par définition de l’adhérence, cet ouvert rencontre Γz0.

En prenant x ∈ Γz0un élément de cette intersection, z peut être relié à z0 via le

chemin γx ∪ [x, z] et z ∈ Γz0qui est fermé.

mais en général, un espace connexe n’est pas toujours connexe par arcs comme le montre le graphe de la

fonction x 7−→ 1sin x

dont l’adhérence est connexe sans être connexe par arcs.

15. La notion de connexité par arcs généralise celle de convexité puisque l’on n’impose plus que lespoints soient reliés par des segments.



z0

Γz0bc

bc

bc

bcz

bcx

A

Figure IV.3.14 – Γz0est ouvert

z0

Γz0bc

bc

bc

z

bcz

bcx

A

Figure IV.3.15 – Γz0est fermé

Γz0est un ouvert-fermé non vide de A connexe, il est donc égal à A tout entier qui est,

par conséquent, connexe par arcs.

Remarque: d’une manière générale, soit z0 un point fixé d’un ensemble E,

Γz0=

z ∈ E / il existe un arc de E joignant z0 à z

est connexe par arcs par définition. C’est la composante connexe par arcs contenantz0.

L’équivalence du théorème I IV.3.9 va donner toute son importance à une familled’ouverts : les domaines.

Un domaine D ⊂ C est un ensemble ouvert et connexe de C.

Définition I IV.3.10 (Domaine).

Exemples:

• Les pavés ouverts, les ouverts convexes sont des domaines.


I LES NOMBRES COMPLEXES Connexité par arcs

• Le disque unité D(0, 1) est un domaine borné.

• La couronne illustrée en IV.3.13 est un domaine.

• Le demi-plan droit

z ∈ C / Re z > 0

est un domaine non borné.

A

B C

Figure IV.3.16 – A et B sont des domaines. C n’est pas connexe

Comme tout connexe, un domaine est « d’un seul tenant » c’est-à-dire que l’on peut sepromener à l’intérieur sans traverser de frontière. Par contre il peut y avoir des « trous ».

Soit U ⊂ C. On appelle trou de U toute composante connexe bornée de C \ U .

Définition I IV.3.11 (Trou).

Un connexe sans trou sera dit simplement connexe.

D’après I IV.1.4, on sait que l’image d’un domaine par une fonction continue estconnexe par contre ce n’est pas nécessairement un ensemble ouvert 16 donc un domaine.On verra cependant que pour les fonctions holomorphes, l’image d’un domaine est soit undomaine, soit réduite à un point.

Le théorème I IV.3.9 nous donne immédiatement une propriété importante pour lasuite :

Tout domaine de C est connexe par arcs.

Corollaire I IV.3.12.

On peut même améliorer un peu ce résultat :

Tout domaine de C est connexe par arcs C1 par morceaux.


16. Il suffit de penser à une fonction constante.



Preuve: Soit A un domaine. A est ouvert et connexe, donc il est connexe par arcs d’après IIV.3.9. Soient z0 et z1 deux points de A, et γ : [0, 1] 7−→ A un chemin continu qui joint z0 à z1.Comme A est ouvert et γ

([0, 1]

) ⊂ A, pour tout t ∈ [0, 1], on peut trouver un disque Dt centréen γ(t) et inclus dans A quitte à réduire le rayon de chaque disque. On a alors

γ(

[0, 1]) ⊂

⋃

t∈[0,1]

Dt,

recouvrement de γ([0, 1]

)par des ouverts. Or, [0, 1] est compact donc son image par γ continue

est aussi compact dans A d’après I III.2.3. On peut donc extraire un recouvrement fini

⋃

i∈II fini

Dti,

de γ([0, 1]

). Quitte à ajouter les disques D0 et D1 à ce recouvrement, en joignant les centres

bcz0

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc bc

bc

bcz1

A

γ

Figure IV.3.17 – Un domaine est connexe par arcs

des disques (par des segments), on obtient un chemin C1 par morceaux joignant z0 à z1. 17

Attention, ce résultat est faux en dehors d’un espace métrique. Considérons, par

exemple, la fonction f : x ∈]0, 1] 7−→ sin1x

et l’ensemble

A =(

x, f(x))

/ x ∈]0, 1]

∪(

0 × [−1, 1])

.

Alors A est connexe car A = ϕ(

]0, 1])

est l’adhérence de l’image du connexe ]0, 1] parl’application continue ϕ : x 7−→ (x, f(x)) pour x ∈]0, 1].

Mais A n’est pas connexe par arcs car z0(0, 0) et z1(1, sin 1) appartenant tous deux àA ne peuvent être joints par un chemin continu.

17. Il est même affine par morceaux.


I LES NOMBRES COMPLEXES Ouverts étoilés

0

1

−1

1x

y

f(x) = sin1x

bc

bc

z1(1, sin 1)

Figure IV.3.18 – Un connexe n’est pas nécessairement connexe pararcs en dehors d’un espace métrique

IV.4 Ouverts étoilés

Un ouvert U est dit étoilé si il existe z0 ∈ U tel que pour tout z ∈ U le segment[z0, z] est entièrement inclus dans U .Le point z0 est alors appelé un centre de U .


C’est donc une notion plus générale que la convexité : un ouvert (ou un ensemble)est dit convexe si il contient le segment [z0, z1] dès qu’il contient ses extrémités. Alors quepour un ouvert étoilé on demande seulement qu’il existe un certain z0 tel que cela soitvrai pour tous les z1.

bz0

b

z0

b

z1

Figure IV.4.19 – Ouverts étoilés

Exemples:

• Tout espace convexe est étoilé.

• Un disque ou un demi-plan est convexe (et donc aussi étoilé).

• L’ouvert C\R∗− n’est pas convexe mais il est étoilé en prenant pour centre n’importe

quel réel positif.

• Tout ouvert étoilé est connexe par arcs.


V.1 V. Suites et Séries de fonctions I LES NOMBRES COMPLEXES

V Suites et Séries de fonctions

V.1 Convergence d’une suite de fonctionsPour n ∈ N, soit fn : D 7−→ C une fonction d’une variable complexe à valeurs dans C.

On désigne par(

(fn(z))

n∈Nune suite de fonctions. On distingue alors plusieurs formes de

convergence en désignant 18 f : D 7−→ C la fonction limite.

On dit que (fn)n∈N converge ponctuellement a sur D vers f si pour tout z ∈ D, lasuite (fn(z))n∈N converge vers f(z) c’est-à-dire :

∀ ε ∈ R∗+, ∀ z ∈ D, ∃η(z, ε), ∀ n > η,

∣∣∣fn(z) − f(z)

∣∣∣ 6 ε. (V.1.4)

a. ou simplement

Définition I V.1.1 (Convergence ponctuelle).

On dit que (fn)n∈N converge uniformément sur D vers f si pour tout z ∈ D, lamajoration dans (V.1.4) est indépendante de z ∈ D c’est-à-dire :

∀ ε ∈ R∗+, ∃η(ε), ∀ n > η, sup

z∈D

∣∣∣fn(z) − f(z)

∣∣∣ 6 ε.

Définition I V.1.2 (Convergence uniforme).

Remarque: La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque estfausse 19

La convergence uniforme est intéressante pour les propriétés topologiques et différen-tielles qu’elle permet de transmettre de la suite de fonctions à la fonction limite. Elle estcependant souvent trop contraignante sur l’ensemble tout entier voire impossible à obte-nir. Continuité et différentiabilité notamment étant des propriétés locales, on se contentesouvent d’une forme plus faible de convergence :

On dit que (fn)n∈N converge uniformément sur tout compact de D si pour toutcompact K de D, elle convergence uniformément sur K.

Définition I V.1.3 (Convergence uniforme sur tout compact).

Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur un ensemble D et à valeursdans C.Si la suite (fn)n∈N converge sur tout compact de D vers f alors f est continuesur D.

Théorème I V.1.4.

18. lorsqu’elle existe !19. Considérer la suite (zn)n∈N sur le disque fermé de centre O et de rayon 1


I LES NOMBRES COMPLEXES Séries numériques

Preuve: Soient z0 ∈ D et ε > 0. Montrons que f est continue en z0.Soit z ∈ D et K un compact contenant z0 et z 20. On a :

|f(z0) − f(z)| 6 |f(z0) − fn(z0)| + |fn(z0) − fn(z)| + |fn(z) − f(z)|6 2 sup

z∈K|f(z) − fn(z)| + |fn(z0) − fn(z)|.

D’une part, par convergence uniforme de (fn)n∈N sur K, ∃N(ε, K) ∈ N tel que

n > N =⇒ supz∈K

|f(z0) − fn(z)| 6 ε

4.

D’autre part, par continuité des fn en z0, ∃η(ε, z0) > tel que

|z − z0| < η =⇒ |fn(z0) − fn(z)| 6 ε

2.

Pour n > N et |z − z0| < η, on obtient finalement |f(z0) − f(z)| 6 ε. La fonction limite est donccontinue en z0 choisi quelconque dans D donc elle est continue sur D.

Une suite de fonctions (fn)n∈N d’un ensemble D ⊂ C vers C converge uniformémentsur D si et seulement si

∀ ε ∈ R∗+, ∃η(ε), ∀ p > η, ∀ q > η, ∀ z ∈ D,

∣∣∣fp(z) − fq(z)

∣∣∣ 6 ε.

Proposition I V.1.5 (Critère de Cauchy uniforme).

Preuve: La condition nécessaire est immédiate.Réciproquement, pour tout z ∈ D, la suite

(fn(z)

)

n∈Nest de Cauchy dans C qui est complet

donc elle converge vers une limite notée f(z). On définit, ainsi une fonction f : D 7−→ C.Montrons que la convergence est uniforme sur D.Soit z ∈ D quelconque et soient ε > 0 et η ∈ N tels que :

∀ p, q > η,∣∣fp(z) − fq(z)

∣∣ 6 ε.

Pour p > η quelconque et fixé, lorsque q → +∞, on a :

∣∣fp(z) − f(z)

∣∣ 6 ε.

Égalité vraie pour tout p > N et indépendamment de z ∈ D. Il y a donc convergenceuniforme.

V.2 Séries numériquesSoit (zn)n∈N une suite de complexes. On désigne par

∑

zn la série de terme généralzn.

Sn = z0 + z1 + . . .+ zn =n∑

k=0

zk,

est la somme partielle de rang n. Lorsque∑

zn converge (en tant que suite), on note

S =+∞∑

n=0

zn = limn→+∞

n∑

k=0

zk,

20. Par exemple, le disque de centre z0 et de rayon |z0 − z| + 1


V.2 Séries numériques I LES NOMBRES COMPLEXES

sa somme et Rn = S − Sn =+∞∑

k=n+1

zk = zn+1 + zn+2 + . . . , son reste de rang n.

Soit∑

zn une série de termes complexes. Si la série à termes positifs∑

|zn|converge alors il en est de même de la série

∑

zn.On dit alors que

∑

zn converge absolument.

Théorème I V.2.6 (Convergence absolue).

Ces deux critères se révèleront d’une grande importance pour déterminer les disquesde convergence des séries entières aux chapitres suivants.Preuve: sous l’hypothèse de convergence de

∑

|zn|, il suffit de vérifier que la suite (Sn)n∈N estde Cauchy.Pour tout n, p entiers naturels,

∣∣Sn+p − Sn

∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

zk

∣∣∣∣∣∣

6

n+p∑

k=n+1

∣∣zk

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

|zk|,

par convergence de la série∑

|zn|.

Soit alors ε > 0. Comme limn→+∞

+∞∑

k=n+1

|zk| = 0, il existe η(ε) tel que pour n > η,

∣∣Sn+p − Sn

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

|zk| 6 ε.

Le critère de Cauchy est vérifié, la série∑

zn est donc convergente.

Soit∑

zn une série à termes strictement positifs telle que

limn→+∞

zn+1

zn= ℓ ou lim

n→+∞

n√zn = ℓ, ℓ ∈ R.

(D’Alembert) (Cauchy)

Alors

Si ℓ < 1, la série∑

zn converge.Si ℓ > 1, la série

∑

zn diverge.Si ℓ = 1+, la série

∑

zn diverge.

Proposition I V.2.7 (Critères de d’Alembert et Cauchy).

Preuve:

(i) Critère de D’Alembert :

• Supposons que ℓ < 1. Il existe donc un réel k ∈]ℓ, 1[ et un rang n0(k) au delà duquelzn

zn−16 k c’est-à-dire :

zn 6 kzn−1 6 kn−n0zn06 kn ×

(zn0

kn0

)

6 Mkn terme général d’une série géométrique convergente.


I LES NOMBRES COMPLEXES Séries de fonctions

D’après les critères de comparaison sur les séries à termes positifs,∑

zn est doncconvergente.

• Supposons ℓ > 1 ou ℓ = 1 + (1). Le raisonnement est identique : il existe donc unréel k ∈]1, ℓ[ et un rang n0(k) au delà duquel k 6

zn

zn−1puis

0 6 kzn−1 6 zn

0 6 kn−n0zn06 zn

0 6 kn ×(

zn0

kn0

)

6 zn

0 6 Mkn 6 zn.

Les critères de comparaison assurent ici la divergence de la série∑

zn.

(ii) Critère de Cauchy : Le raisonnement est identique à celui du critère de D’Alembert enremarquant que comparer n

√zn et un réel k revient à comparer zn et kn.

• Si ℓ < 1 alors il existe donc un réel k ∈]ℓ, 1[ et un rang n0(k) au delà duquel0 6 zn 6 kn terme général d’une série géométrique convergente.

• Si ℓ > 1 ou ℓ = 1 + (1) alors il existe donc un réel k ∈]1, ℓ[ et un rang n0(k) au delàduquel 0 6 kn

6 zn terme général d’une série géométrique divergente.

Les critères de comparaison assurent respectivement la convergence et la divergence de lasérie

∑

zn.

Le théorème I V.2.6 combiné à la proposition I V.2.7 fournit une condition suffisantecommode et rapide de convergence :

La série complexe∑

zn est (absolument) convergente lorsque

limn→+∞

∣∣∣∣

zn+1

zn

∣∣∣∣ < 1 ou lim

n→+∞

n

√

|zn| < 1.

(D’Alembert) (Cauchy)

Corollaire I V.2.8.

V.3 Séries de fonctions

On désigne par Sn(z) =n∑

k=0

uk(z) la série partielle de terme général uk(z) où ∀ k ∈ N,

uk : D ⊂ C 7−→ C est une fonction de la variable complexe.Les séries de fonctions sont des suites de fonctions donc les théorèmes de convergence

précédents restent valides.

Lorsqu’elle existe on note S(z) =∑

n∈N

un(z) sa limite et Rn(z) =+∞∑

k=n+1

uk(z) son reste

de rang n.

On dit que (Sn)n∈N converge absolument sur D vers S si pour tout z ∈ D, la sériede terme général |uk(z)| converge ponctuellement dans D.

Définition I V.3.9 (Convergence absolue).


V.3 Séries de fonctions I LES NOMBRES COMPLEXES

Soit (Sn)n∈N une série de fonctions bornées de D dans C.On dit que (Sn)n∈N converge normalement sur D vers S si pour tout z ∈ D, lasérie réelle de terme général sup

z∈D|uk| converge.

Définition I V.3.10 (Convergence normale).

Remarque: Il n’est pas toujours facile de calculer supz∈D

|uk|. Par contre, il suffit de trouver

une série∑

αn de R+ convergente, telle que pour tout n ∈ N et tout z ∈ D, |un(z)| 6 αn.Par application des critères de comparaison des séries numériques à termes positifs il

est clair que la convergence normale implique la convergence absolue. Montrons qu’elleentraîne un peu plus que cela.

Une série de fonctions∑

un(z) à valeurs dans C qui converge normalement sur unensemble D ⊂ C converge uniformément sur D.

Théorème I V.3.11.

Preuve: Il suffit de vérifier le critère de Cauchy uniforme I V.1.5 pour la suite de fonctions(

Sn(z) =n∑

k=0

uk(z)

)

n∈N

.

Pour tous n, p entiers naturels et tout z ∈ D,

∣∣Sn+p(z) − Sn(z)

∣∣ =

∣∣∣∣∣∣

n+p∑

k=n+1

uk(z)

∣∣∣∣∣∣

6

n+p∑

k=n+1

∣∣uk(z)

∣∣ 6

n+p∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣,

par convergence de la série∑

supz∈D

|un|. Il est important de remarquer que ce majorant est

indépendant de z ∈ D.

Soit alors ε > 0. Comme limn→+∞

+∞∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣ = 0, il existe un entier η(ε) tel que pour n > η,

∣∣Sn+p(z) − Sn(z)

∣∣ 6

+∞∑

k=n+1

supz∈D

∣∣uk

∣∣ 6 ε.

Le critère de Cauchy uniforme (I V.1.5) est vérifié, la série∑

un(z) converge donc unifor-mément sur D.


TD no 1 VI. Propriétés algébriques

VI Propriétés algébriquesExercice VI.1:Mettre sous forme algébrique, les nombres complexes suivants :

(i) Z1 =3 + 6i3 − 4i

(ii) Z2 =(1 + i

2 − i

)2

+3 + 6i3 − 4i

(iii) Z3 =2 + 5i1 − i

+2 − 5i1 + i

(iv) Z4 =

(

−12

+ i

√3

2

)3

(v) Z5 =(1 + i)9

(1 − i)7

Exercice VI.2 (Racines carrées):Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i et 7 + 24i.

Exercice VI.3:Résoudre dans C les équations suivantes :

(i) z2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0. (ii) z3 + 3z − 2i = 0.

Exercice VI.4:Calculer le module des nombres complexes suivants :

(i) Z1 = −i(ii) Z2 = 1 + i

(iii) Z3 = 2i(3 + i)(1 + i)

(iv) Z4 =(2 + 3i)(1 + 2i)(−1 + i)(1 + i)

(v) Z5 =(1 + i)4

2 + i

(vi) Z6 =2 + i

1 − i+

2i1 + i

Exercice VI.5:Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leursconjugués :

(i) 1 + i(1 +√

2).

(ii)√

10 + 2√

5 + i(1 −√

5).

(iii)tanϕ− i

tanϕ+ ioù ϕ est un angle donné.

Exercice VI.6:Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

(i) 1 + i (ii) 1 − i√

3 (iii) −√

3 + i (iv)1 + i

√3√

3 − i

Exercice VI.7:Trouver les nombres complexes z tels que :

(i)z − 1z + 1

∈ R (ii)z − 1z + 1

∈ iR

Exercice VI.8:

(i) Résoudre dans C l’équationz

z − 1= i. (VI.0.5)

Donner la solution sous forme algébrique.


VII.0 VI. Propriétés algébriques TD no 1

(ii) Soient M , O et A les points d’affixes respectives z, 0 et 1. On suppose que cestrois points sont distincts. Interpréter géométriquement le module et un argumentde

z

z − 1et retrouver la solution de l’équation (VI.0.5).

Exercice VI.9:Mettre sous forme trigonométrique 1 + eiθ où θ ∈] − π, π[. Donner une interprétationgéométrique.

Exercice VI.10:Soient z et ω deux nombres complexes tels que zω 6= 1.

Montrer que|z − ω||1 − zω| 6 1 si |z| 6 1 et [ω| 6 1 avec égalité si et seulement si |z| = 1 ou

|ω| = 1.

Exercice VI.11:Soient α et β deux nombres réels. Mettre le nombre complexe z = eiα + eiβ sous formetrigonométrique.

(indication : on pourra poser u =α + β

2, v =

α − β

2).

En déduire la valeur den∑

p=0

Cpn cos[pα + (n− p)β].

Exercice VI.12:Montrer que l’équation d’un cercle ou d’une droite du plan C est de la forme

αzz + βz + βz + γ = 0, (VI.0.6)

où α et γ sont des nombres réels et β un nombre complexe.

Exercice VI.13 (Comment construire un pentagone régulier ?):Soit (A0, A1, A2, A3, A4) un pentagone régulier. On note O son centre et on choisit unrepère orthonorm’e (O,−→u ,−→v ) avec −→u =

−−→OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec

l’ensemble des nombres complexes C.

(i) Donner les affixes ω0, . . . , ω4 des points A0, . . . , A4 et montrer que

1 + ω1 + ω21 + ω3

1 + ω41 = 0.

(ii) En déduire que cos(2π5

) est l’une des solutions de l’équation 4z2 + 2z − 1 = 0.

En déduire la valeur de cos(2π5

).

(iii) On considère le point B d’affixe −1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sinπ

10puis de

√5 (on remarquera que sin

π

10= cos

2π5

).

(iv) On considère le point I d’affixei

2, le cercle C de centre I de rayon

12

et enfin le

point J d’intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puisla longueur BJ .

(v) Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.


TD no 1 VII. Propriétés topologiques

VII Propriétés topologiquesExercice VII.1:Montrer qu’un disque ouvert de C est un ouvert. Qu’en est-il d’un disque fermé ?

Exercice VII.2:

(i) Montrer qu’une réunion quelconque d’ouverts de C est un ouvert.

(ii) Montrer qu’une intersection finie d’ouverts de C est un ouvert. Que dire d’uneintersection infinie d’ouverts de C ?

Exercice VII.3:Montrer que les fonction suivantes sont continues sur C :

(i) z 7−→ |z|

(ii) z 7−→ zn

(iii) z 7−→ zn

(iv) z 7−→ Re(z) et z 7−→ Im(z).

Exercice VII.4:Soit U un ouvert de C. Montrer que si ϕ : R+ 7−→ C et f : U 7−→ C sont des fonction

continues alors la fonction z 7−→ ϕ(

|f(z)|)

est une fonction continue sur U .

VIII Suites et séries de fonctionsExercice VIII.1:Pour x > 0, on pose un(x) =

x

n2 + x2.

(i) Montrer que la série+∞∑

n=1

un(x) converge simplement sur R+.

(ii) Montrer que la série+∞∑

n=1

un(x) converge uniformément sur tout intervalle [0, A], avec

A > 0.

(iii) Montrer que la série+∞∑

n=1

un(x) ne converge pas uniformément sur R+.

(Indication : on pourra contredire le critère de Cauchy)

(iv) Montrer que la série+∞∑

n=1

(−1)nun(x) converge uniformément sur R+.

(v) Montrer que la série+∞∑

n=1

(−1)nun(x) converge normalement sur tout intervalle [0, A],

avec A > 0 sans pour autant converger normalement sur R+.

IX Séries entièresExercice IX.1:Déterminer les domaines de convergence D des séries entières

∑

n!zn,∑

nnzn,∑

zn,∑ zn

net∑ zn

n!.


IX.0 IX. Séries entières TD no 1

Exercice IX.2:

Déterminer les domaines de convergence des séries entières∑ (−1)n

(2n)!z2n et

∑ (−1)n+1

(2n+ 1)!z2n+1.

Exercice IX.3:Déterminer les séries de Taylor à l’origine de

11 − z

,1

(1 − z)2,

1(1 − z)3

,1

(1 − z)4, . . .

Exercice IX.4:Soit (an)n∈N une série entière de rayon de convergence R. Est-il exact que pour |z| > Ron a lim

n→+∞|anzn| = +∞ ?


TD no 1 X. Correction des exercices

X Correction des exercices

Correction de l’exercice VI.1:

(i) Z1 =(3 + 6i)(3 + 4i)

|3 − 4i|2 =−15 + 30i

25= −3

5+ i

65

.

(ii)(1 + i

2 − i

)2

=(1 + i)2(2 + i)2

(|2 − i|2)2=

2i(3 + 4i)25

=−8 + 6i

25. En utilisant le premier point

on trouve : Z2 = −235

+ i3625

.

(iii) Z3 = z + z = 2 Re z avec z =2 + 5i1 − i

. z =(2 + 5i)(1 + i)

|1 + i|2 =−3 + 7i

2. Donc

Re z = −32

et Z3 = −3.

(iv) Z4 = (ei2π/3)3 = ei2π = 1.

(v) 1 + i =√

2eiπ/4 et 1 − i =√

2e−iπ/4 donc Z5 = (√

2)(9−7)ei(9π/4+7π/4) = 2ei4π = 2.(La présence de fortes puissances doit inciter à passer en forme trigonométrique.)

Correction de l’exercice VI.2: Soit z = a+ib un nombre complexe avec a, b ∈ R ; nouscherchons les complexes ω ∈ C tels que ω2 = z. Écrivons ω = α + iβ. Nous raisonnonspar équivalence :

ω2 = z ⇐⇒ (α + iβ)2 = a+ ib

⇐⇒ α2 − β2 + 2iαβ = a+ ib

Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :

⇐⇒

α2 − β2 = a

2αβ = b

Sans changer l’équivalence nous rajoutons la condition |ω|2 = |z|.

⇐⇒

α2 + β2 =√a2 + b2

α2 − β2 = a

2αβ = b

⇐⇒

α2 =a+

√a2 + b2

2

β2 = α2 − a =−a +

√a2 + b2

22αβ = b

⇐⇒

α = ±√

a+√a2 + b2

2

β2 = ±√

−a +√a2 + b2

2αβ est du même signe que b


X.0 X. Correction des exercices TD no 1

Cela donne deux couples (α, β) de solutions et donc deux racines carrées ω = α+ iβ de z.En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour z = 8 − 6i,

ω2 = z ⇐⇒ (α+ iβ)2 = 8 − 6i

⇐⇒ α2 − β2 + 2iαβ = 8 − 6i

⇐⇒

α2 − β2 = 8

2αβ = −6

⇐⇒

α2 + β2 =√

82 + (−6)2 = 10 le module de z

α2 − β2 = 8

2αβ = −6

⇐⇒

2α2 = 18

β2 = 10 − α2 = 1

2αβ = −6

⇐⇒

α = ±√

9 = ±3

β = ±1

α et β de signes opposés

⇐⇒

α = 3 et β = −1

ou

α = −3 et β = +1

Les racines de z = 8 − 6i sont donc ω = 3 − i et −ω = −3 + i.


(i) ∆ = −2i dont les racines carrées sont 1 − i et −1 + i, d’où les racines z1 = 5 − 2iet z2 = 6 − 3i.

(ii) Une racine « évidente » z1 = i, d’où la résolution complète en effectuant la divisionpar z − i. On trouve z2 = i et z3 = −2i.


(i) |Z1| = 1

(ii) |Z2| =√

2

(iii) |Z3| = |2i||3 + i||1 + i| = 2 ×√

10 ×√

2 = 4√

5

(iv) |Z4|2 =13 × 52 × 2

donc |Z4| =

√652

(v) |Z5| =|1 + i|4|2 + i| =

4√5

(vi) Z6 =(2 + i)(1 + i) + 2i(1 − i)

(1 − i)(1 + i)=

3 + 5i(1 − i)(1 + i)

donc |Z6| =

√342



Correction de l’exercice VI.5: ρ =√

4 + 2√

2, θ =3π8

; ρ = 4, θ = − π

10;

ρ = 1, θ = 2ϕ+ π.


(i) |1 + i| =√

2 et1√2

(1 + i) = cosπ

4+ i sin

π

4donc arg(1 + i) =

π

4mod 2π et

1 + i =√

2eiπ/4.

(ii) |1 − i√

3| = 2 et12

(1 − i√

3) = cos(−π

3) + i sin(−π

3) donc 1 − i

√3 = 2e−iπ/3.

(iii) On a de même −√

3 + i = 2ei5π/6.

(iv) On a de même 1+i√

3 = 2eiπ/3 et√

3−i = 2e−iπ/6 donc1 + i

√3√

3 − i= ei(π/3+π/6) = eiπ/2.

(On peut aussi remarquer que (√

3 − i)i = 1 + i√

3 donc1 + i

√3√

3 − i= i = eiπ/2.)

Correction de l’exercice VI.7: Si z = −1, la fractionz − 1z + 1

n’a pas de sens.

Si z 6= 1,z − 1z + 1

∈ R est équivalent à argz − 1z + 1

= 0 mod π etz − 1z + 1

∈ iR est équivalent à

argz − 1z + 1

=π

2mod π (on enlève le cas z = 1 car 0 n’a pas d’argument).

Interprétation géométrique de argz − 1z + 1

: soit M , A, B les points d’affixes respectives

z, 1 et −1. On suppose que M est différent de A et B. Le nombre 1 − z est l’affixe du−−→MA et −1 − z celle de

−−→MB, donc arg

z − 1z + 1

= arg(1 − z) − arg(−1 − z) = (−−→MB,

−−→MA).

(i) Pour z 6= 1, l’équation est équivalente à (−−→MB,

−−→MA) = 0 mod π, c’est-à-dire A, B

et M sont alignés, donc z ∈ R. On voit que z = 1 est solution donc l’ensemble dessolutions est S = z ∈ R, z 6= −1.

(ii) Pour z 6= 1, l’équation est équivalente à (−−→MB,

−−→MA) =

π

2mod π, c’est-à-dire M est

sur le cercle de diamètre [AB], qui est le cercle de centre 0 de diamètre 1. On voitque z = 1 est solution donc l’ensemble des solutions est S = z; |z| = 1 \ −1.

Remarque : on peut retrouver ces solutions de façon calculatoire en écrivant z = x+ iy et

en calculant les parties réelle et imaginaire dez − 1z + 1

.


(i)z

z − 1= i a un sens seulement si z 6= 1. Pour z 6= 1, cette équation est équivalente

à :

z = i(z − 1) ⇐⇒ z(1 − i) = −i ⇐⇒ z =−i

1 − i

⇐⇒ z =−i(i+ 1)|1 − i|2 =

12

− 12i.

Cette valeur est bien solution car elle est différente de 1.



(ii) Le nombre −z est l’affixe du vecteur−−→MO et 1−z celle de

−−→MA. Donc

|z||z − 1| =

OM

AM

et argz

z − 1= arg(−z) − arg(1 − z) est l’angle (

−−→MA,

−−→MO). Comme |i| = 1 et

arg i =π

2mod 2π, L’équation

z

z − 1= i est équivalente àOM = AM et (

−−→MA,

−−→MO) =

π

2.

Comme OM = AM , M est sur la médiatrice de [OM ], donc Re z =12

. Comme

l’angle OMA est droit, M est sur le cercle de diamètre [OM ]. En raison de l’angle

orienté, on retrouve z =12

− 12i.


1 + eiθ = eiθ2 (e− iθ

2 + eiθ2 ) = 2 cos

θ

2e

iθ2 .

Comme θ ∈] − π,+π[ alors le module est 2 cosθ

2> 0 et l’argument est

θ

2.

Géométriquement, on trace le cercle de centre 1 et de rayon 1. L’angle en 0 du triangle

(0, 1, 1 + eiθ) estθ

2et donc est le double de l’angle en 0 du triangle (1, 2, 1 + eiθ) qui vaut

θ.C’est le résultat géométrique (théorème de l’angle au centre) qui affirme que pour uncercle l’angle au centre est le double de l’angle inscrit.

Correction de l’exercice VI.10: On écrit d’abord :

|z − ω|2|1 − zω|2 =

(z − ω)(z − ω)(1 − zω)(1 − zω)

=|z|2 + |ω|2 − 2 Re(zω)1 + |z|2|ω|2 − 2 Re(zω)

.

Il suffit alors de comparer |z|2 + |ω|2 et 1 + |z|2|ω|2. La différence s’écrit

1 + |z|2|ω|2 − |z|2| − |ω|2 =(

1 − |ω|2)(

1 − |z|2)

> 0,

d’après les hypothèses.

Ceci assure d’une part que|z − ω||1 − zω| 6 1 si |z| 6 1 et [ω| 6 1 et d’autre part que

|z − ω||1 − zω| = 1 si et seulement si |z| = 1 ou |ω| = 1.

Correction de l’exercice VI.11: Soit (α, β) ∈ R2 et z le nombre complexe z = eiα +eiβ.

Soit u =α + β

2et v =

α − β

2. Alors, α = u+ v et β = u− v et

z = eiα + eiβ

= eiu+iv + eiu−iv

= eiu(eiv + e−iv)

= 2 cos(v)eiu

= 2 cos(α− β

2)ei α+β

2

On en déduit la forme trigonométrique de z :

|z| = 2| cos(α − β

2)| et, lorsque cos(

α − β

2) 6= 0 :



Arg(z) =

α + β

2[2π] si cos

α − β

2> 0

π +α + β

2[2π] si cos

α − β

2< 0

(Attention, si cosα − β

2< 0, z = 2 cos veiu n’est pas la forme trigonométrique de z !).

Soit n ∈ N. Calculons zn de deux façons différentes. D’une part

zn = (eiα + eiβ)n =n∑

p=0

Cpne

ipαei(n−p)β,

et d’autre part, en utilisant la forme obtenue plus haut : zn = 2n cosn v einu. En comparantles parties réelles des expressions obtenues on obtient :

n∑

p=0

Cpn cos[pα + (n− p)β] = 2n cosn α − β

2cos(n

α + β

2).

Correction de l’exercice VI.12: Il est aisé de voir que si α = 0 alors (VI.0.6) estl’équation d’une droite et si α 6= 0, il suffit de remarquer que

|z + β|2 = (z + β)(z + β) = zz + βz + βz + |β|2.D’où

αzz + βz + βz + γ = 0 ⇐⇒ α

∣∣∣∣∣z +

β

α

∣∣∣∣∣

2

=|β|2α

− γ.

C’est l’équation d’un cercle de centre −β

αet de rayon

√

|β|2α2

− γ

α(pourvu, bien sûr, que

|β|2 > γα).


A0

A3

A4

A1

A2

O 1

i

Figure X.0.20 – Pentagone régulier

(i) Comme A0A1A2A3A4 est un pentagone régulier, on a :

OA0 = OA1 = OA2 = OA3 = OA4 = 1

et

(−−→OA0,

−−→OA1) =

2π5

(2π), (−−→OA0,

−−→OA2) =

4π5

(2π),

(−−→OA0,

−−→OA3) = −4π

5(2π), (

−−→OA0,

−−→OA4) = −2π

5(2π).



On en déduit :ω0 = 1, ω1 = e

2iπ5 , ω2 = e

4iπ5 , ω3 = e− 4iπ

5 = e6iπ

5 , ω4 = e− 2iπ5 = e

8iπ5 . On a bien

ωi = ωi1. Enfin, comme ω1 6= 0,

1 + ω1 + . . .+ ω41 =

1 − ω51

1 − ω1=

1 − 11 − ω1

= 0.

(ii) Re(1+ω1 + . . .+ω41) = 1+2 cos(

2π5

)+2 cos(4π5

). Comme cos(4π5

) = 2 cos2(2π5

)−1,

on en déduit : 4 cos2(2π5

) + 2 cos(2π5

) −1 = 0. cos(2π5

) est donc bien une solution de

l’équation 4z2 + 2z − 1 = 0 dont les solutions sont−1 −

√5

4et

−1 +√

54

. Comme

cos(2π5

) > 0, on en déduit que cos(2π5

) =

√5 − 14

.

(iii) BA22 = |ω2 + 1|2 = | cos(

4π5

) + i sin(4π5

) + 1|2

= 1 + 2 cos(4π5

) + cos2(4π5

) + sin2(4π5

)

= 4 cos2(2π5

).

Donc BA2 =

√5 − 12

.

(iv) BI =∣∣∣∣

i

2+ 1

∣∣∣∣ =

√5

2. BJ = BI − 1

2=

√5 − 12

.

(v) Pour tracer un pentagone régulier, on commence par tracer un cercle C1 et deuxdiamètres orthogonaux, qui jouent le rôle du cercle passant par les sommets et desaxes de coordonnées. On trace ensuite le milieu d’un des rayons : on obtient le pointI de la question 4. On trace le cercle de centre I passant par le centre de C1 : c’estle cercle C. On trace le segment BI pour obtenir son point J d’intersection avecC. On trace enfin le cercle de centre B passant par J : il coupe C1 en A2 et A3,deux sommets du pentagone. Il suffit pour obtenir tous les sommets de reporter ladistance A2A3 sur C1, une fois depuis A2, une fois depuis A3. (en fait le cercle decentre B et passant par J ′, le point de C diamétralement opposé à J , coupe C1 enA1 et A4, mais nous ne l’avons pas justifié par le calcul : c’est un exercice !)

Correction de l’exercice VII.1: Soit D(ω,R) un disque ouvert.Si R = 0, alors D(ω,R) = ∅, c’est un ouvert.Sinon, soit z quelconque de D(ω,R). On a déjà 0 < R− |z−ω| et pour tout réel ε tel que0 < ε < R − |z − ω|, pour tout t ∈ D(z, ε),

|t− ω| = |(t− z) + (z − ω)| 6 |t− z| + |z − ω| < ε+ |z − ω| < R,

c’est-à-dire t ∈ D(ω,R) choisi quelconque donc D(z, ε) ⊂ D(ω,R). Le disque ouvertD(ω,R) est donc ouvert.



b

ω

b

z

b

t

R

ε

Montrons maintenant qu’un disque fermé n’est pas ouvert. Considérons z = ω +Reiθ,un point de ∂D(ω,R) ⊂ D(ω,R). Pour tout ε > 0, le point t = z +

ε

2eiθ est dans D(z, ε)

sans être dans D(ω,R) car :

|t− ω| =∣∣∣∣ω +

(

R +ε

2

)

eiθ − ω

∣∣∣∣ = R +

ε

2> R.

Correction de l’exercice VII.2:

(i) Soit (Ui)i∈I une famille d’ouverts qu’on peut supposer non vides. Si z ∈ U =⋃

i∈I

Ui,

il existe un indice i0 ∈ I tel que z ∈ Ui0. Comme Ui0

est ouvert, il contient donc unvoisinage de z contenu dans U qui est donc ouvert.

(ii) Soit (Ui) i∈II fini

une famille d’ouverts qu’on peut supposer non vides et posons U =⋂

i∈II fini

Ui.

Soit z ∈ U .Comme, pour tout i ∈ I, Ui est ouvert, chacun d’entre eux contient un voisinageouvert de z, par exemple, un disque ouvert D(z, ri), ri > 0. La famille étant finie,on peut poser r = min

i∈Iri > 0. Par construction z ∈ D(z, r) ⊂ U qui est donc ouvert.

Dans le cas d’une intersection infinie, on peut avoir r = infi∈I

ri = 0. Il suffit de prendre

le contre-exemple classique

+∞⋂

n=1

D(

0, 1 +1n

)

= D(0, 1) qui est fermé.

Correction de l’exercice VII.3: Soit z0 ∈ C quelconque. Il suffit de montrer quechacune des applications est continue en z0.

(i) Il suffit d’écrire que∣∣∣∣|z| − |z0|

∣∣∣∣ 6 |z − z0|.

(ii) Pour n = 0, il s’agit de la fonction constante égale à 1 et pour n > 1, posons z0 ∈ C

quelconque. Il existe un réel R > 0 tel que z0 ∈ D(0, R). Pour tout z ∈ D(0, R), ona :

|zn − zn0 | = |z − z0|

∣∣∣∣∣

n−1∑

k=0

zn−1−kzk0

∣∣∣∣∣6 nRn−1|z − z0| −−−→

z→z0

0.

(iii) Il suffit d’écrire que |zn − zn0 | = |zn − zn

0 |. Avec le même raisonnement, on montreaussi que z 7−→¯z est continue sur C.



(iv) Il suffit d’écrire que Re(z) =12

(z + z) et Im(z) =12i

(z − z).

Correction de l’exercice VII.4: Soient ε > 0 et z0 ∈ U . Comme ϕ est continue surR+, elle l’est en |f(z0)| donc

∃η > 0, ∀ t ∈ R+,

∣∣∣∣t− |f(z0)|

∣∣∣∣ < η =⇒ |ϕ(t) − ϕ

(

|f(z0)|)∣∣∣∣ 6 ε. (X.0.7)

Par continuité de f donc de |f | en z0, on peut aussi trouver un réel α > 0 tel que

∀ z ∈ U , |z − z0| < α =⇒∣∣∣∣|f(z)| − |f(z0)|

∣∣∣∣ < η. (X.0.8)

En combinant (X.0.7) et (X.0.8), on obtient∣∣∣∣ϕ(

|f(z)|)

− ϕ(

|f(z0)|)∣∣∣∣ 6 ε,

pour tout z ∈ U tel que |z − z0| < α. La fonction z 7−→ ϕ(

|f(z)|)

est donc continue sur

z0 ∈ U quelconque donc sur U tout entier.

Correction de l’exercice VIII.1:

(i) Pour x = 0, un(0) = 0, qui est bien le terme général d’une série convergente. Pourx > 0, on a un(x) ∼

n→+∞

x

n2, terme général d’une série convergente. D’après les

critères de comparaison des séries à termes positifs, la série+∞∑

n=1

un(x) converge.

(ii) Pour tout x ∈ [0, A], |un(x)| 6 A

n2, terme général d’une série convergente donc la

série+∞∑

n=1

un(x) converge normalement donc uniformément sur tout intervalle de la

forme [0, A].

(iii) Pour tout entier k tel que n + 1 6 k 6 2n, on a n2 + k2 6 5n2 d’oùn

n2 + k2>

15n

.

On en déduit que

2n∑

k=n+1

un(n)n2 + k2

=2n∑

k=n+1

n

n2 + k2> n× 1

5n=

15.

La série de fonctions+∞∑

n=1

un(x) ne vérifie donc pas le critère de Cauchy uniforme, elle

ne converge donc pas uniformément sur R+.

(iv) Il suffit ici d’utiliser le critère des séries alternées. En effet, à x > 0 fixé, la suite(

un(x))

n∈Nest positive, décroissante et tend vers 0. La série

+∞∑

n=1

(−1)nun(x) est donc

convergente et on a la majoration du reste :∣∣∣∣∣

+∞∑

k=n

(−1)kuk(x)

∣∣∣∣∣6 |un(x)| =

x

n2 + x2.



Il ne reste plus qu’à majorer le membre de droite indépendamment de x par unterme qui tend vers 0. Avec une majoration classique, on a :

x

n2 + x26

√x2 + n2

n2 + x26

1√n2 + x2

61n

−−−−→n→+∞

0.

On a donc bien convergence uniforme sur R+.

(v) Comme∣∣∣(−1)nun(x)

∣∣∣ =

∣∣∣un(x)

∣∣∣, on a le même résultat qu’en ((ii)) et la convergence

normale sur tout intervalle de la forme [0, A].Cependant, comme la convergence normale sur un sous-ensemble de R complet yentraine la convergence uniforme, d’après ((iii)), on ne peut donc avoir la convergencenormale sur R+ tout entier.

Correction de l’exercice IX.1: C’est une simple application des critères de D’Alembertet de Cauchy :

• Pour an = n! et z 6= 0, on a :

|an+1zn+1|

|anzn| = (n + 1)|z| −−−−→n→+∞

+∞.

Le rayon de convergence de la série est donc nul et D = 0.

• La conclusion est la même pour an = nn avec

n

√

|anzn| = n|z| −−−−→n→+∞

+∞.

• On sait que la série géométrique zn est convergente si et seulement si |z| < 1, ce quisignifie que son domaine de convergence est le disque unité ouvert

D = D(0, 1) = z ∈ C / |z| < 1.

• Pour an =1n

et z 6= 0,|an+1z

n+1||anzn| =

n

n + 1|z| −−−−→

n→+∞|z|.

Si |z| < 1, le théorème de d’Alembert nous dit alors que la série∑ zn

nzn converge

absolument.Si |z| > 1, on a lim

n→+∞|anz

n| = +∞ et la série∑ zn

nzn diverge.

Enfin si |z| = 1 alors z = eit avec t ∈ [0, 2π[. D’après le théorème d’Abel sur les

séries semi-convergentes, la série∑ eint

ndiverge uniquement pour t = 0, soit pour

z = 1.Conclusion, le domaine de convergence de

∑ zn

nzn est le disque unité fermé privé

de 1, soitD = z ∈ C / |z| 6 1 \ 1.

• A l’aide du critère de D’Alembert toujours, la série∑ zn

n!est absolument conver-

gente pour tout nombre complexe z. Son domaine de convergence est C tout entier.



Correction de l’exercice IX.2: En posant un =

∣∣∣∣∣

(−1)n

(2n)!z2n

∣∣∣∣∣, pour z 6= 0, on a :

un+1

un

=|z|2

(2n+ 2)(2n+ 1)−−−−→n→+∞

0.

Le critère de D’Alembert nous dit alors que la série∑ (−1)n

(2n)!z2n est absolument conver-

gente. son domaine de convergence est donc D = C.Le raisonnement et le résultat sont les mêmes pour la deuxième série.

Correction de l’exercice IX.3: ∀|z| < 1,1

1 − z=

+∞∑

n=0

zn et1

(1 − z)2=( 1

1 − z

)′

=+∞∑

n=1

nzn−1,. . .

Correction de l’exercice IX.4: Non. Dans ce cas on est seulement assuré que lim supn→+∞

|anzn| = +∞

mais il n’y a aucune raison que lim infn→+∞

|anzn| = +∞.

Il suffit de prendre par exemple la série∑

z2n, de rayon de convergence R = 1, mais(|anz

n|)n∈N n’a pas de limite : la valeur est 0 pour n impair et |z|n pour n pair, qui tendvers l’infini lorsque |z| > 1).


CHAPITRE II

FONCTIONS HOLOMORPHES

SommaireI Fonctions complexes d’une variable complexe . . . . . . . . . 47

II Fonctions holomorphes, C-différentiabilité . . . . . . . . . . . . 52

III R-différentiabilité et Cdifférentiabilité . . . . . . . . . . . . . . 56

IV Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

V Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

I Fonctions complexes d’une variable complexe

I.1 Isomorphisme entre R2 et C

Le plan complexe C porte deux structures d’espace vectoriel, il peut être identifié àR2 et c’est alors un R-espace de dimension 2, de base (1, i) par exemple ; ou considérécanoniquement comme C-espace de dimension 1, de base (1).

L’application φ : R2 7−→ C

(x, y) z = x+ iyest un isomorphisme de R-espaces vecto-

riels.Si f est une fonction définie dans C au voisinage d’un point z, la fonction f φ est

définie dans R2 au voisinage du point (x, y).Nous pourrons donc voir toute fonction définie sur C à valeurs dans C comme une

fonction définie sur R2, à valeurs dans R2. Si z = x+ iy est un point de C nous écrironsf(z) lorsque nous nous intéresserons aux propriétés « complexes » de f et f(x, y) lorsquenous nous intéresserons aux propriétés « réelles » de f .

• Si f est définie dans C il faudra lire f φ(x, y) lorsqu’on écrira f(x, y).

• Inversement si f définie dans R2, il faudra lire f φ−1(z) lorsqu’on écrira f(z).

Cet abus de notation permettra d’alléger les écritures. Ces réflexions amènent à considérerle diagramme commutatif suivant :

47

I.2 Un premier exemple : f(z) = z2 TD no 1

C C

z f(z)

R2 R2(

xy

) (

P (x, y)Q(x, y)

)

f

f

φ φ−1

avec f = φ−1 f φ,

etP = φ P φ−1,Q = φ Q φ−1.

D’où f(z) = P (z) + iQ(z).

(I.1.1)

La fonction f permet, en particulier, de définir la partie réelle et la partie imaginaired’une application complexe vue comme application sur R2. Avec les abus de notationspécifiés plus haut, on note alors :

f(x+ iy) = P (x, y) + iQ(x, y).

Enfin, on munit R2 de la topologie usuelle associée à la norme euclidienne

‖(x, y)‖ =√

x2 + y2

et C de celle associée au module |z|.

I.2 Un premier exemple : f(z) = z2

Considérons la fonction f définie par f(z) = z2, définie sur C tout entier, pour laquellele diagramme (I.1.1) devient :

C C

z z2

R2 R2(

xy

) (

x2 − y2

2xy

)

f

f

φ φ−1

Tout le problème de représenter le graphe une fonction complexe

f : U ⊂ C ≃ R2 7−→ C ≃ R2

est de disposer d’un repère de dimension isomorphe à R2 × R2 soit de dimension 4 (sic !).Ces derniers étant plutôt rares, on doit contourner cette difficulté :

⋄ On peut tracer des images de familles de courbes appropriées sous la transformationw = f(z) assimilée à une transformation f de R2 de R2.On pose w = f(z) = u+ iv.

– Les images réciproques des courbes u = cste et v = cste sont des hyperbolesd’équations respectives

x2 − y2 = u et xy =v

2.


TD no 1 Un premier exemple : f(z) = z2

1

1

y

xO

Figure I.2.1 – Images réciproques de droites parallèles aux axes duplan (u, v)

Remarque: La figure (I.2.1) représente aussi les courbes de niveaux des fonc-tions P (x, y) et Q(x, y).

– Les droites d’équation x = cste et y = cste sont transformées en des parabolesd’équations respectives

u = x2 − v2

4x2et u =

v2

4y2− y2. (I.2.2)

1

1

v

uO

Figure I.2.2 – Transformation de deux réseaux de droites verticales ethorizontales (parallèles aux axes du plan) par l’applica-tion z 7−→ z2. On obtient, grâce à la conformité (voirplus loin !) de cette application deux réseaux de courbesqui se coupent à angle droit.


I.2 Un premier exemple : f(z) = z2 TD no 1

⋄ On peut représenter dans un repère de R3 les parties réelle ou imaginaire (Fig. I.2.3).

R2 R R2 R(

xy

)

x2 − y2

(

xy

)

2xy

P Q

xy

x2 − y2

x

y

2xy

Figure I.2.3 – Parties réelle et imaginaire de z 7−→ z2


TD no 1 Un premier exemple : f(z) = z2

⋄ On peut représenter dans un repère de R3 le module |f(z)| (Fig. I.2.4).

x

y

x2 + y2

Figure I.2.4 – Représentation de z 7−→ |f(z)|


II.1 II. Fonctions holomorphes, C-différentiabilité TD no 1

II Fonctions holomorphes, C-différentiabilité

II.1 Propriétés élémentaires

Soient U un ouvert de C et z0 ∈ U . Une fonction f : U 7−→ C est dite C-différentiable en z0 si le nombre

limz→z0

z∈C\z0

f(z) − f(z0)z − z0

= limh→0

h∈C\0

f(z0 + h) − f(z0)h

existe. (II.1.3)

On note f ′(z0) cette limite. C’est le nombre dérivé de f en z0.On dit qu’une fonction est holomorphe sur U si elle est C-différentiable en toutpoint de U .On note H(U) leur ensemble.

Définition II II.1.1.

La propriété de C-différentiabilité est une propriété locale 1 Dans la suite, nous em-ploierons indifféremment le terme d’holomorphie pour une fonction C-dérivable en unpoint ou sur un ouvert et lorsqu’elle est holomorphe sur U , il est alors possible de définirson application dérivée

f ′ : U 7−→ C

z f ′(z).

Nous verrons cependant que la notion d’holomorphie prend tout son sens lorsqu’elleest reliée aux propriétés topologiques de son ouvert de définition.

De plus, même si la définition de f ′(z0) est analogue à la définition de la dérivée d’unefonction de variable réelle, on verra que les fonctions holomorphes ont des propriétésbeaucoup plus intéressantes que les fonctions dérivables de variable réelle.

Dans un premier temps, comme sur R, la relation (II.1.4) entraîne, qu’une fonctionC-dérivable est nécessairement continue puisqu’il revient au même de dire, au voisinaged’un point z0 où f est holomorphe,

f(z0 + h) − f(z0) = dfz0h+ o(|h|), 2 (II.1.4)

où dfz0est l’application C-linéaire 3 définie par :

dfz0: C 7−→ C

z f ′(z0)z.(II.1.5)

Comme sur R encore, la réciproque est fausse : il suffit de considérer z 7−→ z ci-après,continue sur C sans être holomorphe nulle part.

1. Notion qui passera donc bien à la limite uniforme notamment !

2. On dit qu’une fonction f de la variable complexe est un o(|h|) lorsque limh→0

|f(h)||h| = 0

3. Il est facile de voir que dfz0est continue en 0. Linéaire, elle l’est donc sur C tout entier.


TD no 1 Propriétés élémentaires

Exemples:

⋄ La fonction constante et la fonction z 7−→ z sont holomorphes en tout point de C.

⋄ La fonction z 7−→ z ne l’est en aucun puisque

limh→0h∈R∗

z0 + h− z0

h= 1 6= lim

h→0h∈R∗

z0 + ih− z0

ih= −1.

Remarque: Les fonctions z 7−→ z, z 7−→ Re z, z 7−→ Imz et z 7−→ |z|2 nousfournissent des exemples de fonctions indéfiniment dérivables vues comme fonctionsde R2 dans R2 et non dérivables au sens complexe. La fonction z 7−→ |z|2 estuniquement dérivable en 0 avec une dérivée nulle

|z|2z

= z −−→z→0

0.

⋄ Pour tout entier naturel n, la fonction f : z 7−→ zn est holomorphe sur C avecf ′(z) = nzn−1 pour tout n > 1 et tout z ∈ C.

Preuve: Les cas n égal 0 ou 1 sont triviaux. Pour n > 2, soient z0 ∈ C et z dans unvoisinage de z0, il suffit d’écrire :

f(z) − f(z0)z − z0

=zn − zn

0

z − z0= zn−1 + zn−2z0 + . . . + zzn−2

0 + zn−10 −−−→

z→z0

nzn−10 ,

par continuité sur C des fonctions z 7−→ zp, ∀p ∈ N.

⋄ La fonction f : z 7−→ 1zn

est holomorphe sur C∗ avec f ′(z) = − n

zn+1pour tout

z ∈ C∗.

Preuve: Par le même raisonnement, avec (z0; z) ∈ (C∗)2, z dans un voisinage de z0,

f(z) − f(z0)z − z0

=zn

0 − zn

znzn0 (z − z0)

= −zn−1 + zn−2z0 + . . . + zzn−20 + zn−1

0

znzn0

= −(

1zzn

0

+1

z2zn−10

+ . . . +1

zn−1z20

+1

znz0

)

−−−→z→z0

− n

zn+10

,

par continuité sur C∗ des fonctions z 7−→ 1zp

, ∀p ∈ N∗.


II.1 Propriétés élémentaires TD no 1

Il est facile de voir que l’ensemble des fonctions holomorphes de U dans C est unealgèbre pour les lois usuelles + ,× et . Plus précisément :

Soient U un ouvert de C et f , g des fonctions holomorphes sur U .

(i) f + g et fg sont holomorphes sur U .

(ii)f

gest holomorphe sur U \ Z(g) 4.

(iii) Si f est holomorphe au voisinage de z0 et g au voisinage de f(z0) alors g fest holomorphe au voisinage de z0.

(iv) Les régles usuelles de dérivation s’appliquent :

(f + g)′ = f ′ + g′ (fg)′ = f ′g + fg′ (II.1.6)(

1g

)′

= − g′

g2

(

f

g

)′

=f ′g − g′f

g2

(g f)′ = f ′ × g′ f. (II.1.7)

Proposition II II.1.2.

Preuve: Ces propriétés se démontrent exactement comme dans le cas réel. Démontrons seule-ment la propriété (II.1.7). Dans des voisinages respectifs de z0 et w0 = f(z0), l’expression (II.1.4)s’écrit :

g(w) − g(w0) = g′(w0)(w − w0) + o(|w − w0|) (II.1.8)

f(z) − f(z0) = f ′(z0)(z − z0) + o(|z − z0|) (II.1.9)

Comme f est continue en z0, pour z suffisamment proche de z0, f(z) appartient à un voisinagede f(z0) et o

(|f(z) − f(z0)|) = o(|z − z0|). On peut alors reporter (II.1.9) dans (II.1.7) :

g(f(z)

)− g(f(z0)

)= g′(f(z0)

)(f ′(z0)(z − z0) + o(|z − z0|))+ o

(|f(z) − f(z0)|)

= f ′(z0) × g′(f(z0))(z − z0) + o(|z − z0|)

g f est donc holomorphe au voisinage de z0 avec (g f)′(z0) = f ′(z0) × g′ f(z0).

Exemple:

• Une fonction polynomiale est holomorphe sur C tout entier. 6

• D’après ((ii)), une fonction rationnelle est holomorphe sur son ensemble de définition.

• Par récurrence, on généralise (II.1.6) en la formule de Leibniz :

(f1f2 . . . fn)′ = f ′1f2 . . . fn + f1f

′2 . . . fn + . . .+ f1f2 . . . f

′n.

Dans le cas où toutes les fk sont égales à f , on a (fn)′ = nf ′fn−1.

4. On note communément, Z(g) = z ∈ C / g(z) = 0, l’ensemble des zéros 5de g.5. Non ! pas Z comme Zorro !6. De telles fonctions dont le domaine d’holomorphie est le plan complexe tout entier sont dites entières.


TD no 1 Dérivée complexe et composantes connexes

Donnons une variante de ((iii)) sous une forme affaiblie mais utile 7 :

Soient U un ouvert de C, f : U 7−→ C holomorphe, [a, b] un segment réel non réduità un point et γ : [a, b] 7−→ U une fonction dérivable.Alors la fonction f γ est dérivable sur ]a, b[ avec

(f γ)′(t) = γ′(t) × f ′(

γ(t))

.

Lemme II II.1.3.

Preuve: Soient t 6= t0 dans [a, b]. Il suffit de revenir à la définition (II.1.3) en remarquant quepar continuité de γ, lim

t→t0

γ(t) = γ(t0) c’est-à-dire que l’on pourra toujours trouver un voisinage

adéquat de t0 envoyant γ(t) dans un voisinage de γ(t0).Ainsi fait, on a :

(f γ)(t) − (f γ)(t0)t − t0

=f(γ(t)

)− f(γ(t0)

)

t − t0

=f ′(γ(t0)

)(

γ(t) − γ(t0))

+ o(|γ(t) − γ(t0)|)

t − t0

= f ′(γ(t0))× γ(t) − γ(t0)

t − t0+ δ(t),

avec δ(t) =o(|γ(t) − γ(t0)|)

t − t0= |γ′(t0)| × o(|t − t0|)

t − t0= |γ′(t0)| × o(1) −−−→

t→t0

0.

La fonction f γ est donc bien dérivable en t0 avec (f γ)′(t0) = γ′(t0) × f ′(γ(t0))

.

II.2 Dérivée complexe et composantes connexesDans le cas des fonctions d’une variable réelle, on sait qu’une fonction définie sur un

intervalle et à valeurs réelles ou complexes est constante si et seulement si elle est dérivablede dérivée nulle.

Dans le cas complexe, on vérifie facilement qu’une fonction constante est holomorphede dérivée nulle et pour la réciproque, on a le résultat suivant :

Soient U un ouvert connexe de C et f : U 7−→ C une fonction holomorphe.Si f ′ ≡ 0 alors f est constante sur U .

Théorème II II.2.4.

Preuve: Soit a un élément de U . Comme U est un ouvert connexe, d’après (I IV.3.13) page 25,il est connexe par arcs c’est-à-dire que pour tout b ∈ D, il existe un chemin affine γ : [0, 1] 7−→ Dreliant a à b. Il est clair que γ est continu et au moins C1 par morceaux (sur R).D’après (II II.1.3), la fonction de la variable réelle ϕ : t 7−→ f

(γ(t)

)est dérivable sur [0, 1] et

telle queϕ′(t) = γ′(t)f ′(γ(t)

)= 0,

donc constante sur [0, 1] c’est-à-dire f(a) = ϕ(0) = ϕ(1) = f(b).

7. On aura besoin de ce résultat notamment dans la recherche de primitives en V II.2.10 page 171.


III.1 III. R-différentiabilité et Cdifférentiabilité TD no 1

L’élément b ∈ D ayant été choisi de manière quelconque dans D, f est donc constante sur Dc’est-à-dire localement constante sur le connexe U . D’après I IV.1.2 page 20, elle est constantesur U tout entier.

Soit U un ouvert de C. Une fonction holomorphe sur U dont la dérivée est nulleest constante sur chaque composante connexe de U .

Corollaire II II.2.5.

Preuve: D’après I IV.2.7 page 22, si U est ouvert, ses composantes connexes le sont aussi. Ilsuffit alors d’appliquer la proposition précédente à chacune d’elles.

III R-différentiabilité et Cdifférentiabilité

III.1 R-linéarité et C-linéaritéTrois espaces d’applications linéaires interviennent naturellement :

• LR(C,C), espace vectoriel sur R des applications R-linéaires de C dans C (où C estidentifié à R2). C’est aussi l’espace des applications R-linéaires de R2 dans R2 notéL(R2,R2). Il est de dimension 4 sur R.La différentielle 8 df(x0,y0) d’une application f : R2 7−→ R2 définie par

f(x+ h1, y + h2) = f(x, y) + df(x0,y0)

(

h1

h2

)

+ o(‖(h1, h2)‖),

appartient à cette espace.

• LCR(C,C), espace vectoriel sur C des applications R-linéaires de C dans C. 9

Il est de dimension 2 sur C.On note traditionnellement dx et dy les applications de LC

R(C,C) qui à z = x+iy ∈ C

associent Re z et Imz respectivement, c’est-à-dire

dx(x+ iy) = x et dy(x+ iy) = y. (III.1.10)

Comme

dx(1) = 1, dy(1) = 0,dx(i) = 0, dy(i) = 1,

le couple (dx, dy) forme une C-base de LCR(C,C).

On définit ensuite les applications dz et dz par

dz = dx+ idy et dz = dx− idy. (III.1.11)

Le couple (dz, dz) est encore une C-base du C-espace vectoriel LCR(C,C). 10

8. Lorsqu’elle existe !9. C’est le précédent muni de sa structure complexe canonique.

10. L’opérateur dz n’est autre que l’identité de C et dz celui de la conjugaison.


TD no 1 Applications C-linéaires

• LCC(C,C), espace vectoriel sur C des applications C-linéaires de C dans C.

Formé des applications de la forme z 7−→ αz, α ∈ C, il s’identifie avec le dualcomplexe C∗ de C donc de dimension 1 sur C dont (dz) en forme une C-base.

Revenons un instant sur les écritures en (II.1.4) et (II.1.5). Outre le fait qu’elles ex-priment que la C-différentielle d’une fonction holomorphe appartient naturellementà LC

C(C,C), puisque ce n’est qu’une multiplication par f ′(z0), on reconnaît aussi etsurtout l’expression d’une similitude du plan complexe de rapport |f ′(z0)| et d’anglearg f ′(z0). C’est un fait général auquel est consacré le paragraphe suivant.

III.2 Applications C-linéairesLes fonctions de C dans C et C-linéaires sont de la forme

f(z) = αz, avec α = a + ib

= ρ(cos θ + i sin θ)

∈ C.

Avec les notations du diagramme (I.1.1), f définit une application f ∈ L(R2,R2)définie par :

f : R2 7−→ R2(

xy

) (

a −bb a

)(

xy

)

= ρ

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(

xy

)

.

Une application C-linéaire définit donc une application R-linéaire dont la matrice dansla base canonique est de la forme

(

a −bb a

)

. (III.2.12)

Réciproquement, soit f ∈ L(R2,R2), une application dont la matrice dans une basesoit de la forme (III.2.12). Il est clair que que l’application φfφ−1 définit une applicationde LC(R2,R2). On a donc démontré le résultat suivant :

Une application f : C 7−→ C est C-linéaire si et seulement si l’applicationf : R2 7−→ R2 qui lui est associée est R-linéaire et dont la matrice dans unebase de R2 est de la forme (III.2.12).

Lemme II III.2.1.

Remarque: Ce résultat extrêmement simple est à la base de deux propriétés importantesdes fonctions holomorphes :

• les conditions de Cauchy-Riemann que nous verrons au paragraphe suivant.

• la représentation conforme. En effet, la matrice (III.2.12), notamment écrite sous saforme polaire

ρ

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

est la matrice d’une similitude d’angle θ et de rapport ρ, transformation du plan quiconserve les angles orientés et les cercles. Nous reviendrons sur ce point plus loin.


III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann TD no 1

III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann

On remarquera que l’expression (II.1.4) est exactement la définition d’une fonctiondifférentiable : un terme linéaire plus des termes qui tendent vers 0 assez vite . . . à celaprès que le terme linéaire est un terme C-linéaire. Approfondissons ce lien :

Soient f : U 7−→ C et z0 ∈ U . Alors, f est holomorphe en z0 si et seulement si f estR-différentiable en z0 et si sa C-différentielle dz0

f au point z0 est une applicationC-linéaire.

Proposition II III.3.2.

Remarque: Ceci veut simplement dire que, sous les bonnes hypothèses de différentiabilité,une fonction est holomorphe si et seulement si sa différentielle est une similitude du plan.

Preuve: Si f est holomorphe en z0 = x0 + iy0, posons f ′(z0) = u + iv et h = h1 + ih2 sous leurforme cartésienne. L’expression (II.1.4) s’écrit :

f(z0 + h) − f(z0) = dfz0h + o(|h|)

= f ′(z0)h + o(|h|)f(x0 + h1, y0 + h2) − f(x0, y0) = (u + iv)(h1 + ih2) + o(‖(h1, h2)‖)

= uh1 − vh2 + i(vh1 + uh2) + o(‖(h1, h2)‖)

= dfR,(x0,y0)(h1, h2) + o(‖(h1, h2)‖),

où on a posé, avec tous les abus de notation mentionnés plus haut,

dfR,(x0,y0) : R2 7−→ R2(

h1

h2

) (

uh1 − vh2

uh2 + vh1

)

=

(

u −vv u

)(

h1

h2

)

.

(III.3.13)

L’application dfR,(x0,y0) est bien une application R-linéaire de L(R2,R2) c’est-à-dire que f

est R-différentiable. De plus, sa matrice dans une base de R2 est bien de la forme (III.2.12) doncdfz0

est C-linéaire.Réciproquement, il suffit de remonter les implications précédentes, l’essentiel du travail ayantété fait en (II III.2.1).


TD no 1 Les conditions de Cauchy-Riemann

Avec les notations de (I.1.1), on peut préciser encore ce résultat :

Soit U ⊂ C un ouvert et z0 = x0 + iy0 ∈ U . Les propriétés suivantes sont équiva-lentes :

(i) La fonction f : U 7−→ C est C-différentiable a en z0.

(ii) L’application f : U 7−→ R2 est R-différentiable et vérifie les conditions deCauchy-Riemann :

∂P

∂x(x0, y0) =

∂Q

∂y(x0, y0),

∂Q

∂x(x0, y0) = −∂P

∂y(x0, y0).

(III.3.14)

(iii) L’application f est R-différentiable en (x0, y0) et sa matrice jacobienne estla représentation d’une similitude directe égale à

dfR,(x0,y0) =

(

Re f ′(z0) − Imf ′(z0)Imf ′(z0) Re f ′(z0)

)

. (III.3.15)

a. ou holomorphe en z0

Théorème II III.3.3 (Les conditions de Cauchy-Riemann).

Revenons sur la R-différentiabilité d’une fonction f : U 7−→ R2 définie comme en(I.1.1). Dire que f est différentiable en (x0, y0) ∈ U signifie qu’il existe une applicationdfR,(x0,y0) ∈ L(R2,R2) telle que, pour tout (x, y) dans un voisinage de (x0, y0) au sens de(I II.2.6) :

f(x, y) − f(x0, y0) = dfR,(x0,y0)

(

x− x0

y − y0

)

+ o(

‖(x, y) − (x0, y0)‖)

.

En définissant, les dérivées partielles

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)h

=

∂P

∂x(x0, y0)

∂Q

∂x(x0, y0)

(III.3.16)

et

∂f

∂y(x0, y0) = lim

k→0

f(x0, y0 + k) − f(x0, y0)k

=

∂P

∂y(x0, y0)

∂Q

∂y(x0, y0)

, (III.3.17)


III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann TD no 1

avec les notations de (III.1.10), on a :

dfR,(x0,y0) =∂f

∂x(x0, y0)dx+

∂f

∂y(x0, y0)dy

=

∂P

∂x(x0, y0)

∂P

∂y(x0, y0)

∂Q

∂x(x0, y0)

∂Q

∂y(x0, y0)

. (III.3.18)

où la matrice (III.3.18) s’appelle la jacobienne de f en (x0, y0).De plus, en considérant des nombres complexes de la forme z = x+ iy0, on a aussi :

f ′(z0) = limz→z0

z 6=z0

f(z) − f(z0)z − z0

= limx→x0

x 6=x0

f(x, y0) − f(x0, y0)x − x0

=∂f

∂x(x0, y0).

= limx→x0

x 6=x0

f(x + iy0) − f(x0 + iy0)x − x0

=∂f

∂x(z0).

=∂P

∂x(z0) + i

∂Q

∂x(z0).

(III.3.19)

De même, en considérant des nombres complexes de la forme z = x0 + iy, on a aussi :

f ′(z0) = limz→z0

z 6=z0

f(z) − f(z0)z − z0

= limy→y0

y 6=y0

f(x0, y) − f(x0, y0)i(y − y0)

= −i∂f

∂y(x0, y0).

= limy→y0

y 6=y0

f(x0 + iy) − f(x0 + iy0)i(y − y0)

= −i∂f

∂y(z0).

=∂Q

∂y(z0) − i

∂P

∂y(z0).

(III.3.20)

Preuve: L’équivalence ((i)) ⇔ ((ii)) n’est qu’une reformulation de (II III.2.1) et (II III.3.2).Quant à ((ii)) ⇔ ((iii)), l’expression de la jacobienne en (III.3.13) avec f ′(z0) = u + iv

entraîne l’égalité (III.3.15).

Il faut bien noter que, a priori, les conditions de Cauchy-Riemann (III.3.14) ne fontintervenir que les dérivées partielles de f , et ne garantissent donc pas l’existence de ladifférentielle de f : la condition de R-différentiabilité ne peut donc pas être omise dans(II III.3.3).((ii)).

Par exemple, la fonction f définie par f(z) =z5

|z|4 est continue, possède des dérivées

partielles par rapport à x et y et satisfait en z = 0 aux conditions (III.3.14). Pourtant,elle n’est pas C-différentiable.Exemples:Les conditions de Cauchy-Riemann permettent de montrer que les fonctions,d’apparence très raisonnable, z 7−→ z, z 7−→ Re z, z 7−→ Imz, z 7−→ |z| et z 7−→ |z|2 nesont pas holomorphes.Preuve: Considérons par exemple f : z 7−→ z où, avec toujours les notations de (I.1.1),P (x, y) = x et Q(x, y) = −y. D’où

∂P

∂x(x, y) = 1 6= ∂Q

∂y(x, y) = −1.

Cette fonction n’est donc holomorphe en aucun point de C.


TD no 1 Les conditions de Cauchy-Riemann

Interprétation géométrique

Les conditions de Cauchy-Riemann entraînent des contraintes géométriques assez ri-gides notamment pour les courbes à P et Q constantes. Plus précisément :

Si f = P + iQ est une fonction holomorphe sur un ouvert U de C alors les lignesde niveau de P et Q sont orthogonales.

Théorème II III.3.4 (Lignes de niveau orthogonales).

Preuve: Il suffit d’appliquer les conditions de Cauchy-Riemann (III.3.14) à P et Q,

∂P

∂x=

∂Q

∂y, et

∂Q

∂x= −∂P

∂y.

En tout point (x0, y0) de U , les vecteurs tangents des courbes P (x, y) = cste et Q(x, y) = cstesont données, respectivement par

−−→grad(x0,y0) P =

∂P

∂x(x0, y0)

∂P

∂y(x0, y0)

et−−→grad(x0,y0) Q =

∂Q

∂x(x0, y0)

∂Q

∂y(x0, y0)

,

et on a

−−→grad P .

−−→grad Q =

∂P

∂x.∂Q

∂x+

∂P

∂y.∂Q

∂y=

∂Q

∂y.∂Q

∂x− ∂Q

∂x.∂Q

∂y= 0.

1

1

y

xO

Figure III.3.5 – Pour le champ P , ses équipotentielles (en rouge) sontorthogonales à ses lignes de champ (en vert)

Avec un langage de physiciens, les courbes courbes P (x, y) = cste et Q(x, y) = cstes’appellent les équipotentielles des champs P et Q tandis que les courbes orthogonales àces dernières portent le nom de lignes de champ. Le théorème (II III.3.4) s’interprète alorscomme suit :

Pour une fonction holomorphe, les lignes de champ de sa partie réellesont les équipotentielles de sa partie imaginaire 11.

11. et inversement !


III.4 Comportement local d’une fonction holomorphe TD no 1

III.4 Comportement local d’une fonction holomorphe

Soient U un ouvert, f ∈ H(U) et z0 ∈ U tel que f ′(z0) 6= 0.Alors, il existe un ouvert V ⊂ U contenant z0 tel que :

(i) W = f(V) est ouvert.

(ii) f : V 7−→ W est une bijection holomorphe.

(iii) f ′ ne s’annule pas sur V.

(iv)(

f−1)′

=1

f ′ f−1.

Théorème II III.4.5 (Inversion locale).

Preuve: Ce résultat est une conséquence directe du théorème d’inversion locale pour les fonc-tions R-différentiables de R2.

Soient f : R2 7−→ R2, U ⊂ R2 un ouvert et (x0, y0) ∈ U tel que df(x0,y0) ∈ Gℓ(R2,R2).Alors il existe un ouvert V ⊂ U tel que (x0, y0) ∈ V et un ouvert W de R2, tels que(u0, v0) = f(x0, y0) ∈ W et f est un C1-difféomorphisme 12de V sur W.De plus W = f(V) est un ouvert et

(

df(x0,y0)

)−1= df−1

(u0,v0).

Lemme II III.4.6 (Théorème d’inversion locale réel).

En effet, si f est holomorphe alors la fonction f de R2 associée est R-différentiable et sadifférentielle en un point z0 = x0 + iy0 est une similitudede rapport f ′(z0) 6= 0. L’applicationlinéaire df(x0,y0), de déterminant

∣∣f ′(z0)

∣∣ 6= 0, est donc inversible. On peut appliquer le théorème

d’inversion locale réel à f au voisinage de (x0, y0). On obtient ainsi les voisinages V et W del’énoncé.

Soit w0 un point de W. Montrons que g est holomorphe en w0.

g(w) − g(w0)w − w0

=g(w) − g(w0)

f g(w) − f g(w0).

Comme g est continue en w0, l’expression précédente a bien une limite lorsque w tend versw0 égale à

1f ′(g(w0)

) .

Remarque: L’inverse de la similitude df(x0,y0) associée à f ′(z0) est la similitude df−1f(x0,y0)

associée à1

f ′(z0).

12. f est une bijection de V sur W , de classe C1, ainsi que f−1.


TD no 1 Opérateurs dérivées partielles complexes

Soient U et V deux ouverts de C. Une fonction holomorphe f : U 7−→ V est ditebiholomorphe sur U si elle est bijective et si sa fonction réciproque f−1 : V 7−→ Uest aussi holomorphe.

Définition II III.4.7 (Fonction biholomorphe).

D’après (II III.4.5), pour une fonction holomorphe il suffit de vérifier f ′(z0) 6= 0 pourêtre localement biholomorphe.Exemples:La fonction z 7−→ z2 est localement biholomorphe dans un voisinage de chaque

z0 6= 0. Pour la fonction de Joukovski f : z 7−→ 12

(

z +1z

)

, on a f ′(z) =12

(

1 − 1z2

)

. Elle

est localement biholomorphe pour z0 6= ±1.Lorsqu’une fonction est biholomorphe d’un ouvert U dans un ouvert V, ceux-ci sont

identiques du point de vue de l’analyse complexe, puisque toute propriété vérifiée sur l’unpeut être transférée au second par composition avec le biholomorphisme. Remarquonsaussi qu’une fonction biholomorphe est en particulier un homéomorphisme. Les ouvertsU et V possèdent donc aussi les mêmes propriétés topologiques.

III.5 Opérateurs dérivées partielles complexesLes formules (III.1.11) de changement de la base (dx, dy) de LC

R(C,C) en la base(dz, dz) conduisent à définir les opérateurs dérivées partiels suivants :

Soient U un ouvert de C et z0 ∈ U . Soit f : U 7−→ C une fonctions admettant desdérivées partielles par rapport aux variables x et y en z0. On définit les opérateursdérivées partielles :

∂f

∂z(z0) =

12

(

∂f

∂x(z0) − i

∂f

∂y(z0)

)

et∂f

∂z(z0) =

12

(

∂f

∂x(z0) + i

∂f

∂y(z0)

)

, (III.5.21)

où z0 = x0 + iy0. La différentielle de f s’écrit alors :

dz0f =

∂f

∂z(z0)dz +

∂f

∂z(z0)dz. (III.5.22)

Définition II III.5.8.

C’est le contexte dans lequel s’énoncent les célèbres conditions de Cauchy exprimantla C-linéarité de la différentielle de f (lorsqu’elle existe) en fonction des dérivées partielles.

Soient f : U 7−→ C C et z0 ∈ U . Une fonction f est holomorphe en z0 si etseulement si elle est R-différentiable en z0 et si ses dérivées partielles en z0 vérifientla condition de Cauchy

∂f

∂z(z0) = 0. (III.5.23)

Proposition II III.5.9.


IV.0 IV. Fonctions harmoniques TD no 1

Preuve: Il suffit de réécrire les conditions (III.3.14) avec f = P + iQ :

2∂f

∂z(z0) =

∂f

∂x(z0) + i

∂f

∂y(z0)

=∂P

∂x(z0) + i

∂Q

∂x(z0) + i

(∂P

∂y(z0) + i

∂Q

∂y(z0)

)

=∂P

∂x(z0) − ∂Q

∂y(z0) + i

(∂P

∂y(z0) +

∂Q

∂x(z0)

)

= 0.

Remarque: Au vu de l’expression (III.5.22), la condition (III.5.23) exprime que la diffé-rentielle dfz0

est C-linéaire si et seulement si elle est proportionnelle à dz.En reprenant l’une ou l’autre des formes rencontrées précédemment, la dérivée com-

plexe de f en un point z0 ∈ U est alors donnée par l’une de ses dérivées directionnellessuivantes :

f ′(z0) =∂f

∂z(z0) =

∂f

∂x(z0) = −i∂f

∂y(z0).

(II.1.3) (III.3.19) (III.3.20)

(III.5.24)

Soient U un ouvert connexe de C et f : U 7−→ R.Si f est holomorphe sur U alors f est constante (sur U).

Proposition II III.5.10 (Fonction holomorphe à valeurs réelles).

Preuve: En gardant les notations de (I.1.1), on a Q = 0. Comme f est supposée holomorphe

sur U , les conditions de Cauchy-Riemann (III.3.14) imposent∂P

∂x(x, y) =

∂Q

∂y(x, y) = 0. D’après

(III.5.24),

f ′(z) =∂f

∂x(z) = 0,

ce qui équivaut à dire que f est constante sur U tout entier d’après (II II.2.4).

Géométriquement, les équations de Cauchy-Riemann empêchent une fonction holo-morphe d’avoir une image trop petite (contenue dans une droite réelle, par exemple).

IV Fonctions harmoniques

Soit U un ouvert non vide de R2. On dit qu’une fonction ϕ : U 7−→ R est harmo-nique sur U si elle est de classe C2 sur U avec

∀(x, y) ∈ U , ∂2ϕ

∂x2(x, y) +

∂2ϕ

∂y2(x, y) = 0.

Définition II IV.0.1.


TD no 1 IV. Fonctions harmoniques

L’opérateur∂2

∂x2+

∂2

∂y2est noté ∆ et appelé laplacien.

Si f = P + iQ est une fonction holomorphe sur U avec P et Q de classe C2 et àvaleurs réelles alors les fonctions P et Q sont harmoniques sur U .

Théorème II IV.0.2.

Preuve: Il suffit de dériver les équations de Cauchy-Riemann (III.3.14) et d’appliquer le théo-

rème de Schwarz qui dit que, pour des fonctions de classe C2 comme ici, les opérateurs∂

∂x

(∂

∂y

)

et∂

∂y

(∂

∂x

)

coïncident :

∆P =∂2P

∂x2+

∂2P

∂y2∆Q =

∂2Q

∂x2+

∂2Q

∂y2

=∂

∂x

(

∂P

∂x

)

+∂

∂y

(

∂P

∂y

)

=∂

∂x

(

∂Q

∂x

)

+∂

∂y

(

∂Q

∂y

)

=∂

∂x

(

∂Q

∂y

)

+∂

∂y

(

−∂Q

∂x

)

=∂

∂x

(

−∂P

∂y

)

+∂

∂y

(

∂P

∂x

)

=∂2Q

∂x∂y− ∂2Q

∂x∂y= 0 = − ∂2P

∂x∂y+

∂2P

∂x∂y= 0.

Les fonctions P et Q sont donc harmoniques sur U .

Remarque: Nous verrons plus loin qu’une fonction holomorphe est en fait indéfiniment déri-vable. L’hypothèse P et Q de classe C2 sur U sera donc redondante.

Exemples:

⋄ comme la fonction P : (x, y) 7−→ x2 + y2 dont le laplacien ∆P = 4 est non nul n’estpas harmonique donc il ne peut pas exister de fonction holomorphe sur C de partieréelle x2 + y2 = |z|2.

⋄ Pour toute fonction holomorphe f = P + iQ ne s’annulant pas sur U (où P et Qsont de classe C2 à valeurs réelles), la fonction ln |f | est harmonique.


IV.2 Un exemple : Charybde et Scylla TD no 1

Même si on ne le démontrera pas ici, le théorème (II IV.0.2) admet une réciproque :

Si U est un ouvert simplement connexe 13et P : U 7−→ R une fonction harmonique,il existe alors des fonctions holomorphes sur U de partie réelle P .

Théorème II IV.0.3.

Ce théorème permet donc de voir, sur un ouvert simplement connexe, l’ensemble desfonctions harmoniques comme celui des parties réelles de fonctions holomorphes.

Grâce à cette découverte, Riemann a ouvert l’application des fonctions holomorphesà de nombreux problèmes de la physique, puisque cette équation est satisfaite par lepotentiel gravitationnel d’un corps, par les champs électriques et magnétiques via leséquations de Maxwell, par la chaleur en équilibre et les liquides parfaits sans rotationnel.

IV.1 Un exemple : Charybde et ScyllaLe potentiel d’un liquide (parfait) en présence d’un puits et d’une source confondus

en le même point 14 est donné par la fonction

f : z 7−→ 1z

(

xy

)

P (x, y) =x

x2 + y2

Q(x, y) =−y

x2 + y2

qui est holomorphe sur U = C∗.

Les fonctions P : (x, y) 7−→ x

x2 + y2et Q : (x, y) 7−→ −y

x2 + y2sont donc harmoniques sur

R2 \ (0, 0).On a tracé en (Fig. IV.1.7), les courbes de niveau de la fonction P .

IV.2 Un peu d’électromagnétismeLe potentiel d’un dipôle où les charges sont placées en 1 et −1 peut être décrit par la

fonction holomorphe :

f(z) =1

z + 1+

1z − 1

.

Les parties réelles et imaginaires de f sont donc des fonctions harmoniques dont on atracé les courbes de niveau en (Fig. IV.2.8).

Exemple:Même si l’on ne démontre pas (II IV.0.3), on peut tout de même chercher detelles fonctions sous la forme f = P+iQ, où Q : U 7−→ R s’obtient en résolvant le système(III.3.14) défini par les conditions de Cauchy-Riemann.Soit, par exemple P : C 7−→ R défini par

P (z) = x2 − y2 − 2xy − 2x+ 3y.

13. Un ouvert connexe « sans trous ».14. Difficile à faire en pratique si ce n’est au bord d’une cascade ! Gare à la chute !


TD no 1 Un peu d’électromagnétisme

x

y

x

x2 + y2

Figure IV.1.6 – P : (x, y) 7−→ x

x2 + y2

1

1

y

xO

Figure IV.1.7 – Equipotentielles au voisinage d’un Puits-Source

Déterminons toutes les fonctions Q : C 7−→ R telles que f = P + iQ soit holomorphesur C.Il est clair que P est harmonique puisque

∆P =∂2P

∂x2+∂2P

∂y2= 2 − 2 = 0.


IV.2 Un peu d’électromagnétisme TD no 1

1

1

y

xO

Figure IV.2.8 – Equipotentielles d’un dipôle

1

1

y

xO

Figure IV.2.9 – Circulation du champ électrique au voisinage d’un di-pôle (+q,-q) donnée par les courbes de niveau de la

partie imaginaire de z 7−→ 1z + 1

+1

z − 1

On peut donc chercher Q. Les conditions de Cauchy-Riemann s’écrivent :

∂Q

∂y(x, y) =

∂P

∂x(x, y) = 2x− 2y − 2 (IV.2.25)

∂Q

∂x(x, y) = −∂P

∂y(x, y) = 2y + 2x− 3 (IV.2.26)

De (IV.2.25), on déduit que Q(x, y) = 2xy + x2 − 3x + ϕ(y) où ϕ est différentiablesur R. En remplaçant maintenant dans (IV.2.25), on déduit que ϕ′(y) = −y − 2 puisQ(x, y) = 2xy + x2 − 3x− y2 − 2y + c, c ∈ R.


TD no 1 V. Applications conformes

Finalement, en arrangeant un peu, on obtient :

f(z) = x2 − y2 − 2xy − 2x+ 3y + i(

2xy + x2 − 3x− y2 − 2y + c)

= (x+ iy)2 + i(x+ iy)2 − 2(x+ iy) − 3i(x+ iy) + ic

= (1 + i)z2 − (2 + 3i)z + ic.

V Applications conformesLes transformations du plan effectuées à l’aide de fonctions holomorphes jouissent

d’une propriété remarquable : « elles conservent les angles ». Tout repose sur la proposition(II III.3.2). Précisons tout d’abord ces quelques notions :

Soient U un ouvert de C et f : U 7−→ C une fonction complexe qui à z ∈ U associew = f(z) ∈ f(U).

Considérons alors deux chemins γ1 et γ2 de classe C1 dessinés dans U qui se coupenten un point z0 ∈ U régulier pour γ1 et γ2 c’est-à-dire :

γ1 : [0, 1] 7−→ Ut γ1(t)

γ2 : [0, 1] 7−→ Ut γ2(t)

avec γ1(t0) = γ2(t0) = z0, 0 < t0 < 1,dγ1

dt(t0) 6= 0 et

dγ2

dt(t0) 6= 0 les vecteurs tangents

respectifs en z0.

U

z0 −→γ′

1

−→γ′

2

θγ1

γ2

f(U)f(z0)

−−−−−→(f γ1)′

−−−−−→(f γ2)′

θ

f γ1 f γ2

Figure V.0.10 – Image de chemins par une application conforme

On regarde maintenant leurs images par f supposée holomorphe : les deux courbesf γ1 et f γ2 dessinées dans f(U) se coupent en f(z0) et leur vecteur tangents respectifen ce point sont donnés par

d

dt(f γ1)(t0) = (f ′ γ1)(t0) ×

(

dγ1

dt

)

(t0) = f ′(z0) ×(

dγ1

dt

)

(t0)

d

dt(f γ2)(t0) = (f ′ γ2)(t0) ×

(

dγ2

dt

)

(t0) = f ′(z0) ×(

dγ2

dt

)

(t0)

Les vecteurs tangents image sont donc les images des vecteurs tangents par une simi-litude de rapport f ′(z0) d’après (II III.3.2). Si f ′(z0) 6= 0 c’est-à-dire si le point z0 estrégulier l’angle des courbes images est le même que celui des courbes originelles. De tellesapplications sont dites conformes.

Avant de donner des exemples, précisons ce point :


V.0 V. Applications conformes TD no 1

Soient U un ouvert de C, f : U 7−→ C une application et z0 un point de U admettantun voisinage sur lequel f(z) 6= f(z0).On dit que f conserve les angles en z0 si

limr→0+

e−iθ f(z0 + reiθ) − f(z0)|f(z0 + reiθ) − f(z0)|

(V.0.27)

existe et est indépendant de θ. Une application qui conserve les angles en toutpoint de U est dite conforme sur U .

Définition II V.0.1.

Remarque: Dans cette définition, le terme δf(z0, h) =f(z0 + h) − f(z0)|f(z0 + h) − f(z0)|

représente la

direction (un complexe du cercle unité), qui va de f(z0) à f(z0 + h).

z0

z0 + reiτL

z0 + rei(τ+θ)

L′

θf(z0)

f(

z0 + reiτ)

f(

z0 + rei(τ+θ)

)

θ

Figure V.0.11 – Angle formé par deux rayons

Cette définition exprime que si deux rayons L = z0 + reiτ et L′ = z0 + rei(θ+τ) sontissus de z0, l’angle que fait leur image est le même que l’angle orienté (L,L′).Exemple:Les similitudes conservent les angles car pour f(z) = az, a ∈ C∗, on a :

limr→0+

e−iθδf(z0, reiθ) =

a

|a| , indépendant de θ.

Donc f est conforme sur C.La propriété de conserver les angles est caractéristique des fonctions holomorphes dont

la dérivée ne s’annule pas.

Soient U un ouvert de C, z0 ∈ U et f : U 7−→ C une application holomorphe.

f est conforme en z0 si et seulement si f ′(z0) 6= 0.

Théorème II V.0.2.

Preuve: Comme f est holomorphe dans un voisinage de z0 avec f ′(z0) 6= 0. Pour tout élémeth = reiθ dans un voisinage de 0 écrit sous sa forme polaire, on a :

f(z0 + reiθ) − f(z0) = f ′(z0)reiθ + o(|h|).Il suffit alors de remplacer dans (V.0.27) :

limr→0+

e−iθ f(z0 + reiθ) − f(z0)|f(z0 + reiθ) − f(z0)| = lim

r→0+

e−iθ f ′(z0)reiθ

|f ′(z0)reiθ| =f ′(z0)|f ′(z0)| .


TD no 1 V. Applications conformes

Donc f conserve les angles.Réciproquement, soit n le plus petit entier tel que f (n)(z0) 6= 0. En anticipant un peu sur le

fait que f admet en tout point de U un développement en série entière, que, dans un voisinagede z0, on peut écrire :

f(z0 + reiθ) − f(z0) =f (n)(z0)

n!rneinθ + o(rn).

D’où

limr→0+

e−iθδf (z0, reiθ) = limr→0+

e−iθ

f (n)(z0)n!

rneinθ

∣∣∣∣∣

f (n)(z0)n!

rneinθ

∣∣∣∣∣

=f (n)(z0)|f (n)(z0)| ei(n−i)θ.

quantité qui ne dépend pas de θ si et seulement si n = 1 c’est-à-dire f ′(z0) 6= 0.

Exemple:f : z 7−→ z2 est holomorphe sur C, de dérivée f ′ : z 7−→ 2z. Cette dérivées’annulant en zéro, on n’est pas assuré de la conservation des angles des vecteurs tangentsà des courbes passant par zéro. Effectivement les demi-droites z(t) = teiα, (t, α > 0) sonttransformées en les demi-droites f(z(t)) = t2e2iαce qui montre que les angles des tangentesaux courbes droites correspondantes sont multipliés par 2.

Cependant f est une transformation conforme 15 de C∗ sur lui-même, et on peut vérifierque les droites parallèles aux axes du plan ne passant pas par zéro sont transformées en unréseau de courbes orthogonales comme illustré en (Fig. I.2.2). En précisant les résultatsde (I.2.2), on a :

⋄ Les droites x = x0 ont pour image les paraboles de foyer O et de directrice x = 2x20.

⋄ Les droites y = y0 ont pour image les paraboles de foyer O et de directrice x = 2y20.

Compléments

Pour la résolution analytique ou numérique d’équations aux dérivées partielles à deuxdimensions, l’utilisation de changements de variables associés à des transformations con-formes bijectives présente un intérêt certain.

En effet, on est assuré de ce qu’un système de coordonnées orthogonales sera trans-formé en un nouveau système de coordonnées elles aussi orthogonales. Ceci garanti unecertaine simplicité des formules de changement de coordonnées des opérateurs différentiels,tout en permettant de transformer un domaine de géométrie compliqué en un domainede géométrie simple.

A ce sujet on dispose du théorème dit de Riemann, qui stipule que, étant donné unouvert simplement connexe U , il existe toujours une application conforme bijective f quitransforme U en l’intérieur du disque unité.

Une extension de ce théorème due à Carathéodory et Osgood montre que si de plusU est borné et sa frontière est une courbe tracée par un circuit injectif de C, alors onpeut prolonger f sur la frontière de U , et cette frontière se trouve alors transformée en lecercle unité. Cette dernière extension est capitale puisque un problème physique comportetoujours des conditions aux limites posées sur la frontière de U .

15. mais non injective


VI.2 VI. Exercices TD no 2

VI Exercices

VI.1 Topologie et nombres complexesExercice VI.1:Soit α un nombre réel.

(i) Montrer que R \ α n’est pas connexe.

(ii) Soit z0 ∈ C, montrer que C \ z0 est connexe.

(iii) Montrer qu’il n’existe aucun homéomorphisme de R dans C.

(iv) Soit f : C 7−→ R une fonction continue et surjective.Montrer que : ∀ x ∈ R, f−1(x) est infinie.

Exercice VI.2:Lorsque z est complexe les fonctions sin(z), cos(z), sh(z) et ch(z) sont définies par lesformules 16 :

sin(z) =eiz − e−iz

2ish(z) =

ez − e−z

2

cos(z) =eiz + e−iz

2ch(z) =

ez + e−z

2

où la fonction z 7−→ ez est la fonction définie à l’exercice (VI.12).

(i) Montrer sin(a+ ib) = sin(a) ch(b) + i cos(a) sh(b).

(ii) Pour a et b réels, prouver :

∀ a, b ∈ R, | sin(a + ib)|2 = sin2(a) + sh2(b)

(iii) Résoudre sin(z) = 0.

Exercice VI.3:Soit α ∈ R et Hα =

− reiα / r ∈ R+

.

(i) Montrer que C \ Hα est ouvert et étoilé par rapport au centre eiα.

(ii) Montrer que C \ Hα est connexe.

On considère la fonction argα : C\Hα 7−→]α−π, α+π[ telle que pour tout z ∈ C\Hα,argα(z) est l’unique argument de z dans l’intervalle ]α − π, α+ π[.

(a) Prouver que argα est continue sur C \ Hα.

(b) Si Θ est une fonction continue sur C \Hα telle que Θ(z) est un argument de zpour tout z ∈ C \ Hα, montrer qu’il existe k ∈ Z tel que :

∀ z ∈ C \ Hα, Θ(z) = argα(z) + 2kπ.

16. Comme dans R donc !


TD no 2 Fonctions holomorphes

VI.2 Fonctions holomorphesPropriétés élémentaires

Exercice VI.4:Montrer que la fonction f(z) =

1z

est holomorphe sur C \ 0 et vérifie f ′(z) = − 1z2

.

Exercice VI.5:Si f et g sont deux fonctions dérivables au sens complexe au point z0 ; montrer que f + g,f − g et fg le sont et donner la valeur de leurs dérivées au point z.

Exercice VI.6:Si f et g sont deux fonctions dérivables au sens complexe au point z0 montrer que

f

gest

dérivable au sens complexe et donner la valeur de la dérivée lorsque g(z0) 6= 0.

Exercice VI.7:Montrer la formule pour la dérivée d’une composition g f .

Exercice VI.8: (i) En quels points la fonction z 7→ z est-elle holomorphe ?

(ii) Même question pour les fonctions z 7→ Re z et z 7→ Imz.

Exercice VI.9:Prouver qu’une fonction holomorphe sur un ouvert connexe, de dérivée identiquementnulle, est constante.Et si l’ouvert n’est pas connexe ?

Équations de Cauchy-Riemann

Exercice VI.10:Montrer qu’une application u : C 7−→ C est R-linéaire si et seulement si il existe deuxnombres complexes α et β tels que :

∀ z ∈ C, u(z) = αz + βz. (VI.2.28)

Exercice VI.11:La fonction f définie sur C par f(z) = f(x+ iy) = x2y + iy est-elle holomorphe ?

Exercice VI.12:Cet exercice propose une variante pour développer la théorie de la fonction exponentielle.

(i) On se donne une fonction f qui est n + 1-fois dérivable au sens complexe sur ledisque ouvert D(0, R). Soit z ∈ D(0, R). En appliquant la formule de Taylor avecreste intégral de Lagrange à la fonction de la variable réelle t 7→ g(t) = f(tz) pour0 6 t 6 1, prouver :

f(z) = f(0) + f ′(0)z +f (2)(0)

2z2 + · · · +

f (n)(0)n!

zn + zn+1∫ 1

0

(1 − t)n

n!f (n+1)(tz) dt.

(ii) On suppose que f est dérivable au sens complexe une fois sur D(0, R) et vérifief ′ = f et f(0) = 1. Montrer que f est infiniment dérivable au sens complexe.


VI.2 Fonctions holomorphes TD no 2

(iii) En utilisant la question précédente montrer :∣∣∣∣∣f(z) −

n∑

k=0

zk

k!

∣∣∣∣∣6 sup

|w|6|z||f(w)| |z|n+1

(n+ 1)!

et en déduire que, pour tout z ∈ C on a :

f(z) =+∞∑

k=0

zk

k!.

(iv) Réciproquement on considère la fonction F (z) =+∞∑

k=0

zk

k!.

(a) Vérifier que le rayon de convergence est infini.

(b) Établir par un calcul direct que F ′(0) existe et vaut 1.

(c) En utilisant le théorème sur les séries doubles, montrer que :

∀ z, w ∈ C, F (z + w) = F (z)F (w).

(d) En déduire ensuite que F est holomorphe sur C et vérifie F ′ = F .

Exercice VI.13:Connaissant les fonctions de la variable réelle exp, sin et cos, on peut définir la fonctionx 7−→ eix = cosx+ i sin x sur R et la fonction exponentielle complexe par

∀ z = x+ iy ∈ C, exp : z 7−→ exeiy.

Montrer, avec cette définition, que cette fonction est holomorphe sur C avec exp′ z = exp z.

Exercice VI.14:Soit U ⊂ C un ouvert connexe. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, montrerque toute fonction f : U 7−→ R holomorphe sur U est constante.

Exercice VI.15: (i) Montrer que la fonction u : (x, y) 7−→ e−x(x sin y − y cos y) est

harmonique sur R2 c’est-à-dire que son laplacien ∆u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2est nul pour tout

couple (x, y) ∈ R2.

(ii) Détermine v telle que f(z) = u+ iv soit holomorphe sur C.

(iii) Déterminer la fonction f .

Exercice VI.16:Tout complexe z qui n’est pas un réel positif ou nul peut s’écrire sous la forme z = reiθ,avec r > 0 et θ ∈ ]0, 2π[. On définit une fonction f sur Ω = C \ [0,+∞[ par

f(z) = P (r, θ) + iQ(r, θ)

où P et Q sont des fonctions réelles données.

(i) Donner des conditions sur les dérivées partielles de P , Q pour que f soit holomorphesur Ω.

(ii) En déduire que la fonctionLog z = Log r + iθ

est holomorphe sur Ω. Quelle est sa dérivée ?


TD no 2 Correction des exercices

VI.3 Correction des exercices


(i) α étant un nombre réel, les intervalles ] − ∞, α[ et ]α,+∞[ forment une partitiond’ouverts non vide de R \ α qui n’est donc pas connexe.

(ii) C \ z0 est connexe par arcs donc connexe. 17

(iii) Supposons le contraire et soit ϕ : R 7−→ C un tel homéomorphisme. D’après ((ii)),pour tout z0 = ϕ(α) ∈ C, ϕ−1

(

C\z0)

= R\α est donc connexe, ce qui contreditle résultat de ((i)).

(iv) Comme f est surjective, pour tout x ∈ R, la partie f−1(x) est non vide. Supposonsdonc qu’il existe x0 ∈ R tel que E0 = f−1(x0) soit finie.La partie Ω = C \ E0 est connexe dans C ce qui entraîne que son image par fcontinue est aussi connexe. Comme f(Ω) = R \ x0 est non connexe d’après ((i)),il y a là une contradiction.Ainsi, ∀ x ∈ R, f−1(x) est infinie.


(i)

sin(a)ch(b) + i cos(a) sh(b) =14i

(

(eia − e−ia)(eb + e−b) − (eia + e−ia)(eb − e−b))

=12i

(

eia−b − e−ia+b)

= sin(a+ ib).

(ii) Si a, b ∈ R, alors :

| sin(a+ ib)|2 = (sin(a) ch(b))2 + (cos(a) sh(b))2

= sin2(a)(1 + sh2(b)) + (1 − sin2(a)) sh2(b)

= sin2(a) + sh2(b).

(iii) La somme de carrés de nombres réels précédente ne peut être nulle que si et seule-ment si sin(a) = 0 et sh(b) = 0, c’est-à-dire a ∈ πZ et b = 0.Donc sin(z) = 0 ⇐⇒ z ∈ πZ.

Correction de l’exercice VI.3: Hα est la demi-droite issue de l’origine O et faisant unangle π + α avec l’axe [Ox).

O

b eiα

1

−1

1 2−1−2−3

1

1

×z1

× z2

α

17. Ce résultat se prolonge aisément : C \ E est connexe dans C pour toute partie E finie.


VI.3 Correction des exercices TD no 2

(i) Hα est fermée donc C \ Hα est ouvert.

Si C \ Hα n’est pas connexe alors il existe un point z de C \ Hα tel que le seg-ment

[

eiα, z]

intersecte la demi-droite Hα en un point ω dont l’affixe est décrite parl’équation :

(1 − λ)eiα + λz = −reiα.

Comme eiα /∈ Hα, le réel λ ne peut être nul. D’où

z =1 + r − λ

λeiα ∈ Hα

et la contradiction avec l’hypothèse de départ z 6∈ Hα. L’ensemble C \ Hα est doncétoilé par rapport à eiα.

(ii) Deux point z1, z2 quelconques de C \Hα peuvent toujours être joints par le chemincontinu formé des deux segments

[

z1, eiα]

et[

eiα, z2

]

donc C \ Hα est connexe pararcs donc connexe.

(iii) (a) Montrons tout d’abord que l’application

ϕ : ] − π, π[ Uα

θ eiθ

ϕ

est un homéomorphisme de ] − pi, π[ sur Uα où l’on a noté

Uα =

z ∈ C \ Hα / |z| = 1

=(

C \ Hα

)

∩ S1.

il suffit pour cela de montrer que ϕ est une application fermée 18. Soit alors Fune partie fermée de ]−pi, π[, c’est aussi une partie compacte dont l’image parϕ, continue dans Uα est aussi compacte. Comme Uα est séparée, on en déduitque ϕ(F ) est fermée et le résultat.En notant alors ψ l’inverse de ϕ, on remarque que

argα = ψ s,

où s est définie par s : C \ Hα Uα.

zz

|z|

ϕ

La continuité de argα sur C \ Hα résulte alors de celle de ψ et s.

(b) L’application h =Θ − argα

2πest définie et continue dans C \ Hα et prend des

valeurs entières. Comme C \ Hα est connexe d’après ((ii)), son image par hest connexe dans Z. Or, les seules parties connexes de Z muni de la topologiediscrète, sont les parties réduites a un seul élément c’est-à-dire qu’il existe doncun entier k ∈ Z tel h

(

C \ Hα

)

=

k

. On en déduit le résultat.

Correction de l’exercice VI.4: Il suffit de vérifier que f est dérivable au sens complexe.Pour tout z 6= 0 :

limw→z

f(w) − f(z)w − z

= limw→z

1w

− 1z

w − z= lim

w→z

1w − z

(z − w

wz

)

= − 1z2.

18. L’image de toute partie fermée est une partie fermée.



La fonction f est bien holomorphe sur C \ 0 avec f ′(z) = − 1z2

.

Correction de l’exercice VI.5: Considérons le produit fg. En utilisant la définitionmême de la dérivée, on a :

1h

(

f(z + h)g(z + h) − f(z)g(z))

= f(z + h)g(z + h) − g(z)

h+ g(z)

f(z + h) − f(z)h

−→h→0

f(z)g′(z) + g(z)f ′(z).

Autre manière :

f(z + h)g(z + h) =(

f(z) + f ′(z)h + hε(h))(

g(z) + g′(z)h + hε(h))

= f(z)g(z) +(

f(z)g′(z) + f ′(z)g(z))

h + hε(h) .

D’où (fg)′(z) = f(z)g′(z) + f ′(z)g(z).

Correction de l’exercice VI.6: On procède de la même façon que pour la correctionde l’exercice VI.5 en s’assurant que dans un voisinage de g(z0) 6= 0, on ait g(z) et g(z+h)non nuls, ce qui est assuré par la continuité de g en z0. On a alors :

f(z + h)g(z + h)

=f(z) + f ′(z)h + hε(h)

g(z)

(

1 +g′(z)g(z)

h+ hε(h)

)

=(

f(z) + f ′(z)h + hε(h)) 1g(z)

(

1 − g′(z)g(z)

h+ hε(h)

)

=f(z)g(z)

+f ′(z)g(z) − g′(z)f(z)

g2(z)h+ hε(h)

= . . .

Correction de l’exercice VI.7: On utilise de nouveau la définition de la dérivée, d’abordpour f en z puis pour g au point f(z) :

f(z + h) = f(z) + f ′(z)h + hε(h).

Notons wh = f ′(z)h + hε(h). Alors (et comme dans les exercices précédents on utilise« epsilon » pour n’importe quelle fonction tendant vers zéro lorsque sa variable tend verszéro) :

g(

f(z + h))

= g(

f(z) + wh

)

= g(

f(z))

+ g′(

f(z))

wh + whε(wh).

Ainsi :1h

(

g(

f(z + h)) − g(f(z)))

=(

g′(

f(z))

+ ε(wh))wh

h.

Lorsque h → 0, on a wh → 0, donc ε(wh) → 0 et par ailleurswh

h→ f ′(z). Au final

(g f)′(z) = limh→0

(

g′(

f(z))

+ ε(wh))wh

h= g′

(

f(z))

f ′(z).




(i) La fonction f(z) = z n’est nulle part holomorphe car

1h

(

f(z + h) − f(z))

=h

h,

qui n’a pas de limite lorsque h → 0.

(ii) Comme Re z =z + z

2, la fonction z 7−→ Re z n’est pas plus holomorphe que la

précédente. Ce raisonnement s’applique aussi à z 7→ Imz. Nous reviendrons à cegenre d’applications dans l’exercice VI.14.

Correction de l’exercice VI.9: Pour éviter des raisonnements topologiques, supposonsdans un premier temps que Ω soit le disque unité D(0, 1), et montrons que f est constanteet égale à f(0).

Si z ∈ D, alors le segment [0, z] ⊂ D (et c’est pour cette raison que l’on a pris Ω = D).On peut écrire

f(z) − f(0) =∫ z

0f ′(z) dz = 0.

Seulement, ici il faut expliquer le sens de cette intégrale (non connue pour l’instant). Soitγ : [0, 1] → [0, z], γ(t) = tz, une paramétrisation du segment [0, z]. Alors,

∫ z

0f ′(w) dw =

∫ 1

0f ′(γ(t))γ′(t) dt =

∫ 1

0f ′(tz)z dt

=∫ 1

0Re

(

f ′(tz)z)

dt+ i∫ 1

0Im

(

f ′(tz)z)

dt = 0.

Dans le cas d’un ouvert connexe Ω quelconque, le précédent raisonnement montre qu’auvoisinage de tout point z0 ∈ Ω la fonction f est constante. C’est donc une propriétéouverte. Autrement dit, si z0 ∈ Ω est un point quelconque, l’ensemble

E = z ∈ Ω ; f(z) = f(z0)est un ouvert. Pour conclure il faut établir que E est aussi un fermé de Ω (topologie

induite ! !). Or ceci est évident puisque E = f−1(

f(z0))

est l’image d’un fermé par la

fonction continue f . Notons enfin que E 6= ∅ puisque z0 ∈ E . Les seuls ensembles à la foisouverts et fermés du connexe Ω étant l’ensemble vide et Ω, on a Ω = E . La fonction f estconstante sur Ω.

Si Ω n’est pas connexe, f peut prendre différentes valeurs sur les différentes compo-santes connexes de Ω.

Correction de l’exercice VI.10: Il est clair qu’une application définie par (VI.2.28)est R-linéaire. De plus, dans ce cas, α et β sont alors solutions du système

α + β = u(1)

iα − iβ = u(i)(VI.3.29)

Réciproquement, si u est R-linéaire, il suffit de la connaître sur une base 19 du R-espacevectoriel C. Le déterminant du système (VI.3.29) est non nul. On peut donc correctementdéfinir le couple (α, β) comme solution de celui-ci. On a alors :

∀ z ∈ C, u(z) = u(x+ iy) = xu(1) + yu(i) , x et y sont réels

= x(α + β) + iy(α− β) = α(x+ iy) + β(x− iy)

= αz + βz.

19. Par exemple, (1, i) !



Remarque : De telles applications sont holomorphes si et seulement si β = 0. C’estexactement la différence entre la R-différentiabilité et l’holomorphie ou C-différentiabilité.En effet, nous verrons que les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l’équation∂

∂zf(z) = 0 où

∂

∂z=

12

(

∂

∂x+ i

∂

∂y

)

. Un calcul simple montre que dans ce cas

β =∂f

∂z(z) et α =

∂f

∂z(z)

avec∂

∂z=

12

(

∂

∂x− i

∂

∂y

)

. Ce qui se traduit par :

f est C-différentiable en z si et seulement si β =∂f

∂z(z) = 0. Dans ce cas f ′(z) =

∂f

∂z(z).

Correction de l’exercice VI.11: On notant f = P + iQ, on a P (x, y) = x2y etQ(x, y) = y. Calculons les dérivées partielles intervenant dans les conditions de Cauchy-Riemann :

∂P

∂x(x, y) = 2xy

∂Q

∂y(x, y) = 1

∂P

∂y(x, y) = x2 ∂Q

∂x(x, y) = 0

Posons alors H = z = x+ iy ∈ C, 2xy = 1. Pour z ∈ C \ H,∂P

∂x(x, y) 6= ∂Q

∂y(x, y) donc

f n’y est pas holomorphe et pour z ∈ H,∂P

∂y(x, y) 6= −∂Q

∂x(x, y).

L’application f n’est donc holomorphe en aucun point de C.


(i) La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit, sous les bonnes conditions sur g :

g(b) = g(a) + g′(a)(b− a) + ... +g(n)(a)n!

(b− a)n +∫ b

a

(b− t)n

n!g(n+1)(t) dt

puis on remplace avec a = 0 et b = 1.

(ii) Si f ′ = f et si f est n-fois dérivable au sens complexe, alors

limh→0

f (n)(z + h) − f (n)(z)h

= limh→0

f (n−1)(z + h) − f (n−1)(z)h

= f (n)(z).

Par récurrence on en déduit, d’une part, que f est infiniment dérivable et, d’autrepart, que f (n)(z) = f(z) pour tout n > 0. En particulier, f (n)(0) = 1 pour toutn > 0.

(iii) En utilisant la formule de Taylor de la question précédente on a donc∣∣∣∣∣f(z) −

n∑

k=0

zk

k!

∣∣∣∣∣6 |z|n+1

∫ 1

0

(1 − u)n

n!|f (n+1)(uz)| du

6 |z|n+1 sup|w|6|z|

|f (n+1)(w)|∫ 1

0

(1 − u)n

n!du 6 sup

|w|6|z||f(w)| |z|n+1

(n+ 1)!.

A z ∈ C fixé, cette dernière expression tend vers 0 lorsque n → ∞.

D’où f(z) =+∞∑

k=0

zk

k!.



(iv) (a) Fixons z ∈ C et notons ak =zk

k!. Alors :

∣∣∣∣

ak+1

ak

∣∣∣∣ = |z| 1

k + 1−−−−→k→+∞

0

D’après le critère de D’Alembert, le rayon de convergence de cette série est+∞. En particulier, F est holomorphe sur C.

(b) Une série entière est dérivable sur son disque de convergence donc ∀ z ∈ C,

F ′(z) =∑

k>1

kzk−1

k!= F (z). D’où F ′(0) = F (0) = 1.

(c) Les séries F (z) et F (w) étant absolument convergente sur C, leur produit deCauchy est également convergent et on peut permuter les sommes :

F (z)F (w) =∞∑

k=0

k∑

j=0

zj

j!wk−j

(k − j)!=

∞∑

k=0

1k!

k∑

j=0

k!j!(k − j)!

zjwk−j

=∞∑

k=0

1k!

(z + w)k = F (z + w).

(d) Grâce à la question précédente, pour tout z ∈ C :

limh→0

F (z + h) − F (z)h

= limh→0

F (z) × F (h) − F (0)h

= F (z) × F ′(0) = F (z).

Correction de l’exercice VI.13: On a exp z = P (z) + iQ(z) avec P (z) = ex cos y etQ(z) = ex sin y qui sont deux fonctions R-différentiables avec

∂P

∂x(x, y) = ex cos y =

∂Q

∂y(x, y)

∂P

∂y(x, y) = −ex sin y = −∂Q

∂x(x, y)

Les conditions de Cauchy-Riemann sont donc réalisées, z 7−→ exp z est holomorphe sur Cet on a :

∀ z ∈ C, exp′ z =∂ exp∂x

=∂P

∂x(x, y) + i

∂Q

∂y(x, y)

= ex cos y + iex sin y = exp z.

Correction de l’exercice VI.14: Soit f(z) = u(z) + iv(z) pour z ∈ U . Si f ne prendque des valeurs réelles, alors v ≡ 0. On tire des équations de Cauchy-Riemann

∂u

∂x=∂v

∂y≡ 0 et

∂u

∂y= −∂v

∂x≡ 0.

D’où f ′(z) =∂f

∂z(z) =

12

(

∂f

∂x− i

∂f

∂y

)

(z) = 0 : la dérivée de f est identiquement nulle

sur l’ouvert connexe Ω ce qui implique que f est constante. 20


20. Cf. exercice VI.9.



(i) Il suffit de calculer ;

∂2u

∂x2= −2e−x sin y + xe−x sin y − ye−x cos y

∂2u

∂y2= −xe−x sin y + 2e−x sin y + ye−x cos y

D’où ∆u =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 et u est harmonique sur R2.

(ii) Comme f est cherchée holomorphe, elle doit satisfaire aux équations de Cauchy-Riemann :

∂v

∂y=∂u

∂x= e−x sin y − xe−x sin y + ye−x cos y (VI.3.30)

∂v

∂x= −∂u

∂y= −e−x cos y − xe−x cos y − ye−x sin y (VI.3.31)

En intégrant (VI.3.30) par rapport à y, x étant constant, on obtient :

v = −e−x cos y + xe−x cos y + e−x(y sin y + cos y) + ϕ(x)

= ye−x sin y + xe−x cos y + ϕ(x), (VI.3.32)

où ϕ est une fonction réelle arbitraire de x. Par substitution de (VI.3.32) dans(VI.3.31), on obtient :

−ye−x sin y − xe−x cos y + e−x cos y + ϕ′(x) = −ye−x sin y − xe−x cos y + e−x cos y

ϕ′(x) = 0.

La fonction ϕ est donc constante à un réel λ et on a finalement trouvé :

∀ λ ∈ R, v = e−x sin y + xe−x cos y + λ.

(iii) A une constante additive près, ∀ zinC, on a :

f(z) = u+ iv

= e−x(x sin y − y cos y) + ie−x(sin y + x cos y)

= e−x

(

xeiy − e−iy

2i− y

eiy + e−iy

2

)

+ ie−x

(

yeiy − e−iy

2i+ x

eiy + e−iy

2

)

= i(x+ iy)e−(x+iy)

= ize−z .


(i) En utilisant les relations de Cauchy, on trouve aisément

∂P

∂r=

1r

∂Q

∂θet

∂Q

∂r= −1

r

∂P

∂θ

(ii) Ces conditions sont vérifiées par la fonction Log. Sa dérivée est1z

.




CHAPITRE III

FONCTIONS ANALYTIQUES

SommaireI Séries Entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

II Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

III Conséquences de l’analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

I Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Ce chapitre reprend les idées que Weierstrass développa en son temps : il consistesimplement à voir les fonctions de la variable complexe à travers leur représen-tation locale en sommes de séries entières.

Une série entière étant une série de fonctions de la forme∑

anzn, le lemme d’Abel

(III I.1.2) montre très simplement que le domaine de convergence d’une telle série est un

disque D(0, R) dont le rayon est donné par la formule de Hadamard R =1

lim sup |an| 1

n

.

Suivant Weierstrass, une « bonne » fonction de variable complexe est une fonction f ,définie sur un ouvert U de C, telle que, pour tout point zo de U , il existe une série entière∑

anzn de rayon de convergence R > 0 dont la somme centrée en zo est égale à f dans

un voisinage ouvert de z0, soit

f(z) =+∞∑

n=0

an(z − z0)n.

De telles fonctions s’appellent des fonctions analytiques sur U . Les fonctions usuelles,comme l’exponentielle complexe, les fonctions trigonométriques et les fonctions hyper-boliques sur lesquelles nous reviendrons au chapitre (IV ) sont analytiques sur C. Plusgénéralement, on montre en (III II.3.6) page 99 que la somme d’une série entière définitune fonction analytique à l’intérieur de son disque de convergence. Ce résultat n’est pasune évidence : si l’on fixe un point zo du disque de convergence, on doit alors montrer quela somme de la série initiale s’exprime localement comme somme d’une autre série centréeen z0, dont les coefficients diffèrent a priori de ceux de la première.

Les fonctions analytiques possèdent de remarquables propriétés, qui les distinguentradicalement des fonctions de classe C∞ à deux variables réelles. Par exemple et nondes moindres, lorsque leur ouvert de définition U est connexe, elles sont complètementdéterminées par leurs valeurs sur une partie de U de la forme zm, m ∈ N, où (zm)m∈N

83

I.1 I. Séries Entières TD no 2

est une suite d’éléments de U qui possède une valeur d’adhérence. C’est le théorème deszéros isolés (III III.1.4) ou principe du prolongement analytique (III III.2.7).

La notion de série entière est donc tout naturellement à la base de l’étude. Ce cha-pitre commence donc par rappeler rapidement leurs principales propriétés avant de définirles fonctions analytiques proprement dite c’est-à-dire développables en séries entières auvoisinage de tout point de leur ouvert.

I Séries EntièresCe premier paragraphe est un prolongement de l’étude des séries de fonctions débutée

au chapitre (I )V page 28. Il s’attache à redémontrer rapidement les quelques propriétésimportantes des séries entières et propres à celles-ci qui nous seront utiles par la suite.

I.1 Disque de convergence

On appelle série entière de la variable z toute fonction de la forme∑

anzn où

(an)n∈N est une suite d’éléments de C. On désignera par D, le domaine de conver-gence de la série entière c’est-à-dire l’ensemble des nombres complexes z pourlesquels la série

∑

anzn est convergente.

∀ z ∈ D, f(z) =+∞∑

n=0

anzn.

Définition III I.1.1.

Remarque: D est non vide puisqu’il contient toujours 0.Exemples:Un polynôme est un cas très particulier et sans intérêt de série entière. Parcontre, une série géométrique est le premier cas de série entière rencontré dans le cadredes séries numériques. Plus précisément :

∀ |z| < 1,+∞∑

n=0

zn =1

1 − z,

Le domaine de convergence est ici le disque ouvert de centre l’origine et de rayon 1 1.

Soit∑

anzn une série entière et z0 ∈ C tel que la suite (anz

n0 )n∈n soit bornée. Alors

(i) ∀ z ∈ C, |z| < |z0|, la série∑

anzn est absolument convergente.

(ii) Pour tout r tel que 0 < r < |z0|, la série de fonctions∑

anzn est normalement

convergente.

Lemme III I.1.2 (Lemme d’Abel).

Preuve: Soit M un majorant de |anzn0 |. Les propriétés ((i)) et ((ii)) découlent de la majoration

|anzn| 6∣∣∣∣

z

z0

∣∣∣∣

n

|anzn0 | 6 M

∣∣∣∣

z

z0

∣∣∣∣

n

, (I.1.1)

1. La convergence est même uniforme sur tout sous-ensemble fermé du disque


TD no 2 Disque de convergence

où le dernier membre de l’inégalité (I.1.1) est le terme général d’une série géométrique conver-gente.

Ce lemme simple montre quelle est la forme du domaine de définition de la série : c’estun disque. L’assertion (ii) est une conséquence importante qui mérite d’être reformulée :

Si une série entière converge en un point z0 alors elle converge normalement surtout le disque ouvert de centre O et de rayon |z0|.

Corollaire III I.1.3.

b

O

bz0

|z0|la série numérique

∑

n∈N

anzn0

converge.

La série de fonctions∑

n∈N

anzn

converge normalement.

0 < r 6 |z0 |

Figure I.1.1 –∑

anzn0 converge ⇒

∑

anzn converge normalement si|z| < |z0|.

Le lemme (III I.1.2) justifie alors la définition suivante :

Le rayon de convergence de la série∑

anzn est l’élément de R+ défini par :

R = sup

r ∈ R+ /(

anrn)

n∈Nest bornée

. (I.1.2)

Le disque ouvert de centre O et de rayon R, ou le plan complexe si R = +∞, estappelé disque ouvert de convergence. Ce disque est vide si R = 0.

Définition III I.1.4.

Preuve: Posons I =

r ∈ R+(anrn)

n∈Nest bornée

qui est non vide car il contient au moins0. Si I = 0 alors R = 0 convient.

Sinon, soit r ∈ I, différent de 0. D’après le lemme d’Abel (III I.1.2), pour tout éléments ∈ [0, r[, la série

∑

n∈N

ansn est convergente ce qui entraîne que la suite(ansn)

n∈Nconverge vers


I.1 Disque de convergence TD no 2

0 et en particulier est bornée. D’où s ∈ I et [0, r[⊂ I. Ce dernier est un intervalle de R+ quicontient 0 donc il contient aussi l’intervalle [0, R] où R est le sup défini en (I.1.2).

Remarque: Si la suite (an)n∈N est bornée, on a nécessairement R > 1 et dans le cascontraire 1 6∈ I et R 6 1.

Avec ces dernières définitions et le lemme d’Abel, nous pouvons un peu préciser lespropriétés :

Soit∑

anzn une série entière, R son rayon de convergence.

(i) Pour tout z ∈ C tel que |z| < R,∑

anzn converge absolument.

(ii) Pour tout z ∈ C tel que |z| > R,∑

anzn diverge (grossièrement).

(iii) Pour tout r tel que 0 6 r < R, la série∑

anzn converge normalement

sur D(0, r). En particulier la somme d’une série entière est continue sur sondisque de convergence.

Théorème III I.1.5.

Attention, on n’affirme rien quant à la nature de la série∑

anzn pour tout z ∈ C tel

que |z| = R.Preuve: Grâce à la majoration (I.1.1), seule reste à démontrer l’assertion (ii) : Si z ∈ C esttel que |z| > R alors, par définition de R, |an||z|n ne peut être bornée et a fortiori

(anzn)

n∈N

ne peut converger vers 0 donc∑

anzn diverge. La continuité de la somme d’une série entièreest une conséquence de la convergence normale sur tout compact contenu dans son disque deconvergence.

Ce théorème permet de classer les nombres complexes en deux catégories : l’une où lasomme est convergente voire normalement convergente avec toutes les propriétés topolo-giques et analytiques qui en découlent et une autre où il n’y a pas convergence.A la frontière, reste une zone limite où les comportements fluctuent suivant les directionset les propriétés de la suite (an)n∈N

2.

Remarque: Les séries+∞∑

n=0

zn =1

1 − z,

+∞∑

n=0

(−1)nzn =1

1 + z,

+∞∑

n=0

zn

n2et

+∞∑

n=0

zn

nont

1 comme rayon de convergence. Elles convergent donc toutes sur le disque unité ouverttout en ayant des comportements très divers sur sa frontière.On gardera donc bien en tête que la convergence sur tout le disque fermé de convergenceest loin d’être acquise.

Grâce à la transformation d’Abel, on montre, par exemple, que la série+∞∑

n=0

zn

nconverge

pour tout élément du cercle de convergence différent de 1.

2. Le lecteur ou l’étudiant intéressé par ces questions pourra regarder les théorèmes de Tauber et deconvergence radiale d’Abel par exemple.


TD no 2 Détermination pratique du rayon de convergence

I.2 Détermination pratique du rayon de convergenceOn trouve en général le rayon de convergence grâce aux critères suivants :

(i) Si∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣ admet une limite ℓ alors R =

1ℓ. (Critère de d’Alembert).

(ii) Si n

√

|an| admet une limite ℓ alors R =1ℓ. (Critère de Cauchy).

Proposition III I.2.6.

Preuve:

(i) Pour tout z ∈ C, lim

∣∣∣∣∣

an+1zn+1

anzn

∣∣∣∣∣

= ℓ|z|. D’après le critère de D’Alembert (I V.2.7) page 30

pour les séries numériques, si ℓ|z| > 1 alors la série∑∣

∣anzn∣∣ diverge c’est-à-dire R 6

1ℓ

.

Si ℓ|z| < 1 alors la série∑∣

∣anzn∣∣ converge et R >

1ℓ

.

Conclusion, R =1ℓ

.

(ii) Le raisonnement est identique en utilisant le critère de Cauchy (I V.2.7) page 30 pour lesséries numériques.

Ces deux derniers critères sont les plus utilisés en pratique pour calculer des rayonsde convergence 3. Cependant, il peut arriver que les limites considérées n’existent pas. Onpeut alors avoir recours à une formule explicite du rayon de convergence dite formule deHadamard :

R =1

lim supn∈N

n

√

|an|. 4 (I.2.3)

Proposition III I.2.7 (Formule d’Hadamard).

Preuve: Tout d’abord, si la suite(

n

√

|an|)

n∈N

n’est pas majorée ou, de manière équivalente,

lim supn∈N

n

√

|an| = +∞. Il en est de même de la suite(

n

√

|anzn|)

n∈N

pour tout nombre complexe

3. On prendra bien garde à ce que les réciproques de ces deux critères sont fausses !4. La limite supérieure d’une suite (an)n∈N d’éléments de R = R ∪ ±∞ est le sup dans R des

valeurs d’adhérence de la suite (an)n∈N, noté limn∈N

(an) ou lim supn∈N

(an) et que l’on peut définir de manière

équivalente comme le nombre limn→+∞

(

supk>n

ak

)

(qui existe toujours dans R car(

supk>n

ak

)

n∈N

décroît).

Tout majorant d’une suite est alors supérieur à la limite supérieure de cette suite :

x > ak, ∀ k ⇒ x > supk>n

ak, ∀ n ∈ N ⇒ x > limn→+∞

supk>n

ak = lim(an)n∈N.


I.3 Opérations sur les séries entières TD no 2

z ∈ C∗ et la série∑

n∈N

|anzn| est divergente d’après (III I.1.2) c’est-à-dire R = 0 =1

+∞ . De

la même manière si(

n

√

|an|)

n∈N

est majorée, il en est de même de(

n

√

|anzn|)

n∈N

pour tout

nombre complexe z ∈ C∗. On peut alors appliquer le critère de Cauchy (III I.2.6) précédent :

•∑

n∈N

|anzn| est convergente si lim supn∈N

|z| n

√

|an| < 1 donc R >1

lim supn∈N

n

√

|an|.

•∑

n∈N

|anzn| est divergente si lim supn∈N

|z| n

√

|an| > 1 donc R 61

lim supn∈N

n

√

|an|.

Conclusion, R =1

lim supn∈N

n

√

|an|.

I.3 Opérations sur les séries entièresComme pour les fonctions polynomiales, on peut définir sur l’ensemble des séries en-

tières les opérations suivantes :

(i) La somme des séries entières∑

anzn et

∑

bnzn est la série entière

∑(

an + bn

)

zn.

(ii) Le produit des séries entières∑

anzn et

∑

bnzn est la série entière

∑

cnzn, où les

coefficients cn sont définis pour tout entier naturel n par la relation de Cauchy :

cn =n∑

k=0

akbn−k.

(iii) La série dérivée de la série entière∑

anzn est la série entière

∑

nanzn−1.

(iv) La série primitive de la série entière∑

anzn est la série entière

∑ an

n+ 1zn+1.

Ces séries sont, pour l’instant, définies d’un point de vue purement formel. Il faudrauser d’autres artifices que leur simple écriture pour prouver leur existence. Insistons encoreen disant que les séries (iii) et (iv) n’ont, pour l’heure, aucun lien différentiel avec la série∑

anzn .

Soient∑

anzn et

∑

bnzn deux séries entières dont les rayons de convergence sont

respectivement R et R′. On désigne par ρ le rayon de convergence de la série entièresomme

∑(

an + bn

)

zn.

(i) Si R 6= R′, alors ρ = min(R,R′).

(ii) Si R = R′, alors ρ > min(R,R′).

De plus, pour |z| < min(R,R′) :

+∞∑

n=0

(

an + bn

)

zn =+∞∑

n=0

anzn +

+∞∑

n=0

bnzn. (I.3.4)



TD no 2 Opérations sur les séries entières

Preuve: Si |z| < min(R, R′), d’après (III I.1.5), les séries∑

anzn et∑

bnzn sont absolumentconvergentes donc il en est de même de la série somme et on a ρ > min(R, R′). De plus, larelation (I.3.4) est clairement vérifiée.

Supposons que 0 < R 6 R′. Pour tout réel positif r tel que R < r < R′, la série∑(

an + bn

)

rn est divergente comme somme d’une série divergente∑

anrn et d’une conver-gente. D’où ρ 6 min(R, R′) = R et l’égalité ρ = min(R, R′) si R 6= R′.

Soient∑

anzn et

∑

bnzn deux séries entières dont les rayons de convergence sont

respectivement R et R′. On désigne par ρ le rayon de convergence de la série entière

produit∑

cnzn =

∑(

n∑

k=0

akbn−k

)

zn.

Alors, ρ > min(R,R′) et pour |z| < min(R,R′) :(

+∞∑

n=0

anzn

)(+∞∑

n=0

bnzn

)

=+∞∑

n=0

(n∑

k=0

akbn−k

)

zn. (I.3.5)


Preuve: Le cas où l’un des deux rayons de convergence est nul est évident. On suppose doncdésormais que R et R′ sont strictement positifs. Pour tout réel r tel que 0 6 r < min(R, R′) etpour tout entier n ∈ N, on a :

|cnrn| =

∣∣∣∣∣

n∑

k=0

akrkbn−krn−k

∣∣∣∣∣6

n∑

k=0

∣∣∣akrk

∣∣∣

∣∣∣bn−krn−k

∣∣∣

6

(n∑

k=0

∣∣∣akrk

∣∣∣

)(n∑

k=0

∣∣∣bn−krn−k

∣∣∣

)

6

(+∞∑

k=0

∣∣∣akrk

∣∣∣

)(+∞∑

k=0

∣∣∣bkrk

∣∣∣

)

< +∞

La suite(|cnrn|)

ninNest donc bornée. D’après le lemme d’Abel (III I.1.2), ρ > min(R, R′).

Pour |z| < min(R, R′), les séries∑

anzn et∑

bnzn sont absolument convergentes d’après

(III I.1.5), donc leur produit est égal au produit de Cauchy de∑

anzn et∑

bnzn c’est-à-direque la relation (I.3.5) est vérifiée.

Soit∑

anzn une série entière de rayon de convergence R. La série dérivée

∑

nanzn−1 et la série primitive

∑ an

n+ 1zn+1 ont le même rayon de convergence

R.


Preuve: Comme∑

anzn est la série dérivée de∑ an

n + 1zn+1, il suffit de montrer qu’une série

∑

anzn et sa série dérivée∑

nanzn−1 ont même rayon de convergence. Notons R et R′ leurrayon de convergence respectif.


I.3 Opérations sur les séries entières TD no 2

• Pour tout réel r tel que 0 6 r < R′, la suite (nanrn−1)n∈N est bornée donc (anrn)n∈N

aussi en vertu de la majoration :

|anrn| 6 |nan|rn = r|nan|rn−1.

Donc r 6 R et on en déduit R′ 6 R.

• Réciproquement, soit r < R et fixons r0 tel que r < r0 < R. On a :

nanrn−1 =n

r0

(anrn

0

)(

r

r0

)n−1

. (I.3.6)

Dans l’inégalité (I.3.6), la suite(

anrn0

)

n∈Nest bornée et lim

n→+∞

n

r0

(r

r0

)n

= 0 car r0 < r.

La suite(nanrn−1)

n∈Nest donc bornée et d’après le lemme d’Abel (III I.1.2), r < R′

c’est-à-dire R 6 R′.

On a donc démontré le théorème : R = R′.

Par récurrence, on montre alors facilement le corollaire suivant :

Une série entière∑

anzn et ses séries dérivées

∑

n(n − 1) . . . (n − p + 1)anzn−p

ont toutes le même rayon de convergence.



TD no 2 Holomorphie de la somme d’une série entière

I.4 Holomorphie de la somme d’une série entière

La somme d’une série entière∑

anzn , de rayon de convergence ρ > 0, est définie

sur un disque ouvert D(0, ρ) de C. Il est donc possible de parler de sa dérivée au sens de(II II.1.1) page 52 en tout point z0 ∈ D(0, ρ).

Plus précisément, la proposition suivante montre que la somme d’une série entière estholomorphe en tout point de son disque de convergence.

La somme f de la série entière∑

anzn , de rayon ρ, est dérivable au sens complexe

pour tout z ∈ D(0, ρ) et on a :

∀ z ∈ D(0, ρ), f ′(z) =+∞∑

n=1

nanzn−1.

Proposition III I.4.12.

Preuve: D’après le théorème (III I.3.10), on sait déjà que∑

anzn et∑

nanzn−1 ont le même

rayon de convergence ρ. Pour tout élément z ∈ D(0, ρ), on pose g(z) =+∞∑

n=1

nanzn−1.

Soit z0 ∈ D(0, ρ) et soit r un réel tel que |z0| < r < ρ de sorte que f(z0) et g(z0) sont biendéfinis.De même, soit h ∈ C tel que |h| 6 r − |z0| de sorte que |z0 + h| 6 |z0| + |h| 6 r et f(z0 + h) estbien défini.On a alors :

b

O ρ

bz0

|h|

b

z0 + hr

Figure I.4.2 – Holomorphie de la somme d’une série entière.


I.4 Holomorphie de la somme d’une série entière TD no 2

f(z0 + h) − f(z0)h

− g(z0) =

+∞∑

n=1

an

[

(z0 + h)n − zn0

]

h−

+∞∑

n=1

nanzn−10

=+∞∑

n=1

an

(

(z0 + h)n−1 + (z0 + h)n−2z0 + . . . + zn−10

)

−+∞∑

n=1

nanzn−10

=+∞∑

n=1

an

(

(z0 + h)n−1 + (z0 + h)n−2z0 + . . . + (z0 + h)zn−20 − (n − 1)zn−1

0

)

=+∞∑

n=1

un(z0, h).

Comme |z0| < r et |z0 + h| < r, on a∣∣un(z0, h)

∣∣ 6 2n|an|rn−1, (I.4.7)

qui est le terme d’une série convergente lorsque r < ρ.La série de terme général un(z0, h) est donc normalement convergente donc convergente. Onpeut alors scinder sa somme en deux termes :

+∞∑

n=1

un(z0, h) =N∑

n=1

un(z0, h) ++∞∑

n=N+1

un(z0, h). (I.4.8)

Soit ε > 0 quelconque fixé.

• Comme ∀n > 1, un(z0, 0) = 0, le premier terme de (I.4.8) qui est une somme finie s’annulepour h = 0, c’est-à-dire qu’il existe un réel positif η(z0, ε) tel que :

|h| < η =⇒∣∣∣∣∣

N∑

n=1

un(z0, h)

∣∣∣∣∣6

ε

2. (I.4.9)

• Comme r < ρ, le reste de la série de terme général n|an|rn−1 converge vers 0 5, c’est-à-direqu’il existe un entier n0(ε) ∈ N tel que, d’après (I.4.7) :

n > n0 =⇒∣∣∣∣∣∣

+∞∑

n=N+1

un(z0, h)

∣∣∣∣∣∣

6

+∞∑

n=N+1

|un(z0, h)| 6 2+∞∑

n=N+1

n|an|rn−16

ε

2. (I.4.10)

Finalement, si |h| < min(r − |z0|, η) et n > n0, (I.4.9) et (I.4.10) entraîne∣∣∣∣

f(z0 + h) − f(z0)h

− g(z0)∣∣∣∣ 6 ε.

La série∑

anzn est donc holomorphe en z0 et on a f ′(z0) =+∞∑

n=0

nanzn−10 .

Exemple:f(z) =∑

zn a pour rayon de convergence 1 et pour tout |z| < 1, f(z) =1

1 − z.

On en déduit que la série∑

nzn−1 a pour rayon de convergence 1 et que sa somme est

f ′(z) =1

(1 − z)2sur le disque unité ouvert.

5. A l’intérieur de son disque de convergence, une série converge absolument.


TD no 2 II. Fonctions analytiques

La somme f d’une série entière∑

anzn est indéfiniment dérivable au sens complexe

dans son disque ouvert de convergence, ses séries dérivées ont toutes le même rayonde convergence et on a :

∀ z ∈ D(0, ρ), f (p)(z) =+∞∑

n=p

n(n − 1) . . . (n− p+ 1)anzn−p

=+∞∑

n=0

(n + p)(n+ p− 1) . . . (n+ 1)an+pzn (I.4.11)

De plus, Les coefficients an sont complètement déterminés par la somme de la sérieet la formule :

an =1n!f (n)(0). (I.4.12)


Remarque: La relation (I.4.12) entraîne que si le développement en série entière existe,il est unique sur le disque de convergence.Preuve: Une simple récurrence sur la proposition (III I.4.12) montre que la somme f d’une sérieentière

∑

anzn est indéfiniment dérivable au sens complexe et que les rayons de convergence detoute ses dérivées sont égaux.Le corollaire (III I.3.11) permet alors d’obtenir la relation (I.4.11) sur le disque de convergencepuis, en évaluant pour z = 0, on obtient (I.4.12).

II Fonctions analytiques

II.1 Un exemple pour comprendreConsidérons la série entière

∑

(−1)nz2n. D’après le critère de D’Alembert, on calculerapidement son rayon de convergence et, en reconnaissant la série géométrique de raison−z2, on a l’égalité :

∀ z ∈ D(0, 1),+∞∑

n=0

(−1)nz2n =1

1 + z2.

Cette fonction simple permet de comprendre pourquoi le plan complexe est le cadrenaturel d’étude des séries entières.

En effet, la série entière d’une variable réelle∑

(−1)nx2n converge vers la fonction

f : x 7−→ 11 + x2

sur l’intervalle ouvert ] − 1, 1[ où elles coïncident.

La fonction f étant continue sur R, il est naturel de vouloir prolonger cette égalité à ladroite réelle toute entière.

Or, si l’on trace les premiers termes de la série 6, la figure (II.1.3) montre que la sérieconverge vers f seulement et seulement sur l’intervalle ] − 1, 1[. Ce phénomène était assezdéstabilisant et contre intuitif au début de l’histoire de l’analyse réelle. Le jeune étudiant

6. dite de Mac-Laurin.


II.2 Un exemple pour comprendre TD no 2

1

1

y

xO

Figure II.1.3 –∑

(−1)nx2n converge vers1

1 + x2sur ] − 1, 1[

trouve tout aussi déroutant d’appeler le segment ] − 1, 1[, le disque de convergence alorsqu’un segment est, somme toute, assez plat.

Ce qui est contre-intuitif et contre-étymologique sur l’axe réel ne l’est plus lorsqu’onpasse dans le plan complexe où l’on regarde la fonction de la variable complexe

z 7−→ 11 + z2

=1

(z + i)(z − i).

Celle-ci admet deux pôles, i et −i, qui sont à la distance 1 de l’origine. Le disque deconvergence est redevenu bien « rond » mais est coincé entre ces deux singularités que

l’on visualise bien sur la surface z 7−→∣∣∣∣

11 + z2

∣∣∣∣ tracée dans R3. Il semble alors difficile

d’avoir un rayon supérieur à 1.

La solution vient en déplaçant le centre du cercle de convergence et en considérantnon plus la série de Mac-Laurin

∑

anzn centrée en 0 mais la série

∑

an(z − z0)n, ditede Taylor centrée en z0. En s’éloignant suffisamment des pôles i et −i de la fonction f ,il semble raisonnable de penser que la nouvelle série coïncidera avec f sur un disque derayon aussi grand que le disque centré en z0 ne rencontre pas l’une des deux singularités.

Le problème qui se pose est alors le suivant : est-il possible de développer f en sérieentière ailleurs qu’en l’origine ? et, si fait, que sera le nouveau rayon de convergencedevenu ? De telles fonctions sont dites analytiques et c’est le sujet des prochaines parties.


TD no 2 Holomorphie des fonctions analytiques

x 7−→ 11 + x2

Re(z) Im(z)

∣∣∣∣

11 + z2

∣∣∣∣

Re(z)

Im(z)

Figure II.1.4 – z 7−→∣∣∣∣

11 + z2

∣∣∣∣

bc

bc z0

min(|z0 − i|, |z0 + i|)1

1

−i

i

y

xO

Figure II.1.5 – Développement d’une série ailleurs qu’en l’origine

II.2 Holomorphie des fonctions analytiques

Soient U ⊂ C un ouvert, f : U 7−→ C une application et z0 ∈ U .On dit que f est analytique en z0 s’il existe une série entière

∑

anzn de rayon de

convergence ρ > 0 et un réel r ∈]0, ρ] tels que pour tout z ∈ D(z0, r) ∩ U on ait :

f(z) =+∞∑

n=0

an(z − z0)n. (II.2.13)

On dit que f est analytique sur U si elle est analytique en tout point de U 7et onnote traditionnellement O(U) leur ensemble 8.

Définition III II.2.1.

7. L’analyticité est donc une propriété locale.8. pour l’instant !


II.2 Holomorphie des fonctions analytiques TD no 2

b

O

b

z0

b

z

ρ

r

U

Figure II.2.6 – Domaine d’analyticité

Quelques commentaires s’imposent :

(i) Tout d’abord, pour des raisons d’existence de la série et de f(z), la nécessité de lacondition z ∈ D(z0, r) ∩ U est claire. Il serait dommage d’avoir une belle égalitéentre deux termes dont l’un n’est pas sûr d’exister.

(ii) Ensuite, même si les deux domaines d’existence de la série et de la fonction sontcorrectement déterminés, rien n’est dit sur leur domaine de coïncidence. Le disquede convergence peut, par exemple, ne pas être contenu dans U comme illustré en(Fig. II.2.6).

(iii) Enfin, l’égalité (II.2.13), exprime simplement que f est développable en série entièreau voisinage de tout point de U . Cependant, si l’on a prouvé en (III I.4.13) quece développement est unique dans le disque D(z0, r), rien ne dit que celui-ci seraidentique à un développement centré en tout autre élément z1 de U .

La définition même des fonctions analytiques permet de déduire de (III I.4.12) et(III I.4.13) une propriété fondamentale :

Une fonction analytique sur U ainsi que toute ses dérivées sont holomorphes sur U .

Corollaire III II.2.2.

Preuve: L’holomorphie étant une propriété locale, il suffit de prouver que f est dérivable enun point quelconque z0 ∈ U . Comme f est analytique sur U , considérons son développement ensérie entière

∑

an(z − z0)n au voisinage de z0. D’après (III I.4.12), cette série est dérivable surson disque de convergence et on obtient :

f ′(z0) =+∞∑

n=1

nan(z − z0)n−1.

f est donc bien holomorphe en z0 choisi quelconque donc sur U tout entier. L’existence desdérivées supérieures n’est qu’affaire de récurrence.

Quant à lui, Le corollaire (III I.4.13) se traduit par :


TD no 2 Exemples de fonctions analytiques

Soit f(z) =∑

an(z − z0)n le développement en série entière d’une fonction analy-tique en z0. Pour tout n ∈ N,

∀ z ∈ V(z0), f (p)(z) =+∞∑

n=p

n(n − 1) . . . (n− p+ 1)an(z − z0)n−p

=∑

n∈N

(n + p)(n+ p− 1) . . . (n+ 1)an+p(z − z0)n

et

f (n)(z0) = n!an.

Corollaire III II.2.3.

On vient donc de prouver que O(U) ⊂ H(U).

II.3 Exemples de fonctions analytiques

Les polynômes

Un polynôme P est une fonction analytique sur C puisqu’on peut le développer entout point par sa formule de Taylor :

P (z) =+∞∑

n=0

1n!P (n)(z0)n(z − z0)n,

étant entendu que cette somme est finie.

Les fractions rationnelles

La fonction z 7−→ 1z

est analytique dans C \ 0. En effet pour |z − z0| < |z0|, z0 6= 0,on a :

1z

=1

z0 + z − z0

=1z0

1

1 +z − z0

z0

=∑

n∈N

(−1)n

zn+10

(z − z0)n.

Le rayon de la série étant égal à |z0|. 9

9. Il est égal à la distance de z0 à C \C∗, complémentaire de l’ouvert d’analyticité C∗ qui se réduit icià 0. C’est un fait général sur lequel nous reviendrons.


II.3 Exemples de fonctions analytiques TD no 2

Soient une fraction rationnelle mise sous forme irréductible f(z) =P (z)Q(z)

et

Z(Q) =

zi, 1 6 i 6 k / Q(zi) = 0

, l’ensemble des pôles de f .

Alors f est analytique sur Ω = C \ Z(Q) et pour tout z0 ∈ Ω, le rayon de conver-gence de la série de Taylor de f en z0 est

min16i6k

|z0 − zi|, zi ∈ Z(Q)

= d(

z0,Z(Q))

. (II.3.14)

Proposition III II.3.4.

Preuve: La décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle ramène la question

aux fractions de la forme1

z − zi. Pour |z − z0| < |z0 − zi|, on a :

1z − zi

=1

z − z0 + z0−i=

1z0 − zi

1

1 +z − z0

z0 − zi

=1

z0 − zi

∑

n∈N

(−1)n(

z − z0

z0 − zi

)n

=∑

n∈N

(−1)n

(z0 − zi)n+1(z − z0)n.

La convergence de la série géométrique étant sous la condition |z − z0| < |z0 − zi| pour chaquepôle, on obtient bien (II.3.14). Ici aussi, le rayon de la série est égal à la distance de z0 aucomplémentaire de l’ouvert d’analyticité.

L’exponentielle

En anticipant un peu sur le chapitre suivant, la fonction exponentielle est analytiquedans C. Pour tout z0 ∈ C, on a :

exp z = exp z0 × exp(z − z0) =∑

n∈N

exp z0

n!(z − z0)n.

Les théorèmes (III I.3.8) et (III I.3.8) permettent de préciser la structure de O(U) :

L’ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert U ⊂ C est une algèbre sur C

pour les lois usuelles + et ×.

Proposition III II.3.5.

Quant à la stabilité par la composition, même si l’on pourrait le démontrer en passantpar les séries formelles, il semble plus judicieux d’attendre d’avoir prouver que les en-sembles O(U) et H(U) coïncident afin de profiter des propriétés déjà prouvées en (II II.1.2)page 54.



Les fonctions sommes de séries entières jouent un rôle particulièrement importantdans la théorie. Il semble naturel de penser qu’elles sont analytiques dans leur disque deconvergence. Ce n’est cependant pas une évidence. II s’agit en effet de montrer qu’unetelle fonction se développe en série au voisinage de chacun des points du disque, alors quela série initiale ne donne le développement de la fonction qu’en son centre.

On va tout de même montrer un résultat beaucoup plus précis : une série entièrecoïncide avec la somme de sa série de Taylor en tout point de l’intérieur de son disque deconvergence :

Soit f(z) =∑

anzn, la somme d’une série entière dont le rayon de convergence ρ

est non nul.Pour tout élément z0 ∈ D(0, ρ), la série entière

∑ 1n!f (n)(z0)zn a un rayon de

convergence au moins égal à ρ− |z0| et on a :

∀ z ∈ D(

z0, ρ− |z0|)

, f(z) =+∞∑

n=0

1n!f (n)(z0)(z − z0)n. (II.3.15)

Autrement dit, la somme d’une série entière est analytique sur son disque de conver-gence.

Théorème III II.3.6.

Preuve: D’après (III I.4.13), f(z) =∑

anzn et ses dérivées successives f ′, f ′′, . . . , f (p) onttoutes le même rayon de convergence ρ et pour tout z0 ∈ D(0, ρ), les nombres

f (p)(z0) =∑

n∈N

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)an+pzn0

sont bien définis.Toutes considérations de convergence mises à part, la série de Taylor est définie formellement

par :

∑

p∈N

1p!

f (p)(z0)(z − z0)p =∑

p∈N

∑

n∈N

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)p!

an+pzn0

(z − z0)p

b

O

b

z0

b

z

ρ

r

Figure II.3.7 – Analyticité de la somme d’une série entière

Soit z0 ∈ D(0, ρ) fixé et un réel strictement positif r tel que |z0|+r < ρ. Pour tout z ∈ D(z0, r),considérons alors la série double de terme général un,p(z) défini par :


II.3 Exemples de fonctions analytiques TD no 2

un,p(z) =(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)

p!an+pzn

0 (z − z0)p.

Soit J une partie finie de N × N. Il existe un entier N ∈ N tel que ∀ (n, p) ∈ J , n + p 6 Nce qui nous donne la majoration :

1

1

2

2

3

3 N n

N

p

n+

p=

1

n+

p=

2

n+

p=

3

n+

p=

4

n+

p=

5

n+

p=

6

n+

p=

7

n+

p=

8

n+

p=

9

n+

p=

10

n+

p=

11

n+

p=

12

n+

p=

N

J

Figure II.3.8 – J finie ⊂ n + p 6 N

∑

(n,p)∈J

|un,p(z)| 6∑

06n+p6N

|un,p(z)| =∑

06q6N

∑

n+p=q

|un,p(z)|

=∑

06q6N

∑

n+p=q

∣∣∣∣

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)p!

an+pzn0 (z − z0)p

∣∣∣∣

6∑

06q6N

|aq|

∑

n+p=q

q(q − 1) . . . (q − p + 1)p!

|z0|q−p|z − z0|p

=∑

06q6N

|aq|(

|z0| + |z − z0|)q

6∑

06q6N

|aq|(

|z0| + r

)q

< +∞.

La dernière inégalité étant vérifiée en vertu de la condition |z0| + r < ρ imposée à r. Lasérie

∑

un,p(z) est donc absolument donc commutativement convergente et on peut appliquerle théorème de sommation par tranches :



• D’une part :

∑

(n,p)∈N2

un,p(z) =∑

q∈N

∑

n+p=q

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)p!

an+pzn0 (z − z0)p

=∑

q∈N

aq

∑

n+p=q

q(q − 1) . . . (q − p + 1)p!

zq−p0 (z − z0)p

=∑

q∈N

aq(z0 + z − z0

)q

=∑

q∈N

aqzq = f(z).

• D’autre part :

∑

(n,p)∈N2

un,p(z) =∑

p∈N

∑

n∈N

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)p!

an+pzn0

(z − z0)p

=∑

p∈N

1p!

f (p)(z0)(z − z0)p

Sous les conditions précédentes, on a donc montré l’égalité

f(z) =∑

p∈N

1p!

f (p)(z0)(z − z0)p, (II.3.16)

pour tout élément z ∈ D(z0, r). L’égalité (II.3.16) étant vérifiée pour tout réel positif r tel quer < ρ − |z0|, le rayon de convergence de la série de Taylor est donc au moins égal à ρ − |z0|.


III.1 III. Conséquences de l’analyticité TD no 2

III Conséquences de l’analyticité

III.1 Principes des zéros isolésOn sait qu’une fonction polynôme non nulle sur C a un nombre fini de racines. Dans

une certaine mesure, ce résultat s’étend aux fonctions analytiques sur un ouvert : unefonction analytique non identiquement nulle ne peut s’annuler que sur un fermé discret.En particulier, un tel ensemble est au plus dénombrable.

Soit f la somme d’une série entière∑

anzn sur son disque de convergence.

S’il existe une suite (zp)p∈N de nombres complexes non nuls tendant vers 0 tels quef(zp) = 0 pour tout p ∈ N, alors an = 0 pour tout n ∈ N.

Lemme III III.1.1.

Preuve: Supposons le contraire c’est-à-dire que l’un des an ne soit pas nul. Notons q, le pluspetit entier tel que aq 6= 0. Pour tout z ∈ D, on peut écrire :

f(z) = zqg(z) avec g(z) =+∞∑

n=0

an+qzn.

Comme somme d’une série entière, g est continue en 0 et vérifie g(0) = aq et ∀ p ∈ N,g(zp) = 0. D’où

aq = g(0) = limp→+∞

g(zp) = 0,

ce qui contredit l’hypothèse de départ.Donc ∀ n ∈ N, an = 0 c’est-à-dire f est la fonction nulle.

On appelle zéro d’une fonction complexe f , un point z0 tel que f(z0) = 0.

Définition III III.1.2 (Zéro).

Le lemme (III III.1.1) traduit que toute série entière s’annulant sur une partie possé-dant un point d’accumulation est identiquement nulle 10 ou encore, par la contraposée :

L’ensemble des zéros d’une série entière non identiquement nulle est discret. 11

Corollaire III III.1.3 (Principe des zéros isolés pour les séries entières).

Appliquons maintenant ces résultats aux fonctions analytiques : le résultat de factori-sation qui suit précise le comportement local d’une telle fonction au voisinage d’un de seszéros.

10. On se servira de ce résultat dans la démonstration du théorème (III III.2.7).11. Les zéros d’une série entière (non nulle) sont isolés !


TD no 2 Principes des zéros isolés

Soient U ⊂ C un domaine et f une fonction analytique, non identiquement nullesur U . Alors les zéros de f sont des points isolés dans Z(f). 12

De plus, pour tout zéro z0 de f , il existe un unique entier positif m et une fonctiong analytique dans un voisinage de z0, ne s’annulant pas dans un voisinage de z0,telle que

∀ z ∈ U , f(z) = (z − z0)mg(z). (III.1.17)

Théorème III III.1.4 (Principe des zéros isolés).

Remarque: La fonction g n’est, pour l’instant, analytique que dans un voisinage de z0.Nous verrons plus loin qu’elle l’est, en réalité, sur tout l’ouvert U .Preuve: L’ensemble des zéros Z(f) = f−1(0) est fermé en tant qu’image réciproque d’unfermé par une fonction continue.

Montrons qu’il est discret. Par la contraposée, supposons que Z(f) admettent un pointd’accumulation a et posons

A =z ∈ U / ∃V ⊂ V(z) tel que f|V ≡ 0

.

Comme U est connexe, il suffit de montrer que A est non vide, ouvert et fermé dans U pourconclure à l’égalité A = U :

U

A

Vb aV(a)bun

b

u

Figure III.1.9 – Z(f) et prolongement analytique

• Comme f est analytique sur U , elle est, en particulier, développable en série entière auvoisinage de a. Soit

∑

an(z − a)n ce dernier. Comme a est un point d’accumulation deZ(f), on peut trouver une suite (zn)n∈N d’élément de Z(f) satisfaisant aux hypothèse dulemme (III III.1.1) et conclure à la nullité des an, n ∈ N donc de f sur ce voisinage eta ∈ A qui est non vide.

• Par construction, tout élément z de A possède un voisinage ouvert inclus dans A donc ilest ouvert.

12. Autrement dit, Z(f) est un ensemble fermé discret.


III.1 Principes des zéros isolés TD no 2

• Soit u un élément de l’adhérence A de A dans U . Il existe donc une suite (zn)n∈N d’élémentsde A convergente vers u. Pour tout n ∈ N, on a aussi f(zn) = 0 et par continuité f(u) = 0.Or, u ∈ U et f et analytique dans U . La fonction f est donc développable en série entièredans un voisinage de u dans lequel elle possède une infinité de zéros. D’après le principedes zéros isolés (III III.1.1), f est donc identiquement nulle et u ∈ A qui donc fermé.

En conclusion, A est ouvert, fermé et non vide dans U connexe donc A = U c’est-à-dire f estidentiquement nulle sur U .

Soit z0 ∈ Z(f). Comme f est analytique, il existe r > 0 tel que, pour tout z ∈ D(z0, r),

f(z) =+∞∑

n=0

an(z − z0)n.

Les coefficients an ne peuvent pas être tous nuls, sinon Z(f) contiendrait tout le disqueD(z,r) et cela contredirait le premier point. Soit donc m le plus petit entier (forcément positif)tel que am 6= 0. Alors on a,

∀ z ∈ D(z0, r), f(z) = (z − z0)mg(z) avec g(z) =+∞∑

n=0

an+m(z − z0)n.

La fonction g, somme d’une série entière est analytique d’après (III II.3.6) et vérifieg(z0) = am 6= 0 par définition de m. Il existe donc un voisinage de z0 (contenu dans D(z0, r))sur lequel g ne peut s’annuler.

Soient U un domaine et f une fonction analytique sur U .

(i) L’anneau(

O(U),+,×)

des fonctions analytiques est un anneau commutatifintègre.

(ii) Toute fonction analytique sur U admet un unique développement en sérieentière au voisinage de chaque point de U qui est nécessairement le dévelop-pement en série de Taylor de f en ce point.

(iii) Si f n’est pas nulle, tout sous ensemble compact de U contient au plus unnombre fini de zéros de f .

Corollaire III III.1.5.

Preuve:

(i) Soient f et g deux fonctions analytiques sur U telles que f × g = 0 sur U . Si f ne possèdeaucun zéro sur U , alors g est identiquement nulle sur U .

Si f possède un zéro z0 ∈ U sans être identiquement nulle sur U alors il existe un voisinageV de z0 sur lequel z0 est son unique zéro. Comme sur V \z0 nous avons toujours f ×g = 0,ceci implique que g est identiquement nulle. L’anneau est intègre.

(ii) Soient z0 un point de U et∑

an(z − z0)n,∑

bn(z − z0)n deux développements en série

entière au voisinage de z0. La série entière∑

(an − bn)(z − z0)n coïncide donc avec lafonction nulle dans un voisinage de z0. D’après le lemme (III III.1.1), ses coefficients sontdonc tous nuls et on en déduit an = bn pour tout n ∈ N.

(iii) Si un compact contenait un nombre infini de zéros de f , on pourrait en extraire une sous-suite convergente d’après (I II.3.10) page 14 et donc un point d’accumulation de Z(f) parcontinuité de f ce qui n’est pas permis par (III III.1.4).


TD no 2 Prolongement analytique

La définition de m dans la preuve de (III III.1.4) ainsi que l’unicité du développementen série entière entraine que f(z0) = f ′(z0) = . . . = f (m−1)(z0) = 0 et f (m−1)(z0) 6= 0. Ondéfinit alors l’ordre d’un zéro d’une fonction analytique :

On dit qu’une fonction f analytique sur un ouvert U possède en z0 un zéro d’ordrem 13lorsque

f(z0) = f ′(z0) = . . . = f (m−1)(z0) = 0 et f (m−1)(z0) 6= 0.

Définition III III.1.6 (Ordre d’un zéro).

Nous préciserons le comportement local d’une fonction analytique au voisinage d’unzéro au chapitre (V ).

Venons en à une des plus agréables propriétés des fonctions analytiques. 14

III.2 Prolongement analytique

Soient U un domaine de C et f , g deux fonctions analytiques sur U .Si f et g coïncident sur une partie Ω ⊂ U possédant un point d’accumulation dansU , alors elles coïncident sur U tout entier.

Théorème III III.2.7 (Principe du prolongement analytique).

Preuve: Il suffit d’appliquer (III III.1.5) à h = f − g.

Soit U un domaine, V ouvert non vide de U , si f est une fonction analytique sur V,on appelle prolongement analytique de f sur U toute fonction analytique définiesur U , qui coïncide avec f sur V.

Définition III III.2.8 (Prolongement analytique).

Il se pourrait très bien qu’il n’existe pas de tel prolongement, mais, s’il en existe un,il est unique grâce à (III III.2.7).

Remarque: Le théorème du prolongement analytique est vrai pour les fonctions analy-tiques mais faux pour les fonctions d’une variable réelle. Par exemple la fonction

f(x) =

0 si x 6 0e− 1

x2 si x > 0,

est de classe C∞ sur R sans être analytique. En effet, si c’était le cas, Z(f) contiendraitR− qui admet de nombreux points d’accumulation donc f serait nulle partout. Ce quin’est pas.

13. ou, de manière équivalente, que m est la multiplicité de z0.14. Déjà joli, mais on verra que l’on a bien mieux. Patience !


III.3 Le principe du maximum TD no 2

Le théorème du prolongement analytique peut être interprété comme une extensionaux fonctions analytiques, du théorème sur les polynômes : deux polynômes qui coïncidentpour un nombre infini de valeurs distinctes sont égaux. 15

Pour les fonctions analytiques, on a besoin non seulement d’un nombre infini de valeursmais contenant aussi un point d’accumulation.

Dans la pratique, nous ferons souvent usage du principe du prolongement analytique.Par exemple, pour démontrer que deux expressions (fonctions analytiques de z) sont égales,il suffira de prouver l’égalité pour z réel, z ∈ [0, 1] ou encore z appartenant à une courbedessinée dans U .

Fonctions sans prolongement

Il existe des fonctions 16 qui convergent dans un disque et qui ne permettent aucunprolongement en dehors de ce disque. L’exemple le plus simple est

f(z) = z + z2 + z4 + . . . =+∞∑

n=0

z2n

.

Cette série a pour rayon de convergence 1. Posons z = reiπ avec r proche de 1. On aalors

f(

reiπ)

= −r + r2 + r4 + r6 + . . . = g(r).

La fonction g est continue en 1 et vérifie la relation g(r) = −r + g(r2) qui impliqueque lim

r→1g(r) ne peut être finie. On ne peut donc pas prolonger la fonction f en dehors du

disque D(0, 1).

III.3 Le principe du maximum

Soient U un ouvert et f analytique sur U .Si |f | admet un maximum local en z0 ∈ U alors f est constante sur la composanteconnexe de z0 dans U .

Proposition III III.3.9.

Preuve: Supposons le contraire et soit z0 ∈ U un maximum local de |f | dans U . Comme fest analytique, on peut localement la développer en série entière au voisinage de z0. Si f estconstante localement alors, d’après le principe des zéros isolés (III III.1.4) page 103, elle estconstante sur la composante connexe de z0 dans U , sinon il existe un entier m > 0 tel que :

∀ h ∈ C, f(z0 + h) = f(z0) + hmcm + o(|h|k) avec cm 6= 0.

On choisit h tel que arg h ∈ 1m

(f(z0) − arg cm

)c’est-à-dire de sorte que f(z0) et hmcm aient

le même argument θ. On a alors

f(z0 + h) =(

|f(z0)| + |h|m|cm|)

eiθ + o(|h|k),

15. Un nombre fini de valeurs suffit !16. Comme dans l’exemple qui suit, de telles séries convergent, en général, très vite en tout point de leur

disque de convergence tout en n’admettant aucun prolongement sur leur frontière. Phénomène paradoxals’il en est !


TD no 2 Le principe du maximum

O

f(z0)|f(z0)|

θ = arg f(z0)

cm

|cm|hmcm|hmcm|

Figure III.3.10 – Principe du module maximum

puis∣∣f(z0 + h)

∣∣ >

∣∣f(z0)

∣∣,

pour |h|, ce qui contredit l’hypothèse initiale.

Une conséquence immédiate de ce principe est que le module d’une fonction analytiquene peut atteindre son maximum que sur la frontière du domaine de définition de f :

Soient U un ouvert connexe borné et f , une fonction continue non constante surU , analytique sur U .Alors |f | atteint son maximum sur la frontière de U et nulle part ailleurs.

Corollaire III III.3.10.

Preuve: En effet comme U est fermé et borné dans C, il est compact. La fonction continue|f(z)| y atteint donc son maximum en un point z0 qui ne peut être à l’intérieur de U d’après leprincipe du maximum (III III.3.9).

On peut considérer le graphe de |f | comme une surface dans U ×R ⊂ C×R ≃ R3 quel’on appelle parfois le paysage analytique de f . Le principe du module maximum affirmealors que dans le paysage analytique d’une fonction analytique, il n’y a pas de sommets.

Le principe du maximum oblige le module d’une fonction analytique non constante àne pas avoir de maximum local sur un ouvert connexe. Or, une fonction analytique estcontinue, et, pour peu qu’elle soit définie un peu au-delà de l’ouvert considéré et que celui-ci soit borné, son module va avoir un maximum sur l’adhérence. Ce maximum est doncforcément atteint sur le bord. Dans le paysage analytique d’une fonction analytique, lessommets sont à l’horizon. C’est ce qu’affirme, en termes plus précis, notre version finaledu principe du maximum :


III.3 Le principe du maximum TD no 2

Soit U un ouvert connexe et borné dans C. Soient f une fonction définie et continuesur U et analytique sur U et M le maximum de |f | sur ∂U . Alors on a :

(i) ∀ z ∈ U ,∣∣∣f(z)

∣∣∣ 6M .

(ii) S’il existe un point z0 ∈ U tel que |f(z0)| = M alors f est constante sur U .

Théorème III III.3.11 (Principe du (module) maximum).

Preuve: C’est une simple conséquence de la proposition (III III.3.9) et du corollaire(III III.3.10).

D’après le corollaire, on sait que le maximum ne peut être atteint que sur la frontière de Ud’où (i).

S’il existe un point z0 intérieur à U tel que |f | y atteigne son maximum alors, d’après(III III.3.9), f est constante sur la composante connexe de z0. La connexité de U entraîne alors(ii).


TD no 3 IV. Exercices

IV Exercices

IV.1 Séries entièresExercice IV.1:Montrer que si (an)n∈N est une suite de nombres complexes telle qu’il existe un nombre

complexe z0 tel que la suite (anzn0 )n∈N soit bornée, alors la série entière

∑

n∈N

an

n!zn a un

rayon de convergence infini.

Exercice IV.2:

Pour x réel, on pose f(x) =

sin xx

, si x 6= 0

1, si x = 0. Montrer que f est de classe C∞ sur R.

Exercice IV.3:

Soient Pn =n∑

k=0

Xk

k!et R > 0 donné. Montrer que pour n suffisamment grand, Pn n’a pas

de racine dans le disque fermé de centre 0 et de rayon R.

IV.2 Équations de Cauchy-RiemannExercice IV.4:Soit U un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans U . On écrit f = P + iQ, oùP et Q sont à valeurs réelles. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f est constante.

(ii) P est constante.

(iii) Q est constante.

(iv) f est holomorphe.

(v) |f | est constante.

Exercice IV.5:Dans cet exercice, on identifie R2 et C via l’application (x, y) 7−→ x+ iy. Soit U un ouvertde C et f une fonction de classe C1 sur U comme fonction de deux variables et à valeursdans C.

(i) Montrer que∂f

∂z=

(

∂f

∂z

)

.

(ii) Montrer que f est holomorphe si et seulement si∂f

∂z= 0 et que, dans ce cas,

f ′(z) =∂f

∂z(z).

(iii) Soit f de classe C2. Montrer que ∆f = 4∂2f

∂z∂z.

Exercice IV.6:Soit P : C∗ 7−→ R définie par P (z) = P (x + iy) =

x

|z|2 . Déterminer, si elles existent,

toutes les fonctions Q : C∗ 7−→ R telles que f = P + iQ soit holomorphe sur C∗


IV.3 Correction des exercices TD no 3

IV.3 Correction des exercices

Correction de l’exercice IV.1: Soit M un majorant de la suite (|anzn0 |)n∈N. Alors, pour

tout z ∈ C,∣∣∣∣

an

n!zn

∣∣∣∣ = |anz

n0 | 1n!

∣∣∣∣

z

z0

∣∣∣∣

n

6 M1n!

∣∣∣∣

z

z0

∣∣∣∣

︸︷︷︸

t

n

< +∞,

car la série réelle de terme généraltn

n!converge pour tout t ∈ R 17. La série

∑

n∈N

an

n!zn est

donc normalement convergente sur C, donc converge sur C.

Correction de l’exercice IV.2: Pour x réel non nul, la fonction sin est développableen série entière donc, il en est de même de f et on a :

f(x) =+∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n+ 1)!.

Cette relation reste vraie pour x = 0 donc la fonction f est développable en série entièresur R et en particulier, la fonction f est de classe C∞ sur R.

Correction de l’exercice IV.3: Notons DR le disque fermé de centre 0 et de rayon R.Soient z ∈ DR et n un entier naturel. On reconnait dans Pn le développement limité deez d’ordre n.

|Pn(z)| =∣∣∣∣e

z − (ez − Pn(z))∣∣∣∣ > |ez| − |ez − Pn(z)| > e−R − |ez − Pn(z)|.

Comme la suite de polynômes (Pn)n∈N converge uniformément 18 vers la fonction ex-ponentielle sur DR, on peut donc trouver un entier n0 tel que pour tout z ∈ DR et toutentier n > n0,

|ez − Pn(z)| 6 12e−R.

Pour n > n0 et z ∈ DR, on a alors

|Pn(z)| > 12e−R > 0, Pn ne s’annule pas dans DR.

Correction de l’exercice IV.4:

• On a clairement (i) =⇒ (ii).

• D’après les équations de Cauchy-Riemann sur un ouvert connexe,

∂Q

∂y(x, y) =

∂P

∂x(x, y)

∂Q

∂x(x, y) = −∂P

∂y(x, y)

on a facilement (ii) ⇐⇒ (iii).

• Comme (ii) ⇐⇒ (iii), alors (ii) =⇒ (i) et (iii) =⇒ (i).

17. vers exp t !18. Confere cours deuxième année.



• Si f est constante alors f l’est aussi et, en particulier f est holomorphe. D’où (i)=⇒ (iv).

• Réciproquement, si f est holomorphe alors P =f + f

2et Q =

f − f

2ile sont aussi.

Or, d’après un résultat du cours, des fonctions holomorphes à valeurs réelles sur unouvert connexe sont constantes. Donc f = P + iQ est constante et (iv) =⇒ (i).

• Si f est constante alors |f | l’est aussi. Donc (i) =⇒ (v). Réciproquement, si |f | estconstante alors il existe c ∈ R tel que

P 2(z) +Q2(z) = c2.

Si c = 0, (i) est démontrée.Sinon, supposons c 6= 0. La fonction u : z 7−→ P 2(z)+Q2(z), vue comme applicationde R2 dans R est constante donc sa différentielle

du =∂u

∂xdx+

∂u

∂ydy

est nulle. En particulier,

∂u

∂x(z) = 2P (z)

∂P

∂x(z) + 2Q(z)

∂Q

∂x(z) = 0

∂u

∂y(z) = 2P (z)

∂P

∂y(z) + 2Q(z)

∂Q

∂y(z) = 0

En tenant compte des conditions de Cauchy-Riemann 19, on obtient le système sui-

vant, où les inconnues sont∂P

∂xet∂P

∂y:

P (z)∂P

∂x(z) − 2Q(z)

∂P

∂y(z) = 0

Q(z)∂P

∂x(z) + P (z)

∂P

∂y(z) = 0

Le déterminant de ce système est précisément P 2(z) +Q2(z) = c2 6= 0 donc l’uniquesolution est le couple (0, 0). On en déduit que les dérivées partielles de P sont nullessur U connexe puis que P est constante. On a donc montré (v) =⇒ (ii) ⇐⇒ (i). 20

Correction de l’exercice IV.6: La fonction P : (x, y) 7−→ y2 − x2

(x2 + y2)2est différentiable

sur C∗ identifié à R2 \ (0, 0). Si f = P + iQ = est holomorphe sur C∗, la fonction Q estalors différentiable sur C∗ avec :

∂Q

∂y(x, y) =

∂P

∂x(x, y) =

y2 − x2

(x2 + y2)2(IV.3.18)

∂Q

∂x(x, y) = −∂P

∂y(x, y) =

2xy(x2 + y2)2

(IV.3.19)

De (IV.3.19), on déduit que Q(x, y) = − y

x2 + y2+ ϕ(y), où ϕ est différentiable sur R.

Avec (IV.3.18), on obtient ϕ′(y) = 0 puis Q(x, y) = − y

x2 + y2+ c, où c ∈ R.

On obtient donc f(z) =x− iy

x2 + y2+ ic =

z

|z|2 + ic =1z

+ ic.

19. et en divisant par 220. En écrivant f f = |f |2, on aurait pu utiliser la même méthode que celle employée pour montrer (iv)

=⇒ (i).


I.0 I. Exercices TD no 4

I ExercicesExercice I.1:Trouver tous les nombres complexes z solution de l’équation exp z = ω, où ω est un nombrecomplexe fixé. Trouver en particulier les solutions de cette équation lorsque ω = expω′,où ω′ est un nombre complexe donné.

Exercice I.2:On note arctan une détermination de l’inverse de la fonction tangente.

(i) Rappeler la dérivée de arctan et en déduire que

∀ x ∈ R, arctan x =∫ x

0

11 + t2

dt.

(ii) Prouver que

∀ x ∈ [−1, 1], arctan x =∑

n∈N

(−1)n x2n+1

2n+ 1.

(iii) En déduire la valeur de π.

Exercice I.3:Pout tout z ∈ C, on considère la série entière de terme général

zn

n!que l’on note (lorsqu’elle

existe) :

exp z =∑

n∈N

zn

n!.

(i) Montrer que exp est définie et continue sur C

(ii) En déduire que exp 0 = 1.

(iii) Montrer que :

∀ z1, z2 ∈ C, exp(z1 + z2) = exp(z1) × exp(z2).

(iv) Premières propriétés :Montrer que :

(a) Pour tout nombre complexe z,ez 6= 0. (I.0.20)

En déduire que, pour tout z ∈ C,

e−z =1ez. (I.0.21)

(b) Pour tout nombre complexe z,ez = ez. (I.0.22)

(c) Pour tout nombre réel t,∣∣∣eit∣∣∣ = 1. (I.0.23)

(v) Holomorphie et Analyticité :


TD no 4 I. Exercices

(a) La fonction exponentielle est holomorphe sur C et

∀ z ∈ C, exp′(z) = exp(z). (I.0.24)

(b) La fonction exponentielle est analytique sur C. Pour tout z0 ∈ C, on a :

∀ z ∈ V(z0), exp z =∑

n∈N

exp z0

n!(z − z0)n. (I.0.25)

(vi) L’exponentielle réelle :Montrer que la restriction de la fonction exponentielle à l’axe réel établit une bijec-tion strictement croissante sur R∗

+. Dresser son tableau de variations complet.


I.1 Correction des exercices TD no 4

I.1 Correction des exercices

Correction de l’exercice I.1: L’équation ω = exp z s’écrit encore exeiy = |ω|eiθ où xet y sont respectivement les parties imaginaires et réelles de z.On trouve : x = ln |ω| et y ≡= θ mod 2π.Si ω = expω′, alors on déduit facilement que Re(ω) = Re(ω′) et Im(ω) ≡ Im(ω′)mod 2π.

Correction de l’exercice I.2:

(i) La détermination de arctan réalise un C1-difféomorphisme de R dans

]

−π

2,π

2

[

.

On calcule sans difficulté sa dérivée et on trouve :

arctan′ x =1

1 + x2.

D’autre part, la fonction x 7−→ 11 + x2

est continue sur R, elle est donc Riemann-

intégrable sur tout segment [0, x]. On a donc :

∀ x ∈ R, arctan x =∫ x

0

11 + t2

dt.

(ii) La fonction x 7−→ 11 + x2

est développable en série entière sur l’intervalle ] − 1, 1[ et

s’écrit :∀ |x| < 1,

11 + x2

=∑

n∈N

(−1)nx2n.

Pour tout x ∈]−1, 1[, on peut trouver un intervalle I fermé contenant x et inclus dans]−1, 1[. Comme pour toute série entière, la convergence est normale à l’intérieur dudisque de convergence donc uniforme sur tout intervalle fermé inclus dans ce disqueet en particulier sur I.

Il s’ensuit que la série de terme général (−1)n x2n+1

2n+ 1se déduit de la série

∑

n∈N

(−1)nx2n

par une intégration terme à terme.En tenant compte du résultat de la question ((i)), on obtient :

∀ x ∈ [−1, 1], arctan x =∑

n∈N

(−1)n x2n+1

2n+ 1.

(iii) Sachant que arctan

(

1√3

)

=π

6, on déduit que :

π = 2√

3∑

n∈N

(−1)n 13n(2n+ 1)

.

Correction de l’exercice I.3:

(i) Pour tout z ∈ C non nul,1

(n+1)!1n!

−−−−→n→+∞

0, donc la série entière de terme généralzn

n!est absolument convergente sur C tout entier et son rayon de convergence est infini.La convergence normale assure la continuité de la somme de la série entière.



(ii) Par continuité de la somme.

(iii) L’absolue convergence entraîne aussi la commutative convergence et justifie la con-vergence du produit de Cauchy et les réarrangements arbitraires des termes :

exp(z1) × exp(z2) =+∞∑

n=0

zn1

n!×

+∞∑

n=0

zn2

n!=

+∞∑

n=0

(n∑

k=0

zk1

k!zn−k

2

(n− k)!

)

=+∞∑

n=0

1n!

n∑

k=0

n!k!(n − k)!

zk1z

n−k2 =

+∞∑

n=0

(z1 + z2)n

n!.

Donc,∀ z1, z2 ∈ C, exp(z1 + z2) = exp(z1) × exp(z2). (I.1.26)

(iv) (a) D’après ((iii)), eze−z = e0 = 1 d’où le résultat. En particulier, on obtient larelation :

e−z =1ez.

(b) La fonction z 7−→ z est continue sur C, d’où

(

ez = limn→+∞

n∑

k=0

zk

k!

)

=⇒(

ez = limn→+∞

n∑

k=0

zk

k!= ez

)

.

(c) D’après ((iv)b) et ((iii)), pour tout t ∈ R,

∣∣∣eit∣∣∣

2= eit × eit = eit × e−it = eit−it = e0 = 1.

D’où∣∣∣eit∣∣∣ = 1.

(v) (a) Une série entière est dérivable sur son disque de convergence et la série dérivée,de même rayon de convergence, est obtenue en dérivant terme à terme la sérieinitiale. Pour z ∈ C, on a :

(exp z)′ =+∞∑

n=1

nzn−1

n!=

+∞∑

n=1

zn−1

(n− 1)!=

+∞∑

n=0

zn

n!= exp z.

(b) Soient z0 ∈ C, z dans un voisinage de z0. Il suffit d’appliquer ((iii)) :


n∈N

exp z0

n!(z − z0)n.

(vi) (a) D’après (I.1.4), pour tout x réel, ex 6= 0. D’après (I.1.3), ex =(

ex2

)2> 0.

L’exponentielle est strictement positive sur R.

(b) La relation (I.1.8) montre que x 7−→ ex est dérivable mais aussi de classe C∞

sur R.

(c) D’après (I.1.8) encore, (ex)′ = ex > 0. L’exponentielle est strictement croissantesur R.


I.1 Correction des exercices TD no 4

x −∞

ex

0

+∞

+∞

1234567

1−1−2−3−4

1

1

e bc

Figure I.1.11 – La fonction x 7−→ exp(x) sur R

(d) Pour x > 0, ex = 1 + x ++∞∑

n=2

xn

n!> 1 + x. Donc lim

x→+∞ex = +∞ et (I.1.7)

entraîne limx→−∞

ex = 0.

On regroupe ces informations dans le tableau de variations de la fonction

x 7−→ exp(x).



Principe du maximumExercice .4 (Théorème de Schwarz):Soient R et M deux réels strictement positifs et f une fonction analytique sur le disqueouvert D(O,R) telle que f(0) = 0 et ∀ |z| 6 R, |f(z)| 6M .

(i) Montrer que ∀ z ∈ D(O,R),∣∣∣f(z)

∣∣∣ 6

M |z|R

.

(ii) On suppose de plus qu’il existe un entier k > 1 tel que :

f(0) = f ′(0) = . . . = f (k)(0) = 0 et f (k+1)(0) 6= 0.

(a) Montrer que la formule g(z) =f(z)zk

définit une fonction analytique sur D(O, 1)

vérifiant :∀ z ∈ D(O, 1), |g(z)| 6M.

(b) En déduire que |f(z)| 6M |z|k pour tout z ∈ D(O, 1).Que peut-on dire s’il existe a ∈ D(O, 1), tel que |f(a)| = M |a|k ?

Exercice .5:Soit f une fonction analytique dans D(0, R), le disque de centre 0 et de rayon R.Pour 0 6 r 6 R, on pose :

Mf (r) = max|z|=r

∣∣∣f(z)

∣∣∣.

(i) Montrer que r 7−→ Mf (r) est une fonction croissante.

(ii) Montrer que, si f n’est pas constante, r 7−→ Mf(r) est strictement croissante.

(iii) On suppose que f est un polynôme de degré n, et on pose :

g(z) = znf(1z

)

.

(a) Quel est le lien entre Mf (r) et Mg

(1r

)

?

(b) En déduire que la fonction r 7−→ Mf (r)rn

est strictement décroissante, sauf si f

est de la forme azn.

(iv) On suppose de plus que f est unitaire. Montrer que, si pour tout z de module 1,|f(z)| = 1, alors f(z) = zn.

Exercice .6 (Fonction analytique à valeurs réelles sur le bord):Soit Ω un ouvert connexe de C contenant le disque unité fermé D et f une fonctionanalytique sur Ω. On suppose que f(z) ∈ R si |z| = 1.Montrer que f est constante sur Ω.


.0 Correction des exercices TD no 5

Correction des exercices :

Correction de l’exercice .4:

(i) • Comme f(0) = 0, le premier coefficient du développement en série entière de

f sur D(O,R) est nul doncf(z)z

est analytique sur D(O,R).

• Pour |z| = R, on a :∣∣∣∣∣

f(z)z

∣∣∣∣∣6M

R. (.0.27)

• Il suffit alors d’appliquer le théorème du module maximum à la fonction analy-

tiquef(z)z

sur l’ouvert connexe et borné D(O,R). L’inégalité (.0.27) se prolonge

alors sur le disque tout entier et on a :

∀ |z| 6 R,∣∣∣f(z)

∣∣∣ 6

M |z|R

.

(ii) De la même manière que précédemment et comme dans le cours, d’après les hypo-thèses sur les dérivées successives de f en 0, on peut factoriser f(z) = zkg(z), où gest analytique dans D(O, 1), et vérifie g(0) = 0. Il manque la dernière hypothèse de(i) :

Pour tout z ∈ D(O, 1) avec |z| = r où 0 < r < 1,∣∣∣g(z)

∣∣∣ 6

M

rk. Par le principe du

module maximum, cette inégalité est encore vraie dans tout le disque avec |z| 6 r.Il suffit alors, à z fixé dans D(O, r), de faire tendre r vers 1 pour obtenir :

∀ z ∈ D(O, 1),∣∣∣g(z)

∣∣∣ 6M.

(iii) On obtient immédiatement∣∣∣f(z)

∣∣∣ 6 |z|k

∣∣∣g(z)

∣∣∣ 6 M |z|k. S’il existe un point a avec

∣∣∣f(a)

∣∣∣ = M |a|k alors c’est que

∣∣∣g(a)

∣∣∣ = M et donc que |g| admet un maximum local

en a.

Toujours d’après le principe du module maximum, on en déduit que g est constante,c’est-à-dire que :

f(z) = λzk.

Correction de l’exercice .5:

(i) Si f n’est pas constante sur le disque alors, d’après le principe du module maximum,il suffit de remarquer que :

Mf (r) = max|z|=r

∣∣∣f(z)

∣∣∣ = max

|z|6r

∣∣∣f(z)

∣∣∣.

L’inclusion |z| 6 r1 ⊂ |z| 6 r2 entrainera alors que r 7−→ Mf (r) est croissante.

En effet, si ce n’était pas le cas, la fonction f atteindrait son maximum sur le disquefermé D(0, r) en un point intérieur ce qui est en contradiction avec le principeprécédent.

Si f est constante, comme |z| = r1 ⊂ |z| = r2 dès que r1 6 r2, on a aussiMf (r1) 6Mf (r2) et la fonction r 7−→ Mf (r) est encore croissante.



(ii) S’il existe r1 < r2 tels que Mf (r1) = Mf (r2), alors la fonction f atteint un maximumsur le disque fermé D(0, r1) en un point intérieur. Elle est donc constante. Parcontraposée, si f n’est pas constante, r 7−→ Mf (r) est strictement croissante. 3

(iii) Puisque g(1z

)

=f(z)zn

, on a

Mg

(

(1r

)

=Mf (r)rn

.

De plus, si f(z) = anzn + . . .+ a1z + a0 est un polynôme, alors

g(z) = znf(1z

)

= a0 + a1z + . . .+ anzn

est encore un polynôme, donc analytique sur C.

D’après la question précédente, la fonction r 7−→ Mg

(1r

)

est alors strictement

décroissante, sauf si g est constante. Mais dans ce cas f(z) = azn.

(iv) En conservant les notations de la question précédente, comme f est unitaire, g(0) = 1ce qui entraîne Mg(0) = 1. Or, Mg(1) = Mf(1) = 1 car f est unitaire.

D’après les questions précédente, g est donc constante, ce qui implique f(z) = zn.

Correction de l’exercice .6: Comme f est analytique sur Ω donc holomorphe, il suffitde prouver qu’elle est à valeurs réelles c’est-à-dire Im

(

f(z))

= 0, pour obtenir le résultatescompté.

• On considère la fonction g, holomorphe sur Ω définie par :

g = eif = e− Im(f)+i Re(f).

Comme∣∣∣g(z)

∣∣∣ 6 e

− Im

(

f(z)

)

6 1 si |z| = 1 par hypothèse alors, par le principe dumodule maximum, cette inégalité se prolonge dans tout le disque unité :

∀ z ∈ D,∣∣∣g(z)

∣∣∣ 6 1. (.0.28)

On déduit de (.0.28) que Im(

f(z))

> 0, quel que soit z ∈ D.

• En considérant la fonction h = e−if , on démontre, de même, que Im(

f(z))

6 0,quel que soit z ∈ D.

• Conclusion, Im(

f(z))

= 0, la fonction f est donc à valeurs réelles dans D. Lafonction analytique f est donc constante dans D. Par application du principe duprolongement analytique dans l’ouvert Ω, on en déduit que f est constante sur Ωtout entier.


.0 Correction des exercices TD no 5


CHAPITRE IV

L’EXPONENTIELLE

SommaireI L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II Cosinus et Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

III Retour sur les fonctions circulaires réelles . . . . . . . . . . . 136

IV Fonctions tangentes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 138

V Vers le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Ce chapitre est consacré à l’étude de la plus fondamentale des fonctions en ma-thématiques ainsi qu’à la construction d’une détermination de l’argument et delogarithme complexe qui sont les premiers exemples de fonctions multivoques 1

complexes.

En chemin, nous définirons rigoureusement et donnerons les principales propriétés desfonction cosinus, sinus et tangentes circulaires et hyperboliques ainsi que leur réciproquequi seront autant d’exemples de fonctions analytiques sur des domaines à préciser, obte-nues par prolongement de la somme d’une série entière définie sur un sous-ensemble deR.

Ce chapitre, permettra, en outre, de mettre en pratique les résultats de ceux qui l’ontprécédé.

I L’exponentielle complexe

I.1 Construction

Pour tout z ∈ C non nul,1

(n+1)!1n!

−−−−→n→+∞

0, donc la série entière de terme généralzn

n!est absolument convergente et son rayon de convergence est infini.

1. qui peuvent avoir plusieurs images.

121

I.1 Construction TD no 5

Re z

Imz

Re (ez)

Figure I.1.1 – z 7−→ Re(

exp z)

La fonction exponentielle est définie par la somme de la série

∀ z ∈ C, exp z =+∞∑

n=0

zn

n!. (I.1.1)

Définition IV I.1.1.

C’est donc une fonction entière. La série (I.1.1) étant normalement convergente sur C,elle y est uniformément convergente sur tout sous-ensemble borné du plan complexe :

La fonction C 7−→ C

z exp(z)est continue sur C.

En particulier,

exp(0) = 1. (I.1.2)


TD no 5 Construction

12

34

−1−2

−3

12

34

−1

1

1

Imz

Re z

O

Figure I.1.2 – Lignes de niveaux de z 7−→ Re(

exp z)

L’absolue convergence entraîne aussi la commutative convergence et justifie la conver-gence du produit de Cauchy et les réarrangements arbitraires des termes :

exp(z1) × exp(z2) =+∞∑

n=0

zn1

n!×

+∞∑

n=0

zn2

n!=

+∞∑

n=0

(n∑

k=0

zk1

k!zn−k

2

(n− k)!

)

=+∞∑

n=0

1n!

n∑

k=0

n!k!(n − k)!

zk1z

n−k2 =

+∞∑

n=0

(z1 + z2)n

n!.

∀ z1, z2 ∈ C, exp(z1 + z2) = exp(z1) × exp(z2). (I.1.3)

On définit alors le nombre e comme étant exp(1) ce qui permettra d’écrire exp(z) demanière plus simple : ez .

e = 2, 7182818284590452353 . . .


I.1 Construction TD no 5

Les relations (I.1.2) et (I.1.3) ont des conséquences importantes :

(i) Pour tout nombre complexe z,

ez 6= 0. (I.1.4)

(ii) Pour tout nombre complexe z,

ez = ez. (I.1.5)

(iii) Pour tout nombre réel t,∣∣∣eit∣∣∣ = 1. (I.1.6)

Proposition IV I.1.2.

Preuve:

(i) D’après (I.1.3), eze−z = e0 = 1 d’où le résultat. En particulier, on obtient la relation :

e−z =1ez

. (I.1.7)

(ii) La fonction z 7−→ z est continue sur C, d’où

(

ez = limn→+∞

n∑

k=0

zk

k!

)

=⇒(

ez = limn→+∞

n∑

k=0

zk

k!= ez

)

.

(iii) D’après (I.1.5) et (I.1.3), pour tout t ∈ R,

∣∣∣eit∣∣∣

2= eit × eit = eit × e−it = eit−it = e0 = 1.

D’où∣∣∣eit∣∣∣ = 1.

Le théorème suivant montre le rôle central que joue l’exponentielle en analyse complexe.Elle fait ici le lien entre les deux précédents chapitres comme premier exemple de fonctionholomorphe et analytique.


TD no 5 Construction

(i) La fonction exponentielle est holomorphe sur C et

∀ z ∈ C, exp′(z) = exp(z). (I.1.8)

(ii) La fonction exponentielle est analytique sur C. Pour tout z0 ∈ C, on a :

∀ z ∈ V(z0), exp z =∑

n∈N

exp z0

n!(z − z0)n. (I.1.9)

(iii) ∀ z ∈ C, exp z = limn→+∞

(

1 +z

n

)n

. La convergence étant uniforme sur tout

compact de C.

Théorème IV I.1.3.

Preuve:

(i) D’après III I.4.12 page 91, une série entière est dérivable sur son disque de convergence etla série dérivée, de même rayon de convergence, est obtenue en dérivant terme à terme lasérie initiale. Pour z ∈ C, on a :

(exp z)′ =+∞∑

n=1

nzn−1

n!=

+∞∑

n=1

zn−1

(n − 1)!=

+∞∑

n=0

zn

n!= exp z.

(ii) Soient z0 ∈ C, z dans un voisinage de z0. Il suffit d’appliquer (I.1.3) :


n∈N

exp z0

n!(z − z0)n.

(iii) Pour tout z ∈ C et tout n ∈ N∗, on a :

(

1 +z

n

)n

= 1 + z +n∑

k=2

(

1 − 1n

)(

1 − 2n

)

. . .

(

1 − k − 1n

)zk

k!.

De plus, pour tout 2 6 k 6 n, on montre facilement par récurrence sur k que :

(

1 − 1n

)(

1 − 2n

)

. . .

(

1 − k − 1n

)

> 1 − 1 + 2 + . . . + (k − 1)n

.

Soit, enfin r > 0 et z ∈ D(0, r), on a :∣∣∣∣∣

n∑

k=0

zk

k!−(

1 +z

n

)n∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣

n∑

k=2

[

1 −(

1 − 1n

)(

1 − 2n

)

. . .

(

1 − k − 1n

)]zk

k!

∣∣∣∣∣

6

n∑

k=2

[

1 −(

1 − 1n

)(

1 − 2n

)

. . .

(

1 − k − 1n

)]rk

k!

6

n∑

k=2

1 + 2 + . . . + (k − 1)n

rk

k!=

n∑

k=2

k(k − 1)2n

rk

k!

=n∑

k=2

12n

rk

(k − 2)!=

r2

2n×

n−2∑

k=0

rk

k!

<r2

2n× er −−−−−→

n→+∞0.


II.1 L’exponentielle réelle TD no 5

La majoration étant indépendante de z ∈ D(0, r), la convergence est donc bien uniformesur D(0, r) donc sur tout compact de C.

I.2 L’exponentielle réelle

On se restreint ici à l’axe réel : ∀ x ∈ R, ex =+∞∑

n=0

xn

n!.

1234567

−1−2−3

1 2−1−2−3−4−5−6−7

1

1

e

Figure I.2.3 – exp(x) = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ . . .

La restriction de la fonction exponentielle à l’axe réel établit une bijection stricte-ment croissante sur R∗

+.

Théorème IV I.2.4 (L’exponentielle réelle).

Preuve:

(i) D’après (I.1.4), pour tout x réel, ex 6= 0. D’après (I.1.3), ex =(

ex2

)2> 0. L’exponentielle

est strictement positive sur R.

(ii) La relation (I.1.8) montre que x 7−→ ex est dérivable mais aussi de classe C∞ sur R.

(iii) D’après (I.1.8) encore, (ex)′ = ex > 0. L’exponentielle est strictement croissante sur R.

(iv) Pour x > 0, ex = 1 + x ++∞∑

n=2

xn

n!> 1 + x. Donc lim

x→+∞ex = +∞ et (I.1.7) entraîne

limx→−∞

ex = 0.

On regroupe ces informations dans le tableau de variations de la fonction x 7−→ exp(x) :


TD no 5 II. Cosinus et Sinus

x −∞

ex

0

+∞

+∞

1234567

1−1−2−3−4

1

1

e bc

Figure I.2.4 – La fonction x 7−→ exp(x) sur R

II Cosinus et Sinus

II.1 Trigonométrie réelleOn définit les fonctions cosinus et sinus réelle par les formules dites d’Euler :

∀ t ∈ R, cos t =eit + e−it

2et sin t =

eit − eit

2i. (II.1.10)

⋄ Par définition, pour tout t réel, cos t = Re(

eit)

et sin t = Im(

eit)

. On obtient alorsl’identité d’Euler :

eit = cos t+ i sin t. (II.1.11)

En dérivant l’égalité (II.1.11) membre à membre et en identifiant, on obtient :

cos′ t+ i sin′ t = ieit

= − sin t+ i cos t.

D’où cos′ t = − sin t et sin′ t = cos t pour tout t réel. Les fonctions x 7−→ cosx etx 7−→ sin x sont C∞ sur R.

⋄ A partir de la définition (II.1.10), il est facile de voir que cos(−t) = cos t, la fonctioncosinus est paire et sin(−t) = − sin(t), la fonction sinus est impaire.

⋄ L’égalité |eit| = 1 (I.1.6) se traduit par une autre relation fondamentale et étymolo-gique 2 :

∀ t ∈ R, cos2 t+ sin2 t = 1. (II.1.12)

En particulier, les fonctions sin et cos sont à valeurs dans [−1, 1].

⋄ De la définition de l’exponentielle complexe et de la continuité des fonctions partieréelle et partie imaginaire, on déduit que ces fonctions sont développables en sériesentières sur R avec :

2. Les fonctions cos et sin portent le nom de fonctions circulaires


II.1 Trigonométrie réelle TD no 5

cos t = Re(

eit)

= Re(

+∞∑

n=0

(it)n

n!

)

=+∞∑

n=0

Re(intn

n!

)

=+∞∑

n=0

(−1)n t2n

(2n)!= 1 − t2

2!+t4

4!− t6

6!+ . . . (II.1.13)

sin t = Im(

eit)

= Im(

+∞∑

n=0

(it)n

n!

)

=+∞∑

n=0

Im(intn

n!

)

=+∞∑

n=0

(−1)n t2n+1

(2n+ 1)!= t− t3

3!+t5

5!− t7

7!+ . . .

1

1

(a) cos t = 1 − t2

2!+

t4

4!− t6

6!+ . . .

1

1

(b) sin t = t − t3

3!+

t5

5!− t7

7!+ . . .

Figure II.1.5 – Les fonctions cosinus et sinus comme limite de leur sériede Taylor.

Quelques formules de trigonométrie circulaire :

La relation fonctionnelle (I.1.3) vérifiée par l’exponentielle ainsi que les définitions(II.1.10) permettent d’obtenir les formules classiques de trigonométrie sur R :

cos(a+ b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)

cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

sin(a− b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)

(II.1.14)

cos p+ cos q = 2 cosp+ q

2cos

p − q

2

cos p− cos q = −2 sinp+ q

2sin

p− q

2

sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p− q

2

sin p− sin q = 2 cosp+ q

2sin

p− q

2

(II.1.15)

cos2 a =1 + cos 2a

2sin2 a =

1 − cos 2a2

cos 2a = cos2 a− sin2 a sin 2a = 2 sin a cos a.

(II.1.16)


TD no 5 Trigonométrie Complexe

Ainsi que les formules de Moivre :

(cos t+ i sin t)n = cos(nt) + i sin(nt), (II.1.17)

définies en I.2 page 8 qui se déduisent immédiatement de la relation(

eit)n

= eint, démon-trée par récurrence.

II.2 Trigonométrie ComplexeLes fonctions cos et sin, définies précédemment sont développables en série entière sur

R. On les prolonge alors à C tout entier en définissant :

∀ z ∈ C, cos z =+∞∑

n=0

(−1)n z2n

(2n)!et sin z =

+∞∑

n=0

(−1)n z2n+1

(2n+ 1)!.

Comme sommes de séries entières, ces deux fonctions sont analytiques (donc holo-morphes) sur C et coïncident avec leur homologue réelle sur R. D’après le théorème deprolongement analytique III III.2.7 page 105, elles coïncident donc sur C tout entier. Lesnouvelles fonctions cos et sin sont donc les (uniques) prolongements analytiques des fonc-tions circulaires réelles.En particulier, on a toujours cos′ z = − sin z et sin′ z = cos z pour tout z ∈ C.

Remarque: La plupart des égalités trigonométriques établies sur R s’étendent à C parprolongement analytique.Par exemple, la fonction cos2 x + sin2 x est analytique sur R donc elle admet un uniqueprolongement analytique, donné par son développement en série entière, qui est ici parti-culièrement simple, puisqu’il s’agit de la série constante 1. Donc,

∀ z ∈ C, cos2 z + sin2 z = 1.

On prolonge de la même manière les égalités (II.1.14) et (II.1.15) à C ainsi que lesformules d’Euler (II.1.10), de Moivre (II.1.17), . . .

∀ z ∈ C, cos z =eiz + e−iz

2et sin z =

eiz − eiz

2i. (II.2.18)

∀ z ∈ C, eiz = cos z + i sin z. 3

Comme leurs homologues réelles, les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables(sur C) et, en particulier, holomorphes .

II.3 Trigonométrie hyperboliqueDans la même démarche, il est d’usage de définir le cosinus hyperbolique et le sinus

hyperbolique, d’abord par leur développement en série entière sur R :

∀ t ∈ R, cosh t =et + e−t

2=

+∞∑

n=0

t2n

(2n)!= cos it

∀ t ∈ R, sinh t =et − e−t

2=

+∞∑

n=0

t2n+1

(2n+ 1)!= −i sin it,

et ensuite par leur prolongement analytique au plan complexe :

3. En faisant bien attention que cos z 6= Re(eiz)

si z n’est pas réel.


II.3 Trigonométrie hyperbolique TD no 5

∀ z ∈ C, cosh z =ez + e−z

2=

+∞∑

n=0

z2n

(2n)!= cos iz

∀ z ∈ C, sinh z =ez − e−z

2=

+∞∑

n=0

z2n+1

(2n+ 1)!= −i sin iz.

(II.3.19)

Il est facile de voir que les séries entières de (II.3.19) sont convergentes et analytiquessur C tout entier. Elles sont, en particulier, holomorphes sur C avec

∀ z ∈ C, cosh′ z = sinh z et sinh′ z = cosh z,

donc indéfiniment dérivables sur C.

Quelques formules de trigonométrie hyperbolique :

Les homologues des formules trigonométriques sont regroupées ci-dessous 4 :

∀ z ∈ C, cosh2 z − sinh2 z = 1 5 et ez = cosh z + sinh z. (II.3.20)

cosh(a+ b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b)

cosh(a− b) = cosh(a) cosh(b) − sinh(a) sinh(b)

sinh(a+ b) = sinh(a) cosh(b) + cosh(a) sinh(b)

sinh(a− b) = sinh(a) cosh(b) − cosh(a) sinh(b)

(II.3.21)

cosh p+ cosh q = 2 coshp+ q

2cosh

p− q

2

cosh p− cosh q = 2 sinhp+ q

2sinh

p − q

2

sinh p+ sinh q = 2 sinhp+ q

2cosh

p− q

2

sinh p− sinh q = 2 coshp+ q

2sinh

p− q

2

(II.3.22)

cosh2 a =1 + cosh 2a

2sinh2 a = −1 − cosh 2a

2

cosh 2a = cosh2 a+ sinh2 a sinh 2a = 2 sinh a cosh a.

(II.3.23)

Cosinus et Sinus hyperboliques réels :

(i) Comme leur homologue circulaire, cosh est paire et sinh est impaire.

4. Formellement, à partir des formules (II.1.14), (II.1.15) et (II.1.16), on remplace cos par cosh, sinpar sinh et pour les produits de sinh × sinh on image un i fantôme devant chaque sinh et on remplacepar l’opposé.

5. On reconnaît l’équation X2 − Y 2 = 1 d’une hyperbole équilatère à l’origine du qualificatif hyper-

bolique dû à Vincenzo Riccati (1707-1775, théologien jésuite, physicien et mathématicien originaire deBologne) alors qu’il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l’aire sous la courbe.


TD no 5 Trigonométrie hyperbolique

x 7−→ cosh x

x 7−→ sinh x

1

1

y

xO

Figure II.3.6 – Cosinus et Sinus hyperboliques approchés par leur sériede Taylor

(ii) De la définition cosh x =ex + e−x

2, on déduit que cosh x > 0.

Puis, cosh2 x = 1 + sinh2 x entraîne cosh x > 1 pour tout x réel. La valeur 1 étantatteinte pour x = 0.

(iii) En se limitant à l’ensemble des réels, les fonctions cosh et sinh sont indéfinimentdérivables sur R avec :

∀ x ∈ R, cosh′ x = sinh x et sinh′ x = cosh x. (II.3.24)

(iv) Il résulte de (ii) et (II.3.24) que sinh est strictement croissante sur R puissinh x > 0 = sinh 0 pour x > 0.(II.3.24) entraîne alors à son tour que cosh est strictement croissante sur R+, stric-tement décroissante sur R− par parité.

(v) Enfin avec limx→+∞

cosh x = limx→+∞

sinh x = +∞ et l’argument de parité (i), on peut

tracer les graphes II.3.6 de ces fonctions.

x

cosh x

−∞ +∞0

+∞

1

+∞

x

sinh x

+∞0

0

−∞

−∞

+∞

Figure II.3.7 – Tableaux de variations de x 7−→ cosh x et x 7−→ sinh xsur R

Fonctions réciproques :

(vi) La fonction cosh est continue strictement croissante de [0; +∞[ sur [1; +∞[, elleréalise donc un homéomorphisme de [0; +∞[ sur [1; ∞[. Sa fonction réciproque,


II.3 Trigonométrie hyperbolique TD no 5

x 7−→ argcosh x

x 7−→ argsinh x

1

1

y

xO

Figure II.3.8 – Graphes de x 7−→ argcosh x et x 7−→ argsinh x ainsique la série de Taylor de argsinh.

notée argcosh est appelée argument cosinus hyperbolique.Elle est dérivable sur ]1,+∞[ de dérivée

argcosh′ x =1√

x2 − 1.

En outre, on peut donner une expression exacte pour argcosh, qui est :

∀ x ∈ [0; +∞[, argcosh(x) = ln(

x+√x2 − 1

)

. (II.3.25)

Preuve: Le calcul explicite de cette forme logarithmique revient à résoudre, l’équationcosh t = x. D’après (II.3.20), on a et = x + sinh t. La relation x2 − sinh2 t = 1, entraînealors et = x +

√

x2 − 1 puis le résultat.Il est alors facile de calculer la dérivée de argcosh.

(vii) La fonction sinh est continue strictement croissante de R sur R, elle réalise doncun homéomorphisme de R sur R. Sa fonction réciproque, notée argsinh est appeléeargument sinus hyperbolique.Elle est dérivable sur R de dérivée

argsinh′ x =1√

x2 + 1.

En outre, on peut donner une expression exacte pour argsinh, qui est :

∀ x ∈ R, argsinh(x) = ln(

x+√x2 + 1

)

. (II.3.26)

(viii) La fonction argsinh est développable en série entière sur l’intervalle ] − 1; 1[ doncanalytique et prolongeable à tout le disque unité ouvert par

∀ z ∈ D(0, 1), argsinh z =+∞∑

n=0

(−1)n(2n)!4n(n!)2(2n+ 1)

z2n+1.

Remarque: La fonction argcosh n’est pas définie dans un voisinage de 0.


TD no 5 Quelques commentaires

(ix) Le prolongement à C des expressions (II.3.25) et (II.3.26) donnent des exemples defonctions multiévaluées complexes qui nécessitent le choix d’une coupure de C 6. Onchoisit traditionnellement comme coupure la demi-droite

] − ∞, 1[= z ∈ C / Re z < 1 et Imz = 0pour argcosh et la réunion des deux demi-droites

] − i∞,−i[ = z ∈ C / Re z = 0 et Im < −iet ]i,+i∞[ = z ∈ C / Re z = 0 et Im > i

pour argsinh. On a alors :

argcosh z = Log(

z +√z + 1

√z − 1

)

et argsinh z = Log(

z +√

1 + z2)

.

II.4 Quelques commentaires

Im(z)

Re(z)

Re (cos z)

x 7−→ cosx

y 7−→ cosh y

Figure II.4.9 – z 7−→ Re(cos z)

⋄ Si les fonctions cos et sin, restreintes à R, sont bornées, il n’en est pas de mêmepour ces mêmes fonctions définies sur C. Précisément pour z = x+ iy ∈ C, on a :

cos(z) = cos(x) cos(iy) − sin(x) sin(iy)

= cos(x) cosh(y) + i sin(x) sinh(y) (II.4.27)

sin(z) = sin(x) cos(iy) + cos(x) sin(iy)

= sin(x) cosh(y) − i cos(x) sinh(y)

6. Voir plus loin. . .


II.4 Quelques commentaires TD no 5

π2 π 3π

2 2π 5π2

−π2−π

1

Imz

Re zO

Figure II.4.10 – Courbes de niveaux de la fonction z 7−→ Re(cos z)

et

| cos(z)|2 = cos2(x) cosh2(y) + sin2(x) sinh2(y)

= cos2(x) cosh2(y) + (1 − cos2(x)) sinh2(y)

= cos2(x)(cosh2(y) − sinh2(y)) + sinh2(y)

= cos2(x) + sinh2(y) −−−−−−−−→| Im(z)|→+∞

+∞

Im(z)

Re(z)

| cos z|

Figure II.4.11 – z 7−→ | cos z|

π2 π 3π

2−π

2−π

1Imz

Re zO

Figure II.4.12 – Courbes de niveaux de z 7−→ | cos z|

De même, | sin(z)|2 = sin2(x) + sinh2(y) −−−−−−−−→| Im(z)|→+∞

+∞.


TD no 5 Le nombreπ

⋄ Avec les mêmes notations on établit que

cosh(z) = cosh(x) cosh(iy) + sinh(x) sinh(iy)

= cosh(x) cos(y) + i sinh(x) sin(y) (II.4.28)

sinh(z) = sinh(x) cosh(iy) + cosh(x) sinh(iy)

= sinh(x) cos(y) + i cosh(x) sin(y).

Puis,

| cosh(z)|2 = sinh2(x) + cos2(y) −−−−−−−→| Re(z)|→+∞

+∞,

| sinh(z)|2 = sinh2(x) + sin2(y) −−−−−−−→| Re(z)|→+∞

+∞.

II.5 Le nombre π

(i) Il existe un nombre positif π tel que ei π2 = i.

(ii) Pour tout z ∈ C, ez = 1 si et seulement si z ∈ 2iπZ.

(iii) Les fonctions exponentielles, cosinus et sinus hyperboliques sont périodiques,de période 2iπ. Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.

Théorème IV II.5.1.

Preuve:

(i) La fonction cos définie par (II.1.13) est continue sur l’axe réel et vérifie cos 0 = 1 > 0. Deplus, pour t = 2, la série (II.1.13) est une série alternée convergente dont le terme généraldécroit à partir du second terme. Elle est donc inférieure à la somme de ses trois premiers

termes c’est-à-dire cos 2 < 1 − 22

2+

24

24= −1

3< 0.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un plus petit nombre positift0 ∈ [0, 2] tel que cos t0 = 0 et on pose traditionnellement, par définition :

π = 2t0. (II.5.29)

D’après (II.1.12), cos2 t + sin2 t = 1, d’où sin t0 = ±1.Or sin′ t = cos t > 0 sur ]0, t0[ c’est-à-dire que la fonction sin est croissante sur ]0, t0[ avecsin 0 = 0. D’où sin t0 = 1 > 0 et

ei π2 = i.

(ii) Condition nécessaire : D’après (i), on a facilement eiπ = i2 = −1 7 puis e2inπ = 1 pourtout n ∈ Z.

Condition suffisante : Supposons maintenant que z = x + iy soit un nombre complexetel que ez = 1 et montrons que z est un multiple entier de 2iπ.

7. Cette équation est assez remarquable puisque, écrite sous la forme eiπ + 1 = 0, elle relie 5 des plusfondamentaux nombres mathématiques.


III.1 III. Retour sur les fonctions circulaires réelles TD no 5

Comme |ez| = ex = 1, nécessairement x = 0. Reste à montrer que y est un multiple entierde 2π. Supposons donc le contraire c’est-à-dire y 6∈ 2πZ et montrons que eiy 6= 1.Comme R est archimédien, il existe un entier relatif k tel que 2kπ < y < 2(k + 1)π donctel que 0 < y −2kπ < 2π. Par périodicité de l’exponentielle, ei(y−2kπ) = eiy ; On peut doncsupposer que y ∈]0, 2π[.

Posons alors ei y4 = u + iv avec u et v réels et même strictement positifs car 0 <

y

4<

π

2.

On a :

eiy = (u + iv)4 = u4 − 6u2v2 + v4 + 4iuv(u2 − v2) (II.5.30)

Le membre de droite de (II.5.30) ne peut être réel que si u2 = v2 c’est-à-dire u = v car

u > 0 et v > 0. La condition u2 + v2 = 1 entraîne alors u2 = v2 =12

puis, en remplaçant

dans (II.5.30), on obtient eiy = −1 6= 1 ce qui achève la démonstration.

(iii) D’après (ii), on a ∀ z ∈ C, ∀ k ∈ Z, ez+2ikπ = eze2ikπ = ez.Soit alors un réel T tel que 0 < T 6 2π et ∀ z ∈ C, ei(z+T ) = eiz c’est-à-dire tel queeiT = 1. D’après (ii), 2π|T d’où T = 2π. La fonction exponentielle est donc périodique depériode 2iπ.Les formules d’Euler (II.2.18) et (II.3.19) entraînent immédiatement la périodicité desfonctions cosinus et sinus.

Remarque: A la suite de IV V.1.1, on pourrait prouver que les applications de la formet 7−→ eαt avec α ∈ C, sont les seuls morphismes continus de (R+,+) dans (C∗,×) mais cerésultat ne nous sera pas utile donc on gardera cette remarque comme intermède culturel.

III Retour sur les fonctions circulaires réellesCe petit intermède est consacré à l’étude des fonctions de la variables réelle

cos : R 7−→ R

x cos xet sin : R 7−→ R

x sin x,

que nous n’avions pas encore les moyens de traiter convenablement ainsi qu’à quelquesformules trigonométriques chères aux lycéens.

D’après (II.5.29), cosx > 0 pour tout x ∈]

0,π

2

[

et par parité avec cos 0 = 1 > 0,

cosx > 0 pour tout x ∈]

−π

2,π

2

[

. La fonction sin telle que sin′ = cos est donc strictement

croissante sur]

−π

2,π

2

[

. Comme sin 0 = 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires,

la fonction sin, continue, prend des valeurs strictement négatives sur]

−π

2, 0[

puis stric-

tement positives sur]

0,π

2

[

. On en déduit les variations de cos avec cos′ = − sin.

Enfin, ei π2 = i de IV II.5.1 (i), donne sin

π

2= 1 et la 2π-périodicité donnée par IV II.5.1

(iii) achève l’étude sur R.On résume l’étude dans les tableaux III.0.13. Les graphes des fonctions sont donnés

en II.1.5 page 128.


TD no 5 Relations autour du cercle trigonométrique

x

cos x

−π

20

π

2

0

1

0

x

sin x

−π

20

π

2

−1

0

1

Figure III.0.13 – Tableaux de variations des fonctions x 7−→ cos x etx 7−→ sin x sur R

III.1 Relations autour du cercle trigonométriqueD’après IV II.5.1 (i), on a :

ei π2 = i et eiπ = −1.

Une translation deπ

2sur x entraîne donc une rotation d’angle

π

2sur les cos et sin

correspondants.

ei π2 = i =⇒

cos(

x+π

2

)

= − sin x

sin(

x+π

2

)

= cosx

eiπ = −1 =⇒

cos (x+ π) = − cosxsin (x+ π) = − sin x

Enfin, e−ix = eix, c’est-à-dire une symétrie par rapport à l’axe des réels, et des argu-ments de parité entraînent :

cos(π

2− x

)

= sin x

sin(π

2− x

)

= cosxet

cos (π − x) = − cosxsin (π − x) = sin x

On résume traditionnellement ces relations sur un cercle trigonométrique :

Remarque: En remplaçant π par iπ, cos par cosh et sin par sinh, on obtient la mêmesérie de formules trigonométriques pour les fonctions hyperboliques.

III.2 Fonctions réciproques(i) La fonction cos est continue strictement décroissante de [0; π] sur [−1, 1], elle réalise

donc un homéomorphisme de [0; π] sur [−1; 1]. Sa fonction réciproque, notée arccos,

est dérivable sur ] − 1, 1[ de dérivée arccos′ x = − 1√1 − x2

.

(ii) La fonction sin est continue strictement décroissante de[

−π

2,π

2

]

sur [−1, 1], elle

réalise donc un homéomorphisme de[

−π

2,π

2

]

sur [−1; 1]. Sa fonction réciproque,

notée arcsin, est dérivable sur ] − 1, 1[ de dérivée arcsin′ x =1√

1 − x2.

(iii) On pourrait alors démontrer que ces fonctions sont analytiques sur ] − 1, 1[ et pro-longeables en des fonctions analytiques sur le disque unité ouvert par les séries :


IV.1 IV. Fonctions tangentes et réciproques TD no 5

1

2

−1

−2

1 2−1−2 Obc

bc x

bcπ 2

−x

bc

π2 +x

bc

π − x

bc

π + x

bc

−π 2

−x

bc−π2

+x

bc−x

cos t

sin t

Figure III.1.14 – Formules trigonométriques

∀ z ∈ D(O, 1), arccos z =π

2−

+∞∑

n=0

(2n)!4n(n!)2(2n+ 1)

z2n+1,

arcsin z =+∞∑

n=0

(2n)!4n(n!)2(2n+ 1)

z2n+1.

IV Fonctions tangentes et réciproques

IV.1 Tangente et Arctangente(i) Pour z ∈ C, (II.4.27) s’écrit :

cos z = cosx cosh y + i sin x sinh y.

Comme cosx = 0 ⇔ x ≡ π

2(π) et sinh y = 0 ⇔ y = 0, on déduit de IV II.5.1 que

l’ensemble des zéros de la fonction cos est l’ensemble de réels

Z(cos) =π

2+ kπ / k ∈ Z

.

(ii) Sur C \ Z(cos), on définit la fonction tangente (circulaire) par

tan z =sin zcos z

.


TD no 5 Tangente et Arctangente

x 7−→ arccos xx 7−→ arcsin x

1

1

y

xO

Figure III.2.15 – arccos et arcsin pour x réel ainsi que leur série deTaylor

x 7−→ tan x

x 7−→ arctan x

π

2π

3π2

−π2

−π−3π2

y

xO

Figure IV.1.16 – tan et arctan pour x réel ainsi que leur série de Taylor

Cette fonction est analytique sur son domaine de définition, 2π-périodique, impaire,holomorphe, indéfiniment dérivable 8 et de dérivée

tan′ z =1

cos2 z= 1 + tan2 z. (IV.1.31)

(iii) On peut déduire diverses formules valables pour cette fonction tangente des formulestrigonométriques précédentes. Par exemple de (II.1.14) on déduit

tan(a+ b) =tan a+ tan b

1 − tan a tan b,

lorsque tous ces nombres existent.

8. Les redondances sont, pour l’instant, encore nécessaires.


IV.2 Tangente et Argument tangente hyperbolique TD no 5

(iv) D’après (IV.1.31), la fonction de la variable réelle x 7−→ tan x est donc stricte-

ment croissante sur]

−π

2,π

2

[

avec limx→ π

2

−

tan x = +∞. Elle définit donc un homéo-

morphisme de]

−π

2,π

2

[

sur R. Sa fonction réciproque, notée arctan, est appelée

arc-tangente. Elle est dérivable de dérivée1

1 + x2.

x

tan x

−π

20

π

2

−∞0

+∞

x

arctan x

−∞ 0 +∞

−π

2

0

π

2

Figure IV.1.17 – Tableaux de variations des fonctions x 7−→ tan x etx 7−→ arctan x pour x réel. Le tableau complet dela fonction tan est obtenu soit par imparité et 2π-périodicité soit par symétrie par rapport à l’origineet translations de 2π.

(v) Les fonctions tan et arctan sont toutes deux développables en séries entières, dé-veloppement prolongeable analytiquement au plan complexe. Respectivement, ona :

∀ z ∈ D(

0,π

2

)

, tan z =+∞∑

n=1

B2n(−4)n(1 − 4n)(2n)!

z2n−1,

∀ z ∈ D(0, 1), arctan z =+∞∑

n=0

(−1)n

2n + 1z2n+1,

où les nombres Bn apparaissant dans le développement de tan z sont les nombres deBernoulli 9.

IV.2 Tangente et Argument tangente hyperbolique(i) Pour z ∈ C, (II.4.28) s’écrit :

9. En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés Bn, constituent une suite de nombres rationnels,qui ont d’abord été étudiés par Jacques Bernoulli en cherchant des formules pour exprimer les sommesdu type :

m−1∑

k=0

kn = 0n + 1n + 2n + · · · + (m − 1)n,

pour différentes valeurs de l’entier n.

En effet, l’expressionm−1∑

k=0

kn est toujours un polynôme en m, de degré n+1, dont les coefficients définissent

les nombres de Bernoulli Bn de la façon suivante :

m−1∑

k=0

kn =1

n + 1

n∑

k=0

(n + 1

k

)

Bkmn+1−k.


TD no 5 Tangente et Argument tangente hyperbolique

x 7−→ tanh x

x 7−→ argtanh

1

1

y

xO

Figure IV.2.18 – tanh et argtanh pour x réel ainsi que leur série deTaylor

cosh z = cosh(x) cos(y) + i sinh(x) sin(y).

Par le même raisonnement que précédemment, on déduit de IV II.5.1 que l’ensembledes zéros de la fonction cosh est l’ensemble de réels

Z(cosh) = i×π

2+ kπ / k ∈ Z

. (IV.2.32)

(ii) Sur C \ Z(cosh), on définit la fonction tangente hyperbolique par

tanh z =sinh zcosh z

=ez − e−z

ez + z−z=e2z − 1e2z + 1

.

Cette fonction est analytique sur son domaine de définition, 2iπ-périodique, impaire,holomorphe, indéfiniment dérivable et de dérivée

tanh′ z =1

cosh2 z= 1 − tanh2 z. (IV.2.33)

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l’intermédiaire de leur fonction génératrice expo-nentielle

x

ex − 1c’est-à-dire

x

ex − 1=

∞∑

n=0

Bn

xn

n!,

pour tout x de valeur absolue inférieure à 2π, (le rayon de convergence de cette série entière).Enfin, on peut aussi trouver une formule explicite en passant par les nombres de Stirling :

Bn =n∑

k=0

(−1)k k!k + 1

1k!

k∑

j=1

(−1)k−j

(k

j

)

jn

=n∑

k=0

1k + 1

k∑

j=0

(−1)j

(k

j

)

jn.


V.1 V. Vers le logarithme TD no 5

(iii) Des formules trigonométriques du même type sont toujours valables, auxquelles ilfaut ajouter :

tan z = −i tanh iz et tanh z = −i tan iz.

(iv) D’après (IV.2.33) et (IV.2.32), la fonction de la variable réelle x 7−→ tanh x estdéfinie sur R, strictement croissante avec lim

x→+∞tanh x = 1. Elle définit donc un

homéomorphisme de R sur ]−1, 1[. Sa fonction réciproque, notée argtanh, est appelée

argument tangente hyperbolique. Elle est dérivable de dérivée1

1 − x2.

x

tanh x

−∞ 0 ∞

−1

0

1

x

argtanh x

−1 0 1

−∞0

+∞

Figure IV.2.19 – Tableaux de x 7−→ tanh x et x 7−→ argtanh x pour xréel.

(v) Les fonctions tanh et argtanh sont toutes deux développables en séries entières, dé-veloppement prolongeable analytiquement au plan complexe. On a, respectivement :

∀ z ∈ D(

0,π

2

)

, tanh z =+∞∑

n=1

B2n(−4)n(4n − 1)(2n)!

z2n−1,

∀ z ∈ D(0, 1), argtanh z =+∞∑

n=0

12n+ 1

z2n+1.

.

(vi) En outre, comme pour argcosh et argsinh, on peut trouver une formule explicite. Ils’agit d’une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralementchoisie en posant comme coupure les segments ]−∞; −1[ et ]1; +∞[ :

argtanh z =12

(

Log(1 + z) − Log(1 − z))

,

dont la restriction à ] − 1, 1[ s’écrit :

argtanh x =12

ln(1 + x

1 − x

)

.

V Vers le logarithme


TD no 5 Détermination de l’argument

V.1 Détermination de l’argument

L’application t 7−→ eit réalise un morphisme de groupes continu et surjectif del’axe réel (R,+) sur le cercle unité (S1,×) de noyau 2πZ.

Théorème IV V.1.1.

Preuve: D’après (I.1.6), ∀ t ∈ R, eit ∈ S1. On peut donc définir une application

ϕ : R 7−→ S1

t eit.

1

1

1

1O

bceit

bceit

t

cos t

sin tt

0

ϕ

Figure V.1.20 – Reit

−→ S1

La relation fonctionnelle (I.1.3) implique facilement que S1 est un sous-groupe multiplicatifde (C∗, ×) d’une part et que ϕ est un morphisme d’autre part, continu de surcroît.L’assertion IV II.5.1.(ii) entraîne que le noyau de ϕ est exactement 2πZ.

Il ne nous reste donc plus qu’à montrer que ϕ est surjectif. Considérons un élément w = u+ivde S1 c’est-à-dire tel que |w| = 1 et montrons qu’il existe un réel t tel que w = eit.Supposons d’abord u > 0 et v > 0. La relation |w|2 = u2 + v2 = 1 entraîne que u et v sont dans

[0, 1]. Or, la fonction cos est strictement décroissante sur[

0,π

2

]

avec cos 0 = 1 et et cosπ

2= 0.

Elle réalise donc une bijection 10 de[

0,π

2

]

sur [0, 1] et il existe un unique réel t ∈[

0,π

2

]

tel que

u = cos t. Comme sin2 t = 1 − u2 = v2 avec v > 0 et t ∈[

0,π

2

]

, on a v = sin t puisque ces deux

valeurs sont positives. Il en résulte que w = eit.Si u < 0 et v > 0, on peut appliquer ce qui précède à −iw et on trouve −iw = eit puis

w = ei(t+ π2 ). Enfin, si v < 0, on sait que −w = eit puis w = ei(t+π). L’application t 7−→ eit est

donc bien une surjection de R dans S1.

Le théorème IV V.1.1 peut se résumer par le diagramme V.1.34 :

(R,+) (S1,×)t eit

(R/2πZ,+

)

ϕ

≃p (V.1.34)

10. ou d’après le théorème des valeurs intermédiaires. . .


V.1 Détermination de l’argument TD no 5

Re z

Imz

arg z

Figure V.1.21 – z 7−→ arg z.

Ainsi, l’exponentielle définit un isomorphisme de groupes

ϕ : R/2πZ 7−→ S1.

Si on munit R/2πZ de la topologie quotient 11, ϕ devient un homéomorphisme. L’ap-plication réciproque associe, à tout nombre complexe de module 1, une classe modulo 2πZde réels, ses arguments.

La fonction définie sur C∗ par

arg : C∗ [−π, π[

z = x+ iy arg z =

arcsiny

|z| , si x > 0,

π − arcsiny

|z| , si x 6 0, y > 0,

−π − arcsiny

|z| , si x 6 0, y 6 0

(V.1.35)

consiste à choisir comme représentants les éléments de l’intervalle [−π, π[. On l’appelle ladétermination principale de l’argument. La fonction du même nom définie intuitivementen I.2.2 page 8 l’est désormais rigoureusement.

11. Une partie U ⊂ R/2πZ est un ouvert de R/2πZ si et seulement si p−1(U) est un ouvert de R.


TD no 5 Le logarithme réel

bc

z

|z|

bcz

arg z

1

2

1 2 31

Imz

Re zO

sinz

|z|

Figure V.1.22 – Argument d’un nombre complexe non nul dans le plancomplexe

V.2 Le logarithme réelD’après IV I.2.4, la fonction exponentielle est continue et strictement croissante de R

sur ]0,+∞[. Elle définit donc un homéomorphisme de R sur ]0,+∞[. La fonction réci-proque est notée ln et on l’appelle logarithme népérien.

(i) La fonction ln est définie sur R∗+, continue et strictement croissante sur son

ensemble de définition et vérifie :

∀ x ∈ R, ln ex = x et ∀ x ∈ R∗+, eln x = x.

(ii) La fonction ln est de classe C∞ sur R et

∀ x ∈ R∗+, (ln x)′ =

1x.

(iii) La fonction ln vérifie l’équation fonctionnelle :

∀ x1, x2 ∈ R∗+, ln x1x2 = ln x1 + ln x2. (V.2.36)

(iv) La fonction x ln(1 + x) est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et

∀ x ∈] − 1, 1[, ln(1 + x) =+∞∑

n=1

(−1)n−1xn

n. (V.2.37)

Théorème IV V.2.2 (Le logarithme népérien).

Preuve:

(i) Simple conséquence du paragraphe précédent. De plus, par symétrie par rapport à lapremière bissectrice y = x, on déduit :


V.2 Le logarithme réel TD no 5

limx→+∞

ln x = +∞ et limx→0+

ln x = −∞.

Ainsi queln e = 1 et ln 1 = 0.

x

lnx−∞

+∞

+∞0123

−1−2−3−4

1 2 3 4 5 6 7 8−1

1

1 e

bc

Figure V.2.23 – La fonction x 7−→ ln x sur R∗+

(ii) L’exponentielle ne s’annulant pas sur R, la fonction ln est dérivable sur son ensemble dedéfinition et

∀ x = eu ∈ R∗+, (ln x)′ =

1(eu)′ =

1eu

=1x

.

Puis, par récurrence, ln ∈ C∞ (

R∗+

)

.

Remarque: ln x est la primitive de1x

qui s’annule en 1.

(iii) Soient x1 = eu et x2 = ev, tous deux éléments de R∗+. D’après (I.1.3),

ln x1x2 = ln (euev) = ln(

eu+v)

= u + v = ln x1 + ln x2.

(iv) Il est clair que ln(1 + x) est une primitive sur ] − 1, +∞[ de1

1 + x. Ceci dit, pour tout

x ∈] − 1, 1[, on sait aussi que

+∞∑

n=0

(−1)nxn =1

1 + x=(

ln(1 + x))′

.

On peut alors intégrer terme à terme ce développement en série entière sur l’intervalle] − 1, 1[, le rayon de convergence restant inchangé d’après III I.3.10 :

∀ x ∈] − 1, 1[, ln(1 + x) =+∞∑

n=0

(−1)n xn+1

n + 1

=+∞∑

n=1

(−1)n−1 xn

n

La relation (V.2.37) invite à considérer la série entière définie par

S(z) =+∞∑

n=1

(−1)n−1 (z − 1)n

n. (V.2.38)


TD no 5 Le logarithme réel

1

1

y

xO

Figure V.2.24 – ∀x ∈]0, 2[, ln x = (x−1)−(x − 1)2

2+

(x − 1)3

3−(x − 1)4

4+. . .

Le rayon de convergence de la série∑

(−1)n−1 zn

nétant 1, la relation (V.2.38) est

valide pour tout complexe z tel que |z− 1| < 1 c’est-à-dire tout élément du disque ouvertcentré en 1 et de rayon 1.

D’après III II.3.6, on sait que S est analytique sur son disque de convergence et vérifie :

S(1) = 0 et ∀ |z − 1| < 1, S ′(z) =1z.

En particulier, pour tout x ∈]0, 2[, S(x) = ln x. Précisons ces notions :

Soit U un domaine contenu dans C∗.On appelle détermination (continue) du logarithme sur U toute fonction continuesur U vérifiant

∀ z ∈ U , exp f = Id|U .

Définition IV V.2.3 (Détermination du logarithme).

Par composition de fonctions analytiques, la fonction exp S est analytique 12 et coïn-cide sur ]0, 2[ avec l’identité donc, d’après le théorème de prolongement analytique IIIIII.2.7 page 105, elles sont égales sur 1 + D(0, 1) tout entier.La somme de la série définie en (V.2.38), clairement continue, est donc une déterminationdu logarithme sur 1+D(0, 1). Par définition, c’en est même une détermination analytique.

12. On anticipe un peu mais chut !


V.2 Le logarithme réel TD no 5

Sur tout disque ne contenant pas l’origine, il existe une détermination analytiquedu logarithme. Plus précisément : soit z0 ∈ C∗ et θ0 = arg(z0) défini en (V.1.35).Alors la série

f(z) = ln |z0| + iθ0 ++∞∑

n=1

(−1)n−1

nzn0

(z − z0)n,

définit une détermination (analytique) du logarithme sur D(z0, |z0|).

Corollaire IV V.2.4.

Preuve: La série+∞∑

n=1

(−1)n−1

n

(z − z0

z0

)n

converge, pour∣∣∣∣

z − z0

z0

∣∣∣∣

< 1 vers S

(z

z0

)

définie en

(V.2.38). On sait qu’elle est analytique sur tout disque ne contenant pas 0 donc sur D(z0, |z0|).Donc exp f(z) = |z0| exp(iθ0) × exp f

(z

z0

)

= z0z

z0= z.


TD no 5 Détermination principale du logarithme

V.3 Détermination principale du logarithmeLa fonction exponentielle n’est pas surjective sur C puisqu’elle ne s’annule jamais. Elle

n’est pas non plus injective d’après IV V.3.5 (iii). On ne peut donc espérer définir unefonction réciproque de l’exponentielle sur C tout entier.

Pour tout nombre complexe w 6= 0, il existe un nombre complexe z tel que :

w = ez.

L’application exponentielle est un morphisme continu surjectif de (C,+) dans(C∗,×) de noyau 2iπZ.

Théorème IV V.3.5.

Preuve: Fixons un élément w 6= 0. D’après IV V.1.1, il existe un y ∈ R tel quew

|w| = eiy et

d’après IV I.2.4, l’exponentielle réalise une bijection de R sur R+, il existe donc x ∈ R tel que|w| = ex.En conclusion, w = ex+iy.

(C,+) (C∗,×)z ez

(C/2iπZ,+

)

ϕ

ϕp (V.3.39)

⋄ Le diagramme V.3.39 illustre IV V.3.5. Il traduit que l’exponentielle se factorise enun morphisme injectif ϕ donc bijectif et on a :

C/2iπZ ≃ C∗.

⋄ Si l’on cherche, comme dans R, à inverser la fonction exp, on est amené à résoudrew = exp z = ex+iy pour z 6= 0 : on trouve x = ln |w| et y ≡ argw (2π). On est doncamené à poser une expression de la forme

Logw = ln |w| + i argw. (V.3.40)

Il est clair que cette expression dépend de la détermination de l’argument choisie enIV V.1.1. On fait ici le choix de la détermination principale.

⋄ Enfin, d’après (V.3.39), cette construction doit nécessairement être définie sur des« bandes 13 » de la forme

B−π =

z ∈ C / − π 6 Imz < π

,

13. ou tout autre obtenue par translation à condition de choisir une détermination de l’argument adap-tée.


V.3 Détermination principale du logarithme TD no 5

12345

−1−2−3−4−5

1 2 3 4−1−2−3−4−5

1

1

π

−π

Imz

Re zO

bcx0 − iπ

12345

−1−2−3−4−5

1 2 3 4−1−2−3−4−5

1

1

Rew

ImwObc

w0 = −ex0

w = ez

z = Logw

Figure V.3.25 – Exemple de domaine assurant la bijectivité de l’expo-nentielle

homéomorphe à R × [−π, π[ pour assurer la bijectivité de l’exponentielle.

Ces conditions étant réunies, on a bien eLog w = e|w| × ei arg w = |w|ei arg w = wc’est-à-dire exp Log = Id|C∗. Elles sont aussi suffisantes.

⋄ Cependant, la fonction Log n’est pas continue sur C∗. En effet, soit x un réel stric-tement négatif et considérons les deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N de C∗ définies par

un = |x|eiπ(1− 1

n) et vn = |x|e−iπ(1+ 1

n).

Par continuité de l’exponentielle sur C, on a limn→+∞

un = limn→+∞

vn = −|x| = x.

Or,

Log un = ln |x| + iπ(

1 − 1n

)

−−−−→n→+∞

ln |x| + iπ

6=

Log vn = ln |x| − iπ(

1 +1n

)

−−−−→n→+∞

ln |x| − iπ

.

La fonction Log, ainsi construite ne saurait donc être continue sur B−π.

Pour surmonter cette difficulté et construire une détermination du logarithme au sensde IV V.2.3 on est amené à s’interdire les valeurs de z telle que Imz = −π et à définir labande ouverte



123456

−1−2−3−4−5

1 2 3 4−1−2−3−4−5

1

1

π

−π

Imz

Re zO

ln |x| + iπb

ln |x| − iπ

b

12345

−1−2−3−4−5

1 2 3 4−1−2−3−4−5

1

1

Re w

ImwObcx

b un

b vn

Figure V.3.26 – Log n’est pas continu sur B−π

B−π =

z ∈ C / − π < Imz < π

.

exp|B−πest alors une bijection bi-continue de B−π sur C∗ \ R∗

− = C \ R− où R−

est appelée une coupure du plan complexe. La bijection réciproque, toujours définie par(V.3.40), est alors continue. Plus précisément :

La fonction Log définie sur C \ R− par

Log : C \ R− B−π =

z ∈ C / − π < Imz < π

z = x+ iy ln |z| + i×

arcsiny

|z| , si x > 0,

π − arcsiny

|z| , si x 6 0, y > 0,

−π − arcsiny

|z| , si x 6 0, y < 0

est appelée La détermination principale du logarithme ;

Définition IV V.3.6 (Détermination principale du logarithme).

Attention : l’égalité (V.2.36), usuelle dans R∗+ ne peut plus être appliquée dans C.

Par exemple, pour z = e2i π3 , on a z2 = e4i π

3 = e−2i π3 .

Si l’on choisit la détermination principale du logarithme, alors

Log z = 2iπ

3et Log z2 = −2i

π

36= 2 Log z.

Remarque: Pour α ∈ R, une détermination du logarithme 14 sur une bande

Bα =

z ∈ C / α < Imz < α+ 2π

14. non principale cette fois.



Re z

Imz

| Log z|

Figure V.3.27 – Surface z 7−→ | Log z|. En coloré, la déterminationprincipale du logarithme. Le module, étant continuesur C, on peut visualiser la singularité en 0 du lo-garithme. La courbe tracée en rouge, représentant lafonction x 7−→ ln |x|, est donc évidemment disconti-nue en 0.

est de la forme

Logα : C \ ∆α 7−→ Bα

z Logα z = ln |z| + i argα(z),

où la coupure ∆α correspondante est la demi-droite ρeiα, ρ > 0 et α < argα(z) < α+2π.

1

1

α + 2π

α

Imz

Re zO

Bα

∆α

1

1

Rew

ImwO

α

Figure V.3.28 – Bande Bα =z ∈ C / α < Im z < α + 2π

et sa

coupure ∆α associée



La relation fonctionnelle :

La relation (I.1.3) pour la fonction exponentielle implique que

exp(

Log z1z2

)

= z1z2

= exp(

Log z1

)

× exp(

Log z2

)

= exp(

Log z1 + Log z2

)

.

On en déduit que :

∀ z1, z2 ∈ C∗, Log z1z2 = Log z1 + Log z2 + 2ikπ.

L’entier k est déterminé par la branche du logarithme choisie. Si l’on considère la brancheprincipale sur C \ R−, on a :

∀z1, z2 ∈ C\R−, Log z1z2 = Log z1+Log z2+

2iπ si π < arg z1 + arg z2

0 si −π < arg z1 + arg z2 < π−2iπ si arg z1 + arg z2 < −π.

En particulier, ∀ n ∈ Z, on a Log zn = nLog z + 2ikπ et donc aussi

zn = exp(

nLog z)

.

Cette formule est la motivation pour considérer aussi des puissances complexes en V.4.

(i) Si f est une détermination du logarithme sur un domaine U ⊂ C∗ alors lesautres déterminations du logarithme dans ce même ouvert sont f + 2ikπ,k ∈ Z.

(ii) Il n’existe pas de détermination (continue) du logarithme sur C∗.

(iii) Si f est une détermination du logarithme dans un domaine U alors

∀ z ∈ U , f ′(z) =1z.

Proposition IV V.3.7.

D’après (iii), une détermination du logarithme sur U est donc nécessairement une

primitive de1z

sur U .Preuve:

(i) Si f et g sont deux déterminations continues du logarithme sur U alors h =f − g

2iπest

continue de U connexe à valeurs dans Z discret, donc h est constante d’après I IV.1.2 page20.

(ii) Supposons qu’une telle détermination existe et appelons-la f . La fonction u = Im f estalors une détermination continue de l’argument sur C∗.

Restreignons-nous au cercle S1 et posons



v : R 7−→ R

θ u(

eiθ)

.

v est alors continue et 2π-périodique. Pour tout θ ∈ R, θ et v(θ) sont des représentantsd’une même classe d’argument de eiθ donc il existe un entier n(θ) tel que

v(θ) − θ = 2n(θ)π.

On applique ici le même raisonnement qu’en (i) : v est continue donc n est aussi continuede R connexe dans Z discret donc elle est constante c’est-à-dire qu’il existe un entier n0

tel que

v(θ) − θ = 2n0π.

Là, où le bât blesse, c’est que v est 2π-périodique :

v(θ) = θ + 2n0π = v(θ + 2π) = θ + 2π + 2n0π,

ce qui est impossible. Donc il ne peut exister de telle détermination sur C∗.

(iii) Soient z0 et z dans U et posons Z = f(z) et Z0 = f(z0). Comme exp f = Id|U , on aexp Z = z et exp Z0 = z0 puis

f(z) − f(z0)z − z0

=Z − Z0

exp Z − exp Z0−−−→z→zo

1exp Z0

=1z0

.

La moralité de IV V.3.7.(ii) est qu’il faut enlever un peu plus qu’un ensemble discretpour espérer construire une détermination du logarithme continue. On sait depuis IVV.3.6 qu’une telle construction est possible en enlevant une demi-droite. Entre les deux, onpourrait essayer de construire une détermination du logarithme sur C privé d’un segmentou d’un disque. Peine perdue, comme nous le verrons, segments, disques et autre ensemblesbornés sont homotopes 15 à un point.

La fonction Log définie en IV V.3.6 est analytique sur C \ R−.

Corollaire IV V.3.8 (Détermination analytique du logarithme).

Preuve: On sait déjà que Log est une détermination continue du logarithme sur C \ R−. Il nereste plus qu’à vérifier qu’elle y est analytique.Soient donc z0 ∈ C \R− et D un disque ouvert, centré en z0 de rayon r suffisamment petit pourne pas intersecter la demi-droite des réels négatifs.

Comme D ⊂ D(z0, |z0|), d’après IV V.3.7.(i), les deux déterminations du logarithme Log etf définie en IV V.2.4 sont égales sur D à un facteur de 2iπ près. L’une étant analytique, l’autrel’est aussi.

15. En première approche, « qui peuvent se déformer continument en. . . »


TD no 5 Fonctions puissance

bcz0

r

|z0| 1

2

1−1−2−3−4−5 1

Imz

Re zO

Figure V.3.29 – Il existe une détermination analytique du logarithmesur C \ R−

V.4 Fonctions puissancePour α ∈ R et x ∈ R∗

+, on définit la fonction puissance-α par xα = exp(α ln x). Onétend cette définition à C :

Soient α ∈ C et U un domaine ne contenant pas l’origine. Pour chaque détermi-nation du logarithme dans U , on peut définir une fonction puissance-α associéepar

φ : U 7−→ C

z zα = exp(αLog z).(V.4.41)

Définition IV V.4.9 (Puissance).

Exemple:Pour la détermination principale du logarithme, la fonction z 7−→ zi est définiepar

∀ z ∈ C \ R−, zi = exp(iLog z)

= exp(i ln |z| − arg z)

= exp(i ln |z|) × exp(− arg z).

Par exemple, ii = e− π2

+2kπ.Remarque: Comme pour le logarithme, il faut être extrêmement vigilant avant d’utiliserdes formules comme zα+β = zαzβ ou (zz′)α = zαz′α, . . .

Quelques commentaires importants :

Ici, la fonction Log est multivaluée. Ceci signifie que zα est aussi multivaluée en général.Considérons quelques cas particuliers :

⋄ si α = n ∈ N alors zn = z × z × . . .× z︸︷︷︸

n fois

. Cette valeur est unique.


V.4 Fonctions puissance TD no 5

⋄ Si α = −n est un entier négatif alors zn = z−1 × z−1 × . . .× z−1

︸︷︷︸

n fois

. Cette valeur est

unique.

⋄ Si α =1n

alors zα est une racine énième de l’unité. On les obtient toutes à partir

d’une seule par multiplication par e2ikπ

n , k = 0, 1 . . . , n− 1.

⋄ Si α ∈ R \ Q alors zα représente une infinité de nombres complexes. Leur ensembleest dense dans S1.

⋄ α ∈ C \ Q alors zα représente une infinité de nombres complexes. Leur ensembledécrit une spirale d’équation zα = |z|α × e2ikπα.

Remarque: Si l’on échange les rôles de α et z dans (V.4.41), l’expression

αz = exp(

z Log c)

définit cette fois une vraie fonction 16 car Log c est fixé comme la valeur de la brancheprincipale.

Exemple: Avec α = e, on a Log e = 1 et ez = exp(z × 1) = exp z, ce qui justifie encore, aposteriori, le choix des notations.

Une détermination du logarithme étant choisie sur U , la fonction puissance associéeest continue et dérivable sur U avec

∀ z ∈ U , αzα−1.

Proposition IV V.4.10.

Preuve: La fonction puissance est la composée de fonctions continues et C-dérivables donc ellel’est aussi. Le reste n’est que calcul.

16. On dit univoque.


TD no 5 Fonctions puissance

Exercice .1:En n’utilisant que la relation fonctionnelle, démontrer que, pour tout p, q ∈ C :

cos p+ cos q = 2 cosp+ q

2cos

p− q

2.

Exercice .2:

Montrer que la série de terme général fn(z) =(−1)n

z + ndéfinit une fonction analytique sur

Ω = C \ −n, n ∈ N.

Exercice .3:Vérifier que la fonction définie par f(z) =

12 + z

est développable en série entière au

voisinage du point z = 1 et écrire ce développement.

Exercice .4:Déterminer les zéros des fonctions suivantes et préciser leurs ordres :

(i) f(z) = exp z − 1

(ii) g(z) = sin2 z

(iii) h(z) = sin z2

(iv) k(z) =sin zz

.

Exercice .5:Soit f une fonction holomorphe sur D(0, 1) vérifiant :

∀ x ∈] − 1,+1[,(

f(x) ∈ R et f(ix) ∈ R

)

.

Montrer que f est paire.


.0 Fonctions puissance TD no 5

Correction des exercices :

Correction de l’exercice .2: Il suffit de montrer que cette série de fonctions converge surΩ et converge uniformément sur tout compact contenu dans ce domaine de convergence.

La fonction fn(z) =(−1)n

z + ndéfinit une fonction analytique sur Ω.

De plus, la partie réelle fn,1(x, y) =(−1)n(x+ n)(x+ n)2 + y2

se comporte, pour n grand et à x et

y fixés comme la fonction(−1)n

n, ce qui assure la convergence de la série de terme général

fn,1(x, y).

Le raisonnement est identique avec la partie imaginaire fn,2(x, y) =(−1)n+1y

(x+ n)2 + y2.

Ainsi, la série de termes(−1)n

z + nest convergente sur Ω.

De plus, comme cette série est une série alternée, on a une majoration du reste par ledernier terme oublié. Considérons D(O, r) un disque compact de C.

∀ z ∈ D(O, r) ∩ Ω, |S(z) − Sn(z)| 6 1|r − n| −−−−→

n→+∞0,

indépendamment de z. La série converge donc uniformément sur tout compact de Ω oùelle y définit une fonction analytique.

Correction de l’exercice .3: f(z) =∑

n∈N

(−1)n

3n+1(z − 1)n.

Correction de l’exercice .4: On trouve :

(i) Df =

zk = 2kπ, k ∈ Z

. Les zéros sont simples.

(ii) Dg =

zk = kπ, k ∈ Z

. Les zéros sont d’ordre 2.

(iii) Dh =

zk =√kπ, k ∈ Z

∪

zk = −√kπ, k ∈ Z

et

D′h =

zk = i√

−kπ, k ∈ Z

∪

zk = −i√

−kπ, k ∈ Z

. Tous ces zéros sont simples.

(iv) Dh =

zk = kπ, k ∈ C∗

. Les zéros sont simples.

Correction de l’exercice .5: Comme f est à valeurs réelles sur ]−1, 1[, il en est de mêmede f ′, f ′′, . . . , et par récurrence, de toutes ses dérivées. La série de Taylor f(z) =

∑

n∈N

anzn

est donc à coefficients an =1n!f (n)(0) réels.

Il en sera de même, par hypothèse, de la série pour f(iz), donc on a aussi inan ∈ R

pour tout n.Pour n impair on a donc an à la fois réel et imaginaire pur, donc nul.

Conclusion, f(z) =∑

k∈N

a2kz2k et f est bien une fonction paire.


CHAPITRE V

LA THÉORIE DE CAUCHY

SommaireI Chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

II Intégration le long de chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . 163

III Indice d’un lacet par rapport à un point . . . . . . . . . . . . 181

IV Théorème de Cauchy homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Le but de cette partie est d’établir une formule intégrale pour les fonctions holo-morphes, c’est-à-dire de montrer que toute fonction holomorphe s’écrit commel’intégrale d’une certaine fonction. Nous en déduirons l’analyticité de toute fonc-

tion holomorphe et aurons ainsi montré l’équivalence entre « fonction holomorphe » et« fonction analytique ».

Nous verrons que, pour une fonction donnée, le problème délicat de l’existence d’uneprimitive complexe sur un ouvert de C n’est bien défini que conjointement à la notion dechemin dans cet ouvert. Nous verrons ensuite de quelle façon la régularité des fonctionsadmettant une primitive est reliée à la régularité des chemins considérés.

Nous introduisons d’abord la notion de chemin du plan complexe, puis celle d’inté-gration le long de ces chemins. Nous étudierons ensuite en détail la relation entre cettedernière notion et la détermination de primitives pour une fonction d’une variable com-plexe.

I Chemins de C

159

I.1 Classe de chemins TD no 5

I.1 Classe de chemins

Soient I[a, b] un intervalle fermé de longueur non nulle de R, U un ouvert de C

identifié à R2 et γ : I 7−→ U une application.

(i) L’image γ(I) (notée aussi parfois γ∗) est appelée chemin et γ est un paramé-trage du chemin. On confondra souvent γ(I), γ∗ et son paramétrage γ.

(ii) Un lacet est un chemin continu fermé c’est-à-dire dont l’extrémité et l’originesont confondus : γ(a) = γ(b).Un lacet est dit simple s’il n’admet d’autres points doubles γ(a) = γ(b).

Définition V I.1.1 (Chemin).

Figure I.1.1 – Des fonctions y = f(x) et x = g(y) peuvent être écritessous la forme :

(a) γ(t) =

(

g(t)t

)

f(t)

t

y

xa bO

γ∗

(b) γ(t) =

(

g(t)t

)

t

g(t)

y

xa bO

γ∗

Remarques:

• Si γ : [a, b] 7−→ U est un chemin, son image im γ = γ(

[a, b]) est le chemin géomé-trique qu’il définit et γ est une paramétrisation de im γ.

bγ(a)

bcγ(b)

γ∗

Figure I.1.2 – Chemin de C possédant un point double

• Dire qu’un chemin est sans point double revient à dire que γ est injectif.


TD no 5 Classe de chemins

bcγ(a) = γ(b)

γ∗

bc

γ∗

γ(a) = γ(b)

Figure I.1.3 – Lacets

Soient I[a, b] un intervalle fermé de longueur non nulle de R, U un ouvert de C

identifié à R2 et γ : I 7−→ U une application.

(i) Un chemin est dit continu (resp. continu et C1 par morceaux, C1) s’il admetun paramétrage continu (resp. continu et C1 par morceaux, C1).

(ii) On dit que γ est continu et de classe C1 par morceaux si et seule-ment si γ est continu sur [a, b] et s’il existe une subdivision finiea = a0 < a1 < . . . < an−1 < an = b de [a, b] telle que γ soit de classeC1 sur tous les intervalles fermés [ai, ai+1], i = 0 . . . n− 1. 1

(iii) Deux chemins γ1 : [a, b] 7−→ U et γ2 : [c, d] 7−→ U sont dits C1-équivalents s’ilexiste un C1-difféomorphisme φ : [a, b] 7−→ [c, d] tel que γ1 = γ2 φ.Si, de plus, on peut trouver φ croissant, on dit que les chemins sont C1-équivalents de même orientation.

Lemme V I.1.2.

|a

|

b|c

|

d

γ1γ2

φ

y

xO

t s

Figure I.1.4 – Chemins équivalents

La C1-équivalence et la C1-équivalence de même orientation sont deux relations d’équi-valence. On notera γ et γ+ les classes d’équivalence relatives à ces relations.

De plus, en choisissant comme difféomorphisme, une bijection affine de [a, b] dans[0, 1], tout chemin est équivalent à un chemin dont la source est [0, 1] ce qui simplifierales notations.

1. Le plus souvent, on dira seulement « C1 par morceaux » au lieu de « continu et C1 par morceaux ».


I.3 Opérations sur les chemins TD no 5

φ : [a, b] 7−→ [0, 1]

t1

b− a(t− a)

⇐⇒ φ−1 : [0, 1] 7−→ [a, b]t a+ (b− a)t.

(I.1.1)

Une courbe est une classe d’équivalence de chemins. Une courbe orientée est uneclasse d’équivalence de chemins pour la relation précédente avec φ strictementcroissante.

Définition V I.1.3 (Courbe).

I.2 Opérations sur les cheminsDéfinissons deux opérations naturelles sur les chemins :

(i) Si γ : [a, b] 7−→ C est un chemin, le chemin opposé à γ est le chemin

γ− : [0, 1] 7−→ C

t γ(a + b− t).

Dans ce cas, im(γ−) = im(γ).

(ii) Si γ1 : [a1, b1] 7−→ C et γ2 : [a2, b2] 7−→ C sont deux chemins tels queγ1(b) = γ2(c), le chemin juxtaposé 2 γ2 + γ1

3 est le chemin défini sur l’inter-valle [a1, b1 + b2 − a2] par

γ : [a1, b1 + b2 − a2] 7−→ C

t

γ1(t) si t ∈ [a1, b1]γ2(t+ a2 − b1) si t ∈ [b1, b1 + b2 − a2].

Dans ce cas, im(γ2 + γ1) = im(γ2) ∪ im(γ1).

Définition V I.2.4.

Remarque: On peut aussi composer plusieurs chemins si le point final d’un chemin estégal au point de départ du chemin suivant. C’est d’ailleurs de cette manière que l’onconstruit un chemin C1 par morceaux dans un domaine.

I.3 Exemples de chemins(i) Si a, b ∈ C alors γ : [0, 1] 7−→ C

t (1 − t)a + tbest un chemin de classe C1, appelé

segment orienté [a, b]. Il est de longueur |b− a|.

2. ou concaténé, ou somme. . .3. Dans cet ordre comme pour une composée.


TD no 5 II. Intégration le long de chemins de C

bc

bc

bc bc

γ∗1

γ∗2

γ∗3

γ1(a1)

γ1(b1)=γ2(a2)

γ2(b2)=γ3(a3)γ3(b3)

Figure I.2.5 – Juxtaposition des trois chemins γ1 : [a1, b1] 7−→ C,γ2 : [a2, b2] 7−→ C et γ3 : [a3, b3] 7−→ C. On obtientainsi un chemin C1 par morceaux

(ii) Pour a et b dans C, le segment [a, b] admet aussi pour paramétrage

γ : [α, β] 7−→ C

t(β − t)a + (t− α)b

β − α.

.

(iii) Si T ⊂ C est un triangle dont les sommets z1, z2, z3 sont numérotés dans le senstrigonométrique, on définit

∂T = [z1, z2] ∪ [z2, z3] ∪ [z3, z1], (I.3.2)

le bord orienté du triangle dont une paramétrisation sur [0, 1] peut être

γ : [0, 1] 7−→ C

t

(1 − 3t)z1 + 3tz2 si t ∈[

0,13

]

(2 − 3t)z2 + (3t− 1)tz3 si t ∈[13,23

]

(3 − 3t)z3 + (3t− 2)tz1 si t ∈[23, 1]

.

(iv) Pour a ∈ C, r > 0, le cercle orienté de centre a et de rayon r noté plus affinementCa,r = a + Cr ou encore plus simplement |z − a| = r est l’image du chemin

γ : [0, 2π] 7−→ C

t a+ reit.

Remarque: Les chemins γn : [0, 2nπ] 7−→ C définis par γn(t) = ei tn sont tous des

paramétrisations distinctes du cercle unité.

II Intégration le long de chemins de C

Le problème consiste à donner un sens à une intégrale complexe∫ z1

z0

f(z)dz où z

parcourt un chemin γ reliant z0 à z1. On pourrait, par exemple, considérer le segment[z0, z1] mais le problème, contrairement à R, c’est qu’il existe « beaucoup » de cheminsreliant z0 à z1 dans C. C’est de cette considération est riche de conséquences.


II.1 Intégrale curviligne TD no 5

|a

|

b|

t

bz0 = γ(a)

bcz1 = γ(b)

bcz = γ(t)

γ

γ∗

Figure II.0.6 – Intégration le long de γ

II.1 Intégrale curviligne

On appellera dorénavant chemin une classe de chemin C1 par morceaux et à dérivéebornée défini sur un intervalle [a, b] fermé de R c’est-à-dire que l’on considère une subdi-vision finie a = a0 < a1 < . . . < an−1 < an = b de [a, b] telle que γ soit de classe C1 surtous les intervalles fermés [ai, ai+1], i = 0 . . . n − 1 et telle qu’il existe un réel M tel que|γ′(t)| 6M sur [a, b] 4.

Soient alors U un ouvert de C et f : U 7−→ C une fonction continue et γ : [a, b] 7−→ Uun chemin comme précisé ci-dessus. On peut définir l’intégrale de f le long de ce cheminen s’inspirant de la définition de l’intégrale de Riemann d’une fonction définie sur unsegment réel et à valeur complexes. Pour ce faire, on découpe, pour tout entier natureln > 1, l’intervalle [a, b] en n intervalles de même longueur en utilisant la subdivision

(tn,k)06k6n5 définie par tn,k = a+ k

b− a

npour 0 6 k 6 n et on lui associe la suite (In)n∈N

définie par :

∀ n ∈ N∗, In =n−1∑

k=0

f(

γ(tn,k))(

γ(tn,k+1 − γ(tn,k

)

tn,k+1 − tn,k =b− a

n

=n−1∑

k=0

f(

γ(tn,k))(

(tn,k+1 − tn,k)γ′(tn,k) + o(tn,k+1 − tn,k))

=n−1∑

k=0

(tn,k+1 − tn,k)f(

γ(tn,k))

γ′(tn,k) + o(1).

On reconnait une somme de Riemann et il est tout naturel de donner la définitionsuivante :

4. Ou tout au moins que chacune des dérivées à gauche et à droite de γ|]ai,ai+1[ existe pour i = 0 . . . n−1.5. Cette subdivision est indépendante de la subdivision, finie, a0 < . . . < an. Construire une subdivi-

sion sur chaque intervalle [ai−1, ai] à la manière de Newton-Cotes permettrait de calculer une meilleurevaleur approchée de cette intégrale mais tel n’est pas notre propos ici.


TD no 5 Intégrale curviligne

Soient U un ouvert non vide de C, f : U 7−→ C une fonction continue etγ : [a, b] 7−→ U un chemin à valeurs dans U .L’intégrale curviligne de f le long de γ est le nombre complexe :

∫

γf(z)dz =

∫ b

af(

γ(t))

γ′(t)dt. (II.1.3)

Définition V II.1.1 (Intégrale curviligne).

En notant a = a0 < a1 < . . . < an = b une subdivision telle que γ soit de classecontinue C1 par morceaux sur chaque [ai, ai+1], i = 0 . . . n− 1, on a précisément :

∫

γf(z)dz =

n−1∑

i=0

∫ ai+1

ai

f(

γ(t))

γ′(t)dt.

Remarques:

• Cette définition n’introduit donc aucune forme nouvelle d’intégration.

• En pratique cette intégrale curviligne se calcule en posant z = γ(t) et dz = γ′(t)dtavec t parcourant [a, b] pour z parcourant γ

(

[a, b])

.

Exemples

(i) Soient f(z) =1z

et γ : t 7−→ eit une paramétrisation du cercle unité sur [0, 2π].

Comme f est holomorphe sur C∗, elle y est en particulier continue.

∫

|z|=1

1zdz =

∫ 2π

0

1eitieitdt = i

∫ 2π

0dt = 2iπ.

(ii) Plus généralement, soient f(z) = zn pour n ∈ Z, ω ∈ C et γ = Cω,r une paramétri-sation du cercle de centre ω et de rayon r > 0. On a :

∫

|z−ω|=rzndz =

∫ 2π

0rneintinreintdt = irn+1

∫ 2π

0ei(n+1)tdt =

0 si n 6= −12iπ si n = −1.

(iii) Soient z0 ∈ U un ouvert de C et f une fonction continue sur U . Pour tout z ∈ U ,l’intégrale de f le long du segment [z0, z] est donnée par

F (z) =∫

[z0,z]f(z)dz = (z − z0)

∫ 1

0f(

(1 − t)z + tz0

)

dt.

Comme on le verra plus tard, la fonction F est une bonne candidate à une primitivede f sur U . Sur cet exemple simple, on voit bien ici le rôle tout naturel que vontjouer les ouvert étoilés et plus tard les ouverts simplement connexes.

(iv) Un exemple fondamental : Soit γ : t 7−→ ω + reit une paramétrisation du cerclede centre ω et de rayon r > 0. Un simple changement de variable dans (ii), donne



z0

z

(a) Segment dans un ouvert étoilé

γ

b z0

bc z

(b) Chemin dans un ouvert simplement connexe

Figure II.1.7 – Ouverts de C

∫

|z−ω|=r(z − ω)ndz =

0 si n 6= −12iπ si n = −1

Ce qui s’écrit en particulier,∫

|z−ω|=r

1z − ω

dz = 2iπ. (II.1.4)

On doit maintenant montrer que cette intégrale curviligne est bien définie, c’est-à-direqu’elle est indépendante du choix de la paramétrisation de la courbe orientée choisie.

La valeur de∫

γf ne dépend que de γ+

Théorème V II.1.2.

Preuve: Soient γ : [a, b] 7−→ U et γ1 : [a1, b1] 7−→ U deux éléments de γ+ et φ : [a, b] 7−→ [a1, b1]un difféomorphisme strictement croissant tel que γ = γ1 φ. Il suffit simplement de faire unchangement de variable adéquat :

∫

γf(z)dz =

∫ b

af(γ(t)

)γ′(t)dt

=∫ b

af(γ1 φ(t)

)(γ1 φ)′(t)dt

=∫ b

af(

γ1

(

φ(t)))

γ′1

(

φ(t))

φ′(t)dt s = φ(t)

=∫ b1

a1

f(γ1(s)

)γ′

1(s)ds

=∫

γ1

f(z)dz.



Soient U un ouvert de C, γ : [a, b] 7−→ U un chemin de U et f une fonction continuesur U .

(i)∫

γ−

f = −∫

γf .

(ii) Soient γ1 et γ2 tels que γ = γ1 + γ2. Alors

∫

γf =

∫

γ1

f +∫

γ2

f.

Proposition V II.1.3.

Preuve:

(i) Soit γ− le chemin défini par γ−(t) = γ(a + b − t). Il suffit d’effectuer le changement devariable u = a + b − t :

∫

γ−

f(z)dz = −∫ b

af(γ(a + b − t)

)γ′(a + b − t)dt u = a + b − t

=∫ a

bf(γ(u)

)γ′(u)du

= −∫ b

af(

γ(u))

γ′(u)du

(ii) γ|[a,c] = γ1 et γ|[c,b] = γ2. La linéarité de l’intégrale de Riemann donne immédiatement lerésultat.

Exemples:

(i) Intégration sur un triangle : Si T ⊂ C est un triangle dont les sommets sontnotés plus simplement A, B et C et numérotés dans le sens trigonométrique alorson a :

∫

∂ABCf(z)dz =

∫

yAB

f(z)dz +∫

yBC

f(z)dz +∫

yCA

f(z)dz,

où la notationyAB représente le segment orienté AB.

(ii) Intégration sur un polygone : Considérons le polygone ABCD constitué desdeux triangles adjacents T1 = ABD et T2 = BCD. On a



A

D

C

B

T1 T2

P

Figure II.1.8 – Intégration sur un poly-gone

∫

∂T1

f(z)dz +∫

∂T2

f(z)dz =∫

∂Pf(z)dz,

puisque les deux intégrales, parcourues en

sens inverse,∫

yBD

f(z)dz et∫

yDB

f(z)dz s’an-

nulent mutuellement. Ce résultat , pour-tant simple, sera fondamental pour la dé-monstration du théorème de Cauchy-GoursatV II.3.13.

(iii) Intégration sur un maillage : D’une manière générale,

Soit U un ouvert, f ∈ H(U) et Γ ⊂ U une partie de U dont la frontière ∂Γest continue, C1 par morceaux et entièrement contenue dans U .Si Γ =

⋃

16i6n

Γi où les Γi forment une partition 6 de Γ dont les frontières ∂Γi

sont continues, C1 par morceaux alors

∫

∂Γf(z)dz =

n∑

i=1

∫

∂Γi

f(z)dz.

Lemme V II.1.4 (Intégration sur un maillage).

ΓiΓj

Γ

Figure II.1.9 – Intégration sur un maillage

Le lemme indique simplement qu’en parcourant toutes les frontières des éléments∂Γi, chaque arête intérieure est parcourue deux fois dans deux sens opposés. Eneffet deux sommets voisins, définissent une arête qui est commune à deux élémentset deux seulement disons Γi et Γj. Lorsque l’on somme les intégrales sur tous leséléments du maillage, les deux intégrales sur l’arête commune s’annulent.

On fait ici la même remarque que précédemment : ce résultat sera fondamental pourla démonstration du théorème de Cauchy homotopique (V IV.2.5) page 189.

La définition même de l’intégrale curviligne en V II.1.1 montre une relation entrel’intégrale d’une fonction le long d’un chemin et la longueur de ce dernier, lorsqu’elle estbien définie, ce qui est le cas pour les chemins par morceaux. Précisons ce lien, ce quinous servira pour des majorations futures :

6. On dit que la famille Γi, 1 6 i 6 n forme un maillage de Γ.



Soit γ : [a, b] 7−→ U un chemin C1 par morceaux. La longueur de γ est définie par

ℓ(γ) =∫ b

a

∣∣∣γ′(t)

∣∣∣dt.

Cette longueur ne dépend pas du paramétrage et elle est finie.

Définition V II.1.5 (Longueur d’un chemin).

Preuve: γ étant C1 par morceaux, sa dérivée γ′ est continue sur le compact [a, b] donc bornéeet on a

∫ b

a

∣∣γ′(t)

∣∣dt 6 |b − a| sup

[a,b]|γ′|.

La longueur est donc finieSoit maintenant, une autre paramétrisation γ1 de γ, de même orientation et φ : [a1, b1] 7−→ [a, b]

un difféomorphisme strictement croissant tel que γ1 = γ φ. En particulier, φ′ > 0 sur [a1, b1].Le même raisonnement qu’en V II.1.2 conduit à

ℓ(γ1) =∫ b1

a1

∣∣γ′

1(t)∣∣dt =

∫ b1

a1

∣∣∣γ(φ(t)

)∣∣∣φ′(t)dt =

s=φ(t)

∫ b

a

∣∣γ′(s)

∣∣ds = ℓ(γ).

Si φ est décroissant alors b1 < a1 et φ′ < 0 sur [b1, a1]. De plus, γ et γ1 sont d’orientationopposés. On utilise encore V II.1.2 :

ℓ(γ1) =∫ b1

a1

∣∣γ′

1(t)∣∣dt = −

∫ b1

a1

∣∣∣γ(φ(t)

)∣∣∣φ′(t)dt =

s=φ(t)−∫ a

b

∣∣γ′(s)

∣∣ds = ℓ(γ).

Exemples:

⋄ Considérons Cω,r un cercle de centre ω et de rayon r > 0. On a :

∫

|z−ω|=r|γ′| =

∫ 2π

0

∣∣∣ireit

∣∣∣dt = 2πr.

On retrouve (heureusement) la formule du périmètre d’un cercle ce qui légitime (s’ilen était besoin) les choix des notations faites au chapitre IV page 121.

⋄ Pour un segment [z0, z1] paramétré sur [0, 1] par γ(t) = z0 + (z1 − z0)t, on a :

∫

[z0,z1]|γ′| =

∫ 1

0|z1 − z0|dt = |z1 − z0|.

Les notations et définitions sont donc cohérentes 7.

Soient U un ouvert de C, γ : [a, b] 7−→ U un chemin C1 par morceaux et f : U 7−→ C

une application continue sur U .∣∣∣∣

∫

γf(z)dz

∣∣∣∣ 6 sup

γ|f | × ℓ(γ). (II.1.5)

Proposition V II.1.6 (Estimation standard).

7. Pour peu que l’on en douta.


II.2 Recherche de primitives TD no 5

Remarques:

• La fonction f n’a besoin d’être continue que sur le support de γ c’est-à-dire γ(

[a, b])

.

• de plus, comme γ est continue et [a, b] compact, le dit support est aussi compact. Lafonction f , continue sur γ

(

[a, b])

y atteint donc ses bornes d’après le théorème desvaleurs intermédiaires : le sup apparaissant dans (II.1.5) est donc un simple max.

Preuve: C’est une conséquence immédiate de la définition et des propriétés élémentaires del’intégrale :

∣∣∣∣

∫

γf(z)dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

∫ b

af(γ(t)

)γ′(t)dt

∣∣∣∣∣

6 supγ

|f | ×∫ b

a|γ′(t)|dt

= supγ

|f | × ℓ(γ).

Soient γ un chemin C1 par morceaux de C et (fn)n∈N une suite de fonctions conti-nues sur im γ convergeant uniformément vers f sur im γ. Alors,

limn→+∞

∫

γfn(z)dz =

∫

γf(z)dz.

Corollaire V II.1.7.

Preuve: Il suffit d’appliquer (II.1.5) à la suite de fonctions f − fn :∣∣∣∣

∫

γ

(f(z) − fn(z)

)dz

∣∣∣∣ 6 sup

γ|f − fn| × ℓ(γ).

La convergence uniforme de fn vers f finit le travail.

On remarquera que cette proposition est encore valable si la suite (fn)n∈N ainsi que salimite sont continues sur un ensemble au moins connexes par arcs.

II.2 Recherche de primitivesLe théorème fondamental du calcul différentiel dans R exprime le fait que chaque fonc-

tion continue f : [a, b] 7−→ R possède une primitive F (x) et que∫ b

af(t)dt = F (b) − F (a).

Nous allons étudier si ce résultat reste vrai dans C.

Soit une fonction f : U 7−→ C définie sur une ouvert de C. On dit que f admetune primitive complexe F sur U s’il existe une fonction holomorphe F : U 7−→ C

vérifiant F ′ = f sur U .

Définition V II.2.8 (Primitive).

Exemples:


TD no 5 Recherche de primitives

(i) Pour tout n 6= −1,1

n + 1zn+1 est une primitive de zn sur C.

(ii) cos z est une primitive de − sin z sur C.

(iii)∑ an

n+ 1(z−z0)n+1 est un primitive de

∑

an(z−z0)n sur son disque de convergence.

De II II.2.4 page 55, on déduit immédiatement, comme sur R :

Si l’ouvert U est connexe et si f : U 7−→ C est holomorphe et admet des primitives,alors deux primitives de f sur U diffèrent d’une constante.

Lemme V II.2.9.

On se donne donc un ouvert U de C et une fonction continue sur U . L’intégrationle long des chemins de U permet d’énoncer des conditions nécessaires, puis suffisantes,d’existence de primitives de f sur l’ouvert U . premier résultat est une condition nécessaired’existence.

Chaque qui l’en sera fait mention, on considèrera des chemins γ : [a, b] 7−→ U tracéssur U C1 par morceaux.

Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U .Si f admet une primitive F sur U alors,

∫

γf(z)dz = F

(

γ(b))

− F(

γ(a))

.

En d’autres termes, la valeur de l’intégrale ne dépend que des extrémités du cheminet est égale à la variation de la primitive entre ces deux extrémités. En particulier,pour tout lacet de U ,

∫

γf(z)dz = 0. (II.2.6)

Théorème V II.2.10 (Condition nécessaire).

Preuve: Soient γ : [a, b] 7−→ U un chemin et F une primitive de f sur U . D’après II II.1.3 page55,

(F γ)′(t) = γ′(t) × F ′(γ(t))

= γ′(t) × f(γ(t)

).

D’où∫

γf(z)dz =

∫ b

af(

γ(t))

γ′(t)dt =∫ b

a(F γ)′(t)dt

= F(γ(b)

)− F(γ(a)

).

Comme F est continue sur im γ, la deuxième partie du théorème est claire avec γ(a) = γ(b).

Exemples:


II.2 Recherche de primitives TD no 5

(i) Pour tout lacet γ continu et C1 par morceaux de C,

∀ n ∈ Z, n 6= −1,∫

γzndz = 0.

(ii) Comme∫

|z|=1

1zdz = 2iπ 6= 0, la fonction z 7−→ 1

zn’admet pas de primitive sur C∗

et plus généralement, z 7−→ 1z − ω

n’admet pas de primitive sur C \ ω.

Le théorème suivant montre que la condition (II.2.6) est aussi suffisante pour l’exis-tence d’une primitive sur un ouvert convexe 8.

Soient U un ouvert convexe et f : U 7−→ C une fonction continue.

Si, pour tout triangle T , plein fermé et inclus dans U , on a∫

∂Tf(z)dz = 0, alors

f possède une primitive F sur U donnée par

∀ ω ∈ U , ∀ z ∈ U , F (z) =∫

[ω,z]f(ς)dς.

En particulier, (II.2.6) est vérifiée pour tout chemin fermé dans U .

Théorème V II.2.11 (Critère d’intégrabilité sur un ouvert convexe).

Plus généralement, on dit que f admet une primitive locale au voisinage de chaquepoint de U , si pour tout z0 ∈ U , il existe un voisinage ouvert Vz0

de z0 contenu dans Udans lequel f|Vz0

possède une primitive.Bien entendu, si f possède une primitive dans U , elle possède une primitive locale auvoisinage de chaque point de U , mais la réciproque est fausse en général. L’exemple le

plus simple consiste à prendre U = C∗ et f(z) =1z

. Nous savons déjà qu’elle ne possède

pas de primitive dans U et pourtant le théorème V II.2.11 montre qu’elle admet uneprimitive locale au voisinage de chaque point de U .Preuve: Soit ω ∈ U . Comme U est convexe, il contient le segment [ω, z] pour tout z ∈ U , lafonction F est bien définie. Considérons z0 ∈ U et z dans un voisinage de z0. Par convexité, letriangle plein et fermé

T =⋃

06t61

[ω, (1 − t)z0 + tz],

est inclus dans U . Comme défini en (I.3.2), on a :

∂T = [ω, z] + [z, z0] + [z0, ω].

Par hypothèse, on a∫

∂Tf(ς)dς = 0, c’est-à-dire

8. Même si l’on en n’a pas l’utilité ici, on pourrait aisément montrer ce théorème dans le cadre plusgénéral d’un ouvert étoilé. Le prolongement que nous ferons plus loin aux ouverts simplement connexesenglobera le cadre de ces ouverts.


TD no 5 Recherche de primitives

bc ω

bc zbcz0

∂T

U

Figure II.2.10 – Condition suffisante d’intégrabilité dans un ouvertétoilé

∫

[ω,z]+[z,z0]+[z0,ω]f(ς)dς = 0

∫

[ω,z]f(ς)dς +

∫

[z,z0]f(ς)dς +

∫

[z0,ω]f(ς)dς = 0

F (z) +∫

[z,z0]f(ς)dς − F (z0) = 0

F (z) − F (z0) =∫

[z0,z]f(ς)dς

=∫

[z0,z]f(z0) +

(f(ς) − f(z0)

)dς

= f(z0)(z − z0) +∫

[z0,z]

(f(ς) − f(z0)

)dς

Or, d’après (II.1.5),

∣∣

∫

[z0,z]

(f(ς) − f(z0)

)dς∣∣ 6 sup

[z0,z]

∣∣f − f(z0)

∣∣ × |z − z0| −−−→

z→z0

0,

par continuité de f sur le compact [z0, z] c’est-à-dire que∫

[z0,z]

(f(ς) − f(z0)

)dς = o(z − z0).

On a donc bien montré que

∀ z ∈ Vz0, F (z) − F (z0) = f(z0)(z − z0) + o(z − z0).

Comme f est continue sur U , la fonction F est donc C-différentiable en tout point z0 de Uavec F ′(z0) = f(z0).

Il n’est pas toujours pratique de considérer un triangle sur lequel intégrer f . on utilisesouvent, en pratique, une forme affaiblie de V II.2.11 :

Soit U un ouvert convexe C.Si, pour tout lacet γ continu et C1 par morceaux dans U , on a

∫

γf(z)dz = 0 alors

f admet une primitive dans U , par exemple, F (z) =∫

[ω,z]f(ς)dς.



II.3 Le théorème de Cauchy TD no 5

Puisque l’on vient d’affaiblir le théorème V II.2.11, on peut aussi préciser que celui-ciest aussi valable si l’on suppose U seulement étoilé. En effet, il suffira de prendre pour ωle centre de l’ouvert dans la démonstration de V II.2.11 pour avoir le résultat. Les ouvertsconvexes étant un cas particulier des ouverts étoilés où tout point peut être pris commecentre, on vient donc de donner une version plus forte de V II.2.11 et l’équilibre est ainsirétabli.

II.3 Le théorème de CauchyNous n’avons jusqu’à maintenant pas utilisé la notion d’holomorphie dans le problème

de la construction de primitives. En particulier, dans le paragraphe précédent, les fonctionsconsidérées étaient seulement supposées continues. Nous allons voir ici comment la notiond’holomorphie permet d’assurer que les intégrales le long de chemins fermés sont nulles,ce qui est le premier pas vers l’invariance des intégrales par déformation des chemins, quenous verrons plus tard.

Commençons par les conditions les moins contraignantes et limitons-nous au cas destriangles, pour lesquels l’élégante démonstration de Goursat 9 permet de donner un sensau découpage infini de triangles en sous-triangles si souvent utilisé dans les ouvrages dephysique dans des contextes analogues. Notons que l’argument ultime de la démonstrationrepose sur la complétude du plan complexe et en fait une belle application de cette notionde topologie.

Soient U un ouvert de C, S une partie finie de U et f : U 7−→ C une fonctioncontinue sur U et holomorphe sur U \ S.Si ∂T est le bord orienté d’un triangle plein inclus dans U , alors

∫

∂Tf(z)dz = 0.

Théorème V II.3.13 (Cauchy-Goursat).

Preuve: Il est clair qu’il suffit de se limiter au cas où S est réduit à un singleton S = α.Considérons un triangle T contenu dans U :

(i) Commençons par supposer que α 6∈ T c’est-à-dire f holomorphe sur tout un ouvert Vcontenant T .A l’aide des milieux de chacun des côtés, on découpe T en 4 triangles semblables δ1, δ2,δ3 et δ4 mais d’aire 4 fois plus petites.

Remarquons que l’un au moins de ces 4 triangles, nommée T1, vérifie

∣∣∣∣

∫

∂Tf(z)dz

∣∣∣∣ 6 4

∣∣∣∣

∫

∂T1

f(z)dz

∣∣∣∣ .

En effet, dans le cas contraire, nous aurions∣∣∣∣

∫

∂Tf(z)dz

∣∣∣∣ 6

4∑

i=1

∣∣∣∣

∫

δi

f(z)dz

∣∣∣∣ < 4×1

4

∣∣∣∣

∫

∂Tf(z)dz

∣∣∣∣,

ce qui est absurde.

9. En toute légitimité, la preuve de Goursat s’appuie sur des rectangles. L’idée d’utiliser des trianglesqui rend la preuve directement applicable à des domaines étoilés vient de Pringsheim. L’originalité de laméthode de Goursat est en fait de se libérer de la condition « f ′ continue »dans la démonstration initialede Cauchy en utilisant la complétude de C.


TD no 5 Le théorème de Cauchy

bz0

T

bα

Figure II.3.11 – Découpage du triangle T lorsque α 6∈ T

On construit alors, par récurrence, à partir de T1 une suite (Tn)n∈N de triangles vérifiant :∀ n ∈ N∗,

∣∣∣∣

∫

∂Tf(z)dz

∣∣∣∣6 4n

∣∣∣∣

∫

∂Tn

f(z)dz

∣∣∣∣.

On a, de plus,

ℓ(∂Tn) =12n

ℓ(∂T ) et diam(Tn) =14n

diam(T ),

c’est-à-dire que la suite (Tn)n∈N, ainsi construite est une suite décroissante pour l’inclusionde fermés dont le diamètre tend vers 0. D’après le théorème I II.2.3 page 12 dans C complet,l’intersection de ces triangles est réduite à un point z0 ∈ T .

Utilisons maintenant la C-différentiabilité de f en z0 ∈ V :

∀ z ∈ V(z0), f(z) = f(z0) + f ′(z0)(z − z0) + ε(z)(z − z0),

où ε est une fonction continue sur tout voisinage de z0 et telle que limz→z0

ε(z) = 0.

∫

∂Tn

f(z)dz = f(z0)∫

∂Tn

dz + f ′(z0)∫

∂Tn

(z − z0)dz +∫

∂Tn

ε(z)(z − z0)dz. (II.3.7)

Les deux premières intégrales de (II.3.7) sont nulles d’après V II.2.10 car les fonctions 1et z − z0 possèdent une primitive sur U .

Par continuité de ε en z0, pour tout ε > 0 il existe un δ(ε) > 0 tel que |z −z0| < δ entraîne|ε(z)| < ε. Pour n suffisamment grand pour que Tn ⊂ D(z0, δ), on a alors :



∣∣∣∣

∫

∂Tf(z)dz

∣∣∣∣ 6 4n

∣∣∣∣

∫

∂Tn

ε(z)(z − z0)dz

∣∣∣∣

6 4n × ε × maxz∈T

|z − z0| × ℓ(∂Tn)

6 4n × ε × diam(∂Tn) × ℓ(∂Tn)

6 diam(∂T ) × ℓ(∂T )︸︷︷︸

Constant

×ε.

Le dernier terme de (II.3.7) n’a donc d’autre choix que d’être nul. On a donc prouvé que∫

∂Tf(z)dz = 0.

(ii) Si α est un des sommets de T , on le découpe en trois triangles T1, T2 et Tε, α étant unsommet de Tε, ε arbitrairement petit. On a alors, les bords étant toujours orientés,

bα

T1

T2

Tε

Figure II.3.12 – Découpage de T lorsque α est un sommet

∫

∂Tf(z)dz =

∫

∂T1

f(z)dz +∫

∂T2

f(z)dz +∫

∂Tε

f(z)dz.

D’après (i), comme T1 et T2 ne contiennent pas α, les deux premières intégrales sont nulleset la dernière peut être rendue arbitrairement petite grâce à la majoration

∣∣∣∣

∫

∂Tε

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 ℓ(∂Tε) sup

∂Tε

|f |,

et à la continuité de f sur le compact ∂Tε.

(iii) Si α est intérieur à T , on commence par découper T en trois triangles délimités par lessommets de T et α. Il suffit alors d’appliquer le même raisonnement (trois fois) qu’en (ii).

(iv) Enfin, si α est un point arbitraire de la frontière ∂T , on découpe le triangle T en deuxtriangles de sorte que α soit un sommet de chacun des deux triangles et on se retrouveencore dans le cas (ii).

Nous sommes maintenant en position de démontrer le résultat principal de ce chapitre.



bα

T1

T2

T3

Figure II.3.13 – Découpage de T lorsque α appartient à l’intérieur deT

bα

T1

T2

Figure II.3.14 – Découpage de T lorsque α appartient à la frontière deT

Soient U un ouvert convexe de C et f : U 7−→ C une fonction continue sur U etholomorphe sur U sauf en un nombre fini de points ne contenant pas ω.

(i) f possède une primitive sur U donnée par

∀ ω ∈ U , ∀ z ∈ U , F (z) =∫

[ω,z]f(ς)dς.

(ii) Pour tout lacet γ continu C1 par morceaux contenu dans U , on a :

∫

γf(ς)dς = 0.

(iii) Si γ1 et γ2 sont deux chemins continus C1 par morceaux contenus dans Uayant mêmes extrémités, alors

∫

γ1

f(ς)dς =∫

γ2

f(ς)dς.

Théorème V II.3.14 (Cauchy).



Preuve: Comme f est holomorphe sur U (sauf en un nombre fini de points qu’il suffit d’éviter),son intégrale est nulle le long de tout triangle T inclus dans U d’après V II.3.13. D’après VII.2.11, on a donc immédiatement (i) et (ii).

bc

bc

γ∗1

γ∗2

Figure II.3.15 – Deux chemins de mêmes extrémités forment un lacet

Pour démontrer (iii), il suffit d’appliquer (ii) au lacet γ = γ1 + γ−2 .

Remarques:

(i) Le théorème V II.3.14, ainsi que les autres propositions précédentes se réécriventaisément dans un ouvert U seulement supposé étoilé de centre, disons ω pour faciliterles notations. Le centre ω sera alors naturellement choisi pour la définition de F .

(ii) L’assertion (ii) est une ample généralisation du théorème de Cauchy-Goursat VII.3.13 qui nous disait que l’intégrale le long du bord d’un triangle était nulle pourtoute fonction holomorphe dans un voisinage du triangle plein.

Par exemple il s’applique aux rectangles dont les bords ne sont pas parallèles auxaxes, ou aux parallélogrammes, ou aux rectangles en général, triangles, aux hexa-gones, aux ellipses, aux ovoïdes quelconques, en fait à n’importe quoi, à partir dumoment que l’on peut trouver un ouvert étoilé incluant la figure et son bord et surlequel la fonction est holomorphe.

Sans conditions sur l’ouvert U , l’énoncé du théorème de Cauchy n’est pas correcte.En effet, si le théorème s’applique en particulier aux disques, aux demi-plans ou àl’ouvert C \ R− qui entre en jeux dans la discussion du Logarithme qui sont des ou-verts étoilés sur lesquels toute fonction holomorphe admet une primitive holomorphe,ce n’est pas le cas de l’ouvert U = C \ 0. On verra plus loin que la question del’existence des primitives est naturellement liée à une classe plus large d’ouverts :les ouverts simplement connexes.

Considérons, par exemple, la fonction f : z 7−→ 1z

sur U = C∗. La fonction

F : z 7−→ Log z est une primitive sur le domaine étoilé C \ R− mais pas sur U .Pour le prouver 10, il suffit de vérifier, par exemple, que la condition nécessaire VII.2.10 n’est pas satisfaite pour le chemin γ(t) = eit qui est un exemple très impor-tant d’une intégrale le long d’un lacet donnant un résultat non nul :

∫

|z|=1

dz

z= 2iπ.

10. encore !



(iii) L’assertion (iii) indique que si U est étoilé ou convexe et a et b sont deux éléments deU alors pour toute fonction f holomorphe sur U on peut parler (sans autre précision)de l’intégrale de f de a à b puisqu’elle ne dépend pas du chemin suivi pour aller de aà b. On verra que cette remarque peut s’étendre aux ouverts simplement connexes.

Le diagramme ci-desous illustre la suite d’implications que nous venons de démontrer.On le complètera au fur et à mesure de notre avancée.

∫

∂Tf = 0 f admet une primitive sur U

f est holomorphe sur U ∫

γ f = 0

f est analytique sur U

V II.2.11

V II.2.10V II.3.13

III I.4.12 page 91

Comme tout point d’un ouvert possède un voisinage convexe (donc étoilé) contenudans l’ouvert, par exemple un disque, nous en déduisons un résultat local d’existence deprimitives pour des fonctions holomorphes.

Soient U un ouvert de C et f une fonction holomorphe sur U . Alors, pour tout pointz0 ∈ U , il existe un voisinage ouvert Vz0

de z0 sur lequel f admet une primitive.


Exemple:La fonction z 7−→ 1z

définie sur l’ouvert U = C∗ admet une primitive au voisi-

nage de tout point de U .A ce stade, on peut déjà introduire la célèbre formule intégrale de Cauchy. La dé-

monstration donnée ici est plus proche dans l’esprit à celle que fit Cauchy en son temps.En passant sur le côté historique, elle met en œuvre des idées que nous redévelopperonsplus tard, notamment dans la manière de découper et faire glisser les chemins autour dessingularités.

Soit U un domaine étoilé et γ une courbe fermée parcourant ∂U dans le sens positif.Soit f holomorphe dans un voisinage de l’adhérence U de U .

∀ z ∈ U , f(z) =1

2iπ

∫

γ

f(ς)ς − z

dς. (II.3.8)

Théorème V II.3.16 (Formule intégrale de Cauchy 1831).

Preuve: Soit z ∈ U fixé. La fonction ς 7−→ f(ς)ς − z

est holomorphe sur U \ z. On doit donc ôter

ce point « chirurgicalement ».



Soient ω, le centre du domaine étoilé et a la projection de z à partir de ω sur ∂U . 11 Ledomaine U∗ = U \ [z, a] est donc étoilé pour le même centre ω.

La continuité de f : ς 7−→ f(ς) en z implique que pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que∣∣f(ς) − f(z)| 6 ε dès que |ς − z| 6 η.

b ω

b z

b aα

α−

γ

U

β

Figure II.3.16 – Formule intégrale de Cauchy

Notons β le cercle de centre z et de rayon η et α un segment joignant β à a. Nous allonsdémontrer que

∫

γ

f(ς)ς − z

dς =∫

β

f(ς)ς − z

dς = f(z) ×∫

β

1ς − z

dς + O(ε) = 2iπf(z) + O(ε). (II.3.9)

Pour montrer la première égalité, considérons le chemin δ = γ + α − β + α−. D’après VII.3.14.(ii), on a :

0 =∫

δ

f(ς)ς − z

dς

=∫

γ

f(ς)ς − z

dς +∫

α

f(ς)ς − z

dς +∫

β

f(ς)ς − z

dς +∫

α−

f(ς)ς − z

dς

∫

γ

f(ς)ς − z

dς =∫

β

f(ς)ς − z

dς.

La deuxième égalité se déduit de la continuité de f et de (II.1.5). En effet, on a tout d’abord,

∣∣∣∣

∫

β

f(ς)ς − z

dς − f(z)∫

β

1ς − z

dς

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣

∫

β

f(ς) − f(z)ς − z

dς

∣∣∣∣

6 sup|ς−z|=η

∣∣f(ς) − f(z)

∣∣ × sup

|ς−z|=η

∣∣∣∣

1ς − z

∣∣∣∣× ℓ(β) 6 ε

1η

2πη = 2πε.

Sachant depuis (II.1.4) que∫

β

1ς − z

dς = 2iπ et le réel ε ayant été choisi arbitrairement petit,

on a donc démontré le théorème on faisant tendre ce dernier vers 0.

Toute la magie de cette démonstration réside dans le fait d’avoir pu contourner lasingularité au point z en déformant suffisamment le contour de U pour éviter celle-ci.Ceci fait, le théorème de Cauchy V II.3.14 appliqué au lacet δ donne le résultat. Cettenotion de déformation, continue, des chemins s’appelle une homotopie . La section IV

11. si z = ω, on choisit pour a un point arbitraire de ∂U .


TD no 5 III. Indice d’un lacet par rapport à un point

page 185 montrera comment le théorème de Cauchy V II.3.14 s’insère tout naturellementdans ce cadre.

Le pouvoir extraordinaire de la formule de Cauchy (II.3.8) réside dans le fait que

la variable z à gauche se retrouve à droite dans la simple forme1

ς − z.Toutes les belles

propriétés de cette dernière fonction se transmettent, à travers l’intégrale, à n’importequelle fonction holomorphe. Elle va nous donner une suite de conséquences surprenantes.Mais étudions là tout d’abord et tout particulièrement :

III Indice d’un lacet par rapport à un pointNous introduisons ici la notion fondamentale d’indice d’un chemin fermé. Celle-ci

illustre parfaitement la manière dont la théorie de l’intégration de Cauchy fournit enretour des résultats d’ordre topologique sur les chemins du plan complexe. La formule deCauchy III.2.11 est une conséquence immédiate de la définition de l’indice et du théorèmede Cauchy-Goursat V II.3.13.

III.1 Indice et composantes connexes

Soit z0 ∈ C et γ : [a, b] 7−→ C un lacet continu et C1 par morceaux, tel quez0 6∈ γ

(

[a, b])

. On pose alors

Indγ z0 =1

2iπ

∫

γ

dς

ς − z0.

qui est l’indice du lacet γ par rapport au point z0.

Définition V III.1.1 (Indice).

Avec les notations précédentes, l’indice vérifie :

(i) Indγ z0 ∈ Z.

(ii) Pour tout r > 0, le lacet γn : t ∈ [0, 2π] 7−→ z0 + reint a pour indiceIndγn

z0 = n.

(iii) La fonction z0 7−→ Indγ z0 est constante sur les composantes connexes deC\

(

[a, b])

et nulle sur l’unique composante connexe non bornée de C\(

[a, b])

.

(iv) Si γ1 et γ2 sont deux lacets de même origine, alors

Indγ1+γ2z0 = Indγ1

z0 + Indγ2z0

Proposition V III.1.2.

Preuve:

(i) Comme eω = 1 si et seulement si ω ∈ 2iπZ d’après IV II.5.1.(ii) page 135, il suffit demontrer que exp

(2iπ Indγ z0

)= 1 pour tout z ∈ C \ im γ.

Par définition, pour tout chemin γ : [a, b] 7−→ C continu C1 par morceaux,


III.1 Indice et composantes connexes TD no 5

Indγ z0 =1

2iπ

∫ b

a

γ′(t)γ(t) − z0

dt.

Pour t ∈ [a, b], on définit la fonction

φ(t) = exp(∫ t

a

γ′(s)γ(t) − z0

ds

)

.

Il suffit alors de montrer que φ(b) = 1. Sauf peut être sur un ensemble fini 12 S ⊂ [a, b],

φ′(t) =γ′(s)

γ(t) − z0φ(t).

puisφ′(t)

(γ(t) − z0

)− γ′(s)φ(t) = 0,

qui est le numérateur de la dérivée de la fonction Ψ : t 7−→ φ(t)γ(t) − z

. Cette dérivée est

nulle sur [a, b] \ S, où S est fini, c’est donc une fonction constante d’après II II.2.4 page55.

Le chemin γ étant fermé, γ(a) = γ(b) entraîne φ(b) = φ(a) = 1.

(ii) Un calcul direct fournit le résultat :

Indγn z0 =1

2iπ

∫

02π

rineint

reintdt = n. (III.1.10)

(iii) La fonction z0 7−→ Indγ z0 définie en (III.1.10) est continue sur C \ ([a, b])

d’après lesthéorème sur les intégrales à paramètres dont l’intervalle d’intégration est compact. Elleest, de plus, à valeurs dans Z donc constante sur chaque composante connexe de C\([a, b]

)

d’après I IV.1.2 page 20.

De plus∣∣∣∣

∫

γ

dz

z − z0

∣∣∣∣ 6 sup

z∈γ

1|z − z0| × ℓ(γ). D’où

lim|z0|→+∞

∫

γ

dz

z − z0= 0.

Sur la composante non bornée de C \ ([a, b])

, l’indice est donc nul.

b z0

γ∗1

γ∗2

Figure III.1.17 – Indice d’un point par rapport à deux lacets de mêmeorigine

12. en chaque point de raccordement ai de la subdivision de [a, b] où γ n’est pas dérivable tout enrestant continu.


TD no 5 Indice et composantes connexes

(iv) Il suffit de composer les lacets avec γ1(b) = γ2(a) et appliquer V II.1.3.

Exemple:Une conséquence de (ii) et (iii) est que pour tout paramétrisation orienté d’uncercle de centre z0, on a :

Ind|z−z0|=r(z) =

1 si |z − z0| < r0 si |z − z0| > r.

De manière plus générale,

Si γ est un lacet simple, on pose

Int(γ) =

z ∈ C / | Indγ z| > 1

,

Ext(γ) =

z ∈ C / | Indγ z| = 0

.

Définition V III.1.3.

S’il semble clair qu’un cercle du plan complexe partage ce dernier en deux composantesconnexes dont l’une est bornée (l’intérieur du cercle) et l’autre pas (l’extérieur), ce n’estpourtant pas si évident 13 que cela à démontrer. On le doit à Jordan :

Tout lacet γ, simple, partage le plan en deux domaines dont il est la frontière.En d’autres termes, le complémentaire de γ est la réunion de deux ouverts connexesdisjoints : le domaine intérieur, qui est borné, et le domaine extérieur, qui est nonborné.

Théorème V III.1.4 (Jordan).

C = Int(γ) ∪ γ∗ ∪ Ext(γ).

Corollaire V III.1.5.

L’assertion V III.1.2.(ii) montre que si γ : [a, b] 7−→ C est un chemin fermé et siz0 6∈ im γ, l’indice de γ par rapport à z0 est le nombre de tours décrits par γ(t) autourde z0 quand t parcourt [a, b], c’est-à-dire encore la variation d’une détermination continuede l’argument de γ entre ses deux bornes. Pour le voir, ramenons le point z0 à l’origineet considérons le lacet γ : [a, b] 7−→ C donné sous sa forme polaire γ(t) = ρ(t)eiθ(t) où lesfonctions ρ et θ sont des fonctions réelles de classe C1. Calculons alors l’indice de l’origine :

13. même très difficile !


III.2 Formule intégrale de Cauchy avec indice TD no 5

Indγ 0 =1

2iπ

∫ b

a

ρ′(t)eiθ(t) + iρ(t)θ′(t)eiθ(t)

ρ(t)eiθ(t)dt

=1

2iπ

∫ b

a

(

ρ′(t)ρ(t)

+ iθ′(t)

)

dt

=1

2iπ

(

ln ρ(b) − ln ρ(a))

+1

2π

(

θ(b) − θ(a))

. or ρ(a) = ρ(b)

=1

2π

(

θ(b) − θ(a))

.

L’indice est donc bien égal au nombre de tours de la courbe autour de O.

0

0

0

+1

+1

+1

+1

+1

+2

+2+3 −1

γ∗

Figure III.1.18 – Calcul de l’indice d’un lacet

En pratique, pour calculer l’indice d’une courbe par rapport à un point, on ne calculepas d’intégrale mais on utilise le fait que la fonction indice ne varie que de ±1 lorsquel’on franchit γ∗. Il est alors possible de calculer la valeur de l’indice de proche en procheen tenant compte de l’orientation locale du chemin et en se souvenant que Indγ z = 0 si zappartient à la composante connexe non bornée du complémentaire de γ∗, du moins si cecomplémentaire n’a qu’un nombre fini de composantes connexes et si γ ne parcourt aucunarc plus d’une fois.

III.2 Formule intégrale de Cauchy avec indiceNous somme maintenant en possession de tous les outils nécessaires pour s’attaquer à

l’analycité des fonctions holomorphes et à toutes les élégantes propriétés qui en découlent.La formule de Cauchy ci-dessous fut la plus grande contribution de Cauchy à l’analysecomplexe. Suffisamment grande pour qu’on la redémontre ici d’une manière plus efficaceà l’aide du théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13.

Soient U un ouvert convexe et γ un lacet continu, C1 par morceaux d’image contenudans U .Si f est une fonction holomorphe sur U alors, pour tout point z ∈ U \ im γ, on a :

f(z) × Indγ z =1

2iπ

∫

γ

f(ς)ς − z

dς. (III.2.11)

Théorème V III.2.6 (Formule intégrale de Cauchy).


TD no 5 IV. Théorème de Cauchy homotopique

Remarque: Une première analyse de la formule (III.2.11) indique qu’une fonction holo-morphe est fortement influencée par son comportement au bord. Observation déjà confir-mée par le principe du maximum III III.3.9 page 106 et que confirmera la propriété de lamoyenne VI III.4.6 page 212. Preuve: soit z ∈ C \ γ∗ et définissons la fonction g sur U par

g(ς) =

f(ς) − f(z)ς − z

si ς 6= z

f ′(z) si ς = z.

Par définition de la dérivée, g est donc continue sur U et holomorphe sur U \z. Elle remplitdonc les conditions du théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13. D’où, en substituant :

12iπ

∫

γg(ς)dς = 0

12iπ

∫

γ

f(ς) − f(z)ς − z

dς = 0

12iπ

∫

γ

f(ς)ς − z

dς =f(z)2iπ

∫

γ

1ς − z

dς

12iπ

∫

γ

f(ς)ς − z

dς = f(z) × Indγ z.

On notera au passage l’intérêt de l’énoncé de V II.3.13 autorisant les fonctions àadmettre des points singuliers en nombre fini.

La section suivante est le point central de la théorie de Cauchy. Elle montre commentse libérer de la condition « convexe » voire « étoilé » sur l’ouvert U , pourvu que le cheminconsidéré soit homotope 14 à un point dans U . Les hypothèses restrictives seront alorsreportes sur les chemins considérés et non sur l’ouvert.

IV Théorème de Cauchy homotopiqueL’extension de la formule de Cauchy dans le cadre des ouverts non convexes nécessite

des hypothèses topologiques, que l’on peut formuler en termes de « déformation continue »des courbes.

Figure IV.0.19 – Déformation continue d’un lacet en cercle

14. pour l’instant qui peut se déformer continument jusqu’à. . .


IV.1 Homotopie TD no 5

IV.1 Homotopie

Soit U ⊂ C un ouvert et γ0, γ1 : [a, b] 7−→ U deux chemins continus continus définissans perte de généralités sur un même intervalle.

(i) On dit que γ0 et γ1 sont homotopes dans U s’il existe

H : [a, b] × [0, 1] 7−→ U(t, s) H(t, s) = γs(t),

(IV.1.12)

continue des deux variables, dite homotopie de chemins, telle que

∀ t ∈ [a, b], H(t, 0) = γ0(t) et H(t, 1) = γ1(t). (IV.1.13)

(ii) Si γ0 et γ1 ont même extrémité, on dit qu’ils sont homotopes strictement dansU lorsque l’application H définie en (IV.1.12) vérifie (IV.1.13) et la condition

∀ s ∈ [0, 1], H(a, s) = γ0(a) = γ1(a) et H(b, s) = γ0(b) = γ1(b). (IV.1.14)

(iii) Si γ0 et γ1 sont des lacets, on dit qu’ils sont homotopes au sens des lacetsdans U l’application H définie en (IV.1.12) vérifie (IV.1.13) et la condition

∀ s ∈ [0, 1], H(a, s) = H(b, s). (IV.1.15)

Définition V IV.1.1 (Homotopie).

(a) Homotopie libre(b) Homotopie stricte

Figure IV.1.20 – Homotopies de lacets

Remarques:

• La condition « dans U » est essentielle pour définir l’homotopie : deux cheminspeuvent être homotopes dans U et ne pas l’être dans U \ z0 par exemple.

• La condition (IV.1.15) n’est qu’une reformulation de IV.1.14 dans le cas des lacets,c’est-à-dire

∀ s ∈ [0, 1], t 7−→ H(s, t) est un lacet.


TD no 5 Homotopie

Exemples:

(i) Tout chemin de U ouvert est homotope à un point dans U .

(ii) Dans C deux chemins γ0, γ1 : [a, b] 7−→ C continus sont toujours homotopes. Il suffitde prendre

H : [a, b] × [0, 1] 7−→ U(t, s) H(t, s) = (1 − s)γ0(t) + sγ1(t).

(a) Homotopie libre (b) Homotopie stricte

Figure IV.1.21 – Homotopies de chemins

(iii) Dans C tout lacet est homotope au cercle unité D(0, 1), lui-même homotope à unpoint (0, par exemple).

H : (t, s) ∈ [0, 2π] × [0, 1] 7−→ H(t, s) = (1 − s)eit

est une homotopie de lacets dans C du cercle sur 0.

bz0

γ∗1

γ∗2

Figure IV.1.22 – Dans C, deux lacets sont toujours homotopes entreeux et à un point

(iv) Dans une couronne 15, deux chemins continus ne sont pas nécessairement homotopes.

L’homotopie de chemins, l’homotopie stricte de chemins, et l’homotopie de lacetssont des relations d’équivalence dans l’ensemble des chemins continus de U .

Proposition V IV.1.2.

15. ou plus généralement, sur un ouvert non simplement connexe . . . mais nous verrons ça plus loin.


IV.1 Homotopie TD no 5

b z0

Cr

CR

γ

γ∗1

γ∗2

γ∗3

b z1

(i) γ1 et γ2 sont homotopes mais pas demême orientation.

(ii) γ3 n’est homotope ni à γ1, ni à γ2.

(iii) γ3 est homotope à z1 mais pas γ1, ni γ2.

(iv) γ1 et γ2 sont homotopes aux deux fron-tières Cr et CR mais pas γ3.

(v) Aucun des chemins γ1, γ2, γ3 pas plusque z1 n’est homotope à z0.

Figure IV.1.23 – Homotopie dans une couronne

Preuve: On démontre la propriété pour des chemins homotopes. Le raisonnement est identiquepour l’homotopie stricte et l’homotopie des lacets.

(i) La relation est trivialement réflexive.

(ii) si γ0 est un chemin homotope à un autre nommé γ1 alors il existe une applicationH : [a, b]×[0, 1] 7−→ U continue vérifiant (IV.1.13). Si on pose H définie par H(t, s) = H(t, 1−s),H est continue sur [a, b] × [0, 1] est vérifie H(., 0) = γ1 et H(., 1) = γ1 : γ1 est homotopeà γ0, la relation est symétrique.

(iii) Si γ0 et γ1 sont homotopes, γ1 et γ2 aussi d’homotopie respective H1 et H2 alors l’appli-cation H définie par

∀ s ∈ [0, 1], H(t, s) =

H0(2t, s) si t ∈[

0,12

]

H1(2t − 1, s) si t ∈[

12

, 1]

est continue sur [a, b]×[0, 1] et définie une homotopie de γ0 sur γ2. La relation est transitive.

La relation d’homotopie sur les chemins est donc bien une relation d’équivalence.

On peut alors définir correctement l’homotopie sur les classes d’équivalence avec conser-vation de l’orientation comme en V II.1.2 page 166 :

On dira que deux classes γ+0 et γ+

1 sont strictement homotopes si et seulement siγ+

0 et γ+1 contiennent deux chemins g0, g1 : [a, b] 7−→ U strictement homotopes.

Définition V IV.1.3 (Classes de chemins homotopes).

Légitimons un peu cette définition : soit H : (t, s) ∈ [a, b] × [0, 1] 7−→ H(t, s) ∈ Ul’homotopie stricte entre les chemins g0 et g1.Pour toute autre paire g0, g1 : [a, b] 7−→ U de chemins de γ+

0 × γ+1 de même source [a, b],

on ag0 = g0 φ0 et g1 = g1 φ1

où φ0, φ1 : [a, b] 7−→ [a, b] sont les difféomorphismes associés au changement de variables.La fonction

H(t, s) = H(

(1 − s)φ0(t) + sφ1(t), s)


TD no 5 Le théorème

est continue sur [a, b] × [0, 1] et vérifie

H(t, 0) = H(

φ0(t), 0)

= g0

(

φ0(t))

= g0(t)

et H(t, 1) = H(

φ1(t), 1)

= g1

(

φ1(t))

= g1(t).

C’est bien une homotopie stricte entre g0 et g1.

Si γ0 et γ1 sont des chemins de U définis sur un même intervalles [a, b], équivalentsde même orientation, alors ils sont strictement homotopes dans U .

Corollaire V IV.1.4.

Preuve: Si φ est le difféomorphisme de reparamétrisation avec γ1 = γ0 φ, on pose

H(t, s) = γ0((1 − s)t + sφ(t)

).

L’application H est une bien une homotopie stricte entre γ0 et γ1.

Ceci permet de définir l’homotopie pour les classes d’équivalence de chemins avecconservation de l’orientation. 16

IV.2 Le théorème

Soient U un ouvert de C et γ0, γ1 : [a, b] 7−→ U deux chemins continus, C1 parmorceaux. Soit f est holomorphe sur U a.

(i) Si γ0 et γ1 ont les mêmes extrémités et sont strictement homotopes dans U

ou

(ii) Si γ0 et γ1 sont deux lacets, homotopes au sens des lacets dans U

Alors,∫

γ0

f(z)dz =∫

γ1

f(z)dz. (IV.2.16)

En particulier, si γ0 est un lacet homotope à un point,∫

γ0

f(z)dz = 0.

a. ou si f est continue sur U et holomorphe sur U privé d’un ensemble fini

Théorème V IV.2.5 (Cauchy-Gauss).

Un lacet homotope à un point point est dit homotopiquement trivial.Preuve: Remarquons avant de commencer où se situe la difficulté : si U était un ouvert étoilé 17,ou même seulement si l’homotopie H prenait ses valeurs dans un sous-ouvert V ⊂ U étoilé, alorsnous pourrions affirmer que f a une primitive, et nous saurions alors que son intégrale le long

16. et de ne plus nous occuper de celles-ci.17. ou convexe


IV.2 Le théorème TD no 5

d’un chemin ne dépend que des extrémités de ce chemin d’après V II.2.10 page 171. On n’auraitmême pas besoin de supposer γ0 et γ1 homotopes.

Le problème c’est lorsqu’on ne peut pas trouver de tel ouvert V contenant H([a, b] × [0, 1]

)

et tel que f admette une primitive sur V 18. C’est là, que la compacité va venir à notre secours.

(i) Supposons pour commencer que γ0 et γ1 soient deux chemins continus, C1 par morceauxet de mêmes extrémités γ0(a) = γ1(a) et γ0(b) = γ1(b). On se place donc dans le cadrede l’homotopie stricte de chemins et on considère l’application H définie en (IV.1.12) etvérifiant (IV.1.13) et (IV.1.14).

Effectuons une subdivision à pas constant1n

× b − a

nde [a, b] × [0, 1] en posant :

sj sj+1

tk

tk+1

0 1a

b

Ijk

[0, 1]

[a, b]

∀ k, j ∈ 1, . . . , n, sj =j

net tk = a + j

b − a

n.

On définit la suite (Hn)n∈N comme étant l’interpola-tion affine de H sur tout pavé

Ij,k =[

tk, tk+1

]× [

sj, sj+1

]

par : ∀ (t, s) ∈ Ij,k,

bγ0(a) = γ1(a)

b

γ0(b) = γ1(b)H(., 0) = γ∗

0

γ∗1 = H(., 1)

Γjk

U

Figure IV.2.24 – Invariance de l’intégrale sur deux chemins homo-topes

Hn(t, s) =1

b−an

2

[

(sj+1 − s)(

(tk+1 − t)H(tk, sj) + (t − tk)H(tk+1, sj))

+

(s − sj)(

(tk+1 − t)H(tk, sj+1) + (t − tk)H(tk+1, sj+1))]

=n2

b − a

[

(sj+1 − s)(tk+1 − t)H(tk, sj) + (sj+1 − s)(t − tk)H(tk+1, sj)+

(s − sj)(tk+1 − t)H(tk, sj+1) + (s − sj)(t − tk)H(tk+1, sj+1

]

18. Si f est la fonction1z

et si γ0 est le cercle unité parcouru dans le sens direct c’est le cas.



∀ n ∈ N, Hn est continue sur I = [a, b] × [0, 1]. Montrons qu’elle converge uniformémentvers H sur I.En remarquant que

(sj+1 − s)(tk+1 − t) + (sj+1 − s)(t − tk) + (s − sj)(tk+1 − t) + (s − sj)(t − tk) =b − a

n2,

on a :

b

b

b

b

H(tk, s

)

H(tk+1, s)

H(t, sj )

Hn(t, s

j ) H(t, sj+1)

H(tk, sj+1)

H(tk+1, sj+1)

Hn (t, s

j+1 )

H(tk, sj)

H(tk+1, sj)

Hn (t, s)

H(t, s)

Γjk

Figure IV.2.25 – (Hn)n∈N converge uniformément vers H sur I

∣∣∣Hn(t, s) − H(t, s)

∣∣∣ =

n2

b − a

∣∣∣∣∣(sj+1 − s)(tk+1 − t)

(

H(tk, sj) − H(t, s))

+ (sj+1 − s)(t − tk)(

H(tk+1, sj) − H(t, s))

+ (s − sj)(tk+1 − t)(

H(tk, sj+1) − H(t, s))

+ (s − sj)(t − tk)(

H(tk+1, sj+1 − H(t, s))∣∣∣∣∣

6n2

b − a

[

(sj+1 − s)(tk+1 − t) + (sj+1 − s)(t − tk)

+ (s − sj)(tk+1 − t) + (s − sj)(t − tk)]

× sup(

(t′,s′),(t,s))

∈Ijk

∣∣∣H(t′, s′) − H(t, s)

∣∣

= sup(

(t′,s′),(t,s))

∈Ijk

∣∣∣H(t′, s′) − H(t, s)

∣∣∣.

Or, dans le pavé Ijk, deux points sont nécessairement à une distance inférieure à la longueur

d’une diagonale, ici δn =

√

1 + (b − a)2

n. D’où

∀ (t, s) ∈ Ij,k,∣∣∣Hn(t, s) − H(t, s)

∣∣∣ 6 sup

∣∣(t′,s′)−(t,s)

∣∣6δn

∣∣∣H(t′, s′) − H(t, s)

∣∣∣



Soit ε > 0. Comme H est une fonction continue sur l’ensemble compact [a, b] × [0, 1], elle yest uniformément continue d’après le théorème de Heine I III.2.2 page 16 donc il existe un réelη(ε) > 0 tel que

∣∣(t′, s′) − (t, s)

∣∣ < η =⇒

∣∣∣H(t′, s′) − H(t, s)

∣∣∣ < ε.

Fixons alors n suffisamment grand pour que δn < η. Soit (s, t) ∈ I, il existe j, k ∈ 1, . . . , n telsque (s, t) ∈ Ijk. On obtient alors

∣∣∣Hn(t, s) − H(t, s)

∣∣∣ 6 ε,

et la convergence uniforme de (Hn)n∈N vers H sur I.

En particulier, pour n suffisamment grand, la continuité uniforme permet aussi d’assurer que

sup∣∣(t′,s′)−(t,s)

∣∣6δn

∣∣∣H(t′, s′) − H(t, s)

∣∣∣ 6

12

dist

(

H(

[a, b] × [0, 1])

, ∂U

)

= D.

Autrement dit, les quadrilatères Γj,k =(H(tk, sj), H(tk+1, sj), H(tk+1, sj+1)H(tk, sj+1)

)sont

inclus strictement dans U , leur bord, formé par les fonctions t 7−→ Hn(s, t) et s 7−→ Hn(s, t), estcontinu, C1 par morceaux 19. On peut donc appliquer le théorème de Cauchy V II.3.14.(ii) surun voisinage convexe de chaque quadrilatère, on obtient :

∀ j, k ∈ 1, . . . , n,

∫

Γj,k

f(z)dz = 0. 20

D’après le lemme V II.1.4 page 168, en faisant la somme sur j et k et en tenant compte del’orientation, on en déduit :

n−1∑

j=0

n−1∑

k=0

∫

Γj,k

f(z)dz = 0

∫

Hn(t,0)f(z)dz −

∫

Hn(t,1)f(z)dz = 0

∫

Hn(t,0)f(z)dz =

∫

Hn(t,1)f(z)dz. (IV.2.17)

Considérons enfin le chemin fermé

γk =[

Hn(tk+1, 0), Hn(tk, 0)]

+ γ0[tk,tk+1].

Pour n assez grand, le disque (convexe) de centre γ0(tk) et de rayon D est strictement contenuedans U et contient γk. On peut donc y appliquer une nouvelle fois le théorème de Cauchy VII.3.14.(ii) :

∫

γkf(z)dz = 0.

Puis,n−1∑

k=0

∫

γkf(z)dz = 0

∫

γ0

f(z)dz −∫

Hn(t,0)f(z)dz = 0

∫

γ0

f(z)dz =∫

Hn(t,0)f(z)dz.

19. Contrairement aux fonctions t 7−→ H(s, t) et s 7−→ H(s, t). C’est ici qu’apparaît la nécessitéd’introduire la suite (Hn)n∈N et toute la subtilité de la continuité uniforme sur un compact qui entraînela convergence uniforme.

20. Autrement dit, f admet une primitive sur un voisinage convexe de chaque Γj,k ce qui n’était pas lecas sur U .



Le même argument montre aussi que∫

γ1

f(z)dz =∫

Hn(t,1)f(z)dz.

Finalement, on a montré que :∫

γ0

f(z)dz =∫

γ1

f(z)dz.

(ii) Considérons maintenant le cas de deux lacets homotopes γ0 et γ1 et H une application continuesur I définie par (IV.1.12) et vérifiant (IV.1.13) et (IV.1.15).

b

γ0(a) = γ0(b)

b

γ1(a) = γ1(b)

γ∗a

H(a, s)

Uγ∗

0

γ∗1

Figure IV.2.26 – Invariance de l’intégrale sur deux lacets homotopes

L’application s 7−→ H(a, s) est continue, à valeurs dans U ouvert, donc on peut l’approcheruniformément par une fonction affine par morceaux dont l’image est incluse dans U et telle queγa(0) = H(a, 0) et γa(1) = H(a, 1). Par exemple 21,

∀ t ∈ [tk, tk+1], γn(t) =n

b − a

[

(tk+1 − t)H(a, tk) + (t − tk)H(a, tk+1)]

.

On peut donc construire un chemin C1-équivalent et de même orientation que le chemin γa+γ1+γ−a ,

qui est strictement homotope à γ0.

D’après ce qui précède, on a :∫

γ0

f(z)dz =∫

γa

f(z)dz +∫

γ1

−f(z)dz

∫

γa

f(z)dz

=∫

γ1

f(z)dz.

C’est le résultat espéré et la fin de la démonstration

Remarque: Bien que γ1 et γ2 soient supposés continus, C1 par morceaux, l’homotopieH , elle, est seulement supposée continue, d’où la nécessité d’introduire la suite (Hn)n∈N.

Et dans le cas de l’homotopie libre ?

Attention, dans le théorème V IV.2.5, l’expression (IV.2.16) n’est vraie que pour deslacets ou des chemins strictement homotopes. Il est clair que si elle l’était aussi pour touschemins librement homotope, on démontrerait du même coup que toutes les intégrales sur

21. C’est exactement le même raisonnement que pour approcher H par (Hn)n∈N mais en plus simple.



C seraient nulles puisque tous les chemins ouverts sont homotopes à un point, donc lesprimitives aussi et donc toutes les fonctions holomorphes, ce qui n’est pas.

Le théorème IV.2.16 montre que la valeur d’une intégrale curviligne dans C ne dépendque des extrémités. Le cas des chemins librement homotopes montre, lui, que deux primi-tives dffèrent d’une constante. Montrons-le :Considérons donc deux chemins homotopes pas nécessairement strictement. En reprenantles notations précédentes, les applications s 7−→ H(a, s) et s 7−→ H(b, s) sont continues,à valeurs dans U .

bγ0(a)

b

γ0(b)

bγ1(a)

b γ1(b)

H(a, .)

γ∗a

γ∗b

H(b

, .)

H(., 0) = γ∗0

γ∗1 = H(., 1)

Figure IV.2.27 – Les intégrales d’une fonction holomorphes sur deuxchemins homotopes diffèrent d’une constante

On construit donc les chemins continus, C1 par morceaux γa et γb comme précédem-ment. Les chemins γa + γ1 + γ−

b et γ0 sont donc strictement homotopes et on a :

∫

γ0

f(z)dz =∫

γa+γ1+γ−

b

f(z)dz∫

γ0

f(z)dz −∫

γ1

f(z)dz =∫

γa

f(z)dz −∫

γb

f(z)dz︸︷︷︸

Constant

Lorsque γ0 et γ1 sont strictement homotopes,∫

γa

f(z)dz −∫

γb

f(z)dz = 0 et on retrouve

(IV.2.16).

Une des conséquences du théorème de Cauchy-Gauss V IV.2.5 est qu’une intégrale

le long d’un certain contour peut aussi être noté∫ zB

zA

f(z)dz où zA et zB sont les affixes

des extrémités A et B du chemin puisque l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi. Onpourra retenir l’image suivante : finalement, pour une fonction holomorphe dans U , lechemin est un élastique fixé par deux punaises dans le plan déformable à souhait mais enrestant dans U sans pour autant que les déformations de l’élastique modifie la valeur del’intégrale.


TD no 5 Simple connexité

Soit z0 ∈ C et γ0, γ1 deux lacets continus et C1 par morceaux, homotopes dansU \ z0. Alors,

Indγ0z0 = Indγ1

z0.

Corollaire V IV.2.6.

Preuve: Il suffit simplement d’appliquer le théorème de Cauchy homotopique V IV.2.5 et l’ex-

pression (IV.2.16) avec f la fonction définie par f(z) =1

2iπ× 1

z − z0et les lacets γ0 et γ1.

IV.3 Simple connexité

Soit U ⊂ C un ouvert. On dit qu’il est simplement connexe s’il est connexe etsi deux chemins continus γ0 et ?γ1 de mêmes extrémités sont toujours strictementhomotopes.De manière équivalente, U est simplement connexe si et seulement si il est connexeet tout lacet est homotope au sens des lacets à un point.

Définition V IV.3.7 (Ouvert simplement connexe).

Intuitivement, un ouvert est simplement connexe s’il est connexe sans trous 22 au sensde I IV.3.11 page 25. Nous allons ici préciser certains points avancés au chapitre I ,section IV. La première idée est que la simple connexité est un prolongement naturel dela connexité par arcs. Pour garder une image, s’il est toujours possible de tirer un tuyaud’arrosage à travers les arbres de son jardin (connexité par arcs), cela est beaucoup moinsévident, une fois revenu à son point de départ de tirer le dit tuyau par la même extrémité(simple connexité) sans qu’il ne s’enroule autour d’un arbre (les trous)

Exemples

Figure IV.3.28 – Connexe,connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe

La proposition suivante montre que la simple connexité est une notion topologique :

22. Lorsque nous verrons l’identification entre C∪∞ et la sphère de Riemann, on pourra plus simple-ment dire qu’un ouvert de C est simplement connexe si et seulement si son complémentaire est connexe.


IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe TD no 5

b

Figure IV.3.29 – Connexe, connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe


Soient U et V deux ouverts homéomorphes de C.U est simplement connexe si et seulement si V l’est.

Proposition V IV.3.8.

Preuve: D’après le corollaire V IV.1.4 et les commentaires précédents, la notion d’homotopieest invariante par homéomorphisme. Mieux, un homéomorphisme φ entre les deux ouverts induitune bijection entre un chemin γ0 de U et un chemin γ1 = γ0 φ de V. Un chemin homotope àun point dans U fournit alors, par composition avec l’homéomorphisme, une homotopie dans Vqui transforme le chemin image en un chemin constant.


Notons pour finir que la notion topologique de simple connexité se généralise à desespaces topologiques connexes par arcs quelconques, par exemple Rn ou des sous-groupesdu groupe linéaire Gℓn(R). Enfin, citons le célèbre théorème de Riemann selon lequel toutouvert U simplement connexe et distinct de C est analytiquement isomorphe au disqueunité ouvert.

IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexeLe théorème de Cauchy-Gauss peut alors se réécrire dans un ouvert simplement connexe,

les conditions sur les lacets et chemins étant transférées à l’ouvert :


TD no 5 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe

Figure IV.3.32 – Connexe, connexe par arcs, simplement connexe,étoilé, convexe

Soient U un ouvert simplement connexe et f est holomorphe sur U a.

(i) Si γ0 et γ1 sont deux chemins de U continus, C1 par morceaux ayant lesmêmes extrémités alors

∫

γ0

f(z)dz =∫

γ1

f(z)dz.

(ii) Si γ est un lacet de U , continu et C1 par morceaux alors∫

γf(z)dz = 0.


Théorème V IV.4.9 (Cauchy-Gauss dans un ouvert simplement connexe).

Preuve: Dans U simplement connexe, les chemins de mêmes extrémités sont strictement ho-motopes et les lacets homotopes à un point. Il suffit d’appliquer le théorème de Cauchy-Gausshomotopique V IV.2.5.

Donnons enfin un condition d’intégrabilité semblable V II.2.11 page 172 mais dans unouvert simplement connexe :

Soient U un ouvert simplement connexe et f est holomorphe sur U a.Alors f admet une primitive complexe F sur U .


Théorème V IV.4.10 (Primitives dans un ouvert simplement connexe).

Preuve: Soit z0 ∈ U . D’après I IV.3.13 page 25, pour tout z ∈ U , il existe un chemin continusγz0,z, C1 par morceaux reliant z0 à z. On pose alors

F (z) =∫

γz0,z

f(ς)dς.

Soit alors h ∈ D(0, r) avec r > 0 suffisamment petit pour que le segment [z, z + h] soit inclusdans U . Soit alors γz+h,z0

, un chemin continu, C1 par morceaux reliant z + h à z0 dans U . Dansun ouvert simplement connexe, la lacet Γ = γz0,z + [z, z + h] + γz+h,z0

est homotope à un point.D’où,


IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe TD no 5

∫

Γf(ς)dς = 0

∫

γz0,z

f(ς)dς +∫

[z,z+h]f(ς)dς +

∫

γz+h,z0

f(ς)dς = 0

F (z) − F (z + h) =∫

[z,z+h]f(ς)dς

= f(z)h +∫

[z,z+h]

(f(ς) − f(z)

)dς

La fin de la démonstration est identique à celle de V II.2.11, la continuité de f sur le compact

[z, z + h] entraînant∫

[z,z+h]

(f(ς) − f(z)

)dς = o(h) puis

F (z + h) − F (z) = f(z)h + o(h),

pour tout h ∈ D(0, r) avec f est continue sur U . La fonction F est donc C-différentiable en toutpoint z de U avec F ′(z) = f(z).

Soient U un ouvert et γ un lacet continu, C1 par morceaux et homotope à un pointdans U .Si f est une fonction holomorphe sur U alors, pour tout point z ∈ U \ im γ, on a :

f(z) × Indγ z =1

2iπ

∫

γ

f(ς)ς − z

dς. (IV.4.18)

Théorème V IV.4.11 (Formule intégrale de Cauchy homotopique).

Preuve: On reprend les mêmes notations qu’en V III.2.6 page 184 et notamment la fonction g,définie sur U par

g(ς) =

f(ς) − f(z)ς − z

si ς 6= z

f ′(z) si ς = z.

Comme γ est homotope à un point dans U et que g remplie les conditions du théorème deCauchy-Gauss V IV.4.9, on a :

∫

γg(ς)dς =

∫

γ

f(ς) − f(z)ς − z

dς = 0.

La fin de la preuve est identique et donne la formule (IV.4.18).


CHAPITRE VI

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES

SommaireI Les Conséquences du théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . 199

II Comportement local et prolongement . . . . . . . . . . . . . . 204

III Conséquences de la formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 209

I Les Conséquences du théorème de Cauchy

I.1 Analyticité des fonctions holomorphes

Pour tout ouvert U du plan, toute fonction f holomorphe U est analytique sur U .

En particulier, pour tout z0 ∈ U , le rayon de convergence ρ de la série∑

an(z−z0)n

centrée en z0 est supérieur ou égal à la distance de z0 au complémentaire de U ,

ρ > d(

z0,C \ U)

,

et les coefficients sont donnés par

an =1

2iπ

∫

Cz0,R

f(ς)(ς − z0)n+1

dς,

où Cz0,R = z0 +Reit est une paramétrisation d’un cercle orienté centré en z0 et derayon R tel que 0 < R < ρ.

Théorème VI I.1.1 (Cauchy-Taylor).

Preuve: A partir de la formule de Cauchy (III.2.11) page 184, il s’agit essentiellement dedévelopper en série entière la fonction sous le signe somme puis d’intervertir somme et intégrale.La conclusion résulte ensuite de la convergence d’une série géométrique.

Fixons z0 quelconque dans U et plaçons-nous donc dans les conditions d’application duthéorème de Cauchy V III.2.6 page 184 :

• Comme U est voisin de chacun de ses points, il contient un disque de centre z0 et de rayonR > 0. Soit γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ z0 + Reit une paramétrisation orientée de sa frontière (le

199

I.1 Analyticité des fonctions holomorphes TD no 5

bc

r

z0

bz

U

Figure I.1.1 – Une fonction holomorphe sur U est analytique sur U

cercle de centre z0 et de rayon R). Quitte à réduire R, on peut supposer que im γ estentièrement contenu dans U .

• Soit z ∈ D(z0, r) avec r tel que 0 < r < R. z appartient donc à U \ im γ.

La formule de Cauchy s’écrit :

Indγ z × f(z) =1

2iπ

∫

γ

f(ς)ς − z

dς. (I.1.1)

Par construction, on a |z − z0| < r < |ς − z0| = R et en particulier∣∣∣∣

z − z0

ς − z0

∣∣∣∣ < 1.

On sait depuis III II.3.4 page 98 que dans ce cas,

1ς − z

=1

(ς − z0) − (z − z0)=

1ς − z0

11 − z−z0

ς−z0

=+∞∑

n=0

(z − z0)n

(ς − z0)n+1, (I.1.2)

Afin d’appliquer le théorème de convergence dominée dans (I.1.1), trouvons un majorant del’intégrande indépendant de ς et intégrable sur le compact im γ :

∣∣∣∣∣

+∞∑

n=0

f(ς)(z − z0)n

(ς − z0)n+1

∣∣∣∣∣6

sup|ς−z0|=R |f |R

×+∞∑

n=0

(r

R

)n

avec 0 < r < R

=sup|ς−z0|=R |f(ς)|

R× 1

1 − rR

= sup|ς−z0|=R

|f(ς)| × 1R − r

. (I.1.3)

Le dernier terme de (I.1.3) est bien indépendant de ς et intégrable sur im γ 1. On peut donc

intervertir les signes∑

et∫

dans (I.1.1) :

Indγ z × f(z) =1

2iπ

+∞∑

n=0

(∫

γ

f(ς)(ς − z0)n+1

dς

)

(z − z0)n.

Enfin, d’après V III.1.2.(iii) page 181, sur le connexe D(z0, r), on a : Indγ z = Indγ z0 = 1pour tout z ∈ D(z0, r) ce qui se traduit par :

1. Il est même constant.


TD no 5 Analyticité des fonctions holomorphes

f(z) =1

2iπ

+∞∑

n=0

(∫

γ

f(ς)(ς − z0)n+1

dς

)

(z − z0)n. (I.1.4)

L’expression (I.1.4) est bien celle d’une série entière∑

an(z − z0)n centrée en z0 dont lescoefficients an sont donnés par

∀ n ∈ N, an =1

2iπ

∫

γ

f(ς)(ς − z0)n+1

dς.

En particulier, |an| 6 12π

× sup|ς−z0|=R

|f(ς)| × 1Rn

, le rayon de convergence est au moins égal

à R.La fonction f est donc bien développable en série entière au voisinage de tout point de U ,

elle est analytique sur U .Enfin, la condition sur R, c’est-à-dire que le cercle γ = z0 +Reit soit contenu dans U entraîne

que le rayon de convergence de la série (I.1.4) est au moins égal à d(z0,C \ U).

Par identification avec le développement de Taylor+∞∑

n=0

f (n)(z0)n!

(z− z0)n de f au voisi-

nage de z0, unique d’après III I.4.13 page 93, on en déduit que :

En conservant les notations de VI I.1.1, on a :

∀ n ∈ N, f (n)(z0) =n!

2iπ

∫

|ς−z0|=R

f(ς)(ς − z0)n+1

dς. (I.1.5)

Corollaire VI I.1.2.

Soit f une fonction analytique sur un ouvert U de C. Les coefficients de sa série deTaylor

∑

an(z − z0)n centrée en z0 ∈ U sont donc donnés par l’une des deux relations :

an =f (n)(z0)n!

=1

2iπ

∫

|ς−z0|=R

f(ς)(ς − z0)n+1

dς. (I.1.6)

Toute l’originalité est d’offrir une alternative à un calcul des dérivées d’ordre n d’unefonction si celles-ci s’avéraient trop compliquées ou inversement, à un calcul d’une intégralecurviligne casse-tête (typiquement le cas de la physique).

Le seul point malheureux étant que cette dernière relation n’est calculable que si nousarrivons à mettre la fonction dans l’intégrale curviligne sous la forme :

f(ς)(ς − z0)n+1

,

ce qui loin d’être aisée dans la plupart des cas.L’idée serait alors de trouver un chemin général pour l’intégrale curviligne, valable

pour toute fonction f tel que ce dénominateur (qui contient en plus une singularité enz0) disparaisse. La solution viendra plus loin en contournant cette singularité c’est-à-direen déformant le disque |ς − z0| = R intervenant dans l’intégrale (I.1.6) en une couronneautour de z0.

Une première conséquence du théorème de Cauchy-Taylor est que la C-différentiabilitéentraîne la C-différentiabilité à tout ordre.


I.1 Analyticité des fonctions holomorphes TD no 5

bz0

b z0

b z0

b z0

b z0

b z0

b z0

b z0

b z0

b z0

b z0

Figure I.1.2 – Déformation continue d’un disque en couronne

Soit U un ouvert de C.Si f ∈ H(U) alors f ′ ∈ H(U).


Preuve: La preuve est immédiate : si f est holomorphe sur U elle y est aussi analytique d’aprèsla théorème de Cauchy-Taylor VI I.1.1 page 199 donc dérivable d’après III I.4.12 page 91, sadérivée f ′ étant encore analytique donc holomorphe.

Remarque: Par une récurrence aisée, on en déduit que les dérivées à tout ordre d’unefonction holomorphes sont également holomorphes.

Une conséquence de VI I.1.3 est une réciproque utile au théorème V II.2.10 :

Soit f une fonction continue sur un ouvert U de C. Si l’intégrale de f le long detout lacet contenu dans U est nulle, alors f est holomorphe sur U .

Théorème VI I.1.4 (Moreira).

Preuve: L’holomorphie étant une notion locale, il suffit de se restreindre à un disque ouvertquelconque contenu dans U . Soit donc D(z0, r) un tel disque ouvert fixé. D’après V II.2.11, lafonction f admet une primitive holomorphe F sur D(z0, r) qui est convexe donc étoilé. D’aprèsle corollaire VI I.1.3 précédent la fonction F est infiniment dérivable. La fonction f = F ′ estdonc holomorphe sur D(z0, r) donc sur U .

Le théorème de Moreira est un résultat puissant qui a de nombreuses applications.En voici deux exemples de champ différent. La première est assez spectaculaire si l’oncompare avec le cas réel où une suite de fonctions indéfiniment différentiable peut trèsbien converger vers une fonction nulle part différentiable.

Soient un ouvert U ⊂ C (fn)n∈N une suite de fonctions holomorphes dans U quiconverge uniformément sur tout compact de U vers une fonction f .Alors f ∈ H(U).



TD no 5 L’équivalence analytique-holomorphe

Preuve: Soit T un triangle inclus dans U . Comme T est fermé borné dans C c’est un compact

et∫

∂Tfn = 0 entraîne

∫

∂Tf = 0 par convergence uniforme puis VI I.1.4 implique f ∈ H(U).

On affinera ce résultat après avoir vu les inégalités de Cauchy.

I.2 L’équivalence analytique-holomorphe

Le théorème de Moreira VI I.1.4 était la dernière pierre à notre édifice. Le théorèmesuivant résume les trois principales propriétés démontrées jusque ici :

Soit U un ouvert de C et f ∈ C(U) une fonction continue sur U .Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) f est holomorphe sur U , (Point de vue de Riemann)

(ii) f est analytique dans U , (Point de vue de Weierstrass)

(iii) f admet localement une primitive dans U . (Point de vue de Cauchy)

En particulier, si U est étoilé, le point (iii) devient : f admet une primitive sur U .

Théorème VI I.2.6.

Preuve: Ce n’est qu’un résumé des propriétés déjà démontrées :

(i) ⇒ (ii) C’est le théorème III I.4.12 page 91.

(ii) ⇒ (i) Le théorème de Cauchy-Taylor précédent VI I.1.1

(i) ⇒ (iii) Tout z ∈ U admet un voisinage convexe donc étoilé sur lequel on peut appliquer le théo-rème de Cauchy-Goursat V II.3.13 puis V II.2.11.

(iii) ⇒ (i) Soit z ∈ U , f admet une primitive holomorphe F sur un voisinage Vz = D(z, r) étoilé eton a f|Vz

= F ′. d’après VI I.1.3, l’holomorphie de F entraîne celle de f .

Le diagramme ci-dessous résume ces implications :


II.1 II. Comportement local et prolongement TD no 5

∫

∂Tf = 0 f admet une primitive sur U

f est holomorphe sur U∫

γf = 0

f est analytique sur U f(z) =1

2iπ

∫

γ

f(ς)ς − z

dς

V II.2.11 page 172

V II.2.10 page 171V II.3.13 page 174(Cauchy-Goursat)

III I.4.12 page 91V II.3.16 page 179(Formule de Cauchy)

VI I.1.1

(Cauchy-Taylor)

VI I.1.4

(Moreira)

II Comportement local et prolongement

II.1 Prolongement holomorphe et factorisationLe résultat suivant est le premier résultat de prolongement holomorphe que nous ren-

controns à rapprocher du théorème III III.2.7 page 105 de prolongement analytique.

Soit f une fonction continue sur un ouvert U de C et holomorphe sur U sauf enun nombre fini de points. Alors, f est holomorphe sur U tout entier.

Proposition VI II.1.1 (Prolongement holomorphe).

Preuve: La notion d’holomorphie étant une propriété locale, on peut se restreindre à un disqueouvert contenu dans U , dans lequel f est continue et holomorphe sauf en un nombre fini depoints. Un disque étant convexe, d’après le théorème de Cauchy V II.3.14 page 177, l’intégralede f le long de tout chemin fermé est nulle. Le théorème de Moreira VI I.1.4 permet de conclure :f ∈ H(U).

Soit U un ouvert de C et z0 ∈ U . si f ∈ H(

U \ z0)

, on dit que f possède unesingularité isolée en z0.Si f peut être définie en z0 de sorte que la fonction prolongée soit holomorphe surU , on dit que la singularité est artificielle.

Définition VI II.1.2 (Singularité).

La condition de continuité de f dans VI II.1.1 est en fait inutile si on suppose au moinsque f est bornée au voisinage de la singularité. Si c’était le caractère holomorphe de f quiassurait, via le théorème de Moreira VI I.1.4 l’existence du prolongement, dans la versionci-dessous, plus forte, on exploite le côté analytique d’une fonction holomorphe :


TD no 5 Prolongement holomorphe et factorisation

Soient U un ouvert de C et z0 ∈ U . Si f est une fonction holomorphe sur U \ z0et bornée dans un voisinage de z0 alors f est holomorphe sur U tout entier.

Théorème VI II.1.3 (Prolongement holomorphe).

Remarque: Comme VI II.1.1, ce théorème ce généralise aisément à une partie finie desingularités isolées.Preuve: La fonction g définie par

g(z) =

(z − z0)2f(z) si z 6= z0

0 si z = z0,

est, par construction holomorphe sur U \ z0 et vérifie

g′(z0) = limz→z0

(z − z0)2f(z)z − z0

= limz→z0

(z − z0)(f(z) = 0,

puisque f est supposée bornée dans un voisinage de z0 donc holomorphe sur U .

Comme g est holomorphe, elle est analytique sur U et on peut écrire g(z) =+∞∑

n=0

an(z − z0)n

avec a0 = g(z0) = 0 et a1 = g′(z0) = 0 c’est-à-dire g(z) = (z − z0)2+∞∑

n=0

an+2(z − z0)n en

factorisant. Par identification, on obtient f(z) =+∞∑

n=0

an+2(z − z0)n, f est donc analytique sur U

d’où holomorphe.

En application, on peut tenir une promesse faite en III III.1.4 page 103 :

Soient U un domaine de C et f une fonction holomorphe non identiquement nullesur U . Soit z0 ∈ U un zéro de f d’ordrem. Alors, il existe une fonction g holomorphesur U ne s’annulant pas dans un voisinage de z0 et telle que la fonction f se factorisesous la forme

∀ z ∈ U , f(z) = (z − z0)mg(z). (II.1.7)

Corollaire VI II.1.4.

Preuve: Il suffit de reprendre la démonstration de III III.1.4 page 103 et d’appliquer le théorèmede prolongement holomorphe VI II.1.1 à g :

Soient donc f(z) =∑

an(z − z0)n le développement de f centré en z0 et m le plus petitentier tel que am 6= 0. On a :

∀ z ∈ U , f(z) = (z − z0)mg(z),

où g, comme somme d’une série entière, est analytique donc holomorphe dans un voisinage

de z02. Par unicité, ses coefficients coïncide avec ceux de son développement de Taylor

f (n)(z0)n!

2. Ça, on le savait déjà.


II.2 Conséquences de la régularité des fonctions holomorphes TD no 5

Posons alors

g(z) =

f(z) − f(z0)(z − z0)m

si z 6= z0

f (m)(z0)m!

si z = z0

La fonction g est holomorphe dans U \z0, bornée dans un voisinage de z0 donc holomorphedans U d’après VI II.1.3 et coïncide avec g sur son disque de convergence. Comme g(z0) 6= 0,elle est donc non nulle dans un voisinage de z0 et on a prouvé (II.1.7).

II.2 Conséquences de la régularité des fonctions holomorphes

Soit U un ouvert simplement connexe et f ∈ H(U) ne s’annulant pas dans U .

(i) Il existe une fonction holomorphe g : U 7−→ C, appelée logarithme complexede f et notée Log f telle que

eg = f.

(ii) Pour tout entier n ∈ N il existe une fonction holomorphe h : U 7−→ C appeléeracine n-ième complexe de f , telle que

hn = f.

Proposition VI II.2.5.

Preuve:

(i) Comme f ∈ H(U) ne s’annule pas sur U , la fonctionf

f ′est holomorphe sur U . Comme

U est simplement connexe, d’après V IV.4.10 page 197,f

f ′admet une primitive g sur U

c’est-à-dire telle que g′ =f

f ′. Ceci entraîne que

(fe−g)′ = (f ′ − g′f)e−g = 0. La fonction

fe−g est donc constante. Il suffit alors de choisir la primitive de g telle que fe−g = 1 pouravoir l’assertion (i).

(ii) Il suffit de choisir h = e1

nLog f .

Puisque tout point d’un ouvert de C admet un voisinage simplement connexe donnépar un disque ouvert centré en ce point, nous en déduisons le résultat suivant.


TD no 5 Comportement au voisinage d’une singularité

Soient U un ouvert de C et f une fonction ne s’annulant pas sur U .

(i) Si f est holomorphe dans U alors elle admet au moins localement un loga-rithme complexe ainsi qu’une racine n-ième pour tout n ∈ N fixé.

(ii) Si f est seulement supposée continue sur U alors il existe une déterminationcontinue du logarithme sur U , c’est-à-dire une fonction continue g : U 7−→ C

telle que eg = f .


II.3 Comportement au voisinage d’une singularitéOn poursuit ici l’étude commencée en III.4 page 62 sur le comportement local de f en

exploitant l’analyticité d’une fonction holomorphe notamment le corollaire VI II.1.4 defactorisation qui découle lui-même de celui de prolongement holomorphe VI II.1.1.

Le lemme suivant qui pourrait être en soi un théorème, étudie le comportement locald’une fonction holomorphe au voisinage d’un point singulier.

Soient U un ouvert connexe de C, f une fonction holomorphe sur U non constanteet z0 un point de U d’image w0. Soit m l’ordre du zéro de la fonction f − w0.Alors, il existe un voisinage ouvert V de z0, un voisinage W du point 0 ainsi qu’unisomorphisme analytique ϕ : V 7−→ W tel que ϕ(z0) = 0 et

∀ z ∈ V, f(z) = f(z0) + ϕ(z)m.

Lemme VI II.3.7 (Comportement au voisinage d’un point singulier).

Preuve: Si m = 1, ce n’est rien d’autre que le théorème d’inversion locale II III.4.5 page 62 etdans ce cas, ϕ(z) = f(z) − f(z0) convient.

Supposons maintenant m > 2. D’après le corollaire VI II.1.4, dans un voisinage D(z0, r) dez0, la fonction f s’écrit :

f(z) = f(z0) + (z − z0)mg(z) où g(z0) = f ′(z0) 6= 0, (II.3.8)

avec g ∈ H(D(z0, r))

ne s’annulant sur le voisinage de z0. On pose alors h une déterminationholomorphe de sa racine m-ième sur un voisinage W1 de g(z0) :

∀ z ∈ V1 = g−1(W1), h(g(z)

)m = g(z)

f(z) = f(z0) +(

(z − z0)nh(g(z)

))m

= f(z0) + ϕ(z)m où ϕ(z) = (z − z0)h(g(z)

)

L’application ϕ définie sur V1 est holomorphe par construction. De plus, g(z0) = h(g(z0)

)n 6= 0entraîne

ϕ′(z0) = h(g(z0)

) 6= 0.

D’après le théorème d’inversion locale II III.4.5 page 62, il existe donc un voisinage V ⊂ V1 dez0 et un voisinage W = ϕ(V) de ϕ(z0) sur lequel ϕ : V 7−→ W est une bijection bi-holomorphe.Elle vérifie, de plus, ϕ(z0) = 0.


II.4 Comportement au voisinage d’une singularité TD no 5

Soient U un ouvert connexe de C, f une fonction holomorphe sur U non constanteet z0 ∈ U d’image w0 = f(z0). Soit m l’ordre du zéro de la fonction f − w0.Alors, il existe alors un voisinage W de w0 sur lequel tout point de W \w0 admetexactement m antécédents.


Preuve: Les hypothèses du lemme VI II.3.7 sont vérifiées. Gardons les mêmes notations etsoient ϕ : z0 ∈ V 7−→ W un isomorphisme biholomorphe tel que ϕ(z0) = 0 et W = ϕ(V) unvoisinage de w0

3. Considérons r > 0 tel que D(0, r) ⊂ W.Pour tout w ∈ D(f(z0), rm) \ f(z0), le nombre w − f(z0) ∈ D(0, rm) \ 0 et admet m

racines λk, k = 1, . . . , m complexes distinctes appartenant à D(0, r) ⊂ W. Comme ϕ−1 est unisomorphisme sur D(0, r), les m points distincts zk = ϕ−1(λk) appartiennent à V,voisinage dez0 et vérifient :

∀ k ∈ 1, . . . , m, f(zk) = f(z0) + ϕ(ϕ−1(λk)

)m

= f(z0) + λmk

= f(z0) + w − f(z0)

= w.

Ce sont donc bien m solutions distinctes de l’équation f(z) = w.

En particulier, une fonction holomorphe de dérivée nulle en un point z0 n’est pasinjective au voisinage de ce point. Cette propriété est particulière au cadre des fonctionsholomorphes, comme le montre l’exemple de la fonction f : x 7−→ x3 définie sur R. Cettepropriété n’admet pas non plus de réciproque, comme le montre le cas de la fonctionexponentielle complexe, non injective et pourtant de dérivée non nulle en tout point deC.

Notons enfin que, d’après le résultat suivant, il n’est pas nécessaire de vérifier l’holo-morphie de l’application réciproque pour montrer qu’une application holomorphe bijectiveest un isomorphisme biholomorphe.

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U . Si f est injective, alors f est unisomorphisme biholomorphe sur son image.

Proposition VI II.3.9.

Preuve: Supposons f est injective alors, d’après VI II.3.8, la dérivée f ′ ne peut s’annuler.D’après le théorème d’inversion locale II III.4.5 page 62, c’est de plus une bijection holomorphesur son image. Il suffit donc de montrer que l’inverse est holomorphe.

Soient w0 un point quelconque de l’image et z0 son antécédent. Alors, le théorème d’inversionlocale II III.4.5 montre l’existence de voisinages ouverts V de z0 et W de w0 tels que g = f|V

soit une bijection d’inverse holomorphe de V sur W.L’inverse g−1 coïncide avec f−1 sur W, ce qui montre que f−1 est holomorphe sur W. Le

choix de w0, donc celui de W étant arbitraire et la notion d’holomorphie une notion locale, laproposition est démontrée.

3. C’est aussi un voisinage de 0 par définition.


TD no 5 Le théorème de l’application ouverte

II.4 Le théorème de l’application ouverte

Toute fonction holomorphe non constante est une application ouverte.

Théorème VI II.4.10 (Théorème de l’application ouverte).

Preuve: Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C. Soit V ⊂ U un ouvert dans U ,montrons que f(V) est un ouvert c’est-à-dire voisinage de chacun de ses points. Soit z0 ∈ U , ils’agit donc de montrer que f(U) contient un voisinage D(f(z0), r

)de f(z0) pour r assez petit.

D’après le lemme VI II.3.7, on peut trouver un voisinage ouvert V ⊂ V de z0, un voisinageW de 0 ainsi qu’un fonction biholomorphe ϕ : V 7−→ W telle que ϕ(z0) = 0 et

∀ z ∈ V, f(z) = f(z0) + ϕ(z)m.

Soit r > 0 tel que D(ϕ(z0), m√

r) ⊂ W et montrons que tout w ∈ D(f(z0), r)

est dans l’imagede f .

Soit v une racine m-ième de w − f(z0). On a :

vm = w − f(z0) =⇒ |v|m < r ⇐⇒ v ∈ D(0, m√

r) = D(ϕ(z0), m√

r).

Donc v ∈ W = ϕ(V ) c’est-à-dire v = ϕ(z) pour un unique 4 z ∈ V , voisinage de z0 et

w − f(z0) = vm = ϕ(z)m =⇒ w = f(z0) + ϕ(z)m

= f(z).

Le point w, choisi dans un voisinage de f(z0), est donc bien dans l’image de f ce qui revient aumême de dire que f(V) est voisinage de chacun de ses points : il est ouvert.

III Conséquences de la formule de Cauchy

III.1 Estimées de Cauchy

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U . Soient z0 ∈ U et R > tel que ledisque D(z0, R) soit contenu dans U .Alors, ∀ n ∈ N et r vérifiant 0 < r < R, on a :

∣∣∣∣∣

f (n)(z0)n!

∣∣∣∣∣6

sup|z−z0|=r |f(z)|rn

. (III.1.9)

Théorème VI III.1.1 (Inégalités de Cauchy).

Preuve: La fonction holomorphe f étant a fortiori continue sur le compact im γ = Cz0,r, ils’agit d’une simple majoration dans (I.1.5) :

4. ϕ est un difféomorphisme sur U .


III.2 Suites de fonctions holomorphes TD no 5

∀ n ∈ N,f (n)(z0)

n!=

12iπ

∫

|ς−z0|=r

f(ς)(ς − z0)n+1

dς

=1

2iπ

∫ 2π

0

f(z0 + reit)(z0 + reit − z0)n+1

rieitdt

=1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reit)rneint

dt∣∣∣∣∣

f (n)(z0)n!

∣∣∣∣∣6

12πrn

∫ 2π

0

∣∣f(z0 + reit)

∣∣dt 6

sup|z−z0|=r |f(z)|rn

.

Remarque: Si on considère f : z 7−→ zn, z0 = 0 et U = D(0, 1) alors sup|z−z0|=1

|f(z)| = 1

et f (n)(0) = n!, la relation (III.1.9) devient une égalité, c’est-à-dire que les inégalités deCauchy sont maximales et ne peuvent être améliorées.

III.2 Suites de fonctions holomorphesIl faut bien comprendre par ailleurs que ce théorème est spécifiquement lié à l’holomor-

phie des fonctions considérées. Il permet en effet de majorer les dérivées d’une fonction parla fonction elle-même, alors que tous les théorèmes de calcul différentiel réel conduisentà des estimations inverses : ce sont les majorations sur les dérivées qui conduisent à desmajorations sur la variation de la fonction initiale. En exemple, on peut prolonger lecorollaire VI I.1.5 démontré page 202 :

Soient un ouvert U ⊂ C (fn)n∈N une suite de fonctions holomorphes dans U quiconverge uniformément sur tout compact de U vers une fonction f .Alors pour tout p ∈ N, (f (p)

n )n∈N converge uniformément sur tout compact de Uvers f (p) ∈ H(U).

Proposition VI III.2.2.

Preuve: Les corollaires VI I.1.3 et VI I.1.5 assurent déjà que f et toutes ses dérivées sontholomorphes sur U . Montrons que la convergence uniforme sur tout compact.

Soient K un compact inclus dans U , z ∈ K et Rz un réel strictement positif tel queD(z, Rz) ⊂ U .

D’après VI III.1.1, pour tout 0 < r < Rz, on a :∣∣f ′(z) − f ′

n(z)∣∣ 6 sup

ς∈Cz,r

|(f − fn)(ς)|.

Utilisons la compacité de K : K ⊂⋃

z∈K

D(z, Rz) recouvrement par des ouverts dont on peut

extraire un sous-recouvrement fini, lui-même contenu dans un disque fermé D et borné donccompact 5. Notre majoration devient alors :

∣∣f ′(z) − f ′

n(z)∣∣ 6 sup

ς∈D|(f − fn)(ς)|.

puissupz∈K

∣∣f ′(z) − f ′

n(z)| 6 supς∈D

|(f − fn)(ς)|.

5. Quitte à réduire les rayon Rz , on peut supposer D entièrement contenu dans U .


TD no 5 Le théorème de Liouville est ses applications

K

DU

Figure III.2.3 – La convergence uniforme sur tout compact d’une suitede fonctions holomorphes entraîne la convergence surtout compact de ses dérivées

Comme D est compact, la convergence uniforme de fn vers f sur tout compact (donc D) entraînecelle de f ′

n vers f ′.Une récurrence aisée montre la convergence uniforme sur tout compact des dérivées supé-

rieures.

III.3 Le théorème de Liouville est ses applicationsLe corollaire suivant est célèbre et remarquable. Rappelons qu’une fonction est dite

entière lorsqu’elle est holomorphe dans C.

Si f est une fonction entière et bornée sur C, alors f est constante.

Corollaire VI III.3.3 (Liouville).

Preuve: Soient f ∈ H(C) et M un majorant de f c’est-à-dire tel que ∀ z ∈ C, |f(z)| 6 M .

Comme f est entière, elle est égale à la somme∑ f (n)(0)

n!zn de son développement en 0. Par

ailleurs, les inégalités de Cauchy VI III.1.1 conduisent à, pour tout n ∈ N∗ et tout réel rstrictement positif,

∣∣∣∣∣

f (n)(z0)n!

∣∣∣∣∣6

M(r)rn

6M

rn−−−−→r→+∞

0. (III.3.10)

On obtient donc f (n)(0) = 0 pour tout n > 1, c’est-à-dire f est constante (égale à f(0)).

La même preuve montre aussi que :

Si une fonction entière satisfait |f(z)| 6M |z|n pour |z| → +∞ alors la fonction fest un polynôme de degré au plus n.

Corollaire VI III.3.4.


III.4 La formule de la moyenne TD no 5

Preuve: On a M(r) 6 Mrn dans (III.3.10).

En particulier, les fonction exp, cos, sin, sinh et cosh définies au chapitre IV , entièreset non constantes, ne peuvent donc être bornées.Le théorème de Liouville est faux sur l’axe réel. En effet, les mêmes fonctions de la variableréelle cette fois sont entières et bornées sur R sans être constantes

Le théorème de Liouville a un corollaire célèbre : le corps des nombres complexes estalgébriquement clos.

Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine complexe.

Corollaire VI III.3.5 (D’Alembert-Gauss).

Preuve: Considérons en effet un polynôme non constant P de degré n tel que ∀z ∈ C, P (z) 6= 0.

La fonction f =1P

est donc non constante et analytique. Il nous suffit donc de prouver qu’elle

est bornée sur C pour conclure via le théorème de Liouville VI III.3.3 : on a,

P (z) = zn(

an +an−1

z+ . . . +

a0

zn

)

,

avec an 6= 0. Donc lim|z|→+∞

|P (z)| = ∞. On peut donc trouver un disque fermé D tel que :

• en dehors de D, la fonction f =1P

est bornée car |P | tend ver +∞.

• dans D, f =1P

est continue sur un compact donc bornée aussi.

En conclusion, f est bornée sur C et le théorème est démontré.

Remarque: Par récurrence sur le degré et division euclidienne, ce résultat entraîne qu’unpolynôme de degré n admet exactement n racines complexes, comptées avec leur multi-plicité.

III.4 La formule de la moyenne

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U . Pour tout disque fermé D(z0, r)inclus dans U ,

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0f(

z0 + reit)

dt.

Proposition VI III.4.6 (Propriété de la moyenne).

Géométriquement, la valeur d’une fonction holomorphe en un point z0 ∈ C est lecentre de gravité de l’image du cercle f

(

D(z0, r))

, pour tout réel r > 0 assez petit.Preuve: Il s’agit d’une application directe de la formule de Cauchy (I.1.5). Considérons uneparamétrisation γ = z0 + reit du cercle Cz0,r. On a immédiatement :

f(z0) =1

2iπ

∫

Cz0,r

f(ς)ς − z0

dς =1

2iπ

∫ 2π

0

f(z0 + reit)z0 + reit − z0

rieitdt =1

2π

∫ 2π

0f(

z0 + reit)dt.


TD no 5 Unicité de la solution dans un problème de Dirichlet

La propriété de la moyenne permettrait de montrer en particulier que le principe dumodule maximum III III.3.11 page 108 indépendamment du caractère analytique. Nousne le ferons pas ici.

En parlant du principe du maximum, citons en une application aux fonctions harmo-niques réelles définies en IV page 64.

III.5 Unicité de la solution dans un problème de DirichletEn mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique

définie sur un ouvert U , de R2 prolongeant une fonction continue définie sur la frontière del’ouvert U . Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter GustavLejeune Dirichlet.

Soient U un ouvert de R2 et g : ∂U 7−→ R une fonction continue sur sa frontière.Peut-on trouver une fonction ϕ : U 7−→ R telle que :

(i) ϕ est de classe C2 sur U , continue sur U .

(ii) ϕ vérifie l’équation de Laplace : ∆ϕ = 0.

(iii) ϕ|∂U = g.

Définition VI III.5.7 (Problème de Dirichlet).

Il n’existe pas toujours de solution au problème de Dirichlet mais s’il en existe une surun ouvert connexe borné alors le principe du maximum assure que c’est la seule :

Soit P une fonction harmonique à valeurs réelles non constante sur U ouvertconnexe de R2. Alors P ne peut admettre de maximum ni de minimum localdans U .

Proposition VI III.5.8.

Preuve: Supposons par exemple l’existence d’un maximum local en z0 ∈ U et D(z0, r) un disquecentré en z0 et inclus dans U sur la frontière duquel on a P (z) 6 P (z0).

Or, d’après II IV.0.3 page 66, P est la partie réelle d’une fonction f holomorphe sur unvoisinage V de D(z0, r). Alors g = exp f est aussi holomorphe sur V , et |g| = exp P admet unmaximum local en z0 sans être constante, ce qui contredit le principe du maximum III III.3.9page 106.

Le résultat similaire sur l’absence de minimum local s’obtient en appliquant le même raison-nement à −P .

On en déduit immédiatement le


III.5 Unicité de la solution dans un problème de Dirichlet TD no 5

Soient U un ouvert connexe borné de R2, P une fonction à valeurs réelles continuesur U , harmonique sur U . Alors il existe z0 et z1 sur le bord de U tels que

P (z0) = infz∈U

P (z) et P (z1) = supz∈U

P (z).

Corollaire VI III.5.9.

Ce résultat implique l’unicité des solutions d’un problème de Dirichlet plan posé surU ouvert connexe borné. En effet la différence entre deux solutions est une fonction har-monique dans U , continue sur U , qui vaut zéro sur le bord de U : une telle fonction estnulle d’après la proposition VI III.5.8.


CHAPITRE VII

SINGULARITÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES -THÉORÈME DES RÉSIDUS

SommaireI Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Ce chapitre est consacré à l’étude des fonctions holomorphes sur des ouverts privésde certains sous-ensembles discrets, on dit que ces fonctions sont à singularitésisolées. L’exemple le plus simple, qui en est aussi le modèle local, est celui

des fonctions holomorphes sur des disques épointés. Pour de telles fonctions, on montrel’existence d’un développement en série, qui généralise celui de Taylor et qu’on appellele développement de Laurent. Ses termes sont des monômes de la forme an(z − zo)n, oùmaintenant l’entier n appartient à Z.

b z0

Figure .5.1 – Déformation d’un ouvert privé d’un point isolé en unecouronne dans C

Le point essentiel est que tous ces termes, sauf celui pour lequel n = −1, possèdentdes primitives. L’intégrale le long de lacets contenus dans le disque épointé et entourant lecentre ne détecte donc que le coefficient a−1 de ce terme, qu’on appelle le résidu. Le théo-rème des résidus globalise cette étude locale et permet d’exprimer simplement l’intégralele long d’un chemin, pour une fonction à singularités isolées en fonction des résidus enchacune des singularités « entourées par le chemin ». C’est donc un moyen extrêmementefficace pour calculer des intégrales, mais aussi un outil théorique profond.

I Fonctions méromorphes

215

I.1 Comportement au voisinage d’une singularité TD no 5

I.1 Comportement au voisinage d’une singularitéDans le cas où le bord de l’ouvert de définition comporte un point isolé, on peut obtenir

une caractérisation très fine de l’image d’un voisinage de ce point.On ne revient pas sur la définition VI II.1.2 page 204 des singularités du fonctions

holomorphes ni sur celles de singularités artificielles en lesquelles le théorème VI II.1.3 page205 affirme que l’on peut prolonger une fonction holomorphe sous la condition qu’elle soitbornée dans un voisinage de celles-ci. Le théorème suivant permet d’avoir une classificationexhaustive des singularités isolées d’une fonction holomorphes.

Soient U un ouvert de C, z0 ∈ U et f ∈ H(

U \ z0)

. Alors,

(i) soit, la fonction f peut être prolongée par continuité en z0 en une fonctionholomorphe. La singularité est alors artificielle.

(ii) soit, il existe un entier m ∈ N tel que la fonction g définie parg(z) = (z− z0)mf(z) se prolonge en une fonction holomorphe sur U . Le pluspetit entier m tel que (z− z0)mf(z) se prolonge en une fonction holomorphesur U s’appelle l’ordre du pôle z0.

(iii) soit, l’image de tout voisinage épointé de z0 est dense dans C. On dit alorsque z0 est une singularité essentielle de f .

Théorème VII I.1.1.

Par la suite, on appellera disque 1 épointé d’un point z0 ∈ C de rayon r > 0, notéD∗(z0, r), tout voisinage de la forme D(z0, r) \ z0.Preuve: Si z0 n’est pas une singularité essentielle de f alors il existe un voisinage D∗(z0, ε) dez0 épointé en z0 dont l’image n’est pas dense dans C c’est-à-dire qu’il existe un point a ∈ C etun réel r strictement positif tel que

D(a, r) ∩ f(D∗(z0, r)

)= ∅.

ba

r

b f(z0)

f(D∗(z0, r)

)

|f(z) − a| > r

Figure I.1.2 – D(a, r) et f(D∗(z0, r)

)sont disjoints dans le cas d’une

singularité essentielle

La fonction z 7−→ 1f(z) − a

est donc holomorphe sur D∗(z0, r) et bornée par1r

car |f(z)−a)| > r.

D’après le théorème de prolongement holomorphe VI II.1.3 page 205, on peut donc la prolongeren une fonction f holomorphe sur D(z0, r) tout entier.

1. ou voisinage


TD no 5 Comportement au voisinage d’une singularité

En appliquant alors le corollaire VI II.1.4 page 205, il existe donc un entier naturel m et unefonction g, holomorphe sur D(z0, r), ne s’annulant pas en z0 tels que

∀ z ∈ D(z0, r),1

f(z) − a= (z − z0)mg(z).

D’où∀ z ∈ D(z0, r), f(z) = a +

1(z − z0)mg(z)

.

Comme g ne s’annule pas dans un voisinage de z0, la fonction1g

est holomorphe dans un voisinage

de z0. On se retrouve alors dans l’un ou l’autre des deux premiers cas suivant que m est égal à0 ou pas.

Exemple:La fonction z 7−→ e1

z2 admet une singularité essentielle en 0.En effet, considérant un disque épointé D∗

ε =

z ∈ C / 0 < |z| < ε

, il suffit de montrerque son image par f est dense dans C. Or,

D∗ε =

reit / (r, t) ∈]0, ε[×[0, 2π[

,

et

f(

D∗ε

)

=

Z = ecos 2t

r2 × e−i sin 2t

r2 , (r, t) ∈]0, ε[×[0, 2π[

.

Pour tout Z = ρeiθ ∈ C∗, le système

ρ = ecos 2t

r2

θ = −sin 2tr2

admet pour solution le couple (r, t) défini par

r =1

4

√

(ln ρ)2 + θ2

sin 2t =θ

√

(ln ρ)2 + θ2.

Conclusion : f(

D∗ε

)

= C∗, qui est bien dense dans C.


I.1 Comportement au voisinage d’une singularité TD no 5

Re z

Im z

∣∣∣∣∣∣∣

e−

1z2

∣∣∣∣∣∣∣

Imz

Re z

Figure I.1.3 – Module et argument de la fonction z 7−→ e1

z2 . Les deuxtours qui apparaissent forment une singularité dont leslignes de niveau (en jaune) sont des lemniscates. L’ar-gument de f(z) se comporte beaucoup plus violemmentavec une infinité de rotations sur chacune de ces lemnis-cates.


TABLE DES FIGURES

I.1.1 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.2 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2.3 Interprétation géométrique du produit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . 9II.0.4Inégalité triangulaire : |z3 − z1| 6 |z3 − z2| + |z2 − z1| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.1.5Encadrement de |z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2.6Disque et Demi-plan du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2.7Voisinages de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.3.8Propriété de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15IV.1.9L’adhérence d’une partie connexe est connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20IV.1.10L’intérieur d’une partie n’est pas connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21IV.2.11Réunion de connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21IV.2.12A et B connexes, A ∪ B non connexe. A et B sont les deux composantes connexes de A ∪ B 22IV.3.13Ensembles connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23IV.3.14Γz0

est ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24IV.3.15Γz0

est fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24IV.3.16A et B sont des domaines. C n’est pas connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25IV.3.17Un domaine est connexe par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26IV.3.18Un connexe n’est pas nécessairement connexe par arcs en dehors d’un espace métrique . . 27IV.4.19Ouverts étoilés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27X.0.20Pentagone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

I.2.1 Images réciproques de droites parallèles aux axes du plan (u, v) . . . . . . . . . . . . . . . 49I.2.2 Transformation de deux réseaux de droites verticales et horizontales (parallèles aux axes

du plan) par l’application z 7−→ z2. On obtient, grâce à la conformité (voir plus loin !) decette application deux réseaux de courbes qui se coupent à angle droit. . . . . . . . . . . . 49

I.2.3 Parties réelle et imaginaire de z 7−→ z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50I.2.4 Représentation de z 7−→ |f(z)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.3.5Pour le champ P , ses équipotentielles (en rouge) sont orthogonales à ses lignes de champ

(en vert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

IV.1.6P : (x, y) 7−→ x

x2 + y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

IV.1.7Equipotentielles au voisinage d’un Puits-Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67IV.2.8Equipotentielles d’un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68IV.2.9Circulation du champ électrique au voisinage d’un dipôle (+q,-q) donnée par les courbes

de niveau de la partie imaginaire de z 7−→ 1z + 1

+1

z − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

V.0.10Image de chemins par une application conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69V.0.11Angle formé par deux rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

I.1.1∑

anzn0 converge ⇒

∑

anzn converge normalement si |z| < |z0|. . . . . . . . . . . . . . . 85I.4.2 Holomorphie de la somme d’une série entière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

II.1.3∑

(−1)nx2n converge vers1

1 + x2sur ] − 1, 1[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

II.1.4z 7−→∣∣∣∣

11 + z2

∣∣∣∣

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

219

I.1 TABLE DES FIGURES TD no 5

II.1.5Développement d’une série ailleurs qu’en l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95II.2.6Domaine d’analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96II.3.7Analyticité de la somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99II.3.8J finie ⊂ n + p 6 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100III.1.9Z(f) et prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103III.3.10Principe du module maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107I.1.11La fonction x 7−→ exp(x) sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

I.1.1 z 7−→ Re(

exp z)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122I.1.2 Lignes de niveaux de z 7−→ Re

(exp z

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

I.2.3 exp(x) = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

I.2.4 La fonction x 7−→ exp(x) sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127II.1.5Les fonctions cosinus et sinus comme limite de leur série de Taylor. . . . . . . . . . . . . . 128II.3.6Cosinus et Sinus hyperboliques approchés par leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 131II.3.7Tableaux de variations de x 7−→ cosh x et x 7−→ sinh x sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . 131II.3.8Graphes de x 7−→ argcosh x et x 7−→ argsinh x ainsi que la série de Taylor de argsinh. . . . 132II.4.9z 7−→ Re(cos z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133II.4.10Courbes de niveaux de la fonction z 7−→ Re(cos z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134II.4.11z 7−→ | cos z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134II.4.12Courbes de niveaux de z 7−→ | cos z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134III.0.13Tableaux de variations des fonctions x 7−→ cos x et x 7−→ sin x sur R . . . . . . . . . . . . 137III.1.14Formules trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138III.2.15arccos et arcsin pour x réel ainsi que leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139IV.1.16tan et arctan pour x réel ainsi que leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139IV.1.17Tableaux de variations des fonctions x 7−→ tan x et x 7−→ arctan x pour x réel. Le tableau

complet de la fonction tan est obtenu soit par imparité et 2π-périodicité soit par symétriepar rapport à l’origine et translations de 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

IV.2.18tanh et argtanh pour x réel ainsi que leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141IV.2.19Tableaux de x 7−→ tanh x et x 7−→ argtanh x pour x réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

V.1.20R eit

−−→ S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143V.1.21z 7−→ arg z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144V.1.22Argument d’un nombre complexe non nul dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . 145V.2.23La fonction x 7−→ ln x sur R∗

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

V.2.24∀ x ∈]0, 2[, ln x = (x − 1) − (x − 1)2

2+

(x − 1)3

3− (x − 1)4

4+ . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

V.3.25Exemple de domaine assurant la bijectivité de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 150V.3.26Log n’est pas continu sur B−π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151V.3.27Surface z 7−→ | Log z|. En coloré, la détermination principale du logarithme. Le module,

étant continue sur C, on peut visualiser la singularité en 0 du logarithme. La courbe tracéeen rouge, représentant la fonction x 7−→ ln |x|, est donc évidemment discontinue en 0. . . 152

V.3.28Bande Bα =

z ∈ C / α < Im z < α + 2π

et sa coupure ∆α associée . . . . . . . . . . . . 152V.3.29Il existe une détermination analytique du logarithme sur C \ R− . . . . . . . . . . . . . . 155

I.1.1 Des fonctions y = f(x) et x = g(y) peuvent être écrites sous la forme : . . . . . . . . . . . 160I.1.2 Chemin de C possédant un point double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160I.1.3 Lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161I.1.4 Chemins équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161I.2.5 Juxtaposition des trois chemins γ1 : [a1, b1] 7−→ C, γ2 : [a2, b2] 7−→ C et γ3 : [a3, b3] 7−→ C.

On obtient ainsi un chemin C1 par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163II.0.6Intégration le long de γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164II.1.7Ouverts de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166II.1.8Intégration sur un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168II.1.9Intégration sur un maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168II.2.10Condition suffisante d’intégrabilité dans un ouvert étoilé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173II.3.11Découpage du triangle T lorsque α 6∈ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175II.3.12Découpage de T lorsque α est un sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176II.3.13Découpage de T lorsque α appartient à l’intérieur de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177II.3.14Découpage de T lorsque α appartient à la frontière de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177II.3.15Deux chemins de mêmes extrémités forment un lacet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178II.3.16Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


TD no 5 TABLE DES FIGURES

III.1.17Indice d’un point par rapport à deux lacets de même origine . . . . . . . . . . . . . . . . . 182III.1.18Calcul de l’indice d’un lacet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184IV.0.19Déformation continue d’un lacet en cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185IV.1.20Homotopies de lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186IV.1.21Homotopies de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187IV.1.22Dans C, deux lacets sont toujours homotopes entre eux et à un point . . . . . . . . . . . . 187IV.1.23Homotopie dans une couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188IV.2.24Invariance de l’intégrale sur deux chemins homotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190IV.2.25(Hn)n∈N converge uniformément vers H sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191IV.2.26Invariance de l’intégrale sur deux lacets homotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IV.2.27Les intégrales d’une fonction holomorphes sur deux chemins homotopes diffèrent d’une

constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194IV.3.28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195IV.3.29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196IV.3.30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196IV.3.31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196IV.3.32Connexe, connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe . . . . . . . . . . . . . . . 197

I.1.1 Une fonction holomorphe sur U est analytique sur U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200I.1.2 Déformation continue d’un disque en couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202III.2.3La convergence uniforme sur tout compact d’une suite de fonctions holomorphes entraîne

la convergence sur tout compact de ses dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

.5.1 Déformation d’un ouvert privé d’un point isolé en une couronne dans C . . . . . . . . . . 215I.1.2 D(a, r) et f

(D∗(z0, r)

)sont disjoints dans le cas d’une singularité essentielle . . . . . . . . 216

I.1.3 Module et argument de la fonction z 7−→ e1

z2 . Les deux tours qui apparaissent forment unesingularité dont les lignes de niveau (en jaune) sont des lemniscates. L’argument de f(z)se comporte beaucoup plus violemment avec une infinité de rotations sur chacune de ceslemniscates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


INDEX

H(U), 52

Abel, 83lemme d’, 84, 89transformation d’, 86

Accumulationpoint d’, 14, 102, 105, 106

Adhérencecaractérisation, 13d’une partie, 11

Affixed’un nombre complexe, 6

Algèbre, 54Analytique

détermination, 154Antécédents, 208Archimédien, 136Argument, 8, 183

cosinus hyperbolique, 132d’un nombre complexe, 8, 144détermination principale, 143sinus hyperbolique, 132

Base, 47de C, 6de LC

R(C,C), 56Biholomorphe, 208Bijection, 8, 126bissectrice, 145Bolzano-Weierstrass

théorème de, 14, 18Borel

-Lebesgue, théorème de, 15Borné, 14, 122Bornée

suite, 84Borne, 17

inférieure, 17

Cauchy*-Gauss, 189*-Gauss dans un simplement connexe, 197conditions de Cauchy-Riemann, 59critère de, 11, 29, 30, 32formule intégrale de, 179inégalités de, 209produit, 123

suite de, 5, 15, 29, 30théorème de, 177théorème de *-Goursat, 174théorème de *-Taylor, 199théorie de, 159

Centred’un ouvert étoilé, 27

Cercleparamétrisation d’un, 163, 183unité, 8, 143

Chemin, 69, 160, 165C1 par morceaux, 161équivalence de, 161de même orientation, 161exemples de, 162intégration le long, 163juxtaposés, 162longueur, 169opposés, 162

Circulairefonction, 127

Closalgébriquement, 17

CommutatifDiagramme, 47

Compact, 14–17, 173, 203, 209fermé et borné, 14image d’un, 17image par une fonction continue, 170

Complet, 175Complexe

conjugué, 6plan, 6

Complexescorps des, 5

Conformeapplication, 69représentation, 57

Connexe, 19, 24adhérence d’un, 20composante, 21, 22, 55, 56image d’un, 20par arcs, 22, 23, 195réunion de, 21simplement, 165, 195

connexe

222

TD no 5 INDEX

composante, 181simplement, 25

Continue, 102, 173, 209limite uniforme de fonctions continues, 28uniformément, 16

Continuité, 180Convergence

absolue, 30, 31, 89commutative, 100, 123dominée, 200normale, 32, 84, 92, 122ponctuelle, 28rayon de, 85uniforme, 28, 29, 32, 170uniforme sur tout compact, 28, 125, 202, 210

Convexeétoilé, 178

Cosinuscomplexe, 129

Coupure, 8, 151, 152Courbe, 162Couronne, 201

d-dz et -z, 56

D’Alembert-Gauss, théorème de, 17critère de, 30

D’Alembert-Gaussthéorème de, 212

Dérivéfonction, 52nombre, 52

Diagramme, 47Différentiabilité

C-, 52, 59, 173, 198R-, 59

Différentiable, 58Différentibilité

C-, 201Directionnelle

dérivée, 64Dirichlet

problème de, 213disque, 85Domaine, 8, 24

étoilé, 180connexe par arcs, 25d’analyticité, 96de convergence, 84image d’un, 25

Doublepoint, 160

Dualde LC

C(C,C) = C∗, 57

Equipotentielle, 61Etoilé

ouvert, 174Euler

formules d’, 127

identité, 127nombre d’, 123

Exponentielle, 98définition, 121propriétés, 135

Fermé, 11Fermés

suite de, 175Fonction

analytique, 83, 93, 96, 107, 205biholomorphe, 63complexe, 16constante sur un connexe, 20continue, 16, 17cosinus, 127développable en série entière, 104entière, 54exponentielle, 121harmonique, 64, 213holomorphe, 52, 62, 91, 96, 125, 174Puissance α, 155sinus, 127

Graphe, 48

Hadamardformule de, 83, 87

Heinethéorème de, 16

Holomorphe, 91Homéomorphisme, 63, 145Homotope, 154

à un point, 189classe, 188

Homotopeschemins, 186

Homotopie, 180de chemins, 186de lacets, 186

Hyperbole, 48

Imaginairepartie, 48

Indice, 181calcul pratique de, 183

Injective, 208Intégrale

curviligne, 164, 165Intermédiaires

théorème des valeurs, 17, 135Inverse

d’un nombre complexe, 6Inversion locale

théorème d’, 62, 207Isomorphisme

analytique, 207

Jacobienne, 59Jordan

théorème de, 183


I.1 INDEX TD no 5

Lacet, 160, 161, 171, 178, 186, 202Laplace

équation de, 213Laplacien, 65Lignes de champ, 61Linéarité

C-, 56R-, 56

Liouvillethéorème de, 211

Logarithmecomplexe, 8d’une fonction, 206détermination du, 147détermination principale du, 151népérien, 145

Maximumprincipe du, 106, 213

Module, 17d’un nombre complexe, 7d’une fonction, 107

Moivreformule de, 8

Moreirathéorème de, 202

Moyenneformule de la, 212

Multivoque, 121

Ordred’un pôle, 216

Ouvert, 12étoilé, 27, 172convexe, 172image réciproque d’un, 19simplement connexe, 178

Ouvertethéorème de l’application, 209

Périodiquefonction, 135

Pôle, 98, 216Parabole, 49Paramétrage

d’un chemin, 160Partition, 22Pentagone

régulier, 41Pi, 135, 169

définition, 135Primitive, 165, 170, 172, 177

dans un simplement connexe, 197

de1z

, 178

locale, 172, 179Prolongement

analytique, 84, 105d’égalités, 129holomorphe, 204, 205

Puissancefonction, 155

Réellepartie, 48

Réelscorps des, 5

Racinen-ème, 206

Rayonde convergence, 88

Recouvrementpar des ouverts, 15, 210

Rested’une série, 30

Riemann, 71intégrale de, 164

Sériealternée, 135convergente, 29dérivée, 88entière, 84géométrique, 85, 98, 199primitive, 88produit de Cauchy, 88somme de, 88

Série entièredéveloppement de Cos, 128développement de Sin, 128développement en, 71, 127

Segmentorienté, 162paramétrisation d’un, 163

Similitude, 57, 62Singularité, 204

artificielle, 216essentielle, 216

Sommed’une série, 30

Suite, 13de fonctions, 28convergente, 10, 11de fonctions, 170de fonctions holomorphes, 202, 210de nombres complexes, 10extraite, 14

Surjection, 143

Tangentvecteur, 69

Taylordéveloppement de, 201, 205formule de, 97série de, 99, 201

Triangle, 172, 174paramétrisation d’un, 163

Trigonométriecirculaire, 128, 136hyperbolique, 130, 137

Trou, 25

Vectorielespace, 47


TD no 5 INDEX

Voisinaged’un point, 13de l’infini, 13

Weierstrass, 83

Zérod’une fonction, 102ordre d’un, 105principe des -s), 102


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