Nombres complexes - Cours et Exercices de Mathématiquesx.maths.free.fr/revisions/ts/fiches/TSfichescours.pdf · TS - Fiche de cours : Nombres complexes 1 / 4 Nombres complexes Définition

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Nombres complexes

Définition - Propriétés

Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i

2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs.

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Équation du second degré à coefficients réels

L'équation az2 + bz + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a # 0) admet dans CI deux solutions (éventuellement confondues).

Soit ∆ = b2 - 4ac le discriminant de l'équation. ∆ est un nombre réel.

• si ∆ ³ 0 , les deux solutions sont réelles z1 = -b - ∆

2a et z2 =

-b + ∆

2a

• si ∆ £ 0 , on peut écrire ∆ = (i δ)2 avec δ ∈ IR, les deux solutions sont alors des nombres complexes, (conjugués l'un de l'autre)

z1 = -b - i δ

2a et z2 =

-b + i δ2a

Le trinôme az2 + bz + c se factorise sous la forme a(z - z1)(z - z2)

Représentation géométrique d'un nombre complexe

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, au nombre complexe z = a + bi ,

on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur →V (a ; b).

z = a + bi est l'affixe de M et de →V .

M(a ; b) est l'image ponctuelle, →v (a ; b) est l'image vectorielle de z = a + bi.

Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , alors

• le vecteur →MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i

• le milieu I de [MM'] a pour affixe zI = z + z'

2

• le barycentre G de (M ; α) et (M' ; β) a pour affixe zG = αz + βz'α + β

(α + β # 0) .


Module et conjugué d'un nombre complexe

On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR,

le réel positif |z| = a2 + b2 .

|z| = 0 ⇔ z = 0 ; |- z| = |z| ; |z + z'| £ |z| + |z'|

|zz'| = |z|.|z'| ; 1

z = 1

|z| ; z

z' = |z|

|z'|

On appelle conjugué du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, le nombre complexe

z = a - bi .

• z = z ; |

z | = |z| ; Si z # 0 1

z =

z

|z|2

• z.z = |z|2 (donc z.

z est un réel positif)

• z + z' = z +

z' ; z - z' =

z -

z' ; zz' =

z .

z'

• Si z' # 0

1

z' = 1

z' ;

z

z' =

z

z'

• Re(z) = z + z

2 ; Im(z) = z -

z

2i

• z est réel ⇔ z = z ; z est imaginaire pur ⇔ z = -

z

Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z|

Si →V a pour affixe z , alors ||→

V || = |z|.

Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul

Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme :

z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR*+

C'est la forme trigonométrique de z. r est le module de z, r = |z| θ est un argument de z.

Si z = r(cos θ + i sin θ) alors

• z = r(cos(-θ) + i sin(-θ))

et • - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π))

θ

M

r = |z|

O

1

cos θ

sin θ


Arguments d'un nombre complexe

L'argument d'un nombre complexe z n'est pas unique, il est défini modulo 2π. Si θ est un argument de z, on notera arg z = θ [2π] ou arg z = θ + 2kπ (k ∈ ZZ ) On appelle argument principal de z l'argument de z appartenant à ]-π ; π].

Pour z ∈ CI * et z' ∈ CI *, on a z = z' ⇔ |z| = |z'|arg z = arg z' [2π]

Soient →V et

→V ' deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z'

On a alors ( →u ;

→V ) = arg z [2π] (

→u étant le vecteur d'affixe 1 )

(→V ;

→V ' ) = arg z' - arg z [2π]

z et z' étant deux nombres complexes non nuls on a :

• arg(zz') = arg z + arg z' [2π] ; arg 1

z = - arg z [2π]

• arg

z

z' = arg z - arg z' [2π] ; arg (zn) = n arg z [2π]

• arg (z ) = - arg z [2π] ; arg (- z) = arg z + π [2π]

Notation exponentielle

On note cos θ + i sin θ = e iθ et r(cos θ + i sin θ) = r e iθ

e iθ.e iθ' = e i(θ+θ') ; 1e iθ

= e iθ = e -iθ ;

e

iθ

e iθ' = e i(θ-θ')

(e iθ)n = e inθ


Utilisation en Géométrie

La notion de distance correspond au module. La notion d'angle à l'argument.

A, B et C étant trois points distincts d'affixes zA, zB et zC dans (O;

→u ,

→v ) , alors :

• le vecteur →AB a pour affixe zB - zA , et on a AB = |zB - zA|

• l'angle (→u ,

→AB) a pour mesure arg(zB - zA) [2π]

• l'angle (→AB,

→AC) a pour mesure arg(zC - zA) - arg(zB - zA) = arg

zC - zA

zB - zA [2π]

• →AB et

→AC sont colinéaires ⇔

→AC = α

→AB , α ∈ IR*

⇔ zC - zAzB - zA

∈ IR* ⇔ arg

zC - zA

zB - zA = 0 [π]

• →AB et

→AC sont orthogonaux ⇔

→AB .

→AC = 0

⇔ zC - zAzB - zA

est imaginaire pur non nul ⇔ arg

zC - zA

zB - zA = π

2 [π]

L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + a où a est un nombre complexe fixé, est la translation de vecteur

→u d'affixe a.

L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' - ω = e iα (z - ω) où α est un réel fixé et ω un complexe fixé

est la rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle α.

L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' - ω = k (z - ω) où k est un réel non nul fixé et ω un complexe fixé

est l'homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k.

Le cercle de centre Ω d'affixe ω et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe

z vérifiant |z - ω| = r

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Limites Asymptotes à une courbe

Opérations sur les limites

Limite d'une somme

Si f ou (un) a pour limite l l l +∞ -∞ +∞

Si g ou (vn) a pour limite l' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞

Alors f + g ou (un) + (vn) a pour limite

l + l' +∞ -∞ +∞ -∞ pas de résultat

général

Limite d'un produit

Si f ou (un) a pour limite l l ≠ 0 +∞ ou -∞ 0

Si g ou (vn) a pour limite l' +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ +∞ ou -∞

Alors f x g ou (un x vn) a pour limite

l x l' +∞ ou -∞ suivant les signes

+∞ ou -∞ suivant les signes

pas de résultat général

Limite d'un inverse

Si g ou (vn) a pour limite l' ≠ 0 0

par valeurs inférieures

0 par valeurs supérieures

+∞ ou -∞

Alors 1

g ou

1

vn a pour limite 1

l' -∞ +∞ 0

Limite d'un quotient

Si f ou (un) a pour limite l l l ≠ 0 0 +∞ ou

-∞

+∞ ou

-∞

+∞ ou

-∞

Si g ou (vn) a pour limite l' ≠ 0 +∞ ou

-∞

0 par valeurs

sup. ou

par valeurs inf.

0

0 par valeurs

sup. ou

par valeurs inf.

l' ≠ 0 +∞ ou

-∞

Alors fg ou

un

vn

a pour limite

ll'

0

+∞ ou -∞ suivant

les signes



les signes


les signes



Les formes indéterminées

On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes.

+∞ - ∞ : Factorisation du terme "dominant". (terme de plus haut degré pour un polynôme) ∞∞ : Factorisation des termes "dominants" puis simplification.

00 : Factorisation d'un terme tendant vers 0, puis simplification.

0 x ∞ : peut en général se ramener à l'une des formes ∞∞ ou 0

0 .

Lorsque des racines carrées interviennent et que les méthodes ci-dessus ne donnent pas de résultat, on pourra multiplier par la quantité "conjuguée".

(Les notations +∞ - ∞ ; ∞∞ … sont des abréviations à ne pas utiliser dans un devoir rédigé)

Limites et inégalités

I est un intervalle dépendant de l'endroit où la limite est cherchée :

]a ; +∞[ pour une limite en +∞, ]x0 - h ; x0 + h[ pour une limite en x0 etc…

Limites par comparaison

Si pour tout x ∈ I f(x) ³ g(x) et si lim g(x) = +∞ alors lim f(x) = +∞. Si pour tout x ∈ I |f(x) - l| £ g(x) et si lim g(x) = 0 alors lim f(x) = l. Comparaison de limites

Si pour tout x ∈ I f(x) £ g(x), si lim f(x) = l et lim g(x) = l' alors l £ l'. Théorème des gendarmes

Si pour tout x ∈ I g(x) £ f(x) £ h(x) et si lim g(x) = lim h(x) = l , alors lim f(x) = l. Ce théorème est aussi valable pour une limite infinie.


Limite d'une composée de fonctions

a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞.

Si

x→alim f(x) = b et

y→blim g(y) = l , alors

x→alim g o f(x) = l .

Limites obtenues par la dérivée

Si f est une fonction dérivable en x0 alors :

h→0lim

f(x0 + h) - f(x0)

h = f'(x0) ou encore

x→x0

lim f(x) - f(x0)

x - x0 = f'(x0).

Limites usuelles

La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou en -∞ est la limite de son terme de plus haut degré.

La limite d'une fonction rationnelle en +∞ ou en -∞ est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

x→0lim sin x

x = 1 ;

x→0lim cos x - 1

x = 0.

Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en +∞ ni en -∞. On trouvera dans les fiches "logarithme népérien" et "exponentielle" les limites correspondant à ces fonctions.

Asymptotes à une courbe

(C) étant la courbe représentative de la fonction f Asymptote parallèle à Oy (verticale) (C) a pour asymptote la droite d'équation x = a si :

x→alim f(x) = +∞ ou -∞ (il peut s'agir d'une limite à droite ou à gauche seulement)

Asymptote parallèle à Ox (horizontale) (C) a pour asymptote la droite d'équation y = b si :

x→+∞lim f(x) = b ou

x→-∞lim f(x) = b

Asymptote oblique , asymptote courbe

(C) a pour asymptote la droite d'équation y = ax + b si :

x→+∞lim f(x) (ax + b) = 0 ou

x→-∞lim f(x) - (ax + b) = 0

(C) a pour asymptote la courbe représentative de g si :

x→+∞lim f(x) - g(x) = 0 ou

x→-∞lim f(x) - g(x) = 0

http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Continuité - Dérivabilité 1 / 3

Continuité - Dérivabilité

Continuité

f est continue en x0, si

x→x0

lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si

h→0lim f(x0 + h) = f(x0)

f est continue sur un intervalle I, si f est continue en tout point x0 de I

Nombre dérivé - Fonction dérivée - Tangente

f est dérivable en x0 lorsque

h→0lim

f(x0 + h) - f(x0)

h est un nombre réel.

Cette limite est le nombre dérivé en x0, on le note f'(x0)

On a alors f'(x0) =

h→0lim

f(x0 + h) - f(x0)

h =

x→x0

lim f(x) - f(x0)

x - x0

Si une fonction f est dérivable en tout point x0 d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I, et l'application qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f au point x est appelée fonction dérivée de f. La fonction dérivée de f est notée f'.

La courbe représentative de f a pour tangente en M0(x0 ; f(x0)) la droite T de

coefficient directeur f'(x0). T a pour équation y = f'(x0) (x - x0) + f (x0) .

Opérations sur les dérivées

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. u + v est dérivable sur I et on a (u + v)' = u' + v'

u v est dérivable sur I et on a (u v)' = u'v + u v' Si a ∈ IR , a u est dérivable sur I et on a (a u)' = a u'

Si u ne s'annule pas sur I , alors 1u est dérivable et

1

u' = -

u '

u2

Si v ne s'annule pas sur I, alors uv est dérivable et

u

v' = u'v - u v'

v2

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, Si v est une fonction dérivable sur un intervalle J, et si pour tout x ∈ I, u(x) ∈ J, alors v o u est dérivable sur I et on a ( v o u )' = u ' x (v ' o u)


Dérivées usuelles

Fonction Dérivée

f(x) = k f'(x) = 0

f(x) = x f'(x) = 1

f(x) = ax + b f'(x) = a

f(x) = x2 f'(x) = 2x

f(x) = x3 f'(x) = 3x2

f(x) = 1x f'(x) = -

1

x2

f(x) = x f'(x) = 1

2 x

f(x) = xn , n ∈ ZZ f'(x) = nxn-1

f(x) = sin x f'(x) = cos x

f(x) = cos x f'(x) = - sin x

f(x) = tan x f'(x) = 1 + tan2 x = 1

cos2 x

f(x) = e x f'(x) = e

x

f(x) = ln x f'(x) = 1x

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors u

est dérivable sur I et on a ( u )' = u '2 u

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout n ∈ ZZ , un est

dérivable en tout point où elle est définie et on a (un)' = n u'un-1

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I

et on a (e u)' = u' e

u

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors ln u

est dérivable sur I et on a (ln u)' = u 'u


Application aux variations d'une fonction

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I. Si f' est positive ou nulle sur I, alors f est croissante sur I. Si f' est négative ou nulle sur I, alors f est décroissante sur I.

Pour démontrer qu'une fonction f est strictement croissante sur I, il suffit de

démontrer que f est dérivable sur I et que sa dérivée f' est strictement positive sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points. (Propriété similaire pour une fonction strictement décroissante)

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans [a ; b]. Le théorème peut s'appliquer aussi dans le cas d'un intervalle non fermé ou non

borné en utilisant les limites de f. Par exemple : si f est continue et strictement décroissante sur ]-∞ ; a[, alors

pour tout k appartenant à ]

x→ax < a

limf(x) ;

x→-∞lim f(x)[, l'équation f(x) = k a une solution

unique dans ]-∞ ; a[.

Compléments

Si

h→0h > 0

lim f(x0 + h) - f(x0)

h

est un nombre réel A , on dit que la fonction f est

dérivable à droite en x0 et que A est le nombre dérivé à droite de f en x0 .

La courbe représentative de f a alors une demi-tangente de coefficient directeur A

en M0(x0 ; f(x0))

(Propriété similaire avec une limite à gauche et un nombre dérivé à gauche) Pour qu'une fonction f soit dérivable en x0, il faut qu'elle soit dérivable à gauche

et à droite en x0 et que les nombres dérivés à gauche et à droite soient égaux.

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Primitives

Définition

On appelle primitive d'une fonction f sur un intervalle I, toute fonction F définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f.

Si F est une primitive de f sur I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G de la forme G = F + k, avec k ∈ IR.

Soit f une fonction ayant des primitives sur un intervalle I, soit x0 ∈ I et y

0 ∈ IR.

Il existe une et une seule primitive F de f telle que F(x0) = y

0 .

Toute fonction continue sur un intervalle I a des primitives sur I.

Primitives des fonctions usuelles

Fonction Primitives Intervalle

f(x) = 0 F(x) = k k ∈ IR IR

f(x) = a F(x) = ax + k k ∈ IR IR

f(x) = x F(x) = 12 x2 + k k ∈ IR IR

f(x) = x2

F(x) = 13 x3 + k k ∈ IR IR

f(x) = 1

x2 F(x) = - 1

x + k k ∈ IR ]0 ; +∞[ ou ]-∞ ; 0[

f(x) = 1x F(x) = 2 x + k k ∈ IR ]0 ; +∞[

f(x) = xn n ∈ ZZ - -1 F(x) =

1

n + 1 xn+1

+ k k ∈ IR ]0 ; +∞[ ou ]-∞ ; 0[ (n < 0) IR (n ³ 0)

f(x) = sin x F(x) = - cos x + k k ∈ IR IR

f(x) = cos x F(x) = sin x + k k ∈ IR IR

f(x) = 1 + tan2 x = 1

cos2 x F(x) = tan x + k k ∈ IR

- π

2 ; π

2 modulo 2π

f(x) = 1x F(x) = ln x + k k ∈ IR ]0 ; +∞[

f(x) = e x F(x) = e

x + k k ∈ IR IR

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Propriétés

Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.

Si F est une primitive de f sur I et si a est un réel, alors aF est une primitive de af sur I. ATTENTION : Un produit de primitives n'est pas une primitive du produit. Un quotient de primitives n'est pas une primitive du quotient. Sur un intervalle bien choisi :

• Une fonction de la forme u' un avec n ∈ ZZ - -1 a pour primitives les

fonctions de la forme 1

n + 1 un+1 + k avec k ∈ IR.

• Une fonction de la forme u 'u a pour primitives les fonctions

de la forme 2 u + k avec k ∈ IR.

• Une fonction de la forme u' x e u a pour primitives les fonctions

de la forme e u + k avec k ∈ IR.

• Une fonction de la forme u'u

a pour primitives les fonctions

de la forme ln | u | + k avec k ∈ IR.

• Une fonction de la forme u' x (v' o u) a pour primitives les fonctions

de la forme v o u + k avec k ∈ IR.

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Logarithme Népérien


La fonction réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithme

népérien. On la note ln : ]0 ; +∞[→ IR

x ֏ ln x

Pour tout réel x , on a ln (ex) = x Pour tout réel strictement positif x , on a eln x = x

ex = yx ∈ IR

⇔ x = ln yy ∈ ]0 ; +∞[

La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0 ; +∞[, et on a ( )ln x ' = 1x .

La fonction ln s'annule en 1, donc ln 1 = 0. D'autre part ln e = 1 La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. x > 1 ⇔ ln x > 0 et 0 < x < 1 ⇔ ln x < 0

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors la

fonction composée ln o u est dérivable sur I et on a : ( )ln o u ' = u'u

Toute fonction de la forme u'u a pour primitive ln |u| sur tout intervalle dans lequel u

ne s'annule pas. Si u est strictement positive, u'u a pour primitive ln(u).

Relation fonctionnelle

a et b étant deux réels strictement positifs, on a :

ln (a.b) = ln a + ln b ln(an) = n.ln a pour tout n ∈ ZZ

ln 1

a = - ln a ln

a

b = ln a - ln b

ln a = 12 ln a

Si a1, a2, ..., an sont des réels strictement positifs, on a :

ln (a1.a2. ⋯ .an) = ln a1 + ln a2 + ... + ln an .

Pour tout x ∈ IR : ln (ex) = x

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y = ln x

y = ex

e

La courbe a pour asymptote verticale l'axe (Oy).

La tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 1, c'est la droite

d'équation y = x - 1

La courbe de la fonction ln est symétrique de la courbe de la fonction exponentielle par rapport à

la droite d'équation y = x

Limites - Variations

x→+∞lim ln x = +∞ ;

x→0x > 0

lim ln x = -∞ ;

x→0x > 0

lim x ln x = 0 ;

x→0lim

ln (1 + x)x

= 1

x→+∞lim

ln xx

= 0 ; et pour n ∈ IN*

x→+∞lim

ln xxn = 0 .

Tableau de variations

Courbe représentative

x 0 +∞ +∞

ln

-∞

On dit que le nombre réel e tel que ln e = 1 est la base du logarithme népérien.

On a e ≈ 2,72

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x -∞ +∞ +∞

ex

0

Fonction exponentielle Équations différentielles


Il existe une unique fonction f, dérivable sur IR, telle que f' = f et f(0) = 1 . Cette fonction est appelée fonction exponentielle.

On note exp : IR → ]0 ; +∞[ x ֏ exp(x) = ex

La fonction exponentielle est définie, continue et dérivable sur IR et on a (ex)' = ex

e0 = 1 e1 = e Pour tout réel x, on a ex > 0 La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR.

x > 0 ⇔ ex > 1 et x < 0 ⇔ 0 < ex < 1

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction composée exp o u est

dérivable sur I, et on a : (exp o u)' = u'.exp o u ou encore (e u)' = u' x e u

Toute fonction de la forme u' x e u a pour primitive e u , sur tout intervalle dans lequel u est dérivable.

Relation fonctionnelle

a et b étant deux réels, on a :

ea+b = ea.eb ena = (ea)n pour tout n ∈ ZZ

e-b = 1eb ea-b = e

a

eb

Limites - Variations

limx→+∞

ex = +∞ ; lim

x→–∞ ex

= 0 ; limx→+∞

ex

x = +∞ ;

lim

x→–∞ x ex

= 0 ; limx→0

ex - 1

x = 1

et pour n ∈ IN* lim

x→+∞ e

x

xn = +∞ ; lim

x→+∞ xn e-x = 0 ;

x→-∞lim xn ex = 0 .

Tableau de variations

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y = ex

e

y = ln x

La courbe a pour asymptote

horizontale l'axe (Ox) quand x tend vers -∞.

La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a pour coefficient directeur 1, c'est

la droite d'équation y = x + 1

La courbe de la fonction exponentielle est symétrique

de la courbe de la fonction ln par rapport à la droite

d'équation y = x

Courbe représentative

Équations différentielles

Soient a et b deux réels avec a ≠ 0.

• L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay + b est l'ensemble

des fonctions définies sur IR par f(x) = keax - ba avec k ∈ IR .

• Etant donné un couple (α ; β), il existe une unique solution de l'équation différentielle y' = ay + b vérifiant y(α) = β .

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a > 1

a = 1

0 < a < 1 a = e

Puissances réelles


Les puissances réelles d'un nombre strictement positif a sont définies par : ax = ex ln a pour tout nombre réel x.

Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tous réels x et y, on a :

ax+y = ax . ay ; a-x = 1

ax ; ax-y = a

x

ay

ax.y = ( )ax y ; (a .b)x = ax

. bx ;

ab

x = a

x

bx

On appelle "fonction exponentielle de base a" (a > 0), la fonction : IR →IR

x ֏ ax = ex ln a

L'étude de la fonction exponentielle de base a, se déduira facilement de l'étude de

la fonction x ֏ e x et du signe de ln a.

Si 0 < a < 1, on a ln a < 0

x→-∞lim ax = +∞ et

x→+∞lim ax = 0

La courbe a pour asymptote l'axe Ox quand x tend vers +∞

Si a > 1, on a on a ln a > 0

x→-∞lim ax = 0 et

x→+∞lim ax = +∞

La courbe a pour asymptote l'axe Ox quand x tend vers -∞

La fonction x ֏ e x correspond à la

fonction exponentielle de base a = e.

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-2 -1 1 2 3 4O

-2

-1

1

2

3

4

ln x

x

x2 x3

e x

Fonctions puissances

Pour n ∈ IN*, la fonction x ֏ xn est une bijection de ]0 ; +∞[ dans ]0 ; +∞[, c'est-

à-dire que pour tout réel strictement positif b, il existe un et un seul réel strictement positif a tel que an = b.

On dit que a est la racine nième de b, on note a = n

b = b

1n .

La fonction x ֏ x1n est la réciproque, sur ]0 ; +∞[ de la fonction x ֏ xn

On a en particulier x = x12 et

3x = x

13 .

Croissances comparées

Si n ∈ IN* on a :

limx→+∞

ln xxn

= 0 ; lim

x→+∞ e

x

xn = +∞ ; lim

x→+∞ xn e-x = 0 ;

x→-∞lim xn e x = 0 .

Au voisinage de +∞,

les fonctions x ֏ xn croissent

infiniment plus vite que la

fonction ln .

la fonction exponentielle croît infiniment plus vite que les

fonctions x ֏ xn .

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Cf

Cg

a

b

b a

(C)

O x

unité d'aire

y

⌠⌡

b

af(t) dt

Intégrales

Définition - Interprétation graphique

Si f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et (C) sa courbe dans un repère orthogonal (O;

→i ,

→j ).

⌠⌡

b

a f(t) dt est le réel mesurant l'aire, en

unités d'aire, de la partie du plan limitée

par la courbe (C), l'axe Ox et les droites d'équations x = a et x = b

c'est-à-dire l'ensemble des points M(x ; y) tels que a £ x £ b0 £ y £ f(x).

Si f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] (a < b) telles que, pour tout x ∈ [a ; b] : g(x) £ f(x). L'aire de la partie du plan limitée par les

courbes de f et de g et les droites d'équation x = a et x = b, c'est-à-dire l'ensemble des points M(x ; y)

vérifiant a £ x £ bg(x) £ y £ f(x) est donnée en

unités d'aires par ⌠⌡a

b( f(x) - g(x) ) dx

⌠⌡

b

af(t) dt = F(b) - F(a) où F est une primitive de f sur [a ; b].

On note aussi ⌠⌡b

af(t) dt = F(t)

b

a

La fonction H définie par H(x) = ⌠⌡x

af(t) dt est la primitive de f s'annulant en a.

⌠⌡a

b[f(x)-g(x)]dx


Propriétés

f et g sont des fonctions ayant des primitives sur les intervalles considérés.

⌠⌡a

a f(t) dt = 0 ⌠

⌡a

b f(t) dt = - ⌠⌡

b

a f(t) dt

⌠⌡a

b f(t) dt + ⌠⌡

b

c f(t) dt = ⌠⌡

a

c f(t) dt (Relation de Chasles)

⌠⌡a

b(f + g)(t) dt =

⌠⌡a

b f(t) dt + ⌠⌡

a

b g(t) dt

Si k ∈ IR ⌠⌡a

b( kf )(t) dt = k ⌠⌡

a

b f(t) dt

Si f est une fonction paire, alors ⌠⌡- a

a f(t) dt = 2 ⌠⌡

0

a f(t) dt

Si f est une fonction impaire, alors ⌠⌡- a

a f(t) dt = 0

Si f est une fonction périodique de période T, alors ⌠⌡a

a + T f(t) dt = ⌠⌡

0

T f(t) dt

Si a £ b et si pour tout x de [a ; b] on a f(x) ³ 0, alors ⌠⌡a

b f(x) dx ³ 0

Si a £ b et si pour tout x de [a ; b] on a f(x) £ g(x), alors ⌠⌡a

b f(x) dx £ ⌠⌡

a

b g(x) dx

Valeur moyenne

On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b], le réel 1

b - a ⌠⌡

a

b f(t) dt .

Théorème de la moyenne

S'il existe deux réels m et M tels que pour tout x de [a ; b] (a £ b), m £ f(x) £ M,

alors m(b - a) £ ⌠⌡a

b f(t) dt £ M(b - a)


Intégration par parties

On suppose que toutes les fonctions utilisées ont des primitives sur les intervalles considérés

⌠⌡a

bu(t).v'(t)dt = u(t).v(t)

b

a - ⌠⌡

a

b u'(t).v(t) dt

Exemple

Pour calculer ⌠⌡0

πt sin t dt , on pose u(t) = t v'(t) = sin t

u'(t) = 1 v(t) = - cos t

Alors ⌠⌡0

πt sin t dt = (t)(- cos t)

π

0 - ⌠⌡

0

π(1)(- cos t)dt

Donc ⌠⌡0

πt sin t dt =

- tcos t

π

0 - - sin t

π

0 = - t cos t + sin t)

π

0

Donc ⌠⌡0

πt sin t dt = - π cos π + sin π - (- 0 cos 0 + sin 0) = π

Calcul de volumes

Pour un volume V de hauteur H dont la section avec un plan à la hauteur

h a pour aire S(h), on a

V = ⌠⌡0

HS(h) dh

H

h

S(h)

http://xmaths.free.fr/ TS-Fiche de cours : Raisonnement par récurrence 1 / 1

Raisonnement par récurrence

Soit P(n) une proposition dépendant d'un entier n et n0 un entier fixé.

Si P(n0) est vraie (Initialisation)

et si pour tout entier n ³ n0 P(n) ⇒ P(n+1), (Hérédité) alors P(n) est vraie pour tout entier n ³ n0.

Exemple

On considère la somme Sn des cubes des n premiers entiers, c'est-à-dire

Sn = 13 + 23 + … + n3

Démontrons par récurrence que pour tout entier n ³ 1 : Sn = n2(n + 1)2

4

Appelons P(n) la proposition : « Sn = n2(n + 1)2

4 »

1ère étape : initialisation

On a S1 = 13 = 1 et pour n = 1 , n2(n + 1)2

4 = 1

2 x 22

4 = 1

La proposition P(1) est donc vraie

2ème

étape : hérédité - passage de n à n+1 Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier particulier n ³ 1, c'est-

à-dire que Sn = n2(n + 1)2

4

Alors par définition Sn+1 = 13 + 23 + … + n3 + (n+1)3 = Sn + (n+1)3

Donc Sn+1 = n2(n + 1)2

4 + (n+1)3 = (n+1)2

n2

4 + (n + 1)

Sn+1 = (n+1)2

n2 + 4n + 4

4 = (n+1)2

(n+2)2

4

On a donc démontré que Sn+1 = (n+1)2(n+2)2

4

c'est-à-dire que la proposition P(n+1) est vraie.

Conclusion

On a démontré que P(1) est vraie et que pour tout entier n ³ 1, P(n) ⇒ P(n+1). On en déduit donc que P(n) est vraie pour tout entier n ³ 1.

On a démontré par récurrence que pour tout entier n ³ 1 Sn = n2(n + 1)2

4 .

Application : S100 = 13 +23 + … + 1003 = 1002 x 1012

4 = 25 502 500

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Suites

Suites arithmétiques - suites géométriques

Les définitions et propriétés des suites arithmétiques et géométriques sont valables aussi bien pour des suites de nombres réels que pour des suites de nombres complexes.

Suite arithmétique On dit qu'une suite (un)n³n0

est une suite arithmétique de raison r lorsque :

pour tout entier naturel n ³ n0, un+1 = un + r.

Soit (un)n³n0 une suite arithmétique de raison r.

• Pour tout n ³ n0 et tout p ³ n0, on a un = up + (n - p) r en particulier : un = u0 + n r ; un = u1 + (n - 1) r

• Sens de variation : Si r = 0, la suite est constante.

Si r est réel et r >0, la suite est croissante et on a

n→+∞lim un = +∞

Si r est réel et r < 0, la suite est décroissante et on a

n→+∞lim un = -∞

• Si le premier terme de la suite est a, la somme des n premiers termes est :

S = na + n(n - 1)2

r

Suite géométrique On dit qu'une suite (un)n³n0

est une suite géométrique de raison q lorsque :

pour tout entier naturel n ³ n0, un+1 = un x q.

Soit (un)n³n0 une suite géométrique de raison q.

• Pour tout n ³ n0 et tout p ³ n0, on a un = up x q(n-p) (en supposant q # 0)

en particulier : un = u0 x qn ; un = u1 x qn-1

• Sens de variation Si q = 1, la suite (un) est constante.

Si 0 £ |q| < 1,

n→+∞lim qn = 0 , donc

n→+∞lim un = 0 (la suite converge vers 0).

Si q est réel et q > 1 ,

n→+∞lim un = +∞ ou

n→+∞lim un = -∞

Si q est réel et q £ -1 , la suite (un) n'a pas de limite.

• Si le premier terme est a et si q # 1, la somme des n premiers termes est :

S = a 1 − qn

1 − q


Suites monotones, majorées, minorées, périodiques

Soit (un) une suite de nombres réels.

Suites monotones

On dit que la suite (un) est croissante si pour tout n, un+1 ³ un

On dit que la suite (un) est décroissante si pour tout n, un+1 £ un

On dit que la suite (un) est stationnaire (ou constante) si pour tout n, un+1 = un

(On peut de même définir une suite strictement croissante ou strictement décroissante)

On dit qu'une suite est monotone lorsqu'elle est croissante ou lorsqu'elle est décroissante.

Si la suite (un) est croissante et si n ³ p , alors un ³ up

Si la suite (un) est décroissante et si n ³ p , alors un £ up

Si la suite (un) est strictement croissante et si n > p , alors un > up

Si la suite (un) est strictement décroissante et si n > p , alors un < up

Si f est une fonction croissante sur [k ; +∞[, la suite définie par un = f(n) pour n ³ k est une suite croissante.

Attention la réciproque est fausse : la suite peut être croissante alors que la fonction ne l'est pas.

(Propriété similaire avec un fonction décroissante, strictement croissante, strictement décroissante)

Suites majorées, minorées, bornées

S'il existe un réel M tel que pour tout n, un £ M, on dit que la suite (un) est majorée

par M. (On dit que M est un majorant de la suite).

S'il existe un réel m tel que pour tout n, un ³ m, on dit que la suite (un) est minorée

par m. (On dit que m est un minorant de la suite).

Une suite à la fois majorée et minorée, est appelée suite bornée. Suites périodiques

S'il existe un entier non nul p tel que pour tout n, un+p = un , on dit que la suite

(un) est périodique de période p.

(Cette dernière définition peut aussi s'appliquer à une suite de nombres complexes).


Limites de suites

Remarque : La limite pour une suite (un) correspond toujours à une limite lorsque n tend vers +∞.

Limites connues

Les suites ( n ) ; (n) ; (n2) ; (n3) ; (nα) avec α ∈ IN* ; (an) avec a > 1 et (ln n)

ont pour limite +∞.

Les suites

1

n ; 1

n ;

1

n2 ;

1

n3 ;

1

nα avec α ∈ IN*

;

1

an avec a > 1 et

1

ln n

ont pour limite 0.

Soit (un) une suite de nombres réels.

si la suite (-un) tend vers +∞, la suite (un) tend vers -∞ .

si la suite (un - l) tend vers 0, la suite (un) tend vers l . Limites obtenues par comparaison

S'il existe une suite (vn) de limite +∞, un réel α > 0 et un entier k tels que :

pour tout n ³ k un ³ α vn , alors (un) a pour limite +∞

S'il existe une suite (vn) de limite -∞, un réel α > 0 et un entier k tels que :

pour tout n ³ k un £ α vn , alors (un) a pour limite -∞

S'il existe une suite (vn) de limite 0, un réel α > 0 et un entier k tels que :

pour tout n ³ k, |un - l| £ α vn alors (un) a pour limite l.

Cas particulier très important

Si pour tout n ³ k, |un - l| £ α qn avec α > 0 et 0 < q < 1 alors

n→+∞lim un = l.

Théorème des gendarmes

Si

n→+∞lim vn = l et

n→+∞lim wn = l , et s'il existe un entier k tel que :

pour tout n ³ k, vn £ un £ wn alors (un) a une limite et

n→+∞lim un = l.

Suite monotone bornée Une suite croissante et majorée est convergente. Il en est de même pour une suite décroissante minorée. (Cette propriété justifie que la suite converge mais ne permet pas de trouver la limite)


Suites du type uuuunnnn = f = f = f = f((((nnnn))))

Si f est une fonction définie sur [k ; +∞[, si (un)n³k est la suite définie par

un = f(n) et si

x→+∞lim f(x) = a, et alors

n→+∞lim un = a.

(Ce résultat est valable pour une limite a finie ou infinie.) Attention : la limite de la fonction f permet de donner la limite de la suite un = f(n), mais la

limite de la suite un = f(n) ne permet pas de donner la limite de la fonction f.

Les propriétés sur la limite de la somme, du produit et du quotient de deux fonctions resteront donc valables pour les suites. Image d'une suite par une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et (un) une suite d'éléments de I.

Si

n→+∞lim un = a, et si

x→alim f(x) = b, alors

n→+∞lim f(un) = b .

(Cette propriété est valable lorsque a et b sont des limites finies ou infinies.)

Comparaison de suites et de limites

Si

n→+∞lim un = l et

n→+∞lim vn = l', et s'il existe un entier k tel que :

pour tout n ³ k un £ vn alors l £ l'. Attention : ce résultat n'est pas vrai avec des inégalités strictes.

Suites adjacentes

Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque :

(un) est une suite croissante , (vn) est une suite décroissante et

n→+∞lim vn - un = 0

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. (Cette propriété justifie que les suites convergent mais ne permet pas de trouver la limite)

http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Dénombrement 1 / 2

Dénombrement

Cardinal d'un ensemble

Le cardinal d'un ensemble fini est le nombre d'éléments de cet ensemble. Si A et B sont deux parties d'un ensemble fini, on a

card A ∪ B = card A + card B - card A ∩ B On pourra, pour déterminer les cardinaux de certains ensembles, utiliser un diagramme, un tableau, un arbre. On appelle produit cartésien deux ensembles E et F, l'ensemble E x F des

couples (a ; b) avec a ∈ E et b ∈ F. Si E et F sont des ensembles finis, on a card E x F = card E x card F On peut généraliser la notion de produit cartésien à un produit de 3 ensembles

(ensemble des triplets), de 4 ensembles (quadruplets), de p ensembles (p-uplets) On a alors card (E1 x E2 x ... x Ep) = card(E1) x card(E2) x ... x card(Ep)

Une suite de p éléments distincts d'un ensemble E ayant n éléments (n ³ p) est appelée un arrangement p à p des éléments de E.

Sachant qu'on a n choix possibles pour le 1er élément, (n-1) choix pour le 2ème, (n-2) choix pour le 3ème, … , (n-p+1) choix pour le pième

, on peut justifier par un

arbre qu'il y a n x (n-1) x … x (n-p+1) arrangements p à p des n éléments de E.

Une suite des n éléments (distincts) d'un ensemble E est appelée une permutation

de E. (C'est un arrangement n à n des n éléments de E)

Le nombre de permutations des n éléments d'un ensemble E est noté n ! On a n !!!! = n x (n - 1) x (n - 2) x … x 2 x 1 , (n ! se lit "n factorielle"). (n ! est donc le nombre de façons de "ranger" n éléments)

Par convention, on pose 0 ! = 1

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Combinaisons

On appelle combinaison p à p des n éléments d'un ensemble E, toute partie de E

ayant p éléments. Une combinaison est une partie de l'ensemble E, elle ne fait pas intervenir d'ordre parmi les éléments.

Le nombre de combinaisons p à p des n éléments de E est noté

p

n .

On a •

p

n = 0 si p > n •

p

n = n !p ! (n - p) !

si p £ n

Relations sur les nombres

p

n :

0

n = 1

n

n = 1

1

n = n

n-1

n = n

p

n =

n-p

n

p-1

n +

p

n =

p

n+1

Formule du binôme de Newton, valable pour a et b réels ou complexes :

(a + b)n =

0

nan

b0 +

1

nan-1

b1 + ⋯ +

p

nan-p

bp + ⋯ +

n

na0

bn = p = 0∑

p = n

p

nan-p

bp

Cas particulier pour a = b = 1

0

n +

1

n + ⋯ +

n

n =

p = 0∑

p = n

p

n = 2n .

Le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est 2n

Les nombres

p

n peuvent être trouvés dans le Triangle de Pascal :

p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 …

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1

n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1

…

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Probabilités

Probabilités élémentaires

L'ensemble des éventualités (résultats possibles) d'une expérience aléatoire est

l'univers. Il est souvent noté Ω Un événement est une partie de Ω. ∅ est l'événement impossible. Ω est l'événement certain.

A∪B est l'événement «A ou B». A∩B est l'événement «A et B».

Si A∩B = ∅, on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints). On note

A l'événement contraire de A .

On définit une loi de probabilité p sur Ω = ω1 ; ω2 ;...; ωn en associant à chaque

éventualité ωi un nombre réel pi tel que :

pour tout i ∈ 1 ; 2 ; ⋯ ; n 0 £ pi £ 1 et p1 + p2 + ⋯ + pn = 1

pi est la probabilité de l'éventualité ωi. On note pi = p(ωi)

Pour tout événement A = a1 ; a2 ; ⋯ ; ak, la probabilité de A est :

p(A) = p(a1) + p(a2) + ⋯ + p(ak).

• Pour tout événement A, p(A) ∈ [0 ; 1] •

A étant le contraire de A, p (

A ) = 1 - p(A)

• Si A et B sont quelconques, p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) • Si A et B sont disjoints , p(A∪B) = p(A) + p(B) • Si A est contenu dans B, p(A) £ p(B) • Si A1, A2, ... , Ak sont des événements deux à deux disjoints,

p(A1∪A2∪...∪Ak) = p(A1) + p(A2) + ⋯ + p(Ak)

Cas particulier

Si toutes les éventualités ont la même probabilité, la probabilité de chacune d'elles

est alors p = 1

card(Ω) . ( éventualités équiprobables)

Dans ce cas, pour tout événement A , on a : p(A) = card(A)card(Ω)


Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une application X de l'univers Ω dans un ensemble Ω'. Si Ω' est une partie de IR, on dit que X est une variable aléatoire numérique.

On détermine la loi de probabilité d'une variable aléatoire X, en donnant les

probabilités p(X = xi) , pour toutes les valeurs xi prises par X.

(la somme de ces probabilités est égale à 1)

Si X est une variable aléatoire numérique :

• L'espérance mathématique de X (ou moyenne) est le nombre réel

E(X) = x1.p(X=x1) + ⋯ + xn.p(X=xn) c'est-à-dire E(X) = i = 1∑i = n

xi.p(X = xi) .

• La variance de X est le nombre réel (positif)

V(X) = [x1 - E(X)]2.p(X=x1) +⋯+ [xn - E(X)]2

.p(X=xn)

c'est-à-dire V(X) = i = 1∑i = n

[xi - E(X)]2.p(X=xi)

On a aussi V(X) = i = 1∑i = n

(xi)2 p(X=xi) – [E(X)]

2

L'écart-type de X est le nombre réel (positif) σ(X) = V(X) .

Probabilités conditionnelles

A et B étant deux événements, on note pB(A), la probabilité de l'événement A

sachant que l'événement B est réalisé.

On a p(A∩B) = pB(A) x p(B) et si B est de probabilité non nulle pB(A) = p(A∩B)p(B)

L'application qui à un événement A associe pB(A) est une loi de probabilité sur Ω

Deux événements A et B sont indépendants lorsque p(A∩B) = p(A).p(B) (c'est-à-dire lorsque pB(A) = p(A) ou pA(B) = p(B) )

On dit que deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, si pour tout i et pour tout j les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants.

Soit E1 , E2, ... , En est une partition de Ω (c'est-à-dire un ensemble d'événements deux à deux disjoints dont la réunion est Ω) Pour tout événement A, on a p(A) = p(A∩E1) + p(A∩E2) + ... + p(A∩En)

ce qui s'écrit aussi p(A) = pE1(A) x p(E1) + pE2

(A) x p(E2) + ... + pEn(A) x p(En)

(lorsque les événements E1 , E2, ... , En sont de probabilité non nulle)


Arbres pondérés

Règles de construction La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est 1. La probabilité de l'événement correspondant à un trajet est le produit des probabilités des différentes branches composant ce trajet. En dehors des branches du premier niveau, les probabilités indiquées sont des probabilités conditionnelles.

Exemple On jette une pièce. Si on obtient pile (P), on tire une boule dans une urne contenant 3 boules dont 1 blanche (B) et 2 noires (N). Si on obtient face (F), on tire une boule dans une urne contenant 5 boules dont 3 blanches (B) et 2 noires (N). On peut représenter cette expérience par l'arbre pondéré ci-contre :

Loi binomiale - Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve pouvant donner deux résultats:

le résultat A avec la probabilité p et le résultat A avec la probabilité 1 - p.

Un schéma de Bernoulli, est la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de résultats A

obtenus, est appelée loi binomiale de paramètres n et p. La probabilité d'obtenir alors exactement k fois le résultat A (et donc n - k fois le

résultat A) est donnée par : p(X=k) =

k

n pk

(1 - p)n-k .

L'espérance mathématique de X est alors E(X) = np, sa variance est V(X) = np(1 - p)

25

35

23

13

12

12

F

B

N

B

N

P

p(P,B) = 12 x 13

p(P,N) = 12 x 23

p(F,B) = 12 x 35

p(F,N) = 12 x 25


Exemples de lois de probabilité continues

On peut définir une loi de probabilité sur un univers infini Ω en utilisant la notion de densité.

Loi uniforme sur [0 ; 1]

Cette loi modélise le choix d'un nombre réel au hasard dans l'intervalle [0 ; 1]. La probabilité pour que ce réel soit compris entre a et b avec 0 £ a £ b £ 1, est alors proportionnelle à l'amplitude de l"intervalle [a ; b].

p([a ; b]) = b - a = ⌠⌡a

b 1 dx

On aura par exemple p( [0,5 ; 0,6]) = 0,1 = 110 : la probabilité que le nombre

choisi soit compris entre 0,5 et 0,6 est 110, ce qui est conforme à l'intuition.

La densité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) = 1.

Loi exponentielle

Cette loi modélise le phénomène de durée de vie sans vieillissement, observé par exemple pour la désintégration radioactive.

La probabilité, sachant qu'un noyau est présent à l'instant t, pour qu'il se désintègre dans l'intervalle [t ; t+s] ne dépend pas de son "âge" t. La probabilité pour qu'un noyau se désintègre dans l'intervalle de temps [a ; b] est

p([a ; b]) = ⌠⌡a

b λ e

-λx dx

La constante strictement positive λ dépend de la substance radioactive étudiée.

On peut remarquer que ⌠⌡0

b λ e

-λx dx = -e -λx

b

0 = -e

-λb + 1

et par conséquent

b→+∞lim 1 - e

-λb = 1.

La densité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = λ e -λx.


Adéquation à une loi équirépartie

Le problème se pose parfois de savoir si des données statistiques sont réparties de façon uniforme et si les variations que l'on observe par rapport à un modèle sont acceptables.

Exemple : Lorsqu'on jette un grand nombre de fois un dé dont les six faces sont numérotées, les nombres d'apparition des différentes faces ne sont pas en général égaux et on peut se demander si la variation observée d'une face à l'autre est une variation "normale" (appelée fluctuation d'échantillonnage) ou "anormale" (ce qui pourrait signifier que le dé n'est pas équilibré).

Pour cela on fera une comparaison de l'écart entre les résultats obtenus et le modèle donné par la théorie, avec l'écart entre des résultats simulés (avec une calculatrice ou un ordinateur) et le même modèle.

Supposons que les résultats obtenus sur un grand nombre de tirages sont donnés dans le tableau suivant :

Face i 1 2 3 4 5 6 Fréquence

d'apparition fi 0,2066 0,14 0,165 0,1866 0,1534 0,1484

La théorie pour un dé équilibré associe à chaque face une fréquence de 16 .

On mesure l'écart entre les résultats obtenus et le modèle donné par la théorie en

calculant : d2obs =

i = 1∑i = 6

fi - 16

2 c'est-à-dire

d2obs =

f1 - 16

2 +

f2 - 16

2 +

f3 - 16

2 +

f4 - 16

2 +

f5 - 16

2 +

f6 - 16

2

où f1, f2, ..., f6 sont les fréquences données dans le tableau.

On obtient d2obs ≈ 0,0032

En simulant un grand nombre de séries de tirages et en calculant pour chacune

des séries le nombre d2 correspondant, on obtient une série statistique pour laquelle le 9ème décile est 0,003. (C'est-à-dire que 90% des valeurs de d2 sont inférieures ou égales à 0,003)

Sachant que d2obs > 0,003 , on déclare que le dé n'est pas équilibré (ou que la

série n'est pas équirépartie) au risque de 10% . (Le 9ème décile correspondant à 90 % des données le risque d'erreur est de 10%)

Si on avait obtenu d2obs < 0,003 on aurait déclaré le dé équilibré.

Remarque : Si on utilisait le 3ème quartile de la série des d2 simulés, on déclarerait un dé équilibré ou non équilibré au risque de 25% . (Le 3ème quartile correspondant à 75 % des données le risque d'erreur est de 25%)

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Géométrie dans le plan et dans l'espace

Barycentre

Le barycentre d'un système de n points pondérés (Ai ; ai)1£ i £ n, dont la somme

des coefficients ai est non nulle, est l'unique point G vérifiant :

a1 →GA1 + a2

→GA2 + a3

→GA3 + ⋯ + an

→GAn =

→0, c'est-à-dire

i = 1∑i = n

ai →MAi =

→0

(Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k ∈ IR*)

On appelle isobarycentre des points A1, A2, ⋯ , An, le barycentre de ces points

tous affectés d'un même coefficient non nul.

L'isobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment [AB]. L'isobarycentre de trois points A, B, C est le centre de gravité du triangle ABC (point d'intersection des médianes).

Lorsque i = 1∑i = n

ai # 0 , les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1°) G est barycentre du système (Ai ; ai)1£ i £ n, c'est-à-dire i = 1∑i = n

ai →GAi =

→0 .

2°) Pour tout point M on a : i = 1∑i = n

ai →MAi =

i = 1∑i = n

ai →MG .

3°) Il existe un point O tel que : i = 1∑i = n

ai →OAi =

i = 1∑i = n

ai →OG .

Si chaque point Ai a pour coordonnées xi , yi éventuellement zi , ou pour affixe zi

les coordonnées ou l'affixe du barycentre G de (Ai ; ai)1£ i £ n sont données par :

xG = i = 1∑i = n

ai xi

i = 1∑i = n

ai

; yG = i = 1∑i = n

ai yi

i = 1∑i = n

ai

et éventuellement zG = i = 1∑i = n

ai zi

i = 1∑i = n

ai


Soient A, B et C trois points non alignés.

L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) avec a ∈ IR , b ∈ IR et a + b # 0 est la droite (AB).

L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) avec a ³ 0 , b ³ 0 et a + b # 0 est le segment [AB]. L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) ; (C ; c) avec a ∈ IR , b ∈ IR , c ∈ IR et a + b + c # 0 est le plan (ABC). L'ensemble des barycentres de (A ; a) ; (B ; b) ; (C ; c) avec a ³ 0 , b ³ 0 , c ³ 0 et a + b + c # 0 est l'intérieur du triangle ABC (côtés compris).

Produit scalaire

Si →u et

→v sont des vecteurs non nuls tels

que →u =

→OA et

→v =

→OB ;

si H est le projeté orthogonal de B sur (OA),

le produit scalaire de →u par

→v est

→u .

→v = OA x OH

→u .

→v = OA x OB x cos (

→OA,

→OB)

→u .

→v = ||→u || x ||→v || x cos (

→u ,

→v )

Si l'un des vecteurs →u ou

→v est nul, alors

→u .

→v = 0.

Pour tous vecteurs →u ,

→u',

→v et tout réel k, on a :

→u .

→v =

→v .

→u ; (

→u +

→u').

→v =

→u .

→v +

→u'.

→v

(k→u ).

→v =

→u .(k

→v ) = k(

→u .

→v ) ;

→u .

→u =

→u 2 = ||→u ||2

Deux vecteurs →u et

→v sont orthogonaux, si et seulement si

→u .

→v = 0.

Si →u et

→u' sont deux vecteurs du plan de coordonnées (x ; y) et (x' ; y') dans un

repère orthonormal (O;→i ,

→j ) , on a

→u .

→u' = xx' + yy'

Si →u et

→u' sont deux vecteurs de l'espace de coordonnées (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z')

dans un repère orthonormal (O;→i ,

→j ,

→k ) , on a

→u .

→u' = xx' + yy' + zz'

→v

→u

O

B

A H


Géométrie dans le plan

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O;→i ,

→j )

Si A et B sont deux points de coordonnées (xA , yA) , (xB , yB)

on a d(A,B) = AB = ||→AB || = (xB - xA)

2 + (yB - yA)2

Soit ABC un triangle : AB = c, AC = b, BC = a, BAC = α, ABC = β, ACB = γ .

Alors : a2 = b2 + c2 - 2bc cos α (Relation d'Al Kashi) (Si le triangle est rectangle, cette relation correspond au théorème de Pythagore)

L'aire du triangle est donnée par : S = 12 bc sin α = 1

2 ac sin β = 1

2 ab sin γ .

On peut en déduire la relation sin αa

= sin βb

= sin γc

Si I le milieu de [BC] , on a AB2 + AC2 = 2 AI2 + 12 BC2 (théorème de la médiane)

Le cercle de centre Ω(x0 ; y0) et de rayon r a pour équation :

(x - x0)2 + (y - y0)

2 = r2

Une droite D a une équation cartésienne de

la forme ax + by + c = 0 (a ; b) ≠ (0 ; 0) La droite D partage le plan en deux demi-plans P1 et P2 caractérisés par les inéquations :

ax + by + c ³ 0 et ax + by + c £ 0 La projection orthogonale sur la droite D est l'application qui à un point M0 associe le

point m, intersection de D et de la droite passant par M0 et perpendiculaire à D

La distance du point M0(x0 ; y0) à la droite D

est la distance du point M0 à m.

Elle s'exprime par : d(M0, D) = M0m = | ax0 + by0 + c |

a2 + b2

P1

D

P2

M0

m


P

→u

→u

D E2

E1

M0

m

Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal (O;→i ,

→j ,

→k )

Si A et B sont deux points de l'espace de coordonnées (xA ; yA ; zA), (xB , yB , zB)

on a d(A,B) = AB = ||→AB || = (xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)

2

La sphère de centre Ω(x0 , y0 , z0) et de rayon r a pour équation :

(x - x0)2 + (y - y0)

2 + (z - z0)

2 = r2

On dit qu'un vecteur →u est orthogonal

(ou normal) à un plan P si →u est orthogonal

à tout vecteur de P.

Pour qu'un vecteur →u soit orthogonal à P, il

suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. Tous les vecteurs orthogonaux à un plan P sont colinéaires entre eux.

Une droite de vecteur directeur →u est orthogonale (perpendiculaire) à P si et

seulement si le vecteur →u est orthogonal à P.

Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan P, il suffit qu'elle soit perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan.

Tout plan P a une équation cartésienne de la forme ax + by +cz + d = 0 avec (a ; b ; c) # (0 ; 0 ; 0) et

→u (a ; b ; c) vecteur normal à P.

Réciproquement l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d = 0 avec (a ; b ; c) # (0 ; 0 ; 0) est un plan qui a pour vecteur normal

→u (a ; b ; c).

Un plan P partage l'espace en deux demi-espaces E1 et E2 caractérisés par les

inéquations : ax + by + cz + d ³ 0 et ax + by + cz + d £ 0 La projection orthogonale sur le plan P est l'application qui à un point M0 associe

le point m, intersection de P et de la droite passant par M0 et perpendiculaire à P.

La distance du point M0(x0 ; y0 ; z0) au plan P est la distance du point M0 à m.

Elle s'exprime par : d(M0, P) = M0m = | ax0 + by0 + cz0 + d |

a2 + b2 + c2


P

D

M0 m

Soit D la droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur →u (a ; b ; c)

M(x ; y ; z) ∈ D ⇔

x = xA + kay = yA + kbz = zA + kc

k ∈ IR

Le système ci-dessus est un système d'équation paramétriques de la droite D.

Réciproquement un tel système avec (a ; b ; c) # (0 ; 0 ; 0) définit une droite. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs

respectifs →u et

→v sont colinéaires c'est-à-dire lorsque

→v = k

→u avec k ∈ IR*

. Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs

respectifs →u et

→v sont orthogonaux c'est-à-dire lorsque

→u .

→v = 0 .

Deux droites dans l'espace peuvent être orthogonales sans être sécantes. L'intersection d'une droite D et d'un plan P peut être : l'ensemble vide, un point unique ou la droite D tout entière. On pourra déterminer cette intersection en utilisant le système d'équations paramétriques de la droite et l'équation cartésienne du plan. L'intersection de deux plans peut être : l'ensemble vide, une droite ou un plan. L'intersection de trois plans peut être : l'ensemble vide, un point, une droite ou un plan. On pourra déterminer ces intersections en écrivant les systèmes formés avec les équations cartésiennes des plans. Une droite pourra être définie par intersection de deux plans, c'est-à-dire par un

système de deux équations cartésiennes : ax + by +cz + d = 0a'x + b'y +c'z + d' = 0

La projection orthogonale sur la droite D est l'application qui à un point M0 associe le

point m, intersection de D et du plan passant par M0 et perpendiculaire à D.

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Trigonométrie Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur IR

et on a pour tout réel x :

-1 £ cos x £ 1 ; -1 £ sin x £ 1 cos2 x + sin2 x = 1

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de

période 2π. On a donc, pour tout réel x et pour tout entier relatif k : sin(x + 2kπ) = sin x et cos(x + 2kπ) = cos x

La fonction tangente est définie pour tout x ≠ π2 [π] par tan x = sin x

cos x

La fonction tangente est périodique de période π : tan(x + kπ) = tan x (k ∈ ZZ )

x 0 π2 π

3π2 2π

π6 π

4 π

3

sin x 0 1 0 -1 0 12 2

2 3

2

cos x 1 0 -1 0 1 3 2 2

2

12

La fonction sinus est impaire : pour tout réel x, on a sin (-x) = -sin x (Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour centre de symétrie l'origine du repère).

La fonction sinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (sin x )'''' = cos x

La fonction cosinus est paire : pour tout réel x, on a cos (-x) = cos x (Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées).

La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (cos x )'''' = - sin x

La fonction tangente est impaire : pour tout x ≠ π2 [π] , on a tan(-x) = -tan x

(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour centre de symétrie l'origine du repère).

La fonction tangente est dérivable sur tout intervalle dans lequel elle est définie et

sa dérivée est : (tan x )'''' = 1 + tan2 x = 1

cos2 x

x x sin x

cos x 1

1

π 0

π2

π3

π4

π6

3π2

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x + π2

π2 - x

x + π

π − x x

x

Correspondances

Pour tout réel x :

sin

π

2 - x = cos x ; cos

π

2 - x = sin x

sin

x + π2 = cos x ; cos

x + π2 = - sin x

sin (π - x) = sin x ; cos (π - x) = - cos x

cos (x + π) = - cos x ; sin (x + π) = - sin x Il faut savoir retrouver toutes ces égalités à partir du dessin.

Formules d'addition et de duplication

Pour tous réels a et b :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b ; sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b ; sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

cos (2a) = cos2 a - sin2

a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2

a

sin (2a) = 2 sin a cos a

Résolution d'équations

α étant un réel fixé :

cos x = cos α ⇔

x = α + 2kπou

x = -α + 2kπk ∈ ZZ

α étant un réel fixé :

sin x = sin α ⇔

x = α + 2kπou

x = π -α + 2kπk ∈ ZZ

α + 2kπ

-α + 2kπ

π - α + 2kπ α + 2kπ

Documents

Nombres complexes - Cours et Exercices de Mathématiquesx.maths.free.fr/revisions/ts/fiches/TSfichescours.pdf · TS - Fiche de cours : Nombres complexes 1 / 4 Nombres complexes Définition