I3-5 — Mécanique des Structures I Solides Elastiquesjerome.massol2.free.fr/44_elas_cours_i3_5_0__cours_prof.pdf · 2016. 9. 17. · En écrivant l’équilibre des moments on obtient

Département Génie Mécanique

I3-5 — Mécanique des Structures ISolides Elastiques

Septembre 2011Frank Petitjean

Table des matières

I. Cours 5

1. Équations d’équilibre 71. Modélisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Exemples d’équilibre élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176. Cas des poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Étude des contraintes 271. Directions et contraintes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. Représentation de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. États de contraintes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364. Élasticité plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415. Critères limites d’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Étude des déformations 511. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512. Transformation d’un milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513. Tenseurs des petites déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584. Puissance de déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605. Changement de repère et déformations principales . . . . . . . . . . . . . . . . . 616. États de déformation remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627. Cercle de Mohr des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638. Mesure des déformations par extensométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4. Comportement des matériaux 691. Les matériaux homogènes, isotropes, élastiques, linéaires . . . . . . . . . . . . . . 692. Loi de comportement élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703. Interprétation des coefficients d’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724. Formulation ingénieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765. Cas de l’élasticité plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786. Vecteurs et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817. Opérateurs différentiels (en coordonnées cartésiennes) . . . . . . . . . . . . . . . 838. Formulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

II. Travaux Dirigés 87

1. TD n°1 - Équations d’équilibre et contraintes 89

2. TD n°2 - Étude des contraintes 99

3

Table des matières

3. TD n°3 - Étude des déformation 111

4. TD n°4 - Loi de Hooke 129

4

Première partie .

Cours

5

Équations d’équilibre 1L’objet de ce chapitre est d’écrire les équations d’équilibre d’un corps solide. Cela nécessite

de savoir représenter les efforts extérieurs et intérieurs (section 3). Les efforts intérieurs sontintroduits par le biais du principe de la coupure. Ceci conduit à introduire la notion fondamentalede contrainte.La notion de contrainte étant définie (section 2), on sera en mesure d’écrire les équations

d’équilibre (section 3).

1. Modélisation des efforts

1.1. Hypothèses géométriques

En mécaniques des milieux continus on étudie les corps tridimensionnels sans hypothèse par-ticulière sur le solide : Ω ∈ R3

1.2. Efforts extérieurs

On distingue 2 systèmes de forces extérieures.

Forces de contour C’est une densité de force surfacique exercée sur élément du contour ∂Ω deΩ d’aire élémentaire da ; elle représente les actions de contact.

Fs (M) , M ∈ ∂Ω

Force volumique C’est une densité volumique de force agissant sur chaque élément de volumeélémentaire dΩ de Ω ; elle représente les actions à distance.

fv (M) , M ∈ Ω

7

Équations d’équilibre

Exemples de forces volumiques :

– Forces de gravité : poids propre

f̄v (M) = ρ (M) ḡ alors P =ˆ

Ωf̄v (M) dv = mḡ

– Forces d’inertie : disque en rotation (en coordonnées polaires)

f̄v (M) = ρω2r

1.3. Efforts intérieursPremier postulat de Cauchy (principe de la coupure) : En un point M quelconque,

les efforts s’exerçant sur un sous domaine Ω′ intérieur à Ω se réduisent à une densité surfaciqued’efforts de contact

df = T(M,∂Ω′

)da

exercés sur chaque éléments de frontière da. Cette densité dépend a priori de la forme locale del’interface ∂Ω′.

Définition La densité surfacique T (M,∂Ω′) à travers une interface intérieur ∂Ω′ est appeléevecteur contrainte. Elle mesure la densité surfacique d’efforts exercés à travers la face d’aireda et de normale n̄ par la partie située à l’extérieur de Ω′ (signe +) sur la partie située àl’intérieur (signe -).

Le vecteur contrainte est parfois défini comme la limite

T(M,∂Ω′

)= lim

da→0

df

da

8

1 Modélisation des efforts

Second postulat de Cauchy : Le vecteur contrainte T (M,∂Ω′) ne dépend que de la nor-male n̄ à la surface

T(M,∂Ω′

)= T (M, n̄)

Remarques :

1. L’effort de contact au point M , à l’intérieur du milieu, est le même pour deux interfacesde même normale mais de courbure différente.

2. Cette hypothèse est en particulier vraie pour un liquide exerçant une pression −pn̄ surtoute surface de normale n̄.Pour un solide, l’effort de contact dépend également de la normale mais n’est plus néces-sairement orienté suivant cette normale (Cauchy parle de pression oblique).

A priori le vecteur contrainte T (M, n̄) est une fonction quelconque de n̄.

Théorème (Premier théorème de Cauchy) Le vecteur contrainte T (M, n̄) exercé surla face intérieure du milieu continu dépend linéairement de la normale n̄ à cette interface :

T (M,n1ē1 + n2ē2 + n3ē3) = n1T (M, ē1) + n2T (M, ē2) + n3T (M, ē3) (1-1)

Proposition (Principe de l’action réaction) La propriété de linéarité du vecteur contrainteest cohérente avec le principe de l’action réaction :

T (M, n̄) = −T (M,−n̄)


2. Tenseur des contraintes de Cauchy2.1. Notion de vecteur contrainteLe vecteur contrainte T (M, n̄) représente la densité d’efforts surfaciques, au point M , exercée

à travers une interface de normale n̄.On définit la composante normale (ou contrainte normale) par

σn = T (M, n̄) .n̄ (1-2)

c’est une grandeur scalaire qui est positive en traction (c’est à dire quand l’extérieur exerce uneffort dirigé vers l’extérieur) et négative en compression.On définit la composante tangentielle (ou contrainte tangentielle) comme la partie com-

plémentaire :

τ̄ = T (M, n̄)− σnn̄ (1-3)

c’est une grandeur vectorielle portée par la facette ; elle correspond à un effort de cisaillement.

On a la relation de Pythagore : ∣∣∣T (M, n̄)∣∣∣2 = σ2n + |τ̄ |2 (1-4)2.2. Formule de CauchyThéorème (Formule de Cauchy) La propriété de linéarité (1-1) du théorème de Cauchyimplique l’existence d’un tenseur d’ordre 2, noté ¯̄σ (M), tel que, pour tout vecteur n̄

T (M, n̄) = ¯̄σ (M) .n̄ (1-5)

la grandeur ¯̄σ (M) est appelé le tenseur des contraintes de Cauchy au point M .

Le tenseur ¯̄σ (M) défini une application linéaire par la relation (1-5). Il peut être représenté parla matrice de ses composantes dans la base quelconque (ē1, ē2, ē3) :

[σ (M)](ēi) =

T (M, ē1) T (M, ē2) T (M, ē3)

ē1 σ11 σ12 σ13ē2 σ21 σ22 σ23ē3 σ31 σ32 σ33

10

2 Tenseur des contraintes de Cauchy

La formule de Cauchy (1-5) s’écrit alors sous la forme du produit matrice-vecteur :

{T} = [σ] {n} ⇐⇒ Ti =3∑j=1

σijnj ⇐⇒ Ti = σijnj (1-6)

Le tenseur des contrainte doit être noté ¯̄σ. Si on travaille avec des composantes on note σij etsi l’on écrit un formule matricielle on écrira [σ].

2.3. Interprétation des composantes du tenseur de CauchyOn note σij les composantes du tenseur ¯̄σ dans la base (ē1, ē2, ē3). Par définition, le vecteur

contrainte T (M, n̄) relatif à la facette de normal n̄ = ē3 s’écrit

T (M, ē3) = σ13ē1 + σ23ē2 + σ33ē3 = σ33n̄+ τ̄

avec τ̄ = σ13ē1 + σ23ē2

Interprétation :– σ33 est la composante normale ;– σ13 et σ23 sont les composantes tangentielles.

En appliquant ce même raisonnement pour les 2 autres directions on obtient la règle suivante :– les composantes diagonales σii sont les contraintes normales relativement aux 3 directionsOx1, Ox2, Ox3 ;

– les composantes extra diagonales σij (i 6= j) sont les composantes tangentielles sur les 3facettes.

Cette analyse permet de donner un sens particulier aux composantes du tenseur des contraintesen coordonnées cartésiennes. En effet, le vecteur

T (M, ē1) = σ11ē1 + σ21ē2 + σ31ē3

est le vecteur contrainte relatif à la facette de normale ē1. De même, le vecteur

T (M, ē2) = σ12ē1 + σ22ē2 + σ32ē3

est le vecteur contrainte relatif à la facette de normale ē2 ; et le vecteur

T (M, ē3) = σ13ē1 + σ23ē2 + σ33ē3

est le vecteur contrainte relatif à la facette de normale ē3.Représentation classiques des composantes du tenseur des contraintes sur un élément de vo-

lume (système de coordonnées cartésiennes).


2.4. Différents systèmes de coordonnées

Représentention d’un élément de volume selon– un système de coordonnées cartésiennes

Repère cartésien Élément de volume

– un système de coordonnées cylindriquesRepère cylindrique Élément de volume

3. Équations d’équilibre

3.1. Équilibre d’un volume élémentaire

Pour déterminer les équations d’équilibre dans le solide on se pose le problème suivant.

Problème Étant donnés un solide Ω et le système de forces extérieures constitué– des forces de contour F s (M) sur ∂Ω– des forces de volume f̄v (M) dans Ωpeut on déterminer les efforts intérieurs, c’est à dire le champ de contrainte ¯̄σ (M) en tout

point M ∈ Ω.

La réponse est construite en 3 étapes.

Étape 1. Vérification au préalable de l’équilibre globale de la structure sous l’action des forcesextérieures : [Fe] = 0. Soit

∑Forces = 0 ⇐⇒

ˆΩf̄v (M) dv +

ˆ∂ΩFs (M) da = 0

∑Moments = 0 ⇐⇒

ˆΩOM ∧ f̄v (M) dv +

ˆ∂ΩOM ∧ F s (M) da = 0

Étape 2.

12

3 Équations d’équilibre

1. On applique le principe de la coupure en isolant un élément de volume dx×dy×dz parallèleaux directions Ox,Oy,Oz (système de coordonnées cartésiennes). Cet élément de volumeinfinitésimal est soumis à une force globale f̄vdv et à des forces de surface sur chacune des6 faces données par la formule de Cauchy :

T (M, n̄) = ¯̄σ (M) .n̄ , avec n̄ = ēx,−ēx, ēy,−ēy, ēz,−ēz

2. Par un développement limité à l’ordre 1 de la fonction de M → σxx (M) au point M , onécrit la composante σxx au pointMdx de coordonnées (x+dx, y, z) en fonction de σxx (M) :

σxx (x+ dx, y, z) = σxx +∂σxx∂x

dx+ o (dx)

3. On écrit les équations différentielles traduisant l’équilibre statique de l’élément de volumedans les 3 directions.

Cas de l’équilibre suivant Ox : bilan des forces suivant la direction ēx qui s’exerce sur les 6 facesdu cube

R/Ox =

(σxx +∂σxx∂x

dx)dy dz − σxxdy dz

+ (σxy +∂σxy∂y

dy)dx dz − σxydx dz

+ (σxz +∂σxz∂z

dz)dx dy − σxzdx dy

+ fxdx dy dz = 0Tous calculs fait on obtient– Équilibre suivant la directions ēx

∂σxx∂x

+ ∂σxy∂y

+ ∂σxz∂z

+ fvx = 0

– Équilibre suivant la directions ēy

∂σyx∂x

+ ∂σyy∂y

+ ∂σyz∂z

+ fvy = 0

– Équilibre suivant la directions ēz

∂σzx∂x

+ ∂σzy∂y

+ ∂σzz∂z

+ fvz = 0

Étape 3. Condition de raccordement (ou conditions limites) Le champ de contrainte ¯̄σ (M)solution doit vérifier les conditions limites sur le contour de Ω. Ces conditions sont données parla force surfacique F s (M) sur ∂Ω.La condition de raccordement impose qu’en tout pointM ∈ ∂Ω, le vecteur contrainte T (M, n̄)

soit égale à la force surfacique donnée :

T (M, n̄) = F s (M) , M ∈ ∂Ω

où n̄ est la normale à la surface en M .En appliquant la formule de Cauchy on obtient la condition :

¯̄σ (M) n̄ = F s (M) , M ∈ ∂Ω


Exemple de conditions de raccordement On considère un tube cylindrique sous pressionextérieure :

Condition de raccordement en tout point extérieur au cylindre

T (M, n̄1) = −pēr⇒ σrr (M) = −p , σθr (M) = σzr (M) = 0

∀M tel que r = Re

Condition de raccordement en tout point intérieur au cylindre

T (M, n̄2) = 0

⇒ σrr (M) = σθr (M) = σzr (M) = 0

∀M tel que r = Ri

On a la définition suivante

Définition Le champ de contrainte ¯̄σ (M) est dit statiquement admissible (SA) s’il vé-rifie

1. les équations d’équilibre :

∂σxx∂x

+ ∂σxy∂y

+ ∂σxz∂z

+ fvx = 0 (1-7a)

∂σyx∂x

+ ∂σyy∂y

+ ∂σyz∂z

+ fvy = 0 (1-7b)

∂σzx∂x

+ ∂σzy∂y

+ ∂σzz∂z

+ fvz = 0 (1-7c)

2. les conditions limites sur δΩ :

T (M, n̄) = ¯̄σ (M) .n̄ = F s(M) pour tout M ∈ ∂Ω (1-8)

3.2. Symétrie du tenseur des contraintesLes équations d’équilibre (1-7) ont été obtenues en exploitant la seule condition de nullité des

forces. En écrivant l’équilibre des moments on obtient des restrictions sur les formes possibles

14

4 Exemples d’équilibre élastique

du tenseur des contraintes.

Théorème (Deuxième théorème de Cauchy) Le tenseur de Cauchy est symétrique,c’est à dire qu’il vérifie

¯̄σ = t¯̄σ ⇐⇒ [σ] = t[σ] ⇐⇒ σij = σji

Par conséquent, ¯̄σ ne possède que 6 composantes indépendantes.Illustration sur un élément de volume en coordonnées cartésiennes :

4. Exemples d’équilibre élastique4.1. Équilibre élastique d’une barre cylindrique en traction-compressionOn considère un corps Ω de forme cylindrique avec les conditions de chargement suivant :

– Force volumique nulle :f̄v = 0 sur Ω

– Surface latérale libre de contrainte :

FS = 0 sur ∂Ω− (S0 ∪ Sj)

– Conditions aux limites mixtes aux extrémités :

FS = −F ēx sur S0

FS = F ēx sur Sl


Le champ de contrainte homogène ¯̄σ donné, dans le repère (ēx, ēy, ēz), par la matrice des com-posantes

[σ (M)] =

F 0 00 0 00 0 0

est statiquement admissible. En effet, il vérifie :– les équations d’équilibre, puisque ¯̄σ est indépendant de M et donc toutes les dérivées deM → ¯̄σ (M) sont nulles et f̄v = 0.

– les conditions limites¯̄σ (M) .n̄ = F s (M) , M ∈ ∂Ω

puisque F 0 00 0 00 0 0

100

=F

00

, F 0 00 0 0

0 0 0

−100

=−F00

4.2. Équilibre élastique d’une sphère creuse sous pressionOn considère une enveloppe sphérique de centre O de rayons r0 et r1. On se place dans un

système de coordonnées sphériques (O, ēr, ēθ, ēφ).– Les données sur les contours ne portent que sur les forces surfaciques (pas de déplacementimposé) :– Pression uniforme p0 à l’intérieur :

FS (M) = p0ēr pour r = r0 (∂S0)

– Pression uniforme p1 à l’extérieur :

FS (M) = −p1ēr pour r = r1 (∂S1)

– Les force de volumes sont nulles :

f̄v (M) = 0 sur Ω

La solution de ce problème d’élasticité est donnés par (cf. cours I3-6)

[σ (r)] =

−2Br3

+A 0 0

0 Br3

+A 0

0 0 Br3

+A

16

5 Équations du mouvement

avec les constantes

A = p0r30 − p1r31r31 − r30

, B = 12 (p0 − p1)r30r

31

r31 − r30On peut remarquer que dans ce repère, la matrice des contraintes est diagonale. Les compo-

santes tangentielles sont donc nulles.

5. Équations du mouvementLe principe fondementale de la statique nous a permis d’obtenir des équations d’équilibre

(1-7). On se propose dans cette section d’obtenir les équations du mouvement en appliquant leprincipe fondamental de la dynamique.

5.1. Principe fondamental de la dynamiqueOn considère un milieu continu Ω en mouvement sous l’action de forces extérieures qui sont les

forces de volume f̄v et les forces de surface FS . On applique le principe de la coupure qui consisteà exprimer l’équilibre mécanique d’une sous partie quelconque ω ⊂ Ω. Les forces exercées sur ωsont :– les forces de volume f̄v (M) ;– les forces surfaciques F ∂ω (M) sur le contour ∂ω de ω ; elles représentent les actions de

contact de Ω sur ω.

Hypothèse et théorème de Cauchy : Ces actions de contact ne dépendent que de la normaleen M à ∂ω et de façon linéaire :

F∂ω (M) = T (M, n̄) = ¯̄σ (M) .n̄

Théorème (Principe fondamental de la dynamique) Pour tout Ω et pour toute souspartie ω ⊂ Ω, le torseur des efforts extérieurs est égale au torseur des quantités d’accélération,ce qui s’écrit :

d

dt

[Rmvt,Mmvt

]=[Rext,M ext

]∀ω ⊂ Ω

Calcul des différents termes :– Torseur des quantités de mouvement de ω

Rmvt =´ω ρv̄dv

Mmvt =´ω OM ∧ ρv̄dv


– Torseur des forces extérieurs agissant sur ω

Rext =´ω f̄

vdv +´∂ω F

∂ωda

M ext =´ω OM ∧ f̄

vdv +´∂ω OM ∧ F

∂ωda

Le principe fondamental de la dynamique s’écrit doncˆω

(ργ̄ − f̄v

)dv =

ˆ∂ωF∂ωda (1-9a)

ˆωOM ∧

(ργ̄ − f̄v

)dv =

ˆ∂ωOM ∧ F ∂ωda (1-9b)

pour tout sous domaine ω ∈ Ω.L’équation (1-9a) traduit la conservation de la quantité de mouvement. En appliquant le

théorème de Cauchy et la formule de la divergence (cf. page 84) pour l’équation (1-9a), onobtient

ˆω

(ργ̄ − f̄v

)dv −

ˆ∂ωF∂ωda =

ˆω

(ργ̄ − f̄v

)dv −

ˆ∂ω

¯̄σ.n̄da

=ˆω

(ργ̄ − f̄v

)dv −

ˆωdiv¯̄σdv

=ˆω

(ργ̄ − f̄v − div¯̄σ

)dv = 0 ∀ω ∈ Ω

5.2. Équations du mouvementL’égalité étant vérifiée pour tout sous domaine ω de Ω, on a l’égalité

ργ̄ − f̄v − div¯̄σ = 0 ∀M ∈ Ω (1-10)

Cette équation (vectorielle) constitue l’équation du mouvement.Lorsque l’accélération γ est nulle (mouvement de translation uniforme) on retrouve les équa-

tions d’équilibre écrites avec l’opérateur divergence

div¯̄σ (M) + f̄v (M) = 0 pour tout M ∈ Ω (1-11)

5.3. Différents systèmes de coordonnéesEn exprimant l’opérateur div¯̄σ dans différents systèmes de coordonnées, on peut écrire les

équations du mouvement en :

– en coordonnées cartésiennes orthonormées

ργx +∂σxx∂x

+ ∂σxy∂y

+ ∂σxz∂z

+ fvx = 0

ργy +∂σyx∂x

+ ∂σyy∂y

+ ∂σyz∂z

+ fvy = 0

ργz +∂σzx∂x

+ ∂σzy∂y

+ ∂σzz∂z

+ fvz = 0

18

6 Cas des poutre

– en coordonnées cylindriques

ργr+∂σrr∂r

+ 1r

∂σrθ∂θ

+ ∂σrz∂z

+ σrr − σθθr

+ fvr = 0

ργθ+∂σθr∂r

+ 1r

∂σθθ∂θ

+ ∂σθz∂z

+ 2σrθr

+ fvθ = 0

ργz+∂σzr∂r

+ 1r

∂σzθ∂θ

+ ∂σzz∂z

+ σzrr

+ fvz = 0

– en coordonnées sphériques

ργr+∂σrr∂r

+ 1r

∂σrθ∂θ

+ 1r sin θ

∂σrϕ∂ϕ

+ 2σrr − σθθ − σϕϕ + σrθ cot θr

+ fr = 0

ργθ+∂σθr∂r

+ 1r

∂σθθ∂θ

+ 1r sin θ

∂σθϕ∂ϕ

+ (σθθ − σϕϕ) cot θ + 3σrθr

+ fθ = 0

ργϕ+∂σϕr∂r

+ 1r

∂σϕθ∂θ

+ 1r sin θ

∂σϕϕ∂ϕ

+ 3σϕr + 2σϕθ cot θr

+ fϕ = 0Dans ce chapitre on cherche à montrer le parallèle entre l’approche en théorie des poutres et

en théorie de l’élasticité. Cette partie sera reprise et approfondie dans la deuxième partie ducours assurée par Philippe Guy.Pour cela, on rappelle tout d’abord les hypothèses associées au modèle poutre :– hypothèses sur la géométrie du solide ;– hypothèses sur la représentation des efforts extérieurs.

6. Cas des poutre6.1. Hypothèses géométriquesLe solide est représenté géométriquement à sa ligne moyenne : c’est un milieu continu unidi-

mensionnel (1-d) également appelé milieu curviligne.

s

Courbe directrice : s = section droite

Section droite

La ligne directrice est décrite par une abscisse curviligne, c’est-à-dire une grandeur scalaire s :c’est le caractère unidimensionnel du solide. Cette courbe est orientée de GA vers GB. Dans lesapplications ordinaires cette courbe est rectiligne mais elle peut être courbe (exemple le formulesde Bress). De même la section est souvent considéré comme constante mais elle peut dépendrede s

6.2. Modélisation des effortsEfforts extérieurs

On définit les efforts extérieurs suivants :


Force de volume dans Ω Le corps étant unidimensionnel, cette force (torseur) s’applique sur laligne moyenne ; elle est constituée d’une force et d’un moment linéique (charge répartie).

f̄ (s) , m̄ (s)

Cela permet de représenter par exemple le poids propre ou l’action du vent.Forces de contour sur ∂Ω Le contour de Ω, autrement dit sa frontière, est constituée des 2

points extrémités de la poutre. Les forces de contour sont donc constituées par les deuxtorseurs aux points GA, GB de la poutre

F [A] ={RA,ΓA

}; F [B] =

{RB,ΓB

}Ces forces permettent de représenter les actions de contact.

s

Efforts intérieurs

Principe de la coupure : on introduit le torseur des efforts intérieurs (torseur de cohésion)

[χ (s)] =[G (s) , RG,ΓG

]Il représente l’action de la partie droite sur la partie gauche (le corps est orienté)

s

Coupure à l'abscisse s

Cet effort peut être décomposé vectoriellement dans un repère relatif à la section droite. Soitn̄ le vecteur unitaire normal à la section, on peut écrire :

RG = NGn̄effort normal

+ V Geffort tranchant

ΓG = CGn̄momoent de torsion

+ MGmoment de flexion

s

20

6 Cas des poutre

6.3. Contraintes dans une poutre

Vecteur contrainte sur une section droite

Reprenons la modélisation des efforts intérieurs définis pour les poutres à la section ??. Onnote

[χ (s)] =[G (s) , RG,ΓG

]les éléments de réduction du torseur de cohésion et T (M, n̄) le vecteur contrainte en un pointM sur la section droite.On a les relations suivantes :

RG =ˆSG

T (M, n̄) da

ΓG =ˆSG

GM ∧ T (M, n̄) da

D’un point de vu physique, le vecteur

df = T (M, n̄) da

représente la force de cohésion sur l’élément de surface d’aire da et de normale n̄ (n̄ gardeune direction constante). D’un point de vu plus mathématique, T (M, n̄) représente une densitésurfacique de force et RG,ΓG apparaissent comme la résultante en G des actions locales deliaison df (M) sur la section droite.

Composantes du vecteur contrainte

On note ēx, ēy, ēz les vecteurs unitaires construis sur les directions Ox,Oy,Oz associées à lasection droite.

Le vecteur contrainte se décompose dans la base (ēx, ēy, ēz)

T (M, ēx) = σxēx + τyxēy + τzxēz= σn̄+ τ̄

où le terme σ = σx représente la contrainte normale (contrainte de traction) et le terme τ̄ =τyxēy + τzxēz représente la contrainte tangentielle (contrainte de cisaillement).

Exemple 1 - Traction simple sur une poutre droite

Cas particulier d’un état de contrainte dans une poutre généré par une traction simple d’axeOx.


On a

RG = Nēx = F ēxOn pose alors

T (M, n̄) = NSēx = σēx

ou S désigne l’aire de la section droite.Bilan :1. Le vecteur contrainte est réduit à sa composante normale σxx = σ.

[σ (M)](ēx,ēy ,ēz) =

σ 0 00 0 00 0 0

2. La contrainte σ = F/S est supposée uniformément répartie sur la section droite.

Exemple 2 - Flexion pure sur une poutre droite

Cas particulier d’un état de contrainte dans une poutre généré par une flexion pure. Onsuppose que les directions Oy et Oz sont parallèles aux axes principaux de la section.

On aRG = 0 et ΓG = M = My ēy +Mz ēz

On montre avec les hypothèses classiques de la RdS (Bernouilli) que

T (M, n̄) = σ (M) ēxavec

σ (M) = MyIGy

z − MzIGz

y

où y, z sont les coordonnées du point M dans le repère (G, x, y, z). On a encore

[σ (M)](ēx,ēy ,ēz) =

σ 0 00 0 00 0 0

22

6 Cas des poutre

Exemple 3 - Cisaillement simple sur une poutre droite

Cas particulier d’un état de contrainte dans une poutre généré par un cisaillement simple.

On aRG = V = Vy ēy + Vz ēz

D’où le vecteur contrainte

T (M, n̄) = τ̄ = τyxēy + τzxēzLe tenseur des contraintes s’écrit

[σ (M)](ēx,ēy ,ēz) =

0 ? ?τyx 0 0τzx 0 0

Symétrie du tenseur des contraintes

Cette forme particulière du tenseur des contraintes a des conséquences sur les contraintesprésentes dans une poutre. On note ēx, ēy, ēz les vecteurs unitaires construis sur les directionsOx,Oy,Oz associées à la section droite.

Par raison de symétrie le tenseur des contraintes s’écrit dans la base (ēx, ēy, ēz)

T (M, ēx) T (M, ēy) T (M, ēz)

σx τxy τxzτyx 0 0τzx 0 0

La symétrie de ¯̄σ impose donc l’existence de contraintes de cisaillement :– sur la facette de normale ēy :

T (M, ēy) = τxy ēx– sur la facette de normale ēz :

T (M, ēz) = τxz ēx


Examinons le cas bien connu d’une poutre soumis à un effort tranchant V G :

Cet effort tranchant se traduit localement (au point M) par l’existence d’une contrainte decisaillement sur la section droite

τyx

La propriété de symétrie du tenseur des contraintes nous assure de l’existence d’une contraintetangentielle réciproque

τxy = τyx

6.4. Équations d’équilibre dans une poutrePour illustrer la démarche qui a conduit aux équations d’équilibre (1-7), reprenons les mêmes

étapes mais dans les cas du modèle poutre.Reprenons les notations de la section ??.

s

On cherche à écrire une relation entre les les efforts extérieurs donnés

[FA] , [FB] , [F (s)]

et les efforts intérieurs inconnus

[χ (s)] pour tout s ∈ [0, l]

Comme précédemment, on procède 3 étapes.

Étape 1 Il convient tout d’abord de s’assurer que les efforts extérieurs donnés sont compatiblesavec la condition d’équilibre statique global. autrement dit, il faut vérifier que le torseur desefforts extérieurs est nul :

[Fe] = 0

Soit les conditions

∑Forces = 0 ⇐⇒ RA +RB +

ˆ l0f̄ (s) = 0

24

6 Cas des poutre

∑Moments = 0 ⇐⇒ ΓA + ΓB +

ˆ l0mG (s) ds

+ˆ l

0OG (s) ∧ f (s) ds

+OA ∧RA +OB ∧RB = 0

Étape 2 Formulation de l’équation d’équilibre. On applique le principe de la coupure pourintroduire les efforts intérieurs. On isole pour cela un élément de longueur élémentaire ds et onexprime principe fondamentale de la statique statique pour cet élément de volume :

[χ (s+ ds)]− [χ (s)] +ˆ ds

0[F (s+ τ)] dτ = 0

s

A l’ordre 1, l’élément de volume est suffisamment petit pour que l’on considère [F (s)] constantentre G et G′, soit :

ˆ ds0

[F (s+ τ)] dτ ≈ [F (s)] ds (vrai à l’ordre 1)

d’où

[χ (s+ ds)]− [χ (s)] + [F (s)] ds = 0

Par passage à la limite on obtient :

d

ds[χ (s)] + [F (s)] = 0⇐⇒

dR

ds(s) + f̄ (s) = 0

dΓds

(s) + n̄ ∧R (s) +m (s) = 0(1-12)

Étape 3 Résolution du problème d’équilibre1. On intègre les équations différentielles

dR

ds(s) + f̄ (s) = 0

dΓds

(s) + n̄ ∧R (s) +m (s) = 0

2. On détermine les constantes d’intégration en utilisant les conditions limites.Conditions limites : valeurs du torseur [χ (s)] sur le contour ∂Ω de Ω– pour s = 0, [χ (s)] = [FA]– pour s = l, [χ (s)] = [FB]


Exemple classique d’une poutre droite dans un repère cartésien (i.e s = x)

On considère le chargement chargement extérieur suivant :

[f(x)] =[G (x) , f̄ (x) , m̄ (x)

]avec

f̄ (x) = fy ēym (x) = 0Le torseur des efforts intérieurs s’écrit :

[χ(x)] =[G (x) , R, Γ̄

]avec

R = Nēx + VΓ = Cēx +MEn appliquant les formules (1-12) on obtient les équations d’équilibre classique :

dN

dx= 0; dVy

dx= fy;

dVzdx

= 0

dC

dx= 0; dMy

dx− Vz = 0

dMzdx

+ Vy = 0

26

Étude des contraintes 2La notion de contrainte est centrale en élasticité. Cette section, plus pratique que la précédente,

est entièrement consacrée à l’étude des contraintes.

1. Directions et contraintes principales1.1. Changement de repèreOn considère un milieu continu Ω et on s’intéresse aux propriétés du tenseur des contraintes

¯̄σ (M) en un point M quelconque de Ω. Soit [σij ] le matrice des composantes du tenseur ¯̄σ dansla base (ēi). On considère une deuxième base (ē′i) pour laquelle on connait la matrice de passage[R] = [αij ] de (ēi)→ (ē′i).

ē′i =3∑j=1

αij ēj avec αij = ē′i.ēj (2-1)

la matrice [R] est appelée la matrice des cosinus directeur ; c’est un matrice de rotation, ellevérifie

[R]−1 = t[R]

Les composantes de ¯̄σ dans la base (ē′i) sont données par la matrice

[σ′]

= [R] [σ] t[R] (2-2)

Cette expression constitue la formule de changement de repère.

1.2. Directions et contraintes principales1.2.1. Problématique

SoitT (M, n̄) = σnn̄+ τ̄

le vecteur contrainte point M sur une facette quelconque de normale n̄.

27

Étude des contraintes

Question : Existe t-il, en ce point, une direction particulière n̄0 telle que le vecteur contraintesur cette facette soit colinéaire avec n̄, autrement dit telle que la composante tangentielle soitnulle ?Éléments de réponse : On cherche la direction n̄0 telle que

T (M, n̄0) = σnn̄0

La formule de Cauchy permet d’écrire

¯̄σ (M) n̄0 = σnn̄0

Alors n̄0 est une direction propre de ¯̄σ associée à la valeur propre σn

1.2.2. Résultat d’algèbre

Théorème Le tenseur de Cauchy ¯̄σ étant symétrique, Il possède 3 valeurs propres réelles (dis-tinctes ou confondues) σ1, σ2, σ3 et 3 directions propres Ox1, Ox2, Ox3. Il est donc toujourspossible de définir une base orthonormée propres (ē1, ē2, ē3) construit sur les directions propresOx1, Ox2, Ox3.

1. Les contraintes σ1, σ2, σ3 sont appelées les contraintes principales.2. Les directions propres sont les directions principales (des contraintes).

Remarques1. Sur chacune des facettes orientées selon une direction principale, le vecteur contrainte vaut

T (M, ēi) = σiēi , i = 1, 2, 3

Autrement dit, T (M, ēi) est purement normal (pas de cisaillement) et sa norme est égaleà la contrainte principale associée σi.

2. Les 6 composantes indépendantes du tenseur (6 ddl) correspondent à :– 3 paramètres d’orientation (les directions principales)– 3 paramètres d’intensité (les contraintes principales)

1.2.3. Calcul des contraintes principales

Dans la base (ēi) orientée selon les directions principales, les composantes de ¯̄σ forment unematrice diagonale :

[σ](ēi) =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

Les contraintes principales σ1, σ2, σ3 sont les racines du polynômes caractéristiques :

28

2 Représentation de Mohr

det ([σ]− λ [I]) = −λ3 + I1λ2 − I2λ+ I3

où I1, I2, I3 sont des fonctions des σi définis par

I1 = tr [σ] = σ1 + σ2 + σ3

I2 = 12[(tr [σ])2 − tr

([σ]2

)]I3 = det [σ]

(2-3)

2. Représentation de Mohr

2.1. Plan de Mohr

On se place en un pontM fixe de Ω et on suppose que l’on connait ¯̄σ (M) par ses composantesσij dans une base quelconque. Dans la représentation de Mohr on s’intéresse fondamentalementaux composantes du vecteur contrainte

T (M, n̄) = σnn̄+ τ̄

lorsque la facette tourne autour de M . On peut définir dans le plan (n̄, T (M, n̄)) un vecteurunitaire t̄ orthogonal à n̄ ; son orientation est arbitraire. Le plan

(M, n̄, t̄

)est attaché à la facette,

il bouge lorsque la facette tourne.

Représentation de la facette dans l’espace Représentation dans le plan(M, n̄, t̄

)

L’orientation de l’axe Mτ étant choisie on peut définir le scalaire τ = Mτ tel que

τ̄ = τ t̄

Pour chaque orientation de la facette, on peut donc déterminer les composantes σ, τ de T (n̄)dans le repère de la facette :

T (n̄) = σn̄+ τ t̄

Définition La représentation de Mohr consiste à tracer l’extrémité du vecteur contrainteT (n̄) dans un plan virtuel auxiliaire, lié à la facette, et défini par les axes orthogonaux Oσet Oτ tels que

(Oσ,Oτ

)= +π/2. Ce plan est appelé le plan de Mohr.


σ

τ

O

σ

τ T = (σ, τ)

+π2

Pour chaque vecteur T (n̄) on reporte les composantes (σ, τ) dans le plan de Mohr. Le point

T = (σ, τ)

représente dans le plan l’extrémité du vecteur contrainte T (n̄).Le tableau présente différentes représentations du vecteur contrainte

T (M, n̄) = σnn̄+ τ̄

lorsque la facette tourne autour de M

Représentation de la facettedans l’espace

Représentation dans le plan(n̄, t̄) Plan de Mohr (Oσ,Oτ)

σ

τ

O

σ

τ T = (σ, τ)

+π2

On définit dans le plan(n̄, T (M, n̄)

)le vecteur

unitaire t̄ orthogonal à n̄

On choisi l’orientation duvecteur t̄ de sorte depouvoir définir τ̄ = τ t̄

Pour chaque orientation den̄ on place le point

T = (σ, τ) dans le plan deMohr.

Table 2.1.: représentations du vecteur contrainte

2.2. Cercles de MohrOn cherche à tracer, dans le plan de Mohr, l’extrémité du vecteur contrainte lorsque n̄ varie

(i.e. lorsque la facette tourne autour de M). Comme le tenseur des contraintes ¯̄σ ne dépendantpas de l’orientation de la facette, on va chercher à exprimer σ, τ en fonction des composantes de¯̄σ dans le repère principal.

Étape 1 On se place dans le repère (ē1, ē2, ē3) dirigé suivant les directions principales de ¯̄σ :

[σ](ēi) =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

30


Dans un premier temps, on se limite aux facettes parallèles à la direction Ox3 ; ainsi,

n̄ appartient au plan (Mx1x2) .

Cela correspond aux rotations de la facette autour de l’axe Mx3. On note θ l’angle entre ē1 etn̄ :

θ = (ē1, n̄)

Étape 2 On oriente le vecteur t̄ (vecteur unitaire dans le plan (T (n̄), n̄), normal à n̄) de telsorte que

le trièdre(n̄, t̄, ē3

)soit direct

n̄t̄

T (n̄)

σ

τ

x1

x2+

θ

M

Remarque La possibilité de choisir une orientation pour le vecteur t̄ (avec le choix du trièdre(n̄, t̄, ē3

)direct) permet de définir le signe pour la contrainte tangentielle τ , avec τ̄ = τ t̄.

Étape 3 On a d’une part la relation vectorielle

T (n̄) = σn̄+ τ t̄ (2-4)

D’autre part, on a la relation de Cauchy

T (n̄) = ¯̄σn̄

soit, en terme de composantes dans repère principale (ē1, ē2, ē3),

{T (n̄)} = [σ](ē1,ē2,ē3){n}

=

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

cos θsin θ

0

=σ1 cos θσ2 sin θ

0

autrement dit

T (n̄) = σ1 cos θē1 + σ2 sin θē2 (2-5)


Pour égaler les 2 expressions de T (n̄), on projette l’équation (2-5) dans le repère de la facette(n̄, t̄). On a

ē1 = cos θn̄− sin θt̄

ē2 = sin θn̄+ cos θt̄

d’où, en remplaçant ē1, ē2 dans (2-5),

T (n̄) =(σ1 cos2 θ + σ2 sin2 θ

)n̄

− (σ1 cos θ sin θ + σ2 cos θ sin θ) t̄

n̄t̄

M x1

x2 +

θ

On obtient par identification les relations

σ = σ1 cos2 θ + σ2 sin2 θ (2-6a)

τ = −σ1 cos θ sin θ + σ2 cos θ sin θ (2-6b)

Étape 4 Transformation trigonométriqueOn peut exprimer σ (θ) , τ (θ) en fonction de l’angle double en utilisant les formules trigono-

métriques2 cos θ sin θ = sin 2θ, 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ, 2 sin2 θ = 1− cos 2θ

On obtient ainsi

σ = σ1 + σ22 +σ1 − σ2

2 cos (−2θ) (2-7a)

τ = σ1 − σ22 sin (−2θ) (2-7b)

On reconnait la description paramétrique en θM = −2θ d’un cercle de centre OM = (d, 0) etde rayon R :

σ = d+R cos θM

τ = 0 +R sin θM

avecd = σ1 + σ22 et R =

|σ1 − σ2|2

Bilan

Lorsque la facette tourne d’un angle θ autour de la direction de la contrainte principaleσ3, l’extrémité du vecteur contrainte (point T ) tourne sur le cercle de Mohr d’un angleθM = −2θ (angle double et opposé). θM est l’angle entre l’axe Oσ et le rayon-vecteur OMT .

32


T (n̄) = σn̄+ τ t̄σ = d+R cos (θM )τ = 0 +R sin (θM )

n̄

t̄

M T (n̄)

σ

τ

x1

x2

θ

σ

τ

O

OM

T

σ

τ

θM

R

2.3. Points remarquables sur le cercle

1. Pour θ = 0, on a θM = 0, σ = σ1 et τ = 0

x1

x2

M

T (n̄)n̄

t̄

σ1 σ

τ

O

OM T σ1

θM = 0

2. Pour θ = π/2, on a θM = −π, σ = σ2 et τ = 0, ce qui correspond aux 2 facettes dirigéesselon les directions principales 1 et 2.

x1

x2

n̄

t̄

M

T (n̄)θ = π2σ2

σ

τ

O OMTσ2

θM = −π

3. Pour θ = π/4, on a θM = −π/2, σ = 12 (σ1 + σ2) et τ = τmax (dans le plan (ē1, ē2))


x1

x2

n̄t̄

MT (n̄)

σ

τ

θ = π4σ

τ

O OM

T

σ

τ

θM = −π

2

2.4. Propriétés déduites du cercles de Mohr

Propriété 1 : Symétrie par rapport à l’axe Oσ

Sur 2 facettes symétriques par rapport aux directions principales s’exercent des contraintesnormales égales et des contraintes tangentielles opposées.

x1

x2

n̄

t̄

M

T (n̄)

σ

τ

θ σ

τ

O

OM

T

σ

τ

θM = −2θ

x1

x2

n̄

t̄

M

T (n̄)

σ

τ

−θ

n̄′t̄

MT′ (n̄)

σ

−τ

θ

σ

τ

O

OM

T

σ

τ

σ

τ

θM = −2θ

T

σ

τ

−θM = 2θ

Propriété 2 : Symétrie par rapport au centre OMSur 2 facettes orthogonales s’exercent des contraintes tangentielles opposées.

34


x1

x2

n̄1

t̄

MT (n̄1)

σn1

τ

θ

n̄2

t̄

M

T (n̄2)

σn2

−τ

π

2 − θ

σ

τ

O

OM

T1

σn1

τ

θMO

OM

T1

σn2

−τ θM − π

2.5. Tricercle de Mohr

En suivant le même raisonnement que précédemment on peut construire deux autres cerclesde Mohr représentant l’extrémité du vecteur contrainte lorsque la facette tourne autour des deuxautres directions principales.On suppose que les contraintes principales sont ordonnées telles que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 et que le

trièdre associé aux directions principales 1, 2, 3 est direct.

Théorème Pour toute facette, l’extrémité T = (σ, τ) du vecteur contrainte appartient à l’espacedu plan de Mohr compris entre le grand cercle de Mohr et les 2 cercles plus petits.

σ

τ

O

σ3 σ2 σ1

T

σ

τ

Corollaire La contrainte normale maximale (respect. minimale) est égale à σ1 (respect. σ3) ;elle s’exerce sur la facette normale à la direction principale 1. (respect. 3). L’expression généraleest

σmax = max (σi, i = 1, 2, 3) (2-8)

Corollaire La contrainte tangentielle maximale (en valeur absolue) est égale à |σ1 − σ3| /2(rayon du grand cercle de Mohr) ; elle s’exerce sur les facettes parallèles à la direction principale2 et inclinée à ±π/4 sur les directions principales 1 et 3. On peut écrire

τmax = max(

12 |σi − σj | , i, j = 1, 2, 3

)(2-9)


σ

τ

Oσ3 σ2 σ1

T

σ

τ

OM2

τmax

σmax

3. États de contraintes remarquables3.1. État de contrainte uniaxialDéfinition Soit (ēi) une base orthonormée. On appelle tenseur des contraintes uniaxial dans ladirection ē1 et d’intensité σ, le tenseur ¯̄σ tel que ses composantes dans la base (ēi) soient

[σ](ēi) =

σ 0 00 0 00 0 0

autrement dit, tel que

T (ē1) = σē1, T (ē2) = T (ē3) = 0

Conséquence Les directions Ox1, Ox2, Ox3 sont les 3 directions principales associées respecti-vement aux contraintes principales σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0.

Exemple C’est l’état de contrainte que l’on observe dans un barreau cylindrique d’axe Ox1soumis à une traction uniforme.

Cercles de Mohr pour un état de contrainte uniaxial Il n’y a qu’un cercle de Mohr corres-pondant à l’état de contrainte uniaxial

[σ] =

σ 0 00 0 00 0 0

σ

τ

O OM

σ2 = σ3 = 0 σ1 = σ

36

3 États de contraintes remarquables

La contrainte tangentielle maximale τmax > 0 vaut

τmax =σ12

et l’orientation de la facette correspondante est donnée par l’angle θ = (n̄, ē1)

θM =π

2 ⇒ θ = −θM2 = −

π

4

σ

τ

O OM

σ2 = σ3 = 0 σ1 = σ

θM = π2

Tτmax

Représentation du vecteur contrainte T (n̄) = σn̄+τ t̄ dans le repère (ē1, ē2), ainsi que le pointT = (σ, τ) dans le plan de Mohr, lorsque la facette tourne autour de l’axe Ox3 d’un angle θ– θ = 0

x1

x2

n̄

t̄

M

T (n̄)σ

τ

O

OM T (n̄)σ

– θ = −π4

x1

x2

n̄

t̄

M

T (n̄) = σ2(n̄+ t̄

)

σ

τ

θ = −π4σ

τ

O OM

θM = π2

T

– θ = −π2


x1

x2

n̄

t̄

M T (n̄) = 0

θ = −π2

σ

τ

O

OM

θM = π

T

σ = 0

3.2. État de contrainte biaxial (ou plan)Définition Soit (ēi) une base orthonormée. On appelle tenseur plan (relativement au planOx1x2) le tenseur ¯̄σ tel que ses composantes dans la base (ēi) soient

[σ](ēi) =

σ11 σ12 0σ21 σ22 00 0 0

autrement dit, tel queT (ē3) = 0

Conséquence La directions Ox3 est une direction principale associées à la contrainte principale0. Les 2 autres directions principales sont nécessairement dans le plan Ox1x2.

Exemple Tenseur des contraintes en un point d’une surface libre, c’est à dire un pointM ∈ ∂Ωtel que F s (M) = 0. On a en effet

T (M, n̄) = ¯̄σ (M) n̄ = 0

Le tenseur ¯̄σ (M) est plan relativement au plan tangent en M à ∂Ω.

Cercles de Mohr pour un état de contrainte plan On considère l’état de contrainte bi-axialdonné dans le repère des directions principales par

[σ](ēi) =

σ1 0 00 σ2 00 0 0

On peut distinguer 3 situations selon le signe des contraintes principales. Pour chacune des

situations on peut tracer les cercles de Mohr et calculer la valeur de la contrainte tangentiellemaximale τmax.

38

3 États de contraintes remarquables

Cas 0 < σ2 < σ1, on a τmax = σ1/2

σ

τ

O

σ3 σ2 σ1

τmax

OM2

Cas σ2 < 0 < σ1, on a τmax = (σ1 − σ2) /2

σ

τ

O

σ2 σ3 σ1

τmax

OM3

Cas σ2 < σ1 < 0, on a τmax = −σ2/2

σ

τ

O

σ2 σ1 σ3

τmax

OM1

3.3. État plan de cisaillement ou scission simple

Définition Soit (ēi) une base orthonormée. On appelle tenseur de cisaillement par rapport auxdeux directions x1 et x2 le tenseur ¯̄σ tel que ses composantes dans la base (ēi) soient

[σ](ēi) =

0 τ 0τ 0 00 0 0

Conséquence Les contraintes principales et les directions principales (dans la base (ēi)) sont :

σ1 = τ, σ2 = −τ, σ3 = 0

n̄1 =1√2

110

, n̄2 =1√2

1−10

, n̄3 =

001

Cercles de Mohr pour un état de cisaillement Les 2 petits cercles de Mohr sont symétriquespar rapport à l’axe vertical.


[σ] =

τ 0 00 −τ 00 0 0

σ

τ

O

τ τ

τmax

3.4. État de contrainte triaxial sphériqueDéfinition On appelle tenseur des contraintes sphérique le tenseur ¯̄σ de la forme

¯̄σ = −p¯̄1 ou [σ] =

−p 0 00 −p 00 0 −p

quelque soit la base. On a donc pour tout vecteur n̄

T (n̄) = −pn̄

Les 3 cercles de Mohr sont réduits au point O, centre du repère.

σ

τ

O

Conséquence Toute direction est direction principale associée à la contrainte principale −p.Si p est positif il s’agit d’une compression (le scalaire p représente la pression), si p est positif ils’agit d’une compression.

Exemple Tout solide Ω soumis à un chargement de la forme

Fs (M) = −pn̄ pour tout M ∈ ∂Ω

40

4 Élasticité plane

4. Élasticité plane4.1. Champ de contrainte plane4.1.1. Définition d’un champ de contrainte plane

On considère une base (ēx, ēy, ēz) et un solide Ω ∈ R3.

Définition Le champ de contrainte ¯̄σ (M) , M ∈ Ω est dit plan, parallèlement à (Oxy) si– ¯̄σ (M) est indépendant de la coordonnée z ;– ¯̄σ (M) est un tenseur plan, relativement au plan (Oxy) c’est à dire si

[σ](ēx,ēy ,ēz) =

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 0

4.1.2. Problème tridimensionnel de contrainte plane

On considère le problème d’équilibre suivant : soit un solide Ω de forme cylindrique, parallèleà (Oxy), d’épaisseur h, soumis aux chargements suivants :– les forces volumiques fv sont parallèles à (Oxy) est indépendantes de z ;– les surfaces S0 et Sh sont libre de contrainte ;– les forces de contour sur la surface latérale sont parallèles à (Oxy) est indépendantes de z :

Fs (M) = Fx (x, y) ēx + Fy (x, y) ēy

Le champ de contrainte solution de ce problème d’élasticité n’est en général pas plan. On acependant le résultat suivant :

Lorsque l’épaisseur h est faible devant S0, ce problème peut être ramené à l’étude d’unproblème plan. Cette simplification est appelée l’approximation des tranches minces.

Représentation des contraintes sur un élément de surface dS0


On écrira les composantes de ¯̄σ sous la forme d’une matrice 2× 2 :

[σ](ēx,ēy ,ēz) =[σxx σxy

σyx σyy

]ou encore [σ] =

[σx τxy

τyx σy

]

4.1.3. Exemples de problèmes assimilables à des problèmes d’élasticité plane

Ballon (film mince) sous pression : état decontrainte biaxial équilibré

Torsion dans un tube mince : état plan decisaillement

4.2. Cercle de Mohr en contrainte planeOn est dans le cas particulier où Oz est une direction principale associée à la contrainte nulle :

T (M, ēz) = 0. On peut donc restreindre les facettes étudiées aux facettes parallèles à la directionOz. Par conséquent, l’extrémité du vecteur contrainte T = (σ, τ) décrit le cercle de Mohr de dediamètre σ1σ2.Rappel : (important) On définit le vecteur unitaire t̄ dans le plan

(M, n̄, T

)tel que le trièdre(

n̄, t̄, ēz)soit orthonormé direct.

On écrit

T (n̄) = σn̄+ τ t̄ dans le repère(n̄, t̄)et T = (σ, τ) dans le plan de Mohr

n̄

t̄

MT (n̄)

σ

τ

x

y

θ

σ

τ

O OM

T

σ

τ

θM = −2θ

OM =(σ1+σ2

2 , 0)

En partant des composantes de ¯̄σ dans le repère des directions principales :

[σ] =[σ1 00 σ2

]

on a obtenue les relations (2-6) (cf. page 32)

σ = σ1 cos2 θ + σ2 sin2 θτ = −σ1 cos θ sin θ + σ2 cos θ sin θ

42


et les mêmes en fonction de l’angle double θM = −2θ (relation (2-7)) :

σ = σ1 + σ22 +σ1 − σ2

2 cos (−2θ)

τ = σ1 − σ22 sin (−2θ)

4.3. Formules du cercle de Mohr en contrainte planeOn cherche à exprimer les composantes (σ, τ) en fonction des composantes de ¯̄σ dans un repère

(ēx, ēy) quelconque :

[σ](ēx,ēy) =[σx τxy

τyx σy

]En appliquant les formules de changement de base, de la base (ēx, ēy) vers la base

(n̄, t̄)(cf.

section 1.1 et exercice 1)

[σ](n̄,t̄) = [R] [σ](ēx,ēy)t[R] avec [R] =

[cos θ sin θ− sin θ cos θ

]

on obtient les relations générales∣∣∣∣∣∣∣∣∣σn = cos2 θσx + sin2 θσy + 2 cos θ sin θτxyσt = sin2 θσx + cos2 θσy − 2 cos θ sin θτxyτnt = − cos θ sin θ (σx − σy) +

(cos2 θ − sin2 θ

)τxy

(2-10)

En identifiant les termes σn avec σ et τnt avec τ , on obtient les formules

σ = σx cos2 θ + σy sin2 θ + 2τxy sin θ cos θ (2-11a)

τ = − (σx − σy) sin θ cos θ + τxy(cos2 θ − sin2 θ

)(2-11b)

Ou encore, en fonction de l’angle double −2θ :

σ = σx + σy2 +σx − σy

2 cos (−2θ)− τxy sin (−2θ) (2-12a)

τ = σx − σy2 sin (−2θ) + τxy cos (−2θ) (2-12b)

On retrouve les formules (2-6) et (2-7) si Ox et Oy sont les directions principales. En effet ona dans ce cas τxy=0.

4.4. Détermination du cercle de Mohr en contrainte planeOn suppose connue les composantes de ¯̄σ dans le repère (ēx, ēy) :

[σ] =

T (M, ēx) T (M, ēy) T (M, ēz)

σx τxy 0τyx σy 00 0 0

Comment tracer le cercle de Mohr de à partir des composantes de ¯̄σ ? On procède en 3 étapes.

Étape 1 On oriente le vecteur unitaire t̄ tel que le trièdre(n̄, t̄, ēz

)soit direct.


Étape 2 Par définition, les scalaires σx, τyx sont les composantes du vecteur contrainte

T (ēx) = σxēx + τyxēy

Comme le repère(n̄, t̄)de la facette de normal n̄ = ēx coïncide avec le repère (ēx, ēy) on peut

écrire

T (ēx) = σxn̄+ τyxt̄

alors l’extrémité Tx du vecteur contrainte T (ēx) dans le plan de Mohr a comme composante

Tx = (σx, τyx)

Étape 3 Les scalaires σy, τxy sont les composantes du vecteur contrainte

T (ēy) = σy ēy + τxy ēx

Or, compte tenu de l’orientation du vecteur t̄ (avec la condition(n̄, t̄, ēz

)direct) on a pour

cette facette :n̄ = ēy , t̄ = −ēx

on peut donc écrire

T (ēx) = σxn̄+−τyxt̄

Ainsi l’extrémité Ty du vecteur contrainte T (ēy) dans le plan de Mohr a comme composante

Ty = (σy,−τxy)

Bilan On dispose de 2 points Tx, Ty sur le cercle de Mohr correspondant à 2 facettes tournéesde π/2. Ces 2 points sont donc diamétralement opposés sur le cercle

Pour construire de façon pratique le cercle de Mohr, on procède comme suit.

44


1. On place dans le plan de Mohr les points Tx = (σx, τyx) et Ty = (σy,−τxy).2. Ces 2 points forment un diamètre TxTy ; l’intersection de ce diamètre avec l’axe Oσ

marque le centre du cercle de Mohr

OM =(σx + σy

2 , 0)

=(σ1 + σ2

2 , 0)

3. Le rayon est donné par Pythagore

R =∥∥∥OMTx∥∥∥ = √(σx − 12 (σx + σy))2 + τ2yx = √ 14 (σx − σy)2 + τ2yx

x

y

n̄

t̄

M

T (ēx)

σx

τyxn̄

t̄

M

T (ēy)σy

τxyσ

τ

O

Tx

σx

τyx

O

Ty

σy

τxy

OM

R

4.5. Utilisation pratique du Cercle de MohrOn connait les composantes de [σ] dans le repère (ēx, ēy) :

[σ] =[σx τxy

τyx σy

]et on cherche à utiliser les propriétés du cercle de Mohr pour déterminer les directions principalesOx1, Ox2 et les contraintes principales σ1, σ2

Solution On trace le cercle selon la méthode indiquée précédemment. L’intersection du cercleavec l’axe Oσ donne σ2, σ1 (on ordonne arbitrairement σ2 ≤ σ1).L’angle orienté ϕM = −θM dans le plan de Mohr, correspondant ϕ = −θ = −12ϕM =

12θM ,

donne l’angle entre la direction Ox et la direction principale Ox1.

x

y

n̄ = ē1t̄ = ē2

M

T (ē1) = σ1ē1ϕ = −12ϕM

σ

τ

O

Tx

σx

τyx

Ty

σy

τyx

OMσ2 σ1ϕM = −θM

Du cercle de Mohr, on déduit les formules suivantes :

Oσ1 = OOM +R ; Oσ2 = OOM −R


soit

σ1 =σx + σy

2 +√(

σx − σy2

)2+ τ2yx (2-13a)

σ2 =σx + σy

2 −√(

σx − σy2

)2+ τ2yx (2-13b)

On a de plus

tg(−ϕM ) =τyx

σx − 12 (σx + σy)

soit

σ

τ

O

Tx

σ2 σ1

OM

ϕM

ϕ = 12 arctan(

2τyxσx − σy

)(2-14)

On peut retrouver les relations (2-13) en calculant les valeurs propres du tenseur plan ¯̄σ (racinesdu polynôme caractéristique)

5. Critères limites d’élasticité

5.1. Problématique

On note σs la limite d’élasticité obtenue en traction (ou compression) simple et τs la limite ob-tenue en cisaillement simple. Lorsque l’état de contraite dans un solide se réduit a une contrainteuniaxiale σ, il n’y a pas de difficulté à comparer cette contrainte à celle obtenue lors d’un essai detraction. En revanche, lorsque l’état de contrainte comporte plus d’une composantes non nullesquelle grandeur scalaire fonction de σ comparer à σs ?

5.2. Fonction isotrope d’un tenseur symétrique

Soit [σ] = (σij) la matrice des composantes de ¯̄σ dans une base quelconque (ēi). Les contraintesprincipales σ1, σ2, σ3 sont les racines du polynôme caractéristique :

p (λ) = det ([σ]− λ [I]) = −λ3 + IIλ2 − IIIλ+ IIII

oùII = tr [σ] = σiiIII = 12

[(tr [σ])2 − tr([σ]2)

]IIII = det [σ]

(2-15)

Proposition Les grandeurs II , III , IIII sont les invariants principaux de ¯̄σ ; ils sont invariantpar changement de repère.

46

5 Critères limites d’élasticité

On peut donc définir la trace d’un tenseur par

tr¯̄σ = tr [σ] = σij

Soit une fonction f : ¯̄σ → f(¯̄σ) dans R. De façon concrète, f dépend ¯̄σ à travers ses compo-santes dans une base R particulière, autrement dit

f(¯̄σ) = fR([σ])

Définition On dit que f est isotrope si f est invariante dans toute isométrie c’est à dire, si

f ([σ]) = f(

t[Q] [σ] [Q]), ∀ [σ] , ∀ [Q] rotation

Dans ce cas, on dit que f est fonction du seul tenseur ¯̄σ.

Théorème (de représentation) Une fonction isotrope f : ¯̄σ → f(¯̄σ) dans R ne dépendque des invariants de ¯̄σ :

f(¯̄σ) = f (II(¯̄σ), III(¯̄σ), IIII(¯̄σ))

Dans le cas d’une fonction scalaire isotrope d’un vecteur v̄, l’analogue de ce théorème énoncequ’une telle fonction ne dépend que de |v̄|.

Exemples Les fonctions

I1 ([σ]) = tr [σ] ; I2 ([σ]) = 12tr([σ]2

); I3 ([σ]) = 13tr

([σ]3

)(2-16)

[σ]→ 1√2

√(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)2

sont isotropes.En effet, elles peuvent s’exprimer en fonction des seules valeurs propres σ1, σ2, σ3. et les ex-

pressions obtenues ne dépendent pas du choix de numérotation des valeurs propres puisqu’ellessont invariantes par permutation circulaire des indices 1,2,3.

Proposition

1. Les fonctions I1, I2, I3 définissent un jeu d’invariants équivalents aux invariants principaux(2-15).

Par conséquent, toute fonction isotrope peut s’exprimer en fonction de I1, I2, I3.

2. Toute fonction f([σ]) à valeurs réelles qui ne dépend que des valeurs principales de [σ],c’est-à-dire telle que

f([σ]) = f̃ (σ1, σ2, σ3)

et qui de plus est invariante par permutation circulaire de ses paramètres est isotrope.


5.3. Déviateur des contraintesTout tenseur ¯̄σ peut être décomposé en ses parties dites sphérique et déviatorique. On introduit

pour cela :

La contrainte moyenne σm :

σm = 13tr¯̄σ

Alors la partie sphérique de ¯̄σ est, par définition, le tenseur isotrope

σm¯̄1

dont les 3 valeurs propres sont égales à σm ; il vérifie tr(σm¯̄1) = tr¯̄σ

La contrainte déviatorique ¯̄s, appelée aussi déviateur de ¯̄σ, définie par

¯̄s = ¯̄σ − σm¯̄1

Par construction ¯̄s est de trace nulle : tr¯̄s = 0.

Proposition Tout tenseur ¯̄σ s’écrit de façon unique sous la forme

¯̄σ = σm¯̄1 + ¯̄s avec tr¯̄s = 0

Exemple Soit le tenseur des contraintes uniaxial dans la direction ē1 :¯̄σ = σē1⊗ē1. La contraintemoyenne de ¯̄σ vaut

σm = 13tr¯̄σ =13σ

et la composante déviatorique est donnée par

¯̄s = ¯̄σ − σm¯̄1 = σē1 ⊗ ē1 − 13σ¯̄1 = 23σē1 ⊗ ē1 −

13σ (ē2 ⊗ ē2 + ē3 ⊗ ē3)

ou encore, sous la forme de la matrice de ses composantes

[s] =

23σ 0 00 −13σ 00 0 −13σ

5.4. Critères limites d’élasticitéDéfinition Le domaine d’élasticité (initial) d’un matériau isotrope est défini par la donnéed’une fonction scalaire f du seul tenseur des contraintes ¯̄σ appelée critère limite d’élasticitéou fonction seuil.Elle est construite de telle sorte que f < 0 représente le domaine des contraintes élastiquesf = 0 représente la limite d’élasticité initiale

On note σs le seuil initial de plasticité obtenu lors d’un essai de traction uniaxial. Il y a 3 critèresprincipaux associés à la plasticité des métaux.

48

5 Critères limites d’élasticité

Le critère de Rankine :

fR(¯̄σ) = sup (|σ1| , |σ2| , |σ3|)− σs (2-17)

il correspond au choix de la plus grande contrainte normale.Le critère de Tresca :

fT(¯̄σ) = sup (|σ1 − σ2| , |σ2 − σ3| , |σ1 − σ3|)− σs (2-18)

il correspond au choix de la plus grande contrainte tangentielle (avec un facteur 2).Le critère de von Mises :

fvM(¯̄σ) = 1√

2

√(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ1 − σ3)2 − σs (2-19)

il correspond au choix d’un critère en énergie. En effet, la contrainte de von Mises définiepar

σvM = fvM(¯̄σ)

représente une énergie de déformation élastique. Ce critère peut aussi s’écrire en fonctiondes composantes σij de ¯̄σ dans un repère quelconque :

σvM =1√2

√(σ11 − σ22)2 + (σ22 − σ33)2 + (σ11 − σ33)2 + 6

(σ212 + σ223 + σ231

)En écrivant σ dans le repère principal puis en calculant les composantes de σ′ en fonction descontraintes principales, on peut montrer que

fvM(¯̄σ) = f̃vM (¯̄σ′) = √32tr¯̄σ′2 − σs

Étude des déformations 31. IntroductionLorsque l’on applique un chargement à un corps solide, celui-ci se déforme. Pour définir la

notion de déformation on doit pouvoir décrire le changement de forme du solide entre deuxinstants ou deux configurations (figure 3.1). Plus précisément, la déformation doit mesurer enquoi la transformation du solide diffère d’un mouvement de corps rigide, ce qui nécessite d’êtrecapable de représenter le mouvement.La mesure de la déformation du solide, dans le cas générale des grandes transformations, est

assez abstraite et très mathématique. Cette déformation est représentée au moyen de différentstenseurs. Pour simplifier l’exposé on se place dans l’hypothèse des petites perturbations. Cettehypothèse classique est applicable aux cas où les déplacements sont petits par rapport auxdimensions de la structures (ce qui exclu, par exemple, la flexion des corps très minces) etles déformations sont petites devant l’unité (ce qui exclu les matériaux très souples comme lesélastomères). Cette hypothèse permet de procéder à des développements limités.

2. Transformation d’un milieu continuLa position d’un point matériel M0, dans la configuration de référence Ω0, est repérée par le

vecteur positionx̄0 = OM0

A l’instant t, après transformation, ce même point matériel se retrouve à la position repérée parle point M . On suppose qu’il existe une fonction continue et dérivable Φ (x̄0, t) telle qu’a chaqueinstant t, la position d’un point quelconque M0 est donnée par

x̄ = OM = Φ (x̄0, t)La figure 3.2 illustre la transformation d’un milieu continu.On définit le vecteur déplacement du point M0 par

ū = OM −OM0 = x̄− x̄0 = Φ (x̄0, t)− x̄0

La fonction φ permet de caractériser la position (et donc le déplacement du milieu continu)mais pas sa déformation, c’est-à-dire la variation locale de longueur et la distorsion. Pour simpli-fier l’exposé, on, s’intéresse tout d’abord aux transformation homogène dans dans tout le milieucontinu, c’est-à-dire indépendantes du point M0.

2.1. Cas des transformations homogènesOn considère une transformation de la forme :

x̄0 → x̄ = φ (x̄0, t) = F (t) x̄0 + C (t)

51

Étude des déformations

(a) Configuration non déformée

(b) Configuration non déformée

Figure 3.1.: Déformation entre deux configurations

0

M0M (t)

Figure 3.2.: Transformation d’un milieu continu

52

2 Transformation d’un milieu continu

où C est un vecteur et F un tenseur d’ordre 2. Le tenseur F peut être représenté par une matrice3 × 3 dans une base donnée. Cette transformation est identique dans tout le solide. Elle peutêtre schématisé par la figure 3.3. Des exemples de transformations homogènes sont donnés dansla suite du cours.On peut montrer que la dilatation volumique est donnée par

V

V0= detF (3-1)

M0 M (t)

Figure 3.3.: Transformation homogène

2.1.1. Transport d’un vecteur

On cherche à mesurer le transport d’un segment matériel de la configuration initiale à la confi-guration à l’instant t. On considère pour cela 2 points matérielsM0,M ′0. On note respectivementM,M ′ les points transformés (voir illustration figure 3.5). Calculons la transformée du vecteurM0M

′0, on a

MM′ = OM ′ −OM

= F (t)(OM

′0 −OM0

)= F (t)M0M

′0

Ainsi, la transformée d’un vecteur ū0 est donnée par

ū = F (t) ū0 (3-2)

M0

κ0 M ′0

M

κt

M ′

Figure 3.4.: Transport d’un vecteur


2.1.2. Tenseur des dilatations

Mesurer une dilatation nécessite de savoir mesurer la longueur d’un vecteur et donc deconnaître la transformée d’un produis scalaire (voir illustration figure 3-3). Soient 2 vecteursū0, v̄0 et les vecteurs transformés selon la formule (3-2) :

ū = Fū0, v̄ = F v̄0On a ainsi

ū · v̄ = Fū0 · F v̄0 = ū0tF F v̄0

M0

M

Figure 3.5.: Transport d’un produit scalaire de vecteurs matériels

Le tenseurC =

tF F (3-3)

est appelé le tenseur des dilatations. C’est un tenseur symétrique c’est-à-dire tel que C =tC. Il

permet d’exprimer le produit scalaire des vecteurs transportés en fonction des vecteurs initiauxselon la formule :

ū · v̄ = ū0Cv̄0 (3-4)

2.1.3. Dilatation dans une direction

Il s’agit de comparer la longueur d’un vecteur ū0 dans la configuration initiale et la longueurde son transporté dans la configuration déformée. En faisant ū0 = v̄0 dans (3-4), on obtient

|ū|2 = ū0Cū0

Définition On appelle dilatation dans la direction ū0 le rapport :

λ (ū0) =|ū||ū0|

=

√ū0Cū0|ū0|

(3-5)

Définition On appelle allongement unitaire dans la direction ū0 la grandeur :

δ (ū0) =|ū| − |ū0||ū0|

= λ (ū0)− 1 (3-6)

54


2.1.4. Glissement dans un couple de directions orthogonales

La variation de longueur induit des variations angulaires. On s’intéresse en particulier à lavariation de l’angle de deux vecteurs matériels initialement orthogonaux (voir illustration figure3.6).

Figure 3.6.: Glissement θ pour un couple de directions orthogonales

Définition On définit le glissement θ de deux directions orthogonales ū0, v̄0 par :

θ = π2 − (ū, v̄) = (ū0, v̄0)− (ū, v̄)

autrement dit(ū, v̄) = π2 − θ

En utilisant ce qui précède et la formule (3-4), on a

sin θ = cos (π/2− θ) = ū · v̄|ū| |v̄|

= ū0Cv̄0(ū0Cū0

)1/2 (v̄0Cv̄0

)1/2d’où la relation

sin θ = ū0Cv̄0(ū0Cū0

)1/2 (v̄0Cv̄0

)1/2 (3-7)2.2. Dilatations principales

Le tenseur C étant symétrique, il est toujours possible de construire une base orthogonale(ē1, ē2, ē3) orientée selon les directions principales. La matrice des composantes de C dans cettebase est alors diagonale ; elle s’écrit :

[C] =

C1 0 00 C2 00 0 C3

où les Ci sont les valeurs propres.Les Ci étant positifs (la forme quadratique associée ū0 → ū0Cū0 = |ū|2 est définie positive)

on peut définir les grandeursλi =

√Ci, i = 1, 2, 3


Figure 3.7.: Dilatations principales

Figure 3.8.: Transformations homogène et quelconque

On a alorsλ (ēi) =

√ēiCēi = λi, i = 1, 2, 3

ainsi λi représente la dilatation dans la direction principale ēi. Pour cette raison, les λi sontappelées les dilatations principales.

2.3. Transformations quelconquesDans le cas général d’une transformation x̄0 → x̄ =Φ (x̄0, t) quelconque, quel sens peut on

donner au transport d’un segment matériel et comment alors définir la notion de dilatation ?La figure (3.8) illustre la différence entre une déformation homogène et transformation quel-

conque dans un cas plan.

Soient une transformation Φ et 2 vecteur x̄0 et x̄′0, on a

OM = x̄ = φ (x̄0) , OM′ = x̄′ = φ

(x̄′0)

En réalisant un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de x̄0, on peut écrire

MM′ = OM ′ −OM = Φ

(x̄′0)− Φ (x̄0)

' OΦ (x̄0)(x̄′0 − x̄0

)' OΦ (x̄0)M0M

′0

On note F (x̄0) = OΦ (x̄0) le tenseur de composante∂Φij∂xij

. D’après ce qui précède, on a larelation

dx = F (x̄0) dx0 (3-8)Cette relation est l’analogue de la formule (3-2), valable seulement pour les transformationshomogènes. La déformation est donc une notion locale, pour la définir il faut se placer au niveaud’un pointM0 et prendre la transformation tangente, c’est à dire considérer un « petit » élémentde volume, comme illustré figure 3.9.

56


Figure 3.9.: Transformation tangente

Soit ū le vecteur déplacement défini par (voir figure 3.2)

ū (x̄0) = OM −OM0 = x̄− x̄0 = Φ (x̄0, t)− x̄0

on a alors la relation

Ou = F − 1

où 1 désigne le tenseur unité.

2.4. Tenseurs des déformationIl y a plusieurs choix possibles pour définir un tenseur des déformations. Celui-ci doit vérifier

plusieurs conditions :1. le tenseur doit être symétrique.2. il doit conduire à une mesure nulle pour tout mouvement de corps rigide (combinaison

d’une rotation et d’une translation).

Définition Le tenseur défini par

E = 12(C − 1

)= 12

(tF F − 1

)(3-9)

est appelé le tenseur de Green-Lagrange.

Proposition E est symétrique et nul pour tout mouvement de corps rigide. Il peut égalements’écrire en fonction de Ou :

E = 12(Ou+ tOu

)+ 12

tOuOu (3-10)

Remarque : la relation ū → E (ū) est non linéaire du fait de la présence du terme quadratiquetOuOu

Preuve1. E est symétrique puisque C l’est.


2. Si Φ est une transformation de corps rigide alors Φ (x̄0) = Rx̄0 +C, où R est une rotation,alors

F = OΦ = R⇒tF F = 1⇒ E = 0

De la formule (3-4) on tire la relation

ū · v̄ − ū0 · v̄0 = 2ū0Ev̄0

et si l’on prend v̄0 = ū0 on obtient

|ū|2 − |ū0|2 = 2ū0Eū0

Les formules (3-5), (3-6) et (3-7) donnant la dilatation, l’allongement unitaire et le glissementpeuvent s’exprimer en fonction de E en se référant à la définition (3-9).

3. Tenseurs des petites déformations3.1. Hypothèse des petites perturbations (HPP)

Définition La transformation est dite infinitésimale si∣∣∣∣∣∣Ou (x̄0)∣∣∣∣∣∣

3 Tenseurs des petites déformations

ū dans cette base, les composantes de ce tenseur dans une base orthonormée sont

εij =12

(∂ui∂xj

+ ∂uj∂xi

)(3-13)

Ces 9 composantes peuvent être écrites sous la forme de la matrice symétrique

[ε] =

ε11 ε12 ε13ε21 ε22 ε23ε31 ε32 ε33

3.2. Interprétation géométrique des composantes du tenseurs des déformations3.2.1. Extensions simples dans le plan (ē1, ē2)

L’extension simple dans le plan (ē1, ē2) est caractérisée par les 2 composantes normales

ε11 =∂u1∂x1

, ε22 =∂u2∂x2

ce qui correspond à la matrice 2× 2 diagonale

[ε] =[ε11 00 ε22

]

N0M0

MN

P0

P

ē1

dx

2

Q0

dx1

ē2 Q

u1

u2

u2 +∂u2∂x2

dx2

u1 +∂u1∂x1

dx1

3.2.2. Glissement double selon les directions ē1 et ē2Le glissement double est caractérisé par les 2 composantes tangentielles

ε12 = ε21 =12

(∂u1∂x2

+ ∂u2∂x1

)

N0M0

MN

P0P

ē1

dx

2

Q0

dx1

ē2

Q

u1u2

u1 +∂u1∂x2

dx2

u2 +∂u2∂x1

dx1

θ2

θ1 ' tan θ1 =∂u1∂x2

θ2 ' tan θ2 =∂u2∂x1

ε12 = ε21 =θ1 + θ2

2


Ainsi le glissement des 2 directions ē1 et ē2 est donné par

γ (ē1, ē2) = 2�12 = 2�21

ce glissement est noté γ12. On introduit de la sorte les 6 glissements :

γij = 2�ij , i 6= j

3.3. Propriétés du tenseur des petites déformationsOn peut montrer à partir des formules (3-6), (3-5) et (3-7) que l’allongement unitaire et le

glissement peuvent être calculés de façon approché à l’aide de ε.L’allongement unitaire δ d’un vecteur élémentaire dM0 = ds0dM0/

∣∣∣dM0∣∣∣ peut être calculépar la relation :

δ(dM0

)= ds− ds0

ds0' dM0ε dM0∣∣∣dM0∣∣∣2 (3-14)

ou encore, si on note n̄0 = dM0/∣∣∣dM0∣∣∣,

δ(dM0

)' n̄0ε n̄0 = t{n0} [ε] {n0} (3-15)

Le glissement θ de deux directions orthogonales unitaires n0, n′0 peut être calculé par larelation :

γ(n0, n

′0)' 2n0ε n′0 = 2t{n0} [ε]

{n′0}

(3-16)

La variation relative de volume εV (M0) au point M0 peut être approchée par

εV (M0) =dV − dV0dV0

' trε = ε11 + ε22 + ε33

4. Puissance de déformation volumique

La puissance des forces surfaciques FS qui s’exercent sur la frontière du solide à l’instant test donnée par ˆ

∂ΩtFS (M) . ˙̄u (M) da

où ˙̄u désigne le champ de vitesse. En appliquant la formule de Cauchy et le théorème de diver-gence, on peut écrire

ˆ∂Ω

(¯̄σ.n̄) . ˙̄u da = ˆ∂Ω

(¯̄σ. ˙̄u) .n̄ da = ˆΩdiv

(¯̄σ. ˙̄u) dvDans ces transformations on a utilisé la relation générale

(¯̄σ.ū) .v̄ = ū.(¯̄σ.v̄) vraie pour toutopérateur symétrique ¯̄σ et vecteurs ū, v̄.

60

5 Changement de repère et déformations principales

On a la relation (cf. section 7.3)

div(¯̄σ. ˙̄u) = (div¯̄σ) . ˙̄u+ ¯̄σ : O. ˙̄u (3-17)

Le premier terme peut être transformé au moyen de l’équation du mouvement (1-10) que l’onrappelle ci-dessous

ργ̄ − f̄v − div¯̄σ = 0Le second terme peut être réécrit de la façon suivante :

¯̄σ : O. ˙̄u = σij∂j u̇i = 12σij∂j u̇i +12σji∂iu̇j = σij

12 (∂j u̇i + ∂iu̇j)

puisque l’ordre d’écriture des indices muets i, j est indifférent et que ¯̄σ est symétrique. Ainsi, ona

¯̄σ : O. ˙̄u = ¯̄σ : ˙̄̄�

où ˙̄̄� = 12(O. ˙̄u+

tO. ˙̄u

)désigne le tenseur des vitesses de déformation. On obtient ainsi, à partir

de (3-17) la relation ˆΩdiv

(¯̄σ. ˙̄u) dv + ˆΩfv. ˙̄u dv −

ˆΩ

¯̄σ : ˙̄̄� dv =ˆ

Ωργ̄. ˙̄u dv

On reconnaît, dans les 2 premiers termes, la puissance des forces extérieures surfaciques etla puissance des forces extérieures de volume. Le terme de droite n’est autre que la dérivée(particulaire) de l’énergie cinétique

dC

dt=ˆ

Ωργ̄. ˙̄u dv ou C = 12

ˆΩρ ˙̄u2dv

Le troisième terme du membre de gauche peut être identifié en évoquant le théorème del’énergie cinétique qui annonce que :Théorème La dérivée (particulaire) de l’énergie cinétique est égale à la somme des puissancesde tous les efforts extérieurs et intérieurs.

On peut donc poser la définition suivante.

Définition La puissance volumique (i.e. par unité de volume) des efforts intérieurs à Ω estdonnée par

Πdef = ¯̄σ : ˙̄̄� (3-18)

5. Changement de repère et déformations principalesSous l’hypothèse des petites déformations (que l’on supposera pour tout le reste du cours)

l’état de déformation en un point est caractérisé par le tenseur des déformations ε. Une base(ē1, ē2, ē3) étant choisie, il est possible de représenter ce tenseur par ces composantes (εij) danscette base.Comme pour le tenseur des contraintes (et toute application linéaire) il est toujours possible

d’exprimer le tenseur des déformations dans un nouveau repère par l’opération algébrique clas-sique de changement de repère. Soit une deuxième base (ē′i) pour laquelle on connaît la matricede passage [R] = [αij ] de (ēi)→ (ē′i) :

ē′i =3∑j=1

αij ēj avec αij = ē′i.ēj (3-19)


Les composantes de ¯̄ε dans la base (ē′i) sont données par la matrice[ε′]

= [R] [ε] t[R] (3-20)

Théorème Le tenseur des déformations ¯̄ε étant symétrique, Il possède 3 valeurs propres réelles(distinctes ou confondues) �1, �2, �3 et 3 directions propres Ox1, Ox2, Ox3. Il est donc toujourspossible de définir une base orthonormée propres (ē1, ē2, ē3) construit sur les directions propresOx1, Ox2, Ox3.

1. Les déformations �1, �2, �3 sont appelées les déformations principales.

2. Les directions propres sont les directions principales (des déformations).

Corollaire Il est toujours possible de se placer dans une base orthonormée (ē1, ē2, ē3) de tellesorte que l’état de déformation soit réduit aux trois déformations normales �1, �2, �3. Le solideest alors en extension simple dans les 3 directions.

6. États de déformation remarquables

6.1. Déformations planes

Définition Soit (ēi) une base orthonormée. On appelle tenseur plan (relativement au planOx1x2) le tenseur ¯̄ε tel que ses composantes dans la base (ēi) soient

[ε] =

ε11 ε12 0ε21 ε22 00 0 0

(3-21)Autrement dit, les déformations sont uniquement dans le plan Ox1x2.

6.2. Déformation dans un plan normal à une direction principale

On considère une base orthonormée (ē1, ē2, ē3) telle que Ox3 soit une direction principale pourle tenseur ε, alors la matrice des composantes du tenseur dans cette base s’écrit

[ε] =

ε11 ε12 0ε21 ε22 00 0 ε33

(3-22)En surface d’une pièce, le champ de tenseur est toujours de la forme (3-22), où Ox3 est la

normal à la surface.

62

7 Cercle de Mohr des déformations

7. Cercle de Mohr des déformations7.1. DéfinitionLa même méthode développée pour les contraintes peut être utilisée pour représenter les

composantes normale et angulaire de la déformation. On reprend dans ce qui suit les calculsdéjà réalisés pour les contraintes.Soit un tenseur des déformations de la forme

[ε](ēx,ēy ,ēz) =

εx εxy 0εyx εy 00 0 εz

dans la base (ēx, ēy, ēz). On considère une seconde base (ēn, ēt, ēz) déduite de la première par unerotation autour de l’axe Oz d’angle θ. En utilisant la formule de changement de repère (3-20),avec comme matrice de passage

[R] =

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 00 0 1

on obtient la matrice

[ε](ēn,ēt,ēz) =

εn εnt 0εtn εt 00 0 εz

avec ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

εn = cos2 θεx + sin2 θεy + 2 cos θ sin θεxyεt = sin2 θεx + cos2 θεy − 2 cos θ sin θεxyεnt = − cos θ sin θ (εx − εy) +

(cos2 θ − sin2 θ

)εxy

Notons γ/2 = εnt la composante de glissement, on obtient

εn = εx cos2 θ + εy sin2 θ + 2εxy sin θ cos θ (3-23a)

γ/2 = − (εx − εy) sin θ cos θ + εxy(cos2 θ − sin2 θ

)(3-23b)

On peut écrire ces formules en fonction de l’angle double −2θ en utilisant les relations trigono-métriques suivantes :

2 cos θ sin θ = sin 2θ, 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ, 2 sin2 θ = 1− cos 2θ

On obtient alors les formules

εn =εx + εy

2 +εx − εy

2 cos (−2θ)− εxy sin (−2θ) (3-24a)

γ/2 = εx − εy2 sin (−2θ) + εxy cos (−2θ) (3-24b)

Ces formules traduisent la transformation géométrique suivante. On considère le plan deMohr muni de ces 2 axes :


(i) l’axe Oε des déformations normales ε comme axe des abscisses ;

(ii) l’axe Oγ des déformations angulaires γ/2 comme axe des ordonnées.

Le couple (εn, γ/2) constitue les coordonnées d’un point Σn = (εn, γ/2) dans ce plan.

ε

γ/2

O εn

γ/2 Σn = (εn, γ/2)

Théorème (du cercle de Mohr) On peut montrer à partir des relations (3-24) que lorsquele repère (ēn, ēt, ēz) tourne d’un angle θ par rapport au repère de référence (ēx, ēy, ēz), le pointΣn = (εn, γ/2) décrit dans le plan de Mohr un cercle de centre OM et de rayon R avec

OM =(

12 (εx + εy) , 0

), R = 12

√(εx − εy)2 + γ2xy

ε

γ/2

O OM

Σn=(εn,γ/2)R

7.2. Cas où le repère de référence est principal

Dans le cas où le repère de référence est principal, on note (Ox1x2x3), la matrice des compo-santes de ε est diagonale :

[ε] =

ε1 0 00 ε2 00 0 εz

Les relations (3-24) deviennent, en introduisant l’angle θM = −2θ,

εn =ε1 + ε2

2 +ε1 − ε2

2 cos θM (3-25a)

γ/2 = ε1 − ε22 sin θM (3-25b)

On reconnaît la description paramétrique d’un cercle de centre OM =(

12 (ε1 + ε2) , 0

)et de

rayon R = 12 (ε1 − ε2). Ce cercle est représenté ci-dessous.

64

7 Cercle de Mohr des déformations

ε

γ/2

O OM

Σn=(εn,γ/2)

εn

γ/2

ε2 ε1θM = −2θ

Dans ce cas particulier, l’angle θ = −12θM représente l’angle entre l’axe Ox1 du repère deréférence et l’axe On du repère courant.On peut distinguer 3 points remarquables sur le cercle.

(i) Lorsque θM = 0, le point Σn coïncide avec le point (ε1, 0) autrement dit, εn = ε1 et γ = 0.

ε

γ/2

O OM

ε2 ε1

(ii) Lorsque θM = π/2, soit θ = −π/4, on a Σn =(

12 (ε1 + ε2) ,

12 (ε1 − ε2)

). On déduit

directement de la représentation de Mohr que la direction définie par θ = −π/4 porte laplus grande composante de glissement γmax

ε

γ/2

O

OM

Σn=(εn,12γmax)

εn

12γmax

θM = π/2

(iii) Lorsque θM = π, soit θ = −π/2, le point Σn coïncide avec le point (ε2, 0) autrement dit,εn = ε2 et γ = 0.


ε

γ/2

O OM

ε2 ε1

On déduit de ces observations les propriétés suivantes :

Proposition Propriétés déduites du cercle de Mohr1. Les déformations principales ε1, ε2 sont respectivement la plus grande et la plus petite dé-

formations normales dans plan ; elles sont portées par les directions principales Ox1, Ox2 :

ε2 ≤ εn ≤ ε1, quelque soit la direction On

2. La plus grande déformations angulaire (ou composante de glissement) est donnée par lediamètre du cercle de Mohr

γmax = ε1 − ε2elle correspond à la variation d’angle droit des directions Ox1, Ox2 tournées de θ = −π/4

8. Mesure des déformations par extensométrie8.1. Moyens de mesureIl existe un certain nombre de moyens mécaniques et optiques permettant de mesurer les

déformations dans une pièce. On peut distinguer 3 types de mesures.1. Les mesures par déplacement relatif de 2 points. On trouve

– les extensomètres mécaniques ;– les extensomètres optiques (balayage laser, caméra, ...).Cette méthode suppose que la déformation est homogène dans l’espace qui sépare les 2points.

2. Les mesures locales par jauges de déformation. Cette méthode est la plus rependue, ellesera détaillée plus loin.

3. Les mesures de champ de déplacement 2-d (voire 3-d) par des méthodes optiques. Ontrouve :– la méthode par marquage : la surface de l’objet est préalablement équipée de marqueurs

ou marquée d’une grille régulière. La méthode consiste à suivre, à travers une séquenced’images, le déplacement des marqueurs ou des nœuds de la grille.

– corrélation d’images : étant donné deux images correspondant à deux états de défor-mation d’un objet, pour déterminer le correspondant d’un pixel de la première imagedans la seconde, on mesure la ressemblance entre deux pixels en calculant un score decorrélation (critère de ressemblance) déterminé sur leur voisinage.

8.2. Mesure de l’allongement unitaire par jauges d’extensométrieLa détermination expérimentale des tenseurs de déformations s’appuie sur des mesures de

dilatation et d’allongement unitaire. Elle nécessite donc la comparaison, à l’échelle locale lorsque

66

8 Mesure des déformations par extensométrie

Figure 3.10.: Mesures par jauges d’extensométrie

Figure 3.11.: Rosettes de déformation

la transformation n’est pas homogène (cas général), des longueurs d’un vecteur matériel dans laconfiguration initiale de référence et dans la configuration actuelle.Les techniques expérimentales les plus utilisées, et le plus facile à mettre en oeuvre utilisent

les extensomètres à fil résistant (jauges électriques de déformation ou jauges d’extensométrie).Le principe de la méthode consiste à faire subir à un fil la même extension que celle du matériaudans une direction donnée, et à mesurer la variation de résistance électrique correspondante(l’effet est amplifié en repliant le fil plusieurs fois sur lui-même). Les figures 3.10 présentent unejauge nu et des jauges en situation.Ces jauges, collés à la surface du solide étudié, sont groupées par 3 pour former une rosette,

de façon à recueillir suffisamment d’information pour la détermination de la déformation dans leplan tangent à la surface du solide (figure 3.11). Dans les exercices 3 et 3 il est demandé d’établirles relations permettant d’identifier les composantes du tenseur des déformations dans les casd’une rosette 45° et d’une rosette à 60°.

Comportement des matériaux 41. Les matériaux homogènes, isotropes, élastiques, linéairesLes relations que l’on établit entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations

s

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I3-5 — Mécanique des Structures I Solides Elastiquesjerome.massol2.free.fr/44_elas_cours_i3_5_0__cours_prof.pdf · 2016. 9. 17. · En écrivant l’équilibre des moments on obtient