Identification de modèlesparamétriques à temps continu

par Hugues GARNIER

Professeur à l’Université Henri Poincaré, Nancy 1Centre de Recherche en Automatique de Nancy

Marion G ILSON

Maître de Conférences à l’Université Henri Poincaré,Nancy 1

Centre de Recherche en Automatique de Nancy

Thierry B ASTOGNE

Maître de Conférences à l’Université Henri Poincaré,Nancy 1

Centre de Recherche en Automatique de Nancy

Alain R ICHARD

Professeur à l’Université Henri Poincaré, Nancy 1Centre de Recherche en Automatique de Nancy

I. I NTRODUCTION

L’identification de système consiste à rechercher un mo-dèle mathématique d’un système dynamique à partir dedonnées expérimentales et de connaissances disponiblesapriori . Ce modèle macroscopique est caractérisé par unestructure et par des paramètres qu’il convient de choisiret d’ajuster, afin de reproduire au mieux le comportemententrée-sortie du système.

Traditionnellement, les méthodes d’identification de sys-tème sont employées afin de déterminer des modèles per-mettant la synthèse de lois de commande. Ce domained’utilisation conventionnel n’est toutefois pas le seul et lesméthodes sont aussi utilisées pour :

– l’estimation de paramètres physiques non directementmesurables ;

– le diagnostic de systèmes à base de modèle ;– la simulation, utilisée à des fins de conception, de

prévision ou de formation ;– l’interprétation d’essais.Bien que les méthodes soient essentiellement dévelop-

pées par les automaticiens et les mathématiciens appliqués,elles peuvent être appliquées dans des domaines très variésallant des processus de fabrication à l’économétrie, enpassant par la biologie, les moyens de transport ou lesprocessus environnementaux.

Historiquement, la nécessité de régler les paramètres descorrecteurs PID a conduit au développement des premièresméthodes d’identification à partir de la seconde guerremondiale. Parmi ces méthodes, dont il ne sera pas questiondans cet article, il faut évoquer celles qui consistent àapprocher la réponse indicielle d’un système dynamiquepar un modèle linéaireà temps continucaractérisé par un

nombre réduit de paramètres (gain statique, une ou deuxconstantes de temps, retard pur) [1].

L’émergence de la théorie des systèmes échantillonnésdans les années 50 et de celle des premiers calculateursdestinés à la commande de procédés (machines à papier)au milieu des années 60 a permis l’essor des méthodesd’identification de modèles àtemps discrets’appuyant surla théorie de l’estimation statistique. L’important effort derecherche, mené à partir de là, a conduit à des travauxunificateurs et au développement de logiciels spécialisésdès le milieu des années 80 [2], [3]. Durant cette période,les travaux sur l’identification de modèles à temps continusont bien moins nombreux et peu connus, c’est surtout àpartir des années 90 que ces méthodes connaissent un regaind’intérêt [4], [5], [6], [7].

Cet article a pour objectifs de diffuser et de mieux faireconnaître ces méthodes dont les algorithmes sont, à présent,également regroupés dans des bibliothèques logicielles [8],[9], de faire un tour d’horizon des développements récentset de présenter quelques résultats d’applications de cesméthodes.

Il ne faut certainement pas opposer les approches àtemps continu à celles à temps discret, les deux famillesde méthodes utilisant les mêmes données expérimentales(généralement échantillonnées à l’aide d’un dispositif au-tomatique d’acquisition de données) disponibles en tempsdiscret. Si un modèle à temps continu est recherché, lesméthodes à temps discret nécessitent une étape de trans-formation discret-continu qui peut s’avérer délicate. Dansce cas, il y a avantage à utiliser les méthodes à tempscontinu. Pour fixer les idées, considérons le cas d’un sys-tème dynamique modélisé par une équation différentiellelinéaire à coefficients constants dont il s’agit d’estimerla valeur des paramètres à partir des données d’entrée-sortie. L’équation différentielle fait apparaître les dérivéesjusqu’à un certain ordre des signaux d’entrée et de sortie.Ces dérivées successives ne sont pas mesurées et leurestimation directe à partir de données bruitées (sujettes àdes incertitudes) est un problème inverse mal-posé [10].Cette difficulté est implicitement prise en compte par lesméthodes d’identification à temps continu qui assurent unerégularisation sous différentes formes (filtrage, intégration,etc.) [11].

Si, en Automatique, un modèle en temps discret est biensouvent suffisant pour la synthèse de lois de commande,il est intéressant de rechercher un modèle à temps continulorsque l’on cherche à estimer des paramètres physiques, oulorsque l’échantillonnage des données est à pas variable ouencore lorsque la fréquence d’échantillonnage est élevée.Dans ce dernier cas, le conditionnement du problème sedégrade en temps discret et les approches à temps continu,par leur régularisation implicite, se trouvent à leur avantage.L’utilisateur averti pourra bien sûr obtenir de bons résultatsavec des méthodes à temps discret mais à condition de bienpré-filtrer ou de bien rééchantillonner (filtrage-décimation)les données [12]. De ce point de vue, les méthodes à

temps continu, bien que nécessitant également le choixd’hyperparamètres propres à chaque méthode, requièrentmoins d’expertise et sont plus faciles d’utilisation.

II. M ÉTHODOLOGIES D’ IDENTIFICATION DE MODÈLES À

TEMPS CONTINU

La démarche classique pour identifier un système consisteà formaliser les connaissances disponiblesa priori, àrecueillir des données expérimentales, puis à estimer lastructure, les paramètres et les incertitudes d’un modèle,enfin à valider (ou invalider) celui-ci [2].

Les modèles envisagés dans cet article sont supposés êtrelinéaires en les entrées et à paramètres invariants au cours dutemps. Ils sont caractérisés soit par leur fonction de transfertsoit par leur forme d’état. Lorsqu’une forme canoniqueest employée, ils sont définis de manière unique par unvecteur de paramètres sans que cela pose de problèmed’identifiabilité [3].

Une première phase consiste à exploiter les connaissancesdisponibles sur le système à identifier pour élaborer desmodèles partiels et pour définir un protocole expérimental.Chaque fois que cela est possible, il est utile de définirdes signaux d’entrée dont le spectre excite suffisammentle système à identifier. Le recueil des données se fait gé-néralement à l’aide d’un système d’acquisition de donnéesautomatique. Rien n’empêche toutefois d’ajouter au fichierde mesures, des données collectées “manuellement”, issuespar exemple d’un instrument d’analyse ne délivrant pasd’informations en temps réel. Les données étant à tempsdiscret, le modèle ne pourra être en adéquation avec lesystème qu’au mieux dans la bande de fréquence limitéepar la moitié de la fréquence d’échantillonnage. Le choix decelle-ci conditionne donc, pour les variables échantillonnéesà pas fixe, le domaine de fréquence dans lequel le modèleest valide. Il faut également s’assurer que les capteursassurent un filtrage anti-repliement suffisant ou, dans lecas contraire, utiliser des filtres analogiques dédiés à cettefonction.

Les signaux recueillis sont alors expertisés et mis enforme : soustraction du point de fonctionnement dans lecas des modèles linéaires en les entrées, soustraction detendance, suppression de valeurs aberrantes le cas échéant.

L’étape suivante consiste à sélectionner une structure demodèle, c’est-à-dire un ensemble de modèles candidats quidiffèrent entre eux par les valeurs et la dimension d’un vec-teur de paramètres. Ces paramètres, ainsi que l’incertitudeassociée, sont alors estimés de façon à optimiser un critèred’adéquation aux données.

Le modèle ainsi obtenu est alors analysé (réponse enfréquence, pôles-zéros) et ses performances en prédictionet en simulation sont testées. Un test important (valida-tion croisée) consiste à évaluer la capacité du modèle àreproduire la sortie du système pour un jeu de donnéesd’entrée qui n’a pas servi à l’estimation des paramètres. Lesrésidus, c’est-à-dire l’écart entre les sorties du système et dumodèle, sont analysés pour s’assurer qu’ils ne contiennent

plus d’information encore explicable notamment en étudiantleur non-corrélation avec les signaux d’entrée.

Généralement, ces étapes sont approfondies en testantplusieurs structures de modèle, plusieurs algorithmesd’estimation, plusieurs jeux de données ce qui permet,par comparaison, de conforter ou d’infirmer la confianceaccordée au modèle finalement proposé. La procédured’identification se termine lorsque le modèle répond àl’objectif pour lequel il a été établi.

Cet article s’intéresse plus particulièrement à l’étaped’estimation de modèles ainsi qu’à leur validation. Plusieursméthodes permettant d’estimer directement un modèle àtemps continu à partir de données échantillonnées sontprésentées.

III. F ORMULATION DU PROBLÈME D’ IDENTIFICATION

Soit un système mono-entrée, mono-sortie, linéaire, àtemps continu, causal et invariant dans le temps soumisà un ensemble de conditions initiales quelconques. Cesystème est décrit par l’équation différentielle à coefficientsconstants1 :

ao0y(t) + ao

1y(1)(t) + · · ·+ y(na)(t) =

bo0u(t) + bo

1u(1)(t) + · · ·+ bo

nbu(nb)(t), (1)

où u(t) représente le signal d’entrée,y(t) la réponse nonbruitée du système àu(t), x(i)(t) représente la ie dérivéepar rapport au temps du signal à temps continux(t).

L’équation (1) permet de représenter la sortie du systèmepour toutes les valeurs de la variable continuet et peutégalement s’écrire sous la forme compacte suivante :

y(t) = Go(p)u(t) =Bo(p)Ao(p)

u(t), (2)

avec

Bo(p) =bo0 + bo

1p + · · ·+ bonb

pnb ,

Ao(p) =ao0 + ao

1p + · · ·+ pna , na ≥ nb,

où p représente l’opérateur différentielpx(t) = dx(t)dt .

Go(p) est l’opérateur de transfert du système vrai ; lespolynômesAo(p) et Bo(p) sont supposés être premiersentre eux et le système est supposé être asymptotiquementstable. On suppose de plus que les perturbations agissentsur la sortie non bruitée sous la forme d’un terme additiftel que :

S : y(t) = Go(p)u(t) + Ho(p)eo(t), (3)

où y(t) représente la sortie bruitée,Ho(p) est une fractionrationnelle propre et inversement propre qui décrit le bruitadditif sur la sortie eteo(t) est un bruit blanc à tempscontinu à moyenne nulle et de varianceλoδ(t) avec δ(t)l’impulsion de Dirac.

1La présence d’un retard pura priori connu, multiple entier de la périoded’échantillonnage, peut être traitée sans difficulté. Celui-ci est supposé nulici afin d’alléger les notations.

Le terme de perturbationeo(t) est supposé être non-corrélé avec le signal d’entréeu(t) ; le cas d’un systèmeévoluant en boucle ouverte est considéré. Les signaux àtemps continuu(t) et y(t) sont également supposés êtreéchantillonnés à pasTe non nécessairement constant.

Les modèles que l’on recherche ont la forme suivante :

M :{

y(tk) = G(p, θ)u(tk)y(tk) = y(tk) + v(tk) (4)

avecθ = [ana−1, · · · , a0, bnb

, · · · , b0]T

. (5)

x(tk) représente l’amplitude du signal à temps continux(t)à l’instant tk = kTe et G(p, θ) est l’opérateur de transfertdéfini par :

G : G(p, θ) =B(p)A(p)

=b0 + b1p + · · ·+ bnb

pnb

a0 + a1p + · · ·+ pna. (6)

Le terme de perturbation est modélisé ici comme un bruità temps discret à moyenne nulle notév(tk).

Le problème d’identification peut être formulé ainsi : ensupposant les ordresna andnb connus (Go ∈ G), l’objectifconsiste à estimer le vecteur des paramètres du modèleà temps continu à partir deN échantillons des signauxd’entrée/sortieZN = {u(tk); y(tk)}N

k=1.

IV. EXEMPLE : CAS DU BENCHMARK RAO-GARNIER

Pour identifier un modèle à temps continu, deux ap-proches principales dans le domaine temporel sont envi-sageables : l’approche directe et l’approche indirecte [5].Toutes deux utilisent des données d’entrée/sortie échan-tillonnées, car les moyens de mesure actuels sont pourla plupart des instruments numériques et les données re-cueillies sont par conséquent à temps discret. L’approcheindirecte consiste dans un premier temps, à déterminer unmodèle à temps discret à l’aide de techniques maintenantconsidérées comme conventionnelles [2], [13], [3], puisà convertir ce dernier en un modèle à temps continu.Les propriétés statistiques de ces méthodes d’estimationtelles que biais, variance, convergence sont bien connueset expliquent en grande partie l’attrait pour cette stratégie.

Cette approche indirecte fondée sur l’estimation initialed’un modèle à temps discret fait, en général, appel à desalgorithmes d’optimisation itératifs très coûteux en termede calculs sans garantie de convergence vers l’optimumglobal. En effet, pour la plupart de ces algorithmes itératifs,la procédure d’initialisation représente une étape souventcruciale pour la convergence vers l’optimum global. Lesapproches directes discutées dans cet article fondées sur lestechniques de régression linéaire ne souffrent pas de cesdifficultés comme l’illustre l’étude en simulation présentéeci-dessous.

Ces résultats sont représentatifs d’un ensemble desimulations de Monte Carlo visant à comparer lesperformances des approches directe et indirecte [14], [12],

[15], [6].

L’exemple de simulation considéré est un système du 4e

ordre. Son opérateur de transfert est donné par :

Go(p) =K(−Tp + 1)(

p2

ω2n,1

+ 2ζ1pωn,1

+ 1) (

p2

ω2n,2

+ 2ζ2pωn,2

+ 1) , (7)

avecK = 1, T = 4s, ωn,1 = 20 rad/s,ζ1 = 0.1, ωn,2 = 2rad/s,ζ2 = 0.25.

Ce système possède deux modes pseudo-oscillatoires,l’un rapide (ωn,1 = 20 rad/s) avec un coefficient d’amor-tissement de0.1, l’autre lent (ωn,2 = 2 rad/s) avec uncoefficient d’amortissement de0.25. De plus, il présenteun zéro instable et est donc à non minimum de phase. Lesdonnées d’entrée/sortie sont engendrées par les relationssuivantes : {

y(tk) = Go(p)u(tk)y(tk) = y(tk) + e(tk) (8)

L’entrée est une somme de cinq sinusoïdesu(t) = sin(t)+sin(1.9t) + sin(2.1t) + sin(18t) + sin(22t) et e(tk) estici un bruit blanc gaussien à temps discret. Une simulationde Monte Carlo de 200 réalisations a été effectuée pour unrapport signal-sur-bruit (RSB) :

RSB = 10 logPy

Pe= 10dB, (9)

où Pe représente la puissance moyenne du bruit additif àmoyenne nulle sur la sortie etPy la puissance moyennedes fluctuations de la sortie non bruitée. Ceci correspond àl’essai dénommé "trial2" dans [15]. La période d’échan-tillonnage est égale à10ms. Le modèle à temps discretéquivalent à (7) possède 4 pôles, et en général 4 zéros. Laconnaissancea priori de l’ordre relatif du système à tempscontinu à identifier est difficile à prendre en compte lorsquel’on utilise l’approche indirecte.

Les diagrammes de Bode des 200 modèles estimés parles méthodes directesrivc (voir paragraphe V-B) et indirectepem(dans sa versionoe ici) [2], choisies pour illustrer lesrésultats obtenus par les deux classes de méthodes, sontreprésentés sur les figures 1 et 2.

Ces résultats sont représentatifs de l’ensemble des ré-sultats de simulation [14], [15], [6]. On peut observersur les figures 1 et 2 que la méthode d’estimation demodèles à temps discret (oe) disponible dans la boîteà outils "System Identification" de Matlab conduit à detrès mauvais résultats d’estimation comparativement à laméthode d’estimation directe de modèles à temps continu(srivc). Cela est surprenant à première vue car le systèmeconsidéré ne semble pas constituer une véritable difficultéen terme d’identification. Les très mauvaises performancesobtenues ici par l’approche fondée sur l’erreur de sortiepeuvent être attribuées à plusieurs facteurs selon L. Ljung[12]. Dans son analyse, il conclut que ces résultats sontprincipalement dus à l’extrême sensibilité numérique del’estimation de modèles de type ARX (A(q−1, θ)y(tk) =

10−1

100

101

102

−60

−40

−20

0

20

40A

mpl

itude

(dB

)

10−1

100

101

102

−600

−400

−200

0

200

Pulsation (rad/sec)

Pha

se (

deg)

vraiSRIVC

Fig. 1. Diagrammes de Bode des 200 modèles à temps continu estiméspar la méthodesrivc

10−1

100

101

102

−60

−40

−20

0

20

40

Am

plitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−600

−400

−200

0

200

Pulsation (rad/sec)

Pha

se (

deg)

vraiOE

Fig. 2. Diagrammes de Bode des 200 modèles à temps discret estiméspar la méthodeoe

B(q−1, θ)u(tk) + e(tk)) dans le cas de cet exemple du 4e

ordre. L’estimation de modèles de type ARX est en effetsouvent utilisée afin d’initialiser les méthodes d’estimationitératives. La méthode d’erreur de sortieoe initialisée àpartir de l’estimation d’un modèle ARX va dans le casde cet exemple du 4e ordre converger vers un minimumlocal comme le montrent les résultats de la figure 2 (lemodèle ARX initial se situe dans une vallée d’attractiond’un modèle erroné). De plus, la période d’échantillonnagechoisie ici se situe à la limite des valeurs recommandéespour identifier un modèle à temps discret. Il est bien connuque les méthodes d’estimation de modèles à temps discretrencontrent des problèmes de conditionnement numériquelorsque la période d’échantillonnage diminue. Les pôlesdu modèle à temps discret se concentrent alors autour dupoint z = 1 dans le plan complexe. Une solution souventpréconisée [12] consiste alors à opérer un pré-traitementdes données qui prend la forme d’un filtrage puis d’unedécimation des données avant d’estimer les paramètres du

modèle à temps discret. Cette solution n’est cependant pastoujours évidente à mettre en œuvre pour l’utilisateur nonspécialiste, tant en ce qui concerne le choix du pré-filtreà appliquer aux signaux d’entrée/sortie que du choix de lanouvelle période d’échantillonnage.

Cet exemple illustre quelques-unes des difficultés quiapparaissent lorsque l’on recherche un modèle à tempsdiscret : sensibilité des méthodes d’estimation itératives àl’initialisation, problèmes numériques en présence d’échan-tillonnage rapide, connaissancea priori de l’ordre relatifdu système à temps continu à identifier difficile à prendreen compte, pré-filtrage des données non implicite ; alorsque les approches directes d’estimation paramétrique demodèles à temps continu ne rencontrent pas ces difficultés.L’application de la méthodologie complète d’identificationse trouve alors grandement simplifiée pour l’utilisateur.

V. M ÉTHODES D’ ESTIMATION PARAMÉTRIQUE DE

MODÈLES À TEMPS CONTINU

Les techniques d’identification de modèles paramétriqueslinéaires à temps continu reposent principalement sur laminimisation d’un critère fondé soit sur une erreur de sortie,soit sur une erreur d’équation nécessitant l’utilisation d’unetransformation linéaire couplée à une méthode issue desmoindres carrés. De nombreuses méthodes de type erreurd’équation ont été proposées au cours des trente dernièresannées. L’intérêt essentiel de ces méthodes fondées surl’erreur d’équation est la simplicité de la solution analytiquequi conduit à un optimum unique. Cependant le problèmede base de ces techniques est l’estimation de certainesvariables indispensables, mais indisponibles, que sont lesdérivées successives des signaux d’entrée/sortie. Diversesméthodes ont été développées pour résoudre ce problème.Plusieurs publications ou ouvrages dressant l’état de l’artdes approches d’identification de modèles à temps continusont disponibles dont les plus significatives sont [5], [16],[6], [4], [17], [18], [19], [20].

Dans cet article, nous nous focalisons sur trois approchesqui ont marqué le cheminement historique pour l’identifica-tion directe de modèles paramétriques à temps continu. Lapremière remonte à l’époque des calculateurs analogiques etest connue sous le nom de méthode des filtres de variablesd’état (FVE) [21], [22], [23]. Cette technique sera dansun premier temps rappelée avec l’objectif de mettre enévidence certains aspects spécifiques à l’identification demodèles à temps continu. Ensuite, une approche qui afait ses preuves dans un cadre applicatif, fondée sur uneméthode de variable instrumentale optimale, sera présentée[24], [25], [26]. Enfin, la méthode de l’erreur de sortie pourl’identification de modèles paramétriques à temps continuest brièvement discutée [27], [28], [29].

A. La méthode des filtres de variables d’état (FVE)

La méthode des filtres de variables d’état est une desapproches conventionnelles d’identification de modèles pa-ramétriques à temps continu. Elle repose sur la minimisation

d’un critère quadratique fondé sur une erreur d’équation etse décompose en deux étapes :

– la première consiste à appliquer un filtrage linéaire auxdonnées échantillonnées qui permet de reconstruire lesdérivées successives des signaux d’entrée/sortie ; cetteétape est spécifique aux approches d’identification demodèles à temps continu de type erreur d’équation ;

– la seconde étape est dédiée à l’estimation paramétriqueproprement dite à l’aide de techniques d’estimationissues des moindres carrés ; cette étape n’estpas spécifique aux approches d’identificationde modèles à temps continu et la plupart desalgorithmes d’estimation de modèles linéaires à tempsdiscret peuvent être adaptés au cas de l’estimationparamétrique de modèles à temps continu.

Filtrage linéaireConsidérons l’équation différentielle (1). L’application dela transformée de Laplace aux deux membres de l’équationdifférentielle soumis à des conditions initiales supposéesnulles conduit à :

sna Y (s) +na−1∑i=0

aisiY (s) =

nb∑i=0

bisiU(s), (10)

où s représente la variable de Laplace ;Y (s) et U(s) sontrespectivement la transformée de Laplace dey(t) et u(t).L’application d’un filtre linéaire de fonction de transfertF (s) = 1/E(s) aux deux membres de l’équation (10)donne :

sna

E(s)Y (s) +

na−1∑i=0

aisi

E(s)Y (s) =

nb∑i=0

bisi

E(s)U(s). (11)

Le filtre des variables d’état (FVE) d’ordre minimal(n = na) prend souvent la forme suivante :

F (s) =1

E(s)=

(λ

s + λ

)n

, (12)

oùλ représente la pulsation de coupure du filtre. Définissonsà présent un ensemble de filtresLi(s) pour i = 0, 1, . . . , na

ayant pour forme

Li(s) =si

E(s)=

(λ)nasi

(s + λ)na, (13)

et soit li(t) leur équivalent dans le domaine temporel.L’utilisation de ces filtres (13) permet de récrire l’équation(11) sous la forme suivante(

Lna(s) + ana−1Lna−1(s) + . . . + a0L0(s)

)Y (s)

=(bnb

Lnb(s) + . . . + b0L0(s)

)U(s). (14)

L’équation (14) peut également s’écrire en fonction dessignaux temporels sous la forme suivante :

[Lna y](t) + ana−1[Lna−1y](t) + . . . + a0[L0y](t)= bnb

[Lnbu](t) + . . . + b0[L0u](t), (15)

où {[Liy](t) = li(t) ∗ y(t)[Liu](t) = li(t) ∗ u(t), (16)

et ∗ représente l’opérateur de convolution. Les sorties desfiltres [Liy](t) et [Liu](t) fournissent ainsi une estimationdes dérivées des signaux d’entrée/sortie dans la bandefréquentielle du système à identifier. Ces dernières peuventensuite être utilisées au sein de techniques de régressionlinéaire.

A l’instant t = tk, en considérant la présence du bruitadditif sur la sortie, l’équation (15) devient :

[Lnay](tk) + ana−1[Lna−1y](tk) + . . . + a0[L0y](tk)= bnb

[Lnbu](tk) + . . . + b0[L0u](tk) + εEE(tk, θ),

(17)

où εEE(tk, θ) représente l’erreur d’équation. L’équation(17) peut également se récrire sous une forme standard derégression linéaire :

[Lnay](tk) = ϕT (tk)θ + εEE(tk, θ), (18)

avecϕ(tk) le vecteur de régression prenant la forme :

ϕT (tk) =[−[Lna−1y](tk) . . . − [L0y](tk)

[Lnbu](tk) . . . [L0u](tk)

], (19)

et θ défini par l’équation (5).

Estimateur des moindres carrés/FVEL’estiméeθ du vecteur des paramètres est le vecteur mini-misant :

θ = arg minθ

VN (θ, ZN ), (20)

où la fonction de coût dépend de l’ensembleθ des vecteursde paramètres et de l’ensembleZN des données :

VN (θ, ZN ) =N∑

k=1

ε2EE(tk, θ). (21)

A partir de N échantillons des signaux d’entrée/sortie,l’estimation par moindres carrés (mc)/FVE est alors donnéepar :

θmc =

[N∑

k=1

ϕ(tk)ϕT (tk)

]−1 N∑k=1

ϕ(tk)[Lnay](tk), (22)

en supposant que la matrice inverse existe2.

Exemple.La méthode des FVE est illustrée à l’aide d’unexemple d’un système du deuxième ordre dans un contextedéterministe :(

s2 + a1s + a0

)Y (s) = b0U(s). (23)

2L’existence de la matrice à inverser est liée à la condition d’excitationpersistante du signal d’entrée.

Le système est supposé initialement au repos. L’applicationd’un FVE aux deux membres de l’équation (23) permetd’écrire( s2

E(s)+ a1

s

E(s)+ a0

1E(s)

)Y (s) = b0

1E(s)

U(s), (24)

qui se récrit sous la forme

L2(s)Y (s)+a1L1(s)Y (s)+a0L0(s)Y (s) = b0L0(s)U(s),(25)

avec les filtresLi(s) définis par l’équation (13). L’équa-tion (25) peut également s’écrire en fonction des signauxtemporels

[L2y](t) + a1[L1y](t) + a0[L0y](t) = b0[L0u](t). (26)

A partir de N échantillons des signaux d’entrée/sortie,l’estimateur des moindres carrés (mc) associé au filtre desvariables d’état est alors donné par :

θmc =

[N∑

k=1

ϕ(tk)ϕT (tk)

]−1 N∑k=1

ϕ(tk)[L2y](tk), (27)

avec

ϕT (tk) =[− [L1y](tk) − [L0y](tk) [L0u](tk)

],

θmc =[a1 a0 b0

]T

.

Propriétés de l’estimateur des moindres carrés/FVE.L’estimateur des moindres carrés associé au filtre devariables d’état est asymptotiquement biaisé en présencede bruit de mesure, que ce dernier soit blanc ou coloré.

Estimateur de la variable instrumentale/FVEL’estimateur de la variable instrumentale est une varianteclassique de la méthode des moindres carrés [13], [2],[30], [31]. Elle permet de remédier au problème de biaisasymptotique de l’algorithme des moindres carrés. Cetestimateur présente les avantages fondamentaux de ne pasnécessiter d’hypothèse particulière sur la nature du proces-sus générateur du bruit et de reposer sur les techniques derégression linéaire.Le principe de la méthode de la variable instrumentaleconsiste à introduire un vecteurζ(tk), tel que ses com-posantes appelées instruments ou variables instrumentalessoient suffisamment corrélées avec les composantes duvecteur de régressionϕ(tk) mais non corrélées avec le bruitadditif sur la sortiev(tk). Les conditions que doit remplirle vecteur de variables instrumentales sont ainsi résuméespar : {

E[ζ(tk)ϕT (tk)

]est non singulière

E [ζ(tk)v(tk)] = 0.(28)

Plusieurs solutions vérifiant ces conditions ont été proposéesdans la littérature. Parmi celles-ci l’estimateur de la variableinstrumentale à modèle auxiliaire [32] est particulièrement

simple à mettre en œuvre ; le vecteur de variables instru-mentales est alors construit de la manière suivante :

ζT (tk) = F (p)[−y(na−1)(tk, θmc) . . . − y(0)(tk, θmc)

u(nb)(tk) . . . u(0)(tk)], (29)

où F (p) correspond au filtre de variables d’état définipar l’équation (12) ety(tk, θmc) représente la sortie d’unmodèle dit auxiliaire obtenu à partir de l’estimation parmoindres carrés/FVE :

y(tk, θmc) = G(p, θmc)u(tk). (30)

Le vecteur des instruments (29) peut également s’écrire sousla forme :

ζT (tk) =[−[Lna−1y](tk, θmc) . . . − [L0y](tk, θmc)

[Lnbu](tk) . . . [L0u](tk)

]. (31)

L’estimateur de la variable instrumentale à modèle auxiliaireassocié au filtre de variables d’état est alors donné par :

θvi =

[N∑

k=1

ζ(tk)ϕT (tk)

]−1 N∑k=1

ζ(tk)[Lnay](tk), (32)

en supposant que la matrice inverse existe.

Propriétés de l’estimateur de la variable instrumenta-le/FVE. L’estimateur de la variable instrumentale/FVE estasymtotiquement non biaisé mais n’est pas à variance mini-male. Cet estimateur fait partie de la classe des estimateurssous-optimaux. Cependant, on ne saurait négliger cetteméthode. Elle est, en effet, souvent utile pour fournir uneestimation initiale pour les techniques itératives discutéesbrièvement dans la section qui suit.

Remarques :– dans ce qui précède, nous avons supposé le système

initialement au repos. Dans le cas contraire, il convientalors de prendre en compte l’effet des conditionsinitiales non nulles au niveau de l’estimation. Plu-sieurs approches sont envisageables [6]. Une approcheconsiste à augmenter le vecteur des paramètres et àestimer simultanément des termes supplémentaires liésaux conditions initiales avec les paramètres du modèleà temps continu [6], [21], [33]. Ceci peut s’avérer trèsutile en présence de données transitoires ;

– la stratégie de traitement de données via un pré-filtrage parallèle des signaux d’entrée/sortie est unepratique courante au niveau de la méthodologie del’identification de modèles paramétriques à temps dis-cret [2], [12]. Cette étape de pré-filtrage permet no-tamment d’améliorer l’efficacité statistique des esti-mateurs. Comme nous l’avons vu, cette étape de pré-filtrage est implicite dans le cas de l’identificationdirecte de modèles paramétriques à temps continu.Le rôle du pré-filtrage est double ici : le premier

est identique à celui de l’identification de modèlesparamétriques à temps discret et permet notammentde diminuer la variance de l’estimateur ; le second estde fournir une estimation des dérivées des signauxd’entrée/sortie dans la bande fréquentielle d’intérêt ;

– l’utilisateur doit fournir la pulsation de coupure dufiltre λ (12) qui constitue l’hyper-paramètre de laméthode FVE. De manière intuitive, le filtre FVE doitêtre choisi par rapport à la plage fréquentielle danslaquelle on recherche l’adéquation entre le système etle modèle. La réponse fréquentielle du filtre doit ainsicorrespondre au mieux à celle du système à identifier.En pratique, une sélection automatique des paramètresdu filtre est préférable et une méthode qui réalise cechoix automatique est présentée dans la partie V-B ;

– les opérations de filtrage (16) doivent être implantéesnumériquement à partir des échantillons des signauxd’entrée/sortie. Cette réalisation peut se faire de deuxmanières : en utilisant un solveur différentiel telle quela méthode de Kutta-Runge ou bien en discrétisant lareprésentation d’état des filtres [34] en choisissant laméthode appropriée de discrétisation en fonction del’évolution des signaux entre les instants d’échantillon-nage. Cette implantation numérique peut être la sourced’erreurs de simulation [35]. Ces erreurs de simulationnumérique peuvent cependant être, en général, réduitesen choisissant une faible période d’échantillonnageTe. Ceci ne constitue cependant pas un inconvénientmajeur aujourd’hui car la plupart des systèmes d’ac-quisition de données peuvent échantillonner à desfréquences très élevées. Si les données sont échan-tillonnées à pas variable, des approches spécifiquesde simulation numérique d’équations différentiellespeuvent être utilisées [36] ;

– les algorithmes présentés ici sont non-récursifs maisleur version récursive est également disponible (voir[32], par exemple) ;

– une interprétation originale de la méthode des filtresde variables d’état en termes de régularisation a étérécemment proposée [11] ;

– une approche intéressante fondée sur un filtre devariables d’état contenant un intégrateur pur a étérécemment proposée. Ce filtre permet d’estimer simul-tanément le retard et les paramètres de la fonction detransfert continue [37] ;

– la méthode des filtres de variables d’état représenteune approche classique d’identification de modèlesparamétriques à temps continu. Plusieurs types detransformations linéaires opérant un filtrage des don-nées ont été proposés au cours des trente dernièresannées donnant lieu à de nombreuses méthodes. Lelecteur intéressé par ces différentes techniques pourraconsulter les travaux suivants : [6], [19].

B. Estimateur optimal de la variable instrumentale (srivc)

L’estimateur optimal (non biaisé et à variance minimale)de la variable instrumentale a été établi pour le cas del’identification de modèles à temps discret [30], [2] puisadapté au cas continu ; il est obtenu pour les conditionssuivantes :

F opt(p) = 1Ho(p)Ao(p)

ζopt(tk) = F opt(p)[− y(na−1)(tk) . . . − y(0)(tk)

u(nb)(tk) . . . u(0)(tk)]

où Ho(p) représente le modèle de bruit vrai (3) ;Ao(p)représente le dénominateur de la fonction de transfert dusystème vrai ;y(tk) représente la sortie déterministe dusystème à l’instanttk.

La solution optimale de la variable instrumentale néces-site la connaissance de plusieurs caractéristiques du systèmeà identifier. Des versions approchées de cette solutionoptimale ont été proposées ; elles font appel soit à desprocédures itératives soit à des algorithmes comprenantplusieurs étapes [2].

Une approche stochastique qui s’est révélée être par-ticulièrement performante dans un cadre applicatif est laméthode de variable instrumentale optimale proposée parP. Young [24], [25], [26]. Cette approche comprend uneméthode de pré-filtrage adaptatif s’appuyant sur une so-lution optimale de la technique de variable instrumentalelorsque le bruit additif est blanc gaussien (Ho(p) = 1).Cette hypothèse permet de contourner les difficultés mathé-matiques liées à la manipulation des processus stochastiquesà temps continu [38], [39]. Cet estimateur est abrégé parson acronyme anglo-saxonsrivc (pour simplified refinedinstrumental variable for continuous-time models). Commenous allons le voir plus loin, cet estimateur de la variableinstrumentale optimale représente une extension logiquede l’estimateur de la variable instrumentale/FVE. Il a étédéveloppé à l’origine pour l’identification de modèles para-métriques à temps discret [31], [40]. Il présente l’avantageadditionnel de choisir de manière automatique (et optimale)les paramètres du filtre.

Le principe de cette méthode s’appuie sur le raisonne-ment suivant : le bruit additif étant supposé blanc gaussien,on définit alors l’erreur de sortieε(t) traditionnelle ,

ε(t) = y(t)− B(p)A(p)

u(t).

La minimisation d’une fonction de coût fondée surε(t),considérée pour les différents instants d’échantillonnageconduit à l’utilisation de la classe des techniques de l’er-reur de sortie. Cependant, l’erreur de sortieε(t) peut êtreconvertie en une erreur d’équation en factorisant par1/A(p)(les opérateurs commutent dans ce cas linéaire)

ε(t) =1

A(p)(A(p)y(t)−B(p)u(t)) , (33)

= A(p)(

1A(p)

y(t))−B(p)

(1

A(p)u(t)

). (34)

Cette équation s’écrit en fonction des signaux temporelssous la forme suivante :

ε(t) = [Lnay](t) + ana−1[Lna−1y](t) + . . . + a0[L0y](t)

−bnb[Lnb

u](t)− . . .− b0[L0u](t), (35)

où {[Liy](t) = li(t) ∗ y(t),[Liu](t) = li(t) ∗ u(t),

(36)

et l’ensemble des filtres sont à présent définis par

Li(p) =pi

A(p). (37)

A l’instant t = tk, l’équation (35) peut s’écrire sous uneforme de régression linéaire :

[Lnay](tk) = ϕT (tk)θ + ε(tk) (38)

avec le vecteur de régression défini par

ϕT (tk) =[−[Lna−1y](tk) . . . − [L0y](tk)

[Lnbu](tk) . . . [L0u](tk)

], (39)

et le vecteur des paramètresθ donné par l’équation (5).

La conversion de l’erreur de sortie en erreur d’équationnécessite de connaîtreA(p) qui est a priori inconnu. Onutilise alors une procédure itérative qui va ajuster au-tomatiquement la solution de l’estimateur de la variableinstrumentale à partir d’une estimation initialeA(p, θ0) deA(p, θj) jusqu’à convergence versA(p).

L’algorithme présentant les étapes principales de l’es-timateur de la variable instrumentale optimalesrivc estrésumé ci-dessous.

1) Estimer un vecteur de paramètres initialθ0.2) i = 0, . . . , NIter − 1

a) Utiliser θi pour calculer la sortie du modèleauxiliaire

y(tk, θi) = G(p, θi) u(tk). (40)

Calculer les sorties filtrées des signaux d’en-trée/sortie ainsi que de la sortie du modèleauxiliaire,

[Liy](t, θi) = li(t, θi) ∗ y(t),[Liu](t, θi) = li(t, θi) ∗ u(t),[Liy](t, θi) = li(t, θi) ∗ y(t, θi),

(41)

avec

Li(p, θi) =pi

A(p, θi).

b) Calculer une estimationθi+1 par la méthode devariable instrumentale à modèle auxiliaire :

θi+1 =

[N∑

k=1

[ζ(tk, θi)ϕT (tk, θi)

]−1

N∑k=1

ζ(tk, θi)[Lnay](tk, θi) (42)

avec

ζT (tk, θi) =[− [Lna−1y](tk, θi) . . . − [L0y](tk, θi)

[Lnbu](tk, θi) . . . [L0u](tk, θi)], (43)

ϕT (tk, θi) =[− [Lna−1y](tk, θi) . . . − [L0y](tk, θi)

[Lnbu](tk, θi) . . . [L0u](tk, θi)]. (44)

Répéter les étapes (2a), (2b) jusqu’à ce que la varia-tion relative sur les paramètres soit faible :

np∑j=1

∣∣∣∣∣ θi+1j − θi

j

θij

∣∣∣∣∣ < γ, (45)

où θij désigne leje élément du vecteur des paramètres

estimé à laie itération,np = na+nb+1 est le nombrede paramètres à estimer,γ est un seuil de tolérancedonné etNIter est le nombre d’itérations.

3) θsrivc = θNIter .

Propriétés de l’estimateur optimal de la méthode de va-riable instrumentale

– il est asymptotiquement non-biaisé quelle que soit lanature du bruit additif (à moyenne nulle) et à varianceminimale lorsque le bruit additif est blanc.

Remarques :– la méthodesrivc exploite des techniques d’optimisa-

tion linéaire et converge en général beaucoup plusrapidement (typiquement en 4 ou 5 itérations) qu’uneméthode minimisant une erreur de sortie ;

– la convergence de l’algorithme est peu sensible auchoix du vecteur de paramètres initialθ0 qui peutêtre fourni par exemple en utilisant l’estimateur de lavariable instrumentale sous-optimale/FVE ;

– une indication sur le domaine d’incertitude des pa-ramètres estimés via l’estimation de la matrice decovariance des paramètres est délivrée, ce qui permetd’apprécier la qualité de l’estimation :

P = σ2ε

[N∑

k=1

ζ(tk, θsrivc)ζT (tk, θsrivc)

]−1

, (46)

où σ2ε représente la variance empirique de l’erreur de

simulationε(tk, θ) = y(tk)− y(tk, θsrivc).– cette approche peut être mise en œuvre de façon

récursive [24] ;– cette approche peut identifier très facilement un sys-

tème à partir de données échantillonnées à pas variable[36] (voir également section VIII-B). Les opérations defiltrage des signaux sont alors réalisées en utilisant unsolveur différentiel du type Kutta-Runge par exemple ;

– dans le cas où le bruit additif est coloré, l’estimateursrivc n’est plus optimal au sens statistique du terme.Cependant les nombreuses applications de l’algorithmeont montré qu’il était suffisamment robuste et qu’ilfournissait des paramètres estimés avec une variancerelativement faible. Dans le cas d’un bruit coloré, il est

également possible d’utiliser l’approche récente de mo-délisation de type Box-Jenkins hybride dans laquellele bruit est modélisé à l’aide d’une représentation àtemps discret récemment développée [41], [42] ;

– La méthodesrivc a été également récemment étendueau cas des systèmes multi-entrées mono-sortie (MISO)représentés par des modèles de la forme [43] :

y(t) =nu∑i=1

Bi(p)Ai(p)

ui(t) (47)

y(tk) = y(tk) + v(tk) (48)

avec :

Bi(p) = bi,0 + bi,1p + · · ·+ bi,mipmi ,

Ai(p) = ai,0 + ai,1p + · · ·+ pni ,

ni ≥ mi, i = 1 . . . nu.

Ce modèle présente l’avantage de posséder un déno-minateur différent pour chaque entrée, ce qui est plusréaliste avec les cas de figure rencontrés en pratique.Celui-ci n’est cependant plus linéaire par rapport auxparamètres. La version MISO de la méthodesrivcrepose sur la régression multilinéaire [3]. Le vecteurdes paramètresθ est partitionné en classeθ1, . . ., θnu

de façon à ce que l’erreur soit affine par rapport àchacune des classes de paramètres, quand les para-mètres des autres classes sont fixés. Il est alors possiblede chercherθ en appliquant successivement la versionSISO de la méthodesrivc pour l’estimation de chacunedes classes de paramètres en explorant cycliquementtoutes les classes. A chaque étape, la valeur du critèredécroît jusqu’à convergence vers une valeur constante.Rien ne garantit cependant la convergence vers unoptimum global (ou même local) du critère. C’estun problème général de ce type d’algorithmes quigèlent certains paramètres pendant qu’ils en optimisentd’autres. Cependant, les essais effectués en simulationainsi que sur des données provenant de procédés in-dustriels ont montré l’intérêt de cette version MISO dela méthodesrivc [43] ;

– la version de l’estimateursrivc pour l’identificationde modèles à temps discret abrégé parsriv ne doitpas être confondue avec la méthode de la variableinstrumentale optimale abrégée pariv4 disponible dansla boîte à outils "System identification" de Matlab [2].Cette version n’est pas itérative mais comprend quatreétapes. Elle fournit en général de nettement moins bonsrésultats d’estimation que la méthode itérativesriv, cequi peut en partie expliquer le manque d’intérêt pources approches de variable instrumentale au sein de lacommunauté automaticienne ;

– l’estimateur srivc présente une étroite parenté aveccelui de Steiglitz-McBride [44] revisité au début desannées 80 [45] à la différence fondamentale que l’esti-mateursrivc s’appuie sur la méthode de la variable ins-

trumentale alors que l’estimateur de Steiglitz-McBriderepose sur l’estimateur des moindres carrés simples.

Une version MISO de l’estimateur optimal de la variableinstrumentalesrivc est disponible au sein de la boîte à outilsCONTSID.

C. Méthode de l’erreur de sortie (coe)

Cette méthode est connue en France sous l’appellationgénérique de méthode du modèle [27], [28]. Elle reposesur la minimisation d’un critère fondé sur une erreur desortie. Ce critère se distingue de celui fondé sur une erreurd’équation par sa signification physique et sa sensibilitéplus importantes aux erreurs de structure de modèles etaux valeurs des paramètres. Elle se différencie égalementpar sa mise en œuvre plus délicate due à l’expressionnon-linéaire par rapport aux paramètres de l’erreur desortie. Elle consiste à exploiter les propriétés locales ducritère au voisinage d’un point courantθi dans l’espacedes paramètres pour en déduire un point suivantθi+1

meilleur au sens du critère à minimiser. Diverses méthodesgarantissent une convergence vers l’optimum local ducritère dans le bassin d’attraction où se trouvait le vecteurinitial θ0. Les algorithmes de Gauss-Newton et sa variantedue à Levenberg-Marquardt, de quasi-Newton et desgradients conjugués font partie des plus utilisés [3]. Ilutilise la connaissance de la valeur du critère et de songradient au point courant. Ce dernier peut être calculé enutilisant les fonctions de sensibilité de la sortie du modèlepar rapport aux paramètres. Celles-ci peuvent être obtenuespar simulation d’équations déduites de celles du modèle.Au cours de l’optimisation, il est souvent nécessaire decalculer le critère et son gradient de nombreuses fois, cequi se traduit par un très grand nombre de simulations.Cette méthode abrégée par son acronyme anglo-saxoncoe (pour continuous-time output error method) est unetechnique classique de l’identification et ne fera pas l’objetd’une présentation détaillée dans cet article. Le lecteurintéressé pourra consulter par exemple les référencessuivantes [3], [46], [29].

Remarques :– elle fournit une évaluation de la précision des para-

mètres estimés. En effet, une approche simple consisteà exploiter les propriétés asymptotiques de l’estimateurau sens du maximum de vraisemblance, et à assimilerla covariance de l’erreur d’estimation à l’inverse de lamatrice d’information de Fisher, aisément calculable àpartir des informations du bruit utilisé pour construirel’estimateur. Cette méthode est de loin la plus utiliséemais le caractère très approximatif des résultats qu’onen déduit quand le nombre de données est faible nedoit cependant pas être dissimulé ;

– elle permet l’identification de systèmes multi-entréesmono-sortie représentés par une structure de modèlesdu type (47) ;

– le problème principal des méthodes à erreur de sortieest l’existence possible de plusieurs minima locauxvers lesquels peut converger l’algorithme d’optimisa-tion. L’initialisation des algorithmes joue, en général,un rôle important sur la convergence et il est néces-saire de faire appel à des procédures particulières afind’éviter les optimiseurs locaux parasites (voir [47] parexemple).

Une version MISO utilisant l’algorithme de Gauss-Newtonou sa variante due à Levenberg-Marquardt via la simulationnumérique des fonctions de sensibilité de la sortie parrapport aux paramètres, est disponible dans la boîte à outilsCONTSID.

Le lecteur aura compris à la lecture de ce panoramaque les auteurs ont une préférence très nette pour l’estima-teur optimal de la variable instrumentale. Cette approchea démontré en pratique son potentiel à de nombreusesoccasions [48], [49], [50], [51] et nous la conseillons enpremier lieu. Le panorama présenté ici n’a toutefois pasla prétention d’être exhaustif ; d’autres approches existent,comme par exemple, celle très récente fondée sur uneapproche algébrique [7], [52], ou encore les approchesrécursives décrites dans [53].

VI. AVANTAGES ET OUTIL LOGICIEL

Cette section est dédiée à la boîte à outils CONTSID quirassemble les diverses méthodes d’identification de modèlesà temps continu. Après la présentation succincte de celle-ci,les principaux avantages de ces approches sont résumés.

A. La boîte à outils CONTSID

Alors que de nombreux logiciels rassemblant lesdifférentes techniques d’identification de modèles à tempsdiscret sont disponibles, aucun outil n’existait dans le casde l’identification de modèles à temps continu. C’est àpartir de ce constat que nous avons décidé de réaliserune boîte à outils Matlab appelée CONTSID (pourCONtinuous-Time System IDentification) [8]. L’objectifest de mettre à disposition des utilisateurs potentiels leplus grand nombre de méthodes permettant d’identifier dessystèmes linéaires (SISO, MISO et MIMO) représentéssous la forme de modèles à temps continu, directementà partir des données échantillonnées. Cette boîte à outilsMatlab rassemble la plupart des méthodes développées aucours des trente dernières années et est conçue commeune extension de la boîte à outils commerciale "SystemIdentification" de Matlab développée par L. LJUNG. Elleest librement téléchargeable à l’adresse suivante :http ://www.cran.uhp-nancy.fr/contsid/

Les programmes disponibles dans la boîte à outils CONT-SID permettent d’appliquer la méthodologie complète del’identification. Un grand nombre de fonctions sont cepen-dant dédiées à l’étape d’estimation paramétrique et peuventêtre distinguées selon le type de modèle à identifier :

– le modèle à identifier se présente sous la forme d’unefonction de transfert. Ces approches sont adaptéesau cas des systèmes mono- ou multi-entrées mono-sortie. Les techniques disponibles reposent soit surla minimisation d’une erreur d’équation nécessitantl’utilisation d’une transformation linéaire couplée àune méthode issue des moindres carrés ou de lavariable instrumentale (srivc par exemple), soit sur laminimisation d’une erreur de sortie (coepar exemple)(voir partie IV) ;

– le modèle à identifier se présente sous la forme d’unereprésentation d’état. Ces approches sont particuliè-rement appropriées aux systèmes multi-entrées multi-sorties. Une première classe de méthodes disponiblesest fondée sur la connaissancea priori des indicesstructuraux définissant la forme canonique de la re-présentation d’état. Le principe consiste à transformerla forme d’état canonique sous une forme polynomialeexterne équivalente qui présente l’avantage d’être li-néaire par rapport aux paramètres. Les paramètres dela forme externe peuvent être ensuite estimés à l’aidede méthodes dérivées de celles utilisées dans le casde l’identification des modèles sous forme de fonc-tion de transfert. Quelques algorithmes d’estimationparamétrique couplés à la technique des moments dePoisson sont disponibles [54]. La seconde classe deméthodes est fondée sur les techniques de décompo-sition en sous-espaces. La méthode des sous-espacesde la famille des4sid a été associée aux techniquesde transformation linéaire présentant les meilleuresperformances [55].

En plus des différents algorithmes d’estimation paramé-trique, quelques programmes de démonstration donnant unaperçu rapide des fonctionnalités de la boîte à outils sontégalement disponibles. Les principales fonctions d’estima-tion paramétrique ainsi que l’interface graphique récemmentdéveloppée sont présentés dans [56].

B. Avantages

La plupart des systèmes réels régis par les lois de laPhysique (systèmes électroniques, mécaniques, thermiques,hydrauliques, etc) évoluent par nature continûment dansle temps. Leur comportement peut être décrit approxima-tivement après linéarisation autour d’un point de fonc-tionnement par des équations différentielles ordinaires àcoefficients constants. Cette représentation dans le domainecontinu est donc naturelle pour l’étude des systèmes li-néaires.

L’identification directe de modèles à temps continu pré-sente en elle-même de nombreux avantages dont les prin-cipaux sont :

– de fournir directement un modèle à temps continu àpartir de données échantillonnées. Les paramètres dumodèle identifié sont fortement liés aux propriétés etaux coefficients physiques du système à identifier. Cemodèle peut être interprété physiquement beaucoup

plus aisément que l’équivalent discret délivré par lesapproches traditionnelles d’identification de modèles àtemps discret ; cet aspect est particulièrement attrayantpour un ingénieur ;

– de simplifier l’application de la procédure complèted’identification de systèmes pour l’utilisateur non-spécialiste. Comme dans beaucoup d’autres domaines,il y a la théorie et la pratique en identification. Lathéorie de l’identification de modèles à temps dis-cret est bien établie ; la pratique, quant à elle, n’estpas simple à mettre en œuvre pour l’utilisateur non-spécialiste qui se retrouve souvent démuni devant leschoix multiples à effectuer concernant par exemplele pré-traitement des signaux bruts avant d’effectuerl’estimation paramétrique. Cette étape de pré-filtrageest souvent primordiale, comme l’ont démontré lesrésultats de simulation présentés dans la partie IV[12]. Les approches directes intègrent toutes un pré-filtrage implicite des données (le filtre est de plus choiside manière automatique et optimale dans le cas del’estimateursrivc) ;

– de s’appuyer sur une paramétrisation parcimonieuse.La connaissancea priori de l’ordre relatif du systèmeest facilement prise en compte ce qui permet d’éviterl’estimation de zéros de discrétisation rencontrés lorsde l’identification de modèles à temps discret [57] ;

– de pouvoir plus naturellement traiter des données pré-levées rapidement. Ces approches sont en effet beau-coup moins sensibles aux problèmes numériques queles approches discrètes. Elles sont par conséquent trèsbien adaptées aux équipements actuels d’acquisition dedonnées qui délivrent des mesures quasiment à tempscontinu ;

– de pouvoir aisément traiter le cas de données échan-tillonnés à pas variable [36]. Ce type de données estsouvent rencontré dans le cas des systèmes mécaniquesoù un échantillonnage angulaire est réalisé, ou encoredans le domaine biomédical [58] ou biologique (voirVIII-B).

Des exemples illustrant ces avantages sont disponibles dansles programmes de démonstration de la boîte à outilsCONTSID (voir fichier idcdemo.m).

VII. A SPECTS PLUS AVANCÉS

Dans les problèmes que nous avons étudiés jusqu’alors,nous avons supposé que le système à identifier peut êtrereprésenté sous la forme d’une fonction de transfert associéeà une sortie et une entrée décorrélée des perturbations.En pratique, il arrive que cette modélisation ne puisse pastoujours se faire. Il faut alors faire appel à des techniquesd’identification appropriées à ces cas particuliers. Dans cettepartie, nous présentons une introduction à quatre aspectsplus avancés de l’identification des systèmes :

– les systèmes multivariables représentés sous formed’état ;

– l’identification en boucle fermée lorsqu’une loi decommande régit le système à identifier ;

– l’identification dans un contexte “erreurs-en-lès-variables” lorsque non seulement la sortie mais égale-ment l’entrée sont perturbées par des bruits de mesure ;

– l’identification de systèmes non linéaires.

A. Identification de modèles d’état

Le cas de l’identification de systèmes multivariables pardes modèles à temps continu a été jusqu’à présent, peudéveloppé. En effet, les méthodes d’estimation directe demodèles à temps continu ont essentiellement été déve-loppées dans le cas monovariable ou multi-entrées. Unesolution élégante et performante permettant de traiter le casdes systèmes multi-entrées et multi-sorties est celle de ladécomposition en sous-espaces. Ces approches, bien quesous-optimales, sont toutefois très intéressantes car elle per-mettent d’identifier directement des modèles d’état à partirdes données d’entrée/sortie mesurées, sans connaissancea priori des indices structuraux. Ces techniques ont étéessentiellement développées pour traiter le cas des modèlesà temps discret et font toujours l’objet de nombreuses étudesactuellement.

Quelques travaux ont été proposés pour utiliser cettedécomposition en sous-espaces pour identifier directementun modèle d’état à temps continu [59], [60], [55], [61].Les premières études [59], [60] proposent d’introduire desopérateurs de translation discret/continu particuliers pouranalyser et récrire le problème d’identification à tempscontinu à l’aide d’une approche algébrique. Plus récem-ment, nous avons proposé de combiner un préfiltrage detype moment de Poisson à l’algorithme des sous-espacesdécrit dans [62] pour compenser les bruits colorés ; lesalgorithmes correspondant sont disponibles dans la boîteà outils CONTSID. Il existe également d’autres méthodes,comme par exemple celle de A. Oshumiet al [61] quitraitent le problème d’identification en présence de bruitsd’état et de mesure en décrivant les dérivées de bruitssupposés blancs gaussiens via le concept de distributionaléatoire de Itô Schwartz.

B. Identification des systèmes en boucle fermée

On ne peut pas toujours conduire des expérimentationsen boucle ouverte sur des procédés industriels, soit pour desraisons de production, soit pour des problèmes d’instabilité.Dans ce cas, il est possible, sous certaines conditions,d’identifier les systèmes à partir de signaux acquis enboucle fermée. Cette technique présente plusieurs avan-tages, comme par exemple la maîtrise du signal (d’entréeet/ou de sortie) lors des campagnes de mesures, ou encore lemaintien du processus autour d’un point de fonctionnement.Sa principale difficulté est due à la corrélation induite parle bouclage entre les perturbations et les signaux de com-mande (figure 3). Un autre problème causé par des donnéesrecueillies en boucle fermée est qu’elles comportent moinsd’information que celles recueillies en boucle ouverte. En

effet, un objectif important de la commande est de minimi-ser la sensibilité du système bouclé aux perturbations, cequi rend le problème d’identification plus délicat à traiter[63].

Cc G0

H0

d+−

d++ d+

+- ?-6

- - - -?

?

r1

r2 u y

e0

Fig. 3. Système bouclé.

Pour remédier à ces problèmes, plusieurs méthodesd’identification en boucle fermée ont été proposées. Ellesvisent toutes à rendre le signal utilisé comme entrée dumodèle indépendant des perturbationse0(tk). Il est ce-pendant important de noter que l’application directe d’uneméthode minimisant une fonction de l’erreur de prédictionà des données recueillies en boucle fermée fournit desestimations convergentes, si le processus appartient à laclasse de modèles choisie (S ∈ M). Cependant, ce casétant restrictif et surtout peu réaliste, d’autres méthodes ontété proposées pour identifier des modèles à temps continu.Une revue de ces différentes approches peut être obtenuedans la littérature [64], [65].

En revanche, l’identification en boucle fermée de modèlesà temps continu n’a pas encore atteint le degré de maturitédu cas discret.

La première méthode développée pour identifier un mo-dèle à temps continu en boucle fermée est celle de P.C.Young, qui propose de combiner une technique de variableinstrumentale à modèle auxiliaire avec la technique FVE[32].

Plus récemment, des méthodes permettant de prendreen compte le bruit sur les signaux de mesure et permet-tant d’obtenir directement un modèle convergent et précisdu système ont été proposées. Une première techniqueconsiste à éliminer le biais issu d’une identification parmoindres carrés [66]. Il s’agit d’effectuer dans un premiertemps une estimation par moindres carrés, puis d’estimerle biais issu de cette estimation afin de le retrancher pourobtenir le modèle final. Les approches de type variableinstrumentale peuvent également être utilisées. La premièretechnique consiste à utiliser le signal d’excitation (r1(t) our2(t)) comme instruments, ce qui permet de vérifier lesdeux conditions de convergence des techniques de variableinstrumentale (28) ; puis afin d’améliorer la précision dumodèle estimé (variance minimale), des méthodes de va-riable instrumentale optimale sont également développées[67]. En effet, les choix des instruments peuvent avoir uneffect considérable sur la matrice de covariance. La limite

inférieure peut être obtenue en choisissant3 :{F opt(p) = 1

A0(p)H0(p)

ζopt(tk) =[F opt(p)ϕT (tk)

]T,

(49)

où ϕ(tk) représente le vecteur de régression déterministe,c’est à dire construit à partir des signaux d’entrée/sortieu ety ainsi que de leurs dérivées. Ainsi, l’estimateur optimale devariable instrumentale, comme dans le cas de l’identificationen boucle ouverte (V-B), ne peut être obtenu que si les vraismodèles du système et du bruit sont connus ; l’optimalité nepeut donc pas être atteinte directement dans un cas pratique.Plusieurs méthodes de type “bootstrap” ont été proposéespour pallier ce problème [68].

C. Identification dans un contexte erreurs-en-les-variables

Mis à part le cas particulier de l’identification en bouclefermée, la majorité des méthodes d’identification de mo-dèles à temps discret ou continu reposent sur l’hypothèsede bruit additif sur la sortie uniquement, l’entrée du sys-tème étant supposée parfaitement maîtrisée. Or, dans denombreux cas pratiques, l’entrée est également mesurée etdonc entachée de bruits de mesure (cf figure 4) ; il s’avèreque l’utilisation des méthodes classiques ne prenant pasen compte le bruit sur l’entrée conduit à des estimationsbiaisées.

G(p)

g+ g+

- -

@@

?- -

@@

? --

u(t)

u(tk)

y(t)

u(tk) y(tk) y(tk)

Fig. 4. Système avec données d’entrée/sortie bruitées

L’identification de systèmes lorsque les signaux de sor-tie et d’entrée sont entachés de bruit, mais non liés parl’intermédiaire d’une boucle fermée, est dite“erreurs-en-les-variables”. Ce type de modèle est très intéressantlorsque le but de l’identification est la détermination deslois internes régissant le procédé, plus que la prédiction deson comportement futur. De nombreuses disciplines utilisentce type de modèles [69].

Ce problème d’identification dans un contexte erreurs-en-les-variables a fait l’objet de travaux récents dans le casde modèles à temps discret. On peut diviser ces travaux endeux classes : ceux exploitant les statistiques de secondordre [70], [69], [71], [72], [73], et ceux utilisant lesstatistiques d’ordre supérieur (à deux) [74], [75], [76]. Enrevanche, ce problème n’a été que très peu traité dansle cadre de l’identification de modèles à temps continu.On peut toutefois citer l’approche utilisant les statistiques

3avecG0(p) =B0(p)A0(p)

d’ordre deux [77] et celle fondée sur les statistiques d’ordresupérieur couplées à la méthode de Steiglitz-McBride.

D. Identification des systèmes non linéaires

Historiquement et pour des raisons de commodité de miseen œuvre, l’approche la plus répandue en Automatique estd’approcher les systèmes non linéaires par des modèleslinéaires. Un modèle linéaire suffit le plus souvent à décrireavec une bonne précision le comportement général et ladynamique moyenne d’un système faiblement non linéaire.Cependant, si les non-linéarités deviennent trop impor-tantes, il n’est plus possible de se contenter d’approcherle comportement du système par un (ou des) modèle(s)linéaire(s). Il faut donc avoir recours à des modèles nonlinéaires, ce qui entraîne un certain nombre de difficultés auniveau de l’identification. Si l’on compare les deux typesde représentation des systèmes (linéaire et non linéaire),une des principales difficultés de la deuxième forme dereprésentation est due à l’absence d’une théorie unifiée dereprésentation des non-linéarités, théorie qui existe dans lecas des systèmes linéaires. Selon que l’on possède ou nondes informations sur la structure du système non linéaireétudié, plusieurs choix possibles de formes de modèles seprésentent [78], [79]. Parmi les modèles de comportementles plus utilisés, on distingue entre autres les modèles NAR-MAX, les multi-modèles et les réseaux de neurones. Un desproblèmes majeurs entraînés par la représentation à l’aidede ces modèles de comportement est la sur-paramétrisationdes modèles employés. C’est pourquoi, parmi les différentesreprésentations possibles de systèmes non linéaires, nousnous sommes récemment focalisés sur l’estimation de mo-dèles à paramètres dépendants de l’état du système. Cetteapproche permet de tirer profit des avantages des méthodesd’estimation récursive en supposant que les paramètresdu modèle évoluent au cours du temps en fonction desvariations de certains états du système [18].

VIII. A PPLICATIONS

Cette partie présente deux études de cas illustrant l’ap-plication des algorithmes d’identification de modèles àtemps continu disponibles dans la boîte à outils logicielleCONTSID pour MATLAB c©. Le premier exemple est unsystème dynamique multivariable correspondant à une unitéd’enroulement de bande de matériaux reproduisant certainsproblèmes de commande en papeterie et en métallurgie. Lesecond problème concerne la détermination de modèles decinétique en biologie cellulaire.

A. Machine d’enroulement de bande

L’entraînement de bande sous traction est un systèmecontinu utilisé dans plusieurs procédés industriels essentiel-lement en métallurgie [80], [81], [82] et en papeterie [83].Sa fonction principale est de permettre un transport régulierd’une bande de matière au sein d’un procédé de fabrication.Une des difficultés de la conduite automatique d’un telsystème est due à son caractère multivariable. Pour prendre

en compte cet aspect du problème, il est nécessaire d’obtenirun modèle multivariable du système [84].

ENROULEUR

DEROULEUR

TRACTEUR

T1

T3

I3*

I1*

S2*

S2

0 5 10 15 20 25 30-20

-10

0

10

temps (s)

ampl

itude

(%)

0 5 10 15 20 25 30

-4

0

4

temps (s)

ampl

itude

(%)

0 5 10 15 20 25 30

-4

0

4

temps (s)

ampl

itude

(%)

0 5 10 15 20 25 30

-5

0

5

temps (s)

ampl

itude

(%)

0 5 10 15 20 25 30-15

-10

-5

0

5

10

temps (s)

ampl

itude

(%)

0 5 10 15 20 25 30

-5

0

5

temps (s)

ampl

itude

(%)

Fig. 5. Système d’enroulement de bande

Description de l’installation. Un schéma de l’installationest présenté à la figure (5). Il s’agit d’un système pilote delaboratoire conçu pour reproduire la nature multivariablede ce type d’installation ainsi que les problèmes associésaux tensions d’enroulement et de déroulement de bande.Cette machine est composée essentiellement d’une bandeplastique, d’un rouleau d’entraînement (tracteur), d’unebobine dérouleuse et d’une bobine enrouleuse. Le rouleauet les deux bobines sont couplés à des moteurs électriques.Les vitesses de rotation des moteurs sont mesurées par desdynamos tachymétriques et les tensions des deux élémentsde bande compris entre les bobines et le rouleau sontmesurées par deux jauges de contraintes. Les moteursdes deux bobines sont commandés par deux variateurs decouple alors que le moteur du rouleau d’entraînement estcommandé par un variateur de vitesse.

Protocole expérimental. Les consignes des trois variateurssont les variables d’entrée du système :

u(t) =(I∗1 (t) I∗3 (t) S∗2 (t)

)T. (50)

La conduite de la machine d’enroulement de bande consisteessentiellement à maîtriser la vitesse linéaire (V ) de labande et les tensions (T1) et (T3) autour d’un point defonctionnement. Le rayon du rouleau d’entraînement étantconstant, la maîtrise deV passe par celle de la vitesseangulaireS2. En conséquence, les variables de sortie dusystème sont :

y(t) =(T1(t) T3(t) S2(t)

)T. (51)

Une partie des données utilisées pour la phase d’identifi-cation est présentée sur les figures 6 et 7. Une séquencebinaire est utilisée en tant que signal d’excitation sur les

0 5 10 15 20 25 300.05

0.1

0.15I 1*

0 5 10 15 20 25 300.3

0.4

0.5

S 2*

Temps (s)

0 5 10 15 20 25 300.25

0.3

0.35

I 3*

Fig. 6. Signaux d’entrée appliqués au système

0 5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

T 1

0 5 10 15 20 25 30

0.3

0.4

0.5

0.6

S 2

Temps (s)

0 5 10 15 20 25 30

0.1

0.2

0.3

T 3

Fig. 7. Signaux de mesure en sortie du système

variables d’entrée. La période d’échantillonnage est égale àTe = 10ms et la durée de l’expérience est d’environ30s.

Choix de la forme de représentation et sélection de l’ordredu modèle. Dans cet exemple, on cherche à décrire lesystème à l’aide d’une représentation d’état à temps continude la forme : {

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t). (52)

x(t) ∈ Rn désigne le vecteur d’état oùn correspond àl’ordre du système. Ce dernier a été choisi par minimisationde l’erreur de sortie entre les observations et le modèle.A,B,C, D sont les matrices à estimer de la représentationd’état.

Estimation de la représentation d’état. L’équation (53)présente les résultats numériques d’estimation de la repré-sentation d’état à temps continu obtenue par l’algorithmesidgpmf pour les valeurs de paramètres suivantsλ = 4.25rad/s,i = 2 et n = 3.

0 5 10 15 20 25 30!0.2!0.1

00.10.2

T 1

Coefficient de determination: 0.936

0 5 10 15 20 25 30

!0.1

0

0.1

T 3

Coefficient de determination: 0.843

0 5 10 15 20 25 30

!0.1

0

0.1

0.2

Temps (s)

S 2

Coefficient de determination: 0.97

Fig. 8. Comparaison des sorties mesurées en trait plein et des sorties dumodèle estimé en trait mixte

(A BC D

)= (53)

−1.6414 −0.9874 −0.4773

−0.1261 −2.7725 −1.3205

0.4517 2.1746 −4.2674

4.4994 −3.1047 −4.0889

2.0652 −3.3796 −9.0513

11.7889 9.6855 −15.4186

−1.1073 0.4345 −0.0536

0.1442 −0.1717 −0.2537

−0.2047 −0.4425 0.1120

0

.

Validation du modèle. La figure 8 présente les résultatsde simulation du modèle estimé vis à vis d’autres ob-servations que celles utilisées pour la phase d’estimation(test de validation croisée). Les valeurs des coefficients dedétermination montrent que le comportement dominant dusystème est correctement décrit par le modèle estimé.

B. Incorporation intracellulaire d’une drogue

Description du système et du problème inverse. La figure 9présente un schéma descriptif d’une expérience d’incorpora-tion intracellulaire d’une drogueD en conditionin vitro. Lesignal d’excitationu(t) est un signal échelon qui correspondà l’injection à l’instantt = 0 d’une doseu0 de drogue dansle milieu de culture.

u(t) ={

0 t < 0u0 t ≥ 0.

(54)

Le temps d’injection est négligé par rapport à la duréed’observation du phénomène. La variable de sortiey(t)correspond à la quantité de drogueD incorporée dans lescellules. On cherche à approcher le comportement observéentrey(t) et u(t) par une structure de modèle polynomialede type erreur de sortie définie par

y(tk) =B(p)A(p)

u(tk) + e(tk), (55)

milieu deculture

cellule vivante

drogue

y(t)

u(t)

drogueintracellulaire

Fig. 9. Expériencein vitro d’incorporation intracellulaire d’une drogue

où e(tk) correspond à l’erreur de sortie supposée être unprocessus gaussien centré, indépendant et identiquementdistribué.B(p) et A(p) sont deux polynômes définis par :

B(p) = b0 + b1p + · · ·+ bnbpnb (56)

A(p) = a0 + a1p + · · ·+ pna . (57)

nb et na sont les ordres des polynômes.

Protocole expérimental. Le protocole expérimental com-prenant le matériel, les produits et la méthode d’ex-périmentation est décrite dans [85]. Le signal de me-sure y(t) provient d’un spectrofluorimètre. L’ensembledes instants de mesure est défini par le vecteurt =(1 2 4 6 8 14 18 24h

). La figure 10 montre

deux séries de mesure de cinétiques d’incorporation intra-cellulaire d’une drogue dans deux milieux différents. Cesmilieux diffèrent de par leur taux de protéine ([Se] = 0% et[Se] = 9%). Les difficultés de ce problème d’identificationsont multiples :

– peu de points (N < 10) ;– des données échantillonnées à pas variable ;– un faible rapport signal/bruit (dans cet exemple le

RSB peut atteindre3.5dB) ;– signal d’entrée peu excitant (il est souvent très difficile

de réaliser autre chose qu’un échelon en biologiecinétique).

Sélection de structure. La première étape d’identificationdu système consiste à sélectionner une structure de mo-dèle parcimonieuse parmi un ensemble de structures can-didates [3]. Trois structures discernables sont étudiées :

!5 0 5 10 15 20 250

0%5

1

1%5

2

2%5

3

tem*s (.)

inte

nsite

de

34u67

es8e

n8e

(9%:

%)

;<e=>0%

;<e=>@%

Fig. 10. Réponses mesurées (points et croix) d’incorporation intracellu-laire pour un signal d’entrée en échelon d’amplitude5 · 10−3µmol · l−1

et réponses simulées (traits continus) à partir des modèles estimés

M = {M1,M2,M3} avec

M1 : (1 + T1p)y(t) = k1u(t) (58)

M2 : (1 + T21p)(1 + T22p)y(t) = k2u(t) (59)

M3 : (1 + T31p)(1 + T32p)y(t)= k3(1 + T33p)u(t). (60)

Une présentation synoptique des critères de sélection destructures en identification des systèmese.g.AIC (Akaike’sInformation Criterion), FPE (Final Prediction Error), F-test (ou plutôt le test duχ2), BIC (Bayesian InformationCriterion), YIC (Young Information Criterion) est proposéedans [86], [3]. Toutefois dans le cas où les données sontpeu nombreuses, concrètement lorsque le rapport du nombred’observations sur le nombre de paramètres est inférieur à40 alors aucun de ces critères n’est recommandé. Dans cecas, il est préférable d’utiliser une version adaptée du critèred’Akaike intitulée AICc [87] et définie par

JAICc = JAIC +2np(np + 1)N − np − 1

, (61)

avec np = na + nb + 1. En pratique, on considèreempiriquement que la différence entre deux valeurs dece critère est significative lorsqu’elle est supérieure à10 ;le meilleur modèle est obtenu pourJAICc le plus faiblepossible. Le tableau I présente les résultats de sélection avecl’utilisation du critèreJAICc pour les deux taux de protéine.En respectant le principe de base énoncé précédemment,on s’aperçoit que la différence entre les structuresM1 etM2 n’est pas totalement significative. Dans ce cas, le choixse porte sur la solution la plus simple, c’est-à-dire cellecomprenant le moins de paramètres, à savoir :M1.

TABLE I

RÉSULTATS DE SÉLECTION DE MODÈLE

Structure M1 M2 M3

JAICc - [Se] = 0% 88.6 93.2 100JAICc - [Se] = 9% 57.7 65.3 73.58

Résultats d’identification. La seconde étape d’identificationest l’estimation des paramètres de la structure préalablementsélectionnée. La méthode choisie pour estimer les para-mètres du modèle estsrivc; les deux modèles estimés dansle cas des milieux protéinés à0% et 9% sont les suivants :

M0%1 =

4931 + 3p

(62)

M9%1 =

77.51 + 1.89p

(63)

La figure 10 présente en trait continu les résultats de simu-lation des modèles estimés comparativement aux donnéesobservées.

Validation du modèle. En science du vivant, on observesouvent une grande variance sur les résultats de différentesexpériences identiques. Ce fait nous empêche en pratiquede vérifier la pertinence des modèles estimés par des testsclassiques de validation croisée. Dans le cas de cet exemple,les variations des paramètres estimés en fonction du tauxde protéine ont été validées et appréciées par des biolo-gistes [88].

IX. CONCLUSION

Cet article a présenté un panorama des méthodes d’iden-tification directe de modèles linéaires de type boîte-noire àtemps continu à partir de données échantillonnées. Ces ap-proches sont longtemps restées dans l’ombre des méthodestraditionnelles d’identification de modèles à temps discret.Les approches d’identification directe de modèles à tempscontinu présentent les avantages de fournir un modèle direc-tement interprétable physiquement par l’utilisateur, de faci-liter l’application de la méthodologie complète de l’iden-tification des systèmes (pré-filtrage implicite), d’être bienadaptées aux conditions actuelles d’acquisition de données(échantillonnage rapide), ou encore de pouvoir traiter le casde données échantillonnées à pas variable. La boîte à outilsCONTSID a contribué à la diffusion et facilite l’utilisationde ces approches. Ces approches ne doivent cependant pasêtre considérées comme concurrentes mais plutôt commecomplémentaires aux techniques d’identification de modèlesà temps discret. Ces dernières ont en effet depuis trente ansfait leurs preuves sur le plan des applications. Le message àtransmettre à la communauté automaticienne est cependantde rappeler que d’autres approches d’identification existent :les techniques d’identification de modèles à temps continuprésentées dans cette article en font partie, sans oublier lesméthodes d’identification dans le domaine fréquentiel [89],[90]. L’utilisateur doit donc connaître l’ensemble des outilsexistants puis choisir (ou être guidé) vers la méthode la plusappropriée pour résoudre son problème d’identification.

X. REMERCIEMENTS

Nous souhaiterions remercier nos collègues, David Brie,Eric Huselstein, Michel Mensler, Saïd Moussaoui, PatrickSibille, Magalie Thomassin, qui à des degrés divers ontcontribué aux travaux présentés dans cet article.

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