IFT3355: InfographieTransformations Géométriques

© Victor Ostromoukhov

Dép. I.R.O.

Université de Montréal

Fenêtre (window)

• Région dans l’espace 3D à travers laquelle on voit la scène

• Note: concept différent de celui des fenêtres en Xwindow...

scène 3Dplan de vue

fenêtre

Clôture (viewport)

• Partie de l’écran où la fenêtre est affichée

système d’affichage

clôture

Série de transformations

• Modèle 3D• Système de coordonnées de vue

– construit un plan de vue en 3D– définit une fenêtre dans ce plan

• Coordonnées de vue pour chaque point en 3D• Définit un clôture dans un système normalisé [0,1]

• Coordonnées d’affichage

Projection

Mapping fenêtre-clôture

Mapping

• Coordonnées du monde : coordonnées d’affichage• Fenêtre : clôture• XY : UV

XY

UV

Transformation 2D: rectangle à rectangle

),( maxmax yx

),( minmin yx),( minma xminma x yyxx --

)0,0(

),( minmin yxT --

Y

X

Con

figu

ratio

nin

itial

e

U

V

Con

figu

ratio

nfi

nale

),( minmin vu

),( ma xma x vu

Transformation 2D: rectangle à rectangle

),( minma xminma x yyxx --

)0,0(

minmax

minmax

minmax

minmax , yyvv

xxuuS -

---

),( minma xminma x vvuu --

)0,0(

),( minma xminma x vvuu --

Transformation 2D: rectangle à rectangle

),( minma xminma x vvuu --

)0,0(

minmin ,vuT

),( ma xma x vu

),( minmin vu

),( , ),( minminminmin minmax

minmax

minmax

minmax yxTSvuTM yyvv

xxuu

vw -- --

--

Translation en 2D

),( yxP

),( yyxxP

x

y

PTP

y

x

y

x

y

x

T

Changement d’échelle en 2D (scaling)

),( yxP

),( yyxxP

SPP

y

x

y

x

y

x

0

0

Rotation en 2D

),( yxP

),( yxP

RPP

y

x

y

x

-

cossin

sincos

sens anti-horaire

sin

cos:

ry

rxP

-

-

cossin

cossinsincos

)sin(

sincos

sinsincoscos

)cos(

:

yx

rr

ry

yx

rr

rx

Pr

r

Cisaillement en 2D (shearing)

PShP

y

xa

y

x

x

10

1

PShP

y

x

by

x

y

1

01

Réflexion en 2D

-

y

x

y

x

10

01),( yxP ),( yxP

-

y

x

y

x

10

01),( yxP

),( yxP

),( yxP

),( yxP

y

x

y

x

01

10

Coordonnées homogènes

• T+P en addition mais les autres transformations sont des multiplications

• Représentation des transformations sous une forme matricielle unique:

+ uniformité

+ composition

+ opérations des 4x4 sont exécutées en parallèle en hardware sur la plupart des ordinateurs

- optimisations possibles...

x

xy

x

tymxmy

tymxmxy

x

tmm

tmm

2221

12112221

1211

1100(9 mult,6 add) vs. (4 mult,4 add)

Coordonnées homogènes en 2D

permis... pasest n' : )0,0,0(

)ou vecteur (direction infinil' àpoint : 0

homogènepoint ,1plan le danspoint : )1,,(

homogènepoint un d' ecartésienn coordonnée : 1,,

0 ,0 : ),,(

w

wyxP

P

twtwtytxP

twty

twtx

)0,0,0(

X

Y

W

)1,,( yx

1w

)0,,( yx

),,( ttytx

Pré-multiplication vs. post-multiplication

PyxTP

y

x

y

x

y

x

),(

1100

10

01

1

ttt yxTPP

yx

yxyx

),(

1

010

001

11

ttt TPTP )(

Nouvelle méthode Ancienne méthode

Combinaison de translations en 2D

PP

P

PyyxxT

y

x

yy

xx

y

x

y

x

y

x

PyxTyxT

PyxTP

PyxTP

),(

1100

10

01

1100

10

01

100

10

01

),(),(

),(

),(

2121

21

21

1

1

2

2

1122

22

11

Combinaison de changements d’échelle en 2D

PyyxxS

y

x

yy

xx

y

x

y

x

y

x

PyxSyxSP

),(

1100

00

00

1100

00

00

100

00

00

),(),(

2121

21

21

1

1

2

2

1122

Combinaison de rotations en 2D

PR

y

x

y

x

y

x

PRRP

)(

1100

0)cos()sin(

0)sin()cos(

1100

0coscossinsinsincoscossin

0cossinsincossinsincoscos

1100

0cossin

0sincos

100

0cossin

0sincos

)()(

-

----

-

-

Combinaisons de matrices de transformation

+ efficacité– une seule matrice composée est utilisée au lieu

d’une série de matrices• {R,T}

– (rigid-body) – préserve les longueurs et les angles

• {R,T,S}– transformation affine– préserve le parallélisme des lignes (mais pas les

longueurs ni les angles)

Propriétés des matrices de transformations

• Commutativité

• Associativité

• Inverses321321 )()( MMMMMM

)()()(

,),(

),(),(

1

111

1

t

yx

RRR

SyxS

yxTyxT

-

--

-

-

-

)()(1221

1221

1221

yxRSRyxS

RRRR

SSSS

TTTT

Exemple d’une série de transformations

• Rotation autour d’un point Q• On sait comment faire une rotation autour de

l’origine, mais pas autour d’un point arbitraire

1. Translation telle que Q est à l’origine

2. Rotation de autour de l’origine

3. Translation de l’origine jusqu’à Q

PyxTRyxTM ),()(),( --

),( yxT --

)(R),( yxT

Exemple de non-commutativité

100

0

0

100

10

01

100

00

00

100

0

0

100

00

00

100

10

01

),(),(),(),(

yss

xss

y

x

s

s

ST

ys

xs

s

s

y

x

TS

yxTssSssSyxT

yy

xx

y

x

y

x

y

x

yxyx

Transformations en 3D

2D: matrice 3x3 en coordonnées homogènes

3D: matrice 4x4 en coordonnées homogènes

),,,(),,( wzyxzyx

X

Y

Z

Système de coordonnées de la main droiterotation positive: sens anti-horaire

Transformations 3D de base

Translation

Changement d’échelle

1000

100

010

001

tz

ty

tx

T

1000

000

000

000

sz

sy

sx

S

Transformations 3D de base

Rotations

)(

1000

0cossin0

0sincos0

0001

xR

-

)(

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

yR

-

)(

1000

0100

00cossin

00sincos

zR

-

Transformation de normales

• Points, tangentes, vecteurs fonctionnent avec les matrices standards

• Normale à la surface fonctionne différemment

2.0,1S

Transformation de normales

0

0

0

0

1

-nMMt

IXM

XnMt

XnMt

ntnt

TTT

T

TT

T

T

Transformations hiérarchiques

• Objet représenté par un arbre de primitives (feuilles) transformées (noeuds)

objet

transformation transformation

transformationsphère sphère

sphère