IFT3355: Infographie Projections

© Pierre Poulin Dép. I.R.O.

Université de Montréal

2D et 3D

Monde en 3D Affichage en 2D

reconstruction (vision par ordinateur)

projection clipping par la pyramide de vue

transformation fenêtre-clôture

rendu (infographie)

•  Projection réduit le domaine –  typiquement en infographie, n=3 et m=2

•  Un projecteur est un segment reliant à un centre de projection

Pn ∈ℜn →ℜm où m < n

nP

Parallèle Perspective

Projecteurs

Projecteurs

•  L’intersection d’un projecteur avec la surface de projection correspond à

•  Lorsque cette surface est planaire, on parle de projection planaire

•  Quelques exemples de projections non-planaires –  oeil de poisson, projection omnimax, carte du

monde

mP

Projections non-planaires

Cylindrique

Sphérique

Projection planaire

•  On divise les projections planaires en –  projection parallèle –  projection perspective

Projection parallèle

•  Centre de projection est à l’infini •  Direction de projection

•  Projecteurs sont parallèles entre eux •  Lignes parallèles en 3D demeurent parallèles après

projection •  Angles entre les lignes peuvent changer

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01112

12

12

1

1

1

2

2

2

zzyyxx

zyx

zyx

direction ou point à l’infini

Notez: intuitivement ok, mais pas mathématiquement

Projection perspective

•  Centre de projection est à une distance finie

•  Taille d’un objet augmente lorsque la distance au centre de projection diminue (perspective foreshortening)

•  Lignes parallèles en 3D ne sont plus parallèles après projection

•  Si le centre de projection est déplacé à l’infini, on obtient une projection parallèle

Projection perspective simple

Z

Y

centre de projection

plan de projection

d

),,( zyxP

),,( dyxP ppp

),,0( zyP

Xd

),0,( zxP

Décomposition selon XZ et YZ

),,0( zyP

),,0( dyP pp

Z

Y

dcentre de projection

),0,( zxP

),0,( dxP pp

Z

X

dcentre de projection

dzp

p yyzy

dy

== :

Règle des triangles semblables:

dzp

p xx

zx

dx

== :

Matrice de base de projection

€

xpypd1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

xzdyzdzzdzdzd

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

xyzzd

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1

d 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

xyz1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Le facteur sera utilisé pour normaliser dans le cadre des coordonnées homogènes

dz

Plan de projection à z=0

),0,( zxP

),0,( dxP pp

Z

X

d

centre de projection

),0,( dzxP −

)0,0,( pp xP

Z

X

d−

centre de projection

Plan de projection à z=0

€

xpyp01

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

xy0

zd +1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 1

d 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

xyz1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

T (0, 0,d) suivie de Mproj et enfin de retour à T (0, 0,−d)

Lorsque d est à l’infini, on obtient une projection parallèle. Si la direction de projection est parallèle à la normale du plan, on parle de projection orthographique. Sinon on parle de projection oblique.

Pyramide de vue

1. Clipping avec les six plans définissant le volume de vue

2. Projection des survivants au clipping sur la fenêtre 3. Transformations en coordonnées d’affichage

centre de projection volume

de vue

arrière-plan avant-plan

Volume de vue canonique

•  Le clipping avec des plans arbitraires peut être coûteux, alors on transforme la pyramide de vue dans une forme canonique

- Transforme des points qui pourraient être clippés + Clipping sera simplifié

Z

X ou Y

-1

1

-1 0

arrière-plan avant-plan

Para

llèle

Z

X ou Y

-1

1

-1 0

arrière-plan

avant-plan

Pers

pect

ive

Nomenclature •  VRP: view reference point

–  point sur le plan de vue •  VPN: view-plane normal

–  normale du plan de vue où repose la fenêtre 3D •  VUP: view up vector

–  vecteur 3D d’alignement vertical de la fenêtre 3D •  PRP: projection reference point

–  point par lequel passent tous les projecteurs –  ce point peut être à l’infini –  DOP = (CW - PRP): direction of projection

•  CW: center of the window –  centre de la fenêtre rectangulaire

Nomenclature

plan de vue

VRP VPN ( )minmin ,vu

( )maxmax ,vuCW

PRP

VUP

n

v

u

Espaces 3D caméra et 2D image

u

n

VUP

VUP v

VRP

plan de vue

u

v),( maxmax vu

),( minmin vu

CW

3D 2D

VRP

Projection parallèle: systèmes de coordonnées

u

v

n

PRP

CW

VRP

DOP

Projection parallèle: configuration finale

(1,0,0)

(0,1,0)

(-1,0,0)

(0,-1,0)

(0,0,-1)

Transformations pour une projection parallèle

1. Translation du point de référence VRP du plan de vue vers l’origine

2. Alignement de la fenêtre tel que

)( VRPT −

€

A =

r1x r2x r3x 0r1y r2y r3y 0r1z r2z r3z 00 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

Rz :VPN→ Z (r1z,r2z,r3z ) =VPNVPN

Rx : u→ X (r1x,r2x,r3x ) =VUP × Rz

VUP × Rz

Ry : v→Y (r1y,r2y,r3y ) = Rz × Rx

Transformations pour une projection parallèle

3. Cisaillement pour que la direction de projection soit parallèle à l’axe des Z

€

dopxdopydopz0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

umax + umin2

vmax + vmin201

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

−

prpuprpvprpn1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Z

X ou Y

0

dop

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

010000100010001

0

00

dopzdopydopx

shyshx

dopz

dopzdopy

shy

dopzdopx

shx

−=

−=

Z

X ou Y

maxmaxou vu

minminou vuF B

Transformations pour une projection parallèle

4. Translation et changement d’échelle sous forme canonique

€

T − umax + umin( )

2,− vmax + vmin( )

2,−F

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ et S 2

umax − umin

, 2vmax − vmin

, 1F − B

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

)( parparparpar VRPTAShTSN −=

Z

X ou Y 1+

1−1−

Projection perspective: systèmes de coordonnées

u

v

n

PRPCW

VRP

Projection perspective: configuration finale

(-1,1,-1)

(-1,-1,-1) (1,-1,-1)

(1,1,-1)

(0,0,0)

Transformations pour une projection perspective

1. Translation du point de référence VRP du plan de vue vers l’origine

2. Alignement de la fenêtre tel que

)( VRPT −

€

A =

r1x r2x r3x 0r1y r2y r3y 0r1z r2z r3z 00 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

Rz :VPN→ Z (r1z,r2z,r3z ) =VPNVPN

Rx : u→ X (r1x,r2x,r3x ) =VUP × Rz

VUP × Rz

Ry : v→Y (r1y,r2y,r3y ) = Rz × Rx

Transformations pour une projection perspective

3. Translation du centre de projection vers l’origine 4. Cisaillement pour que la ligne centrale (PRP-CW)

s’aligne sur l’axe Z

)( PRPT −

€

00

dopz0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

1 0 shx 00 1 shy 00 0 1 00 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

dopxdopydopz0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

dopzdopy

shy

dopzdopx

shx

−=

−=

Z

X ou Y

0

dopCW

Transformations pour une projection perspective

5. Changement d’échelle sous forme canonique

Z

X (ou Y)

0 CW

( )2

minmax uux

−=

( )2

minmax uux

−−=

zpvr ʹ

€

pente = ±1 → umax − umin( )

2= vr ʹ p z

€

S −2vr ʹ p zumax − umin

, −2vr ʹ p zvmax − vmin

,1⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Transformations pour une projection perspective

5. Changement d’échelle sous forme canonique

Z

X (ou Y)

0 CW

zpvr ʹFpvr z +ʹ

Bpvr z +ʹ

€

S −1vr ʹ p z + B

, −1vr ʹ p z + B

, −1vr ʹ p z + B

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

)( )( perperper VRPTAPRPTShSN −−=

zpvr ʹ

zpvr ʹ−

€

vr ʹ p z + B →−1

Transformation sous une forme canonique

Z

X (ou Y)

0

minz

1−1+

1−

Z

X (ou Y)

0

1−1+

1−

€

1 0 0 00 1 0 00 0 1

1+zmin

−zmin1+zmin

0 0 −1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

pour zmin ≠ −1

Clipping contre la forme canonique

•  Cohen-Sutherland en 3D (6 bits)

0 ; 11 ; 11 ; 1

>−<

>−<

>−<

zzyyxx

Projection orthographique selon Shirley et al.

l r

t

b near

far -1 +1

-1

-1

+1

+1

Volume de vue orthographique Volume de vue canonique

€

S 2r− l( ) ,

2t−b( ) ,

2n− f( )( )

Notes: oeil regarde vers -Z ; le haut est +Y ; n > f

€

T − l+r( )2 , − b+ t( )

2 , − n+ f( )2( )

Projection orthographique

€

Mortho =

nx2 0 0 nx −1

2

0 ny2 0 ny −1

2

0 0 1 00 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

2r− l( ) 0 0 00 2

t−b( ) 0 00 0 2

n− f( ) 00 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

1 0 0 − l+r( )2

0 1 0 − b+ t( )2

0 0 1 − n+ f( )2

0 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Image de pixels Origine au coin inférieur gauche

€

nx × ny

Projection orthographique avec vue arbitraire

u

v

w e : position de vue g : direction de vue t : direction du haut

€

w =−gg

u =t × wt × w

v = w × u

€

Mv =

xu yu zu 0xv yv zv 0xw yw zw 00 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

1 0 0 −xe0 1 0 −ye0 0 1 −ze0 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

Mproj = MorthoMv

e g t

Projection perspective

x

y

z

x

y

z

€

l,b,n( ) €

r,t, f( )

distortion non-linéaire des coordonnées z mais conserve l’ordre en z pour

€

n ≤ z ≤ f

Mpersp p =

xy

z n+ fn − fzn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

→

nxz

nyz

n+ f − fnz

1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

€

z = n→ Mpersp → z = nz = f → Mpersp → z = f

Propriété intéressante:

€

Mpersp =

1 0 0 00 1 0 00 0 n+ f

n − f0 0 1

n 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

une matrice parmi plusieurs…

*,*, f( )

€

l,b,n( )

r, t,n( )

r, t,n( )

Manipulations de la matrice perspective

€

M(hp) = (hM)p = Mp⇒ nMpersp = Mpersp =

n 0 0 00 n 0 00 0 n + f − fn0 0 1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

Mpersp−1 =

1n 0 0 00 1

n 0 00 0 0 10 0 − 1

fnn+ ffn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

picking : xs,ys,zs( )→ x,y,z( )

€

nf( )Mpersp−1 = Mpersp

−1 =

f 0 0 00 f 0 00 0 0 fn0 0 −1 n + f

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Variations sur la matrice de projection

€

M = MorthoMpersp( )Mv

matrice de projection

€

Mproj =

2nr− l 0 l+r

l−r 00 2n

t−bb+ tb− t 0

0 0 f +nn− f

2 fnf −n

0 0 1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

MOpenGL =

2 nr− l 0 l+r

l−r 00 2 n

t−bb+ tb− t 0

0 0 f + nn − f

2 f nn − f

0 0 −1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Simplifications dues au field-of-view

Si on regarde au centre de la fenêtre l = −rb = −t

Si le ratio des pixels (carrés) sont égaux nxny=rt

Spécifier alors laisse un seul degré de liberté, le field-of-view

€

nx,ny tg θ2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

tn

€

θ2