II- Loi de Biot et SavartII- Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart relie les sources (courant) au champ magnétique crée en tenant compte de la géométrie du système support du courant électrique.

I

d lx M

S

•Le champ magnétique crée en M est donné par :

B Midl SM

SMconducteur

( )( )

0

34

Unités B en Tesla Unités B en Tesla 07 14 10 . .H m

Spire circulairei x

M

d B

R

Par raison de symétrie de révolution autour de l’axe Ox, le champ magnétique total en M est dirigé selon Ox et dans le sens des x croissants (règle du tire bouchon).

Un élément de longueur de la spire crée un champ magnétique élémentaire donné par :Un élément de longueur de la spire crée un champ magnétique élémentaire donné par :

dB Midl SM

SM

( )

0

34

1ère méthode( intégration)

Les deux vecteurs dl et SM

sont orthogonaux et sachant que le champ total est dirigé selon Ox, on ne va retenir que la composante du champ élémentaire selon cet axe :

dB Midl

SMux

( ) sin

024

B M

idl

SMu

iRSin

Ru

i

Ru

spirex x x( ) sin . sin sin

( )

02

02

20 3

4 42

2

2ème méthode

B Midl SM

SMspire

( )( )

0

34

SM SO OM

dl OM dl OM

dl SO S

spirespire

spire

( )( )

( )

0

2

B M

i S

SM

i

Rux( ) sin

0

30 3

4

2

2

S R ux 2

orienté par le sens du courant dans la spire.

Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe .Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe .

i x

R

B (x )

Si on considère une bobine plate constituée de N spires avec un rayon moyen R et de faible épaisseur, le champ magnétique crée par la bobine en un point de son axe est Nx le champ magnétique crée par une spire.

1)Bobines de Helmholtz

Utilité : c’est l’un des rare système qui permet de réaliser un champ magnétique constant dans un certaine région de l’espace. La condition repose sur le choix d’un écartement des deux bobines d’une distance égale à leur rayon moyen.

Bobines identiquescomportant N spires parcourues par un courant I

Composition des champs magnétiques des deux bobinesComposition des champs magnétiques des deux bobines

xi i xi i

d > Rd = R

B M B O

R( ) ( ) .

1 1152

4

4

x Ecart par rapport à l’origineEcart par rapport à l’origine

Induction magnétique totale en fonction de la distance x sur l’axe Induction magnétique totale en fonction de la distance x sur l’axe

Bobines de Helmholtz

Symétrie en Magnétostatique

Le champ magnétique est un champ axial et se transforme par les opérations de symétrie différemment que le champ électrostatique ( champ polaire). Ci-dessous les transformations d’un champ magnétique par des plans de symétrie et d’antisymétrie.

PS

PA S

Champ magnétique = Champ axial

I.III. Théorème d’Ampère

1.EnoncéSoit une boucle de courant © parcourue par un courant i.Soit un parcours fermé (g) et orienté de façon arbitraire.si (g) intercepte la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est égale à

0i

Si (g) n’intercepte pas la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est nulle.

Formulation mathématique B dl i

g

.( )

0 Si (g) intercepte ©

B dl i

g

.( )

0 Si (g) n’intercepte pas ©

(g )

n gi

(C )

(-)

(g )

n gi

(C )

(+ )

Applications du théorème d’Ampère.

Fil rectiligne infini parcourue par un courant constant

i

(g )

r

n g

Symétrie de révolution implique que le champ magnétique a une norme dépendante uniquement de r.

Le sens de B est défini par la règle du tire bouchon - ou la règle du Bonhomme d’Ampère ( couché sur le fil et regardant le point ou on cherche le champ magnétique, sa main gauche indique la direction du champ magnétique).

Le sens du parcours (g) est choisi de telle façon que sa normale soit dans le sens de i.

Le fil ayant une longueur infini, on peut considérer que c’est une boucle de courant de rayon infini.

Le théorème d’Ampère donne : B dl i B r B r

i

ru

g

. . ( )( )

002

2

Champ magnétique crée par un solénoïde de longueur infini

i B

1 : n’intercepte pas de courant et il est situé à l’intérieur du solénoide.•La circulation de B est nul implique que B est uniforme dans le solénoïde :

B dl B l B l B. . .

( )

1

uniforme dans le solénoïde.

2 : extérieur au solénoïde. La circulation sur ce parcours est nulle et donc B est uniforme à l’extérieur du solénoïde. La valeur de B est nécessairement nulle en dehors du solénoïde.

3 : intercepte des courants et la circulation est : B dl B l nli B ni ux. . ( )int

( )int

30 0

Champ magnétique d’un solénoïde dans le cas où l’on ne tient pas compte des effets de bords (solénoïde de longueur infinie)

Conducteur massif de longueur infini parcouru par un courant i de densité j constante

P lan d 'A n ti-sym étrie

P lan d e s ym é trie

Symétrie :Symétrie :•Axe de révolution implique que B ne dépend que de r.Axe de révolution implique que B ne dépend que de r.•Plan de symétrie : tout plan contenant l’axe du conducteurPlan de symétrie : tout plan contenant l’axe du conducteur•Plan d’antisymétrie : tout plan perpendiculaire à l’axe du conducteur Plan d’antisymétrie : tout plan perpendiculaire à l’axe du conducteur •Règle du tire Bouchon : fixe le sens de BRègle du tire Bouchon : fixe le sens de B•Symétrie de translation : B indépendant de z.Symétrie de translation : B indépendant de z.

Calcul de B à l’extérieur

(g )

Rr

B dl i B r B

i

rspireext. .

( )

002

2

Calcule de B à l’intérieur B dl j r B r B

jr ir

Rspire

. . .( )

int

02 0 0

222 2

Flux d’un champ magnétique à travers une spire parcouru par un courant.Flux d’un champ magnétique à travers une spire parcouru par un courant.

i

n

B

La surface délimité par la spire est orienté positivement par le sens de (i) par la règle du tire-bouchon.

LiSBSdBS

...)(

si le champ magnétique est uniforme.

Flux du champ magnétiqueFlux du champ magnétique

L= coefficient d’auto induction (Henry)

Calcul de l’inductance d’une longueur l d’un solénoïdeCalcul de l’inductance d’une longueur l d’un solénoïde

i B

Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde :

B niux 0

Le flux de B à travers les nl spires se trouvant sur la longueur l est :

iLilSnSBnl 20.

L’inductance d’une longueur l d’un solénoïde est : L n Sl02

Unité (H : Henry)

Coefficient d’induction mutuelle entre deux portionsCoefficient d’induction mutuelle entre deux portions de deux solénoïdes de même section de deux solénoïdes de même section 

i Bi

Le flux du solénoïde (1) à travers n2l spires du solénoïde (2) est :

12 1 2 2 0 1 2 2 1 21 1 1 B n lS n n S li L i Mi.

Donc le coefficient de mutuelle-induction est M=L21=L12, son signe est positif si les courants sont orientés dans le même sens sinon , il est négatif.

Inductance propre d’une bobine torique de N spiresrectangles ((b-a),c) parcourues par i

a

b

i B

Ni

ru

0

2

Montrer que le champ magnétique Montrer que le champ magnétique est donné par :est donné par :

En calculant le flux, en déduire que l’inductance est de la forme:

a

bLnab

NL )(

2

20