IMPI~DANCE MUTUELLE DE DEUX ANTENNES RECTILIGNES FINES, PARALL~,,LES OU CONCOURANTES

PARCOURUES PAll DES COURANTS HARMONIQUES

par Francois BABIN Ing6nieur eil Chef de FAir *

SOMMAIRE. - - L'auteur consid&e deux antennes rectilignes fines parcourues par des courants harmoniques de rn~me longueur que clans Fair, et pr&ente une mgthode gdngrale permettant de calculer les champs et l' impgdance mutueUe dans le cas d'antennes paralliles ou coneourantes.

Le calcul expos6 ci-dessous g6n6ralise des calculs effectu6s dans de nombreux cas particuliers et les pr6sente sous une forme particuli6rement simple. qui peut ~tre ais6ment adapt6e aux cas concrets.

Les courants harmoniques sur brins filiformes ont perdu une partle de leur actualit6 depuis qu 'on a perfectionn6 les calculs de courants r6els sur autennes de formes vari6es, mais ils current souvent comme premiere approximation dans ces calculs.

Les courants harmoniques sont d6finis comme 6tant de la forme

( t ) I = C el k~ + C' e - I ~ , off K = 2 ~/~. ;

C et C' sont des coefficients complexes et z e s t la mesure des longueurs sur ]e ill, X cst la longueur d 'onde dans ]'air et sur le ill.

Cette fornmle met en 6videnee la d6composition de tout courant harmonique en un courant aller et un courant retour, notions famili~res au techni- cien ; les diagrammes de rayonnement , comme les imp6dances, peuvent toujours ~tre obtenus par la combinaison des valeurs 6[6mentaires dues h deux ondes progressives qui n 'ont pas, en g6n6ral, des valeurs 6gales.

Darts certains cas, on admet une distributiou sinusoYdale, ce qui se traduit par

CC' = I~)/4, C + C ' = - - I o s in K g ,

1 o 6tant le courant au maximum de la sinuso~de et g l'abscisse du point off s 'annule le courant.

Dans les formules qui suivent, l ' imp6dance mutuelle, rapport6e h deux courants pris comme r6f6rences, est donn6e par

~vV m = Zaqt ]1 12 ;

on la laisse sous cette forme W., pour plus de g6n6ralit6. Elle s 'exprime en fonction d'exponen- t idies et d 'une fonetion que nous appellerons l)(x) et qui vaut

(2) x do x x

= - / _ / ~ s l n ~ d x / Zl-dx-- zl - -e~ Xdx- - J j 0 x ' Jo x x

Chacune des trois int6grales est une fonction e o u n u e , d ' o f l :

(3) D(x) = LIx I -- Cimix ! - - l Silxl

(Cim : cosinus int6gral modifi6).

R~SULTATS

I . ~ C o u r a n t s p a r a l l 6 l e s .

Soit deux courants harmoniques parallbles EE ' et FF' , off les abscisses sont appel6es respect ivement z et Z et sont prises avec origines sur une perpendi- culaire commune OO', et soit r la distance entre un couple de deux des quatre points E F E ' F ' (fig. 1).

_l;- 0

/ / / ;

I/'/ �9 / . - -

/ \ 0' <-.. \

E' ~IG. ] .

Les c o u r a n t 6 t a n t

11 = C1 eJ K= + C~ e - J K=, 12 = C2 eJ trz + C~ e--J Kz,

on a pour valeur de W m:

�9 (4) W ~ = - - 3 0 j [ll(z)12(Z) e--, /t~rj~ E,+ FF '

60 [C,C~D(Kr + Z-- z) + CIC2D(Kr-- Z + Z)JE;E,.

Les lettres EE' , FF ' plac6es apr~s les croche~'s signifient qu 'on dolt addit ionner les quat re 'va leurs de chacun des crochets obtenues pour un couple de points E E ' F F ' , pr6c6d6es du signe plus pour EE ' et FF ' et du signe moins pour F E ' et EF' .

* Chef de la Sec t ion de I~ECHERCIIES et ]~ssxIS du SERVICE TECtlNIQUE DES T~L~COMMUNICATIONS DE L 'AIR (Service d ' 6 t u d e s minis t6r ie l Air du C. N. E. T.).

�9 N. D. L. R. - - Ce signe typographique est utilis6 pour dist inguer les formules principales encadr&s sur le manuscrit de l'auteur.

- - 145 - - T~LI~COMMUNICATIONS 3

2/4

Discussion. - - Le premier crochet ne se rencontre pas d 'habi tude dans les cas concrets, car il corres- pond h une coupure brusque du courant, impossible dans un circuit complet : lorsque le courant EF se prolonge par exemple en un courant FG ayant une autre direction, un terme, annulant la partie du crochet correspondant h F consid6r6 sur EF, sera dfi /k F consid6r6 sur FG. Ces termes sont, au eontraire, en 6vidence, coup6s par des capacit6s le rayonnement .

Lorsqu'on modifie les d6pla~ant dans un sens

si l 'on suppose les brins terminales dont on n6glige

abscisses de r6f6rence, en ou dans l 'autre la perpen-

diculaire commune OO', on multiplie C 1 e t C 2 par e j~ ' , C~ et C~ par e - l ~ n ; W ne change pas : aucun terme en CIC z ni en C'IC' 2 ne pouvait exister puisqu'il ne r6pondait pas h c e t t e condi t ion ; on volt donc que l ' imp6dance mutuelle entre deux cou- rants harmoniques parall~les se compose d 'un effet d'extr6mit~s et d 'un effet de r6action entre courants se propageant en sens inverses. Si ]es courants dons les deux antennes se propagent dans le m~me sens (par exemple feeder h onde progressive h brins parall~les), il ne reste plus que l'effev d'extr6mit6s.

II. ~ Courants concourants .

Dans le cas de courants concourants, on abouti t h une formule analogue ; pour ne pas la confondre avec la pr6c6dente, les abscisses seront mesur6es sur les brins respectivement par z pour le brin EF

/

I~ "-"I'I ///F'

I ////I"

i 2 / z \ i ' S v ,

0 p FIG. 2.

et par t sur le brin E 'F ' , l 'origine commune O 6tant le point de concours des deux droites (fig. 2). On t r o u v e :

�9 (5) Wm = -- 30 ] [l~(z) l,(t) e--J~'/Kr]~[: +

60 [CxC, D ( K r -- t - - z) + CIC~.D(Kr + t + z) + �9 �9 FF ' CaC, D ( K r - t-~ z) + C2CxD(Kr + t--z)]rm'.

D i s c u s s i o n . - a) On ret rouve les m~mes effets d'extr6mit6s que dans le cos pr~c6dent, b) On remarque que l 'angle 0 n 'apparal t pas explicitement dans les formules.

F. B A B I N [ANNALIIS D~S T~L~GObIMUNIC.ArlON~

III. - - Courants port6s par des droltes non con- courantes .

II est probable que le calcul conduira ~ des formules analogues, mais il risque d'gtre assez compliqu6, tout en se simplifiant h la fin, chacun des courants jouant le m6me rble dans W~.

D ~ T A I L S D E S C A L C U L S

Calcul des champs.

On part du potentiel vecteur dfi au courant EF en un point d6fini par p e t Z seulement, en raison

T M

T -I

3 P

FIG. 3.

7,

de Ia sym6trie cylindrique des effets du courant (fig. 3).

(6) a z = !(z) f(r) dz, off f(r) = r '

qui donne le champ 61ectrique par les formules connues

c /5 ~a z I c ~ o z (7) E z = ~ - ~ - ~ - + K ' a z (8) EO=~-K.3Z3; .

On remarque que f(r) 6tant une fonetion de r, ~f ~ f

3Z = - - ~z ;

3 a___4 dz 3Z Fd]

32 az fI(z) fz] E r -- Fd--/f(r)-} F + f r d 2 1 ~z= ' ka~ Js J r ~ f(') d~,

OU

eli �9 191 E z = - - ~ - ~ I(z)fz(r) +d, l f ( r )~F- -

d~l~

Jusqu 'h pr6sent, oil n 'avai t fait aueune hypoth~se sar le courant E F ; si on le suppose harmonique, l 'int6grale disparait.

Le champ radial est un peu plus long h ealeuler :

~az f r a I bg3? = -- [I(z)f~]~ + j E dz f~ dz,

o r

r ~ = 0 ~ + ( Z - - z ) ~,

-- i46 --

t. 8, n ~ 4, 1953]

d'ofi

et

df ~f p 3f Z - - z dr b? r bz r

f F d I f, I / F 1 , ,"Vdl

Calcul de la premiere int6grale : on expliei te r/; et on intggre par part ies ;

rf; = -- (l/r) e-- ] K ' - - j Ke--J Kr = -- f(r) -- j K e - ] K~ ;

I fFdI t f F d l f K f F d /

~'jE F l f(r)(Z -- z) K 2 dz.

Caleul de la deuxi~me intb~grale :

i FFdI -9 ./E dz t Z - - z) f; dz

1 VdI - l r I / ' r d ~ I = ? [dzz (Z - - z) f(r)_]n---~ / E c~z ~ ( Z - z) f(r) dz +

I / d I ~zz f(r) dz.

En a d d i t i o n n a n t et en r e m a r q u a n t qu 'une mt6- grale d ispara l t , on ob t i en t :

r dz + ~2 r '~ 1.2 - -

] ' F ( d ~ K* )e-J K~z-z I . ]E \~-t~z 2 + I r dz �9

L' int6grale d i sparaR si le cou ran t est har lnonique .

Calcul de l ' imp~dance m u t u e l l e entre eourant s paral l6 les .

On a vu que le champ dfi h E F est au point p, Z ( t i g . 4 ) ,

l( K/c) Ez = -- [ l~(z) f~(r) + ai,

Avee la n o t a t i o n i inaginaire et en ne t e n a n t pas eompte de e l~ 11 est fonct ion sculement de z et I2 de Z, et l ' imp6dance mutuel le est d6finie par la formule connue :

(11) Wm = -- / ~ f ' E z I, dZ,

d'ofi

/ [ ]" F' + d/1 f(r) dZ. JKWm = 12 l~fz(r) dz E

Faisons d ' abo rd le catcul pour le t e rme du crochet co r r e spondan t h F ; on t i endra compte dans le r6sul ta t final du te rme dfi h E.

~j~,F" d l t ~F' , I, 12['z(r)dZ +-~z ~ I. f(, ')dZ YF=

f ( , d FF' F' d I~ l~f(r)dZ. = l~[I2f(r)]~,--1, ~ f ( r ) d Z + dz J s "

I M P I ~ D A N C E M U T U E L L E DE D E U X A N T E N N E S R E C T I L I G N E S F I N E S 3/4

Or

11 = C1 elK= + C~ e--J Kz, 12 = C2 e - lKz + C~ e-- l~z

dl , /dz = j K(C~ elK= + C i e-]~,), d l~/d Z = j K(C, eP :z -- C~ e--lKz),

Yv = [1~ Is f(r)]~, + 2 CtC2 j K OIK* / F e-] Kz f(r) d Z - - J E ' / , 2C~C2]Ke-J K. eVZf(r) dZ,

d'ofi ]a formule (4) 6none6e plus haut .

Calcul de l ' i m p ~ l a n c e m u t u e l l e entre deux c o u r a n t s h a r m o n i q u e s p o r t , s par des droi tes c o n c o u r a n t e s , fa i sant entre el les u n ang le 0.

Connaissant par les formules (9 et ]0) les com- posantes du champ dfi h E F en un point M, on cal- cule a is6ment E0~ r6sut tante de ee champ dans la direct ion E ' F ' (fig.5) :

? = tsin 0, Z = tcos 0, Zip = cotg0,

E 0 = Ez cos 0 + Ep sin0.

Comme pr6c6demment prenons pour E0 la valeur aff6rente h F ; on r e t r anche ra celle qui correspond h E dans le r6sul tat final

(13)

E 0 F 30 [1 dl~ e--jK' ( z sin 0"~ -- dz Kr c o s 0 - - c o t g 0 s i n 0 + t s i n 0 f l +

z sin 0"~ 1~ ~ Z -- z e - I Kr cos 0 -- eotg 0 sin 0 + t sin 0]

e--jKr ] j l a f f ( t c o s ~ 0 + t s i n 2 0 - z e o s 0 ) �9

D'ofi, en r6solvant :

E0F j dI1 z e--J K~ + 30 - K dz t r

z t c o s O - - z e--J Kr J I~ t - - ze - - J ~ ]l )" r I" K r 2 r

o r

r 3r t -- z cos 0 = ~t ' z -- t cos 0 = ~z'

d'ofl :

EOF (14) 30 - K dz t

] d la z e--J K~ / ,

z 3r e--J K~ j br e--] K, 11 ~z r K l 1 ~ r--~--, t

d'ofi comme plus hau t :

;" I~EOF W'mV (15) 3 ~ at= 30 -

] dl~ / f r ' e--IK~ K dz z 1 2 ~ - d t - -

/7 s ~r e--lK~ j I ~ e--lK, zI, , l , bz. r ~ d t - - K 11 2~t" 1.2 (It.

La troisi~me int6grale s ' int~gre par par t ies

(t6) j ~ s ~r e--J Kr 11[ e--|K'3 F' - - I z ~ . r ~ - d t = ] ~ I ~ ] E , - -

�9 E t

I1 / , -F 'd12 e -jK~ /~ r ' e-J K~ ~r - - d t - - l l 12 r - "5--tdt" ] K . / E , dt r . �9

- - 147 - -

4/4

Or, en additionnant la deuxi~me int6grale de (J 6) avec la derni~re de (15), on trouve le terme

I fir" I (z ?r e--l~, fr" e--lK, - ' J r , r dt=--I'Jv

z - - t cos 0

E n effet :

5r r 2 = z ~ + t ~ - 2 tzcos 0, b z = - - ; d'ofi :

. . . ,1[ (t7) - - - - ~ - = i ~ I, +

j dlx f v ' e -V r~ ~- - ; - - z f= , I~ ~ d t - - uz . / ~. rt

e--lKr ] K J ~ , dt 1 ~ - ~ - dt.

On ne peu t aller plus loin sans expl ie i ter 1~ = C9 el rt + C2 e - V t . On s occupera t o u t d ' a b o r d du cou ran t dit aller C~ e -lKt. La s o m m e des t rois int6grales de (J7) dev ien t :

T r j dl~ z f r ' e--l~-~+t - ~ = K " - ~ z ./~., r---'--'-/~ d t - - //o-,..+, //.-,..+,

11 ~ d t - - 1 1 - - d t ; r t

t

on pose u = r + t e n fone t ion de quoi il est ais6 d ' e x p r i m e r tous les t e rmes ; on t r o u v e

t = 2 u - - z e u s

dt 2 u d_~Uz~ ' r t --'

I u~ - -2uzcosO+z ~ r = 2 u - - z e u s 0 '

dt du r I ~ - - Z C O S 0 ~

dt du u~ -- 2 uz cos O t ~ z _ _ z~ u - - z cos 0

F�9 B A B I N

dt rt z \ u = z

d'ofi

T r i

[ANN&LES DES TRL~COMMUNI~ATION$

du -~--~-z+u__z u - - z c o s O / ;

% F f 'e-IL" f" -LE2 C~. K dz L J,,. ' ~ , - ~ J ~ , ~ z j

~ e--J K" / r ' e--lK- Ix O du - - I1 du - -

-zcos ,

p F ' e--j~u /~v' e--Jru / l i e ' ~ - = z d U + Ix J~, du; U - - g COS 0

deux t e rmes s ' annu len t .

TF" ( j d lx i ~ f w e--J Ku - ' / J r , Z-- z

] d l , Ix) J " r e-v~'' K -d-zz + d r ' u ~ z du

f'F' e-jKu / -F' e--JKu = - - 2 C x el Kz I d t t - 2 C ' t e - J Kz / - - - - du

.Iv," u - - z ./E" u + z T r = - - 2 C I G D [ K ( r + t--z)]--2C1C~D [K(r + t+ z)].

La con t r ibu t ion du cou ran t ((retour)) c o n t e n a n t C 2 s ' ob t i en t en c h a n g r a n t le signe de t ; on t i endra 6ga lement c o m p t e du t e r m e aff6rent h E ' , d 'ofi la formule c o m p l & e

�9 r o--IK~q FF' W . ~ = - - 3 O j I I ~ I 2 ~ I + 60[ [C~C2K[r--t--z] +

L A r JEE"

CIC~D[K(r + t + z)] + C1C, DEK(r-- t + z)] +

C~C~D[K(r" + t--z)] I~"vv"

Manuscrit regu le 7 ]am, ier ]953.

C O M P T E R E N D U DE LIVRE

WEIS'SENBEBGER (G.), UEBER mE FLUSSVEnZO- GERUNG IN FERI~OMA.GNETISCHEN KREISEN. ( S u r lO retard flu flux d a m los circuits ferromagn6tiques.) Th~sc pr6sent6e h la Technische Hochsehule de Ziirich (J952), 86 p., t04 fig., nombreuses r6f. bibl. ( Impr imeur Leemann, Zfirich). [Don de l 'auteur] .

L 'obje t de cette th~se est l '&ude exp6rimentale et thforique du retard du flux d' induction, dans un circuit magn&ique, par rappor t au courant d'excitation. Ce retard est caract6ris6 en r6gime sinusoida] par un d6pha- sage an entre le passage par z6ro du flux et le passage par z6ro du courant. L 'au teur fair l '&ude de aa pour diff6rents mat6riaux, en particulier pour des ferro- siliciums, sur des noyaux toriques k section homog~ne.

La valeur de an ne d6pend pus en premiere approxi- mation de la surface du cycle d'hyst~r6sis, mais seule- ment de la perm6abilit6 d 'ampli tude &~. an ne dolt pas &re confondu avec l 'angle de perte ou avec l 'angle qb utilis6 en 61ectrotechnique pour repr6sentcr le d6pha-

sage du flux d'induction. En fair il est possible d '&abl i r une relation analyt ique reliant les trois param&res r ~b et ah.

L'influence des courants de Foucaul t sur ah e , t ensuite 6tudi6e tbdoriquement d 'une faqon d&aill6e.

L '&ude ekp6rimentale a 6t6 poursuivie grace ~ deux m&hodes de' mesure diff6rentes. La premiere utilise un oscillographe cathodique e t e s t relat ivcment pe u pr6cise. La seconde utilise un commuta teur synchrone. Ce dernier dispositif permet de mesurer ah ,5. un defni-degr6 prbs. La prdcision et les causes d'erreurs sour analys6es en d&ail pour l 'une et l 'autre m&hode.

L ' a u t e u r termine l 'cxpos6 par l '&ude des moyens qui pcrmet tent de diminuer ah : I) Introduction d 'un entre- fer dans le circuit magn6tique ; 2) choix d 'un mat6riau appropri6 (perminvar) ; 3) pr6aimantat ion judieieu- sement choisie.

La consultation de cet ouvrage pr6sente de l ' int6r&, en particulier pour l '&ude de circuits magn&iques de relais et , d 'une mani6re g6n6rale, de syst~mes dans ]esquels on provoque, par variat ion de flux darts un circuit magn&ique, un mouvement de pi&es mdca- niques.

P. Ar~DRIEUX.

Le Gdrant : A. DUTILLEUL.

I m p r i m 6 par A. Ta.~I~-LEFoI~T, ~ Li l le (France)�9 - - Published in France.

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