Cadrans de hauteur V4-5 - remu-meninge.frremu-meninge.fr/wp-content/uploads/2016/11/Cadrans... · rectilignes et particulièrement aux cadrans, Universel de Regiomontanus, Apian et

Jean-Marie RÉTIF Les cadrans solaires de hauteur

1

LES CADRANS SOLAIRES DE HAUTEUR

____________

JM.RETIF Association Cherche-Midi 42

_____________

1. PREAMBULE

Les cadrans solaires de hauteur sont basés, comme leur nom l’indique, la mesure de la hauteur du Soleil au-dessus de l’horizon, permet de déterminer l’angle horaire du Soleil et donc l’heure.

Ils sont portables et doivent être orientés dans la direction de l’astre du jour. Comme la plupart des autres cadrans solaires, ils sont calculés pour une latitude donnée.

Dans la journée, le Soleil est au plus haut à midi solaire et sa hauteur varie symétriquement autour de cette valeur. Nous pouvons vérifier sur la Figure 1.1, que de part et d’autre de 12 h les hauteurs prises par le Soleil au-dessus de l’horizon sont symétriques.

4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

heure solaire

Hauteur du Soleil

h

Solstice d'été

Solstice d'hiver

Équinoxes

Figure 1.1 : Hauteur du Soleil à Lyon

Cette symétrie implique, pour les cadrans solaires de hauteur, que les lignes ou courbes, représentant les heures dans journée sont confondues autour de midi.

Si nous désirions prendre en compte la longitude, cela décalerait les courbes de hauteurs et romprait cette symétrie. Dans ce cas, il y aurait des tracés différents pour les heures du matin et de l’après-midi, ce qui nuirait à la lisibilité de ce type cadran solaire.

Dans la suite de ce document, notre propos n’est pas de faire une étude exhaustive des cadrans solaires de hauteur, mais d’étudier plus particulièrement les cadrans de hauteur à lignes horaires rectilignes.

Afin de situer le contexte de cette étude, nous donnerons dans un premier quelques exemples de cadrans de hauteurs et ensuite nous nous intéresserons aux cadrans de hauteur à lignes horaires rectilignes et particulièrement aux cadrans, Universel de Regiomontanus, Apian et Capucin.


2

2. DESCRIPTION DE DEUX CADRANS DE HAUTEUR

Le besoin de connaître l’heure, lors de nos ses déplacements, a conduit l’homme à inventer des cadrans solaires portables ; les cadrans de hauteur ont répondu à ce besoin dès l’antiquité.

2.1. Cadran de Berger

Le cadran berger, tient facilement dans une poche ; son mode de fonctionnement est simple, le style est monté sur une partie mobile et doit être positionné à la date du jour, ensuite celui-ci est orienté dans la direction du Soleil.

Figure 2.1 : Cadrans de berger

L’extrémité de l’ombre du style se trouve alors proche d’une ligne horaire, celle-ci donne deux possibilités une heure du matin et l’autre de l’après-midi qui se distinguent sans ambiguïtés.

Une petite interpolation visuelle permet de connaître le temps moyen.

Si l’on veut plus de précision, il faut prendre en compte le décalage dû à la longitude du lieu et l’équation du temps.

Nous allons donner maintenant quelques éléments nécessaires au tracé des courbes horaires.

Pour une longueur du style donné : D OP .

La longueur de l’ombre OA D tg h .

Pour calculer la hauteur, il faut connaître, d’une part la latitude du lieu , et d’autre part la déclinaison du soleil pour un jour de l’année.

La hauteur ‘h’ du Soleil pour une heure donnée sera calculée par relation suivante :

Figure 2.2 ; calcul des courbes horaires


3

sin h sin sin cos cos cos H (2.1)

La grandeur ‘H’, est ici en radians représente l’angle horaire.

H heure 12 15180

(2.2)

Comme le diamètre du cadran de berger est connu, il est alors simple de tracer le réseau des courbes donnant les heures dans la journée.

Le développé d’un cadran solaire de berger est donné sur la figure ci-après.

50 100 150 200 250 300 350-250

-200

-150

-100

-50

0

Longueur de l'ombre entre 5h et 19h

jour dans l'année

11 h10 h9 h8 h

7 h6 h5 h

12 h

13 h14 h15 h

16 h17 h 18 h 19 h

Position du style

Figure 2.3 : développé du tracé d’un cadran de berger pour Saint Etienne

Nota :

Une variante du cadran de berger pourrait, être réalisée avec une tablette possédant dans sa partie supérieure un curseur supportant le style qui serait positionné au jour de l’année.

Cette remarque nous conduit à examiner les cadrans solaires plans qui sont orientés dans la direction du Soleil.


4

2.2. Cadran solaire de hauteur à fil

Avec ce type de cadran solaire, nous avons un pendule fixé en un point et tendu par une petite masselotte. Sur le fil de ce pendule coulisse librement une perle.

Figure 2.4 : Cadran de hauteur à fil

La distance entre la perle et le point de fixation du pendule est réglable et dépend du jour dans l’année.

Le cadran est orienté dans la direction du Soleil par l’intermédiaire d’un système de visée.

Soit ‘O’ le point de fixation du pendule et que nous considérerons comme origine du système de coordonnées xoy, voir. Figure 2.5 : Schéma de principe du cadran de hauteur à fil.

La distance OP ne dépend que de la déclinaison, donc du jour dans l’année.

Il faut donc déterminer une fonction définissant la position de la perle en fonction du jour ‘J’ de l’année.

Nous noterons : g J cette fonction.

La position de la perle, définie par le point ‘P’, doit être la même, pour deux dates symétriques au solstice d’été, cela implique que la fonction g J soit paire autour de ce jour.

Sur la Figure 2.5, nous avons représenté ce cadran solaire à fil pointant dans la direction du Soleil.

Pour un choix de la loi reliant le jour dans l’année à la position de la perle, cette dernière intercepte une courbe horaire au point ‘P’.


5

Figure 2.5 : Schéma de principe du cadran de hauteur à fil

Comme la visée s’effectue dans la direction du Soleil, l’angle OPM est égal à la hauteur ‘h ‘ de celui-ci au-dessus de l’horizon.

La distance OP est constante pour un jour donné, le point ‘P’ sera donc représentatif de l’heure à laquelle la hauteur du Soleil a été calculée.

Nous allons considérer une fonction g J simple ayant des pentes opposées de part et d’autre du

22 juin, voir figure ci-après.

jan fev mars avril mai juin juil août sept oct nov dec jan

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

jour

ro e

n m

m

Longueur du fil jusqu'à la perle

Figure 2.6 : Distance de la perle au point d’attache du pendule


6

Une courbe horaire est définie évidemment à une heure donnée. Nous allons maintenant nous intéresser au tracé des courbes horaires.

x

y

h J

P

Px

Py

O

gJ

Pour un jour ‘J’ déterminé, et une heure dans la journée, nous connaissons la hauteur du soleil h J et la position de la perle donnée

par OP g J .

Le point ‘P’, position de la perle, est défini pas ses coordonnées polaires, la hauteur h J

représente l’angle et la longueur g J de

OP, le module.

Les coordonnées cartésiennes du point ‘P’ sont alors facilement calculées par les relations suivantes :

Px g J sin h J

Py g J cos h J

Connaissant la latitude du lieu , la méthodologie du calcul des lignes horaires est la suivante :

Calcul de la position, de la perle g J

Calcul de l’angle horaire ‘H’ H heure heure 12 15180

Pour un Jour J de 1 à 365

1 Calcul de la déclinaison 23, 44180 2J arcsin sin sin J 81

180 365, 25

2 Calcul de la hauteur ‘h’ du Soleil

sin h sin sin cos cos cos H

h J arcsin sin h

3 Calcul des coordonnées de l’ombre

P

P

x J g J sin h J

y J g J cos h J

Fin du Pour

À l’aide de cet algorithme ont été tracées les lignes horaires entre 5 h et 19 h.

Nota :

La hauteur ‘h’ du Soleil étant la même pour des heures symétriques autour de midi, nous aurons la même courbe pour 11 h et 13 h, 10 h et 14 h, etc.


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Résultats obtenus

Sur la figure ci-après sont représentés les résultats obtenus par l’algorithme précédent avec un cadran solaire acquis par monsieur René Fournier1.

Figure 2.7 : comparaison d’un cadran de hauteur aux résultats calculés

Nous pouvons constater au vu de ces résultats la bonne adéquation entre le tracé pratique et les courbes calculées.

Nota :

La loi g J reliant la position de la perle à un mois dans l’année est arbitraire, et il est

possible de la modifier pour avoir une représentation différente des courbes horaires.

Pour avoir une représentation rectiligne des lignes horaires, nous allons étudier dans la suite de document les moyens d’y parvenir.

1 René Fournier est membre de l’association Cherche midi 42


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3. GENERALITE SUR CADRANS DE HAUTEUR A LIGNES HORAIRES RECTILIGNES

3.1. Préambule

Ces cadrans solaires sont constitués par une tablette sur laquelle une ligne de visée permet de positionner le cadran dans la direction du soleil avec une inclinaison correspondante à la hauteur ‘h’ de l’astre du jour.

Un pendule de centre ‘S’ muni d’un lest et d’une perle ‘P’ de positionnement réglable permet de lire les heures.

Figure 3.1 : principe d’un cadran solaire à lignes horaires rectilignes

Ainsi, contrairement au cadran solaire vu dans le paragraphe précédent, le choix du point d’attache du pendule variera en fonction du jour dans l’année et la latitude du lieu.

Ainsi, pour obtenir des lignes horaires rectilignes il faut, d’une part que la longueur SP du pendule soit variable, et d’autre part donner un degré de liberté supplémentaire au point S d’attache du pendule.

Pour un choix adéquat du point ‘S’ de fixation du pendule et de la position de la perle, à la même heure et quel que soit le jour de l’année les lignes horaires seront caractérisées par des droites perpendiculaires à la direction ox.

Ces deux degrés de liberté que sont la position du point de fixation ‘S’ et de la longueur SP permettent de multiples solutions de réalisations dont nous allons donner quelques exemples.


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3.2. Présentation de quelques cadrans de hauteur à lignes horaires rectilignes.

Nous allons dans ce paragraphe présenter succinctement quelques types de cadrans solaires à lignes horaires rectilignes, nous détaillerons ensuite dans les chapitres suivants leurs modes de fonctionnement et légitimerons algébriquement leurs propriétés.

3.2.1. Cadran La Navicula de Venetiis [4]

C’est un instrument de poche utilisé au Moyen Âge, il en reste seulement 6 exemplaires conservés dans des musées.

Leurs modes de tracé ont eu des variantes, les plus anciennes constructions ont été réalisées au XVem siècle en Angleterre et dont des exemplaires ont été conservés à Oxford et Florence.

Oxford Greenwich Genève

Florence Milan Cambridge

Figure 3.2 : Cadran La Navicula


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D’autres versions plus tardives (1494-1555) se retrouvent conservées à Milan de Cambridge

La ligne de visée est l’axe du bateau, de la poupe à la proue.

Le mat, est gradué avec une échelle de latitudes et s’incline en fonction de la déclinaison du Soleil.

Ainsi, le point de fixation du pendule varie le long du mat en fonction de la latitude et de la déclinaison du Soleil, dépendante du jour de l’année.

La position de la perle est liée à la déclinaison du Soleil, donc du jour dans l’année.

Ce type de cadran solaire n’est pas complètement rigoureux dans son principe, mais donne une bonne approximation de l’heure pour une latitude autour du 45em parallèle.

Nous montrerons plus avant dans ce document que ce type de construction est à approcher du cadran universel de Regiomontanus.

Pour plus d’informations, consultez 2.

2 La navicula de Venetiis Yvon Massé CCS Cadran Info N° 28 – octobre 2013


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3.2.2. Cadran universel de Regiomontanus

Ce fut l’astronome allemand Regionamentus (Johann Müller) qui vers 1474 décrit un cadran dénommé « 'Universel de Regiomontanus »

Ce géomètre et astronome allemand, Johann Müller (1436-1476) est connu sous le nom de Regiomontanus, qu’il est celui de sa ville natale de Königsberg.

Exemple de réalisation3

Figure 3.3 : Cadran universel de Regiomontanus

Un petit système articulé permet de positionner le point d’articulation du pendule ‘S’ sur un petit abaque comprenant des lignes horizontales pour la latitude et les lignes inclinées pour la déclinaison.

La distance SP de la perle est fonction de la distance en le point d’articulation ‘S’ du pendule, et un point sur une droite verticale qui est graduée par rapport à la déclinaison du Soleil, donc du jour de l’année.

Une fois le cadran solaire incliné dans la direction du soleil, la perle indique l’heure.

3 Exemplaire appartenant à Monsieur René FOURNIER de l’association Cherche-Midi 42


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3.2.3. Cadran Peter Apian

Ce cadran solaire a été décrit par Peter Apian en 1533.

P

S

Lignes horaires

Figure 3.4 : Cadran solaire Peter Apian

Ici le point ‘S’ de fixation du pendule se déplace sur un abaque gradué en latitude et en déclinaison.

Contrairement au cadran universel Regiomontanus les droites à latitude constante sont inclinées.

Chacune de ces droites est graduée en déclinaison, donc avec les mois de l’année.

La distance SP de la perle entre le point ‘S’ et la position de la perle ‘P’ est ici définie par une droite verticale donnant la latitude du lieu figurant à la gauche du cadran solaire.

Avec cette construction, les lignes horaires sont des droites.


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3.2.4. Cadran Capucin de Saint Rigaud

François de Saint Rigaud est né en 1606, jésuite dès l’âge de 18 ans Il enseigna au collège de la trinité de Lyon (actuellement Lycée Ampère).

Il laissa de nombreux écrits et notamment en astronomie.

Jacques Ozanam né en 1640 à Bouligneux dans les environs de Lyon, il eut une carrière de mathématicien et publia dans ses « récréations mathématiques et physiques en 1694 la description du cadran solaire capucin proposé par Saint-Rigaud. Figure 3.5 : Cadrans de Saint Rigaud.

Le capucin de Saint Rigaud est constitué d’une table et de deux points pour la visée du Soleil.

Avec ce cadran solaire de hauteur, le point d’articulation ‘S’ du pendule se déplace comme le cadran Apian sur une droite inclinée graduée avec la déclinaison du Soleil durant l’année.

La position de la perle ‘P’ est définie par la distance SA et se trouve liée à la déclinaison du Soleil et la latitude du lieu.

P

S

Figure 3.6 : Cadran solaire de Saint Rigaud

Pour une latitude donnée le point ‘P’ de fixation du pendule se déplace suivant un droite correspondant au plan équatorial. Pour plusieurs latitudes nous aurons un réseau de droites.

La distance de la perle SP est liée à la déclinaison du Soleil.


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3.3. Problématique des cadrans solaires de hauteur à lignes horaires rectilignes.

Avant d’aborder dans le détail les cadrans solaires, universel de Regiomontanus, de Peter Apian et Capucin de Saint Rigaud, nous allons poser le problème général des cadrans solaires de hauteur à lignes horaires rectilignes.

Pour cela reprenons la Figure 3.1 de ce paragraphe donnant schéma de principe de ce type de cadran solaire.

Figure 3.7 : schéma de principe d’un cadran solaire à lignes horaires rectilignes

Le point ‘S’ représente le point de suspension du pendule et nous noterons sx et sy ses

coordonnées dans le repère xoy.

Soit distance de la perle ‘P’ au point de fixation du pendule ‘S’, celle-ci est variable et nous aurons : SP

Lors de la visée du Soleil la direction du pendule par rapport à l’axe oy est égal à la hauteur du Soleil.

Avec ces données les coordonnées de la perle ‘P’ sont :

p s

p s

x x sin h

y y cos h

(3.1)

Pour que les lignes horaires soient des droites perpendiculaires à l’axe, quel que soit le jour de l’année, l’abscisse sx du point ‘P’ doit être constante.

Exprimons maintenant la hauteur du Soleil ‘h’ en fonction de la latitude du lieu de la déclinaison du Soleil et de l’angle horaire ‘H’.

La relation qui permet de passer d’un repère équatorial à un repère horizontal est la suivante :



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Pour que les lignes horaires soient des droites perpendiculaires à l’axe oy il faut, que pour une heure donnée, l’abscisse sx soit constante.

Reportons dans l’expression de l’abscisse sx donnée en (3.1) la valeur de sin h de la

relation (3.2), il vient :

p sx x sin sin cos cos cos H

p sx x sin sin cos cos cos H (3.3)

Figure 3.8 : principe de construction des lignes horaires

Dans l’expression px nous avons 3 termes :

1. Le premier est relatif à la position du point de fixation du pendule ‘S’.

2. Le second dépend de la position de la perle à la distance du point d’articulation ‘S’, de la latitude du lieu qui est fixe, et de la déclinaison de valeur considérée comme constante pour un jour ‘J’ de l’année.

3. Le troisième dépend directeur de l’angle horaire ‘H’ et des mêmes paramètres que le second terme ( , et ).

Nous pouvons aussi remarquer que dans le second et le troisième terme la latitude et la déclinaison du Soleil au cours de l’année jouent le même rôle et sont donc interchangeables.

Les stratégies de conception de ce type de cadran solaire utilisent cette propriété pour déterminer des lois de variations de la longueur du pendule et de la position du point ‘P’ de façon à obtenir une loi très simple pour des lignes horaires qui a toujours l’expression suivante :

px R cos H

Nous allons maintenant pour 3 cadrans à lignes horaires verticales, voir quelles ont été les options choisit pour aboutir à ce résultat remarquable.


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4. CADRAN SOLAIRE DE HAUTEUR UNIVERSEL DE REGIOMONTANUS

Pour ce cadran le point de fixation du pendule se trouve sur un segment de droite parallèle à la base et gradué avec les mois de l’année.

Un autre segment de droite, lui, perpendiculaire, est aussi gradué avec les mois de l’année et permet de déterminer la position de la perle.

Déclinaison

Déc

linai

sonF

G

Latit

ude

Visée

A

B

C

C

Figure 4.1 : Cadran universel Regiomontanus

4.1. Rappel des notations :

: Latitude du lieu

: Déclinaison du Soleil dans un repère équatorial

H : Angle horaire

23,44 Extrema de la déclinaison qui est égale à l’inclinaison de l’axe de rotation de la terre sur l’ecliptique.


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4.2. Construction d’un cadran universel de Regiomontanus

Avec ce type de cadran solaire établi par Johann Müller au XVem siècle, l’épure de construction est la suivante :

Figure 4.2 : Epure de construction d’un cadran universel de Regiomontanus

Nous donnons ici le principe de construction pour une latitude donnée, cela doit être itéré pour les autres latitudes.

Pour déterminer la dimension, le paramètre de départ est la distance AB.

OQ=OB=R (4.1)

Positionnement du point ‘E’

Il dépend de la latitude du lieu, il est défini par OBE .

Tracé de la droite FG

Sa position sur l’axe oy dépend du point ‘E’ donc de la latitude , sa dimension est liée à tel

que : FOG 2

Position du point de fixation ‘S’ du pendule

La position du point ‘S’ est liée à la déclinaison du Soleil et sera constante pour un jour de

l’année. Cette position est définie par : EOS (4.2)

Tracé de droite CD et positionnement du point ‘K’

C’est sur cette droite que la position de la perle ‘P’ sera positionnée.

Cette droite est perpendiculaire à l’axe ox et passe par le point ‘B’.

Le point ‘K’ qui permettra le réglage de est défini tel que :BOK (4.3)


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Réglage de la position de la perle.

Pour un jour donné, nous connaissons la déclinaison du Soleil . La droite DC est donc graduée en fonction du jour de l’année.

Conjointement la droite FG est aussi graduée en fonction du jour de l’année ce qui permet de définir le point ‘S’ centre de rotation du pendule.

Ces points étant déterminée la position de la perle est définie par :SK SP (4.4)

4.3. Calcul des lignes horaires

Lorsque ce cadran est dirigé dans la direction du Soleil le cordon du pendule fait un angle égal à la hauteur ‘h’.

Les coordonnées du point ‘P’ sont alors (cf. relation (3.1)) :

p s

p s

x x sin h

y y cos h

(4.5)

Nous allons maintenant exprimer les coordonnées du point de fixation ‘S’ du pendule et la position de la perle.

4.3.1. Détermination de la droite FG, la position du point ‘S’ ses graduations

Cette droite a une position qui ne dépend que de la latitude du lieu , sur celle-ci est positionné le point ‘S’ de fixation du pendule. Nous allons maintenant déterminer les relations nécessaires pour tracer cette droite.

Détermination de la distance OE et des points ‘F’ et ‘G’

Triangle rectangle OEB

Par construction OB=R et nous aurons OE R tg (4.6)

Le point ‘E’ étant ainsi déterminé, les points ‘F’ et ‘G’ sont définis par EOF EOG

Caractérisation du point ‘S’ pour graduer la droite FG en fonction du jour ‘J’

Pour un jour donné dans l’année, la déclinaison est connue.

Triangle rectangle OES

Dans ce triangle ES OE tg avec OE R tg (relation (4.6)) nous obtenons :

ES R tg tg (4.7)

Ainsi, pour chaque début de mois, la valeur de la déclinaison permet de tracer le point ‘S’.

Pour les solstices d’hiver et d’été le point ‘S’ se confond respectivement aux points ‘F’ et ‘G’.

La caractérisation de ce point permet d’avoir ses coordonnées dans le repère xoy.

Les coordonnées du point ‘S’ seront : s

s

x ES

y OE

soit

s

s

x R tg tg

y R tg

(4.8)

En outre, pour la suite de cette démonstration nous aurons besoin de la distance OS.


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Dans ce triangle Os est l’hypoténuse :

OEOS

cos

il vient :

R tgOS

cos

(4.9)

4.3.2. Détermination de la droite CD, la position du point ‘K’ et ses graduations

La droite CD permet de régler la position de la perle telle que SK .

Elle est perpendiculaire à l’axe oy et passe par le point ‘B’ d’abscisse R.

Le point ‘K’ dépend, comme la droite FG, de la déclinaison du Soleil.

Triangle rectangle OKB

BK R tg (4.10)

Cette relation permet de graduer la droite CD en fonction du jour de l’année.

Au solstice d’été le point ’K’ se confond avec ‘C’ et au solstice d’hiver le point ‘K’ se superpose avec ‘D’.

Pour le calcul de la position de la perle, nous aurons besoin de la distance OK, dans ce triangle :

R

OKcos

(4.11)

4.3.3. Calcul de la position de la perle SK

Triangle rectangle OSK

Ce triangle est rectangle puisque l’angle droit EOB a tourné d’un angle pour former SOK . Dans ce triangle reprenons les expressions qui donnent les valeurs des cotés OS et OK (relations (4.9) et (4.11).

SOK2

R tgOS

cos

R

OKcos

Dans ce triangle OKcos

SK .

OK

SKcos

RSK

cos cos

(4.12)

4.3.4. Coordonnées du point P et tracé des lignes horaires

Maintenant que nous connaissons la position du point ‘S’ et la position de la perle, il est facile de calculer les coordonnées du point ‘P’.

Reprenons les relations (3.1) (3.2) (3.3) du paragraphe 3.3 Problématique des cadrans solaires de hauteur à lignes horaires rectilignes.

p s

p s

x x sin h

y y cos h




20

Vérifions maintenant qu’avec ce tracé l’abscisse px ne dépend que de l’angle horaire ‘H’.

Dans cette expression sx est donné par la relation (4.8) soit : R tg tg

et longueur par (4.12)

R

cos cos

, nous obtenons

P

R sin sin R cos cos cos Hx R tg tg

cos cos cos cos

Px R tg tg Rtg tg R cos H Px R cos H

Sachant que ‘H’ représente l’angle horaire, il est clair que Px ne dépend que de l’heure.

Explicitons maintenant l’angle horaire ‘H’ en degrés d’angle.

H heure 12 15

heure 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

H -90° -75° -60° -45° -30° -15° 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°

Figure 4.3 :Tracé des lignes horaires

Nous trouvons ici une expression de Px qui est constante pour un angle horaire ‘H’ donné et le

tracé s’obtient conformément par la figure ci-dessus, qui est identique à la Figure 3.8 : principe de construction des lignes horaires.


21

4.4. Construction pour toutes les latitudes

Si l’on désire généraliser ce cadran pour des latitudes différentes seule, la droite FG est modifiée.

Elle se transforme en un trapèze pour lequel les lignes horizontales représentent la latitude du lieu et les lignes obliques dépendent du jour dans l’année.

Ainsi les lignes droites rouges notées J, F, M, A , M, J, correspondent aux débuts des mois de Janvier, Février jusqu’à Juin.

Conjointement les lignes droites rouges notées J, A, S, O, N, D représentent les mois de Juillet à Décembre.

Le point d’articulation ‘S’ du pendule se trouve à l’intersection d’une ligne horizontale significative de la latitude du lieu et d’une droite oblique déterminée par la date du jour.

J F M A

JFM

A

M

M J

J

JA

JAS

SOND

O

ND

Latit

ude

30°

40°

50°

60°

12h

11h13h

10h14h

9h15h

8h16h

7h17h

6h18h

5h19h

4h20h

Déclinaison

Dé

clin

ais

on

Figure 4.4 : Tracé d’un cadran universel de Regiomontanus

La position de la perle liée à la déclinaison est définie par la droite verticale, qui est graduée en fonction du jour de l’année.


22

4.5. Zone couverte sur une année

Un cadran solaire n’indique évidemment l’heure que si le Soleil se trouve au-dessus de l’horizon. Si l’on prend en compte cette contrainte d’une hauteur positive, les zones actives des lignes horaires sont données en rouge sur la figure ci-après.

Déclinaison

Dé

clin

ais

on

Figure 4.5 : Zones utiles du cadran solaire universel Regiomontanus


23

5. CADRAN APIAN

Ici le segment de droite support du point d’articulation du pendule a une inclinaison qui dépend de la latitude, et il est aussi gradué avec les mois de l’année.

La position de la perle est déterminée fixée avec l’axe latéral gradué avec les latitudes.

50°

Latit

ude

11h13h

9h15h

7h17h

5h19h

12h10h14h

8h16h 6h

18h

4h20h

J

F

M

A

JM

J

A

S

O

ND

Déclinaison

Visée

Figure 5.1 : Cadran Peter Apian

5.1. Construction d’un cadran Apian

Ici le principe de construction est différent du cadran universel Regiomontanus, la droite FG est parallèle au plan équatorial et comportera des graduations définie par un point ‘S’ lié à la déclinaison du Soleil.

Figure 5.2 : Épure de constriction d’un cadran Apian


24

Nous considérerons ici que le centre ‘O’ de la droite FG est l’origine du repère xoy.

À partir du point ‘O’, milieu de la droite FG menons une perpendiculaire qui coupera la droite

au point ‘A’.

La taille de ce cadran solaire est déterminée par la distance entre la droite à l’axe oy , nous la

noterons R.

Les points ‘F’ et ‘G’ sont répartis de part et d’autre de la droite AO avec un angle .

Le point de suspension ‘S’ du pendule est défini par la déclinaison un jour de l’année .

Pour un jour donné, la position de la perle SP sera définie par la distance SA.

5.2. Calcul des lignes horaires

5.2.1. Tracé de la droite et repérage du point ‘A’

À partir de l’axe oy passant par le point ‘O’ on trace une parallèle à celle-ci tel que AO’=R.

C’est sur cette droite que se retrouveront graduées les latitudes.

Ici nous avons pris une latitude 50 .

Le point ‘A’ est défini par la droite OA tel que l’angle OAO' .

5.2.2. Tracé de la droite FG et de la position du point ‘S’

Elle est perpendiculaire à AO, les points ‘F’ et ‘G’ sont définis par les angles FAO GAO .

Position du point de fixation ‘S’ du pendule

Ce point fonction de la déclinaison du Soleil, il est défini dans le triangle rectangle OAS par :

OS OA tg .

Dans le triangle rectangle AOO’

ROA

cos

il vient

tgOS R

cos

(5.1)

C’est avec cette relation que la droite FG est graduée en fonction du jour dans l’année.

5.2.3. Coordonnées du point de rotation du pendule

Considérons le triangle rectangle OO"S, nous aurons sx OSsin et sy OScos soit à

partir de (5.1) :

s

s

x R tg tg

y R tg

5.2.4. Calcul de la position de la perle

La position de la perle est définie par la distance AS , dans le triangle rectangle OAS nous

avons

OAAS

cos

, comme

R

OAcos

il vient :

R

cos cos


25

5.2.5. Coordonnées du point P et tracé des lignes horaires

Reprenons comme précédemment les relations (3.1) (3.2) (3.3) du paragraphe 3.3 Problématique des cadrans solaires de hauteur à lignes horaires rectilignes.

p s

p s

x x sin h

y y cos h



Avec sx R tg tg et

R

cos cos

pR R

x R tg tg sin sin cos cos cos Hcos cos cos cos

px R tg tg Rtg tg R cos H

Px R cos H (5.2)

Cette relation permet de construire les lignes horaires à partir d’un demi-cercle de rayon R.

Le tracé du cadran solaire Peter Apian pour une latitude est donné ci-après.

Figure 5.3 : Lignes horaires du cadran Apian


26

Lorsque ce cadran est dirigé dans la direction du Soleil, le pendule fait un angle ‘h’ par rapport à la verticale et la perle indique l’heure.


Lorsque la latitude varie l’inclinaison de la droite FG change et nous obtenons le tracé suivant :

J

F

M

A

M

JJ

A

S

O

N

30°

40°

50°

60°

Latitude

Déclinaison

60° 50° 30°

Latitude

12h

11h13h

10h14h

9h15h

8h16h

7h17h

6h18h

5h19h

4h20h

D

P

S

Figure 5.4 : Cadran solaire Peter Apian pour plusieurs latitudes

Pour une latitude de 45° et au mois de février le pendule aura la position et la dimension ici donnée en rouge.

La position de la perle du pendule, une fois le cadran incliné dans la direction du Soleil, donnera l’heure.


27


Maintenant si nous ne considérons que les hauteurs positives du Soleil les positions utiles de la perle du pendule sont données ci-après.

50°Latitude

11h13h

9h15h

7h17h

5h19h

12h10h14h

8h16h 6h

18h

4h20h

J

F

M

A

JM

J

A

S

O

ND

Déclinaison

Figure 5.5 : zone couverte par la perle sur une année


28

6. CADRAN CAPUCIN DE SAINT RIGAUD

Le cadran capucin de Saint Rigaud, conçu au XVIIem siècle, a une conception similaire aux cadrans Regiomontanus et Apian.

Sur une droite FG sépendendant de la latitude se déplace le point ‘S’ de fixation du pendule.

Déclinaison

S

Figure 6.1 : Cadran capucin de Saint Rigaud

Nous allons ici en voir le principe de construction, et nous démontrerons que ses lignes horaires sont rectilignes.

6.1. Construction d’un cadran capucin de Saint Rigaud

Pour une latitude donnée, le cadran capucin de saint Rigaud est constitué d’une droite FG graduée avec la déclinaison du Soleil.

Sur la droite FG, pour un jour donné, le point d’articulation ‘S’ du pendule est lié à la déclinaison du Soleil.,

La position de la perle est fixée par la distance SA, ces réglages étant faits, une fois le cadran bien orienté la position de la perle assure par l’intermédiaire des lignes horaires la détermination de l’heure.

Les lignes horaires sont des droites perpendiculaires à l’axe x. Pour démontrer cette propriété nous allons tout d’abord calculer les coordonnées du point d’articulation ‘S’ en fonction du jour J de l’année ; ensuite nous déterminerons les coordonnées du point ‘P’.

Le dimensionnement de ce type de cadran solaire est déterminé par la longueur du segment de droite AB, nous aurons : AO OB R


29

Figure 6.2 : Construction d’un cadran de Saint Rigaud

Durant l’année, dans le repère équatorial, la hauteur du Soleil est définie par sa déclinaison . Celle-ci varie au cours de l’année entre les deux solstices entre 23,44 et 23,44 .

Point ‘E’ : Il est défini par l’intersection entre l’axe oy et la direction AE tel que l’angle EAO soit égal à la latitude du lieu.

La droite FG est perpendiculaire à AE.

Les points ‘F’ et ‘G’ : Ils sont construits autour de la droite AE avec des angles .

Le point ‘S’ : Il représente l’articulation du pendule SP, la position du point ‘S’ est fonction de la déclinaison du Soleil tel que.

ES AE t g

Nous noterons que lors des solstices nous retrouvons les positions des points ‘F’ et ‘G’.

Le point ‘P’ : Ce point spécifie la position de la perle et il est pris tel quel OP=SA.

6.2. Calcul des lignes horaires.

6.2.1. Coordonnées du point ‘S’

Dans le triangle rectangle AEG

R

AEcos

(6.1)

Dans le triangle rectangle AES ; ES AE tg

tanES R

cos

(6.2)

Dans le triangle rectangle, ESH l’angle HES


30

SH ESsin et EH EScos soit à

partir de la relation précédente (6.2) :

SH R t g tg et EH R tan

Figure 6.3 : Triangle EHS

Il vient pour les coordonnées du point d’articulation ‘S’

Sx SH et Sy EO EH Sy R tg R tan

S

S

x R t g t g

y R t g t g

(6.3)

6.2.2. Coordonnées du point ‘P’

Par construction SP SA

Dans le triangle rectangle AES, la distance ES AE tan .

Nous connaissons la distance AE à partir de (6.1) :

RAE

cos

(6.4)

Il vient :

tanES R

cos

(6.5)

Sachant, que dans le triangle AES, AEcos

AS , nous aurons

AE

AScos

Avec l’expression de AE ci-dessus (relation (6.4)) nous aurons :

R

SA SPcos cos

(6.6)

Au vu de la Figure 6.2, les coordonnées du point P dans le repère xoy sont :

P S

P S

x x PP '

y y SP '

soit à partir de (6.3)

P

P

x R t g t g PP '

y R t g t g SP '

Dans le triangle rectangle SPP’ nous avons SP ' SP cos h et PP ' SPsin h comme nous

connaissons SP par la relation(6.6) nous obtenons :

P

P

sin hx R t g t g

cos cos

cos hy R t g t g

cos cos


31

P

P

sin sin sin hx R

cos cos

sin cos sin cos cos hy R

cos cos

Nous obtenons finalement :

P

P

sin sin sin hx R

cos cos

sin cos hy R

cos cos

(6.7)

Vérifions maintenant que pour un lieu donné de latitude et une heure fixe, l’abscisse Px doit

être constante.

Pour y parvenir prenons l’expression donnant la hauteur ‘h’ du Soleil


Reportons la dans l’expression de Px .

P

sin sin sin sin cos cos cos Hx R

cos cos

Px R cos H (6.9)


32


L’orientation de la droite FG dépend de la latitude, le point ‘S’ est lié à la déclinaison du Soleil.

Pour plieurs lieu le point ‘S se trouve sur un quadrilatère à l’intersection d’une droite à latitude constante et d’un réseau de droite, ici en pointillé, spécifiant la déclinaison du DSoleil.

Figure 6.4 : Cadran de Saint Rigaud pour une latitude quelconque


33


La plupart de temps, la zone de tracé donné dans la littérature correspond à la partie gauche de la

Figure 6.5.

Déclinaison

Latitude 50°

12h

11h

13h

10h

14h

6h

15h

8h

16h

7h

17h

6h

18h

5h

19h

4h

20h

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Figure 6.5: représentations classique du tracé d’un cadran solaire de Saint Rigaud

Dans la réalité la zone est beaucoup réduite, en effet si nous prenons en compte que la zone doit être éclairée, cela implique que le Soleil est au-dessus de l’horizon.

11h13h

10h14h

6h15h

8h

16h

7h17h

6h

18h

5h

19h

4h

20h

12h

Déclinaison

Latitude 50°

Figure 6.6 : Zone effective couverte par la position de la perle sur une année


34

7. CADRAN NAVICULA DU MOYEN-AGE

Les cadrans Navicula furent l’objet de plusieurs variantes de réalisation, nous allons ici décrire une de celles utilisées au moyen-âge.

7.1. Réglage de la fixation du pendule et de la position du mat

x

y

B

S

O

Échelle pour l'inclinaison du mat

La construction est faite à partir d’un cercle de rayon OB=R.

Le point de suspension ‘S’, lorsque le mat est vertical,

est définie par la latitude du lieu tel que : 1OBS

Nous aurons alors : OS R cos

Le mat est incliné d’un angle m qui est fonction de la

déclinaison du Soleil.

Ce réglage, de l’inclinaison du mat, est réalisé sur l’échelle inférieure du cadran solaire.

Pour définir, à une date donnée, l’angle m , nous

traçons les angles mO'O F et mO 'O C qui

définissent les points mC et mF .

Ensuite, le point mC est ramené su OO’ en mD . Le

segment de droite mC mD coupe O mF en mE .

Ramenons parallèlement à l’axe oy le point mE sur le

cercle de rayon R en 2S

L’angle m du mat est défini par l’angle 2O 'OS .

Pour cette construction, au printemps la déclinaison positive et l’angle m sera négatif.

Les graduations de m seront comprises entre le 21

décembre et le 21 juin.

Figure 7.1 : Epure du Navicula pour m

À partir de cette construction, nous pouvons écrire :

m m mD E OD tg avec mO D R cos soit : m mD E R cos tg

L’angle du mat m peut alors être défini par : m mm

D Esin

R

msin cos tg (7.1)

Ici, lorsque la déclinaison est positive l’angle m est négatif.


35

7.2. Réglage de la perle

f P

S

Par rapport à la construction précédente, f

prend la place de , et celle de m .

Sur le cercle de rayon R traçons l’angle

fBO C , ensuite l’angle, ici en bleu

fBO E .

Menons une parallèle à l’axe ox passant par

fE et une parallèle à oy passant par fC , le

point fB d’intersection définira l’angle

f f fB O D .

Nous aurons f ff

f

B Dtg

OD avec :

f fB D R sin et fOD R cos , il

vient :

f

sintg

cos

Ainsi entre le 21 décembre et le 21 juin, connaissant la déclinaison du Soleil il est possible de graduer le cercle de rayon R.

Figure 7.2 : Epure du Navicula pour f


36

Pour cette génération de Navicula les lignes horaire sont tracées sur un demi-cercle de rayon 1R R cos

Il existe plusieurs variantes de réglage de la position de la perle au point ‘P’.

Ici le point ‘P’ est l’intersection de l’angle f

avec le cercle de rayon R.

Les coordonnées de ce point seront :

p f

p f

x R cos

y R sin

Figure 7.3 : Position de la perle

Les coordonnée du point de fixation ‘S’ du pendule sont :

s m

s m

x R tg sin

y R tg cos

La longueur du pendule sera alors 2 2p s p sSP x x y y

Ce cadran de délivre pas des lignes horaires rectilignes nous allons calculer la position de la perle sur une année et constater les erreurs faites vis-à-vis de lignes horaires rectilignes

12h11h

13h

10h

14h

9h

15h

8h

16h

7h

17h

6h

18h

Figure 7.4 : Position de la perle sur une année

Nous pouvons constater que ce type de cadran est très imprécis lorsque nous sommes proches de midi.


37

Afin d’apprécier l’erreur de lecture au cours de l’année nous avons représenté pour chaque heure l’erreur faite, cf. Figure 7.5.

jan fev mars avril mai juin juil août sept oct nov dec jan

12h11h 13h

10h 14h

9h 15h

8h 16h

7h 17h

6h 18h

Abscisse X de de le position de la perle

Figure 7.5 : Erreurs de lecture au cours de l’année

Ces résultats montrent que le cadran Navicula donne des résultats approximatifs.


38

7.3. Comparaison avec le cadran universel de Regiomontanus

7.3.1. Point d’articulation du pendule

Pour le cadran universel de Regiomontanus, la position du point d’articulation se déplace sur une droite parallèle à l’axe ox. Sa position est liée à la latitude du lieu et elle est graduée en fonction de la déclinaison du Soleil.

Avec le cadran Navicula, la position du point d’articulation se déplace sur un arc de cercle dont le rayon est lié à la latitude du lieu.

7.3.2. Position de la perle

La position de la perle, pour le cadran universel Regiomontanus, est définie sur une droite parallèle à l’axe oy, et elle est graduée en fonction de la déclinaison du Soleil.

Pour le cadran Navicula, il existe plusieurs stratégies qui ne sont pas toujours explicites sur les références que j’ai consultées. Ici, la position de la perle est déterminée sur un arc de cercle de rayon R et elle est graduée en fonction de la déclinaison du Soleil.

7.4. Comparaisons des tracés

Les lignes horaires pour le cadran universel Regiomontanus sont faites à partir d’un demi-cercle de rayon R, pour le cadran Navicula les lignes horaires sont définies par un demi-cercle de rayon

R cos . Pour faire la comparaison entre les tracés de ces deux types de cadrans, nous

rapporterons les tracés sur le demi-cercle de rayon R cos .

Cercle de rayon R cos

Cercle de rayon R

Regionabus

Navicula

Figure 7.6 : zones de réglages pour les cadrans Navicula et Regiomontanus

Les différences entre ces deux tracés expliquent l’imprécision du cadran solaire Navicula qui reste une superbe réalisation du moyen-âge.


39

8. CONCLUSION

Déclinaison

Déc

linai

sonF

G

Latit

ude

Visée

A

B

C

C

50°

Latit

ude

11h

13h

9h15h

7h17h

5h19h

12h10h

14h

8h16h

6h18h 4h

20h

JF

MA

JM

JA

SO

ND

Déclinaison

Visée

Déclinaison

S

Cadran universel Regiomontanus

Cadran Peter Apian Cadran capucin de St Rigaud

Droite FG

graduée

horizontale

hauteur dépend de

Echelle latérale

Verticale graduée

Droite FG

graduée

inclinée dépend de

Echelle latérale

Verticale graduée

DroiteFG

graduée

inclinée dépend de

position dépend de

Point latéral

fixe

J F M A

JFM

A

M

M J

J

JA

JAS

SOND

O

ND

Latit

ude

30°

40°

50°

60°

12h

11h13h

10h14h

9h15h

8h16h

7h17h

6h18h

5h19h

4h20h

Déclinaison

Dé

clin

ais

on

J

F

M

A

M

JJ

A

S

O

N

30°

40°

50°

60°

Latitude

Déclinaison

60° 50° 30°

Latitude

12h

11h13h

10h14h

9h15h

8h16h

7h17h

6h18h

5h19h

4h20h

D

P

S

Si nous reprenons la relation (3.3) donnant l’abscisse de la perle, les rôles symétriques joués par la latitude et la déclinaison expliquent les différentes démarches suivies par les concepteurs des cadrans que nous venons d’étudier.



40

RAPPEL DES NOTATIONS

1. COORDONNEES HORIZONTALES ET EQUATORIALES

Avant de développer les calculs de ce type de cadran solaire, rappelons les systèmes de coordonnées utilisés.

Repère horizontal Repère équatorial céleste

Notations

h : la hauteur du Soleil

a : l’azimut du Soleil

est la déclinaison elle représente l’angle au-dessus du plan équatorial.

l’ascension droite est l’angle par rapport au point vernal, dans le plan équatorial

H l’angle horaire compté à partir de la méridienne.

Figure 1.1 : Rappel des notations

Le lieu d’observation est définie par :

La latitude

La longitude


41

1.1. Calcul de la hauteur ‘h’ du Soleil

Ici, la position du Soleil est définie uniquement par sa hauteur ‘h’. Pour un lieu donné, cette hauteur dépend du jour dans le mois et de l’heure dans la journée. Pour calculer cette hauteur du Soleil, il faut tout d’abord connaître la déclinaison du Soleil et une fois l’heure précisée, il est possible de déterminer sa hauteur ‘h’.

Les coordonnées du lieu, et la latitude et , la longitude sont connues, pour calculer la hauteur ‘h’ du Soleil, il faut suivre les étapes suivantes :

Calcul de la déclinaison pour un jour donné

Durant une journée, la déclinaison peut être considérée comme constante.

Pour un jour J donné ; J=1 au premier janvier et J= 365 au 31 décembre, la déclinaison est donnée par la relation :

23, 44180 2arcsin sin sin J 81

180 365, 25

(7.2)

L’évolution de la déclinaison durant l’année est représentée sur la figure ci-après.

jan fev mars avril mai juin juil août sept oct nov dec jan-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

jour

Déclinaison en degré

Figure 1.2 : Déclinaison du Soleil sur une année

Calcul de l’angle horaire ‘H’

A une heure particulière dans la journée, si nous ne tenons pas compte de la longitude nous aurons :

H heure heure 12 15180

(7.3)

Ici ‘H’ est en radians et ‘heure’ représente l’heure solaire moyenne.

Calcul de la hauteur ‘h’ du Soleil

Ce type de cadran ne dépend pas de l’azimut, seule la hauteur du soleil est à calculer, elle est fournie par :


h arcsin sin h (7.5)


42

BIBLIOGRAPHIE

[1] Cadran de hauteur à lignes rectilignes Yaël Nazé

Cadran Info N°10 – Octobre 2004

[2] Gnomonique ou traité théorique et pratique de la construction des cadrans solaires.

G Bigourdan Paris Gauthier Villars 1922

[3] De la résolution du triangle sphérique de position par l’analemme à différents cadrans de hauteur (3ème partie)

Yvon Massé Le Gnomomiste Volume XIII

décembre 2006, pages 10-14 et Volume XIV (2), juin 2007, pages 23-28

[4] La navicula de Venetiis Yvon Massé CCS Cadran Info N° 28 – Octobre 2013

[5] De la résolution du triangle sphérique de position par l’analemme à différents cadrans de hauteur.

Yvon Massé Le Gnomoniste Volume XV 3, septembre 2008


43

SOMMAIRE

LES CADRANS SOLAIRES DE HAUTEUR ............................................................................. 1

1. PREAMBULE .............................................................................................................. 1

2. DESCRIPTION DE DEUX CADRANS DE HAUTEUR ....................................................... 2

2.1. Cadran de Berger ...................................................................................................................... 2

2.2. Cadran solaire de hauteur à fil .................................................................................................. 4

3. GENERALITE SUR CADRANS DE HAUTEUR A LIGNES HORAIRES RECTILIGNES ........ 8

3.1. Préambule ................................................................................................................................. 8

3.2. Présentation de quelques cadrans de hauteur à lignes horaires rectilignes. .............................. 9

3.3. Problématique des cadrans solaires de hauteur à lignes horaires rectilignes. ......................... 14

4. CADRAN SOLAIRE DE HAUTEUR UNIVERSEL DE REGIOMONTANUS ....................... 16

4.1. Rappel des notations : ............................................................................................................. 16

4.2. Construction d’un cadran universel de Regiomontanus ......................................................... 17

4.3. Calcul des lignes horaires ....................................................................................................... 18

4.4. Construction pour toutes les latitudes ..................................................................................... 21

4.5. Zone couverte sur une année .................................................................................................. 22

5. CADRAN APIAN ....................................................................................................... 23

5.1. Construction d’un cadran Apian ............................................................................................. 23

5.2. Calcul des lignes horaires ....................................................................................................... 24



6. CADRAN CAPUCIN DE SAINT RIGAUD .................................................................... 28

6.1. Construction d’un cadran capucin de Saint Rigaud ................................................................ 28

6.2. Calcul des lignes horaires. ...................................................................................................... 29



7. CADRAN NAVICULA DU MOYEN-AGE ..................................................................... 34

7.1. Réglage de la fixation du pendule et de la position du mat .................................................... 34

7.2. Réglage de la perle .................................................................................................................. 35

7.3. Comparaison avec le cadran universel de Regiomontanus ..................................................... 38

7.4. Comparaisons des tracés ......................................................................................................... 38

8. CONCLUSION ........................................................................................................... 39


44

RAPPEL DES NOTATIONS ................................................................................................. 40

1. COORDONNEES HORIZONTALES ET EQUATORIALES .............................................. 40

1.1. Calcul de la hauteur ‘h’ du Soleil ........................................................................................... 41

BIBLIOGRAPHIE .............................................................................................................. 42

SOMMAIRE ...................................................................................................................... 43

Documents

Cadrans de hauteur V4-5 - remu-meninge.frremu-meninge.fr/wp-content/uploads/2016/11/Cadrans... · rectilignes et particulièrement aux cadrans, Universel de Regiomontanus, Apian et