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Ens, Felix LebratSoit A un anneau, un ideal M de A est maximal s’il verifie M 6= A, et pour toutideal M ′ de A, M ⊂M ′ ⇒ (M ′ = M ou M ′ = A).1) Mq M est maximal ssi ∀a ∈ A \M, M + aA = A2) Soient A,B deux anneaux, M un ideal maximal de A, f : A → B un mor-phisme surjectif, mq f(M) est un ideal maximal de B.3) Soit K un corps, trouver les ideaux de K[X]4) Soit M un ideal maximal de Z[X] verifiant M ∩Z 6= {0}, montrer qu’il existep premier et Q ∈ Z[X] tels que
M = pZ[X] +QZ[x]
Indication : mq il existe p premier tq M ∩ Z = pZ
L’anneau est implicitement suppose commutatif (cadre du programme pour lesideaux, sinon il faudrait des ideaux a gauche, a droite, bilateres. . . ).
1. On montre que M + aA est un ideal. Il contient M , et est egal a Msi et seulement si a ∈ M . Si M est maximal, on en deduit bien que∀a ∈ A \M, M + aA = A. Si M n’est pas maximal, soit M ′ un ideal telque M M ′ A Alors, si l’on choisit a ∈ M ′ \M , M + aA est inclusdans M ′ et n’est donc pas egal a A.
2. On considere un ideal M de B qui contient strictement f(M). On verifieque f−1(M) est un ideal de A qui contient M . Strictement, car la surjecti-vite assure qu’il y a au moins un element a de A tel que f(a) ∈M\f(M).Donc f−1(M) = A et donc, par surjectivite, M = B.
3. Question de cours, ce sont les ideaux (P ) ou l’on peut imposer P unitaireou nul ce qui le rend unique.
4. L’application adXd+· · ·+a0 7−→ a0 est un morphisme d’anneaux surjectif,
l’image de M est donc un ideal maximal de Z, donc un pZ avec p premier.Mais M ∩Z est aussi un ideal de Z, assez clairement contenu dans f(M),donc c’est un aZ avec p | a. Si a 6= p, alors p 6∈M , donc M +pZ[X] est unideal qui contient strictement M , et qui n’est pas Z[X] entier car tous lescoefficients constants de ses elements sont divisibles par p. Contradictionavec la maximalite de M .Maintenant, on considere le morphisme surjectif canonique
φ :
d∑k=0
akXk 7−→
d∑k=0
akXk
de Z[X] sur Z/pZ[X]. Alors φ(M) est un certain(P0
)pour un certain
P0 ∈ M (on note P0 = φ(P0)). On verifie alors sans trop de probleme(double inclusion) que
M = pZ[X] + P0Z[x]
.Remarque : les polynomes sur les corps finis sont hors-programme.
1
Ens, Leon DucruetSoit f : ] − R,R[−→ R de classe C∞ telle que, pour tout n ∈ N, f (n) ≥ 0.Montrer que f est developpable en serie entiere sur ] − R,R[ (enonce pose entermes d’analyticite sur un intervalle, ce qui par translation revient au meme).
Solution par manipulations pas tout-a-fait immediates dans le reste integral dela formule de Taylor, voir feuilles jaunes (chapitre series entieres).
CR, Mohamed AzahriouSoit (G,.) un groupe fini, V un espace vectoriel de dimension finie. On appellerepresentation de G dans V tout morphisme ρV : (G,.) 7→ (GL(V ),◦). Onappelle caractere de la representation ρV l’application de (G,.) dans (C∗,×)
χV : g 7−→ det (ρV (g))
1. Montrer que χV est un morphisme de groupes.
2. SiG = (Z/nZ,+), montrer qu’une representation est entierement determineepar la donnee de V et d’un element u ∈ GL(V ) tel que un = IdV .
3. Montrer que pour tout g ∈ G, ρV (g) est diagonalisable et determiner sesvaleurs propres.
4. Supposant G commutatif, montrer que V est somme directe de sous-espaces vectoriels stables par ρV (g) pour tout g ∈ G enonce de la questiona affiner.
5. Question sur les caracteres.
Lyon, Mohamed Azahriou
Soit u ∈ C2(R,R) telle que
∫R
|u| < +∞. Si x ∈ R, 0 < s < 1, on definit
Is(x) =
∫R
u(x+ y)− 2u(x) + u(x− y)
|y|1+2sdy
1. Montrer que Is(x) est bien defini.
2. Calculer lims→1−(1− s)Is(x)
X, Romain Gras
Pour n ≥ m ≥ 1, soit Jn,m =
∫ 1
0
tm−1(1− t)n−mdt.
1. Calculer Jn,m.
2. Soit µn = ppcm(1,2, . . . ,n). Montrer que µnJn,m ∈ Z (independant de 1.).
3. Montrer que n(2n+ 1)
(2n
n
)|µ2n+1 puis µ2n+1 ≥ n4n.
4. Montrer qu’a partir d’un certain rang que l’on determinera, µn ≥ 2n.
2
X, Mohamed AzahriouSoit E un R-espace vectoriel norme, K un compact de E, δ > 0.
1. Montrer qu’on peut recouvrir K d’un nombre fini de boules de rayon δ.
2. Ici dim(E) < +∞,◦K 6= ∅. On note N(K,δ) le nombre minimal de boules de
rayon δ necessaires pour recouvrir K. Trouver un equivalent de ln (N(δ))quand δ → 0.
Mines, Mohamed AzahriouExercice 1On considere p ≥ 1, a0, . . . ,ap des reels distincts, (Pn) une suite de polynomesde Rp[X] telle que pour tout i la suite (Pn(ai)) converge.
1. Montrer que (Pn) converge simplement sur R.
2. La limite est-elle polynomiale?
3. Y-a-t-il obligatoirement convergence uniforme sur tout segment inclusdans R? sur R?
4. On suppose maintenant que pout tout i la suite(P (i)n (ai)
)converge.
Etudier la convergence simple et uniforme sur R.
Exercice 2Soit E un K-espace vectoriel, A une sous-algebre de L(E) telle que les seulssev stables par tous les elements de A sont {0} et E. Montrer que pour toutx ∈ E \ {0}, pour tout y ∈ E, il existe u ∈ A telle que u(x) = y.Examinateur tres peu bavard. Demande d’etudier le cas ou A est commutative,dans le deuxieme exercice. Pas grand chose de fait sur ce deuxieme exercice.
Exercice 1 Il est tres important que tous nos polynomes soient dans E = Rp[X]qui est de dimension finie. On peut penser aux polynomes interpolateurs deLagrange associes aux ak, et tout exprimer dans cette base, ca marche. On peutaussi dire que, pour tout x reel,
N : P 7−→p∑i=0
|P (ai)|
et N ′ : P 7−→ N(P ) + |P (x)| sont deux normes, donc sont equivalentes surE qui, rappelons-le, est de dimension finie. La limite est donc polynomiale. Laconvergence uniforme sur R d’une suite de polynomes est reservee aux suitesconstantes a partir d’un certain rang (exercice fait au debut de l’annee) doncrare. En revanche, si on est sur un segment, la norme de la convergence uniformesur ce segment est une norme sur E donc equivalente a N .
Pour la deuxieme question, si M : P 7−→p∑i=0
|P (i)(ai)| est une norme ca marche
pareil. A verifier (je ne l’ai pas ecrit).Exercice 2 : {u(x) ; u ∈ A} est un sous-espace vectoriel stable par tous leselements de A.
3
Mines, Hugo MartiniereExercice 1Soit f : R+ −→ R+, C1, telle que∫ +∞
0
(f ′(t)2 + t2f(t)2
)dt < +∞
Montrer que f2 est integrable sur R+ et que∫ +∞
0
f2(t)dt ≤ 2
(∫ +∞
0
f ′(t)2dt
)1/2(∫ +∞
0
t2f(t)2dt
)1/2
Exercice 2Soit A ∈ Sn(R), inversible et semblable a A−1. Montrer que Tr(A2) ≥ n et qu’ily a egalite si A ∈ On(R) et A2 = A.Question bonus : Une intersection d’hyperplans peut-elle etre une droite?Examinateur sympa sans plus, passage a l’ENSTA.
L’hypothese fait que f ′2 et t 7−→ t2f(t)2 sont integrables sur [0,+∞[ ; mais alorsf2 l’est puisqu’il n’y a pas de probleme en 0, et que f(t)2 est negligeable devantt2f(t)2 au voisinage de +∞. L’inegalite fait bien sur penser a Cauchy-Schwarz,mais ce n’est jamais direct. Si on pense a cette inegalite de Cauchy-Schwarz, lesecond membre est donc superieur ou egal a∫ +∞
0
2f ′(t)f(t)tdt
dans lequel le terme 2f ′(t)f(t) donne envie d’integrer par parties. Ce qu’on nepeut pas faire a priori sur [0,+∞[ entier, on ecrit donc∫ A
0
2f ′(t)f(t)tdt =[tf2(t)
]A0−∫ A
0
f2(t)dt
De cette identite decoule le fait que tf(t)2 a une limite reelle en +∞. Si cettelimite etait non nulle, cela contredirait l’integrabilite de t 7→ t2f(t)2. On endeduit le resultat en remarquant que le second membre de l’inegalite proposee
est aussi bien superieur a −∫ +∞
0
2f ′(t)f(t)tdt.
L’inegalite sur les matrices symetriques peut se faire en diagonalisant (theoremespectral) : si A = PDP−1 = PDPT , P et D respectivement orthogonale et dia-gonale, alors A−1 = PD−1P−1. Or deux matrices diagonales (plus generalementdeux matrices diagonalisables) sont semblables si et seulement si elles ont lesmemes valeurs propres avec les memes multiplicites (c’est en revanche faux pourdes matrices non diagonalisables). A part les eventuelles valeurs propres 1 et −1(notons p et q leurs multiplicites respectives, pouvant etre nulles), pour chaquevaleur propre λ de valeur propre m il y a aussi sur la diagonale de D la valeur
4
propre 1/λ de multiplicite m. En les rassemblant dans le calcul de la trace deA2, on trouve cette trace s’exprimant sous la forme p + q+ des termes de laforme
m
(λ2 +
1
λ2
)Or chaque (
λ2 +1
λ2
)est ≥ 2, (inegalite celebre, poser µ = λ2) avec egalite si et seulement si λ2 = 1, cequi donne les cas d’egalite (matrice symetrique avec pour seules valeurs propres1 et −1).Enfin, une intersection de deux hyperplans est de dimension n− 1 ou n− 2, cepeut donc etre une droite en dimension 2 ou 3. Sinon, evidemment une droitepeut etre ecrite comme intersection de plusieurs hyperplans.
Mines, Timothe BramasExercice 1 :
1. Soit f : x 7−→+∞∑n=1
(−1)n ln(1 + x2
n(1+x2) )
Montrer que f est C1 sur R
2. Soit S =+∞∑n=1
(−1)n ln(1 + 1n )
Montrer que S existe et que limx→+∞
f(x) = S
3. Calculer la valeur de S, et donner les variations de f .
Exercice 2 :Soit E un espace euclidien, f ∈ L(E) telle que Tr(f) = 0.
1. Montrer qu’il existe x ∈ E \ {0E} tel que 〈x|f(x)〉 = 0
2. Montrer qu’il existe une base orthonormee de E dans laquelle la matricede f possede une diagonale nulle.
Exercice 1 : Theoreme sur les series de fonctions de classe C1. Pour les conver-gences on utilise le theoreme des series alternees. Puis double limite pour ladeuxieme question (pour laquelle on a besoin de convergence uniforme sur uncertain [a,+∞[). Variations de f : le theoreme des series alternees donne le signed’une somme de serie verifiant les hypotheses du theoreme.Exercice 2 : L’application x 7−→ 〈x|f(x)〉 est continue sur E \ {0E} qui estconnexe par arcs des que dim(E) ≥ 2. Si elle etait a valeurs strictement po-sitives ou strictement negatives, Tr(f) ne serait pas nulle (car les coefficients
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diagonaux de la matrice de f dans une base orthonormale sont des (ei|f(ei)).Pour la deuxieme question, on commence une base orthonormale par un vec-teur unitaire verifiant la condition precedente. On conclut par recurrence sur ladimension de l’espace.
Mines, Florent BessetExaminateur accueillant et gentil.Exercice 1
On note f(x) =
+∞∑k=1
sin(k2x)
k2.
1. Continuite de f sur R?
2. Montrer que, si x > 0, f(x) ≥⌊ π
2x
⌋× 2x
π−
∑k>bπ/xc
1
k2.
3. En deduire que f n’est pas derivable en 0.
4. Determiner
∫ π/2
0
f(t)dt (des valeurs de la fonction ζ etant donnees)
Exercice 2
Soit (b0, . . . ,bn) ∈ Rn+1, b0 < · · · < bn, P =
n∑k=0
bkXk, avec b0 < b1 < · · · < bn,
et Q = (X − 1)P . Soit z racine complexe de P .
1. Montrer que Q(|z|) ≥ 0
2. Autre question. . .
Mines, Clemence Serraille15’ de preparation sur le premier exercice, sur lequel on a passe la majoritedu temps ; pas le temps d’aborder la derniere question puisqu’on est passe audeuxieme exercice. Examinateur plutot sympathique, donnant de bonnes indi-cations. Oral passe a l’ENSTA. Convocation a 18h, retard. . .Exercice 1On definit S+
n (R) comme l’ensemble des matrices symetriques reelles ayanttoutes leurs valeurs propres positives.
1. Montrer A ∈ S+n (R)⇔ ∀X ∈Mn,1(R) XTAX ≥ 0.
2. Montrer que S+n (R) est un ferme de Sn(R).
3. Soit φ ∈ L(Sn) telle que φ(S++n ) ⊂ S++
n . Donner des exemples de Xpossibles.
4. Montrer que φ(S+n ) ⊂ S+
n .
5. On suppose n = 2 et φ(I2) = I2. Montrer que Pφ(M) = PM .
Exercice 2 Soit f : [0,1] −→ [0,1] continue. On suppose que pour tout x ∈ [0,1]il existe n ∈ N∗ tel que fn(x) = x.
1. Montrer que f = Id ou f2 = Id.
2. Montrer que la question 1 reste vraie si la propriete n’est vraie que sur[0,1] \A ou A est un ensemble fini.
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Exercice 1.Mines, Gabin ProstSoit u une suite de reels. On note Sn = {up ; p ≥ n} et vn = sup(Sn) a valeursdans la droite fermee R.
1. Montrer que v a une limite, notee λ(u).
2. Montrer que l’on peut extraire w de u telle que wn −−−−−→n→+∞
λ(u).
3. Montrer que si l’on extrait w de u telle que wn −−−−−→n→+∞
` ∈ R, alors
` ≤ λ(u).
4. Soit (zn) une suite de complexes. On note vn = n√|zn| et ` = λ(u). Montrer
que si ` > 1 la serie∑zn diverge et si ` < 1 elle converge.
5. Question non traitee, trouver la limite de la suite(
n√
Tr(Mn))
.
Exercice 2.Soit tX = (x1 . . . xn) ou ∀i xi ∈ Z. On note λ(X) le pgcd des xi. GLn(Z)l’ensemble des matrices inversibles a inverse dans Mn(Z).
1. Montrer que M ∈ GLn(Z) ⇐⇒ det(M) = ±1. Question intermediaire :
montrer la formule A−1 =1
det(A)tcom(A).
2. Montrer que det(M) = ±1 ⇔ λ(X) = λ(MX).
Mines, Mathis VidalExercice 1 15’ de preparation Soit (n,k,p) ∈ N3
∗. On considere une urne avec nboules noires et k boules blanches. On tire p boules en meme temps et on noteX le nombre de boules blanches.
1. Image de X ? Loi de X ?
2. Esperance et variance de X ?
Exercice 2 Courbe representative de f : x 7−→∫ 1
0
ttxdt?
Mines, Romain GrasExercice 1. Soit f ∈ C2(R+,R), f(0) = 0, f2 integrable et (f ′′)2 aussi.
1. Montrer que ff ′′ et (f ′)2 sont integrables.
2. Montrer que
(∫ +∞
0
f ′(t)2dt
)2
≤(∫ +∞
0
f(t)2dt
)(∫ +∞
0
f ′′(t)2dt
).
Exercice 2 Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 2, A et B des sev de Etels que A⊕B = E, f ∈ L(A,B). Soit φf ∈ L(A,E) definie par φf (a) = a+f(a),Af = Im(φf ).
1. (a) Montrer que φf est bien lineaire, puis injective.
(b) Montrer que Af est un supplementaire de B.
(a) Soit g ∈ L(A,B), montrer que Af = Ag ⇒ f = g.
(b) Soit C un supplementaire de B, p le projecteur sur B parallelementa C, f : A→ B induit par p. Montrer que C = Af
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2. Conclure.
Conclusion attendue : il y a une bijection L(A,B) → Supp(B,E) ensemble dessupplementaires de B dans E et donc, si n ≥ 2, il y a une infinite d’hyperplans.
Centrale math 1, Clemence Serraille et Florent Besset
1. Soit u une suite bornee dans un evn de dimension finie. Montrer que si ua une unique valeur d’adherence alors u converge.
2. Soit f : R+ −→ R et u qui verifient(i) ∀x > 0 0 < f(x) < x(ii) ∀x,y > 0 |f(y)− f(x)| < |y − x|(iii) f(0) = 0(iv) ∀n ≥ 1 un+1 = f(un) + 1/n
(a) Soit v definie par vn = |un+1 − un|. Montrer que si 0 < p < q alorsvq − vp ≤ 1/p. Indication : commencer avec vn+1 − vn.
(b) Montrer que v converge.
3. Montrer que u converge.
1. Voir dans le cours la demonstration du fait que dans un compact, unesuite converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adherence).
2. Il s’agit d’abord de montrer que
|un+2 − un+1| ≤ |un+1 − un|+ 1/n
Or un+2−un+1 = f(un+1)−f(un)+1
n+ 1− 1
n. Avec l’inegalite triangulaire
et les proprietes de f on obtient
vn+1 ≤ vn +1
n− 1
n+ 1
En ajoutant telescopiquement ces inegalites on obtient celle qui est de-mandee.On en deduit que v est bornee (elle est positive, et a partir du rang p elleest majoree par vp + 1/p or une suite majoree a partir d’un certain rangest majoree.Soit x une valeur d’adherence de v, alors pour tout p on a
vp ≥ x− 1/p
(prendre dans l’inegalite demontree plus haut pour q les valeurs d’uneextractrice adaptee), donc si y est une valeur d’adherence de v alors y ≥ x.Mais tout aussi bien x ≥ y ce qui conclut.
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3. Mais un+1 − un = f(un) − un + 1/n < 1/n donc, si v converge vers unelimite non nulle ` > 0, a partir d’un certain rang on a |un+1 − un| ≥ 1/ndonc necessairement un+1−un < 0. La suite u, decroissante a partir d’uncertain rang et minoree par 0, converge alors.Reste a traiter le cas ou v converge vers 0. Soit γ > 0. Soit δ = γ − f(γ).Avec (i) et (iii), on constate que, si y ≥ γ, y− f(y) ≥ δ, ou f(y) ≤ y− δ.Supposons
1
n0≤ δ. Si n ≥ n0, alors
un ≥ γ =⇒ un+1 ≤ un
Soit ε > 0. Comme v converge vers 0, il y a rang n1 tel que
∀n ≥ n1 |un+1 − un| < ε
A partir d’un certain rang on aura donc un ≤ γ + ε. Ce qui vient d’etreecrit est vrai pour tous γ > 0 et ε > 0, ce qui conclut l’affaire.Exercice tres technique, pas facile du tout, ne recompense pas l’acquisitiondu cours ni la connaissance des techniques su programme.
Centrale math 1, Gabin ProstSi A est une sous-algebre de C∞(R,R), on dit que d ∈ L(A) est une derivationlorsque, pour tous f,g ∈ A,
d(fg) = d(f)g + fd(g)
1. Montrer que si f ∈ C∞(R,R) est developpable en serie entiere autour de0 et f(0) = 0 alors il existe une unique g ∈ C∞(R,R) est developpable enserie entiere autour de 0 telle que ∀x ∈ R f(x) = xg(x).
2. Montrer que A contient toutes les fonctions constantes. Calculer d(f) si fest constante.
3. Si d est une derivation sur A = C(R,R), si f ∈ A et si f(x0) = 0, montrerque d(f)(x0) = 0 (indication : montrer qu’il existe g ∈ A telle que g3 = f).
4. Autres questions
Centrale math 1, Melvin MatheSoit ‖.‖ une norme sur Cn. Soit A ∈Mn(C), on note |‖A|‖ = sup
‖x‖=1
‖Ax‖.
1. Soit Γ un compact de Mn(C), stable par produit, inclus dans GLn(C),et soit A ∈ Γ Montrer que ∀x ∈ Cn ‖Ax‖ ≤ |‖A|‖ ‖x‖. En deduire queSp(A) ⊂ U.
2. Soit (γ1, . . . ,γn) ∈ Un. Montrer qu’il existe une suite strictement crois-sante d’entiers naturels (mk) telle que, pour chaque i,
γmki −−−−−→
k→+∞1
3. Autres questions.
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Centrale math 1, Louis LemoineOn note E l’ensemble des suites reelles bornees indexees par N. On note, pour
u ∈ E, N∞(u) = supn |un| et N(u) =
+∞∑k=0
|uk|2k
.
1. Montrer que l’on definit ainsi deux normes sur E.
2. Sont-elles equivalentes? Indication de l’examinateur : considerer pour toutp ≥ 0 la suite up definie par up(n) = (3/2)n si n ≤ p, 0 sinon.
3. On note Z l’ensemble des suites nulles a partir d’un certain rang. Montrerque Z est d’interieur vide, determiner son adherence.
4. Quelques autres questions.
Centrale math 2, Louis Lemoine et Melvin Mathe30’ de preparation dans la meme salle que celui qui passe, donc prevoir desboules quies. Les 30’se font avec Python a disposition aisni qu’un livret danslequel sont regroupes plein de programmes/fonctions qui peuvent servir (enl’occurence determinant, inverse, produit de matrices. Python se manipule avecPyzo et non Idle, savoir utiliser Pyzo.
On definit la suite (Mk) dansMn(K) par M0 = αM (M ∈Mn(K), α ∈ R) et,pour tout k,
Mk+1 = Mk(2In −MMk)
1. Avec Python
(a) On donne une matrice 3× 3, et une valeur de α (1/3) ; M est-elle in-versible? direct avec det. Calculer M−1 direct avec inv. Conjecturernumeriquement la limite de la suite (Mk). On definit la suite avecPython, on calcule M50, on trouve que la limite doit etre M−1.
(b) De nouveau, une matrice M ; calculer M2 directementavec la fonctionproduit matriciel indiquee sur le livret, on trouve M2 = M , matriced’un projecteur, donc. Conjecturer numeriquement la limite de (Mk)Cette fois la suite diverge.
2. Dorenavant, sans Python. Montrer que, pour tous entiers naturels j et k,
Mj+k = Mj
2k−1∑i=0
(In −MMj)i
3. On prend M ∈ Sn(R) et M 6= 0. On note ρ(A) = maxλ 6∈Sp(A)
|λ|. Montrer que
(Mk) converge et determiner sa limite.
4. Autres questions non traitees.
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Question 2 : recurrence sur k, l’hypothese de recurrence etant
∀j ∈ N Mj+k = Mj
2k−1∑i=0
(In −MMj)i
L’initialisation est simple. Pour la recurrence,
Mj+(k+1) = M(j+1)+k
= Mj+1
2k−1∑i=0
(In −MMj+1)i
= Mj(In + In −MMj)
2k−1∑i=0
(In −MMj)2i
(on utilise le fait facile a montrer par recurrence que M et Mj commutent). Onobtient le resultat (un paquet de termes avec les puissances paires, un paquetde termes avec les puissances impaires).Question 3 : Theoreme spectral, on se ramene au calcul partant d’une matricediagonale.
Centrale Maths 1, Camil Champin
Soit E un espace vectoriel de dimension n, les (ui)1≤i≤n une famille d’endomor-phismes non-nuls de E telle que ∀(i,j), si i 6= j alors ui ◦uj = 0, et si i = j alorsui ◦ uj = ui.
– montrer que les (Im ui)1≤i≤n sont supplementaires. (Question de l’exa-minateur : quel est le rang des ui?)
– montrer que si les (u′i)1≤i≤n verifient les memes proprietes, pour tout i ilexiste k ∈ GL(E) tel que : k ◦ u′i ◦ k−1 = ui
– montrer que v ∈ L(E) est diagonalisable si et seulement si il existe unefamille de projecteurs (pi)1≤i≤n tels que si i 6= j, pi ◦ pj = 0, et v estcombinaison lineaire des pi.
je n’ai pas eu le temps de traiter la suite.Tout est tres bien indique, l’accueil par le parrainage est super. Les sallessont tres bien isolees, et le parrainage distribue des bouchons d’oreilles pourla preparation (qui se fait en meme temps que le candidat precedent). Ils neprecisent pas qu’il faut un stylo pour emarger. Les colles au tableau se font aumarker sur un mur (en biais par rapport a l’examinateur, difficile a effacer).Certains markers semblent en fin de vie a la fin de la semaine, il n’est pas in-utile d’en apporter un. L’examinateur etait tres sympathique, et n’attend pourplusieurs questions qu’une justification rapide a l’oral, ce qui est tres agreable.
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Centrale math 2, Gabin ProstPour n ≥ 3, t ∈ R, on definit Mn(t) ∈ Mn(R) par (Mn(t))i,j = 1 si i ≤ j,(Mn(t))n,1 = t, (Mn(t))i,j = 0 sinon.
1. [Avec Python]
(a) Ecrire la fonction M(n,t) qui renvoie Mn(t).
(b) Justifier que Mn(t) est diagonalisable (sans Python !). Calculer sondeterminant (idem).
(c) Ecrire la fonction S(n,t) qui renvoie la liste des valeurs propres deMn(t) rangees par ordre croissant (on utilisera sorted(L) pour trier).
(d) Pour n = 3, on note α(t) ≤ β(t) ≤ γ(t) les 3 valeurs propres. Tracerα, β, γ sur le meme graphe, conjecturer leur monotonie et leur limiteen +∞.
2. Etudier la monotonie de t 7→ Pt(λ) ou Pt est le polynome caracteristiquede Mn(t). Conclure quant aux conjectures precedentes.
3. Des questions sur des equivalents de α et γ ?
Examinateur bavard et tres negatif, meme lorsque je disais un truc juste il neparaissait pas satisfait mais ne demandait pas plus.
Centrale Math 2, Florent BessetSoit E le sev de R[X] defini par
P ∈ E ⇔∫ 1
0
P = 0
1. Montrer que, pour tout Q ∈ R[X], il existe P ∈ E unique tel que P ′ = Q.On note P = φ(Q).
2. Ecrire en Python la fonction φ.
3. On definit (Bn) par Bn = 1 et ∀n Bn+1 = φ(Bn). Tracer les graphesdes premiers Bn. Conjecturer quelque chose (probablement le fait queBn(X) = (−1)nBn(1−X), visible sur les graphes car cela signifie que si nest impair, Bn(1/2) = 0 et le graphe de Bn admet un centre de symetrie,le point (1/2,0), et si n est pair, la droite x = 1/2 est axe de symetrie dugraphe).
4. Le demontrer.
5. Montrer que φ est un isomorphisme de R[X] dans E.
6. Montrer une formule. . . la plus celebre, pour les polynomes de Bernoulli,etant
Bn(X) =
n∑k=0
(n
k
)bn−kX
k
7. D’autres questions.
Les Bn sont les polynomes de Bernoulli. Leurs valeurs en 0 sont les nombres deBernoulli. La question 4 (si elle a ete posee !) est interessante, car mettant en
12
œuvre un procede naturel et interessant. On definit les Cn(X) = (−1)nBn(1−X)et on verifie que C0 = 1 et, pour tout n, Cn+1 = φ(Cn). Ce n’est pas difficile etca permet de conclure.
Centrale math 2, Clemence SerrailleNotations : Tn = {M ∈ Mn(C) ; Tr(M) = 0}, [M,N ] = MN − NM , fM :N 7−→ [M,N ].
1. Python
(a) On donne trois matrices dans T4(R), V le sev de T4 engendre parces trois matrices, montrer qu’il est stable par [.,.] avec Python (enfait, les trois matrices commutent 2 a 2. . . ). Et montrer que les troismatrices sont diagonalisables.
(b) Creer une fonction Python qui prend en entree M ∈ M4(K) et quirenvoie la matrice de fM dans la base canonique deM4(K) (il s’agitdonc d’une matrice 16 × 16). Verifier avec Python que chaque fMk
est diagonalisable.
2. Soit φM induit par fM sur Tn.
(a) On suppose M = diag(λ1, . . . ,λn) et ∆i,j = Ei,j si i 6= j, ∆i,i =Ei,i − En,n si 1 ≤ i ≤ n − 1. Montrer que les ∆i,j ((i,j) ∈ J1,nK2,(i,j) 6= (n,n)) forment une base de Tn. Calculer les φM (∆i,j), endeduire que φM est diagonalisable.
(b) Montrer que si M est diagonalisable alors φM l’est aussi.
3. Montrer que M 7−→ φM est injective sur Tn.
4. D’autres questions. . .
Pour la question 3, on sait (ou on redemontre) que les matrices qui commutentavec toutes les matrices sont les matrices d’homotheties, or une homothetie detrace nulle est nulle.Pour la question 2.b., on se ramene a 2.a. en ecrivant, si M = PDP−1 :
φM (N) = PDP−1N −NPDP−1 = PφD(P−1NP )P−1
Et on s’interesse aux P∆i,jP−1.
Mines-Telecom, Jorge LURI VANO
Exercice 1 Etudier∑un, avec un =
+∞∑k=0
1
k2 + n2.
Exercice 2 Soit E = R[X], f ∈ L(E) definie par
f(P ) = (X3 +X)P ′(X)− (3X2 − 1)P (X)
Elements propres de f ?
Exercice 1 : Comparaison serie-integrale ; Exercice 2 L’equation f(P ) = λPest une equation differentielle.
13
Mines-Telecom, Matteo GreaExercice 1 : On considere une variable aleatoire a valeurs dans N∗ telle que
∀n ≥ 1 P (X = n) =a
n2n
1. Calculer a pour que X suive bien une loi de probabilite.
2. Justifier l’existence de E(X), la calculer.
3. Justifier l’existence de V (X), la calculer.
Exercice 2 : Domaine de definition de
f(x) =
+∞∑n=0
1
ch(nx)
Puis trouver un equivalent (au voisinage de 0 ou de +∞ probablement).
Examinateur tres bavard, fait sans cesse des remarques desobligeantes en mefaisant bien remarquer que ce que je fais est mauvais.
Un examinateur ne doit pas se comporter de cette maniere.
Exercice 1 : On s’interesse a g(x) =
+∞∑n=1
xn
n, somme d’une serie entiere de
rayon de convergence 1, que l’on reconnaıt comme − ln(1−x) ou encore commeverifiant sur ]− 1,1[ :
g′(x) =
+∞∑n=1
xn−1 =1
1− x
d’ou, avec g(0) = 0, par primitivation on retrouve ce − ln(1 − x). On appliqueen 1/2 et on trouve a = 1/ ln 2. L’esperance est alors
a
+∞∑n=1
1
2n= a
et pour la variance, on calcule
E(X2) = a
+∞∑n=1
nxn
pour lequel on a interet a mettre x en facteur (calcul analogue a celui del’esperance d’une loi geometrique).Exercice 2 : Par parite on se contente d’examiner x > 0. Pour x = 0, divergencegrossiere. Sinon,
ch(nx) ∼n→+∞
1
2enx
14
d’ou la convergence par comparaison a une serie geometrique a termes positifs.
Pour l’equivalence, a priori, comparaison a une integrale. Pour primitiver1
ch(tx),
on fait le changement de variable t = u/x, on met le ch sous forme exponentielle,on refait un changement de variable v = lnu, eu = v, on est ramene a un calculfaisable.
Mines-Telecom, Ralph HatoumExercice 1 : Soit (E,(.|.)) un espace euclidien, F = (x1, . . . ,xn) et G = (y1, . . . ,yn)deux familles d’elements de E. On suppose que, pour tous i,j, (xi|xj) = (yi|yj).Montrer que F est libre si et seulement si G l’est. Et d’autres questions.
Exercice 2 : Rayon de convergence de∑n≥1
lnnxn. On note u sa somme. Donner
le DSE de (1− x)u(x) + ln(1− x). Autres questions la aussi.Examinateur assez neutre et froid au debut, aide quand meme assez rapidementquand on bloque.
Exercice 1 : Soit A (resp. B) la matrice dans une base orthonormale B de F(resp. B), alors l’hypothese se traduit par ATA = BTB, donc A est inversiblesi et seulement si B l’est.Exercice 2 : Le rayon vaut 1. La serie (1− x)u(x) + ln(1− x) a aussi un rayonde convergence qui vaut 1, mais on montre qu’elle converge normalement sur[0,1], ce qui permet la determination d’un equivalent en 1 de u(x).
Mines-Telecom, Juliette DebonoExercice 1 : Si X ∼ P(λ),
1. Calculer E
(1
X + 1
).
2. Calculer P (Xpair)
Exercice 2 : Resoudre un systeme differentiel 3 × 3 X ′ = AX avec A ayanttrois valeurs propres distinctes.
30 minutes de passage, quelques minutes pour lire le sujet et choisir par quelexercice on commence.
Mines-Telecom, Camil ChampinDans ma salle, chaque candidat a un bol desinfecte avec une effacette et troisfeutres rouge/noir/bleu qui semblaient tout neufs (quel plaisir. . . ). Le tableaus’effacait tres bien. J’ai cependant perdu un peu de temps a me repeter car avecles fenetres ouvertes, le vent etouffait ma voix. J’aurais du m’entraıner a parlerplus fort ! On choisit une feuille au hasard, avec deux exercices, a traiter dansn’importe quel ordre, 3min de reflexion / brouillon au tableau.Exercice 1) Algebre lineaire
15
Pour n ≥ 3 soit A dans Mn(R) la matrice de premiere ligne, premiere colonneet diagonale de coefficients 1, le reste des coefficients sont 0.
– Montrer que 1 est valeur propre de A. Determiner l’espace propre associe.
– En deduire les autres valeurs propres et espaces propres de A
Exercice 2) Analyse
Pour n ≥ 1 et x ∈ R+:
fn(x) =xe−x + x3
n+ x
– Etudier la convergence simple et uniforme de (fn)n≥1
– Si n ≥ 1, soit un =∫ 1
0fn(t)dt : Etudier la convergence de (un)n≥1
L’examinateur est tres sympathique, et cherche a mettre en confiance / minimi-ser la pression. Il ne commente pas mes initiatives, mais donnait regulierementdes questions et indications. J’ai du d’ailleurs tres mal preciser mes intentions,car l’examinateur m’a vite donne des indications tres simples comme “etudierA− Id”, ou “donner la limite de f(x)− fn(x) quand x tend vers l’infini” ce quim’a fait tres peur. Autres indications : “lien entre la trace et le spectre?”, “pourles autres vp de A, etudier plutot A-Id, quitte a translater plus tard”
Algebre : il est important de remarquer que A est symetrique reelle, doncdiagonalisable. Une fois determine le gros sous-espace propre associe a la valeurpropre 1, on note, toujours par symetrie et realite, que les autres vecteurs propressont a chercher dans l’orthogonal de ce sous-espace propre, ce qui simplifie larecherche.Analyse : La suite converge simplement vers 0. Elle ne risque pas de convergeruniformement, car les fn sont bornees alors que la limite, non. Il y a en revancheconvergence uniforme sur tout segment, ce qui donne la convergence des un vers0.
CC-INP, Hamza AbidExercice 8 pts : 62 (Algebre)Exercice 12 pts :
1. Pour quelles valeurs de x la serie∑n≥0
(−1)n
n+ xconverge-t-elle?
2. On note f sa somme, montrer qu’elle st derivable sur ]0, +∞[ et etudierses variations.
3. Exprimer, pour x > 0, f(x+ 1) en fonction de f(x).
4. Donner un equivalent de f en 0+.
5. Donner un equivalent de f en +∞
16
1. Pour tout x 6∈ Z−, la serie verifie les hypotheses du theoreme special surles series alternees au moins a partir d’un certain rang, donc converge.
2. Chaque φn : x 7−→ (−1)n
n+ xest C1 sur ]0, +∞[, de derivee φ′n : x 7−→
(−1)n+1
(n+ x)2.
La serie∑φ′n converge normalement donc uniformement sur chaque [a,+
∞[. Ce qui montre la classe C1 par theoreme sur les series de fonctionsde classe C1. Mais
∑φ′n verifie aussi les hypotheses du theoreme sur les
series alternees (sur ]0, +∞[), ce qui montre que sa somme a le signe dupremier terme, donc f decroıt.
3. f(x+ 1) =∑n≥0
(−1)n
n+ x+ 1=
+∞∑m=1
(−1)m−1
m+ x= −
(f(x)− 1
x
).
4. Mais aussi
f(x) =1
x+
+∞∑n=1
(−1)n
n+ x
et la serie de fonctions
+∞∑n=1
[x 7−→ (−1)n
n+ x
]converge uniformement sur [0,+
∞[ (series alternees, majoration du reste) et c’est la somme d’une serie de
fonctions bornees, donc la somme est bornee, d’ou l’on conclut f(x) ∼ 1
x(au voisinage a droite de 0).
5. La double limite montre que la limite en +∞ est nulle. On peut reecrire
f(x) =
+∞∑p=0
[1
2p+ x− 1
2p+ 1 + x
]=
+∞∑p=0
1
(2p+ x)(2p+ 1 + x)
La fonction t 7−→ 1
(2t+ x)(2t+ 1 + x)est continue positive decroissante
integrable sur [0,+∞[ d’ou l’encadrement :∫ +∞
0
dt
(2t+ x)(2t+ 1 + x)≤ f(x) ≤ 1
x(1 + x)+
∫ +∞
0
dt
(2t+ x)(2t+ 1 + x)
Mais, si A ≥ 0,∫ A
0
dt
(2t+ x)(2t+ 1 + x)=
∫ A
0
dt
2t+ x−∫ A
0
dt
2t+ 1 + x
=
[1
2ln
(2t+ x
2t+ 1 + x
)]t=At=0
=1
2ln
(2A+ x
2A+ 1 + x
)+
1
2ln
(1 +
1
x
)
17
On obtient alors (prenant la limite quand A→ +∞) :
1
2ln
(1 +
1
x
)≤ f(x) ≤ 1
2ln
(1 +
1
x
)+
1
x(1 + x)
et l’equivalent cherche : 1/2x (coherent avec le c.).Tres bon exercice, un peu long mais abordant beaucoup de choses, techniquemais faisant bien appel au cours sur les series de fonctions. Meme avec un exer-cice 8 pts pas trop long, c’est trop long pour etre termine pendant la preparation.
CC-INP, Matteo Grea
On definit, si z ∈ C, M(z) =
0 z z1 0 z1 1 z
.
1. Soit P ∈ C[X], prouver que a est racine simple de P si et seulement siP (a) = 0 6= P ′(a).
2. Calculer le polynome caracteristique de Mz.
3. A quelle condition sur z Mz est-elle diagonalisable?
Examinateur plutot silencieux, n’a pose qu’une question sur un point que j’avaispasse un peu vite.
Premiere question qui peut derouter (c’est du programme de mpsi, revise tresrapidement cette annee). Se souvenir de la definition d’une racine simple estnecessaire : (X − α) divise P , mais (X − α)2 ne le divise pas. Autrement dit,P = (X−α)Q avec Q(α) 6= 0. On en deduit alors assez agreablement le resultat(se souvenir aussi du fait que le reste de la division de P par X − α, c’est
P (α)). L’utilisation des P pour distinguer polynome de fonction polynome danscet exercice n’est pas bete, mais de toute maniere on se plie aux notations del’enonce.Pour le polynome caracteristique, regle de Sarrus : P = X3 − 3zX − z2 − z eton a P ′ = 3X2 − 3z dont les racines sont les racines carrees de z. Il peut n’yen avoir qu’une, si z = 0, il est alors classique que M0 n’est pas diagonalisable(nilpotente non nulle). Supposons dorenavant z 6= 0, et soit y une racine carreede z. Alors y est racine de P si et seulement si
y3 − 3y2y − y4 − y2 = 0
ou encore, comme y 6= 0, 2y+y2+1 = 0. Donc y = −1, z = 1. Or l’etude directedans le cas z = 1 (la matrice est alors J − I ou il n’y a que des 1 dans J) donneencore la diagonalisabilite, bien qu’il y ait une valeur propre nulle. Le seul casde non diagonalisabilite est donc z = 0.Exercice pas bete, teste bien les competences sur la reduction, avec des calculsfaisables.
CC-INP, Ralph HatoumExercice 112
18
Exercice 12 pts : Question 1 en fait, ce n’est pas exactement l’enonce, maiscomme c’est un classique qui figure dans mes archives, ca m’evite de retaper. . .
1. Justifier que la fonction t 7→ e−t2
est integrable sur R+. On se propose decalculer
I =
∫ +∞
0
e−t2
dt
2. Soit f et g les fonctions definies sur R+ par
f(x) =
∫ x
0
e−t2
dt et g(x) =
∫ 1
0
e−x2(1+t2)
1 + t2dt
(a) Demontrer que les fonctions f et g sont de classe C1 sur R+ etdeterminer leur derivee.
(b) Prouver que pour tout x reel positif on a f(x) =
∫ 1
0
xe−x2t2dt.
En deduire que la fonction φ = g + f2 est constante de valeurπ
4.
(c) Demontrer que pour tout x ≥ 0 on a 0 ≤ g(x) ≤ e−x2
.
(d) En deduire la valeur de I.
Question 2 Cours : produit de Cauchy de series entieres. Puis somme et rayonde convergence de
+∞∑n=1
(1 +
1
2+ · · ·+ 1
n
)xn
Examinatrice aussi froide et neutre que possible au debut, mais finit par parlerbeaucoup plus au fil de l’avancement de l’exercice.
La fonction t 7→ e−t2
est continue, positive sur [0, + ∞[. Qui plus est, par
croissances comparees, e−t2
est en +∞ un o de1
t2donc, par comparaison a
l’exemple de Riemann, t 7→ e−t2
est integrable sur R+.
La fonction f est, par theoreme, l’unique primitive nulle en 0 de la fonction
continue x 7→ e−x2
. Donc
f est C1 sur R+ ; ∀x ≥ 0 f ′(x) = e−x2
.
Introduisons la fonction
h : (x,t) 7→ e−x2(1+t2)
1 + t2
definie sur R+ × [0,1]. Alors
– Pour tout x ∈ R+, la fonction t 7→ h(x,t) est continue (par morceauxsuffirait) sur [0,1], integrable donc (car [0,1] est un segment).
19
– h est derivable par rapport a x sur R+ × [0,1], et
∂h
∂x: (x,t) 7→ −2xe−x
2(1+t2)
verifie :
– Pour tout x ∈ R+, la fonction t 7→ ∂h
∂x(x,t) est continue (continue
par morceaux suffirait) sur [0,1] (donc integrable, ce qui se retrouveraavec la domination ci-dessous)
– Pour tout t ∈ [0,1], la fonction x 7→ ∂h
∂x(x,t) est continue sur R+
– Soit K un compact inclus dans R+. Il existe a > 0 tel que K ⊂ [0,a] ;on a alors
∀(x,t) ∈ K × [0,1] |∂h∂x
(x,t)| ≤ 2a
et la fonction t 7→ 2a est integrable sur [0,1], independante de x.
Par theoreme de derivation sous le signe∫
,
g est C1 sur R+ ; ∀x ≥ 0 g′(x) =∫ 1
0−2xe−x
2(1+t2) dt
Soit x reel positif. On peut faire, dans l’integrale∫ x
0
e−t2
dt
le changement de variable t = xu. On obtient alors, en renommant la variabled’integration,
f(x) =
∫ 1
0
xe−x2t2dt La fonction φ = g + f2 est de classe C1 sur R+, et sa
derivee est φ′ = g′ + 2ff ′. Donc, d’apres les calculs precedents,
∀x ≥ 0 φ′(x) =
∫ 1
0
−2xe−x2(1+t2) dt + 2e−x
2
∫ 1
0
xe−x2t2dt
=
∫ 1
0
(−2xe−x
2(1+t2) + 2xe−x2−x2t2
)dt
= 0
Donc φ est constante sur R+. Mais f(0) = 0, donc
φ(0) = g(0) =[Arctan t
]10
=π
4
et finalement :
φ = g + f2 est constante de valeurπ
4En integrant sur [0,1] (0 ≤ 1) l’inegalite
∀t ∈ [0,1] 0 ≤ e−x2(1+t2)
1 + t2= e−x
2 e−x2t2)
1 + t2≤ e−x
2
20
on obtient
0 ≤ g(x) ≤∫ 1
0
e−x2
dt
et donc ∀x ≥ 0 0 ≤ g(x) ≤ e−x2
On en deduit que g(x) −−−−−→x→+∞
0 (ce qui pouvait aussi se montrer par theoreme
de convergence dominee et caracterisation des limites par les suites), et donc
f2(x) −−−−−→x→+∞
π
4
Mais f est a valeurs positives sur R+, donc
f(x) =
√(f(x)
)2 −−−−−→x→+∞
√π
2
ce qui conclut : I =
√π
2
Question 2 : On fait le produit de Cauchy de1
1− xavec ln(1− x).
CC-INP, Leon DucruetAlgebre 79Exercice 12 pts : Soit l’equation differentielle
x2y′′ + x(x+ 1)y′ − y = 0 (E)
1. Trouver les solutions DSE de (E).
2. Calculer la somme des series entieres ainsi trouvees.
3. Toute solution de (E) sur R+∗ est-elle DSE?
Examinateur vraiment tres gentil. J’ai surement perdu des points pour avoirsaute trop d’etapes notamment dans la definition du produit scalaire (il a aplusieurs reprises affirme (( ce n’est pas rien ))) mais ca ne doit pas etre catas-trophique non plus. Le temps d’attente est long, convoque a 8h je ne suis passequ’a 8h20, une petite heure d’attente etant donne que je suis arrive en avance. . .
Calculs a faire. La derniere question est une question de dimension : la dimensionde l’espace des solutions sur R+
∗ est 2, en general (a verifier ici !) on trouve unespace de solutions DSE de dimension 1.
CC-INP, Juliette Debono25’ de preparation. 0n choisit par quoi on commence, on change d’exercice quandon veut. L’examinateur ne donne pas d’indications de sa propre initiative. Lacandidate peut en demander lorsqu’elle bloque, ce qui permet d’avancer maisfait perdre quelques points.
21
Analyse 24.Exercice 12 pts :
1. Donner en les justifiant les dimensions de Sn(R) et An(R).
2. Determinant de l’endomorphisme de Mn(R) : A 7−→ tA.
3. Si A ∈Mn(R), montrer que Ker(tAA) = Ker(A)
Pour la premiere question, on fournit une base de chaque sous-espace. Une basede l’un des deux peut suffire dans la mesure ou pour la deuxieme questionon a besoin de savoir que ces deux espaces sont supplementaires. On ecrit lamatrice de l’endomorphisme transposition dans une base adaptee, on trouveque le determinant vaut (−1)(n(n−1)/2. Enfin, pour la derniere question, uneinclusion est simple. Pour l’inclusion reciproque, petite astuce classique :
tAAX = 0 =⇒ tXtAAX = 0 ⇐⇒ AX = 0
car tY Y = ‖Y ‖2 si Y est une colonne, ‖.‖ la norme euclidienne canonique.
CC-INP, Ayman LimaneAlgebre 73Exercice 12 pts On donne l’equation differentielle
(1 + t2)y′′ + ty′ − 4y = 0 (E)
1. En posant t = shx, calculer∫dt√
1 + t2(2t2 + 1)2
2. Chercher les solutions DSE de (E).
3. En deduire les solutions de (E), puis celles verifiant une certaine conditioninitiale y(0) =, y′(0) =.
4. Une autre question.
Examinateur pas tres interventionniste.Exercice un peu trop calculatoire.
CC-INP, Gael AbijuruProbabilites 111Exercice 12 pts
1. Montrer que, pour tout reel u, |Arctan(u)| ≤ |u|.2. On etudie
F (x) =
∫ +∞
0
Arctan(xt)
t(1 + t2)dt
Donner le domaine de definition, le domaine de continuite, le domaine dederivabilite, calculer F ′, en deduire F .
22
Figure dans les feuilles d’exercices de l’annee, calcul pas tres amusant.
CC-INP, Margot BertonAnalyse 10Exercice 12 pts Pour n ≥ 2 soit A dans Mn(R) la matrice de premiere ligne,premiere colonne et diagonale de coefficients 1, le reste des coefficients sont 0.
1. Justifier que A est diagonalisable.
2. Dans le cas n = 2, determiner les elements propres.
3. On suppose n ≥ 2. Montrer que 1 est valeur propre de A. Determiner unebase de l’espace propre associe.
4. Montrer qu’une potentielle autre valeur propre verifie (λ − 1)2 = n − 1.Que peut-on en conclure.
5. Une question sur le determinant.
Meme matrice que Camil Champin a Mines-Telecom.
CC-INP, Theo CavinaAnalyse 47
Exercice 12 pts On munit N∗ de la probabilite P definie par P ({n} =1
2n.
On note Ak l’evenement (( n est un mutliple de k )).
1. Montrer que P definit bien une probabilite.
2. Calculer P (Ak).
3. Calculer P (A2 ∪A3).
4. On note B l’evenement (( n est premier )) et C = ({1} ∪A2 ∪A3) \ {2,3}.Montrer que C ⊂ B.
5. Montrer que13
32< P (B) <
209
504.
CC-INP, Florent BessetAnalyse 2Exercice 12 pts
1. Montrer que φ : (M,N) 7−→MN est continue sur (Mn(R))2.
2. Soit A ∈Mn(R), telle que Ak −−→k→
B.
(a) Montrer que B = B2 = AB = BA
(b) Soit a (resp. b) l’endomorphisme canoniquement associe a A (resp.B). Montrer que Ker(a− IdRn) ⊂ Im(b).
(c) Montrer que b est le projecteur sur Ker(a − IdRn) parallelement aIm(a− IdRn).
3. En deduire que exp(b) est diagonalisable.
23
Examinateur tres gentil, qui n’aide pas le candidat et le laisse presenter tout cequ’il a fait.
CCP, Clemence SerrailleAnalyse 2Exercice 12 pts : Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f ∈ L(E) telleque f3 − f = 0.
1. Que dire des valeurs propres de f ?
2. Montrer que E = Ker(f)⊕Ker(f2 + IdE).
3. Montrer que si E est de dimension impaire alors f est non inversible. Dansla suite, dim(E) = 3.
4. Montrer que 1 ≤ dim(Ker(f2 + IdE)
)≤ 2.
5. Si x ∈ Ker(f2 + IdE), x 6= 0E , montrer que (x,f(x)) est une famille librede Ker(f2 + IdE). En deduire que dim
(Ker(f2 + IdE)
)= 2.
6. Trouver une base dans laquelle la matrice de f est A =
0 0 00 0 −10 1 0
.
CC-INP, Camil ChampinAnalyse 20Exercice 12 ptsSoit f un endomorphisme de E un espace vectoriel, tel que le polynome ca-racteristique de f soit de la forme P = (X − λ1)n1 · · · (X − λr)nr ou r ∈ N∗, etpour 1 ≤ k ≤ r les λk sont les valeurs propres de multiplicite nk de f .
– Montrer qu’il existe E1,E2, · · · ,Er des sous espaces de E stables par ftels que si 1 ≤ k ≤ r l’endomorphisme induit par f sur Ek soit la sommed’une homotetie et d’un endomorphisme nilpotent.
– Montrer qu’il existe d et n dans L(E) tels que
– d diagonalisable
– n nilpotente
– f = d+ n
– d ◦ n = n ◦ d– trouver d et n pour :
f(x,y,z) = (−2z,x+ 3z,y)
Un peu moins bien indique que Centrale, mais le timing est tres large. Onprepare avec un autre candidat dans la salle, les boules quies de centrale sontutiles.
CC-INP, Mathis VidalAlgebre 88Exercice 12 pts
Soit, pour n ∈ N, In =
∫ 1
0
lnn+1(1 + x)dx.
1. Existence de (In), monotonie?
24
2. (a) Montrer que, pour tout n, 0 ≤ In ≤ (ln 2)n.
(b) Montrer que, pour tout n, In+1 = 2 (ln(2))n − (n+ 1)In (indication :
poser u = ln(1 + x)).
3. Existence et somme de∑ In
n!?
4. Rayon de convergence de∑ In
n!xn?
25
