Inegalites souvent rencontrees

Rencontres Putnam 2004

Universite de Sherbrooke

Jean-Philippe Morin

1. Theorie

Certaines inegalites sont devenues cele`bres en raison de leur grande utilite. Elles sont aussisouvent au coeur de la resolution dun proble`me. Nous traiterons ici des suivantes :

(1) les sommes de carres sont toujours positives ;

(2) linegalite des moyennes ;

(3) linegalite de Cauchy-Schwartz ;

(4) autres inegalites.

1.1. Somme de carres et autres trucs.

Pour tous reels a1, a2, . . . , an R, on a a21 + a22 + + a2n 0. Ceci sera utilise souventpour demontrer certaines egalites. Il sagit aussi dun truc fort utile lorsque veut montrer, parexemple, que certains nombres sont nuls, ou encore egaux par paires (dans ce cas on prend lasomme des carres de leur difference).

Exemple 1.1. Soit a, b, c, d R tels quea2 + b2 + c2 + d2 = ab+ bc+ cd+ da.

Montrer que a = b = c = d.

Solution: En ramenant tout dans le membre de gauche et en rearrageant les termes, on a

a2 ab+ b2 bc+ c2 cd+ d2 da = 0.Or ceci peut secrire

0 =(a2 2ab+ b2) + (b2 2bc+ c2) + (c2 2cd+ d2) + (d2 2da+ a2)

2

=(a b)2 + (b c)2 + (c d)2 + (d a)2

2.

1

2Cette idee peut aussi etre utilisee pour montrer quon a toujours

a2 + b2 + c2 + d2 ab+ bc+ cd+ da.Lorsquon doit montrer une inegalite, il peut saverer avantageux de separer le proble`me en

plusieurs inegalites plus simples, qui lorsquadditionnees donnent linegalite recherchee.

Exemple 1.2. Pour tout entier positif n, montrer que(1 +

1

n

)n (n+ 1)1/n,

ce qui ressemble vaguement a` IAG. Il suffit de distribuer n sur chacun des terme de sn :

n+ snn

=(1 + 1) + (1 + 1

2) + + (1 + 1

n)

n=

2 + 32+ 4

3+ + n+1

n

n

>

(2 3

2 43 n+ 1

n

)1/n= (n+ 1)1/n.

Lautre inegalite peut sexprimer

n snn 1 >

(1

n

)1/(n1).

En utilisant le meme truc que ci-haut

n snn 1 =

(1 1) + (1 12) + + (1 1

n)

n=

12+ 2

3+ + n1

n

n 1>

(1

2 23 n 1

n

)1/(n1)=

(1

n

)1/(n1).

Exemple 1.8. Soient x0 = 0, xi > 0 pour i = 1, 2, . . . , n tels quen

i=1 xi = 1. Montrer que

ni=1

xi1 + x0 + x1 + x2 + + xi1 xi + xi+1 + + xn 1.

Solution: A` laide de IAG, on trouve1 + x0 + x1 + x2 + + xi1

xi + xi+1 + + xn 1 + x0 + + xn

2= 1.

61.3. Inegalite de Cauchy-Schwartz.

Voici une inegalite tre`s cele`bre

Theore`me 1.5 (Inegalite de Cauchy-Schwartz). Soient a1, a2, . . . , an et b1, b2, . . . , bn des reels.Alors

(a21 + a22 + + a2n)(b21 + b22 + + b2n) (a1b1 + a2b2 + + anbn)2,

avec egalite si et seulement si bi = ai pour i = 1, 2, . . . , n.

Demonstration: On peut facilement montrer que la difference entre le membre de gauche etcelui de droite est

i 1 (ou encore r pair et x R) ona

(1 + x)r 1 + xr.

7Theore`me 2.5 (Inegalite de Schur). Soient x, y, z R. Alorsx(x y)(x z) + y(y x)(y z) + z(z x)(z y) 0.

3. Proble`mes choisis sur les inegalites

3.1. Sommes de carres.

3.1.1. Montrer que si x+ y > 0, alors

21x+ 1

y

x+ y2

.

3.1.2. Montrer que

x21 + x22 + + x2n

2

n 1n

i=1

ij=1

xixj.

3.1.3. Montrer que si x y z et z > 0, alorsx+ z y < xz

y.

3.1.4. Montrer que pour tout entier positif n( en

)n< n! < e

(n2

)n.

3.1.5. Montrer que pour tout entier positif n

nn < 1 + 2

2/n.

3.2. Inegalites des moyennes.

3.2.1. Pour des reels positifs a, b, c, montrer que

a3b3 + b3c3 + c3a3 3a2b2c2.3.2.2. Pour des reels positifs x1, x2, . . . , xn, montrer que

x1x2

+x2x3

+ + xnx1

n.

3.2.3. Pour des reels non-negatifs u1, u2, . . . , un, montrer que(n

i=1

ui

)3 n2

ni=1

u3i .

3.2.4. Si an > 0 pour n = 1, 2, . . . , sont tels que

n=1 an converge, montrer que

n=1

na1a2 an e

n=1

an.

3.2.5. Montrer que

1 +12+

13+ + 1

n> 2

n+ 1 2.

3.3. Inegalite Cauchy-Schwartz.

83.4. Autres inegalites.

3.4.1. Soit Q un quadrilate`re convexe (i.e. les diagonales sont a` linterieur de Q). Soient P leperime`tre de Q et S la somme des longueur de ses diagonales. Montrer que

1

2P < S < P.

3.5. Proble`mes supplementaires.

3.5.1. Soient a1, a2, . . . , an et b1, b2, . . . , bn des reels non-negatifs. Montrer que

(a1a2 an)1/n + (a1a2 an)1/n ((a1 + b1)(a2 + b2) (an + bn)

)1/n.

3.5.2. Soient p1, p2, . . . , pn des points sur la sphe`re {(x, y, z) | x2 + y2 + z3 = 1} . Montrer quela somme des carres des distances entre eux est au plus n2.

3.5.3. Soient a, b, c > 0. Montrer que

aabbcc (abc)(a+b+c)/3.3.5.4 (Putnam 1982, B2). Est-il vrai que pour des reels x, y avec y 0 et y(y + 1) (x+ 1)2,on a

y(y 1) x2?Si oui, le montrer, sinon donner un contre-exemple.