Acta Physica Hungarica 73 (~-4), PP. 181-185 (1993)

INFLUENCE DES DEFAUTS THERMIQUES SUR LA DILATATION DES SOLIDES

Y. THOMAS

Institut de Recherches Scientifiques ct Techniqur �91191 An#ers Cedez, France

(Requ 8 juin 1993)

Une › du rSle des vacances thermiques sur les diverses fonctions thermo- dynamiques d'un cristal est effectu› Les cas d'une faible eoncentration des d› dans des solides monoatomiques est illustr› avec le cuivre et l'aluminium �91 l'aide des donn› exp› Le coet¡ de dilatation thermique apparait comme le param~tre le plus sensible et le mieux adapt› �91 l'› des d› thermique$ dans les solides.

R e l a t i o n s t h ›

L'enthalpie libre d 'un cristal r› �91 la pression P constante et h la temp› T peut ~tre › [1]:

G ( p ' T ) = G ~ ' k i'J

oh le premier terme repr› la fonction de Gibbs du cristal suppos› parfait (indice 0), ni le nombre de d› de type j , gij l '› due aux d› des esp~ces i et j en interaction et Dij le nombre des diff› mani~res de distribuer les ni d› suppos› libres de migrer pa rmi les divers sites possibles (dont le nombre est influenc› par les d› en pr› Les termes gij et In Dij sont nuls pour i ~ j si les interactions sont n›

Si p est le potentiel chimique, la condition d'› des d› de l'esp~ce j est:

P,T

La diff› de G par rapport �91 P donne le volume:

"" P X \ O P ] T "

Le second terme du crochet est non nul dans le cas g›233 d 'une contrainte ho- mog~ne et d 'un cristal › anisotrope et doit ~tre ›233 selon chaque

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I / . . . . .

q J

0.1

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0.001

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�88 ~ Ÿ

.." / / I I / , , , / / , / .~

r ."

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/ x/ / v/X

/ /

x / •

/ x

J 1000 1200

T{K}

800 1400

Courbes 1 Contributions relativea des vacances (C %) aux propri›233 du cuivre en fonction de la

temp› (T K). h -- 1170 meV, s -- 1,5 K, x = 0, Sva, S: point de fusion.

cas, il est par contre nul �91 1 equlhbre thermique ou si (Onj/OP)T = 0 pour des impuret› ou des dislocations statiques par exemple et on › alors:

/'o,,,) /'o,,,) V(P ,T) = Vo(P,T) + Z n i k - ~ - / T oh k OP / T -- xi,

i ;

est le volume de formation de d› j. L'enthalpie de d› j peut s'› hij = P �9 xij + eij (› correspondante).

Le coefficient volumique fl de dilatation thermique �91 P constant peut ~tre d› de:

V . / 3 = \ OT /p=Vo/~o+~ k OT \ O T ] '

ii P P

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LA DILATATION DES SOLIDES 183

ainsi que la compressibilit› isotherme X:

(ov(~,T). =Vo.xo+~ "Jk ~ + " J V" X = k. ~ T ,,j T k, OP ] Ti

afin de faire apparaitre les contributions dues aux d› (essentiellement des va- cantes).

Cas d ' u n cr i s ta l m o n o a t o m i q u e

En pr› de N atomes, on a ( N + n ) sites possibles pour n vacances simples (N+.), et D -- /v!,! avec une entropie de configuration S = lnD.

A l'› en utilisant la formule de Stirling pour les grands nombres: n - (N + n)e -g /KT = (N + n)e (•-¡ ofi s est l 'entropie vibrationnelle de formation, h l 'enthalpie de formation des vacances et g l 'enthalpie libre relative aux vacances.

On en d› V ( P , T ) = Vo(P,T) + n . z ( P , T ) ,

V . /] = Vo . q + n Oz T) + z -~ . P P

Envisageons le cas fr› d 'une faible concentration de vacances: (N + n) �87 n et Vo + nz �87 nz , si Va est le volume atomique [2]:

n = ~o - - - N .v~ \ ~-~ ] p + ~

I1 apparait , par les d› thermiques, deux contributions distinctes au coefficient Oz z fl qui sont de m~me importance: (~T)p �87 T car ~ T >> 1 (ce n'est pas le cas si le

term› z / T devient pr›233 Le volume z = (Og/OP)T de formation &une vacance peut ~tre divis› en

deux contributions: la cr› d 'un site et un terme de distorsion du r› soit z - v~(1 + d). On peut alors distinguer les coefficients: ~ ( ~ ) p pour un r›

r› et ti0 + ~ pour le r› correspondant suppos› parfait. La diff› ti' = n h / N T Z K , oh n'apparait pas la dilatation d souvent inconnue, permet une › directe du r61e des vacances.

La capacit› thermique �91 pression constante est alors:

( ) [ ()] [() ~~] OH 0 ~. 0 G Oh + = -T ~-~ ~ ~_CPo+n ~-~ P C P = - ~ v 5-f v

ainsi que la compressibilit› isotherme:

n ( Oz(T, P) + "k-T ~- Xo + - - n X 2

N v a K T "

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10

C%

0.1

0.01

.-" Cp . ' " ' ~

.. f j'" ... , , / ; ~ - . y

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/ t l •

/ i• x f

i I I I , I [ 700 800 900

T(K)

C o u r b e s 2 Contribut ions re lat ives des vacances (C %) aux propri›233 de l 'aluminiurn en fonct ion de la

temp› (T K). h = 760 meV, s -- 2,4 K, x = 0, 5v~, ] : point de fusion.

x-xo compte tenu de l'expression pr›233 de q Ce volume Notons que x _~ ~-Z-~o croit g haute temp› par le ph› d'auto-diffusion. Enfin [3], la relation Cv = Cp - TV~2/X permet de mettre en › la contribution des d› s la capacit› thermique g volume constant:

Cv ~- Cvo + ~ Xo /

Cette contribution est positive car Do/Xo ~ ~/X mais faible tant que �9 ~ hx/flT. Les grandeurs z, h et s jouent un rSle analogue aux valeurs molaires partielles dans les solutions dilu› si bien que, dans les expressions pr›233 de Cp, Cv et X,

Oh Os les termes ( o ~ ) p , (~-… (o-'-~)p et (~-y)p sont n›233

AcSa Physir H~ngarica "[3, 1995

LA DILATATION DES SOLIDES 185

A p p l i c a t i o n a u c u i v r e e t ~ l ' a l u m i n i u m - - c o n c l u s i o n

En adoptant z = v, /2, ~ l 'aide des donn› exp› pour le cuivre [4] et l 'aluminium [5], les eontributions relatives des vacances aux diverses propri›233 thermodynamiques sont mises en › Sur les courbes 1 et 2 on note, par exemple, Cp pour (Cp - Cpo)/Cpo. Le parametre de Grª 7 = ;3V/xCv est › repr›233 Par manque de mesures tres fiables, la r›233 › trique n 'a pas ›233 port› bien qu'elle semble › sensible ~ la pr› de vacances [6].

Pour z E [hVo~o/Cpo, hxo/13oT], avec les approximations signal› la contri- bution au eoefficient fl apparait comme la plus importante. La dilatation thermique est la propri›233 la plus sensible et done la plus appropri› ~ l '› des d› du r› cristallin (ceci reste vrai jusqu's la valeur z ~ v,).

Pour › ces r› ~ divers d› et structures, ofl faute d'approxima- tions les expressions pr›233 se compliquent, ii sera sans doute n› de relier les propri›233 des d› ~ celles des phonons pour expliciter la dilatation thermique vers les hautes temp› [7].

R e f e r e n c e s

1. R. E. Howard, A. B. Lidiard, Reports on Progress in Physics, 27, 161, 1964. 2. J. T. Holder, A. V. Granato, Phys. Rey., 182,729, 1969. 3. Y. Thomas, Acta Phys. Hung., 48, (4), 397, 1980. 4. R. O. Simmons, R. W. Balufli, Phys. Rey., 129, 1533, 1963;

O. Vollmer, R. Koh]-haas, Z. angew. Phys., 25,365, 1968; C. R. Brooks et al, J. Chem. Phys. Solids, 29, 565, 1968; Y. A. Chang, L. Himmel, J. Appl. Phys., 37, 3567, 1966.

5. R. O. Simmons, R. W. Balufli, Phys. Rey., 117, 52, 1960; D. Gerlich, E. S. Fisher, J. Phys. Chem. Solids, 30, 1197, 1969; C. R. Brooks, R. E. Bingham, J. Phys. Chem. Solids, 29, 1553, 1968.

6. A. Ascoli, G. Guarini, G. T. Queirolo, Crystals Lattices DeŸ 1,159, 1970. 7. V. Ga32ina, M. Omini, Phys. Stat. Sol., 7, 771, 1964;

J. Holder, A. V. Granato, J. Appl. Phys., 41, 5152, 1970.

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