Intégration numérique

Présentement, nous avons deux façons d’évaluer l’aire d’une région comprise entre l’axe des x, la courbe y = f(x) et les droites x = a et x = b, soit par le calcul de la limite d’une somme de Riemann ou par l’application du théorème fondamental du calcul.

Pour évaluer les intégrales définies des fonctions n’ayant pas de primitives, nous devons utiliser des méthodes numériques. Nous savons déjà évaluer approximativement une intégrale définie en utilisant les sommes d’aires de rectangles (inscrits ou circonscrits). Nous verrons deux autres méthodes qui donnent plus de précision sur la valeur approchée de l’intégrale définie en utilisant le même nombre fini de sous-intervalles, il s’agit de la méthode des trapèzes et de la méthode de Simpson. Nous verrons également le lien entre ces méthodes et celles utilisant les rectangles.

,

Introduction

Dans la méthode des trapèzes, l’arc de courbe de f sur le sous-intervalle [xi-1, xi]

est remplacé par un segment de droite reliant les points 1 1( , ( )) et ( , ( ))i i i ix f x x f x

Dans la méthode de Simpson, cet arc de courbe est remplacé par un arc de

parabole passant par les points

où mi est le milieu du sous intervalle [xi-1, xi].1 1( , ( )),i ix f x ( , ( )) eti im f m ( , ( ))i ix f x

x

yf

xi-1 xi

Méthode des trapèzes

xxi-1 mi xi

y

f

Méthode de Simpson

Calcul de l’aire exacte d’une fonction ayant une primitive

Pour illustrer nos différentes méthodes (des rectangles, des trapèzes et

de Simpson), nous utiliserons la fonction pour laquelle nous

connaissons la primitive afin de pouvoir comparer nos méthodes avec la

valeur exacte de l’aire calculée à l’aide du théorème fondamental du

calcul.

1( )f x

x

Calculons l’aire de la région délimitée

par la courbe de f, l’axe des x et entre

les droites x=1 et x=4.

4 4 411 1

1( )d d ln ln 4 ln1 ln 4 1,386 f x x x x

x

La valeur exacte de cette aire est

donnée par :

Somme de gauche

La méthode « Somme de gauche » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les extrémités gauches des sous-intervalles.

x

y

y y y y y0 1 2 3 n-1

…

x x x x x0 1 2 3 n-1

Pour chaque sous-intervalle de la forme [xi‑1, xi], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(xi-1).

x

y

xi-1 xi

f (xi-1)f (xi)

0 1 1 11

( ) ( ) ( ) ( )n

g n ii

S f x x f x x f x x f x x

La somme de gauche est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous l’écrivons ainsi :

0 0 1 1 1 1( ) , ( ) , , ( ) n nf x y f x y f x y

Pour simplifier l’écriture, nous pouvons écrire :

0 1 1 11

n

g n ii

S y x y x y x y x

d’où

Exemple de calcul d’une somme de gauche

Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4

1( )f x

x

Découpons l’intervalle [1,4] en 3 sous-intervalles

égaux, donc ∆x = 1.

Nous avons alors x0=1, x1=2, x2=3 d’où

0 1 2

1 11, ,

2 3 y y y

La somme de gauche est alors donnée par :

0 1 2 0 1 2

20 1 2

( ) ( ) ( )

1 1 11( ) (1 ) 1,83 u

2 3 6

gS f x x f x x f x x y x y x y x

y y y x x

Somme de droite

La méthode « Somme de droite » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les extrémités droites des sous-intervalles.

Pour chaque sous-intervalle de la forme [xi‑1, xi], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(xi).

1 21

( ) ( ) ( ) ( )n

d n ii

S f x x f x x f x x f x x

1 21

n

d n ii

S y x y x y x y x

y

xxi-1 xi

f (xi-1)f (xi)

x

y

y y y y1 2 3 n… …

x x x x x0 1 2 3 n

La somme de droite est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous l’écrivons ainsi :

Exemple de calcul d’une somme de droite

Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4

1( )f x

x

Découpons l’intervalle [1,4] en 3 sous-intervalles

égaux, donc ∆x = 1.

Nous avons alors x1=2, x2=3, x3=4 d’où

1 2 3

1 1 1, ,

2 3 4 y y y

La somme de droite est alors donnée par :

21 2 3

1 1 1 13( ) ( ) 1,083 u

2 3 4 12dS y y y x x

Somme du milieu

La méthode « Somme du milieu » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de rectangles dont les hauteurs sont calculées en utilisant les milieux mi des sous-intervalles.

Pour chaque sous-intervalle de la forme [xi‑1, xi], nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à f(mi).

1 21

( ) ( ) ( ) ( )n

m n ii

S f m x f m x f m x f m x

x

y

xi-1 mi xi

f (mi)

x

y

m m m m1 2 3 n

f (m

1)

f (m

2)

f (m

3)

f (m

n)

La somme du milieu est la somme des aires de tous les rectangles ainsi construits. Nous l’écrivons ainsi :

Exemple de calcul d’une somme du milieu

Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4

1( )f x

x

Découpons l’intervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1.

Nous avons alors m1=1,5, m2=2,5 et m3=3,5 d’où

1 2 3

2 2 2( ) , ( ) , ( )

3 5 7f m f m f m

La somme du milieu est alors donnée par :

21 2

2 2 2 142( ) ( ) ( ) ( ) 1 1,352 u

3 5 7 105m nS f m f m f m x

Méthode des trapèzes

La méthode « des trapèzes » consiste à approximer l’aire sous une courbe à l’aide des sommes d’aires de trapèzes.

Si Ai est l’aire du ie trapèze, la hauteur de chacun des trapèzes est donnée par x et les bases

sont données par yi-1, et yi, nous aurons alors :

0 1 2 3 11 21 2 3

( ) ( ) ( )( ), , , ,

2 2 2 2n n

n

y y y y y yy yA x A x A x A x

Une approximation de l’aire totale par la somme des trapèzes sera donc :

0 1 2 1 1 2 1

0 1 2 3 11

0 1 2 1 1 2 1

1( ) ( )

2Somme gauche Somme droite

2 2 2 ... 22

( ) ( )2

n n n

n

T i n ni

n n n

y y y y x y y y y x

xS A y y y y y y

x y y y y y y y y

0 1 2 1Somme gauche Somme droite

2 2 22 2T n n

xS y y y y y

x

y

y y y y y0 1 2 3 n… …

x x x x x0 1 2 3 n

Exemple de calcul d’une somme d’aires de trapèzes

Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4

1( )f x

x

Découpons l’intervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1.

La somme des aires des trapèzes est alors donnée par :

Comme nous avons déjà calculé les sommes de gauches et de droite, nous allons les utiliser pour calculer la somme des trapèzes.

2Somme gauche Somme droite 1 11 13 35 1,458 u2 2 6 12 24TS

Regardons les erreurs commises sur les approximations  :

De quoi dépendent les erreurs?

Sommes de gauche et de droite

Pour les sommes de gauche et de droite, nous observons que l’erreur est d’autant plus grande si la pente de f est très prononcée, c’est-à-dire si la valeur de f’ est grande. Illustrons ceci par les graphes suivants :

Erreur liée à la somme de gauche

Erreur liée à la somme de droite

valeur de f’ grande  plus grande erreur

Erreur liée à la somme de gauche

Erreur liée à la somme de droite

valeur de f’ petite  faible erreur

De quoi dépendent les erreurs?

Sommes du milieu et des trapèzes

Pour les sommes du milieu et des trapèzes, nous observons que l’erreur est d’autant plus grande si la concavité de f est très prononcée, c’est-à-dire si la valeur de f’’ est grande. Illustrons ceci par les graphes suivants :

Erreur liée à la somme des trapèzes

valeur de f’’ grande  plus grande erreur

valeur de f’’ petite  faible erreur

Erreur liée à la somme des trapèzes

Erreur liée à la somme du milieu

Erreur liée à la somme du milieu

Méthode de Simpson

L’équation de cet arc de parabole est : ax2 + bx + c.

y

yi-1yif(mi)

x-h h0

L’arc de courbe est remplacé par un arc de parabole passant par les points :

1 1( , ( )),i ix f x ( , ( )) eti im f m ( , ( ))i ix f x

1 4 ( )6i i i ixA y f m y

D’où vient cette formule?

yi-1 yif(mi)

xxi-1 ximi

En intégrant l’équation de l’arc de parabole sur l’intervalle [-h, h], nous obtenons l’aire sous cet arc de parabole soit :

Nous devons calculer l’aire sous cet arc de parabole. Pour simplifier la tâche, plaçons un système d’axes afin que l’axe des y soit au centre de la figure. Nous obtenons :

xi-1 = -h, mi = 0 et xi = h

Calcul de l’aire sous un arc de parabole

3 22

3 2 3 2 32

d3 2

2 2 2 63 2 3 2 3 3

hh

h h

ax bxax bx c x cx

ah bh ah bh ah hch ch ch ah c

2 21 1Donc d 2 6 4 ( ) 4 ( )

3 3 6

h

i i i i i ih

h h xax bx c x ah c y y f m y f m y

Exprimons ce dernier résultat en fonction de Δx, en fonction de yi-1, yi, f(mi). Pour ce faire, évaluons les ordonnées 2

12

( )

( )

( ) (0)

i

i

i

y f h ah bh c

y f h ah bh c

f m f c

D’où yi-1+ yi = 2ah2 + 2c et afin d’obtenir 2ah2 + 6c , il nous manque 4c qui

correspond à 4 f(mi).

y

yi-1 yif(mi)

x-h h0

Formule de Simpson

0 1 1 1 2 2 2 3 3 1

0 1 1 2 2 3 3 1

0 1 2 3 1 1 2 3

0 1 2 3

4 4 4 46

4 2 4 2 4 2 2 46

2 2 2 2 46

2 2 2 22

13

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

S n n n

n n n

n n n

n

xy f m y y f m y y f m y y f m y

xy f m y f m y f m y y f m y

xy y y y y y f m f m f m f m

y y y y yx 1 1 2 32

13

( ) ( ) ( ) ( )

Somme des trapèzes Somme du milieu

Somme des trapèzes +2 Somme du milieu

n ny x f m f m f m f m

Somme des trapèzes 2 Somme du milieu3SS

Exemple de calcul à l’aide de la méthode de Simpson

Reprenons notre exemple de l’aire sous la courbe de entre les droites x=1 et x=4

1( )f x

x

Découpons l’intervalle [1, 4] en 3 sous-intervalles égaux, donc ∆x = 1.

La somme des aires de Simpson est alors donnée par :

Comme nous avons déjà calculé les sommes de trapèzes et du milieu, nous allons les utiliser pour calculer la somme des aires de Simpson.

SimpsonS 1 3497Somme Trapèze + 2 Somme milieu

3 2520 Erreur commise = 0, 0014