Interférences - Free

IntroductionInterférence de deux sources synchrones

Conditions d'interférencesInterféromètres à division du front d'onde

Exercice

Interférences

Optique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

Optique Interférences



Exercice

ProblématiquePlan

Comment améliorer la résolution d'un télescope ?




Exercice

ProblématiquePlan

1) comprendre les interférences




Exercice

ProblématiquePlan

2) étudier les conditions pour que se produisent les interférences




Exercice

ProblématiquePlan

3) s'intéresser aux trous et aux fentes de Young




Exercice

Phénomène d'interférenceDé�nitions relatives aux interférencesEtude géométrique des interférences

Exemples de phénomènes d'interférences

Les interférences : l'intensité de la somme n'est pas la somme des

intensités. Dans certains cas, de la lumière ajoutée à de la lumière

donne de l'obscurité !Optique Interférences



Exercice


Formule de FresnelAu point M, deux vibrations lumineuses synchrones

sk (M, t) = a0k cos

[ω

(t −

(SkM)

c

)− ϕsupk

− φ0]

s'ajoutent :

I (M) =⟨s1(M, t)2

⟩+⟨s2(M, t)2

⟩+ 2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉

Une formule trigonométrique permet d'écrire

2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉 =

=

2√I1 I2 〈cos [(ω − ω) t + ∆ϕ]〉

+2√I1 I2

⟨cos[(ω + ω) t + ∆ϕ′

]⟩2√I1 I2 〈cos [∆ϕ]〉




Exercice


Formule de FresnelL'intensité I résultant de l'interférence de deux

sources monochromatiques synchrones de longueur

d'onde λ0 dans le vide, respectivement d'intensité I1et I2 (si elles étaient seules) est

I = I1 + I2 + 2√

I1 I2 cos (∆ϕ)

où ∆ϕ = 2πλ0δ + ϕsup avec δ, la di�érence de marche

en M et ϕsup = π dans le cas :

• d'une ré�exion sur un miroir métallique

• d'une ré�exion sur un dioptre d'indice supérieur

• du passage par un point de convergence




Exercice


Interprétation de la formule de FresnelI1 est l'intensité reçue au point M avec la seule source S1,et I2, l'intensité reçue au point M avec la seule source S2.

I 6= I1 + I2

à cause du terme d'interférence 2√I1 I2 cos (∆ϕ)

où ∆ϕ(M) est le déphasage entre les deux vibrations lumineuses

arrivant au point M.




Exercice


Ordre d'interférence (dé�nition)

L'ordre d'interférence est la grandeur p sans

dimension telle que ∆ϕ(M) = 2π p.




Exercice


Franges claires et sombres, interférencesconstructives et destructives (dé�nition)

Sur un écran, le lieu des points M contigus de même

éclairement, donc de même phase, est appelé frange

d'interférences.




Exercice


Nature des interférences et ordre d'interférenceOn est en présence

• d'une interférence constructive (c'est à dire d'une frange

brillante ou claire) si p est entier ;

• d'une interférence destructive (c'est à dire d'une frange sombre

ou noire) si p est demi entier (p = 1

2+ n avec n ∈ Z).




Exercice


Contraste ou visibilité des franges (dé�nition)

le contraste ou visibilité des franges est

C =Imax − Imin

Imax + Imin




Exercice


Encadrement du contraste (exercice)

Montrer que 0 6 C 6 1 .




Exercice


Encadrement du contraste (exercice)Comme Imax = I1 + I2 + 2

√I1.I2 et Imin = I1 + I2 − 2

√I1.I2, on en déduit :

C =4.√

I1.I22.(I1+I2)

=

√I1.I2

(I1+I2)2

. Aussi, le contraste est le rapport de la moyenne

géométrique des intensités des deux ondes seules sur la moyenne arithmétique de I1et I2.En calculant (√

I1 −√

I1

)2

= I1 + I2 − 2√

I1 I2 ≥ 0

on a bien C 6 1.




Exercice


Interprétation de la visibilité des frangesAussi,

• le contraste est nul si I1 � I2 ou I2 � I1. Il est donc primordial

d'avoir des intensités I1 et I2 proches pour conserver un bon

contraste donc une bonne visibilité des franges.

• le contraste est maximal (c'est à dire C = 1) si I1 = I2 : c'est la

meilleure visibilité des franges.




Exercice


Réecriture de la formule de Fresnel avec lecontraste (exercice)

Montrer qu'on peut écrire la formule de Fresnel d'une

autre façon :

I (M) = I0 [1 + C cos (∆ϕ)] avec I0 = I1 + I2




Exercice


Réecriture de la formule de Fresnel avec le contraste (exercice)Comme Imax = I1 + I2 + 2

√I1.I2 et Imin = I1 + I2 − 2

√I1.I2, on en déduit :

C =4.√

I1.I22.(I1+I2)

=

√I1.I2

(I1+I2)2

.

Aussi, I = I1 + I2 + (I1 + I2) .C . cos (∆ϕ)




Exercice


Evolution de la visibilité des franges d'interférences avec lecontraste




Exercice


Surfaces d'iso-eclairementUne surface d'iso-eclairement (ou d'iso-intensité) est l'ensemble

connexe des points M tels que I (M) = constante, d'où

δ(M) = constante donc (S2M)− (S1M) = constante.




Exercice


Forme des surfaces iso-eclairement

Le système de franges possède la symétrie de révolution par rapport à l'axe S1S2.

Si le milieu est homogène d'indice n constant, cela correspond à

S2M − S1M = constante




Exercice


Forme des surfaces iso-eclairementDans le cas d'interférences de deux ondes issues de

deux ondes synchrones en S1 et S2, les surfaces d'isoéclairement dans un milieu homogène sont des

hyperboloïdes homofocales de foyers S1 et S2.




Exercice


Quelques surfaces iso-éclairement

hyperboloïdes de foyers S1 et S2.




Exercice


Trace de quelques surfaces iso-éclairement dans un plancontenant S1 et S2

la trace de surfaces iso-éclairement dans un plan contenant l'axe

S1S2 : hyperboles de foyers S1 et S2.




Exercice


Forme des franges

la trace de surfaces iso-éclairement sur un écran dépend de la

position de l'écran par rapport aux foyers S1 et S2.




Exercice

Calcul de l'intensité résultant de la superpositionde deux ondes monochromatiques (exercice)

On s'intéresse à deux sources ponctuelles

précédentes : s1(S1, t) = a01 cos (ω1 t − φ1) et

s2(S2, t) = a02 cos (ω2 t − φ2).� Montrer que l'intensité lumineuse en M est

I (M) = I1 + I2 + 2√

I1 I2 〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉

où∆ϕ = ω2

(S2M)c − ω1 (S1M)

c+ϕsup2 − ϕsup1

+φ2 − φ1




Exercice

Calcul de l'intensité résultant de la superposition de deux ondes monochromatiques(exercice)Les deux vibrations lumineuses s'additionnent et

I (M) =⟨s1(M, t)2

⟩+⟨s2(M, t)2

⟩+ 2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉

Une formule trigonométrique permet d'écrire

2 〈s1(M, t) s2(M, t)〉 = 2√I1 I2 〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉

+2√I1 I2

⟨cos[(ω1 + ω2) t + ∆ϕ′

]⟩où ∆ϕ = −ω1

(S1M)c− ϕsup1 − φ1 + ω2

(S2M)c

+ ϕsup2 + φ2 et

∆ϕ′ = −ω1(S1M)

c− ϕsup1 − φ1 − ω2

(S2M)c− ϕsup2 − φ2. Bien entendu, la

seconde moyenne est nulle :

⟨cos[

(ω1 + ω2) t + ∆ϕ′]⟩

= 0




Exercice

Condition d'interférence et cohérence temporelleIl faut que les deux sources S1 et S2 aient la même pulsation : ω1 = ω2 pour que

〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉 = 〈cos (∆ϕ)〉 6= 0

c'est à dire pour qu'il y ait interférence.




Exercice

Condition d'interférence et cohérence temporelleDeux longueurs d'onde di�érentes n'interfèrent pas.




Exercice

Condition d'interférence et cohérence spatialeSi les deux sources S1 et S2 ont la même pulsation : ω1 = ω2 pour que

〈cos [(ω1 − ω2) t + ∆ϕ]〉 = 〈cos (∆ϕ)〉 6= 0

pour qu'il y ait interférence. Or

∆ϕ = ωc

[(S2M)− (S1M)] + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1. Comme le déphasage à

l'origine φ2 −φ1 entre deux sources lumineuses S1 et S2 est variable et quelconque.

Ainsi sur le temps de réponse du détecteur, la phase varie un très grand nombre de

fois entre 0 et 2π et ainsi 〈cos (∆ϕ)〉 = 0 si S1 et S2 sont di�érentes.




Exercice

Condition d'interférence et cohérence spatialeDeux sources primaires di�érentes n'interfèrent pas.




Exercice

Condition d'interférence sur les trains d'onde

Pour que 〈cos (∆ϕ)〉 6= 0 avec

∆ϕ = ωc

[(S2M)− (S1M)] + ϕsup2 − ϕsup1 + φ2 − φ1, il faut que les trains

d'ondes se superposent. Or, pour que se superposent ces trains d'onde, il faut que

la di�érence de marche ne soit pas plus grande (en valeur absolue) que la longueur

du train d'onde dans l'espace, c'est à dire `c , la longueur de cohérence temporelle.




Exercice

Condition d'interférence sur les trains d'ondePour que les interférences ne soient pas brouillées, il

faut que la di�érence de marche soit inférieure à la

longueur de cohérence temporelle :

|δ| < `c




Exercice

Utilisation des laser pour des interférencesUne grande monochromaticité (et une grande longueur de

cohérence temporelle) associée à une grande directivité (un point

source à distance in�nie) expliquent pourquoi il est plus facile de

réaliser des interférences avec un laser.




Exercice

Dispositif des trous de YoungNotion de cohérenceDispositif des fentes de Young

Interférence à partir d'une unique source primairesi l'on veut réaliser des interférences, une solution consiste à créer

deux sources à partir d'une unique source primaire. On parle alors

de deux sources secondaires. C'est ce qui se passe en particulier

dans le dispositif des trous de Young.

Il faut pour réaliser une source quasi ponctuelle :

• un laser (source ponctuelle à l'in�ni) ;

• ou bien un laser à qui on adjoint un objectif de microscope

(source ponctuelle à distance �nie) ;

• soit encore une lampe qui éclaire (grâce à un condenseur) un

diaphragme (qui est dans ce cas la source ponctuelle à Sdistance �nie).




Exercice


Principe du dispositif des trous de Young

deux rayons lumineux di�érents, issus du même point source

primaire (qu'on notera S) qui vont interférer en un point M. Depuis

M, ces deux rayons lumineux semblent provenir (ou proviennent

e�ectivement) de deux point sources secondaires S1 et S2.




Exercice


Non localisation des interférencesDans le cas d'utilisation d'une source ponctuelle, les interférences

ne sont pas localisées. C'est à dire qu'elles existent a priori dans

toute la zone de recouvrement des faisceaux.

Aussi, il n'est pas nécessaire a priori d'utiliser un dispositif de

formation d'image (lentille) pour visualiser les interférences.




Exercice


Champ d'interférencesle champ d'interférences est le lieu des points M pouvant être

atteints par les deux signaux. On parle aussi de zone de

recouvrement des faisceaux.




Exercice


Détermination de la di�érence de marche dansle cas des trous de Young (exercice)

� Déterminer la di�érence de marche δ dans le cas

des trous de Young.

� En utilisant le fait que les trous de Young sont

situés à une distance a faible devant la distance dséparant les trous de l'écran, faire un développement

limité pour exprimer δ en fonction de x et y les

coordonnées du point M sur l'écran.




Exercice


Détermination de la di�érence de marche dans le cas des trous de Young (exercice)� La di�érence de marche est

δ = (SS1M)− (SS2M) = SS1 − SS2 + S1M − S2M

� On peut calculer, en prenant O, l'origine du repère au milieu de S1S2.

S1M2 =

(a

2+ x

)2

+ y2 + d2 ≈ d

[1 +

1

2

(a2

+ x

d

)2

+1

2

(y

d

)2]

Donc

δ ≈ SS1−SS2+d

[1 +

x2 + a x + a2/4

2 d2+

y2

2 d2

]−d

[1 +

x2 − a x + a2/4

2 d2+

y2

2 d2

]= SS1−SS2+d

2 a x

2 d2

On trouve donc δ ≈ SS1 − SS2 + a xd.




Exercice


Ecran éclairé par un laser à travers des trous de Young

le plan d'observation derrière des trous de Young éclairés par un

laser.




Exercice


Forme des franges dans le cas des trous deYoung (exercice)

� En utilisant la di�érence de marche

δ ≈ SS1 − SS2 + a xd , déterminer la forme des franges

observées sur l'écran dans le cas des trous de Young.

� Retrouver le résultat en utilisant les surfaces

iso-éclairement.




Exercice


Forme des franges dans le cas des trous de Young (exercice)� La formule de Fresnel donne :

I = I1 + I2 + 2√

I1 I2 cos (∆ϕ)

avec ∆ϕ = 2πλ

(SS1 − SS2 + a x

d

)car il n'y a pas de déphasage supplémentaire.

Aussi,

I = I1 + I2 + 2√

I1 I2 cos

(2π

λ

(SS1 − SS2 +

a x

d

))qui n'est que fonction de x, donc invariante par translation suivant y : les frangessont rectilignes.

� L'intersection des surfaces iso-éclairement avec l'écran donne des hyperboles.

Sur une petite distances, ces hyperboles peuvent être considérées comme

quasi-rectilignes.




Exercice


Interfrange (dé�nition)

sur l'écran d'observation, la distance i entre deux

franges consécutives de même nature est appelée

interfrange. C'est par exemple l'espace entre deux

franges sombres consécutives.




Exercice


Attention !Cette dé�nition n'a véritablement d'intérêt que si i est constant,c'est à dire si l'éclairement est une fonction périodique d'une

direction (par exemple x) du plan d'observation.




Exercice


Interfrange dans le cas des trous de Young(exercice)

� En utilisant la di�érence de marche

δ ≈ SS1 − SS2 + a xd , déterminer l'interfrange dans le

cas des trous de Young écartés de a et observés à une

distance d .




Exercice


Interfrange dans le cas des trous de Young (exercice)� La formule de Fresnel donne :

I = I1 + I2 + 2√

I1 I2 cos (∆ϕ)

avec ∆ϕ = 2πλ

(SS1 − SS2 + a x

d

)car il n'y a pas de déphasage supplémentaire.

Aussi,

I = I1 + I2 + 2√

I1 I2 cos

(2π

λ

(SS1 − SS2 +

a x

d

))qu'on peut réécrire sous la forme

I = I1 + I2 + 2√

I1 I2 cos

(2π

x

i+ ϕ0

)

Il s'agit bien d'une fonction périodique de x avec une période spatiale, l'interfrange,

i = λ da.




Exercice


Cohérence temporelle d'une source (exercice)

Considérons un point source primaire : S0 qui éclaire

par deux sources monochromatiques de fréquences ν1et ν2 deux trous de Young S1 et S2.p1(M) est l'ordre d'interférence en M dû à la source

de fréquence ν1et p2(M) celui dû à la source de fréquence ν2.� Montrer que la di�érence d'ordre d'interférence en

un point M est

|∆p| = |p1(M)− p2(M)| =δ

c|ν1 − ν2|




Exercice


Cohérence temporelle d'une source (exercice)Si la di�érence de marche est δ = [(S0S2) + (S2M)− (S0S1)− (S1M)],

∆ϕ(ν1,M) =2π ν1

cδ,

et ∆ϕ(ν2,M) =2π ν2

cδ, soit :

p1(M)− p2(M) =δ

c(ν1 − ν2)

Donc :

|∆p| =δ

c|ν1 − ν2|




Exercice


Cohérence spatiale d'une source (exercice)

Considérons deux points sources primaires très

proches : P1 et P2 qui éclairent par une source

monochromatique de longueur d'onde λ deux trous de

Young S1 et S2.~u1 et ~u2 sont des vecteurs normés dans les directions

de S1 et S2 : ~u1 =−−−→P1S1P1S1

et ~u2 =−−−→P1S2P1S2

.

p1(M) est l'ordre d'interférence en M dû à la source

P1 et p2(M) celui dû à la source P2.

� Montrer que la di�érence d'ordre d'interférence en

un point M quelconque du plan d'observation est

|∆p| = |p1(M)− p2(M)| ≈

∣∣∣−−−→P1P2. (~u1 − ~u2)∣∣∣

λ




Exercice


Cohérence spatiale d'une source (exercice)

P2S1 =

√(−−−→P2P1 +

−−→P1S1

)2

. Donc P2S1 = P1S1

(1 + 2.

−−−→P2P1 ·~u1 +

(P1P2P1S1

)2) 1

2.

Un développement limité au premier ordre donne : P2S1 ≈ P1S1

(1 +−−−→P2P1 ·~u1

).

De la même façon, P2S2 ≈ P1S2

(1 +−−−→P2P1 ·~u2

).

∆ϕ(P1,M) = 2πλ

[(P1S2) + (S2M)− (P1S1)− (S1M)],

et ∆ϕ(P2,M) = 2πλ

[(P2S2) + (S2M)− (P2S1)− (S1M)], soit :

p1(M)− p2(M) =1

λ[P1S2 − P1S1 − P2S2 + P2S1]

Donc :

|∆p| = |p1(M)− p2(M)| ≈

∣∣∣−−−→P1P2 · (~u1 − ~u2)∣∣∣

λ




Exercice


Illustration de la cohérence

l'intensité résultant de la superposition de deux systèmes

d'interférence




Exercice


Critère semi-quantitatif de brouillage des frangesSi la variation de l'ordre d'interférence est |∆p| > 1/2en un même endroit du plan d'observation, les

interférences sont brouillées.

Cela peut arriver :

• pour une source large (|∆p| est alors évalué sur la

moitié de l'étendue spatiale de la source), on parle

de cohérence spatiale ;

• pour une source non monochromatique (|∆p| estalors évalué sur la moitié de l'étendue spectrale de

la source), on parle de cohérence temporelle.




Exercice


Passage de trous de Young aux fentes de Young

dans le cas des trous de Young, ∆p est nulle au premier ordre si−−−→P1P2⊥ (~u1 − ~u2).

On peut utiliser une fente source primaire (P1P2) orthogonale à ~u1 et ~u2.




Exercice


Passage de trous de Young aux fentes de YoungOn peut utiliser une fente source primaire parallèle à

deux fentes de Young : ainsi, on gagne en luminosité,

sans brouiller les interférences.




Exercice


Expérience de Young

L'expérience des trous (et des fentes de Young) met en évidence le

phénomènes d'interférences.




Exercice


Comparaison des dispositifs des trous de Young et des fentesde Young

comparaison des observations dans le cas des trous de Young et des

fentes de Young.




Exercice

Modélisation du VLTI (télescope interférentiel)

On assimile deux télescopes distants de a à deux trous T1 et T2 de

taille négligeable et à une lentille d'axe optique Oz , de centre O, de

distance focale f ′. Le foyer image de la lentille est noté F ′ et leplan focal est le plan d'observation. T1 et T2 sont à une distance a

2

de l'axe optique.




Exercice





Exercice


1) Un unique objet ponctuel à l'in�ni A est observé dans la

direction de l'axe optique.

Pour simpli�er, on supposera que cet objet émet une unique

radiation de longueur d'onde λ = 2, 0 µm.

1.a) Où se trouve l'image géométrique A′ de A ?

1.b) Calculer la di�érence de marche δ0 entre les ondes provenant

de A et se recombinant en A′, passant par les trous T1 et T2.

1.c) Dans quelle mesure peut-on considérer que le contraste des

interférence vaut 1 ? Dans la suite on supposera e�ectivement que

le contraste vaut 1.

1.d) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IA(x) d'un

point d'abscisse x dans le plan focal.

1.e) En déduire l'expression de l'interfrange.

1.f) Tracer l'allure de la �gure d'interférence dans le plan (xF ′y)telle qu'on pourrait l'observer avec une caméra infrarouge.




Exercice


2) Un unique objet ponctuel à l'in�ni B est observé dans la

direction iB 6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan xOz , avecles mêmes caractéristique que A.2.a) A quelle distance xB de F ′ se trouve l'image géométrique de

B ?

2.b) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IB(x) en un

point d'abscisse x .2.c) L'interfrange est-elle di�érente de celle trouvée

précédemment ?




Exercice


3) Deux objets ponctuels à l'in�ni A et B sont observés dans les

directions iA = 0 et iB 6= 0 par rapport à l'axe optique dans le plan

xOz .Pour simpli�er, on supposera que ces deux objets émettent une

unique radiation de longueur d'onde λ = 2, 0 µm et la même

puissance lumineuse.

3.a) Ces deux sources sont-elles cohérentes ?

3.b) En déduire l'intensité lumineuse IA⋃

B(x) en un point

d'abscisse x .3.c) Pour quelle(s) valeur(s) de a y a-t-il brouillage des

interférences ? On exprimera le résultat en fonction de iB .3.d) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale

de l'angle entre deux étoiles composant une étoile double.

3.e) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la

limite de résolution angulaire imin du VLTI ?




Exercice


1) Observation d'une source ponctuelle dans la direction de l'axe optique

1.a) tan iA =xAf ′ , donc xA = 0 (normal : A′ en F ′).

1.b) La di�érence de marche entres les ondes provenant de A et se recombinant

en A′, passant par les deux trous T1 et T2 sur la �gure 5 est δ0 = 0 d'après la

symétrie du problème.1.c) Le contraste des interférence vaut 1 si les intensités passant par T1 et T2sont identiques.1.d) L'intensité lumineuse est

IA = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos(2πλδ)

= 2I1

[1 + cos

(2πλδ)]

où δ est la di�érence de

marche. Le théorème de Malus permet d'écrire δ = a (im)⇒ δ = a xf ′ .

1.e) Puisque IA = 2I1

[1 + cos

(2πλ

af ′ x)]

l'interfrange (périodicité spatiale des

interférences) est i = λf ′a

.

1.f) On observe des franges rectilignes (parallèles à F ′y , éloignées de i), dans unezone circulaire autour de F ′ qui est la tache de di�raction ("tache d'Airy", nonexigible).2) Observation d'une source ponctuelle dans une direction di�érente de celle del'axe optique

2.a) tan iB =xBf ′ , donc xB = f ′ iB .

2.b) L'intensité lumineuse est

IB = I1 + I2 + 2√I1I2 cos

(2πλδ)

= 2I1

[1 + cos

(2πλδ)]

où δ est la di�érence de

marche. Le théorème de Malus permet d'écrire δ = a (im − iB )⇒

δ = af ′ (x − xB ) .

2.c) Puisque IB = 2I1

[1 + cos

(2πλ

af ′ (x − xB )

)]l'interfrange (périodicité

spatiale des interférences) est inchangée : i = λf ′a

.

3) Observation de deux sources ponctuelles3.a) Ces deux sources sont incohérentes.3.b) L'intensité résultante est donc la somme des deux intensités :

IA⋃

B (x) = IA + IB = 2I1

[2 + cos

(2π

λ

a

f ′x

)+ cos

(2π

λ

a

f ′(x − xB )

)]

donc IA⋃

B (x) = 4I1

[1 + cos

(πλ

af ′ (2x − xB )

)cos(πλ

af ′ xB

)].

3.c) Il y a brouillage des interférences si cos(πλ

af ′ xB

)= 0 soit π

λaf ′ xB = π

2+ kπ

où k ∈ Z c'est-à-dire a = λf ′xB

(1

2+ k)⇒ a = λ

iB

(1

2+ k)

.

3.d) On met les deux télescopes très proches (a 7→ 0) visant dans la direction del'étoile double. On visualise des franges d'interférence. On éloigne ensuite untélescope de l'autre et on s'arrête lorsque brouillage des franges. L'angle entre les

deux étoiles est alors iB = λ2a

.

3.e)imin correspond à amax , soit

imin = λ2amax

= 2×10−62×100 = 1, 0× 10−8rad = 21msec .


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