MIAS 2 - Chap 5 - page 1 VI Interférences - Diffraction VI.1 Interférences VI.1.1 Avant propos Cest en 1801 que Thomas Young (1773-1829) démontra la nature

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MIAS 2 - Chap 5 - page 1

VI Interférences - Diffraction

VI.1 Interférences

VI.1.1 Avant propos

C’est en 1801 que Thomas Young (1773-1829) démontra la nature ondulatoire de la lumière et réalisa sa fameuse expérience de la double fente de Young.


Le phénomène d’interférences se produit lorsque les composantes parallèles de deux ou

plusieurs champs de même fréquence se superposent dans une même région de l’espace. Les

applications du phénomène d’interférences sont très importantes notamment dans le

domaine de la mesure.

VI.1.2 Conditions d’existence des interférences

L’obtention des interférences est étroitement liée aux caractéristiques de la source et aux

types de montages utilisés.

La cohérence spatiale

La cohérence temporelle

Sources :


VI.1.2.1 Cohérence spatiale

La figure d'interférence d’une source étendue est la somme en intensité des figures d'interférences des sources "ponctuelles" constituant la source étendue.

Pour les interférences à division d'amplitude (rayon incident unique), l'étendue de la source ne pose pas de problème.

Pour la division de front d'ondes, il convient que la source soit "suffisamment ponctuelle".

Montages :

Dépendant du type d’onde mise en jeu, pour obtenir des interférences, ces conditions seront

plus ou moins faciles à obtenir.


Pour qu'il y ait interférence, il convient que la différence entre les temps mis par l’onde pour

parcourir SP par le chemin 2 (t2) et par le chemin 1 (t1) soit inférieur temps de cohérence ().

12

1tt

VI.1.2.2 Cohérence temporelleLorsqu’une source émet de la lumière on peut voir cette émission comme un succession de trains d’onde identique et de même durée :


VI.1.3 Interférences à division du front d’ondes (fentes d’Young)

Dd

On introduit généralement la longueur de cohérence définie par

Pour qu'il y ait interférences, il convient qu'elle soit supérieure à la

différence de marche.

.CL


La source S à une distance d des fentes. L’écran d’observation est placé à une distance distance D des fentes. Ces distances sont telles que d, D >> a.

111

tjeASL’onde semblant provenir de la fente F1 s’écrie :

222

tjeASL’onde semblant provenir de la fente F2 s’écrie :

Au niveau de l’écran d’observation l’amplitude de l’onde résultante est la superposition des deux ondes S1 et S2 :

212121

tjtj eAeASSS

Finalement on peut calculer l’intensité :

212122

21

212122

21

2121

2121

2121

cos2

.

.

2112

2121

AAAA

eAAeAAAA

eAeAeAeA

SSSS

SSSSSSI

jj

tjtjtjtj


cos2 2121 IIIII

21 Le déphasage :Finalement : Avec

22222

21111

AAAI

AAAI

Le déphasage entre les deux ondes est dû au fait que le chemin optique F1M et différent du

chemin F2M. Cette différence est notée et est appelé différence de marche, elle est reliée au

déphasage par la relation :

2


La distance D étant grande devant x,

les angles et ’ sont petits et peuvent

être considérés égaux :

sintantan Dx

Dxa.

La distance D étant bien supérieur à

a, il est possible de considérer que

la distance F1M est pratiquement

égale à la distance MH. La

différence de marche s’identifie à

la longueur F2H:

sin.a


Suivant les valeurs de , l’intensité des interférences évolue sinusoïdalement entre une valeur maximale et minimale.

Valeur maxi :

m

m

22

2

1cos

221 III

aD

mx

m

M

M

Valeur mini :

122

12

1cos

m

m

221

21

212

III

aD

mx

m

m

m

InterfrangeL’interfrange, notée i, représente la distance entre deux franges brillantes ou deux franges sombres.

aD

i


Contraste

Le contraste C est défini par le rapport :

mM

mM

IIII

C

Les interférences seront les plus visible lorsque le contraste sera maximum, c’est-à-dire égale à C = 1.On obtient cette condition dans le cas où I1 égale à I2. On pose donc I1=I2=I0

2cos4

cos12

20

0

I

II


Comme dans le cas des fentes de Young il est nécessaire de créer à partir d’une même source deux sources virtuelles pour avoir des interférences optiques. C’est donc le rôle de M1 et M2 de générer les deux sources par le biais de la lame séparatrice.

VI.1.4 Interférences à division d’amplitude

C’est Albert Michelson qui en 1881 a construit pour la première fois ce type d’interféromètre.

La division de l’amplitude est obtenue par une lame semi-transparente Sp appelée séparatrice.

Elle permet de réfléchir 50% de l’énergie lumineuse et donc de transmettre les 50% restant.

Sp

Interférences

Suivant l’orientation des deux miroirs M1 et M2 l’interféromètre de Michelson peut-être réglé en : Lame d’air

ou Coin d’air


Michelson réglé en “lame d’air” ou “lame à faces parallèles”

Dans cette configuration nous allons supposer que les deux miroirs sont parfaitement

orthogonaux. On peut le voir autrement, si on fait l’image d’un des miroirs par rapport à la

séparatrice, les miroirs sont parfaitement parallèles.

Ils forment donc une lame d’air à faces parallèles

M1 M2

e

Lumière

n


Déterminons maintenant la différence de marche

entre les rayons provenant de M1 et de M2 afin de

connaître le pas des interférences.

Prenons l’exemple générale ci-contre, d’une lame

d’indice n et d’épaisseur e plonger dans l’air (n=1.0).

Elle est éclairée avec un faisceau parallèle sous une

incidence i.

Lorsque le rayon lumineux change de milieu il y a

création d’un rayon réfléchit et d’un rayon transmit,

leurs intensités dépendant de la différence des indices

de réfraction. Ce phénomène se répète tant que le

rayon possède assez d’énergie.

Du fait que les faces de la lame sont parallèles, tous

les rayons sortant de la lame auront la même

inclinaison i. Ils forment donc de chaque coté un

faisceau parallèle, qui peut être visualisé à l’aide

d’une lentille convergente et d’un écran placé en son

point focal.

A

BH

C D

E

La différence de marche est :

AFABC

F i

rr

enAF

re

ABC

cossin

2

cos2

2


Finalement :

r

ren

rr

ennr

ecossin1

2cossin

2cos

2 22

Le trajet [ABC] se fait dans le milieu d’indice n

rne cos..2

Etant donné que les réflexions ne sont pas de même nature on doit rajouter une différence de marche de /2, donc :

2

cos..2 rne

2cos..2

reMichelson : n=1.0

Aspect des franges d’interférences

On a vu précédemment qu’une frange lumineuse correspond à des interférences constructives :

tete

te

CiCi

Cne

mr

mrne

cos

..221

cos

2cos..2

On a vu précédemment qu’une frange sombre correspond à des interférences destructives :

te

te

Ci

Cne

mr

mrne

..2cos

212

2cos..2

Michelson : n=1.0


L’observation de la figure d’interférences sur un écran E situé dans le plan focal image de la

lentille L montre des anneaux concentriques alternativement brillants et sombres. Tous les

rayons émergent qui interfèrent au niveau d’un même anneau correspondent à des rayons

incidents ayant le même angle d’incidence. Ces franges d’interférences sont appelées

anneaux d’égale inclinaison.


Michelson réglé en “lame prismatique” ou “coin d’air”

Ici les deux miroirs ne sont plus parfaitement orthogonaux dans une ou dans les deux

directions. On va réalisé donc une lame prismatique ou un coin d’air.

Remarque : nous avons ici des interférences localisées au voisinage de la lame.


Lorsque la lame prismatique est illuminée les mêmes phénomènes que précédemment

apparaissent. On peut utiliser le même raisonnement et donc la différence de marche est :

ADABC

2coscos

r

xer

xeABC

rrtgrtgxenAD sin2..

En supposant que l’angle est petit : 2

cos....2 rnx

A

B

CH

i i

r

r+

D

x

Franges brillantes

rnmx

mrnx

m

M cos...221

2cos....2

Franges sombres

rnm

x

mrnx

m

m cos...2

21

2cos....2

21

interfrange

rni

cos...2

Michelson : n=1.0


VI.2 Diffraction

Ce phénomène apparaît lorsqu’un faisceau de lumière éclaire un écran opaque percé d’une petite

ouverture. Là encore les dimensions sont relatives à la longueur d’onde de la lumière incidente.

La tache lumineuse observée sur un écran placé en arrière de l’écran percé montre un étalement

angulaire du faisceau transmis. Par exemple, si un faisceau incident tombe sur une fente,

l ’ouverture angulaire du faisceau émergent augmente lorsque la largeur de la fente diminue.

Ouverture carrée Ouverture circulaire


VI.2.1 Principe de Huygens

Tout élément de la surface dS centré en M de la surface d’onde (t) peut-être considéré

comme une source élémentaire, secondaire, d’ondes sphériques dont l’amplitude complexe en

un point P est proportionnel à : dSK

re

incident

jkr

A

Où K() est un facteur d ’inclinaison

L’amplitude en un point P est proportionnelle à la

somme des amplitudes de toutes les ondes émises par

les sources fictives réparties sur la surface (t) .

Dans la suite nous nous placerons dans le cas particulier où est petit K() = 1.

Diffraction de Fraunhofer


VI.2.2 Diffraction de Fraunhofer

Tentons d'écrire la répartition

d’intensité ou d’amplitude

créer par un objet diffractant

quelconque (ouverture

rectangulaire ou circulaire, …)

et observée sur écran placé a

une grande distance de

l ’objet. Nous utiliserons ici

l’approximation de Fraunhofer

qui suppose que les rayons

lumineux incidents sont

faiblement inclinés par rapport

à l ’axe.


L’objet diffractant est caractérisé par sa transparence en amplitude définie comme le rapport de

l’amplitude complexe émergent par l’amplitude complexe incidente :

incident

émergentyxA

A,

Objet totalement opaque : 0, yx

Objet totalement transparent : 1, yx

L’amplitude émergente peut s ’écrire : D

yxjk

eyxM 2

22

,A

L’amplitude incidente est de la forme : D

yxjk

eM 2i

22

A

D’après le principe de Huygens : dSr

eeyxPMd

jkrD

yxjk

...,,A 2

22

Avec : 222 yxDMPr


Finalement l’amplitude complexe du champ électrique en P :

dydx

re

eyxPMPjkr

D

yxjk

....,,dAA 2

22

La distance d’observation étant grande on peut écrire :

D

yD

xDr

Dy

Dx

DD

yD

xDr

22

2211

22

2

2

2

2

2

2

2

2

dydxeeeeyxD

e

dydxeeyxD

e

dydx

Dy

Dx

D

eeyxP

D

yxjk

Djk

D

yxjk

D

yxjkjkD

D

y

D

xjk

D

yxjkjkD

D

y

D

xDjk

D

yxjk

......,

....,

..

22

..,A

222

222

22

22

2

222222

2222

22

22

L’amplitude en P devient :


On obtient après simplification :

dydxeyxD

eeP D

yxjkjkD

Djk

...,,AA 2

22

dydxeyxy

Dx

Dj

...,,A2

DD

,,A

On reconnaît dans cette dernière écriture l’expression de la transformée de Fourier de la transparence (x,y).

,,Aou avec

Dtg

Dtg

L ’intensité s ’écrira :

2

,,,,A,A,I

DDDDDD

On négligera ce terme car il va s’annuler lorsqu’on cherchera l’expression de l’intensité obtenue en multipliant par le conjugué complexe de A.

Constante


VI.2.3 Exemples

Fente infiniment longue

La fonction transparente peut-être décrite par la fonction rectangle de largeur e :

ex

rectx

L’amplitude en un point P de l’écran est proportionnelle à la transformée de Fourier de :

e

DceP

sin.)(A)(A

Donc pour l’intensité, on a :

e

DcI

2

0 sin.)(I

Avec I0 l’éclairement maximal pour =0


Répartition en intensité

Répartition en amplitude


Fente rectangulaire

La fonction transparente peut-être décrite par la fonction rectangle à deux dimensions :

by

rectby

rectby

ax

rectyx ,,

L’amplitude en un point P :

b

Dca

Dcab

sin.sin.),(A


b

Dca

DcI

22

0 sin.sin.),(I

Avec I0 l’éclairement maximal pour =0 et =0


Répartition en intensité de la diffraction d’une fente rectangulaire.


Ouverture circulaire

La fonction transparente peut-être décrite par la fonction :

Ry

Rx

Circyx ,,


21)(I

ZZJ

L’amplitude en un point P :

ZZJ12),(A avec

DRZ

22

2

Fonction de Bessel de première espèce


Cette tache de diffraction est plus connue sous le nom de “Tache d’Airy”. On peut en première approximation donner la valeur du rayon de l’anneau central :

R222.1

Avec R rayon du trou


Deux fentes infiniment longues

y

x

a- a

L

(x)

x

1

0

ailleurs 0

2,2

2,2 si 1

LaLa

LaLax

x

max

min

2min

max

2)(Ax

x

uxjx

x

uxj dxedxeu

2min

2maxLax

Laxavec

uauLu

uxuxu

eeeeuj

uuxjuxjuxjuxj

2cossin2

2sin2sin1

21

)(A

maxmin

min2max2max2min2

avecD

u


Finalement : uauLcu 2cossin)(I 22

InterférencesDiffraction


VI.2.4 Théorème de Babinet

Les figures de diffraction produites par deux écrans complémentaires sont identiques, sauf au voisinage immédiat de l’image géométrique.

L’écran complémentaire :

ailleurs 1

2,

2 si 0

aax

xc

uacuLcu

eeeeuj

u uajuLjuLjuaj

sin2sin)(A

21

)(A

c

22c

Prenons l’exemple d’une fente, on sait que la figure de diffraction est :

uacIu 20 sin.)(I

ailleurs 0

2,

2 si 1

aax

x

L

a

uxja

L

uxj

a

uxja

uxj dxedxedxedxeu2

22

2

2

22

2c )(A

avec aL


uLcuLcuacuacu

uacuLcuu

2sin2sinsin2sin)(I

sin2sin)(A)(I22

c

22cc

Les figures de diffraction sont uniquement différentes dans la zone proche de l’axe.

L=1000*a

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

I

Ic

L=100*a

0

0.5

1

1.5

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