MINISTÈRE DE LA RECHERCHE ET DE L'INDUSTRIE

BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES

SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL

INTERPRÉTATION DES POMPAGES D'ESSAIEN MILIEU FISSURÉ AQUIFÈRE

Département EAU

Rapport du B . R . G . M .

82 SGN 920 EAU

MINISTERE DE L'INDUSTRIE ET DE LA RECHERCHE

BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES

SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL

B.P. 6009 - 45060 Orléans Cedex - Tél.: (38) 63.80.01

INTERPRÉTATION DES POMPAGES D'ESSAI

EN MILIEU FISSURÉ AQUIFÉRE

par

D. THIERY, M. VANDENBEUSCH, P. VAUBOURG

Département eau

B.P. 6009 - 45060 Orléans Cedex - Tél.: (38) 63.80.01

Rapport du B.R.G.M.

82 SGN 920 EAU Décembre 1932

Réalisation : Département des Arts Graphiques

MINISTERE DE L'INDUSTRIE ET DE LA RECHERCHE

BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES

SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL

B.P. 6009 - 45060 Orléans Cedex - Tél.: (38) 63.80.01

INTERPRÉTATION DES POMPAGES D'ESSAI

EN MILIEU FISSURÉ AQUIFÉRE

par

D. THIERY, M. VANDENBEUSCH, P. VAUBOURG

Département eau

B.P. 6009 - 45060 Orléans Cedex - Tél.: (38) 63.80.01

Rapport du B.R.G.M.

82 SGN 920 EAU Décembre 1932

Réalisation : Département des Arts Graphiques

RÉSUMÉ

Ce rapport présente La plupart des méthodes d'interprétation

existantes pour La détermination des caractéristiques hydrauLiques des

mi Lieux fissurés aquifères. On y trouvera égaLement une réfLexion ayant

trait à L'étude de L'évolution des pressions dans un milieu karstique

aquifére testé par pompage.

Des exemples pratiques permettront au Lecteur d'appliquer ces

méthodes avec succès.

Ce travail a été réalisé dans Le cadre des études générales

méthodologiques du Département EAU, Sous-Direction de L'Aménagement du

Bureau de Recherches Géologiques et Minières.

RÉSUMÉ

Ce rapport présente La plupart des méthodes d'interprétation

existantes pour La détermination des caractéristiques hydrauLiques des

mi Lieux fissurés aquifères. On y trouvera égaLement une réfLexion ayant

trait à L'étude de L'évolution des pressions dans un milieu karstique

aquifére testé par pompage.

Des exemples pratiques permettront au Lecteur d'appliquer ces

méthodes avec succès.

Ce travail a été réalisé dans Le cadre des études générales

méthodologiques du Département EAU, Sous-Direction de L'Aménagement du

Bureau de Recherches Géologiques et Minières.

SOMMAIRE

wrnovucTJOM.

pages

?. NOTION VE m LIEU POREUX EaUIl/ALE^JT A UN MILIEU FRACTURE î

2. LE PROBLEME V'ECHELLE - VOLUME ELEMENTAIRE VE REFERENCE (V.E.R. ) 2

3. METHODES V'IUTERPRETATI ON VES POMPAGES V'ESSAI EN MILIEU FISSURE 3

3.1. AquÁ.£eAe._¿¿ot^q£&_a££íc^e_dlant_¿^ 3

^ontaLt_un¿quí

3.1.1. Fissure verticale unique 3

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE 5

- Mode opératoire S

- Exercice pratique 9

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION DANS DES PIEZOMETRES 10

- Mode opératoire 10

- Exercice pratique 14

3.1.2. Fissure horizontale circulaire unique 16

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE 17

- Mode opératoire 19

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PIEZOMETRE 22

- Mode opératoire 24

3.2. Aqul{^eJie._a._doub¿Q._]20^-^'Ctí 25

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION 27

- Mode opératoire 27

- Exercice pratique 2S

./.

SOMMAIRE

wrnovucTJOM.

pages

?. NOTION VE m LIEU POREUX EaUIl/ALE^JT A UN MILIEU FRACTURE î

2. LE PROBLEME V'ECHELLE - VOLUME ELEMENTAIRE VE REFERENCE (V.E.R. ) 2

3. METHODES V'IUTERPRETATI ON VES POMPAGES V'ESSAI EN MILIEU FISSURE 3

3.1. AquÁ.£eAe._¿¿ot^q£&_a££íc^e_dlant_¿^ 3

^ontaLt_un¿quí

3.1.1. Fissure verticale unique 3

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE 5

- Mode opératoire S

- Exercice pratique 9

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION DANS DES PIEZOMETRES 10

- Mode opératoire 10

- Exercice pratique 14

3.1.2. Fissure horizontale circulaire unique 16

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE 17

- Mode opératoire 19

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PIEZOMETRE 22

- Mode opératoire 24

3.2. Aqul{^eJie._a._doub¿Q._]20^-^'Ctí 25

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION 27

- Mode opératoire 27

- Exercice pratique 2S

./.

II

pages

3.3. A2u^|Je^e_fiomo2|ne_an¿óo^oge - -.. 29

3.3.1. Introduction 29

3.3.2. Principe de l'interprétation en milieu anisotrope 30avec trois piézomètres

- Mode opératoire 31

+ Méthode de la courbe-type 31

+ Méthode de la ligne droite 31

- Exercice pratique 33

3.4. ^ii<yt&jdt_ça'QacJXz_-^Intiî^^ 34

3.4.1. Introduction 34

3.4.2. Principe de 1 ' interprétation 34

- Mode opératoi re 35

- Exercice pratique 3è

4. LE MILIEU KARSTIQUE - COMPORTEME^r^S HyVRODVNAMIQUES 39

4.1. ^o^^o/TXm(¿nt&^J^i¿(^^ 39

4.2. Sck&maZi^ationÁ 40

4.2.1. Schématisation mono-dimensionnelle 40

4.2.2. Schématisation radiale 43

4.3. |H^íí-?íí9!í_^§4_E?^6??l^§é ^^

4.4. ^^^^-^^_dt_çjmQqnZme.nt 45

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 49

AWWEXE : LES COEFFICIEWTS VE COMPRESSIBILITE (C) 51

II

pages

3.3. A2u^|Je^e_fiomo2|ne_an¿óo^oge - -.. 29

3.3.1. Introduction 29

3.3.2. Principe de l'interprétation en milieu anisotrope 30avec trois piézomètres

- Mode opératoire 31

+ Méthode de la courbe-type 31

+ Méthode de la ligne droite 31

- Exercice pratique 33

3.4. ^ii<yt&jdt_ça'QacJXz_-^Intiî^^ 34

3.4.1. Introduction 34

3.4.2. Principe de 1 ' interprétation 34

- Mode opératoi re 35

- Exercice pratique 3è

4. LE MILIEU KARSTIQUE - COMPORTEME^r^S HyVRODVNAMIQUES 39

4.1. ^o^^o/TXm(¿nt&^J^i¿(^^ 39

4.2. Sck&maZi^ationÁ 40

4.2.1. Schématisation mono-dimensionnelle 40

4.2.2. Schématisation radiale 43

4.3. |H^íí-?íí9!í_^§4_E?^6??l^§é ^^

4.4. ^^^^-^^_dt_çjmQqnZme.nt 45

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 49

AWWEXE : LES COEFFICIEWTS VE COMPRESSIBILITE (C) 51

Ill

LISTE DES FIGURES

1 - Modèle defracíüre verticale. "

2 - Courbe- type : fracture verticale - Pompage au centre de la fractureverticale.

3 - Disposition des piézomètres autour du puits, des pompage.

4 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre' dans l'axe de la fracture.

5 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre situé sur l'axe perpendiculaire à la fracture. ...... . ; .

B - Courbe-type : fracture verticale - Piézomèt-re situé à 45° par rapportà l'axe de la fracture.

7 - Modèle de fracture circulaire horizontale.

8 - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Puits de pompage.

9 - Fracture circulaire horizontale - Rabattement au puits - Validité del'approximation de JACOB.

10 - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Rabattement, dans Un'piézomètre.

11 - Modèle à double porosité.

12 - Evolution des rabattements au puits de pompage en régime transitoireselon WARREN et ROOT.

13 - Modèle à anisotropie radiale"."""

14 - Modèle avec anisotropie en x, y.

15 - Courbe-type : effet de capacité.

16 - Comportement théorique de la pression daps une cavité juxtaposée à unmilieu faiblement poreux. Schéma mono-dimen"sibnnel.

17 - Comportement de la pression dans une cavité.- Présentation en graphiquesemi-logarithmique de la décroissance de pression [cf. fig. IB).

oo o

Ill

LISTE DES FIGURES

1 - Modèle defracíüre verticale. "

2 - Courbe- type : fracture verticale - Pompage au centre de la fractureverticale.

3 - Disposition des piézomètres autour du puits, des pompage.

4 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre' dans l'axe de la fracture.

5 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre situé sur l'axe perpendiculaire à la fracture. ...... . ; .

B - Courbe-type : fracture verticale - Piézomèt-re situé à 45° par rapportà l'axe de la fracture.

7 - Modèle de fracture circulaire horizontale.

8 - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Puits de pompage.

9 - Fracture circulaire horizontale - Rabattement au puits - Validité del'approximation de JACOB.

10 - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Rabattement, dans Un'piézomètre.

11 - Modèle à double porosité.

12 - Evolution des rabattements au puits de pompage en régime transitoireselon WARREN et ROOT.

13 - Modèle à anisotropie radiale"."""

14 - Modèle avec anisotropie en x, y.

15 - Courbe-type : effet de capacité.

16 - Comportement théorique de la pression daps une cavité juxtaposée à unmilieu faiblement poreux. Schéma mono-dimen"sibnnel.

17 - Comportement de la pression dans une cavité.- Présentation en graphiquesemi-logarithmique de la décroissance de pression [cf. fig. IB).

oo o

IV

LISTE DES PLANCHES

(module du papier bilogarithmique

abscisse Cx) 6 cm par cycle logordonnée [y] 12 cm par cycle log)

I - Pompage au centre d'une fracture verticale - Courbe-type.

II - Fracture verticale - Piézomètre dans l'axe de la fractureCourbes-types.

III - Piézomètre sur un axe perpendiculaire à une fracture verticale -Courbes-types.

IV - Piézomètre disposé à 45° d'une fracture verticale - Courbes-types.

V - Fracture horizontale circulaire - Rabattement dans le puits depompage - Courbes- types.

VI - Fracture horizontale circulaire - Rabattement dans le piézomètreCourbes-types.

VII - Courbe-type de THEIS Ffu )

VIII - Effet de capacité - Courbes-types.

oo o

IV

LISTE DES PLANCHES

(module du papier bilogarithmique

abscisse Cx) 6 cm par cycle logordonnée [y] 12 cm par cycle log)

I - Pompage au centre d'une fracture verticale - Courbe-type.

II - Fracture verticale - Piézomètre dans l'axe de la fractureCourbes-types.

III - Piézomètre sur un axe perpendiculaire à une fracture verticale -Courbes-types.

IV - Piézomètre disposé à 45° d'une fracture verticale - Courbes-types.

V - Fracture horizontale circulaire - Rabattement dans le puits depompage - Courbes- types.

VI - Fracture horizontale circulaire - Rabattement dans le piézomètreCourbes-types.

VII - Courbe-type de THEIS Ffu )

VIII - Effet de capacité - Courbes-types.

oo o

NOTATIONS EMPLOYÉES

Q = débit de pompage (m^/s)

t = temps écoulé depuis le début du pompage îb)

tp = temps écoulé depuis le début de la remontée (s]

tg = temps réduit [sans dimension]

s = rabattement observé Cm)

Sa = rabattement réduit (sans dimension}

rp = rayon du puits de pompage (m)

e = épaisseur de la couche aquifére Cm)

k = coefficient de perméabilité intrinsèque (m^)

p = masse volumique (Kg/m^)

y = viscosité dynamique (kg/m/s)

g = accélération de la pesanteur Cm/s^)

pgK = perméabilité horizontale de la couche aquifére (m/s) (K = - k)

K^ = perméabilité verticale (m/s)

K^ = perméabilité équivalente moyenne des fractures "ï Modèle de WARREN

K = perméabilité de la matrice l et ROOT (m/s)ma "^ /

T = transmissivité (m^/s)

Rema/iqaz : La notion de transmissivité implique un écoulement bidimensionnel

dans un système aquifére "monocouche", condition non rigoureusement réalisée

dans un milieu fissuré. L'assimilation d'une épaisseur de terrain fissuré à

une couche est naturellement une approximation.

Dans ce rapport, les termes de perméabilité et de transmissivité sont

employés dans le sens de perméabilité ou de conductivité hydraulique et de

transmissivité équivalente (voir encart ci-après).

NOTATIONS EMPLOYÉES

Q = débit de pompage (m^/s)

t = temps écoulé depuis le début du pompage îb)

tp = temps écoulé depuis le début de la remontée (s]

tg = temps réduit [sans dimension]

s = rabattement observé Cm)

Sa = rabattement réduit (sans dimension}

rp = rayon du puits de pompage (m)

e = épaisseur de la couche aquifére Cm)

k = coefficient de perméabilité intrinsèque (m^)

p = masse volumique (Kg/m^)

y = viscosité dynamique (kg/m/s)

g = accélération de la pesanteur Cm/s^)

pgK = perméabilité horizontale de la couche aquifére (m/s) (K = - k)

K^ = perméabilité verticale (m/s)

K^ = perméabilité équivalente moyenne des fractures "ï Modèle de WARREN

K = perméabilité de la matrice l et ROOT (m/s)ma "^ /

T = transmissivité (m^/s)

Rema/iqaz : La notion de transmissivité implique un écoulement bidimensionnel

dans un système aquifére "monocouche", condition non rigoureusement réalisée

dans un milieu fissuré. L'assimilation d'une épaisseur de terrain fissuré à

une couche est naturellement une approximation.

Dans ce rapport, les termes de perméabilité et de transmissivité sont

employés dans le sens de perméabilité ou de conductivité hydraulique et de

transmissivité équivalente (voir encart ci-après).

VI

Conductivité hydraulique. Aptitude d'un conduit naturel ou d'un ensemblede conduits, dans un milieu aquifére discontinu (fissures, diaclases,chenaux), à permettre le mouvement de l'eau, sous l'effet d'un gradientde charge hydraulique donné dont la direction diffère en général de cellede l'écoulement.

Extension de la notion de -tenóeuA de pa/mé.CLb¿t¿té. aux milieuxaquifères hétérogènes discontinus , tels que les in¿LL2U.X {¡^¿6UAéJ¡considérés à une échelle ne permettant pas de les assimiler à unmilieu continu anisotrope (m¿¿¿ea po^zux) ,. oû la peAméabyijLLti ,

notion vectorielle, n'a de signification que dans certaines direc¬tions privilégiées.

Exemple ; COndiictiVyité. h.ycULaWÍÍqu.z (directionnelle) d'une fissure,d'une canalicule, d'un condvuit kcx/UtlqUQ. (LOUIS).

Elle s'exprime quantitativement par le flux qui traverse une unité de sec¬tion orthogonale à la direction de l'écoulement du -ou des- conduit(s)considéré(s) , sous l'effet d'une unité de gradient hydraulique.

La C0nc£acX¿ü-6te kydAjCUJULique. moyenne d'un ensemble de conduits s'ap¬plique à des conduits de même direction, par exemple à une famillede fissures parallèles.Par extension on peut considérer comme conduc^vÂXé. kydfuxwilquzgtobatz d'un massif, la moyenne géométrique des COndu.CÍ¿v.¿te.¿kydfWJUiLLqVLUi propres à chaque famille de fissures ou diaclasesdu massif , notée K (LOUIS, 1974).

Extrait du Diot-ionnaive français d' 'hydrogéologie par G. CASTANY et J. MARGATBRGM:, 1977, p. 98-99.

S = coefficient d'emmagasinement instantané de la couche aquifére Csansdimension)

Sg = coefficient d'emmagasinement spécifique (m" )

x^ = demi-longueur de la fracture verticale (m)

X = distance du piézomètre au puits de pompage (m)

r.p = rayon de la fracture horizontale de forme circulaire (m)

(j)p = porosité des fractures et des pores connectés (sans dimension)

C = coefficient de compressibilité de l'eau Cbar"^)

C = coefficient de compressibilité de la matrice rocheuse (bar~^)

Úo o

VI

Conductivité hydraulique. Aptitude d'un conduit naturel ou d'un ensemblede conduits, dans un milieu aquifére discontinu (fissures, diaclases,chenaux), à permettre le mouvement de l'eau, sous l'effet d'un gradientde charge hydraulique donné dont la direction diffère en général de cellede l'écoulement.

Extension de la notion de -tenóeuA de pa/mé.CLb¿t¿té. aux milieuxaquifères hétérogènes discontinus , tels que les in¿LL2U.X {¡^¿6UAéJ¡considérés à une échelle ne permettant pas de les assimiler à unmilieu continu anisotrope (m¿¿¿ea po^zux) ,. oû la peAméabyijLLti ,

notion vectorielle, n'a de signification que dans certaines direc¬tions privilégiées.

Exemple ; COndiictiVyité. h.ycULaWÍÍqu.z (directionnelle) d'une fissure,d'une canalicule, d'un condvuit kcx/UtlqUQ. (LOUIS).

Elle s'exprime quantitativement par le flux qui traverse une unité de sec¬tion orthogonale à la direction de l'écoulement du -ou des- conduit(s)considéré(s) , sous l'effet d'une unité de gradient hydraulique.

La C0nc£acX¿ü-6te kydAjCUJULique. moyenne d'un ensemble de conduits s'ap¬plique à des conduits de même direction, par exemple à une famillede fissures parallèles.Par extension on peut considérer comme conduc^vÂXé. kydfuxwilquzgtobatz d'un massif, la moyenne géométrique des COndu.CÍ¿v.¿te.¿kydfWJUiLLqVLUi propres à chaque famille de fissures ou diaclasesdu massif , notée K (LOUIS, 1974).

Extrait du Diot-ionnaive français d' 'hydrogéologie par G. CASTANY et J. MARGATBRGM:, 1977, p. 98-99.

S = coefficient d'emmagasinement instantané de la couche aquifére Csansdimension)

Sg = coefficient d'emmagasinement spécifique (m" )

x^ = demi-longueur de la fracture verticale (m)

X = distance du piézomètre au puits de pompage (m)

r.p = rayon de la fracture horizontale de forme circulaire (m)

(j)p = porosité des fractures et des pores connectés (sans dimension)

C = coefficient de compressibilité de l'eau Cbar"^)

C = coefficient de compressibilité de la matrice rocheuse (bar~^)

Úo o

- 1 -

INTROVUCTION ";'.:/ .^v c

Il existe actuellement deux approches pour simuler et interpréter les

écoulements en milieu fissuré :

- La première consiste à prendre en compte les fissures une a une.

- Dans la seconde, on assimile le milieu fissuré à un milieu poreux équivalent,

Toutes les méthodes d'interprétation présentées dans ce rapport se

réfèrent au concept de milieu poreux équivalent.

1. NOTION VE MILIEU POREUX EQUIVALENT A UN MILIEU FRACTURE [2]

En hydraulique souterraine, on parle en général. de milieu fissuré par

opposition au milieu poreux, le caractère discontinu du premier s 'opposant au

caractère continu du second.

En fait, la distinction n'est pas aussi nette que pourrait le laisser

croire cette définition : les milieux poreux dé l'hyclrugéoîogie sont'Bn faitpresque toujours discontinus, puisque constitués de grains séparés les uns des

autres, et on peut trouver des roches intensément fracturées dont la maille de

fracturation est soit de l'ordre de grandeur de la dimension de gros graviers

alluvionnaires, considérés comme constituant en milieu poreux-.

En fait, c'est le modèle adopté pour représenter hydrauliquement le

milieu considéré qui définit son caractère, fissuré ou poreux : on considérera

le milieu comme poreux (ou continu) si, dans la schématisation adoptée, on ne

distingue pas, dans l'écoulement du fluide traversant le milieu, de cheminements

individuels bien localisés. Au contraire, le milieu sera considéré comme fissuré

si on peut localiser des surfaces de cheminement bien délimitées et immuables,

les fissures. (Cette définition exclut en principe les cas des milieux karstiques,

à cheminement de canaux). Pourtant,' là encore,' la distinction entre milieux fis¬

surés et karsts est quelque peu arbitraire. -La plupart, du temps, en- effet, dans

un milieu fissuré, l'eau ne s'écoule pas uniformément sur toute la surface des

fissures ; au contraire, le flux s'y concentre dans les surépaisseurs de celles-

ci, souvent à l'intersection de deux fissures, et le mode de circulation se

rapproche de celui qui existe dans un karst. Bien entendu, le fait qu'un milieu

soit fissuré n'empêche pas que la matrice rocheuse soit perméable : très souvent,

on observe la superposition d'un écoulement de type "fissures" et d'un écoulement

de type milieu poreux.

- 1 -

INTROVUCTION ";'.:/ .^v c

Il existe actuellement deux approches pour simuler et interpréter les

écoulements en milieu fissuré :

- La première consiste à prendre en compte les fissures une a une.

- Dans la seconde, on assimile le milieu fissuré à un milieu poreux équivalent,

Toutes les méthodes d'interprétation présentées dans ce rapport se

réfèrent au concept de milieu poreux équivalent.

1. NOTION VE MILIEU POREUX EQUIVALENT A UN MILIEU FRACTURE [2]

En hydraulique souterraine, on parle en général. de milieu fissuré par

opposition au milieu poreux, le caractère discontinu du premier s 'opposant au

caractère continu du second.

En fait, la distinction n'est pas aussi nette que pourrait le laisser

croire cette définition : les milieux poreux dé l'hyclrugéoîogie sont'Bn faitpresque toujours discontinus, puisque constitués de grains séparés les uns des

autres, et on peut trouver des roches intensément fracturées dont la maille de

fracturation est soit de l'ordre de grandeur de la dimension de gros graviers

alluvionnaires, considérés comme constituant en milieu poreux-.

En fait, c'est le modèle adopté pour représenter hydrauliquement le

milieu considéré qui définit son caractère, fissuré ou poreux : on considérera

le milieu comme poreux (ou continu) si, dans la schématisation adoptée, on ne

distingue pas, dans l'écoulement du fluide traversant le milieu, de cheminements

individuels bien localisés. Au contraire, le milieu sera considéré comme fissuré

si on peut localiser des surfaces de cheminement bien délimitées et immuables,

les fissures. (Cette définition exclut en principe les cas des milieux karstiques,

à cheminement de canaux). Pourtant,' là encore,' la distinction entre milieux fis¬

surés et karsts est quelque peu arbitraire. -La plupart, du temps, en- effet, dans

un milieu fissuré, l'eau ne s'écoule pas uniformément sur toute la surface des

fissures ; au contraire, le flux s'y concentre dans les surépaisseurs de celles-

ci, souvent à l'intersection de deux fissures, et le mode de circulation se

rapproche de celui qui existe dans un karst. Bien entendu, le fait qu'un milieu

soit fissuré n'empêche pas que la matrice rocheuse soit perméable : très souvent,

on observe la superposition d'un écoulement de type "fissures" et d'un écoulement

de type milieu poreux.

Mais ce qui ressort de fondamental de la définition qui a été donnée,

c'est que la distinction entre milieu poreux et milieu fissuré dépend en fait

de l'échelle des phénomènes étudiés.

Si le domaine considéré est vaste par rapport à la maille de fissura¬

tion, on pourra assimiler le milieu à perméabilité de fissures à un milieu

poreux : concept de "milieu poreux équivalent". Seuls les grands accidents

structuraux pourront alors être individualisés dans un modèle représentatif

du système aquifére. L'utilité de ce milieu poreux équivalent repose sur le

fait que la relation flux-gradient de charge est linéaire aussi bien dans un

milieu poreux que dans un milieu fracturé (en régime laminaire), ce qui rend

possible son utilisation pour les calculs de distribution de charges hydrauli¬

ques et des débits moyens en milieu fracturé avec les méthodes mises au point

pour les milieux poreux.

Un milieu continu peut être homogène (ou hétérogène) et isotrope (ou

anisotrope). Ces qualitatifs peuvent donc s'appliquer à un milieu poreux.

Par contre, si l'on peut à la rigueur parler d'homogénéité ou d'hétéro¬

généité pour un milieu fissuré (mais encore convient-il de préciser si ce

caractère porte sur la fissuration, sur la nature de la matrice rocheuse, etc.),

la notion d' (an)isotropie n'a de sens que pour autant que ce milieu soit assi¬

milé à un milieu poreux.

2. LE PROBLEME V'ECHELLE - Voùuni ElmzntcuUiz de. RU^maz (l/.E.R.)

Dans l'approche classique des écoulements en milieux géologiques, les

paramètres et variables qui décrivent le mouvement de l'eau sont en fait des

moyennes prises sur un certain volume du milieu dit Volume élémentaire de

Référence (V.E.R. ).

Les dimensions minimales de ce V.E.R. ou autrement dit l'échelle à par¬

tir de laquelle les paramètres variables et équations sont valides doivent être

telles qu'elles garantissement la stabilité des paramètres physiques, perméabi¬

lité, porosité, emmagasinement.

La représentativité des tests dépendra donc étroitement du volume de

roche influencé par les tests par rapport à la taille du V.E.R. En effet, les

résultats des tests influençant un volume plus petit que le V.E.R. montreront

Mais ce qui ressort de fondamental de la définition qui a été donnée,

c'est que la distinction entre milieu poreux et milieu fissuré dépend en fait

de l'échelle des phénomènes étudiés.

Si le domaine considéré est vaste par rapport à la maille de fissura¬

tion, on pourra assimiler le milieu à perméabilité de fissures à un milieu

poreux : concept de "milieu poreux équivalent". Seuls les grands accidents

structuraux pourront alors être individualisés dans un modèle représentatif

du système aquifére. L'utilité de ce milieu poreux équivalent repose sur le

fait que la relation flux-gradient de charge est linéaire aussi bien dans un

milieu poreux que dans un milieu fracturé (en régime laminaire), ce qui rend

possible son utilisation pour les calculs de distribution de charges hydrauli¬

ques et des débits moyens en milieu fracturé avec les méthodes mises au point

pour les milieux poreux.

Un milieu continu peut être homogène (ou hétérogène) et isotrope (ou

anisotrope). Ces qualitatifs peuvent donc s'appliquer à un milieu poreux.

Par contre, si l'on peut à la rigueur parler d'homogénéité ou d'hétéro¬

généité pour un milieu fissuré (mais encore convient-il de préciser si ce

caractère porte sur la fissuration, sur la nature de la matrice rocheuse, etc.),

la notion d' (an)isotropie n'a de sens que pour autant que ce milieu soit assi¬

milé à un milieu poreux.

2. LE PROBLEME V'ECHELLE - Voùuni ElmzntcuUiz de. RU^maz (l/.E.R.)

Dans l'approche classique des écoulements en milieux géologiques, les

paramètres et variables qui décrivent le mouvement de l'eau sont en fait des

moyennes prises sur un certain volume du milieu dit Volume élémentaire de

Référence (V.E.R. ).

Les dimensions minimales de ce V.E.R. ou autrement dit l'échelle à par¬

tir de laquelle les paramètres variables et équations sont valides doivent être

telles qu'elles garantissement la stabilité des paramètres physiques, perméabi¬

lité, porosité, emmagasinement.

La représentativité des tests dépendra donc étroitement du volume de

roche influencé par les tests par rapport à la taille du V.E.R. En effet, les

résultats des tests influençant un volume plus petit que le V.E.R. montreront

de grandes variations, l'effet des hétérogénéités .dS; faible, importance se fera

encore sentir. Dans le cas d'hétérogénéités importantes, le V.E.R. pourra être

plus grand que l'échelle des effets qui doivent être modélisés et même plus

grand que la masse rocheuse influencée. Pour chaque test, il est donc important

de rappeler l'échelle à laquelle on se place, c'est-à-dire le volume influencé

du milieu considéré.

3. METHODES P' IWTERPRETATIOW VES POMPAGES V'ESSAI EN MILIEU FISSURE

Des méthodes maintenant classiques en hydrogéologie permettent d'évaluer

les propriétés hydrauliques des aquifères captifs. Ces méthodes sont généralement

dérivées de la solution de THEIS (1935), qui suppose l'aquifère homogène, isotro¬

pe, et d'extension latérale infinies

Dans de nombreux cas pratiques, cependant, et en particulier lorsque

l'aquifère est fissuré, ces hypothèses sont loin d'être vérifiées et la réponse

en pression d'un puits en cours de pompage d'essai n'est pas conforme à celle

prévue par la solution de THEIS.

Un certain nombre de modèles mathématiques ont été proposés afin de

résoudre ce problème. Dans la plupart d'entre eux, le milieu aquifére est

considéré :

- soit comme isotrope mais affecté d'une fissure verticale ou horizontale

unique,

- soit comme un système à double porosité,

- soit comme un milieu poreux homogène anisotrope.

3. 1 . AquJ^^i>i(LjÍMo^iAqj¿z_a^^z

3.1.1. Fissure verticale unique [1,5,6,11]

Les hypothèses sont les suivantes :

l'aquifère est homogène, isotrope et d'épaisseur constante sur toute la zone

influencée par le pompage,

il est d'extension latérale infinie,

les épontes sont imperméables.

de grandes variations, l'effet des hétérogénéités .dS; faible, importance se fera

encore sentir. Dans le cas d'hétérogénéités importantes, le V.E.R. pourra être

plus grand que l'échelle des effets qui doivent être modélisés et même plus

grand que la masse rocheuse influencée. Pour chaque test, il est donc important

de rappeler l'échelle à laquelle on se place, c'est-à-dire le volume influencé

du milieu considéré.

3. METHODES P' IWTERPRETATIOW VES POMPAGES V'ESSAI EN MILIEU FISSURE

Des méthodes maintenant classiques en hydrogéologie permettent d'évaluer

les propriétés hydrauliques des aquifères captifs. Ces méthodes sont généralement

dérivées de la solution de THEIS (1935), qui suppose l'aquifère homogène, isotro¬

pe, et d'extension latérale infinies

Dans de nombreux cas pratiques, cependant, et en particulier lorsque

l'aquifère est fissuré, ces hypothèses sont loin d'être vérifiées et la réponse

en pression d'un puits en cours de pompage d'essai n'est pas conforme à celle

prévue par la solution de THEIS.

Un certain nombre de modèles mathématiques ont été proposés afin de

résoudre ce problème. Dans la plupart d'entre eux, le milieu aquifére est

considéré :

- soit comme isotrope mais affecté d'une fissure verticale ou horizontale

unique,

- soit comme un système à double porosité,

- soit comme un milieu poreux homogène anisotrope.

3. 1 . AquJ^^i>i(LjÍMo^iAqj¿z_a^^z

3.1.1. Fissure verticale unique [1,5,6,11]

Les hypothèses sont les suivantes :

l'aquifère est homogène, isotrope et d'épaisseur constante sur toute la zone

influencée par le pompage,

il est d'extension latérale infinie,

les épontes sont imperméables.

- 4 -

- la libération de l'eau par le milieu poreux, consécutivement è une baisse

de pression est instantanée,

- le puits est parfait,

- le rayon du puits est négligeable,

- le débit pompé est constant.

Dn suppose en outre que le puits de pompage est situé au milieu d'une

fissure verticale de faible épaisseur - par rapport à sa longueur et à sa

distance aux piézomètres d'observation (fig. n° 1). On admet par ailleurs que

la section horizontale de la fissure est faible et n'induit pas d'effets de

capacité sensibles. Pour effectuer les calculs, on considère que le débit par

unité de surface de fracture est constant en tout point. La fissure a une per¬

méabilité équivalente pratiquement infinie. Dans ces conditions, le niveau

piézométrique est donc pratiquement le même dans toute la fissure.

puits de pompage

fracture verticale

iézomètre

-é ponte

A

¿ponte

.f ig. 1 - Modèle de fracture vertieole

Ce schéma d'interprétation est certes assez théorique mais il peut

représenter correctement un essai dans un forage en communication avec plu¬

sieurs fissures parallèles sub-verticales.

- 4 -

- la libération de l'eau par le milieu poreux, consécutivement è une baisse

de pression est instantanée,

- le puits est parfait,

- le rayon du puits est négligeable,

- le débit pompé est constant.

Dn suppose en outre que le puits de pompage est situé au milieu d'une

fissure verticale de faible épaisseur - par rapport à sa longueur et à sa

distance aux piézomètres d'observation (fig. n° 1). On admet par ailleurs que

la section horizontale de la fissure est faible et n'induit pas d'effets de

capacité sensibles. Pour effectuer les calculs, on considère que le débit par

unité de surface de fracture est constant en tout point. La fissure a une per¬

méabilité équivalente pratiquement infinie. Dans ces conditions, le niveau

piézométrique est donc pratiquement le même dans toute la fissure.

puits de pompage

fracture verticale

iézomètre

-é ponte

A

¿ponte

.f ig. 1 - Modèle de fracture vertieole

Ce schéma d'interprétation est certes assez théorique mais il peut

représenter correctement un essai dans un forage en communication avec plu¬

sieurs fissures parallèles sub-verticales.

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE

Une courbe-type, construite à partir de variables réduites, illustre

l'évolution du rabattement au puits de pompage, en coordonnées bilogarithmi-

ques (fig. n° 2 et planche I).

Sur cette même figure, on a également porté en traits interrompus la

courbe de THEIS.

Les coordonnées réduites sont les suivantes :

3 =±tTs , 4T

^ ^ " x2^S

a) Remarque 1 :

La figure 2 montre que l'évolution du rabattement suit correctement la

courbe de THEIS pour un temps réduit :

2<t =^I^^ >; ^ax^s

c'est-à-dire :

Sf'f

x2 st ^

2T

Pour le même coefficient d'emmagasinement (S), on atteint donc la solu¬

tion de THEIS d'autant plus rapidement que :

- la fissure est petite ; la perturbation étant plus faible,

- la transmissivité est plus grande ; le rayon d'action étant plus grand.

b) Remargue 2 :

Au début du pompage, l'évolution du rabattement en coordonnées biloga-

rithmiques est représentée par une droite de pente 1/2. Pendant cette période,

la solution proposée par CARSLAW et JAEGER (1979) est :

s # yt ou Sa =Y^2\ TT TS x^2

soit en coordonnées bilogarithmiques log s = 1/2 log t + constante

pente

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE

Une courbe-type, construite à partir de variables réduites, illustre

l'évolution du rabattement au puits de pompage, en coordonnées bilogarithmi-

ques (fig. n° 2 et planche I).

Sur cette même figure, on a également porté en traits interrompus la

courbe de THEIS.

Les coordonnées réduites sont les suivantes :

3 =±tTs , 4T

^ ^ " x2^S

a) Remarque 1 :

La figure 2 montre que l'évolution du rabattement suit correctement la

courbe de THEIS pour un temps réduit :

2<t =^I^^ >; ^ax^s

c'est-à-dire :

Sf'f

x2 st ^

2T

Pour le même coefficient d'emmagasinement (S), on atteint donc la solu¬

tion de THEIS d'autant plus rapidement que :

- la fissure est petite ; la perturbation étant plus faible,

- la transmissivité est plus grande ; le rayon d'action étant plus grand.

b) Remargue 2 :

Au début du pompage, l'évolution du rabattement en coordonnées biloga-

rithmiques est représentée par une droite de pente 1/2. Pendant cette période,

la solution proposée par CARSLAW et JAEGER (1979) est :

s # yt ou Sa =Y^2\ TT TS x^2

soit en coordonnées bilogarithmiques log s = 1/2 log t + constante

pente

- e -

10^-

o

II

em

s

Ro battement rii c

1

-

-

in-l10

^

-

10-2-

1 1 1 Mill ! 1 1 lllll

>

/^//^ //

/./7

..'/

:/1il!l1

11 1 i'i i III 1 1 1 1 lllil

1 1 1 lllll

1 1 llllli

1 1 IIIIII

1 1 1 MMI

1 ~i r 1 Mil

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

1 1 1 1 1 1 1 1

10" 10- 10' 10' 10'

Temps re'duit tj, =4Tt/x|S

Fig. 2 - Courbe-type : fracture verticale - Pompage au centre de la fractureverticale

- e -

10^-

o

II

em

s

Ro battement rii c

1

-

-

in-l10

^

-

10-2-

1 1 1 Mill ! 1 1 lllll

>

/^//^ //

/./7

..'/

:/1il!l1

11 1 i'i i III 1 1 1 1 lllil

1 1 1 lllll

1 1 llllli

1 1 IIIIII

1 1 1 MMI

1 ~i r 1 Mil

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

1 1 1 1 1 1 1 1

10" 10- 10' 10' 10'

Temps re'duit tj, =4Tt/x|S

Fig. 2 - Courbe-type : fracture verticale - Pompage au centre de la fractureverticale

Sur le graphique la pente est alors de 45° quand le module log vertical

est deux fois plus grand que le module log horizontal.

La figure 2 montre également que la droite présente une pente 1/2 jus¬

qu'à ce que :

4Tt1 ^ t

a 9

c' est-à-dire

x2 s

Cette pente 1/2 se maintient d'autant plus longtemps que :

- la fissure est étendue,

- la transmissivité est faible.

Cette durée peut être très courte :

X = 10 m, S = 10"^, T = IO"'* m^/s -» t = 0,25 s

ou très longue : x^ = 50 m , S = 10''* , T = lO"'^ m^/s -^ t = 6,5 x 10^ s =. 7,2 jours

c) Correction à 1 'origine :

Il a été montré plus haut que le début de l'évolution du rabattement

est représenté par la relation :

s = ayjt

ce qui, en coordonnées bilogarithmiques, se traduit par une droite de pente 1/2.

En pratique, il arrive fréquerment qu'on observe en début de pompage des pertes

de charges singulières (ou un décalage dans le temps dû à la mise en route ou à

un effet de capacité).

L'évolution du rabattement en fonction du temps répond alors à la rela¬

tion : s = a\t + Sq . Elle ne se représente plus dans ce cas par une droite de

pente 1/2 en coordonnées bilogarithmiques.

Avant de procéder à l'interprétation en coordonnées bilogarithmiques, il

y a donc lieu d'effectuer une correction des rabattements observés (s).

Sur le graphique la pente est alors de 45° quand le module log vertical

est deux fois plus grand que le module log horizontal.

La figure 2 montre également que la droite présente une pente 1/2 jus¬

qu'à ce que :

4Tt1 ^ t

a 9

c' est-à-dire

x2 s

Cette pente 1/2 se maintient d'autant plus longtemps que :

- la fissure est étendue,

- la transmissivité est faible.

Cette durée peut être très courte :

X = 10 m, S = 10"^, T = IO"'* m^/s -» t = 0,25 s

ou très longue : x^ = 50 m , S = 10''* , T = lO"'^ m^/s -^ t = 6,5 x 10^ s =. 7,2 jours

c) Correction à 1 'origine :

Il a été montré plus haut que le début de l'évolution du rabattement

est représenté par la relation :

s = ayjt

ce qui, en coordonnées bilogarithmiques, se traduit par une droite de pente 1/2.

En pratique, il arrive fréquerment qu'on observe en début de pompage des pertes

de charges singulières (ou un décalage dans le temps dû à la mise en route ou à

un effet de capacité).

L'évolution du rabattement en fonction du temps répond alors à la rela¬

tion : s = a\t + Sq . Elle ne se représente plus dans ce cas par une droite de

pente 1/2 en coordonnées bilogarithmiques.

Avant de procéder à l'interprétation en coordonnées bilogarithmiques, il

y a donc lieu d'effectuer une correction des rabattements observés (s).

a) Correction à l'origine

- Tracer les rabattements s en fonction de la racine carrée du temps \t en

coordonnées arithmétiques. On obtient une droite de pente a et d'ordonnée à

l'origine Sq (positive ou négative).

Une ordonnée Sq positive peut aussi bien correspondre à une perte de charge

qu'à un effet de capacité.

S'il s'agit plutôt d'un décalage dans l'origine des temps, on appliquera

l'équation :

s = a\t-tQ : pour obtenir tQ s'il n'y a pas d'autres effe

- Tracer en coordonnées arithmétiques s^ en fonction de t. On obtient une droitede pente a^ qui coupe l'axe des temps pour t=tQ-

- Les deux effets - pertes de charge ou effet de capacité et décalage dans l'ori¬

gine des temps - peuvent être difficilement différenciés : s = a /t-tQ + Sq .

b) Calcul de T et de S

Corriger si nécessaire les rabattements (S-Sq) ou les temps (t-tg).

Porter sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type, les

rabattements (ou les rabattements corrigés) en fonction du temps (corrigés

s'il y a lieu) .

Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un

point de coïncidence [M, Ma].

M Ma

Sa

taCourbe d'essai Courbe- type

(corrigée ou non)

_0 fa 2j: d T '^ Q.t sa4 TT s S'^ "^ " ^ ' ta " ñTE^ "T

En l'absence de piézomètres, les valeurs S et x- ne peuvent être obtenues indi¬

viduellement. Seule la valeur de leur produit S.x^f peut l'être.

a) Correction à l'origine

- Tracer les rabattements s en fonction de la racine carrée du temps \t en

coordonnées arithmétiques. On obtient une droite de pente a et d'ordonnée à

l'origine Sq (positive ou négative).

Une ordonnée Sq positive peut aussi bien correspondre à une perte de charge

qu'à un effet de capacité.

S'il s'agit plutôt d'un décalage dans l'origine des temps, on appliquera

l'équation :

s = a\t-tQ : pour obtenir tQ s'il n'y a pas d'autres effe

- Tracer en coordonnées arithmétiques s^ en fonction de t. On obtient une droitede pente a^ qui coupe l'axe des temps pour t=tQ-

- Les deux effets - pertes de charge ou effet de capacité et décalage dans l'ori¬

gine des temps - peuvent être difficilement différenciés : s = a /t-tQ + Sq .

b) Calcul de T et de S

Corriger si nécessaire les rabattements (S-Sq) ou les temps (t-tg).

Porter sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type, les

rabattements (ou les rabattements corrigés) en fonction du temps (corrigés

s'il y a lieu) .

Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un

point de coïncidence [M, Ma].

M Ma

Sa

taCourbe d'essai Courbe- type

(corrigée ou non)

_0 fa 2j: d T '^ Q.t sa4 TT s S'^ "^ " ^ ' ta " ñTE^ "T

En l'absence de piézomètres, les valeurs S et x- ne peuvent être obtenues indi¬

viduellement. Seule la valeur de leur produit S.x^f peut l'être.

~ §2sr£i£E_Er§íi9yE

DONNEES DE TERRAIN

Un puits de pompage (Pp) est essayé au débit constant de BB m^/h.. Les mesures de

rabattements (s) en fonction du temps (t) sont données dans le tableau ci-dessous

temps (t)

(mn)

1

2

3

6

8

10

12

15

30

100

20G

400

600

900

15DÜ

4000

10D0D

VT

1

1,41

1,73

2,4

2,8

3,16

3,46

3,8

5,5

10

14,1

20

24,5

30

38,7

63,2

100

rabattement (s)

(m)

1,15

1,30

1,40

1,65

1,80

1,90

2,0

2,1

2,4

3,2

3,6

4,0

4,1

4,4

4,5

4,7

4,8

OUESTIONS : Calculer T et S.x^f

REPONSES

Sq = 0,82 m T = 2.4 X 10 3 m^/s S.x^f = 5,44 m^

~ §2sr£i£E_Er§íi9yE

DONNEES DE TERRAIN

Un puits de pompage (Pp) est essayé au débit constant de BB m^/h.. Les mesures de

rabattements (s) en fonction du temps (t) sont données dans le tableau ci-dessous

temps (t)

(mn)

1

2

3

6

8

10

12

15

30

100

20G

400

600

900

15DÜ

4000

10D0D

VT

1

1,41

1,73

2,4

2,8

3,16

3,46

3,8

5,5

10

14,1

20

24,5

30

38,7

63,2

100

rabattement (s)

(m)

1,15

1,30

1,40

1,65

1,80

1,90

2,0

2,1

2,4

3,2

3,6

4,0

4,1

4,4

4,5

4,7

4,8

OUESTIONS : Calculer T et S.x^f

REPONSES

Sq = 0,82 m T = 2.4 X 10 3 m^/s S.x^f = 5,44 m^

- 10

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION DANS DES PIEZOMETRES

Des courbes-types, en variables réduites, ont été tracées en coordonnées

bilogarithmiques pour représenter le rabattement en un piézomètre situé :

- dans l'axe de la fracture figure 4 et planche I!

- sur l'axe perpendiculaire à la fracture * figure 5 et planche I!- dans une direction è 45° de l'axe de la fracture*** figure 6 et planche I\

piézomètre

fig. 3. Disposition des pie'zomètres outour du puits de pompoge

Les courbes-types sont

- exprimées en fonction du temps réduit

4Tt -, ^t_ = avec X au lieu de x^fin T

x^S

- et graduées en xq =

X étant la distance entre le puits de pompage (supposé au milieu de la fracture)

et le piézomètre.

On remarquera que des que Xg ^ 3 ou 5 il n'y a plus qu'une courbe unique

qui est la courbe de THEIS. L'influence de la fissure verticale n'est donc plus

perceptible au-delà d'une distance (x) supérieure à 3 à 5 fois sa demi- longueur (x^!

~ !!S2ËE_SBé£âî2lrS

- Tracer les rabattements (s) en fonction du temps (t) sur du papier en coordonnée

bilogarithmiques de même module que celui de la courbe-type.

- Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un point

de coïncidence [M,Ma].

- 10

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION DANS DES PIEZOMETRES

Des courbes-types, en variables réduites, ont été tracées en coordonnées

bilogarithmiques pour représenter le rabattement en un piézomètre situé :

- dans l'axe de la fracture figure 4 et planche I!

- sur l'axe perpendiculaire à la fracture * figure 5 et planche I!- dans une direction è 45° de l'axe de la fracture*** figure 6 et planche I\

piézomètre

fig. 3. Disposition des pie'zomètres outour du puits de pompoge

Les courbes-types sont

- exprimées en fonction du temps réduit

4Tt -, ^t_ = avec X au lieu de x^fin T

x^S

- et graduées en xq =

X étant la distance entre le puits de pompage (supposé au milieu de la fracture)

et le piézomètre.

On remarquera que des que Xg ^ 3 ou 5 il n'y a plus qu'une courbe unique

qui est la courbe de THEIS. L'influence de la fissure verticale n'est donc plus

perceptible au-delà d'une distance (x) supérieure à 3 à 5 fois sa demi- longueur (x^!

~ !!S2ËE_SBé£âî2lrS

- Tracer les rabattements (s) en fonction du temps (t) sur du papier en coordonnée

bilogarithmiques de même module que celui de la courbe-type.

- Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un point

de coïncidence [M,Ma].

Fig. 4 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre dans L'axe de lafracture

Fig. 4 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre dans L'axe de lafracture

12

10' 10^

temps réduits ^Tt/x^g

Fig. 5 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre situé sur L'axeperpendiculaire à la fracture

12

10' 10^

temps réduits ^Tt/x^g

Fig. 5 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre situé sur L'axeperpendiculaire à la fracture

13 -

temps réduit to=4Tt/xS

Fig. 6 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre situé à 45° parrapport à L'axe de La fracture

13 -

temps réduit to=4Tt/xS

Fig. 6 - Courbe-type : fracture verticale - Piézomètre situé à 45° parrapport à L'axe de La fracture

14

Si on ne dispose que d'un seul piézomètre, sa position par rapport à la fissure

n'est évidemment pas connue. On peut, dans ce cas essayer l'une des courbes-

types précédentes.

Si on dispose de plusieurs piézomètres, on essaiera de déterminer de manière

unique, les dimensions et la position de la fissure unique équivalente.

a) Détermination de T et de S

Les coordonnées du point de coïncidence [M, Ma] sont

s =

M

s

t

Courbe d'essai

^a

Courb'e-Type

- _2_4tt

4T t~ "t"X ^a rrx^ s

b) Calcul de Xf

La relation x^ = donne la demi-longueur de la fracture. Si Xq ^ 3 ou 5

la valeur de x^ est maximale (x^ réel < x^ max) .

Si l'évolution du rabattement au puits de pompage est connue, il est alor

possible de calculer la valeur S.x^j. . On vérifiera que les résultats au puits etau piézomètre sont compatibles et on calculera x^ même si xq ^ 3 ou 5 :

calculé au puits de pompage

calculé au piézomètre

" §2e££Í£E_Br§ÍÍ9ye

SONNEES DE TERRAIN

Le dispositif d'essai comprend (voir schéma page 15) :

- Un puits de pompage (Pp) exploité au débit constant 0 = 66 m^/h.

- Deux piézomètres P. et P^'

Les mesures de rabattement (s) en fonction du temps (t) sont données dans le

tableau ci-après :

14

Si on ne dispose que d'un seul piézomètre, sa position par rapport à la fissure

n'est évidemment pas connue. On peut, dans ce cas essayer l'une des courbes-

types précédentes.

Si on dispose de plusieurs piézomètres, on essaiera de déterminer de manière

unique, les dimensions et la position de la fissure unique équivalente.

a) Détermination de T et de S

Les coordonnées du point de coïncidence [M, Ma] sont

s =

M

s

t

Courbe d'essai

^a

Courb'e-Type

- _2_4tt

4T t~ "t"X ^a rrx^ s

b) Calcul de Xf

La relation x^ = donne la demi-longueur de la fracture. Si Xq ^ 3 ou 5

la valeur de x^ est maximale (x^ réel < x^ max) .

Si l'évolution du rabattement au puits de pompage est connue, il est alor

possible de calculer la valeur S.x^j. . On vérifiera que les résultats au puits etau piézomètre sont compatibles et on calculera x^ même si xq ^ 3 ou 5 :

calculé au puits de pompage

calculé au piézomètre

" §2e££Í£E_Br§ÍÍ9ye

SONNEES DE TERRAIN

Le dispositif d'essai comprend (voir schéma page 15) :

- Un puits de pompage (Pp) exploité au débit constant 0 = 66 m^/h.

- Deux piézomètres P. et P^'

Les mesures de rabattement (s) en fonction du temps (t) sont données dans le

tableau ci-après :

15

Temps

(mn)

2

3

4

B

B

10

12

15

3D

50

100

150

200

300

400

500

900

1500

2500

3500

Piézomètre

rabattement(m)

0,21

0,37

0,46

0,6D

0,82

0,95

1,05

1,18

1,60

1,90

2,50

2.60

2,80

3,0

3,2

3,25

3,45

3,55

3,65

3,70

Piézomètre

rabattement(m)

0,38

0,46

0,54

0,70

à?82

0,90

0,96

1,10

1,45

1,80

2,22

2,53

2,70

3.0

3,15

3,30

3,60

3,70

3,75

3,80

Puitsde pompoge

/ Pp

Piézomètre(Pg)

Piézomètre ( P, )

01 s posi tif d'esso i

OUESTIONS : Calculer T, S et x^

REPONSES :

Piézomètre 1

(dans l'axede la frac¬ture)

-3 ,T = 2,1 X 10 m^/s

S = 3,5 X 10"5

x^ a 250 m

Xq = 0,4

(perpendicu¬laire à l'axede la frac¬ture)

2,1 X 10~^ m^/s

S 3,3 X 10

x_ = 250 m

x^« 1,02

-5

S (au puits de pompage) = 6,7 x 10"^

15

Temps

(mn)

2

3

4

B

B

10

12

15

3D

50

100

150

200

300

400

500

900

1500

2500

3500

Piézomètre

rabattement(m)

0,21

0,37

0,46

0,6D

0,82

0,95

1,05

1,18

1,60

1,90

2,50

2.60

2,80

3,0

3,2

3,25

3,45

3,55

3,65

3,70

Piézomètre

rabattement(m)

0,38

0,46

0,54

0,70

à?82

0,90

0,96

1,10

1,45

1,80

2,22

2,53

2,70

3.0

3,15

3,30

3,60

3,70

3,75

3,80

Puitsde pompoge

/ Pp

Piézomètre(Pg)

Piézomètre ( P, )

01 s posi tif d'esso i

OUESTIONS : Calculer T, S et x^

REPONSES :

Piézomètre 1

(dans l'axede la frac¬ture)

-3 ,T = 2,1 X 10 m^/s

S = 3,5 X 10"5

x^ a 250 m

Xq = 0,4

(perpendicu¬laire à l'axede la frac¬ture)

2,1 X 10~^ m^/s

S 3,3 X 10

x_ = 250 m

x^« 1,02

-5

S (au puits de pompage) = 6,7 x 10"^

16

3.1.2. Fissure horizontale circulaire unique [1,5,6,11]

Les hypothèses retenues en 3.1.1. restent les mêmes. Mais on suppose

également que :

- le forage traverse, en son centre, une fissure circulaire de rayon r^ situéeà mi-hauteur de la couche aquifére,

- la fissure est de faible épaissewr par rapport à son rayon et à l'épaisseur e

de l'aquifère,

- le débit est capté par la fissure et non par le puits,

- la perméabilité équivalente de la fissure est infinie et la charge estégale en tout point de la fissure à celle existante dans le puits.

eponfe

fig. 7. Modèle fracture circulaire horizontale

Dn considère enfin que l'aquifère est isotrope dans le plan horizontal

avec une perméabilité K . La perméabilité verticale K^ est généralement diffé¬

rente de K.

Le schéma théorique donne également une représentation correcte de l'évo¬

lution du rabattement dans un forage qui recoupe plusieurs fissures groupées. La

solution demeure encore valable, mais à un degré moindre, si le forage ne recoups

pas la fissure en son centre et si la fissure n'est pas située exactement à mi-

hauteur de l'aquifère.

16

3.1.2. Fissure horizontale circulaire unique [1,5,6,11]

Les hypothèses retenues en 3.1.1. restent les mêmes. Mais on suppose

également que :

- le forage traverse, en son centre, une fissure circulaire de rayon r^ situéeà mi-hauteur de la couche aquifére,

- la fissure est de faible épaissewr par rapport à son rayon et à l'épaisseur e

de l'aquifère,

- le débit est capté par la fissure et non par le puits,

- la perméabilité équivalente de la fissure est infinie et la charge estégale en tout point de la fissure à celle existante dans le puits.

eponfe

fig. 7. Modèle fracture circulaire horizontale

Dn considère enfin que l'aquifère est isotrope dans le plan horizontal

avec une perméabilité K . La perméabilité verticale K^ est généralement diffé¬

rente de K.

Le schéma théorique donne également une représentation correcte de l'évo¬

lution du rabattement dans un forage qui recoupe plusieurs fissures groupées. La

solution demeure encore valable, mais à un degré moindre, si le forage ne recoups

pas la fissure en son centre et si la fissure n'est pas située exactement à mi-

hauteur de l'aquifère.

17

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE

_.._ '=D - 7Les courbes-types, établies en fonction du paramètre ep, = sont

présentées à la figure B et à la planche V.

Les variables réduites sont :

4ttTs ^ 4Tts_ = 7^ t.

a Q a r2 Sf

On remarque que l'évolution du rabattement au puits de pompage est

représentée par une droite de pente sensiblement égale à 1/2, pour les temps

suivants :

fin de la pente 1/2 (secondes)

0,001.r2^ S/4T

0,03 . "

0,1

0,5

^D=

0.

0,

0,

^

e

Tf

,1

,3

,5

1

n ft

It tt

Comme pour une fissure verticale, la relation de CARSLAW et JAEGER (1959)

permet le calcul de l'équation de "la droite de pente 1/2" :

s =

Q.e^ Bj^.O.-yt

sa

^T^JJfïs~^^ rr^jTJ'^r^^.Sypf

2 rr- 2 /4Tt

En coordonnées bilogarithmiques, la relation précédente peut s'écrire :

log s = 1/2 log t + constante

Comme pour la fissure verticale, des effets de capacité au puits ou des

pertes de charges singulières peuvent masquer la pente 1/2. Il faut alors procé¬

der à la correction des rabattements en appliquant la procédure décrite au para¬

graphe 3.1.1. page B.

17

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PUITS DE POMPAGE

_.._ '=D - 7Les courbes-types, établies en fonction du paramètre ep, = sont

présentées à la figure B et à la planche V.

Les variables réduites sont :

4ttTs ^ 4Tts_ = 7^ t.

a Q a r2 Sf

On remarque que l'évolution du rabattement au puits de pompage est

représentée par une droite de pente sensiblement égale à 1/2, pour les temps

suivants :

fin de la pente 1/2 (secondes)

0,001.r2^ S/4T

0,03 . "

0,1

0,5

^D=

0.

0,

0,

^

e

Tf

,1

,3

,5

1

n ft

It tt

Comme pour une fissure verticale, la relation de CARSLAW et JAEGER (1959)

permet le calcul de l'équation de "la droite de pente 1/2" :

s =

Q.e^ Bj^.O.-yt

sa

^T^JJfïs~^^ rr^jTJ'^r^^.Sypf

2 rr- 2 /4Tt

En coordonnées bilogarithmiques, la relation précédente peut s'écrire :

log s = 1/2 log t + constante

Comme pour la fissure verticale, des effets de capacité au puits ou des

pertes de charges singulières peuvent masquer la pente 1/2. Il faut alors procé¬

der à la correction des rabattements en appliquant la procédure décrite au para¬

graphe 3.1.1. page B.

IB

10'

10'

u -

-

9

1

r')

-

-2.

V

//

o///A*//o

1

V

y

y

/ *>yy ^^

' y' \

V // o/^

y \/ /V /

-1 1 lllll

. e

1

^

y

/X y^i^ f^ X/^ /

/J7 /^ /

//

//

y

7 *-/

»

o/

////////////

i' 1 II 1 1 1

r

1 1 1 1 lllll

-

-

-

-

-

-

-

1 1 1 IMM

10' 10" 10' 10^

Temps réduit tg s4Tt/r2 S

Fig. S - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Puitsde pompage

IB

10'

10'

u -

-

9

1

r')

-

-2.

V

//

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1

V

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-1 1 lllll

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y

/X y^i^ f^ X/^ /

/J7 /^ /

//

//

y

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////////////

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-

-

-

-

-

-

-

1 1 1 IMM

10' 10" 10' 10^

Temps réduit tg s4Tt/r2 S

Fig. S - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Puitsde pompage

19

L'approximation de JACOB peut être appliquée à toutes les courbes au-delà

d'un temps plus ou moins long que des calculs analytiques (BERTRAND, FEUGA, NOYER

et THIERY, 1980, [11]).

Sp = début de validité de l'approximationr,

de JACDB (seconde)

5.

6.

24.

95.

600.

2400.

^ ftt

tt

If

lt

ff

S/4Tft

ft

It

It

ft

^ 1

5

10

20

50

100

Cette condition doit être respectée afin que l'aspect quasi-linéaire de

la courbe s(t) en graphique semi-logarithmique ne soit pas assimilé à la droite

de JACDB (figure 9) .

Si la fracture a un rayon important ou si elle se situe dans un milieu

faiblement perméable, l'approximation ne peut être appliquée.

~ î?2^Ê_2EÉ£§Î2irS

a) Correction à l'origine (voir paragraphe 3.1.1. page 8)

b) Calcul de T et de S

- Porter, sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type, les

rabattements (s) (ou les rabattements corrigés), en fonction du temps (t) (ou

du temps corrigé) .

- Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un

point de coïncidence [M, Ma].

Isa

^a

Courbe d'essai Courbe-type(corrigée ou non)

19

L'approximation de JACOB peut être appliquée à toutes les courbes au-delà

d'un temps plus ou moins long que des calculs analytiques (BERTRAND, FEUGA, NOYER

et THIERY, 1980, [11]).

Sp = début de validité de l'approximationr,

de JACDB (seconde)

5.

6.

24.

95.

600.

2400.

^ ftt

tt

If

lt

ff

S/4Tft

ft

It

It

ft

^ 1

5

10

20

50

100

Cette condition doit être respectée afin que l'aspect quasi-linéaire de

la courbe s(t) en graphique semi-logarithmique ne soit pas assimilé à la droite

de JACDB (figure 9) .

Si la fracture a un rayon important ou si elle se situe dans un milieu

faiblement perméable, l'approximation ne peut être appliquée.

~ î?2^Ê_2EÉ£§Î2irS

a) Correction à l'origine (voir paragraphe 3.1.1. page 8)

b) Calcul de T et de S

- Porter, sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type, les

rabattements (s) (ou les rabattements corrigés), en fonction du temps (t) (ou

du temps corrigé) .

- Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un

point de coïncidence [M, Ma].

Isa

^a

Courbe d'essai Courbe-type(corrigée ou non)

- 20

Dn obtient ainsi :

T-J- la4tt s

S.r2 = 4T.t1 = h . -L _ £a^ ^a " tg s

Pour des valeurs ep > 3, l'aspect des courbes-types devient très compara¬

ble. Dans ce cas, seule une valeur minimale de eg peut être définie.

On obtient alors une valeur minimale pour Sg et une valeur maximale pour

tg : de ce fait, seules les valeurs minimales de T, S.r^. peuvent être définies.

Lorsque e|-| peut être déterminé de manière individuelle on ne peut évaluer

la valeur de S mais seulement celle du produit S.r^^. r^ peut être calculée en

faisant des hypothèses sur les valeurs probables de S.

Le paragraphe suivant explique comment calculer S et r- dans le cas où

l'on dispose d'un piézomètre.

- 20

Dn obtient ainsi :

T-J- la4tt s

S.r2 = 4T.t1 = h . -L _ £a^ ^a " tg s

Pour des valeurs ep > 3, l'aspect des courbes-types devient très compara¬

ble. Dans ce cas, seule une valeur minimale de eg peut être définie.

On obtient alors une valeur minimale pour Sg et une valeur maximale pour

tg : de ce fait, seules les valeurs minimales de T, S.r^. peuvent être définies.

Lorsque e|-| peut être déterminé de manière individuelle on ne peut évaluer

la valeur de S mais seulement celle du produit S.r^^. r^ peut être calculée en

faisant des hypothèses sur les valeurs probables de S.

Le paragraphe suivant explique comment calculer S et r- dans le cas où

l'on dispose d'un piézomètre.

21 -

Temps réduit tQ=4Tt/r2s

Fig. 9 - Fracture circulaire horizontale - Rabattement au puits -Validité de L'approximation de JACOB

21 -

Temps réduit tQ=4Tt/r2s

Fig. 9 - Fracture circulaire horizontale - Rabattement au puits -Validité de L'approximation de JACOB

22 -

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PIEZOMETRE

Le cas du piézomètre est plus complexe car le champ des charges (rabat¬

tements) dépend de la cote du point d'observation : il existe un gradient de

charge suivant la verticale. Un piézomètre crépine partiellement mesurera un

rabattement différent selon la profondeur à laquelle il est situé. Si le piézo¬

mètre est crépine sur toute sa hauteur et traverse toute l'épaisseur de l'aqui¬

fère, il mesurera une valeur qui se rapproche de la moyenne des rabattements,

si l'on considère que la perméabilité est constante sur la verticale. Cependant,

un tel piézomètre - théoriquement du moins - modifie l'écoulement car il met en

communication des points qui ne présentaient pas la même charge initiale.

Dans un piézomètre recoupant la fracture, on met en évidence un impor¬

tant écoulement vertical. Dans ce contexte, la perturbation induite est impor¬

tante, et le niveau d'eau serait comparable à celui qui existe dans le puits

pompé situé au centre de la fracture.

Les courbes-types (figure 10 et planche VI) représentatives de la pres¬

sion moyenne sur une verticale ont été établies pour le cas d'un piézomètre

situé à une distance x du centre de la fracture.

Le calcul de la pression moyenne sur une verticale (piézomètre ouvert sur

toute la hauteur de l'aquifère) permet d'éliminer ej... Les courbes-types sont gra-y

duées en fonction du paramètre Xp = .

Les variables réduites sont :

4n-T ^ 4TtS = -^ ^ . ^a - p^

Pour Xpi > 3, les courbes-types deviennent très semblables et tendent vers

la courbe-type représentative de l'équation de Theis : l'influence de la fracture

est seulement perceptible à une distance inférieure à trois fois son rayon.

Si Xp > 3, seul un rayon maximal r_ peut être apprécié.

Enfin, si les valeurs calculées des paramètres au puits de pompage et au

piézomètre sont compatibles entre elles, le rayon de la fracture circulaire r^

pourra être estimé même si Xq :> 3 :

f "lf""sr^- < calculé au puits de pompage

calculé au piézomètre

22 -

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION AU PIEZOMETRE

Le cas du piézomètre est plus complexe car le champ des charges (rabat¬

tements) dépend de la cote du point d'observation : il existe un gradient de

charge suivant la verticale. Un piézomètre crépine partiellement mesurera un

rabattement différent selon la profondeur à laquelle il est situé. Si le piézo¬

mètre est crépine sur toute sa hauteur et traverse toute l'épaisseur de l'aqui¬

fère, il mesurera une valeur qui se rapproche de la moyenne des rabattements,

si l'on considère que la perméabilité est constante sur la verticale. Cependant,

un tel piézomètre - théoriquement du moins - modifie l'écoulement car il met en

communication des points qui ne présentaient pas la même charge initiale.

Dans un piézomètre recoupant la fracture, on met en évidence un impor¬

tant écoulement vertical. Dans ce contexte, la perturbation induite est impor¬

tante, et le niveau d'eau serait comparable à celui qui existe dans le puits

pompé situé au centre de la fracture.

Les courbes-types (figure 10 et planche VI) représentatives de la pres¬

sion moyenne sur une verticale ont été établies pour le cas d'un piézomètre

situé à une distance x du centre de la fracture.

Le calcul de la pression moyenne sur une verticale (piézomètre ouvert sur

toute la hauteur de l'aquifère) permet d'éliminer ej... Les courbes-types sont gra-y

duées en fonction du paramètre Xp = .

Les variables réduites sont :

4n-T ^ 4TtS = -^ ^ . ^a - p^

Pour Xpi > 3, les courbes-types deviennent très semblables et tendent vers

la courbe-type représentative de l'équation de Theis : l'influence de la fracture

est seulement perceptible à une distance inférieure à trois fois son rayon.

Si Xp > 3, seul un rayon maximal r_ peut être apprécié.

Enfin, si les valeurs calculées des paramètres au puits de pompage et au

piézomètre sont compatibles entre elles, le rayon de la fracture circulaire r^

pourra être estimé même si Xq :> 3 :

f "lf""sr^- < calculé au puits de pompage

calculé au piézomètre

23

Fig. 10 - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Rabattement dansun piézomètre

23

Fig. 10 - Courbe-type : fracture circulaire horizontale - Rabattement dansun piézomètre

- 24 -

~ Ü2^E_2BÉ£§Í2Ír£

- Porter sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type, les

rabattements (s) en fonction du temps (t).

- Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un

point de coïncidence [M, Ma].

Ma

Courbe d'essai Courbe-type

On obtient ainsi

4ttT = ^ . ^

4T,2b O j_ O _i_

Q tx2 t:

- 24 -

~ Ü2^E_2BÉ£§Í2Ír£

- Porter sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type, les

rabattements (s) en fonction du temps (t).

- Procéder à l'interprétation par la méthode d'identification en relevant un

point de coïncidence [M, Ma].

Ma

Courbe d'essai Courbe-type

On obtient ainsi

4ttT = ^ . ^

4T,2b O j_ O _i_

Q tx2 t:

25

3.2. Aqui£&A.z_a_doub¿e._£q^¿¿té.

Dn considère que la formation aquifére comprend deux régions de porosité

essentiellement différentes :

- l'une d'elle, la matrice, est constituée de pores fins et sa perméabilité est

faible,

- l'autre, représentée par les fractures et les vides, a une porosité significa¬

tive et une perméabilité supérieure à celle de la matrice.

vides ^motricefrocture

matrice

fig. II. Modèle â double porosité

frocture

Plusieurs auteurs (PDLLARD, PIRSON and PIRSON) et en particulier WARREN

et RODT et KAZEMI ont adopté ce modèle pour simuler le comportement de ce type

de milieu aquifére.

WARREN et RDDT [12,13] considèrent que l'écoulement de l'eau des blocs

(matrice) vers les fractures est pseudo-permanent et que les fractures trans¬

mettent le fluide vers le puits.

KAZEMI [7] reprend le même modèle, mais suppose que l'écoulement est

pseudo-permanent. Ses résultats concordent cependant avec ceux de WARREN et ROOT.

D'après WARREN et ROOT le système aquifére, tel que défini è la figure 11,

est caractérisé par deux facteurs :

25

3.2. Aqui£&A.z_a_doub¿e._£q^¿¿té.

Dn considère que la formation aquifére comprend deux régions de porosité

essentiellement différentes :

- l'une d'elle, la matrice, est constituée de pores fins et sa perméabilité est

faible,

- l'autre, représentée par les fractures et les vides, a une porosité significa¬

tive et une perméabilité supérieure à celle de la matrice.

vides ^motricefrocture

matrice

fig. II. Modèle â double porosité

frocture

Plusieurs auteurs (PDLLARD, PIRSON and PIRSON) et en particulier WARREN

et RODT et KAZEMI ont adopté ce modèle pour simuler le comportement de ce type

de milieu aquifére.

WARREN et RDDT [12,13] considèrent que l'écoulement de l'eau des blocs

(matrice) vers les fractures est pseudo-permanent et que les fractures trans¬

mettent le fluide vers le puits.

KAZEMI [7] reprend le même modèle, mais suppose que l'écoulement est

pseudo-permanent. Ses résultats concordent cependant avec ceux de WARREN et ROOT.

D'après WARREN et ROOT le système aquifére, tel que défini è la figure 11,

est caractérisé par deux facteurs :

- 26 -

T , r- produit de la porosité par la compressibilité des fracturesle rapport F = ^ , .. , :; .. . :; . , .1 . , , . rr:produit de la porosité par la compressibilité du système

_ «t-F ^e

*F ^e ' ^^-*F^ ^ma

avec

(fip = porosité des fractures et des pores connectés

C = coefficient de compressibilité de l'eau

^g = coefficient de compressibilité de la matrice

- et le paramètre d'écoulement interporosité

e =

K r2a i^ma ^ t

^f

avec

a = facteur géométrique associant les dimensions des fractures et desblocs de la matrice

^ma = perméabilité de la matrice

= rayon du puits de pompage

K._p = perméabilité équivalente moyenne des fractures

1. Quand la valeur de e est voisine de 1.0 le modèle de WARREN et ROOT peut êtreassimilé à un modèle classique de réservoir homogène.

2. Pour des blocs de matrice de 1 m de côté, et lorsque la perméabilité est supé¬rieure à 10"-^° m/s, le milieu fracturé se comporte comme un milieu homogène.

- 26 -

T , r- produit de la porosité par la compressibilité des fracturesle rapport F = ^ , .. , :; .. . :; . , .1 . , , . rr:produit de la porosité par la compressibilité du système

_ «t-F ^e

*F ^e ' ^^-*F^ ^ma

avec

(fip = porosité des fractures et des pores connectés

C = coefficient de compressibilité de l'eau

^g = coefficient de compressibilité de la matrice

- et le paramètre d'écoulement interporosité

e =

K r2a i^ma ^ t

^f

avec

a = facteur géométrique associant les dimensions des fractures et desblocs de la matrice

^ma = perméabilité de la matrice

= rayon du puits de pompage

K._p = perméabilité équivalente moyenne des fractures

1. Quand la valeur de e est voisine de 1.0 le modèle de WARREN et ROOT peut êtreassimilé à un modèle classique de réservoir homogène.

2. Pour des blocs de matrice de 1 m de côté, et lorsque la perméabilité est supé¬rieure à 10"-^° m/s, le milieu fracturé se comporte comme un milieu homogène.

27

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION

L'évolution des rabattements (s) en fonction du temps (t) au puits de

pompage s'effectue selon le schéma ci-contre :

Descente Remontée

logt tosl+ t/jR

fig. 12 . Evolution des rabattements ou puits de pompage en régimetronsitoire selon WARREN et ROOT.

On voit que la courbe de rabattement (s) en fonction du temps (t) se

présente, en coordonnées semi-logarithmiques, sous la forme de deux segments

de droites parallèles distantes de As séparées par une courbe de raccordement.

~ î!2^Ê-2EÉ£iî2i£S

a) Calcul de la transmissivité

Le calcul s'effectue en appliquant la méthode de la droite de JACOB

en utilisant les pentes C des segments de droite soit sur la courbe de descente

soit sur la courbe de remontée :

_ 0,183 0

b) Calcul de la porosité i>

AsF -= 10" C

Dn obtient (j)_ en reportant la valeur de F dans l'équation (3.2.1.) et

après avoir choisi le coefficient de compressibilité de l'eau et de la matrice

(voir en annexe "les coefficients de compressibilité).

27

PRINCIPE DE L'INTERPRETATION

L'évolution des rabattements (s) en fonction du temps (t) au puits de

pompage s'effectue selon le schéma ci-contre :

Descente Remontée

logt tosl+ t/jR

fig. 12 . Evolution des rabattements ou puits de pompage en régimetronsitoire selon WARREN et ROOT.

On voit que la courbe de rabattement (s) en fonction du temps (t) se

présente, en coordonnées semi-logarithmiques, sous la forme de deux segments

de droites parallèles distantes de As séparées par une courbe de raccordement.

~ î!2^Ê-2EÉ£iî2i£S

a) Calcul de la transmissivité

Le calcul s'effectue en appliquant la méthode de la droite de JACOB

en utilisant les pentes C des segments de droite soit sur la courbe de descente

soit sur la courbe de remontée :

_ 0,183 0

b) Calcul de la porosité i>

AsF -= 10" C

Dn obtient (j)_ en reportant la valeur de F dans l'équation (3.2.1.) et

après avoir choisi le coefficient de compressibilité de l'eau et de la matrice

(voir en annexe "les coefficients de compressibilité).

28

- Exercice pratique

. DONNEES DE TERRAIN

- Un pompage d'essai au débit constant de 4,9 m^/h d'une durée de 12 heures a étiréalisé pour caractériser des schistes fissurés.

- Les mesures de temps (t) et de rabattements (s) sont données dans le tableau

ci-dessous :

temps (t)(seconde)

0,51,01,52,03,0'i,D5,07,0

102030405070

100150200300400700

1 0002 0003 DOO

5 0007 DDO

10 00020 DDO

3D ODD

40 00060 ODD

IOD 00020D 000

'300 DOO

500 DOO

700 000900 ODO

1 DOO 000

rabattements is)(m)

0,20,30,30,50,70,81,01,11,31,61,7i,ei,e1,92,02,02,12.22,22,22,42,52,B3,03,43.63,94,44.65,05,25,56,06,7B,e7,17,2

QUESTIONS : Calculer la transmissivité T et la porosité ^p

REPONSES : T = 1,7 X IO"** m^/s ; (fip = 0,65 %

(on prendra C = 80 x 10"'^ bar" )m

( " C = 4,6 X 10"^ bar"")5 . I.

28

- Exercice pratique

. DONNEES DE TERRAIN

- Un pompage d'essai au débit constant de 4,9 m^/h d'une durée de 12 heures a étiréalisé pour caractériser des schistes fissurés.

- Les mesures de temps (t) et de rabattements (s) sont données dans le tableau

ci-dessous :

temps (t)(seconde)

0,51,01,52,03,0'i,D5,07,0

102030405070

100150200300400700

1 0002 0003 DOO

5 0007 DDO

10 00020 DDO

3D ODD

40 00060 ODD

IOD 00020D 000

'300 DOO

500 DOO

700 000900 ODO

1 DOO 000

rabattements is)(m)

0,20,30,30,50,70,81,01,11,31,61,7i,ei,e1,92,02,02,12.22,22,22,42,52,B3,03,43.63,94,44.65,05,25,56,06,7B,e7,17,2

QUESTIONS : Calculer la transmissivité T et la porosité ^p

REPONSES : T = 1,7 X IO"** m^/s ; (fip = 0,65 %

(on prendra C = 80 x 10"'^ bar" )m

( " C = 4,6 X 10"^ bar"")5 . I.

29 -

3.3. Aqu¿¿eA.e. homoQint orUjiOiAû^e.

3.3.1. Introduction

Dans l'expérience de DARCY, on admet implicitement que le coefficient

de perméabilité K, ou encore la perméabilité intrinsèque K, sont des propriétés

isotropes du milieu poreux indépendantes de la direction de l'espace (V=K.i),

Dr il est fréquent, dans la nature et dans les milieux fissurés en par¬

ticulier, qu'il en est pas toujours ainsi. Pour ces milieux, la direction du

gradient de charge et de la vitesse d'écoulement ne sont plus en général confon¬

dues. L'écoulement va avoir tendance à suivre les directions de perméabilité

les plus grandes.

On est donc amené à considérer la perméabilité comme une propriété ten-

sorielle, ce qui est la simple traduction mathématique de cette observation. Dn

définit alors un tenseur de perméabilité K ou K (K = -^K).

L'aquifère fissuré est ici considéré comme un milieu poreux, homogène et

anisotrope. Une telle approche a été utilisée par ADAMS et al. (1968) pour ana¬

lyser les variations de pression au puits de production d'un réservoir de gaz,

fracturé et peu perméable (dolomie). Dans ce cas particulier, le modèle était

constitué par deux régions concentriques, homogènes et isotropes, de perméabilités

différentes. La région la plus éloignée du puits possédait la plus grande perméa¬

bilité et représentait les fractures (figure 13).

fig. 13- ModAle d onitotrople rodiale

L'effet d' anisotropie dans un système fissuré est plus facile a concevoir-

dans le cas de fissures verticales. Des études expérimentales (HUSK.EY and CRAWFORD,

1967) ont montré que, par rapport à celle d'un milieu homogène, la conductivité

augmente lorsque l'écoulement est parallèle aux fractures, alors elle varie peu

lorsque l'écoulement leur est perpendiculaire. La perméabilité maximale dans un

milieu fissuré doit donc correspondre a la perméabilité de fracture, tandis que

la perméabilité minimale doit représenter la perméabilité de matrice (figure 14),

en particulier lorsqu'il existe une direction prépondérante de fissuration.

29 -

3.3. Aqu¿¿eA.e. homoQint orUjiOiAû^e.

3.3.1. Introduction

Dans l'expérience de DARCY, on admet implicitement que le coefficient

de perméabilité K, ou encore la perméabilité intrinsèque K, sont des propriétés

isotropes du milieu poreux indépendantes de la direction de l'espace (V=K.i),

Dr il est fréquent, dans la nature et dans les milieux fissurés en par¬

ticulier, qu'il en est pas toujours ainsi. Pour ces milieux, la direction du

gradient de charge et de la vitesse d'écoulement ne sont plus en général confon¬

dues. L'écoulement va avoir tendance à suivre les directions de perméabilité

les plus grandes.

On est donc amené à considérer la perméabilité comme une propriété ten-

sorielle, ce qui est la simple traduction mathématique de cette observation. Dn

définit alors un tenseur de perméabilité K ou K (K = -^K).

L'aquifère fissuré est ici considéré comme un milieu poreux, homogène et

anisotrope. Une telle approche a été utilisée par ADAMS et al. (1968) pour ana¬

lyser les variations de pression au puits de production d'un réservoir de gaz,

fracturé et peu perméable (dolomie). Dans ce cas particulier, le modèle était

constitué par deux régions concentriques, homogènes et isotropes, de perméabilités

différentes. La région la plus éloignée du puits possédait la plus grande perméa¬

bilité et représentait les fractures (figure 13).

fig. 13- ModAle d onitotrople rodiale

L'effet d' anisotropie dans un système fissuré est plus facile a concevoir-

dans le cas de fissures verticales. Des études expérimentales (HUSK.EY and CRAWFORD,

1967) ont montré que, par rapport à celle d'un milieu homogène, la conductivité

augmente lorsque l'écoulement est parallèle aux fractures, alors elle varie peu

lorsque l'écoulement leur est perpendiculaire. La perméabilité maximale dans un

milieu fissuré doit donc correspondre a la perméabilité de fracture, tandis que

la perméabilité minimale doit représenter la perméabilité de matrice (figure 14),

en particulier lorsqu'il existe une direction prépondérante de fissuration.

30

courbeséquipotentielles

pui ts depom

axes principauxdtonisotropie

fig. 14. Modèle ovec onisotropie en x y

En 1965, PAPADOPOULOS et al. [8] ont établi une équation donnant la répar¬

tition du rabattement dans un aquifére autour d'un puits pompé a débit constant,

et proposent une méthode qui permet d'obtenir les propriétés hydrauliques et les

directions des perméabilités maximale et minimale d'un aquifére en analysant les

données de pompages d'essai effectués avec un minimum de trois piézomètres.

3.3.2. Principe de l'interprétation en milieu anisotrope avec trois

piézomètres

PAPADOPOULOS et al. considèrent un milieu homogène anisotrope dont le

tenseur de transmissivité, en écoulement bidimensionnel, est :

"y TX xy

T Txy y

X et y étant un système quelconque d'axes orthogonaux.

Si les axes x et y coïncident avec les axes principaux (ce, nn) du tenseur

celui-ci se réduit à :

T Dec

0 TTin

T et T étant respectivement les transmissivités maximales et minimales.ee nn

Dans ces conditions, la transmissivité T (en supposant le milieu isotrope)

devient :

VT «= -c/T T - T"^XX yy xy

30

courbeséquipotentielles

pui ts depom

axes principauxdtonisotropie

fig. 14. Modèle ovec onisotropie en x y

En 1965, PAPADOPOULOS et al. [8] ont établi une équation donnant la répar¬

tition du rabattement dans un aquifére autour d'un puits pompé a débit constant,

et proposent une méthode qui permet d'obtenir les propriétés hydrauliques et les

directions des perméabilités maximale et minimale d'un aquifére en analysant les

données de pompages d'essai effectués avec un minimum de trois piézomètres.

3.3.2. Principe de l'interprétation en milieu anisotrope avec trois

piézomètres

PAPADOPOULOS et al. considèrent un milieu homogène anisotrope dont le

tenseur de transmissivité, en écoulement bidimensionnel, est :

"y TX xy

T Txy y

X et y étant un système quelconque d'axes orthogonaux.

Si les axes x et y coïncident avec les axes principaux (ce, nn) du tenseur

celui-ci se réduit à :

T Dec

0 TTin

T et T étant respectivement les transmissivités maximales et minimales.ee nn

Dans ces conditions, la transmissivité T (en supposant le milieu isotrope)

devient :

VT «= -c/T T - T"^XX yy xy

- 31

L'équation du régime transitoire, ou de THEIS, s'écrit alors

avec

{4tt .. T T - TXX yy xy

== F(u'^y)

xy s

Tvv T - t2XX yy xy

^xxv^ * """2 _ 2 Txy.xyxxy 'yyx

(3.3.1)

(3.3.2)

et pour u xy -* 10 l'approximation logarithmique de JACOB devient

0,183 0

V

log

T T - T"^'xx 'yy xy

2,25t XX yy- T'

xy

T 2 + T 2-2Txy.xy;xxy yyx ' ^i

(3.3.3)

~ !32ËÊ_2Ea£âî2irÊ

+ Méthode de la courbe-type

- Choisir un système d'axes orthogonaux ayant pour origine le puits de pompage et

calculer les coordonnées x et y de chaque piézomètre.

- Porter sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type de THEIS,

les rabattements s en fonction de t pour chaque piézomètre.

- Procéder à l'interprétation, pour chaque piézomètre, par la méthode d'identifi¬

cation, en utilisant la courbe-type de THEIS (planche VII). Choisir les points

de coïncidence [M, Ma].

1/.

F(u'xy)

xy

sur les courbes d'essai sur la courbe-type de THEIS

Reporter les couples de valeurs F(u'xy) et s dans l'équation (3.3.1) et calculer2 c

"'"xx '''vv " ''" xy '-''^ obtient trois valeurs de T^^^^ Tyy-T'^xy QUi doivent être en

principe très voisines.

Reporter les couples de valeurs u'xy et t dans l'équation (3.3.2). Dn dispose

alors d'un système de trois équations dont la résolution fournit les valeurs

de STjçj^ , STyy et ST^^y.

- 31

L'équation du régime transitoire, ou de THEIS, s'écrit alors

avec

{4tt .. T T - TXX yy xy

== F(u'^y)

xy s

Tvv T - t2XX yy xy

^xxv^ * """2 _ 2 Txy.xyxxy 'yyx

(3.3.1)

(3.3.2)

et pour u xy -* 10 l'approximation logarithmique de JACOB devient

0,183 0

V

log

T T - T"^'xx 'yy xy

2,25t XX yy- T'

xy

T 2 + T 2-2Txy.xy;xxy yyx ' ^i

(3.3.3)

~ !32ËÊ_2Ea£âî2irÊ

+ Méthode de la courbe-type

- Choisir un système d'axes orthogonaux ayant pour origine le puits de pompage et

calculer les coordonnées x et y de chaque piézomètre.

- Porter sur un papier bilogarithmique de même module que la courbe-type de THEIS,

les rabattements s en fonction de t pour chaque piézomètre.

- Procéder à l'interprétation, pour chaque piézomètre, par la méthode d'identifi¬

cation, en utilisant la courbe-type de THEIS (planche VII). Choisir les points

de coïncidence [M, Ma].

1/.

F(u'xy)

xy

sur les courbes d'essai sur la courbe-type de THEIS

Reporter les couples de valeurs F(u'xy) et s dans l'équation (3.3.1) et calculer2 c

"'"xx '''vv " ''" xy '-''^ obtient trois valeurs de T^^^^ Tyy-T'^xy QUi doivent être en

principe très voisines.

Reporter les couples de valeurs u'xy et t dans l'équation (3.3.2). Dn dispose

alors d'un système de trois équations dont la résolution fournit les valeurs

de STjçj^ , STyy et ST^^y.

- 32

Calculer S en reportant T^^^ , Tyy et T^y exprimés en fonction de S dans

^xx Tyy ~ T^j^y évalués précédemment.

S étant connu, calculer T^^^^ , T et T^ en utilisant les valeurs des produits

STj^y , STyy et STyy estimées précédemment.

+ Méthode de la ligne droite

Choisir un système d'axes orthogonaux ayant pour origine le puits de pompage et

calculer les coordonnées x et y de chaque piézomètre.

Porter sur un papier semi-logarithmique les rabattements de chaque piézomètre

en fonction de t.

Procéder à l'interprétation selon la méthode de JACOB :

As 0,183 Q

cycle log ^\^(3.3.4)

- T2yy xy

soit tp le temps correspondant à l'intersection de la droite de JACDB avec

l'axe s = 0.

On peut écrire :

S i^xxv^ * ^vvx^ " 2Txy.xy

\ ''"xx ''^yy " ''" xy

- Calculer T^^^ Tyy - T^^ d'après l'équation (3.3.4).

- Reporter successivement la valeur de T^^ Tyy - T^^^ et chacune des valeurs de

t^ dans l'équation (3.3.4). On obtient un système d'équation à trois inconnues

dont la résolution fournit les valeurs des produits ST^x » ^"'^yy ^'^ STxy

- Enfin suivre la même procédure décrite dans la méthode de la courbe-type pour

calculer S, Txx' "'^yy ^"^ T^y.

Les transmissivités principales du tenseur de transmissivité T et Tee nn

peuvent être calculées d'après les formules ci-dessous :

1

^ee 2

Tnn

pTxx -^ Tyy) + [(Txx - Tyy) 2 + 4 T2^y]'/2j

7 [iTxx -^ Tyy) - [(Txx - Tyy)2 . 4 T2xy]'^J

- 32

Calculer S en reportant T^^^ , Tyy et T^y exprimés en fonction de S dans

^xx Tyy ~ T^j^y évalués précédemment.

S étant connu, calculer T^^^^ , T et T^ en utilisant les valeurs des produits

STj^y , STyy et STyy estimées précédemment.

+ Méthode de la ligne droite

Choisir un système d'axes orthogonaux ayant pour origine le puits de pompage et

calculer les coordonnées x et y de chaque piézomètre.

Porter sur un papier semi-logarithmique les rabattements de chaque piézomètre

en fonction de t.

Procéder à l'interprétation selon la méthode de JACOB :

As 0,183 Q

cycle log ^\^(3.3.4)

- T2yy xy

soit tp le temps correspondant à l'intersection de la droite de JACDB avec

l'axe s = 0.

On peut écrire :

S i^xxv^ * ^vvx^ " 2Txy.xy

\ ''"xx ''^yy " ''" xy

- Calculer T^^^ Tyy - T^^ d'après l'équation (3.3.4).

- Reporter successivement la valeur de T^^ Tyy - T^^^ et chacune des valeurs de

t^ dans l'équation (3.3.4). On obtient un système d'équation à trois inconnues

dont la résolution fournit les valeurs des produits ST^x » ^"'^yy ^'^ STxy

- Enfin suivre la même procédure décrite dans la méthode de la courbe-type pour

calculer S, Txx' "'^yy ^"^ T^y.

Les transmissivités principales du tenseur de transmissivité T et Tee nn

peuvent être calculées d'après les formules ci-dessous :

1

^ee 2

Tnn

pTxx -^ Tyy) + [(Txx - Tyy) 2 + 4 T2^y]'/2j

7 [iTxx -^ Tyy) - [(Txx - Tyy)2 . 4 T2xy]'^J

.- 33

Soit 6 l'angle entre l'axe des x et l'axe des e compté à partir de

l'axe des x dans le sens des aiguilles d'une montre :

e = arc ta r, Í _££^_xx I

~ ê2êr£i£ê_E£âii9yê

Un dispositif de pompage comportant trois piézomètres (P,, P^' ^3^ ^'^ ^^

puits de pompage (Pp) a été réalisé pour déterminer les paramètres hydrodyna¬

miques d'une nappe contenue dans un milieu fissuré.

Un pompage d'essai d'une durée de 12 heures a été effectué au débit cons¬

tant D = 12,57 1/s. Les mesures de rabattements en fonction du temps sont rassem¬

blées dans le tableau ci-dessous ;

Temps (t)en mn

0,51

234B

8

1015203040506090

120150160240300360480720

Rabattements (s)en m

Pl

0,3350,5910,9111,0621,2151,4051,5491,5531,8532,0192,2032,3442,4502,5412,7502,9012,9983.0753.2353,3513,4363,5673,764

P2

0,1530,3430,5110,7620,9111,0891,2251,3291,5311,6771,6532,0192,1232,2102,4162,5552,6702,7502,9012,9963,1163,2473,455

P3

0,4920,7621,0691,2641,4191.6091,7571,6532,0712,2102,4162,5552,6702,7502,9633,1183,2183,3103,4553,5553,5493,6023,996

-9.0.^

Puits de pompage

n :S,2ri

XoP-3jl. le.Sm »

p-2

33.5»

P-I

.26. 3m- A

Dispositif d'essoi

OUESTIONS

REPONSES

Calculer T^x . Tyy , T^y , S , T^^ , T^^

T «= 2,5 X 1D'3 m2/s

et e

XX

T = 2,5 X 10"3 m2/s

Txy = 1,5 X 10" 3 m2/s

T = 4,0 X 10'3 m2/sec

T = 1,0 X 10"3 m2/snn

e = 135°

S = IO"**

.- 33

Soit 6 l'angle entre l'axe des x et l'axe des e compté à partir de

l'axe des x dans le sens des aiguilles d'une montre :

e = arc ta r, Í _££^_xx I

~ ê2êr£i£ê_E£âii9yê

Un dispositif de pompage comportant trois piézomètres (P,, P^' ^3^ ^'^ ^^

puits de pompage (Pp) a été réalisé pour déterminer les paramètres hydrodyna¬

miques d'une nappe contenue dans un milieu fissuré.

Un pompage d'essai d'une durée de 12 heures a été effectué au débit cons¬

tant D = 12,57 1/s. Les mesures de rabattements en fonction du temps sont rassem¬

blées dans le tableau ci-dessous ;

Temps (t)en mn

0,51

234B

8

1015203040506090

120150160240300360480720

Rabattements (s)en m

Pl

0,3350,5910,9111,0621,2151,4051,5491,5531,8532,0192,2032,3442,4502,5412,7502,9012,9983.0753.2353,3513,4363,5673,764

P2

0,1530,3430,5110,7620,9111,0891,2251,3291,5311,6771,6532,0192,1232,2102,4162,5552,6702,7502,9012,9963,1163,2473,455

P3

0,4920,7621,0691,2641,4191.6091,7571,6532,0712,2102,4162,5552,6702,7502,9633,1183,2183,3103,4553,5553,5493,6023,996

-9.0.^

Puits de pompage

n :S,2ri

XoP-3jl. le.Sm »

p-2

33.5»

P-I

.26. 3m- A

Dispositif d'essoi

OUESTIONS

REPONSES

Calculer T^x . Tyy , T^y , S , T^^ , T^^

T «= 2,5 X 1D'3 m2/s

et e

XX

T = 2,5 X 10"3 m2/s

Txy = 1,5 X 10" 3 m2/s

T = 4,0 X 10'3 m2/sec

T = 1,0 X 10"3 m2/snn

e = 135°

S = IO"**

. - 34 -

3.4. E{i{¡eX¿ de. capacLté. - IntoApfittcition au pmiti, dz pompagz

3.4.1. Introduction

Il est assez fréquent, dans le cas de forages de grand diamètre ou de

puits et surtout ceux captant des formations peu perméables, de noter l'appari¬

tion d'un effet de capacité en cours de pompage.

Celui-ci se traduit, pendant une période plus ou moins longue, par un

rabattement proportionnel au temps. Graphiquement, cet effet peut être mis en

évidence de la manière suivante :

- en coordonnées arithmétiques : la représentation du rabattement en fonction du

temps se traduit par une ligne droite de pente quelconque,

- en coordonnées bilogarithmiques : à condition qu'il n'y ait pas de pertes de

charge importantes, l'évolution du rabattement est représentée par une droite

de pente 1 (c'est-à-dire inclinée à 45°, si le module logarithmique est le

même pour le temps et le rabattement),

- en coordonnées semi-logarithmiques : on ne note rien de particulier.

3.4.2. Principe de l'interprétation

Les hypothèses d'application de la méthode d'interprétation sont les mêmes

que celles définies au paragraphe 3.1.1. à cette différence près que le rayon du

forage ou du puits ne peut plus être considéré comme négligeable.

On doit la méthode d'interprétation présentée ci-dessous à PAPADOPOULOS et

COOPER, 1967 [9]. Elle s'applique uniquement au puits ou au forage pompé.

- Section^ équivalente^

Soit A la section du forage et 0 le débit pompé. Au début du pompage l'eai

provient essentiellement du forage et l'aquifère n'est pas sollicité.

Le rabattement (s) au temps (t) peut alors s'écrire :

s = -^ X t (3.4.1)

En coordonnées arithmétiques, l'équation (3.4.1) est une droite de pente -^

On peut en déduire A, donc le diamètre équivalent du puits ou du forage que l'on

comparera au diamètre réel.

. - 34 -

3.4. E{i{¡eX¿ de. capacLté. - IntoApfittcition au pmiti, dz pompagz

3.4.1. Introduction

Il est assez fréquent, dans le cas de forages de grand diamètre ou de

puits et surtout ceux captant des formations peu perméables, de noter l'appari¬

tion d'un effet de capacité en cours de pompage.

Celui-ci se traduit, pendant une période plus ou moins longue, par un

rabattement proportionnel au temps. Graphiquement, cet effet peut être mis en

évidence de la manière suivante :

- en coordonnées arithmétiques : la représentation du rabattement en fonction du

temps se traduit par une ligne droite de pente quelconque,

- en coordonnées bilogarithmiques : à condition qu'il n'y ait pas de pertes de

charge importantes, l'évolution du rabattement est représentée par une droite

de pente 1 (c'est-à-dire inclinée à 45°, si le module logarithmique est le

même pour le temps et le rabattement),

- en coordonnées semi-logarithmiques : on ne note rien de particulier.

3.4.2. Principe de l'interprétation

Les hypothèses d'application de la méthode d'interprétation sont les mêmes

que celles définies au paragraphe 3.1.1. à cette différence près que le rayon du

forage ou du puits ne peut plus être considéré comme négligeable.

On doit la méthode d'interprétation présentée ci-dessous à PAPADOPOULOS et

COOPER, 1967 [9]. Elle s'applique uniquement au puits ou au forage pompé.

- Section^ équivalente^

Soit A la section du forage et 0 le débit pompé. Au début du pompage l'eai

provient essentiellement du forage et l'aquifère n'est pas sollicité.

Le rabattement (s) au temps (t) peut alors s'écrire :

s = -^ X t (3.4.1)

En coordonnées arithmétiques, l'équation (3.4.1) est une droite de pente -^

On peut en déduire A, donc le diamètre équivalent du puits ou du forage que l'on

comparera au diamètre réel.

35

En coordonnées bilogarithmiques, on peut écrire l'équation 3.4.1 :

^n = =^n ^ * Cceci est bien l'équation d'une droitede pente = 1 .

La figure 15 et la planche Vm présentent une série de courbes-types

tracées en coordonnées bilogarithmiques. Chaque courbe- type est identifiée par

la paramètre a :

a = S

avec

S = coefficient d'emmagasinement

r» " r-ayon du tubage

r = rayon du forage dans la zone

crépinée

quand r_ est '^ de Tp, , a '^.' S.c \J

Les coordonnées réduites des courbes-types sont

^a =4TrTs 4Tt

r2 S

" !32ËÊ_2BÊ£âî2ir£

- Porter les rabattements (s) en fonction du temps (t) sur un papier bilogarith¬

mique de même module que les courbes-types.

- Procéder è l'interprétation par la méthode d'identification en choisissant un

point de coïncidence [M, Ma].

s

t

sur la courbe d'essai sur la courbe-type

On a :T - 0 Sa

4Tr set

4T

r2^ p

t

ta- 0

TTr2p

t' t"-a

s.

Sa

35

En coordonnées bilogarithmiques, on peut écrire l'équation 3.4.1 :

^n = =^n ^ * Cceci est bien l'équation d'une droitede pente = 1 .

La figure 15 et la planche Vm présentent une série de courbes-types

tracées en coordonnées bilogarithmiques. Chaque courbe- type est identifiée par

la paramètre a :

a = S

avec

S = coefficient d'emmagasinement

r» " r-ayon du tubage

r = rayon du forage dans la zone

crépinée

quand r_ est '^ de Tp, , a '^.' S.c \J

Les coordonnées réduites des courbes-types sont

^a =4TrTs 4Tt

r2 S

" !32ËÊ_2BÊ£âî2ir£

- Porter les rabattements (s) en fonction du temps (t) sur un papier bilogarith¬

mique de même module que les courbes-types.

- Procéder è l'interprétation par la méthode d'identification en choisissant un

point de coïncidence [M, Ma].

s

t

sur la courbe d'essai sur la courbe-type

On a :T - 0 Sa

4Tr set

4T

r2^ p

t

ta- 0

TTr2p

t' t"-a

s.

Sa

- 36

Fig. 15 - Courbe-type : effet de capacité

- 36

Fig. 15 - Courbe-type : effet de capacité

- 37

. Remarque concernant le calcul de T et la durée du pompage d'essai

Toutes les courbes présentent au début une partie rectiligne de pente 1 .

Il est bien évident qu'il n'est pas possible de définir les caractéristiques de

l'aquifère à partir de cette seule portion de droite qui ne fait intervenir que

la capacité du puits. Pour pouvoir déterminer la transmissivité, il faut que la

durée du pompage d'essai soit suffisante pour qu'apparaisse un début de courbure.

Le graphique de la figure 15 montre que cette courbure est suffisamment prononcée

pour :

t =1°

c'est-à-dire pour a :î; S

10 r-^

(Tp = rayon du puits dans la zone de l'aquifère)

Le tableau ci-dessous donne des ordres de grandeur du temps t nécessaire

pour sortir de la partie linéaire des courbes-types calculées pour deux types

d'ouvrages de captage courants :

T(m2/s)

Type^.,^_^d ' ouvrage

10"2

10-3

10"'*

10"5

10"^

Puits mécanisé

(rp=0,50 m)

4 mn

42 mn

7 h

3 j29 j

Forage au marteau fondde trou

(rp=0,075 m)

'^' 10 s

'^ 1 mn

"^ 9,5 mn

1 h 30 mn

15 h 30 mn

Remarque concernant le calcul de S

Le coefficient S peut se calculer :

soit à partir de a , le paramètre d'identification de la courbe-type

r2pS = a 'K, a

- soit d'après les coordonnées du point de coïncidence [M, Ma]

4Tt

^\*.

- 37

. Remarque concernant le calcul de T et la durée du pompage d'essai

Toutes les courbes présentent au début une partie rectiligne de pente 1 .

Il est bien évident qu'il n'est pas possible de définir les caractéristiques de

l'aquifère à partir de cette seule portion de droite qui ne fait intervenir que

la capacité du puits. Pour pouvoir déterminer la transmissivité, il faut que la

durée du pompage d'essai soit suffisante pour qu'apparaisse un début de courbure.

Le graphique de la figure 15 montre que cette courbure est suffisamment prononcée

pour :

t =1°

c'est-à-dire pour a :î; S

10 r-^

(Tp = rayon du puits dans la zone de l'aquifère)

Le tableau ci-dessous donne des ordres de grandeur du temps t nécessaire

pour sortir de la partie linéaire des courbes-types calculées pour deux types

d'ouvrages de captage courants :

T(m2/s)

Type^.,^_^d ' ouvrage

10"2

10-3

10"'*

10"5

10"^

Puits mécanisé

(rp=0,50 m)

4 mn

42 mn

7 h

3 j29 j

Forage au marteau fondde trou

(rp=0,075 m)

'^' 10 s

'^ 1 mn

"^ 9,5 mn

1 h 30 mn

15 h 30 mn

Remarque concernant le calcul de S

Le coefficient S peut se calculer :

soit à partir de a , le paramètre d'identification de la courbe-type

r2pS = a 'K, a

- soit d'après les coordonnées du point de coïncidence [M, Ma]

4Tt

^\*.

- 38 -

Dans la pratique, on s'aperçoit qu'il est souvent possible de superposer

indifféremment la courbe observée sur plusieurs courbes-types correspondant à

des valeurs a différentes. Ce qui donne plusieurs valeurs S. Dans ce cas, les

valeurs de T restent toutefois raisonnablement proches les unes des autres.

Il est alors préférable de choisir la courbe-type dont l'indice a corres¬

pond à la valeur la plus probable du coefficient d'emmagasinement S en se basant

sur des considérations géologiques et hydrogéologiques.

. DONNEES DE TERRAIN

- Un pompage d'essai de longue durée a été réalisé au débit variable de 0,76 à

0,76 m^/h. Le forage a un diamètre de 4" dOO mm).

- Les mesures de rabattements (s) en fonction du temps de pompage (t) sont données

dans le tableau ci-dessous :

Temps depompage (t)

[seconde]

0,51

234

51020304560SO

120150180240300360420540720900

1 2001 5001 8002 4003 ODO

3 6004 2005 4006 6007 800g 000

10 200

Rabattement (s)

Cm)

0,0110,0230,0350,0560,0820,1050,200,310,410,550,690,951,141,321,511,902,242,522,773,203.704,074,454,684,824,965,085,155,195,245.265.325,365,40

Débit

(mVh)

0,765

0,778

0,792

0,782

QUESTIONS : Calculer le rayon de la section équivalente (A), T et S.

. REPONSES : Pour a 10 T = 4,6 X 10"^ m2/s S = 1,5 X 10"

Rayon de la section équivalente (A) = 0,0569 m

- 38 -

Dans la pratique, on s'aperçoit qu'il est souvent possible de superposer

indifféremment la courbe observée sur plusieurs courbes-types correspondant à

des valeurs a différentes. Ce qui donne plusieurs valeurs S. Dans ce cas, les

valeurs de T restent toutefois raisonnablement proches les unes des autres.

Il est alors préférable de choisir la courbe-type dont l'indice a corres¬

pond à la valeur la plus probable du coefficient d'emmagasinement S en se basant

sur des considérations géologiques et hydrogéologiques.

. DONNEES DE TERRAIN

- Un pompage d'essai de longue durée a été réalisé au débit variable de 0,76 à

0,76 m^/h. Le forage a un diamètre de 4" dOO mm).

- Les mesures de rabattements (s) en fonction du temps de pompage (t) sont données

dans le tableau ci-dessous :

Temps depompage (t)

[seconde]

0,51

234

51020304560SO

120150180240300360420540720900

1 2001 5001 8002 4003 ODO

3 6004 2005 4006 6007 800g 000

10 200

Rabattement (s)

Cm)

0,0110,0230,0350,0560,0820,1050,200,310,410,550,690,951,141,321,511,902,242,522,773,203.704,074,454,684,824,965,085,155,195,245.265.325,365,40

Débit

(mVh)

0,765

0,778

0,792

0,782

QUESTIONS : Calculer le rayon de la section équivalente (A), T et S.

. REPONSES : Pour a 10 T = 4,6 X 10"^ m2/s S = 1,5 X 10"

Rayon de la section équivalente (A) = 0,0569 m

:- a9

4. LE MILIEU KARSTIQUE - COMPORTEMENTS HVVR^VNAMI QUES

La mise en production d'un ouvrage ouvert au droit de cavités Karstiques

importantes induit des réactions en pression très différentes selon le lieu où

celles-ci sont mesurées.

Dans l'exemple des conduits karstiques connectés, l'évolution de la pres¬

sion peut être supposée identique à celle provoquée au puits lors de la mise en

production. Par contre, dans la matrice poreuse - en admettant que l'on dispose

de piézomètre ponctuel - les réactions peuvent être extrêmement diverses.

Le schéma ci-dessous présente l'assimilation du milieu réel è un milieu

type simplifié :

Covite v

^k^^^^^^^^^m.

Il apparaît que l'évolution en M de la dépression induite dans la cavité

sera très différente de celle qui pourrait être constatée en m', non seulement

en raison de la distance, mais également en raison de la présence au voisinage

de M de cavités connectées alors que M* est situé en position plus latérale.

4.1. '^om^q^mejntÂ^Jiyi^

Les paramètres que l'on peut rechercher dans un tel milieu sont :

le volume V des cavités connectées,

leur surface latérale équivalente A,

la perméabilité K de la matrice poreuse et son coefficient d'emmagasinement S,

les limites du milieu poreux.

:- a9

4. LE MILIEU KARSTIQUE - COMPORTEMENTS HVVR^VNAMI QUES

La mise en production d'un ouvrage ouvert au droit de cavités Karstiques

importantes induit des réactions en pression très différentes selon le lieu où

celles-ci sont mesurées.

Dans l'exemple des conduits karstiques connectés, l'évolution de la pres¬

sion peut être supposée identique à celle provoquée au puits lors de la mise en

production. Par contre, dans la matrice poreuse - en admettant que l'on dispose

de piézomètre ponctuel - les réactions peuvent être extrêmement diverses.

Le schéma ci-dessous présente l'assimilation du milieu réel è un milieu

type simplifié :

Covite v

^k^^^^^^^^^m.

Il apparaît que l'évolution en M de la dépression induite dans la cavité

sera très différente de celle qui pourrait être constatée en m', non seulement

en raison de la distance, mais également en raison de la présence au voisinage

de M de cavités connectées alors que M* est situé en position plus latérale.

4.1. '^om^q^mejntÂ^Jiyi^

Les paramètres que l'on peut rechercher dans un tel milieu sont :

le volume V des cavités connectées,

leur surface latérale équivalente A,

la perméabilité K de la matrice poreuse et son coefficient d'emmagasinement S,

les limites du milieu poreux.

40 -

Il apparaît lors de la mise en production, que la cavité V fournit, par

décompression une fraction du débit extrait : le coefficient de compressibilité

de l'eau intervient donc.

Pendant le même temps, la dépression provoquée dans la cavité induit, à

partir de sa surface latérale A, une onde de pression dans la matrice qui provo¬

que un afflux d'eau vers la cavité.

Dn conçoit ainsi que deux phénomènes se juxtaposent, l'eau produite à

l'ouvrage "provenant", avec une répartition variable dans le temps, de la décom¬

pression de l'eau contenue dans la cavité et de l'apport de le matrice poreuse.

4.2. ScMmitÁ^at¿on¿

Le contexte hydrogéologique d'un Karst est naturellement complexe dans

ses extensions géométriques. Aussi les schématisations qui peuvent en être faites

sont-elles nombreuses et le choix d'une d'entre elles ne peut-il être réalisé que

sur la base de données à caractère géologique (études structurales, genèse du

Karst, extensions latérales,...).

Les deux exemples présentent les équations de base è résoudre. La

méthode de détermination des paramètres sera explicitée par la suite.

4.2.1. Schématisation mono-dimenEionnelle

surface A

covite V

motrice poreuse

permëobilite' K (m/s)

porosité 0

ondition d la limite

40 -

Il apparaît lors de la mise en production, que la cavité V fournit, par

décompression une fraction du débit extrait : le coefficient de compressibilité

de l'eau intervient donc.

Pendant le même temps, la dépression provoquée dans la cavité induit, à

partir de sa surface latérale A, une onde de pression dans la matrice qui provo¬

que un afflux d'eau vers la cavité.

Dn conçoit ainsi que deux phénomènes se juxtaposent, l'eau produite à

l'ouvrage "provenant", avec une répartition variable dans le temps, de la décom¬

pression de l'eau contenue dans la cavité et de l'apport de le matrice poreuse.

4.2. ScMmitÁ^at¿on¿

Le contexte hydrogéologique d'un Karst est naturellement complexe dans

ses extensions géométriques. Aussi les schématisations qui peuvent en être faites

sont-elles nombreuses et le choix d'une d'entre elles ne peut-il être réalisé que

sur la base de données à caractère géologique (études structurales, genèse du

Karst, extensions latérales,...).

Les deux exemples présentent les équations de base è résoudre. La

méthode de détermination des paramètres sera explicitée par la suite.

4.2.1. Schématisation mono-dimenEionnelle

surface A

covite V

motrice poreuse

permëobilite' K (m/s)

porosité 0

ondition d la limite

- 41

La cavité de volume V est au contact avec la matrice poreuse de perméa¬

bilité K par une surface A. La matrice poreuse est limitée à une distance d par

une condition à préciser - flux nul ou potentiel imposé -.

La propagation de pression dans la matrice d'extension infinie est régie

par l'expression :

XAP (x,t) = APj^ erfc

2^^avec

X = distance à la paroi

t = temps

AP = dépression à l'instant t = 0 à la paroi

^ j-_p_r -..!.' Ij. ,r T K.h K_Kavec K = diffusivité ¡nota ''== = -;; r- = = = C*<|> l ^ ^s-h Sg C*<|>

En évaluant le flux F(t) à la surface A, à l'instant t - en considérant

le gradient de pression - on déduit :

x-0 \ ^"^ /x=0AP

C*(|)

0 l^TTKt

c étant la compressibilité apparente de l'eau (cf. annexe)

La prise en compte de la condition à la limite d peut être réalisée par

la méthode des images.

Dans le cas d'une limite à potentiel imposé, la pression induite par une

variation de pression constante AP appliquée à partir du temps t=0 s'établit à !

AP(x,t) = APo m=1

erfc /2(m-1)d-^x fc%\ erfc

Z (m,x,t, ) Z2(m,x,t)

le flux à la paroi étant

F(t) n = l^-ÛP ^â4x=0 0 H TtKt

-Z (m,o,t) -Z2(m,o,t)

- e

m=1

- 41

La cavité de volume V est au contact avec la matrice poreuse de perméa¬

bilité K par une surface A. La matrice poreuse est limitée à une distance d par

une condition à préciser - flux nul ou potentiel imposé -.

La propagation de pression dans la matrice d'extension infinie est régie

par l'expression :

XAP (x,t) = APj^ erfc

2^^avec

X = distance à la paroi

t = temps

AP = dépression à l'instant t = 0 à la paroi

^ j-_p_r -..!.' Ij. ,r T K.h K_Kavec K = diffusivité ¡nota ''== = -;; r- = = = C*<|> l ^ ^s-h Sg C*<|>

En évaluant le flux F(t) à la surface A, à l'instant t - en considérant

le gradient de pression - on déduit :

x-0 \ ^"^ /x=0AP

C*(|)

0 l^TTKt

c étant la compressibilité apparente de l'eau (cf. annexe)

La prise en compte de la condition à la limite d peut être réalisée par

la méthode des images.

Dans le cas d'une limite à potentiel imposé, la pression induite par une

variation de pression constante AP appliquée à partir du temps t=0 s'établit à !

AP(x,t) = APo m=1

erfc /2(m-1)d-^x fc%\ erfc

Z (m,x,t, ) Z2(m,x,t)

le flux à la paroi étant

F(t) n = l^-ÛP ^â4x=0 0 H TtKt

-Z (m,o,t) -Z2(m,o,t)

- e

m=1

42 -

L'évolution, sur le premier intervalle de temps de production, de la

pression répond alors à l'expression :

0P(1).dt = -C V P(2)-P(1)ÎP(2)-P(1)j + A.K dt ÎP(2)-P(1D j / Î-|^-.2. dt, ^2 (jt-Zj[m,o,-^) -Z2(m,o,^

I l -e -em=1

0P(1) = débit moyen produit pendant le premier (n° 1) pas de temps dt

P(1) = pression initiale au temps t=0 dans la cavité (référence P(1)£0)

P(2) = pression à évaluer à la fin du pas de temps dt

Par cette procédure, lorsque les paramètres physiques du réservoir sont

imposés, la pression P(2) ,peut être calculée. Utilisant celle-ci, on évalue alors

la pression P(3) à la fin du second pas de temps, le calcul étant conduit par

récurrence pour les pressions suivantes.

La pression P(n+1) à la fin du pas de temps n est calculée par l'équation

OP(n) = - C"V lP(n+1)-P(n)

'l)-P(n)

ip(nH

+ A.K.|P(n+'

A.K.(p(n)-P(n- 1)

A.K. M

+ A.K.(

P(3) - P(2)

P(2) - P(1)

. dt.

. dt.

Cl J 1

TT.KVv"i

I2 2

-Zj (m.o.t^_,|) -Z2(m,o,tj^_/|)-e -e

çn I 1

'TT.K<K

m=1

m=1

-e

-Z^(m,o,t^)-e

-Z^(m,o,tn)

avec t = (j-0,5)dt pour les valeurs successives j=1,n.

Dans le cas d'une limite à flux nul, la méthode des images implique des

changements de signe dans les différents termes, mais le principe de calcul estrigoureusement identique.

42 -

L'évolution, sur le premier intervalle de temps de production, de la

pression répond alors à l'expression :

0P(1).dt = -C V P(2)-P(1)ÎP(2)-P(1)j + A.K dt ÎP(2)-P(1D j / Î-|^-.2. dt, ^2 (jt-Zj[m,o,-^) -Z2(m,o,^

I l -e -em=1

0P(1) = débit moyen produit pendant le premier (n° 1) pas de temps dt

P(1) = pression initiale au temps t=0 dans la cavité (référence P(1)£0)

P(2) = pression à évaluer à la fin du pas de temps dt

Par cette procédure, lorsque les paramètres physiques du réservoir sont

imposés, la pression P(2) ,peut être calculée. Utilisant celle-ci, on évalue alors

la pression P(3) à la fin du second pas de temps, le calcul étant conduit par

récurrence pour les pressions suivantes.

La pression P(n+1) à la fin du pas de temps n est calculée par l'équation

OP(n) = - C"V lP(n+1)-P(n)

'l)-P(n)

ip(nH

+ A.K.|P(n+'

A.K.(p(n)-P(n- 1)

A.K. M

+ A.K.(

P(3) - P(2)

P(2) - P(1)

. dt.

. dt.

Cl J 1

TT.KVv"i

I2 2

-Zj (m.o.t^_,|) -Z2(m,o,tj^_/|)-e -e

çn I 1

'TT.K<K

m=1

m=1

-e

-Z^(m,o,t^)-e

-Z^(m,o,tn)

avec t = (j-0,5)dt pour les valeurs successives j=1,n.

Dans le cas d'une limite à flux nul, la méthode des images implique des

changements de signe dans les différents termes, mais le principe de calcul estrigoureusement identique.

- 43 -

h. 1.2. Schématisation radiale

Dn considère dans ce cas que les cavités Karstiques connectées sont équi¬

valentes à un cylindre de rayon r^ et de hauteur h, hauteur de la formation aqui¬

fére. Autour de cette cavité, la matrice poreuse s'étend à l'infini ou est limitée

sur un cercle de rayon R par une condition particulière (flux nul ou potentiel

imposé) .

Le volume de la cavité équivalente est alors : V = rr r2 . h .

La procédure de calcul de pression dans la cavité cylindrique est similaire

à celle adoptée dans le schéma mono-dimensionnel : on admet que sur chaque pas de

temps dt, le débit produit provient de la décompression de l'eau dans le volume V

et du flux induit à la périphérie de ce volume par la décompression de la matrice

poreuse.

L'évaluation de ce flux est réalisée en utilisant les fonction G(t) -expri¬

mant la décroissance du débit en fonction du temps dans un ouvrage où le niveau

est abaissé d'une valeur s à partir du temps t=0 :

qCt) 2 TT T Sp G(t)

T tavec T =

r2 Sc

T = K . h

c Ü n* A K

1

T - ^^1 r2 c*¿1 c *

- 43 -

h. 1.2. Schématisation radiale

Dn considère dans ce cas que les cavités Karstiques connectées sont équi¬

valentes à un cylindre de rayon r^ et de hauteur h, hauteur de la formation aqui¬

fére. Autour de cette cavité, la matrice poreuse s'étend à l'infini ou est limitée

sur un cercle de rayon R par une condition particulière (flux nul ou potentiel

imposé) .

Le volume de la cavité équivalente est alors : V = rr r2 . h .

La procédure de calcul de pression dans la cavité cylindrique est similaire

à celle adoptée dans le schéma mono-dimensionnel : on admet que sur chaque pas de

temps dt, le débit produit provient de la décompression de l'eau dans le volume V

et du flux induit à la périphérie de ce volume par la décompression de la matrice

poreuse.

L'évaluation de ce flux est réalisée en utilisant les fonction G(t) -expri¬

mant la décroissance du débit en fonction du temps dans un ouvrage où le niveau

est abaissé d'une valeur s à partir du temps t=0 :

qCt) 2 TT T Sp G(t)

T tavec T =

r2 Sc

T = K . h

c Ü n* A K

1

T - ^^1 r2 c*¿1 c *

- 44 -

Les valeurs de la fonction G(t) ont été calculées par JACOB et LOHMAN

Elle est tabulée et admet des simplifications :

1T < 0,05 G(t) # 0,50 +

^ttT

T > 500 G(t) # 2/£n(2,25T)

Le volume d'eau produit lors du premier pas de temps s'établit alors à

QP(1).dt = - C* V (P(2)-P(1)) -^ 2 tt K h . { P(2)-P(1)| . dt . G '"^ ^^''^Îp(2)-P(1)J * 2 TT K h . ( P(2)-P(1)) .

r2 C*())c

avec V = Tr.r2 ,hc

Les termes à évaluer sont alors r^, , h , K , en admettant que les autres

paramètres - C* et <|) - peuvent être estimés par d'autres méthodes d'investigation

Lorsque le débit de production évolue lors du test de production, les

valeurs sont discrétisées suivant le pas de temps choisi et l'on établit pour

chaque pas de temps successif une équation comparable à celle du § 4.2.1. dans

laquelle les dépressions élémentaires intervenues lors de chacun des pas de

temps précédents sont affectées d'une fonction G(t^), Tj prenant en compte le

délai depuis la dépression considéré.

4.3. |ya'¿"4^on_de¿_ga4ameí'Leó

Le milieu Karstique peut apparaître - pour les concepts de 1' hydrogéo¬

logue - comme une "évolution extrême" du classique milieu poreux en petit, l'étap

intermédiaire étant le milieu fissuré comportant un nombre important de chemine¬

ments, les conduites- karstiques étant en nombre limité.

Les paramètres qui sont recherchés dans l'étude de tels milieux Karsti¬

ques sont plus nombreux que pour les milieux poreux. En effet, si la perméabilité

et la porosité de la matrice poreuse (i.e. le coefficient d'emmagasinement) sont

requis, le volume global de la cavité et un paramètre représentatif de son exten¬

sion peuvent être recherchés.

(1) JACOB C.E. et LOHMAN S.W. (1952) : "Nonsteady flow to a well of constantdrawdown in an extensive aquifer" .- Trans. American Geophysical Union,vol. 33, n° 4, Août 1952.

- 44 -

Les valeurs de la fonction G(t) ont été calculées par JACOB et LOHMAN

Elle est tabulée et admet des simplifications :

1T < 0,05 G(t) # 0,50 +

^ttT

T > 500 G(t) # 2/£n(2,25T)

Le volume d'eau produit lors du premier pas de temps s'établit alors à

QP(1).dt = - C* V (P(2)-P(1)) -^ 2 tt K h . { P(2)-P(1)| . dt . G '"^ ^^''^Îp(2)-P(1)J * 2 TT K h . ( P(2)-P(1)) .

r2 C*())c

avec V = Tr.r2 ,hc

Les termes à évaluer sont alors r^, , h , K , en admettant que les autres

paramètres - C* et <|) - peuvent être estimés par d'autres méthodes d'investigation

Lorsque le débit de production évolue lors du test de production, les

valeurs sont discrétisées suivant le pas de temps choisi et l'on établit pour

chaque pas de temps successif une équation comparable à celle du § 4.2.1. dans

laquelle les dépressions élémentaires intervenues lors de chacun des pas de

temps précédents sont affectées d'une fonction G(t^), Tj prenant en compte le

délai depuis la dépression considéré.

4.3. |ya'¿"4^on_de¿_ga4ameí'Leó

Le milieu Karstique peut apparaître - pour les concepts de 1' hydrogéo¬

logue - comme une "évolution extrême" du classique milieu poreux en petit, l'étap

intermédiaire étant le milieu fissuré comportant un nombre important de chemine¬

ments, les conduites- karstiques étant en nombre limité.

Les paramètres qui sont recherchés dans l'étude de tels milieux Karsti¬

ques sont plus nombreux que pour les milieux poreux. En effet, si la perméabilité

et la porosité de la matrice poreuse (i.e. le coefficient d'emmagasinement) sont

requis, le volume global de la cavité et un paramètre représentatif de son exten¬

sion peuvent être recherchés.

(1) JACOB C.E. et LOHMAN S.W. (1952) : "Nonsteady flow to a well of constantdrawdown in an extensive aquifer" .- Trans. American Geophysical Union,vol. 33, n° 4, Août 1952.

.- .45

Suivant la schématisation adoptée (cf. § 4.2.), il peut s'agir pour

caractériser l'extension, d'apprécier la surface latérale A ou le rayon r^

en fonction de la hauteur h.

On conçoit de ce fait qu'un test de production unique peut induire des

évolutions du rabattement en fonction du temps susceptibles d'être reproduites,

avec une précision souhaitée, en adoptant plusieurs séries de paramètres. En

effet, le nombre de paramètres est par rapport au milieu porqux classique.

plus important (paramètres V volume, A surface, K perméabilité de la matrice,

(j) porosité de la matrice, C coefficient de compres

même sans tenir compte du rôle éventuel de limites.

(j) porosité de la matrice, C coefficient de compressibilité apparent de fluide).

Sans qu'une méthodologie puisse, dès à présent, être recommandée, on peut

donc présager, que la détermination des paramètres hydrodynamiques d'un tel mi¬

lieu requiert un ensemble de tests, qui induiront chacun une perturbation diffé¬

rente au sein de la formation étudiée, dont on recherchera la reproduction par

simulations.

4.4. ^^^l^le^_dz_cm\^qJUmznt

A titre indicatif, les comportements théoriques d'un milieu aquifére com¬

portant une cavité V - de volume variable - ont été étudiés. Les abaissements sont

fournis aux figures 16 et 17.

Il s'agit d'un milieu :

- de perméabilité de matrice K = 10"^ m/s- ., -

- de porosité de matrice 4" = 3 % . ,

- dont laj cavité présente une surface latérale équivalente A = 50 000 ;ra2.

Simulé suivant le schéma monodimensionnel, on admet que l'extension

latérale du milieu est d = 5 000 m. Le pompage est réalisé au débit constant

de 20 m^/h.,pendant 12 heures. -_ - ,r ^ -. ,. ^r

Les volumes V des cavités sont respectivement de :

- 200 000 m^ J 100 000 m^ j 50 000 m^ j 20 000 m^ r 10'-=0D0 m^ ; 5 OQO m^ et 500 m^.

On constate que pour les volumes faibles V < 20 ODO m^, les comportements

deviennent relativement comparables.

.- .45

Suivant la schématisation adoptée (cf. § 4.2.), il peut s'agir pour

caractériser l'extension, d'apprécier la surface latérale A ou le rayon r^

en fonction de la hauteur h.

On conçoit de ce fait qu'un test de production unique peut induire des

évolutions du rabattement en fonction du temps susceptibles d'être reproduites,

avec une précision souhaitée, en adoptant plusieurs séries de paramètres. En

effet, le nombre de paramètres est par rapport au milieu porqux classique.

plus important (paramètres V volume, A surface, K perméabilité de la matrice,

(j) porosité de la matrice, C coefficient de compres

même sans tenir compte du rôle éventuel de limites.

(j) porosité de la matrice, C coefficient de compressibilité apparent de fluide).

Sans qu'une méthodologie puisse, dès à présent, être recommandée, on peut

donc présager, que la détermination des paramètres hydrodynamiques d'un tel mi¬

lieu requiert un ensemble de tests, qui induiront chacun une perturbation diffé¬

rente au sein de la formation étudiée, dont on recherchera la reproduction par

simulations.

4.4. ^^^l^le^_dz_cm\^qJUmznt

A titre indicatif, les comportements théoriques d'un milieu aquifére com¬

portant une cavité V - de volume variable - ont été étudiés. Les abaissements sont

fournis aux figures 16 et 17.

Il s'agit d'un milieu :

- de perméabilité de matrice K = 10"^ m/s- ., -

- de porosité de matrice 4" = 3 % . ,

- dont laj cavité présente une surface latérale équivalente A = 50 000 ;ra2.

Simulé suivant le schéma monodimensionnel, on admet que l'extension

latérale du milieu est d = 5 000 m. Le pompage est réalisé au débit constant

de 20 m^/h.,pendant 12 heures. -_ - ,r ^ -. ,. ^r

Les volumes V des cavités sont respectivement de :

- 200 000 m^ J 100 000 m^ j 50 000 m^ j 20 000 m^ r 10'-=0D0 m^ ; 5 OQO m^ et 500 m^.

On constate que pour les volumes faibles V < 20 ODO m^, les comportements

deviennent relativement comparables.

- 46 -

Il faut noter que le milieu aquifére renferme un .volume d'eau théorique

V = A . d . ((>

= 50 000 X 5 000 X 0,03 = 7 500 000 m^.

Il est évident que le volume V .^ 20 000 m^ est alors négligeable devant

V et que dans ce contexte la décompression de l'eau de la cavité V intervient

peu sur le phénomène relatif à la décompression induite dans le milieu poreux.

oo o

L'examen de contextes théoriques impliquant - a priori ^' moins d'hypo¬

thèses simplificatrices que ce schéma mono-dimensionnel, par rapport aux contexti

réels dont la connaissance est très imparfaite, est un axe actuel de recherche.

- 46 -

Il faut noter que le milieu aquifére renferme un .volume d'eau théorique

V = A . d . ((>

= 50 000 X 5 000 X 0,03 = 7 500 000 m^.

Il est évident que le volume V .^ 20 000 m^ est alors négligeable devant

V et que dans ce contexte la décompression de l'eau de la cavité V intervient

peu sur le phénomène relatif à la décompression induite dans le milieu poreux.

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réels dont la connaissance est très imparfaite, est un axe actuel de recherche.

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< A»K"0.05 PORO/K-3.0 E+04 DEBIT- 20 M3/H SUR 12 HEURES >

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< A»K-0.05 PORO/K-3.0 E+04 DEBIT -20 M3/H SUR 12 HEURES >

10

- 49

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1] BERTRAND '-(L".)>"-'í3RINGARTEN (-AíCí ) ~J978---.- Détermination _des carac-jtèreè.hyHrauliquBS dea aquifères fissurés, par .pompage dlessai-en rég-ime transitoire-r Application aux nappes de la crate .-3é- p. - -...- ..^. -.__.- ^-- .»-

[2] BERTRAND-iL.).., OURANK-,^-,-), ^ÙG>t-.:4B,) 19ai ^-Î Détermi nat i-on de- laperméabilité d'un milieu rocheux fractu'ré. 'Aspects théoriques

-e±_-pratiques .- BRGM*,:'tiépar±ement.-Génie_Géqlc3gique. Note, tech-- . nique n° 19/61, 33 p. ' '^ . v '*- ^^ :î1 ^ "^ :""'- ^ ^

-" i-[3] FÛRK/iâlIWXÇJL (J..1 .ia72.,.^J[jTlBrpréiatÍDn iJes-doníiEes ide.. pompaga

_ " d'essai pour l' évaluation ^der;]paramètres..* aquifères.. Aidl.-. jnémoire (2ème- édition ~,réviB-éeíet sûmplétée) .^ B.R.G.M. r-V -Rapport 72 SGN 273 AMg'. --ï - -

[4] (3BINGARtËN (A.C. ) , WITHERSPOolsi (P'iA.) 1972 '.- A method of analysing: pump test-data from fractured - aquifer - .-^-Proceedings of -the

symposium on the percolation through fissured rocK - Interna-fe-ional- SoG-iety- for RoeK- Mechanics,- Stuttgart (Germany)-.-

[5] G^ING/fl^RTEN (A.C.), RAMEY (H.J.) 1974 .- Unsteady state pressurei z -di«trifeu4áon~Gr-eated-fey-a-we-l~l--wí-tí^ a- s4flgl-e --infinite cofiduc-

-¿ 3"ivity 'vertical-fracture -.Li'nsteady. state pressure'-dîstËîbution^ -created- by a ~weH with- a single horizon-tal fracture, partial

."Pénétration, or réstrücted entry ".- Soc. Pet. Fng. J. áoQt 1974.

[6] Ki^ZEMI (H.) 1969 .- Pressure transient analysis of naturally fractured> TeservdUB with urfiform fracture distribution .- Soc. Pet. Eng.;; J. (dec. 1964), 451-462, Trans., AIME 246.

[7] de MARSILY (G.) 1961 .- Hydrogéologie quantitative .- Masson, Collection..: Sciences de la terre, 215 p.

" JS -S 2 a v i'i z- a -TS «n a[8] PAPADO§OUL(^ (I.^.) 1^65 «- Ntínsteéysiy (1565) ,f low-ito well in ani-infinite

T'anisdtropic aq'uifef .- 'A.I.S.H., Actes du colloque de DubrovniK"Hydrologie des roç^fi^, P-i&Buré,es;c.\'P3i 21-31.

[9] PAPADOPOULOS (I.S.), COOPER (H.H.Jr) 1967 .- Drawdown. in a. well of largediameter' .-'Water''Res'ôurcirs'^R%setrcK."'{/M. 3/ p.''24Í-2-44:

'-. - --í ;íi.. c.- 1afi~':3 "í 10":ïj"t<- -^ "i '^

^ ': 0 ' '. , ' ? .: -:_ i'C i" " >?? ^c" jèir. - -:

[10] REISS (L.H.) 1960 .- Réservoir engineering en milieu fissuré .- InstitutFrançais du Pétrole - Ecole Nationale Supérieure du Pétrole etdes Moteurs. Technip. 136 p.

- 49

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

[1] BERTRAND '-(L".)>"-'í3RINGARTEN (-AíCí ) ~J978---.- Détermination _des carac-jtèreè.hyHrauliquBS dea aquifères fissurés, par .pompage dlessai-en rég-ime transitoire-r Application aux nappes de la crate .-3é- p. - -...- ..^. -.__.- ^-- .»-

[2] BERTRAND-iL.).., OURANK-,^-,-), ^ÙG>t-.:4B,) 19ai ^-Î Détermi nat i-on de- laperméabilité d'un milieu rocheux fractu'ré. 'Aspects théoriques

-e±_-pratiques .- BRGM*,:'tiépar±ement.-Génie_Géqlc3gique. Note, tech-- . nique n° 19/61, 33 p. ' '^ . v '*- ^^ :î1 ^ "^ :""'- ^ ^

-" i-[3] FÛRK/iâlIWXÇJL (J..1 .ia72.,.^J[jTlBrpréiatÍDn iJes-doníiEes ide.. pompaga

_ " d'essai pour l' évaluation ^der;]paramètres..* aquifères.. Aidl.-. jnémoire (2ème- édition ~,réviB-éeíet sûmplétée) .^ B.R.G.M. r-V -Rapport 72 SGN 273 AMg'. --ï - -

[4] (3BINGARtËN (A.C. ) , WITHERSPOolsi (P'iA.) 1972 '.- A method of analysing: pump test-data from fractured - aquifer - .-^-Proceedings of -the

symposium on the percolation through fissured rocK - Interna-fe-ional- SoG-iety- for RoeK- Mechanics,- Stuttgart (Germany)-.-

[5] G^ING/fl^RTEN (A.C.), RAMEY (H.J.) 1974 .- Unsteady state pressurei z -di«trifeu4áon~Gr-eated-fey-a-we-l~l--wí-tí^ a- s4flgl-e --infinite cofiduc-

-¿ 3"ivity 'vertical-fracture -.Li'nsteady. state pressure'-dîstËîbution^ -created- by a ~weH with- a single horizon-tal fracture, partial

."Pénétration, or réstrücted entry ".- Soc. Pet. Fng. J. áoQt 1974.

[6] Ki^ZEMI (H.) 1969 .- Pressure transient analysis of naturally fractured> TeservdUB with urfiform fracture distribution .- Soc. Pet. Eng.;; J. (dec. 1964), 451-462, Trans., AIME 246.

[7] de MARSILY (G.) 1961 .- Hydrogéologie quantitative .- Masson, Collection..: Sciences de la terre, 215 p.

" JS -S 2 a v i'i z- a -TS «n a[8] PAPADO§OUL(^ (I.^.) 1^65 «- Ntínsteéysiy (1565) ,f low-ito well in ani-infinite

T'anisdtropic aq'uifef .- 'A.I.S.H., Actes du colloque de DubrovniK"Hydrologie des roç^fi^, P-i&Buré,es;c.\'P3i 21-31.

[9] PAPADOPOULOS (I.S.), COOPER (H.H.Jr) 1967 .- Drawdown. in a. well of largediameter' .-'Water''Res'ôurcirs'^R%setrcK."'{/M. 3/ p.''24Í-2-44:

'-. - --í ;íi.. c.- 1afi~':3 "í 10":ïj"t<- -^ "i '^

^ ': 0 ' '. , ' ? .: -:_ i'C i" " >?? ^c" jèir. - -:

[10] REISS (L.H.) 1960 .- Réservoir engineering en milieu fissuré .- InstitutFrançais du Pétrole - Ecole Nationale Supérieure du Pétrole etdes Moteurs. Technip. 136 p.

50 -

[11] BERTRAND (L.), FEUGA (B.), NOYER (M.L. ), THIERY (D. ) 1980 .- Rocheschaudes 'haute ''t'empéraÏLri'e '^HDT DRY 'roCKS'^-' Ccîntribution à la

" "rflétffSdoIbgTê dê"là dét'êfrtiinàÇion'^dês 'cîafâctêristiques hydrau¬liques des milieux rocheux fracturés naturellement ou artifi¬ciellement .- B.R.G.M., Rapport 80 SGN 029 GEG.

[12] WARREN (J.E.), ROOT (P.J.) 1963 .- The behaviour of naturally frac¬tured reservoirs .- Soc. Pet. Eng. J., sept. 1963, p. 245-255,Trans., AIME 228.

[13] . WARREN (J.E.)., ROOT . (P. J.) 1965 .-Discussion of unsteady state beha¬viour in a naturally fractured reservoir .- Soc. Pet. Eng. J.(march 1965), p. 64-B5,- Trans. , "AIMÉ 234. - ---'

50 -

[11] BERTRAND (L.), FEUGA (B.), NOYER (M.L. ), THIERY (D. ) 1980 .- Rocheschaudes 'haute ''t'empéraÏLri'e '^HDT DRY 'roCKS'^-' Ccîntribution à la

" "rflétffSdoIbgTê dê"là dét'êfrtiinàÇion'^dês 'cîafâctêristiques hydrau¬liques des milieux rocheux fracturés naturellement ou artifi¬ciellement .- B.R.G.M., Rapport 80 SGN 029 GEG.

[12] WARREN (J.E.), ROOT (P.J.) 1963 .- The behaviour of naturally frac¬tured reservoirs .- Soc. Pet. Eng. J., sept. 1963, p. 245-255,Trans., AIME 228.

[13] . WARREN (J.E.)., ROOT . (P. J.) 1965 .-Discussion of unsteady state beha¬viour in a naturally fractured reservoir .- Soc. Pet. Eng. J.(march 1965), p. 64-B5,- Trans. , "AIMÉ 234. - ---'

- 51 -

ANNEXE : LES COEFFICIENTS DE COMPRESSIBILITE (C)

1. DEFINITION

^ Lé 'coefficient 'de compressibilité (C) est égal à :

^ = - ÂP

Cette formule exprime la variation de'volume AV d'un volume ini¬

tial V pour une .modification -de -pression AP. --^ -.---

2. APPLICATION EN HYDROGEOLOGIE - COMPRESSIBILITE APPARENTE C DE L'EAU

En admettant, pour le milieu naturel, le modèle ci-dessous :

- - eou ~ -

mairie»

^eporosité = ^ =V,m

la compressibilité apparente C de la fracture eau peut s'écrire

C (j) = Cg iJ) -^ (l+if.) C|m

,* ^e ó + d-^*) ^ff- ' Í C +llc^e * ^m

avec Ce = coefficient de compressibilité de l'eau

Cj^ = coefficient de compressibilité de la matrice rocheuse.

3. RELATION ENTRE LE COEFFICIENT D'EMMAGASINEMENT (S) DES POMPAGES D'ESSAI

ET LE COEFFICIENT DE COMPRESSIBILITE APPARENT (C*)

Le coefficient d'emmagasinement (S) déduit de l'interprétation

des pompages d'essai est égal à :

S « Sg X e

- 51 -

ANNEXE : LES COEFFICIENTS DE COMPRESSIBILITE (C)

1. DEFINITION

^ Lé 'coefficient 'de compressibilité (C) est égal à :

^ = - ÂP

Cette formule exprime la variation de'volume AV d'un volume ini¬

tial V pour une .modification -de -pression AP. --^ -.---

2. APPLICATION EN HYDROGEOLOGIE - COMPRESSIBILITE APPARENTE C DE L'EAU

En admettant, pour le milieu naturel, le modèle ci-dessous :

- - eou ~ -

mairie»

^eporosité = ^ =V,m

la compressibilité apparente C de la fracture eau peut s'écrire

C (j) = Cg iJ) -^ (l+if.) C|m

,* ^e ó + d-^*) ^ff- ' Í C +llc^e * ^m

avec Ce = coefficient de compressibilité de l'eau

Cj^ = coefficient de compressibilité de la matrice rocheuse.

3. RELATION ENTRE LE COEFFICIENT D'EMMAGASINEMENT (S) DES POMPAGES D'ESSAI

ET LE COEFFICIENT DE COMPRESSIBILITE APPARENT (C*)

Le coefficient d'emmagasinement (S) déduit de l'interprétation

des pompages d'essai est égal à :

S « Sg X e

52

avec Sg = coefficient d'emmagasinement spécifique relatif à un volumeunitaire de milieu aquifére

e = épaisseur du milieu aquifére.

Le coefficient d'emmagasinement (Sg) peut aussi s'écrire :

Sg = C* X «^

soit S = C* X e X (j, = e (Cg (j) + (l+ij)) Cj)

4. VALEURS DES COEFFICIENTS DE COMPRESSIBILITE (Ce) et (¤)

^''- £SEÍÍÍ£ÍfDÍ»^e_comgressib2Í2Í£_^e_L¿eau (Cg)

Des études précises ont permis de dresser des courbes donnant

les variations de Cg en fonction de la température et de la pression de

l'aquifère (fig. 1).

Dans des conditions usuelles :

P gisement ^ 50 Kg/cm2

T eau '\' 30°C

La valeur du coefficient de compressibilité Cg de l'eau estproche de Cg = -4,6 x 10"^ mVmVbar.

4.2. Ç2£ÎÎi£iÊDÎ_^S_£2S!EEÊSSifeiiiîÉ_de__J.a_matr2£e_ rocheuse ( C^ )

Des essais de laboratoire fournissent les ordres de grandeursuivants

Nature de la matrice -C^ (m^/m^/bar)rocheuse

Calcaire 13 à 44 x lO"'^

Granite 42 à 92 x 10"'^

Grès 31 à 59 x 10""^

Grès houiller 80 à 95 x 10"^

Marbre 15 à 100 x 10~^

oo o

52

avec Sg = coefficient d'emmagasinement spécifique relatif à un volumeunitaire de milieu aquifére

e = épaisseur du milieu aquifére.

Le coefficient d'emmagasinement (Sg) peut aussi s'écrire :

Sg = C* X «^

soit S = C* X e X (j, = e (Cg (j) + (l+ij)) Cj)

4. VALEURS DES COEFFICIENTS DE COMPRESSIBILITE (Ce) et (¤)

^''- £SEÍÍÍ£ÍfDÍ»^e_comgressib2Í2Í£_^e_L¿eau (Cg)

Des études précises ont permis de dresser des courbes donnant

les variations de Cg en fonction de la température et de la pression de

l'aquifère (fig. 1).

Dans des conditions usuelles :

P gisement ^ 50 Kg/cm2

T eau '\' 30°C

La valeur du coefficient de compressibilité Cg de l'eau estproche de Cg = -4,6 x 10"^ mVmVbar.

4.2. Ç2£ÎÎi£iÊDÎ_^S_£2S!EEÊSSifeiiiîÉ_de__J.a_matr2£e_ rocheuse ( C^ )

Des essais de laboratoire fournissent les ordres de grandeursuivants

Nature de la matrice -C^ (m^/m^/bar)rocheuse

Calcaire 13 à 44 x lO"'^

Granite 42 à 92 x 10"'^

Grès 31 à 59 x 10""^

Grès houiller 80 à 95 x 10"^

Marbre 15 à 100 x 10~^

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