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7/30/2019 Interprtation gomtrique de la drive complexe
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Interprtation gomtrique de la drive
complexe
Essaidi Ali
Jeudi 16 Mai 2013
Soit U un ouvert non vide de C et f : U C.On identifie C au plan
R2 muni de la base canonique (e1, e2).
1 Interprtation gomtrique de largument de la dri-
ve complexe :
Soit Iun intervalle non vide de R et : I U de classe C1 sur
I.Soit t0 I. On pose z0 = (t0) et on suppose que f est drivable en
z0.Si (t0) = 0 alors la tangente en z0 la courbe dquation z = (t)
existe et estdrige par le vecteur u daffixe (t0).Si, en plus, f(z0)
= 0 alors la tangente en f(z0) la courbe f() existe et est drigepar
le vecteur v daffixe (f )(t0) = f
((t0))(t0) = f
(z0)(t0).
On a (u, v) Arg(f(z0)(t0)) Arg(
(t0))[2] Arg(f(z0)) + Arg(
(t0)) Arg((t0))[2] Arg(f
(z0))[2].
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On dduit que largument de f(z0) est exactement langle entre les
deux vecteurs u etv directeurs, respectivement, des tangentes en z0
et f(z0) et f().
2 Principe de conservation des angles :
Soit Iun intervalle non vide de R et 1, 2 : I U de classe C1 sur
I.
On suppose que les courbes 1 et 2 dquations respectives z = 1(t)
et z = 2(t)se rencontrent en un point z0 U.Il existe alors t1, t2 I
tels que z0 = 1(t1) = 2(t2).On suppose que
1(t1) = 0,
2(t2) = 0 et f(z0) = 0 donc :
La tangente en z0 la courbe 1 existe et est drige par le vecteur
u1 daffixe1
(t0). La tangente en z0 la courbe 2 existe et est drige par le
vecteur u2 daffixe2
(t0).
La tangente en f(z0) la courbe f(1) existe et est drige par le
vecteur v1daffixe (f 1)
(t1) = f(1(t1))
1(t1) = f
(z0)
1(t1).
La tangente en f(z0) la courbe f(2) existe et est drige par le
vecteur v2daffixe (f 1)
(t2) = f(1(t2))
1(t2) = f(z0)
1(t2).Daprs linterprtation de largument de f(z0), (u1, v1) (u2,
v2)[2] Arg(f
(z0))[2].Donc, daprs Chasles, (v1, v2) (v1, u1) + (u1, u2) +
(u2, v2)[2] (u1, v1) +(u1, u2) + (u2, v2)[2] (u1, u2)[2].
Langle entre 1 et 2 en z0 est la mme que celle entre f(1) et
f(2) en f(z0). Ondit quil y a conservation des angles en
z0.Remarques :
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Le rsultat est faux si f(z0) = 0. En effet, pour f(z) = z2 et z0
= 0, les
axes R et iR sont perpendiculaires en 0 alors que leurs images
ne le sont pas car
f(R) = f(iR) = R. On suppose que f(z0) = 0. Lorsque les courbes
1 et 2 sont perpendiculares
en z0 il en est de mme pour f(1) et f(2) en f(z0). On dit quil y
a conserva-tion dorthogonalit.
Exemple 01 : Images dun carr par une famille de fonctions
holomorphes :
On voit que, mme aprs dformation du carr par les diffrentes
fonctions holo-
morphes, on obtient toujours une courbe avec quatre angles
droits.
Exemple 02 : Images dune grille par une famille de fonctions
holomorphes :
On obtient, chaque fois, une famille de courbes perpendiculaires
aux points de ren-
contre.
3 Les lignes de niveau ef= et mf= :
On pose V = {(x, y) R2/x + iy U}, P : (x, y) V ef(x + iy) etQ :
(x, y) V mf(x + iy).
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Donc z U de forme algbrique z = x + iy on a f(z) = P(x, y) +
iQ(x, y).Soient , R et on suppose que les courbes dquations P(x, y)
= et Q(x, y) =
se rencontrent en un point (x0, y0) V et f drivable en z0 = x0 +
iy0 avec f(z0) =0.
O n a f(z0) =Px
(x0, y0)iPy
(x0, y0) = 0 donc gradP(x0, y0) =Px
(x0, y0),Py
(x0, y0)
=
(0, 0).Le vecteur gradP(x0, y0) est alors directeur de la
normale la courbe dquationP(x, y) = en (x0, y0).
O n a f(z0) =Qy
(x0, y0)+iQx
(x0, y0) = 0 donc gradQ(x0, y0) =Qx
(x0, y0),Qy
(x0, y0)
=
(0, 0).Le vecteur gradQ(x0, y0) est alors directeur de la
normale la courbe dquationQ(x, y) = en (x0, y0).
On a, daprs les conditions de Cauchy-Riemann, gradQ(x0, y0)
=Qx
(x0, y0),Qy
(x0, y0)
=
Py (x0, y0), Px (x0, y0)
donc < gradP(x0, y0), gradQ(x0, y0) >= 0. On dduit
que les vecteurs gradP(x0, y0) et gradQ(x0, y0) sont orthogonaux
et par suite lescourbes P(x, y) = et Q(x, y) = sont
perpendiculaires en (x0, y0).
Exemple : Lignes de niveau de la partie relle et la partie
imaginaire dune famille
de fonctions holomorphes :
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Lorthogonalit des courbes aux points de rencontre est
claire.
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