Interrogation 2 :-)

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. Y DÉ = 4k¥ I I = que1 1\ 2 1 : - )2

[ ¥ ]a -- * ¥./ \ Klm : - )Wma

TCL) = f -T u t f- To : - )

Et lethermique…

Les équations de continuité et de quantité de mouvement ne font pas intervenir la température : on peut résoudre la dynamique de l’écoulement sans tenir compte des aspects thermiques !

Ecoulement incompressible d’un fluide visqueux newtonien à paramètres constants.

Une fois la dynamique de l’écoulement connue, on peut ensuite résoudre le problème thermique…

Etape 1

Etape 2

Transfert de chaleurétabli

L’écoulement est établi lorsque le profil de la différence de températures du fluide et de la paroi reste constante le long de l’axe de la coonduite !

Cela suppose que l’écoulement est établi !

Deux cas particuliers Tw linéaire

Tw constanteSi Tw constante…

Tw linéaire

Tw constanteSi Tw constante…

Un nombre adimensionnelqui mesure le rapportentre deux effets !

Effets de convectionTransport de l’énergie

Effets de dissipation visqueuseTransformation d’énergie

My L E PETITF R E R E D E R e iPECLET : - ) TRANSPORT DIFFUSION

D E D EQUANTITEM NceuaNTItEDEMVTis-_apfEII-

u@Y.Ip060%1 0¥. )

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2 )D E Puissance

decudtlt) pe=zà=ç¥=

😉

pez.ie#IE--l%ffp....Pee..uf--

Le petit frère de Reynolds : Péclet

Effets de convectionTransport de l’énergie

Effets de conductionDiffusion de l’énergie

Oui : c’est bien le petit frère !

Effets d’inertieTransport de la quantité de mouvementc

Effets visqueuxDiffusion de la quantité de mouvement

Nombre de Péclet

Born: 10 Feb 1793 in Besancon, France

Died: 6 Dec 1857 in Paris, France

Puissancetransportée

Puissancediffusée

à savoir !

caractérise le transfert de chaleur d’un écoulement d’un fluide !

Nombre de Prandtl

Born: 1875 in Freising, Germany

Died: 1953 in Gottingen, Germany

Peclet = Effets de convection / effets de conduction

Reynold = Effets d’inertie / effets de viscositéà savoir !

caractérise un fluide !

Une grande famille !

Effets de convectionTransport de l’énergie

Effets de dissipation visqueuseTransformation d’énergie

Effets de conductionDiffusion de l’énergie

M€1 B = p c d i r R Id i n u m

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DISSIPATIONVISQUEUSE

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😉

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❤

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TRANSPORT DIFFUSION

FUYL LÉNINEM u tEeEuaNTItEDEMVT-iipfEDz_.n@Y-Ir.i.me?hIID-=Egf++pqg*-Io,- ..'': DISSIPATION . .-

VISQUEUSENEZ

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😉

Ï÷ÏÏ Ï?loufte

peu n u e- - - -puissance

p e s tn u

Nombre d'Eckert

Energie cinétique

Energie interne

caractérise un écoulement d’un fluide !

Picture was taken on August 22, 2000

Transfertsde chaleur stationnaires

Nombre de Péclet : Pe

Nombre de Prandtl : Pr

Nombre d’Eckert : Ec

Nombre de Nusselt : Nu Nombre de Biot : Bi

Nombre de Reynolds : Re

Coeff de frottement : Cf Nombre de Stanton : St

Pertes de charges : l

¥=C t n u l l e

. .- '

-'

. .

/ = PereG-= i If042

: ÷

😉

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N u = 9 f"'i. K AT HS t = avec

UDT.

Nombre de Nusselt

Born: 25 Nov 1882 in Nurnberg, Germany

Died: 1 Sep 1957 in Munchen, Germany

Flux de chaleur à la paroi

Flux de chaleur diffusé dans l’écoulement

caractérise une condition d’interface !

Nombre de Biot

Flux de chaleur à la paroi

Flux de chaleur diffusé dans le solide

caractérise une condition d’interface ! Born: 21 April 1774, Paris, FranceDied: 3 Feb 1862, Paris, France

Le Nusselt et le Biot de l’ex-tuyau en plombde ma salle de bain :-)

Ecoulement de l’airdans la salle de bain

Flux conductif de l’air !

Ecoulement de l’eau dans le tuyau !

Flux conductif de l’eau chaude

Conduction thermique dansle tuyau : tension thermiques (thermoélasticité !)

Flux conductif dans le plomb

A mi-rayon,la températureest indépendantede la valeurde b !

b négatif

b positif

•

•

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137g TEMPERATUREMOYENNE.... .Q U I N ' E S T PA S

U N E MOYENNE [ }-ms-nsm? = Lz-t-f- t'g-USUELLE : - ) =☹

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¥[ÉÊ-z-Itto-Etf-t72-48+8-36+32--6 = 2 1= - 48

- 4 8 - _: _ 1 0

3 2l'a-124mm (I-m2)

T . t w = Mf1[ ( t r i ) -f-(3-Infini)]

Températuremoyenne

Cup mixing temperature

Flux de chaleurà la paroi

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q w = n u m [8-B] V s- a r r qw://uol.itZ R Tm -Tn : - )

Tm -Tn = nËm[E-KM] ¥ " Bb!'Enerae O K !p : 40/11

uG¥t° CONSIDERONSB -- O{qu._4rem %àEâîË = a n!ÊumÜ¥Y n o n

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R -FeuxD E

✓ = 2U m ( I -n' ) [ ¥ } CHALEURPARL E MU R : - )

T . t w = uֈ[ ( t r i ) -f-(3-un ' tn')] - ~RYR

Flux de chaleur à la paroiTw constante

C’est la chaleur générée par dissipation visqueuse qui s’échappe par la paroi du tuyau !

Tw constanteNombre de Nusselt

Estimation du flux de chaleur à la paroipar rapport aux effets de diffusion !

L’écart de températurecaractéristique est pris avecla température moyenne !

Tw linéaireNombre de Nusselt

Estimation du flux de chaleur à la paroipar rapport aux effets de diffusion !

L’écart de températurecaractéristique est pris avecla température moyenne !

A mi-rayon,la températureest indépendantede la valeurde b !

b négatif

b positif

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TRANSFERTF I D E CHALEUR]

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ETABL I CHOISI U N EADIMENS.

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"ftp.IIADIABATIQUE

Un petit grapherécapitulatif !

Ecart detempérature

Flux pariétal

Nombre de Nusselt

Cas adiabatique

Tw constante

Adimensionnalisationinadéquate !

Pas de dissipationvisqueuse

Transfert non-établidans un écoulement établi…

Transfert thermique stationnaire dans un écoulement établi d’un fluide visqueux newtonien à paramètres constants, sans dissipation visqueuse et diffusion axiale

Ecoulement de Hagen-Poiseuille : problème de Poiseuille (1885)Ecoulement bouchon : problème de Grätz (1883)

Problème de GrätzTransfert thermique stationnaire dans un écoulement établi d’un fluide visqueux newtonien à paramètres constants, sans dissipation visqueuse et sans diffusion axiale

Ecoulement bouchon

La coordonnée horizontale est relié à la vitesse par le temps de diffusion caractéristique !

Beaucoup d’algèbre inutile !Seul, le choix de l’adimensionnalisation est vraiment utile à retenir !

Même approche pour ledémarrage d’un écoulement !

Adimensionalisation du temps sur base de la viscosité qui est l’unique donnée contenant une unité de temps !

En z=1, on a un écoulement de régime

Résolution analytique :-(

Solutions obtenues par la technique de séparation de variables

Condition à la paroi

Condition initiale

(ii)

(iii)

(i)

Temps d’établissement

Temps d’établissement nécessaire afin que la vitesse au centre de la conduite vaille un

pourcentage critique de la valeur du profil de Poiseuille

Longueur d’établissement…Analogie spatio-temporelle

Longueur d’établissement nécessaire afin que la vitesse au centre de la conduite vaille un

pourcentage critique de la valeur du profil de Poiseuille

Pas de solution analytique : il est possible de trouver une solution approchée par la théorie des couches limites pour le cas axisymétrique…

Ou d’effectuer une petite analogie :-)