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SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Intégrales généralisées
DL - PC*
Lycée Corneille, Rouen
7 - 14 septembre 2016
DL - PC* Intégrales généralisées
SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
1 Des objets nouveaux ?
2 Fonctions continues par morceaux
3 Intégrales généralisées
4 Etude pratique de convergence
5 Transformation d'intégrale
DL - PC* Intégrales généralisées
SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Dé�nis par morceauxDé�nis par une "intégrale"
Quelle di�érence entre
1 f (x) =1
xet
2 g(x) =1
bxc?
DL - PC* Intégrales généralisées
SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Dé�nis par morceauxDé�nis par une "intégrale"
Intégrales ordinaires ou généralisées ?
1
∫ 10
1
1+ t2dt
2
∫ 1−1
1√1− t2
dt
3
∫ 10
t2
t + 1dt
4
∫ 10
ln t dt
5
∫ +∞0
1
1+ t2dt
6
∫ +∞0
sin2 t
t2dt
7
∫ +∞0
exp(−t) dt
8
∫ +∞0
exp(−t2) dt
DL - PC* Intégrales généralisées
SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur un segmentSur un intervalle
1 subdivision
2 fonction en escalier (ou
constante par morceaux)
3 fonction continue par
morceaux
4 intégrale
DL - PC* Intégrales généralisées
SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur un segmentSur un intervalle
Dé�nition : Une fonction est continue par morceaux sur un
intervalle I si sa restriction à tout segment estcontinue par morceaux.
Intégrale : Cela permet d'intégrer sur tout segment inclus dans
l'intervalle, donc de considérer pour a �xé dans
l'intervalle I , x ∈ I 7−→∫ xa
f (t) dt.
Propriété : Cette fonction est continue sur I .
DL - PC* Intégrales généralisées
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Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur un segmentSur un intervalle
Dé�nition : Une fonction est continue par morceaux sur un
intervalle I si sa restriction à tout segment estcontinue par morceaux.
Intégrale : Cela permet d'intégrer sur tout segment inclus dans
l'intervalle, donc de considérer pour a �xé dans
l'intervalle I , x ∈ I 7−→∫ xa
f (t) dt.
Propriété : Cette fonction est continue sur I .
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SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur un segmentSur un intervalle
Dé�nition : Une fonction est continue par morceaux sur un
intervalle I si sa restriction à tout segment estcontinue par morceaux.
Intégrale : Cela permet d'intégrer sur tout segment inclus dans
l'intervalle, donc de considérer pour a �xé dans
l'intervalle I , x ∈ I 7−→∫ xa
f (t) dt.
Propriété : Cette fonction est continue sur I .
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SommaireDes objets nouveaux ?
Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → +∞ de∫ xa
f (t) dt.
Limite notée
∫ +∞a
f (t) dt ou
∫[a,+∞[
f (t) dt.
De même sur ]−∞, b] avec
limx→−∞
∫ bx
f (t) dt =
∫ b−∞
f (t) dt =
∫]−∞,b]
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫ +∞1
1
tαdt converge si et seulement si α > 1.
2
∫ +∞0
exp(−ax) dx converge si et seulement si a > 0.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → +∞ de∫ xa
f (t) dt.
Limite notée
∫ +∞a
f (t) dt ou
∫[a,+∞[
f (t) dt.
De même sur ]−∞, b]
avec
limx→−∞
∫ bx
f (t) dt =
∫ b−∞
f (t) dt =
∫]−∞,b]
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫ +∞1
1
tαdt converge si et seulement si α > 1.
2
∫ +∞0
exp(−ax) dx converge si et seulement si a > 0.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → +∞ de∫ xa
f (t) dt.
Limite notée
∫ +∞a
f (t) dt ou
∫[a,+∞[
f (t) dt.
De même sur ]−∞, b] avec
limx→−∞
∫ bx
f (t) dt =
∫ b−∞
f (t) dt =
∫]−∞,b]
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫ +∞1
1
tαdt converge si et seulement si α > 1.
2
∫ +∞0
exp(−ax) dx converge si et seulement si a > 0.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → +∞ de∫ xa
f (t) dt.
Limite notée
∫ +∞a
f (t) dt ou
∫[a,+∞[
f (t) dt.
De même sur ]−∞, b] avec
limx→−∞
∫ bx
f (t) dt =
∫ b−∞
f (t) dt =
∫]−∞,b]
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫ +∞1
1
tαdt converge si et seulement si
α > 1.
2
∫ +∞0
exp(−ax) dx converge si et seulement si a > 0.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → +∞ de∫ xa
f (t) dt.
Limite notée
∫ +∞a
f (t) dt ou
∫[a,+∞[
f (t) dt.
De même sur ]−∞, b] avec
limx→−∞
∫ bx
f (t) dt =
∫ b−∞
f (t) dt =
∫]−∞,b]
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫ +∞1
1
tαdt converge si et seulement si α > 1.
2
∫ +∞0
exp(−ax) dx converge si et seulement si a > 0.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → +∞ de∫ xa
f (t) dt.
Limite notée
∫ +∞a
f (t) dt ou
∫[a,+∞[
f (t) dt.
De même sur ]−∞, b] avec
limx→−∞
∫ bx
f (t) dt =
∫ b−∞
f (t) dt =
∫]−∞,b]
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫ +∞1
1
tαdt converge si et seulement si α > 1.
2
∫ +∞0
exp(−ax) dx converge si et seulement si a > 0.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → b de∫ xa
f (t) dt.
De même sur ]a, b] avec x → a et∫ bx
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫1
0
1
tαdt converge si et seulement si α < 1.
2
∫1
0
ln t dt converge.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → b de∫ xa
f (t) dt.
De même sur ]a, b] avec x → a et∫ bx
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫1
0
1
tαdt converge si et seulement si α < 1.
2
∫1
0
ln t dt converge.
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Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → b de∫ xa
f (t) dt.
De même sur ]a, b] avec x → a et∫ bx
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫1
0
1
tαdt converge si et seulement si
α < 1.
2
∫1
0
ln t dt converge.
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Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → b de∫ xa
f (t) dt.
De même sur ]a, b] avec x → a et∫ bx
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫1
0
1
tαdt converge si et seulement si α < 1.
2
∫1
0
ln t dt converge.
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Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Convergence, divergence quand x → b de∫ xa
f (t) dt.
De même sur ]a, b] avec x → a et∫ bx
f (t) dt.
Intégrales de référence :
1
∫1
0
1
tαdt converge si et seulement si α < 1.
2
∫1
0
ln t dt converge.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Permanence des notations : si f est continue sur [a, b], alors∫ ba
f (t) dt = limx→b
∫ xa
f (t) dt = limx→a
∫ bx
f (t) dt
Convergence si f est prolongeable par continuité.
Relation de Chasles : si f est continue par morceaux sur
I = [a,+∞[ et c ∈ I , alors∫If (t) dt converge si et seulement
si
∫[c,+∞[
f (t) dt converge.
Dans ce cas
∫If (t) dt =
∫ ca
f (t) dt +
∫[c,+∞[
f (t) dt.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Si f est continue par morceaux sur un intervalle I =]α, ω[ ouvert,c'est à dire ]a,+∞[ ou ]−∞, b[ ou ]a, b[ ou R, on dit que∫If (t) dt converge si pour une borne c �xée 1 dans I , les deux
intégrales généralisées 2∫]α,c]
f (t) dt et
∫[c,ω[
f (t) dt convergent.
Dans ce cas,
∫]α,ω[
f (t) dt =
∫]α,c]
f (t) dt +
∫[c,ω[
f (t) dt.
1. d'après la relation de Chasles, le choix de c n'a aucune incidence sur laconvergence
2. α = a ou −∞, ω = b ou +∞DL - PC* Intégrales généralisées
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Que faire face à
∫ ba
f (t) dt ?
Analyser l'intervalle de continuité 3 de f :
si c'est [a, b], l'intégrale est ordinaire.
si c'est [a, b[ ou ]a, b], l'intégrale est simplement généralisée etil faut étudier la convergence à une borne.
si c'est ]a, b[, l'intégrale est doublement généralisée et il fautmener deux études indépendantes aux bornes.
une intégrale est toujours généralisée à une borne in�nie.
3. au moins par morceauxDL - PC* Intégrales généralisées
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Que faire face à
∫ ba
f (t) dt ?
Analyser l'intervalle de continuité 3 de f :
si c'est [a, b], l'intégrale est ordinaire.
si c'est [a, b[ ou ]a, b], l'intégrale est simplement généralisée etil faut étudier la convergence à une borne.
si c'est ]a, b[, l'intégrale est doublement généralisée et il fautmener deux études indépendantes aux bornes.
une intégrale est toujours généralisée à une borne in�nie.
3. au moins par morceauxDL - PC* Intégrales généralisées
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés
Les propriétés de l'intégrale ordinaire s'étendent aux intégrales
généralisées convergentes.
Chasles :
Linéarité :
Positivité :
Croissance :
Analyse de nullité :
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Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Dans les rares cas où une primitive usuelle est aisément
accessible, elle permet d'étudier directement la convergence.
Par exemple les références, ou
∫ +∞2
1
x lnβ xdx mais...
La plupart des primitives des fonctions usuelles ne s'expriment
pas à l'aide des fonctions usuelles !
Exemples : exp(−t2), exp(t)t
, ln(t) exp(−t), sin tt
.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Dans les rares cas où une primitive usuelle est aisément
accessible, elle permet d'étudier directement la convergence.
Par exemple les références, ou
∫ +∞2
1
x lnβ xdx mais...
La plupart des primitives des fonctions usuelles ne s'expriment
pas à l'aide des fonctions usuelles !
Exemples : exp(−t2), exp(t)t
, ln(t) exp(−t), sin tt
.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
f est continue par morceaux et positive sur I .Méthodes globales :
1 x 7−→∫ xc
f (t) dt est croissante sur I .
2
∫If (t) dt converge si et seulement si
∃M ∈ R, ∀[c, d ] ⊂ I ,∫ dc
f (t) dt ≤ M.
3 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t) ≤ g(t), alors la convergence de∫Ig(t) dt
entraîne celle de
∫If (t) dt.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Méthodes locales : pour une intégrale simplement généralisée à la
borne α de I .
1 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) ∼ g(t) quand t → αalors
les intégrales
∫If (t) dt et
∫Ig(t) dt sont de même
nature.
2 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) = o(g(t)) quand t → αalors la convergence de
∫Ig(t) dt entraîne celle de
∫If (t) dt.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Méthodes locales : pour une intégrale simplement généralisée à la
borne α de I .
1 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) ∼ g(t) quand t → αalors les intégrales
∫If (t) dt et
∫Ig(t) dt sont de même
nature.
2 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) = o(g(t)) quand t → αalors
la convergence de
∫Ig(t) dt entraîne celle de
∫If (t) dt.
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PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Méthodes locales : pour une intégrale simplement généralisée à la
borne α de I .
1 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) ∼ g(t) quand t → αalors les intégrales
∫If (t) dt et
∫Ig(t) dt sont de même
nature.
2 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) = o(g(t)) quand t → αalors la convergence de
∫Ig(t) dt entraîne celle de
∫If (t) dt.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Une fonction f continue par morceaux sur I telle que∫I|f (t)| dt converge est dite intégrable. On dit aussi que
l'intégrale
∫If (t) dt converge
absolument.
Cv absolue =⇒ cv
Si
∫I|f (t)| dt converge, alors
∫If (t) dt converge et∣∣∣∣∫
If (t) dt
∣∣∣∣ ≤ ∫I|f (t)| dt
Espace vectoriel L1
L'ensemble L1(I ) des fonctions intégrables est un espace vectoriel.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Une fonction f continue par morceaux sur I telle que∫I|f (t)| dt converge est dite intégrable. On dit aussi que
l'intégrale
∫If (t) dt converge absolument.
Cv absolue =⇒ cv
Si
∫I|f (t)| dt converge, alors
∫If (t) dt converge et∣∣∣∣∫
If (t) dt
∣∣∣∣ ≤ ∫I|f (t)| dt
Espace vectoriel L1
L'ensemble L1(I ) des fonctions intégrables est un espace vectoriel.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
Une fonction f continue par morceaux sur I telle que∫I|f (t)| dt converge est dite intégrable. On dit aussi que
l'intégrale
∫If (t) dt converge absolument.
Cv absolue =⇒ cv
Si
∫I|f (t)| dt converge, alors
∫If (t) dt converge et∣∣∣∣∫
If (t) dt
∣∣∣∣ ≤ ∫I|f (t)| dt
Espace vectoriel L1
L'ensemble L1(I ) des fonctions intégrables est un espace vectoriel.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
L'intégrale
∫ +∞0
sin t
tdt converge mais
∫ +∞0
| sin t|t
dt diverge.
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz
L'ensemble L2(I ) des fonctions de carré intégrable.
Espace vectoriel L2
L2(I ) est un espace vectoriel.Si f , g ∈ L2(I ) alors le produit f .g est intégrable sur I et∫I|f (t)g(t)| dt ≤
√∫I|f (t)|2 dt
∫I|g(t)|2 dt
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Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Changement de variableIntégration par parties
Changement de variable
Si φ : ]α, ω[ 7−→]a, b[ est une bijection strictement croissante a declasse C1 et si f : ]a, b[7−→ C est continue par morceaux alors les
intégrales
∫ ωα
(f ◦ φ) (u)φ′(u) du et∫ ba
f (t) dt sont de même
nature.
En cas de convergence, elles sont égales.
a. si f est décroissante, remplacer φ′(t) par |φ′(t)|
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Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées
Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale
Changement de variableIntégration par parties
IPP
Si f et g sont de classe C1 sur ]α, ω[ et le produit f .g converge aux
deux bornes, alors les intégrales
∫ ωα
f ′(t)g(t) dt et
∫ ωα
f (t)g ′(t) dt
sont de même nature. En cas de convergence∫ ωα
f (t)g ′(t) dt = [f (t)g(t)]ωα −∫ ωα
f ′(t)g(t) dt
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